6 - Geschiedenis van het getal Pi
De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: •
F1 - Lees de hoofdstukken 1 t/m 4 en 9 uit het Zebra-boekje Pi. Maak uit de hoofdstukken 2 t/m 4 van het Zebra-boekje Pi 5 van de 9 opgaven. Zorg voor nette uitwerkingen. Kies de 5 verspreid over de 9.
•
F2 - Maak een A4 met allerlei wetenswaardigheden over π. Zorg dat je A4 zodanig is dat je die gemakkelijk kunt uitvergroten tot posterformaat. De poster kun je dan ophangen in je wiskundelokaal.
Voor het eerste deel hebben we de volgende opgave gekozen 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 3.5.2 en 4.4.1. In de poster zijn verschillende ‘weetjes’ en schattingen van Pi verwerkt. Maar ook recentere eerbetonen aan Pi in de vorm van een mini computer de Raspberry Pi en aan de Archimedes in de vorm van de Acorn Archimedes. Deze laatste is de eerste RISC computer voor commerciële toepassingen.
6.1 - Opgaven 6.1.1 - Opgave 2.3.1 De tabel op pagina 10 is overgenomen en uitgebreid met kolommen voor QN-π en een factor tussen de verschillende stappen van N. Dit geeft de onderstaande tabel: N 6 12 24 48 96 192 384 768
Pn 3,0000000000 3,1058285412 3,1326286133 3,1393502030 3,1410319509 3,1414524723 3,1415576079 3,1415838921
Qn Qn-π Factor Qn-π 3,4641016151 0,3225089615 4,37 3,2153903092 0,0737976556 4,08 3,1596599421 0,0180672885 4,02 3,1460862151 0,0044935615 4,01 3,1427145996 0,0011219461 4,00 3,1418730500 0,0002803964 4,00 3,1416627471 0,0000700935 4,00 3,1416101766 0,0000175230 gemiddelde factor
4,07
Elke volgende stap van N leert ons dat het verschil een factor 4 kleiner wordt. Bij de 4e stap is Q48-π ongeveer 0,0045. Hieruit volgt dat bij stap 4+k het verschil ongeveer 0,0045*4-k bedraagt. Om onder het verschil van 10-35 te komen, kunnen we dus de volgende vergelijking oplossen: -35
-k
10 = 0,0045*4 . We kunnen de waarde van ‘k’ bepalen via
,
54. Dus ‘k’ is 54 waar we
nog 4 stappen bij op moeten tellen. Dus de conclusie is dat Ludolph van Ceulen minimaal 58 stappen nodig had om een nauwkeurigheid van de 35e decimaal te bereiken.
Geschiedenis van de Wiskunde
70
6.1.2 - Opgave 2.3.2
Uit de figuur op pagina 12, blijkt dat de overstaande gelijk is aan sin . Echter deze lengte is
slecht de helft van de ingesloten lengte bij hoek N dus moeten we deze met 2 vermenigvuldigen
zodat de ingeschreven zijde 2 sin
sin .
Voor de halve omschreven zijde geldt: tan
dan tan .
! . Dus de omschreven zijde is
Omdat we de complete cirkel opdelen in ‘N’ hoeken is voor de omtrek van de ingeschreven zijden
" sin en voor de omgeschreven zijden " tan .
6.1.3 - Opgave 2.3.3. Deel a Gegeven: sin 2# 2 sin # cos #en cos 2# & 1 2(cos #) . *+ ,
Bewijs +-. , & +-. ,
ontstaan het volgende *+ , *+ , +-. , *+ ,
*+ , +-. ,
*+ , *+ ,/ *+ , +-. , +-. , substitueren we hierin de gegeven vergelijking dan +-. , (*+ ,) *+ , na uitwerken en wegstrepen blijft dan uiteindelijk over +-. , *+ , +-. , *+ , *+ , +-. , . +-. ,
+-. ,
Voor het bewijs van 01. , & +-. , 01. , weten we dat tan # *+ , 01. , *+ ,
deze invullen in de te bewijzen stelling ontstaat: +-. , & +-. , hiervan staat hierboven beschreven.
*+ , +-. ,
*+ , . +-. ,
Wanneer we
en de verdere uitwerking
Deel b
Gegeven: 01. , & +-. , 01. , en # 23 4254!67238 92:;2 <:=;23 ;2623 ;!!5 2"
Bewijs >? & A B ? @
@
@
01.
Als eerste de gegeven stelling substitueren en delen. Dit geeft dan:
01.
delen door 2N geeft dan:
C @
&
+-.
C @
01.
C @
C @
01.
&
C @
&
+-. C @
+-.
C @
01.
01.
C @
en dan
C @
Ook weten we dat D " sin 23 E " tan en dit substitueren in het bovenstaande resultaat
geeft dan: ? & A ? @
@
@
(? & A ) ?
Geschiedenis van de Wiskunde
@
@
@
71
A@ ?@ waarbij @ /?@
Voor het bewijs van E A
gegeven: D " sin , E " tan , E 2" tan
Door invullen van de gegevens ontstaat de volgende vergelijking: F 2" tan 2"
2(" sin " tan ) " sin & " tan
C @
F 2" tan 2"
C @ C *+ @ C C C +-. *+ / G +-. @ @ @ C *+ @
+-. +-.
2(
)
2(
C @
C @
+-. +-. C *+ @
" sin & "
)
C @ C *+ @
+-.
2" tan
F 2"
" sin " sin cos F 2" tan 2H IH I 2" cos " sin cos & N sin
" sin " sin " sin F F 2" tan 2H 2H I 2" tan I 2" 2" " sin cos & N sin cos 2" tan
+-. *+
C @
C @
2" tan
2" tan
en
hiermee is het bewijs geleverd.
Deel c Gegeven: sin 2# 2 sin # cos # Bewijs: (sin #)
+-. , +-. , . *+ ,
Als eerste gaan we substitueren en dat geeft (sin #)
dan (sin #)
+-. , *+ , +-. , . *+ ,
(sin #) (sin #)
+-. , *+ , +-. , . *+ ,
door verstrepen krijgen we
Deel d Gegeven:(sin #)
+-. , +-. , . *+ ,
en # 23 92:;2 <:=;23 425L23:74M6;:723 L2N (2")
Als eerste de gegeven stelling substitueren en vermenigvuldigen. Dit geeft dan:
(2") (sin )
() +-.(
C ) @
.
() +-. *+
C @
C @
Ook weten we dat D " sin 23 E " tan en
deze laatste geeft ons ook E 2" tan . Hieruit volgt dan:
Geschiedenis van de Wiskunde
72
(2")
(sin )
D
en
() +-.(
C ) @
" sin
Hieruit volgt dan uiteindelijk D D . E
D daarnaast
() +-. *+
C @
C @
2" tan
E
6.1.4 - Opgave 3.5.2 Uit de figuur op pagina 19 blijkt dat de afstand tussen het vlak door de 30e breedtegraad en de R
Noordpool te berekenen is met 5. sin 30° .
De inhoud van de bol tussen deze 2 vlakken is gelijk aan de inhoud van de cilinder tussen deze vlakken minus de kegel tussen deze vlakken. R
De inhoud van de cilinder is F5 .
R .
De inhoud van het kegeldeel is de inhoud van de totale
kegel minus het deel onder de 30e breedtegraad. Het grondvlak van de laatste deelkegel heeft een R
R
R
straal van . De inhoud is nu S . () .
R .
Het deel tussen de vlakken wordt hiermee R TR
‘zijaanzichten van de doorsnijdingen’ op pagina 19)
De inhoud van de bol wordt nu
De inhoud van de gehele kegel is
R S
R
TR
R S
UR (doelend op het bovenste deel van de bol op het linkerplaatje van de
6.1.5 -Opgave 4.4.1 Gegeven de volgende reeks: √2 , W2 & √2 , X2 & W2 & √2 , …
Deze reeks convergeert naar 2. Dit is de limiet van Z √2 & Z. Wanneer we deze proberen op te lossen kunnen we beide zijden kwadrateren en dan via de ABC formule de nulpunten bepalen. Dit geeft dan het volgende: Z √2 & Z Z 2 & Z Z Z 2 0. Bij x=2 deze vergelijking waar. Het zelfde kunnen we ook doen met de reeks: √1 , W1 & √1 , X1 & W1 & √1 , …
De limiet van Z √1 & Z is via dezelfde methode op te lossen en geeft dan het volgende:
Z √1 & Z Z 1 & Z Z Z 1 0 en de ABC formule geeft hier de oplossing Z,
[\]√\ [ ^ geeft Z,
[.[]√ [ ..[ .
Z,
]√U Z
Z is een negatief getal en dat kan dus niet. De limiet is dus Z
Geschiedenis van de Wiskunde
[√U
/√U
23 Z
/√U
73
6.2 – Poster De poster is in groot formaat te zien in bijlage. Hieronder een ‘sneak-preview’.
Geschiedenis van de Wiskunde
74
