5. Munka- és szervezési formák a hatékony matematikatanításban
A tanítási gyakorlatban alkalmazott munka- és szervezési formák általában nem tisztán jelentkeznek, hanem egy tanórán belül is váltakoznak vagy kombinálódnak. Beszélhetünk viszont (tantárgyanként is) domináns munkaformákról, vagy jellemző tendenciáikról. A hatékony matematikatanításban is megvan a szerepe a különböző tanult munka- és szervezési formáknak, de nem azonos súllyal. Fő szempontunk most a hatékonyság, az írásbeli és szóbeli teljesítőképes tudás harmónikus fejlesztése legyen ezek megítélésében és választásában. A legfontosabb kritériumnak a tanulók aktív részvétele mutatkozik. 5.1. Frontális munka 5.1.1. Tanári előadás, magyarázat, bemutatás Új ismeretet feldolgozó óra egy részében (inkább az elején) lehet –korlátozott- szerepe. Olyankor és csak addig alkalmazzuk, amikor és ameddig a tanulók bevonása még nem lehetséges vagy nem sok reménnyel kecsegtet. Ahogy lehet, váltsunk interaktívabb formára. Például a π szám eredetéről, történeti adatairól tartott 10 perces előadás („ismeretterjesztés), melyben a tanár kitér az irracionális voltának bizonyítottságára, esetleg annak gondolatmenetére is. A történeti adalékokat irodalmi vagy film-részlet bemutatásával is kísérheti a szemléletesség növelése érdekében. 5.1.2. Tanári rövid közlés Nélkülözhetetlen, hatékony forma. Új fogalom kiépítésekor általában „felfedeztető” szakasz végén már csak meg kell nevezni a kiépült fogalmat, rögzítve, pontosítva elmondani a matematikai definíciót. Gyakran nem bocsátjuk előre a bizonyítandó tételt, hanem „felfedeztetés” során megalkotjuk a bizonyítást, ami után a tanári közli, hogy ezt az összefüggést, eredményt milyen tételként emlegetjük. Vagy például egy geometriai szerkesztési probléma önálló megoldását követő megbeszélés végén a tanár közöl egy általánosítási lehetőséget. A 2. fejezet egy példájában, miután a háromszög belső szögfelezőjére beláttuk, hogy a közrefogó oldalak arányában osztja a szemközti oldalt, a tanári közli, hogy ezt az összefüggést szögfelező tételként ismerjük. 5.1.3. Egész osztályos interaktív munka (Kérdve kifejtő módszer) Először is az óra elején a kapcsolódó ismeretek felelevenítésének, az óra anyaga előkészítésének, illetve a folyamatos szóbeli ismétlés (pl. fejszámolás) munkaformájaként ajánlhatjuk. Másodszor, új ismeret feldolgozásának, illetve az alkalmazási szakasz első feladata megoldásának egyik leggyakoribb, viszonylag hatékony munkaformája. Új anyag esetén a tanár előadással, magyarázattal indít (például exponál egy problémát), majd ahol már lehet, ott kéri a tanulói ötleteket vagy jól irányzott kérdésekkel vonja be a tanulókat a kifejtésbe. Első alkalmazásnál a tanár a friss ismeretre kérdezve vonja be a tanulókat a munkába, általában egy konkrét feladat közös megoldásába. Például egy másodfokú egyenlet megoldásánál: „Diktáld mit írjak a következő sorba! Mi legyen a következő lépés? Miért?” Hatékonyabban késztethetjük a tanulókat gondolkodásra gyakori –döntést igénylővisszajelzésekkel és indokoltatással. Például: „Ki gondolja ugyanígy? Máshogy? Ki ért egyet? Ki mond mást?” „Miért? Miből gondolod?” Vita kialakulásának örüljünk, olykor kezdeményezhetjük is, mert a mások gondolatmenetére figyelés, annak megértése, az érvelés és cáfolat gyakorlása mind erős gondolkodásfejlesztő matematikai nevelési lehetőség. A szokráteszi módszer is ajánlott. A jó értelemben vett kérdve kifejtő módszer tehát fejleszti a szóbeli teljesítőképes tudást., Fontos a szemléltetés, szemléletesség biztosítása, hogy a hallás mellett a látás is részt kapjon az ismeretszerzési folyamatban. Biztosítandók a jegyzetelés feltételei is, mint például kiemelés, felszólítás, megfelelő vázlat illetve táblakép, tabló, kivetített kép, továbbá kellő idő a lejegyzésre. Motiváló hatása lehet a tanulók táblai munkáltatásának is. De inkább rövidebb részfeladatokra gondoljunk és inkább több tanulót mozgassunk. „Leblokkolás” esetén buzdítás vagy rész-dícséret mellett sürgősen váltsunk. Így elkerülhető az osztály passzívvá válása, illetve a tábláról másolás. Gondoskodni kell a láthatóságról, hallhatóságról is (pl. a tanulót kérjük, hogy mondja is amit ír, továbbá ismételjük megfelelő hangerővel, hangsúllyal, pontosítással, ha kell). Tárgyi manipulatív tevékenység vagy más matematikai „kísérlet” közös beszélgetéssel, megbeszéléssel kísérve szintén itt említendő. Ezt a formát alkalmazzuk önálló munka utáni megbeszélésnél, ennek kifejtését később tesszük meg.
Ha önálló munka közben a padok között végigjárva tömeges problémát vagy elakadást tapasztalunk, -az időtényező miatt is- frontális munkára váltunk, tisztázzuk a továbblépés útját, megbeszéljük az általános hiba tanulságait, de ezután ahogy lehet, újra önálló munkában kérjük a folytatást. Ritkábban javasolhatjuk az egész osztályos interaktív frontális munkát gyakorló órákon, különösen a gyakorlás második és lezáró szakaszában, amikor az alkalmazás, ellenőrzés didaktikai feladatát kívánjuk megvalósítani és erős jártasság illetve készség szintjét célozzuk meg. A begyakorlás ugyanis egyéni teljesítőképes alkalmazást céloz meg, amely cél elérése közös munkában esetleges és objektíve ellenőrizhetetlen. Különösen hatástalannak bizonyul e szempontból az a fajta gyakorlat, mikor a feladat kitűzése után azonnal kérdez a tanár. Hasonlóan, mikor a tanár vagy egy –önként jelentkező illetve kiválasztott- diák a táblánál dolgozik, mert ez lehetőséget ad a tábláról való puszta másolásra. 5.2. Differenciált csoportmunka- és szervezési formák A heterogén képesség-összetételű osztályok igénylik a differenciálás valamilyen formáját. 5.2.1. Osztályokba válogatás Nagyobb iskolákban a párhuzamos, különböző képességű osztályok szervezése is lehetséges. Előnye, hogy az egyes osztályokon belül kisebb az eltérés a képességekben, az viszont gyakori, hogy más tantárgyakból más válogatás lenne indokolt, így a gyakorlatban kompromisszumos megoldás születik. Előnye, hogy osztályra szabott tanmenet vagy tantervi adaptáció alkalmazható, például emelt szintű és óraszámú osztály is szervezhető. Előny lehet, hogy az alacsonyabb szintű osztályba kerülve egy addig kevésbé sikeres, kevésbé aktív gyermek kibantakozik, húzóerővé válik. Veszélye viszont egy túl jól sikerült szétválogatásnak, hogy a közepes vagy alacsonyabb képességű osztály húzóerő (ötletesség, érdeklődés) nélküli homogén, inaktív osztály lesz. Megjegyezzük, hogy nagyobb városokban iskolák között is erős különbségek vannak képesség szerinti beiskolázásban, kialakulnak például matematikából erősebb iskolák. 5.2.2. Osztályok közötti csoportbontás Nagyobb iskolák egy másik lehetősége a „csoportbontás”, amikor a párhuzamos osztályokból kialakított nívócsoportoknak külön matematikaórákat szerveznek. Középiskolákban például az idegennyelvi órák eleve csoportbontással szervezhetők, ami matematikából is megadja a csoportbontás lehetőségét (bár gyakran csak a tantárgyak közötti kompromisszumokkal). 5.2.3. Osztályon belüli nívócsoportok differenciált munkája Az egy osztályon belüli nívócsoportok kialakítása a 70 - 80-as években igen elterjedt volt felső tagozaton. Gyakorló órákon sokszor dolgoztak a gyermekek két vagy három nívócsoportban. Ez a tanártól az óra nagy részére vonatkozóan két vagy három vázlat készítését igényelte, órán pedig „forgószinpadszerű” szervezéssel kellett megosztania figyelmét a csoportok között. Ha például mind a három csoportban önálló munka – közös megbeszélést tervezett, akkor az A, B és C csoportnak kiadta az első feladatot, majd leállítva az A csoport munkáját azzal megbeszélést tartott, utána kiadta az A2 feladatot és kezdte a B1 feladat megbeszélését, stb. Ez igen megterhelő a tanár számára, ugyanakkor komoly eredményeket lehet elérni. Nagy létszámú nívócsoporton belül többnyire egyéni munkát végeztetünk, de (ritkábban) engedjük a páros vagy négyes munkát is. A tanulók beskatulyázásának elkerülése érdekében a nívócsoportok közötti átjárhatóságot biztosítani szükséges. Egyébként is, ugyanaz a tanuló témakörönként más-más szinten képes teljesíteni. Például egy gyermek lehet gyengébb algebrai egyenletek megoldásában, miközben – fejlett térlátása folytán erősebb térgeometriai témákban. Különböző szervezési módszerekkel csökkenthető a fentebb jelzett tanári megterhelés: Ha mondjuk négy erősen lemaradó vagy gyengébb képességű tanuló mellett az osztály többi része két nagy csoportban dolgoztatható, akkor a négy gyermeket minden matematika órán elől-oldalt ülteti a tanár és külön foglalkozik velük, míg a két csoport önállóan dolgozik. Egy másik lehetőség, hogy a legerősebb csoportot több feladat önálló megoldására magára hagyjuk, majd –lehetőleg előre bemondott idő letelte után- rövid megbeszélést tartunk. A többi csoporttal minden feladat után megbeszélést tartunk. Ritkábban javasolható az a módszer, hogy az erős csoport az óra nagy részében önálló feladatsoron dolgozzon, majd óra végén egy kiadott javítókulcs alapján önellenőrzést és önértékelést végezzen. Előnye –a tanár részbeni tehermentesítésén kívül- az, hogy önellenőrző, önértékelő képességük
tovább fejlődik, bár általában ebben eleve is fejlettebbek a többieknél. Hátránya viszont a túl gyakori alkalmazásnak, hogy az osztály számára elvész a közös („plenáris”) megbeszéléseknél a legötletesebbek hozzájárulása. Veszélye pedig az, hogy a csoport-megbeszélések hiányában nem fejlődnek megfelelően a legjobb tanulók szóbeli képességei, elsikkad a saját munkáról való beszámolás, a saját gondolkodási mód kifejezése, az érvelés, indoklás és az utólagos tudatosítás. A nívócsoportok szervezése ellen hat az utóbbi időben egyes tanulók, de különösen egyes szülők ellenállása, mikor is megkülönböztetésnek, netalán megbélyegzésnek érzik a gyermek gyengébb csoportba sorolását. A differenciálás egy természetesebb, automatikus módját később írjuk le. 5.3. Kollaboratív csoportmunka 5.3.1. Heterogén összetételű csoportok munkája Ezt a jólismert munkaformát nálunk időnként, illetve egyes országokban gyakran alkalmazzák. A projekt- vagy alkalmazásorientált irányzat fő munkaformája. Az egyes csoportok azonos vagy különböző problémán, alkalmazáson vagy „kutatáson” dolgoznak. Jellemző a csoporton belüli munkamegosztás, az irányító egyéniség kiválasztódása, jó esetben a szerényebb képességű tagok felzárkóztatása. Előnyös, hogy a tanulók gyakran gyorsabban tudnak elfogadni magyarázatot egymástól, egyszerűbben tudnak elmagyarázni valamit egymásnak, megértetni valamit a gyengébbekkel informálisan, mint a tanár formálisan, szabatosan. Matematikából új téma bevezetésekor, gyakorlás korai fázisában, de különösen -év eleji, témakör végi vagy évvégi- ismétlő, rendszerező órán javasolható. Előnyös lehet összetettebb feladatoknál, tárgyi „kísérletezésnél, felfedeztetésnél”. Fontos az egész osztály előtti „plenáris” bemutatás. Különös motiváló ereje lehet a heterogén összetételű, de egyező erősségű csoportok közötti jól szervezett és korrekt vetélkedőnek. Ugyanakkor hátránya lehet, hogy nehezebben kerülnek felszínre a téves fogalmak, téves gondolatmenetek, magyarázatok, sőt rejtve is maradhatnak. Továbbá óva intünk túlzott alkalmazásától gyakorlás során, különösen jártasság vagy készségszint kialakításakor. Az egyéni írásbeli teljesítőképes tudás ugyanis ilyen szervezésben nem vagy csak nagyon korlátozott mértékben fejlődhet. Tehát csak ritkán, indokolt esetben, mintegy „fűszerezésként” ajánlhatjuk. 5.3.2. Nívócsoportok kollaboratív munkája A fenti típusú csoportmunkának a differenciált csoportmunkával való ötvözése egy újabb szervezési lehetőség, amely azonban még erősebben felvet hatékonysági problémákat. Az angolszász oktatásban a 70-es évektől a közelmúltig igen elterjedt forma volt. Szélsőséges esetben a különböző erősségű (kisebb mértékben heterogén vagy pedig homogén összetételű) csoportok eltérő témakörű feladaton dolgoznak. Láttunk ilyet az Egyesült Királyságban elemi iskolában és középiskolában is. A tanár elvileg mind a 4-6 csoporttal megfelelő időtartamban és mélységben kellene hogy foglalkozzon, tapasztalatunk szerint viszont többet törődik az erősebb csoporttal, mintegy sorsára hagyva a gyengébbeket. Az osztály többsége nem volt lekötve, kikerült a tanári kontroll alól, gyakorlatilag azt csináltak vagy nem csináltak, amit akartak. Fejlődésük az órán legalábbis kétséges volt. Fordítva, a gyengébbekkel való kiemelt törődés is lehetséges. Az egyik magyar iskolában tanulási nehézséggel bírkózó („korrekciós”) kislétszámú alsótagozatos osztályban láttuk az Egyesült Államokból elindult „lépésről lépésre (step by step)” program adaptálását. A kevésbé problematikus gyerekek csoportja az óra hosszabb részében magára hagyva dolgozott egy munkalapon, míg a tanító a leggyengébbek összeadási alapképességeit pótolgatta közös munkában (a szőnyegen ülve velük együtt). Elismerve az ilyen fejlesztőpedagógiai eljárás fontosságát és hatékonyságát a kiemelt csoport tagjai tekintetében, a többieknél a hatékonyság alacsony, a fejlődés esetleges. Normális osztály matematika óráján 4-6 fős nívócsoportok kollaboratív munkája olykor –céllaljavasolható, ha a téma azonos, csak differenciált, ha a tanár kezében tartja az irányítást és tudja mi történik a csoportoknál, ha azonos mélységben fogalkozik a csoportokkal, ha a tévedéseket fel tudja tárni és azokat frontálisan tisztázzák. A heterogén csoportmunkánál említett nehézségek, hátrányok fokozottan jelentkezhetnek, a hatékonyság kétséges. Emellett a legkevésbé sem ajánlhatjuk normál osztályban a típus fentebbi szélsőséges válfaját, amelyben tehát a csoportok különböző témakörben dolgoznak, mert nem fejleszti az egyéni írásbeli teljesítőképes tudást, de a szóbeli képességeket sem kellően és
ellenőrzötten. 5.4. Csoportos vagy egyéni munka, azt követő közös megbeszéléssel 5.4.1. Csoport önálló munkája, azt követő közös megbeszéléssel A csoport lehet heterogén összetételű csoport vagy homogén nívócsoport. Fentebb már leírtuk, hogy főként új ismeret szerzésekor, összetettebb probléma megoldásakor, első alkalmazáskor, rendszerezés vagy ismétlés során javasolhatjuk alkalmazását. Most az önálló munkát követő közös megbeszélésre hívjuk fel a figyelmet. Differenciált munka esetén az egyes nívócsoportok megbeszélése időben elkülönülve valósítható meg, de ha hasznosnak mutatkozik, hogy az egész osztály profitáljon egy eredményből, hibából vagy tapasztalatból, akkor le lehet állítani a többi csoport munkáját is egy rövid ismertetés, tisztázás erejéig. Heterogén csoportok önálló munkáját követően „plenáris” bemutatás, megbeszélés történik, ami különösen lényeges, ha a csoportok között is munkamegosztás volt. Például ha a különböző csoportok különböző adatokból szerkesztettek trapézt. Vagy ha például különböző –köztük speciális- téglatestek térfogatát, felszínét számították ki: az egyik különböző élű vagy általános téglatest modellt kapott, a másik kockától eltérő négyzetes oszlopot, a harmadik négyzetes réteget, a negyedik kockát. Ilyen esetekben adjunk időt és mintát a többi eset lejegyzésére is. A megbeszélés fő mozzanatai megegyeznek az egyéni munka utáni megbeszélésével, ezeket majd ott részletezzük. Itt a csoportok és tagjaik munkájára vonatkozó értékelés fontosságát emeljük ki. 5.4.2. Egyéni munka, azt követő megbeszéléssel Először is az egyéni munka egy szélsőséges alkalmazásának rövid kritikáját adjuk: Szintén a 70-es években megjelent gyakorlat a teljesen individualizált munka olyan formáját alkalmazta matematikából, amelyben a tanulók egyéni, a tanárral megbeszélt program alapján dolgoznak feladatlapok sorozatán, a tanárral időnként konzultálva. Az egyik londoni középiskolában 1991-ben a SMILE program néhány matematikaóráján ilyen munka- és szervezési formát láttunk. A tanítási gyakorlaton lévő hallgatók elmondása szerint közös megbeszélés gyakorlatilag nincs. Megfigyeltük, hogy a diákok nemcsak különböző szintű, de ráadásul különböző témakörű vagy témájú feladatlapokon dolgoztak. Például az egyik gyermek lineáris függvénygrafikonokból próbálta felírni a megfelelő függvény-formulát, egy másik adott formulából ábrázolt lineáris függvényt, egy harmadik valószínűségi kérdéseken dolgozott, míg a legokosabb gyermek egy Éggömb modell segítségével bonyolult asztronómiai számításokat végzett. Amikor egy gyermek végzett a lapjával, kiment a tanárhoz, néhány szóban megbeszélték az eredményességet, majd egy újabb feladatlapért ment a gyermek a polcrendszerhez és azon dolgozott tovább. A tanár ritkán ment oda valakihez, nem hallgatta meg csak azt, aki odament hozzá, ellenben sokat adminisztrált, feljegyezve például az egyes tanulók feladatlapjának kódját (amely a témát és a szintet is jelölte) és az eredményességet. A módszer első látásra demokratikusnak és igazságosnak tűnik, hiszen mindenki a képessége és vállalása szerint haladhat. Azonban egész osztályos megbeszélések nélkül ez inkább konzerválja sőt növeli a különbségeket. A jobbak tudását, ötleteit nem kamatoztathatja az osztály, ugyanakkor az ő szóbeli és metakognitív képességei sem fejlődhetnek optimálisan. Amit a tanulók maguktól megoldottak, felfedeztek, az valóban az övék, de ha nem tudnak beszámolni arról, hogyan gondolkodtak, nem indokolnak és érvelnek, nem hallják más gondolatait, módszereit, akkor ismereteik tartóssága kétséges, mert nem épül össze szervezett tudássá. Hibás gondolatmenet ellenére is lehet olykor helyes eredményre jutni, ez is rejtve maradhat. Hazánkban szerencsére ilyen extrém példával nem találkoztunk. Az elméleti megfontolások és a gyakorlati tapasztalatok alapján is az egyéni munka, azt követő közös megbeszéléssel munkaformát és módszert találtuk a leghatékonyabbnak. Az alkalmazás, alkalmazó ellenőrzés didaktikai feladatához természetes módon ez a módszer illik, ez a leghatékonyabb. Az egyéni feladatmegoldás a gyakorlás szakaszában biztosítja az egyéni írásbeli teljesítőképes tudás fejlődését, a célzott erős jártasság vagy az automatizált készség elérését. A közös megbeszélés a tanár részére (de a tanulók részére is) objektív információt nyújt az elért szintről, emellett felszínre kerülnek a különböző ötletek, megoldási módok, kérdések, de a hibák és téves fogalmak, elképzelések is. A tanulói beszámolók, indoklások, érvelések, cáfolatok mind hozzájárulnak az ismeretek elmélyítéséhez, a tisztázásokhoz, a szervezett, rendszeres tudáshoz. Ezzel alakulnak ki és fejlődnek a tanulók szóbeli és kommunikációs képességei, illetve a
matematikai szaknyelvük. A saját gondolkodás tükrözése (metakogníció) és a problémamegoldó stratégiák utólagos tudatosítása pedig a legmagasabbrendű matematikai nevelési céloknak felel meg. Az értékelés, dícséret, buzdítás szintén a megbeszélés során nyer helyet. A differenciálás egy természetes módja a következő: Tervezünk egy alap-feladatsort, aminek megoldására és közös megbeszélésére becslésünk szerint sor kerül vagy ha mégis több idő megy el a tervezettnél, akkor az utolsó (1-2) feladatot házi feladatnak adjuk. Tervezünk emellett néhány nagyobb ötletet, de kevés számítást igénylő motiváló szorgalmi (plusz) feladatot, amelyekkel az foglalkozhat (például külön lapra dolgozva), aki az éppen aktuális feladatot már megoldotta, de a megbeszélése még nem kezdődött el. Ezeket a „csemegéket” kiadhatjuk a feladatlapon az alap-feladatsor végén (vagy a túloldalon), külön kis feladatkártyán, kistáblán, transzparensen, nagytáblára előre (pl. szünetben) megírva. Óra végén begyűjtjük a szorgalmikat és javítva, útmutató értékeléssel következő órán (vagy hamarabb más módon) visszaadjuk. Ha van idő, akkor az egész osztálynak is bemutatjuk a megoldást vagy ötletét. Még jobb, ha az adott óra vége előtt hagyunk néhány percet a feladatok megbeszélésére vagy legalább az ötlet megmutatására. Kikötés tehát, hogy az egész osztálynak szánt feladatokat is megoldja és részt vegyen azok frontális megbeszélésében is. Ilyen módon nem a tanár sorolja be a tanulókat nívócsoportokba, hanem természetes módon választódnak ki a gyorsabb vagy ötletesebb gyermekek. Ha olyan gyermek is érdemben foglalkozott szorgalmival, akiről nem feltételeztük, akkor hangsúlyozottan dícsérjük meg, buzdítsuk további erőfeszítésre. Egy másik természetes differenciálási lehetőség, hogy pl. a 3. feladat a, b, c, d, e alkérdése közül az első hármat mindenkinek szánjuk 5 perc alatt, míg a nehezebb utolsó kettő szorgalmi ugyanabban az időkeretben. Emellett különböző erősségű házi feladatot is adhatunk. Jó megoldás az is, ha a tanulók választhatnak a házi feladatnak szánt példák közül, melyekhez pontszámokat is rendelhetünk (pontversenyt vezetve). Nagyon erős módszer, hogy minden problémára 100 pontot adunk összesen, úgy, hogy ha n tanuló oldotta meg, akkor mind 100/n pontot kap. Tehát ha egyetlen tanuló tudta megoldani, akkor ő 100 pontot kap, de ha öten oldották meg, akkor mindegyik 20 pontot kap. Mind az új ismeretek szerzését, mind a problémamegoldást meg lehet tervezni egyéni munka – közös megbeszélés módszerére. Ez gyakran még olyan tanárok számára sem nyilvánvaló, akik gyakorlásra egyébként rendszeresen és jól alkalmazzák azt. A „felfedeztetéses” tanításnak pedig ez a leghatékonyabb módszere. Igaz, nagyon gondosan, „megugorható” fokozatokra kell terveznünk, illetve állandóan készen kell állnunk tömeges nehézség esetén a frontális munkára való átváltásra. Lényege, hogy először a tanulók magukban próbálkozzanak, kísérletezzenek, gyűjtsenek tapasztalatot, vegyenek észre összefüggéseket, majd a megbeszélés során beszámoljanak ezekről. Tehát részegységekre bontjuk a folyamatot. Példa 1. Egész számok vagyonmodelles összeadása előtt (a modell megismerése után) kérhetjük a (–3) vagyoni helyzet különböző előállításait adósság és készpénz segítségével. Leállítás után több tanuló bemutatja előállításait modellel és szóban, majd megállapítjuk, hogy végtelen sokféleképpen állítható elő. Ezután önálló munkában kérjük, hogy jegyezzék le néhány előállításukat a füzetbe. Megbeszélésnél felkerül a táblára pl.: -3 = 5 + (-2) = (-8) + (+5) = -3 + 0 = -2 + (-4) + (+3) = .... Példa 2. Szöveges együttes munkára vonatkozó feladattal először találkozva, önálló munkában kérjük megoldási terv megalkotását. Körbejárva látjuk, hogy öt perc alatt három tanuló tett érdemi észrevételt, és közülük kettő jutott el egyenlet felírásáig. Leállítva a munkát, kérdezzük, ki hogyan gondolkodott, mit vett észre, mire jutott. Az egyik sikeres diák elmondja (táblára írja), hogy ha Zoli egyedül 3 óra alatt tudná lefesteni az egész kerítést, akkor az azt is jelenti, hogy óránként az 1/3-át tudja lefesteni (egyenletes munkavégzést feltételezve). Rögzítjük, hogy ezt Zoli munkavégzése sebességének, más szóval teljesítményének is mondhatjuk. Ezután újra önállóra adjuk a feladat megoldását, nagy reménnyel arra, hogy az osztály többsége így már megoldja a feladatot vagy legalább jó tervet ír fel. Megbeszéléskor rögzítjük a jó megoldási terveket (következtetéses vagy egyenletes tervek) és a helyes megoldást ellenőrzés után. Visszajelzésekkel győződünk meg arról, ki tudta megoldani, majd javíttatunk és értékelünk (dícsérünk). Az egyéni munka, azt követő közös megbeszéléssel munka- és szervezési forma fő mozzanatai: q A feladat kiadása pl. felolvasva, kivetítve, tankönyvi oldal és feladatszám felírásával. Vagy
q q q
q
q
q
q
q
szóban elmondva. Ekkor legyen egyértelmű, világos és tömör kérdés vagy utasítás zárja. A munka követése. Körbejárva figyelem a tanulók munkáját. Kisebb segítséget adhatok. A munka leállítása. Határozottan, pl. „Tedd le a tollat, figyelj a megbeszélésre (táblára, képernyőre)!” Egyes tanárok utasítása: „Fejezd be a munkát, piros ceruza a kézbe!” Tanulói beszámolók. A tanár nem reagál azonnal („Igen. Jó. Helyes. Ez nem így van. Hárooom?”), hanem kérdi az osztályt, pl. „Ki gondolkodott így/máshogy? Ki írta ezt/mást? Ki ért egyet? Ki mond mást?” A tanár modellel, táblai rajzzal, felírással (tanuló vagy maga által), előre elkészített transzparenssel biztosítja, hogy ne a levegőbe menjen a megbeszélés, magyarázat. Viszonylag könnyű feladat után a „Ki tudná nekem megmondani...” típusú modoros kérdés inkább elbizonytalanít. A „Mindenki egyetért? Mindenki érti?” típusú kérdések nem adnak objektív visszajelzést. Indoklás, vita. Magas szinten nevelt tanulók maguktól is indokolnak, egyébként pedig a tanár kér indoklást, pl. „Miből gondoltad? Miért?” „Miből követkzik ez?”. Ez a mozzanat időben nem válik el tisztán a beszámolóktól, csak a tudatosság érdekében vettük külön pontba. Apró visszajelző kérdések itt is helyénvalók. Vita kialakulásától ne féljünk, sőt, olykor provokáljuk éles kérdésekkel, mert az érvelés, cáfolat különösen erős fejlesztést tesz lehetővé. Igaz, ennek vezetése, megfelelő mederben tartása és folyamatos átlátása gyakran nem könnyű tanári feladat. Megegyezés a helyes megoldási terv(ek)ben, megoldásban, eredményben. Bemutatás. A tanár most már megerősíti a jó gondolatmeneteket, terv(ek)et, eredményt. Ha nem volt meg, bemutatja az előre elkészített megoldást vagy legrosszabb esetben felírja a táblára. Összefoglalja, kiemeli a lényeget. Visszajelzés az eredményességről. Például „Ki írta ezt/azt a tervet? Nyújtsa a kezét aki meg tudta oldani a feladatot! Ki kapta meg a helyes eredményt? Ki válaszolta meg az a), b), c) kérdést? Kinek volt hibátlan, 1 hibája, 2 hibája, stb. a hatból?” Vigyázat, a „Mindenkinek ennyi? Mindenki megoldotta?” típusú kérdés nem ad objektív visszajelzést, mert nem lehet a „levegőben röpködő” igeneket és nemeket szétválasztani, megszámlálni. Javíttatás. Például „Keresd meg a(z első) hibádat és húzd alá pirossal! Írd le a helyes megoldási tervet és az eredményt!” A részletes javítást, újra megoldást adhatjuk automatikus házi feladatnak is. Értékelés. Dícséret, jutalom (plusz pont, piros pont), buzdítás, ritkábban elmarasztalás, személyekre szólóan is. (De nyilván nem mindegyik gyermekre, arra nincs idő. Viszont legalább hetente kerüljön sor mindenkire! Csodálattal emlékszem Szabó Károly mérnöktanár úrra, aki mechanikából minden órán „végigzongorázta” az egész osztályt az addigi egész éves anyagból –percek alatt-, majd az óra anyaga után –akár új ismeret, akár gyakorlás volt- leosztályozott 8-10 tanulót a 36-ból. Mindig helyén volt az adott érdemjegy. Továbbá mindig mindenkire emlékezett név szerint és jellemzők, például az általa adott jegyek vagy a nem tudott dolgok szerint.)
Egyebek. Például további összefüggések észrevétele. Tanári kiegészítések, közlések. Közös továbbfejlesztés, általánosítás. Diszkusszió. Bizonyítás. A lényeg, problémamegoldó stratégia újbóli megerősítése. Ha ezek a mozzanatok általában, tendenciában érvényesülnek, az bizonnyal igen hatékony órákat eredményez. Egy típusfeladat begyakorlásának késői szakaszában a megbeszélés egészen tömör és rövid is lehet: egy gyors egyeztetés, visszajelzés, javíttatás, értékelő szavak és pontozás. De egy új probléma esetén hosszabb időt igényel, amit ne sajnáljunk, ha hasznosnak, tisztázónak, fejlesztőnek mutatkozik. q
A hatékonyságot egyébként -Kálmán Attila volt neves tatai matematikatanár nyomán- részben abból is megítélhetjük, hogy a mondjuk 30 tanuló az óra 45 percében mennyi időt foglalkozott valóban és intenzíven matematikával a 30 × 45 = 1350 percből. Nem a gőzgépek 10-20 %-os hatékonysága a kitűzendő cél, hanem a lehetetlen 100 %.
6. Matematikatanítási
kísérletek és programok hazánkban az elmúlt 4 évtizedben. Aktualitások
6.1. „Egyéni matematikatanulás osztályközösségben” (Forrainé – féle) kísérlet és program. A felső tagozatban a régi Számtan – Mértan tantárgyra és tantervére épített módszerbeli kísérlet az 1960-as évek végén indult és felmenő rendszerben az ideiglenes tanterv életbelépéséig (1974-78)
tartott. Lényege szerint egyéni munkára alapozott, feladatonként rövid közös megbeszéléssel -ami inkább eredmény-egyeztetés volt- a megadott pontozás szerinti önértékeléssel zárva. Óra végén a tanuló kiszámolta teljesítményét százalékban és rögzítette azt a tanár által kívánt formában (a füzet végén vagy pl. egy külön noteszban). Osztályonként a fenti című „tanári feladatgyűjtemények” alapján dolgozott a matematikatanár. A példatár órákra bontva feladatsorokat (mintegy tömör óravázlatokat) tartalmazott, megjelölve a minimálisan szükséges tanári közléseket és időzítésüket. Több helyen megjegyzés vagy ajánlás hívta fel a figyelmet a megbeszélés lényegi szempontjára. Mivel gyakran az akkor érvényben lévő Számtan-Mértan tankönyv vagy a hozzá készült Feladatgyűjtemény oldal- és feladatszámaira hivatkozott, így azok kivonásával gyakorlatilag a „példatár” is elveszítette az egyszerű használhatóság lehetőségét. Bár kísérletről beszéltünk, a valóságban 1970-től bárki bekapcsolódhatott a programba, jelentkezés nélkül is. Az iskolák, tanárok nagyobb része ezt tette. Eredménye változatos volt, kitűnő eredményektől kezdve a gyenge megvalósításig minden szintre akadt példa. A gyengébb alkalmazás oka lehetett a saját osztály képességének figyelmen kívül hagyása, a differenciálás szükségességének figyelmen kívül hagyása vagy a túl merev, formális tanári szűkszavúság (ha nem segített a tanár magyarázattal a lemaradóknak). A jó és sikeres tanárok adaptálták a módszert az osztályukra, bővítették a feladatsort erős osztályban, nem erőltették a javasolt feladatsor átverését sem gyengébb osztályban. Emellett valamilyen differenciált munkamódszert is alkalmaztak. Mai nézőpontból a kísérlet jelentősége abban áll, hogy először bizonyította be hazánkban: új ismeret szerzését önálló egyéni munkában is meg lehet valósítani, jól átgondolt, fokozatos feladatsor tervezésével. Ráirányította a figyelmet az önjavítás, önértékelés szerepére is. A mai matematikatanárok számára hasznos lehet ezeknek a példatáraknak a tanulmányozása, egyegy óra megtervezésénél, különösen amikor új ismeret feldolgozását önálló munkára tervezik. 6.2. „Komplex matematikatanítási” (Varga Tamás - féle vagy "OPI") kísérlet és program. A 70-es évek elejétől kezdve először az alsó tagozatban Varga Tanás és az Országos Pedagógiai Intézet (OPI) munkatársai vezetésével indult a kísérlet, amely 1974-től a felső tagozatban is felmenő rendszerben beindított „ideiglenes tantervhez” vezetett. Az alsó tagozatos „komplex matematikatanítási” koncepció mind tartalmi, mind módszertani újításokat hozott. A tantárgy neve innentől kezdve matematika lett, öt fő tárgykörben: Halmazok - Logika; Számok – Műveletek Algebra; Relációk – Függvények – Sorozatok; Geometria – Mérések és Kombinatorika – Valószínűség – Statisztika tárgykörökben. A módszerbeli újítás lényeges elemei: Minden órán mind az öt tárgykör szerepelt, ahol lehetett, ott összekapcsolva. A tananyag elrendezése spirálisan bővülő jellegű, ami azt jelenti, hogy sok témát korábban elkezdünk, majd a témák magasabb szinten többször visszatérnek. Az ismeretszerzés szinte mindig tárgyi-manipulációs kísérletekkel indult. Ekkortól használták a „színesrúd-készletet” vagy „Cusinaire-készletet”, a „Dienes-készletet”, a „logikai készletet”. A módszer többnyire „felfedeztető” illetve „vitamódszer” volt. Nagyban épített a tanulók ötleteire, sejtéseire, kreativitására és a vitára, érvelésre. A frontális interaktív közös munka dominált. Ekkortól irányult a figyelem olyan alapelvekre, mint a legjobb motiváltság elve, a próbálgatás elve, a tévedés szabadságának elve vagy a differenciálás elve. 6.3. Az 1974-es „Ideiglenes Tanterv” és az „1978-as tanterv” felsőtagozatos tankönyveinek jellemzése. A felső tagozatban hasonló szellemben és tárgykörökkel tanítottuk a matematikát 1974-től felmenő rendszerben az ideiglenes tanterv szerint, de nem szerepelt minden tárgykör minden órán. Megmaradt a spirális (korai kezdés után bővülően és magasabb szinten visszatérő) építkezés. A fogalmak, ismeretek hosszú érlelési, érési folyamatban alakulnak ki és rögzülnek. Az 5, 6. és 8. osztályos „ideiglenes” tankönyvek és az 5-8. osztályos munkalapok jól szerkesztett, könnyen használható anyagok voltak. A 7. osztályos tankönyv viszont egyes témák esetében nehéznek, absztraktnak bizonyult, például a reláció fogalma esetében. A Forrainé-féle módszerhez képest kisebb figyelem fordítódott az önálló és egyéni munkáltatásra, habár sok tanár törekedett saját pozitív tapasztalatai alapján annak érvényesítésére, átmentésére. Az 1978-tól első és ötödik osztályban felmenő rendszerben életbe léptetett „új tanterv” új
tankönyvcsaládot hozott, de az ideiglenes tanterv koncepcióját és tárgyköreit megtartotta. A felső tagozatos „színes tankönyvek” pozitív és negatív vonásai egyaránt megszívlelendők. A könyvek valóban színesek, vonzó rajzokkal, szemléletes ábrákkal. Igen sok elmés ötletet, ötletes feladatot tartalmaznak. A munkalapok esztétikusak, jól szerkesztettek és hasznosak voltak. Ugyanakkor több szerkesztési probléma miatt nehéz volt a tankönyv használata tanulónak és tanárnak egyaránt. Az ötödikes könyv írói megpróbálták a tankönyv útján is közvetíteni a vitamódszert a tanárok és a tanulók felé, azonban a túl terjedelmes és bonyolult párbeszédes részek inkább elriasztották a gyermekeket. Sokan elvesztették a fonalat ha végigolvasták ezeket a szakaszokat, mások pedig belekapva a szövegbe, téves véleményeket, fogalmakat rögzíthettek. Általában nehéz volt a tanulónak, tanárnak a megfelelő feladatok kiválasztása, mivel azok egy-egy nagyobb fejezet végén ömlesztve, a tagoltság és fokozatosság szempontjait gyakran figyelmen kívül hagyva szerepeltek. A gyengébb képességűeknek nem volt elég feladat. Túlzások is jellemezték a gyakorlatot, például a nem tízes alapú számrendszerekkel kapcsolatban, amiben a szülők sem tudtak gyermeküknek segíteni, és ez sok helyen tiltakozásokhoz is vezetett. Sok korosabb tanár nem tudott már megújulni, előfordult, hogy az újabb témákat nem is tanította. Gyakori volt, hogy a tankönyveket nem használták vagy csak a feladatokat vették belőlük. Ezek is okozhatták azt, hogy a 80-as évek közepére kiderült, míg a tanulók egy jelentős része addig elképzelhetetlen fejlődést mutatott, addig közel harmaduk egy vagy két évvel is elmaradt korosztálya szintjétől. Az előbbi reformkísérletek jelentősége a matematika tantárgy, azon belül az újabb, korszerű tárgykörök bevezetése, a vitamódszer és a szabadabb tanórai légkör propagálása, a tárgyi tevékenységre, kísérletezésre, felfedeztetésre és problémamegoldásra való alapozás. A mai matematikatanároknak is ajánljuk mindkét tankönyvcsaládot módszertani ötletei miatt, mintegy ötlet- és feladatbank gyanánt. Munkalapjait pedig mintaként saját munkalapok tervezéséhez. 6.4. ELTE Matematikai Szakmódszertani Csoport (Peller József - féle) kísérlete és programja. A kísérlet célja eredetileg a középiskolai (gimnáziumi) matematika tanterv és tanítás reformjára vonatkozott, de -nagyon helyesen- a megalapozás és simább átmenet érdekében az általános iskola felső tagozatára is kiterjedt. A kísérlet első szakasza 1972-ben indult 5. és 9. évfolyamon, második szakasza pedig 1977-től folyt. A felsőtagozatos kísérlet elsősorban módszertani reformot valósított meg, amennyiben főleg a régi Számtan-Mértan tantárgy anyagára és tankönyveire alapozott, de kisebb mértékben a tananyagot is korszerűsítette. Nagyobb hangsúlyt fektettek az algebra témakörre, az egyenes arányossági kapcsolatok kihasználására a valós függvények megalapozásában és a törtekkel, racionális számokkal végzett műveletek szemléletessé tételében (párhuzamos egyenespárokkal), a geometriai transzformációk, különösen a hasonlóság átgondoltabb tanítására és a kombinatorika elemeinek bevezetésére. Mindezt azonban az életkornak megfelelő természetes módon tették. A program módszertani koncepciója a részben közös munkában, részben önálló munkában történő új ismeretszerzést és az önálló munka – közös megbeszélés munkaformára építő alkalmazást, gyakorlást helyezte a középpontba. Az 1971-től kezdve kéziratban megjelent sorozat a számtan-mértan tantárgy anyagának új elemekkel kiegészített didaktikai megoldásrendszerét tartalmazta. Ennek a szakasznak a tapasztalataira építve 1977-től évfolyamonként 2-2 kötetben jelent meg az átdolgozott, kibővített anyag. A sorozat címe és alcíme is jelzi a kísérlet lényegét: A Matematikaoktatás tartalmának és módszerének korszerűsítése (I-VIII.) Kísérlettel megalapozott didaktikai megoldásrendszer. Ez a sorozat tanári kézikönyv és feladat-rendszer egyben, minden téma elején elméleti-didaktikai megalapozással, majd a tanítási-tanulási folyamat leírásával, a javasolt feladatokkal. Témazáró felmérésekkel és értékelési módjukkal is segítették az egységes munkát. A középiskolai kísérlet második szakasza már felhasználta a felsőtagozatos kísérlet első szakaszának eredményeit. A középiskolai anyag 1980-tól kezdve megjelent Peller Józseftől a Tankönyvkiadó gondozásában egy tanári kézikönyv-sorozatban, melynek felcíme: A tanulók matematikai tevékenységének tervezése és irányítása a középiskolában. Például első kötetének
címe: Ponthalmazok, Számhalmazok, Polinomok, Függvények, Algebra. Alcíme: Kísérlettel megalapozott didaktikai megoldásrendszer. Mindkét kísérlet gondosan tervezett és korrekt módon dokumentált. Eredményei meggyőzőek voltak. Sajnálatosan, mivel abban az időben egyetlen tanterv és egyetlen tankönyvcsalád használatát engedélyezte a kormányzat mindegyik iskolafokozatban (kivéve a külön engedélyezett kísérleteket illetve a “kiegészítő tantervű” tagozatokat), az 1974-től bevezetett új tanterv, majd az 1978-as tanterv megakadályozta eredményeik országos elterjedését. Az “OPI-kísérlet” kapott zöld utat, így mind a Forrainé-féle kísérlet, mind a Peller-féle kísérlet abbamaradt. Mai szemmel, utólag azt mondhatjuk, hogy valószínűleg szerencsésebb lett volna a három kísérlet kidolgozóit egy csapatba összefogni és egy közös koncepciót, programot kidolgoztatni. Mind a három kötet-sorozat tanulmányozása ajánlható a mai matematikatanárnak egy-egy témakör tervezése előtt, elsősorban a jól kimunkált elméleti megalapozás és a tanulás irányítása szempontjából, illetve ötlet- és feladatbankként. Ugyancsak hasznos a jelzett “tagozatos”, kiegészítő tantervi tankönyvek tanulmányozása.
6.5. „Feladatrendszeres" (Hajdu Sándor, Czeglédy István - féle) kísérlet és program. Az 1980-as évek elejére kiderült, hogy az 1974-es majd 1978-as felsőtagozatos tantervnek és tankönyvcsaládnak vitathatatlan eredményei mellett egyre nagyobb hiányosságai vannak. A tanulók egy része, hozzávetőleg a negyede, addig elképzelhetetlen fejlődést mutatott, de egy másik harmada nagyon lemaradt, 2 évvel is elmaradt saját korosztályától. Az egyébként ötletes “színes tankönyvek” szerkesztési, használati problémái és a közepes illetve alacsonyabb képességű gyermekek igényeire való kisebb odafigyelés miatt egyre sürgetőbbé vált jobb arányérzékkel szerkesztett és a differenciálásra is jobban figyelő tankönyvek, feladatrendszerek összeállítása. Egy ilyen tankönyvcsalád előkészítésére vállalkozott a “Feladatrendszeres” kísérlet. Koncepciójában megőrizte az 1970-es évektől megindult reformok előnyös didaktikai alalpelveit és módszereit, de igyekezett elhagyni azok hátrányait és túlzásait. A kísérlet alapos előkészítés után indult, menet közben pedig a Peller-féle kísérlethez hasonló gondosságú formatív tesztelést és dokumentációt alkalmazott. Figyelembe vették mind a tanulói képességek szórását, mind a matematikatanárok igényét a mintapéldák és a feladatok mennyisége és minősége tekintetében. Ez a kísérlet vezetett a Hajdu Sándor alkotószerkesztő és szerzőtársai tankönyvcsaládjához, amelynek több átdolgozására sor került azóta, egyrészt a matematikaórák számának többszöri csökkentése, így a tanterv többszöri változtatása (főleg csökkentése) miatt, másrészt a tapasztalatok és a korszerűsítési igények érvényesítése céljából. Habár 1990 óta hazánkban különböző tankönyvcsaládok és programok is használhatók és meg is jelent azóta többféle, a felső tagozatban túlnyomórészt a Hajdu-féle tankönyvcsaládot használják. A tankönyvek beválását jelzi az is, hogy 2003-ban a 8. osztályos tankönyv tanulói tetszésdíjat nyert. A tankönyvcsalád kibővült alsó tagozatos 1-4., illetve középiskolai 9-12. osztályos tankönyvekkel is.
7. A magyar matematikatanítás helyzete
7.1. A Nemzeti Alaptanterv (NAT) bevezetésének hatása Az 1990-es évek több tantervi kezdeményezése és vitája után életbe lépett a Nemzeti Alaptanterv (NAT), amely ma is érvényben van. Ennek matematika tantárgyi része több szempontból visszalépést jelentett a megelőző 1978-as illetve az 1987-ben módosított matematika tantervhez képest. Egyrészt az általános iskolai matematika óraszámok csökkentése miatt a tananyagban és a követelményekben is csökkentésekre került sor. Másrészt az évfolyamokra bontott felépítés helyett az 1-4. évfolyam, az 5-6., a 7-8. és a 9-10. évfolyamok összevontan jelennek meg, ami nem indokolható. Harmadrészt a követelmények még általánosabban fogalmazódnak meg benne, mint az előző tantervben. Negyedrészt szerkesztési problémák is előfordulnak, például kimaradt a követelmény megjelölése több fontos téma esetén, máshol követelményt találunk a tananyagból kifelejtett témában. Pozitívuma ugyanakkor az általános fejlesztési követelmények kidolgozottsága, bár az előző tanterv bevált általános módszertani alapelveinek és ajánlásainak beépítése csak részben történt meg.
E fejlesztési követelményeket leíró részben az 1-6. évfolyam és 7-10. évfolyam összevont kezelése mellett szólhat fejlődéslélektani érv (pl. hogy körülbelül 12 éves kortól kezd kialakulni az absztrakt, deduktív gondolkodás képessége -nagyon jelentős időbeli és szintbeli eltérésekkel), mégis, a (6+4+2)-es rendszer erős sugalmazása nem szerencsés. A tárgykörök módosítása időszerű volt: Gondolkodási módszerek; Számtan, algebra; Összefüggések, sorozatok, függvények; Geometria, mérés; Valószínűség, statisztika. A spirális szerkezet általános iskolában megmaradt, megtartva több témában a viszonylag korai kezdés – hosszú érlelés koncepcióját. A tananyag az 1987-es módosított tantervhez képest kis mértékben tovább szűkült illetve fölfelé tolódott. Megoldatlan maradt viszont az a hagyományos probléma, hogy több témában 8. után egy-három év is kimarad, mire újra jelentkezik az illető téma a tananyagban. A (középpontos) hasonlóság, a Pitagorasz-tétel és a négyzetgyök esetében egy év a kihagyás, de például a számtani és mértani sorozat vagy a testek felszíne, térfogata csak a 12. évfolyamon szerepel újra. A hat- és nyolcosztályos gimnáziumi helyi tantervek ettől a 7-8. illetve az 5-8. osztályban eltérhetnek, amire az utal, hogy az alkalmazott mintatantervek lényegében lineáris felépítést mutatnak, így azokban kevésbé jelentkeznek hasonló időbeli szakadások. Az általános iskolai több évtizedes tapasztalat alapján mi továbbra is a spirális építkezést javasoljuk, így a fenti problémát – különösen a négyosztályos középiskolába járó túlnyomó többség számára- továbbra is élőnek és megoldandónak tartjuk. Egy további probléma a „mindennapok matematikája” vagy másképp a gyakorlatorientált alkalmazóképes matematikai kompetencia és tudás korlátozott érvényesülése a tantervben. Bár az általános fejlesztési követelményekben ezt hangsúlyozza a NAT, a tananyag és a követelmények ezt nem tükrözik megfelelően. Példaképpen az adatkezelési, statisztikai, adatábrázolási témák kisebb súlyát vagy például a kódolási, optimalizálási, „szállítási”, (a kombinatorikán kívüli) diszkrét matematikai alkalmazások hiányát emeljük ki. Belátva ugyanakkor, hogy a csökkentett óraszámok mellett egy kompromisszumos megoldás nehezebben valósítható meg. Bár a NAT csak a helyi pedagógiai programok alapjául szolgáló minimumot írta le, mégis látszott, hogy a 4., 6., 8. és 10. évfolyam végére megfogalmazott követelmények megadják a lehetőséget az egyes iskoláknak, hogy ne tervezzenek e fölé, ami viszont magában hordja a lefelé nivellálódás veszélyét. A hagyományosan erősebb, többnyire nagyobb iskolák -a tanulói és szülői ambíciók nyomására is- a magasabb színvonal megtartásában vagy további emelésében érdekeltek, ugyanakkor –főleg a kisebb és hátrányos helyzetben lévő településeken- az eddig gyengébb iskolák színvonala tovább süllyedhet. A hazai monitor mérések azóta sajnos igazolták ennek bekövetkezését. A 10. évfolyam végére megfogalmazott minimális előírás egyébként azért is alacsonyabb szintű, mert minden középiskola első két évfolyamára vonatkozik, tehát a gimnázium és szakközépiskola mellett a szakképző és szakiskolákra is. 7.2. A matematika kerettanterv A Nemzeti alaptanterv érvénye mellett 2001-től az 1., 5. és 9. évfolyamon bevezették a kerettanterv alkalmazását. Ez a tanterv újra évfolyamokra bonva, részletesebben írja le a tananyagot és a követelményeket. A 9. évfolyamtól kezdve külön fogalmazza meg a gimnázium és szakközépiskola 9-12. évfolyamának, illetve a szakképző iskola 9-10. évfolyamának a tantervét. Több helyen pótolja a NAT konkrét taxatív hiányosságait. Előírja az éves minimális óraszámokat, ami gyakorlatilag újabb csökkentést jelent. A 12 évfolyamban rendre 4-4-4-3, 4-3-3-3, 3-3-3-4 lett a minimális heti matematika óraszám. Ez az iskola pedagógiai programjában némileg növelhető, de általános iskolában –figyelemmel az összóraszám lecsökkentett maximumára- a gyakorlatban erre igen korlátozott a lehetőség. Az iskolák egy részében a matematika óraszámot növelik meg egyes (kritikus) évfolyamokban, de máshol inkább más tantárgyakét. A kerettanterv bevezetése után is megmaradt az alacsonyabb színtű tananyag és követelmények mellett való helyi iskolai döntés veszélye olyan iskolák esetében is, amelyek tanulóinak képességei ezt nem indokolnák, az általános iskolai spirális és a négyosztályos középiskolai lineáris tananyagfelépítés közötti ellentmondás, emiatt egyes fontos témákban a (már említett) időbeli elszakítottságok
problémája, a korszerű alkalmazási területek kisebb súlyozásának vagy hiányosságainak problémája, miközben a mindennapi gyakorlat, az aktív társadalmi élet (értően olvasó, elemző, saját véleményre és döntésre képes polgárok iránti igény) és a munka világa is sürgeti ezek erősebb iskolai érvényesítését. A kötelező óraszámok csökkentése az első hat évfolyamon azért is meglepő, mert nálunk fejlettebb gazdaságú országok egész sorában minden nap van matematika óra ebben a korosztályban. Igaz, egyes skandináv országokban igen alacsony, 3 óra hetente a kötelező, ami viszont meg is mutatkozott a 90-es évek nemzetközi matematikai felméréseinek eredményében. Hozzá kell még tennünk, hogy hazánkban alsó tagozatban általában napközisek a gyermekek, így délután még gyakorolhatnak matematikából. Ötödik osztálytól kezdve viszont rohamosan csökken a napközisek, tanulószobások száma. Az első osztályos heti 4 óra mellett a tagozatváltás szempontjából kritikus negyedik osztályban a heti 3 órára történt csökkentés, az ötödik osztályos heti 4 óra mellett pedig hatodik osztályban a heti 3 órára történt csökkentést tartjuk különösen veszélyesnek az iskolai matematikatanulás színvonalára. Általában is, csökkentett óraszámok mellett nyilván kisebb a valószínűsége annak, hogy az átlagszínvonal évtizedek óta csökkenő tendenciája megálljon és emelkedőre fordulhasson. 7.3. A hazai matematikatanítás mai helyzetének néhány jellemzője Az iskolafokozatok és a különböző iskolatípusok azonos és eltérő problémákkal is szembe kell, hogy nézzenek a matematika tantárgyban. Közös probléma a gyermekek, tanulók értő olvasási képességének átlagos hanyatlása. Ez ugyanis (bár elsősorban nem matematikatanítási hiányosság) akadálya a matematikai jellegű szövegek értő olvasásának is –beleértve a definíciók, fogalmak, tulajdonságok, tételek olvasás általi megértését is, de a feladatok, problémák szövegből való megértését éppúgy, mint a szöveges utasításokét és kérdésekét. Meg kell mondanunk, hogy az iskola és benne főképp a magyar tanítás csak részben okolható a problémáért, hiszen a televízió és újabban a számítógép elvonja a fiatalok nagy részét a hagyományos könyvolvasástól, benne a szó- és kifejezéskincset gazdagító szépirodalomtól. Hasonló probléma a (mindennapi életből, újságokból vett, TV-ben látott) táblázatok, menetrendek, ábrák, grafikonok értelmezésének, elemzésének, használatának a gyengesége. Ez már a matematikatanításunk gyengesége is, de nem kizárólagosan. Hasonló mondható az írásbeli és szóbeli nyelvi kommunikációs készség gyengülése tekintetében. Hazai és nemzetközi mérések, de óralátogatások és órafelvételek tapasztalatai is megerősítik, hogy az alsó tagozat matematikatanítási átlagos színvonala (kisebb periódusoktól eltekintve) kivételesen nem hanyatlott az utóbbi húsz évben. Ennek okait a hazai óvóképzés és tanítóképzés magas pedagógiai-pszichológiai, tantárgypedagógiai és tanítási gyakorlati képzési színvonalában, az óvoda iskolára való előkészítő tevékenységének magas színvonalában és a tanítók gazdag módszertani kultúrájában látjuk. Az iskola hatása, a tanító példája a gyermek fejlődésére itt még erősebben érvényesül, életkori sajátosságból is. Az olvasási készség, benne az értő olvasási képesség, valamint a kommunikációs készségek az iskolában itt még megfelelően fejlődnek, a problémák inkább azoknál a gyermekeknél adódnak, akiknél otthon kevesebb olvasásra, beszélgetésre nyílik lehetőség vagy a szülők maguk nem adnak megfelelő pozitív mintát. Az iskola erőfeszítései ellenére az ebben a korban bekövetkező lemaradás általában később is fennmarad, sőt tovább fokozódhat. A felsőtagozatba lépés egyik nehézsége a gyermekek számára a szaktanári rendszerre való átállás. Gyakori probléma, hogy egyes matematikatanárok adottnak gondolják a jegyzetelés képességét, pedig ötödik osztályban ezt külön tanítani és fejleszteni kell. Az is gondot okozhat, ha olyan ismeretet, algoritmust vagy olyan követelménnyel kérünk számon, ami tanterv szerint sem, de például életkori sajátosság miatt sem indokolt. A tanári magyarázat, közlés, a használt nyelvezet szintje is idomuljon a gyermekek életkorához és ismereteihez. Tapasztalataink szerint a felső tagozatban a matematikatanárok elméletileg rendelkeznek az alapelvek ismeretével, a módszerekre, munkaformákra való pedagógiai-pszichológiai ismeret- és érvrendszerrel, a gyakorlatban azonban az alsótagozatosnál kevésbé gazdag és változatos az alkalmazott módszertani arzenál. Hetedik osztálytól általában már elengedhetetlen a differenciálás valamilyen formája. Ennek a tananyag vagy feladatanyag differenciálása mellett főleg a követelménybeli differenciálás a kerete.
A differenciálás természetes szervezési megoldásairól már szót ejtettünk korábban. A NAT és a kerettanterv szerint későbbre áthelyezett témák egy-egy része -alapos megfontolás után, többnyire emelt szintű osztályban- a helyi tantervben „visszahozható” követelmény nélkül, mint azt a Hajdu-féle tankönyekben több esetben láthatjuk. Egy másik ügyes módja ennek az, amikor csak feladatszituációban szerepeltetjük a témát, megadva a lehetőséget a gondolkodás beindulására vagy az összefüggés –önkéntes vagy spontán- megjegyzésére. A tantervben kisebb hangsúllyal szereplő vagy hiányzó, de egyébként hasznos, fontos témák is behozhatók követelmény nélkül, feladatszituáció keretében (például a jelzett statisztikai, diszkrét matematikai témák). Ezekre még minimális óraszám esetén is van némi lehetőség, ha a sablonos drill-szerű gyakorlást csökkentjük és a kis lépések elvén alapuló fokozatos problémamegoldás keretébe építjük be az „új” ismereteket. Megoldható például ötödik osztályban adott tulajdonságú ponthalmazok keresése; hatodik osztályban az arányos osztás, a fordított arányosság pl. azonos területű téglalapok oldalai között; a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös keresése konkrét esetekben; tengelyes tükrözési illetve tengelyesen szimmetrikus alakzatokkal kapcsolatos szerkesztések; nyolcadik osztályban a hasonlóság előkészítése konkrét „kísérletezés”, feladatok útján; forgatás síkon; Gúla térfogata, kúp és gömb térfogata és felszíne feladatszituációban úgy, hogy megadjuk a képletet bizonyítás nélkül, tehát „csak” behelyettesítési értéket számíttatunk ki, ami tantervi követelmény; vektorok vagy irányított szakaszok ellentettje, számszorosa, számolás koordinátákkal; kilencedik osztályban néhány feladatban Pitagorasz tétel alkalmazása; kilenc-tizenegyedik osztályban néhány feladat számtani, mértani sorozatokkal kapcsolatban, illetve térfogat és felszínszámítás az általános iskolában tanult esetekben, továbbá a gúla, kúp gömb esetén a képlet megadásával (felszínen tartás); újszerű vagy hiányzó témákban (pl. gondolkodási módszerek tárgykörben vagy szakkörön) optimális úthálózat megkeresése; labirintusok; vonalkódok; „taxi-geometria”; 2x2-es mátrixok; szabályos háromszög illetve négyzet szimmetria-csoportja; egyéb statisztikai jellemzők, mint pl. minta terjedelme, „whisker and box”, alsó és felső 5%, stb. A közoktatási törvény, a tanterv és az óraszámok gyakori változtatása egyik iskolafokozatban sem kedvezett a matematikatanításnak. A gimnáziumi, szakközépiskolai átlagos teljesítményekre emellett negatívan hatott a központi matematika felvételi-érettségi vizsga elkerülésének lehetősége a középiskolából vitt pontok alapján. Az új kétszintű érettségi első évében kevés helyre volt szükséges az emelt szintű érettségi. Mindezek meglátszanak a matematikát igénylő főiskolai szakokra, de még az egyetemi szakokra járó hallgatók felkészültségében és képességeikben is. Ha az emelt szintű matematika érettségit kényszerülnek többen választani, talán jóra fordulhat a rossz tendencia. A gimnáziumba és szakközépiskolába járó tanulók részaránya fokozatosan emelkedik a szakképző iskolák rovására. Ez egyik oldalról természetes, de nyilván együttjár az átlagos képesség- és teljesítményszint esésével. Más oldalról viszont azt tapasztaljuk, hogy a matematikatanítás egyébként is kevésbé hatékony átlagosan. A tanárok módszertani kultúrája vagy legalábbis gyakorlata nem olyan gazdag, mint az alsóbb iskolafokozatokban. Tapasztaljuk a főiskolára érkező hallgatóknál, hogy sokuk a jó vagy jeles középiskolai érdemjegy mellett komoly hiányosságokkal küszködik. Gyakran alapvető összefüggésekre, definíciókra, tételekre, nevezetes adatokra nem emlékeznek; nem találják az összefüggéseket a „függvénytáblázatban” vagy nem tudják mit is, hol is keressenek vagy nem tudják, hogy van benne az adott problémához összefüggés. Sokuknál nincsenek kialakulva kellőképpen az írásbeli teljesítőképes tudáshoz szükséges jártasságok, készségek, például egyenletmegoldásban, algebrai, gyökös, exponenciális, logaritmikus átalakításokban. A tanítás gyengébb hatékonyságának legfőbb okát abban tapasztaltuk, hogy a gyakorlás szakaszában kevés az egyéni munka – azt követő közös megbeszélés munkaforma és módszer alkalmazása. A szakképző középiskolák legnagyobb problémája matematika tantárgyból az oda jelentkező tanulók átlagos képességeinek és tudásának fokozott gyengesége.
Irodalom 1. Peller József (1970): A számfogalom fejlesztésének szintjei az oktatási gyakorlatban. Tankönyvkiadó, Budapest 2. Kárteszi Ferenc (1976): A matematikai gondolkodás fejlesztéséről a pszichológia szempontjából tekintve. ELTE Szakmódszertani Közlemények IX., Budapest 3. Hajdu Sándor (1982): Az értelmi cselekvések elemzésének egy modellje a matematika-oktatásban. A Matematika Tanítása, 1982/ 3 4. Ambrus András (1987): Matematikatanítási irányzatok Kárteszi professzor kommentárjaival I-II. A Matematika Tanítása, 1987/ 1-2 5. Sümegi László (1988): Tanítási módok, eljárások, ötletek a matematikában. KLTE jegyzet, Tankönyvkiadó, Bp. 6. Szalontai Tibor (1988): Pszichológiai tanuláselméletek és a matematika tanításának kapcsolatáról. Acta Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis 11/C, p.115-126, Bessenyei Kiadó 7. Ambrus András (szerkesztő)(1989): Matematikadidaktikai tanulmányok. Szemelvénygyűjtemény a matematika tanításához, ELTE jegyzet, Tankönyvkiadó, Budapest 8. Általános iskolások tudásszintje. (1996) Fizikai Szemle, 1996/11 9. Szalontai Tibor (1998): A Nemzeti Alaptanterv matematika fejezetéről, vázlatosan. Pedagógiai Műhely, 1998/ 4, Nyíregyháza 10. Jelentés a magyar közoktatásról (1997, 1999, 2001, 2003, 2005) www.oki.hu , www.om.hu 11. TIMSS www.msu.edu/cdata.htm 12. Kassel Project / Year 3 progress report www.cimt.org.uk 13. Burghes, D.N. (2000): Mathematics Enhancement Programme / The First Three Years www.cimt.org.uk 14. International Journal for Mathematics Teaching and Learning (IJMTL) www.cimt.org.uk 15. Web Mathematics Interactive 1.0.1 wmi.sf.net wmi.math.u-szeged.hu/wmi/livecd 16. www.komal.elte.hu www.sulinet.hu/komal 17. www.gcschool.org/abacus.html 18. www.oecd.pisa.org 19. Burghes, D.N. (szerk) (2004): Teacher Training – An International Overwiew Series of International Monographs on Mathematics Teaching Worldwide, Monograph 2 Műszaki Könyvkiadó (a WoltersKluwer company), University of Exeter, CIMT, Budapest 2004 20. Burghes, D.N. (szerk) (2004): Kassel Project – Final report Series of International Monographs on Mathematics Teaching Worldwide, Monograph 3 Műszaki Könyvkiadó (a WoltersKluwer company), University of Exeter, CIMT, Budapest 2004 21. Burghes, D. N. (szerk) (2004): International Project on Mathematical Attainment – Report Series of International Monographs on Mathematics Teaching Worldwide, Monograph 4 Műszaki Könyvkiadó (a WoltersKluwer company), University of Exeter, CIMT, Budapest 2004 22. www.ncetm.org.uk
