4. előadás: kontinuitás, Bernoulli
A diák alsó 45%-a általában üres, mert vetítéskor ki van takarva, hogy a táblát ne zavarja
Térfogatáram dV IV = dt
m3 s
IV =
dV A ⋅ vdt = = A⋅v dt dt
Háztartási átfolyó vízmelegítő térfogatárama (12 l/p, ½ col): d 2π 1,5 2 ⋅10 −4 ⋅ 3,14 A= = = 1,77 cm 2 4 4
3 liter dl −3 m 12 = 0,2 ⋅ 10 =2 perc s s −4 I 2 ⋅10 m v= V = = 1 , 13 A 1,77 ⋅10 − 4 s
7,2l 140 km ml ⋅ = 2,8 ~ 18 s/50ml 100 km 3600 s s 6 3 3 0 , 7 ⋅ 600 ⋅ 10 m m 2 Balaton feltöltése 70cm-rel (felülete 600 km , 1 év alatt): = 13 365 ⋅ 24 ⋅ 3600s s A Duna vízhozama (szélessége Lánchídnál 350m, átl. seb. 1,0 m/s): 2350 m³/s
Autó fogyasztása (7,2 liter/100km, v:=140 km/óra):
Duna szélessége Lánchídnál 350 m vízszint: LKV=51cm, LNV2013=891cm átlagos vízhozama: átlagos sebessége (Pallas):
2350 m³/s 0,8 m/s
kisvízkor (80cm): keresztmetszet (Pallas): sebessége:
600 m³/s 1672 m2 0,5 m/s
2013. július 9. (891 cm): keresztmetszet (Pallas): sebessége:
9500 m³/s 4353 m2 2,5 m/s
Amazonas:
280 000 m³/s
Mekkora sebességgel úszik a dinnyehéj?
IV, m3/s 2350 600 9500
A, m2 v = IV / A 3012 0,78 1672 0,36 4353 2,18
Gellért-hegy, parttól, 30-40 méterre Ínség-szikla: kb 100cm-nél bukkan ki
A felmérések szerint egy átlagos ember 1500 km-t gyalogol évente. Egy másik felmérés szerint 90 liter alkoholt iszik meg évente. Ezek szerint egy átlagos ember 6 litert fogyaszt százon.
Térfogatáram mérése iparos módra
Tömegáram Im =
kg s
dm dt
Im =
d ( ρV ) = ρ ⋅ A⋅v dt
I m = ρ ⋅ IV
Háztartási átfolyó vízmelegítő térfogatárama és tömegárama: 3 liter dl −3 m 12 = 0,2 ⋅ 10 =2 perc s s
3 kg kg −3 m 10 3 ⋅ 0,2 ⋅10 = 0, 2 m s s 3
Klíma légárama: háztartási ipari
m3 liter 600 = 10 óra perc m3 m3 3600 =1 óra s
à à
kg perc kg tonna 1,29 = 4,644 s óra 12,9
Térfogatáram és tömegáram csőben dt idő alatt megtett távolság: dx = v ⋅ dt dt idő alatt a térfogat:
dV = A ⋅ v ⋅ dt
térfogatáram:
IV ≡
dV = A⋅v dt
dt idő alatt a tömeg:
dm = ρ ⋅ A ⋅ v ⋅ dt
tömegáram:
Im ≡
dm = ρ ⋅ A⋅v dt
Tömegmegmaradás: folytonossági tétel, kontinuitás-egyenlet keskeny áramcsőben stacionárius
m& = 0
összenyomhatatlan közegre:
I m1 = I m 2
à
ρ1 ⋅ A1 ⋅ v1 = ρ 2 ⋅ A2 ⋅ v2
ρ1 = ρ 2
à
A1 ⋅ v1 = A2 ⋅ v2
Folytonossági tétel vs Útszűkület
Részecskék nem félnek az ütközéstől, nem kíváncsiak és jobban gyorsulnak? J
Bernoulli: mechanikai energia megmaradása áramcsőben dt idő alatt
dW = F ⋅ dx = pA ⋅ vdt = p ⋅ dV
stacioner (dV1 = dV2):
dW = p1dV − p2 dV
munka = energiavált:
áramfonalra stacioner esetben:
1 2 1 2 v2 − v1 ) 2 2 dm 1 1 p1 − p 2 = ⋅ ( gh2 − gh1 + v22 − v12 ) dV 2 2 dE = dm ⋅ ( gh2 − gh1 +
p1 + ρgh1 +
1 2 1 ρv1 = p 2 + ρgh2 + ρv22 2 2
nyomás + fajlagos helyzeti + fajlagos mozgási = áll.
Daniel Bernoulli (1700-1782): 1738
Bernoulli magyarázat az előzményekre ρgh =
Torricelli: 1646
1 2 ρv 2
p1 = p0 +
kontrakciós tényező
1 2 ρv 2
Bunsen (1811-1899)
Hidrodinamikai paradoxon:
Hol nagyobb a nyomás?
A1 ⋅ v1 = A2 ⋅ v2
szűkületben a sebesség nő: vízszintes csőre:
p1 +
1 2 1 ρv1 = p 2 + ρv 22 2 2
Pascal nyomása mozgó közeg esetén csökken: nagy sebesség – kis nyomás
Hidrodinamikai paradoxon: nagy sebesség – kis nyomás
p1 +
1 2 1 ρv1 = p 2 + ρv 22 2 2
p1 +
1 2 1 ρv1 = p 2 + ρv 22 2 2
Hidrodinamikai paradoxon példái
porlasztó, parfüm-szóró
hurrikán
p1 +
1 2 1 ρv1 = p 2 + ρv 22 2 2
porszívó
További példák
Bunsen-égő
p1 +
1 2 1 ρv1 = p 2 + ρv 22 2 2
Magnus-effektus: áramfonalak sűrűségével fordítottan
Magnus-effektus
p1 +
1 2 1 ρv1 = p 2 + ρv 22 2 2
Szünetben: Öveges áramlástani kísérletei (youtube.com)
Áramtér (vektortér) leírása Divergencia: idő- és térfogategységben mennyi térfogat lép ki Gauss-Osztrogradszkij: v ⋅ dA = div v ⋅ dV
∫
∫
A
V
Rotáció vektor: arányos a forgási szögsebességgel (örvényesség) Gradiens vektor: intenzív hely szerint változása ∂ρ
tömegmegmarad à folytonossági ∫ ∂t V
Euler-mozgásegyenlet à Bernoulli
∂ ∂ ∂ , , ] : nabla _ operátor ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v y ∂v z div v = ∇ ⋅ v = x + + ∂x ∂y ∂z ∂v z ∂v y − i j k ∂ y ∂z ∂ ∂ ∂ ∂v x ∂v z rot v = ∇ × v = = − ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x v x v y v z ∂v y ∂v x − ∂x ∂y ∂p ∂p ∂p gradp = ∇p = , , ∂x ∂y ∂z ∇ =[
dV = − ∫ ρ v ⋅ dA = − ∫ div (ρ v) ⋅ dV A
V
∂ρ + div( ρ v) = 0 ∂t
dv 1 = g − ⋅ gradp dt ρ
ρv ⋅ A = áll v2 p + + gh = áll 2 ρ
Kapcsolódó mérések: sebesség nyomásszonda,
Pitot-cső,
Prandtl-cső
Kapcsolódó mérések: Venturi cső
Térfogatáram mérése
Torlócsöves áramlásmérés (a), Venturi-cső (b),
mérőperem sémája és kialakítása (c)
Példa1: Venturi levezetés hidrosztatikai nyomás: ∆p = p1 − p 2 = ρ foly gh
folytonossági tétel: A1v1 = A2 v 2
Bernoulli p1 +
1 2 1 ρv1 = p 2 + ρv22 2 2
2
d A v 2 = 1 v1 = 1 v1 A2 d2
∆p =
1 ρ (v22 − v12 ) 2
megoldás: 4
4
1 d 1 d ∆p = ρ ( 1 v12 − v12 ) = ρ ( 1 − 1)v12 2 d2 2 d2
v1 =
2 ⋅ ρ foly gh 4
d ρ lev ( 1 − 1) d2
Összenyomható közeg:
340m/s= 1225 km/h= 1Mach RS-68 rakétamotor
Laval-fúvóka: sebesség, hőmérséklet, nyomás
Példa2: tartályból kiáramló folyadék 1 2 ∆ p + ρ gz = ρ ⋅ v B -> sebesség: 2
v( z ) = 2(
∆p + gz ) ρ
2 ⋅ ∆p + 2 gz ρ dz − IV ( z ) − α ⋅ A0 2 ⋅ ∆p = = ⋅ + 2 gz : diff.egy. dt Atartály At ρ
térfogatáram: IV ( z ) = A ⋅ v( z ) = α ⋅ A0 ⋅ süllyedés: ha Δp=0:
(szeparációs mo)
dz − α ⋅ A0 = ⋅ 2 gz dt At
α ⋅ A0 2 z −2 h = − ⋅ 2g ⋅ t At
α ⋅ A0 −1 / 2 z dz = − ∫h ∫0 At ⋅ 2 g ⋅ dt z
t
α ⋅ A0 z (t ) = h − ⋅ 2 g ⋅ t 2 ⋅ At
t
z
α ⋅ A0 z1 / 2 = − ⋅ 2 g 1 / 2 At h 0
2
z (t ) = 0
t=
At 2h ⋅ g α ⋅ A0
Példa3: vízsugár keresztmetszete Bernoulli:
1 1 2 ⋅ ρ ⋅ v12 + ρ ⋅ g ⋅ h = ⋅ ρ ⋅ v2 2 -> 2 ⋅ g ⋅ h = v2 − v12 2 2 Folytonossági:
4
2
d12 ⋅ v1 = d 2 2 ⋅ v2
d1 A1 -> v2 = ⋅ v1 = ⋅ v1 A2 d2
Megbecsülve az folyadéksugár átmérőit, számítható a sebesség és a térfogatáram: kisebb különbség = nagyobb sebesség
v1 =
d 2 ⋅ g ⋅ h = ( 1 − 1) ⋅ v12 d2
2⋅g ⋅h 4
d1 − 1 d 2
IV
d 12 π = ⋅ v1 4
d 1 = 9 ,65 mm h = 12 cm IV
cm = 31 s
d 2 = 5 mm 3
= 3,6
korsó perc
Köszönöm a figyelmet
