4 DIFERENSIAL Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum atau minimum fungsi. Kemudian, kaitan antara garis singgung kurva dan velositas atau kecepatan suatu benda bergerak ditemukan pada masa berikutnya sekitar tahun 1660 an oleh Sir Isaac Newton (1642-1727). Selanjutnya, Newton mengembangkan temuan ini menjadi teori uksi yang didasarkan ide intuitif dari limit; didalamnya muncul konsep diferensial dimana beberapa istilah dan notasi diciptakan. Pada pihak lain, secara terpisah Gottfried Leibniz (1646-1716) sekitar tahun 1680 menyelidiki bahwa luas daerah di bawah kurva dapat dihitung dengan membalik proses diferensial.
Teknik menarik Leibniz ini dapat memecahkan masalah yang sebelumnya
sangat sulit menjadi sangat mudah; merupakan pemicu ketertarikan bagi banyak matematikawan melakukan riset pengembangan dan dihasilkan teori koheren yang dewasa ini menjadi
kalkulus diferensial dan kalkulus integral.
Pada bab ini kita akan memahami teori diferensial dimana diasumsikan bahwa mahasiswa sudah memahami interprestasi sika dan geometris dari derivatif suatu fungsi. Diingatkan bahwa teori diferensial dan teori diferensial adalah dua topik yang konsepnya berbeda, namun keduanya dihubungkan oleh teorema fundamental kalkulus. Teori integral akan dipelajari pada bab berikutnya.
4.1 Pengertian derivatif Pada sub bab ini mahasiswa harus memahami beberapa pengetahuan dan keterampilan berikut : 1. Memahami de nisi derivatif fungsi di suatu titik. 2. Memahami maksud istilah derivatif dan diferensial. 3. Menentukan derivatif fungsi di suatu titik dengan menggunakan de nisi. 4. Memahami hubungan antara fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial. 5. Memahami dan membuktikan sifat-sifat aljabar derivatif. 6. Memahami aturan rantai sebagai aturan diferensial untuk fungsi komposisi 7. Membuktikan (teorema) aturan rantai 8. Menggunakan sifat-sifat derivatif dan aturan rantai untuk menentukan derivatif suatu fungsi.
1
4 DIFERENSIAL 9. Memahami teorema yang menghubungkan derivatif fungsi dan derivatif fungsi inversnya. 10. Mengkaji masalah-masalah kritis yang berkaitan dengan konsep diferensial, seperti a) fungsi yang kontinu di mana-mana tetapi tidak terdiferensial di mana-mana b) ketakberlakuan aturan rantai jika ada syarat pada hipotesis yang tidak dipenuhi. c) ketakberlakuan torema pada indikator 9 jika fungsinya tidak naik tegas d) dll Sungguh banyak tuntutan pengetahuan dan keterampilan yang harus dicapai oleh mahasiswa. Bayangkan, ini hanya untuk 1 sub pokok bahasan. Padahal kita masih akan mempelajari 3 sub pokok bahasan yang lebih luas lagi yaitu Teorema nilai rata-rata (TNR), aturan L'Hospital dan Teorema Taylor. Tidak ada pilihan kecuali wajib memenuhi tuntutan seperti ini, kecuali kalau nanti siap menjadi sarjana 'ecek-ecek'.
Hanya sistem
pembelajaran berpusat pada mahasiswa sajalah yang dimungkinkan dapat mencapai tuntutan seperti ini.
Mahasiswa yang pasif, hanya 'nrimo' dan pasrah pada nasib di-
pastikan tidak mungkin dapat 'eksis', akhirnya TERSINGKIR. Semangat dan motivasi mempunyai kekuatan luar biasa dalam mencapai sukses belajar, bukan kecerdasan.
De nisi 4.1. dikatakan berlaku
I ⊂ R suatu interval, dan f : I −→ R, c ∈ R. Bilangan real L derivatif f di titik c jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga f (x) − f (c) x ∈ I dimana 0 < |x − c| < δ −→ − L < ε. (4.1) x−c Misalkan
Dalam kasus ini dikatakan
Lihat kembali de nisi
f
terdiferensial di
limx→c g(x) = L,
c,
ditulis
f 0 (c) = L. (c) dalam g(x) := f (x)−f x−c f di c diberikan oleh
kemudian diambil
spresi (4.1). Dengan demikian dapat dikatakan, derivatif
f (x) − f (c) x→c x−c
f 0 (c) = lim
ek-
(4.2)
asalkan limit ini ada. Sebelum lanjut, pahami dulu maksud De nisi 4.1, pahami mengapa ekspresi (4.1) dapat ditulis ke dalam bentuk (4.2). Fungsi
f
dikatakan terdiferensial di
terdiferensial pada
I
c
f 0 (c) ada. Fungsi f dikatakan c ∈ I. Sampai di sini seharusnya
jika derivatifnya
jika ia terdiferensial di setiap
sudah jelas perbedaan istilah derivatif dan diferensial. Istilah 'turunan' adalah bentuk nasionalisasi istilah 'derivative'.
Contoh 4.1. R.
Perhatikan fungsi
f (x) := x2 , untuk x ∈ R.Misalkan c titik sebarang dalam
Diperoleh
f (x) − f (c) x2 − c2 = lim = lim (x + c) = 2c. x→c x→c x − c x→c x−c
f 0 (c) = lim
2
4 DIFERENSIAL Karena
f 0 (c) = 2c terde nisi untuk setiap c ∈ R maka diperoleh f 0 (x) = 2x untuk x ∈ R.
Dua sifat, kekontinuan dan keterdiferensialan ternyata memiliki hubungan implikasi seperti diungkapkan pada Teorema berikut.
Teorema 4.1.
I ⊂ R suatu interval, dan f : I −→ R, c ∈ R. Jika f terdiferensial di c maka f kontinu di c. Bukti.
Misalkan
Lihat kembali de nisi
x 6= c,
f
c
kontinu di
pada bab sebelumnya.
Untuk
x ∈ I
dan
dibentuk
f (x) − f (c) = Karena
f 0 (c)
f (x) − f (c) x−c
(x − c).
ada, kemudian dengan memasangkan limit pada kedua ruas per-
samaan ini dan gunakan sifat limit hasil kali fungsi maka diperoleh
f (c), yaitu f
kontinu di
c.
limx→c f (x) =
(lengkapi tahapan yang dihilangkan pada bukti ini)
Dengan teorema ini, dapatkah Anda menyimpulkan lebih luas mana, himpunan fungsi terdiferensial atau himpunan fungsi kontinu ? Teorema ini
|x|, x ∈ R.
tidak
→
mengatakan kontinu
Fungsi ini jelas kontinu di
Sekarang perhatikan untuk
0
Dengan mengambil limit satu sisi di
x→0−
Diperhatikan fungsi
0
(
1 −1
jika jika
x>0 x < 0.
maka diperoleh hasil sebagai berikut
f (x) − f (0) |x| = lim = −1 − x−0 x x→0
dan
lim
x→0+
f (x) − f (0) |x| = lim = +1. + x−0 x x→0
Karena kedua limit satu sisi tidak sama maka disimpulkan sehingga
f 0 (0)
f (x) :=
x 6= 0,diperoleh
f (x) − f (0) |x| = = x−0 x
lim
diferensial.
(lihat kembali bab kekontinuan semester lalu).
tidak ada. Jadi,
f
tidak terdiferensial di
Pahami dulu sajian dalam kotak di atas.
limx→0
f (x)−f (0) tidak ada x−0
0.
Berikut ini diberikan masalah kritis yang
berkaitan dengan kekontinuan dan keterdiferensialan.
Kritis 4.1.1.
Pada tahun 1872, Karl Weirestrass mende nisikan fungsi
deret takhingga berikut
f (x) :=
f
dalam bentuk
∞ X 1 cos(3n x). 2n
n=0
Ternyata fungsi ini kontinu di mana-mana tetapi tidak terdiferensial di mana-mana. Buktinya sangat sulit. Tapi bagi mahasiswa berjiwa peneliti/penemu akan mencari tahu bagaimana cara membuktikan fakta ini. Banyak sumber belajar yang dapat digunakan,
3
4 DIFERENSIAL 2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2 −3
−2
−1
0
1
2
3
Gambar 4.1: Gra k fungsi Weierstrass seperti informasi melalui buku cetak ataupun referensi elektronik pada jaringan internet. Untuk jumlah parsial
5
suku pertama (n
f (x) = cos x +
= 4)
fungsi ini berbentuk
1 1 1 1 cos 3x + cos 9x + cos 27x + cos 81x 2 4 8 16
dan gra knya diberikan sebagai berikut.
Sifat aljabar diferensial Teorema 4.2.
Misalkan I ⊂ R suatu interval, dan c ∈ R. Bila fungsi f : I −→ R dan g : I −→ R terdiferensial di c maka
a.
untuk sebarang
α ∈ R,
fungsi
(αf )
terdiferensial di
c,
dimana
(αf )0 (c) = αf (c) b.
fungsi jumlahan
f +g
terdiferensial di
c,
yaitu
(f + g)0 (c) = f 0 (c) + g 0 (c) c.
fungsi perkalian
fg
terdiferensial di
c,
fungsi hasil bagi
f /g
(4.4)
dimana
(f g)0 (c) = f 0 (c)g(c) + f (c)g 0 (c) d.
(4.3)
c asalkan g(c) 6= 0, dimana 0 f 0 (c)g(c) − f (c)g 0 (c) f (c) = . g (g(c))2
(4.5)
terdiferensial di
4
(4.6)
4 DIFERENSIAL Bukti.
Hanya diberikan outline bukti untuk bagian c, sedangkan yang lainnya sudah di-
tulis dengan jelas pada buku paket. Silahkan dipelajari sendiri! Ketidaklengkapan ini harusnya dijadikan sarana untuk belajar mandiri, kecuali orang-orang pemalas (bukan bodoh) yang bermental untuk
x 6= c
kuli dan pengemis.
Misalkan
p := f g,
maka
kita mempunyai bentuk berikut :
p(x) − p(c) x−c
= = =
f (x)g(x) − f (c)g(c) x−c f (x)g(x) − f (c)g(x) + f (c)g(x) − f (c)g(c) x−c f (x) − f (c) g(x) − g(c) · g(x) + f (c) · . x−c x−c
Perhatikan pada baris kedua, pembilang ditambah dengan suku
−f c)g(x)+f (c)g(x)
suatu kuantitas bernilai nol sehingga tidak merubah apa-apa.
Tujuannya agar
diperoleh bentuk pada de nisi diferensial seperti tampak pada baris berikutnya. Dengan menggunakan fakta
g
kontinu di
c
(mengapa ?), yaitu
limx→c g(x) = g(c),
dan fakta yang diketahui pada hipotesis teorema maka diperoleh
p(x) − p(c) = f 0 (c)g(c) + f (c)g 0 (c), x→c x−c lim
yaitu disimpulkan
p = fg
terdiferensial di
c.
Perjelas langkah-langkah yang masih bolong pada pembuktian ini, kemudian buktikan bagian lainnya yang belum disinggung.
f dan g . Sesungguhnya dapat dikemf1 , f2 , · · · , fn dengan menggunakan prinsip in-
Kalau pada teorema ini hanya terlibat dua fungsi bangkan untuk berhingga banyak fungsi
duksi matematika. Kita amati untuk sifat jumlahan fungsi terdiferensial berikut.
Corollary 1. dan
Jika fungsi f1 , f2 , · · · , fn terdiferensial di c ∈ I maka f1 + f2 + · · · + fn f1 f2 · · · fn terdiferensial di c, dimana
(f1 + f2 + · · · + fn )0 (c) = f10 (c) + f20 (c) + · · · + fn0 (c) 0
(f1 f2 · · · fn ) (c) =
f10 (c)f2 (c) · · · fn (c)
+
(4.7)
f1 (c)f20 (c) · · · fn (c)
+ · · · + f1 (c)f2 (c) · · · fn0 (c).
(4.8)
Suatu kejadian khusus pada sifat diferensial perkalian adalah bilamana
fn := f
maka berlaku
0
(f n ) (c) = n (f (c))n−1 f 0 (c).
Tunjukkan mengapa ? Lebih khusus lagi bila
g(x) :=
f1 = f2 = · · · =
f (x) = x,
(4.9) maka
f n (x) = xn .
Tulis saja
xn , maka diperoleh g 0 (x) = n (f (x))n−1 f 0 (x) = nxn−1 · 1 = nxn−1 .
5
(4.10)
4 DIFERENSIAL Fakta ini sudah Anda kenal dengan baik pada kalkulus, yaitu bila
y = xn
maka
y0 =
nxn−1 . Notasi lain yang digunakan untuk
f , yaitu f = f (x).
Notasi
f0
adalah
Df
dan
df dx bila
x variabel bebas pada fungsi
df dx dikenal dengan notasi Leibniz salah seorang founding father
kalkulus diferensial.
Aturan rantai (chain rule ) Ketika Anda di SMA atau pada kuliah kalkulus dasar tentunya tidak asing lagi proses menentukan turunan fungsi
y = sin
√
1 + x2
seperti berikut :
d p 1 + x2 · 1 + x2 dx p d 1 · = cos 1 + x2 · √ 1 + x2 2 1 + x2 dx p 1 = cos 1 + x2 · √ · 2x 2 1 + x2 p x · = cos 1 + x2 · √ 1 + x2
y 0 = cos
p
Semuanya paham prosedur tersebut di atas, ada yang kurang paham. Segeralah sadar dan insya ah!....Pertanyaannya, apa dasar Anda boleh melakukan langkah-langkah ini ? Bagaimana pembenarannya ? Pada bagian ini kita membahas turunan fungsi komposisi
g ◦ f.
Teorema 4.3.
[Aturan Rantai] Misalkan
I dan J interval pada R, dan misalkan g : I → R, f : J → R adalah fungsi-fungsi dimana f (J) ⊆ I , dan misalkan c ∈ J . Bila f terdiferensial di c dan g terdiferensial di f (c) maka fungsi komposisi g ◦ f terdiferensial di c, dimana (g ◦ f )0 (c) = g 0 (f (c)) · f 0 (c). (4.11) Bukti. Fakta yang diketahui pada teorema ini adalah di
c
dan
g
terdiferensial di
berikut
f (c). Tulis d := f (c) (
G(y) := Karena
g
disimpulkan
G◦f
juga
bila
y ∈ I, y 6= d,
bila
y = d.
g 0 (d) ada dan berlaku limy→d G(y) = g 0 (d) = G(d) G kontinu di d. Karena f kontinu di c dan f (J) ⊆ I maka kontinu di c (justi kasi !, mengapa?), sehingga berlaku
terdiferensial di
maka diperoleh bahwa
g(y)−g(d) y−d g 0 (d)
c ∈ J , f (J) ⊆ I , f terdiferensial G : I → R sebagai
dan dide nisikan
d,
yaitu
lim (G ◦ f )(x) = (G ◦ f )(c) = G(f (c)) = G(d) = lim G(y) = g 0 (d) = g 0 (f (c))
x→c
y→d
6
(4.12)
4 DIFERENSIAL ditulis
limx→c (G ◦ f )(x) = g 0 (f (c)).
Menurut de nisi fungsi
G
maka diperoleh
g(y) − g(d) = G(y)(y − d) untuk setiap
y ∈ I.
(Mengapa?). Jadi, untuk
x∈J
dan misalkan
y = f (x) maka berlaku
g ◦ f (x) − g ◦ f (c) = g (f (x)) − g (f (c)) = g(y) − g(d) = G(y)(y − d) = G (f (x)) (y − d) = G ◦ f (x)(f (x) − f (c)). Untuk
x 6= c, kita bagi kedua ruas persamaan yang baru diperoleh dengan x−c, diperoleh f (x) − f (c) g ◦ f (x) − g ◦ f (c) = G ◦ f (x) x−c x−c
Diambil limit mendekati
g ◦ f (x) − g ◦ f (c) x→c x−c lim
c
pada kedua ruas maka diperoleh,
f (x) − f (c) f (x) − f (c) = lim G ◦ f (x) · lim x→c x→c x→c x−c x−c 0 0 0 ↔ (f ◦ g) (c) = g (f (c)) · f (c). =
lim G ◦ f (x)
Pahami betul setiap langkah dan pembenaran pada bukti di atas!.
√ h(x) = sin 1 + x2 dapat dipandang sebagai komposisi fungsi h = g ◦ f dimana g(x) = sin x dan f (x) = √ √ 1 + x2 . Kemudian, fungsi f (x) = 1 + x2 suatu komposisi fungsi f = g1 ◦ f1 dimana √ g1 (x) = x dan f1 (x) = 1 + x2 . Untuk fungsi komposisi yang terdiri dari tiga fungsi
Contoh 4.2.
Pada ilustrasi awal sub pokok bahasan ini, fungsi
seperti ini, aturan rantai dapat diperumum sebagai
(g ◦ g1 ◦ f1 )0 (c) = g 0 (g1 ◦ f1 (c)) · g10 (f1 (c)) · f 0 (c). Cek kebenaran prosedur di atas dengan formula ini ! Contoh berikut adalah cara lain membuktikan turunan fungsi
f n := f f · · · f . | {z } n f aktor
Contoh 4.3. ny n−1 dan
fn
Misalkan
=g◦f
f :I→R
terdiferensial pada
I
dan
g(y) = y n .
Karena
g 0 (y) =
maka berdasarkan aturan rantai diperoleh
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x), yaitu
(f n )0 (x) = n (f (x))n−1 f 0 (x)
untuk setiap
x ∈ I.
Contoh berikut ini menentukan derivatif fungsi dengan menggunakan aturan rantai dan de nisi derivatif.
7
4 DIFERENSIAL
Contoh 4.4.
Misalkan fungsi
f
dide nisikan sebagai berikut
( x2 sin(1/x) f (x) := 0 Tentukan
x 6= 0 . bila x = 0 bila
f 0 (x)?
Penyelesaian.
Untuk
x 6= 0
kita dapat menggunakan aturan rantai bersamaan dengan
formula turunan hasil kali, yaitu diperoleh
f 0 (x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x), Untuk
untuk
x = 0 tidak ada aturan yang dapat digunakan.
x 6= 0.
Oleh karena itu dikembalikan
ke de nisi originalnya, yaitu
f (x) − f (0) x2 sin(1/x) = lim = lim x sin(1/x) = 0. x→0 x→0 x→0 x−0 x
f 0 (0) = lim
Langkah terakhir menggunakan hasil yang pernah dipelajari pada pokok bahasan
f terdiferensial pada R dengan ( 2x sin(1/x) − cos(1/x) bila x 6= 0 f 0 (x) := . 0 bila x = 0
limit, ingatkah?...lihat lagi. Jadi fungsi
Ingat nilai
0
pada derivatif
Diperhatikan bahwa fungsi
x=0
f
f0
(cabang bawah) tidak diperoleh dari
kontinu di
0 (mengapa ?), f tidak kontinu di
x=0 0.
tetapi fungsi
f0
derivatif
f (0) = 0.
tidak mempunyai limit di
Fungsi invers Pada bagian ini dibahas hubungan derivatif fungsi dan derivatif inversnya, seperti diungkapkan pada teorema berikut.
Teorema 4.4.
Misalkan
I ⊂ R suatu interval, dan f : I −→ R fungsi monoton tegas I . Bila J = f (I) dan g : J −→ R monoton tegas dan kontinu, invers fungsi f . Bila f terdiferensial di c ∈ I dan f 0 (c) 6= 0, maka g terdiferensial di d := f (c), dan kontinu pada dimana
g 0 (d) = Bukti.
Dapat dilihat pada buku teks.
1 f 0 (c)
=
1 f 0 (g(d))
.
(4.13)
Untuk sementara dilewatkan dulu memahami buktinya, tapi pahami dulu maksud teoremanya. Untuk memahami teorema ini, beberapa istilah: fungsi kontinu, monoton tegas, fungsi invers harus dipahami kembali.
8
4 DIFERENSIAL
Contoh 4.5.
n ∈ N, I := [0, ∞) dan misalkan f (x) = xn . Dengan mudah dapat dimengerti bahwa f monoton tegas dan kontinu pada I , sehingga inversnya ada 1/n untuk y ∈ J := [0, ∞) juga monoton tegas, kontinu. Diketahui pula yaitu g(y) = y 0 n−1 0 f (x) = nx untuk semua x ∈ I . Jadi berdasarkan hal ini, jika y > 0 maka g (y) ada, Misalkan
yaitu
1
g 0 (y) =
f 0 (g(y))
Akhirnya disimpulkan
=
1 1 1 . n−1 = n−1 = (n−1)/n ny n (g(y)) n y 1/n
g 0 (y) = n1 y (1/n)−1 , y > 0.
Soal-soal yang dipecahkan 1. Gunakan de nisi untuk menentukan derivatif fungsi berikut a)
f (x) := x3 , x ∈ R
b)
k(x) :=
√1 , x
Penyelesaian.
x>0
Untuk (a), ambil sebarang
f (x) − f (c) x→c x−c
f 0 (c) := lim
c ∈ R.
Diperoleh
x3 − c3 x→c x − c (x − c)(x2 + xc + c2 ) = lim x→c x−c 2 = c + c · c + c2 = lim
= 3c2 . Ada beberapa langkah yang sengaja tidak diberikan secara eksplisit. Tugas mahasiswalah yang harus melengkapinya. Jadi
R.
c > 0.
Untuk (b), diambil sebarang
k(x) − k(c) x→c x−c
k 0 (c) := lim
= lim
√1 x
x > 0.
2. Tunjukkan fungsi
untuk setiap
x∈
Didapat
−
√1 c
x−c √ √ ( c − x) √ = lim x→c (x − c) xc √ √ ( c − x) √ √ √ = lim √ √ x→c xc( x − c)( x + c) −1 1 1 √ =− √ =− √ . = lim √ √ x→c xc( x + c) c·2 c 2c c x→c
Karena bentuk ini terde nisi untuk setiap
− 2x1√x ,
f 0 (x) = 3x2
c > 0
maka diperoleh
f (x) := x1/3 , x ∈ R
tidak terdiferensial di
9
x = 0.
k 0 (x) =
4 DIFERENSIAL Penyelesaian.
Dibentuk pecahan yang mengarah pada
f 0 (0),
yaitu
f (x) − f (0) x1/3 − 0 1 = = 2/3 . x−0 x x 1 tidak ada (Petunjuk: gunakan krix2/3 f (x)−f (0) teria barisan untuk limit !). Karena limx→0 tidak ada maka disimx−0 0 pulkan f (0) tidak ada.
Selanjutnya tunjukkan bahwa
3. Misalkan fungsi
Buktikan
f
f
terde nisi pada
R dengan ( x2 jika x f (x) := 0 jika x
terdiferensial di
Penyelesaian.
limx→0
0,
dan tentukan
=
Selanjutnya, ditunjukkan
f (xn ) = xn Jadi apapun kasusnya barisan
= 0.
f (0) = 0.
Diperhatikan
( x 0
jika jika
x x
rasional irrasional.
f (x) x . Misalkan (xn ) barisan yang konvergen f (xn ) sebagai berikut xn
limx→0
maka diperoleh barisan
0 dan f (0)
f 0 (0)!
f (x) x , diperoleh
f (x) = x
0,
irrasional.
Berdasarkan de nisi fungsi ini diperoleh
f (x)−f (0) bentuk x−0
ke
rasional
( xn jika xn 0 jika xn f (xn ) xn
rasional irrasional.
konvergen ke
0.
Terbukti limitnya ada
4. Tentukan turunan dan sederhanakanlah !
x 1+x2
a)
f (x) :=
b)
h(x) := sin xk
Penyelesaian.
m
,
m, k ∈ N.
Untuk (a) dikerjakan sendiri, cukup gunakan aturan turunan hsil
bagi. Untuk (b), digunakan aturan rantai berikut :
d sin xk dx d k = m(sin xk )m−1 · cos xk · x dx = m(sin xk )m−1 · cos xk · kxk−1
h0 (x) = m(sin xk )m−1 ·
= kmxk−1 (sin xk )m−1 · cos xk .
10
4 DIFERENSIAL 5. Misalkan
n∈N
dan
f :R→R
dide nisikan sebagai berikut
( xn f (x) := 0 Tentukan nilai
n
untuk untuk
apa saja yang membuat fungsi ini kontinu di
sama yang membuat fungsi ini terdiferensial di
Penyelesaian.
x≥0 . x<0 0.
Pertanyaan yang
0.
0: limx→0 f (x) = f (0) = 0. Agar syarat ini n = 0. Syarat ini otomatis dipenuhi undipenuhi maka haruslah limx→0 x tuk setiap bilangan aslin. Jadi fungsi ini kontinu untuk setiap n ∈ N.Untuk keterdiferensialan di 0, diperhatikan bentuk berikut ( xn−1 jika x ≥ 0 f (x) − f (0) f (x) = = . x−0 x 0 jika x < 0
Agar
Syarat kontinu di
f 0 (0)
ada maka haruslah
limx→0
f (x)−f (0) ada. Agar limit ini ada maka x−0
nilainya haruslah nol. Jadi, harus dipenuhi
lim xn−1 = 0.
x→0 Keadaan ini hanya dipenuhi oleh dipenuhi?) 6. Misalkan
n = 2, 3, · · · .
(Mengapa
n = 1
tidak
f : R → R terdiferensial di c dan f (c) = 0. f 0 (c) = 0.
Buktikan
g(x) := |f (x)|terdiferensial
bila hanya bila
Penyelesaian.
4.2 Teorema nilai rata-rata (TNR) Seharusnya materi pada bagian sebelumnya sudah dipahami dengan baik.
Pada sub
pokok bahasan ini, kompetensi minimal yang yang harus dipenuhi adalah 1. Memahami maksud ekstrim relatif (minimum relatif dan maksimum relatif ). 2. Memberikan interpretasi gra k untuk minimum relatif dan maksimum relatif. 3. Memahami maksud teorema ekstrim interior (TEI) dan dapat membuktikannya. 4. Memahami kasus kritis pada TEI. 5. Memahami maksud dan dapat membuktikan teorema Rolle (TR). 6. Memahami maksud teorema nilai rata-rata (TNR). 7. Memberikan interpretasi gra k untuk TNR. 8. Mengetahui sifat-sifat fungsi asal melalui informasi pada derivatifnya.
11
4 DIFERENSIAL 9. Memahami pengertian fungsi naik dan fungsi turun. 10. Memahami teorema yang menghubungkan derivatif dan naik turunnya fungsi dan dapat membuktikannya. 11. Memahami uji derivatif pertama untuk ekstrim dan mampu membuktikan teoremanya. 12. Mampu menggunakan TNR untuk menyelesaikan masalah pertidaksamaan. Sungguh banyak pengetahuan dan keterampilan yang harus dikuasai oleh mahasiswa. Bayangkan untuk 1 pertemuan saja seperti ini, bagaimana kalau selama kuliah ada 20 mata kuliah per semester
×
×
13 kali pertemuan
7 semester
=
1520 kompetensi dasar
yang seharusnya dapat dari tatap muka saja, belum lagi hasil belajar mandiri. Seharusnya semua lulusan mempunyai kualitas tinggi sejajar dengan lulusan perguruan tinggi kelas dunia, hebat.
De nisi 4.2.
Ada dua macam ekstrim relatif, yaitu maksimum relatif dan minimum
relatif. Fungsi
f :I→R
dikatakan mempunyai
c∈I x ∈ V ∩ I,
1. minimum relatif di untuk setiap
c ∈ I x ∈ V ∩ I.
2. maksimum relatif untuk setiap
jika ada persekitaran
jika ada persekitaran
V := Vδ (c)
sehingga
f (x) ≤ f (c)
V := Vδ (c)
sehingga
f (x) ≥ f (c)
Teorema berikut memberikan syarat cukup untuk ekstrim interior, yaitu bilamana interior interval
I.
Teorema 4.5.
[Teorema ekstrim interior (TEI)] Jika
I → R mempunyai ekstrim di c
maka f 0 (c)
Bukti.
f
Hanya dibuktikan kasus
c titik
c titik inteior interval I dan f :
= 0.
mempunyai minimum relatif di
c.
Untuk maksimum
f 0 (c) > 0 dan f 0 (c) < 0, kemudian ditunjukkan kontradiksi sehingga disimpulkan f 0 (c) = 0. Karena diketahui f mempunyai minimum relatif di c maka terdapat V1 persekitaran c sehingga berlaku f (c) ≤ f (x), untuk setiap x ∈ V1 . (4.14)
relatif dibuktikan sendiri. Dibuktikan dengan kontradiksi, yaitu diandaikan
Pengandaian
f 0 (c) > 0
mengakibatkan terdapat persekitaran
f (x) − f (c) >0 x−c Dengan mengambil setiap
x ∈ V.
untuk setiap
V := V1 ∩ V2 maka x ∈ V dan x < c
Ambil
V2
dari
x ∈ V2 .
maka berlaku
x − c < 0.
f (x) − f (c) (x − c) < 0 → f (x) < f (c), − c } | {z } | x {z <0
>0
kontradiksi dengan
f (c) ≤ f (x).
12
sehingga
(4.15)
kedua ketidaksamaan ini berlaku untuk
diperoleh
f (x) − f (c) =
c
Di lain pihak
4 DIFERENSIAL
Kritis 4.2.1.
Fungsi
f (x) := x3 mempunyai sifat f 0 (0) = 0 tetapi x = 0 bukan titik ek= 0 bukan syarat cukup agar c menjadi titik ekstrim. Ilustrasinya
0 strim. Ini berarti f (0)
lihat pada gambar (kiri).
Terkait dengan masalah kritis ini, kebiasaan mengambil turunan pertama kemudian diambil harga nolnya bukanlah cara yang sempurna dalam menentukan nilai ekstrim baik minimum maupun maksimum. Ada tahapan lagi untuk memastikan bahwa nilai nol turunan pertama merupakan ekstrim, yaitu menggunakan uji derivatif pertama yang akan dibahas berikutnya.
Kritis 4.2.2.
f (x) := |x| jelas mempunyai minimum relatif di x = 0, tetapi f 0 (0) 0 menunjukkan bahwa adanya f (c) pada TEI sangat penting. Ilutrasinya
Fungsi
tidak ada. Ini
dapat dilihat pada gambar (kanan).
Teorema 4.6.
[Teorema Rolle] Bila fungsi
terdiferensial pada interval
(a, b)
dan
f : I → R kontinu pada interval I := [a, b], f (a) = f (b) = 0 maka ada c ∈ (a, b) sehingga
f 0 (c) = 0. Ilustrasi
Teorema Rolle mengatakan bahwa bila dipenuhi beberapa syarat maka ada titik
ekstrim di dalam interval
(a, b).
Ilustrasinya diberikan pada gambar berikut.
f'(c) = 0 y = f(x) b a
c
Gambar 4.2: Ilustrasi teorema Rolle (kiri) Bukti.
f ≡ 0, yaitu identik dengan fungsi nol maka sebarang c ∈ (a, b) pasti f 0 (c) = 0 karena derivatifnya juga nol di mana-mana. Sekarang andaikan saja f tidak identik dengan nol, yaitu cukup diasumsikan ada bagian f yang positif. Bila semua bagian f negatif, cukup diambil −f . Lihat ilutrasi pada gambar berikut ini. Karena f kontinu dalam interval tertutup [a, b] maka berdasarkan Teorema maksimum-minimum, fungsi f mencapai maksimum di dalam [a, b], yaitu ada c ∈ [a, b] sehingga f (c) = sup f (x). Bila
memenuhi
x∈[a,b]
f > 0 maka f (c) > 0. Sekarang dipastikan bahwa c adalah titik interior, c ∈ (a, b). Seandainya c bukan interior maka c = a atau c = b. Tetapi hal ini tidaklah mungkin sebab f (a) = f (b) = 0, sedangkan f (c) > 0. Jadi dapat 0 diyakini c adalah titik interior. Karena f (x) ada untuk setiap x ∈ (a, b) maka Karena
yaitu
13
4 DIFERENSIAL fmaks y = f(x)
fmaks
y = - f(x)
b
b a
c
a
c
y = f(x)
Gambar 4.3: Kemungkinan fungsi f otomatis
f 0 (c)
tidak identik dengan nol
juga ada. Sampai di sini semua asumsi pada TEI terpenuhi, yaitu
c titik interior, f f 0 (c) = 0.
mencapai ekstrim pada
I
dan
f 0 (c)
ada, sehingga disimpulkan
Sebagai konsekuensi langsung Teorema Rolle, diperoleh Teorema nilai rata-rata berikut.
Teorema 4.7. I := [a, b],
Ilustrasi
[Teorema nilai rata-rata] Bila fungsi
(a, b)
maka
f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a)
atau
terdiferensial pada interval
f : I → R kontinu pada interval ada c ∈ (a, b) sehingga
f (b) − f (a) = f 0 (c). b−a
Berdasarkan persamaan di atas, TNR mengatakan bahwa
dimana gradien garis singung kurva melalui
(a, f (a))
dan
(b, f (b))
(a,f(a))
y = f (x)
di
x=c
c
adalah suatu titik
sejajar dengan garis yang
seperti diilustrasikan pada gambar berikut.
y = f(x)
h(x) (b,f(b)) sejajar
x
c
a
b
Gambar 4.4: Ilustrasi dan interpretasi TNR Bukti.
Dide nisikan fungsi
h:I→R
sebagai berikut
h(x) := f (x) − f (a) − Selanjutnya ditunjukkan
h
f (b) − f (a) (x − a). b−a
memenuhi syarat pada Teorema Rolle:
14
(4.16)
4 DIFERENSIAL
• h •
kontinu pada
[a, b]
karena ia tersusun atas fungsi-fungsi kontinu pada
Dengan argumen yang mirip, kita simpulkan
[a, b],
h fungsi terdiferensial pada (a, b),
(a) (a) • h(a) = f (a)−f (a)− f (b)−f (a−a) = 0 dan h(b) = f (b)−f (a)− f (b)−f (b− b−a b−a a) = 0. Berdasarkan Teorema Rolle, terdapatlah
c ∈ (a, b)
sehingga
h0 (c) = 0.
Derivatif
h0 (x) diperoleh sebagai berikut h0 (x) = f 0 (x) −
f (b) − f (a) b−a
sehingga diperoleh
0 = h0 (c) = f 0 (c) −
f (b) − f (a) f (b) − f (a) → = f 0 (c). b−a b−a
4.3 Penggunaan teorema rata-rata
4.3.1 Identi kasi sifat fungsi asal melalui derivatifnya Teorema 4.8.
f kontinu pada interval tutup I := [a, b] dan terdiferensial pada interval buka (a, b) dengan f 0 (x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f fungsi konstan.
Bukti.
Jika
Kita mulai dari
setiap
x ∈ (a, b].
cukup TNR pada
f (a)
f di titik a. Dibuktikan f (x) = f (a) x ∈ (a, b]. Karena fungsi f memenuhi terdapat c ∈ (a, x) sehingga
yaitu nilai
untuk
Ambil sebarang
syarat
[a, x],
maka
f (x) − f (a) = f 0 (c)(x − a). Karena
f 0 (c) = 0
maka diperoleh
diambil sebarang maka terbukti
Teorema 4.9.
f
f (x) − f (a) = 0, fungsi konstan.
yaitu
f (x) = a.
Karena
x
Jika
f dan g kontinu pada interval tutup I := [a, b] dan terdiferensial pada interval buka (a, b) dengan f 0 (x) = g 0 (x) untuk setiap x ∈ (a, b) maka f = g + C untuk suatu konstanta C . h(x) := f (x) − g(x), maka diperoleh h0 (x) = 0. Berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh h fungsi konstan, katakan h(x) = C . Akibatnya f (x)−g(x) = C atau f (x) = g(x) + C .
Bukti.
Ambil
4.3.2 Identi kasi fungsi naik dan fungsi turun De nisi 4.3.
Fungsi
f
naik (increasing ) pada interval I jika berlaku x1 < turun (decreasing ) jika berlaku x2 < x2 → f (x1 ) ≥
dikatakan
x2 → f (x1 ) ≤ f (x2 ), dikatakan f (x2 ). Dikatakan naik tegas atau
turun tegas jika tidak memuat tanda kesamaan.
15
4 DIFERENSIAL
4.3.3 Uji derivatif pertama untuk ekstrim 4.3.4 Penyelesaian masalah pertidaksamaan 4.4 Aturan L'Hospital Marquis Guillame Francois L'Hospital (1661-1704) mempublikasikan teorema imit dalam kalkulus yang belakang ini disebut aturan L'Hospital. Pada teorema limit hasil bagi berlaku bahwa jika dan jika
B 6= 0
maka
lim
x→c Namun, jika
limx→c f (x) = A dan limx→c g(x) = B ,
B=0
f (x) A = . g(x) B
maka tidak ada kesimpulan yang dapat diambil. Dalam kasus
∞
maka limit tersebut menjadi maka limit hasil bagi
asalkan limitnya ada. Dalam kasus
A=0
dan
A 6= 0 B =0
f 0 g menghasilkan bentu taktentu 0 . Limit bentuk tentu mungkin
ada, mungkin juga tidak ada.
Contoh 4.6.
Misalkan
bentuk taktentu
f (x) := αx
dan
g(x) := x.
Dalam kasus ini untuk
c = 0,
muncul
0 0 . Tetapi
f (x) αx = lim = α. x→0 g(x) x→0 x lim
Dalam kasus ini bentuk taktentu
0 0 memberikan hasil bilangan real.
Bentuk taktentu lainnya diberikan sebagai berikut :
∞ , 0 · ∞, 00 , 1∞ , ∞0 , ∞ − ∞. ∞
Aturan hospital untuk bentuk
0 0
Teorema 4.10.
Misalkan f, g : [a, b] → R berlaku f (a) = g(a) = 0, dan g(x) 6= 0 untuk a < x < b. Bila f dan g terdiferensial di a dan g 0 (a) 6= 0 maka
lim
x→a+
Bukti.
Karena
f (a) = g(a) = 0,
f (x) f 0 (a) = 0 . g(x) g (a)
kita dapat menulis bentuk yang ekuivalen sebagai
berikut
f (x) f (x) − f (a) = = g(x) g(x) − g(a)
f (x)−f (a) x−a g(x)−g(a) x−a
Selanjutnya dengan menggunakan teorema limit hasil bagi diperoleh
lim
x→a+
limx→a+ f (x) = g(x) limx→a+
16
f (x)−f (a) x−a g(x)−g(a) x−a
=
f 0 (a) . g 0 (a)
4 DIFERENSIAL Hati-hati dengan syarat f (a) = g(a) = 0. Sebagai contoh, jika
f (x) := x + 17
dan
g(x) := 2x + 3
lim
f (x) 17 = , g(x) 3
x→0 padahal
maka diperoleh
f 0 (0) 1 = . 0 g (0) 2
Hasil ini tidak sama dengan hasil yang ada dalam teorema dikarenakan
f (0) = g(0) = 0
tidak terpenuhi.
Contoh 4.7.
Hitunglah limit berikut dengan menggunakan teorema di atas
x2 + x . x→0 sin 2x lim
Penyelesaian.
Dalam soal ini kita mempunyai
limx→0 g(x) = 0.
f (x) = x2 +x dan g(x) = sin 2x, limx→0 f (x) =
Jadi diperoleh
x2 + x 2x + 1 2(0) + 1 1 f (x) = lim = lim = = . x→0 sin 2x x→0 2 cos 2x x→0 g(x) 2 cos 2(0) 2 lim
Teorema nilai rata-rata Cauchy (TNR-C)
Teorema 4.11. diasumsikan
Misalkan f an g kontinu pada [a, b] dan terdiferensial pada (a, b), dan g 0 (x) 6= 0 untuk setiap x ∈ (a, b). Maka terdapat c ∈ (a, b) sehingga
f 0 (c) f (b) − f (a) = 0 . g(b) − g(a) g (c)
17
