DIFERENSIAL (Derivatif) A. Simbol Deferensial Jika ada Persamaan y = 3x, maka simbol dari. atau ditulis

DIFERENSIAL (Derivatif) A. Simbol Deferensial Jika ada Persamaan y = 3x , maka simbol dari 𝑑𝑦

Turunan pertama y 1 atau Turunan kedua y 11 atau

𝑑𝑥

atau ditulis

𝑑𝑦 𝑑( ) 𝑑𝑥

𝑑𝑥

atau

𝑑 (3𝑥) 𝑑𝑥

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2

B. Rumus Dasar Deferensial Jika y = xn maka

dy  nx n 1 dx

y = 10 x 2

maka harga

Contoh :

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 20 x

C. Kaidah-kaidah Deferensial 1. Diferensiasi Penjumlahan/Pengurangan fungsi y = U + V dimana maka

U = g(x), V = h(x),

dy du dv   dx dx dx

contoh : y = 8x5 + 4x3 ,

maka

dy  40 x 4  12 x 2 dx

2. Diferensiasi Perkalian Fungsi y = U . V dimana U = g(x), V = h(x), maka

contoh :

dy dv du  U.  V dx dx dx y = ( 6x2 ) ( 5x3 )

dy  (6 x 2 )(15 x 2 )  (5 x3 )(12 x) = 90x4 + 60x4 = 150x4 dx 3. Diferensiasi Pembagian Fungsi y=

U ;U  g ( x);V  h( x) V

maka harga 1

dy  dx

V.

contoh :

du dv U. dx dx V2

5 x5 y= 2 3x

dy 3x 2 (25 x 4 )  5 x5 (6 x) 75 x 6  30 x 6   dx (3x 2 ) 2 9x4

=

45 2 x  5x2 9

4. Diferensiasi Fungsi Berpangkat dy du  nU n1 dx dx

y = Un ; u = g(x), n = konstanta

contoh :

du y = ( x2 + 3x )2  dx  2 x  3 dy  2( x 2  3x)(2 x  3)  2(2 x3  6 x 2  3x 2  9 x) dx = 4x3 + 18x2 + 18x 5. Diferensiasi Fungsi Logaritmik y=

a

log x , maka

a dy 1 log e  atau  dx x ln a x

contoh : y=

5

log 7

𝑑𝑦

maka harga 𝑑𝑥 =

1 7 ln 5

𝑎𝑡𝑎𝑢

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

6. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik y = a log u ; u = g(x) maka

dy a log e du  . dx u dx

2

5log 𝑒 7

y = log

( x  5) ( x  5) U  ( x  7) ( x  7)

du ( x  7)(1)  ( x  5)(1) 2   2 dx ( x  7) ( x  7) 2 

dy log e 2 2 log e  .  2 dx ( x  5) /( x  7) ( x  7) ( x  5)( x  7)

7. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Berpangkat y = ( a log U )n ;U  g ( x) dimana n = konstanta, maka harga a dy log e du a n 1  n( log U ) . . dx U dx

contoh : y = ( log 6x2 )3 

U = 6x2 ;

jadi

du  12 x dx

dy log e  3(log x 2 ) 2 . (12 x) dx 6x2

36 x(log 6 x 2 ) 2 log e 6(log 6 x 2 ) log e  = 6x2 x 8. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Napier Log. Napier

 logaritma yang bilangan pokoknya e

Harga bilangan

e = 2,71828

Bilangan

e

log a ditulis dengan ln = a

Jadi harga ln 10 bisa ditulis Turunan logaritma napier :

y = ln u;

dy 1 du  . dx u dx

u = g(x)  3

e

log 10

contoh : y = ln ( 5x2 + 7 )  U = 5x2 + 7 harga

du  10 x dx

dy 1 10 x  .10 x  2 dx (5 x  7) (5 x 2  7) 9. Diferensiasi Fungsi Komposit logaritmik Napier Berpangkat Y = ( lnU )n ; U = g(x) ; n = konstanta

dy 1 du  n(ln U ) n 1. . dx U dx contoh : y = ( ln 3x2 )4  U = 3x2 

du  2x dx

dy du du  V .U v 1  U v ln U dx dx dx contoh y = 7x x

5

 U  7x

du 7 dx

V = x5

du  5x 4 dx

5 5 dy  x5 .7 x x 1.7  7 x x ln 7 x.5 x 4 dx

= 49x x

5

4

= 35x x

5

4

+35x x

5

4

ln .7 x

( 9/7 + ln 7x )

10. Deferensial Fungsi Eksponensial Jika y = a x dimana a = konstanta, maka harga 𝑑𝑦 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 𝑑𝑥

Contoh

y = 6x

maka harga

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 6𝑥 ln 6

11. Deferensial Fungsi Komposit Eksponensial 4

Jika y = a u

dimana u = g(x) maka harga 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Contoh : y = 5(𝑥

2−

4)

maka harga

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 5(𝑥

2−

4)

ln 5 2x

12. Deferensial Fungsi kompleks Jika y = u v

dimana u = g (x) dan v = h (x)

Maka harga 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑣 = 𝑣 𝑢𝑣 −1 + 𝑢𝑣 ln 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 13. Diferensiasi Fungsi Balikan Jika y = f(x)dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang berbalikan, maka

dy 1  dx dx / dy contoh : x = 10y + 3y4 maka

dx dy 1  10  12 y 3 sehingga  dy dx 10  12 y 3

D. Deferensial Baku Fungsi Trigonometri 1. y = sin x

maka

dy/dx = cos x

2. y = cos x

dy/dx = -sin x

3. y = lg x

dy/dx = sec2x

4. y = cotg x

dy/dx = -cosec2 x

5. y = sec x

dy/dx = sec x tg x

6. y = cosec x

dy/dx = -cosec x ctg x

7. y = sinh x

dy/dx = cosh x 5

8. y = cosh x

dy/dx = sinh x

Bila U = f(x) dapat diturunkan, maka

d sin U du  cos U  no.2 s/d 8 identik dx dx contoh 1. Hitunglah

dy dx

Penyelesaian :

y = cos3 5x

dari

dy d cos 5 x  3(cos 2 5 x)  rumus no.2 dx dx = 3(cos25x)(-sin5x)

d5 x dx

= -15 sin 5x cos2 5x contoh 2. Hitunglah

dy dari y = ctg 2x cosec 2x dx

Penyelesaian :  ingat y = U.V maka

dy dv du U V dx dx dx

dy d cos ec 2 x dctg 2 x  ctg 2 x dx  cos ec 2 x dx dx

= ctg 2x ( - cosec 2x.ctg 2x ) 2 + cosec 2x ( - cosec2 2x )2 = ctg2 2x ( - cosec 2x ).2 + cosec 2x ( - cosec2 2x )2 = -2 cosec 2x ( ctg2 2x + cosec2 2x ) Karena ctg2   cos ec 2  1, maka : = -2 cosec 2x [( cosec2 2x – 1 ) + cosec2 2x] = -2 cosec 2x ( 2 cosec2 2x – 1 ) = 2 cosec 2x – 4 cosec3 2x

6

INGAT ! sin2  + cos2   1 1 + ctg2   cos ec 2 1 + tg2   sec2  E. Deferensial Fungsi Implisit y = x2 – 4x + 2  fungsi eksplisit dari x x2 – 4x – y = 2  fungsi implisit dari x contoh : jka x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0, tentukan

dy di titik x = 3, y = 2 dx

Penyelsaian : x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0 2x + 2y

dy dy 26 0 dx dx

( 2y – 6 )

dy  2  2x dx

dy 2  2 x 1  x   dx 2 y  6 y  3  di ( 3, 2 ) 

dy 1  3  2   2 dx 2  3  1

F. Diferensiasi Logaritmik Lebih Dari Dua Faktor Jika y =

U.V U = f(x) W

V = g(x) ; W = h(x)

Maka untuk mencari turunan pertamanya adalah dengan logaritma dengan bilangan dasar e e

U .V log y  log W e

ingat Sifat bil logaritma

Persamaan tersebut dirubah menjadi 7

ln a.b = ln a + ln b ln a/b = ln a – ln b atau lg a.b = log a + log b log a/b = log a-log b

ln y = ln U + ln V – ln W

1 dy 1 du 1 dv 1 dw  .  .   . y dx U dx V dx W dx dy  1 du 1 dv 1 dw   y .  .  .  dx  U dx V dx W dx 

jadi jika y=

U .V W

maka

dy U .V  1 du 1 dv 1 dw    .  .  .  dx W  U dx V dx W dx 

Catatan : Gunakanlah selalu cara diferensial logaritmik bila ada lebih dari dua fungsi dalam suatu perkalian atau pembagian maupun duaduanya. Contoh:

dy x 2 .sin x Carilah harga dari persamaan y = dx cos 2 x

Penyelesaian : ln y = ln (x2) + ln ( sin x ) – ln ( cos 2x ) 1/y dy/dx = ingat :

1 1 1 .2 x  . cos x  (2 sin 2 x) 2 x sin x cos 2 x

cos x sin x  ctgx ;  tgx sin x cos x

jadi

1 dy 2 x cos x 2 sin 2 x .    y dx x 2 sin x cos 2 x 1 dy 2 .   ctgx  2tg 2 x y dx x

dy x 2 sin x  (2 / x  ctgx  2tg 2 x) dx cos 2 x 8

G. Diferensiasi Parsial Adalah turunan dari suatu fungsi yang terdiri dari beberapa variabel, dan penyelesaiannya dilakukan bagian demi bagian. Contoh : Z = 2x2 – 3xy + 4y2 atau Z = y ( x, y ) Dalam fungsi tersebut ada dua variabel bebas, yaitu x dan y, maka berapakah dz/dx dan dz/dy ? Cara penyelesaian : Ada beberapa anggapan/kemungkinan, a.l : 1. variabel x berubah-ubah, y konstan. Maka Z = fungsi x  Turunannya ke x atau dz/dx

Z = 2x2 – 3xy + 4 y2

dz  4x  3 y  0  4x  3 y dx 2. Kemungkinan variabel y berubah-ubah, x konstan maka Z = fungsi y  Turunannya ke y atau dz/dy

Z = 2x2 – 3xy +4y2

dz  0  3x  8 y  3x  8 y dy 3. Atau untuk mencari

dz dz dan , fungsi tersebut dirubah dx dy

menjadi fungsi implisit Z = 2x2 – 3xy + 4y2 Jika ditulis dalam bentuk implisit : 2x2- 3xy + 4y2 - = 0 a. perlakukan y konstan dan cari

dz dx

d (2 x 2 ) d (3xy ) d (4 y 2 ) d ( z )    0 dx dx dx dx 9

4x – 3y + 0 -



dz 0 dx

dz  4x  3y dx

b. perlakukan x konstan dan cari

dz dy

2x2 – 3xy + 4y2 – z = 0

d (2 x 2 ) d (3xy ) d (4 y 2 ) dz    0 dy dy dy dy 0 – 3x + 8y -



dz 0 dy

dz  3x  8 y dy

contoh : Z = ( 2x – y )4 Carilah dz/dx dan dz/dy Penyelesaian : Z = ( 2x – y )4 a. perlakukan y konstan

dz d (2 x  y )  4(2 x  y)3. dx dx b. perlakukan x konstan

dz d (2 x  y )  4(2 x  y)3. dy dy = 4 ( 2x – y )3 ( -1 ) = -4 ( 2x – y )3

10

H. Harga Maksimum dan Minimum dari Suatu Fungsi

Y

A (maks)

C (titik belok)

y = f(x)

B (min)

0

x1

x2

x3

Keterangan : A

= harga maksimum (pada x = x1), karena harga y dititik ini lebih besar daripada y di kanan kirinya.

B

= harga minimum (pada x = x2), karena harga y di titik ini lebih kecil daripada harga y di kanan kirinya.

C

= titik belok/point of inflection yaitu dari lengkung kanan menjadi lengkung kiri (atau sebaliknya)

11

Perhatikan gambar di bawah ini : Y

A

y = f(x) C

y B

0

x1

x2

x3

dy dx

x

y = f1(x)

0

x1

x2

x3

x

d2y dx 2 0

y = fII(x) x1

x2

x3

x

Y1 Dari gambar di atas bahwa : 1. Harga maks, min dan titik belok tercapai bila dy/dx = 0 2. Untuk harga y maksimum (titik A), maka turunan ke-dua d2y/dx2 = negatif 3. Untuk harga y minimum (titik B), maka turunan ke-dua d2y/dx2 = positif 4. Untuk titik belok (titik C), maka turunan ke-dua d2y/dx2 = 0 Untuk Aplikasi dalam memecahkan suatu persoalan

hal

yang

perlu di INGAT BAHWA : Harga maksimum atau minimum dari suatu fungsi akan dy 0 tercapai bila turunan 12 pertamanya = 0 atau ditulis dx

Contoh : 1.

Akan dibuat buah ruangan bersisian dengan memanfaatkan dinding yang sudah ada. Bahan pembuat ruang cukup dengan sekat, tersedia untuk 300 meter agar. Tentukan ukuran ruangan agar luas ruangan keduanya maksimum. X

Jawab

X

Y

Y

Keliling 300

= =

3Y + 4X 3Y + 4X

Y

=

100 -

Luas (L)

4 3

Y

X

= 2X . Y = 2 X (100 -

4 3

X ) = 200 X -

Luas akan maksimum akan dicapai bila Harga 200 Harga

𝑑𝐿 𝑑𝑥

= 200 -

16 X , sehingga 3

16 X = 0 3

Y =

100 -

𝑑𝐿 𝑑𝑥

8 3

X2

= 0

maka harga X = 37,5 m 4 3

X,

maka harga Y = 50 M

Jadi agar luas ruangan tersebut di atas, maka ukuran X = 37, 5 m Y = 50 m

13

Bukti : Harga X

Harga Y

Luas = 200 X -

Hasil Perhitungan Dicoba Dicoba

37,5

Keterangan

8 3

X

50

2

Terbukti

40 30

2. Akan dibuat kemasan untuk kaleng cat yang berisi 5 liter dengan tutupnya. Berapakahbesarnya ukuran Jari-jari dan tinggi kaleng ( R dan T) agar bahan yang digunakan minimum ? Jawab : Gambar bukaan kaleng cat seperti di bawah ini

T

R

2πR

Luas ( L) = 2πR T + 2πR 2 Volume = πR 2 T 5000

= πR 2 T

Luas (L)

= 2πR

=

sehingga harga T =

5000

+ 2 πR 2

π R2

+ 2 πR 2 14

Agar volume maksimum, maka luasnya juga harus maksimum agar luasnya maksimum, maka turunan pertama luas terhadap jari-jari harus 𝑑𝐿 sama dengan nol atau ditulis =0 𝑑𝑅 𝑑𝐿 𝑑𝑅

=

0

=

Maka

R

R3

−10.000 𝑅2 −10.000 𝑅2

=

+ 4 πR

+ 4 πR

, semua dikalikan dengan R2

10.000

= 9,27 cm

4 π

dan

T =

5000 π R2

=

18,537 cm

Bukti :

Hasil Perhitungan Dicoba Dicoba

3.

Harga R 9,27 12 8

Harga T 18,537

Luas Bahan (L)= 2πR T + 2πR 2

Keteranga n Minimum

Sebuah batang AB yang beratnya 20 kg/m ditumpu dengan dua tumpuan seperti gambar. Batang tersebut dibebani muatan titik sebesar 100 kg yang terletak 2 meter dari B. Tentukan panjang bentang AB agar gaya reaksidi A sekecil-kecilnya serta berapa besar gaya reaksi di A dan di B ( R A dan RB ) ? Jawab : P = 100 kg

A

a=2m X 15

B

Misal gaya reaksi di A = Y kg , sehingga Y = R1 + R2

Dimana R1 = beban akibat gaya P dan R2 = beban merata R1 =

𝑃 .𝑎

dan R2 = 0.5 . 20 . X = 10 X

𝑋 𝑃 .𝑎

Y =

𝑋

Y =

200 𝑋

+ 10 X

100 .2

=

+ 10 X =

𝑋

200 𝑋

+ 10 X

+ 10 X

Sehingga harga

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

−200 𝑋2

+ 10 𝑑𝑦

Agar harga Y sekecil-kecilnya, maka harga 𝑑𝑥 = 0 , sehingga −200 𝑋2

+ 10 = 0 ,

harga X = √20 = 4,472 m

Untuk harga X = 4,472, maka besarnya gaya reaksi di titik A atau Y adalah sebagai berikut Y =

200 𝑋

+ 10 X

=

200 𝑋

+ 10 . 4,472 = 89,44 kg

Besarnya gaya reaksi di titik B = jumlah total beban - gaya reaksi di titik A atau (Y) Gaya Reaksi di titik B = 100 + ( 20 . 4,472) – Y = 100 + (20. 4,472) – 89,44 = 99,99 kg

Latihan Soal 1. Penampang suatu saluran terbuka berbentuk trapesium dengan alas (sisi bawah) panjangnya 60 cm dan sisi miring panjangngnya 100 cm. Tentukan panjang sisi atas agar saluran tersebut dapat menampung air sebanyak-banyaknya. 16

2. Akan dibuat bak penampung bahan berbentuk bujur sangkar dengan sisi 120 cm. Untuk ini dilakukan pemotongan tiap-tiap ujung plat dengan bentuk bujur sangkar kecil dan kemudian dilipat ke atas. Berapa luas bujur sangkar kecil harus dipotong dari tiap-tiap ujung agar volume tersebut maksimum ? 3. Akan dibuat bak sampah dari plat baja berbentuk silnder yang dapat memuat air sebanyak 1 m 3 (tanpa tutup). Tentukan ukuran diameter dan tingginya agar plat yang dgunakan minimal. 4. Akan dibuat talang dari seng berbentuk U . Tentukan lebar dan tinggi talang agar dapat menampung air yang sebanyak-banyaknya dengan bahan talang yang terbatas, yaitu lebar seng 90 cm. 5. Kawat sepajang 100cm dipotong menjadi dua, dan akan dibentuk benda yang berbentuk lingkaran dan benda lain berbentuk bujur sangkar. Tentukan ukuran masing-masing benda tersebut agar ke-dua luas benda tersebut maksium.

17