MAKALAH D i ~ a s p s i k ~pads n S ~ s i n a rMinqquan J!rrl..~sar,? r l t 7 d d , Mat~m3+?1/3 F P I + ? !k.rF ~~
r.=.4,!,~ 2
Fakultas Fendidikan M a t e m a t i k a d a n Iirnu F e n a e t a h u a n q l a m I n s t i t u t Keguruan ajar! Ilmu Fendidi':ian P A O Q P f G
sIRKUIT
DIGITAL* OLEM DRS EDWIN MUSD, M. PD** 1. LATAR BELAKANU
Beda
antara
. penalaran
sehari-hari dengan
penalaran
dalam
logika matematika adalah tidak adanya kekonsistenan dalam penalaran sehari-hari, sedangkan dalam logika matematika kekonsistenan mutlak diikuti-Dalam logika matematika kita menalar berdasarkan tabel-tabe1 nilai kebenaran, karena itu kita selalu tak lepas dari gunaan yang bukan matematis, adalah
wajar
peng-
mempertanyakan menga-
pa kita bisa menerima tabel berdasarkan penalaran
yang
bukan
matematis. Sistim logika matematika dikenal dengan Boolean Algebra, yang mana ha1
ini
matematika
dikembangkan pada
berkebangsaan
tahun
Inggris yang
1840 oleh
bernama
seorang George
ahli Boole
(1815-1864). Seorang ahli matematika Amerika membuat aplikasi utama
mengenai aljabar boole. Sistim dua
elemen seperti pada
aljabar
Shannon
juga
aljabar boole, yang mana
menggunakan
pada
dasarnya
menggunakan dua sistim. Bilangan binari 0
dan
1
sangat berguna
dalam
menerangkan
siatim teori atau sistim bentuk, yang mana keduanya dapat membentuk dua penilaian. Contohnya saja pada sistim logika menggunakan TRUE atau FALSE, yang mana secara matematika digambarkan dengan angka
0
*~isaj ikan pada Seminar Mingguan Jurusan Pendidikan Matemat ika FPMIPA IKIP Padang, tanggal 16 Juni 1996 Staf pengajar Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP Padng
**
1 dapat
dan 1. Juga pada sistim komputer angka O dan
digambarkan
dengan HIGH dan LOW. Begitu juga
dengan sistim
lampu
elektronik
atau OFF, yang mana fungsi elektronik adalah
ON
menggunakan
merupakan
pemindahan
informasi melalui suatu proses. Meskipun dengan mengalami perubahan bentuk baik secara analog mekanik maupun dapat diubah rnenjadi bentuk
sinyal
digital
atau
akan
denyut
yang
gelombang
merupakan pulsa-pulsa, dengan inatrumen digital sinyal-sinyal tersebut dapat diubah
elektronik
elektronik-
kembali menjadi
Dan
angka-angka,
huruf-huruf, dan gambar-gambar. Jelas bahwa peranan
penting
karena itu
matematika terutama
digunakanlah
logik
dan
sekali
aljabar
dibidang
matematika
logik
boole
mempunyai
elektronik-
dan
aljabar
ini dengan komponen-komponen yang termasuk didalamnya
boole
seperti
teori himpunan, postulat dan lain sebagainya yang telah course cottent pada mata pelajaran yang sudah
Oleh
menjadi
ditetapkan
dan
dilaksanakan diseluruh wilayah Indonesia. Salah satu penggunaan yang populer Boole adalah pada
bidang
elektronik
dari yang
logika dikenal
sirkuit digital. Sirkuit digital telah dikenal pada Sirkuir digital pada masa ini dirancang fungsi dasar
logika
digital
Perkembangan yang terakhir
untuk
dari
untuk
ini
aljabar
dengan nama
tahun
60-an.
mengimplementasikan
seluruh
sirkuit
dan
siatem adalah
digital-
terciptanya
sirkuit terpadu (integrated sirkuit,IC) yang digunakan pada microprosesor, dimana telah melibatkan operasi yang komputer digital.
Pengaruh
alat
ini
dalam
kompleks dari
lapangan
elektronik
yaitu bisa menggantikan posisi transistorBerdasarkan pentingnya sirkuit digital ini maka
makalah
mencoba membahas bagaimana logika dan aljabar Boole terlibat
ini
dalam
pembentukan suatu sirkuit digital. 2.
Pembahas~
Sebelurn membahas sirkuit digital tentang
perlu
dikemukakan
sekilas
aljabar Boole dan gerbang logika.
Kita tertarik akan aljabar boole jaringan dalam suatu
sistem
komputer
karena
ia
.Menurut
Boole dikaitkan dengan kajian formal tentang
terkait
dengan
sejarah, Aljabar
logika oleh
George
Boole pada jaringan. Sistim logika matematika ini lebih ALGEBRA
dikenal
dengan
BOOLEAN
(A1jabar Boole) . Penelitian dari Boole sama dengan sistim
binary yang digunakan oleh Leibnizs. Kita dapat mendefinisikan bahwa sistim aljabar boole adalah merupakan
suatu bentuk
perhitungan dari dua elemen. Dimana angka yang adalah 0 (nol) dan
1
kita
(satu)- Secara bersama-sama
digunakan dalam bentuk
@
(penjurnlahan)
dan
*
gunakan operaai yang
(perkalian).
Bentuk variabel Boole ini bisa juga digambarkan dengan A,
C, D, dst, yang mana kita menilai dengan 0 Roole
adalah
merupakan
contohnya f(A, B) = A
*
fungsi dari
dan
Bentuk
1.
variabel
boole,
B,
fungsi sebagai
R.Tiap variabel boole dalam fungsi f mengam-
bil dua nilai. Simbol yang
umum
digambarkan dengan A sedangkan pada
*
dipakai
pada
OR
operasi
simbol yang
adalah
, atau A OR B,
B = A U B = A V B =A+B
operasi AND
ini
sering
I
dipakai
adalah
MlLIK UPT PERPUSTAKA AN
(KIP P A D A R G
I
A
*
E = AF = A
.B
atau A AND B. Apabila
OR
cperasi
dac
AND dibuat dalam bentuk penjumlahan dan perkslian, ma'a
sistim
logikanya pada al3sbar boole sams. Selain dari opsrasi OR dan operasi AND, juga ada operasi boole yang lain yang dikenal dsngan komplemen atau
operasi ini menggambarkan sebuah variabel
NOT, Dimz~na
operasi A,
boole
A
mana
yang
dapat membentuk dua nilail Apabila A punya satu nilai (misalnya 0 ) maka NGT A adalah I. Eimbol yang lebih umum
NOT A adalah
-%2).
(A
,A atau
-
A atau -A-
Sebagai
untuk
komplernen
contohnpa,&J0T( A s E ) =
Dengan pernyataan lain jika A = O dan B = 1 maka
e E ? ad~laho m 1 =
1=
atau
I T
(A
0.
Untuk lebih jelasnya dayat dilihat tabel kebenarsn NOT A berilzut : A
-
fi
Ketigs operasi d i ~ t a syaitu operasi OR, ANP merupakan operasi dasar dari sistim boole, untuk mengembangkan beberapa fungsi Soole
juga
atau
dapat
Juga
perhatikan
kebenaran berikut : AND
adalah
digunakan
pernyataan
lainnya. Bentuk dari ketiga operasi dasar itu dlsebut dalil sistim aljabar boole, untuk lebih Selasnya
NST
dan
Nf3T
logika dengan tabel
Banyak juga perlengkapan-perlengkapan d a s a r d a r i a l j a b a r d i t e r a n g k a n dalam a l j a b a r b o o l e . Pada
bagian
ini
kita
sejumlah perlengkapan, yang mana h a 1 i n i dinamakan P o s t u l a t ( d a l i l b o o l e ) . Ada beberapa macam gunakan, contohnya pada a l j a b a r
boole,
teori
ha1
ini
dapat
i n v a l i d d a r i sebagian besar s i s t i m a l j a b a r ordinary. Perlengkapan d a s a r a t a u aksioma a l j a b a r b o o l e i t u a d a l a h
l . A e O = A 2 . A @ l = l
3 . A a A = A 4 . A e A = 1 5 . A * O = O 6 . A * l = A ? . A * A = A 8 . A * A = O
9. A e B = B a A 10 - A*B
= B*A
11. A e (B e C) = ( A
12. A*(B e C) 13. ( A e AB)
= A*B
= A
@
@
B)
A*C
(AB b e r a r t i A*B)
14. A + = = A + B 15.
3 ( A + B ) = AB
16.
AB = ( A + B)
- = (A + B)
17. A.B
I
18. AB
+ AB =
19. ( A
+ B)
(A
C
A
+ B) =
A
membentuk
dengan yang
yang
Boolean
bisa
kita
berbentuk
20- AB
BC e CA = AB
21. ( A e B > * ( R c~ C ) * ( C
CA ce A)
@
= (A e R )
Dibeberapa kasus fungsi boole yang beriei variabel bottle
tapi
(
C e
A)
diberikan
dapat
ekapresi
eksplisit
didefinisikan cleh
tabel
kebenaran, contohnya dalam penyusunan dua kontak harangkali cantoh yang terbaik dari bentuk
fisikal dapat
diterangkan oleh
sebuah
sistim boole yang mana juga rnenerangkan tentang pertukaran kontak listrik. Pada kenyatannya ha1 ini kita
katakan dengan pertukaran
kontak. Berdasarkan alaean diatas, fungai baole
kadang dika%akan
fungsi pertukaranSebagaimana kita ketahui, kontak itu ada dua seperti open atau close, dimana bentuk F A L S E ( 0 ) digunakan untuk
open
atau
kontak
dalam keadaan terbuka dan bentuk TRUE (1) digunakan untuk
close
atau kontak dalam keadaan tertutup. Gunanya kontak tersebut
adalah
untuk menyatakan variabel
logika, sebagaimana variabel
boole
lainnya. Contohnya dapat kita lihat seperti gambar di bawah ini : a.
S = O
b.
S = l
Gambar a. adalah sebuah kontak terbuka atau open ( S = Oldan
gambar
b. adalah sebuah kontak tertutup atau close ( S = 1). Untuk mengambarkan operasi OR perhatikan gambar berikut :
dan
AND dengan kontak ini,
Gambar
pertama
P = AB menunjukkan kontak
E
dan
A
adalah
menggambarkan seri dan ganbar kedua P = A + B menggambarkan kontak paralel. Untuk P = 1 berarti arus ditutup bila A = B = 1 berarti dan B keduanya ditutup. ha1 ini berlaku untuk gambar
A
pertama, dan
untuk gambar kedua P = 1 berarti arus ditutup bila A = 1 atau B = 1 atau keduanya. Dan untuk kedua gambar arus akan terbuka bila P = 0 . Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel kebenaran untuk
+ B dan
A
tabel kebenaran untuk AB berikut :
Dalam menyajikan operasi NOT
pada
hubungan
dengan kontak,
perhatikan label kontak A dalam sirkuit terbuka bila satu tertutup, yang lebih penting diperhatikan adalah , Jelasnya perhatikan gambar kontak
jelas terlihat pada
gambar
label A
untuk
lebih
berikut :
kontak kontak dengan dua
posisi
kemungkinan A dan g. Jika arus P dari X ke Y tertutup berarti P = 1 jika kontak dalam posisi % maka A
berarti
P =
K,
dapat
kita buat
= 0 dan 7i = 1.
Gerbang Logika Secara sederhana dapat dikatakan bahwa sebuah
adalah merupakan
sebuah
alat
elektronik
gerbang
logika
yang membentuk
sebuah
operasi boole pada satu atau lebih input untuk menghasilkan output. Dimana input dan output ini adalah merupakan
variabel boole
mempunyai dua nilai kemungkinan yaitu LOW dan HIGH voltages, volt
yang dengan
kata lain tinggi rendahnya voltase, seperti halnya
0
dan
volt, atau tinggi rendahnya arus listrik seperti 0
miliampere
5
dan
20 miliampere. Gerbclng OR, AND dart N O T .
Sebuah sirkuit logika atau gerbang yang membentuk pada dua atau lebih variabel input dapat
dikatakan
operasi OR
dengan
gerbang OR. Secara mum simbol yang digunakan untuk
sebuah
dua variabel
input A dan input B dapat kita lihat seperti pada gambar:
Jelas terlihat pada garnbar bahwa adalah A
dan
yang
merupakan
inputnya
B, sedangkan outputnya adalah A + B. Untuk lebih
jelasnya perhatikan tabel kebenaran berikut: B
A
Untuk
tiga
A, B, C,
atau
lebih
..- outputnya
Jelaslah bahwa
inputnya pada
A
+ R
gerbang
OR
ini seperti
kita tulis sebagai f = A + B + C....
pada
definisi
penjumlahan
logika, f
akan
berharga 1 jika paling aedikit sebuah dari variabel inputnya adalah 1
Sebuah gerbang AND adalah sebuah alat yang melakukan
operasi
AND pada dua atau lebih variabel input. Operasi yang digunakan pada gerbang AND dengan dua variabel input
dapat
dilihat
pada
gambar
berkut:
Variabel outputnya adalah A AND B
atau
AB, dan tabel kebenaran
untuk gerbang AND adalah sebagai berikut:
Sebuah gerbang NOT
atau
inverter
melakukan operasi NOT. gerbang NOT
ini
adalah kita
sebuah
lihat
alat
yang
seperti pada
gambar berikut:
Adalah merupakan input tunggal, tabel kebenaran untuk
gerbang NOT
ini adalah sebagai berkut:
A
A
0
1 Gerbczng E X C L U S I V E
Pemasangan menghasilkan
-
O R CXOR)
operasi
OR
pada
dua
variabel
boole
A
dan
B
1 jika A = 1 atau B = 1, atau keduanya A = 1 dan
B = 1.0perasi exclusive
ini
lebih dikenal
dengan
XOR, simbol
alternatif untuk gerbang XOR ini adalah
0
atau A XOR B
Fungsi gerbang ini adalah guna untuk melengkapkan
=
B.
A
+ 3,
fungsi A
karena gerbang OR, AND, NOT adalah merupakan set lengkap. Dan
juga
operasi XOR ini merupakan sebuah operasi yang
pada
sirkuit logika. Operasi pelengkap
XOR
dapat
cukup penting digambarkan
seperti
berikut :
Pada umumnya operasi exclusive OR
pada
menghasilkan outputnya 1 jika dan
hanya
pada INPUT adalah sebuah nomor
dua
atau
lebih variabel
jika banyaknya
angka
1
ganjil.
GERBANG N A N D CNOT AND).
Sebuah outputnya O
gerbang dan
NAND
adalah
sebuah
inputnya 1. Operasi NAND
gerbang
logika
didefinisikan
yang sebagai
A NAND B.
Sebagai ilustrasi penggunaan gerbang NAND, kita mensintesa fungsi F
= AB + C, karena output dari sebuah gerbang NAND adalah produk dari sebuah komplement. 3.2.4.
Gerbang NOR CNOT OR>>
Sebuah operasi boole dengan operasi NAND adalah juga Operasi ini didefinisikan sebagai A
NOR
komplet.
B = A + B operasi NOR
dapat dilakukan dengan sebuah gerbang OR dan sebuah pengganti dapat dilihat pada gambar berikut:
yang
1
dan
dan
NOT
output dari gerbang ini akan bernilai 0 bila semua inputnya output bernilai I bila semua inputnya 0 . Gerbang OR, AND
dapat dikonstruksikan dengan gerbang NOR, juga fungsi boole
dapat
diimplementaaikan dengan gerbang NOR.
Sirkuit Dfgital
Pertama-tama akan dibahas tentang
disain
komparator
satu bit, yaitu suatu alat yang akan membandingkan dua dan I3 dengan aatu bit- Miaal F 1
adalah
output
digital
bilangan
yang mengaktifkan
cahaya bila A=B, yaitu Fl=l bila A=B=O dan bila A=B= 1 . Juga dimisalkan F2 output yang bernilai 1 bila
A
A
(A=O,B=l),
jilra
dan
F3
output yang bernilai 1 bila A>B (A=l, B=O), Maka tabel kebenarannya adalah:
Menggunakan minterm diperoleh:
Dari ekspresi ini diperoleh
sirkuit digital menggunakan
AND, OR dan NOT- Output F1, F2, dan
gerbang
F3 dapat mengaktifkan suatu
cahaya seperti Light Emitting Diode (LED) bila ~ = 8 AB
Gambar Comparator satu digit digunakan untuk mentransmisikan bilangan atau karakter melalui
Code
kawat telepon, kedalam komputer, dan
sebagainya.
Sebagai
contoh
bilangan atau karakter bisa disajikan dalam bilangan biner- Enceder adalah alat yang mentranslasikan karakter setara, dan
decoder
kedalam
codenya yang
mentranslasikan kode tersebut kembali
kedalam
karakter aemulaPerhatikan contoh berikut ini tentang
disain dekoder biner
2 bit, yang mana merupakan suatu sirkuit digital yang pilkan bilangan desimal yang setara bila
akan menam-
inputnya merupakan
bilangan biner 2 bit. Contoh ini adalah bentuk khusus dari bentuk umum dengan input bilangan biner N bit. Misal Fo, F1, F2, dan F3 adalah output yang mengaktifkan suatu sumber cahaya untuk
menunjukan
bilangan
desimal
0,1,2,3. Tabel
kebenaran berikut menunjukan input yang terdiri dari bilangan biner A dan
B dengan dua bit ( A B l 2 .
Tabel Kebenaran untuk dua b i t Decoder Biner
D a r i t a b e l kebenaran d a p a t d i t a r i k kesimpulan bahwa
Fa = A B = A + B = z N O R B Karena i t u d a p a t d i b e n t u k s i r k u i t dengan
4
NOR
gerbang
dan
dua
inverter.
Gambar : Decoder Biner 2 Rit Sebagai contoh 3ika b i l a n g a n 10
(bilangan
deeimalnya
2)
sebagai #
I n p u t maka F2=1 yang mana dapat mengaktifkan
suatu
sumber
cahaya
dengan bentuk angka 2. Karena a e t i a p
output
dalam
gambar
fungsi
d i a t a s a d a l a h 1 untuk s a t u kemungkinan n i l a i A , B , maka ~ i r k u i t i n i merubah i n p u t s a t u d a r i 4 kernungkinan o u t p u t . Keadaan i n i dinamakan dengan decoder 1 d a r i 4 (1 of 4 d e c o d e r ) . Secara umum s u a t u decoder 1 d a r i N d a p a t merubah i n p u t kedalam satu d a r i N kemungkinan.
Anggaplah k i t a i n g i n membuat
sirkuit
seperti
yang menunjukan desimal yang setara dengan i n p u t sumber cahaya. Contoh
ini
seperti
menunjukan angka-angka desimal
bagaimana sampai
0
diatas
binernya
melalui
kalkulator
bekerja
(ini
9
gambar
bisa
diperluas
sampai 10 d i g i t ) . Bilangan desimal d a p a t d i d i s p l a y m e l a l u i
semen-segmen
garis
bercahaya s e p e r t i gambar b e r i k u t .
Gambar :
Dalam
gambar
Contoh Bilangan dan Segrnen Bilangan
bilangan
diatas
digit
ditunijukan
0
bila
segmen
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , dan 5 bercahaya, d i g i t 1 d i t u n j u k a n b i l a s e m e n 1 dan bercahaya dan s e t e r u s n y a . dapat
didisplay
dengan
Jadi
sebarang
memnerikan
bilangan
cahaya
t e r t e n t u . Bagaimana bentuk
fungsi
segmen
dicoba
0,1,2,
dan
hanya
pada
digit
menunjukan segmen So, S1,
S2,
S3,
54,
bulat
pada
55,
Tabel dan
desimal
segmen-segrnen
tersebut
3.
2
?
Untuk
berikut S6
yang
itu
adalah dapat
menghasilkan b i l a n g a n b u l a t desimal. Tabel Kebenaran untuk Segmen yang menunjukan Bilangan Desimal
-
Binary
Desimal
A
B
Sa
Si
S2
S3
Eh
S5
Eh
0 1
0
0
1 1
0
0
0
2
1 1
1 0 1 0
1
1 0 1
1 1 1 1
1
0
1 0 1 1
0
1
0
1
3
0
0
1 1
1
Dari tabel diatas dapat dibentuk fungsi semen-segmennya
-
3 = &I3
=
A NOR
B
Sirkuit yang diperoleh dengan fungei Boole So, 9, dan Sb sebagai output dan bit
A
dan
B
sebagai
Si,
SZ, S9,
Input
seperti berikut.
Gambar:
Sirkuit untuk mendisplay bilangan Desimal
S.C,
adalah
Sebagai contoh, misalkan bilangan biner untuk didisplay adalah ll(desima1nya 3) rnaka A = B = l . Bila ditelusuri terlihat bahwa %=I,
S*=l, %=I,
S4=0, Ss=0 dan
jalur
%=I.
gambar
diatas
Jadi
gambar
bilangan yang terbentuk dari kombinasi segmen tersebut adalah 3.
angka
DAFTAR PUSTAKA
JOHNSON. E. DAVID
"
D i g i t a l c i r c u i t and
microcomputers",
Prent.1~~
H a l l I n t e r n a t . i o n a 1 Editions, 1979, London
HUDQYO, HERMAN. Prof. P r s . " A l j a b a r dan K a l k u l u s
"
1983, Pept, I? & K
LFTH. Jakarta. CLARK.
J.
FWNR.
"
Maternatika
Erlangga, 1985, J a k a r t a .
Untuk
Pemrosesan
data
