2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen:
O
y= ax
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen:
4x – x2 = a·x
op 0 herleiden:
y= ax
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen:
4x – x2 = a·x
O
op 0 herleiden: x2 + a·x – 4x = 0
dus:
y= ax
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen:
4x – x2 = a·x
O
op 0 herleiden: x2 + a·x – 4x = 0
dus:
x · (…) = 0
y= ax
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). Vraag 1. Toon dit aan.
O
Gelijkstellen: 4x – x2 = a·x op 0 herleiden: x2 + a·x – 4x = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is:
dus:
x·(x + a – 4) = 0
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). Vraag 1. Toon dit aan.
O
Gelijkstellen: 4x – x2 = a·x op 0 herleiden: x2 + a·x – 4x = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is xA =
dus:
x·(x + a – 4) = 0
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). Vraag 1. Toon dit aan.
O
Gelijkstellen: 4x – x2 = a·x op 0 herleiden: x2 + a·x – 4x = 0 dus: x·(x + a – 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is xA = 4 – a ; de y – coördinaat volgt uit y = a·x
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). Vraag 1. Toon dit aan.
O
Gelijkstellen: 4x – x2 = a·x op 0 herleiden: x2 + a·x – 4x = 0 dus: x·(x + a – 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is xA = 4 – a ; de y – coördinaat volgt uit y = a·x dus: yA = a·(4 – a) = 4a – a2.
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
Vraag 1. Toon dit aan.
Gelijkstellen: 4x – x2 = a·x op 0 herleiden: x2 + a·x – 4x = 0 dus: x·(x + a – 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is xA = 4 – a ; de y – coördinaat volgt uit y = a·x dus: yA = a·(4 – a) = 4a – a2. Het deel van V boven OA heeft oppervlakte: Vraag 2. Toon dit aan. Integraal:
1 (4 a)3 6
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
Vraag 1. Toon dit aan.
Gelijkstellen: 4x – x2 = a·x op 0 herleiden: x2 + a·x – 4x = 0 dus: x·(x + a – 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is xA = 4 – a ; de y – coördinaat volgt uit y = a·x dus: yA = a·(4 – a) = 4a – a2. Het deel van V boven OA heeft oppervlakte: Vraag 2. Toon dit aan. Integraal: Opp.
4 a
0
(4 x x 2 a x) dx
1 (4 a)3 6
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
Vraag 1. Toon dit aan.
Gelijkstellen: 4x – x2 = a·x op 0 herleiden: x2 + a·x – 4x = 0 dus: x·(x + a – 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is xA = 4 – a ; de y – coördinaat volgt uit y = a·x dus: yA = a·(4 – a) = 4a – a2. Het deel van V boven OA heeft oppervlakte:
1 (4 a)3 6
Vraag 2. Toon dit aan. Integraal: Opp.
4 a
0
(4 x x 2 a x) dx
4 a
0
( x2 (4 a) x) dx
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
Vraag 1. Toon dit aan.
Gelijkstellen: 4x – x2 = a·x op 0 herleiden: x2 + a·x – 4x = 0 dus: x·(x + a – 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is xA = 4 – a ; de y – coördinaat volgt uit y = a·x dus: yA = a·(4 – a) = 4a – a2. Het deel van V boven OA heeft oppervlakte:
1 (4 a)3 6
Vraag 2. Toon dit aan. Integraal: Opp.
4 a
0
(4 x x 2 a x) dx
4 a
0
(4a )
( x 2 (4 a) x) dx 13 x3 (4 a) 12 x2 0
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
Vraag 1. Toon dit aan.
Gelijkstellen: 4x – x2 = a·x op 0 herleiden: x2 + a·x – 4x = 0 dus: x·(x + a – 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is xA = 4 – a ; de y – coördinaat volgt uit y = a·x dus: yA = a·(4 – a) = 4a – a2. Het deel van V boven OA heeft oppervlakte:
1 (4 a)3 6
Vraag 2. Toon dit aan. Integraal: Opp.
4 a
0
(4 x x 2 a x) dx
13 (4 a)3 12 (4 a)2 (4 a) 0
4 a
0
(4a )
( x 2 (4 a) x) dx 13 x3 (4 a) 12 x 2 0
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
Vraag 1. Toon dit aan.
Gelijkstellen: 4x – x2 = a·x op 0 herleiden: x2 + a·x – 4x = 0 dus: x·(x + a – 4) = 0 x = 0 weten we al, de andere oplossing is xA = 4 – a ; de y – coördinaat volgt uit y = a·x dus: yA = a·(4 – a) = 4a – a2. Het deel van V boven OA heeft oppervlakte:
1 (4 a)3 6
Vraag 2. Toon dit aan. Integraal: Opp.
4 a
0
(4 x x 2 a x) dx
4 a
0
(4a )
( x 2 (4 a) x) dx 13 x3 (4 a) 12 x 2 0
13 (4 a)3 12 (4 a)2 (4 a) 0 ( 13 12 )(4 a)3 ( 62 63 )(4 a)3 16 (4 a)3
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
4
Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte.
Eerst de oppervlakte van V berekenen:
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
4
Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte.
Eerst de oppervlakte van V berekenen:
4
0 (4 x x
2
) dx
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
4
Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte.
Eerst de oppervlakte van V berekenen:
4 2 2 x 2 1 x3 2 16 1 64 32 (4 x x ) dx 0 3 3 0 3 4
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte.
Eerst de oppervlakte van V berekenen:
4 2 2 x 2 1 x3 2 16 1 64 32 (4 x x ) dx 0 3 3 0 3 4
De oppervlakte boven OA , in de vorige vraag berekend: is de helft hiervan, dus:
1 (4 a)3 6
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte.
Eerst de oppervlakte van V berekenen:
4 2 2 x 2 1 x3 2 16 1 64 32 (4 x x ) dx 0 3 3 0 3 4
De oppervlakte boven OA , in de vorige vraag berekend: is de helft hiervan, dus: Hieruit volgt:
1 (4 a)3 6
12 32 3
32 6
1 (4 a)3 6
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte.
Eerst de oppervlakte van V berekenen:
4 2 2 x 2 1 x3 2 16 1 64 32 (4 x x ) dx 0 3 3 0 3 4
De oppervlakte boven OA , in de vorige vraag berekend: is de helft hiervan, dus: Hieruit volgt:
1 (4 a)3 6
(4 a)3 32 dus
12 32 3
32 6
1 (4 a)3 6
2010-I y= 4x – x2
De parabool met vergelijking y = 4x – x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt A. Zie de figuur.
A
y= ax
A heeft de coördinaten (4 – a, 4a – a2). O
Vraag 3. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte.
Eerst de oppervlakte van V berekenen:
4 2 2 x 2 1 x3 2 16 1 64 32 (4 x x ) dx 0 3 3 0 3 4
De oppervlakte boven OA , in de vorige vraag berekend: is de helft hiervan, dus: Hieruit volgt:
1 (4 a)3 6
12 32 3
1 (4 a)3 6
32 6
(4 a)3 32 dus 4 a 3 32
en a 4 3 32
2010-I vraag 4 t/m 8 Goniometrie. Vooraf drie definities en twee stellingen, in een rechthoekige driehoek: sin α
o overstaande zijde s schuine
cos α
a aanliggende zijde s schuine
tan α
o overstaande zijde a aanliggende
s
α a
De stelling van Pythagoras: (sin α)2 (cos α)2 1 korter genoteerd als: sin 2 α cos2 α = 1
Formule voor de tangens:
o
sin α tan α cos α
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 19 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we O.
P
O
De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α . We kiezen lengte 1 voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α , met 0≤α≤π.
Vraag 4. Toon aan dat er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 19 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we O.
P
O
De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α . We kiezen lengte 1 voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α , met 0≤α≤π.
Vraag 4. Toon aan dat er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Hiernaast is een driehoekje getekend met zijden x en y. Er staan 2×5=10 van zulke driehoekjes in de x-richting en 2×3=6 in de y-richting. Er geldt dus:
1
y
½a
x
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 19 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we O.
P
O
De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α . We kiezen lengte 1 voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α , met 0≤α≤π.
Vraag 4. Toon aan dat er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Hiernaast is een driehoekje getekend met zijden x en y. Er staan 2×5=10 van zulke driehoekjes in de x-richting en 2×3=6 in de y-richting. Er geldt dus: cos( 12 α)
... .. dus ...
x
sin( 12 α)
... .. dus ...
y
1
y
½a
x
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 19 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we O.
P
O
De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α . We kiezen lengte 1 voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α , met 0≤α≤π.
Vraag 4. Toon aan dat er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Hiernaast is een driehoekje getekend met zijden x en y. Er staan 2×5=10 van zulke driehoekjes in de x-richting en 2×3=6 in de y-richting. Er geldt dus: cos( 12 α)
x x dus 1
x cos( 12 α) en l
sin( 12 α)
y y dus 1
y sin( 12 α) en b
1
y
½a
x
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 19 gelijke ruiten. In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd. Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we O.
P
O
De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α . We kiezen lengte 1 voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α , met 0≤α≤π.
Vraag 4. Toon aan dat er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Hiernaast is een driehoekje getekend met zijden x en y. Er staan 2×5=10 van zulke driehoekjes in de x-richting en 2×3=6 in de y-richting. Er geldt dus: cos( 12 α)
x x dus 1
x cos( 12 α) en l 10 cos( 12 α)
sin( 12 α)
y y dus 1
y sin( 12 α) en b 6 sin( 12 α)
1
y
½a
x
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. Dus: 10cos( 12 α) 8 en
P
O
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 10cos( 12 α) 8 en cos( 12 α) 10 5 Om sin( 12 α) uit te rekenen gebruiken we
de stelling van Pythagoras, in dit geval dus:
P
O
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact. 8 4 Dus: 10cos( 12 α) 8 en cos( 12 α) 10 5 Om sin( 12 α) uit te rekenen gebruiken we
de stelling van Pythagoras, in dit geval dus: sin 2 ( 12 α)+cos2 ( 12 α)=1 sin 2 ( 12 α)
P
O
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact.
P
O
8 4 Dus: 10cos( 12 α) 8 en cos( 12 α) 10 5 Om sin( 12 α) uit te rekenen gebruiken we
de stelling van Pythagoras, in dit geval dus:
4 9 sin 2 ( 12 α)+ cos2 ( 12 α)=1 sin 2 ( 12 α) 1 cos2 ( 12 α)=1 ( )2 5 25
dus
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact.
P
O
8 4 Dus: 10cos( 12 α) 8 en cos( 12 α) 10 5 Om sin( 12 α) uit te rekenen gebruiken we
de stelling van Pythagoras, in dit geval dus:
4 9 sin 2 ( 12 α)+ cos2 ( 12 α)=1 sin 2 ( 12 α) 1 cos2 ( 12 α)=1 ( )2 5 25
3 dus sin( 12 α) 5
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact.
P
O
8 4 Dus: 10cos( 12 α) 8 en cos( 12 α) 10 5 Om sin( 12 α) uit te rekenen gebruiken we
de stelling van Pythagoras, in dit geval dus:
4 9 sin 2 ( 12 α)+ cos2 ( 12 α)=1 sin 2 ( 12 α) 1 cos2 ( 12 α)=1 ( )2 5 25
3 dus sin( 12 α) 5
Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. de afgeleide van b is: b
de afgeleide van l is: l
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact.
P
O
8 4 Dus: 10cos( 12 α) 8 en cos( 12 α) 10 5 Om sin( 12 α) uit te rekenen gebruiken we
de stelling van Pythagoras, in dit geval dus:
4 9 sin 2 ( 12 α)+ cos2 ( 12 α)=1 sin 2 ( 12 α) 1 cos2 ( 12 α)=1 ( )2 5 25
3 dus sin( 12 α) 5
Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. de afgeleide van b is: b
de afgeleide van l is: l
Vergeet hier het minteken
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact.
P
O
8 4 Dus: 10cos( 12 α) 8 en cos( 12 α) 10 5 Om sin( 12 α) uit te rekenen gebruiken we
de stelling van Pythagoras, in dit geval dus:
4 9 sin 2 ( 12 α)+ cos2 ( 12 α)=1 sin 2 ( 12 α) 1 cos2 ( 12 α)=1 ( )2 5 25
3 dus sin( 12 α) 5
Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. de afgeleide van b is: b 3cos( 12 α)
de afgeleide van l is: l 5sin( 12 α)
gelijkstellen: kettingregel : 6 12 cos( 12 α)
kettingregel : 10 12 sin( 12 α)
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact.
P
O
8 4 Dus: 10cos( 12 α) 8 en cos( 12 α) 10 5 Om sin( 12 α) uit te rekenen gebruiken we
de stelling van Pythagoras, in dit geval dus:
4 9 sin 2 ( 12 α)+ cos2 ( 12 α)=1 sin 2 ( 12 α) 1 cos2 ( 12 α)=1 ( )2 5 25
3 dus sin( 12 α) 5
Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. de afgeleide van b is: b 3cos( 12 α)
de afgeleide van l is: l 5sin( 12 α)
gelijkstellen: 3cos( 12 α) 5 sin( 12 α)
Oplossen met intersect 3cos(X)=5sin(X) of via de tangens
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Er geldt:
l 10cos( 12 α) en b 6sin( 12 α)
Vraag 5. Gegeven is: l = 8. Bereken b exact.
P
O
8 4 Dus: 10cos( 12 α) 8 en cos( 12 α) 10 5 Om sin( 12 α) uit te rekenen gebruiken we
de stelling van Pythagoras, in dit geval dus:
4 9 sin 2 ( 12 α)+ cos2 ( 12 α)=1 sin 2 ( 12 α) 1 cos2 ( 12 α)=1 ( )2 5 25
3 dus sin( 12 α) 5
Vraag 6. Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van α de breedte b even snel toeneemt als de lengte l afneemt. Rond je antwoord af op twee decimalen. de afgeleide van b is: b 3cos( 12 α)
de afgeleide van l is: l 5sin( 12 α)
gelijkstellen: 3cos( 12 α) 5sin( 12 α)
Oplossen met intersect 3cos(X)=5sin(X) of via de tangens geeft
sin( 12 α) cos( 12 α)
tan( 12 α)
( delen door cos( 12 α) )
3 0, 6 met de oplossing: α 1, 08 radialen ! 5
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Vraag 7. Toon aan:
OQ 4 5sin 2 ( 12 α)
P
O
Oplossing: 2 stapjes in de x-richting = 3 stapjes in de y-richting =
3sin( 12 α)
2cos( 12 α)
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Vraag 7. Toon aan:
OQ 4 5sin 2 ( 12 α)
P
O
Oplossing: 2 stapjes in de x-richting = 2cos( 1 α) 2 3 stapjes in de y-richting = 3sin( 12 α) Gebruik Pythagoras in de rode rechthoek: 3sin( 12 α)
2cos( 12 α)
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Vraag 7. Toon aan:
OQ 4 5sin 2 ( 12 α)
P
O
Oplossing: 2 stapjes in de x-richting = 2cos( 1 α) 2 3 stapjes in de y-richting = 3sin( 12 α) Gebruik Pythagoras in de rode rechthoek: OQ 2 (3sin( 12 α))2 (2 cos( 12 α)) 2 9sin 2 ( 12 α) 4 cos 2 ( 12 α)
3sin( 12 α)
2cos( 12 α)
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Vraag 7. Toon aan:
OQ 4 5sin 2 ( 12 α)
P
O
Oplossing: 2 stapjes in de x-richting = 2cos( 1 α) 2 3 stapjes in de y-richting = 3sin( 12 α) Gebruik Pythagoras in de rode rechthoek: OQ2 (3sin( 12 α))2 (2cos( 12 α))2 9sin 2 ( 12 α) 4cos2 ( 12 α)
3sin( 12 α)
dus: OQ 2 9sin 2 ( 12 α) 4(1 sin 2 ( 12 α)) 9sin 2 ( 12 α) 4 4sin 2 ( 12 α)
sin2A + cos2A = 1
2cos( 12 α)
2010-I vraag 4 t/m 8 Q
Vraag 7. Toon aan:
OQ 4 5sin 2 ( 12 α)
P
O
Oplossing: 2 stapjes in de x-richting = 2cos( 1 α) 2 3 stapjes in de y-richting = 3sin( 12 α) Gebruik Pythagoras in de rode rechthoek: OQ2 (3sin( 12 α))2 (2cos( 12 α))2 9sin 2 ( 12 α) 4cos2 ( 12 α)
3sin( 12 α)
dus: OQ2 9sin 2 ( 12 α) 4(1 sin 2 ( 12 α)) 9sin 2 ( 12 α) 4 4sin 2 ( 12 α) 2cos( 12 α)
dus: OQ 4 5sin 2 ( 12 α)
2010-I vraag 4 t/m 8
Q
Uit de vorige vraag: OQ 4 5sin 2 ( 12 α) en x cos( 12 α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één P cirkel met middelpunt O liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. (afronden op 2 decimalen)
O
2010-I vraag 4 t/m 8
Q
Uit de vorige vraag: OQ 4 5sin 2 ( 12 α) en x cos( 12 α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één P cirkel met middelpunt O liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: OP = OQ
O
2010-I vraag 4 t/m 8
Q
Uit de vorige vraag: OQ 4 5sin 2 ( 12 α) en x cos( 12 α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één P cirkel met middelpunt O liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: OP = OQ Oftewel: 5cos( 12 α) 4 5sin 2 ( 12 α)
O
2010-I vraag 4 t/m 8
Q
Uit de vorige vraag: OQ 4 5sin 2 ( 12 α) en x cos( 12 α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één P cirkel met middelpunt O liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: OP = OQ Oftewel: 5cos( 12 α) 4 5sin 2 ( 12 α) Kwadrateren:
O
2010-I vraag 4 t/m 8
Q
Uit de vorige vraag: OQ 4 5sin 2 ( 12 α) en x cos( 12 α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één P cirkel met middelpunt O liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: OP = OQ Oftewel: 5cos( 12 α) 4 5sin 2 ( 12 α) Kwadrateren: 25cos2 ( 12 α) 4 5sin 2 ( 12 α)
Pythagoras:
O
2010-I vraag 4 t/m 8
Q
Uit de vorige vraag: OQ 4 5sin 2 ( 12 α) en x cos( 12 α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één P cirkel met middelpunt O liggen. Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: OP = OQ Oftewel: 5cos( 12 α) 4 5sin 2 ( 12 α) Kwadrateren: 25 cos2 ( 12 α) 4 5sin 2 ( 12 α) Pythagoras: 25 (1 sin 2 ( 12 α)) 4 5sin 2 ( 12 α)
O
2010-I vraag 4 t/m 8
Q
Uit de vorige vraag: OQ 4 5sin 2 ( 12 α) en x cos( 12 α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één P cirkel met middelpunt O liggen.
O
Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: OP = OQ Oftewel: 5cos( 12 α) 4 5sin 2 ( 12 α) Kwadrateren: 25cos2 ( 12 α) 4 5sin 2 ( 12 α) Pythagoras: 25 (1 sin 2 ( 12 α)) 4 5sin 2 ( 12 α) 30sin 2 ( 12 α) 21 sin( 12 α) 0,7
2010-I vraag 4 t/m 8
Q
Uit de vorige vraag: OQ 4 5sin 2 ( 12 α) en x cos( 12 α) Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één P cirkel met middelpunt O liggen.
O
Vraag 8. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. P en Q liggen op een cirkel dus moet gelden: OP = OQ Oftewel: 5cos( 12 α) 4 5sin 2 ( 12 α) Kwadrateren: 25cos2 ( 12 α) 4 5sin 2 ( 12 α) Pythagoras: 25 (1 sin 2 ( 12 α)) 4 5sin 2 ( 12 α) 30sin 2 ( 12 α) 21 sin( 12 α) 0,7 0,5α sin 1 ( 0,7) antwoord: α 1,99 (rad )
[ mag ook met GR, bijvoorbeeld via intersect ]
2010-I Cirkel en rechthoek Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. Op c ligt een vast punt A. We bekijken rechthoeken met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en AD 4 cm lang zijn. Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe.
C E B M D
A
2010-I Cirkel en rechthoek Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. Op c ligt een vast punt A. We bekijken rechthoeken met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en AD 4 cm lang zijn. Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe.
C E B M
D
A middelloodlijn
• E ligt op de middelloodlijn van DA
2010-I Cirkel en rechthoek Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. Op c ligt een vast punt A. We bekijken rechthoeken met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en AD 4 cm lang zijn. Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe.
E
E B
M D
A middelloodlijnen
• • • •
E ligt op de middelloodlijn van DA Cirkel AD om het punt A Middelloodlijn van nieuwe zijde AD Geeft tweede punt E en roodgestippelde rechthoek
C
2010-I Cirkel en rechthoek Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. Op c ligt een vast punt A. We bekijken rechthoeken met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en AD 4 cm lang zijn. Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe. • • • • •
E
C
E B M D E
A
E
E ligt op de middelloodlijn van DA Cirkel AD om het punt A Middelloodlijn van nieuwe zijde AD Geeft tweede punt E en roodgestippelde rechthoek Aan de andere kant van de twee rechthoeken snijden de middelloodlijnen de cirkel ook
2010-I Cirkel en rechthoek Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. Op c ligt een vast punt A. We bekijken rechthoeken met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en AD 4 cm lang zijn. Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe. • • • • • •
C
B M D E A
E
E ligt op de middelloodlijn van DA Cirkel AD om het punt A Middelloodlijn van nieuwe zijde AD Geeft tweede punt E en roodgestippelde rechthoek Aan de andere kant van de twee rechthoeken snijden de middelloodlijnen de cirkel ook Dat geeft nog eens twee rechthoeken (groen en blauw)
2010-I Cirkel en rechthoek Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. Op c ligt een vast punt A. We bekijken rechthoeken met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC cirkel c raakt. Het raakpunt van de rechthoek met de cirkel is het midden E van BC. Er zijn vier van dergelijke rechthoeken waarvan de zijden BC en AD 4 cm lang zijn. Vraag 9. Teken alle mogelijke punten E waarbij aan deze eisen is voldaan. Licht je werkwijze toe. • • • • • • • •
E
C E
B M D E A
E
E ligt op de middelloodlijn van DA Cirkel AD om het punt A Middelloodlijn van nieuwe zijde AD Geeft tweede punt E en roodgestippelde rechthoek Aan de andere kant van de twee rechthoeken snijden de middelloodlijnen de cirkel ook Dat geeft nog eens twee rechthoeken (groen en blauw) Er zijn dus 4 punten E. En vier verschillende oplossingen (4 rechthoeken die de cirkel raken).
2010-I Cirkel en rechthoek
C
Vooraf de definitie van een parabool. P
Q
De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. M p B
2010-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur.
N
D
C
E
M
p A
Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 10. Bewijs dat CMD = 90o.
B
2010-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur.
N
D
E
M
p A
Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 10. Bewijs dat CMD = 90o. Bewijs: • N ligt op p dus NM = NC.
C
B
2010-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur.
N
D
E
M
p A
Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 10. Bewijs dat CMD = 90o. Bewijs: • N ligt op p dus NM = NC. • Gegeven is verder dat ND = NC.
C
B
2010-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur.
N
D
C
E
M
p A
Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 10. Bewijs dat CMD = 90o. Bewijs: • N ligt op p dus NM = NC. • Gegeven is verder dat ND = NC. • Dus NM = ND = NC wat betekent, dat de cirkel door D, M en C, punt N als middelpunt heeft. DC is middellijn van deze cirkel.
B
2010-I Cirkel en rechthoek Vooraf de definitie van een parabool. De parabool p met brandpunt M en richtlijn BC is de verzameling van de punten P die gelijke afstand hebben tot M en lijn BC. Bij een willekeurige rechthoek met hoekpunten A, B, C en D waarvan A en D op c liggen en waarvan zijde BC raakt aan c, wordt de parabool p getekend met brandpunt M en richtlijn de lijn BC. Het midden van CD noemen we N. Zie de figuur.
N
D
C
E
M
p A
Wanneer we D over de cirkel c bewegen, komt er een situatie waarbij N op p ligt. Vraag 10. Bewijs dat CMD = 90o. Bewijs: • N ligt op p dus NM = NC. • Gegeven is verder dat ND = NC. • Dus NM = ND = NC wat betekent, dat de cirkel door D, M en C, punt N als middelpunt heeft. DC is middellijn van deze cirkel. • En volgens de stelling van Thales is dus CMD = 90o.
B
Voorbeeld van een vraagstuk met heel veel tekst: 2010-I vraag 11-13 Lees eerst de tekst globaal door en pik er de getallen, variabelen en formules uit: hier met [ rood ] aangegeven. [ De uitwerking staat verderop ] ------------------------------------------------------------------------------------------
Een condensator is een elektrische component waarin je elektrische lading kunt opslaan. Iemand heeft een elektrisch circuit met één condensator gemaakt waarin geldt: als de lege condensator wordt opgeladen, neemt de condensatorspanning toe van 0 tot een limietspanning [horizontale asymptoot] volgens de formule U 12 (1 e
t 2000C )
Hierin is: U de condensatorspanning in volt, t de oplaadtijd in seconden en C de capaciteit van de condensator in farad. Een condensator met een capaciteit van 0,01 farad [C = 0,01] wordt in dit circuit opgeladen. Voor deze condensator in dit circuit geldt dus: [want 2000×0,01 = 20] U 12 (1 e
t 20C
)
U 10
50
t
U 12 (1 e
t 20C
)
11
Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,01 farad toeneemt op tijdstip t = 0.
12
Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,01 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is.
U
12
10
50
t
U 12 (1 e
t 20C
)
[ Als t heel groot wordt, gaat de e-macht naar nul, dus de H.A. is U = 12 ] 11
Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,01 farad toeneemt op tijdstip t = 0.
12
Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,01 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is.
U
12
10
50
t
U 12 (1 e
t 20C
)
[ Als t heel groot wordt, gaat de e-macht naar nul, dus de H.A. is U = 12 ] 11
Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus dU/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,01 farad [ C = 0,01 ] toeneemt op tijdstip t = 0.
12
Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,01 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is.
U
12
10
50
t
U 12 (1 e
t 20C
)
[ Als t heel groot wordt, gaat de e-macht naar nul, dus de H.A. is U = 12 ] 11
Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus dU/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,01 farad [ C = 0,01 ] toeneemt op tijdstip t = 0.
12
Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,01 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is. [ U is 90% van 12 is 10,8 ]
Soms heb je niet direct de beschikking over een condensator met de juiste capaciteit. Om een kleinere capaciteit te krijgen, kun je meerdere condensatoren in serie schakelen. Een serieschakeling van n condensatoren met capaciteiten C1, …, Cn heeft dezelfde werking als één condensator met capaciteit Cs , waarbij 1 1 1 ... Cs C1 Cn
Zo hebben bijvoorbeeld twee in serie geschakelde condensatoren met een capaciteit van 0,01 farad dezelfde werking als één condensator met een capaciteit van 0,005 farad.
We willen in het bovengenoemde circuit binnen een tijd van 10 seconden een condensatorspanning van minstens 10 volt verkrijgen. We beschikken over een groot aantal lege condensatoren, elk met een capaciteit van 0,01 farad.
Onderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken. 13
Soms heb je niet direct de beschikking over een condensator met de juiste capaciteit. Om een kleinere capaciteit te krijgen, kun je meerdere condensatoren in serie schakelen. Een serieschakeling van n condensatoren met capaciteiten C1, …, Cn heeft dezelfde werking als één condensator met capaciteit Cs , waarbij 1 1 1 ... Cs C1 Cn
Zo hebben bijvoorbeeld twee in serie geschakelde condensatoren met een capaciteit van 0,01 farad dezelfde werking als één condensator met een capaciteit van 0,005 farad. [ controle:
1 1 2 1 100 100 0, 01 0, 01 0, 01 0, 005
]
We willen in het bovengenoemde circuit binnen een tijd van 10 seconden [t = 10] een condensatorspanning van minstens 10 volt [ U = 10 ] verkrijgen. We beschikken over een groot aantal [ stel n stuks ] lege condensatoren, elk met een capaciteit van 0,01 farad. [
1 1 1 1 ... n n 100 100n C 0, 01 0, 01 0, 01
]
Onderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken. [ t = 10 en U = 10 ] 13
Uitgewerkte antwoorden 11
Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus dU/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,01 farad [ C = 0,01 ] toeneemt op tijdstip t = 0. Oplossing: U 12 (1 e
Je moet de spanning, dus U , differentiëren.
t 20 )
12 1 12 e
t 20
differentiëren :
Uitgewerkte antwoorden 11
Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus dU/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,01 farad [ C = 0,01 ] toeneemt op tijdstip t = 0. Oplossing: U 12 (1 e
Je moet de spanning, dus U , differentiëren.
t 20 )
t
12 1 12 e
t 20
t
dU 1 12 e 20 0, 6 e 20 dt 20
differentiëren met de kettingregel:
Uitgewerkte antwoorden 11
Bereken met behulp van differentiëren met welke snelheid (in volt per seconde) [ dus dU/dt ] de spanning van een condensator met een capaciteit van 0,01 farad [ C = 0,01 ] toeneemt op tijdstip t = 0. Oplossing: U 12 (1 e
Je moet de spanning, dus U , differentiëren.
t 20 )
t
12 1 12 e
t 20
t
dU 1 12 e 20 0, 6 e 20 dt 20
op t = 0:
dt 0, 6 e0 0, 6 dU
differentiëren met de kettingregel:
12
Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,01 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is. [ U is 90% van 12 is 10,8 ]
Oplossing: U 12 (1 e
t 20 )
0,9 12
U 1 e
t 20
0,9
12
Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,01 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is. [ U is 90% van 12 is 10,8 ]
Oplossing: U 12 (1 e
U e
t 20
t 20 )
0,1
0,9 12
t ln 0,1 20
U 1 e
t 20
0,9
12
Bereken algebraïsch hoe lang het duurt voordat bij een condensator met een capaciteit van 0,01 farad de condensatorspanning 90% van de limietspanning is. [ U is 90% van 12 is 10,8 ]
Oplossing: U 12 (1 e
U e
t 20
t 20 )
0,9 12
0,1
t ln 0,1 ln10 20
U 1 e
t 20
t ln 0,1 20
dus t 20 ln10 46
0,9
13
Onderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken. [ t = 10 en U = 10 ]
1 1 1 1 ... n n 100 100n C 0, 01 0, 01 0, 01
Oplossing: Doe WINDOW 0<X<3 en 0
12(1 e^-X) 10
13
Onderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken. [ t = 10 en U = 10 ]
1 1 1 1 ... n n 100 100n C 0, 01 0, 01 0, 01
Oplossing: Doe WINDOW 0<X<3 en 0
geeft X = 1.79 daarna:
10 1.79 2000C
12(1 e^-X) 10
13
Onderzoek hoeveel van deze condensatoren ten minste in serie geschakeld moeten worden om het gestelde doel te bereiken. [ t = 10 en U = 10 ]
1 1 1 1 ... n n 100 100n C 0, 01 0, 01 0, 01
Oplossing: Doe WINDOW 0<X<3 en 0
geeft X = 1,79 daarna:
10 1.79 2000C
met C = 0,00279 geeft:
100n
dus minstens 4 condensatoren nodig
1 [ 3.58] 0, 00279
12(1 e^-X) 10
2010-I De punten A(1, 1) en B(3, 1/3) liggen op de grafiek van y = 1/x. We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, 1/p) ligt op de grafiek, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven.
y=1/x 1
A P
1/p
B
1/3
O
1
p
Vraag 14. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½ . Oplossing:
3
2010-I De punten A(1, 1) en B(3, 1/3) liggen op de grafiek van y = 1/x. We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, 1/p) ligt op de grafiek, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven.
y=1/x 1
A P
1/p
B
1/3
O
1
p
Vraag 14. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½ . Haakjes wegwerken
Oplossing: Opp. (3 p)(1
1 1 ) p 2
3
2010-I De punten A(1, 1) en B(3, 1/3) liggen op de grafiek van y = 1/x. We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, 1/p) ligt op de grafiek, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven.
y=1/x 1
A P
1/p
B
1/3
O
1
p
Vraag 14. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½ . Oplossing: Opp. (3 p)(1
1 1 ) p 2
3
3 1 p 1 p 2
3
2010-I De punten A(1, 1) en B(3, 1/3) liggen op de grafiek van y = 1/x. We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, 1/p) ligt op de grafiek, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven.
y=1/x 1
A P
1/p
B
1/3
O
1
p
Vraag 14. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½ . Oplossing: Opp. (3 p)(1
1 1 ) p 2
3
3 1 p 1 p 2
2 p
3
2010-I De punten A(1, 1) en B(3, 1/3) liggen op de grafiek van y = 1/x. We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, 1/p) ligt op de grafiek, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven.
y=1/x 1
A P
1/p
B
1/3
O
1
p
3
Vraag 14. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½ . Oplossing: Opp. (3 p)(1
1 1 ) p 2
3
3 1 p 1 p 2
2 p
6 p 6 2 p2 p 0 2 p2 7 p 6 0
2010-I De punten A(1, 1) en B(3, 1/3) liggen op de grafiek van y = 1/x. We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, 1/p) ligt op de grafiek, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven.
y=1/x 1
A P
1/p
B
1/3
O
1
p
3
Vraag 14. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½ . Oplossing: Opp. (3 p)(1
1 1 ) p 2
3
3 1 p 1 p 2
De abc-formule geeft twee oplossingen:
2 p
6 p 6 2 p2 p 0 2 p2 7 p 6 0
2010-I De punten A(1, 1) en B(3, 1/3) liggen op de grafiek van y = 1/x. We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, 1/p) ligt op de grafiek, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. In de figuur zijn de stukken rechtsboven en linksonder grijs aangegeven.
y=1/x 1
A P
1/p
B
1/3
O
1
p
3
Vraag 14. Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van p de oppervlakte van het grijze stuk rechtsboven gelijk is aan ½ . Oplossing: Opp. (3 p)(1
1 1 ) p 2
3
3 1 p 1 p 2
2 p
6 p 6 2 p2 p 0 2 p2 7 p 6 0
De abc-formule geeft twee oplossingen: p = 1½ en p = 2.
2010-I De punten A(1, 1) en B(3, 1/3) liggen op de grafiek van y = 1/x. We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, 1/p) ligt op de grafiek, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. 4 3
y=1/x A
1
P
1/p
B
1/3
3 p
De som van de grijze oppervlakten is: som ( p 4 )
O
1
Vraag 15. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is.
Oplossing. De afgeleide nul stellen:
p
3
2010-I De punten A(1, 1) en B(3, 1/3) liggen op de grafiek van y = 1/x. We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, 1/p) ligt op de grafiek, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. 4 3
y=1/x A
1
P
1/p
B
1/3
3 p
De som van de grijze oppervlakten is: som ( p 4 )
O
1
Vraag 15. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is.
Oplossing. De afgeleide nul stellen: 4 3 (1 )0 2 3 p
p
3
2010-I De punten A(1, 1) en B(3, 1/3) liggen op de grafiek van y = 1/x. We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, 1/p) ligt op de grafiek, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. 4 3
y=1/x A
1
P
1/p
B
1/3
3 p
De som van de grijze oppervlakten is: som ( p 4 )
O
1
Vraag 15. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is.
Oplossing. De afgeleide nul stellen: 4 3 (1 )0 2 3 p
3
p
3
2010-I De punten A(1, 1) en B(3, 1/3) liggen op de grafiek van y = 1/x. We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, 1/p) ligt op de grafiek, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. 4 3
y=1/x A
1
P
1/p
B
1/3
3 p
De som van de grijze oppervlakten is: som ( p 4 )
O
1
Vraag 15. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is.
Oplossing. De afgeleide nul stellen: 4 3 12 3 p2 (1 ) 0 4 0 2 2 3 p p
p
3
2010-I De punten A(1, 1) en B(3, 1/3) liggen op de grafiek van y = 1/x. We bekijken de rechthoek waarvan A en B hoekpunten zijn en waarvan twee zijden evenwijdig zijn aan de x-as (en de andere twee zijden dus evenwijdig zijn aan de y-as). Een punt P( p, 1/p) ligt op de grafiek, tussen A en B. De horizontale en de verticale lijn door P verdelen de rechthoek in vier rechthoekige stukken. 4 3
y=1/x A
1
P
1/p
B
1/3
3 p
De som van de grijze oppervlakten is: som ( p 4 )
O
1
Vraag 15. Bereken exact voor welke waarde van p deze som maximaal is.
Oplossing. De afgeleide nul stellen: 4 3 12 3 p2 (1 ) 0 4 0 4 p 2 12 0 2 2 3 p p
p 3
p
3
2010-I vraag 16
T A
De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4⋅ln x en g(x) =(ln x)4 met x > 0 . De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in A en de grafiek van g in B. Vraag 16. Bereken exact de maximale lengte van AB. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.
f
A B
O
S
x=p
g
2010-I vraag 16
T A
De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4⋅ln x en g(x) =(ln x)4 met x > 0 . De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in A en de grafiek van g in B. Vraag 16. Bereken exact de maximale lengte van AB. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. Oplossing: AB =
f
A B
O
S
x=p
g
2010-I vraag 16
T A
De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4⋅ln x en g(x) =(ln x)4 met x > 0 . De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in A en de grafiek van g in B. Vraag 16. Bereken exact de maximale lengte van AB. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. Oplossing: AB = f (p) – g(p) = 4·ln p – (ln p)4. Afgeleide nulstellen geeft:
f
A B
O
S
x=p
g
2010-I vraag 16
T A
De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4⋅ln x en g(x) =(ln x)4 met x > 0 . De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in A en de grafiek van g in B.
f
B O
S
Vraag 16. Bereken exact de maximale lengte van AB. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. Oplossing: AB = f (p) – g(p) = 4·ln p – (ln p)4. Afgeleide nulstellen geeft: Uitwerken:
4
1 1 4(ln p)3 0 p p
A
kettingregel
x=p
g
2010-I vraag 16
T A
De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4⋅ln x en g(x) =(ln x)4 met x > 0 . De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in A en de grafiek van g in B. Vraag 16. Bereken exact de maximale lengte van AB. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. Oplossing: AB = f (p) – g(p) = 4·ln p – (ln p)4. Afgeleide nulstellen geeft: Uitwerken:
4
1 1 4(ln p)3 0 p p
4 (1 (ln p)3 ) 0 p
f
A B
O
S
x=p
g
2010-I vraag 16
T A
De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4⋅ln x en g(x) =(ln x)4 met x > 0 . De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in A en de grafiek van g in B.
f
B O
Vraag 16. Bereken exact de maximale lengte van AB. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. Oplossing: AB = f (p) – g(p) = 4·ln p – (ln p)4. Afgeleide nulstellen geeft: Uitwerken:
4
A
1 1 4(ln p)3 0 p p
4 (1 (ln p)3 ) 0 (ln p)3 1 dus ln p 1 p
S
x=p
g
2010-I vraag 16
T A
De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4⋅ln x en g(x) =(ln x)4 met x > 0 . De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in A en de grafiek van g in B.
f
B O
Vraag 16. Bereken exact de maximale lengte van AB. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. Oplossing: AB = f (p) – g(p) = 4·ln p – (ln p)4. Afgeleide nulstellen geeft: Uitwerken:
4
1 1 4(ln p)3 0 p p
4 (1 (ln p)3 ) 0 (ln p)3 1 dus ln p 1 p
De maximum lengte van AB is:
A
S
x=p
g
2010-I vraag 16
T A
De functies f en g zijn gegeven door f (x)=4⋅ln x en g(x) =(ln x)4 met x > 0 . De grafieken van f en g snijden elkaar in S en T. Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f in A en de grafiek van g in B.
f
B O
Vraag 16. Bereken exact de maximale lengte van AB. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk. Oplossing: AB = f (p) – g(p) = 4·ln p – (ln p)4. Afgeleide nulstellen geeft: Uitwerken:
4
1 1 4(ln p)3 0 p p
4 (1 (ln p)3 ) 0 (ln p)3 1 dus ln p 1 p
De maximum lengte van AB is: 4·1– (1)4 = 3
A
S
x=p
g
m
2010-I vraag 17 en 18 Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt A er tussenin. Je kunt op elk van de twee gegeven lijnen een punt tekenen zo dat deze punten samen met punt A de hoekpunten zijn van een rechthoekige, gelijkbenige driehoek. Een dergelijke driehoek noemen we een geodriehoek. Er zijn verschillende gevallen mogelijk. In deze opgave bekijken we de situatie waarbij het hoekpunt van de rechte hoek van de geodriehoek rechts van punt A op k ligt. Hieronder staat eerst een constructie. Daarna wordt aan je gevraagd te bewijzen dat het resultaat inderdaad een geodriehoek is. Op k zijn de punten B en C getekend zo dat AB ⊥ BC en AB = BC . Punt D is op m getekend met DC ⊥ AC . Op k is vervolgens punt E getekend zo dat ∠ADE=45°.
A k
D
m
45o
A B
C
E
k
m
2010-I vraag 17 en 18 Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt A er tussenin. Je kunt op elk van de twee gegeven lijnen een punt tekenen zo dat deze punten samen met punt A de hoekpunten zijn van een rechthoekige, gelijkbenige driehoek. Een dergelijke driehoek noemen we een geodriehoek. Er zijn verschillende gevallen mogelijk. In deze opgave bekijken we de situatie waarbij het hoekpunt van de rechte hoek van de geodriehoek rechts van punt A op k ligt. Hieronder staat eerst een constructie. Daarna wordt aan je gevraagd te bewijzen dat het resultaat inderdaad een geodriehoek is. Op k zijn de punten B en C getekend zo dat AB ⊥ BC en AB = BC . Punt D is op m getekend met DC ⊥ AC . Op k is vervolgens punt E getekend zo dat ∠ADE=45°.
A k
D
m
45o
A
Vraag 17. Bewijs dat vierhoek ACED een koordenvierhoek is.
B
C
E
k
2010-I vraag 17 en 18
D 45o
Vraag 17. Bewijs dat vierhoek ACED een koordenvierhoek is. Gegeven: AB ⊥ BC en AB = BC , DC ⊥ AC , ADE = 45°. Bewijs: • ABC is gelijkbenig en rechthoekig, dus ACB =
m
A B
C
E
k
2010-I vraag 17 en 18
D 45o
Vraag 17. Bewijs dat vierhoek ACED een koordenvierhoek is. Gegeven: AB ⊥ BC en AB = BC , DC ⊥ AC , ADE = 45°. Bewijs: • ABC is gelijkbenig en rechthoekig, dus ACB = 45o. • BCE =
m
A B
C
E
k
2010-I vraag 17 en 18
D 45o
Vraag 17. Bewijs dat vierhoek ACED een koordenvierhoek is. Gegeven: AB ⊥ BC en AB = BC , DC ⊥ AC , ADE = 45°. Bewijs: • ABC is gelijkbenig en rechthoekig, dus ACB = 45o. • BCE = 180o (gestrekte hoek) =
m
A B
C
E
k
2010-I vraag 17 en 18
D 45o
Vraag 17. Bewijs dat vierhoek ACED een koordenvierhoek is. Gegeven: AB ⊥ BC en AB = BC , DC ⊥ AC , ADE = 45°.
• ABC is gelijkbenig en rechthoekig, dus ACB = 45o. • BCE = 180o (gestrekte hoek) = 45o + 90o + DCE,
• dus DCE =
A B
Bewijs:
en ACE =.
m
C
E
k
2010-I vraag 17 en 18
D 45o
Vraag 17. Bewijs dat vierhoek ACED een koordenvierhoek is. Gegeven: AB ⊥ BC en AB = BC , DC ⊥ AC , ADE = 45°. Bewijs:
m
A 135o
B
• ABC is gelijkbenig en rechthoekig, dus ACB = 45o. • BCE = 180o (gestrekte hoek) = 45o + 90o + DCE,
• dus DCE = 45o en ACE = 135o. • In vierhoek ACED is de som van de overstaande hoeken dus:
C
E
k
2010-I vraag 17 en 18
D 45o
Vraag 17. Bewijs dat vierhoek ACED een koordenvierhoek is. Gegeven: AB ⊥ BC en AB = BC , DC ⊥ AC , ADE = 45°. Bewijs:
A 135o
B
• ABC is gelijkbenig en rechthoekig, dus ACB = 45o. • BCE = 180o (gestrekte hoek) = 45o + 90o + DCE,
• dus DCE = 45o en ACE = 135o. • In vierhoek ACED is de som van de overstaande hoeken dus: ACE + ADE = 135o + 45o = 180o.
m
C
E
k
2010-I vraag 17 en 18
D 45o
Vraag 17. Bewijs dat vierhoek ACED een koordenvierhoek is. Gegeven: AB ⊥ BC en AB = BC , DC ⊥ AC , ADE = 45°. Bewijs:
m
A 135o
B
C
• ABC is gelijkbenig en rechthoekig, dus ACB = 45o. • BCE = 180o (gestrekte hoek) = 45o + 90o + DCE,
• dus DCE = 45o en ACE = 135o. • In vierhoek ACED is de som van de overstaande hoeken dus: ACE + ADE = 135o + 45o = 180o.
• Dus is ACED een koordenvierhoek (stelling som overstaande hoeken)
E
k
2010-I vraag 17 en 18
D
m
45o
Vraag 18. Bewijs dat driehoek AED een geodriehoek is.
A B
C
E
k
2010-I vraag 17 en 18
D
m
45o
Vraag 18. Bewijs dat driehoek AED een geodriehoek is.
A B
C
E
• ACED is een koordenvierhoek dus: AED = ACD = (stelling constante hoek) = 90o.
k
2010-I vraag 17 en 18
D
m
45o
Vraag 18. Bewijs dat driehoek AED een geodriehoek is.
A B
C
E
• ACED is een koordenvierhoek dus: AED = ACD = (stelling constante hoek) = 90o. • DAE =
k
2010-I vraag 17 en 18
D 45o
Vraag 18. Bewijs dat driehoek AED een geodriehoek is.
A
45o
B
C
E
• ACED is een koordenvierhoek dus: AED = ACD = (stelling constante hoek) = 90o. • DAE = 180o – 45o – 90o = 45o. (hoekensom driehoek) • Dus ADE =
m
k
2010-I vraag 17 en 18
D
m
45o
Vraag 18. Bewijs dat driehoek AED een geodriehoek is.
A
45o
B
C
E
• ACED is een koordenvierhoek dus: AED = ACD = (stelling constante hoek) = 90o. • DAE = 180o – 45o – 90o = 45o. (hoekensom driehoek) • Dus ADE = DAE • Driehoek AED is dus gelijkbenig (en rechthoekig) en dus een geodriehoek.
k
