mateksoft.hu
Nevezetes azonosságok: ( a + b)
2
( a − b)
2
2
2
2
2
a + 2ab + b a − 2ab + b 2
( a + b + c)
2
2
( x + 3)
2
( x − 3)
2
2
x + 6⋅x + 9 2
x − 6⋅x + 9
2
a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc
( x + y + 2)
2
( 3x − y + 5) ( a + b)
3
( a − b)
3
a − 3a b + 3ab − b
2
2
( a + b) ( a − b)
3
3
3
3
a −b a +b a −b
3
2
2
3
3
2
2
3
a + 3a b + 3ab + b
( x + 2) ( x - 2)
3
2
x −9
( a + b) ( a − ab + b ) 2 2 ( a − b) ( a + ab + b ) 2
3
2
3
3
3
x +2 x −2
2
( 2x − 3y)
2
2
2
2
2
2
4x + 12xy + 9y 4x − 12xy + 9y
2
x + y + 4 + 2xy + 4x + 4y 2
2
n
n
2
3
2
2
3
3
2
2
3
x − 3 ⋅x ⋅2 + 3 ⋅x⋅2 − 2 2
3
2
n
3
2
n
x + 6x + 12x + 8 x − 6x + 12x − 8 2
4x − 36
( 2x) − 6
( ) 2 ( x − 2) ( x + 2x + 4 )
2
( 2x + 6) ( 2x − 6 )
2
n
a⋅
b
n
a⋅b
a⋅
n
3
x⋅
3
3
y
3
x⋅y
2⋅
3
3
4
8
2
visszafelé
9x + y + 25 − 6xy + 30x − 10y
x + 3 ⋅x ⋅2 + 3 ⋅x⋅2 + 2
( x + 3) ( x − 3 )
3
( 2x + 3y)
mateksoft.hu
Gyökvonás azonosságai
n
( x + 2) x − 2x + 4
n
a⋅b n
a
3
a
3
b
b k
25 ⋅ 3
b
n⋅k
a
5
a
25 ⋅ 3
16
x
15
k n
a
k
a
3
2
2 3
16
5⋅
3
8
3
2
x
3 5
n
x
3
x
8 3
5
2
8
2
3
Hatványozás azonosságai Azonos alapú hatványok: n
a ⋅a a a
k
a
n
a
k
a
n +k
4
x ⋅x
n −k
x x
( a n) k
Logaritmus azonosságai
k
n
a
x
8
x
5
10
2 2
3
x +3
5
x
n
1
k
2
x
x
⋅2
2
x +2
( 2 x +2 )
15
x +4
2x +4
2
( x 3)
n ⋅k
a
6
2
x +3 +x +4
2x +4 −( x +2 )
3
2
3 ⋅ ( x +2 )
2 2
2
2x +7
2x +4 −x −2
x
8
x
loga x + loga y
loga( x ⋅ y)
log2 5 + log2 3
log2 15
loga x − loga y
loga
x y
log2 5 − log2 3
log2
n ⋅ loga x
n
3 ⋅ log2 7
3
3x +6
8 5
2
x +2
5
loga x
log2 7
5 3
log3 ( x + 1) + log3 ( x − 2 )
log3 ( x + 1) ( x − 2)
log3( x + 1) − log3( x − 2)
log3
log5 x
visszafelé
8
x+ 1 x−2
8 ⋅ log5 x
átírás másik alapra:
Azonos kitevőjű hatványok: logb x n
a ⋅b
n
( a ⋅ b)
n
3
3
x ⋅y
n
n
5
( x ⋅ y)
3
2
visszafelé ( a ⋅ b) a
n
b
n
a ⋅b
a b
n
n
( x ⋅ y) x y
5
5
x ⋅y
x y
5
(x
5
5
3 5
visszafelé
a b
n
a
n
b
n
2 5
3
2 5
3 3
x +1
8 125
5
3 3
⋅9
⋅y
7
x +1
)
( 2 ⋅ 9)
x3 5 y
18
x +1
loga b
log4 9
log3 9 log3 4
Közepek:
2
x
3 5
x +1
loga x
10
⋅y
14
Számtani közép
3
A
x1 + x2 + ... + xn n
A ( 10 , 22 )
10 + 22 2
A ( 5 , 7 , 12 )
16
Mértani közép
4
x y
12 20
G
n
x1 . x2 . ... . xn
G ( 2 , 50 ) G ( 5 , 10 , 20 )
2 ⋅ 50 3
100
5 ⋅ 10 ⋅ 20
10 3
1000
10
5 + 7 + 12 3
8
mateksoft.hu
Sorozatok: Számtani sorozat an
Sn
a1 + ( n − 1) ⋅ d
a3
a1 + 2d
a100
a1 + an
a1
5
S 20
2
⋅n
a20
43
a3
a1 ⋅ q
a1
5
q
2
2
⋅ 20
480
Magasság vonal: A magasság vonal a csúcsból, a szemközti oldalra állított merőleges. A magasság vonalak egy pontban metszik egymást, mely a magasság pont. Nincs további funkciója.
Oldalfelező merőlegesek: Az oldalfelező merőlegesek is egy pontban metszik egymást, mely a háromszög köré írható körének a középpontját adja.
Szögfelezők: A háromszög belső szögfelezői is egy pontban metszik egymást. Ez adja a beírható kör középpontját.
Súlyvonal: A súlyvonal, a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő egyenes. A súlyvonalak egy pontban metszik egymást. A súlypont harmadolja a súlyvonalakat 1/3, 2/3 arányban. 1/3 az oldal felé, 2/3 a csúcs felé.
Mértani sorozat an
a1 ⋅ q
n −1
n
Sn
a1 ⋅
q −1 q−1
2
a1 ⋅ q
a100
5⋅
S10
2
mateksoft.hu
Háromszögek
a1 + 99d 5 + 43
Síkgeometria:
99
10
−1
2 −1
5115
Kombinatorika: Permutáció (sorbarendezés): Ismétlés nélküli: Ismétléses:
Pn
Pn
n!
Piros, sárga, kék, fehér, fekete golyó sorbarendezése = 5!
n!
5 piros, 3 kék, 7 fehér golyó sorbarendezése
n1! ⋅ n2! ⋅ .. ⋅ nk!
15! 5! ⋅ 3! ⋅ 7!
Variáció (Kiválasztás; számít a sorrend és megkülönböztetjük az elemeket): Ismétlés nélküli: Egy fagyizóban, hányféleképpen választhatunk 8 íz közül 3 gombócot tölcsérbe, ha nem szeretnénk kétszer ugyanolyat enni? V
Ismétléses:
8⋅7⋅6
336
Egy fagyizóban, hányféleképpen választhatunk 8 íz közül 3 gombócot tölcsérbe, ha ugyanolyan ízt többször is választhatunk? V
8⋅8⋅8
8
3
512
Kombináció (Kiválasztás; nem számít a sorrend és nem különböztetjük meg az elemeket): Ismétlés nélküli:
C
n k
Ismétléses:
C
Hányféleképpen választhatunk ki 8 fajta péksüti közül hármat, ha ugyanolyat nem választunk?
n = mennyiből választunk k = mennyit
8 3
8! 3! ⋅ 5!
Hányféleképpen választhatunk ki 8 fajta péksüti közül hármat, ha többször is választhatunk egy fajtát?
n + k − 1 k
n = mennyiből választunk k = mennyit
8 + 3 − 1 3
10 3
10! 3! ⋅ 7!
mateksoft.hu
Szögfüggvények derékszögű háromszögben
sinα
cosα
tgα
ctgα
szemközti
a
3
átfogó
c
5
melletti
b
4
átfogó
c
5
szemközti
a
3
melletti
b
4
melletti
b
4
szemközti
a
3
Szinusztétel
mateksoft.hu
Négyszögek Húrnégyszög: Azok a négyszögek, melyek köré kör írható. Szemközti szögek összege 180°
Érintőnégyszög: Azok a négyszögek, melyekbe kör írható. Szemközti oldalak összege egyenlő.
α+γ
a+ c
b+ d
6+3
4+5
180 °
50° + 130°
β+δ
180 °
100° + 80°
180°
180°
Koszinusztétel
a
b
c
sinα
sinβ
sinγ
a
6
sin40°
sin30°
Nevezetes szögek szögfüggvényei
c c
2
a + b − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cosα
2
2
2
5 + 6 − 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ cos30°
2
2
Sokszögek átlók száma:
n ⋅ ( n − 3)
10 oldalú sokszög esetén:
2
10 ⋅ ( 10 − 3) 2
belső szögek összege:
( n − 2) ⋅ 180 °
10 oldalú sokszög esetén:
( 10 − 2) ⋅ 180 °
külső szögek összege:
360°
10 oldalú sokszög esetén:
360°
1 db belső szög szabályos sokszög esetén:
1 db külső szög szabályos sokszög esetén:
( n − 2 ) ⋅ 180 ° n
360° n
10 oldalú szabályos sokszög esetén, 1 db belső szöge:
10 oldalú szabályos sokszög esetén, 1 db külső szöge:
( 10 − 2) ⋅ 180 ° 10
360° 10
36°
35
1440 °
144°
mateksoft.hu
Síkidomok kerület, területe
Kör
Körcikk
Körszelet
Háromszög
a+ b+ c
K ( kerület) s ( félkerület)
2 a ⋅ ma
T ( terület)
Az egyik oldal szorozva a hozzátartozó magassággal és osztva kettővel.
2
a ⋅ b ⋅ sinγ
T
Két oldal szorozva a közbezárt szög szinuszával és osztva kettővel.
2 a⋅ b⋅ c
T
Három oldal szorzatát osztjuk, a köré írható kör sugarának a négyszeresével.
4R
s⋅r
T
α
K
Praktikus képlet, ha ismerünk egy oldalt és a szemközti szöget. Mert könnyen meghatározható az R!
A félkerület szorozva a beleírható kör sugarával.
Héron − képlet s ( s − a) ( s − b) ( s − c)
T
Négyzet
Téglalap
a
2 ⋅ R ⋅ sinα
b
2 ⋅ R ⋅ sinβ
c
2 ⋅ R ⋅ sinγ
Paralelogramma
b
a a K
4a
T
a
m
γ
Trapéz
T
r ⋅π
i
2
T
π 180° r⋅i 2
a
K
2a + 2b
K
4a
2
⋅ ( r ⋅ i − h ( r − m) )
2
⋅r ⋅α
T
a⋅b
T
a ⋅ ma
T
a ⋅ ma
T
a ⋅ b ⋅ sinγ
T
a ⋅ a ⋅ sinγ
T
e⋅
Deltoid
V ( térfogat)
f 2
A ( felszín)
2 ⋅ Ta + Tp
Két darab alapja van (alul, felül) és palástja (körbe). A palást = oldallapok összterülete.
Henger (kör alapú hasáb)
2a + 2b e⋅f
Ta ⋅ M
Alapterület szorozva a magassággal. A fenti ábrák szépen szemléltetik, hogy az alapterület igen sokféle lehet.
V ( térfogat) A ( felszín)
Ta ⋅ M 2 ⋅ Ta + Tp
2
r ⋅π ⋅M
Mert az alapterülete kör!
2
2 ⋅ r π + 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ M (A kör kerülete szorozva a magassággal!)
Ta
2
a a+ b+ c+ d
⋅m
360°
1
a
2a + 2b
T
2
π
T
a
K
K
a+ c
T
3 , 14...)
Hasábok (lehet négyzet, téglalap, ötszög, tízszög alapú is)
a
b
T
vagy
(π
Rombusz
b
d
K
⋅r⋅α
a
b
2
2⋅π ⋅r
Felszín, térfogat
a a
K
mateksoft.hu
Tp
mateksoft.hu
Gúla (A gúla alapterülete is igen sokféle lehet, így az alapterület kiszámítása minden esetben más!)
Gömb
V
A
Gömbbe kocka:
3 Ta + Tp
Négyzet alapú gúla esetén: Praktikus képlet!!!
A
Kockába gömb:
Ta ⋅ M
2
a + a⋅
2
4m + a
(Példa a palástra: háromszögű alap esetén, 3 db háromszög. Hatszög esetén 6 db háromszög.)
2
4⋅π ⋅r
A
Kúp
4⋅π ⋅r
V V
A
2
Ta ⋅ M
r ⋅π ⋅M
3
3
2
r ⋅π + π ⋅r⋅a
Ta
Csonkagúla
r
a
R = a testátló fele
2
3
3
Mert az alapterület kör!
Trigonometria 2
r ⋅ π ( a + r)
2
sin α + cos α
Tp
tgα
Csonkakúp
ctgα
tgα
ctgα
mateksoft.hu
2
sinα cosα cosα sinα
1 ctgα 1 tgα
1
tg30°
ctg30°
tg30°
ctgα
sin30°
sinα
cos ( 90° − α )
sin30°
cos ( 90° − 30° )
cosα
sin ( 90° − α )
cos30°
sin ( 90° − 30° )
cos30° cos30° sin30°
1
sin2α cos2α
2 ⋅ sinα ⋅ cosα 2
2
cos α − sin α
sin2x
2 ⋅ six ⋅ cosx
cos2x
cos x − sin x
ctg30° 1 tg30°
sin ( α + β )
sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ
sin ( x + 30° )
sinx ⋅ cos30° + cosx ⋅ sin30°
sin ( α − β )
sinα ⋅ cosβ − cosα ⋅ sinβ
sin ( x − 30° )
sinx ⋅ cos30° − cosx ⋅ sin30°
cos ( α + β )
cosα ⋅ cosβ − sinα ⋅ sinβ
cos ( x + 30° )
cosx ⋅ cos30° − sinx ⋅ sin30°
cos ( α − β )
cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ
cos ( x − 30° )
cosx ⋅ cos30° + sinx ⋅ sin30°
2
2
mateksoft.hu
Koordináta-geometria
(
A x1 , y1
Két pontból vektor: végpontból kezdőpont.
(
)
(
A x1 , y1 B x2 , y2 → AB x2 − x1 , y2 − y1
(
)
)
→ BA x1 − x2 , y1 − y2
(
B koordinátákból A
2 ⋅ x1 + x2 2 ⋅ y1 + y2 , 3 3
)
x1 + 2 ⋅ x2 y1 + 2 ⋅ y2 , 3 3
H2
A csúcshoz közelebbi
A ( 3 , 2)
B ( 5 , 6)
→ BA( 3 − 5 , 2 − 6) → BA( −2 , −4
(jobbra 2, fel 4)
(balra 2, le 4)
B csúcshoz közelebbi
→ a
2
x +y
2⋅3 + 5 2⋅2 + 6 , 3 3
H2
3 + 2⋅5 2 + 2⋅6 , 3 3
11 10 , 3 3
H2
13 14 , 3 3
H1
Háromszög súlypontja:
2
(
A x1 , y1
Példa:
→ a( 3 , 4 ) → a
B ( 5 , 6)
H1
Vektor hossza: → a( x , y)
)
(
B x2 , y2
)
(
C x3 , y3
x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , 3 3
S 2
3 +4
2
25
5
Példa:
A ( 2 , 3)
Két pont távolsága:
(
A x1 , y1
)
(
B x2 , y2
S
S ( 3 , 4)
Példa:
A ( 3 , 2)
B ( 5 , 6) 2
( 5 − 3) + ( 6 − 2)
Felezőpont: A x1 , y1
)
(
B x2 , y2
x1 + x2 y1 + y2 , 2 2
)
B ( 4 , 3)
2+4+ 3 3+3+6 , 3 3
)
( x2 − x1) 2 + ( y2 − y1) 2
F
)
A koordinátákból B
→ AB( 5 − 3 , 6 − 2) → AB( 2 , 4 )
(
(
B x2 , y2
Példa:
A ( 3 , 2)
d
)
H1
Példa:
d
mateksoft.hu
Harmadolópont:
2
2
2 +4
2
4 + 16
Példa:
A ( 3 , 2)
B ( 5 , 6)
3+ 5 2+6 , 2 2
F
F ( 4 , 4)
20
C ( 3 , 6)
)
mateksoft.hu
Egyenes egyenlete Normálvektor, pont
Irányvektor, pont Példa:
→ n( A , B)
(
P x0 , y0
)
Ax + By
Ax0 + By0
2x + 3y
2⋅5 + 3⋅6
2x + 3y
28
Két ponton átmenő
(
) B ( x2 , y2) ( x2 − x1) ( y − y1) ( y2 − y1) ( x − x1) A x1 , y1
Példa:
A ( 3 , 5)
6( y − 5) 6y − 30
( 7 − 5) ( x − 3)
2( x − 3) 2x − 6
−24
2x − 6y
−12
x − 3y
C ( u , v) kör középpontja r kör sugara 2
2
r
2
Példa:
c ( 5 , −4 )
r
9 2
( x − 5 ) + ( y + 4)
2
81
Az u és a v beillesztésénél figyelj az ellentétes előjelre!!!
Abszolútérték-függvény
v2 x − v1 y
v2 x0 − v1 y0
5x − 3y
5⋅4 − 3⋅6
5x − 3y
2
y
mx + b
y
m = meredekség b = hol metszi az y-tengelyt
a = nyújtás/zsugorítás függőlegesen b = x-tengelyen mozgatás ellenkező irányba c = y-tengelyen mozgatás "normális" irányba
2x − 3
y
a⋅ x + b + c
2⋅ x − 3 − 2
Pont, meredekség
(
P x0 , y0
Példa:
)
P ( 4 , 7)
m
m
(
m x − x0
)
Fontos!!! Ha α van megadva, akkor m=tgα!!!
3
y−7
3( x − 4)
y−7
3x − 12
5
3x − y
Másodfokú függvény: y
2
a ⋅ ( x + b) + c
a = nyújtás/zsugorítás függőlegesen b = x-tengelyen mozgatás ellenkező irányba c = y-tengelyen mozgatás "normális" irányba
Kör egyenlete
( x − u) + ( y − v )
y
P ( 4 , 6)
y − y0
B ( 9 , 7)
( 9 − 3) ( y − 5)
→ v( 3 , 5 )
( ) P ( x0 , y0)
P ( 5 , 6)
Elsőfokú lineáris függvény: Példa:
→ v v1 , v2
→ n( 2 , 3)
mateksoft.hu
Függvények
y
2
2 ⋅ ( x − 3) − 2
Négyzetgyökfüggvény y
a⋅
x+ b+ c
a = nyújtás/zsugorítás függőlegesen b = x-tengelyen mozgatás ellenkező irányba c = y-tengelyen mozgatás "normális" irányba y
2⋅
x−3 −2
Logaritmusfüggvény a ⋅ log2( x + b) + c
y
a = nyújtás/zsugorítás függőlegesen b = x-tengelyen mozgatás ellenkező irányba c = y-tengelyen mozgatás "normális" irányba
2 ⋅ log2( x − 3) − 2
y
Exponenciális függvény y
a⋅2
x +b
+c
a = nyújtás/zsugorítás függőlegesen b = x-tengelyen mozgatás ellenkező irányba c = y-tengelyen mozgatás "normális" irányba y
2
x −3
Tangensfüggvény y
tgx
x ≠
π 2
+ k⋅π
periódus: π
−2
Szinuszfüggvény y
sinx
periódus: 2π
Koszinuszfüggvény y
cosx
periódus: 2π
mateksoft.hu
mateksoft.hu
Kotangensfüggvény y
ctgx
periódus: π
x ≠ 0° + k ⋅ π
