2 Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken

Hogere Zeevaarts hool Antwerpen Onderwijseenheid 5 Exa te Wetens happen en Informati a

Differentiaal- en integraalrekening

Peter Bueken

HZS-OE5-NW141 Eerste jaar Bachelor Nautische Wetenschappen Versie 1.4 4 maart 2009

2

Versie 1.4

Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken

4 maart 2009

Inhoudstafel

Inhoudstafel

3

1 Re¨ ele functies

9

1.1 Reële functies 1.2 Elementaire functies en hun grafische voorstelling

9 9

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6

Constante functies Machtsfuncties Exponentiële functies Logaritmische functies Goniometrische functies Cyclometrische functies

9 10 11 12 14 15

1.3 Constructies met reële functies 1.4 Getallenrijen

17 19

2 Limieten

21

2.1 Definities 2.2 Rekentechnieken

Versie 1.4

21 24

3

4 maart 2009

4


3 Continu¨ıteit 3.1 Definities 3.2 Eigenschappen van continue functies

4 Afgeleiden 4.1 Afgeleide van een reële functie 4.2 Meetkundige betekenis 4.3 Afgeleiden van machtsfuncties 4.4 Rekenregels 4.5 Afgeleiden van goniometrische functies 4.6 Afgeleiden van cyclometrische functies 4.7 Afgeleiden van logaritmische en exponentiële functies 4.8 Logaritmisch afleiden 4.9 Hogere afgeleiden 4.10 Impliciet afleiden 4.11 De differentiaal van een functie

5 Toepassingen van afgeleiden 5.1 Variatie van een functie 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5

Verloop van een reële functie Minima en maxima van een functie Berekening van minima en maxima met de eerste afgeleide De studie van de tweede afgeleide (kromming) Berekenen van minima en maxima met de tweede afgeleide

5.2 Vergelijking van de raaklijn en de normaal 5.3 De afgeleide als snelheid 5.4 Gekoppelde snelheden

6 Parti¨ ele afgeleiden 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Inleiding Partiële afgeleiden Partiële afgeleiden van hogere orde Partiële en totale differentiaal De kettingregel

Versie 1.4

27 27 28

31 31 32 32 33 36 37 39 41 41 42 43

47 47 47 48 49 51 52

53 55 58

59 59 59 62 63 64

4 maart 2009

Inhoudstafel

5

7 Belangrijke stellingen

69

8 De formule van Taylor-MacLaurin

75

8.1 Inleiding 8.2 De formule van Taylor-MacLaurin 8.3 Reeksontwikkelingen van Taylor-MacLaurin

75 77 78

9 Complexe getallen 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

81

Definitie Rekenen met complexe getallen Grafische voorstelling Goniometrische voorstelling Exponentiële voorstelling

81 82 83 83 86

10 Onbepaalde integratie

89

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Inleiding Basisintegralen De substitutiemethode Partiële integratie Integratie van rationale functies

89 90 91 92 95

10.5.1 Graad van de teller groter dan of gelijk aan graad van de noemer 10.5.2 Splitsing in partiële breuken 10.5.3 Integratie van de partiële breuken

10.6 Integratie van goniometrische functies 10.7 Goniometrische substituties 10.8 Integratie van irrationale functies

11 Bepaalde integratie 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8

Definitie en basiseigenschappen Oppervlakte van een vlakke figuur Volume van een omwentelingslichaam Lengte van een kromme Oppervlakte van een omwentelingslichaam Zwaartepunt van een vlakke figuur Zwaartepunt van een omwentelingslichaam Traagheidsmoment van een vlakke figuur

Versie 1.4

95 96 100

104 107 111

113 113 116 119 123 124 124 126 128 4 maart 2009

6


11.9 Traagheidsmoment van een omwentelingslichaam

131

12 Meervoudige integralen 12.1 12.2 12.3 12.4

Definitie Berekening van dubbelintegralen over een rechthoekig gebied Dubbelintegraal over een willekeurig domein Drievoudige integraal

13 Numerieke integratie 13.1 13.2 13.3 13.4

137

Inleiding De regel van het centrale punt (midpoint regel) De trapeziumregel De regel van Simpson

14 Differentiaalvergelijkingen 14.1 Inleiding 14.2 Differentiaalvergelijkingen van eerste orde 14.2.1 14.2.2 14.2.3 14.2.4

Vergelijkingen met gescheiden of scheidbare veranderlijken Homogene vergelijkingen Totale differentiaal Lineaire differentiaalvergelijkingen

14.3 Differentiaalvergelijkingen van tweede orde 14.3.1 Vergelijkingen van de vorm y ′′ = f (x) 14.3.2 Vergelijkingen van de vorm y ′′ = f (x, y ′ ) 14.3.3 Lineaire vergelijkingen met constante coëfficiënten

15 Laplace-transformatie 15.1 Definitie 15.2 Voorbeelden 15.3 Laplace-getransformeerden en differentiaalvergelijkingen

16 Fourierreeksen

Versie 1.4

137 139 143 146

149 149 149 151 152

157 157 158 159 161 163 165

166 167 167 168

175 175 176 179

181

4 maart 2009

Inhoudstafel

17 Beschrijvende statistiek 17.1 Inleiding 17.2 Terminologie 17.3 Ruwe gegevens en meetschalen 17.4 Ordenen van de gegevens 17.5 Frequentietabellen 17.6 Groeperen van gegevens 17.7 Grafische voorstelling 17.8 Kengetallen : centrummaten en spreidingsmaten 17.9 Boxplots en identificatie van outliers 17.10 Normale verdeling 17.11 Bivariate statistiek of analyse

Versie 1.4

7

187 187 187 189 190 190 191 193 194 199 201 203

4 maart 2009

8

Versie 1.4


4 maart 2009

Hoofdstuk 1

le fun ties Ree

1. Re¨ ele functies

R

R

→ : x 7→ f (x) (soms ook voorgesteld als y = f (x)) is een Een reële functie f : voorschrift dat met elk reëel getal x ten hoogste één (dus één of geen) reëel getal f (x) laat overeenkomen. Het getal f (x) (als dit getal bestaat) wordt het beeld van x onder de functie f genoemd. De verzameling van alle reële getallen x die een beeld hebben onder de functie f noemen we het domein van de functie f , en we duiden deze verzameling aan als dom(f ). Voorbeeld 1. De functie y = x2 beeldt een reëel getal x af op zijn kwadraat x2 . Het beeld van 0 onder deze functie is 0, het beeld van 2 is 4. Het domein van deze functie is de verzameling van alle reële getallen, dom(f ) = .

R

√ Voorbeeld 2. De functie y = x beeldt een getal x af op zijn (positieve) vierkantswortel. Het beeld van 0 onder deze functie is 0, het beeld van 9 is 3. Het is duidelijk dat deze functie + enkel een beeld geeft voor positieve reële getallen, en dat bijgevolg dom(f ) = = [0, +∞[.

R

Stel dat y = f (x) een reële functie is. Door voor elk punt x ∈ dom(f ) het beeld f (x) onder de functie f te berekenen kunnen we de functie grafisch voorstellen als de verzameling van de punten (x, f (x)) in het vlak. De figuur die we zo bekomen noemen we de grafiek van de functie f .

Versie 0.2

9

04 oktober 2004

10

Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken y

f(b)

(b,f(b))

f(a)

(a,f(a))

a

b

x

Figuur 1. Grafiek van een functie y = f (x).

2. Elementaire functies en hun grafische voorstelling In deze paragraaf verzamelen we een aantal elementaire reële functies die een belangrijke rol zullen spelen in het vervolg van deze cursus. We stellen enkele van deze functies grafisch voor en bestuderen hun belangrijkste eigenschappen. 1. Constante functies Definitie 1. Stel dat c een willekeurig reëel getal is. De functie y = c, die elk reëel getal x afbeeldt op het getal c wordt een constante functie genoemd.

1

0

Figuur 2. Grafiek van de constante functie y = 1.

Versie 0.2

04 oktober 2004

Hoofdstuk 1. Re¨ ele functies

11

2. Machtsfuncties Stel dat x een willekeurig reëel getal is en n een strikt positief natuurlijk getal. Dan definiëren we de n-de macht van x als het produkt van n gelijke factoren x, xn = x · x · . . . · x (n factoren). De eerste macht van een getal x is dan duidelijk gelijk aan dit getal zelf, x1 = x. Het getal n wordt de exponent genoemd, het getal x is het grondtal. Voorbeeld 3. De tweede macht of het kwadraat van 5 wordt gegeven door 52 = 5 · 5 = 25. De vijfde macht van 2 is 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Deze definitie van machtsverheffing kan eenvoudig worden uitgebreid tot gevallen waarin de exponent geen strikt positief getal is maar een willekeurig reëel getal a.

R

Indien a = 0 stellen we dat x0 = 1 voor alle x ∈ 0 . Voor elk positief rationaal getal a = pq , met p en q natuurlijke getallen, stellen we verder dat √ p xa = x q = q xp , indien deze definitie zin heeft. Voorbeeld 4. De definitie levert ons dat √ √ 1 3 3 8 3 = 8 = 2, 4 2 = 43 = 8,

p 5 (−8) 3 = 3 (−8)5 = −32. √ 1 Anderzijds is (−4) 2 niet gedefinieerd omdat we hiervoor −4 moeten kunnen berekenen. Om de machtsverheffing met negatieve exponenten te definiëren spreekt men af dat x−a =

1 , xa

opnieuw indien deze definitie zin heeft. Voorbeeld 5. We stellen dat 2−2 = 1

1 1 = , 2 2 4

2

(−8)− 3 = p 3

1 (−8)2

=

1 . 4

Anderzijds zijn 0−2 en (−4)− 2 niet gedefinieerd.

Het is eenvoudig in te zien dat voor alle getallen x, a, b, waarvoor de beschouwde machtsverheffingen bestaan, geldt dat xa xb = xa+b , (xa )b = (xb )a = xab . We kunnen nu met behulp van de machtsverheffing een aantal nieuwe klassen van elementaire reële functies invoeren: de machtsfuncties, exponentiële functies en logaritmische functies. Definitie 2. Stel dat a een willekeurig reëel getal is. De reële functie y = xa wordt een machtsfunctie genoemd. Indien we n = 1 stellen bekomen we de identieke functie y = x.

Versie 0.2

04 oktober 2004

12

Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken 4 3 y2

1

0

1

1

–2

0

–1

1 x

2

–1

Figuur 3. Grafiek van de identieke functie y = x en de kwadratische functie y = x2 . 2

y

y1

0

1

2 x

3

0

–2

–1

√

x = x 2 en y =

1 x

2

4

–1

Figuur 4. Grafiek van de functies y =

1

1 x

= x−1 .

3. Exponenti¨ ele functies Definitie 3. Stel dat a een strikt positief reëel getal is verschillend van 1. De functie y = ax wordt dan de exponentiële functie met grondtal a genoemd.

Exponentiële functies komen veelvuldig naar voor bij de studie van verschijnselen waarbij een gegeven grootheid in een vast tijdsinterval met een bepaalde factor toeneemt of afneemt, zoals berekening van kapitaalaangroei met samengestelde intresten en groei van populaties van bacteriën. Voorbeeld 6. Stel dat we een beginkapitaal K0 investeren met een intrestvoet p. Na een jaar krijgen we dan een intrest K0 p die we bij ons oorspronkelijk kapitaal beleggen. We hebben dan een kapitaal K0 + K0 p = K0 (1 + p). Na een volgend jaar wordt ons kapitaal dan

Versie 0.2

04 oktober 2004


13 5

y

–2

–1

0

1 x

2

Figuur 5. Grafieken van de exponentiële functies y = 2x en y = 2−x =

1 x . 2

K0 (1 + p) + K0 (1 + p)p = K0 (1 + p)2 . We kunnen deze constructie voortzetten en we vinden dat het kapitaal in functie van de tijd gegeven wordt door K(n) = K0 (1 + p)n . 4. Logaritmische functies Stel opnieuw dat a een strikt positief reëel getal is verschillend van 1. Het a-logaritme van het getal b, loga b, wordt gedefinieerd als het getal c waarvoor ac = b, indien dit getal bestaat. Het is dan ook duidelijk dat aloga b = b = loga ab . Voorbeeld 7. We zien dadelijk dat log10 1000 = 3,

log2 32 = 5,

log3 81 = 4.

Anderzijds zijn log2 (−4) en log10 0 niet gedefinieerd. In Hoofdstuk 2 zullen we een bijzonder (irrationaal) reëel getal invoeren dat we aanduiden met e ∼ 2.7182818. Dit getal zal een belangrijke rol spelen in de studie van differentiaal- en integraalrekening. Het logaritme met dit irrationaal getal e als grondtal wordt het natuurlijke of neperiaanse logaritme genoemd en aangeduid met het speciale symbool ln, loge x = ln x. Stelling 1. Stel dat a een strikt positief reëel getal is, verschillend van 1, en x en y twee willekeurige reële getallen. Als alle betrokken uitdrukkingen bestaan, dan geldt loga xy = loga x + loga y, x loga = loga x − loga y, y loga xy = y loga x.

Versie 0.2

04 oktober 2004

14


Bewijs. We weten dat aloga xy = xy = aloga x aloga y = aloga x+loga y , en bijgevolg is loga xy = loga x + loga y. Op dezelfde manier is aloga

x y

=

x = aloga x a− loga y = aloga x−loga y , y

en bijgevolg is ook loga

x = loga x − loga y. y

Tenslotte zien we op dezelfde wijze dat y

aloga x = xy = aloga x en dus is

y

= ay loga x ,

loga xy = y loga x.

Stelling 2. Stel dat a en b twee strikt positieve reële getallen zijn, verschillend van 1. Dan is 1 . loga b = logb a

Bewijs. We weten uit wat voorafgaat dat aloga b = b. Als we van beide leden van deze gelijkheid het b-logaritme berekenen vinden we dat logb aloga b = 1. Uit Stelling 1 volgt dan dat loga b logb a = 1, en dus geldt loga b =

Versie 0.2

1 . logb a

04 oktober 2004


15

2 y

0

–1

1

2 x

3

4

–2

Figuur 6. Grafiek van de logaritmische functie y = log2 (x). Definitie 4. Stel dat a een strikt positief reëel getal is, verschillend van 1. De functie y = loga (x) wordt de logaritmische functie met grondtal a genoemd.

5. Goniometrische functies Definitie 5. De functies y = sin(x),

y = cos(x),

y = tg(x) =

sin(x) , cos(x)

y = cotg(x) =

1 , tg(x)

worden de (elementaire) goniometrische functies genoemd.

y

–4 –2 0

y

2

4

6 x

8

10

–4 –2 0

2

4

6 x

8

10

Figuur 7. Grafiek van de functies y = sin(x) en y = cos(x).

Versie 0.2

04 oktober 2004

16


y

y

0

–5

x

5

0

–5

x

5

Figuur 8. Grafiek van de functies y = tg(x) en y = cotg(x). 6. Cyclometrische functies De boogsinus arcsin(a) van een getal a wordt gegeven door de hoek α waarvoor sin(α) = a. Het is duidelijk (zie bijvoorbeeld Figuur 9) dat de boogsinus enkel gedefinieerd is voor getallen uit het interval [−1, 1]. Bovendien is de hoek α niet uniek bepaald. We weten immers dat sin(α) = sin(π − α) = sin(α + 2πn) = sin(π − α + 2πn),

Z

voor een willekeurig geheel getal n ∈ , waardoor we een oneindig aantal hoeken vinden waarvoor de sinus gelijk is aan een gegeven getal a ∈ [−1, 1]. Indien men echter steeds de hoek α kiest die in het interval [− π2 , π2 ] ligt, is de boogsinus van het getal a wel uniek bepaald. Voorbeeld 8. De bovenstaande definitie levert ons dat √ 1 π π π 3 arcsin( ) = , arcsin(− ) = − , arcsin(−1) = − . 2 6 2 3 2

a

arccos(a) arcsin(a) a

Figuur 9. De constructie van arcsin(a)en arccos(a).

Versie 0.2

04 oktober 2004


17

Op dezelfde wijze kan men de boogcosinus arccos(a) van een getal a definiëren, waarbij we nu de mogelijke waarden voor de hoek α beperken tot het interval [0, π]. Voor de definitie van de boogtangens arctg(x) van een getal beperken we ons op dezelfde wijze tot het interval ]− π2 , π2 [, terwijl we ons voor de boogcotangens arccotg(a) beperken tot het interval ]0, π[. Het dient wel opgemerkt dat de boogtangens en boogcotangens gedefinieerd zijn voor elk reëel getal a ∈ .

R

Voorbeeld 9. π 1 arccos( ) = , 2 3

1 2π arccos(− ) = , 2 3 a

arctg(1) =

π , 4

arccotg(−1) =

3π . 4

a

arccotg(a) arctg(a)

Figuur 10. De constructie van arctg(a) en arccotg(a).

Definitie 6. De functies y = arcsin(x),

y = arccos(x),

y = arctg(x),

y = arccotg(x),

worden de (elementaire) cyclometrische functies genoemd.

3. Constructies met re¨ ele functies

R R

R R

Stel dat we twee reële functies f : → : x 7→ f (x) en g : → : x 7→ g(x) gegeven krijgen. Dan kunnen we een nieuwe functie f + g : → definiëren die een reëel getal x afbeeldt op de som van f (x) en g(x) (als beide beelden bestaan). We noemen deze functie de som van de functies f en g. Op dezelfde manier definiëren we het verschil f − g, het produkt f · g en het quotiënt fg van twee functies f en g, en de n-de macht f n en de n-de √ machtswortel n f van een reële functie f . De functie g◦f :

R R

R → R : x 7→ (g ◦ f )(x) = g(f (x))

wordt de samenstelling (“g na f”) van de functies f en g genoemd. Versie 0.2

04 oktober 2004

18

Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken 2 3 y1 2 y 0

–1

x

1 1

–1 0

–1

1

x

–2

Figuur 11. Grafiek van de cyclometrische functies y = arcsin(x) en y = arccos(x). 1.5

3

1 y 0.5 –3

–2

–1

0

2 y 1 x 2

3 1

–0.5 –1 –1.5

–4

–2

0

2x

4

Figuur 12. Grafiek van de cyclometrische functies y = arctg(x) en y = arccotg(x).

y=(f+g)(x) y=f(x)

y=g(x)

Figuur 13. De som f + g van twee functies f en g.

Versie 0.2

04 oktober 2004


19

Het is duidelijk dat we een groot aantal nieuwe functies kunnen construeren met behulp van de elementaire functies en deze eenvoudige constructies. Voorbeeld 10. Stel f (x) = x2 en g(x) = sin(x), dan is (f + g)(x) = x2 + sin(x), (f − g)(x) = x2 − sin(x), (f · g)(x) = x2 sin(x), f x2 (x) = , g sin(x)

(g ◦ f )(x) = g(x2 ) = sin(x2 ),

(f ◦ g)(x) = f (sin(x)) = sin2 (x).

Anderzijds kunnen we deze techniek ook gebruiken om een ingewikkelde functie y = f (x) op te splitsen in een aantal componenten, waardoor we bepaalde berekeningen zeer sterk zullen kunnen vereenvoudigen. Voorbeeld 11. De functie f (x) = sin(3x2 + 1) is samenstelling van de functie y = sin(x) met de functie y = 3x2 + 1, die op haar beurt de som is van de constante functie y = 1 met de functie y = 3x2 . Deze laatste functie is een produkt van de constante functie y = 3 met de kwadratische functie y = x2 .

4. Getallenrijen

N R

→ : n 7→ f (n) (soms aangegeven als xn = f (n)) Een getallenrij is een functie f : van de natuurlijke getallen naar de reële getallen, dit wil zeggen een voorschrift dat met elk natuurlijk getal n hoogstens één reëel getal f (n) laat overeenkomen. Om praktische redenen zullen we steeds veronderstellen dat f slechts voor een eindig aantal natuurlijke getallen niet gedefinieerd is, en dat we dus voor alle voldoend grote waarden van n een beeld kunnen berekenen. We zullen een getallenrij xn = f (n) vaak voorstellen door middel van de rij beeldpunten x0 = f (0), x1 = f (1), x2 = f (2), . . . . Voorbeeld 12. De getallenrij xn = n1 beeldt het natuurlijk getal n 6= 0 af op zijn omgekeerde. De opeenvolgende beeldpunten van deze getallenrij zijn x1 = 1, x2 =

Versie 0.2

1 1 , x3 = , . . . . 2 3

04 oktober 2004

20


0

...... 1/61/51/4 1/3

1/2

1

Figuur 14. Grafische voorstelling van de getallenrij xn =

Voorbeeld 13. De opeenvolgende elementen uit de getallenrij xn = 2 −

1 . n

1 10n

zijn

1, 1.9, 1.99, 1.999, . . . . Voorbeeld 14. De getallenrij xn = n2 wordt gevormd door de punten 0, 1, 4, 9, 16, . . . .

0

1

4

9

16 .....

Figuur 15. Grafische voorstelling van de getallenrij xn = n2 .

Voorbeeld 15. De getallenrij xn = (−1)n is van de vorm 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, . . . . Het is duidelijk dat de opeenvolgende waarden uit de getallenrij xn = 1/n steeds dichter naderen tot het reëel getal 0 (zonder dat ze ooit deze waarde bereiken). We kunnen dit preciezer formuleren als volgt : voor elke gewenste graad van precisie (een maximaal toegelaten afwijking ǫ van het getal 0, hoe klein ook gekozen) kunnen we een punt in de getallenrij vinden (een natuurlijk getal N ) zodat alle elementen uit de getallenrij vanaf dit punt (dus alle xn met n ≥ N ) minder van 0 afwijken dan de voorgeschreven ǫ. Inderdaad, stel bijvoorbeeld ǫ = 0.00001, dan weten we dat elke xn met n ≥ 100001 minder dan ǫ van 0 zal afwijken. We zeggen dat de getallenrij xn = n1 nadert naar 0, of dat de limiet van de getallenrij 0 is, en we noteren dit als n1 → 0. In het algemeen zeggen we dat een getallenrij xn nadert naar een bepaald getal a, of dat a de limiet is van een getallenrij, indien we voor elke ǫ > 0 een natuurlijk getal N kunnen vinden z´ o dat |xn − a| < ǫ voor alle n ≥ N . In formules drukken we dit als volgt uit : xn → a indien ∀ǫ > 0 ∃N ∈

N : |x

n

− a| < ǫ voor alle n ≥ N.

De opeenvolgende waarden uit de getallenrij xn = n2 worden steeds groter in de zin dat we, voor eender welk (willekeurig groot) getal M ∈ een punt in de getallenrij (een natuurlijk getal N ) kunnen vinden zodat alle elementen uit de getallenrij vanaf dit punt groter zijn dan M . Inderdaad, als we bijvoorbeeld M = 1000000 stellen, weten we dat elke xn = n2 met n > 1000 een waarde groter dan M heeft. In dit geval zeggen we dat de getallenrij naar oneindig nadert, of dat de limiet van de getallenrij oneindig is, en we noteren dit met xn → +∞. In formules : xn → +∞ indien

R

∀M ∈

R ∃N ∈ N : x

n

> M voor alle n ≥ N.

Op dezelfde manier zeggen we dat de getallenrij naar −∞ nadert, of −∞ als limiet heeft, indien : xn < M voor alle n ≥ N. ∀M ∈ ∃N ∈

R

Versie 0.2

N

04 oktober 2004

Hoofdstuk 2

Limieten

1. Definities Het is duidelijk dat het reëel getal x = 0 niet behoort tot het domein van de reële functie f (x) = sin(x) eel getal x echter wél tot het domein van deze functie x . Omdat elk ander re¨ behoort, kunnen we nagaan wat het gedrag is van deze functie in de “buurt” van het punt 0. We kiezen daartoe een willekeurige getallenrij xn die nadert naar 0 (zonder 0 ooit te bereiken), bijvoorbeeld xn = 101n . Als we de functiewaarden f (xn ) van de opeenvolgende waarden van deze getallenrij onder de functie f berekenen, vinden we volgende resultaten:

n

xn

f (xn )

0

1

0.8414709

1

0.99833417

4

1 10 1 100 1 1000 1 10000

.. .

.. .

.. .

2 3

0.99998333 0.99999983 0.99999999

We kunnen besluiten dat de getallenrij bestaande uit de beeldpunten f (xn ) nadert naar het getal 1, f (xn ) → 1. Als we een willekeurige andere getallenrij xn kiezen, die opnieuw nadert Versie 0.2

21

04 oktober 2004

22


naar 0, vinden we hetzelfde resultaat voor de beeldrij f (xn ). Alhoewel de functiewaarde voor x = 0 niet gedefinieerd is, kunnen we dus toch een besluit trekken over het gedrag van de functie in de onmiddellijke omgeving van 0: hoe dichter x naar 0 nadert, hoe dichter f (x) , voor x naderend tot 0, gelijk naar 1 zal naderen. We zeggen dat de limiet van f (x) = sin(x) x is aan 1, en we schrijven dit als sin(x) lim = 1. x→0 x 1 0.8 0.6 y 0.4 0.2 0

–14 –10 –6

2 4 6 8 101214 x

–0.2

Figuur 16. Grafiek van de functie f (x) =

Definitie 1. aan b ∈ ,

R

sin(x) x .

De limiet van een functie y = f (x), voor x naderend naar a ∈

R, is gelijk is

lim f (x) = b,

x→a

indien voor elke getallenrij xn die nadert naar a (zonder a ooit te bereiken), de getallenrij van de beeldpunten f (xn ) nadert naar b.

Beschouwen we vervolgens de functie f (x) = x12 . Opnieuw behoort het reëel getal 0 niet tot het domein van deze functie, maar is de functie gedefinieerd voor elk ander reëel getal. Om het gedrag van deze functie te bestuderen in de buurt van het punt x = 0, kiezen we opnieuw een willekeurige getallenrij die nadert naar 0 (zonder 0 ooit te bereiken), zoals bijvoorbeeld xn = n1 . Het is dan makkelijk na te gaan dat voor elke dergelijke getallenrij xn de getallenrij der beeldpunten f (xn ) nadert naar +∞. We zeggen daarom dat lim

x→0

1 = +∞. x2

Definitie 2. We zeggen dat de limiet van de reële functie y = f (x), voor x naderend naar a, oneindig is, lim f (x) = +∞ ( resp. − ∞), x→a

indien voor elke getallenrij xn die nadert naar a, de getallenrij van de beeldpunten f (xn ) nadert naar +∞ (resp. −∞). Versie 0.2

04 oktober 2004

Hoofdstuk 2. Limieten

23

Beschouwen we nu de functie f (x) = x1 . Om het gedrag van deze functie te bestuderen voor zeer grote waarden van x kunnen we een getallenrij xn kiezen die nadert naar +∞, zoals bijvoorbeeld xn = n. Als we de beeldpunten van de elementen van deze getallenrij onder de functie f berekenen, zien we dat deze rij van beeldpunten nadert naar 0. Als we een willekeurige andere getallenrij kiezen die opnieuw nadert naar +∞, zullen we steeds hetzelfde fenomeen waarnemen. We zeggen daarom dat de limiet van f (x) = x1 , voor x naderend naar +∞, gelijk is aan 0, en we schrijven dit als 1 = 0. x→+∞ x lim

Definitie 3. Indien voor elke getallenrij xn die nadert naar +∞, de getallenrij bestaande uit de beeldpunten f (xn ) nadert naar een zelfde getal b, zeggen we dat lim f (x) = b.

x→+∞

Indien dit het geval is voor elke getallenrij die nadert naar −∞ zeggen we dat lim f (x) = b.

x→−∞

Opmerking. Met behulp van de bovenstaande definities kan men aantonen dat x 1 1 lim 1+ = lim (1 + x) x = e ∼ 2.7182818. x→+∞ x→0 x Beschouwen we tenslotte de functie f:

R → R : x 7→

(

0 1

als x ≤ 0, als x > 0.

Het is duidelijk dat de limiet van deze functie voor x naderend naar 0 niet bestaat omdat niet elke getallenrij van beeldpunten nadert naar hetzelfde getal. Immers, als we de getallenrij xn = n1 invullen zien we dat de getallenrij van de beeldpunten nadert naar 1, terwijl we voor de getallenrij xn = − n1 een getallenrij bekomen die nadert naar 0. We stellen wel vast dat elke getallenrij die nadert naar 0 en daarbij telkens waarden groter dan 0 aanneemt (d.w.z. als we 0 “langs rechts” naderen) een beeldrij oplevert die naar hetzelfde getal 1 nadert, terwijl elke getallenrij die 0 “langs links” nadert, d.w.z. telkens waarden kleiner dan 0 aanneemt, een beeldrij oplevert die naar 0 nadert.

Versie 0.2

04 oktober 2004

24


Definitie 4. We zeggen dat de linkerlimiet van de functie f (x), voor x naderend naar a, gelijk is aan b, lim f (x) = b, x→a−

indien voor elke getallenrij xn die nadert naar a en daarbij telkens waarden aanneemt die kleiner zijn dan a, de getallenrij der beeldpunten f (xn ) nadert naar b. Indien dit het geval is voor elke getallenrij die nadert naar a en daarbij telkens waarden aanneemt die groter zijn dan a, zeggen we dat de rechterlimiet van de functie f (x), voor x naderend naar a, gelijk is aan b, lim f (x) = b. x→a+

We merken op dat de limiet van een functie f , voor x naderend naar a, bijgevolg bestaat wanneer zowel de linkerals de rechterlimiet bestaan, en wanneer deze beide limieten gelijk zijn.

2. Rekentechnieken In de vorige paragraaf hebben we gezien hoe we de limiet van een functie y = f (x) voor x naderend naar een getal a kunnen berekenen met behulp van getallenrijen. Omdat deze rekentechniek, in het algemeen, nogal omslachtig is voor het praktisch uitrekenen van limieten, zullen we nu een aantal rekentechnieken invoeren die het berekenen van deze limieten moeten vergemakkelijken. Beschouwen we eerst de constante functie f (x) = c. Dan is het duidelijk uit de hierboven ingevoerde definities dat lim c = c,

x→a

voor een willekeurig reëel getal a,

lim c = c.

x→±∞

Beschouwen we vervolgens de identieke functie f (x) = x en kiezen we opnieuw een willekeurig getal a ∈ . Toepassen van de definities geeft dan onmiddellijk dat

R

lim x = a,

x→a

voor een willekeurig reëel getal a,

lim x = +∞,

x→+∞

lim x = −∞.

x→−∞

In het vorige hoofdstuk hebben we gezien hoe we ingewikkelde functies kunnen opbouwen door een aantal constructies uit te voeren met eenvoudige functies. We zullen in wat volgt nagaan hoe we limieten van deze ingewikkelde functies kunnen bepalen door gebruik te maken van de limieten van de eenvoudige componenten. Stel daarom dat f en g twee functies zijn, dat a een reëel getal of ±∞ is, en dat limx→a f (x) en limx→a g(x) beide bestaan, dit wil zeggen dat beide limieten reële getallen of ±∞ zijn. Als we Versie 0.2

04 oktober 2004

Hoofdstuk 2. Limieten

25

nu een nieuwe functie construeren, bijvoorbeeld de som van f en g, kunnen we ons afvragen wat de limiet zal zijn van deze functie f + g voor x naderend tot a. We zullen de oplossing van dit probleem, voor de verschillende constructies, formuleren met behulp van een aantal tabellen. In de eerste kolom zetten we hierbij de mogelijke waarden van limx→a f (x), terwijl we in de eerste rij de mogelijke resultaten voor limx→a g(x) plaatsen. Indien we de limiet van de geconstrueerde functie kunnen berekenen uit de limieten van f en g, zullen we dit resultaat aangeven in de overeenkomstige cellen van de tabel. In sommige gevallen bekomen we echter een zogenaamde onbepaaldheid, dit wil zeggen dat de limiet van de geconstrueerde functie niet kan berekend worden uit de limieten van f en g. We zullen deze onbepaaldheden in de tabellen aangeven met het symbool ??. Verder in deze tekst zullen we een algemene techniek bestuderen (de regel van de l’Hopital) voor het oplossen van onbepaaldheden bij het berekenen van limieten.

R

+∞

−∞

a+b

+∞

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

??(∞ − ∞)

f +g a∈

b∈

R

??(∞ − ∞) −∞

f ·g

b ∈] − ∞, 0[

0

b ∈]0, +∞[

+∞

−∞

a ∈] − ∞, 0[

ab

0

ab

+∞

0

0

0

0

−∞

a ∈]0, +∞[

ab

0

ab

−∞

??(0 · ∞)

+∞

−∞

+∞

??(0 · ∞) f g

a∈

R

b∈ 0

R

a b

0

0

±∞

±∞

0

??(0 · ∞)

??(0 · ∞)

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

+∞

0

±∞

±∞

0

?? 00

0

±∞

∞ ?? ∞

−∞ +∞

oók onbepaaldheden. Men weet in deze gevallen dat De gevallen a0 en ∞ 0 zijn in zekere zin ´ de limiet ±∞ moet zijn, maar het juiste teken kan enkel worden bepaald aan de hand van een tekenonderzoek van de onderzochte functie, en niet uitsluitend op basis van de limieten. In het geval ∞ el bepalen aan de hand van de limieten b kunnen we het teken van de limiet w´ van de teller en noemer, en deze gevallen vormen dus geen onbepaaldheden.

Versie 0.2

04 oktober 2004

26


Om de limiet van een samengestelde functie g ◦ f te berekenen beschouwen we tenslotte twee functies f en g, en veronderstellen we dat limx→a f (x) = b. Dan is het eenvoudig in te zien dat lim (g ◦ f )(x) = lim g(x). x→a

x→b

In het bijzonder volgt hieruit dat lim

x→a

p n

f (x) =

tenminste indien deze uitdrukking zin heeft.

q n

lim f (x),

x→a

Praktisch betekenen deze resultaten dat we de meeste limieten kunnen berekenen door de limietwaarde in te vullen in de gegeven functie, waarbij we de tabellen als rekenregels beschouwen voor het werken met reële getallen en ±∞. We kunnen deze methode toepassen zolang er geen onbepaaldheden opduiken tijdens onze berekeningen. Voorbeeld 1. Beschouw de functie f (x) = x2 + 5x + 3. Gebruik makend van de rekenregels uit bovenstaande tabellen (en de limieten die we reeds hebben uitgerekend) vinden we dat lim f (x) = 22 + 5 · 2 + 3 = 17.

x→2

Voorbeeld 2. Beschouwen we nu de functie f (x) = x3 + 5x + 2. Het is dan duidelijk dat lim f (x) = +∞ + (+∞) + 2 = +∞.

x→+∞

Voorbeeld 3. Op dezelfde manier kunnen we berekenen dat p √ lim 25 − x2 = 25 − 16 = 3. x→4

Voorbeeld 4. Tenslotte zien we ook dat x+2 4 lim = = ∞. x→2 x − 2 0 Om het teken van de limiet te bepalen onderzoeken we vervolgens het teken van de beeldpunten onder de functie f van de punten in de omgeving van 2. We zien dat

x x+2 x−2 f (x)

− − +

−2 0 − 0

+ − −

2 + 0 |

+ + +

en we besluiten dat lim f (x) = −∞,

x→2−

lim f (x) = +∞.

x→2+

Voorbeeld 5. Anderzijds vinden we dat x +∞ +∞ lim 2 = = , 2 x→+∞ x + 5 +∞ + 5 +∞ wat een onbepaaldheid oplevert. Versie 0.2

04 oktober 2004

Hoofdstuk 3

Continu teit

1. Definities Intu¨ıtief zeggen we dat een functie continu is als de grafiek van deze functie een ononderbroken lijn vormt, dit wil zeggen dat deze grafiek geen gaten of sprongen vertoont. Dit intu¨ıtieve beeld wordt duidelijk op de volgende tekeningen van functies die continu zijn en andere die niet continu zijn.

f(a)

a

Figuur 17. De functie f is continu in a.

Versie 0.2

27

04 oktober 2004

28


f(a) f(a)

a

a

Figuur 18. Grafieken van functies die niet continu zijn.

f(a)

a

a

Figuur 19. Andere functies die niet continu zijn. Een grondige studie van de eigenschappen van de bovenstaande voorbeelden leidt ons tot de volgende definitie.

R

Definitie 1. Een reële functie y = f (x) is continu in het punt a ∈ indien 1. a ∈ dom(f ), dus f (a) bestaat (er is geen gat in de grafiek in het punt a); 2. limx→a f (x) bestaat (de functie maakt geen sprong in het punt a); 3. limx→a f (x) = f (a). De functie is discontinu in het punt a indien ze niet continu is in het punt a. We zeggen dat de functie linkscontinu is indien we de bovenstaande eigenschappen enkel hebben voor de linkerlimiet, en rechtscontinu indien deze eigenschappen gelden voor de rechterlimiet. We zeggen tenslotte dat f een continue functie is indien f continu is in elk punt a van het domein, behalve in de randpunten van dit domein, waar f links- of rechtscontinu moet zijn.

2. Eigenschappen van continue functies Het volgende resultaat is eenvoudig te bewijzen door gebruik te maken van eigenschappen van limieten en van de definitie van continu¨ıteit.

R

Stelling 1. Stel dat de functies f en g continu zijn in het punt a ∈ . Dan zijn de functies f + g, f − g en f · g opnieuw continu in het punt a. Verder is de functie fg continu in a indien g(a) 6= 0.

We eindigen dit hoofdstuk met het vermelden van een aantal zeer interessante eigenschappen van continue functies, waarvan het bewijs echter vrij moeilijk is en daarom wordt weggelaten.

Versie 0.2

04 oktober 2004

Hoofdstuk 3. Continu¨ıteit

29

Stelling 2. (Middelwaardenstelling) Stel dat de functie f continu is op het interval [a, b]. Dan kunnen we voor elke waarde c ∈]f (a), f (b)[ een getal x0 ∈]a, b[ vinden waarvoor geldt dat f (x0 ) = c. In het bijzonder volgt hieruit dat, als f (a) en f (b) verschillen van teken, de functie f een nulpunt zal hebben in het interval ]a, b[.

f(b) c f(a)

a

x0

b

Figuur 20. Een illustratie van de middelwaardenstelling.

Stelling 3. Een functie f die continu is op een interval [a, b] bereikt in dit interval een maximale en een minimale waarde.

f(b)

f(a)

a

b

Figuur 21. Een continue functie bereikt een maximum en een minimum.

Versie 0.2

04 oktober 2004

30


Het is belangrijk dat in deze stellingen geëist wordt dat f continu is op het interval [a, b]. Figuur 22 toont aan dat, indien f niet continu is, niet alle waarden tussen f (a) en f (b) bereikt worden, en dat een functie f die niet continu is geen minimum of maximum hoeft te bereiken.

f(b)

f(b)

c f(a)

f(a)

a

b

a

b

Figuur 22. Functies zonder minimum of maximum.

Versie 0.2

04 oktober 2004

Hoofdstuk 4

Afgeleiden

1. Afgeleide van een re¨ ele functie Definitie 1. Stel dat y = f (x) een reële functie is die continu is in het punt a ∈ dom(f ). De afgeleide van de functie y = f (x) in het punt a wordt gegeven door f (a + ∆) − f (a) , ∆→0 ∆ indien deze limiet bestaat. Indien de linkerlimiet f (a + ∆) − f (a) lim − ∆ ∆→0 bestaat noemen we deze limiet de linkerafgeleide van f in het punt a, en indien de rechterlimiet bestaat spreken we van de rechterafgeleide van f in a. f ′ (a) = lim

Voorbeeld 1. Beschouw de functie y = x2 en het punt a = 1. Dan is het duidelijk dat f (a) = 1,

f (a + ∆) = 1 + 2∆ + ∆2 ,

en dus zien we dat 1 + 2∆ + ∆2 − 1 = lim 2 + ∆ = 2. ∆→0 ∆→0 ∆

f ′ (1) = lim

Definitie 2. Indien we met elk punt a ∈ dom(f ) de afgeleide van y = f (x) in het punt a associëren, bekomen we een nieuwe functie y = f ′ (x) die we de afgeleide functie van f dy . noemen. We zullen deze afgeleide functie meestal noteren met f ′ , y ′ of dx Versie 0.2

31

04 oktober 2004

32


Voorbeeld 2. Beschouw opnieuw de functie y = x2 . De afgeleide van deze functie in het punt x is dan gegeven door (x + ∆)2 − x2 = lim (2x + ∆) = 2x, ∆→0 ∆→0 ∆ lim

en dus is de afgeleide functie gegeven door y = 2x. Voorbeeld 3. Beschouw nu de functie y = x1 . Dan zien we dat ′

f (x) = lim

1 x+∆

− ∆

∆→0

1 x

= lim

∆→0

1 −∆ = − 2. x(x + ∆)∆ x

2. Meetkundige betekenis In Figuur 23 is duidelijk te zien dat het quotiënt f (a + ∆) − f (a) ∆ overeenkomt met de tangens tg(α) van de hoek α. Als we de toename ∆ kleiner maken, zien we dat de rechte door de twee punten (a, f (a)) en (a + ∆, f (a + ∆)) nadert naar de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a, f (a)). We kunnen besluiten dat de afgeleide van f in het punt a gelijk is aan de tangens van de hoek tussen de raaklijn en de x-as of, equivalent hiermee, aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a, f (a)).

f(x +∆ )

α f(x)

x

x +∆

Figuur 23. Meetkundige betekenis van de afgeleide.

Versie 0.2

04 oktober 2004

Hoofdstuk 4. Afgeleiden

33

3. Afgeleiden van machtsfuncties In deze paragraaf berekenen we de afgeleiden van een aantal machtsfuncties. We beschouwen eerst de constante functie y = c. Het is dan duidelijk dat de afgeleide functie van deze functie gegeven wordt door f ′ (x) = lim

∆→0

c−c = 0. ∆

Voor de identieke functie y = x vinden we dat x+∆−x = 1. ∆→0 ∆

f ′ (x) = lim

We hebben reeds eerder aangetoond dat de afgeleide functie van y = x2 gegeven wordt door f ′ (x) = 2x. Stelling 1. Voor elk natuurlijk getal n wordt de afgeleide functie van de machtsfunctie f (x) = xn gegeven door f ′ (x) = nxn−1 .

Bewijs. De afgeleide van y = xn wordt gegeven door (x + ∆)n − xn . ∆→0 ∆

f ′ (x) = lim Het is eenvoudig in te zien dat

An − B n = (A − B)(An−1 + An−2 B + . . . + AB n−2 + B n−1 ), en we vinden dus dat (x + ∆)n − xn = ∆((x + ∆)n−1 + . . . + xn−1 ). Invullen in de bovenstaande limiet levert ons dan dat f ′ (x) = lim ((x + ∆)n−1 + . . . + xn−1 ) = xn−1 + . . . + xn−1 = nxn−1 . ∆→0

We merken op dat deze formule voor de afgeleide van een machtsfunctie geldig blijft indien we machtsfuncties met een willekeurig reëel getal a als exponent beschouwen. (Voor a = −1 stelden we reeds vast dat (x−1 )′ = −x−2 .) Versie 0.2

04 oktober 2004

34


4. Rekenregels We hebben eerder gezien dat een groot aantal functies kunnen opgebouwd worden uit elementaire functies. We gaan nu na hoe we de afgeleiden van dergelijke samengestelde functies kunnen berekenen, uitgaande van de afgeleiden van hun componenten. Stelling 2. Stel dat de functies f en g afleidbaar zijn in het punt x, d.w.z. dat de afgeleide van beide functies bestaat in het punt x. Dan is (f + g)′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x), (f − g)′ (x) = f ′ (x) − g ′ (x),

(f · g)′ (x) = f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′ (x), ′ g(x)f ′ (x) − f (x)g ′ (x) f (x) = . g g 2 (x)

Bewijs. Voor het berekenen van de afgeleide van een som merken we op dat (f + g)(x + ∆) − (f + g)(x) ∆→0 ∆ f (x + ∆) − f (x) g(x + ∆) − g(x) = lim + ∆→0 ∆ ∆ f (x + ∆) − f (x) g(x + ∆) − g(x) = lim + lim ∆→0 ∆→0 ∆ ∆ ′ ′ = f (x) + g (x).

(f + g)′ (x) = lim

De afgeleide functie van een verschil van twee functies kan op dezelfde manier berekend worden. Vervolgens berekenen we de afgeleide van het produkt van twee functies. (f · g)(x + ∆) − (f · g)(x) ∆→0 ∆ f (x + ∆)g(x + ∆) − f (x)g(x) = lim ∆→0 ∆ f (x + ∆)g(x + ∆) − f (x)g(x + ∆) + f (x)g(x + ∆) − f (x)g(x) = lim ∆→0 ∆ g(x + ∆) − g(x) f (x + ∆) − f (x) = lim g(x + ∆) + f (x) ∆→0 ∆ ∆ f (x + ∆) − f (x) g(x + ∆) − g(x) = lim lim g(x + ∆) + lim lim f (x) ∆→0 ∆→0 ∆→0 ∆→0 ∆ ∆ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x).

(f · g)′ (x) = lim

Versie 0.2

04 oktober 2004


35

Om de afgeleide van een quotiënt van twee functies te berekenen gaan we als volgt te werk. ′ f (x + ∆) − fg (x) f g (x) = lim ∆→0 g ∆ f (x + ∆)g(x) − f (x)g(x + ∆) = lim ∆→0 ∆g(x + ∆)g(x) f (x + ∆)g(x) − f (x)g(x) + f (x)g(x) − f (x)g(x + ∆) = lim ∆→0 ∆g(x)g(x + ∆) f (x + ∆) − f (x) g(x + ∆) − g(x) g(x) f (x) = lim − ∆→0 ∆ g(x)g(x + ∆) ∆ g(x)g(x + ∆) f (x + ∆) − f (x) g(x) = lim lim ∆→0 ∆→0 g(x)g(x + ∆) ∆ g(x + ∆) − g(x) f (x) − lim lim ∆→0 ∆→0 g(x)g(x + ∆) ∆ ′ ′ f (x)g(x) − f (x)g (x) = . g 2 (x)

Stelling 3. (De kettingregel) Stel dat de functie f afleidbaar is in x en dat g afleidbaar is in het punt f (x). Dan is (g ◦ f )′ (x) = g ′ (f (x)) · f ′ (x).

Bewijs. Omdat f (x + ∆) − f (x) , ∆→0 ∆

f ′ (x) = lim zien we onmiddellijk dat lim f ′ (x) −

∆→0

f (x + ∆) − f (x) = 0, ∆

en bijgevolg is f ′ (x) =

f (x + ∆) − f (x) + α, ∆

met lim∆→0 α = 0, en dus f (x + ∆) = f (x) + ∆(f ′ (x) − α). Op dezelfde manier vinden we dat g(f (x) + ∆) = g(f (x)) + ∆(g ′ (f (x)) − β), Versie 0.2

04 oktober 2004

36


waarbij lim∆→0 β = 0. We zien nu onmiddellijk dat (g ◦ f )(x + ∆) − (g ◦ f )(x) = g(f (x + ∆)) − g(f (x))

= g(f (x) + ∆(f ′ (x) − α)) − g(f (x)) = g(f (x)) + ∆(f ′ (x) − α)(g ′ (f (x)) − β) − g(f (x))

= ∆(f ′ (x) − α)(g ′ (f (x)) − β), en bijgevolg is

(g ◦ f )(x + ∆) − (g ◦ f )(x) ∆→0 ∆ ′ = lim (f (x) − α)(g ′ (f (x)) − β)

(g ◦ f )′ (x) = lim

∆→0 ′

= g (f (x))f ′ (x).

√ Voorbeeld 4. De functie y√= x2 + 3x + 1 is de samenstelling g ◦ f van de functies 1 f (x) = x2 + 3x + 1 en g(x) = x = x 2 . We weten dat 1 g ′ (x) = √ , 2 x en bijgevolg is

f ′ (x) = 2x + 3,

2x + 3 . (g ◦ f )′ (x) = √ 2 x2 + 3x + 1

Als we de kettingregel toepassen op de samenstelling van machtsfuncties met een willekeurige functie f (x) zien we dadelijk dat (f n )′ (x) = nf n−1 (x)f ′ (x).

5. Afgeleiden van goniometrische functies Stelling 4. gegeven

De afgeleide functies van de elementaire goniometrische functies worden door f (x) = sin(x) ⇒ f ′ (x) = cos(x), f (x) = cos(x) ⇒ f ′ (x) = − sin(x), 1 f (x) = tg(x) ⇒ f ′ (x) = , cos2 (x) 1 . f (x) = cotg(x) ⇒ f ′ (x) = − 2 sin (x)

Versie 0.2

04 oktober 2004


37

Bewijs. Stel eerst dat f (x) = sin(x). Dan is het duidelijk dat sin(x + ∆) − sin(x) . ∆→0 ∆

f ′ (x) = lim We weten echter dat

sin(p) − sin(q) = 2 sin( en we zien dus dat

p+q p−q ) cos( ), 2 2

∆ 2 sin( ∆ 2 ) cos(x + 2 ) ∆→0 ∆ ∆ sin( 2 ) ∆ ) = lim lim cos(x + ∆ ∆→0 ∆→0 2 2

f ′ (x) = lim

= 1 cos(x). De afgeleide functie van f (x) = cos(x) wordt op dezelfde wijze berekend, gebruik makend van de formule p+q p−q ) sin( ). cos(p) − cos(q) = −2 sin( 2 2 We vinden dan dat cos(x + ∆) − cos(x) f ′ (x) = lim ∆→0 ∆ ∆ −2 sin( 2 ) sin(x + ∆ 2) = lim ∆→0 ∆ ∆ sin( 2 ) ∆ lim sin(x + ) = − lim ∆ ∆→0 ∆→0 2 2 = − sin(x). Om de afgeleide functie van f (x) = tg(x) te berekenen, merken we op dat tg(x) =

sin(x) , cos(x)

en dat bijgevolg ′

(tg(x)) =

Omdat cotg(x) =

1 tg(x)

sin(x) cos(x)

′

=

cos(x)(sin(x))′ − sin(x)(cos(x))′ 1 = . 2 cos (x) cos2 (x)

volgt uit de kettingregel dat (cotg(x))′ = −

Versie 0.2

1 1 (tg(x))′ = − 2 . tg (x) sin (x) 2

04 oktober 2004

38


6. Afgeleiden van cyclometrische functies Stelling 5. De afgeleide functies van de cyclometrische functies worden gegeven

door

1 , 1 − x2 1 f (x) = arccos(x) ⇒ f ′ (x) = − √ , 1 − x2 1 , f (x) = arctg(x) ⇒ f ′ (x) = 1 + x2 1 f (x) = arccotg(x) ⇒ f ′ (x) = − . 1 + x2 f (x) = arcsin(x) ⇒ f ′ (x) = √

Bewijs. Voor het berekenen van de afgeleide functie van f (x) = arcsin(x) merken we op dat sin(arcsin(x)) = x. Als we beide leden van deze gelijkheid afleiden naar x volgt uit de kettingregel onmiddellijk dat cos(arcsin(x))(arcsin(x))′ = 1, en dus (arcsin(x))′ =

1 . cos(arcsin(x))

De stelling van Pythagoras leert ons dat voor elke hoek α geldt dat sin2 (α) + cos2 (α) = 1, en bijgevolg is q cos(α) = ± 1 − sin2 (α).

Omdat de boogsinus altijd gekozen wordt tussen − π2 en π2 weten we dat de cosinus van een dergelijke hoek steeds positief is. Bijgevolg is q p cos(arcsin(x)) = 1 − sin2 (arcsin(x)) = 1 − x2 , en dus

(arcsin(x))′ = √

1 . 1 − x2

Voor de afgeleide functie van arccos(x) vinden we op dezelfde manier dat cos(arccos(x)) = x. Bijgevolg is − sin(arccos(x))(arccos(x))′ = 1, Versie 0.2

04 oktober 2004


39

en dus (arccos(x))′ = −

1 1 = −√ . sin(arccos(x)) 1 − x2

Voor de afgeleide functie van arctg(x) vertrekken we van het feit dat tg(arctg(x)) = x, en dus

1 (arctg(x))′ = 1, cos2 (arctg(x))

of (arctg(x))′ = cos2 (arctg(x)). Het is echter duidelijk dat 1 sin2 (x) + cos2 (x) sin2 (x) cos2 (x) = = + = tg2 (x) + 1. cos2 (x) cos2 (x) cos2 (x) cos2 (x) Bijgevolg is cos2 (x) =

1 1 + tg2 (x)

en dus vinden we dat (arctg(x))′ =

1 1 . = 1 + x2 1 + tg (arctg(x)) 2

Om de afgeleide functie van arccotg(x) te berekenen gaan we op dezelfde manier te werk. We vertrekken van cotg(arccotg(x)) = x, en dus −

1 (arccotg(x))′ = 1, sin (arccotg(x)) 2

of (arccotg(x))′ = − sin2 (arccotg(x)). Opnieuw is het duidelijk dat sin2 (x) + cos2 (x) 1 = = cotg2 (x) + 1. sin2 (x) sin2 (x) Bijgevolg is sin2 (x) =

1 1 + cotg2 (x)

en dus vinden we dat (arccotg(x))′ = −

Versie 0.2

1 1 =− . 1 + x2 1 + cotg (arccotg(x)) 2

04 oktober 2004

40


7. Afgeleiden van logaritmische en exponenti¨ ele functies Stelling 6. gegeven door

De afgeleide functies van de logaritmische en exponentiële functies worden f (x) = loga (x) ⇒ f ′ (x) =

1 , x ln(a)

f (x) = ax ⇒ f ′ (x) = ax ln(a). In het geval waar het grondtal a = e vinden we dat 1 , x f (x) = ex ⇒ f ′ (x) = ex .

f (x) = ln(x) ⇒ f ′ (x) =

Bewijs. Stel eerst dat f (x) = loga (x). Dan vinden we uit de definitie van de afgeleide en de eigenschappen van de logaritmische functie onmiddellijk dat loga (x + ∆) − loga (x) ∆→0 ∆ x+∆ loga ( x ) = lim ∆→0 ∆ ∆ 1 = lim loga ((1 + ) ∆ ) ∆→0 x ∆ x 1 = lim loga ((1 + ) ∆ ) x ∆→0 x 1 ∆ x = loga ( lim (1 + ) ∆ ) ∆→0 x x 1 = loga (e). x

f ′ (x) = lim

Zoals we reeds hebben opgemerkt geldt dat ln(a) =

1 , loga (e)

f ′ (x) =

1 . x ln(a)

en bijgevolg is

Toepassen van deze formule in het geval a = e levert ons dan dat f (x) = ln(x) ⇒ f ′ (x) =

1 1 = . x ln(e) x

Voor het berekenen van de afgeleide functie van f (x) = ax merken we op dat loga (ax ) = x. Versie 0.2

04 oktober 2004


41

Afleiden van beide zijden van deze gelijkheid geeft dan dat 1 (ax )′ = 1, ax ln(a) en dus dat (ax )′ = ax ln(a). Opnieuw levert toepassing van deze formule in het speciale geval a = e ons dat (ex )′ = ex ln(e) = ex .

8. Logaritmisch afleiden Stelling 7. Stel dat y = f (x) een reële functie is. Dan is f ′ (x) = f (x)(ln(f (x)))′ .

Bewijs. Omdat eln(a) = a voor elk (positief) reëel getal a kunnen we schrijven dat f (x) = eln(f (x)) . Beide zijden van deze gelijkheid afleiden naar x en toepassen van de kettingregel geeft dan dat f ′ (x) = eln(f (x)) (ln(f (x)))′ = f (x)(ln(f (x)))′ .

De techniek die in deze stelling gebruikt wordt voor het berekenen van f ′ (x) uit de logaritme van f (x) wordt logaritmisch afleiden of logaritmisch differentiëren genoemd. Deze techniek wordt vooral gebruikt bij het afleiden van functies van de vorm f (x)g(x) . Men kan de techniek ook gebruiken voor het afleiden van produkten van verschillende factoren. x

Voorbeeld 5. De afgeleide functie van f (x) = xx = eln(x

)

= ex ln(x) wordt gegeven door 1 f ′ (x) = xx (ln(xx ))′ = xx (x ln(x))′ = xx (ln(x) + x ) = xx (ln(x) + 1). x

Voorbeeld 6. Om de functie f (x) = x2 e2x cos 3x af te leiden merken we eerst op dat ln(f (x)) = 2 ln x + 2x + ln cos 3x, en dus is

2 + 2 − 3 tg 3x. x De afgeleide functie wordt bijgevolg gegeven door 2 f ′ (x) = x2 e2x cos 3x( + 2 − 3 tg 3x). x (ln(f (x))′ =

Versie 0.2

04 oktober 2004

42


9. Hogere afgeleiden Stel dat y = f (x) een reële functie is. Als de afgeleide functie y = f ′ (x) bestaat en opnieuw een afgeleide functie heeft, noemen we deze functie de tweede afgeleide van f (x) en we noteren 2 deze functie met y ′′ , f ′′ of ddxf2 . Als deze tweede afgeleide van f (x) opnieuw een afgeleide functie heeft noemen we deze de derde afgeleide van f , en noteren we die met f ′′′ , y ′′′ of

d3 f dx3 .

Definitie 3. Voor elk natuurlijk getal n > 0 zeggen we dat de n-de afgeleide f (n) van een functie y = f (x) de afgeleide functie is van de (n − 1)-ste afgeleide functie van f .

Voorbeeld 7. De volgende tabel geeft een overzicht van de eerste zeven afgeleide functies van de functies y = 2x5 + 5x4 + x3 + 3x2 + 2x + 5 en y = sin(2x).

f (x)

2x5 + 5x4 + x3 + 3x2 + 2x + 5

sin(2x)

f ′ (x)

10x4 + 20x3 + 3x2 + 6x + 2

2 cos(2x)

f ′′ (x)

40x3 + 60x2 + 6x + 6

−4 sin(2x)

f ′′′ (x)

120x2 + 120x + 6

−8 cos(2x)

f (4) (x)

240x + 120

16 sin(2x)

f (5) (x)

240

32 cos(2x)

f (6) (x)

0

−64 sin(2x)

f (7) (x)

0

−128 cos(2x)

.. .

.. .

.. .

10. Impliciet afleiden We hebben tevoren reeds gezien dat de afgeleide van een functie y = f (x) in een punt a de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie in dat punt aangeeft. Een kromme in het vlak kan dikwijls worden beschreven door middel van een uitdrukking van de vorm F (x, y) = 0, die een impliciete vergelijking van de kromme wordt genoemd. De punten van de kromme zijn dan die punten in het vlak waarvan de x en y coördinaten voldoen aan de vergelijking F (x, y) = 0.

Versie 0.2

04 oktober 2004


43

Voorbeeld 8. De vergelijking F (x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0 beschrijft een cirkel met middelpunt (0, 0)√ en√straal 1. Het punt (2, 2) ligt niet op de cirkel omdat F (2, 2) = 7 6= 0, terwijl het punt ( 22 , 22 ) wel op de kromme ligt omdat √ √ 2 2 1 1 F( , ) = + − 1 = 0. 2 2 2 2 Stel nu dat F (x, y) = 0 de impliciete vergelijking is van een kromme en dat (a, b) een punt is van deze kromme. Om de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de kromme in het punt (a, b) te berekenen gebruiken we een techniek die impliciet afleiden wordt genoemd. We leiden hierbij de uitdrukking F (x, y) = 0 af naar x, en veronderstellen hierbij dat y een functie van x is. Gebruik makend van de kettingregel vinden we een uitdrukking waaruit we y ′ kunnen oplossen als functie van x en y. Invullen van de coördinaten van het punt (a, b) geeft het gewenste resultaat. Voorbeeld 9. Om de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de cirkel

te berekenen in het punt ( bekomen dan

√ √ 2 2 , 2 2 ),

x2 + y 2 − 1 = 0 leiden we eerst de vergelijking van de cirkel af naar x. We 2x + 2yy ′ = 0,

en dus is

x y′ = − . y

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het gegeven punt is bijgevolg gelijk aan -1. Voorbeeld 10. Stel gegeven de kromme x2 − xy + y 2 = 3. Afleiden van deze vergelijking geeft dat 2x − y − xy ′ + 2yy ′ = 0, en dus is y′ = −

2x − y . 2y − x

Om de hogere afgeleiden te vinden leiden we de uitdrukking F (x, y) = 0 meerdere keren af, en gaan dan op dezelfde manier te werk als hierboven. Voorbeeld 11. Beschouw opnieuw de kromme x2 − xy + y 2 = 3. De tweede afgeleide van deze uitdrukking is van de vorm 2 − 2y ′ + 2(y ′ )2 − xy ′′ + 2yy ′′ = 0. Als we de uitdrukking voor y ′ hierin substitueren vinden we y ′′ =

Versie 0.2

18 6(x2 − xy + y 2 ) = . 3 (x − 2y) (x − 2y)3 04 oktober 2004

44


11. De differentiaal van een functie Definitie 4. De differentiaal df van een afleidbare functie f (x) wordt gegeven door df (x) = f ′ (x)dx.

De meetkundige betekenis van de differentiaal wordt duidelijk uit de volgende figuur. Indien we een kleine toename dx van x beschouwen, geeft df (x) = f ′ (x)dx de toename in y weer als we de raaklijn aan de grafiek beschouwen. Alhoewel de toename df (x), voor kleine waarden van dx, zeer dicht zal naderen tot de toename f (x + dx) − f (x), is er wel een essentieel verschil tussen deze twee waarden.

f(x)+df(x)

f(x+dx)

f(x)

x

x + dx

Figuur 24. De meetkundige betekenis van de differentiaal van een functie f (x).

Omdat, voor kleine toenames dx, de differentiaal df (x) een goede benadering vormt voor het verschil f (x + dx) − f (x), kunnen we differentialen gebruiken voor het afschatten van de functiewaarde f (x) van een punt x. Stel dat we f (x0 ) en df (x0 ) kennen voor een bepaald punt x0 . Dan kunnen we de functiewaarde f (x0 + dx) benaderen door f (x0 + dx) ∼ f (x0 ) + df (x0 ) = f (x0 ) + f ′ (x0 )dx.

Versie 0.2

04 oktober 2004


45

Voorbeeld 12. De differentiaal van de functie f (x) = 1 − 32 dx. We kunnen bijgevolg stellen dat 3x √ 3

126 ∼

√ 3

125 +

√ 3

x wordt gegeven door df (x) =

1 1 = 5.0133333. 1=5+ 75 3( 125)2 √ 3

√ Ter vergelijking: de werkelijke waarde van 3 126 wordt gegeven door 5.0132979 en de fout op onze afschatting is dus kleiner dan 0.00004. Voorbeeld 13. Beschouwen we een kubus met een zijde van r cm, dan wordt het volume 1 r, van de kubus gegeven door V (r) = r 3 . Bij een toename van de zijde met 1%, dr = 100 vinden we een toename van het volume met ongeveer dV = 3r 2 dr =

3 3 r . 100

Voorbeeld 14. Beschouwen we een bol met een straal r van 1 meter, die we overdekken met een laag kunststof van 1 cm. Het volume van een bol met straal r wordt gegeven door V = 34 πr 3 . Als we een toename dr van de straal met 1 cm beschouwen, zal de toename van het volume daarom bij benadering gelijk zijn aan dV = 4πr 2 dr = 4π1002 cm3 .

Versie 0.2

04 oktober 2004

46

Versie 0.2


04 oktober 2004

Hoofdstuk 5

Toepassingen van afgeleiden

1. Variatie van een functie 1. Verloop van een re¨ ele functie Definitie 1. Stel dat f een continue functie is en x0 een punt uit het domein van f . We zeggen dat f stijgend is in x0 indien voor elke voldoend kleine, positieve waarde van ∆ geldt dat f (x0 − ∆) < f (x0 ) < f (x0 + ∆). We zeggen dat f dalend is in x0 indien f (x0 − ∆) > f (x0 ) > f (x0 + ∆) voor dezelfde waarden van ∆.

Stelling 1. Stel dat de reële functie f afleidbaar is in x0 . Indien f ′ (x0 ) > 0, dan is f stijgend in x0 . Indien f ′ (x0 ) < 0 dan is f dalend in x0 .

Versie 0.1

47

03 oktober 2004

48


Bewijs. Stel eerst dat f ′ (x0 ) > 0. Dan weten we dat f (x0 + ∆) − f (x0 ) >0 ∆→0 ∆ lim

en bijgevolg geldt voor alle voldoend kleine waarden van ∆ dat f (x0 + ∆) − f (x0 ) = α > 0. ∆ Kies nu een willekeurige ∆ > 0. Dan volgt onmiddellijk uit voorgaande uitdrukking dat f (x0 + ∆) − f (x0 ) = α∆ > 0, en dus is f (x0 + ∆) > f (x0 ). Anderzijds volgt uit dezelfde uitdrukking ook dat f (x0 − ∆) − f (x0 ) = −∆α < 0, en dus is f (x0 − ∆) < f (x0 ). Samengevat kunnen we besluiten dat f stijgend is in x0 . Indien f ′ (x0 ) < 0 toont men op dezelfde wijze aan dat f (x0 − ∆) > f (x0 ) > f (x0 + ∆), en dus dat f dalend is in x0 .

Definitie 2. Indien f ′ (x0 ) = 0 weten we niet of f stijgend of dalend is in x0 . We zeggen dan dat f stationair is in x0 , en we noemen x0 een kritisch punt van de functie f .

2. Minima en maxima van een functie Definitie 3. De functie f heeft een maximum in x0 indien voor alle kleine (positieve en negatieve) waarden van ∆ geldt dat f (x0 + ∆) < f (x0 ). Indien voor al deze waarden van ∆ geldt dat f (x0 + ∆) > f (x0 ), zeggen we dat f een minimum heeft in x0 .

Stelling 2. Stel dat de reële functie f afleidbaar is in het interval [a, b] en dat f een maximum of minimum heeft in het punt x0 ∈]a, b[. Dan is f ′ (x0 ) = 0. Versie 0.1

03 oktober 2004

Hoofdstuk 5. Toepassingen van afgeleiden

49

Bewijs. Stel dat f een maximum heeft in het punt x0 . Dan weten we dat voor alle kleine waarden van ∆ geldt dat f (x0 + ∆) < f (x0 ). Bijgevolg is voor alle kleine negatieve waarden van ∆ het quotiënt f (x0 + ∆) − f (x0 ) > 0, ∆ terwijl dit quotiënt voor kleine positieve waarden van ∆ negatief is. We besluiten dat lim−

∆→0

f (x0 + ∆) − f (x0 ) ≥ 0, ∆

lim+

∆→0

f (x0 + ∆) − f (x0 ) ≤ 0. ∆

Omdat f afleidbaar is in het punt x0 moeten de linkerlimiet en de rechterlimiet samenvallen, en we besluiten dat f (x0 + ∆) − f (x0 ) f ′ (x0 ) = lim = 0. ∆→0 ∆ Indien f een minimum heeft in x0 kan men op dezelfde wijze aantonen dat f ′ (x0 ) = 0.

Voorbeeld 1. De functie y = x2 − 4x + 3 heeft een minimum in x = 2. In dit punt is de functie ook stationair. De vorige stelling zegt dat, indien f afleidbaar is, minima en maxima enkel voorkomen in punten waar f stationair is. Indien f echter niet afleidbaar is, kunnen we ook andere minima en maxima vinden. Deze minima en maxima kunnen dan enkel voorkomen in punten waar de afgeleide niet bestaat, terwijl de functie wel gedefinieerd is in dat punt. We noemen deze punten daarom eveneens kritische punten van de functie f . 2

Voorbeeld 2. De functie y = x 3 heeft een minimum in x = 0. De functie is hier echter niet 1 stationair, omdat de afgeleide functie f ′ (x) = 32 x− 3 in dit punt niet gedefinieerd is. 3. Berekening van minima en maxima met de eerste afgeleide Om de minima en maxima van een gegeven functie y = f (x) te bepalen gaan we als volgt te werk: 1. Zoek de kritische punten van de functie, d.w.z. de punten waarin de functie stationair is of waar de eerste afgeleide niet bestaat maar de functie wel gedefinieerd is. 2. Bepaal het teken van de eerste afgeleide in de intervallen tussen de verschillende kritische punten. 3. Indien het teken van de eerste afgeleide rond een kritisch punt verandert van + in − is dit punt een maximum. Indien het teken verandert van − in + hebben we te maken met een minimum. Indien het teken van f ′ niet verandert, is het kritisch punt geen maximum noch een minimum.

Versie 0.1

03 oktober 2004

50


Voorbeeld 3. Om de minima en maxima van de functie y = x3 − 92 x2 + 6x + 4 te berekenen, zoeken we eerst de kritische punten. We lossen hiervoor de vergelijking 3x2 − 9x + 6 = 0 op en vinden dat de kritische punten gelegen zijn in x = 1 en x = 2. Een tekenonderzoek levert dan de volgende resultaten:

x f (x) f (x) ′

+ ր

1 0 Max

− ց

2 0 min

+ ր

We besluiten dat de functie een maximum heeft in x = 1. De functiewaarde is dan f (1) = 13 2 . De functie heeft verder ook een minimum in x = 2, waar de functiewaarde gegeven wordt door f (2) = 6. Figuur 25 geeft de grafiek van deze functie weer. 8 7 6 5 y4 3 2 1 0

1

2

x

3

Figuur 25. Grafiek van de functie f (x) = x3 − 29 x2 + 6x + 4. Voorbeeld 4. De kritische punten van de functie y = x3 + 2 worden gegeven door de vergelijking 3x2 = 0, en bijgevolg is x = 0 het enige kritische punt van deze functie. Het tekenonderzoek van de eerste afgeleide van deze functie levert ons het volgende resultaat:

x f (x) f (x) ′

+ ր

0 0

+ ր

We besluiten dat de functie geen maximum of minimum heeft. Dit is ook duidelijk te zien in de grafische voorstelling van de functie in Figuur 26. Versie 0.1

03 oktober 2004


51

4

1 0.8

3

0.6 y2

y 0.4

1

–1

0

0.2

1

x

0

–1

2

3

x

1

Figuur 26. Grafieken van de functies y = x + 2 en y = x 3 . 2

Voorbeeld 5. Om de kritische punten van de functie y = x 3 (grafisch voorgesteld in Figuur 26 te berekenen zoeken we de punten waar f ′ (x) = 0 of waar f ′ (x) niet bestaat −1 terwijl f wel gedefinieerd is in x. De afgeleide functie y = f ′ (x) wordt gegeven door 32 x 3 . Deze functie is niet gedefinieerd in x = 0, terwijl f wel gedefinieerd is in x = 0. Bijgevolg is x = 0 een kritisch punt van f . Een tekenonderzoek van de afgeleide functie f ′ levert het volgende resultaat:

x f (x) f (x) ′

− ց

0 | 0

+ ր

We besluiten dus dat x = 0 een minimum is voor de functie f (x). De functiewaarde wordt hier gegeven door f (0) = 0. 4. De studie van de tweede afgeleide (kromming) Stel nu dat de tweede afgeleide van de functie y = f (x) in het punt x0 positief is. Dan weten we uit het voorgaande dat de eerste afgeleide stijgend is in x0 , dit wil zeggen dat f ′ (x0 − ∆) < f ′ (x0 ) < f ′ (x0 + ∆) voor alle kleine positieve waarden van ∆. Dit wil zeggen dat de functie f (x) rechts van het punt x0 sneller stijgt of minder snel daalt dan links van x0 . We zeggen dat f concaaf is in het punt x0 . Als f ′′ (x0 ) < 0 kunnen we op dezelfde manier aantonen dat f rechts van x0 sneller daalt of minder snel stijgt dan links van x0 , en we zeggen dat f convex is in x0 .

Versie 0.1

03 oktober 2004

52


f(a)

a

Figuur 27. Een voorbeeld van een concave functie in het punt a

f(a)

a

Figuur 28. Een voorbeeld van een convexe functie in het punt a De punten uit het domein van f waarin het karakter van f verandert van concaaf naar convex of omgekeerd, d.w.z., waar de tweede afgeleide van teken verandert, noemen we buigpunten. Het is duidelijk dat dit enkel kan gebeuren in punten waar de tweede afgeleide nul wordt of waar deze tweede afgeleide niet bestaat maar waar de functie f wel gedefinieerd is. Voorbeeld 6. De tweede afgeleide van de functie y = x3 + 2 (Figuur 26) wordt gegeven door f ′′ (x) = 6x. Deze functie verandert van teken in x = 0, en bijgevolg is x = 0 een buigpunt van deze functie. 1

Voorbeeld 7. De tweede afgeleide van de functie y = x 3 (Figuur 29) wordt gegeven door 5 f ′′ (x) = − 29 x− 3 . Het punt x = 0 behoort duidelijk tot het domein van de functie f . De tweede afgeleide is niet gedefinieerd in x = 0, alhoewel het teken van de tweede afgeleide wel verandert in x = 0. Bijgevolg is x = 0 een buigpunt van deze functie. De raaklijn in dit punt is bovendien vertikaal.

Versie 0.1

03 oktober 2004


53

1

y

–1

0

x

1

–1 1

Figuur 29. Grafiek van de functie y = x 3 =

√ 3

x.

5. Berekenen van minima en maxima met de tweede afgeleide Met behulp van de tweede afgeleide kunnen we nu een alternatieve methode beschrijven voor het zoeken van minima en maxima van een functie. 1. Zoals tevoren beginnen we met het zoeken van alle kritische punten van de functie f . 2. Vervolgens berekenen we in elk kritisch punt x0 van f de waarde f ′′ (x0 ) van de tweede afgeleide in dat punt. 3. Is f ′′ (x0 ) > 0 dan bereikt f een minimum in x0 , terwijl x0 een maximum is voor de functie indien f ′′ (x0 ) < 0. In de andere gevallen (f ′′ (x0 ) = 0 of niet gedefinieerd) kunnen we geen uitspraak doen over het punt x0 en moeten we dus de vorige methode toepassen. Voorbeeld 8. De functie y = x3 − 29 x2 + 6x + 4 (Figuur 25) heeft kritische punten in x = 1 en x = 2. De tweede afgeleide van deze functie wordt gegeven door f ′′ (x) = 6x − 9, en we zien dus dat f ′′ (1) = −3 en f ′′ (2) = 3. We besluiten, zoals hierboven, dat f een maximum heeft in x = 1 en een minimum in x = 2.

2. Vergelijking van de raaklijn en de normaal Stel dat y = f (x) een functie is en x0 een reëel getal dat behoort tot het domein van f . We hebben reeds gezien dat de afgeleide f ′ (x0 ) van de functie f in een punt x0 (als deze afgeleide bestaat) de richtingscoëfficiënt aangeeft van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (x0 , f (x0 )). Stel nu dat we de vergelijking van de raaklijn willen berekenen, d.w.z. de voorwaarde waaraan de coördinaten van een punt moeten voldoen om tot deze raaklijn te behoren. Een rechte, die niet vertikaal is, wordt gegeven door een vergelijking van de vorm y = mx + q, waarbij m de richtingscoëfficiënt van de rechte is. We zien bijgevolg dat de raaklijn gegeven wordt door y = f ′ (x0 )x + q, Versie 0.1

03 oktober 2004

54


waarbij we het getal q zo moeten kiezen dat het punt (x0 , f (x0 )) tot de rechte behoort. Dit wil zeggen dat f (x0 ) = f ′ (x0 )x0 + q, en dus q = f (x0 ) − x0 f ′ (x0 ). We vinden bijgevolg dat de raaklijn gegeven wordt door de vergelijking y = f ′ (x0 )x + f (x0 ) − x0 f ′ (x0 ), of, indien we f (x0 ) = y0 stellen, y − y0 = f ′ (x0 )(x − x0 ). 1

Voorbeeld 9. Om de raaklijn aan de kromme y = x 3 in het punt (1, 1) te berekenen stellen we x0 = 1, y0 = 1. We zien dan dat f ′ (x0 ) = 31 en de raaklijn heeft bijgevolg als vergelijking y−1=

1 (x − 1). 3

Indien de afgeleide in het punt a oneindig wordt is de raaklijn aan de grafiek van f in dat punt vertikaal. In dat geval wordt de vergelijking van de raaklijn gegeven door x = a, waarbij we a zo moeten kiezen dat het punt (x0 , f (x0 )) tot de rechte behoort. We zien dan ook onmiddellijk dat de vergelijking van de raaklijn in dit geval gegeven wordt door x = x0 . 1

Voorbeeld 10. In het punt x0 = 0 wordt de afgeleide van de functie y = x 3 oneindig. Bijgevolg is de raaklijn vertikaal en wordt ze gegeven door de vergelijking x = 0.

Versie 0.1

03 oktober 2004


55

Figuur 30. De raaklijn en de normaal in een punt.

De normaal op de grafiek in een punt (x0 , y0 ) is de rechte die loodrecht staat op de raaklijn in dat punt. Indien de raaklijn vertikaal is, volgt onmiddellijk dat de normaal horizontaal is en bijgevolg een vergelijking heeft van de vorm y = y0 . In het geval dat de raaklijn horizontaal is (dus richtingscoëfficiënt gelijk aan nul heeft) wordt de normaal vertikaal en heeft die een vergelijking van de vorm x = x0 . Indien de raaklijn vertikaal noch horizontaal is, is de richtingscoëfficiënt van de normaal gelijk 1 aan − f ′ (x . Twee rechten zijn immers loodrecht indien hun richtingscoëfficiënten m1 en m2 0) voldoen aan m1 m2 = −1. De normaal wordt bijgevolg gegeven door de vergelijking y − y0 = −

1 f ′ (x

0)

(x − x0 ).

1

Voorbeeld 11. De raaklijn aan de kromme y = x 3 in het punt (1, 1) heeft richtingscoëfficiënt f ′ (x0 ) = 31 . De normaal heeft daarom richtingscoëfficiënt −3 en heeft bijgevolg als vergelijking y − 1 = −3(x − 1).

3. De afgeleide als snelheid Voorbeeld 12. Stel dat een voorwerp van een bepaalde hoogte (bv. 10000 m) naar beneden valt (onder invloed van de zwaartekracht). De hoogte van dit voorwerp in functie van de tijd wordt dan gegeven door de functie h = 10000 − 5t2 . Deze reële functie wordt grafisch voorgesteld in Figuur 31.

Versie 0.1

03 oktober 2004

56

Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken 10000 8000 6000 4000 2000

0

10

20 t

30

40

Figuur 31. Hoogte van een vallend voorwerp als functie van de tijd. We zien dat het voorwerp steeds sneller naar beneden valt. Om de snelheid van het voorwerp te berekenen op een bepaald tijdstip t0 (bijvoorbeeld na 15 seconden, d.w.z. voor t0 = 15), kunnen we bepalen welk hoogteverschil het voorwerp overbrugt in een bepaalde tijd ∆ (bijvoorbeeld 1 seconde), d.w.z., we bepalen het verschil h(t0 + ∆) − h(t0 ). Het is dan duidelijk dat (de absolute waarde van) het quotiënt h(t0 + ∆) − h(t0 ) ∆ de gemiddelde snelheid van het voorwerp weergeeft in het tijdsinterval [t0 , t0 + ∆], d.w.z de constante snelheid die we nodig hebben om in de gegeven tijd ∆ het gegeven hoogteverschil te overbruggen. Als we het beschouwde tijdsinterval ∆ zeer klein laten worden, zullen we een steeds betere benadering vinden voor de snelheid van het voorwerp op het ogenblik t0 . Wanneer de functie y = f (t) de evolutie van een grootheid beschrijft in functie van de tijd, kunnen we aan de afgeleide van de functie f (t) daarom een alternatieve (mechanische) interpretatie geven. Omdat de waarde van de grootheid y op het ogenblik t gegeven wordt door f (t), zien we dat f (t + ∆) − f (t) ∆ de gemiddelde snelheid aangeeft waarmee de grootheid y verandert in het tijdsinterval [t, t+∆]. Wanneer we de lengte van het tijdsinterval ∆ zeer klein laten worden, vinden we f (t + ∆) − f (t) = f ′ (t), ∆→0 ∆ lim

terwijl de gemiddelde snelheid nadert tot de ogenblikkelijke snelheid waarmee y verandert op het ogenblik t. We kunnen de afgeleide f ′ (t0 ) op het ogenblik t0 daarom interpreteren als de snelheid waarmee de grootheid y = f (t) verandert op dat ogenblik t0 . Versie 0.1

03 oktober 2004


57

Voorbeeld 13. De snelheid van het vallende voorwerp uit het vorige voorbeeld op het tijdstip t wordt gegeven door h′ (t) = −10t. Na 15 seconden is de snelheid van het vallende voorwerp dus gelijk aan −150m/s. Omdat deze waarde negatief is, is de hoogte h op dat moment dalend. Voorbeeld 14. Beschouwen we de rechtlijnige beweging, dit wil zeggen de beschrijving van de beweging van een deeltje langs een rechte lijn. Door op de rechte een referentiepunt (oorsprong) en een eenheid te kiezen, kunnen we elk punt van de rechte laten overeenkomen met een reëel getal s. De beweging van het deeltje wordt dan volledig beschreven door de functie s(t), die de positie van het punt op het ogenblik t weergeeft. De ogenblikkelijke snelheid van het deeltje op het tijdstip t wordt gegeven door de eerste afgeleide van de functie s, v = s′ (t). Het is duidelijk dat, wanneer v > 0, het punt zich verplaatst in de richting van grotere s-waarden, terwijl v < 0 betekent dat de het punt zich verplaatst in dalende s-richting. Wanneer v = 0 zegt men dat het deeltje op dat tijdstip in rust is. Op dezelfde wijze bepaalt de tweede afgeleide functie a = v ′ (t) = s′′ (t) de snelheid waarmee de snelheid v verandert, dus de ogenblikkelijke versnelling van het deeltje op tijdstip t. Als a > 0, dan is v stijgend, terwijl a < 0 betekent dat v dalend is. Als a en v hetzelfde teken hebben, dan neemt de snelheid van het deeltje toe in absolute waarde, terwijl deze absolute waarde afneemt wanneer a en v tegengesteld teken hebben. Voorbeeld 15. Beschouwen we een deeltje dat beweegt op een vertikale rechte onder invloed van de zwaartekracht. De beweging van dit deeltje wordt gegeven door de functie h = −g

t2 + v0 t + h0 , 2

die de hoogte van het voorwerp beschrijft in functie van de tijd. Hierbij is g de zwaartekrachtconstante, en h0 en v0 de hoogte en snelheid van het deeltje op het tijdstip t = 0. De (ogenblikkelijke) snelheid van dit deeltje wordt gegeven door v = −gt+v0 , de ogenblikkelijke versnelling door a = −g.

Versie 0.1

03 oktober 2004

58


Voorbeeld 16. (Cirkelvormige beweging) Beschouwen we vervolgens de beweging van een deeltje langs een cirkel. Elk punt P van de cirkel kan voorgesteld worden door de middelpuntshoek θ bepaald door dat punt P en een gekozen referentiepunt (oorsprong) O. De beweging van het deeltje wordt bijgevolg beschreven door een functie θ(t), die de positie van het deeltje in functie van de tijd weergeeft. De afgeleide van deze functie θ(t), ω = θ ′ (t), geeft de snelheid waarmee de hoek θ verandert, en we noemen ω de ogenblikkelijke hoeksnelheid. De tweede afgeleide van de functie, α = ω ′ (t) = θ ′′ (t), wordt de ogenblikkelijke hoekversnelling genoemd. Wanneer α = 0 voor elke waarde van t, dan is ω constant, en we zeggen dat het deeltje met een constante hoeksnelheid beweegt. Wanneer α constant is, spreken we over een constante hoekversnelling.

4. Gekoppelde snelheden Beschouwen we nu meerdere grootheden, die allen veranderen in functie van de tijd, en die verbonden zijn door een vergelijking. Door deze vergelijking af te leiden naar de tijd, kunnen we nagaan wat de relatie is tussen de snelheden waarmee deze grootheden veranderen. Voorbeeld 17. Beschouwen we een bolvormige ballon, waaruit gas ontsnapt met een snelheid van 900cm3 /s, dit wil zeggen dat V ′ = −900. Omdat het volume en de oppervlakte van een bol met straal r gegeven worden door V =

4 3 πr , 3

S = 4πr 2 ,

zien we dat V ′ = 4πr 2 r ′ ,

S ′ = 8πrr ′ .

Op het ogenblik dat de straal van de bol gelijk is aan r = 360cm, is bijgevolg r′ = en dus is S ′ = 8π360 ·

−900 , 4π3602

−900 = −5cm2 /s. 4π3602

De oppervlakte neemt bijgevolg af met 5cm2 per seconde.

Versie 0.1

03 oktober 2004

Hoofdstuk 6

le afgeleiden Partie

1. Inleiding Een (reële) functie van n veranderlijken is een voorschrift z = f (x1 , x2 , . . . , xn ) dat aan een stel van n reële getallen x1 , x2 , . . . , xn een reëel getal z = f (x1 , x2 , . . . , xn ) associeert. Voorbeeld 1. De functie f (x, y) = sin(x + y), is een functie van twee veranderlijken. Ze associeert aan de getallen x = 1 en y = 1 het getal sin(1 + 1) = sin(2), en aan de waarden x = 0 en y = π het getal sin(0 + π) = 0. De functie q f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 is een functie van drie veranderlijken.

In dit hoofdstuk behandelen we in het kort enkele aspecten van functies van meerdere veranderlijken. We zullen ons hierbij voornamelijk richten op functies van twee veranderlijken. De meeste definities kunnen echter onmiddellijk veralgemeend worden tot functies van drie of meer veranderlijken. Een functie van twee veranderlijken z = f (x, y) kan meetkundig voorgesteld worden als een oppervlak in de driedimensionale ruimte. Met elk punt (x, y) in het XY -vlak laten we hiertoe het punt (x, y, z) = (x, y, f (x, y)) in de driedimensionale ruimte overeenkomen. Versie 0.1

59

08 november 2004

60


Z

z=f(x,y)

(x,y,z) x X y (x,y) Y Figuur 31. Meetkundige voorstelling van een functie van twee veranderlijken.

12 3 2.5

10 2 1.5 t

8

1 1 0.5

4

6x

0 2 –1

Figuur 32. Meetkundige voorstelling van de functie f (x, t) = sin(x − t).

2. Parti¨ ele afgeleiden De afgeleide van een functie y = f (x) van één veranderlijke x geeft aan hoe de waarde van f (x) verandert als we de waarde van x laten veranderen. Voor een functie z = f (x, y) van twee (of meer) veranderlijken kunnen we op een analoge manier nagaan hoe de functiewaarde f (x, y) verandert indien we slechts één van de veranderlijken laten variëren (en de andere veranderlijke constant houden).

Versie 0.1

08 november 2004

Hoofdstuk 6. Parti¨ ele afgeleiden

61

2 1

1

0.5 0

0

–1

1 0x

–2 1

0.6 0.2 –1 –0.2 –0.6 y –1

–0.5 –1 3

2

1 0 y –1 –2 –3

3 2 1 0x –1 –2 –3

p Figuur 33. Meetkundige voorstelling van f (x, y) = x2 y + xy 2 en f (x, y) = cos( x2 + y 2 ). Stel dus dat z = f (x, y) een functie is van twee veranderlijken. Indien we de waarde van y constant houden, kunnen we deze functie beschouwen als een functie van één veranderlijke x. De afgeleide van deze functie wordt gegeven door ∂f f (x + h, y) − f (x, y) = fx = lim . h→0 ∂x h Deze afgeleide wordt de partiële afgeleide van f ten opzichte van x genoemd. Op dezelfde manier kunnen we de waarde van x constant houden en de veranderlijke y laten variëren. De functie f (x, y) is dan een functie van één veranderlijke y. De afgeleide van deze functie wordt gegeven door f (x, y + h) − f (x, y) ∂f = fy = lim , h→0 ∂y h en wordt de partiële afgeleide van f ten opzichte van y genoemd. Voorbeeld 2. Beschouwen we de functie f (x, t) = sin(x − 2t). De partiële afgeleiden van deze functie ten opzichte van de veranderlijken x en t worden dan gegeven door ∂f = cos(x − 2t), ∂x

∂f = −2 cos(x − 2t). ∂t

De partiële afgeleide ten opzichte van x van een functie van twee veranderlijken in een punt (x0 , y0 ) heeft de volgende meetkundige betekenis. De functie z = f (x, y) kan voorgesteld worden als een oppervlak in de driedimensionale ruimte. Als we x laten variëren en y gelijk aan y0 houden, snijden we dit oppervlak met het vertikaal vlak y = y0 (evenwijdig met het XZ-vlak en door het beschouwde punt (x0 , y0 )). De snijlijn is dan een vlakke kromme (die beschouwd wordt als een functie van één veranderlijke x). De partiële afgeleide ∂f ∂x geeft dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan deze snijlijn in het punt (x0 , y0 , z0 ). Op dezelfde manier geeft de partiële afgeleide ten opzichte van y de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de snijlijn van het oppervlak z = f (x, y) met het verticale vlak x = x0 .

Versie 0.1

08 november 2004

62


x=x0

Z

y=y0

(x0,y0,z0) z=f(x,y)

X

(x0,y0) Y Figuur 34. Meetkundige interpretatie van de partiële afgeleide. Oefening 1. Bereken alle partiële afgeleiden van volgende functies. 1. z = 2x2 − 3xy + 4y 2 2

2

y x + y x 3. z = sin(2x + 3y)

2. z =

2

4. z = ex

+3xy

y xp 6. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 5. z = arctg

Versie 0.1

7. z = 2x2 − 5xy + y 2 y x 8. z = 2 − 2 y x 9. z = sin 3x cos 4y 10. z = sin(x − vt) p 11. z = x2 + y 2 12. f (x, y, z) = xyz

08 november 2004


63

3. Parti¨ ele afgeleiden van hogere orde ∂f Stel dat z = f (x, y) een functie is van twee veranderlijken. De partiële afgeleiden ∂f ∂x en ∂y zijn dan opnieuw functies van twee veranderlijken, en we kunnen bijgevolg ook van deze twee functies de partiële afgeleiden berekenen. Deze functies worden de partiële afgeleiden van tweede orde genoemd, en ze worden als volgt genoteerd:

∂ 2f ∂x2 ∂ 2f ∂x∂y ∂ 2f ∂y∂x ∂ 2f ∂y 2

= = = =

∂ ∂f , ∂x ∂x ∂ ∂f , ∂x ∂y ∂ ∂f , ∂y ∂x ∂ ∂f . ∂y ∂y

Voorbeeld 3. De partiële afgeleiden van tweede orde van de functie f (x, t) = sin(x − 2t) worden gegeven door ∂2f ∂x2 ∂ 2f ∂t∂x ∂ 2f ∂x∂t ∂2f ∂t2

∂ (cos(x − 2t)) = − sin(x − 2t), ∂x ∂ = (cos(x − 2t)) = 2 sin(x − 2t), ∂t ∂ = (−2 cos(x − 2t)) = 2 sin(x − 2t), ∂x ∂ = (−2 cos(x − 2t)) = −4 sin(x − 2t). ∂t =

Door deze partiële afgeleiden van tweede orde nogmaals partieel af te leiden bekomen we vervolgens de partiële afgeleiden van derde orde. We merken op dat, indien de functie z = f (x, y) en de partiële afgeleiden continue functies zijn, de volgorde waarin we de (gemengde) partiële afgeleiden berekenen onbelangrijk is, dit wil zeggen dat ∂ 2f ∂ 2f = . ∂x∂y ∂y∂x Oefening 2. Bereken alle partiële afgeleiden van tweede orde van de functies uit de vorige oefening.

Versie 0.1

08 november 2004

64


4. Parti¨ ele en totale differentiaal In een vorig hoofdstuk hebben we de differentiaal van een functie y = f (x) van één veranderlijke gedefinieerd als df (x) = f ′ (x)dx. We hebben ook getoond dat, indien we x laten aangroeien met dx, df de aangroei in de y-richting aangeeft als we de raaklijn volgen in plaats van de functie zelf. Indien de toename dx voldoende klein is, geeft df (x) een vrij nauwkeurige benadering van de toename van de functiewaarde f (x). De partiële differentiaal ten opzichte van x van een functie van twee veranderlijken z = f (x, y) wordt gedefinieerd als ∂f dx f = dx, ∂x terwijl de partiële differentiaal ten opzichte van y gedefinieerd wordt als dy f =

∂f dy. ∂y

De totale differentiaal van de functie is de som van alle partiële differentialen, dus df = dx f + dy f =

∂f ∂f dx + dy. ∂x ∂y

Voorbeeld 4. De partiële differentialen van de functie f (x, t) = sin(x − 2t) worden gegeven door dx f = cos(x − 2t)dx, dt f = −2 cos(x − 2t)dt, en de totale differentiaal is bijgevolg df = cos(x − 2t)dx − 2 cos(x − 2t)dt. Voor functies van n veranderlijken x1 , x2 , . . . , xn definieert men de totale differentiaal op dezelfde manier, dus ∂f ∂f ∂f df = dx1 + dx2 + . . . + dxn . ∂x1 ∂x2 ∂xn Oefening 3. Zoek de totale differentialen van de functies uit de vorige oefening. De meetkundige betekenis van deze begrippen kan als volgt worden uitgelegd. Als we x veranderen en y constant houden, beschouwen we de snijlijn van het oppervlak z = f (x, y) met een verticaal vlak y = y0 . Als we nu x met dx laten toenemen, geeft de partiële differentiaal dx f de aangroei in de z-richting aan als we in de plaats van het oppervlak de raaklijn aan deze snijlijn volgen. Op dezelfde manier kunnen we dy f beschouwen als de toename in de z-richting indien we de raaklijn aan de snijlijn met het verticale vlak x = x0 volgen en een toename dy nemen voor de veranderlijke y. Als we x laten toenemen met dx en y laten toenemen met dy geeft de totale differentiaal df de toename in de z-richting aan indien we, in de plaats van het oppervlak z = f (x, y), het raakvlak aan dit oppervlak volgen (dit is het vlak dat de twee hierboven beschreven raaklijnen bevat). Versie 0.1

08 november 2004


65

x=x0

Z

y=y0

dx dy

dx f

z=f(x,y)

dy f df

X

(x0,y0) Y Figuur 35. Meetkundige betekenis van partiële en totale differentialen. Het is ook duidelijk dat, voor voldoend kleine toenamen dx en dy, de totale differentiaal een vrij goede benadering geeft van de verandering van de functiewaarden.

5. De kettingregel Stel dat z = f (x, y) een functie van twee veranderlijken is, en x = g(t) en y = h(t) twee functies van één veranderlijke. We kunnen dan een nieuwe functie van één veranderlijke construeren die een getal t afbeeldt op het getal z = f (g(t), h(t)). De afgeleide van deze functie naar de veranderlijke t wordt de totale afgeleide van de functie genoemd. Deze totale afgeleide wordt gegeven door dz ∂z dx ∂z dy = + . dt ∂x dt ∂y dt Voor functies van n veranderlijken kunnen we schrijven dat ∂z dx1 ∂z dx2 ∂z dxn dz = + +...+ . dt ∂x1 dt ∂x2 dt ∂xn dt Voorbeeld 5. De afstand (tot de oorsprong (0, 0)) van een punt (x, y) in het vlak wordt gegeven door de functie van twee veranderlijken p f (x, y) = x2 + y 2 .

Versie 0.1

08 november 2004

66


De beweging van een punt wordt beschreven door de coördinaten van dit punt als functies van de tijd te beschouwen, bijvoorbeeld x = sin t,

y = sin 2t.

De verandering van de afstand van het bewegende punt tot de oorsprong in functie van de tijd wordt dan gemeten door de totale afgeleide van de afstandsfunctie, y 2 sin 2t cos 2t x dz sin t cos t cos t + p +p . =p 2 cos(2t) = p 2 2 2 2 2 2 dt x +y x +y sin t + sin 2t sin2 t + sin2 2t Stel vervolgens dat z = f (x, y) een functie van twee veranderlijken is, en dat x = g(s, t) en y = h(s, t) opnieuw functies van twee veranderlijken zijn. We kunnen dan een nieuwe functie van twee veranderlijken construeren die twee getallen s en t afbeeldt op het getal z = f (g(s, t), h(s, t)). De partiële afgeleiden van deze functie ten opzichte van de veranderlijken s en t worden gegeven door ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z = + , ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z = + . ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t Indien de functie f afhangt van n veranderlijken x1 , x2 , . . . , xn , en elk van deze veranderlijken geschreven wordt als een functie van m veranderlijken y1 , y2 , . . . , ym , kunnen we stellen dat, voor alle waarden van i = 1, 2, . . . , m, ∂z ∂z ∂x1 ∂z ∂x2 ∂z ∂xn = + +...+ . ∂yi ∂x1 ∂yi ∂x2 ∂yi ∂xn ∂yi Voorbeeld 6. De afstand tot de oorsprong van een punt in het vlak wordt beschreven door de functie van twee veranderlijken p z = x2 + y 2 . Als we met poolco¨ ordinaten (̺, θ) willen werken gebruiken we de coördinatentransformatie x = ̺ cos θ,

y = ̺ sin θ.

We zien dan dat ∂z ∂x ∂z ∂y x ∂z y ̺ cos2 θ + ̺ sin2 θ = + =p = 1. cos θ + p sin θ = ∂̺ ∂x ∂̺ ∂y ∂̺ ̺ x2 + y 2 x2 + y 2

Anderzijds is

y ∂z ∂x ∂z ∂y x ∂z ̺ sin θ + p ̺ cos θ = 0. = + = −p ∂θ ∂x ∂θ ∂y ∂θ x2 + y 2 x2 + y 2 Versie 0.1

08 november 2004


67

Oefening 4. Bereken de totale afgeleide van de functie z naar de veranderlijke t, als z = x2 + 3xy + 5y 2 ,

x = sin t,

y = cos t.

Oefening 5. Zelfde vraag voor z = ln(x2 + y 2 ),

y = et .

x = e−t ,

Oefening 6. Bereken de totale afgeleide van z naar x als z = x2 + 2xy + y 2 ,

y = ex .

Oefening 7. Beschouw de functies z = x2 + xy + y 2 ,

x = 2r + s,

y = r − 2s.

Bereken de partiële afgeleiden van z ten opzichte van de veranderlijken r en s. Oefening 8. Zelfde vraag voor de functies u = x2 + y 2 ,

Versie 0.1

x = r cos s,

y = r sin s.

08 november 2004

68

Versie 0.1


08 november 2004

Hoofdstuk 7

Belangrijke stellingen

Stelling 1. (Stelling van Rolle) Stel dat een reële functie y = f (x) continu is op het interval [a, b] en afleidbaar in elk punt van het interval ]a, b[, en dat bovendien f (a) = f (b) = 0. Dan bestaat er minstens één punt x0 ∈]a, b[ waarin de raaklijn evenwijdig loopt met de x-as, dit wil zeggen dat f ′ (x0 ) = 0.

a

x0

b

Figuur 36. De stelling van Rolle.

Versie 0.1

69

03 oktober 2004

70


Bewijs. Als de functie f constant is, dan is f ′ (x) = 0 voor elk punt x ∈]a, b[. We kunnen het punt x0 dan willekeurig kiezen in het interval ]a, b[. Stel dus dat de functie f niet constant is. Omdat f continu is op het interval [a, b] weten we dat de functie in het interval [a, b] een minimum en een maximum bereikt. Omdat de functie f niet constant is zijn dit minimum en maximum verschillend. Omdat f (a) = f (b) moet bovendien minstens één van beide extreme waarden bereikt worden in een punt x0 ∈]a, b[ dat geen randpunt is van het interval. Omdat de functie f een minimum of een maximum heeft in x0 weten we dan dat f ′ (x0 ) = 0.

Stelling 2. (Stelling van Lagrange) Stel dat de reële functie y = f (x) continu is op het interval [a, b] en afleidbaar in elk punt van het open interval ]a, b[. Dan bestaat er minstens één punt x0 ∈]a, b[ waarin de raaklijn evenwijdig loopt met de rechte door (a, f (a)) en (b, f (b)), dit wil zeggen dat f (b) − f (a) . f ′ (x0 ) = b−a

f(b)

f(a)

x0

a

b

Figuur 37. De stelling van Lagrange.

Bewijs. Voor een willekeurig punt x ∈ [a, b] is het verschil tussen de rechte door (a, f (a)) en (b, f (b)) en de grafiek van de functie y = f (x) gegeven door f (b) − f (a) . F (x) = f (x) − f (a) + (x − a) b−a Het is duidelijk dat F (a) = 0,

Versie 0.1

F (b) = 0.

03 oktober 2004

Hoofdstuk 7. Belangrijke stellingen

71

Verder is de reële functie y = F (x) ook afleidbaar in elk punt van het interval ]a, b[ en continu in [a, b]. Uit de Stelling van Rolle vinden we dan dat er een getal x0 ∈]a, b[ bestaat waarvoor F ′ (x0 ) = 0. Omdat f (b) − f (a) F ′ (x) = f ′ (x) − b−a volgt hier onmiddellijk uit dat

f ′ (x0 ) =

f (b) − f (a) . b−a

Stelling 3. (Stelling van Cauchy) Stel dat f en g twee reële functies zijn die continu zijn in het interval [a, b] en afleidbaar in elk punt van het open interval ]a, b[. Stel bovendien dat g ′ (x) 6= 0 voor elk punt x ∈]a, b[. Dan bestaat er minstens één punt x0 ∈]a, b[ waarvoor geldt dat f (b) − f (a) f ′ (x0 ) = . ′ g (x0 ) g(b) − g(a)

Bewijs. Beschouw de functie y = F (x), waarbij F (x) = f (x) − f (a) − (g(x) − g(a))

f (b) − f (a) . g(b) − g(a)

Het is duidelijk dat deze functie aan alle voorwaarden van de Stelling van Rolle voldoet, en dat er bijgevolg een getal x0 ∈]a, b[ bestaat waarvoor geldt dat F ′ (x0 ) = 0. (b)−f (a) Omdat F ′ (x) = f ′ (x) − g ′ (x) fg(b)−g(a) volgt het resultaat onmiddellijk.

Stelling 4. (Regel van de l’Hopital) Stel dat f en g twee functies zijn die voldoen aan bevat. de voorwaarden uit de Stelling van Cauchy op een interval [A, B] dat het getal a ∈ f ′ (x) Veronderstel bovendien dat f (a) = g(a) = 0. Als limx→a g ′ (x) bestaat dan geldt dat

R

f (x) f ′ (x) = lim ′ . x→a g(x) x→a g (x) lim

Versie 0.1

03 oktober 2004

72


Bewijs. Kies een willekeurig punt x ∈]A, B[. Het is dan duidelijk dat de functies f en g op het interval [a, x] voldoen aan de voorwaarden uit de Stelling van Cauchy, en dat er bijgevolg een getal x0 ∈]a, x[ bestaat waarvoor geldt dat f (x) − f (a) f (x) f ′ (x0 ) = = . ′ g (x0 ) g(x) − g(a) g(x) Om de limiet van het quotiënt

f (x) g(x)

voor x naderend tot a uit te rekenen moeten we de limiet

(xn ) bepalen van de beelden fg(x van een willekeurige getallenrij xn die nadert tot a. Veronderstel n) dat xn een dergelijke getallenrij is die nadert naar a. Uit het voorgaande weten we dan dat er voor elk element xn uit de getallenrij een getal x0n ∈]a, xn [ bestaat waarvoor geldt dat

f ′ (x0n ) f (xn ) = ′ . g(xn ) g (x0n ) Omdat x0n ligt tussen a en xn is het duidelijk dat de getallenrij x0n nadert tot a. De beeldrij f ′ (x0n ) f ′ (x) zal bijgevolg naderen naar lim ′ x→a g (x0n ) g ′ (x) , en we besluiten hieruit dat f ′ (x) f (x) = lim ′ . x→a g (x) x→a g(x) lim

De regel van de l’Hopital laat ons toe, onder bepaalde voorwaarden, onbepaaldheden van het type 00 op te lossen. Voorbeeld 1. Het is duidelijk dat de functies y = sin x en y = x beide nul worden in x = 0. Omdat deze functies voldoen aan de voorwaarden uit de stelling kunnen we berekenen dat cos x sin x = lim = 1, x→0 x→0 x 1 lim

We kunnen de regel van de l’Hopital op verschillende manieren uitbreiden: 1. We kunnen de regel van de l’Hopital ook gebruiken om limieten te berekenen voor x naderend tot oneindig. 2. We kunnen op dezelfde manier onbepaaldheden van het type

∞ ∞

oplossen.

Voorbeeld 2. De functies y = 2x + 3 en y = 3x − 1 naderen beide tot oneindig wanneer x nadert tot oneindig. Toepassing van de regel van de l’Hopital geeft dat 2x + 3 2 2 = lim = . x→+∞ 3x − 1 x→+∞ 3 3 lim

′

(x) 3. Indien de limiet van het quotiënt fg ′ (x) opnieuw een onbepaaldheid van type 00 of ∞ ∞ oplevert kunnen we de regel van de l’Hopital herhaalde malen gebruiken om tot het resultaat te komen.

Versie 0.1

03 oktober 2004

Hoofdstuk 7. Belangrijke stellingen

73

Voorbeeld 3. Tweemaal toepassen van de regel van de l’Hopital levert ons dat 1 2 ln x x1 ln x ln2 x x = lim = 2 lim = 2 lim = 0. lim x→+∞ x→+∞ x x→+∞ 1 x→+∞ x 1

4. We kunnen de regel van de l’Hopital ook gebruiken om andere types van onbepaaldheden op te lossen. Om onbepaaldheden van type 0 · ∞ op te lossen schrijven we lim f (x)g(x) = lim

x→a

x→a

f (x) 1 g(x)

.

Deze laatste limiet kan dan met behulp van de regel van de l’Hopital worden berekend. Voorbeeld 4. lim x ln x = lim

x→0+

ln x

x→0+

1 x

= lim

x→0+

1 x − x12

= lim −x = 0. x→0+

Op dezelfde manier lost men onbepaaldheden van het type 00 , ∞0 en 1∞ op door te stellen dat lim f (x)g(x) = lim eg(x) ln(f (x)) = elimx→a g(x) ln(f (x)) . x→a

x→a

De limiet in de exponent van deze laatste uitdrukking kan vervolgens worden berekend met behulp van de regel van de l’Hopital. Voorbeeld 5. Gebruik makend van het vorige voorbeeld en de regel van de l’Hopital vinden we dat lim xx = lim ex ln x = elimx→0+ x ln x = e0 = 1. x→0+

x→0+

Om onbepaaldheden van type ∞ − ∞ op te lossen schrijft men tenslotte lim f (x) − g(x) = lim

x→a

x→a

1 g(x)

−

1 f (x)

1 f (x)g(x)

,

waarna men de regel van de l’Hopital toepast. Voorbeeld 6. Tweemaal toepassen van de regel van de l’Hopital geeft dat 1 sin x − x 1 − = lim x→0 x sin x x→0 x sin x cos x − 1 = lim x→0 sin x + x cos x − sin x = lim x→0 2 cos x − x sin x = 0. lim

Versie 0.1

03 oktober 2004

74


Oefening 1. Bereken de volgende limieten. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Versie 0.1

tg 2x x→0 x x2 lim x→+∞ ln x lim

8. 9. 2

lim x4 e−x

10.

tg x x→0 1 − cos x 1 lim (cos x) x

11.

x→+∞

lim

12.

x→0

1

lim x x2

13.

x→+∞

lim x ln x

x→0

14.

tg x − x x→0 x − sin x ex lim x→+∞ x3 lim (sin x)x lim

x→0

lim (1 − cos x)sin x

x→0

1

lim (ex − 3x) x

x→0

lim (ex − 3x)

x→+∞

1

lim (ex − 3x) x

x→+∞

03 oktober 2004

Hoofdstuk 8

De formule van Taylor-Ma Laurin

1. Inleiding Stel dat y = f (x) een reële functie is, die n keer afleidbaar is in een punt a ∈ dom(f ). Dan kunnen we een veeltermfunctie van graad n construeren, y = Pn (x),

Pn (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + . . . + an (x − a)n ,

zodanig dat f en de eerste n afgeleiden in het punt a samenvallen met Pn en zijn eerste n afgeleiden. Definitie 1. De faculteit van een strikt positief natuurlijk getal n ∈ als n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1.

N

0

wordt gedefinieerd

We zeggen verder dat 0! = 1.

Het is duidelijk uit de definitie dat voor strikt positieve natuurlijke getallen geldt dat n! = n · (n − 1)!.

Versie 0.1

75

03 oktober 2004

76


Voorbeeld 1. 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120,

6! = 6 · 5! = 6 · 120 = 720.

Om de veelterm Pn te bepalen merken we op dat Pn (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + . . . + an (x − a)n

Pn′ (x) = a1 + 2a2 (x − a) + 3a3 (x − a)2 + . . . + nan (x − a)n−1

Pn′′ (x) = 2a2 + 6a3 (x − a) + 12a4 (x − a)2 + . . . + n(n − 1)an xn−2 .. . Pn(i) (x) = i!ai + . . . + n(n − 1) . . . (n − i + 1)an xn−i .. . Pn(n) (x) = n!an , De coëfficiënten a0 , . . . , an van de veelterm Pn moeten bijgevolg gekozen worden zodanig dat f (a) = Pn (a) = 0!a0 , f ′ (a) = Pn′ (a) = 1!a1 , f ′′ (a) = Pn′′ (a) = 2!a2 , .. . f (i) (a) = Pn(i) (a) = i!ai , .. . f (n) (a) = Pn(n) (a) = n!an . We vinden dus

f (i) (a) , i = 0, 1, 2, . . . , n, i! en bijgevolg wordt de veelterm Pn gegeven door ai =

Pn (x) = f (a) +

x−a ′ (x − a)2 ′′ (x − a)n (n) f (a) + f (a) + . . . + f (a). 1! 2! n!

Voorbeeld 2. Stel f (x) = sin(x) en a = 0. Dan is f (x) = sin(x), f (0) = 0, f ′ (x) = cos(x), f ′ (0) = 1, f ′′ (x) = − sin(x), f ′′ (0) = 0, f ′′′ (x) = − cos(x), f ′′′ (0) = −1,

Versie 0.1

f (4) (x) = sin(x),

f (4) (0) = 0,

f (5) (x) = cos(x),

f (5) (0) = 1,

f (6) (x) = − sin(x),

f (6) (0) = 0, 03 oktober 2004

Hoofdstuk 8. De formule van Taylor-MacLaurin

77

en de veelterm P6 (x) wordt dus gegeven door x3 x5 P6 (x) = x − + . 3! 5! Oefening 1. Bereken P6 (x) voor de functies f (x) = cos(x) en f (x) = ex . Stel hierbij a = 0. Oefening 2. Bereken de veeltermen P6 (x) voor f (x) = sin(x) en f (x) = cos(x) wanneer je a = π3 stelt.

2. De formule van Taylor-MacLaurin In de vorige paragraaf zagen we hoe we met een natuurlijk getal n en een functie y = f (x) een veelterm kunnen associëren. Het is duidelijk dat de veeltermfunctie Pn en de functie f dezelfde functiewaarde geven voor het punt a. Verder valt ook de raaklijn aan beide grafieken samen in dat punt. We kunnen ons nu afvragen of y = Pn (x) een goede benadering is voor de functie y = f (x) in punten x die dicht bij a gelegen zijn. Hiervoor moeten we het verschil Rn (x) = f (x) − Pn (x) berekenen tussen de functiewaarde f (x) en de “benaderde” functiewaarde Pn (x). Dit verschil wordt gegeven in de volgende Stelling 1. (De formule van Taylor) Stel dat de functie y = f (x) n + 1 keer afleidbaar is in de buurt van het punt a ∈ dom(f ) en dat Pn (x) de veeltermfunctie van graad n is die hierboven werd geconstrueerd. Dan bestaat er een getal x0 ∈]a, x[ waarvoor geldt dat f (x) = Pn (x) +

(x − a)n+1 (n+1) f (x0 ). (n + 1)!

Bewijs. Met de notaties van hierboven weten we dat f (x) = Pn (x) + Rn (x). Omdat f (a) = Pn (a) geldt ook dat Rn (a) = 0 en we kunnen bijgevolg stellen dat Rn (x) =

(x − a)n+1 Q(x). (n + 1)!

We kiezen nu een vaste waarde van x en definiëren een functie F gegeven door x−t ′ (x − t)2 ′′ (x − t)n (n) (x − t)n+1 F (t) = f (x) − f (t) − f (t) − f (t) − . . . − f (t) − Q(x). 1! 2! n! (n + 1)!

Versie 0.1

03 oktober 2004

78


De functie F is duidelijk continu in het interval [a, x] en afleidbaar in het interval ]a, x[. Verder is ook (x − a)2 ′′ (x − a)n (n) (x − a)n+1 x−a ′ f (a) − f (a) − . . . − f (a) − Q(x) F (a) = f (x) − f (a) − 1! 2! n! (n + 1)! = f (x) − Rn (x) − Pn (x) = 0.

Anderzijds is ook duidelijk dat F (x) = 0. Bijgevolg voldoet de functie F aan de voorwaarden van de Stelling van Rolle en kunnen we dus besluiten dat er een getal x0 ∈]a, x[ bestaat waarvoor geldt dat F ′ (x0 ) = 0. Afleiden van de functie F naar de veranderlijke t levert ons dat F ′ (t) = −

(x − t)n (n+1) (n + 1)(x − t)n f (t) + Q(x). n! (n + 1)!

Als we t = x0 stellen in deze formule en gebruiken dat F ′ (x0 ) = 0 vinden we dat Q(x) = f (n+1) (x0 ).

Indien we a = 0 stellen in het vorige resultaat, vinden we dat f (x) = Pn (x) + Rn (x), waar Pn (x) = f (0) +

x2 xn (n) x ′ f (0) + f ′′ (0) + . . . + f (0), 1! 2! n!

xn+1 (n+1) f (x0 ), (n + 1)! voor een bepaalde waarde x0 ∈]0, x[. Deze speciale toepassing van de formule van Taylor wordt de formule van MacLaurin genoemd. Rn (x) =

Voorbeeld 3. Stel x =

π 10 ,

n = 6, f (x) = sin(x) en a = 0. Dan vinden we dat

π 1 π 1 π π )= − ( )3 + ( )5 ∼ 0.309017. 10 10 3! 10 5! 10 Verder is volgens de formule van MacLaurin π 1 π R6 ( ) = ( )7 (− cos(x0 )), 10 7! 10 π voor een bepaalde x0 ∈]0, 10 [. Omdat de cosinus altijd tussen -1 en 1 ligt kunnen we afleiden dat π 1 π |R6 ( )| ≤ ( )7 ∼ 0.6 · 10−7 < 10−6 . 10 7! 10 π π Als we dus stellen dat sin( 10 ) = P6 ( 10 ) maken we een fout die kleiner is dan 10−6 . P6 (

Oefening 3. Bereken cos( π4 ) met behulp van P4 (x). Hoe nauwkeurig is deze berekening? Oefening 4. Bereken e op vijf decimalen nauwkeurig. √ Oefening 5. Bereken 101 op drie decimalen nauwkeurig.

Versie 0.1

03 oktober 2004

Hoofdstuk 8. De formule van Taylor-MacLaurin

79

3. Reeksontwikkelingen van Taylor-MacLaurin Stel dat de functie f onbeperkt afleidbaar is in de omgeving van het punt a ∈ dom(f ). de veelterm Pn (x) berekenen zoals Dan kunnen we voor een willekeurige waarde van n ∈ hierboven aangegeven. We vinden dan een rij veeltermfuncties

N

(x − a) ′ f (a), 1! (x − a)2 ′′ (x − a) ′ f (a) + f (a), P2 (x) = f (a) + 1! 2! (x − a) ′ (x − a)2 ′′ (x − a)3 ′′′ P3 (x) = f (a) + f (a) + f (a) + f (a), 1! 2! 3! .. . P1 (x) = f (a) +

Indien het verschil Rn (x) tussen f (x) en de veelterm Pn (x) naar nul nadert voor n naderend naar +∞, kunnen we stellen dat f (x) kan geschreven worden als de (oneindige) machtreeks f (x) = f (a) +

(x − a)2 ′′ (x − a)3 ′′′ (x − a) ′ f (a) + f (a) + f (a) + . . . . 1! 2! 3!

Deze machtreeks wordt de reeksontwikkeling van Taylor voor de gegeven functie genoemd. In het speciale geval waarin a = 0 spreken we van de reeksontwikkeling van MacLaurin. Voorbeeld 4. Voor f (x) = sin(x) zien we dat de reeksontwikkeling van MacLaurin gegeven wordt door x5 x7 x3 + − + .... sin(x) = x − 3! 5! 7! Voorbeeld 5. Op dezelfde wijze berekenen we dat cos(x) = 1 −

x2 x4 x6 + − + ..., 2 4! 6!

en dat de exponentiële functie gegeven wordt door de reeksontwikkeling ex = 1 +

x x2 x3 + + + .... 1! 2! 3!

Oefening 6. Bereken de reeksontwikkeling van MacLaurin voor de functie y =

1 1−x .

Oefening 7. Bereken de reeksontwikkeling van Taylor voor de functie y = ln x rond het punt a = 1. Oefening 8. Bereken de reeksontwikkeling van Taylor voor de functie f (x) = sin(x) rond het punt a = π3 . Bereken hiermee de sinus van een hoek van 62 graden.

Versie 0.1

03 oktober 2004

80

Versie 0.1


03 oktober 2004

Hoofdstuk 9

Complexe getallen

1. Definitie

R

We hebben in wat voorafgaat steeds gewerkt met de verzameling van de reële getallen . We hebben gezien dat het kwadraat van een dergelijk reëel getal x steeds positief is, en dat er bijgevolg geen enkel reëel getal x bestaat waarvoor x2 + 1 = 0,

of

x2 = −1.

Om een algemene kwadratische vergelijking ax2 + bx + c = 0 op te lossen berekent men eerst de discriminant van deze vergelijking. Dit is het reëel getal dat gegeven wordt door D = b2 − 4ac. √ Indien deze discriminant D positief is, kunnen we hieruit de vierkantswortel D trekken, en we weten dan dat de oplossingen van de vierkantsvergelijking gegeven worden door de reële getallen √ √ −b − D −b + D , . 2a 2a Indien D negatief is, kunnen we geen vierkantswortel uit D trekken (er bestaat dan geen reëel getal x waarvoor x2 = D) en we vinden in dit geval dan ook geen reële oplossingen van de vierkantsvergelijking. Versie 0.1

81

03 oktober 2004

82


Om deze problemen op te lossen voeren we in dit hoofdstuk een nieuwe verzameling van getallen in, die we complexe getallen zullen noemen. Hiervoor voeren we eerst een nieuw “getal” in, dat we met j zullen aanduiden en waarvan we eisen dat j 2 = −1. Definitie 1. Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bj, waarbij a en b willekeurige reële getallen zijn. Indien z = a + bj een complex getal is noemen we a = Re(z) het reëel deel van z, en bj = Im(z) het imaginair deel van z. Indien b = 0 is z = a een reëel getal, indien a = 0 noemen we z = bj een imaginair getal. De verzameling van alle complexe getallen noteren we met het symbool . Voor elk complex getal z = a + bj kunnen we tenslotte een complex getal z¯ = a + bj = a − bj definiëren, dat we de complex toegevoegde van z noemen.

C

2. Rekenen met complexe getallen Definitie 2. Stel dat z1 = a + bj en z2 = c + dj twee complexe getallen zijn. Dan is z1 + z2 = (a + c) + (b + d)j, z1 − z2 = (a − c) + (b − d)j, z1 · z2 = (ac − bd) + (ad + bc)j, ac + bd bc − ad z1 = 2 + 2 j. z2 c + d2 c + d2

Deze definities tonen aan dat we met complexe getallen kunnen rekenen op ongeveer dezelfde wijze als met reële getallen. We beschouwen hierbij het symbool j als een onbekend getal in de uitdrukkingen, maar vervangen steeds j 2 door -1 waar dit mogelijk is. Voorbeeld 1. Als we deze techniek toepassen zien we dat (a + bj)(c + dj) = ac + bcj + adj + bdj 2 = ac + bcj + adj − bd = (ac − bd) + (ad + bc)j. Op dezelfde wijze vinden we dat a + bj (a + bj)(c − dj) (ac + bd) + (bc − ad)j ac + bd bc − ad = = = 2 + 2 j. 2 2 c + dj (c + dj)(c − dj) c +d c + d2 c + d2 Met behulp van de complexe getallen kunnen we nu vierkantsvergelijkingen oplossen waarvan de discriminant negatief is. We vinden in dit geval twee complexe oplossingen.

Versie 0.1

03 oktober 2004

Hoofdstuk 9. Complexe getallen

83

Voorbeeld 2. De vergelijking x2 − 10x + 26 = 0 heeft discriminant D = 102 − 4 · 26 = −4 = (±2j)2 . De (complexe) oplossingen van deze vierkantsvergelijking zijn dan gegeven door 10 − 2j = 5 − j. 2

10 + 2j = 5 + j, 2

Deze oplossingstechniek voor kwadratische vergelijkingen kadert in een veel breder toepassingsgebied. Een belangrijk resultaat uit de algebra leert ons immers dat elke veeltermvergelijking an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0, (met an 6= 0, an complexe getallen) exact n complexe getallen als oplossingen heeft. Indien alle coëfficiënten a0 , a1 , . . . , an bovendien reëel zijn, komen deze oplossingen in paren voor: als a + bj een oplossing is, is ook de complex toegevoegde a − bj een oplossing.

3. Grafische voorstelling Elk complex getal z = a + bj wordt voorgesteld door een punt in het vlak met coördinaten (a, b). Op deze wijze bekomen we het complexe vlak of het diagram van Argand. 3+2i 2i -1+i

i

-1

0

2+i

1

2

3

-i

2-2i

-2i 1-2i

Figuur 38. Enkele complexe getallen en hun grafische voorstelling.

De som en het verschil van complexe getallen kunnen dan grafisch worden voorgesteld als volgt.

Versie 0.1

03 oktober 2004

84


(a+bi)+(c+di)

(a+bi)

c+di

(a+bi)-(c+di)

a+bi

c+di

Figuur 39. Som en verschil van complexe getallen.

4. Goniometrische voorstelling Definitie 3. De modulus van een complex getal z = a + bj wordt gegeven door p √ z = a2 + b2 . |z| = z¯

Het argument van het complex getal is de hoek θ die gevormd wordt door de x-as en de geöriënteerde rechte door 0 en z.

(a+bi)

b

|a+bi| = r θ a

Figuur 40. Modulus en argument van een complex getal.

Stel nu dat z een complex getal is met modulus r en argument θ. Het is dan duidelijk uit de bijgevoegde figuur dat a = r cos θ, b = r sin θ, en het complex getal z kan bijgevolg geschreven worden als z = r(cos θ + j sin θ). Deze schrijfwijze noemen we de goniometrische voorstelling van een complex getal. Versie 0.1

03 oktober 2004


85

Om de goniometrische voorstelling van een complex getal z = a + bj te berekenen merken we op dat p b tg θ = . r = a2 + b2 , a Het argument θ is door deze formule echter niet eenduidig bepaald, omdat tg(θ + π) = tg θ. Als we echter rekening houden met het kwadrant waarin het punt a + bj zich bevindt, kunnen we θ wel volledig bepalen. Voorbeeld 3. Om de goniometrische vorm te bepalen van het complex getal z = 1 − j merken we op dat √ √ |z| = 1 + 1 = 2, tg θ = −1. Bijgevolg is θ = weten we dat

3π 4

of θ =

7π 4 .

Omdat het getal 1 − j echter in het vierde kwadrant ligt, 3π ≤ θ ≤ 2π, 2

en bijgevolg is θ =

7π 4 .

De goniometrische vorm van z = 1 − j wordt dan gegeven door √ 7π 7π 2 cos( ) + j sin( ) . 4 4

Het nut van de goniometrische voorstelling van complexe getallen blijkt uit de volgende stelling. Stelling 1. Stel dat z1 = r1 (cos θ1 + j sin θ1 ) en z2 = r2 (cos θ2 + j sin θ2 ) twee complexe getallen zijn. Dan is z1 · z2 = r1 · r2 (cos(θ1 + θ2 ) + j sin(θ1 + θ2 )), r1 z1 = (cos(θ1 − θ2 ) + j sin(θ1 − θ2 )). z2 r2 Bijgevolg geldt voor elk natuurlijk getal n dat z n = r n (cos θ + j sin θ)n = r n (cos(nθ) + j sin(nθ)). Deze laatste uitdrukking wordt de formule van de Moivre genoemd.

We kunnen de formule van de Moivre gebruiken om n-de machtswortels uit een complex getal z = a + bj te trekken, dit wil zeggen om complexe getallen w te zoeken waarvoor geldt dat wn = z, of de oplossingen te zoeken van de vergelijking xn = a + bj. Stel hiervoor dat z = r(cos θ + j sin θ) de goniometrische vorm is van het complex getal a + bj. Het is dan duidelijk dat de getallen 1

r n (cos(

θ + 2πk θ + 2πk ) + j sin( )), n n

k = 0, 1, . . . , n − 1,

de n-de machtswortels zijn uit het complex getal z. Deze complexe getallen vormen een regelmatige n-hoek in het complexe vlak. Versie 0.1

03 oktober 2004

86


Voorbeeld 4. Om de derdemachtswortels te berekenen uit het getal z = 8j berekenen we eerst de goniometrische vorm van dit getal. Deze wordt gegeven door π π 8j = 8(cos + j sin ). 2 2 De derdemachtswortels van dit getal zijn dan π 5π 5π 9π 9π π 2(cos + j sin ), 2(cos + j sin ). 2(cos + j sin ), 6 6 6 6 6 6 Voorbeeld 5. De vierkantsvergelijking x2 + 2jx + j = 0 heeft discriminant D = (2j)2 − 4j = −4 − 4j. Om de oplossingen van de vergelijking te bepalen moeten we de vierkantswortels uit deze discriminant berekenen. De goniometrische vorm van de discriminant wordt gegeven door √ 5π 5π D = 8(cos + j sin ), 4 4 en de vierkantswortels zijn bijgevolg √ √ 5π 13π 5π 13π 4 4 + j sin ), w2 = 8(cos + j sin ). w1 = 8(cos 8 8 8 8 De oplossingen van de vierkantsvergelijking zijn daarom van de vorm −2j + w2 −2j + w1 , . 2 2 Voorbeeld 6. De getallen 2πk 2πk + j sin , k = 0, 1, . . . , n − 1, n n vormen de n-de machtswortels uit het getal 1 (met modulus r = 1 en argument θ = 0), en dus de n verschillende oplossingen van de vergelijking cos

xn − 1 = 0.

Figuur 41. De zesde machtswortels uit 1 en de vijfde machtswortels uit j.

Versie 0.1

03 oktober 2004


87

5. Exponenti¨ ele voorstelling In Hoofdstuk 8 zagen we dat θ5 θ7 θ3 + − + ..., 3! 5! 7! θ2 θ4 θ6 cos θ = 1 − + − + ..., 2! 4! 6! x2 x3 x + + .... ex = 1 + + 1! 2! 3! sin θ = θ −

Als we in de laatste uitdrukking x vervangen door jθ vinden we de formule van Euler: θ θ2 θ3 + j2 + j3 + . . . 1! 2! 3! θ2 θ4 =1− + +... 2! 4! θ3 θ5 θ − + +... +j 1! 3! 5!

ejθ = 1 + j

= cos θ + j sin θ.

We kunnen complexe getallen daarom ook voorstellen op een derde manier, die we meestal de exponentiële voorstelling zullen noemen. Deze voorstelling wordt gegeven door z = r(cos θ + j sin θ) = rejθ = eln r+jθ , en het is duidelijk dat ex+jy = ex ejy = ex (cos y + j sin y). Deze schrijfwijze voor complexe getallen is zeer interessant voor bepaalde toepassingen, omdat ze ons toelaat op een zeer eenvoudige wijze te rekenen met complexe getallen. We zien immers dat r1 ejθ1 · r2 ejθ2 = r1 r2 ej(θ1 +θ2 ) , r1 ejθ1 r1 = ej(θ1 −θ2 ) , jθ 2 r2 e r2 jθ n (re ) = r n ejnθ ,

en we besluiten dus dat we met complexe getallen in exponentiële voorstelling mogen werken zoals met exponentiële functies met reële exponenten. Bovendien zijn de n-de machtswortels van het getal rejθ gegeven door 1

r n ej

θ+2πk n

,

k = 0, 1, . . . , n − 1.

Voorbeeld 7. De formules geven aan dat ejπ = cos π + j sin π = −1,

Versie 0.1

π π π = je3 . e3+j 2 = e3 cos + j sin 2 2 03 oktober 2004

88

Versie 0.1


03 oktober 2004

Hoofdstuk 10

Onbepaalde integratie

1. Inleiding In wat voorafgaat hebben we de afgeleide functie van een reële functie y = f (x) ingevoerd. In dit hoofdstuk zullen we de inverse bewerking van het berekenen van de afgeleide functie invoeren. We zoeken, met andere woorden, de functies F (x) waarvan de afgeleide een gegeven functie f (x) is. Deze bewerking, die we (onbepaalde) integratie noemen, zal een centrale rol spelen bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen. Elke reële functie F (x) waarvoor geldt dat dF = F ′ (x) = f (x) dx wordt een onbepaalde integraal of een primitieve functie van f genoemd. Een primitieve functie is duidelijk niet uniek. Immers, indien F een primitieve functie is van de functie f en C een willekeurige reële constante, dan is de functie F (x) + C opnieuw een primitieve functie van f (x). We bekomen met andere woorden een ganse familie van primitieve functies van de vorm F (x) + C, waarbij F (x) een primitieve functie is en C een willekeurige constante, die we een integratieconstante noemen. De verzameling van alle primitieve functies wordt meestal de onbepaalde integraal genoemd, en deze wordt aangeduid met Z f (x)dx = F (x) + C. Versie 0.4

89

09 maart 2007

90


Voorbeeld 1. De functie f (x) = 2x heeft de functie F (x) = x2 als een primitieve functie. Elke functie van de vorm x2 + C is echter ook een primitieve functie, en we zeggen dat Z 2xdx = x2 + C. In de rest van dit hoofdstuk worden een aantal technieken verzameld die kunnen worden gebruikt om, voor bepaalde types van functies, de onbepaalde integraal te berekenen.

2. Basisintegralen De volgende integralen kunnen onmiddellijk worden berekend aan de hand van de formules voor afgeleiden die we in vorige hoofdstukken hebben verzameld. Z Z Z (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx, Z Z af (x)dx = a f (x)dx, a∈ Z f ′ (x)dx = f (x) + C, Z xn+1 xn dx = + C, −1 6= n ∈ , n+1 Z Z 1 dx = ln |x| + C, x−1 dx = x Z sin xdx = − cos x + C, Z cos xdx = sin x + C, Z 1 dx = tg x + C, cos2 x Z 1 dx = − cotg x + C. sin2 x Z ′ f (x) dx = ln |f (x)| + C, f (x) Z Z sin x dx = − ln | cos x| + C, tg xdx = cos x Z Z cos x cotg xdx = dx = ln | sin x| + C, sin x Z ex dx = ex + C, Z ax + C, ax dx = ln a Z 1 √ dx = arcsin x + C, 1 − x2 Z 1 dx = arctg x + C. 1 + x2

R

R

Versie 0.4

09 maart 2007

Hoofdstuk 10. Onbepaalde integratie

91

Volgende integralen zullen verder in dit hoofdstuk berekend worden, maar kunnen in praktische problemen eventueel ook als basisintegralen worden beschouwd. Z 1 x 1 dx = arctg + C, 2 2 a +x a a Z 1 1 a+x dx = ln | | + C, 2 2 a −x 2a a−x Z 1 1 x−a dx = ln | | + C, 2 2 x −a 2a x+a Z x 1 √ dx = arcsin + C, 2 2 a a −x Z p 1 √ dx = ln |x + x2 ± a2 | + C, x2 ± a 2 Z 1 1 dx = ln | − cotg x| + C, sin x sin x Z 1 1 dx = ln | + tg x| + C. cos x cos x

3. De substitutiemethode Eén van de meest fundamentele en meest gebruikte methodes bij het berekenen van een onbepaalde integraal is de substitutiemethode. Hierbij tracht men de variabele x te vervangen door een nieuwe variabele t. Indien deze nieuwe variabele oordeelkundig wordt gekozen, kan de oorspronkelijke onbepaalde integraal vaak herleid worden tot een onbepaalde integraal van een eenvoudiger type, die met een andere methode kan worden opgelost. Stel dus dat we een functie f (x) gegeven krijgen, en dat we Z f (x)dx moeten berekenen. Indien we een nieuwe variabele t definiëren door te stellen dat x = ϕ(t), zien we dat dx = ϕ′ (t)dt. We kunnen de oorspronkelijke integraal dan vervangen door Z f (ϕ(t))ϕ′ (t)dt. Als we deze onbepaalde integraal kunnen berekenen, bekomen we een primitieve functie F (t) + C, waarin we t tenslotte vervangen door ϕ−1 (x). Voorbeeld 2. Om de onbepaalde integraal Z

1 dx x+5

te berekenen stellen we x + 5 = t, Versie 0.4

of

x = t − 5. 09 maart 2007

92


We zien dan dat dx = dt, en de te berekenen integraal levert ons Z

1 dt = ln |t| + C. t Als we t opnieuw vervangen door t = x + 5 vinden we Z 1 dx = ln |x + 5| + C. x+5 Voorbeeld 3. We berekenen

Z

We stellen eerst dat

sin 2xdx.

2x = t, en bijgevolg is dx = De integraal wordt dan Z

x=

1 t, 2

1 dt. 2

1 1 sin tdt = − cos t + C, 2 2

en opnieuw t vervangen levert ons Z 1 sin(2x)dx = − cos 2x + C. 2 Voorbeeld 4. We berekenen Z

dx 1 = 2 2 2 a +x a

Z

dx 1+

De substitutie

. x 2 a

x = t, x = at, dx = adt, a levert dan de integraal Z dt 1 1 = arctg t + C. 2 a 1+t a Als we t opnieuw vervangen, vinden we x 1 arctg( ) + C. a a Voorbeeld 5. Berekenen we vervolgens Z

x cos x2 dx.

De substitutie

x2 = t, levert ons

Versie 0.4

Z

2xdx = dt,

1 1 1 cos t dt = sin t + C = sin x2 + C. 2 2 2

09 maart 2007


93

4. Parti¨ ele integratie De afgeleide van een product van twee functies wordt gegeven door (f (x)g(x))′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x), en dit impliceert onmiddellijk dat Z Z Z ′ ′ f (x)g(x)dx = (f (x)g(x)) dx − f (x)g ′ (x)dx Z = f (x)g(x) − f (x)g ′ (x)dx. We kunnen met andere woorden een integraal van een product van twee functies vervangen door een andere integraal, waarbij we één der factoren hebben ge¨ıntegreerd, en de andere hebben afgeleid. We moeten hierbij wel een “correctieterm” invoeren, waarvoor echter geen integratie meer vereist is. Indien de functies f ′ (x) en g(x) oordeelkundig worden bepaald, zal de resterende onbepaalde integraal vaak eenvoudiger te berekenen zijn dan de oorspronkelijke. Voorbeeld 6. Om de integraal Z

x sin xdx

te berekenen stellen we f ′ (x) = sin x,

g(x) = x.

Dan volgt onmiddellijk dat f (x) = − cos x, en dus is

Z

g ′ (x) = 1,

x sin xdx = −x cos x +

Z

cos xdx

= −x cos x + sin x + C.

Voorbeeld 7. We berekenen

Z

xex dx.

We stellen daarvoor f ′ (x) = ex ,

g(x) = x.

f (x) = ex ,

g ′ (x) = 1,

Dan is en bijgevolg is Z

x

xe dx = xe −


Versie 0.4

x

Z

Z

ex dx = xex − ex + C.

x2 ln xdx.

09 maart 2007

94


We stellen hierbij

f ′ (x) = x2 , f (x) =

g(x) = ln x, 1 g ′ (x) = , x

x3 , 3

en we bekomen Z

x3 ln x − x ln xdx = 3 2

Z

x2 x3 x3 dx = ln x − + C. 3 3 9

We kunnen deze methode ook gebruiken voor het berekenen van integralen van een aantal functies waarvan we enkel de afgeleide kennen. Voorbeeld 9. Om de integraal Z

arctg xdx

te berekenen stellen we f ′ (x) = 1,

g(x) = arctg x,

f (x) = x,

g ′ (x) =

en dus is

We bekomen dan

Z

arctg xdx = x arctg x −

1 . 1 + x2 Z

x dx. 1 + x2

We voeren vervolgens een substitutie uit t = x2 + 1, en we bekomen

We besluiten dat

Z

Z

dt = 2xdx,

Z 1 1 x dx = dt 2 1+x 2 t 1 = ln |t| + C 2 1 = ln |1 + x2 | + C. 2

arctg xdx = x arctg x −

1 ln |1 + x2 | + C. 2

In sommige gevallen wordt de integraal na partiële integratie niet eenvoudiger maar blijft hij “van hetzelfde type”. In deze gevallen kan men vaak, door het tweemaal toepassen van partiële integratie, een uitdrukking bekomen waarin de gezochte integraal zowel in het linkerals in het rechterlid voorkomt, met een verschillende coëfficiënt. Men kan de integraal in dat geval uit deze uitdrukking berekenen.

Versie 0.4

09 maart 2007

Hoofdstuk 10. Onbepaalde integratie Voorbeeld 10. We berekenen

Z

We stellen daarvoor

95

ex sin 2xdx.

f ′ (x) = ex ,

g(x) = sin 2x,

en dus is f (x) = ex , We vinden dus dat

Z

x

g ′ (x) = 2 cos 2x. x

e sin 2xdx = e sin 2x − 2

Op dezelfde manier kunnen we nu Z

berekenen door te stellen dat

Z

ex cos 2xdx.

ex cos 2xdx

f ′ (x) = ex ,

g(x) = cos 2x,

en f (x) = ex ,

g ′ (x) = −2 sin 2x,

waarbij we vinden dat Z

x

x

e cos 2xdx = e cos 2x + 2

Z

ex sin 2xdx.

Als we dit invullen vinden we dat Z Z x x x e sin 2xdx = e sin 2x − 2e cos 2x − 4 ex sin 2xdx, waaruit volgt dat

Z

ex sin 2xdx =

1 x (e sin 2x − 2ex cos 2x) + C. 5

5. Integratie van rationale functies Een rationale functie is van de vorm f (x) =

Pn (x) , Qm (x)

waarbij Pn (x) een veelterm is van graad n en Qm (x) een veelterm van graad m. In deze paragraaf zullen we aantonen dat we elke rationale functie kunnen integreren. We zullen dit doen door de rationale functie te herschrijven als een som van een veeltermfunctie en een stel eenvoudigere, rationale functies, die we partiële breuken noemen. We kunnen dan de integraal van de rationale functie berekenen als de som van de integralen van de verschillende componenten. We zullen dus veronderstellen dat we een rationale functie Pn (x) f (x) = Qm (x) gegeven krijgen, waarvan we de onbepaalde integraal moeten berekenen. We gaan hierbij te werk in een aantal opeenvolgende stappen. Versie 0.4

09 maart 2007

96


1. Graad van de teller groter dan of gelijk aan graad van de noemer Indien n ≥ m wordt de rationale functie oneigenlijk genoemd. We kunnen een oneigenlijke rationale functie steeds schrijven als een som S(x) Pn (x) = Rn−m (x) + Qm (x) Qm (x) van een veeltermfunctie Rn−m (x) van graad n − m en een eigenlijke rationale functie, dit is een rationale functie waarvoor de graad van de teller kleiner is dan die van de noemer. We voeren hiervoor een Euclidische deling van de veeltermen Pn en Qm uit. De veelterm Rn−m (x) is dan het quotiënt van deze deling, terwijl S de rest vormt. De berekening van de integraal van een oneigenlijke rationale functie is bijgevolg herleid tot de berekening van de integraal van de veeltermfunctie en de integraal van een eigenlijke rationale functie. Voorbeeld 11. De oneigenlijke rationale functie f (x) =

x2 , x+1

kan geschreven worden als f (x) = (x − 1) + Bijgevolg is Z

x2 dx = x+1

1 . x+1

1 )dx x+1 Z Z 1 = (x − 1)dx + dx x+1 x2 − x + ln |x + 1| + C. = 2 Z

((x − 1) +

Voorbeeld 12. Op dezelfde manier schrijven we x4 + 2x2 + 2 1 2 = (x + 1) + , x2 + 1 x2 + 1 en bijgevolg is Z

Versie 0.4

x4 + 2x2 + 2 x3 dx = + x + arctg(x) + C. x2 + 1 3

09 maart 2007


97

2. Splitsing in parti¨ ele breuken Elke eigenlijke rationale functie kan vervolgens geschreven worden als een som van één of meerdere partiële breuken. Dit zijn eenvoudige rationale functies van de vorm A , (ax + b)n waarbij A, a en b reële getallen zijn en n een natuurlijk getal verschillend van 0, of van de vorm Ax + B , 2 (ax + bx + c)n waarbij A, B, a, b en c reële getallen zijn, n een van nul verschillend natuurlijk getal en waarbij de discriminant b2 − 4ac van de vergelijking ax2 + bx + c = 0 negatief is, zodat de kwadratische uitdrukking niet kan worden ontbonden in lineaire factoren (met reële coëfficiënten). Om de verschillende partiële breuken te berekenen waarmee we onze rationale functie schrijven moeten we eerst de noemer Qm (x) van de rationale functie splitsen in factoren ai x + bi van de eerste graad en factoren a ¯i x2 + ¯bi x + c¯i van de tweede graad die niet verder kunnen worden ontbonden, dus waarvoor de discriminant negatief is. (Dit is, tenminste in theorie, steeds mogelijk.) We vinden dan in het algemeen een ontbinding van de vorm Qm (x) = (a1 x + b1 )n1 · (a2 x + b2 )n2 · . . . · (ak x + bk )nk · (¯ a1 x2 + ¯b1 x + c¯1 )n¯ 1 · (¯ a2 x2 + ¯b2 x + c¯2 )n¯ 2 · . . . · (¯ al x2 + ¯bl x + c¯l )n¯ l . Voorbeeld 13. De volgende voorbeelden schetsen de ontbinding in factoren van een aantal veeltermen in het hierboven beschreven kader: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2),

x3 − x2 − x + 1 = (x − 1)2 (x + 1), x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 1)(x2 + 2),

x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 = (x + 1)(x2 + 1)2 . De bovenstaande ontbinding in factoren van de noemer Qm (x) van de eigenlijke rationale functie laat ons nu toe de rationale functie te schrijven als een som van partiële breuken. Elke factor uit de ontbinding van de noemer zal hierbij aanleiding geven tot één of meerdere termen in deze som. Deze termen worden als volgt bepaald. 1. Elke lineaire factor van de vorm ax + b die juist één keer voorkomt in de ontbinding geeft aanleiding tot één partiële breuk van de vorm A . ax + b Versie 0.4

09 maart 2007

98


2. Indien een lineaire factor ax + b in de ontbinding n keer voorkomt, met andere woorden indien we bij de ontbinding in factoren (ax + b)n vinden, geeft dit aanleiding tot een som van n partiële breuken van de vorm A2 An A1 + +...+ . 2 ax + b (ax + b) (ax + b)n 3. Elke (niet-ontbindbare) kwadratische factor ax2 + bx + c die één keer voorkomt in de ontbinding van de noemer geeft aanleiding tot één partiële breuk van de vorm Ax + B . ax2 + bx + c 4. Als een kwadratische term tenslotte tot de n-de macht voorkomt in de ontbinding, geeft die opnieuw aanleiding tot een som van partiële breuken van de vorm A1 x + B 1 A2 x + B 2 An x + B n + +...+ . 2 2 2 ax + bx + c (ax + bx + c) (ax2 + bx + c)n Als we bovenstaande constructie toepassen voor elk van de verschillende factoren in de ontbinding bekomen we uiteindelijk een som van een aantal partiële breuken, waarvan de tellers onbepaalde coëfficiënten bevatten. Deze coëfficiënten moeten dan zó bepaald worden dat de som van al deze partiële breuken gelijk is aan de oorspronkelijke eigenlijke rationale functie. Om deze coëfficiënten te berekenen, zetten we de som van partiële breuken op gelijke noemer (Qm (x)) en vergelijken we de teller van deze uitdrukking met de teller van onze rationale functie. Als we de coëfficiënten van de verschillende machten van x in beide uitdrukkingen gelijk stellen, bekomen we een stelsel van vergelijkingen in de onbepaalde coëfficiënten. Dit stelsel heeft een (unieke) oplossing, die alle onbepaalde coëfficiënten uit onze constructie volledig vastlegt. We kunnen besluiten dat elke eigenlijke rationale functie kan geschreven worden als een som van partiële breuken. Bijgevolg is het probleem van de integratie van rationale functies nu herleid tot het integreren van de verschillende types van partiële breuken. Voorbeeld 14. Om de eigenlijke rationale functie f (x) =

x+1 x2 − 4

te integreren zullen we deze eerst ontbinden in partiële breuken. De ontbinding van de noemer wordt gegeven door x2 − 4 = (x − 2)(x + 2), en we kunnen de functie bijgevolg schrijven als een som van twee partiële breuken x+1 A B = + . 2 x −4 x−2 x+2 Om de onbepaalde coëfficiënten A en B te berekenen zetten we het rechterlid van deze uitdrukking op gelijke noemer en we zien dat Ax + 2A + Bx − 2B x+1 = . 2 x −4 x2 − 4 Versie 0.4

09 maart 2007


99

Als we de coëfficienten van de tellers van deze uitdrukkingen vergelijken, kunnen we besluiten dat ( A + B = 1, 2A − 2B = 1. De oplossing van dit stelsel wordt gegeven door A= en bijgevolg is

3 , 4

B=

1 , 4

3 1 x+1 = + . 2 x −4 4(x − 2) 4(x + 2)

We kunnen dan ook stellen dat Z Z 3 1 x+1 dx = ( + )dx x2 − 4 4(x − 2) 4(x + 2) Z Z 3 1 1 1 = dx + dx 4 x−2 4 x+2 1 3 = ln |x − 2| + ln |x + 2| + C. 4 4 Voorbeeld 15. Om de integraal 5x2 + 3x + 2 dx x3 − x2 + x − 1

Z

te berekenen splitsen we de eigenlijke rationale functie eerst in partiële breuken. De ontbinding van de noemer van deze functie is x3 − x2 + x − 1 = (x2 + 1)(x − 1). De kwadratische term in deze ontbinding heeft negatieve discriminant en is dus niet verder te ontbinden. We kunnen daarom stellen dat 5x2 + 3x + 2 A Bx + C = + 2 . 3 2 x −x +x−1 x−1 x +1 Als we het rechterlid op gelijke noemer brengen zien we dat (A + B)x2 + (C − B)x + (A − C) 5x2 + 3x + 2 = , x3 − x2 + x − 1 x3 − x2 + x − 1 en we besluiten dat

Dit stelsel geeft als oplossing

   A + B = 5, − B + C = 3,   A − C = 2. A = 5,

Versie 0.4

B = 0,

C = 3, 09 maart 2007

100


en bijgevolg is Z

5x2 + 3x + 2 dx = x3 − x2 + x − 1

Z

5 dx + x−1

Z

3 dx = 5 ln |x − 1| + 3 arctg x + C. x2 + 1

Voorbeeld 16. We berekenen Z

2x2 + x + 3 dx. (x − 1)2 (x + 2)

Uit de ontbinding van de noemer van de rationale functie besluiten we dat 2x2 + x + 3 A B C = + + . (x − 1)2 (x + 2) x − 1 (x − 1)2 x+2 Op gelijke noemer zetten levert dan A(x − 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x − 1)2 2x2 + x + 3 = , (x − 1)2 (x + 2) (x − 1)2 (x + 2) en we vinden het stelsel vergelijkingen    A + C = 2, A + B − 2C = 1,   − 2A + 2B + C = 3.

Bijgevolg is

A = 1,

B = 2,

C = 1,

en dus is Z

Versie 0.4

2x2 + x + 3 dx = (x − 1)2 (x + 2)

Z Z 1 1 1 dx + 2 dx + dx x−1 (x − 1)2 x+2 2 + ln |x + 2| + C. = ln |x − 1| − x−1 Z

09 maart 2007


101

3. Integratie van de parti¨ ele breuken We hebben hierboven aangetoond dat elke eigenlijke rationale functie kan gesplitst worden in een som van partiële breuken van verschillende types, en dat het integreren van een rationale functie dus kan herleid worden tot het integreren van partiële breuken. Voor elk van de verschillende types partiële breuken zullen we tenslotte nagaan hoe we deze kunnen integreren. Het eerste type van partiële breuken is van de vorm A . ax + b Om de integraal van dergelijke partiële breuken te berekenen volstaat het een substitutie van de vorm t−b 1 t = ax + b, x= , dx = dt, a a toe te passen. Voorbeeld 17. We berekenen

Z

5 dx. 3x + 7

De substitutie t = 3x + 7, levert ons dan dat

Z

x=

t−7 , 3

dx =

1 dt, 3

Z 1 5 5 dx = dt 3x + 7 3 t 5 = ln |t| + C 3 5 = ln |3x + 7| + C. 3

Het tweede type partiële breuken is van de vorm A , (ax + b)n

n 6= 1.

De integralen van dergelijke rationale functies kunnen, zoals het eerste type, berekend worden door een substitutie van de vorm t = ax + b. Voorbeeld 18. Om de integraal Z

5 dx (3x + 7)6

te berekenen stellen we opnieuw t = 3x + 7.

Versie 0.4

09 maart 2007

102


We vinden dan

Z

Z 1 5 5 dx = dt 6 (3x + 7) 3 t6 5 1 = +C 3 −5t5 1 =− 5 +C 3t 1 =− + C. 3(3x + 7)5

Het derde type van partiële breuken is van de vorm Ax + B . ax2 + bx + c Om de integraal van dergelijke rationale functies te berekenen splitsen we deze functie in twee stukken. We schrijven daartoe de teller van de breuk als een veelvoud van de afgeleide van de noemer en een getal, dus Ax + B = α(2ax + b) + β. Het eerste deel van de integraal is dan van de vorm Z

α(2ax + b) dx = α ln |ax2 + bx + c| + C. ax2 + bx + c

Na vooraanstellen van de nodige constanten wordt het tweede deel van de integraal geschreven in de vorm Z 1 dx. ax2 + bx + c Door eventueel te vermenigvuldigen met een goed gekozen getal (dat we eveneens buiten de integraal brengen) kunnen we de noemer van deze breuk steeds schrijven in de vorm 1+(

x+λ 2 ) . µ

Een substitutie van de vorm t=

x+λ µ

laat ons dan toe deze integraal te berekenen. Voorbeeld 19. De integraal Z

x2

4x + 5 dx. + 2x + 5

We schrijven eerst en vooral de teller van deze breuk als 4x + 5 = 2(2x + 2) + 1,

Versie 0.4

09 maart 2007


103

en bijgevolg is Z

2x + 2 dx + 2 x + 2x + 5 Z 2 = 2 ln |x + 2x + 5| +

4x + 5 dx = 2 2 x + 2x + 5

Z

1 dx + 2x + 5 1 dx. x2 + 2x + 5

Z

x2

Om het tweede deel van deze integraal te berekenen merken we op dat 1 x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 4 = 4(1 + (x + 1)2 ) = 4 1 + 4

x+1 2

2 !

.

De integraal kan bijgevolg geschreven worden als Z Z 1 1 1 dx = dx. 2 x2 + 2x + 5 4 1 + ( x+1 ) 2 We substitueren hierin t= en we bekomen

1 4

Z

x+1 , 2

x = 2t − 1,

dx = 2dt,

1 1 1 x+1 2dt = arctg t + C = arctg + C. 2 1+t 2 2 2

De volledige integraal is dus van de vorm Z 1 x+1 4x + 5 dx = 2 ln |x2 + 2x + 5| + arctg + C. 2 x + 2x + 5 2 2 Het laatste type van partiële breuken is van de vorm Ax + B , + bx + c)n

(ax2

n 6= 1.

In dit geval kunnen we opnieuw de teller schrijven als Ax + B = α(2ax + b) + β, waardoor we de integraal in twee delen kunnen opsplitsen. Het eerste deel is van de vorm Z 1 α(2ax + b) dx = α + C. (ax2 + bx + c)n (−n + 1)(ax2 + bx + c)n−1 Voor de integratie van het tweede deel passen we dezelfde techniek toe die we hebben gebruikt bij het vorige type. Na substitutie en vooraanstellen van de nodige constanten bekomen we dan een integraal van de vorm Z 1 dt. (1 + t2 )n Deze integraal kan worden opgelost door middel van een goniometrische substitutie, die we verderop in dit hoofdstuk zullen behandelen. Versie 0.4

09 maart 2007

104


Voorbeeld 20. De integraal Z

4x + 5 dx. (x2 + 2x + 5)2

We schrijven eerst en vooral de teller van deze breuk opnieuw als 4x + 5 = 2(2x + 2) + 1, en bijgevolg is Z

Z 2x + 2 1 dx + dx 2 2 2 (x + 2x + 5) (x + 2x + 5)2 Z 2 1 =− 2 + dx. 2 x + 2x + 5 (x + 2x + 5)2

4x + 5 dx = 2 2 (x + 2x + 5)2

Z

Om het tweede deel van deze integraal te berekenen merken we opnieuw op dat 1 x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 4 = 4(1 + (x + 1)2 ) = 4 1 + 4 De integraal kan bijgevolg geschreven worden als Z Z 1 1 dx = (x2 + 2x + 5)2 16

1 2 1 + ( x+1 2 )

We substitueren hierin t= en we bekomen

1 16

x+1 , 2 Z

x = 2t − 1,

1 1 2dt = (1 + t2 )2 8

Z

x+1 2

2 !

.

2 dx.

dx = 2dt, 1 dt. (1 + t2 )2

Deze laatste integraal kan worden berekend door middel van een goniometrische substitutie t = tg u. Deze techniek wordt later in dit hoofdstuk behandeld.

Versie 0.4

09 maart 2007


105

6. Integratie van goniometrische functies Voor het integreren van goniometrische functies bestaan er, naast de hierboven behandelde standaardmethodes (basisintegralen, substitutie en partiële integratie), een aantal bijzondere technieken, waarvan we er in deze paragraaf enkele behandelen. Een eerste techniek maakt gebruik van gekende relaties (goniometrische identiteiten) tussen verschillende goniometrische functies (zoals de verdubbelingsformules en de formules van Simpson) om een gegeven functie te herleiden tot een goniometrische functie waarvan de integraal kan worden berekend door andere technieken. De meest gebruikte formules worden in de volgende tabel samengevat: 1 (1 − cos 2α), 2 1 cos2 α = (1 + cos 2α), 2 1 , 1 + tg2 α = cos2 α 1 sin α cos β = (sin(α + β) + sin(α − β)), 2 1 sin α sin β = − (cos(α + β) − cos(α − β)), 2 1 cos α cos β = (cos(α + β) + cos(α − β)). 2 sin2 α =

Voorbeeld 21. We kunnen deze formules gebruiken om aan te tonen dat Z Z 1 2 (1 − cos 2x)dx sin xdx = 2 Z Z 1 1 = dx − cos 2xdx 2 2 1 1 = x − sin 2x + C. 2 4 Voorbeeld 22. Verder is ook Z Z 1 sin 5x + sin(−x)dx sin 2x cos 3xdx = 2 1 1 = − cos 5x + cos x + C. 10 2 Een andere speciale klasse van integralen van goniometrische functies is van de vorm Z sinn x cosm xdx, waarbij minstens één van de exponenten n of m oneven is. We veronderstellen dat m oneven is. Dan is m − 1 een even getal, en we kunnen deze integraal dan schrijven als Z Z m−1 n m−1 sin x cos x cos xdx = sinn x(1 − sin2 x) 2 cos xdx. Versie 0.4

09 maart 2007

106


Een substitutie van de vorm t = sin x,

dt = cos xdx,

herleidt dergelijke integralen tot integralen van rationale functies. Dezelfde techniek kan ook worden gebruikt voor het integreren van functies van de vorm Z Z R(sin x) cos xdx, R(cos x) sin xdx, waarbij R een rationale functie is. Voorbeeld 23. Om de integraal Z Z 2 3 sin x cos xdx = sin2 x(1 − sin2 x) cos xdx te berekenen voeren we een substitutie uit van de vorm t = sin x, We bekomen dan

Z

dt = cos xdx. t5 t3 − +C 3 5 3 sin x sin5 x = − + C. 3 5

t2 (1 − t2 )dt =


Z

1 dx. cos x

Indien we in teller en noemer van de functie met cos x vermenigvuldigen vinden we Z Z cos x 1 dx. dx = cos x 1 − sin2 x De substitutie t = sin x, levert ons dan

Z

1 dx = cos x

en deze rationale functie integreren geeft

dt = cos xdx, Z

1 dt, 1 − t2

1 1 1 + sin x 1 ln |1 + t| − ln |1 − t| + C = ln | | + C. 2 2 2 1 − sin x Een laatste methode voor het integreren van goniometrische functies maakt gebruik van de substitutie (soms de t-formules genoemd) x t = tg , 2 Versie 0.4

x = 2 arctg t,

dx =

2 dt. 1 + t2 09 maart 2007


107

Het is dan eenvoudig in te zien dat sin x =

2t , 1 + t2

cos x =

1 − t2 , 1 + t2

tg x =

2t . 1 − t2

Als we deze substitutie toepassen kunnen we de goniometrische functie herleiden tot een rationale functie, waarvoor de techniek uit vorige paragraaf steeds een oplossing oplevert. Deze methode laat ons bijgevolg toe elke goniometrische integraal te berekenen, maar we dienen hierbij op te merken dat, in sommige gevallen, de berekening zeer ingewikkeld kan worden. Voorbeeld 25. We berekenen

De substitutie t = tg x2 levert ons dan Z

1 dx. sin x

Z

1 + t2 2 dt 2t 1 + t2 Z 1 = dt t = ln |t| + C x = ln | tg | + C. 2

1 dx = sin x

Z

Voorbeeld 26. Op dezelfde manier vinden we dat Z

1 dx = sin2 x = = = =

Versie 0.4

(1 + t2 )2 2 dt 4t2 1 + t2 Z 1 + t2 1 dt 2 t2 Z Z 1 1 1 dt + dt 2 2 t2 1 t − +C 2 2t x 1 x 1 tg − cotg + C. 2 2 2 2

Z

09 maart 2007

108


7. Goniometrische substituties We weten dat de goniometrische functies sin x, cos x en tg x aan de volgende identiteiten voldoen: 1 − sin2 x = cos2 x, 1 1 + tg2 x = , cos2 x 1 − 1 = tg2 x. cos2 x Stel nu dat we een (irrationale) functie moeten integreren waarvan één der componenten van de vorm p a 2 − b 2 x2

is. Als we dan een substitutie van de vorm x=

a sin t, b

dx =

a cos tdt, b

toepassen, wordt deze component van de vorm r

a2 − b2

p a2 2 sin t = a2 − a2 sin2 t = a cos t. b2

We kunnen bijgevolg een wortelvorm uit onze functie verwijderen door gebruik te maken van een dergelijke substitutie. Om te berekenen hoe t wordt uitgedrukt als functie van x merken we op dat sin t =

bx . a

Als we t beschouwen als één van de hoeken van een rechthoekige driehoek, kunnen we hieruit afleiden dat bx de lengte van de overstaande rechthoekszijde en a de lengte van de schuine zijde van de driehoek moeten zijn. De lengte van de aanliggende rechthoekszijde wordt dan √ 2 2 gegeven door a − b x2 . We kunnen nu alle andere goniometrische functies hieruit afleiden. a

bx

t (a2 - b 2x 2)

Figuur 42. Inverse van een sinus- of cosinus-substitutie.

Versie 0.4

09 maart 2007


109

Voorbeeld 27. Om de integraal Z p

4 − x2 dx

te berekenen gebruiken we een substitutie van de vorm x = 2 sin t,

dx = 2 cos tdt.

De integraal wordt dan Z 4 cos2 tdt = sin 2t + 2t + C = 2 sin t cos t + 2t + C. Uit Figuur 43 volgt dat cos t =

√

4 − x2 , 2

en de integraal wordt bijgevolg Z p 1 p x 4 − x2 dx = x 4 − x2 + 2 arcsin + C. 2 2

2

x

t (4-x 2) Figuur 43. Berekenen van de omgekeerde substitutie.

Indien de functie een component bevat van de vorm p

a 2 + b 2 x2 ,

passen we een goniometrische substitutie toe waarbij x=

a tg t, b

dx =

a 1 dt. b cos2 t

In dit geval wordt deze component vervangen door r

a2

+

b2

a2 2 tg x = b2

q 1 , a2 + a2 tg2 t = a cos t

en opnieuw is de wortelvorm bijgevolg verdwenen.

Versie 0.4

09 maart 2007

110

Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken (a2 + b2 x2 ) bx t a

Figuur 44. Inverse substitutie van de tangens-substitutie.

Voorbeeld 28. Om de integraal Z

3

(4 + x2 )− 2 dx

te berekenen stellen we x = 2 tg t, We bekomen dan Z

4 cos2 t

− 23

2 dt. cos2 t

dx =

Z 1 2 cos tdt dt = cos2 t 4 1 = sin t + C 4 1 x = √ + C. 4 4 + x2

De goniometrische substitutie x = tg t,

dx =

1 dt, cos2 t

kan ook gebruikt worden voor het integreren van de partiële breuken van de vorm Z 1 dx, (1 + x2 )n die de laatste klasse van partiële breuken vormen waarvoor we een integratiemethode moeten zoeken. Indien er tenslotte een component p b 2 x2 − a 2

aanwezig is, stellen we een goniometrische substitutie voor van de vorm x=

a , b cos t

dx =

a sin t dt. b cos2 t

Deze component wordt dan vervangen door r

a2 − a2 = b2 2 b cos2 t

r

a2 − a2 = a tg x, cos2 t

en opnieuw is de wortelvorm bijgevolg verdwenen.

Versie 0.4

09 maart 2007


111

bx 2 2

2

(b x -a ) t a Figuur 45. Inverse substitutie bepalen.


Z

We stellen hiervoor x= en we vinden

Z

2

3

(x2 − 4)− 2 dx.

2 , cos t

(4 tg t)

− 32

dx =

2 sin t dt, cos2 t

cos t dt sin2 t 1 + C. =− 4 sin t

1 2 sin t dt = 2 cos t 4

Uit Figuur 45 volgt dat sin t =

√

Z

x2 − 4 x

en de integraal wordt dus gegeven door x + C. − √ 4 x2 − 4

8. Integratie van irrationale functies Een andere klasse van functies waarvoor we een speciale integratietechniek kunnen gebruiken is de familie van irrationale functies die een component van de vorm √ n

ax + b

bevatten. In dit geval kunnen we een substitutie uitvoeren van de vorm z n = ax + b,

x=

zn − b , a

dx =

nz n−1 dz, a

waardoor de integraal herleid wordt tot een integraal van een rationale functie.

Versie 0.4

09 maart 2007

112


Voorbeeld 30. Om de integraal

1 dx x x−1

Z

te berekenen stellen we z 2 = x − 1,

√

x = z 2 + 1,

dx = 2zdz,

waardoor de integraal kan berekend worden als Z Z 2z 1 √ dz = 2 dz 1 + z2 (z 2 + 1) z 2 = 2 arctg z + C √ = 2 arctg x − 1 + C. We kunnen tenslotte ook functies integreren die een component van de vorm p ax2 + bx + c

bevatten. We kunnen dit doen door deze functie te herleiden tot een uitdrukking van de vorm p p p √ 1 + z2 , 1 − z2 , z2 , z 2 − 1. In elk van deze gevallen kan men de wortelvorm dan laten verdwijnen door het uitvoeren van een goniometrische substitutie. Voorbeeld 31. Het is eenvoudig in te zien dat 5 − 4x − x2 = 5 − (x2 + 4x)

= 5 − (x + 2)2 + 4

= 9 − (x + 2)2 2 ! x+2 . =9 1− 3 Bijgevolg is s 2 Z p Z x+2 2 5 − 4x − x dx = 3 1 − dx. 3

Als we nu een substitutie

z=

x+2 , 3

x = 3z − 2,

dx = 3dz,

doorvoeren, bekomen we Z

p 9 1 − z 2 dz,

en deze integraal kan worden opgelost door een goniometrische substitutie z = sin u,

Versie 0.4

dz = cos udu.

09 maart 2007

Hoofdstuk 11

Bepaalde integratie

1. Definitie en basiseigenschappen Beschouwen we een (stuksgewijs) continue functie y = f (x) die gedefinieerd is op het interval [a, b]. We kunnen het interval dan opdelen in n stukken door de keuze van n − 1 punten in het inwendige van het interval, a = ξ0 < ξ1 < ξ2 < . . . < ξn−1 < ξn = b. De lengte van elk interval geven we aan met ∆i = ξi − ξi−1 ,

i = 1, 2, . . . , n.

We kiezen verder in elk dergelijk deelinterval een willekeurig punt, dat we aanduiden met xi ∈ [ξi−1 , ξi ],

Versie 0.1

113

i = 1, 2, . . . , n.

01 december 2004

114


y=f(x)

ξ0= a

ξ1

x1

ξ2

x2

∆1

ξ n= b

∆2

Figuur 46. Bepaalde integraal van een functie. We definiëren tenslotte een som Sn =

n X

f (xi )∆i = f (x1 )∆1 + f (x2 )∆2 + . . . + f (xn )∆n .

i=1

Stel nu dat we het aantal beschouwde deelintervallen n onbeperkt laten toenemen (we nemen dus de limiet voor n → +∞), en er voor zorgen dat de lengte van elk deelinterval hierbij nadert naar 0. Men kan dan aantonen dat de limietwaarde voor de som Sn bestaat, en bovendien niet afhangt van de gekozen verdeling van het interval of van de keuze van het punt xi in elk deelinterval. We noemen deze limietwaarde de bepaalde integraal van de functie y = f (x) tussen de punten x = a en x = b, en we noteren dit met Z

b

f (x)dx = lim Sn . n→+∞

a

Voorbeeld 1. Beschouwen we de functie y = x en de grenswaarden a = 0 en b = 4. Als we het interval in n gelijke delen verdelen, wordt de lengte van elk deelinterval gegeven door ∆1 = ∆2 = . . . = ∆n =

4 . n

De grenswaarden van de deelintervallen worden gegeven door ξ0 = 0,

ξ1 =

4 , n

4 ξ2 = 2 , n

...,

4 ξi = i , n

...,

ξn = n

4 = 4. n

In elk interval kiezen we tenslotte het punt xi = ξ i = Versie 0.1

4i , n

i = 1, 2, . . . , n. 01 december 2004

Hoofdstuk 11. Bepaalde integratie

115

Het is dan eenvoudig na te gaan dat n X

Sn =

i=1 n X

=

i=1

f (xi )∆i 4i 4 nn

n 16 X = 2 i n i=1

16 n(n + 1) n2 2 2 8(n + n) = . n2 =

Het is dan ook duidelijk dat Z

4

8(n2 + n) = 8. n→+∞ n2

xdx = lim 0

Uit de definitie van de bepaalde integraal van een functie kunnen we onmiddellijk een aantal eigenschappen afleiden. Ten eerste is het eenvoudig na te gaan dat a

Z

f (x)dx = 0.

a

Verder is het duidelijk dat b

Z

f (x)dx +

a

en we stellen ook dat Z

Z

c

f (x)dx =

c

f (x)dx,

a

b

a b

Z

f (x)dx = −

Z

b

f (x)dx. a

Tenslotte is het ook makkelijk aan te tonen dat Z

b

kf (x)dx = k

a

Z

b

f (x)dx, a

Z

a

b

(f (x) ± g(x))dx =

Z

b

a

f (x)dx ±

Z

b

g(x)dx. a

De basisstelling van de integraalrekening legt het verband tussen de bepaalde integraal van een functie en de onbepaalde integraal van deze functie, en laat ons toe de bepaalde integraal van een functie te berekenen aan de hand van een willekeurige primitieve functie van de gegeven functie. De stelling zegt immers dat Z

a

Versie 0.1

b

b

f (x)dx = F (x)|a = F (b) − F (a),

01 december 2004

116


waarbij F (x) een primitieve functie is van f (x), dit wil zeggen dat Z

f (x)dx = F (x) + C.

Voorbeeld 2. De functie f (x) = x heeft als primitieve functie F (x) = Bijgevolg is Z

0

4

Z

xdx =

x2 + C. 2

4 16 0 x2 xdx = ( + C) = ( + C) − ( + C) = 8. 2 2 2 0

2. Oppervlakte van een vlakke figuur

Stel dat y = f (x) een (stuksgewijs) continue functie is die overal gedefinieerd is in het interval [a, b]. We veronderstellen ook dat de functie steeds positieve waarden aanneemt in dit interval. We kunnen dan de oppervlakte S berekenen van het gebied begrensd door de grafiek van de kromme, de x-as en de verticale rechten x = a en x = b. Hiervoor splitsen we het interval [a, b] in n stukken door de keuze van n − 1 punten a = ξ0 < ξ1 < ξ2 < . . . < ξn = b. In elk interval kiezen we vervolgens een willekeurig punt xi ∈ [ξi−1 , ξi ]. De oppervlakte van het beschouwde gebied wordt dan benaderd door de som van de oppervlakten van de rechthoeken met basis ∆i = ξi − ξi−1 en hoogte f (xi ), dit wil zeggen door Sn =

n X

f (xi )∆i .

i=1

Naarmate n groter wordt zullen we een nauwkeuriger benadering vinden voor de gezochte oppervlakte. Anderzijds wordt de limiet van de som, voor n naderend tot oneindig, gegeven door de bepaalde integraal van de functie f (x) tussen a en b. Het is dan ook duidelijk dat S = lim Sn = n→+∞

Versie 0.1

Z

b

f (x)dx. a

01 december 2004


117

∆3

∆4 00000 11111

y=f(x)

00000 11111 00000 11111 111111 000000 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 ∆1 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 f(x4) 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 00000000 11111111 000000 111111 f(x3)11111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 f(x2) 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 f(x1) 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 00000000 11111111 00000011111 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111

∆2

ξ0=a

x1

ξ1

x2

ξ2

x3 ξ3

x4 ξn=b

Figuur 47. Oppervlakte van een vlakke figuur. Voorbeeld 3. We berekenen de oppervlakte van een rechthoekige driehoek met basis B en hoogte H. Deze figuur wordt begrensd door de x-as, de rechte y = H B x en de verticale rechte x = B. De oppervlakte wordt bijgevolg gegeven door B Z B H HB H x2 = S= xdx = . B B 2 0 2 0

Voorbeeld 4. Het gebied begrensd door de kromme de verticale rechten x = ±R) vormt een halve cirkel. gegeven door Z +R p x R2 S= arcsin + R2 − x2 dx = ( 2 R −R

√ y = R2 − x2 en de x-as (samen met De oppervlakte van dit gebied wordt

+R 1 p 2 πR2 x R − x2 ) . = 2 2 −R

De oppervlakte van de cirkel met straal R wordt bijgevolg gegeven door de gekende formule S = πR2 . Indien het oppervlak zowel bovenaan als onderaan wordt begrensd door een functie, wordt de oppervlakte benaderd door de som van de oppervlakten van de rechthoeken met basis ∆i en hoogte f (xi ) − g(xi ), n X Sn = ∆i (f (xi ) − g(xi )), i=1

Versie 0.1

01 december 2004

118


en bijgevolg is S=

Z

b a

(f (x) − g(x))dx.

y=f(x) 00000 11111 111111 000000 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 f(x4)-g(x4) 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 f(x3)-g(x3) 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 -g(x2) f(x2) 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 f(x1)-g(x1) 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 00000 11111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 000000 111111 00000000 11111111 ∆4 000000 111111 ∆1 00000000 11111111 00000000 11111111 ∆3

y=g(x)

∆2

ξ0=a

x1

ξ1

x2

ξ2

x3 ξ3

x4 ξ4=b

Figuur 48. Oppervlakte van een figuur tussen twee krommen.

Voorbeeld 5. De oppervlakte van het gebied tussen de krommen y = x2 en y = gegeven door Z 1 √ 1 ( x − x2 )dx = . S= 3 0

√

x wordt

In voorgaande berekeningen wordt de gezochte oppervlakte eerst benaderd door een som van oppervlakten van rechthoeken die overeenkomen met een verdeling van een interval. Naarmate de verdeling van het interval fijner wordt, bekomt men een nauwkeuriger benadering van de gezochte oppervlakte. In de limiet komt deze operatie overeen met het berekenen van een bepaalde integraal. Deze techniek zal verder ook gebruikt worden bij de berekening van andere eigenschappen van figuren zoals volumes, lengtes en momenten. Om niet telkens de volledige techniek van opsplitsen, benaderen en berekenen van de limiet te moeten beschrijven zal men in de praktijk vaak werken met elementaire rechthoeken. Dit zijn rechthoeken met een “oneindig kleine” breedte dx. Men beschouwt met andere woorden onmiddellijk een oneindig fijne verdeling van het interval.

Versie 0.1

01 december 2004


119

De bovenstaande berekening van de oppervlakte van een vlakke figuur kan dan als volgt beschreven worden. Voor ieder punt x tussen a en b beschouwt men een elementaire rechthoek met hoogte f (x) en breedte dx. De oppervlakte van deze elementaire rechthoek wordt gegeven door dS = f (x)dx, en de som over alle mogelijke waarden van x wordt berekend als S=

Z

b

f (x)dx. a

y=f(x) 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 f(x) 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 x 00000000 11111111 00000000 11111111

a

dx

b

Figuur 49. Elementaire rechthoeken en oppervlakteberekening.

Versie 0.1

01 december 2004

120


3. Volume van een omwentelingslichaam Een omwentelingslichaam is een figuur in de driedimensionale ruimte die we bekomen als we een vlakke figuur laten wentelen om een as die in dit vlak is gelegen. Beschouwen we nu een kromme gegeven door de functie y = f (x). Als we het gebied tussen de x-as en deze kromme (en de verticale rechten x = a en x = b) laten wentelen rond de x-as bekomen we een omwentelingslichaam. Om het volume van een dergelijk lichaam te berekenen, splitsen we het (vlakke) gebied tussen de kromme y = f (x) en de x-as opnieuw op in rechthoeken. Elk van deze rechthoeken beschrijft dan, bij wenteling rond de x-as, een cilinder. De straal van het grondvlak van deze cilinder wordt gegeven door f (xi ) en de hoogte is ∆i . Het volume van het omwentelingslichaam wordt bijgevolg benaderd door de som van de volumes van de cilinders n X

πf (xi )2 ∆i .

i=1

Als we het aantal rechthoeken naar oneindig laten naderen, vinden we dat het volume van het omwentelingslichaam gegeven wordt door V =π

Z

b

f (x)2 dx.

a

y=f(x) 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ∆i 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 f(xi) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 11111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000 0 1 xi 0 1 a b 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Figuur 50. Volume van een omwentelingslichaam. Versie 0.1

01 december 2004


121

Opnieuw kunnen we deze berekening eenvoudiger beschrijven als volgt. Voor ieder punt x tussen a en b beschouwen we een elementaire rechthoek met breedte dx en hoogte f (x). Bij wenteling beschrijft deze rechthoek een cilinder met volume dV = πf (x)2dx, en het totale volume wordt dus gegeven door V =π

Z

b

f (x)2 dx.

a

R Voorbeeld 6. Als we de driehoek, gevormd door de rechte y = H x, de x-as en de verticale rechte x = H laten wentelen rond de x-as bekomen we een kegel met hoogte H en straal R. Het volume van dit omwentelingslichaam wordt gegeven door

V =

Z

H

π

0

R x H

2

dx = π

1 R2 H 3 = πR2 H. 2 H 3 3

Voorbeeld 7. Een bol met straal √ R is een omwentelingslichaam dat we bekomen door de halve cirkel met vergelijking y = R2 − x2 te laten wentelen rond de x-as. Het volume van de bol wordt gegeven door V =π

Z

+R

( −R

p

R2 −

x2 )2 dx

=π

Z

+R

+R 4 x3 = πR3 . (R − x )dx = π (R x − ) 3 −R 3 2

−R

2

2

Stel nu dat we een gebied beschouwen dat begrensd wordt door de twee krommen y = f (x) en y = g(x). Uit Figuur 51 kan dan eenvoudig worden afgeleid dat de elementaire rechthoek in het punt x bij wenteling rond de x-as een ringvormig gebied bepaalt, waarvan het volume gegeven wordt door dV = π(f (x)2 − g(x)2 )dx. Het totale volume van het omwentelingslichaam is bijgevolg gegeven door V =π

Z

a

Versie 0.1

b

(f (x)2 − g(x)2 )dx.

01 december 2004

122


1 0 y=f(x) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 f(x) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 g(x) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 x 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 11111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000 0 1 dx 0 1 a b 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Figuur 51. Volume van een omwentelingslichaam. √ Voorbeeld 8. Als we het gebied begrensd door de krommen y = x2 en y = x laten wentelen rond de x-as, bekomen we een omwentelingslichaam waarvan het volume gegeven wordt door Z 1 Z 1 √ 2 3π 2 2 . (( x) − (x ) )dx = π (x − x4 )dx = V =π 10 0 0 In de bovenstaande gevallen hebben we de figuur opgesplitst in elementaire rechthoeken die loodrecht staan op de omwentelingsas. In sommige gevallen kan het volume makkelijker berekend worden door de vlakke figuur op te splitsen in elementaire rechthoeken die evenwijdig zijn aan de omwentelingsas. Stel dat we twee krommen y = f (x) en y = g(x) gegeven krijgen. Om het volume te berekenen van het omwentelingslichaam dat we bekomen door de vlakke figuur (begrensd door deze krommen) te wentelen rond de y-as, splitsen we het gebied tussen x = a en x = b op in elementaire rechthoeken loodrecht op de x-as. In dit geval vormen de rechthoeken, na wenteling rond de y-as, een buis met straal x, dikte dx en lengte f (x) − g(x). Het volume van deze buis wordt gegeven door dV = 2πx(f (x) − g(x))dx, en het volume van het omwentelingslichaam wordt bijgevolg gegeven door V = 2π

Z

a

Versie 0.1

b

x(f (x) − g(x))dx.

01 december 2004


123

a

111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 dx 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 x 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111

f(x)

b

X

g(x)

Figuur 52. Volume van een omwentelingslichaam. Voorbeeld 9. Stel dat we het gebied begrensd door de krommen y = x2 en y = wentelen rond de y-as, dan bekomen we een omwentelingslichaam met volume Z

0

1

√

x laten

√ 3π . 2πx( x − x2 )dx = 10

4. Lengte van een kromme Stel nu dat we een vlakke kromme beschouwen, gegeven door de functie y = f (x) tussen de punten x = a en x = b. Om de lengte L van deze kromme te berekenen splitsen we het interval opnieuw op in n stukken, en we benaderen de lengte van de kromme door in elk interval de raaklijn te beschouwen aan de kromme in één van de punten. De lengte van deze lijnstukken wordt gegeven door q p ∆2i + f ′ (xi )2 ∆2i = 1 + f ′ (xi )2 ∆i ,

en de totale lengte van deze lijnstukken is bijgevolg

n p X Sn = 1 + f ′ (xi )2 ∆i . i=1

Als we de limiet beschouwen voor n → +∞ vinden we dat de lengte van de kromme wordt gegeven door Z bp L= 1 + f ′ (x)2 dx. a

Versie 0.1

01 december 2004

124


f’(xi) ∆ i ∆i

a

b

xi

Figuur 53. Berekening van de booglengte van een vlakke kromme. Voorbeeld 10. De √ omtrek van de halve cirkel met straal R wordt gegeven door de lengte van de kromme y = R2 − x2 tussen x = −R en x = R, dit wil zeggen Z +R r Z +R x +R 1 x2 p 1+ 2 dx = R arcsin L= dx = = πR. x 2 R − x2 R −R ) 1 − (R −R −R We vinden bijgevolg de gekende formule voor de omtrek van de cirkel, L = 2πR.

5. Oppervlakte van een omwentelingslichaam 6. Zwaartepunt van een vlakke figuur Het moment van een punt met massa m ten opzichte van een gegeven as wordt gedefinieerd als het product van de massa van dit punt met de afstand van het punt tot de as. Het zwaartepunt van een vlakke figuur wordt gedefinieerd als het punt (¯ x, y¯) in het vlak waarvoor geldt dat, indien alle massa van de figuur in dit punt wordt geconcentreerd, het moment ten opzichte van een willekeurige as hetzelfde blijft. Het zwaartepunt van een rechthoek komt overeen met het middelpunt van deze rechthoek. Stel nu dat we een vlakke figuur hebben die begrensd wordt door de x-as, de verticale rechten x = a en x = b en de kromme y = f (x). De totale massa M van dit voorwerp komt dan overeen met de oppervlakte, dit wil zeggen dat M =S= Versie 0.1

Z

b

f (x)dx. a

01 december 2004


125

Als we het zwaartepunt aanduiden met (¯ x, y¯) worden de momenten van dit punt ten opzichte van de coördinaat-assen gegeven door Mx = M y¯,

My = M x ¯.

Om het moment van de vlakke figuur ten opzichte van de coördinaat-assen te berekenen splitsen we de figuur opnieuw op in elementaire rechthoeken met basis dx en hoogte f (x). Het moment van een dergelijke rechthoek ten opzichte van de x-as wordt gegeven door dMx =

f (x)2 f (x) f (x)dx = dx, 2 2

terwijl het moment ten opzichte van de y-as gegeven wordt door dMy = xf (x)dx. Bijgevolg wordt het totale moment van de figuur gegeven door Z b Z 1 b 2 xf (x)dx. f (x) dx, My = Mx = 2 a a We kunnen dan de coördinaten van het zwaartepunt berekenen als volgt: x ¯=

My , M

y¯ =

Mx . M

y=f(x)

f(x)

x

(x,f(x)/2)

f(x)/2 x a

dx

b

Figuur 54. Moment van een elementaire rechthoek Versie 0.1

01 december 2004

126


Voorbeeld 11. Beschouwen we eerst de rechthoekige driehoek, begrensd door de rechte x, de x-as en de verticale rechte x = B. We hebben reeds berekend dat de oppervlakte y=H B (en dus de totale massa) van deze driehoek gegeven wordt door M=

1 HB. 2

Het moment van deze driehoek ten opzichte van de x-as wordt gegeven door Mx =

Z

B

0

H xH H2 xdx = B2B 2B 2

Z

B

x2 dx = 0

1 2 H B. 6

Het moment van de driehoek ten opzichte van de y-as is B

Z

My =

x

0

H HB 2 xdx = . B 3

Het zwaartepunt van de figuur heeft daarom coördinaten x ¯=

HB 2 2 = B, 3M 3

y¯ =

H 2B H = . 6M 3

Voorbeeld 12. Beschouw het gebied van het eerste kwadrant, begrensd door de parabool y = 4 − x2 . De oppervlakte van dit gebied wordt gegeven door S=

2

Z

0

(4 − x2 )dx =

16 . 3

Het moment van de figuur ten opzichte van de x-as wordt gegeven door Mx =

Z

2

0

4 − x2 128 (4 − x2 )dx = , 2 15

terwijl het moment ten opzichte van de y-as bepaald wordt door My =

Z

0

2

x(4 − x2 )dx = 4.

Bijgevolg zijn de coördinaten van het zwaartepunt gegeven door x ¯=

Versie 0.1

4 16 3

3 = , 4

y¯ =

128 15 16 3

=

8 . 5

01 december 2004


127

7. Zwaartepunt van een omwentelingslichaam We beschouwen vervolgens het omwentelingslichaam dat we bekomen door het gebied begrensd door de vlakke kromme y = f (x), de x-as en de verticale rechten x = a en x = b te laten wentelen rond de x-as. Het is duidelijk dat, wegens de symmetrie van de bekomen figuur, het zwaartepunt van dit omwentelingslichaam op de omwentelingsas zal gelegen zijn, dit wil zeggen dat y¯ = z¯ = 0. Stel nu dat het zwaartepunt van het omwentelingslichaam overeenkomt met het punt (¯ x, 0, 0). De totale massa van het omwentelingslichaam wordt gegeven door M =V =π

Z

b

f (x)2 dx, a

en het moment van de figuur ten opzichte van het Y Z-vlak is bijgevolg gelijk aan Myz = M x ¯. Zoals tevoren splitsen we het vlakke gebied op in elementaire rechthoeken met basis dx en hoogte f (x). Bij wenteling rond de x-as bekomen we dan een cilinder waarvan de massa (het volume) gegeven wordt door dM = πf (x)2 dx. Het zwaartepunt van deze cilinder ligt in het punt (x, 0, 0), en het moment van de cilinder ten opzichte van het Y Z-vlak wordt bijgevolg gegeven door xdM . Het totale moment van de figuur ten opzichte van het Y Z-vlak is dan Myz = π

Z

en we kunnen besluiten dat x ¯=

b

xf (x)2 dx, a

Myz . M

Voorbeeld 13. We beschouwen opnieuw de kegel met straal R en hoogte H, die we bekomen R door het driehoekige gebied begrensd door y = H x, de x-as en de verticale rechte x = H te laten wentelen rond de x-as. Het moment van de kegel ten opzichte van het Y Z-vlak wordt gegeven door Z Z H πR2 H 3 πR2 H 2 R 2 x dx = , Myz = π x( x) dx = H H2 0 4 0 en het zwaartepunt ligt bijgevolg in het punt x ¯=

Myz 3H = . V 4

Voorbeeld 14. We beschouwen het gebied in het eerste kwadrant, begrensd door de parabool y = 4 − x2 , en laten dit gebied wentelen rond de x-as. Het moment van dit omwentelingslichaam ten opzichte van het Y Z-vlak wordt gegeven door Myz = π Versie 0.1

Z

2 0

x(4 − x2 )2 dx =

32π , 3 01 december 2004

128


y=f(x)

f(x)

x dx

Figuur 55. Moment van een elementaire cilinder. terwijl het volume van dit lichaam gelijk is aan V =π

Z

2 0

(4 − x2 )2 dx =

256π . 15

De x-coördinaat van het zwaartepunt is dan x ¯=

5 Myz = . V 8

8. Traagheidsmoment van een vlakke figuur Het traagheidsmoment van een punt met massa m ten opzichte van een as wordt gegeven door het product van de massa m met het kwadraat van de afstand r van het punt tot de as, I = mr 2 . Indien we een elementaire rechthoek met afmetingen dx en dy rond het punt (x, y) beschouwen wordt het traagheidsmoment gegeven door dIx = y 2 dxdy,

Versie 0.1

dIy = x2 dxdy.

01 december 2004


129

dx (x,y)

dy

Figuur 56. Traagheidsmoment van een elementaire rechthoek. Beschouwen we nu eerst een elementaire rechthoek met hoogte dx en lengte L = x2 − x1 evenwijdig met de x-as. Als we deze rechthoek verder opdelen in elementaire rechthoeken (zie Figuur 57) met afmetingen dx en dy zien we dat het traagheidsmoment ten opzichte van de x-as gegeven wordt door dIx = y 2 dxdy, en het traagheidsmoment van de elementaire rechthoek ten opzichte van de x-as wordt dus gegeven door Z x2 y 2 dxdy = (x2 − x1 )y 2 dy = Ly 2 dy. Ix = x1

Beschouwen we vervolgens een elementaire rechthoek loodrecht op de x-as. Als we deze rechthoek verder opsplitsen (zie Figuur 58) in elementaire rechthoeken met afmetingen dx en dy zien we dat dIx = y 2 dxdy, en bijgevolg is Ix =

Z

y2

y1

y 2 dxdy =

1 3 (y − y13 )dx. 3 2

In het speciale geval waarin de rechthoek de x-as als een zijde heeft (en hoogte H heeft) levert dit ons H3 dx. Ix = 3

Versie 0.1

01 december 2004

130


dx 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

y

x1

x

dy

x2

Figuur 57. Traagheidsmoment van een elementaire rechthoek.

dx y2

y

11111 00000 dy 00000 11111 00000 11111 00000 11111

y1

x

Figuur 58. Traagheidsmoment van een elementaire rechthoek.

Versie 0.1

01 december 2004


131

Om het traagheidsmoment van een vlakke figuur ten opzichte van een as te berekenen kunnen we de figuur opdelen in elementaire rechthoeken die ofwel evenwijdig zijn met de as ofwel loodrecht op deze as staan. Het traagheidsmoment van de figuur wordt gegeven door de som van al de traagheidsmomenten van deze elementaire rechthoeken. Voorbeeld 15. We beschouwen de rechthoek begrensd door de rechte y = H, de x-as en de verticale rechten x = 0 en x = B, en berekenen het traagheidsmoment van deze vlakke figuur ten opzichte van de x-as. Als we de figuur opsplitsen in elementaire rechthoeken evenwijdig met de x-as (dus met breedte B en hoogte dy) vinden we dat het traagheidsmoment van elke rechthoek gegeven wordt door dIx = y 2 Bdy, en het totale traagheidsmoment van de rechthoek is bijgevolg Ix =

H

Z

By 2 dy =

0

1 BH 3 . 3

Als we anderzijds de figuur opsplitsen in elementaire rechthoeken loodrecht op de x-as (met hoogte H en breedte dx) vinden we als traagheidsmoment van de elementaire rechthoek dIx =

H3 dx, 3

en het totale traagheidsmoment wordt dan opnieuw Ix =

Z

B

H3 1 dx = H 3 B. 3 3

0

Voorbeeld 16. We beschouwen het gebied begrensd door de parabool y = 4 − x2 en de x-as, en berekenen eerst het traagheidsmoment van de figuur ten opzichte van de x-as. Daarvoor splitsen we de figuur op in elementaire rechthoeken loodrecht op de x-as (met breedte dx en hoogte 4 − x2 ). Het traagheidsmoment van elke rechthoek is dan gegeven door 1 (4 − x2 )3 dx, 3

dIx =

en het totale traagheidsmoment wordt dus Z 2 4096 Ix = dIx = . 15 −2 Om het traagheidsmoment van de figuur ten opzichte van de y-as te berekenen gebruiken we dezelfde opdeling in elementaire rechthoeken. Deze rechthoeken zijn nu evenwijdig met de as, en het traagheidsmoment wordt bijgevolg gegeven door dIy = x2 (4 − x2 )dx. Het totale traagheidsmoment is bijgevolg Iy =

Z

2

−2

Versie 0.1

dIy =

128 . 15

01 december 2004

132


9. Traagheidsmoment van een omwentelingslichaam Tenslotte zullen we het traagheidsmoment van een omwentelingslichaam ten opzichte van zijn omwentelingsas berekenen. We beschouwen daarom eerst een elementaire rechthoek met afmetingen dx en dy rond een punt (x, y). Als we deze rechthoek wentelen rond de x-as (Figuur 59) bekomen we een ring. De totale massa van deze ring wordt gegeven door dM = 2πydxdy, en het traagheidsmoment van de ring ten opzichte van de x-as is bijgevolg gelijk aan dIx = 2πy 3 dxdy.

dx (x,y)

dy

Figuur 59. Traagheidsmoment van een elementaire ring.

Versie 0.1

01 december 2004


133

Beschouwen we nu een elementaire rechthoek evenwijdig met de omwentelingsas. Bij wentelen rond de x-as bekomen we een buis met straal y, dikte dy en lengte L. (Zie Figuur 60.) Opsplitsen in elementaire rechthoeken toont dat het traagheidsmoment van deze buis gegeven wordt door Z x2 2πy 3 dxdy = 2πLy 3 dy. dIx = x1

dx

11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111

y

x1

dy

x2

x

Figuur 60. Traagheidsmoment van een elementaire buis.

Vervolgens beschouwen we een elementaire rechthoek loodrecht op de x-as, met hoogte R en breedte dx. Bij wentelen rond de x-as brengt deze rechthoek een elementaire cilinder voort met straal R en hoogte dx. Opsplitsen in elementaire rechthoeken (Figuur 61) toont dan dat het traagheidsmoment van deze cilinder gegeven wordt door dIx =

Versie 0.1

Z

R

2πy 3 dxdy = 2π 0

R4 πR4 dx = dx. 4 2

01 december 2004

134


dx R

11111 00000 00000 11111 00000 dy 11111 00000 11111 00000 11111

y

x

Figuur 61. Traagheidsmoment van een elementaire cilinder. Om het traagheidsmoment van een willekeurig omwentelingslichaam ten opzichte van de omwentelingsas te berekenen zullen we de figuur opdelen in elementaire rechthoeken die ofwel evenwijdig zijn met de as ofwel loodrecht op deze as staan. Het traagheidsmoment van het lichaam wordt dan bepaald door de som van de traagheidsmomenten van de buizen of cilinders die op deze manier worden bekomen. Voorbeeld 17. Als we de rechthoek met hoogte R en breedte H laten wentelen rond de x-as bekomen we een cilinder met straal R en hoogte H. Om het traagheidsmoment van deze cilinder ten opzichte van de x-as te berekenen splitsen we de rechthoek eerst op in elementaire rechthoeken evenwijdig met de x-as (hoogte dy, breedte H en op een afstand y van de omwentelingsas). Als we deze elementaire rechthoeken laten wentelen bekomen we elementaire buizen waarvan het traagheidsmoment gegeven wordt door dIx = 2πy 3 Hdy, en het traagheidsmoment van de cilinder is bijgevolg Ix = 2πH

Z

0

R

πHR4 y dy = . 2 3

We kunnen de rechthoek ook opsplitsen in elementaire rechthoeken loodrecht op de x-as (met breedte dx en hoogte R). Als we deze rechthoeken laten wentelen bekomen we elementaire cilinders, waarvan het traagheidsmoment gegeven wordt door πR4 dx, dIx = 2 Versie 0.1

01 december 2004


135

en het traagheidsmoment van de ganse cilinder wordt bijgevolg πR4 Ix = 2

Z

H

dx = 0

πR4 H . 2

Voorbeeld 18. We beschouwen het vlakke gebied begrensd door de parabool y = 4x − x2 en de x-as, en we laten dit gebied wentelen rond de x-as. Om het traagheidsmoment van dit omwentelingslichaam ten opzichte van de x-as te berekenen splitsen we de vlakke figuur op in elementaire rechthoeken loodrecht op de x-as (breedte dx en hoogte 4x − x2 ). Bij wenteling rond de x-as ontstaat een elementaire cilinder waarvan het traagheidsmoment gegeven is door dIx =

π(4x − x2 )4 dx. 2

Het traagheidsmoment van de figuur wordt bijgevolg gegeven door Ix =

Z

4

65536π π(4x − x2 )4 dx = . 2 315

0

Voorbeeld 19. We beschouwen opnieuw het vlakke gebied uit het vorige voorbeeld maar laten het gebied ditmaal wentelen rond de y-as. Om het traagheidsmoment van het omwentelingslichaam ten opzichte van de y-as te berekenen gebruiken we dezelfde elementaire rechthoeken. Deze elementaire rechthoeken zijn evenwijdig met de y-as (breedte dx, hoogte 4x − x2 en gelegen op een afstand x van de y-as), en bij wenteling rond de y-as vormen ze een elementaire buis waarvan het traagheidsmoment gegeven wordt door dIy = x2 2πx(4x − x2 )dx. Het totale traagheidsmoment wordt dan gegeven door Iy = 2π

Z

0

Versie 0.1

4

x3 (4x − x2 )dx =

4096π . 15

01 december 2004

136

Versie 0.1


01 december 2004

Hoofdstuk 12

Meervoudige integralen

1. Definitie Beschouwen we een functie z = f (x, y) van twee veranderlijken die we overal positief veronderstellen in het rechthoekig gebied R in het xy-vlak, bepaald door a ≤ x ≤ b,

c ≤ y ≤ d.

N

We kiezen vervolgens twee natuurlijke getallen n, m ∈ 0 , en delen het interval [a, b] (resp. [c, d]) in n (resp. m) deelintervallen door de keuze van punten a = ϕ0 < ϕ1 < . . . < ϕn−1 < ϕn = b,

c = ψ0 < ψ1 < . . . < ψm−1 < ψm = d.

We zien dat het rechthoekig gebied R hierdoor opgedeeld wordt in n · m kleinere rechthoeken Rkl , k = 1, . . . , n, l = 1, . . . m, bepaald door ϕk−1 ≤ x ≤ ϕk ,

ψl−1 ≤ y ≤ ψl .

Duiden we de lengte van elk interval aan als ∆k x = ϕk − ϕk−1 ,

∆l y = ψl − ψl−1 ,

dan wordt de oppervlakte van Rkl gegeven door ∆kl S = ∆k x · ∆l y. Versie 1.4

137

31 mei 2007

138


Tenslotte kiezen we in elke rechthoek Rkl een willekeurig punt Pkl met coördinaten ϕk−1 ≤ xkl ≤ ϕk ,

ψl−1 ≤ ykl ≤ ψl .

Het volume van het lichaam, begrensd door het vlak z = 0, de verticale vlakken door de zijden van de rechthoek Rkl en het oppervlak z = f (x, y) kan dan bij benadering berekend worden als het volume van de balk met dezelfde basis Rkl , waarvan de hoogte overeenkomt met de waarde z = f (xkl , ykl ). De som Snm =

n X m X

k=1 l=1

f (Pkl )∆kl S =

n X m X

f (xkl , ykl )∆k x∆l y

k=1 l=1

van de volumes van deze balken levert bijgevolg een benaderde waarde voor het volume van het lichaam begrensd door het vlak z = 0, de verticale vlakken door de zijden van de rechthoek R en het oppervlak z = f (x, y). Door het aantal rechthoekjes Rkl te laten toenemen, bekomen we een steeds preciezer benadering van dit volume. Men kan aantonen dat, wanneer n en m oneindig groot worden, en we er daarbij voor zorgen dat de oppervlakte van elke rechthoek Rkl naar 0 streeft, de limiet S = lim Snm n,m→+∞

onafhankelijk is van de gekozen verdelingen en punten. We vinden in dat geval de exacte waarde voor het volume van het beschouwde lichaam.

Figuur 62. Dubbelintegraal van een functie over een rechthoekig domein Versie 1.4

31 mei 2007

Hoofdstuk 12. Meervoudige integralen

139

We kunnen dezelfde constructie ook uitvoeren voor een functie z = f (x, y) die niet noodzakelijk overal positief is. De limiet S = lim Snm n,m→+∞

noemen we de integraal van de functie f (x, y) over het rechthoekig gebied R, en we duiden deze dubbelintegraal aan als Z Z S= f (x, y)dS. R

2. Berekening van dubbelintegralen over een rechthoekig gebied Voor de praktische berekening van de dubbelintegraal Z Z f (x, y)dS R

van de functie z = f (x, y) over het rechthoekig gebied R maken we, voor de gekozen waarden n, m ∈ 0 , een opdeling van de intervallen [a, b] (resp. [c, d]) in n (resp. m) deelintervallen door de keuze van de waarden

N

a = ϕ0 < ϕ1 < . . . < ϕn−1 < ϕn = b,

c = ψ0 < ψ1 < . . . < ψm−1 < ψm = d.

We kiezen dan, in elk deelinterval [ϕk−1 , ϕk ] (resp. [ψl−1 , ψl ]) een punt xk (resp. yl ). In elke rechthoek Rkl kiezen we vervolgens het punt Pkl met coördinaten (xk , yl ). De som Snm wordt dan gegeven door n X m X Snm = f (xk , yl )∆k x∆l y, k=1 l=1

en de integraal van de functie f over het rechthoekige domein R is dan gelijk aan Z Z f (x, y)dS = lim Snm = lim ( lim Snm ) = lim ( lim Snm ). R

Versie 1.4

n,m→+∞

n→∞ m→∞

m→∞ n→∞

31 mei 2007

140


Figuur 63. Berekening van een dubbelintegraal over een rechthoekig gebied Om deze limiet te berekenen, kiezen we eerst een vaste waarde k ∈ {1, 2, . . . , n} en beschouwen we de som van de volumes van de balken die overeenkomen met de gekozen waarde van k, Sm (k) =

m X

f (xk , yl )∆k x∆l y = ∆k x

l=1

m X

f (xk , yl )∆l y.

l=1

Wanneer we de limiet van deze som berekenen, waarbij we het aantal deelintervallen m oneindig groot laten worden, en er voor zorgen dat voor elk deelinterval de lengte ∆l y naar nul streeft, vinden we dat S(k) = lim Sm (k) = ∆k x m→∞

Bijgevolg is Sn = lim Snm = m→∞

Z

d

f (xk , y)dy.

c

n X

S(k) =

k=1

n X

k=1

∆k x

Z

d

f (xk , y)dy.

c

Laten we vervolgens het aantal deelintervallen n oneindig groot worden, en zorgen we er daarbij voor dat de lengte van alle deelintervallen naar 0 streeft, zien we dat S = lim Sn = n→∞

Versie 1.4

Z

b

( a

Z

d

f (x, y)dy)dx,

c

31 mei 2007


141

en we besluiten dat de dubbelintegraal iteratief kan berekend worden als Z Z

f (x, y)dS =

R

b

Z

(

a

d

Z

f (x, y)dy)dx.

c

Wanneer we eerst de som berekenen voor een vaste waarde yl , levert dezelfde redenering ons dat Z Z Z d Z b f (x, y)dS = ( f (x, y)dx)dy. R

c

a

Intu¨ıtief kunnen we stellen dat, voor een vaste waarde x0 ∈ [a, b], de bepaalde integraal Z

d

f (x0 , y)dy = S(x0 ) c

ons de oppervlakte geeft van de doorsnede van het beschouwde lichaam met het verticaal vlak x = x0 . We kunnen het lichaam nu opsplitsen in elementaire schijfjes met een infinitesimale dikte dx, die overeenkomen met de doorsneden langs het verticale vlak x = x0 , en dit voor alle waarden x0 ∈ [a, b]. Het (infinitesimale) volume van een dergelijke elementaire schijf wordt gegeven door V (x0 ) = S(x0 )dx, en het totale volume van het lichaam is dan de “som” Z b Z b Z d S(x)dx = ( f (x, y)dy)dx. a

a

c

Op dezelfde wijze kunnen we stellen dat S(y0 ) =

b

Z

f (x, y0 )dx

a

de oppervlakte geeft van de doorsnede van het lichaam met het verticale vlak y = y0 . Als we het lichaam opdelen in elementaire schijfjes met een infinitesimale dikte dy, gevormd door deze doorsneden, zien we dat het volume van het lichaam gegeven wordt door de som Z

c

d

S(y)dy =

Z

d

(

R

y 3

b

f (x, y)dx)dy.

a

c

Voorbeeld 1. Berekenen we de integraal Z Z van de functie z =

Z

y dS 3

over het rechthoekige domein bepaald door x ∈ [0, 2] en y ∈ [0, 3].

Voor een vaste waarde van x0 ∈ [0, 2] wordt de doorsnede van het lichaam met het verticale vlak x = x0 bepaald door y y ∈ [0, 3] z= , 3 Versie 1.4

31 mei 2007

142


Figuur 64. Berekening van de dubbelintegraal over een rechthoekig gebied en de oppervlakte van deze doorsnede is Z S(x0 ) =

3

y 1 3 dy = y 2 |30 = . 3 6 2

0

Het volume van de elementaire schijf met dikte dx die we hier afsnijden wordt gegeven door V (x0 ) =

3 dx, 2

en het volume van het lichaam is bijgevolg gelijk aan Z 2 3 dx = 3. 0 2 Voor een vaste waarde y0 ∈ [0, 3] wordt de doorsnede bepaald door z=

y0 , 3

x ∈ [0, 2],

en de oppervlakte van deze figuur is dan S(y0 ) =

Z

0

Versie 1.4

2

2y0 y0 dx = . 3 3 31 mei 2007


143

Het volume van de infinitesimale schijf komt overeen met V (y0 ) =

2y0 dy, 3

en het volume van het ganse lichaam is bijgevolg V =

Z

3 0

2y y2 3 dy = | = 3. 3 3 0

Voorbeeld 2. Het volume van het lichaam, begrensd door de omwentelingsparabolo¨ıde z = x2 + y 2 , het vlak z = 0 en de verticale vlakken x = 0, x = 1, y = 0 en y = 1, wordt bepaald door de dubbelintegraal Z Z x2 + y 2 dS,

R

over het rechthoekige domein R bepaald door x ∈ [0, 1],

y ∈ [0, 1].

Deze waarde van deze integraal wordt gegeven door Z Z

2

2

x + y dS =

R

=

Z

Z

1

( 0

Z

1

x2 + y 2 dy)dx

0

1

(x2 y + 0

y3 1 )| dx 3 y=0

1

1 (x2 + )dx 3 0 3 x 1 = + x|10 3 3 2 = . 3 =

Z

We kunnen deze dubbelintegraal ook uitrekenen als Z Z

2

2

x + y dS =

R

=

Z

Z

1

(

1

x2 + y 2 dx)dy

0 3

0 1

( 0

Z

x + y 2 x)|1x=0 dy 3

1

1 ( + y 2 )dy 0 3 y3 1 = y + |10 3 3 2 = . 3

=

Versie 1.4

Z

31 mei 2007

144


3. Dubbelintegraal over een willekeurig domein Beschouwen we vervolgens een willekeurig domein S, en veronderstellen we dat de functie z = f (x, y) positieve waarden aanneemt voor alle punten (x, y) in S. Om het volume van het lichaam te berekenen, dat begrensd wordt door het oppervlak z = f (x, y), het grondvlak z = 0 en de cilinder over de rand van het domein S, zullen we het lichaam opnieuw opdelen in elementaire schijfjes die evenwijdig zijn met één van de coördinaatsassen. We veronderstellen daarom dat een rechte evenwijdig met de y-as (resp. de x-as) de rand van het domein S snijdt in ten hoogste twee punten. De randen van het domein S worden dan volledig beschreven door twee functies y1 = σ1 (x),

y2 = σ2 (x),

resp. x1 = ϕ1 (y),

x ∈ [a, b],

x2 = ϕ2 (y),

y ∈ [c, d].

Voor elk punt x0 ∈ [a, b] wordt de oppervlakte van de elementaire schijf evenwijdig met de y-as bepaald door Z σ2 (x0 ) f (x0 , y)dy, S(x0 ) = σ1 (x0 )

en het volume van deze schijf (met infinitesimale dikte dx) is bijgevolg V (x0 ) = (

Z

σ2 (x0 )

f (x0 , y)dy)dx.

σ1 (x0 )

Door de volumes van deze schijfjes op samen te tellen vinden we dat Z Z

S

f (x, y)dS =

Z

b

(

Z

σ2 (x)

f (x, y)dy)dx.

σ1 (x)

a

Door het volume op dezelfde manier op te splitsen in elementaire schijfjes evenwijdig met de x-as, bekomen we Z Z Z d Z ϕ2 (y) f (x, y)dx)dy. ( f (x, y)dS = S

ϕ1 (y)

c

Voorbeeld 3. Berekenen we de dubbelintegraal Z Z dS S

van de constante functie z = 1 over het driehoekige gebied S, gevormd door de x-as, de y-as en de rechte 3x + 2y = 6 door de punten (2, 0) en (0, 3). Het is duidelijk dat x in dit geval varieert tussen x = 0 en x = 2 en dat, voor elke waarde x0 ∈ [0, 2], y varieert tussen y = 0 en y = 21 (6 −3x0 ). Bijgevolg kunnen we de dubbelintegraal berekenen als Z 2 Z 2 Z 3− 23 x 3 3 dy)dx = (3 − x)dx = (3x − x2 )|20 = 3. ( 2 4 0 x=0 y=0 Versie 1.4

31 mei 2007


145

Figuur 65. Berekening van de dubbelintegraal over een willekeurig domein S Voorbeeld 4. Het volume van de pyramide gevormd door de drie coördinaatsassen en het vlak door de punten (5, 0, 0), (0, 3, 0) en (0, 0, 4) (met vergelijking 12x + 20y + 15z = 60) wordt gegeven door de dubbelintegraal Z Z 1 (60 − 12x − 20y)dS S 15 over het driehoekige gebied gevormd door de x-as, de y-as en de rechte 3x + 5y = 15 die de punten (5, 0) en (0, 3) verbindt. Het is duidelijk dat x varieert tussen 0 en 5, en dat voor een willekeurige x de waarden van y variëren tussen 0 en 15 (15 − 3x). Bijgevolg is de dubbelintegraal gegeven door Z

5

( 0

Z

0

3− 53 x

4 4 4 − x − ydy)dx = 5 3

Z

5

6+ 0

18 2 36 x − xdx = 10. 75 15

Voorbeeld 5. Het volume van een halve bol met straal R wordt gegeven door de dubbelintegraal Z Z p R2 − x2 − y 2 dS S

Versie 1.4

31 mei 2007

146


over de schijf S met straal R in het xy-vlak. Het is duidelijk dat x in dit geval varieert tussen √ en dat voor een gegeven waarde van x de waarden van y variëren tussen √ −R en +R, 2 2 − R − x en + R2 − x2 . Bijgevolg kunnen we de integraal berekenen als Z

+R

( −R

Z

√ + R2 −x2

√ − R2 −x2

Z p R2 − x2 − y 2 dy)dx =

+R −R

π 2 2 π x3 3 (R − x2 )dx = (R2 x − )|+R −R = πR . 2 2 3 3

Het volume van de bol met straal R wordt bijgevolg gegeven door 34 πR3 . Voorbeeld 6. De dubbelintegraal van de functie Z Z 10 − x − ydS S

over het cirkelvormige gebied S met straal 4 (vergelijking x2 + y 2 = 16) bepaalt het volume van de cilinder met straal 4 rond de z-as, die afgeknot wordt door het vlak met vergelijking x + y + z = 10. Het is duidelijk dat x varieert tussen -4 en +4,√en dat voor een gegeven waarde van x de √ waarden van y variëren tussen − 16 − x2 en + 16 − x2 . Het volume van het beschouwde lichaam is bijgevolg gelijk aan Z

4

( −4

Z

√ + 16−x2

√ − 16−x2

10 − x − ydy)dx =

Z

4 −4

p (20 − 2x) 16 − x2 = 160π.

4. Drievoudige integraal Beschouwen we een functie f (x, y, z) die afhangt van drie veranderlijken, en een domein V in de drie-dimensionale ruimte. We delen dan, zoals tevoren, dit domein V op in een aantal deelgebieden Ri , i = 1, 2, . . . , n, en we kiezen in elk gebied Ri een willekeurig punt (xi , yi , zi ). Tenslotte berekenen we de som Sn =

n X

f (xi , yi , zi )Vol(Ri ),

i=1

en laten we n oneindig groot worden, waarbij we ervoor zorgen dat het volume van alle deelgebieden Ri naar nul streeft. De limiet van deze som Sn is dan onafhankelijk van onze keuzes, en we noemen deze limiet de integraal van de functie f over het domein V , Z Z Z f (x, y, z)dV = lim Sn . n→∞

V

Kiezen we, in het bijzonder, de constante functie f (x, y, z) = 1, dan kan de drievoudige integraal Z Z Z Z b Z y2 (x) Z z2 (x,y) f (x, y, z)dz)dy)dx ( ( dV = V

a

y1 (x)

z1 (x,y)

ge¨ınterpreteerd worden als het volume van het gebied V . Versie 1.4

31 mei 2007


147

Het is soms eenvoudiger het gebied V te beschrijven met behulp van cilindercoördinaten (r, θ, z) of bolco¨ ordinaten (r, θ, ϕ) in plaats van cartesische coördinaten (x, y, z). Om het volume van een dergelijk gebied te berekenen, bepalen we eerst het volume van het elementaire gebied dV dat overeenkomt met infinitesimale toenamen van de drie coördinaten. Wanneer we werken met cilindercoördinaten (r, θ, z), kunnen we aantonen dat een infinitesimale toename dr, dθ, dz van de coördinaten overeenkomt met een elementair volume dV = dr(rdθ)dz, en het volume wordt daarom gegeven door de drievoudige integraal Z Z Z rdrdθdz. V

z

r

θ

dV = dr dz (r d θ) Figuur 66. Cilinderco¨ ordinaten en volumeberekening

Voorbeeld 7. De kegel met basis R en hoogte h wordt in cilindercoördinaten gegeven door het gebied V , begrensd door z = 0 . . . h,

θ = 0 . . . 2π,

r = 0...

R (h − z), h

en het volume van de kegel is bijgevolg gegeven door Z Versie 1.4

h

( 0

Z

0

2π

(

Z

0

R h (h−z)

rdr)dθ)dz =

πR2 h . 3 31 mei 2007

148


Wanneer we werken met bolcoördinaten (r, θ, ϕ), zien we dat een infinitesimale toename dr, dθ, dϕ van deze coördinaten overeenkomt met een elementair volume dV = dr(r sin ϕdθ)(rdϕ), en het volume komt daarom overeen met de drievoudige integraal Z Z Z r 2 sin ϕdrdθdϕ. V

ϕ

r

θ

dV = dr (r d ϕ) (r sin ϕ dθ) Figuur 67. Bolco¨ ordinaten en volumeberekening

Voorbeeld 8. In bolco¨ ordinaten wordt de bol met straal R beschreven door het balkvormig gebied r = 0 . . . R, θ = 0 . . . 2π, ϕ = 0 . . . π. Het volume van de bol is bijgevolg Z

Versie 1.4

R 2

r ( 0

Z

0

π

sin ϕ(

Z

0

2π

dθ)dϕ)dr =

4πR3 . 3

31 mei 2007

Hoofdstuk 13

Numerieke integratie

1. Inleiding Bij het berekenen van de bepaalde integraal Z b

f (x)dx

a

van een gegeven reële functie over het interval [a, b] hebben we, in wat voorafgaat, gebruik gemaakt van de basisstelling van de integraalrekening, die zegt dat Z b f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a), a

waarbij F (x) een willekeurige primitieve functie van f (x) is, dit wil zeggen dat Z f (x)dx = F (x) + C. In bepaalde gevallen is het berekenen van een primitieve functie van een gegeven functie 2 (dus de onbepaalde integratie) echter niet mogelijk (bijvoorbeeld voor de functie y = e−x ) of zeer moeilijk. In deze gevallen kunnen we gebruik maken van een aantal technieken die toelaten, met een willekeurige graad van nauwkeurigheid, een benaderde waarde te berekenen van de gezochte bepaalde integraal. We doen dit door, op een bepaalde manier, een benaderde waarde voor de oppervlakte van het vlakke gebied tussen de grafiek van de functie y = f (x) en de x-as te berekenen. In dit hoofdstuk behandelen we drie dergelijke technieken.

Versie 0.3

149

04 maart 2009

150


2. De regel van het centrale punt (midpoint regel) Om de bepaalde integraal Z

b

f (x)dx a

van de functie y = f (x) over het interval [a, b] (bij benadering) te berekenen, delen we het interval [a, b] eerst op in n stukken van gelijke lengte h=

b−a , n

en we noteren de randpunten van deze verschillende intervallen met a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b. Van elk interval [xi−1 , xi ] berekenen we het middelpunt, dat we aanduiden met mi =

xi−1 + xi . 2

Het is dan duidelijk dat de oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van de kromme en de x-as (dus de gezochte bepaalde integraal) bij benadering gegeven wordt door de som van de oppervlakten van de rechthoeken met basis h en hoogte f (mi ), dus door f (m1 )h + f (m2 )h + . . . + f (mn )h = h

n X

f (mi ).

i=1

11111111111111111 000000000 00000000 000000000 111111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 00000000011111111 111111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 00000000 11111111 00000000011111111 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 f(m3) f(m2) 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 f(m1) 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 00000000 11111111 00000000011111111 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 a=x0 m1 111111111 x1 x2 m2 m3 x3=b Figuur 68. De regel van het centrale punt

Versie 0.3

04 maart 2009

Hoofdstuk 13. Numerieke integratie Voorbeeld 1. Om de integraal Z

1 2

0

151

1 dx 1 + x2

te berekenen met behulp van de regel van het centrale punt delen we het interval [0, 12 ] op in 5 gelijke delen met lengte 1 −0 1 h= 2 = . 5 10 De randpunten van de verschillende intervallen worden gegeven door 2 3 1 , x2 = , x3 = , 10 10 10 en de middelpunten van deze intervallen zijn bijgevolg x0 = 0,

m1 =

x1 =

1 , 20

m2 =

3 , 20

5 , 20

m3 =

x4 =

m4 =

7 , 20

4 , 10

m5 =

De functiewaarden van deze middelpunten onder de functie f (x) = door f (m1 ) = 0.9975,

f (m2 ) = 0.9780,

f (m3 ) = 0.9412,

x5 =

5 , 10

9 . 20

1 1+x2

f (m4 ) = 0.8909,

worden gegeven f (m5 ) = 0.8316,

en de benaderde waarde van de integraal is dan 1 4.6392 (f (m1 ) + . . . + f (m5 )) = = 0.4639. 10 10 Ter vergelijking : de werkelijke waarde van de integraal wordt gegeven door Z 21 1 1 1 2 = arctg( ) = 0.46364761. dx = arctg(x)| 0 2 2 0 1+x

3. De trapeziumregel Bij deze methode verdelen we het interval [a, b] opnieuw in n delen met dezelfde lengte b−a , n en we noteren de randpunten van de bekomen intervallen zoals tevoren met h=

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b. De functiewaarden van deze randpunten duiden we aan met yi = f (xi ),

i = 0, 1, . . . , n.

We kunnen de oppervlakte van het gebied tussen de kromme en de x-as nu bij benadering berekenen als de som van de oppervlakten van een aantal trapeziums met hoogte h en (grote en kleine) basissen yi−1 en yi . De oppervlakte van een dergelijk trapezium wordt gegeven door yi + yi−1 , Si = h 2 en we besluiten dat de bepaalde integraal bij benadering gegeven wordt door n X i=1

Versie 0.3

Si =

n X yi−1 + yi h h = (y0 + 2y1 + 2y2 + . . . + 2yn−1 + yn ). 2 2 i=1

04 maart 2009

152


111111111 000000000 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 y2 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 y1 y3 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 y0 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 a=x0 x1 x2 x3=b Figuur 69. De trapeziumregel Voorbeeld 2. We berekenen opnieuw de integraal Z

1 2

0

1 dx, 1 + x2

maar we gebruiken ditmaal de trapeziumregel. We splitsen daarom het interval [0, 21 ] op in 5 gelijke delen met lengte 1 h= . 10 De randpunten van deze intervallen worden, zoals tevoren, gegeven door x0 = 0,

x1 =

1 , 10

x2 =

2 , 10

x3 =

3 , 10

x4 =

4 , 10

en de functiewaarden van deze randpunten onder de functie f (x) = y0 = f (x0 ) = 1, y3 = f (x3 ) = 0.9174,

y1 = f (x1 ) = 0.9901, y4 = f (x4 ) = 0.8621,

x5 = 1 1+x2

5 , 10

zijn bijgevolg

y2 = f (x2 ) = 0.9615, y5 = f (x5 ) = 0.8.

De bepaalde integraal wordt dan bij benadering gegeven door 9.2622 1 (y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + y5 ) = = 0.4631. 20 20

Versie 0.3

04 maart 2009

Hoofdstuk 13. Numerieke integratie

153

4. De regel van Simpson Om de integraal van een functie te berekenen met behulp van de regel van Simpson verdelen we het interval [a, b] in een even aantal delen (dat we aanduiden als 2n) met gelijke lengte b−a . 2n We noteren, zoals tevoren, de randpunten van deze intervallen met h=

a = x0 < x1 < x2 < . . . < x2n−1 < x2n = b, en de beeldpunten van deze randpunten onder de functie f (x) duiden we aan met yi = f (xi ),

i = 0, 1, . . . , 2n.

Voor elk drietal punten x2i−2 , x2i−1 , x2i bepalen we nu een parabool met vergelijking y = Ax2 + Bx + C, waarbij A, B en C zodanig gekozen worden dat de parabool en de kromme y = f (x) samenvallen in de drie punten P2i−2 = (x2i−2 , y2i−2 ),

P2i−1 = (x2i−1 , y2i−1 ),

P2i = (x2i , y2i ).

De oppervlakte van het gebied tussen de x-as en deze parabool wordt gegeven door Z x2i (Ax2 + Bx + C)dx, Si = x2i−2

en we kunnen de oppervlakte tussen de kromme en de x-as dan (bij benadering) berekenen als de som van de oppervlakten Si tussen de x-as en deze n parabolen.

P2

P3

P4

P1

y3

y2

P0

y4

y1 y0 a=x0

x1

x2

x3

b=x4

Figuur 70. De regel van Simpson Versie 0.3

04 maart 2009

154


We berekenen nu de oppervlakte tussen de x-as en één van deze parabolen. We beschouwen daarom bijvoorbeeld de drie punten P0 = (x0 , y0 ),

P1 = (x1 , y1 ),

P2 = (x2 , y2 ).

P2 P1

y2 P0 y1 y0

x0

h

x1

h

x2

Figuur 71. De regel van Simpson

De gezochte parabool heeft vergelijking y = Ax2 + Bx + C, en het gebied tussen deze kromme en de x-as heeft als oppervlakte Z x2 (Ax2 + Bx + C)dx S= x0

A 3 B (x2 − x30 ) + (x22 − x20 ) + C(x2 − x0 ) 3 2 B A 2 = (x2 − x0 )( (x2 + x0 x2 + x20 ) + (x2 + x0 ) + C) 3 2 B A = 2h( (3x20 + 6hx0 + 4h2 ) + (2x0 + 2h) + C) 3 2 h = (2A(3x20 + 6hx0 + 4h2 ) + 6B(x0 + h) + 6C). 3

=

Versie 0.3

04 maart 2009

Hoofdstuk 13. Numerieke integratie

155

De getallen A, B, C zijn z´ o gekozen dat y0 = Ax20 + Bx0 + C,

y1 = Ax21 + Bx1 + C,

y2 = Ax22 + Bx2 + C,

en bijgevolg is y0 + 4y1 + y2 = (Ax20 + Bx0 + C) + 4(Ax21 + Bx1 + C) + (Ax22 + Bx2 + C) = 6Ax20 + 12Ahx0 + 8Ah2 + 6Bx0 + 6Bh + 6C = 2A(3x20 + 6hx0 + 4h2 ) + 6B(x0 + h) + 6C, en we besluiten dat S=

h (y0 + 4y1 + y2 ). 3

We zien dan dat de oppervlakte van de figuur tussen de kromme y = f (x) en de x-as bij benadering gegeven wordt door h h h (y0 + 4y1 + y2 ) + (y2 + 4y3 + y4 ) + . . . + (y2n−2 + 4y2n−1 + y2n ) 3 3 3 h = (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + . . . + 2y2n−2 + 4y2n−1 + y2n . 3 Voorbeeld 3. We berekenen opnieuw de integraal Z

1 2

0

1 dx, 1 + x2

ditmaal met de regel van Simpson waarbij we n = 2 stellen. We verdelen het interval [0, 12 ] dus in 4 gelijke delen met lengte h = 18 . De randpunten van de verschillende intervallen worden gegeven door x0 = 0,

x1 =

1 , 8

x2 =

2 1 = , 8 4

x3 =

3 , 8

en de beeldpunten van deze getallen onder de functie f (x) = y0 = 1,

y1 = 0.9846,

y2 = 0.9412,

x4 = 1 1+x2

y3 = 0.8767,

4 1 = , 8 2

zijn bijgevolg y4 = 0.8.

De benaderde waarde van de integraal wordt dan gegeven door 11.1276 h (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4 ) = = 0.46365. 3 24

Versie 0.3

04 maart 2009

156

Versie 0.3


04 maart 2009

Hoofdstuk 14

Differentiaalvergelijkingen

1. Inleiding Een (gewone) differentiaalvergelijking is een uitdrukking van de vorm F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0, met andere woorden een vergelijking die, naast een variabele x en een ongekende functie y, ook een aantal afgeleiden van de onbekende functie bevat. De orde van een differentiaalvergelijking is gelijk aan de hoogste orde van een afgeleide van de functie y die in de vergelijking voorkomt. Voorbeeld 1. De uitdrukking y ′′ + 2y ′ + 3y = 5 sin x, is een differentiaalvergelijking van tweede orde. De uitdrukking y ′ − 3(y ′ )2 x + y 2 = 7x3 , is een differentiaalvergelijking van eerste orde. Differentiaalvergelijkingen zullen vaak naar voor komen bij de studie van problemen uit de fysica, waar ze veel gebruikt worden om de verandering te beschrijven van een grootheid die aan het probleem verbonden is. Een typisch voorbeeld wordt gevormd door de wet van Newton, die zegt dat de versnelling (dus de verandering van de snelheid) van een massa bepaald wordt door de krachten die op de massa inwerken. Deze wet kan gebruikt worden om een differentiaalvergelijking (van tweede orde) op te stellen waarbij de positie van het Versie 0.2

157

09 februari 2005

158


voorwerp de rol speelt van de ongekende functie y (en de tijd die van de variabele x). Het is dan de bedoeling uit deze differentiaalvergelijking te berekenen welke de positie van het voorwerp zal zijn op een bepaald tijdstip. Een oplossing of integraal van een differentiaalvergelijking F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0, is een functie f (x) waarvoor geldt dat F (x, f (x), f ′(x), . . . , f (n) (x)) = 0. Een oplossing is met andere woorden een functie f (x) waarvoor de differentiaalvergelijking voldaan is indien we overal y vervangen door f . We merken op dat de oplossing van een differentiaalvergelijking niet uniek bepaald is, maar afhangt van een aantal parameters. Deze parameters worden de integratieconstanten genoemd. In dit hoofdstuk zullen we een aantal technieken behandelen voor het bepalen van de algemene oplossing van een gegeven differentiaalvergelijking. Dit is de verzameling van alle oplossingen van de vergelijking. Indien de differentiaalvergelijking een fysisch probleem beschrijft zal men vaak ook beginvoorwaarden opleggen. Deze voorwaarden geven bijvoorbeeld de situatie of de toestand van het bestudeerde voorwerp op een bepaald tijdstip weer. Deze beginvoorwaarden kunnen dan worden gebruikt om de unieke oplossing uit de oplossingenverzameling te kiezen, die de beweging van het voorwerp zal beschrijven. We zullen de beginvoorwaarden met andere woorden gebruiken om de waarden van de parameters van de algemene oplossing vast te leggen. Voorbeeld 2. De functie f (x) = cos 5x is een oplossing van de differentiaalvergelijking y ′′ + 25y = 0, omdat f ′′ (x) + 25f (x) = −25 cos 5x + 25 cos 5x = 0. De algemene oplossing van deze vergelijking wordt, zoals we verder in dit hoofdstuk in detail zullen zien, gegeven door f (x) = C1 sin 5x + C2 cos 5x, waarbij C1 en C2 willekeurige integratieconstanten zijn. Om de unieke oplossing te zoeken waarvoor f (0) = 1, f ′ (0) = 10, drukken we uit dat f (0) = C2 = 1,

f ′ (0) = 5C1 = 10.

We zien dan dat de enige oplossing gegeven wordt door f (x) = 2 sin 5x + cos 5x. Wegens hun belang voor (onder andere) de fysica, werden differentiaalvergelijkingen uitvoerig bestudeerd. Deze studie leidde tot een groot aantal oplossingstechnieken voor verschillende types van differentiaalvergelijkingen. In dit hoofdstuk zullen we enkele van deze technieken in detail behandelen. We zullen deze technieken rangschikken aan de hand van de orde van de differentiaalvergelijkingen waarop ze kunnen worden toegepast.

Versie 0.2

09 februari 2005

Hoofdstuk 14. Differentiaalvergelijkingen

159

2. Differentiaalvergelijkingen van eerste orde Een differentiaalvergelijking van eerste orde is een uitdrukking van de vorm F (x, y, y ′) = 0. We zullen bij de studie van dergelijke vergelijkingen steeds veronderstellen dat we deze uitdrukking kunnen herschrijven in de vorm y ′ = f (x, y), dat we de functie F met andere woorden kunnen oplossen naar y ′ .

dy en het geheel vermenigvuldigen met dx kunnen we de differentiaalvergelijking Als we y ′ nu schrijven als dx ook voorstellen met behulp van differentialen, namelijk als

dy = f (x, y)dx. We vinden bijgevolg twee equivalente voorstellingswijzen voor differentiaalvergelijkingen van eerste orde, namelijk M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0,

en

y ′ = f (x, y).

Voorbeeld 3. De vergelijking sin xdx + cos ydy = 0, kan ook voorgesteld worden als y′ = −

sin x , cos y

terwijl omgekeerd de vergelijking y ′ = ex−y kan geschreven worden als ex dx − ey dy = 0. De algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van eerste orde is afhankelijk van één integratieconstante. Deze integratieconstante kan vastgelegd worden door de keuze van de beginvoorwaarde f (x0 ) = y0 , dus de waarde van de oplossing in één bepaald punt.

Versie 0.2

09 februari 2005

160


1. Vergelijkingen met gescheiden of scheidbare veranderlijken We zeggen dat een differentiaalvergelijking van eerste orde gescheiden veranderlijken heeft indien ze van de vorm M (x)dx + N (y)dy = 0 is. In dit geval wordt de algemene oplossing (in impliciete vorm) gegeven door Z Z M (x)dx + N (y)dy = C, waarbij C de integratieconstante is. Voorbeeld 4. De differentiaalvergelijking xdx + ydy = 0, heeft gescheiden veranderlijken. De algemene oplossing van deze vergelijking wordt gegeven door x2 y2 + = C. 2 2 Indien we als beginvoorwaarde stellen dat f (0) = 1, zien we dat

12 02 + , C= 2 2

en de oplossing is bijgevolg x2 + y 2 = 1. Het eenvoudigste type van vergelijkingen met gescheiden variabelen is van de vorm y ′ = f (x),

dy − f (x)dx = 0.

In dit geval wordt de oplossing gegeven door Z Z dy − f (x)dx = C, dus y=

Z

f (x)dx + C.

Indien de vergelijking van de vorm M1 (x)M2 (y)dx + N1 (x)N2 (y)dy = 0 is, zeggen we dat de vergelijking scheidbare veranderlijken heeft. In dit geval kunnen we de vergelijking eenvoudig herleiden tot een vergelijking met gescheiden veranderlijken door te delen door M2 (y) en N1 (x). We vinden dan M1 (x) N2 (y) dx + dy = 0, N1 (x) M2 (y) Versie 0.2

09 februari 2005


161

waarvoor de oplossing gegeven wordt door Z

M1 (x) dx + N1 (x)

Z

N2 (y) dy = C. M2 (y)

Voorbeeld 5. De vergelijking ydx + xdy = 0, heeft scheidbare veranderlijken. Delen door xy levert ons dx dy + = 0, x y en de oplossing wordt dus gegeven door Z

dx + x

Z

dy = C. y

We kunnen deze oplossing ook voorstellen in de vorm ln x + ln y = C,

ln xy = C,

en tenslotte ook als xy = C,

y=

C . x

Oefening 1. Los de volgende differentiaalvergelijkingen op. 1. ydy − 4xdx = 0

2. y 2 dy − 3x5 dx = 0

3. x3 y ′ = y 2 (x − 4)

4. xy 2 (1 + x2 )y ′ + y 3 + 1 = 0 5. (1 + x2 )y ′ = 1 + y 2 6. y ′ =

Versie 0.2

cos2 y sin2 x

7. ydx − xdy = 0 8. (1 + y)dx − (1 − x)dy = 0

1 + y2 9. y ′ = 1 + x2 p p 1 − x2 dy = 1 − y 2 dx 10. 1 − ex dy = 0 11. 3ex tg ydx + cos2 y 12. (x − y 2 x)dx + (y − x2 y)dy = 0

09 februari 2005

162


2. Homogene vergelijkingen Een functie f (x, y) wordt homogeen van graad n genoemd indien, voor elke waarde van λ, geldt dat f (λx, λy) = λn f (x, y). Voorbeeld 6. De functie f (x, y) = x2 + 5xy + y 2 is homogeen van graad 2, omdat f (λx, λy) = (λx)2 + 5(λx)(λy) + (λy)2 = λ2 (x2 + 5xy + y 2 ) = λ2 f (x, y). Voorbeeld 7. De functie f (x, y) =

x x+y

is homogeen van graad 0 omdat f (λx, λy) =

λx x = = f (x, y). λx + λy x+y

Voorbeeld 8. De functie f (x, y) = x + y 2 is niet homogeen, omdat f (λx, λy) = λx + λ2 y 2 niet kan geschreven worden als een veelvoud van x + y 2 . Een differentiaalvergelijking van eerste orde M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 wordt homogeen genoemd indien de functies M (x, y) en N (x, y) beide homogeen zijn van dezelfde graad. Indien de differentiaalvergelijking wordt voorgesteld als y ′ = f (x, y) betekent dit dat de functie f (x, y) homogeen moet zijn van graad 0. Om deze vergelijkingen op te lossen schrijven we de onbekende functie y als y = xu. Hierbij is u een nieuwe onbekende functie, die we zullen bepalen aan de hand van een differentiaalvergelijking. Deze vergelijking afleiden naar x levert ons dat y ′ = u + u′ x. Versie 0.2

09 februari 2005


163

Omdat de functie f (x, y) homogeen is van graad 0 geldt anderzijds dat f (x, y) = f (x, ux) = x0 f (1, u). De differentiaalvergelijking wordt bijgevolg u + u′ x = f (1, u) of xdu = (f (1, u) − u)dx. Deze vergelijking heeft scheidbare veranderlijken, en we kunnen bijgevolg de techniek uit de vorige paragraaf gebruiken om deze vergelijking op te lossen. We zien dat dx du = , f (1, u) − u x en de oplossing wordt bijgevolg gegeven door Z 1 du = C. ln x − f (1, u) − u Als we in dit resultaat u door differentiaalvergelijking.

y x

vervangen bekomen we de uiteindelijke oplossing van de

Voorbeeld 9. De vergelijking y′ =

x2

xy − y2

is een homogene differentiaalvergelijking van eerste orde. Als we stellen dat y = ux kunnen we deze vergelijking herschrijven als u′ x + u =

u , 1 − u2

en we vinden dus de vergelijking dx 1 − u2 − du = 0. x u3 Integreren van deze vergelijking levert ons dat 1 − ln u + C. 2u2

ln x = − Als we hierin tenslotte u vervangen door

y x

ln x = − wat we kunnen schrijven als − Versie 0.2

zien we dat

x2 y − ln + C, 2y 2 x

x2 − ln y + C = 0. 2y 2 09 februari 2005

164


3. Totale differentiaal In een vorig hoofdstuk hebben we gezien dat de totale differentiaal van een functie u(x, y) gegeven wordt door ∂u ∂u du = dx + dy. ∂x ∂y Stel nu dat we een differentiaalvergelijking hebben van de vorm M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0. Het linkerlid van deze vergelijking is dan de totale differentiaal van een functie u(x, y) indien  ∂u   ,  M (x, y) = ∂x ∂u   .  N (x, y) = ∂y Indien dit het geval is, moet zeker gelden dat

∂M ∂ 2u ∂N = = . ∂y ∂x∂y ∂x Deze voorwaarde is eveneens een voldoende voorwaarde. Om na te gaan of er een functie u bestaat waarvan M (x, y)dx + N (x, y)dy de totale differentiaal is, volstaat het dan ook te verifiëren of ∂N ∂M = . ∂y ∂x Indien een dergelijke functie bestaat, kan ze vervolgens berekend worden door het stelsel  ∂u   ,  M (x, y) = ∂x ∂u   ,  N (x, y) = ∂y

op te lossen naar de onbekende functie u(x, y). De eerste vergelijking geeft aan dat u(x, y) =

Z

M (x, y)dx + ϕ(y),

waarbij ϕ(y) een functie is die enkel van y afhangt. Om deze functie te bepalen substitueren we deze uitdrukking voor u in de tweede vergelijking. We bekomen dan een differentiaalvergelijking waaruit we ϕ(y) kunnen bepalen. De oplossingen van de oorspronkelijke differentiaalvergelijking worden tenslotte gegeven door u(x, y) = C. Versie 0.2

09 februari 2005


165

Voorbeeld 10. Beschouwen we de vergelijking ydx + (x − y 3 )dy = 0. We zien dat

∂y = 1, ∂y

∂(x − y 3 ) = 1, ∂x

en de vergelijking vormt bijgevolg de totale differentiaal van een functie u(x, y). Om deze functie te berekenen lossen we het stelsel  ∂u   = y,  ∂x ∂u   = x − y3,  ∂y op. Uit de eerste vergelijking vinden we dat

u = xy + ϕ(y). Invullen in de tweede vergelijking levert dan x + ϕ′ (y) = x − y 3 , waaruit volgt dat ϕ′ (y) = −y 3 ,

ϕ(y) = −

y4 + C. 4

De functie u is bijgevolg

y4 + C, 4 en de oplossingen van de differentiaalvergelijking zijn gegeven door u(x, y) = xy −

1 xy − y 4 = C. 4

Versie 0.2

09 februari 2005

166


4. Lineaire differentiaalvergelijkingen Een differentiaalvergelijking van eerste orde wordt lineair genoemd indien ze kan geschreven worden als y ′ + P (x)y = Q(x), waarbij P en Q willekeurige functies zijn die enkel afhangen van de variabele x. Om deze lineaire differentiaalvergelijkingen op te lossen zoekt men een integrerende factor, dit is een functie F (x) waarmee men de vergelijking vermenigvuldigt, en die zodanig wordt gekozen dat het linkerlid van de differentiaalvergelijking kan geschreven worden als een afgeleide van een product van de vorm F (x) · y(x), dit wil zeggen dat ′

F (x)y ′ + F (x)P (x)y = (F (x)y) .

Het is duidelijk dat

′

(F (x)y) = F (x)y ′ + F ′ (x)y, en bijgevolg moet F ′ (x) = F (x)P (x), We besluiten dat

F ′ (x) = P (x), F (x)

en dus is ln F (x) =

Z

P (x)dx,

R F (x) = e

P (x)dx

.

Na vermenigvuldiging met deze factor kunnen we de vergelijking schrijven als ′

(F (x)y) = Q(x)F (x), en bijgevolg geldt dat F (x)y =

Z

Q(x)F (x)dx.

De oplossing van de differentiaalvergelijking wordt tenslotte gegeven door Z 1 y= Q(x)F (x)dx. F (x) Voorbeeld 11. De vergelijking 2 y = (x + 1)3 , x+1 is een lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde. De integrerende factor wordt gegeven door R 2 F (x) = e − x+1 dx = e−2 ln(x+1) = (x + 1)−2 . y′ −

Na vermenigvuldiging met deze integrerende factor wordt de vergelijking gegeven door ′ (x + 1)−2 y = x + 1,

wat we kunnen oplossen als

(x + 1)2 + C. 2 De oplossing voor onze differentiaalvergelijking is bijgevolg (x + 1)−2 y =

y=

Versie 0.2

(x + 1)4 + C(x + 1)2 . 2 09 februari 2005


167

3. Differentiaalvergelijkingen van tweede orde Differentiaalvergelijkingen van tweede orde komen vaak naar voor bij de studie van de beweging van een voorwerp onder de invloed van krachten. De reden hiervoor is dat de wet van Newton ons leert dat de versnelling van een voorwerp (de tweede afgeleide van de positie van het voorwerp als functie van de tijd) bepaald wordt door de krachten die op dit voorwerp inwerken. We merken op dat de algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van tweede orde steeds afhangt van twee parameters of integratieconstanten. Deze constanten kunnen worden bepaald door het opleggen van de beginvoorwaarden y(x0 ) = y0 ,

y ′ (x0 ) = y0′ ,

wat in het kader van de wet van Newton betekent dat de beweging volledig vastgelegd wordt door de krachten die op het voorwerp inwerken, samen met de beginpositie en de beginsnelheid van het voorwerp. 1. Vergelijkingen van de vorm y ′′ = f (x) Deze vergelijkingen kunnen eenvoudig opgelost worden door twee opeenvolgende integraties. We vinden eerst dat Z ′ y = f (x)dx + C1 ,

terwijl een tweede maal integreren levert dat Z Z y = ( f (x)dx)dx + C1 x + C2 . Voorbeeld 12. Om de vergelijking y ′′ = sin x op te lossen merken we op dat ′

y =

Z

sin xdx = − cos x + C1 ,

en dat bijgevolg y=−

Z

(cos x + C1 )dx = − sin x + C1 x + C2 .

Indien we de beginvoorwaarden y(0) = 0,

y ′ (0) = 5,

opleggen, vinden we dat C2 = 0,

−1 + C1 = 5,

en bijgevolg is de oplossing in dat geval y = − sin x + 6x. Versie 0.2

09 februari 2005

168


2. Vergelijkingen van de vorm y ′′ = f (x, y ′ ) Voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen van de vorm y ′′ = f (x, y ′) vervangen we eerst de functie y door een nieuwe functie u = y ′ . De differentiaalvergelijking wordt dan herleid tot een differentiaalvergelijking van eerste orde u′ = f (x, u), die moet worden opgelost met de technieken uit de vorige paragraaf. Wanneer we de oplossing u van deze vergelijking hebben bepaald, kunnen we de oplossing van de oorspronkelijke vergelijking berekenen door het uitvoeren van de integratie Z y = udx. Voorbeeld 13. Om de vergelijking y ′′ + y ′ = ex op te lossen stellen we u = y ′ . De differentiaalvergelijking wordt dan herleid tot de vergelijking u′ + u = ex , die een lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde is. De integrerende factor wordt in dit geval gegeven door R F (x) = e 1dx = ex ,

en na vermenigvuldiging met deze integrerende factor vinden we (ex u)′ = e2x . Bijgevolg is x

e u=

Z

e2x dx =

1 2x e + C. 2

De oplossing van de vergelijking is bijgevolg u= en dus is y=

Versie 0.2

Z

1 x e + C1 e−x , 2

1 1 ( ex + C1 e−x )dx = ex − C1 e−x + C2 . 2 2

09 februari 2005


169

3. Lineaire vergelijkingen met constante co¨ effici¨ enten

Het laatste type van differentiaalvergelijkingen dat we hier bestuderen zijn de lineaire differentiaalvergelijk van tweede orde met constante coëfficiënten. Deze vergelijkingen zijn van de vorm y ′′ + Ay ′ + By = f (x), waarbij A en B twee reële constanten zijn en f (x) een willekeurige functie die enkel afhangt van de variabele x. Om de algemene oplossing van een dergelijke vergelijking te bepalen gaan we te werk in twee stappen. Ten eerste wordt de algemene oplossing bepaald van de homogene differentiaalvergelijking y ′′ + Ay ′ + By = 0. Deze algemene oplossing hangt af van twee integratieconstanten, en wordt meestal aangegeven met het symbool yh . In een tweede fase wordt (indien nodig) één willekeurig te kiezen oplossing berekend van de niet-homogene differentiaalvergelijking y ′′ + Ay ′ + By = f (x). Deze oplossing wordt een particuliere oplossing genoemd, en ze wordt meestal aangeduid met het symbool yp . De algemene oplossing van de niet-homogene differentiaalvergelijking wordt dan gegeven door de som yp + yh van deze beide oplossingen. We beginnen met het berekenen van de algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking y ′′ + Ay ′ + By = 0. We zoeken met andere woorden alle functies f (x) waarvoor geldt dat f ′′ (x)+Af ′ (x)+Bf (x) = 0. We vragen ons daarom eerst en vooral af voor welke waarden van λ de functie f (x) = eλx een oplossing is van de vergelijking. Het is duidelijk dat voor een dergelijke functie geldt dat f (x) = eλx ,

f ′ (x) = λeλx ,

f ′′ (x) = λ2 eλx .

Bijgevolg kan f (x) slechts een oplossing zijn indien f ′′ (x) + Af ′ (x) + Bf (x) = eλx (λ2 + Aλ + B) = 0. We zien dus dat, in dit geval, λ een oplossing moet zijn van de karakteristieke vergelijking X 2 + AX + B = 0. Om de homogene differentiaalvergelijking y ′′ + Ay ′ + By = 0

Versie 0.2

09 februari 2005

170


op te lossen zullen we daarom eerst de oplossingen berekenen van de karakteristieke vergelijking X 2 + AX + B = 0. Indien de discriminant van de karakteristieke vergelijking strikt positief is, bekomen we twee verschillende reële wortels λ1 en λ2 . In dit geval wordt de algemene oplossing gegeven door yh = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x . Indien de discriminant strikt negatief is, bekomen we twee toegevoegd imaginaire complexe getallen a + bj en a − bj als oplossingen. In dit geval is de algemene oplossing gegeven door yh = C1 e(a+bj)x + C2 e(a−bj)x . Door gebruik te maken van de formule van Euler kunnen we deze algemene oplossing ook schrijven als yh = C1 eax sin bx + C2 eax cos bx. Indien de discriminant gelijk is aan nul heeft de karakteristieke vergelijking slechts één reële oplossing λ. In dit geval wordt de algemene oplossing gegeven door yh = C1 eλx + C2 xeλx . Voorbeeld 14. De homogene differentiaalvergelijking y ′′ + 2y ′ − 3y = 0, heeft als karakteristieke vergelijking X 2 + 2X − 3 = 0. De discriminant van deze vergelijking is gegeven door D = 4 + 4 · 3 = 16 > 0. De reële wortels zijn in dit geval √ √ −2 − 16 −2 + 16 = 1, λ2 = = −3, λ1 = 2 2 en de algemene oplossing is bijgevolg yh = C1 ex + C2 e−3x . Voorbeeld 15. De vergelijking y ′′ − 2y ′ + y = 0, heeft karakteristieke vergelijking X 2 − 2X + 1 = 0. De discriminant van deze vergelijking is D = 4 − 4 = 0, en de vergelijking heeft dus slechts één oplossing λ = 1. De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is bijgevolg yh = C1 ex + C2 xex . Versie 0.2

09 februari 2005


171

Voorbeeld 16. De vergelijking y ′′ + 4y = 0, heeft karakteristieke vergelijking X 2 + 4 = 0, die een strikt negatieve discriminant D = −16 heeft en bijgevolg twee toegevoegd imaginaire oplossingen λ1 = −2j, λ2 = 2j. De algemene oplossing van de vergelijking is bijgevolg yh = C1 sin 2x + C2 cos 2x. Voorbeeld 17. De vergelijking y ′′ − 2y ′ + 5y = 0, heeft als karakteristieke vergelijking X 2 − 2X + 5 = 0. Deze vergelijking heeft discriminant D = 4 − 4 · 5 = −16, en de oplossingen zijn gegeven door λ1 =

2 + 4j = 1 + 2j, 2

λ2 =

2 − 4j = 1 − 2j. 2

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is bijgevolg van de vorm yh = C1 ex sin 2x + C2 ex cos 2x. Bij het berekenen van een particuliere oplossing van de niet-homogene vergelijking y ′′ + Ay ′ + By = f (x) zullen we in deze cursus steeds veronderstellen dat de functie f (x) een speciale vorm heeft, namelijk f (x) = Un (x)eax sin bx + Vm (x)eax cos bx, waarbij Un een veelterm is van graad n en Vm een veelterm van graad m. In dit geval kunnen we gebruik maken van de methode der onbepaalde coëfficiënten. Bij deze techniek wordt een particuliere oplossing gezocht van de vorm yp = P (x)eax sin bx + Q(x)eax cos bx, waarbij P en Q veeltermen zijn waarvan de graad gelijk is aan het maximum van n en m, en waarvan de coëfficiënten onbepaald zijn. Deze coëfficiënten worden tenslotte bepaald door te eisen dat de voorgestelde functie yp een oplossing is van de differentiaalvergelijking, dit wil zeggen dat men de uitdrukking voor yp invult in de differentiaalvergelijking en het bekomen resultaat vergelijkt met de gegeven functie f (x). Men kan dan een stelsel van lineaire vergelijkingen opstellen waarmee de coëfficiënten van de veeltermen P en Q volledig kunnen worden vastgelegd. Versie 0.2

09 februari 2005

172


Voorbeeld 18. De vergelijking y ′′ + y ′ − 2y = 8 sin 2x. Omdat de functie f (x) de vereiste vorm heeft kan men de methode van de onbepaalde coëfficiënten toepassen voor het berekenen van een particuliere oplossing van deze vergelijking. We zullen een oplossing zoeken van de vorm yp = A sin 2x + B cos 2x. Het is dan duidelijk dat

yp′ = 2A cos 2x − 2B sin 2x,

yp′′ = −4A sin 2x − 4B cos 2x, en invullen in de vergelijking geeft −4A sin 2x − 4B cos 2x +2A cos 2x − 2B sin 2x −2A sin 2x − 2B cos 2x = 8 sin 2x. We zien dan dat

(

− 6A − 2B = 8, 2A − 6B = 0.

De oplossing van dit stelsel wordt gegeven door 6 A=− , 5 en bijgevolg is

2 B=− , 5

2 6 yp = − sin 2x − cos 2x. 5 5

Voor bijzondere keuzes van de functie f (x) kan de voorgestelde particuliere oplossing yp van de niet-homogene differentiaalvergelijking y ′′ + Ay ′ + By = f (x) één of meerdere termen bevatten die voorkomen in de algemene oplossing van de homogene vergelijking y ′′ + Ay ′ + By = 0. In dit geval dient het oorspronkelijke voorstel voor de oplossing yp gewijzigd te worden. Men zal in dit geval de functie yp vervangen door de functie xyp (of, indien nodig, door x2 yp ), en deze nieuwe functie gebruiken om een particuliere oplossing voor de differentiaalvergelijking te berekenen.

Versie 0.2

09 februari 2005


173

Voorbeeld 19. Om de differentiaalvergelijking y ′′ − 3y ′ + 2y = ex op te lossen berekent men eerst de algemene oplossing van de homogene vergelijking y ′′ − 3y ′ + 2y = 0. De karakteristieke vergelijking wordt in dit geval gegeven door X 2 − 3X + 2 = 0, die een strikt positieve discriminant D = 9 − 8 = 1 heeft. De oplossingen van de vergelijking zijn dan λ = 1 en λ = 2 en de homogene vergelijking heeft bijgevolg als algemene oplossing yh = C1 ex + C2 e2x . Omdat de functie f (x) = ex de vereiste vorm heeft kunnen we de methode der onbepaalde coëfficiënten toepassen voor het berekenen van een particuliere oplossing yp . We stellen daarom een oplossing voor van de vorm yp = Aex . Omdat deze functie echter een oplossing bevat van de homogene vergelijking, moeten we dit voorstel aanpassen en een oplossing zoeken van de vorm yp = Axex . We zien dan dat yp′ = Aex + Axex ,

yp′′ = 2Aex + Axex ,

waaruit volgt dat A zodanig moet worden gekozen dat 2Aex + Axex − 3Aex − 3Axex + 2Axex = ex . We besluiten dat A = −1, en dus is yp = −xex .

Versie 0.2

09 februari 2005

174

Versie 0.2


09 februari 2005

Hoofdstuk 15

Lapla e-transformatie

1. Definitie Stel dat f (t) een functie is van één variabele, die gedefinieerd is voor alle positieve waarden van t en die stuksgewijs continu is. Dan kunnen we een nieuwe functie F (s) definiëren die met een getal s het getal Z +∞

e−st f (t)dt

F (s) =

0

associeert. Deze nieuwe functie wordt de Laplace-getransformeerde van f (t) genoemd, en we zullen deze functie meestal aanduiden met het symbool L{f (t)}. De functie f (t) waarvoor geldt dat L{f (t)} = F (s) wordt de inverse Laplace-getransformeerde van F (s) genoemd, en wordt daarom vaak aangeduid met het symbool L−1 {F (s)}. Men kan aantonen dat het verband tussen een functie en haar (inverse) Laplace-getransformeerde éénduidig is, dit wil zeggen dat f (t) = g(t)

als en slechts als

L{f (t)} = L{g(t)}.

Anderzijds is het duidelijk dat f (t) =

n X

ki fi (t),

i=1

enkel en alleen indien L{f (t)} = Versie 0.3

n X i=1

175

ki ∈

R,

ki L{fi (t)}. 04 maart 2005

176


Dit laat ons toe de (inverse) Laplace-getransformeerde van een som (of van een lineaire combinatie) van functies te berekenen aan de hand van de (inverse) Laplace-getransformeerden van de afzonderlijke functies.

2. Voorbeelden In deze paragraaf berekenen we de Laplace-getransformeerden van een aantal functies. We leiden ook enkele eigenschappen af die ons toelaten de Laplace-getransformeerde van een functie te berekenen aan de hand van de Laplace-getransformeerden van andere functies. Voorbeeld 1. Beschouwen we eerst de functie f (t) = e−at . Het is dan duidelijk dat −at

L{e

}=

Z

+∞

e−(s+a)t dt = 0

1 . s+a

Indien we a = 0 stellen, bekomen we de functie f (t) = e0 = 1, en bijgevolg is 1 . s

L{1} =

Voorbeeld 2. De Laplace-getransformeerde van de functie f (t) = t wordt gegeven door L{t} =

Z

+∞

te−st dt.

0

Na partiële integratie bekomen we dat 1 1 L{1} = 2 . s s

L{t} =

Voorbeeld 3. Het vorige voorbeeld kan onmiddellijk veralgemeend worden tot het geval f (t) = tn , met n ∈ . Opnieuw volgt uit de definitie dat

N

n

L{t } =

Z

+∞

tn e−st dt,

0

en na partiële integratie bekomen we L{tn } =

n L{tn−1 }. s

Voortzetten van de berekening geeft dan L{tn } =

n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1 n! L{1} = n+1 . n s s

Voorbeeld 4. De formule van Euler leert ons dat sin(αt) = Versie 0.3

eiαt − e−iαt , 2i

cos(αt) =

eiαt + e−iαt . 2 04 maart 2005

Hoofdstuk 15. Laplace-transformatie

177

Bijgevolg zien we dat 1 1 1 α 1 (L{eiαt } − L{e−iαt }) = ( − )= 2 , 2i 2i s − iα s + iα s + α2 1 1 1 1 s L{cos(αt)} = (L{eiαt } + L{e−iαt }) = ( + )= 2 . 2 2 s − iα s + iα s + α2 L{sin(αt)} =

Voorbeeld 5. Stel nu dat f (t) = ϕ′ (t). Dan is L{f (t)} =

Z

+∞

e−st ϕ′ (t)dt. 0

Na partiële integratie vinden we dan L{f (t)} = −ϕ(0) + s

Z

+∞

0

ϕ(t)e−st dt = −ϕ(0) + sL{ϕ(t)}.

Voorbeeld 6. Gebruik makend van vorige formule vinden we dat L{ϕ′′ (t)} = −ϕ′ (0) − sϕ(0) + s2 L{ϕ(t)}. Voorbeeld 7. Beschouwen we nu de functie f (t) = ϕ(t)e−at . Het is dan duidelijk dat L{f (t)} =

Z

0

+∞ −at −st

ϕ(t)e

e

dt =

Z

+∞

ϕ(t)e−(s+a)t dt = F (s + a),

0

waarbij F (s) = L{ϕ(t)}. Deze regel laat ons toe onmiddellijk een aantal nieuwe Laplace-getransformeerden te berekenen. Zo zien we bijvoorbeeld dat α , (s + a)2 + α2 s+a , L{e−at cos(αt)} = (s + a)2 + α2 n! . L{e−at tn } = (s + a)n+1 L{e−at sin(αt)} =

Bij het berekenen van Laplace-getransformeerden wordt meestal gebruik gemaakt van een “woordenboek”. Dit is een lijst die de Laplace-getransformeerden bevat van een aantal basisfuncties. Om de (inverse) Laplace-getransformeerde van een andere functie te berekenen volstaat het deze functie te ontbinden in een aantal componenten waarvan de (inverse) Laplace-getransformeerde uit deze lijst kan worden afgelezen. De volgende tabel geeft een overzicht van de Laplace-getransformeerden van een aantal bekende functies.

Versie 0.3

04 maart 2005

178

Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken f (t) = L−1 {F (s)}

F (s) = L{f (t)}

1

cos(αt)

1 s 1 s+a α s2 +α2 s s2 +α2

tn

n! sn+1

ϕ′ (t)

−ϕ(0) + sL{ϕ(t)}

e−at sin(αt)

−ϕ′ (0) − sϕ(0) + s2 L{ϕ(t)}

ϕ′′ (t) e−at ϕ(t)

L{ϕ(t)}(s + a) n! (s+a)n+1

tn e−at e−at sin(αt)

α (s+a)2 +α2

e−at cos(αt)

s+a (s+a)2 +α2

tn ϕ(t)

d (−1)n ds n (L{ϕ(t)})

t sin(αt)

2αs (s2 +α2 )2

t cos(αt)

s2 −α2 (s2 +α2 )2

n

De volgende voorbeelden geven aan hoe we het hierboven samengestelde “woordenboek” kunnen gebruiken voor het berekenen van de Laplace-getransformeerden en de inverse Laplacegetransformeerden van gegeven functies. Voorbeeld 8. Om de Laplace-getransformeerde van de functie f (t) = sin(αt) − αt cos(αt) te berekenen merken we op dat L{f (t)} = L{sin(αt)} − αL{t cos(αt)} =

α s2 − α2 2α3 − α = . s2 + α2 (s2 + α2 )2 (s2 + α2 )2

Voorbeeld 9. Stel dat we de inverse Laplace-getransformeerde moeten berekenen van de functie 4 . F (s) = s(s + 4) Splitsen in partieelbreuken levert ons dat F (s) = en bijgevolg is

Versie 0.3

1 1 − , s s+4

1 1 } = 1 − e−4t . L−1 {F (s)} = L−1 { } − L−1 { s s+4 04 maart 2005

Hoofdstuk 15. Laplace-transformatie

179

Voorbeeld 10. Om de inverse Laplace-getransformeerde van de functie F (s) =

s+4 s(s2 + 4)

te berekenen splitsen we deze functie opnieuw in partieelbreuken. We vinden dat F (s) =

s−1 1 − 2 , s s +4

en bijgevolg is 1 s 1 2 1 L−1 {F (s)} = L−1 { } − L−1 { 2 } + L−1 { 2 } = 1 − cos(2t) + sin(2t). s s +4 2 s +4 2 Voorbeeld 11. Beschouw de functie F (s) =

s+5 s+1 4 s+5 = = + . s2 + 2s + 5 (s + 1)2 + 4 (s + 1)2 + 4 (s + 1)2 + 4

Het is duidelijk dat L−1 {F (s)} = L−1 {

2 s+1 } + 2L−1 { } = e−t cos 2t + 2e−t sin 2t. 2 (s + 1) + 4 (s + 1)2 + 4

3. Laplace-getransformeerden en differentiaalvergelijkingen Laplace-transformaties worden dikwijls gebruikt bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen. Meestal veronderstelt men hierbij dat bepaalde beginvoorwaarden gegeven zijn. Door over te gaan naar de Laplace-getransformeerden wordt de differentiaalvergelijking herleid tot een gewone vergelijking (zonder afgeleiden) waaruit eenvoudig de Laplace-getransformeerde van de gezochte oplossing kan worden berekend. Door de inverse Laplace-getransformeerde van deze functie te berekenen vinden we tenslotte de gezochte oplossing van onze differentiaalvergelijking. Volgende voorbeelden schetsen deze techniek. Voorbeeld 12. Beschouwen we de differentiaalvergelijking (met gegeven beginvoorwaarde) x′ + x = 0,

x(0) = 1.

Als we de Laplace-transformatie toepassen op beide leden van deze vergelijking bekomen we L{x′ } + L{x} = L{0}, en uit de hierboven afgeleide formules zien we dat bijgevolg −x(0) + sL{x} + L{x} = 0. Samen met de gegeven beginvoorwaarde levert dit (s + 1)L{x} = 1, Versie 0.3

04 maart 2005

180


waaruit we afleiden dat L{x} = We vinden bijgevolg dat x = L−1 {

1 . s+1

1 } = e−t . s+1

Voorbeeld 13. Om de differentiaalvergelijking (met gegeven beginvoorwaarde) x′ + x = 1,

x(0) = 0,

op te lossen passen we de Laplace-transformatie toe op beide leden van de vergelijking. We bekomen dan L{x′ } + L{x} = L{1}, en rekening houdend met de gegeven beginvoorwaarde levert dit (s + 1)L{x} = waaruit we afleiden dat L{x} =

1 , s

1 1 1 = − . s(s + 1) s s+1

We vinden bijgevolg dat 1 1 x = L−1 { } − L−1 { } = 1 − e−t . s s+1 Voorbeeld 14. Beschouwen we de differentiaalvergelijking en beginvoorwaarden x′′ + 4x = cos t,

x(0) = 0,

x′ (0) = 1.

Toepassen van de Laplace-transformatie op beide leden van deze gelijkheid levert ons L{x′′ } + 4L{x} = L{cos t}, en als we gebruik maken van de gekende eigenschappen van de Laplace-getransformeerde vinden we dat s −x′ (0) + sx(0) + s2 L{x} + 4L{x} = 2 . s +1 Uit de gegeven beginvoorwaarden volgt dan dat (s2 + 4)L{x} =

s2

s + 1, +1

en bijgevolg is L{x} =

(s2

s 1 1 s 1 s 1 2 + 2 = − + . 2 2 2 + 1)(s + 4) s + 4 3 s + 1 3 s + 4 2 s2 + 4

Gebruik maken van het woordenboek levert ons dan dat x = L−1 { Versie 0.3

1 s 1 2 1 1 1 1 s } − L−1 { 2 } + L−1 { 2 } = cos t − cos(2t) + sin(2t). 2 3s +1 3s +4 2s +4 3 3 2 04 maart 2005

Hoofdstuk 16

Fourierreeksen

Een trigonometrische reeks is een uitdrukking van de vorm a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + a3 cos 3x + . . . + b1 sin x + b2 sin 2x + b3 sin 3x + . . . , waarbij a0 , a1 , b1 , . . . willekeurige reële getallen zijn die we de coëfficiënten van de trigonometrische reeks noemen. We schrijven deze trigonometrische reeksen meestal in de meer compacte vorm a0 +

+∞ X

(an cos nx + bn sin nx).

n=1

We zeggen dat de reeks convergeert indien voor iedere x ∈ f (x) = lim (a0 + k→+∞

k X

R de waarde

(an cos nx + bn sin nx))

n=1

bestaat. In dit geval definieert de trigonometrische reeks een reële functie f (x) die periodisch is met periode 2π, dit wil zeggen dat f (x + 2π) = f (x)

R

voor alle x ∈ . (Een dergelijke functie is, met andere woorden, volledig gekend indien we haar gedrag kennen in het interval [−π, π] of in een willekeurig ander interval met lengte 2π, zoals [0, 2π].) Versie 0.1

181

09 februari 2005

182


Beschouwen we nu een periodische functie f (x) (met periode 2π), dan kunnen we ons afvragen of, omgekeerd, deze functie kan geschreven worden als een trigonometrische reeks, dit wil zeggen dat we coëfficiënten a0 , a1 , b1 , . . . moeten zoeken waarvoor geldt dat +∞ X

f (x) = a0 + voor alle x ∈

(an cos nx + bn sin nx),

n=1

R.

Stel dat een dergelijke reeks bestaat. Dan is het duidelijk dat Z

+π

Z

f (x)dx =

−π

+π

(a0 +

−π

= a0

Z

+π

+∞ X

(an n=1 +∞ X

dx +

−π

cos nx + bn sin nx))dx

(an

waaruit volgt dat 1 a0 = 2π

cos nxdx + bn

−π

n=1

= 2πa0 ,

+π

Z

Z

Z

+π

sin nxdx) −π

+π

f (x)dx. −π

Om de andere coëfficiënten van de trigonometrische reeks te berekenen merken we eerst op dat, voor elk (strikt positief) natuurlijk getal n, geldt dat Z +π cos2 nxdx = π, Z

Z

−π +π

sin2 nxdx = π, −π +π

sin nx cos nxdx = 0, −π

terwijl anderzijds voor elk paar verschillende natuurlijke getallen n en k geldt dat Z +π cos kx cos nxdx = 0, −π +π

Z

sin kx cos nxdx = 0,

−π Z +π

sin kx sin nxdx = 0.

−π

Bijgevolg geldt voor k = 1, 2, . . . dat Z

+π

f (x) cos kxdx = −π

Z

+π

(a0 +

−π

= a0

(an cos nx + bn sin nx)) cos kxdx

n=1

Z

+π

−π

= πak , Versie 0.1

+∞ X

cos kxdx +

+∞ X

n=1

(an

Z

+π

cos nx cos kxdx + bn −π

Z

+π

sin nx cos kxdx) −π

09 februari 2005

Hoofdstuk 16. Fourierreeksen

183

terwijl anderzijds Z

+π

f (x) sin kxdx = −π

Z

+π

(a0 +

−π

= a0

+∞ X

(an cos nx + bn sin nx)) sin kxdx

n=1 +π

Z

sin kxdx +

−π

+∞ X

n=1

= πbk ,

(an

Z

+π

cos nx sin kxdx + bn

Z

+π

sin nx sin kxdx)

−π

−π

en we besluiten dat 1 ak = π

Z

+π

f (x) cos kxdx,

−π

1 bk = π

Z

+π

f (x) sin kxdx.

−π

De hierboven geconstrueerde coëfficiënten a0 , a1 , b1 , . . . worden de Fourier-coëfficiënten van de functie f (x) genoemd, en de trigonometrische reeks a0 +

+∞ X


n=1

die met deze coëfficiënten geschreven wordt, noemt men de Fourierreeks van de functie f (x). Stellen we nu dat de functie f (x) begrensd is en bovendien stuksgewijs monotoon, dit wil zeggen dat het interval [−π, +π] kan opgesplitst worden in een eindig aantal intervallen waarin de functie ofwel stijgend ofwel dalend is (dus dat ze niet oneindig veel schommelingen vertoont). Dan kan men aantonen dat de Fourierreeks van de functie f (x) convergeert, en dat de waarde van de Fourierreeks samenvalt met de waarde van f (x) in de punten waar de functie continu is, dit wil zeggen dat de partiële sommen Sk (x) = a0 +

k X


n=1

het getal f (x) steeds dichter zullen benaderen. In de punten waar de functie een sprong vertoont, wordt de waarde van de Fourierreeks gegeven door het gemiddelde van de linkeren de rechterlimiet van de functie. In wat voorafgaat hebben we verondersteld dat de functie gekend is op het interval [−π, +π], en we hebben bij de berekening van de Fourier-coëfficiënten telkens ge¨ıntegreerd over dit interval. Soms is de functie f (x) echter eenvoudiger te beschrijven op een ander interval met lengte 2π, zoals [0, 2π]. In dit geval kunnen we, bij de berekening van de Fourierreeks van de functie, de grenzen van de integralen aanpassen aan de beschrijving van de functie. Het eindresultaat zal hierdoor niet be¨ınvloed worden. Een functie f (x) wordt een even functie genoemd indien f (−x) = f (x) voor alle waarden van x ∈ . De functie wordt oneven genoemd indien f (−x) = −f (x) voor alle mogelijke waarden van x ∈ . Men kan makkelijk aantonen dat de Fourierreeks van een even functie enkel constanten en cosinussen bevat, dit wil zeggen dat bn = 0 voor alle n ∈ 0 . Anderzijds geldt voor oneven functies dat hun Fourierreeks enkel sinussen bevat, dit wil zeggen dat an = 0 voor alle n ∈ .

R

R

N

Versie 0.1

N

09 februari 2005

184


Voorbeeld 1. Beschouwen we de periodische functie f (x) =

(

1,

x ∈ [0, π],

0,

x ∈] − π, 0[,

die een bloksignaal voorstelt. Het is dan duidelijk dat Z +π Z +π 1 1 1 f (x)dx = dx = , a0 = 2π −π 2π 0 2 π Z +π Z π 1 1 sin nx 1 f (x) cos nxdx = cos nxdx = = 0, an = π −π π 0 π n 0 Z Z 1 π 1 cos nx π 1 1 +π f (x) sin nxdx = sin nxdx = − bn = = − ((−1)n − 1). π −π π 0 π n 0 nπ

We zien dus dat, voor oneven waarden van n, bn = dat bn = 0. We besluiten dat f (x) =

2 nπ ,

terwijl voor even waarden van n geldt

2 2 2 1 + sin x + sin 3x + sin 5x + . . . . 2 π 3π 5π

Deze gelijkheid geldt overal behalve in de punten waar de functie discontinu is, dus x = kπ. In deze punten neemt de Fourierreeks de waarde 12 aan.

1 0.8 0.6 0.4 0.2 –6

–4

–2

0

2 x 4

6

Figuur 72. De blokfunctie en partiële sommen van de Fourierreeks.

Versie 0.1

09 februari 2005

Hoofdstuk 16. Fourierreeksen

185

Voorbeeld 2. De periodische functie f (x) = x, −π ≤ x < +π stelt een zaagtandfunctie voor. De Fourier-coëfficiënten van deze (oneven) functie worden gegeven door 1 a0 = 2π =

1 2π

Z

+π

f (x)dx

−π Z +π

xdx

−π

+π 1 x2 = 2π 2 −π

= 0, 1 an = π bn =

1 π

+π

Z

x cos nxdx = 0,

−π Z +π −π

2 x sin nxdx = (−1)n+1 . n

De Fourierreeks van de functie wordt bijgevolg gegeven door f (x) = 2 sin x − sin 2x +

2 sin 3x + . . . . 3

Deze gelijkheid is overal geldig behalve in de punten waar f (x) discontinu is, x = π +2kπ, k ∈ , waar de Fourierreeks de waarde 0 aanneemt.

Z

3 2 1 –6

–4

–2

0

2 x 4

6

–1 –2 –3

Figuur 73. De zaagtandfunctie en partiële sommen van de Fourierreeks.

Versie 1.2

14 maart 2007

186

Versie 1.2


14 maart 2007

Hoofdstuk 17

Bes hrijvende statistiek

1. Inleiding De statistiek is de tak van de wiskunde die zich in de eerste plaats bezig houdt met de technieken voor het verzamelen, ordenen, voorstellen, analyseren en interpreteren van gegevens, die bijvoorbeeld verzameld worden bij een wetenschappelijk experiment. In een latere fase levert de statistiek ons ook een aantal technieken om, vertrekkend van deze analyse, “verantwoorde” conclusies te kunnen trekken.

2. Terminologie Bij het uitvoeren van een wetenschappelijk experiment zal de onderzoeker zeer nauwkeurig moeten omschrijven op welke verzameling van individuen of objecten zijn onderzoek van toepassing is. Deze verzameling van individuen waarin we bij ons onderzoek ge¨ınteresseerd zijn noemen we de populatie of het universum. Dit universum kan eindig of oneindig groot zijn, het aantal elementen in de populatie zullen we in wat volgt aanduiden met N . We interesseren ons bij statistisch onderzoek voor één bepaald kenmerk van de elementen van onze populatie. Omdat de precieze waarde van dit kenmerk voor een bepaald individu in de populatie niet exact te voorspellen is, kunnen we stellen dat dit resultaat van het toeval afhangt. We zullen het kenmerk daarom beschrijven aan de hand van een toevalsvariabele of stochastische variabele. Deze veranderlijke zullen we in het vervolg vaak aanduiden met X. Het kenmerk dat we bij een wetenschappelijk onderzoek vastleggen kan kwantitatief of kwalitatief zijn. We noemen een kenmerk kwantitatief wanneer het resultaat op een natuurlijke wijze kan vastgelegd worden als een getal. Is dit niet het geval, en is het beschouwde resultaat dus Versie 1.2

187

14 maart 2007

188


eerder een niet-numeriek kenmerk van de elementen uit de populatie, dan spreken we van een kwalitatief kenmerk. We kunnen deze kwalitatieve kenmerken enkel schrijven als getallen door gebruik te maken van een codetabel. Voorbeeld 1. De lievelingskleur, geslacht en politieke voorkeur van een individu zijn kwalitatieve kenmerken. Voorbeeld 2. De leeftijd of het gewicht van een persoon, of de levensduur van een gloeilamp, zijn kwantitatieve kenmerken van de elementen uit een gegeven populatie. Verder kan het kenmerk dat we in ons onderzoek beschouwen discreet of continu zijn. Als de stochastische variabele slechts een beperkt aantal waarden kan aannemen (een eindig of aftelbaar oneindig aantal mogelijke waarden) zeggen we dat de stochastische variabele (of het kenmerk) discreet is. Wanneer de variabele daarentegen alle mogelijke (reële) waarden kan aannemen tussen bepaalde grenzen, dan noemen we het beschouwde kenmerk of de stochastische variabele continu. We kunnen ruwweg stellen dat we een discreet kenmerk bekomen wanneer we tellen, terwijl we een continu kenmerk bekomen wanneer we meten. Voorbeeld 3. Het aantal kinderen van een gezin is een discreet (eindig veel mogelijkheden) kenmerk. Ook het aantal worpen dat men met een dobbelsteen moet doen om een zes te bekomen is een discreet (aftelbaar oneindig veel mogelijkheden) kenmerk. Voorbeeld 4. De inhoud van een fles frisdrank, het gewicht van een persoon en de diameter van een metalen bol zijn continue kenmerk omdat in principe alle mogelijke reële waarden tussen twee grenzen kunnen worden bekomen (alhoewel dit, wegens de eindige precisie van de meettoestellen, niet kan worden vastgesteld). Indien we bij ons experiment de waarde van het kenmerk X bestuderen voor elk individu in onze populatie, spreken we van een integraal onderzoek. In de praktijk is het echter meestal onmogelijk alle elementen uit een populatie te betrekken in een wetenschappelijk onderzoek. Als de populatie zeer groot is, is het bijvoorbeeld praktisch onmogelijk om voor alle elementen uit de populatie het bestudeerde kenmerk op te meten. Als het onderzoek destructief (of zeer duur) is, is het ook niet zinvol (of door financiële beperkingen onmogelijk) alle elementen van de populatie te onderwerpen aan een meting. Daarom zal men zich in vele gevallen beperken tot het nemen van een steekproef uit de populatie, dit wil zeggen dat men een beperkt aantal elementen uit de populatie aan het onderzoek onderwerpt. Het aantal elementen dat men selecteert in de steekproef noemt men de steekproefgrootte, en we zullen dit aantal in wat volgt aanduiden met n. Het uitvoeren van een onderzoek op een steekproef of in een ganse populatie geeft aanleiding tot een (meestal grote) hoeveelheid gegevens over de kenmerken van de individuen uit de steekproef. In de beschrijvende statistiek of deductieve statistiek worden een aantal methodes verzameld die kunnen worden aangewend om deze steekproefgegevens te bewerken, voor te stellen, samen te vatten en te analyseren, zonder daarbij conclusies te trekken over het grotere geheel van de populatie. Als onze steekproef echter goed gekozen wordt, kunnen we verwachten dat de resultaten van de steekproef een redelijk precies beeld geven van de kenmerken van de gehele populatie. We spreken in dit verband van een representatieve steekproef. In de verklarende statistiek of inductieve statistiek (soms ook statistische inferentie of statistische beslissingstheorie genoemd), Versie 1.2

14 maart 2007

Hoofdstuk 17. Beschrijvende statistiek

189

gaat men na hoe men er voor kan zorgen dat een steekproef representatief is, en hoe men uit een steekproef bepaalde conclusies kan trekken over een populatie, welke de risico’s zijn die hieraan verbonden zijn en hoe men deze risico’s onder controle kan houden. Het is immers duidelijk dat, zelfs voor goed gekozen steekproeven, er een zeker risico bestaat dat de steekproef een vervormd of onjuist beeld geeft van de populatie, en dat we ons dus vergissen bij het trekken van conclusies uit de steekproefresultaten. In de praktijk zal men in de statistische beslissingstheorie vaak gebruik maken van voldoende grote aselecte steekproeven. Dit zijn steekproeven waarbij men elk individu op toevallige basis selecteert (en waarbij dus ieder element uit de populatie evenveel kans heeft om tot de steekproef te behoren). Hoewel een dergelijke steekproef geen garantie biedt voor representativiteit, kunnen de risico’s die hiermee verbonden zijn bepaald worden door gebruik te maken van de kansrekening, een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de analyse van waarschijnlijkheden van bepaalde gebeurtenissen.

3. Ruwe gegevens en meetschalen Bij het uitvoeren van een onderzoek naar een bepaald kenmerk in een populatie of in een steekproef, beginnen we met het vastleggen van de waarde van het gezochte kenmerk in elk individu dat we bestuderen. Hierbij zullen we steeds gebruik maken van een “meetschaal”, die ons toelaat aan elk waargenomen resultaat een (numerieke) waarde te associëren. Een nominale schaal is het eenvoudigste soort meetschaal. Deze meetschaal laat ons enkel toe de verschillen tussen de meetresultaten aan te geven. Voorbeeld 5. De lievelingskleur van een persoon, of de politieke partij waarvoor een persoon heeft gestemd, worden gemeten met een nominale meetschaal. De ordinale schaal laat ons toe verschillen tussen de resultaten vast te stellen, en de verschillende resultaten te rangschikken. Door het ontbreken van een meeteenheid is het bij deze meetschaal echter onmogelijk om verschillen te vergelijken. Voorbeeld 6. Bij het vastleggen van de kwaliteit van een restaurant of hotel gebruikt men een aanduiding met een aantal sterren. Hierbij wordt de kwaliteit gemeten met een ordinale meetschaal. De Beaufort-schaal voor het aanduiden van windsnelheden is eveneens een voorbeeld van een ordinale schaal. De intervalschaal biedt ons de mogelijkheid verschillen vast te stellen, twee resultaten te vergelijken, en met behulp van een meeteenheid deze verschillen te kwantificeren. Voorbeeld 7. Het geboortejaar van een persoon, of de temperatuur van een vloeistof, uitgedrukt in graden Celsius, zijn voorbeelden van kenmerken die ten opzichte van een intervalschaal worden gemeten. De ratioschaal is een intervalschaal die ook is uitgerust met een absoluut nulpunt. Dit maakt het mogelijk niet om op een zinvolle manier veelvouden van een kenmerk te bepalen. Voorbeeld 8. Het aantal kinderen in een gezin, of de temperatuur van een vloeistof in Kelvin, worden gemeten ten opzichte van een ratioschaal.

Versie 1.2

14 maart 2007

190


In wat volgt zullen we een aantal technieken van beschrijvende statistiek behandelen die kunnen worden gebruikt voor voorstellen en analyseren van het ongeordende cijfermateriaal (de ruwe gegevens) dat bij het onderzoek wordt verzameld.

4. Ordenen van de gegevens Een zeer eenvoudige techniek voor het overzichtelijk voorstellen van ruwe gegevens bestaat uit het ordenen van deze gegevens in een bepaalde volgorde (wanneer we een ordinale schaal gebruiken) of het bij elkaar schrijven van de gelijke resultaten (voor een nominale schaal). Voorbeeld 9. (Experiment 1) We nemen een steekproef van 48 gezinnen, waarbij we als (discreet) kenmerk het aantal kinderen in dat gezin registreren. De resultaten worden gegeven in de volgende lijst 1, 3, 0, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 0, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 4, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 0, 3, 0, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 1. In stijgende volgorde rangschikken van deze gegevens levert ons de volgende lijst 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4. Voorbeeld 10. (Experiment 2) We nemen een steekproef van 50 personen en meten hun lengte (dus een continu kenmerk). De resultaten worden gegeven door 186.2, 184.9, 194.1, 177.5, 177.9, 189.0, 160.6, 194.3, 182.3, 167.8, 168.7, 161.5, 177.1, 176.0, 182.7, 178.2, 189.9, 203.1, 190.1, 184.6, 180.3, 184.9, 153.6, 186.9, 187.8, 172.5, 193.1, 170.6, 163.7, 174.1, 183.9, 193.8, 160.3, 156.3, 165.0, 176.3, 184.9, 180.0, 181.7, 177.7, 196.5, 172.0, 189.3, 166.0, 185.6, 192.7, 184.4, 190.2, 183.4, 169.1. In stijgende volgorde gerangschikt levert dit de volgende lijst 153.6, 156.3, 160.3, 160.6, 161.5, 163.7, 165.0, 166.0, 167.8, 168.7, 169.1, 170.6, 172.0, 172.5, 174.1, 176.0, 176.3, 177.1, 177.5, 177.7, 177.9, 178.2, 180.0, 180.3, 181.7, 182.3, 182.7, 183.4, 183.9, 184.4, 184.6, 184.9, 184.9, 184.9, 185.6, 186.2, 186.9, 187.8, 189.0, 189.3, 189.9, 190.1, 190.2, 192.7, 193.1, 193.8, 194.1, 194.3, 196.5, 203.1.

Versie 1.2

14 maart 2007


191

5. Frequentietabellen Een eerste bewerking die we kunnen toepassen om de ruwe gegevens overzichtelijker te maken is het opstellen van een frequentietabel. Beschouwen we de resultaten van een steekproef waarin een discreet kenmerk wordt onderzocht, en waarbij er dus slechts een beperkt aantal mogelijke resultaten X1 , X2 , . . . , Xn voorkomen. (We veronderstellen hierbij dat deze uitkomsten gerangschikt zijn van klein naar groot, dus dat Xi < Xi+1 voor alle waarden van i.) De (absolute) frequentie van een resultaat Xi is het aantal keer dat Xi voorkomt tussen de ruwe gegevens. Het is dan duidelijk dat de som van alle absolute frequenties gelijk moet zijn aan de steekproefgrootte n. De cumulatieve (absolute) frequentie die overeenkomt met een resultaat Xi is het totaal aantal uitkomsten dat kleiner is dan of gelijk aan Xi , dus de som van alle absolute frequenties van de elementen X1 , . . . , Xi . De relatieve frequentie, respectievelijk cumulatieve relatieve frequentie van een resultaat Xi wordt gedefinieerd als het quotiënt van de absolute frequentie, respectievelijk cumulatieve absolute frequentie, van dit resultaat Xi en het aantal elementen in de steekproef. Deze breuken worden vaak uitgedrukt als percentages. Verder moet de som van alle relatieve frequenties gelijk zijn aan 1. De frequentietabel voor de meetgegevens geeft een samenvatting van één of meerdere van deze frequenties. Voorbeeld 11. De volgende frequentietabel geeft een overzicht van de absolute, relatieve en cumulatieve frequenties van de meetgegevens uit Experiment 1. x

Abs. freq.

Rel. freq.

Cumul. abs. freq.

Cumul. rel. freq.

0 1 2 3 4 Tot.

4 15 15 11 3 48

8.3% 31.3% 31.3% 22.9% 6.3% 100%

4 19 34 45 48

8.3% 39.6% 70.8% 93.8% 100%

6. Groeperen van gegevens Voor continue kenmerken of discrete kenmerken met een groot aantal mogelijke resultaten is het vaak onmogelijk, zeer moeilijk of onnodig om alle gegevens exact weer te geven. Zo laat de beperkte nauwkeurigheid van een meetinstrument ons niet toe een lengte of gewicht exact te bepalen. Wanneer we een onderzoek doen naar de lonen van werknemers, is het niet nuttig bij ons onderzoek een onderscheid te maken tussen lonen die slechts enkele euro’s in waarde verschillen. Behandeling van de exacte waarden bemoeilijkt in dit geval zelfs het overzichtelijk voorstellen van de gegevens, omdat we een frequentietabel bekomen met een groot aantal gegevens. Daarom zal men in de praktijk voor dergelijke kenmerken het totale gebied waarin de resultaten van de steekproef zich bevinden vaak opdelen in een aantal intervallen, die we klassen noemen. We zullen de exacte waarde van de bekomen resultaten in dat geval vervangen door een aanduiding van de klasse waartoe de waarde behoort. Versie 1.2

14 maart 2007

192


Bij het afronden van gemeten waarden past men een soortgelijke techniek toe: de exacte waarde (bijvoorbeeld π = 3, 1415 . . .) wordt vervangen door de afgeronde waarde (3, 14), die een aanduiding is van de klasse waartoe de exacte waarde behoort (alle waarden tussen 3, 135 en 3, 145). Om een overzichtelijke geheel te bekomen, zal men in de praktijk het aantal klassen kiezen tussen 5 en 20. Vaak wordt hierbij gesteld dat het aantal klassen best overeenkomt met √ n. Het klassemidden wordt gedefinieerd als het midden van het interval, de lengte van het interval wordt de klassebreedte genoemd. In de praktijk zal men vaak kiezen voor klassen van gelijke breedte, maar dit is geen absolute vereiste. De eindpunten van het interval worden de klassegrenzen genoemd. Om praktische problemen te vermijden zal er ook vaak voor zorgen dat geen waargenomen waarden samenvallen met de klassegrenzen. Indien dit niet mogelijk is, dient men ook aan te geven tot welke klasse elk van de grenswaarden behoort. Vaak stelt men dan dat een waarde gelijk aan de ondergrens tot de klasse behoort, terwijl een waarde gelijk aan de bovengrens tot de volgende klasse behoort. De klasse met grenzen a en b komt dan overeen met het interval [a, b[ Voorbeeld 12. Stel dat we een onderzoek doen, waarbij we het netto maandloon van 250 werknemers bepalen, en dat de kleinste en grootste gevonden waarden gelijk zijn aan 915 en √ 2380 euro. We kunnen het gebied tussen 900 en 2400 euro (lengte 1500) dan opdelen in 250 ∼ 15 klassen van gelijke lengte. De klassebreedte van elke klasse is in dit geval gelijk aan 100. Een maandloon van 1357 euro behoort in dat geval tot de klasse [1300, 1400[, waarvan het klassemidden gelijk is aan 1350 euro. Men berekent de absolute frequentie van een klasse als het aantal meetresultaten dat behoort tot die klasse. De cumulatieve absolute frequentie van de klasse is het aantal meetgegevens dat kleiner is dan of gelijk aan de klassebovengrens, dit wil zeggen de som van de frequenties van de klasse en al de klassen die eraan voorafgaan. Het dient opgemerkt dat bij deze methode informatie in verband met de gegevens verloren gaat. Hiertegenover staat dat men de informatie wel overzichtelijk kan houden. Het komt er bij de keuze van de klassen vaak op aan de gulden middenweg te vinden tussen overzichtelijkheid en precisie van de informatie. Voorbeeld 13. De gegevens uit het Experiment 2 bevinden zich tussen 150.0 en 205.0. Als we dit gebied verdelen in 11 intervallen van lengte 5, bekomen we volgende frequentietabel.

Versie 1.2

14 maart 2007


193

Klasse

Abs. freq.

Cumul. abs. freq.

[150, 155[ [155, 160[ [160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ [175, 180[ [180, 185[ [185, 190[ [190, 195[ [195, 200[ [200, 205[ Totaal

1 1 4 5 4 7 12 7 7 1 1 50

1 2 6 11 15 22 34 41 48 49 50

7. Grafische voorstelling Nadat we een frequentietabel hebben opgesteld, kunnen we trachten de informatie die hierin bevat is grafisch voor te stellen. Voor absolute en relatieve frequenties van discrete kenmerken wordt vaak gebruik gemaakt van een naalddiagram of staafdiagram. Hierbij worden op de horizontale as alle mogelijke resultaten aangegeven. Voor elk mogelijk resultaat Xi wordt dan een lijnstuk (of een smalle rechthoek) getekend waarvan de hoogte overeenkomt met de (absolute of relatieve) frequentie van dit resultaat. Voor de grafische voorstelling van cumulatieve frequenties wordt een trapdiagram gebruikt. Voorbeeld 14. De gegevens uit Experiment 1 kunnen voorgesteld worden als volgt.

40 30 20 10

0

Versie 1.2

1

2

3

4

–1 0

1

2

3 x

4

5

6

Figuur 74. Staafdiagram en trapdiagram voor Experiment 1.

14 maart 2007

194


Voor continue kenmerken en gegroepeerde gegevens maakt men vaak gebruik van het histogram. Deze grafische voorstelling bestaat uit een aantal aan elkaar grenzende rechthoeken, waarvan de basis overeenkomt met de beschouwde klasse, en waarvan de oppervlakte de (absolute of relatieve) frequentie van de klasse voorstelt. Men kan in dit geval het midden van de bovenzijde van elke rechthoek (dit is het punt dat overeenkomt met het klassemidden en waarvan de hoogte bepaald wordt door de klassefrequentie) bepalen. De veelhoek die men bekomt door al deze punten te verbinden wordt de frequentiepolygoon genoemd. Men voegt bij de constructie van de frequentiepolygoon vaak ook een lege klasse (met dezelfde breedte) toe vóór de eerste en na de laatste klasse uit de tabel. Hierdoor begint en eindigt de frequentiepolygoon op de horizontale as. Om de cumulatieve (absolute of relatieve) frequenties van gegroepeerde gegevens voor te stellen maakt men gebruik van een ogief. Hiervoor wordt, voor de bovengrens van elke klasse, een punt getekend waarvan de hoogte overeenkomt met de cumulatieve frequentie van deze klasse, en worden de zo bekomen punten verbonden door lijnstukken. Voorbeeld 15. De gegevens van Experiment 2 kunnen grafisch voorgesteld worden als volgt.

2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

150

160

170

180

190

200

210

Figuur 75. Histogram en frequentiepolygoon voor de gegevens uit Experiment 2.

Versie 1.2

14 maart 2007


195

50

40

30

20

10

0

160

170

180

190

200

Figuur 76. Ogief voor de gegevens uit Experiment 2.

8. Kengetallen : centrummaten en spreidingsmaten We zullen zien hoe we aan de ruwe gegevens die bij een statistisch onderzoek worden bekomen een aantal getallen kunnen associëren die ons toelaten na te gaan rond welke waarde de resultaten van de steekproef verdeeld zijn (centrummaten), en hoe ver de resultaten uit elkaar liggen (spreidingsmaten). Deze getallen zullen ons ook toelaten de resultaten van verschillende steekproeven met elkaar te vergelijken. Het (rekenkundig) gemiddelde van een reeks gegevens X1 , X2 , . . . , Xn wordt gedefinieerd als de som van alle gegevens, gedeeld door het aantal gegevens ¯ = X

Pn

i=1

n

Xi

.

Als fi , i = 1, . . . , m de absolute frequentie is van het resultaat Xi wordt dit ¯ = X

Pm fX i=1 P i i. fi

Indien de resultaten gegroepeerd werden, wordt bij de berekening van het gemiddelde aangenomen dat alle elementen uit een bepaalde klasse samenvallen met het klassemidden. Voorbeeld 16. Het gemiddelde van de gegevens uit Experiment 1 is ¯ = 4 · 0 + 15 · 1 + 15 · 2 + 11 · 3 + 3 · 4 = 1.875. X 48

Versie 1.2

14 maart 2007

196


Voorbeeld 17. De gemiddelde lengte van de personen uit Experiment 2 wordt gegeven door 50

1 X Xi = 179.662. 50 i=1 Als we de gegroepeerde gegevens beschouwen vinden we dat ¯ = 1 (1 · 152.5 + 1 · 157.5 + 4 · 162.5 + 5 · 167.5 X 50 + 4 · 172.5 + 7 · 177.5 + 12 · 182.5 + 7 · 187.5 + 7 · 192.5 + 1 · 197.5 + 1 · 202.5) = 179.6. De modus M0 van een reeks gegevens is het resultaat (of de resultaten) met de hoogste frequentie. Voor gegroepeerde gegevens wordt de modale klasse gedefinieerd als de klasse met de hoogste frequentie. We bepalen in dit geval de modus door gebruik te maken van interpolatie. Als L1 de ondergrens is van de modale klasse, ∆ de breedte van deze klasse en ∆1 (respectievelijk ∆2 ) het verschil tussen de frequentie van de modale klasse en de vorige (respectievelijk volgende) klasse, dan wordt de modus gedefinieerd als M 0 = L1 + ∆

∆1 ∆1 + ∆2

.

Modale klasse Classe modale

Modus Mode

Figuur 77. De constructie van de modus in het histogram.

Versie 1.2

14 maart 2007


197

Voorbeeld 18. De modus van de gegevens uit Experiment 1 wordt gegeven door de resultaten 1 en 2, die elk 15 keer voorkomen. Voorbeeld 19. Voor de gegroepeerde gegevens uit Experiment 2 zien we dat de modale klasse gegeven wordt door [180, 185[. Bijgevolg is L1 = 180,

∆ = 5,

en de modus is dus M0 = 180 + 5 ·

∆1 = ∆2 = 5,

5 = 182.5. 5+5

De mediaan Me is een waarde waarvoor 50% van de bekomen resultaten kleiner zijn dan of gelijk aan deze waarde. Indien we een oneven aantal waarnemingen hebben is dit het middelste resultaat uit de geordende lijst van resultaten, bij een even aantal waarnemingen is dit het midden tussen de twee middelste waarnemingen. Voor gegroepeerde resultaten wordt de mediaanklasse gedefinieerd als de klasse die het middelste element uit de lijst waarnemingen bevat. Voor het bepalen van de mediaan wordt dan opnieuw een interpolatie toegepast. Als L1 de ondergrens is van de mediaanklasse, ∆ de breedte van de mediaanklasse en n de grootte van de steekproef, dan wordt de mediaan gedefinieerd als P n − ( f) 2 M e = L1 + ∆ , fm P waarbij f de som van de frequenties van alle voorgaande klassen aanduidt en fm de frequentie van de mediaanklasse is. Voorbeeld 20. De middelste elementen uit de lijst van resultaten van Experiment 1 zijn beide 2, en de mediaan wordt bijgevolg 2. Voorbeeld 21. De middelste elementen uit de gegevens van Experiment 2 zijn 181.7 en 182.3, en de mediaan is bijgevolg 1 (181.7 + 182.3) = 182. 2 Als we de gegroepeerde gegevens beschouwen zien we dat de mediaanklasse gegeven wordt door [180, 185[. Bijgevolg is L1 = 180,

∆ = 5,

n = 50,

fm = 12,

en de mediaan wordt bijgevolg gegeven door 180 + 5 ·

X

f = 22,

25 − 22 = 181.25. 12

Het meetkundig gemiddelde van een steekproef van grootte n wordt gedefinieerd als de n-de machtswortel uit het product van de verschillende metingen, qY n

Versie 1.2

Xifi , 14 maart 2007

198


terwijl het harmonisch gemiddelde wordt bepaald als het inverse van de som der inversen van de meetgegevens, 1 P fi . Xi

Het kwadratisch gemiddelde is bepaald als de vierkantswortel uit het rekenkundig gemiddelde der kwadraten van alle gegevens, rP fi Xi2 . n

Een laatste klasse van centrummaten wordt gevormd door de kwantielen. Dit zijn de waarden waarvoor een gegeven aantal metingen kleiner zijn dan of gelijk aan deze waarde. Ze vormen een veralgemening van de mediaan die, zoals we reeds hebben gezien, het punt is waarvoor 50% van de waarnemingen kleiner zijn dan of gelijk aan deze waarde. De kwartielen zijn de waarden waarvoor 25%, 50% of 75% van alle waarnemingen kleiner zijn dan of gelijk aan deze waarde. We spreken hier over het eerste, tweede en derde kwartiel en duiden deze waarden aan met Q1 , Q2 , Q3 . Uit de definitie volgt bovendien dat het tweede kwartiel samenvalt met de mediaan. De decielen D1 , D2 , . . . , D9 zijn de waarden waarvoor 10%, 20%, . . . , 90% van de waarden kleiner is dan of gelijk aan deze waarde. Opnieuw valt D5 samen met de mediaan. De percentielen tenslotte zijn de punten P1 , P2 , . . . , P99 waarvoor 1%, 2%, . . . , 99% van de gemeten waarden kleiner is dan dit getal. We merken op dat de kwantielen (en dus ook de mediaan) voor gegroepeerde gegevens het eenvoudigst te bepalen zijn aan de hand van het ogief. Het is de waarde op de horizontale as die overeenkomt met een gegeven percentage op de verticale as. Dit laat ons toe, voor gegroepeerde gegevens, de kwantielen te berekenen door gebruik te maken van interpolatie.

100%

80%

50%

25% 15%

0% P15

Q1

Q2,D5

D8

Figuur 78. Kwantielen bepalen op het ogief.

Versie 1.2

14 maart 2007


199

Voorbeeld 22. Om het eerste kwartiel van de gegevens uit Experiment 2 te bepalen, merken we op dat Q1 in de klasse [170, 175[ moet liggen. Omdat we voor de grenswaarde 170 (resp. 175) een cumulatieve relatieve frequentie van 22% (resp. 30%) hebben, kunnen we door een eenvoudige interpolatie berekenen dat we 25% bereiken in het punt Q1 waarvoor Q1 − 170 25 − 22 = , 175 − 170 30 − 22 en dus is Q1 = 170 + 5 ·

3 = 171.88. 8

De eenvoudigste spreidingsmaat is de spreiding van een reeks gegevens, die gedefinieerd wordt als het verschil tussen de grootste en de kleinste waargenomen waarde. De gemiddelde afwijking van een reeks gegevens x1 , . . . , xn wordt gedefinieerd als het (rekenkundig) gemiddelde van alle afwijkingen van de gemeten gegevens ten opzichte van het gemiddelde, en is dus gegeven door P ¯ |xi − X| n.

De standaardafwijking wordt gedefinieerd als het kwadratisch gemiddelde van de afwijkingen van de metingen ten opzichte van het gemiddelde, dit wil zeggen rP ¯ 2 (xi − X) . s= n Het kwadraat s2 van de standaardafwijking wordt de variantie genoemd. We merken hierbij nog op dat de standaardafwijking soms wordt gedefinieerd als sP ¯ 2 (xi − X) sˆ = . n−1 Voorbeeld 23. De variantie van de resultaten uit Experiment 1 is gelijk aan 1.11, en de standaardafwijking van deze gegevens is 1.05. De spreiding is gelijk aan 4.

Versie 1.2

14 maart 2007

200


9. Boxplots en identificatie van outliers Een aantal centrummaten en kwantielen, verwant aan een steekproef, kunnen we grafisch voorstellen. Hiervoor maken we gebruik van een boxplot. Voor het construeren van een boxplot beginnen we met de berekening van de kwartielen Q1 en Q3 , en de mediaan Me van de steekproefresultaten. Eventueel kan ook het rekenkundige ¯ berekend worden. gemiddelde X We tekenen vervolgens een rechthoek, waarvan de basis gevormd wordt door het lijnstuk [Q1 , Q3 ]. De verticale zijden van deze rechthoek duiden dan de punten aan waartussen 50% van de resultaten gelegen is, terwijl 25% van de resultaten links en rechts van deze zijden gelegen is. Binnen deze rechthoek wordt ook de positie van de mediaan Me aangeduid door een verticaal lijnstuk dat de rechthoek in twee deelt. Het rekenkundig gemiddelde kan indien nodig aangeduid worden als een punt (meestal, maar niet noodzakelijk, in deze rechthoek gelegen). De basis van de rechthoek, ∆ = Q3 −Q1 , wordt de kwartielafstand genoemd (IQD, “InterQuartile Distance”). We bepalen nu vier grenspunten, die we de “inner” en “outer fences” noemen. De “inner fences” zijn de punten die op een afstand 1, 5∆ van de zijden van de rechthoek gelegen zijn, dus Q1 − 1, 5∆, Q3 + 1, 5∆, terwijl de “outer fences” gelegen zijn op drie kwartielafstanden van deze zijden, Q1 − 3∆,

Q3 + 3∆.

We identificeren vervolgens de grootste waarneming M en de kleinste waarneming m die binnen de “inner fences” gelegen zijn, en duiden de positie van beide punten aan door middel van snorharen of “whiskers”, dit zijn horizontale lijntjes vanaf de zijden van de rechthoek, begrensd door verticale lijntjes ter hoogte van deze beide waargenomen waarden. Mild outliers

Whisker

Whisker

1 0 Outer fence

Mild outliers

11 00 Inner fence

m

Q1

Me

Q3

M

Inner fence

Extreme outliers

1 0 Outer fence

1111111111 0000000000 1111111 0000000 1111111111 0000000000 1,5 IQD IQD 1,5 IQD 3 IQD 000000000000000000 111111111111111111

3 IQD 000000000000000000 111111111111111111

Figuur 79. Boxplot

Bij het analyseren van de resultaten van een steekproef is het soms belangrijk dat we de grote “uitschieters” of outliers kunnen identificeren. Dit zijn waarden die sterk afwijken van de normaal gemeten waarden, die het overgrote deel van de resultaten uitmaken. Een dergelijke afwijking kan te wijten zijn aan het toeval (bij de steekproef wordt een individu uit de populatie gekozen dat sterk afwijkt van de anderen), maar kan ook veroorzaakt worden door een meetfout of een fout bij het ontwerpen van de steekproef, waardoor de betrouwbaarheid van de bekomen resultaten in het gedrang komt. Het is daarom belangrijk dat we dergelijke Versie 1.2

14 maart 2007


201

outliers kunnen ontdekken, zodat we deze resultaten aan een grondig onderzoek kunnen alvorens ze te aanvaarden als geldige meetresultaten. Deze analyse kan ondermeer gebeuren door gebruik te maken van een boxplot. In praktijk stelt men dat de waarden, gelegen tussen de inner en outer fences van de boxplot, potentiële uitschieters of “mild outliers” zijn, terwijl de waarden die buiten de outer fences vallen beschouwd worden als “extreme outliers”. De milde outliers worden in de grafiek vaak voorgesteld als een opgevuld cirkeltje, terwijl de extreme outliers weergegeven worden als niet-opgevulde symbolen. Voorbeeld 24. Bij cricket wordt de kwaliteit van een “batsman” uitgedrukt aan de hand van zijn “batting average”, dit is het aantal “runs” dat hij gemiddeld scoort per “out”. De “batting averages” van enkele beroemde “batsmen” worden gegeven in de volgende tabel: 45.00, 49.77,

46.16, 49.78,

47.16 47.85, 51.90 51.97,

48.10, 53.09,

55.27, 67.00,

58.10, 68.60,

59.55 61.95, 66.53, 82.46 105.72

We merken in dit geval dat Q1 = 48.10,

Me = 53.09,

Q3 = 66.53,

en we leiden af dat ∆ = 66.53 − 48.10 = 18.43. De “inner fences” voor de boxplot bevinden zich dan op 48.10 − 27.65 = 20.45,

66.53 + 27.65 = 94.18.

We tekenen daarom whiskers bij de waarden m = 45.00,

M = 82.46,

terwijl de “outer fences” zich bevinden bij −7.19,

121.92.

We besluiten dat de laatste waarde, 105.72, een milde outlier is, die we dus eventueel aan een nader onderzoek kunnen onderwerpen. Alle andere waarden bevinden zich tussen de whiskers van de boxplot, en zijn dus aanvaardbaar.

Versie 1.2

14 maart 2007

202


10. Normale verdeling Beschouwen we een zeer grote populatie (de populatiegrootte N streeft naar oneindig), waarin we een continu kenmerk X willen bestuderen door gebruik te maken van een zeer grote steekproef (de steekproefgrootte n streeft naar oneindig). We kunnen de resultaten dan opdelen in m klassen, en voor de bekomen (relatieve) frequenties een frequentiepolygoon en histogram construeren. De oppervlakte van elk van de rechthoeken uit het histogram geeft de (relatieve) frequentie aan van de resultaten in de klassen die met de rechthoek overeenkomt. Omdat we in principe over oneindig veel gegevens beschikken, kunnen we het aantal klassen m laten toenemen. Het histogram zal ons dan informatie leveren over de frequentie van de resultaten in elk van de steeds kleiner wordende klassen, waardoor we een steeds preciezere beschrijving krijgen van de resultaten van de steekproef (en bijgevolg ook over de populatie waaruit de steekproef getrokken wordt). Als we dit proces voortzetten, en dus het aantal klassen m eveneens naar oneindig laten streven, benadert de frequentiepolygoon (of de bovenste rand van het histogram) een bepaalde kromme, die de grafische voorstelling is van een functie y = fX (x). We kunnen deze kromme beschouwen als de meest precieze omschrijving van het kenmerk binnen de populatie of de (oneindig grote) steekproef. De oppervlakte, begrend door de kromme, de x-as en de verticale rechten x = a en x = b, gegeven door Z

b

fX (x)dx

a

levert ons immers de relatieve frequentie van de “klasse” [a, b], dus van de elementen uit de populatie waarvoor het kenmerk een waarde aanneemt tussen a en b. Voor een kenmerk X binnen een populatie wordt de functie fX de dichtheidsfunctie van dit kenmerk genoemd. Bij de studie van continue kenmerken levert deze constructie zeer vaak een kromme op die een zeer karakteristieke klokvorm aanneemt, en die een Gausskromme genoemd wordt. Deze kromme (of een goede benadering ervan) kan eenvoudig beschreven worden door gebruik te maken van de dichtheidsfunctie fX (x) = √

R

(x−µ)2 1 e− 2σ2 , 2πσ

R

+

en σ ∈ 0 twee getallen zijn die het gemiddelde en de standaardafwijking waarbij µ ∈ van het kenmerk in de populatie voorstellen. Men zegt dat een kenmerk waarvoor de dichtheidsfunctie gegeven wordt door een dergelijke Gausskromme, normaal verdeeld is, en men duidt dit soms aan als N (µ, σ). Voor de normale verdeling geeft µ de plaats van de top van de Gausscurve aan, terwijl σ de afstand aangeeft tussen de top en een buigpunt van de kromme. Een grotere waarde van de standaardafwijking σ wijst daarom, zoals verwacht, op een grotere spreiding van de resultaten rond het gemiddelde.

Versie 1.2

14 maart 2007


203

0.4

0.3

0.2 P(–2<X<1) 0.1

0 –3

–2

–1

0 x

1

2

3

4

Figuur 80. Relatieve frequentie als oppervlakte 0.04

0.03

0.02

0.01

0 140

160 170 180 190 200 210 220 x

Figuur 81. Een normale verdeling Kennis van (een benadering van) de dichtheidsfunctie van een kenmerk binnen een populatie is belangrijk omdat dit ons toelaat, door middel van integralen, te berekenen hoeveel van de individuen uit de populatie bepaalde kenmerken vertonen. Zo kan men nagaan dat, indien een kenmerk X normaal verdeeld is, X ∼ N (µ, σ), 68% van de individuen voor dit kenmerk een waarde optekenen tussen µ − σ en µ + σ, terwijl 95% (resp. 99%) van de individuen waarden opleveren in de klasse [µ − 2σ, µ + 2σ] (resp. [µ − 3σ, µ + 3σ]).

Versie 1.2

14 maart 2007

204

Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken 0.4

0.3

0.2

0.1

–6

–4

–2 0

2

x4

6

Figuur 82. Gausskrommen voor verschillende waarden van σ

11. Bivariate statistiek of analyse Bij sommige experimenten wordt van elk individu uit de steekproef meer dan een kenmerk opgemeten. Zo kan men bijvoorbeeld van een persoon zowel zijn gewicht als zijn lengte meten, kan men de druk en de temperatuur van een gas in een container op een bepaald moment vastleggen, of kan men de snelheid en het brandstofverbruik van een voertuig meten. Het is dan vaak de bedoeling om na te gaan of beide kenmerken met elkaar verbonden zijn, dit wil zeggen dat een verandering van de waarde van het eerste kenmerk een verandering van de waarde van het tweede kenmerk met zich meebrengt. Zo kunnen we bijvoorbeeld verwachten dat uit onze metingen blijkt dat een grotere persoon over het algemeen ook zwaarder is, of dat een hogere snelheid ook een hoger brandstofverbruik tot gevolg heeft. In wat volgt verzamelen we tot slot nog enkeke technieken die gebruikt worden in dit onderdeel van de beschrijvende statistiek, dat de bivariate statistiek genoemd wordt. Voor de grafische voorstelling van de waargenomen resultaten kunnen we beroep doen op een spreidingsdiagram, soms ook een puntenwolk genoemd. Hierbij wordt, voor elk individu uit de steekproef, de waarde van de kenmerken X en Y voorgesteld als een koppel (xi , yi ) dat we in het vlak voorstellen als een punt met coördinaten (xi , yi ).

80 60 40 20

0

20

40

60

80

100

Figuur 83. Een voorbeeld van een spreidingsdiagram.

Versie 1.2

14 maart 2007


205

In sommige gevallen zal men op het spreidingsdiagram vaststellen dat de punten niet willekeurig verspreid liggen over een gans gebied, en dus een ganse puntenwolk vormen, maar dat ze min of meer geconcentreerd liggen rond een bepaalde rechte of een andere kromme, wat erop wijst dat beide kenmerken verbonden zijn. 200

1400

180 160

1200

140

1000

120 100

800

80

600

60 400

40 20 0

200 20

40 x 60

80

100

0

20

40 x 60

80

100

Figuur 84. Puntenwolken met spreiding rond een bepaalde kromme.

We kunnen aan de gemeten waarden ook een aantal kentallen verbinden. In de eerste plaats kunnen we van elk gemeten waarden slechts de eerste of de tweede component beschouwen, en de andere component laten wegvallen. Dit komt er op neer dat we het experiment herleiden tot een steekproef waarin slechts een kenmerk (X of Y ) wordt beschouwd. Wanneer we de kentallen (in het bijzonder het gemiddelde en de variantie of standaardafwijking) berekenen van deze reeksen waarnemingen, bekomen we de marginale gemiddelden, x ¯= en de marginale varianties, s2x =

1X xi , n

1X (xi − x ¯) 2 , n

y¯ =

1X yi , n

s2y =

1X (yi − y¯)2 . n

De covariantie, die we bepalen als s2xy =

1X 1 X (xi − x ¯)(yi − y¯) = ( xi y i ) − x ¯y¯, n n

meet in hoeverre er een relatie bestaat tussen beide kenmerken. Indien sxy = 0 bestaat er geen enkel verband, terwijl grote positieve (resp. negatieve) covarianties wijzen op een positief (resp. negatief) verband tussen beide kenmerken, dit wil zeggen dat grotere xi waarden voornamelijk overeenkomen met grotere (resp. kleinere) yi waarden.

Versie 1.2

14 maart 2007

2 Differentiaal- en integraalrekening - Peter Bueken

Recommend Documents