Zoo juist
verscheen:
LEERBOEK DER DIFFERENTIAALEN INTEGRAALREKENING, EN VAN DE THEORIE DER DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN, DOOR
DR. HK. D E VRIES, HOOGLEERAAR AAN DE UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM.
DEEL II. INTEGRAALREKENING.
Prijs geb. f 16,50. Voor int. N. T. v. Wiskunde f 13,50.
P. NOORDHOFF. — 1920. -
GRONINGEN.
VOORREDE.
In dit tweede deel van mijn „Leerboek der Differentiaal- en Integraalrekening" heb ik de hoogere gedeelten der Integraalrekening behandeld, met uitsluiting echter van de onderzoekingen van den tegenwoordigen tijd, die mij nog te weinig bezonken lijken, en te weinig een afgerond geheel vormen, om reeds in een leerboek te worden opgenomen; op pag. 13 verwijs ik trouwens naar eenige publicaties die de belangstellende lezer desverkiezende kan raadplegen. Ik heb getracht van ieder onderwerp dat ik behandel zooveel mogelijk een afgerond geheel te maken, zonder nochtans al te uitvoerig te worden; het voldoen aan deze twee, elkaar als het ware voortdurend bestrijdende eischen, dat is het wat mij bij het schrijven van dit tweede deel de meeste moeite veroorzaakt heeft, en waarin ik ongetwijfeld wel herhaaldelijk te kort geschoten zal zijn; ik wensch er echter uitdrukkelijk de aandacht op te vestigen dat ik het laatste hoofdstuk, handelend over de elliptische functies, uitsluitend beschouwd wensch te zien als een toepassing van de in de daaraan voorafgaande hoofdstukken behandelde integraaltheorema's in het complexe gebied. Ook ditmaal heb ik weer mijn oprechten dank te betuigen aan de Heeren Wijdenes, B e l i n f a n t e en S w e e r t s voor hun krachtdadigen steun, alsmede aan den Heer P. Noordhoff voor de voortvarendheid waarmede hij, ondanks de moeilijke tijdsomstandigheden, dit deel heeft doen verschijnen.' Amsterdam, 11 Juli 1920.
HK. DE VRIES.
INHOUDSOPGAVE. HOOFDSTUK I. Theorie der bepaalde integralen. §
1. Onderzoek der uitdrukking I-Ó/./CA:;-!) voor een interval (a,ö), waarbinnen f(x) eindig, éénwaardig, continu, en bij gedeelten monotoon is. De .oscillatie" van f{x) in een interval d. Bewijs voor het bestaan der limiet, die dan genoemd wordt de bepaalde
^^'"^"
b
integraal jf{x) . d(x). Onafhankelijkheid der integraal van de a wijze van verdeeling van het interval, alsook van de keuze der punten w^er ordinaten men met de intervallen vermenigvuldigt jf{x)dx+Jf{x]dx==O.Jf(x)dx+l/(x)dx=ff{x)dx
b
§
a i l
. f fix) dx =
i
H) {b — d), waar a g | g 6. De stelling van Weierstrass dat een eindige, éénwaardige, en continue functie iedere waarde tusschen de grootste en kleinste ook werkelijk aanneemt. . . . 2. Het weglaten van de voorwaarde der monotonie. Het geval van een eindig aantal eindige sprongen in een eindig interval. Het geval vau een oneindig aantal punten in een eindig interval, waar f{x) discontinu is. De integrabiliteitsvoorwaarde van Riemann. Andere uitdrukkingswijze van deze voorwaarde door middel van de begrippen .gemiddelde oscillatie" en „puntverzameling van de maat nul" van Borel. Voorbeeld eener puntverzameling van de maat nul. Integralen („par exces'' en .par défaut") van Darboux. Integralen van Lebesgue X
§
3. Het omgekeerde vraagstuk der Differentiaalrekening. \ f{x) dx == F{x) is een continue functie van de bovenste grens, en differentieerbaar wwr /(.r) continu is; de afgeleide is dan f{x). De formule / }{x) . dx = (p(b) — gj(fl). a
Nieuwe
opvatting
der
formule
X
j f(x)dx = F(x), indien de onbepaalde integraal
1—7
7—13
4 Pagina.
hoogere Integraalteekening. Over het schatten van bepaalde inte1
-jsr
f dx gralen. Voorbeelden. / , ,
JY\
r - en / —:
+xn
JY\
O
dw —
; de eerste
—k^ , sin^cp
O
ligt voor iedere waarde van n > 2 tusschen 0,88 . . . en 1, de laatste voor iedere waarde van k (O < A < 1) tusschen ^
§
§
en
2K1 — /fe2 4. De eerste stelling van het gemiddelde. De tweede stelling van het gemiddelde. De vorm van Weierstrass voor deze tweede stelling. Nieuwe afleiding van de reeks van Taylor met behulp van de eerste stelling van het gemiddelde 5. Bepaalde integralen, waarbij de functie onder het integraalteeken in
14—18
18—24
1
r
dx
het integratieinterval oneindig wordt, ƒ , — = . Algemeene stel0 ling voor het geval f(x) oneindig wordt van eindige en bepaalde orde. Integralen van rationale breuken zijn slechts eindig indien het integratieinterval geen wortel van den noemer bevat. 1 X X l^ dx fsin X ("cos x C /
—,—
— . ƒ —— .dx.\
]/(l _ x^) (1 - k^x^ J ^" O
§
0
6. Integralen 00
met
oneindige
—— .dx.
Itgx .dx
^"
0
grenzen.
05
+00
j
J^
.
24—30
0
Eenvoudige
QQ
voorbeelden.
Q(J
/ j _ƒ ^.,, /j-^jT^' / e-xdx, I e-axdx, / e-ax . sin bx . dx, O
—00
o
o
'O
ĥ
f00e—ax . cos bx . dx. Algemeene regel voor de eindigheid der
O
i: ƒ/ —r^ —TT . dx, dx, waar f{x) en (p{x) geheele integraal. Voorbeelden:
J 9'W
rationale functies zijn, en r{p) = I xP—' . e—x . dx
. . . .
30—36
O OO
sin X
f
00
/
—~ - . rfjf en / sin{x-) . dx; O o beide zijn convergent, echter slechts voorwaardelijk. Stelling van Cauchy aangaande de convergentie eener oneindige reeks ƒ(!) + /(2) + /(3) + . . . , indien men ƒ f(x). dx kent, en f{x) een functie
ƒ/«..
a
is die op den duur positief is en afneemt. Toepassingen op de hvper-harmonische reeks, en de reeks ^ •"^
§
8.
Jmd
--.TT van Abel. n(ln)
. .
Differentieeren onder het integraalteeken. De afgeleide van een integraal naar één van de beide grenzen. De afgeleide van een integraal naar een parameter bij constante grenzen. De algemeene
36—41
5 Pagina. formule, waarbij ook de grenzen afhankelijk van den parameter "sin cix gedacht worden, ƒ . dx, die niet afhangt van de w a a r d e ,
•ƒ .
maar wel van het t e e k e n van se. Voorbeelden: / e—'^•^ . dx, O
r
dx
n maal gedifferentieerd naar cc. ƒ -5 5—,—T^-rir, gedifferenOJ a.^ • cos-x + b^sin?x' * tieerd naar ca en b
41—48
00
sin e-ax . — \e—^x_~^-
§ 9.
/
X
_ dx.
Haar eindigheid, continuïteit, en differentieer-
O 00
, , 1 r sin X baarheid. Haar waarde bedraagt bgtg— . / . rfjr = ijr \ O
cc 00
2
ie
.
.
48—51
2
00
r §10.
X
^
r
•> sin2ccx
.cos 2ccx . dx en / e~^'
O
.
. dx. De integraal van
o 00
Poisson: l e—^'
, dx = IVJI.
De grondintegraal der Waarschijn-
O^
lijkheidsrekening «^
/
00
c-h-^^-.
dx= ï^.
h^n
O
co
. ,-x^
. rf^ en
0
/ ! t 2 « + ' . e-x^
. dx
51 - 5 5
0
§ 11.
Over het integreeren naar een parameter. Het verwisselen der beide bewerkingen bij constante grenzen. Meetkundig en analytisch bewijs. Opmerking over oneindige grenzen. Dubbele toepassing op de integraal van P o i s s o n § 12. Nog enkele verdere voorbeelden van integratie naar een parameter. 00
i
/
. dx. \
O
0
sin bx ~1^-'^'^0
55
61
c^
-±- . dx. /
f
sin bx. dx.
0
jsin ax . cos bx f „—px „—qx ƒ Ic -^^'^ cosbx.dx. 0 O "^^
CO
^
'^^
61—65
Ö
HOOFDSTUK II. Aanvulling van dé leer der dubbele en meervoudige integralen. Lijn- en oppervlakintegralen. § 13.
Theorie der dubbele integralen bij constante grenzen. Definitie der continuïteit van f(x, y) in een punt x, y. De oscillatie van f{x,y) binnen een rechthoekje <5'* Bewijs voor het bestaan der dubbele
6 Pagina.
§14.
§ 15.
§ 16. § 17.
integraal, indien f{x,y) binnen een rechthoek eindig, éénwaardig, en continu is. Voorwaarde voor de integrabiliteit eener functie f(x, y), die slechts eindig en éénwaardig, maar niet meer overal continu is; de verzameling der punten, voor welke de oscillatie boven een zeker bedrag a blijft, moet dan van de maat nul zijn . De discontinue factor van P. G. Lejeune Dirichlet. Uiteenzetting voor drievoudige integralen, en bepaling van den factor voor het geval de integraal te nemen is over het inwendige eener drieassige ellipsoïde De discontinue factor van D i r i c h l e t (vervolg). Toepassing der methode op de veelvoudige integraal: fff . . . . x'^—^ . yb—l . zc—\ . . . . dx. dy . dz . . . . en uitdrukking van deze in /"-functies. Toepassing op inhoudsberekeningen, traagheidsmomenten en -producten, en op het afleiden van de formule van Binet Over de grootte van een gebogen oppervlak. Kritiek op de, in deel I, § 20, gebezigde methode. Voorbeeld van H. A. Schwarz: het bepalen van het ronde oppervlak van een omwentelingscylinder Lijnintegralen in het platte vlak. Voorwaarde dat de integraal onafhankelijk is van den integratieweg. De potentiaal V. De lijnintegraal langs een gesloten kromme nul. Uitzonderingspunten; de integraal langs een gesloten kromme om deze niet nul. Voorbeeld: fxdy —ydx 2 langs een gesloten kromme om O is 2:T. Het uitsluiten
66—70
70—73
73—81
81—85
r-
der uitzonderingspunten. Zin waarin de begrenzing van een gebied, indien deze uit verschillende krommen is saamgesteld, moet doorloopen worden ." § 18. Lijnintegralen in de ruimte. Voorwaarden waaronder de lijnintegraal fP.dx+ Q . dy + R . dz onafhankelijk is van den integratieweg, De potentiaal § 19. Oppervlakintegralen. De voorwaarde waaronder deze slechts afhangen van de randkrorame, of de integraal over een gesloten oppervlak nul is § 20. Het terugbrengen van een oppervlak- tot een lijnintegraal in het rriSQ dP\ , platte vlak. De formule: / / K^- — ^-\ dxdy = j Pdx -f Qdy, voor een willekeurig vlak gebied. Het theorema van Stokes. Voorwaarden dat een lijnintegraal, genomen langs een gesloten kromme, nul is, afgeleid uit het theorema van Stokes . . . .
HOOFDSTUK III. De integralen van Euler, of de Bèta- en Gammafunctie. 1
»
§ 21. De integralen / xP-^ (1 — x)g-^ . dx ^n l xP-^
. e-x
. dx.
O O Overzicht der reeds behandelde eigenschappen. De formule van Binet. De eigenschap r{p + 1) = p! voor p pbsitief geheel. De 1 oorspronkelijke vorm / il—\ O
. dz van Euler. De formules:
85—92 92—97 97—101
101 — 109
7 00
r B(p, q)=j
1
xp-i J^^J^g
O
Pagina.
rxp-^ + xQ-'i •dx=j (1 + ^)p,g . dx; B(q, p) = O
00
B{p,g); r{p) =2 I x^P—'^ .e—^'.dx
110-114
O
*§ 22. Bewijzen van Lejeune Dirichlet en Euler voor de zoogenaamde formule van Binet. De formule /"(.>) = Vn. Verband met de integraal van Poisson 114 — 118 § 23. De eerste hoofdeigenschap der r'-functie: Fip + 1) = p . r(p). De tweede hoofdeigenschap in de beide vormen: Fil + p) • r{\ —p) = , en: Fip) . r(\ —p) = . De r'-functie als oneindig sitiTtp sinjcp product, volgens Gauss § 24. Reeksen voor / . F{p) en / . F{\ + p), afgeleid uit het oneindige product voor F{p). De reeks voor de constante van Euler, of van Mascheroni. De sommen s^ van Legendre § 25. Graphische voorstelling der r'-functie voor positieve waarden van j». Formules ter berekening van het minimum. Definitie der r'-functie, ook voor negatieve waarden van p, met behulp van de eerste hoofdeigenschap: F{p -{• \) — p . F(p). De negatieve perioden van Legendre. De functionaalvergelijking/(,r; -\- 1) —x.f{x). Definitie der r'-functie als oneindig product. De /^-functie, ook voor complexe waarden van p, gedefinieerd door Weierstrass T§ 26. De reeks van Stirling voor l . F{1 -{• p). Asymptotische, of semiconvergente reeksen in het algemeen. De reeks van Jacob Bernoulli voor cotgx, en de zoogenaamde getallen Bi van Bernoulli
118—121 121—125
125—129
129—132
HOOFDSTUK IV. Oneindige reeksen. Niet differentieerbare De reeks van Fourier.
functies.
§ 27. De functies (a;), (2a;), . . . . {nx) van Riemann, en de uit deze samengestelde functie/(a;) § 28. De functie F{x) van Riemann, de integraal van f{x). Hare continuïteit en differentieerbaarheid. Zij is op te vatten als een kromme met oneindig veel knikken, die op de kromme overal dicht liggen § 29. De functie van Weierstrass. De absolute en gelijkmatige convergentie der reeks, waaruit de continuïteit der functie volgt. De samenstellende krommen. De naderende krommen. De kromme van Weierstrass is op te vatten als een kromme met oneindig vele maxima en minima, die op de kromme overal dicht liggen. De knoopen, en de toppen § 30. De functie van Weierstrass. Vervolg. Benadering van een willekeurig punt der kromme door middel van de toppen. De beide differentiequotienten links en rechts. Deze zijn van tegengesteld teeken, veranderen bij overgang tot de limiet voortdurend van teeken, terwijl hun absolute waarde oneindig wordt, zoodat een bepaalde afgeleide niet bestaat § 31. De kromme van Helge von Koch. De kromme van Peano, die een kwadraat volledig vult. Verklaring dezer kromme door F. Klein en D. Hilbert
133—138 138—140
140—145
145—149 149—157
8 § 32. De reeks van Fourier. Inleiding. Methode van Euler ter berekening van de coëfficiënten. Bezwaren tegen het integratieinterval (0,2:7:), en voordeelen van het interval (— n, + ;r). De Fourier'sche constanten van f(x) I57 § 33. De reeks van Fourier. De functies y = x, en y = x^. Verschillend gedrag der naderende krommen in de omgeving van het punt X = 71. De reeksen: •T 22 "^ 32 "^ 42 "^ • • • ~ 6' 2"2 "^ 4^2 "'' 62 • • • "" 24' , , 1 , 1 , 1 jr2 en 1 + 32 + 52 + 7-2 + . • . = -g§ 34. Benadering
van k
f{x)
152
162—166
door de eindige goniometrische reeks:
•^A = ^0 + S ( ^ r t • '^"s na; + fl„ . sin nx); hoe moeten de coëfficienten A en B bepaald worden opdat ^k = 1 ^k^ • 'l^ een mini—:t
mum worde, indien P/^ = f{x) ~ Sf^l Antwoord: Zij moeten den vorm hebben van de Fourier'sche constanten van f{x). De vorm v^" 'k{miny Bewijs dat Urn A„ = lim B^ = O, en dus ook «=00
«=00
lim An . cos nx — lim Bn . sin nx = 0
166
174
§ 35. Bewijs voor de convergentie van de reeks van Fourier volgens de la Vallée Poussin, voor het geval dat de functie/(x) te differentieeren is I74 § 36. De som s„ van de eerste 2« + 1 termen van de reeks van Fourier. Onderzoek van de integraal van Dirichlet:
177
n=co
n=oo
h Sin kx
/
—
. q}(x) . dx {k ^ 2n + 1). Bewijs dat lim I = ^n . (pfQ\ 177—184
§ 37. Vervolg van het onderzoek van de integraal van Dirichlet. Uitbreiding der voorwaarden, waaronder de hoofdformule geldt. De condities van Dirichlet 184—187 § 38. Bewijs dat de reeks van Fourier de functie f{x) werkelijk voorstelt voor iedere waarde van x uit het interval — n < x < 71 waarvoor f{x) continu is, terwijl zij voor een waarde x waarvoor f{x) een eindigen sprong maakt, de waarde ^{/(a; + 0) + f{x — 0)} voorstelt; voor a; = ± jr in het bijzonder de waarde, .^-{/(ji) + ƒ(— n)]. Nog twee eenvoudige voorbeelden. Overgang" op de grenzen + en — h, en in het algemeen op twee willekeurige grenzen [i en V. De dubbele integraal van Fourier 187 193 § 39. De integraal van Poissbn. Meetkundige interpretatie van Schwarz, en bewijs langs dezen weg dat de reeks van Fourier werkelijk de functie f{x) voorstelt. Physische en hyperbolisch-meetkundige interpretatie der figuur van Schwarz 193 jgg
HOOFDSTUK V. Elliptische integralen en functies. § 40. Inleiding. Afhankelijkheid eener integraal van den integratieweg. X
Behandeling van de integraal u = / - ^ j y \ — x^
De grootheid
1
X
Pagina.
f dx f dx "^ — ƒ l/i = . en de formule: / , , = n . AK -{• u. JVi—x^ J Yi — x^ o o Periodiciteit der inverse functie x = (p{u), die den naam „sinus" ontvangt 199—203 § 41. De elliptische functies worden verkregen door de elliptische integralen om te keeren. De elliptische integraal van de eerste soort. K. De modulus k. De goniometrische normaalvorm. K' en k', de complementaire integraal en modulus. Ax = ]/(i — x^)(\ — k-x^. f
'dx /
O
K
„
fdxix
00
_„_
Idx fdx
Jx = ^'JTx-^''j-Ax =^ 1 1
203
207
207
211
k
§ 42. De functie qj = am u, en de hieruit afgeleide elliptische functies van Jacobi sin am u, cos am u, A am u met hunne beide perioden, afgeleid uit verschillende integratiewegen. Primitieve en niet-primitieve perioden , § 43. Grondformules voor de elliptische functies van Jacobi. De notatie sn, en, dn van Gudermann § 44. Eerste en tweede afgeleiden der functies sn u, en u, dn u. Graphische voorstelling der functie cp = am u. De grensgevallen /fe = 0 e n / f e = l § 45. De graphische voorstellingen der functies sn u, en u, dn u. De vorm dezer functies voor de grenswaarden /fe = O en ife = 1. Lengte van den boog der ellips, en der lemniscaat § 46. Integratie der goniometrische en elliptische differentiaalvergelijking volgens Sturm, en optelllngstheorema der sn-functie. Het invoeren, door Sturm, van den noemer 1 — k^x^y-. Integratiemethoden van Lagrange en Darboux. De optellingstheorema's voor de en- en rfn-functie § 47. De transformatie van Landen § 48. Numerieke berekening der elliptische integraal van de eerste soort. Berekening van de complete integraal K, in den vorm van een oneindig product. Het logarithmisch maken van dit product. Berekening van u = F(k, cp), door de integraal terug te brengen tot een met modulus A = 0. Het omgekeerde vraagstuk: berekening van 95 = am u. Het transformeeren van F{k,
211—213 213 — 217 218
223
223—229 229—233
234
239
239-243
§ 50. Verdere herleiding van ^{t, T). De vorm dU = (p{fi) . —, en de 5 verschillende vormen van T. Substituties, voor elk dezer vijf gevallen, ter herleiding van de uitdrukking— in -— T K(l—:r2)(l —é2;r2)' integraal / f{x^) . ^ ;
de integralen
Y^—\-
„ C dx en z^ = / ^ ^ en de beide grondintegralen KQ en Kj 243—247 § 51. De integraal Z^; reductie tot de grondintegraal Z^. De elliptische integralen van de drie soorten, van Legendre. De limietgevallen fe = O en ^ = 1. Pseudo-elliptische integralen 247 252
10 HOOFDSTUK VI. Functies van één complexe veranderlijke. § 52
Pagina.
Inleiding. Over het definieeren van een begrip, welks definitie beperkt was tot het gebied der reëele getallen, voor het gebied der complexe •getallen. Voorbeelden: sin z en cos z. De definities van deze zijn terug te brengen tot sinix en cos ix. Formule van E uier; verband tusschen de exponentiaalfunctie, de goniometrische, en hyperbolische functies 253 § 53. De afbeelding w = f(z). Overeenkomst en verschil met y = f(x). Voorbeelden: w = z + a. w = az, w = iz, w = az -\- b (voorwaarde dat twee AA z-^z^z^ en w^w^w^ gelijkvormig zijn); w ——. ~ z Overgang op den bol door stereographische projectie. De inversie; deze wordt op den bol een spiegeling der beide halfronden ten opzichte van het vlak van den aequator, o» = — zelve een wenteling van den bol om één van zijn middellijnen, en over een hoek van 180° § 54. De gebroken lineaire substitutie en de cirkelverwantschap. De beide dubbelpunten. De „complexe" dubbelverhouding van 4 willekeurige punten in het ^-vlak. Deze wordt reëel indien de 4 punten op een cirkel liggen, en is dan gelijk aan de dubbelverhouding, in den zin der Projectieve Meetkunde, van die 4 punten op den cirkel. In'het algemeen is de „complexe" dubbelverhouding der 4 punten de dubbelverhouding in de kegelsnede door die 4 punten en het fsotrope punt x + iy = 0. Overgang op den bol § 55. De algemeene transformatie w = f(z) geeft een conforme afbeelding van het z-vlak op het tiy-vlak voor alle punten z, waarvoor de afgeleide f'(z) eindig en bepaald is. Punten waar f'(z) nul of oneindig is. De monogene functies « = q){x\ y), v = y;{x, y), en de differentiaalvergelijkingen van .Cauchy en Riemann, die uit, dw drukken dat -- onafhankelijk is van dz. De functies w en i; voldoen aan de vergelijking van Laplace. De krommen u = const., v = const, verdeden het z-vlak in oneindig kleine kwadraten; zij vormen dus een isotherm coördinatenstelsel. Het punt z = <x, met zijn naaste omgeving § 56. Over de wijze waarop het inwendige eener gesloten kromme door w = fiz) conform wordt afgebeeld, al naar gelang binnen die kromme, of er op, punten liggen waarvoor f{z) oneindig wordt of niet. Vraagstuk: het inwendige van den eenheidscirkel in het z'-vlak door de gebroken lineaire substitutie conform af te beelden op de bovenhelft van het w-vlak § 57. De transformatie w = z^. Het punt z = O is een uitzonderingspunt. Het open gesneden, en niet open gesneden w-w\ak. De beide fundamentaalgebieden van w = z^. Automorphe functies. De krommen u = const., V = const, in het z-vlak, x = const., y = const, in het w-vlak. w = z". De fundamehtaalgebieden. De groep der lineaire substituties, waardoor deze in elkaar worden omgezet, en die dus de functie onveranderd laten. Deze groep is hier een cyclische groep. Symmetrische automorphe functies. Ook ten opzichte van een bisectrice van een fundamentaalgebied is z"' symmetrisch, en op die deellijn zelve is zij reëel en negatief. Elementair bewijs voor de conforme afbeelding van w = z'^
255
255—260
260—265
265—272
272—276
276—284
11 HOOFDSTUK VII. Integralen en reeksen van functies van één complexe veranderlijke. Pagina. § 58.
De beteekenis van ] f{z) . dz. De grondstelling van C a u c h y aanCdz gaande de integraal, genomen langs een gesloten kromme, ƒ —, genomen langs een cirkel om O, =: 2m. De integraal onafhankelijk van den integratieweg, indien de functie regelmatig is. Is ^{z) een z functie, wier afgeleide = f{z) is, dan is / f(z). dz — ^(z) — ^{z^
§ 59.
285—289
Toepassingen der grondstelling. \ {z — ZQ)'^ . dz, voor n geheel, positief of negatief, en genomen langs een gesloten kromme om het punt ZQ. De integraal is altijd nul, behalve voor « = — 1, in welk geval zij gelijk wordt aan 2ni. De polen eener functie f(z). De stelling van het residu. Voor een regelmatige functie f(z) := u + iv zijn n en v in zeker punt de gemiddelden van de waarden op een cirkel om dat punt als middelpunt; zij kunnen dus nooit een 00
maximum of minimum worden, ƒ — dz en / J z J u O § 60. De integraal van Fr e s n e l .
du . . .
.
289—296
271
f^'L.dz.
J i+z-
flsf^.dz.
J\+z'-
f.
Jaa
dep
(a > 1)
296—300
+ cos (p
O Machtreeksen. De convergentiecirkel. Geheele transcendente functies. Gelijkmatige convergentie. Het kenmerk van W e i e r s t r a s s . Ontwikkeling van f(z) volgens M a c l a u r i n . De vorm der coëfficiënten. Het gebied waarbinnen de reeks van M a c l a u r i n geldt. Ontwikkeling volgens T a y l o r . Vorm der coëfficiënten § 62. Reeksen voor e^, sin z, cos z\ zij convergeeren voor alle eindige waarden van z, en stellen geheele transcendente functies voor. Verband tusschen e^, sin z, cos z\ de formule van Eu Ier. Grondeigenschappen der drie functies. Hunne periodiciteit. 2m is de primitieve periode van e^; 2ui is die voor cos z en sinz. Bewijs dat andere primitieve perioden niet bestaan § 61.
Periodenstrook en fundamentaalgebied voor de functie e^. De conforme afbeelding door w = e^. e^ is een symmetrische automorphe functie. De krommen x = const., en j / = const. De functie cos z. De periodenstrook is tweemaal zoo breed als een fundamentaalgebied. Conforme afbeelding door w — cos z. In de punten u = ± l wordt de conformiteit onderbroken. De krommen x= const, en y^= const. Hetzelfde onderzoek voor sinz § 64. Reeksontwikkeling voor f(z) in de omgeving van een pool van de «e orde z = a. De vorm der coëfficiënten. Reeksontwikkeling in de omgeving van z = co, indien f(z) hier regelmatig is, of een pool van de n^ orde heeft. De vorm der coëfficiënten is altijd dezelfde. Het doorloopen van een cirkel om z ~ co 'm positieven zin. De stelling van L i o u v i l l e . Uitbreiding en toepassingen
300—305
305—308
§ 63.
308—312
312—317
12 § 65. Toepassingen van de stelling van Liouville. Kenmerken voor geheele en gebroken rationale functies. Bewijs voor de grondstelling der Algebra. Wezenlijk singuliere punten. De beide uitzonderingswaarden van Pi card, die door de functie in de omgeving van een wezenlijk singulier punt niet werkelijk behoeven te worden aangenomen. Voorbeeld: de waarden O en oo voor e^. Gedrag van een geheele functie in de omgeving van haar eenig wezenlijk singulier ptnt 2 ^ 317—322 i? 66. Algemeene definitie van het residu van f(z). De stelling der residuen, ook toegepast op het punt z^. Definitie van het residu in z „ ! De som van alle residuen van een gebroken rationale functie is nul. Eigenschappen der logarithmische afgeleide. De stelling der logarithmische afgeleide. Toepassingen: een hoogeremachtsvergelijking heeft zooveel wortels als haar graad bedraagt, en het linker lid neemt een willekeurige waarde even dikwijls aan als de waarden nul en QO. Een gebroken rationale functie wordt even dikwijls O als 00, en neemt een voorgeschreven waarde even dikwijls aan als de waarden O of oo 322 329 § 67. De reeks van Laurent. Voorbeeld: ontwikkelingvan de'functie (^2 _ 1) (^2 + 4)
volgens
Maclaurin
(lz| < 1),
Laurent
(1^, > 1, maar < 2), en in de omgeving van het p u n t ^ ^ . . . 329—334 § 68. De reeks van Fourier voor functies van één complexe veranderlijke, met de periode 2n. Vorm der coëfficiënten, en integratieweg voor de in de coëfficiënten optredende integralen 334—337
HOOFDSTUK VIII. Meerwaardige functies en Riemamische oppervlakken. § 69. Inleiding. De functie w = y^. Bij het rondloopen om het punt z^ gaat de ééne functiewaarde over 'in de andere. Vertakkingspunten" 3_ 3 De orde van een vertakkingspunt. w = ]/«. w = V z — \.Y z - f l . Ook het punt z^ is voor deze functies een vertakkingspunt. Schemata volgens welke de functiewaarden in elkaar overgaan bij het rondloopen om elk vertakkingspunt afzonderlijk 338—341 § 70. Het Riemann'sche oppervlak voor w = K^r De vertakkingsdoorsnede. 3 _
Het
Riemann'sche
oppervlak
voor
w = V^
en
voor
3
^ = yz—\.yz-\1. Gelijk vertakte functies. Het punt z = oo als vertakkingspunt. De orde van een vertakkingspunt 342—345 § 71. De samenhang van een oppervlak. Enkelvoudig, en meervoudig samenhangende oppervlakken. Verschil in dit opzicht tusschen bol en torus, of wel het tweebladige Riemann'sche oppervlak met 2, en met 4 vertakkingspunten. Transformatie van het eerste in een bol, van het laatste in een ring. Methode om te. onderzoeken of een oppervlak enkelvoudig samenhangend is. De „coupures". Het Riemann'sche geslacht p van een oppervlak. Elliptische en hyperelliptische oppervlakken. De Analysis situs. De grondstelling van Riemann over het aantal coupures, noodig om een oppervlak enkelvoudig samenhangend te maken. De „randkromme" van een oppervlak 345—350
13 Pagina. — langs verschillende gesloten krommen, ook z — als definitie van den logaI z rithmus. De hoofdwaarde w=
—. De periodiciteitsmodulus 2m.
Het Riemann'sche oppervlak van den logarithmus heeft het karakter van een horizontaal, niet ontwikkelbaar schroefoppervlak. De formules logz = log\z\ + i(p, logz = log\z\ -{. i(p Jf. k . 27ti, log — X = logx + m, log — X— log X + ni + k . 2m. Oneindige reeksen voor logz en log{l + z). De betrekkingen/og^i^a = logzx + logz^, logz^ = 2 . logz. Volledige en onvolledige vergelijkingen tusschen meerwaardige functies. Conforme afbeelding door bemiddeling van w — logz. De inverse functie is een geheele dz transcendente functie, met -~- = w. Haar reeksontwikkeling stemt overeen met die van é"' 350 § 73. Analytische voortzetting eener binnen zekeren convergentiecirkel door een machtreeks gegeven functie. Voorbeeld: \ •\- z •{- z^ -\- . . . . Analytische voortzetting langs een kromme. Gedrag van één- en meerwaardige functies. Vertakkingspunten. Bij de analytische voortzetting over het geheele z-vlak heen moeten öf enkele punten, óf geheele gebieden uitgezonderd blijven. Natuurlijke grenslijnen. Voor-
356
00
beeld:/(2-) = X * " • •2'^" van Weierstrass. Bewijs van Hada/j=0
°° mard. De reeks >
356—363
§ 74. De ster van Mittag-LeffIer. Het spiegelen van een functie ten opzichte van een rechte lijn. Het spiegelen van een functie ten opzichte van een kromme. Spiegelen ten opzichte van den eenheidscirkel is inverteeren 363 357 § 75. De transformatie van Schwarz. Vraagstuk: een rechtlijnigen AW1W2WS conform af te beelden op de bovenste helft van het ^•-vlak. Constructie van het Riemann'sche oppervlak voor de gezochte functie z = (p{w). De drie gevallen waarin
HOOFDSTUK IX. Dubbel-periodieke functies. § 76. Voorwaaarde dat de beide perioden onafhankelijk van elkaar zijn: hunne verhouding mag niet reëel zijn. Het periodenparallelogram. De hoekpunten 2(»i, 20)3, — 20)3. De betrekking oji -f «2 + «3 = 0.
14 Periodenpunten Aequivalente punten, of congruente punten modulis perioden. Het fundamenteele parallelogram. Nauwkeurige afspraak aangaande de grenzen der verschillende parallelogrammen. De determinant D. De eenheden 1 en / uitgedrukt in w, en w, <, , , De formule u = 2sco^ + 2/0,3 '. 3 7 6 - 3 7 9 § 77. Geheele transcendente dubbel-periodieke functies zijn onmogelijk; wèl enkelvoudig periodieke. Definitie der elliptische functie van dé «e orde. De elliptische functie van de nulde orde is een constante Afspraak aangaande de onderlinge ligging van 2coi en 2o>s. De integraal eener elliptische functie, genomen langs den omtrek van een parallelogram (a), is nul. De som der residuen eener elliptische functie binnen een parallelogram (a) is nul. Hieruit volgt dat elliptische functies van de Ie orde onmogelijk zijn. Een elliptische functie van de «e orde neemt binnen een parallelogram (a) iedere waarde, ook O en GO, juist n maal aan; en de som der nulpunten is congruent met de som der polen modd. perioden 379—384 § 78. Definitie der functie p'(u). Zij is een elliptische functie van de 3e orde. Hieruit door integratie de functie van de 2e orde p{u). p'{u) is een oneven, p{u) een even functie. Hieruit het bewijs dat ook Piu) elliptisch is. p(u) en p'{u) zijn in u, wi, 03 homogeen, en van de graden — 2 en — 3 384—389 § 79.
De functie p{u) voldoet aan de differentiaalvergelijking l—V
=
4^^ — g2^ — gs- Reeksontwikkelingen voor p{u) en p'(u); p(u) = u-2 +f^c^. u'2n -2, p'(„) = _ 2 „ - 3 4 y (2« _ 2 ) . c . a2«-3 Beteekenis der coëfficiënten. C2 = 3 V ' i i y - 4 , cg = 5 y'w—6; g2 = 20^2 = 60 •£' w - 4 , ^3 = 28C3 = 140 2 ^ ; w-e. ^2 en g^ zijn homogene functies van eoi en «3, van de graden — 4 en — 6. z
Voor p{u) = e. wordt p'{u) = 0. Dit geschiedt in de punten my, — «2, «3. Bewijs dat e^, ^2^ ^3 verschillend zijn. De hoogere afgeleiden van p{u) van even orde zijn geheele rationale functies van p(u); die van oneven orde zijn gelijk aan het product van p'{u) en een geheele rationale functie van p{u) 389 § 80. De f-functie van H a l p h e n . Hare definitie en hare reeksontwikkeling. Zij is een oneven functie. Invoering der grootheden »;i = t{a>{), % = ?(<»31. en rj2 door de betrekking m + n2 + 'nz — O- f(") heeft in u = O slechts een pool van de Ie orde, en is dus niet meer elliptisch. Bewijs dat rj^ en ^73, en dus ook %- niet nul zijn.
394
De betrekking j^^wg — tj.^co^ = ^ van L e g e n d r e , en hare analoge. f(«) is in u, (»|, CÜ3, tji en tj^ in a>i en CO3 alleen homogeen en van den graad — 1 394—396 § 81. De a-functie van W e i e r s t r a s s . Haar definitie en ontwikkehng in een oneindig product. a[u) is een oneven, geheele transcendente functie. a[u + 2m{), o{u + 20,3), en algemeen a{u + 2h-^(o^ -f 2hsmg). a{u) is in u, w^, C03 homogeen en van den graad -f 1 . . . . 396—398 § 82. Elliptische functies als quotiënten van ff-producten. De beide voorwaarden OT = rt en 2^a = ^b. Een elliptische functie is door haar nulpunten en polen tot op een constanten factor na bepaald. Toepassing op p{u) — p{v). Door aan weerskanten den logarithmus
15 Pagina.
te nemen en dan te differenlieeren naar u en naar v, vindt men het optellingslheorema der f functie. Hieruit dat der/7-functie. Formule voor;7(2u). Het optellingstheorema der js-functie in determinanlenvorm. Optellingstheorema der p'-functie, en voorstelling dezer functie als een quotient van o-producten 398—403 § 83. Elliptische functies van de 2e soort. De multiplicatoren /xi en ,«3. Aquivariante functies van de 2e soort. De functies öi(a), a^iu), a^{u). ai^{u) is in u, wi, coo homogeen, en van den graad O . . 403—406 § 84. De betrekkingen p{u) -e^
= "-^"2 en p\u) = -
^^l^^h^M^^M.
Differentiaalvergelijkingen tusschen de quotiënten van twee o-functies. Hieruit door omkeering de functie sn[uVei — e^,k), als k'^ = ~ Betrekkingen tusschen srfi, crfi, drfi, p{u), en 85.
§ 86. § 87.
§ 88.
?.
-. De beide perio-
den 2coiVei — ^3 en 2a)-^Vei — e^ van sn^, crfi, dtfi 406—409 Over de realiteit der elliptische functies. Zal een elliptische functie voor reëele waarden van u reëel zijn, dan moet zij een reëele en een zuiver imaginaire periode hebben. Het periodenparallelogram een rechthoek. g2 en ^3 worden reëel, p\u) en p{u) voor reëele waarden van u eveneens, e-^, e^, ^3 zijn reëel, ei bovendien positief, ^3 negatief, en aangezien g-g = 2 ^ e^; is ^2 > O- Graphische voorstelling van p{u) en p'{u) voor reëele waarden van u. De waarden van p{u) en p'(u) langs den omtrek van den rechthoek O, coi, —co^, 0)3. Het spiegelen ten opzichte van de zijden van dezen. Conforme afbeelding van dezen rechthoek op de onderste helft van het ^-vlak door de functie z = p{u), en omgekeerd door de elliptische integraal van de Ie soort 410—415 De perioden en realiteitsgebieden van sn{v), cn(v), dn{v) . . . 416—421
of ƒ /?! . d^2- De „regularisierende Hilfsvariable" t, en de indee^0 ling der elliptische integralen in 3 soorten. Opbouw van de elliptische integraal van de Ie soort. Bewijs dat er slechts één bestaat. De beide periodiciteitsmoduli. Bewijs dat hun verhouding niet reëel is. Omkeering der elliptische integraal 426—435 § 89. De functie
16 Pagina.
iuncties. Gereduceerde Jacobische functies, of T-functies. Overgang op de algemeene 0-functie. Voor n = 1, g^ = g^ = O gaat zij over in de fundamenteele ê{v). •&(v) als reeks van Fourier. Haar convergentie. Verschillende vormen voor i?(w). Zij is een even functie van v. De karakteristieke differentiaalvergelijking . . . . 435—440 § 90. Algemeene ^-functie van de eerste orde en de karakters g^, ^3. De voorwaarde dat ook deze aan de karakteristieke differentiaaWergelijking der fundamenteele ê voldoet. Algemeene transformatieformule voor •Q'g^g^. Bijzondere gevallen. De 4 functies i?0' '^i. ^2- '^zHunne uitdrukkingen in reeksvorm. d'i is oneven, de drie andere zijn even. Formules voor i?,(t; + 1) en voor #J(Ü + T) . . . . 440—445
NOORDHOFF's Verzameling van Wiskundige Werken. Deel
I. Dr. HK. DE VRIES. De Vierde Dimensie. Eene inleiding tot de vergelijl^ende studie der verschillende Meetkunden. Gebonden . . . ƒ 3,90. Deel II. Dr. FRED. SCHUH. Grepen uit de Moderne Meetlcunde. Ie deel: Reciproke Transformaties in het vlak en in de ruimte. Hyperboloiden en Kegelsneden. Harmonische eigenschappen en cirkelbundels. Met 224 figuren in den tekst. Gebonden - 11,40. Deel III. Dr. G. SCHOUTEN. De Grondslagen der Rekenkunde. Met toepassingen op grenswaarden, oneindige reeksen en producten, gedurige breuken, dubbelreeksen. Gebonden . . . - 3,—. Deel IV. Dr. J. A. BARRAU. Analytische Meetkunde. Ie deel: Het Platte Vlak. Gebonden . . . . - 10,20. Deel V. Dr. FRED. SCHUH. Leerboek der Theoretische Rekenkunde. Ie deel: Natuurlijke getallen en cardinaalgetallen. Het rekenen in talstelsels en met positieve en negatieve getallen. Binomium van Newton en de stellingen van Fermat en Euler. Onbepaalde vergelijkingen en kenmerken van deelbaarheid. Ontbinding der Faculteiten. Gebonden - 10,20. Deel VI. Dr. HK. DE VRIES. Leerboek der Differentiaal- en Integraalrekening, en van de Theorie der Differentiaalvergelijkingen. Ie deel: De Differentiaal-, en Elementaire Integraalrekening. Gebonden - 19,20. deel II: Integraalrekening. Gebonden. . . . -16,50.
