Vysoké učení technické v Brně
Stavební fakulta
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE
Matematika I/2 BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY
Jan Šafařík
Brno
c 2011
1
(1) Integrace užitím základních vzorců. Z 1 √ 1 dx a) x+ + x+ √ x Z √x 4 14 3 11 − 2 dx b) x −√ 3 3 x5 3x Z c) 10x − 2x + 52x dx Z 3 x − 2x + 1 d) dx x3 Z 2 1−x dx e) x Z x2 f) dx 2 Z x + 21 5 sin x + 3 cos2 x g) dx 2 sin2 x cos2 x (NP) Integrace užitím základních vzorců. Z a) (3x2 + 2x − 1) dx Z b) x2 (x2 + 1) dx Z 3 x + 3x − 1 c) dx x Z (x − 1)3 √ d) dx Z √ x 3 ( x + 2) dx e) x (2) Integrace substituční metodou. Z a) (4x − 3)4 dx Z 1 dx b) 5 Z (2x − 7) 5 √ c) dx 2 Z 2 − 49x cos x d) dx Z sinxx + 1 e e) dx x e +1
[
√ 1 2 2 √ x + ln |x| + x x + 2 x + C 2 3 4 33 28 √ 5 + x + √ +C [ 3 15 2 x2 3x 10x 2x 52x [ − + +C ln 10 ln 2 2 ln 5 1 2 [ x+ − 2 +C x 2x 1 [− + x − 2 ln |x| + C x
] ] ] ] ]
[ x − arctg x + C ] 3 5 tg x − cotg x + C ] 2 2
[
[ x3 + x2 − x + C ] x5 x3 [ + +C ] 5 3 x3 + 3x − ln |x| + C ] 3 √ √ 2 √ 6 √ [ x3 x − x2 x + 2x x − 2 x + C ] 7 5 √ 2 √ [ x x + 6x + 24 x + 8 ln |x| + C ] 3 [
1 (4x − 3)5 + C ] 20 1 1 [− +C ] 8 (2x − 7)4 5 7x [ arcsin √ + C ] 7 2 [
[ ln | sin x + 1| + C ] [ ln |ex + 1| + C ]
2
Z f) Z g)
1 [ − cos4 x + C ] 4
sin x cos3 x dx esin x cos x dx
[ esin x + C ]
(NP) Integrace substituční metodou. Z x√ e arctg ex a) dx 1 + e2x Z dx √ b) 2 Z x x −1
[
sin6 x cos x dx
c) Z
1
ex d) dx 2 Z x cos(ln x) dx e) x (3) Integrace metodou per partes. Z a) xex dx Z b) x sin 2x dx Z 2 c) x3 ex dx Z d) ln x dx Z e) ln3 x · x dx Z f) x ln(x + 1) dx (NP) Integrace metodou per partes. Z x cos x a) dx 3 Z sin x b)
x sinh x dx Z
c) Z d)
2p arctg3 ex + C ] 3 1 [ arccos + C ] x 1 7 [ sin x + C ] 7
5xe−4x dx ex cos 2x dx
1
[ −e x + C ] [ sin(ln x) + C ]
[ xex − ex + C ] 1 1 [ − x cos 2x + sin 2x + C ] 2 4 1 x2 2 [ e (x − 1) + C ] 2 [ x ln x − x + C ] [
x2 3 3 3 3 (ln x − ln2 x + ln x − ) + C ] 2 2 2 4 1 1 1 [ ln(x + 1)(x2 − 1) − x2 + x + C ] 2 4 2
[−
x 1 − cotg x + C ] 2 2 sin x 2 [ x cosh x − sinh x + C ]
5 5 [ − xe−4x − e−4x + C ] 4 16 ex [ (cos 2x + 2 sin 2x) + C ] 5
3
Z e)
(x2 − 2x + 5)e−4 dx
[ −e−x (x2 + 5) + C ]
(4) Integrace racionální lomené funkce. Z 3x + 1 3 x+1 a) dx [ ln(x2 + 2x + 5) − arctg +C 2 x + 2x + 5 2 2 2 Z 3 x 1 3 √ 2x − 3 dx [ ln x − + + 3 arctg √ b) +C 2 x − 3x + 3 2 2 4 3 Z (x − 1)4 (x − 4)5 2x2 + 41x − 91 +C dx [ ln c) (x − 1)(x2 − x − 12) (x + 3)7 Z x e +1 d) dx [ − ln |ex | + 2 ln |ex − 1| + C ex − 1 Z 3 2 3x3 − 5x2 + 8x 1 e) dx [ − − + ln |(x − 1)(x + 1)2 | + C 2 2 2 (x − 2x + 1)(x − 1) 2 (x − 1) x−1
] ] ] ] ]
(NP) Integrace racionální lomené funkce. Z (x − 1)4 (x − 4)5 2x2 + 41x − 91 +C ] dx [ ln a) 7 (x − 1)(x + 3)(x − 4) (x + 3) Z 2 1 (x + 1) 1 dx 2x − 1 dx [ ln 2 + √ arctg √ b) +C ] 3 6 x −x+1 3 3 Z x +1 2 5 9 2x + 3 (x − 1) 2 √ √ c) dx [ x − ln(x + 3x + 4) + arctg +C ] x2 + 3x + 4 2 7 7 (5) Integrace goniometrických funkcí. Z a) sin x cos x dx Z b) tg x dx Z 1 − 2 sin x c) dx cos2 x Z d) cos3 x dx Z 1 e) dx 3 Z cos x 1 f) dx cos x
[
1 2 sin x + C ] 2
[ − ln | cos x| + C ] sin x − 2 +C cos x 1 2 [ sin x cos2 x + sin x + C 3 3 1 [− +C 3 sin3 x x [ − ln tg + C 2 [
] ] ] ]
4
(NP) Integrace goniometrických funkcí. Z a) sin3 x cos x dx Z b) cos5 2x sin 2x dx Z sin x − cos x dx c) sin x + cos x (6) Integrace iracionálních funkcí. Z 1 √ a) dx x+1 r Z 1 3 x + 1 b) dx x − 1√ (x + 1)(x − 1) √ √ Z 4 3 3 x − 7 x2 + 12 x √ √ c) dx x( 3 x − 6 x) Z d)
x √ dx x+ x
1 4 sin x + C ] 4 cos6 x +C ] [− 12 [
[ − ln | sin x + cos x|C ]
√ √ [ 2( x − ln | x + 1|) + C ] r 3 3 x+1 [− +C ] 2 x−1 √ √ √ √ 12 12 12 12 12 x − 21 x4 + 4 x3 + 30 x2 + [ 5 √ √ √ 12 12 x + 24 ln | 12 x + 1| + 36 ln | 12 x + 1| + C ] √ √ [ x − 2 x + 2 ln | x + 1| + C ]
(NP) Integrace iracionálních funkcí. Z
dx √ dx a) 1+ 3x √ Z x √ dx b) 3 1 −p x Z x 1 + x+1 c) dx x+1
! √ x2 √ [3 − 3 x + ln |1 + 3 x| + C ] 2 √ 6 x − 1 √ √ 6√ 6√ 6 6 6 5 7 +C ] [ −6 x − 2 x − x − x − 3 ln √ 6 5 7 x + 1 r r x x [ −2 − 2 ln − 1 + C ] x+1 x+1
(7) Výpočet určitého integrálu – úpravou. Z 5 1 a) dx 3 x Z 3 b) |1 − 3x| dx Z
0 1
c) −1
2x √ dx 5 − x2
√ 3
[ ln [
5 ] 3
65 ] 6 [0]
5
(8) Výpočet určitého integrálu – metoda per partes. Z π x sin x dx a)
[π]
0 1
Z b)
ln(x + 2) dx
[ 3 ln 3 − 2 ]
−1 1
Z
arccos x dx
c)
[π]
−1 1
Z
e3x x dx
d)
2 3 1 e + ] 9 9
[
0
(9) Výpočet určitého integrálu – substituční metoda. Z 4 1 √ 2 dx a) x) 1 (1 + Z π 3 1 − sin2 x b) dx 3 π sin x cos x 4 Z 5 ln x c) dx x 1 Z π 2 sin2 x cos x dx d)
[ 2 ln
3 1 − ] 2 3 [
[
1 ] 3
1 2 ln 5 ] 2 [
0
(NP) Výpočet určitého integrálu. Z 5 a) |x + 1| dx
1 ] 3
[ 36 ]
−7 1
Z
cosh x dx
b)
[ e−
1 ] e
[
2 ] 9
−1 1
Z c) 0
π 2
Z d) π 4
dx dx (2x + 1)3 cos x dx sin2 x
[
√
2−1 ]
(10) Vypočtěte obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného křivkami x2 + y 2 = 1, y = 1 − x, x ≥ 0, y > 0. [
π−2 ] 4
6
1 1 (11) Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky y = x2 − ln x, x ∈ h1, 3i. 4 2 1 [ 2 + ln 3 ] 2 (12) Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy P kolem osy x. P : y = −x2 +1, y = −2x2 + 2. [
16 π] 5
NP Vypočtěte povrch tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy x. P : x = a cos3 t, y = a sin3 t, t ∈ h0, πi, a > 0. [
6πa2 ] 2
2 NP Najděte těžiště homogenní hmotné oblasti omezené křivkami y = x2 , y = . 1 + x2 24 + 15π [ T 0; ] 30π − 20 NP Stanovte definiční obor dané funkce a načrtněte jej. p p p b) z = 2 y − x2 + 5 x − y 2 a) z = 1 − (x2 + y)2 c) z =
x2 + y 2 x2 − y 2
d) z = arcsin(1 − x2 − y 2 ) + arcsin 2xy
[ a) Dz = {(x; y) ∈ E2 : −x2 − 1 ≤ y ≤ −x2 + 1}; b) Dz = {(x; y) ∈ E2 : y ≥ x2 ∧ x ≥ y 2 }; c) Dz = E2 − {(x; y) ∈ E2 : y = x ∧ y = −x}; d) Dz = 1 {(x; y) ∈ E2 : x2 + y 2 ≤ 2} ∩ ({(x; y) ∈ E2 : y ≥ − ∧ x > 0} ∪ {(x; y) ∈ E2 : 2x 1 1 1 y ≤ − ∧x < 0})∪{(x; y) ∈ E2 : y ≤ ∧x > 0}∪{(x; y) ∈ E2 : y ≥ ∧x < 0}] 2x 2x 2x (13) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. a) z =
3xy x−y
c) z = xyesin πxy
b) z = (sin x)cos y p x2 + y 2 − x d) y = ln p x2 + y 2 + x
7
3y 2 3x2 0 , z = − 2; y (x−y) (x − y)2 b) zx0 = cos x cos y(sin x)cos y−1 , zy0 = − sin y ln sin x(sin x)cos y ;
[ a) zx0 = −
c) zx0 = y(1 + πxy cos πxy)z, zy0 = x(1 + πxy cos πxy)z; −2 −2x d) zx0 = p , zy0 = p ] x2 + y 2 y x2 + y 2 NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. s 2 x+y x+y a) z = 1 − + arcsin b) z = (2x + y)2x+y xy xy r r 1 xy − x − y 0 1 xy − x − y 0 [ a) zx = − 2 ,z = − 2 ; x xy + x + y y y xy + x + y b) zx0 = 2[1 + ln(2x + y)]z, zy0 = [1 + ln(2x + y)]z] (14) Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu daných funkcí. a) z =
cos x2 y
y √ b) z = x y + √ 3 x
2 sin x2 + 4x2 cos x2 00 2 cos x2 00 2x sin x2 4y 00 , zyy = , z ; b) zxx = = 7 , xy 3 2 y y y 9x 3 1 −x 1 00 = p , zxy = √ − 4 ] 2 y 3x 3 4 y3
[ a) x00xx = − 00 zyy
NP Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu daných funkcí. x a) z = p 2 x + y2
b) z =
1 ln(x2 + y 2 ) 2
−3xy 2 y(2x2 − y 2 ) −x(x2 + 2y 2 ) 00 00 00 p p [ a) = , zxy = , zyy = p ; b) zxx = 2 2 5 2 2 5 2 2 5 (x + y ) (x + y ) (x + y ) y 2 − x2 −2xy x2 − y 2 00 00 ,z = ,z = ] (x2 + y 2 )2 xy (x2 + y 2 )2 yy (x2 + y 2 )2 00 zxx
(15) Vypočtěte všechny požadované derivace daných funkcí. 000 a) z = ex ln y + sin y ln x, x000 xyy =?, xyyy =?
2
b) z = x2 y + exy , zx000 xy =?
8 000 [ a) zxyy =−
ex sin y 000 2ex 2 000 , z = − − cos y ln x; b) zxxy = 2 + exy y 3 (4 + 2xy 2 ) ] yyy 2 3 y x y
NP Určete d2 z v bodě A funkce z = f (x, y). π π a) z = sin x sin y, A = [ , ] 4 4
b) z = y ln x, A = (1, 1)
1 1 [ a) − dx2 − dxdy − dy 2 ; b) −dx2 + 2dxdy ] 2 2 NP Určete d2 z v bodě A funkce z = f (x, y). a) z = exy , A = [1, 2] [ a) 4e2 dx2 + 6e2 dxdy + e2 dy 2 ] Taylorova věta pro funkci f (x), X = [x1 , x2 , . . . , xn ]: 1 1 1 df (Xo ) + d2 f (Xo ) + · · · + dn f (Xo ) + Rn+1 (X), 1! 2! n! 1 kde zbytek Rn+1 (X) = dn+1 f (x1 + δh1 , . . . , xn + δhn ), δ ∈ (0, 1). (n + 1)! f (X) = f (Xo ) +
(16) Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f (x, y) v bodě A. a) z = ex sin y, A = [0, 0], n = 3 π b) z = sin(xy), A = [0, ], n = 2 2 1 π π 1 [ a) y + xy + x2 y − y 3 ; b) x + x(y − ) ] 2 6 2 2 NP Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f (x, y) v bodě A. a) z = ln(1 − x) ln(1 − y), A = [0, 0], n = 3 [ a) xy + 12 x2 y + 12 xy 2 ] Pravidla pro počítání složených funkcí: • z = f (x, y), x = x(t) a y = y(t) dz ∂f dx ∂f dy = · + · dt ∂x dt ∂y dt
9
• w = f (x, y, z), x = x(u, v), y = y(u, v) a z = z(u, v) ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z = · + · + · , ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂y ∂u ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z = · + · + · , ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂y ∂v • Obecně: w = f (x1 , . . . , xm ), xk = xk (t1 , . . . , tn ), pro k = 1, . . . , m ∂w ∂w ∂x1 ∂w ∂x2 ∂w ∂xm = · + · + ··· + · , ∂ti ∂x1 ∂ti ∂x2 ∂ti ∂xm ∂ti kde i = 1, 2, . . . , n. (17) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. a) z = u + v 2 , u = x2 + sin y, v = ln(x + y) b) z = u2 v − v 2 u, u = x cos y, v = x sin y 2 2 ln(x+y), zy0 = cos y+ x+y ln(x+y); b) zx0 = 3x2 sin y cos y(cos y− x+y sin y), zy0 = x3 (sin y + cos y)(1 − 3 sin y cos y) ] [ a) zx0 = 2x+
NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. x
a) z = uv , u = ln(x + y), v = e y
x
[ a)
zx0
v−1
= vu
y
ey vuv−1 −e y 1 + uv ln v , zy0 = + uv ln u 2 ] x−y y y−x y
(18) Určete první parciální derivace funkce z = f (x, y), která je dána implicitně danou rovnicí. a) cos(ax + by − cz) = k(ax + by − cz) b) x + y + z = ez a b 1 [ a) zx0 = , zy0 = ; b) zx0 = = zy0 ] c c (x + y + z − 1) NP Vypočtěte první parciální derivace v bodě A funkce z = f (x, y), která je dána implicitně danou rovnicí. a) ez + x2 y + z + 5 = 0, A = [1, −6, 0] h π π πi b) cos2 x + cos2 y + cos2 z − 1 = 0, A = , , 3 2 6
10
1 [ a) zx0 (A) = 6, zy0 (A) = − , NP) zx0 (A) = −1, zy0 (A) = 0 ] 2 Tečná rovina a normála plochy: Tečná rovina τ a normála n plochy z = f (x, y) v bodě B0 = [x0 ; y0 ; z0 ] jsou dány rovnicemi tvaru: τ: (x − x0 ) · fx (B0 ) + (y − y0 ) · fy (B0 ) − (z − z0 ) = 0 x − x0 y − y0 z − z0 n: = = fx (B0 ) fy (B0 ) −1 Je-li plocha dána implicitně F (x; y; z) = 0, pak τ: n:
(x − x0 ) · Fx (B0 ) + (y − y0 ) · Fy (B0 ) + (z − z0 ) · Fz (B0 ) = 0 y − y0 z − z0 x − x0 = = Fx (B0 ) Fy (B0 ) Fz (B0 )
Pro normálový vektor ~n tečné roviny platí ~n = (Fx (B0 ); Fy (B0 ); Fz (B0 )). Normálu si můžeme vyjádřit parametricky ve tvaru: x = x0 + tFx (B0 ), y = y0 + tFy (B0 ), z = z0 + tFz (B0 ); t ∈ R. (19) Nalezněte tečnou rovinu a normálu v bodě A plochy z = f (x, y) zadané implicitně danou rovnicí. a) x2 + y 2 + z 2 − 49 = 0, A = [2, −6, ?] b) (z 2 − x2 )xyz − y 5 = 5, A = [1, 1, 2] [ a) τ1 : 2x − 6y + 3z − 49 = 0, n~1 : x = 2 + 4t, y = −6 − 12t, z = 3 + 6t, τ2 : 2x − 6y − 3z − 49 = 0, n~2 : x = 2 + 4t, y = −6 − 12t, z = −3 − 6t ] NP Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T plochy z = f (x, y). z = xy 2 − x2 y, T = [2; 1; ?]. [ τ : 3x + z − 4 = o; ~n : x = 2 + 3t, y = 1, z = −2 + t ] NP Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T plochy z = f (x, y). y2 z = 2 , T = [−1; 2; ?]. x [ τ : 8x + 4y − z44 = o; ~n : x = −1 + 8t, y = 2 + 4t, z = 4 − t ]
11
NP Určete p derivaci ve směru ~s v bodě A a gradient v bodě A funkce z = f (x, y). z = x2 + y 2 − xy, A = [3; 4], ~s = (3; 4). [
19 17 11 ∂z (A) = − , grad z = − ~i − ~j ] ∂~s 5 5 5
NP Určete derivaci funkce z = ln(x2 + y 2 ) v bodě A = [1; 2]. √ a) ve směru tečného vektoru v bodě A ke křivce y = 2 x, b) ve směru, v němž je derivace maximální. [ a)
∂z 3√ 2√ ∂z (A) = − (A) = − 2; b) 2] ∂~s 5 ∂~s 5
(20) Nalezněte lokální extrémy daných funkcí. √ a) z = x y − x2 − y + 6x + 3 b) z = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2 x c) z = ln + 2 ln y + ln(12 − x − y) 6 [ a) [4; 4] - lok.max.; b) [−1; 2] - není, [0; 0] - lok.min., [−1; −2] a − 52 ; 0 - lok.max.; c) [3; 6] - lok.max. ] NP Nalezněte lokální extrémy daných funkcí. 50 20 a) z = xy + + √ x 2 y b) z = y x − y − x + 6y [ a) [5; 2] - lok.min.; b) [4; 4] - lok.max. ] (21) Nalezněte vázané extrémy dané funkce při daných podmínkách. a) z = x + 2y; podm. x2 + y 2 = 5 1 1 b) z = + ; podm. x + y = 2 x y [ a) [1; 2] - lok.max., [−1; −2] - lok.nim.; b) [1; 1] - lok.min. ] NP Nalezněte vázané extrémy dané funkce při daných podmínkách. a) z = x + y; podm. xy = 1 1 1 1 1 b) z = + ; podm. 2 + 2 = 1 x y x y
12
√ √ √ √ [ a) [1; 1] - lok.max., [−1; −1] - lok.nim.; b) [− 2; − 2] - lok.min., [ 2; 2] lok.max. ] (22) Najděte absolutní extrémy daných funkcí. a) z = x2 + 2xy − 4x + 8y; na obdélníku 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 b) z = x2 − xy + y 2 ; M je určena nerovnicí |x| + |y| ≤ 1 c) z = x2 + y 2 − 12x + 16y; na oblasti dané nerovnicí x2 + y 2 ≤ 25 [ a) [1; 2] - abs.max., [1; 0] - abs.nim.; b) [0; 1], [0; −1], [1; 0], [−1; 0] - abs.max., [0; 0] - abs.min.; c) [3; −4] - abs.min., [−3; 4] - abs.max.]
13
Reference [1] Novotný J.: Matematika I - Základy lineární algebry, CERM, FAST VUT Brno 2004. [2] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 2004. [3] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkcí více reálných promennch, CERM, FAST VUT Brno 2004. [4] Tryhuk, V. - Dlouhý, O.: Matematika I, Vybrané části a aplikace vektorového počtu, Modul GA01 M01, studijní opory pro studijní program Geodézie a kartografie s kombinovanou formou studia, Fakulta stavebni, Vysoké učení technické, Brno, 2004. [5] Chrastinová, V.: Matematika, Vektorvá algebra a analytická geometrie, Modul 3, studijní opory pro studijní programy s kombinovanou formou studia, Fakulta stavebni, Vysoké učení technické, Brno, 2004. [6] Daněček, J. - Dlouhý, O.: Integrální počet I, CERM, FAST VUT Brno 2003. [7] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Přibyl, O.: Matematika I, Modul 7, Neurčitý integrál, Akademické nakladatelství CERM, Brno 2007. [8] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Přibyl, O.: Matematika I, Modul 8, Určitý integrál, Akademické nakladatelství CERM, Brno 2007. [9] Tryhuk, V.: Matematika I1 - Úvod do matematické logiky a teorie množin, CERM, FAST VUT Brno 1994. [10] Tryhuk, V.: Matematika I2 - Reálná funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 1994. [11] Veverka, J. - Slatinský E.: Matematika I3 - Diferenciální pocet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 1995. [12] Novotný J.: Matematika I4 - Lineární algebra, CERM, FAST VUT Brno 1995. [13] Horňáková, D.: Matematika I5 - Vektorová algebra, CERM, FAST VUT Brno 1995. [14] Horňáková, D.: Matematika I6 - Analytická geometrie, CERM, FAST VUT Brno 1995. [15] Voráček, J.: Matematika I7 - Neurčitý integrál, CERM, FAST VUT Brno 1995. [16] Voráček, J.: Matematika II1 - Určitý integrál a jeho užití, CERM, FAST VUT Brno 1995. [17] Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematiky II, Modul BA01-M11, Neurčitý a určitý integrál, diferenciální počet funkcí více proměnných, diferenciální rovnice, Akademické nakladatelství CERM, Brno 2008. [18] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Koutková, H. - Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky I., CERM, FAST VUT Brno 1994. [19] Čermáková, H. - Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematiky II., CERM, FAST VUT Brno 1994. [20] Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky III., CERM, FAST VUT Brno 1995. [21] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Diferenciální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 2001, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/diferencialni pocet/. [22] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Integrální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 2001, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/integralni pocet/. [23] Veverka, J.: Diferenciální počet II, Fakulta stavební, Brno 1982. [24] Eliaš, J. - Horvát, J. - Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky, 1. časť, SVTL, Bratislava 1965. [25] Černá, B.: Cvičení z lineární algebry, MZLU v Brně, Brno 1998. [26] Jelínek, Z. - Samotná O.: Matematika - Integrální počet, Skriptum VŠ zemědělské v Brně, SPN, Praha 1985. [27] Jirásek, F. - Kriegelstein, E. - Tichý, Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I, SNTL/ALFA, Praha 1987. [28] Karásek, J. - Maroš, B.: Integrální počet, Matematika - Metodické pokyny pro cvičení, CERM, FAST VUT Brno 1994.
14
[29] Kříž, J. - Křížová, H.: Diferenciální počet, metodické pokyny, Fakulta strojní VUT, Brno 1978. [30] Vosmanská, G.: Matematika, MZLU v Brně, Brno 1997. [31] Online verze textů: Riešené úlohy z matematiky 1, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta/skripta.pdf. [32] Online verze textů: Riešené úlohy z matematiky 2, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta2/skripta2.pdf.
Mgr. Jan Šafařík Typeset by LATEX
