Polyedry, polyedrické (diskrétní) plochy
Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 – letní semestr
Základní tělesa
1
Co jsou základní tělesa?
• Základní tělesa pro tvorbu modelů – standardní výbava nejrůznějších programů CAD; jsou základními stavebními kameny pro 3D modelování – zadávají se pomocí určujících parametrů – změnou určujících parametrů dochází ke změně parametricky zadaného tělesa
• Základní tělesa v SW Rhino – kvádr (krychle), koule, elipsoid, paraboloid(?), kužel, komolý kužel, válec, dutý válec, anuloid (torus), potrubí(?)
Základní tělesa - přehled
kvádr
Sears Tower, Chicago, US
2
Kvádr a krychle
výška
v
2 šířka
1 délka
3 2
1
sjednocení stěn (povrch)
h
1
plné těleso (povrch+vnitřek)
Typy modelů
• Pro CAD modelování – Sjednocení stěn (plošný model) • těleso je popsáno jen svojí hranicí
– Těleso (plný model) • hranice i vnitřek
• Pro účely zobrazování (deskr. g.) – Drátěný model • reprezentuje hrany tělesa a vybrané křivky na povrchu
3
Základní tělesa - přehled
kužel
Norman Foster Millenium Tower Tokyo, Japan
Kužel
výška
v 1
1
poloměr střed kruhové podstavy
povrch
v
2
2
těleso
4
Kuželová plocha • K.P. je dána vrcholem V a řídicí křivkou k:
V
– kuželová plocha je tvořena všemi přímkami (tzv. površkami) procházejícími vrcholem V a libovolným bodem na řídicí křivce
k
• Tečné roviny – ve všech bodech téže površky se K.P. dotýká téže tečné roviny
Základní tělesa -přehled
válec
Hans Hollein HAAS-HAUS Wien, Oesterreich
5
Válec
výška
poloměr
povrch
3
v
v 1
1
Střed kruhové podstavy
3
2
2
těleso
Válcová plocha
• V.P. je dána směrem s a řídicí křivkou k – V.P. je tvořena všemi přímkami (površkami) , které náležejí témuž směru (jsou všechny navzájem rovnoběžné) a protínají řídicí křivku
• Tečné roviny – ve všech bodech téže površky se V.P. dotýká téže tečné roviny
6
Vytažení • rovnoběžné vytažení (Extrusion) – bodová množina v rovině (mnohoúhelník, křivka, oblast,...) je podrobena spojité translaci dané směrem vytažení
• obdobně vytažení do bodu
Vytažení jako konstrukční postup • identifikace těles vzniklých vytažením může značně zjednodušit vlastní způsob konstrukce • např.
p1
p2
7
Základní tělesa - přehled
koule
Adrian Fainsilber CITE DES SCIENCES ET DE'L INDUSTRIE, Paris, Frankreich
Koule, kulová plocha (sféra) Střed 4 1
1 2
poloměr
kulová plocha
3
2
koule
8
Základní tělesa - přehled anuloid (torus)
Santiago Calatrava Funk - Fernsehturm Montjuic Spanien
Takasaki Masaharu ASTRONOMICAL MUSEUM Kihoku-cho, Japan
Anuloid - vytvoření Rotací kruhu K kolem osy o, která leží v rovině kruhu K, vzniká anuloid (torus). o ... osa střed
K ... kruh
9
Anuloid (torus)
3 1
2
1
3 2
Typy anuloidů Podle počtu průsečíků hraniční kružnice rotujícího kruhu K a osy o (0,1, nebo 2) rozeznáváme různé typy anuloidů
10
Plochy/Tělesa
Mnohostěny, Eulerova věta
11
Mnohostěny/polyedrické plochy
• Mnohostěny – tělesa ohraničená rovinnými mnohoúhelníky – rozlišujeme vrcholy, hrany, stěny - každá hrana náleží právě dvěma stěnám a v každém vrcholu se protínají nejméně tři hrany a tři stěny – např. kvádr, krychle, …
• Polyedrické (diskrétní) plochy – sjednocení konečně mnoha mnohoúhelníků (stěn), které nemusejí ohraničovat těleso
Hranol
Castel del Monte, jižní Itálie
Židovské muzeum, Berlín
12
Hranol kolmý hranol
kosý hranol
výška
podstava
• kvádr, krychle, … • hranoly, jejichž obě podstavy jsou shodné pravidelné n-úhelníky patří mezi archimédovská tělesa (viz dále)
Jehlan
The Transamerica pyramid, S. Francisco
Pyramidy v Gíze
Louvre, Paříž
The Taipei 101, Tchai-pej
13
Jehlan jehlan
výška
komolý jehlan
obelisk
v
vytažení do bodu
podstava
Konvexní a nekonvexní útvary • Konvexní množiny (ve 2D, 3D, ...): – Bodová množina, které spolu s body A, B náleží i všechny body úsečky AB
A
B
konvexní
A
B nekonvexní
• Konvexní mnohostěny: – Mnohostěny, které jsou konvexními bodovými množinami
14
Konvexní a nekonvexní mnohostěny • Topologicky ekvivalentní tělesa jsou taková tělesa, jež je možno na sebe převést pomocí spojitých deformací
konvexní (topologicky ekvivaletní kuželu, kvádru, kouli, ...)
nekonvexní (topologicky různá)
Platónská tělesa • Konvexní mnohostěny, jejichž všechny stěny jsou navzájem shodné pravidelné mnohoúhelníky a z jejichž každého vrcholu vychází stejný počet hran. • Existuje právě 5 platónských těles – – – –
Tetraeder: 4 rovnostranné trojúhelníky, 4 vrcholy, 6 hran Hexaeder (krychle): 6 čtverců, 8 vrcholů, 12 hran Oktaeder: 8 rovnostranných trojúhelníků, 6 vrcholů, 12 hran Dodekaeder: 12 pravidelných pětiúhelníků, 20 vrcholů, 30 hran – Ikosaeder: 20 rovnostranných trojúhelníků, 12 vrcholů, 30 hran
všem lze opsat i vepsat kulovou plochu
15
Platónská tělesa Tetraeder (čtyřstěn)
Oktaeder (osmistěn)
Hexaedr (krychle)
Ikosaeder (dvacetistěn)
Dodekaedr (dvanáctistěn)
Sítě platónských těles Čtyřstěn Osmistěn
Krychle
Dvanáctistěn
Dvacetistěn
16
Dualita platónských těles • těžiště stěn platónského tělesa jsou opět vrcholy platónského tělesa (tzv. duální těleso)
• čtyřstěn čtyřstěn • krychle osmistěn
• dvanáctistěn dvacetistěn
Platónská tělesa v architektuře
17
Zlatý řez (zlatý, božský poměr)
• zlatý řez vznikne rozdělením úsečky na dvě části tak, že poměr větší části k menší je stejný jako poměr celé úsečky k větší části. • v umění je pokládán za ideální proporci mezi různými délkami (zlatý obdélník)
Zlatý řez v umění
Parthenón, Atény
Leonardo da Vinci
Cheopsova pyramida, Káhira
Velká mešita, Tunisko
18
Zlatý řez a platónská tělesa
• uvažujeme 3 shodné navzájem kolmé zlaté obdélníky se společným středem (viz obr.) a vrcholy (0, ±1, ±φ) (±1, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1) • tyto souřadnice určují vrcholy pravidelného dvacetistěnu se středem v počátku a délkou hrany 2
Eulerova formule • za předpokladu, že těleso je topologicky ekvivalentní s koulí („nemá žádný otvor“), potom platí
v–h+s=2 • v .......... počet vrcholů • h .......... počet hran • s .......... počet stěn
Leonard Euler (1707-1783)
19
Geodetické sféry a kopule
Geodetické sféry • Geodetická sféra je mnohostěn s výhradně trojúhelníkovými stěnami nahrazující kouli • Název je odvozen od pojmu geodetika (nejkratší spojnice na ploše) • G.S. se odvozují z platónských těles dělením stěn na menší trojúhelníky a následným promítnutím na opsanou kulovou plochu
• Části geodetických sfér se označují jako geodetické kopule
20
Geodetické sféry • V řadě CAD systémů jsou geodetické sféry odvozeny od pravidelného dvacetistěnu • Stěny geodetických sfér nejsou ani shodné, ani rovnostranné trojúhelníky!
Generování geodetické sféry Varianta 1 • Základní těleso: dvacetistěn • Počet trojúhelníků v k-tém kroku … 20*(k+1)^2
Krok 1 (20*4 = 80 trojúh.)
Krok 2 (20*9 = 180 trojúh.)
Krok 3 (20*16 = 320 trojúh.)
21
Generování geodetické sféry Varianta 2 • Základní těleso: dvacetistěn • Počet trojúhelníků v k-tém kroku … 20*4^k (rekurzívně: 4 krát více trojúhelníků než v kroku předchozím)
Krok 1 (20*4 = 80 trojúh.)
Krok 2 (20*16 = 4*80 = 320 trojúh.)
Krok 4 (20*256 = 4*1280 = 5120 trojúh.)
Krok 3 (20*64 = 4*320 = 1280 trojúh.)
Generování geodetické sféry další výchozí tělesa • Základní těleso: čtyřstěn nebo osmistěn • principy dělení jako u dvacetistěnu
čtyřstěn
osmistěn
krok 1
krok 2
krok 3
22
Geodetické kopule v architektuře • • • • • •
vynikající statické vlastnosti nízká spotřeba materiálu energetická úspornost odolnost proti větru zajímavé akustické vlastnosti atraktivní design
Polyedrické (diskrétní) plochy
23
Diskrétní plochy • sjednocení konečně mnoha mnohoúhelníků (stěn), které nemusejí ohraničovat těleso
hrana vrchol
stěna krajní hrana
Diskrétní plochy • diskrétní plochy slouží jako aproximace hladkých ploch (náhrada s předem danou tolerancí) • v architektuře se realizují nejčastěji jako konstrukce z oceli a skla • v designu se uplatňují lépe než hladké plochy (nižší náklady)
24
