Geometrické transformace v rovině
Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 – letní semestr
Shodné transformace
1
Shodné transformace • shodné transformace (shodnosti, izometrie) převádějí objekt z jedné pozice do druhé tak, že se zachovávají všechny délky – v důsledku zachování délek se zachovávají i úhly, obsahy, objemy, ... • trojúhelníky se shodnými stranami jsou shodné shodné
neshodné
• n-úhelníky (n>3) se shodnými stranami nejsou obecně shodné
Shodnosti přímé a nepřímé • rozeznáváme přímé a nepřímé shodnosti: • přímé shodnosti zachovávají orientaci soustavy souřadnic (=smysl obíhání vrcholů trojúhelníka) • nepřímé shodnosti obracejí orientaci soustavy souřadnic
přímo shodné
nepřímo shodné
2
Shodnosti ve 2D
• Přímé shodnosti: – – – –
Identita Posunutí (translace) Otočení (rotace) kolem středu Středová souměrnost (spec. případ rotace)
• Nepřímé shodnosti: – Osová souměrnost – Posunutá souměrnost (složení osové souměrnosti a posunutí ve směru osy souměrnosti)
Posunutí (translace)
• posunutí je určeno vektorem posunutí (směr, velikost, orientace)
3
Rovnice posunutí r t = ( a, b)
x' = x + a y' = y +b
Otočení (rotace)
• otočení je určeno středem otočení a orientovaným úhlem otočení
4
Rovnice otočení r a1 = ( x cos ρ , x sin ρ ) r b1 = (− y sin ρ , y cos ρ ) r r r p1 = a1 + b1
x ' = x cos ρ − y sin ρ y ' = x sin ρ + y cos ρ • Speciální případy: • rho = 0o – identita (x’=x,y’=y) • rho = 180o – středová souměrnost (x’=-x,y’=-y)
Osová souměrnost
• osová souměrnost je určena osou souměrnosti
5
Rovnice osové s. (speciální případy) • souměrnost podle osy x
x' = x y' = −y • souměrnost podle osy y
x ' = −x y' = y
Složení osových souměrností • složením osové souměrnost podle osy x a osové souměrnosti podle osy y vzniká středová souměrnost podle počátku
6
Posunutá souměrnost • posunutá souměrnost vzniká složením osové souměrnosti a posunutí ve směru osy s.
x' = x +t y' = −y
Skládání geometrických transformací • Skládáním shodností vzniká opět shodnost – přímá s.
ο
– nepřímá s. – přímá s.
přímá s. přímá s.
ο nepřímá s. přímá s.
ο nepřímá s. nepřímá s.
• Příklad: – posunutá souměrnost(nepřímá s.) = = osová souměrnost (nepřímá s.) ο posunutí (přímá s.)
7
Skládání osových souměrností • Každou shodnost v rovině lze vyjádřit jako složení nejvýše 3 osových souměrností • Jsou-li 2 osy různoběžné, vzniká rotace
• Jsou-li 2 osy rovnoběžné různé, vzniká posunutí
Vlastnosti skládání geometrických transformací • skládání není obecně komutativní (záleží na pořadí skládání!!!)
8
Afinní transformace • všechny dosud studované transformace jsou spec. případem rovinné afinní transformace dané předpisem
x ' = ax + by + p y ' = cx + dy + q kde a,b,c,d,p,q jsou reálná čísla splňující podmínku
ad − bc ≠ 0 • afinní transformace patří mezi lineární transformace (navíc zachovávají rovnoběžnost přímek)
Maticový popis transformací I • rovinná afinní transformace daná předpisem
x ' = ax + by + p y ' = cx + dy + q se dá vyjádřit v maticovém tvaru
x ' a b x p x = + = A ⋅ +B y ' c d y q y kde matice A je regulární (det(A) je nenulový)
9
Shodnosti jako afinní transformace • afinní transformace daná předpisem
x ' a b x p x = + = A ⋅ + B, y ' c d y q y kde matice A je regulární (det(A) je nenulový), je shodností právě tehdy, když
AT ⋅ A = A ⋅ AT = I , kde I je jednotková matice
Maticový popis transformací II • kromě výše uvedeného tvaru (matice A a B) se používá i vyjádření jedinou maticí typu 3x3
1 1 0 0 1 1 x ' = p a b x = C ⋅ x y ' q c d y y kde matice C je regulární (det(C) je nenulový)
10
Skládání transformací a maticové násobení • uvažujme rotaci R a translaci T,které jsou popsány pomocí matic R a T 0 1 1 x ' = 0 cos ρ y ' 0 sin ρ
0 1 1 − sin ρ x = R ⋅ x , y cos ρ y
1 1 0 0 1 1 x ' = a 1 0 x = T ⋅ x y ' b 0 1 y y
• složená transformace Rο οT R
T
X a X ' a X '' • je dána maticovým vyjádřením
1 1 1 1 x '' = T ⋅ x ' = T R ⋅ x = (T ⋅ R ) x y '' y ' y y
Příklady neshodných transformací
11
Změna měřítka na osách (dilatace)
• tato transformace je dána středem a nenulovými faktory (násobky) původních jednotek • případě, že střed je v počátku
x ' = f1 x y ' = f2 y
Stejnolehlost
• pokud f1 = f2, potom dostáváme stejnolehlost (dána středem a koeficientem) • stejnolehlost patří mezi podobné transformace (podobnosti) – zachovávají tvar a úhly (obecně NE délky) • středová souměrnost je stejnolehlost s koeficientem -1
• každou podobnost v rovině lze vyjádřit jako složení stejnolehlosti a shodnosti
12
Shear transformation (smýknutí)
• tato transformace je dána osou a úhlem • odpovídající body leží na přímce rovnoběžné s osou, odpovídající přímky se protínají na ose
• shear transformation mění tvar, ale zachovává obsah • použití – např. tvorba kurzívy ze standardního písma
Shear transformation – analytický popis
x ' = x + tan α ⋅ y y' = y
13
Teselace, mozaiky
Regulární (pravidelné) a semiregulární teselace
• rovinná teselace, mozaika = úplné pokrytí části roviny dlaždicemi bez vzájemného překrývání jednotlivých dlaždic • všechny dlaždice jsou navzájem shodné pravidelné n-úhelníky – regulární teselace (pouze n=3,4,6)
• jako dlaždice bereme různé pravidelné n-úhelníky (se stejnou konfigurací u vrcholu!!!) – semiregulární teselace
14
Obecná (iregulární) teselace
• obecně lze připustit dlaždice libovolného (ne nutně mnohoúhelníkového) tvaru
Alhambra - mozaiky • Alhambra je středověký komplex paláců a pevností maurských panovníků Granady jižní Španělsko • Alhambra je proslulá svými mozaikami a ornamenty
15
Maurits Cornelis Escher • Nizozemský umělec, známý svými kresbami a grafikami, ve kterých zobrazuje paradoxy perspektivního kreslení a různé druhy mozaik • Silně ovlivněn maurskou ornamentální výzdobou v paláci Alhambra • jeho hlavním záměrem bylo přenést přesná matematická pravidla do umění
M. C. Escher (1898-1972)
M. C. Escher
16
M. C. Escher
M. C. Escher
17
M. C. Escher
M. C. Escher
18
Teselace M.C. Eschera a shodné transformace
• pokrytí roviny lidskou postavou + triangulace roviny
• můžeme studovat shodnosti, vůči nimž se teselace nemění – např. posunutí zobrazující bod A do bodu B, resp. C
Teselace M.C. Eschera a shodné transformace
• můžeme studovat shodnosti, vůči nimž se teselace nemění – dále např. otočení kolem D o 120, resp. 240 st. – a samozřejmě všechna složená zobrazení
19
Návrhy „složitějších“ dlaždic M.C. Eschera
• jednoduchý princip je založen např. na tzv. T-křivkách (reprodukují se v translaci) a S-křivkách (reprodukují se ve středové souměrnosti)
Další „složitější“ dlaždice M.C. Eschera
20
