1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
V této kapitole se dozvíte: •
axiomatick ou definici n ormy v ek to ru;
•
co je to no rmo v ání vektoru a j ak v yp adá Eu klidovská n o rma;
•
axiomatickou definici skalárního (také vnitřníh o) so učin u vekto rů;
•
jak vypadá skalární součin geome trických neb o fyzikálních vekto rů;
•
obecnou definici průmětu a proj ekce vektoru do jiného vektoru.
Klíčová slova této kapitoly: norma vektoru, normování vektoru, Euklidovská norma, skalární (vnitřní) součin, průmět a projekce vektoru.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0 ,25 + 0 ,5 hodin y (teo rie + řešení p říkladů)
Norma vektoru. Definice. Normou (velikostí, délkou, modulem) vektoru rozumíme reálnou funkci x na vektorovém prostoru V , platí-li pro libovolné dva vektory x, y z V a libovolný skalár k: a) x ≥ 0 (pozitivnost); b)
x + y ≤ x + y (trojúhelníková nerovnost);
c)
kx = k ⋅ x (homogenita);
d)
x = 0 ⇔ x = 0 (pozitivní definitnost).
Poznámka. a) Někdy se norma značí podobně jako absolutní hodnota, tj. x . V tomto případě se většinou používá název velikost nebo délka vektoru. Ve fyzice a geometrii je také používána konvence, že se velikost (norma) vektoru označuje pouhým jménem vektoru bez dalších úprav (tzn. netučně, resp. bez šipky nad vektorem). Např. x označuje velikost G vektoru x (nebo x ) apod. b) Každá norma indukuje tzv. metriku, tj. reálnou funkci d ( x, y ) vektorů x, y z V takto: d ( x, y ) ≡ x − y . Metrika je zobecněním geometrického pojmu vzdálenosti dvou bodů (daných jejich polohovými vektory) na libovolný vektorový prostor V . Ukázkový příklad 1. Typickým příkladem normy je tzv. Euklidovská norma, definovaná v R n jako odmocnina ze součtu druhých mocnin souřadnic vektoru:
( x1 , x2 , ..., xn )
= x12 + x2 2 + ... + xn 2 .
Čtenář si může snadno dokázat, že splňuje potřebné axiomy. Normování vektorů. Někdy chceme pracovat pouze s vektory určité délky (nejčastěji jednotkovými). Úpravu normy vektoru na požadovanou hodnotu nazýváme normováním vektoru. Věta. Normování libovolného nenulového vektoru k jedné zajistíme vydělením jeho normou x (jednotkové vektory zpravidla označujeme dolním indexem 0 ): x 0 = . x Důkaz. Z homogenity a pozitivnosti normy snadno plyne: x 0 = Skalární součin.
x 1 x = = 1. x = x x x
Definice. Skalárním (vnitřním) součinem nazveme funkci, která dvojici vektorů x, y z V přiřazuje skalár označený x ⋅ y tak, že pro každé x, y, z z V a každý skalár k platí: a) ( x + y ) ⋅ z = ( x ⋅ z ) + ( y ⋅ z ) (aditivnost). b)
( kx ) ⋅ y = k ( x ⋅ y ) (homogenita).
c) x ⋅ y = y ⋅ x (symetrie, komutativnost). d) x ⋅ x > 0 pro x ≠ 0 (pozitivní definitnost). Jednoduchým důsledkem uvedených axiomů je dále: e) x ⋅ ( y + z ) = ( x ⋅ y ) + ( x ⋅ z ) . f) x ⋅ ( ky ) = k ( x ⋅ y ) . g) x ⋅ 0 = 0 ⋅ x = 0 . Poznámka. a) Tato definice platí přesně pouze pro vektorový prostor nad tělesem reálných čísel; v případě komplexních čísel nabývá axiom b) tvaru x ⋅ y = y ⋅ x a důsledek f) tvaru x ⋅ ( ky ) = k ( x ⋅ y ) , kde pruh značí komplexní sdružení. b) Dá se dokázat, že reálná funkce x = x ⋅ x , definovaná na V , splňuje axiomy normy, tak jak byly uvedeny výše. Ukazuje se tedy, že je-li vektorový prostor vybaven skalárním součinem, je v něm možno takto přirozeně zavést také normu (a tudíž i metriku). V dalším textu tento vztah mezi skalárním součinem a normou předpokládáme. Ukázkový příklad 2. Nejznámějším příkladem vektorového prostoru se skalárním součinem je 2- nebo 3dimenzionální prostor geometrických, příp. fyzikálních vektorů, ve kterém je skalární součin vektorů a, b definován jako součin velikostí těchto vektorů a kosinu úhlu, který svírají: a ⋅ b = a b cosγ . Z geometrického názoru se dá snadno ukázat, že uvedená funkce opravdu splňuje axiomy skalárního součinu. Normy vektorů a , b v uvedeném vzorci jsou normy indukované uvedeným skalárním součinem, platí totiž: a ⋅a =
a ⋅ a ⋅ cos 0 =
a
2
= a = a .
Průmět a projekce vektoru. Definice. Průmětem vektoru a do vektoru b nazýváme vektor ( a ⋅ b 0 ) b 0 , kde b 0 ≡
b je jednotkový b
vektor ve směru vektoru b . Číslo ab = a ⋅ b 0 nazýváme projekcí vektoru a do vektoru b . Poznámka. a) V případě geometrických nebo fyzikálních vektorů v 2- a 3-dimenzionálním prostoru se dá projekce vektoru a do vektoru b vyjádřit ve tvaru ab = a cosγ , kde γ je úhel mezi vektory a , b ; jedná se tedy o skutečnou pravoúhlou projekci. b) Je zřejmé, že projekce je až na případné znaménko rovna normě (velikosti) průmětu.
Shrnutí kapitoly: Normou vektoru rozumíme v axiomatickém pojetí libovolnou reálnou funkci na vektorovém prostoru, splňující čtyři dané axiomy. Nejpoužívanější normou v R n je tzv. Eukleidovská norma
( x1 , x2 , ..., xn )
= x12 + x2 2 + ... + xn 2 .
Normováním rozumíme úpravu normy vektoru na požadovanou hodnotu. Normování libovolného nenulového vektoru k jedné provedeme snadno vydělením vektoru jeho normou. Skalární (také vnitřní) součin v ektorů definujeme axiomaticky jako reálnou (obecněji komplexní) funkci, která každým dvěma vektorům přiřazuje nějakou reálnou (obecněji komplexní) hodnotu a která splňuje čtyři určité axiomy. Nejznámější j e skalární součin geometrických nebo fyzikálních vektorů a ⋅ b = a b cosγ . Skalární součin přirozeným způsobem indukuje normu podle vztahu x = x⋅x . Pomocí skalárního součinu lze obecně definovat pojmy průmět a projekce vektoru do jiného vektoru. V případě geometrických nebo fyzikálních vektorů se skutečně jedná o pravoúhlé průměty, u abstraktnějších vektorů tyto pojmy ztrácejí svůj bezprostřední geometrický význam, ale i zde geometrická terminologie usnadňuje porozumění.
Otázky: •
Jak je axio matick y definována no r ma vek to rov ého p ro sto ru ? Zobec něním jakého pojmu je takto d efin ovan á veličina?
•
Uveďte vzo rec p ro výp očet Eu klid o vské no rmy.
•
Podejte přesnou axio matickou definici skalárního součinu včetně tří základn ích důsledků . Čím asi byla uvede n á definice inspirována?
•
Napište vzorec pro sk alární součin geo metrick ých, p řípadn ě fyzi kálních vektorů .
•
Definujte p rů mět a p ro jekci v ekto ru do jiného vektoru. Jaký je vztah mezi těmito pojmy?
•
Jak konk rétně v yp adá p rů mět a projekce v 2- nebo 3-dimenzionáln ím prostoru geo metrických nebo fy zikálních vektorů?
Příklad 1: Vypočtěte Euklidovskou normu (velikost) vektoru a normujte vektor k jedné: a) x = (1, −2 ) , b) x = ( −3,8,1) ; c) x = ( −3, 4 ) .
Příklad 2: Určete skalární součin geometrických vektorů a , b , o kterých víte, že: a)
a = 2 , b = 3 , ( ( a, b ) = π3 ;
b)
a = 6 , b = 13 , a a b mají stejný směr a opačnou orientaci;
c)
a = 7 , b = 2, a ⊥ b.
Příklad 3: Určete projekci geometrického vektoru a do geometrického vektoru b , platí-li: a)
a = 3 , b = 1 , ( ( a, b ) = π6 ;
b)
a = 4 , b = 2 , ( ( a, b ) =
c)
a = 9, b = 3, a ⊥ b.
2π 3
;
Řešení příkladů: 1a) x = 5 , x0 = x = ( − 53 , 54 ) .
1 1 (1, −2 ) ; 1b) x = 74 , x0 = ( −3,8,1) ; 1c) x = 5 , 5 74
2a) 3 ; 2b) −2 ; 2c) 0 . 3a) ab = 2 3 ; 3b) ab = −2 ; 3c) ab = 0 . Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]
