Nieuwjaarsopdracht
1+1 is genoeg Aad Goddijn (FIsme)
Panama-conferentie 2010 Waarde(n)vol reken-wiskundeonderwijs 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 1
Con stru e
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 2
De uitvinding van het rekenen (en schrijven)
er !!
• MAAK *@* ?
;*?** +!** @
;!!
• Reken
• Denk Be
!! w ij s
Prometheus: Geen vast kenteken voor de winter hadden zij, voor bloesemende lente of vruchtenweelde van de zomer; zonder zin of overleg deden zij alles, tot ik hen de sterren leerde met hun moeizaam te verklaren op- en ondergang. Dan kwam 't getal, die kunde bij uitnemendheid die 'k vond voor hen, en 't schrift met lettertekenen waardoor men 't Al onthoudt: de moeder aller kunst. Prometheus geboeid, Aischylos, (A.D. -475)
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 3
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 4
Vooruitblik
Hoe moeilijk ga ik het maken?
• Populair-wiskundige mening (nog steeds): – Iets is niet bewezen als er geen algebra gebruikt is
• Mijn overtuiging (hier en nu): – Redeneren (en bewijzen) is om te ‘overtuigen’ en te ‘verduidelijken’ – Ik faal als ik daarbij algebra gebruik.
1.
Maak 2010
2.
Wat maakt een redenering wiskundig? 11-proef of krantenfoto?
3.
Alle getallen zijn even bijzonder, maar sommige zijn meer bijzonder
4.
Krakend ijs van de wiskunde rond 1900
5.
De stelling van de drie kikkertjes
• Maar pas op … 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 5
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 6
1
Meteen beginnen!
• Maak
• 2010
Hoeveel regels op een blad?
• Terug naar
• 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 +1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 +1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 +1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 +1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 Hoeveel tekens op een regel? +1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 7
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 8
## Hoeveel per regel, hoeveel regels ??
Controle
• Tekens in totaal: 4026 – 2010 eentjes – 2009 plusjes – 7 extra voor
_=_2010 66
• 4026 = ?? × ## – 4026 = – – –
Niet meer nodig!
2 × 2013 (alle cijfers half) 2 × 3 × 671 (eerste hap van 1800 ) 2 × 3 × 11 × … (want 7 = 6 + 1, de 11-proef) 2 × 3 × 11 × 61 (begint met 6 en eindigt met 1)
• Oneven aantal tekens op één regel!
61
– 3, 11, 33, 61, 3 × 61 is te groot – 61 bij 66 is de enige geschikte.
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 9
Descartes, 1596-1650 •Cogito, ergo sum. Neem aan •Alleen van het denken zijn wij zeker. dat ‘t opgelost is •De analytische methode
Bij wiskunde controleer je je antwoord van te voren. 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 10
Hoe zat dat met die 11 –proef? • Voorbeeld: 45738 is deelbaar door 11, want 4 - 5 + 7 – 3 + 8 = 11. • Een getal is deelbaar door 11 als de ‘alternerende’ som van de cijfers 0 of een 11-voud is. [Kool en De Moor, 2009]
•La Géométrie
• Waaróm is dit zo zeker waar?
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 11
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 12
2
Hoe onzeker kan een foto zijn?
Fotoos kunnen tegenwoordig ook liegen
• 6 dec 2009 • Nicolas Giakomidis (AP) • Hans Aarsman (NRC) 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 13
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 14
Terug naar de 11-proef
45738 als gidsvoorbeeld
• Een getal is deelbaar door 11 als de ‘alternerende’ som van de cijfers 0 of een 11-voud is.
* 13 *11 ot: No 1 = 7 ! dat 100 ud tho On
40000 = 4 × 9999 5000 = 5 × 1001 700 = 7 × 99 30 = 3 × 11 8 =
• Gaat om: ALLE getallen. De bewijslast is oneindig groot!
+4 - 5 +7 - 3 +8 4 – 5 + 7 – 3 + 8 = 11
Elfvoud!
Elfvoud!
Dit PATROON werkt alléén voor getallen van 5 cijfers. Geen algemeen bewijs! 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 15
11 99 1001 9999 100001 999999 10000001
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 16
Bijzondere getallen • 1, 10, 100, 1000, 10000 ?
=
990 +
11
=
99990 +
11
– Bijzonder, maar het lijkt afhankelijk van de 10-delige notatie.
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ..??
= 9999990
+ 11
Enzovoort !!
– Minstens even bijzonder!
• 6 en 28 – 6 = 3 + 2 + 1; 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 – Volmaakte getallen: som van hun echte delers – Onbekend: of er oneven volmaakte getallen bestaan.
• 43 ???
Een nooit stoppend patroon. Het 5–cijfer patroon werkt voor alle getallen. Bewijs is rond: Q.E.D. 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 17
– Kleinste getal dat niet in de Bijbel voorkomt.
• 285311670611 ??? – 11*11* 11*11*11*11* 11*11* 11*11*11
( := 1111)
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 18
3
Twee grote getallen • Googol: –
10100
= 1 met 100 nullen: 100000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 – Bedacht door Milton Sirotta (1938; 9 jaar) – ‘Google’ is een spelfout van Larry Page – googol_1 is deelbaar door 11
• Googolplex = 10Googol – Ruwe schatting: 10000000000 keer zo groot als het aantal atomen in het heelal 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 19
Het getal van Leopold Bloom Waarom werkte hij deze berekeningen niet zodanig verder uit dat een preciezer resultaat bereikt werd ? Omdat hij enkele jaren daarvoor in 1886 toen hij zich met de kwadratuur van de cirkel had beziggehouden het bestaan aan de weet was gekomen van een getal dat zo het met een betrekkelijke mate van precisie berekend was zo groot was geworden en zoveel plaatsen had vereist, bv., de
9de macht van de 9de macht van 9, dat men, nadat de uitkomst was vastgesteld, 33 dicht bedrukte delen van 1000 pagina's elk van ontelbare katernen en riemen dundrukpapier nodig zou hebben gehad om de gehele geschiedenis to bevatten van de gedrukte eenheden, tientallen,
honderdtallen, duizendtallen, tienduizendtallen, honderdduizendtallen, miljoentallen, tienmiljoentallen, honderdmiljoentallen, miljardtallen, daar de kern van de nevelvlek van elk cijfer onder 10 in elke serie in kort bestek in potentie verheven kon worden tot de uiterste kinetische resultante van elke macht van elk van zijn machten. James Joyce, Ulysses, 1922
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 20
9
9
9
9
Hoeveel cijfers heeft
99 ?
9
99 = 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × ................................. × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 99 = 387420489 negens Met hoeveel factoren 10 komt dat overeen? … met een betrekkelijke mate van precisie berekend …….. 9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9 = 109418989131512359209
921 > 1020 9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9×9 = 984770902183611232881
922 < 1021
Het grootste getal dat met 3 cijfers gemaakt kan worden
Tussen
20 21 en keer 387420489. 22 21
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 21
Had Leopold Bloom gelijk?
≈ 369 000 001 cijfers 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 22
99
9
exact
• 369 000 001 (om en nabij)
• 369693100 cijfers
• Joyce: 33 dicht bedrukte delen van 1000 pagina’s dundrukpapier
• 4281247731………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………..……………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………..………………….7289
• 33 × 1000 × 61 × 66 = 13285800 grote tekens anno 2010. Pakweg 3 keer zoveel in kleine dundruk. • Goed gedaan James! 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 23
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 24
4
Alle getallen zijn bijzonder!
Alweer een bewijs over oneindig veel getallen!
• Dacht jij soms van niet?
Bewijs uit het ongerijmde: Alle getallen zijn bijzonder!
• Dan bestaat er volgens jou een niet bijzonder getal. Misschien wel meer! • Dan bestaat er (volgens jou!) een kleinste niet bijzonder getal.
•
Dacht jij soms van niet?
•
Dan bestaat er volgens jou een niet bijzonder getal. Misschien wel meer!
•
Dan bestaat er (volgens jou!) een kleinste niet bijzonder getal.
•
Me dunkt, dat is wel een heel BIJZONDER getal!!
•
Kortom je kletst, en het is wel waar. Punt.
Neem aan dat de bewering niet waar is Leid daar een ongerijmdheid uit af (bijvoorbeeld een tegenspraak) Conclusie: aanname was fout en de bewering was wel waar.
• Me dunkt, dat is wel een heel BIJZONDER getal!! • Kortom je kletst, en het is wel waar. Punt.
Niet Niet Waar
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 25
Principe van uitgesloten derde
is
Waar 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 26
Paradox van Richard (1905)
• verworpen in het intuitionisme van Brouwer (1908)
Het kleinste getal dat niet me t achtenzeventig tekens kan wo rden opgeschreven.
• Nadruk op construeerbaarheid van alle wiskundige objecten
is hier met achtenzeventig tekens opgeschreven.
• Wat was er aan de hand rond 1900? 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 27
Oude paradox; 1e eeuw? -6e eeuw? • Paulus, brief aan Titus (op Kreta!), I,12: Een van hun eigen profeten, zelf een Kretenzer, heeft gezegd: ‘Kretenzers zijn onverbeterlijke leugenaars, gemene beesten, vadsige vreters.’ • Profeet: Epimenides van Kreta, -6e eeuw. Schreef: – They fashioned a tomb for thee, O holy and high one—
– The Cretans, always liars, evil beasts, idle bellies! – But thou art not dead: thou livest and abidest forever, – For in thee we live and move and have our being.
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 29
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 28
Krakend ijs onder de wiskunde • Sinds Cantors Verzamelingenleer (ca. 1880) dook de ene na de ander paradox op. • Stort het wiskundige gebouw nu in? • Tegenstrijdige reacties: – wiskundige ‘intuities’ preciseren tot onfeilbare uitgangspunten (axioma’s) – de hele wiskunde vertalen tot een tak van de zuivere logica 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 30
5
Giuseppe Peano (1889) Russel & Whitehead
axiomatisering van de natuurlijke getallen vanuit ‘opvolger’
Principia mathematica (1910, blz 256)
1. Nul is een getal. 2. Elk getal heeft een opvolger en die opvolger is ook een getal. 3. Nul is niet de opvolger van enig getal. 4. 5.
alles vanuit formele logica
Verschillende getallen hebben verschillende opvolgers. Als nul een bepaalde eigenschap heeft en uit de veronderstelling dat een getal die eigenschap heeft, bewezen is dat zijn opvolger die ook heeft, dan heeft elk getal die eigenschap.
Hier staat zoiets als : er bestaat een ‘getal’ ongelijk 0. 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 31
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 32
Burali-Forti <> Poincaré Oef, oef!
• Definitie van getal 1 , 1897:
• Poincaré:
Terug naar …
– Definition non-predicative. Niet doen! – Niet voorzienbaar resultaat wegens circulariteit. Logicisme: (Leibniz) Gottlob Frege Whitehead Bertrand Russel
Realisme (?): (Kant) Kronecker, Poincaré Brouwer, Weyl Hans Freudenthal
de getallenlijn!
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 33
De stelling van het derde kikkertje • Inspiratiebron – springen op de getallenlijn
• Julie Menne: – nadruk op 1 en 10 na elkaar
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 34
U maakt schetsjes zoals Sabir:
• Vandaag – Begin met 7 en 9 tegelijk 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 35
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 36
6
Denk aan kikkertje 7 en kikkertje 9
• En laat ze samengevlochten de tafels van 7 en 9 springen: 0 7 9 14 18 21 27 28….
De chaos(?) tussen de kikkersporen
0
63 (dubbel)
7 9
• Klinkt als twee klokken ……… beierend in zeven tegen negen 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 37
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 38
Muziek!
De derde kikker komt!
C. Debussy, 1e Arabesque: 3 tegen 2 0
63 (dubbel)
7 9
De rode kikker springt: - met vaste sprongen - steeds over één spoor - of óp een dubbelspoor
F. Chopin, Fantasie Impromptu: 4 tegen 3
A: KAN DAT? B: WAT IS DE SPRONG VAN DE RODE KIKKER ? 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 39
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 40
De sprong van ROOD
15 14 13 12 11 1 7 7 9 11 14 15 18 19 21 23 16 16 16 16 16 1 na 16 = 7 + 9 sprongen 15 14 13 12 11 10 9 8 7 7 × 99 11 63 15 3 7 7 14 15 18 19 21 23 27 27 28 31 3 35 Sprong van de rode kikker: = =3 16 16 16 16 16 16 16 16 7 + 9 16 1616
• Groen blauw ontmoeten elkaar op 63 = 7 × 9 • •
7
14 16
Past het wel?
0 3
13 • Bonusformule: 12 111 = 1 10+ 1 9 8 7 11 14 15 19ROOD21 23 BLAUW27 28 31 35 35 36 ... GROEN 16 16 16 16 16 16 16 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 41
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 42
7
Proef op de som!
(in het experiment is het derde kikkertje blauw) 1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 43
De stelling van derde kikkertje
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 44
js wi e B
• Bij elke mogelijke keuzes van vaste blauwe en groene sprongen is er een rood kikkertje te bedenken dat zo springt: – met vaste sprongen – steeds over één spoor – of óp een dubbelspoor
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 45
D. E. . Q
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 46
Dit lijnenbewijs … tot slot • Mooi om te zien, – denk ik!
• Bijzondere stap: – Uitstappen uit de beperkte wereld van de lijn zelf
• Hoe vind je zoiets? – Toevallig, terwijl met iets anders bezig
• Was 1 + 1 genoeg? – Bij dit bewijs was zelfs dat niet nodig!
1+1 is genoeg ● panama 21-1-2010 ● +1 = 47
8
