11
Groeiprocessen
bladzijde 151
}
21 a A = c ⋅ m0,67 136 = c ⋅ 400,67 m = 40 en A = 136 136 = c 400,67 c ≈ 11,5 Dus de evenredigheidsconstante is 11,5. b m = 175 geeft A = 11,5 ⋅ 1750,67 ≈ 366 Dus de lichaamsoppervlakte is ongeveer 366 dm2. c A = 1,16 geeft 11,5 ⋅ m0,67 = 1,16 m0,67 ≈ 0,1009 1
m ≈ 0,1009 0 ,67 m ≈ 0,033 De massa is ongeveer 33 gram. a 22 a D = 0,6 a N 20 = 10000,6 N = 1000 en D = 20 a = 20 ⋅ 10000,6 a ≈ 1260 1260 De formule is D = 0,6 . N
}
750 = 93,75. 8
b 750 bomen op 8 ha geeft N =
D =
c
N ≈ 74 0 ,6 N ≈ 1308 Op het perceel staan 4 ⋅ 1308 ≈ 5230 bomen.
1260 ≈ 83 93, 750,6 De gemiddelde diameter is 83 cm. 1260 D = 17 geeft 0,6 = 17 N 17N 0,6 = 1260 N 0,6 ≈ 74 1
Gemengde opgaven 125
7 8 9 104
P (hPa)
10
2
2
3
4
5
6
7 8 9 10
3
2
3
4
5
6
23 a
0
1000
2000
3000
b
4000
De punten liggen op logaritmisch papier vrijwel op een rechte lijn. Er is dus sprake van een exponentieel verband. P = b ⋅ gh Lijn door (0, 1013) en (3, 700), dus 700 g3 = 1013 1
700 3 g = ≈ 0,884 1013
c d
Dus P = 1013 ⋅ 0,884h. Per kilometer is de factor 0,884, 1 per 200 meter is de factor dus 0, 884 5 ≈ 0,976. Dus een afname van 2,4% per 200 meter. h = 7,5 geeft P = 1013 ⋅ 0,8847,5 ≈ 402 Dus een luchtdruk van 402 hPa.
126 Gemengde opgaven
5000
6000
7000
8000 h (m)
7 8 9 103
P (in cent)
101
2
3
4
5
6
7 8 9 102
2
3
4
5
6
24 a
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170 180 190 A (in miljoenen)
De punten liggen op logaritmisch papier bij benadering op een rechte lijn, dus P is bij benadering exponentieel afhankelijk van A. P = b ⋅ gA Lijn door (75, 300) en (160, 90), dus
b
g85 =
90 85 g = 300
c P = 841 ⋅ e− 0,0139A geeft jaaropbrengst R = 841A ⋅ e− 0,0139A in miljoenen centen.
90 300 1
g ≈ 0,986 P = b ⋅ 0,986A 300 = b ⋅ 0,98675 (75, 300) 300 b= 0, 98675 b ≈ 868 Dus P = 868 ⋅ 0,986A. A = 50 geeft P = 868 ⋅ 0,98650 ≈ 429 Dus de prijs is 429 cent.
}
dR = 841 ⋅ e− 0,0139A + 841A ⋅ e− 0,0139A ⋅ − 0,0139 = (1 − 0,0139A) ⋅ 841 ⋅ e− 0,0139A dA dR = 0 geeft 1 − 0,0139A = 0 dA 1 A= ≈ 71,94 0, 0139
Gemengde opgaven 127
R
A
71,94
O
De maximale jaaropbrengst is 841 ⋅ 71,94 ⋅ e− 0,0139 ⋅ 71,94 ≈ 22 258 miljoen centen, dat is ruim 200 miljoen euro.
25 a
2
10 9 8 7 6 5
V (in cm3)
4 3 2
1
10 9 8 7 6 5
4 3 2
0
10
0
10
2
3
4
5 6 7 8 910
1
2
3
4
5 6 7 8 910 D (in cm)
Op dubbellogaritmisch papier een rechte lijn dus formule van de vorm V = a ⋅ Db. De lijn gaat door (2, 2) dus 2 = a ⋅ 2b. De lijn gaat door (5, 30) dus 30 = a ⋅ 5b.
Op elkaar delen geeft
log( 151 ) = b ⋅ log( 52 )
b =
2 a ⋅ 2b = 30 a ⋅ 5b 1 2b = 15 5b b 1 2 = 15 5 log( 151 ) log( 52 )
b ≈ 2,955 b
Invullen in 2 = a ⋅ 2 geeft 2 = a ⋅ 22,955 2 a = 2,955 ≈ 0,258 2 b
Dus V = 0,26D3,0. Voer in y1 = 0,26x3, y2 = 25 en y3 = 35. De optie intersect met y1 en y2 geeft x ≈ 4,58. De optie intersect met y1 en y3 geeft x ≈ 5,13. Dus diameters tussen 4,5 en 5,1 cm komen in klasse II.
128 Gemengde opgaven
2
bladzijde 153 ∆H 98 − 36 ∆H 170 − 98 = = 31 en op [4, 6] is = = 36, dus geen lineaire groei. ∆t 2 ∆t 2 98 170 ≈ 2,7 en ≈ 1,7 36 98
26 a Op [2, 4] is
Er is dus geen constante factor, dus geen exponentiële groei. b 2 4 6 8 t H(t) F(t) = log
256 − H (t ) H (t )
10
12
36
98
170
228
251
255
0,79
0,21
− 0,30
− 0,91
−1,7
−2,4
F
1
O
2
4
6
8
10
t
12
–1 –2
c De punten liggen redelijk op een rechte lijn, dus een eerstegraads verband tussen F en t. F = at + b −1 − 1 −2 door (2, 1) en (8, −1) dus a = = = − 13 8−2 6 F = − 13 t + b 1 = − 13 ⋅ 2 + b (2, 1) 1 23 = b
Dus F = − 13 t + 1 23 .
d F(t) = log
}
256 − H (t ) H (t )
256 − H (t ) = 10F(t) H (t ) H(t) ⋅ 10F(t) = 256 − H(t)
H(t) + H(t) ⋅ 10F(t) = 256
H(t) (1 + 10F(t)) = 256
H(t) =
256 1 + 10 F ( t )
}
F(t) = − 13 t + 1 23
Dus H(t) =
H(t) =
256 1 + 10
1
2
− 3 t +1 3
=
256 2
13
1
−3 t
1 + 10 ⋅ (10 )
≈
256 1 + 46 ⋅ 0, 46t
256 . 1 + 46 ⋅ 0, 46t
At − 1 27 a Ga uit van At = At − 1 + k ⋅ At − 1 ⋅ 1 − met A0 = 5000. 100000 Proberen met de GR geeft k = 0,12.
At − 1 Dit geeft At = At − 1 + 0,12At − 1 ⋅ 1 − met A0 = 5000. 100000 b Invoeren van dit model op de GR geeft de tabelwaarden A43 = 89 809 en A44 ≈ 90 908. Bij t = 44 hoort week 45, dus voor het eerst in week 45. At − 1 c At = At − 1 + 0,114At − 1 ⋅ 1 − met A0 = 5000. 150000 Gemengde opgaven 129
d
Het nieuwe model geeft A17 ≈ 27 028 en A26 ≈ 56 086. Op t = 17 is het verschil 27 028 − 27 100 = −72. Op t = 27 is het verschil 56 086 − 51 900 = 4186. Op t = 27 een groter verschil.
Het scheelt
e Volgens het nieuwe model is A(36) ≈ 97 727 en A(37) ≈ 101 609. Dus in week 38.
56086 − 51900 ⋅ 100% ≈ 8,1%. 51900
bladzijde 154 28 a 15 °C verschil, dus levensduur met ( 12 )1,5 ≈ 0,35 vermenigvuldigen.
Dit geeft levensduur in Kenia 0,35 ⋅ 5 = 1,8 jaar. bladzijde 155
b Bij 0 °C en maximale druk 20 MPa hoort 500 000 keer belasten. Bij 60 °C en maximale druk 20 MPa hoort 30 000 keer belasten. 30000 Bij 4 × 15 °C is de factor = 0,06. 500000 1
Bij 15 °C is de factor 0, 06 4 ≈ 0,495. Dus een afname van 50,5% per 15 °C. c De duur van de proeven is 600 000 + 270 000 + 90 000 + 20 000 = 980 000 s.
Dit is
d e
980000 = 11,3 dagen. 60 × 60 × 24
Bij belastingsfrequentie 0,1 is de levensduur 90 000 s, dus 9000 keer belast. Bij belastingsfrequentie 0,5 is de levensduur 20 000 s, dus 10 000 keer belast. Dus juist groter bij grotere belastingsfrequentie. −a ≤ a ⋅ sin(bt) ≤ a −a + c ≤ a ⋅ sin(bt) + c ≤ a + c Omdat er op de stoel geduwd wordt, moet −a + c ≥ 0 ofwel a ≤ c. 2π f periode = 2 geeft b = = π 2 Dus S = 27,5 sin(πt) + c. dS = 27,5π cos(πt) dt dS is maximaal 27,5π ≈ 86,4. dt Dit is meer dan 60. De druk is dus op bepaalde momenten groter dan 60 MPa/s.
bladzijde 156 29 2003-I Grondstofverbruik 313 a levensduur koper = ≈ 36 jaar 8, 7 levensduur chroom = 420 jaar 420 ≈ 11,7 dus de levensduur van chroom is ongeveer 11,7 keer zo groot als de 36 levensduur van koper. b groeifactor koper 1,058 per jaar log( 2) 1,058t = 2 geeft t = ≈ 12,3 log(1, 058) Dus de verdubbelingstijd van koper is 12 jaar.
groeifactor chroom 1,033 per jaar log( 2) 1,033t = 2 geeft t = ≈ 21,3 log(1, 033) Dus de verdubbelingstijd van chroom is 21 jaar.
130 Gemengde opgaven
c Vkoper = 8,7 ⋅ 1,058t en Vchroom = 1,9 ⋅ 1,033t met t in jaren en t = 0 in 1970.
Vkoper = 6 ⋅ Vchroom geeft 8,7 ⋅ 1,058t = 6 ⋅ 1,9 ⋅ 1,033t
Voer in y1 = 8,7 ⋅ 1,058x en y2 = 6 ⋅ 1,9 ⋅ 1,033t. De optie intersect geeft x ≈ 11,3 en y ≈ 16,5. Dus vanaf 1982 is het jaarverbruik van koper minstens 6 keer zo groot als dat van chroom.
d Drukfout in de opgave in de formule van L*: het getal 320 moet zijn 230.
L = 420 en p = 3,3 geeft L* =
Dus uitgeput in 2051.
e L* = 30 en p = 6,1 geeft
230 ⋅ log( 420 ⋅ 3, 3 + 100) − 460 ≈ 81,7. 3, 3
230 log( L ⋅ 6,1 + 100) − 460 = 30 6,1
230 log(6,1L + 100) − 460 = 183 230 log(6,1L + 100) = 643 log(6,1L + 100) ≈ 2,80 6,1L + 100 = 102,80 ≈ 624,7 6,1L ≈ 524,7 L ≈ 86,01 De voorraad aluminium zou in 2056 uitgeput zijn.
bladzijde 157 30 2005-II Zonnebloemen 400 a L(t) = 1 + 399 ⋅ 0, 55t
L(0) =
400 = 1 1 + 399
L(1) =
400 ≈ 1,814 1 + 399 ⋅ 0, 55
Dus groeifactor = 1,81. b Voor grote t is 0,55t ongeveer 0.
Dus de grenswaarde van L is
Halverwege de grenswaarde geldt L = 200.
1 + 399 ⋅ 0,55t = 2 399 ⋅ 0,55t = 1
0,55t =
t =
Dus tot t = 10.
c In de opgave ontbreken de gegevens H0 = 2 en t in weken.
L(9) =
Voer in u(n) = u(n − 1) + 0,64 ⋅ u(n − 1) ⋅ (1 − u(n − 1)/400) met u(0) = 2. u(9) ≈ 134,7 Dus een verschil van 141 − 135 = 6 cm.
400 = 400. 1+ 0
400 = 200 1 + 399 ⋅ 0, 55t
1 399
1 log( 399 ) ≈ 10,02 log(0, 55)
400 ≈ 140,967 1 + 399 ⋅ 0, 559
Gemengde opgaven 131
