10. Transzportfolyamatok folytonos közegben
Erőtörvény
mechanika
termodinamika
Newton
Onsager
F = m ⋅ &x& jóslás:
F à a à v à x(t)
magyarázat: x(t) à v à a à F
dT jQ = −λ ⋅ dx dµ ji = − M i ⋅ i dx
… diff-egyenlet: pl. rugó:
m ⋅ &x& = − D ⋅ x
mat. inga:
m ⋅ &x& ≈ −mg ⋅
pl. a hővezetésre:
x l
T& = −a ⋅ T ′′
Mérleg energia-, impulzus… megmaradás Általános mérlegegyenlet Tömegmérleg Energiamérleg
Tárgyalt kölcsönhatások:
hővezetés diffúzió elektromos vezetés tömegáram
dT jQ = −λ ⋅ dx
1. Hővezetés Függvénytáblában (homogén, stacioner):
∆T IQ = λ ⋅ A ⋅ ∆x Fourier: általánosítás, 1 dimenzióra:
dT jQ = −λ ⋅ dx áram = vezetési eh * erő
dT jQ = λ ⋅ (− ) dx Általánosítva:
I = L⋅ X
I L X
td áram (áramsűrűség) vezetési együttható td erő (mínusz derivált)
2. Diffúzió Fick:
∆c I = D ⋅ A⋅ ∆x Általánosítás, 1 dimenzióra:
dci ji = − Di ⋅ dx dµi ji = − M i ⋅ dx
3. Elektromos áram 1 dimenzióra:
je = −σ ⋅
dU dx
Ohm törvény:
I U = −σ ⋅ A l l U= ⋅I σ ⋅A Ellenállás:
l R= σ ⋅A
4. Tömegáram 1 dimenzióra:
dp jm = − L ⋅ dx Hagen-Poiseuille:
π 1 ∆p 4 IV = ⋅ ⋅ ⋅r 8 η l jm ⋅ A π 1 4 dp = ⋅ ⋅r ⋅ ρ 8 η dx ρ π 1 4 dp jm = ( ⋅ ⋅ ⋅ r ) ⋅ A 8 η dx
Onsager elmélet: folytonos közegek transzport jelenségeinek leírása lineáris erőtörvény:
pl. a hővezetésre
Főhatások:
TD áram = vezetési eh. * TD erő
I = L⋅ X dT jQ = λ ⋅ (− ) dx áramsűrűség = vezetési eh * hőmérséklet-esés
síkvezetésre a tárgyalt főhatások tehát: Hővezetés
Diffúzió
Elektromos áram
Tömegáram
dT jQ = −λ ⋅ dx dµi ji = − M i ⋅ dx dU je = −σ ⋅ dx dp jm = − L ⋅ dx
Folytatás a 2. dinamika előadáson Köszönöm a figyelmet
A lineáris erőtörvény elméleti alapjai Írjuk fel 2 egymással csak hő-kapcsolatban lévő alrendszer entrópia-mérlegét
dS dS1 dS 2 dS1 dU 1 dS 2 dU 2 = + = + dt dt dt dU 1 dt dU 2 dt dU = TdS hőközlésből
dS1 1 = dU 1 T1
Egy kölcsönhatás van, a hőáram:
dS 2 1 = dU 2 T2
dU 1 = −IQ dt
Az entrópia megváltozása pozitív (2.FT)
dS 1 1 1 1 ∆T = − IQ + IQ = ( − )IQ = IQ ≥ 0 dt T1 T2 T2 T1 T1T2 ∆T termodinamikai erő és áram egyszerre pozitív.
S& = X Q I Q ≥ 0 I termodinamikai áram és X erő közötti függvény • monoton növekvő • átmegy az origón Első közelítés a lineáris: I ( X ) := L ⋅ X
dU 2 = IQ dt
síkvezetésre a tárgyalt főhatások: Hővezetés
Diffúzió
Elektromos áram
Tömegáram
dT jQ = −λ ⋅ dx dµi ji = − M i ⋅ dx dU je = −σ ⋅ dx dp jm = − L ⋅ dx
Térben: derékszögű x-y-z koordinátarendszerben az irányok egymástól függetlenek, ahogy a Newton erőtörvénynél, 3 skalár egyenletből 1 vektoregyenletet kapunk:
Fx = m ⋅ &x& Fy = m ⋅ &y&
Fz = m ⋅ &z&
F = m⋅a
úgy például a hővezetésre is: 3 skalár egyenletből 1 vektoregyenletet kapunk
j x = −λ ⋅
dT dx
dT j y = −λ ⋅ dy j z = −λ ⋅
∂T ∂T ∂T j Q = −λ ⋅ [ , , ] ∂x ∂y ∂z
dT dz
Gradiens operátor írja le adott skalár mennyiség hely szerinti megváltozását:
skalárból vektort képez:
∂T ∂T ∂T gradT = , , ∂x ∂y ∂z
A hővezetés térbeli erőtörvénye (Fourier):
j Q = −λ ⋅ gradT
Gradiens a növekedés irányába mutat:
Termodinamikai erő:
dT − dx
∂T ∂T ∂T − gradT = − , , ∂x ∂y ∂z
Példák 3 dimenzióra sajt hűtőben:
szárítás:
bent meleg gradT befele-, erő kifele mutat lead hőt
kint meleg gradT kifele-, erő befele mutat felvesz hőt
Főhatások síkvezetésre és térben:
1. Hővezetés
2. Diffúzió
3. Elektromos áram
4. Tömegáram
dT jQ = −λ ⋅ dx dµi ji = − M i ⋅ dx dU je = −σ ⋅ dx dp jm = − L ⋅ dx
jQ = −λ ⋅ gradT ji = − M i ⋅ gradµi
je = −σ ⋅ gradU jm = − L ⋅ gradp
Térelmélet: Az Onsager-elmélet a fizika különböző területeinek transzport-jelenségeit próbálja hasonló erőtörvényekkel leírni. Példa további főhatásokra: 5. Impulzus-áram vektor-mennyiség áramsűrűségét írja le.
j mv
dv = −η ⋅ dy
Visszavezethető a Newton-féle folyadék-törvényre:
mdv dv = −η ⋅ Adt dy dv F = −η ⋅ A ⋅ dy Hasonlóan írható le más skalár- és vektor-extenzívek árama is lineáris erőtörvényekkel, de mi a továbbiakban csak a 4 hatással számolunk.
T
jQ
ji
je
jm
µi / ci
U
p
hővezetés Fourier
jQ = −λ ⋅ gradT diffúzió Fick
ji = − M i ⋅ gradµi elektromos áram Ohm
je = −σ ⋅ gradU tömegáram Hagen-Poiseuille
jm = − L ⋅ gradp
Mellékhatások (minden mindennel összefügg?): Termodiffúzió (duálisok):
jQ
ji
je
jm
T
µi / ci
hővezetés Fourier
termodiffúzió Dufour LD
termodiffúzió Soret LS hűtés, szárítás
diffúzió Fick
jQ = −λ ⋅ gradT
U
p
ji = − M i ⋅ gradµi elektromos áram Ohm
je = −σ ⋅ gradU tömegáram Hagen-Poiseuille
jm = − L ⋅ gradp
Termodiffúziós hatások (duálisok): a.) Soret („thermal-diffusion effect”) hőmérséklet-különbség hatására diffúzió - Szárításkor, amíg a gyümölcs felmelegszik, közben nem szárad („száradás befagyása”) - Hűtőbe tett sajt lehűl, közben szárad, fólia csomagoláson vízcseppek jelennek meg
b.) Dufour („diffusion-thermo effect”): diffúzió hatására hőmérséklet-különbség kevés cikk: - kémiai alkalmazásokról, - porózus mátrixban való folyadékáramnál - együttható függése viszkozitástól, hőmérséklettől
Termoelektromos:
jQ
ji
je
jm
T
µi / ci
U
hővezetés Fourier
termodiffúzió Dufour LD
termoelektromos Peltier LP hőszivattyú
termodiffúzió Soret LS hűtés, szárítás
diffúzió Fick
jQ = −λ ⋅ gradT
termoelektromos Seebeck LTh termoelem
p
ji = − M i ⋅ gradµi elektromos áram Ohm
je = −σ ⋅ gradU tömegáram Hagen-Poiseuille
jm = − L ⋅ gradp
Seebeck termoelektromos hatás: Hőmérséklet-különbséggel arányos elektromotoros erő LTh vezetési együttható: Az áramkörben létrejövő áram hatása, az un. Thomson-hő alapján kapta indexét.
Termoelem: termopotenciális sor Megnevezés
Alumínium Alumel Iridium Kadmium Kobalt Konstantán Kopel Kromel Manganin
Jel ill. összetétel
Al 95% Ni+5% (Al, Si, Mg) Ir Cd Co 60%Cu+40%Ni 56%Cu+44%Ni 90%Ni+10%Cr 84%Cu+13%Mn+ 2%Ni+1%Fe Nikkel Ni Nikróm 80%Ni+20%Cr Platina Pt Platinairidium 90%Pt+10%Ir Platinaródium 90%Pt+10%Rh Réz (tiszta) Cu Réz Cu Ródium Rh Szén (grafit) C Szilicium Si Tellur Te Vas (tiszta) Fe Vas Fe Wolfram W
Termoelektromos feszültség [mV/100°C] +0,40 -1,02…-1,38 +0,65 +0,90 -1,68…-1,76 -3,5 -4,0 -2,71…-3,13 +0,8 -1,50…-1,54 +1,5…+2,5 0,000 +1,3 +0,64 +0,76 +0,75 +0,64 +0,25 +44,8 +50,0 +1,80 +1,87 +0,79
Alkalmazási hőm [°C] Olvadás-pont tartós rövid [°C]
1000 1200
1250 1800
600 600 1000
800 800 1250
800 1000 1300 1000 1300 350 350
1100 1100 1600 1200 1600 500 500
2000
2500
600 600 2000
800 800 2500
658 1450 2350 321 1490 1250 1250 1450 910 1452 1500 1770
1083 1967 3570 1420 350 1530 1400 3400
Néhány termoelem anyagpárosítása és jelölésük
TIPUS
TERMOELEM
T J K S
Cu-Ko♦ Fe-Ko♦ NiCr-Ni PtRh-Pt
ALKALMAZÁSI TARTOMÁNY °C -200...600 -200...900 -200...1200 0...1500
TERMOFESZÜLTSÉG ΔT=100°C-ra [mV] 4,25 5,37 4,04 0,64
Peltier termoelektromos hatás: Elektromos áram hatására a termoelem-kör egyik érintkezése melegszik, másik hűl. Elektromos ellenállás nélkül, tökéletes Carnot hűtőkörfolyamat valósulna meg mozgó alkatrész nélkül. Megvalósítás félvezetők sorba-kapcsolásával:
Alkalmazások:
Elektroozmotikus:
jQ
ji
je
jm
T
µi / ci
U
hővezetés Fourier
termodiffúzió Dufour LD
termoelektromos Peltier LP hőszivattyú
termodiffúzió Soret LS hűtés, szárítás
diffúzió Fick
ji = − M i ⋅ gradµi
elektroozmotikus Faraday L elektrolízis,-forézis
termoelektromos Seebeck LTh termoelem
elektroozmotikus Dorn L ülepedési potenc.
elektromos áram Ohm
jQ = −λ ⋅ gradT
p
je = −σ ⋅ gradU tömegáram Hagen-Poiseuille
jm = − L ⋅ gradp
Elektrolízis: 1850-
fizikai-kémiai alapok: ionvándorlás
Elektroforézis: 193719501983-
Tiselius: „elektroforézis” fehérjékre papír-, géllap elektroforézis: fehérjék, nukleinsavak kapilláris elektroforézis
CE system for food industry
Elektrokinetikus:
jQ
ji
je
T
µi / ci
U
hővezetés Fourier
termodiffúzió Dufour LD
termoelektromos Peltier LP hőszivattyú
termodiffúzió Soret LS hűtés, szárítás
diffúzió Fick
elektroozmotikus Faraday L elektrolízis,-forézis
elektroozmotikus Dorn L
elektromos áram Ohm
jQ = −λ ⋅ gradT
termoelektromos Seebeck LTh termoelem
ji = − M i ⋅ gradµi
p
elektrokinetikus
je = −σ ⋅ gradU
ülepedési potenciál
áramlási potenciál elektrokinetikus
jm falszigetelés, beton,cserzőanyag
tömegáram Hagen-Poiseuille
jm = − L ⋅ gradp
Elektrokinetikus falszigetelés
Ozmotikus:
jQ
ji
je
T
µi / ci
U
hővezetés Fourier
termodiffúzió Dufour LD
termoelektromos Peltier LP hőszivattyú
termodiffúzió Soret LS hűtés, szárítás
diffúzió Fick
elektroozmotikus Faraday L elektrolízis,-forézis
elektroozmotikus Dorn L
elektromos áram Ohm
jQ = −λ ⋅ gradT
termoelektromos Seebeck LTh termoelem
ji = − M i ⋅ gradµi
jm
ozmotikus
elektroozmotikus
je = −σ ⋅ gradU
ülepedési potenciál
ozmotikus
p
áramlási potenciál elektroozmotikus
π= ρRT/MA·xB
Van't Hoff: πV = nRT
falszigetelés,
állat:8bar,növény:20bar
beton, cserzőanyag
tömegáram Hagen-Poiseuille
jm = − L ⋅ gradp
Ozmózis
Fordított ozmózis
Termodinamikai:
jQ
ji
je
jm
T
µi / ci
U
p
hővezetés Fourier
termodiffúzió Dufour LD
termoelektromos Peltier LP hőszivattyú
termodinamikai
termodiffúzió Soret LS hűtés, szárítás
diffúzió Fick
elektroozmotikus Faraday L elektrolízis,-forézis
ozmotikus
jQ = −λ ⋅ gradT
ji = − M i ⋅ gradµi elektroozmotikus Dorn L
termoelektromos Seebeck LTh termoelem
ülepedési potenciál
termodinamikai
ozmotikus
elektromos áram Ohm
elektrokinetikus
je = −σ ⋅ gradU áramlási potenciál elektrokinetikus
π= ρRT/MA·xB
olyan, mint a termodiffúzió
szűrés
Van't Hoff: πV = nRT
falszigetelés,
állat:8bar,növény:20bar
beton, cserzőanyag
tömegáram Hagen-Poiseuille
jm = − L ⋅ gradp
Onsager elmélet összefoglalása 1. Egyenes arányosságot feltételez termodinamikai erők és áramok között.
I = L⋅ X 2. A főhatások mellett jelentkezhetnek gyengébb, un. mellékhatások is. Adott termodinamikai erő (intenzív inhomogenitása) különböző áramokat okozhat. Több erő együttesen határoz meg egy vizsgált transzportot.
I i = ∑ Lij ⋅ X j 3. Curie-elv: Csak azonos tenzori rangú erők és áramok kombinálódnak egymással. Az impulzus (vektor) áramára nincs hatással a hőáramot (skalár) okozó hőmérséklet-esés. 4. Onsager-Casimir reciprocitási relációk: A vezetési együtthatókat leíró mátrix szimmetrikus, azaz hatás és duálisának vezetési együtthatója egyenlő. A fizikai mennyiségek az idő-tükrözés (videó fordítva) szempontjából α vagy β típusúak, azaz invariánsak (x,a,φ,β,m,E) vagy előjelet váltanak (v,I,ω,N,F,M). Ha két áram azonos típusú, az előjel pozitív, ha különböző, akkor negatív.
Lij = ± L ji
Transzportok: főhatások és mellékhatások:
jQ
ji
je
jm
T
µi / ci
U
p
hővezetés Fourier
termodiffúzió Dufour LD
termoelektromos Peltier LP hőszivattyú
termodinamikai
termodiffúzió Soret LS hűtés, szárítás
diffúzió Fick
elektroozmotikus Faraday L elektrolízis,-forézis
ozmotikus
elektromos áram Ohm
elektrokinetikus
jQ = −λ ⋅ gradT
ji = − M i ⋅ gradµi elektroozmotikus Dorn L
termoelektromos Seebeck LTh termoelem
ülepedési potenciál
termodinamikai
ozmotikus
je = −σ ⋅ gradU áramlási potenciál elektrokinetikus
π= ρRT/MA·xB
olyan, mint a termodiffúzió
Elég szimmetrikus?
szűrés
Van't Hoff: πV = nRT
falszigetelés,
állat:8bar,növény:20bar
beton, cserzőanyag
tömegáram Hagen-Poiseuille
jm = − L ⋅ gradp
Δc -> ΔT
Δp -> ΔT
Folytatás: hővezetés alapok számgyakhoz
