Tˇelesa Martin “Lishaak” Podlouck´ y 11. ˇcervence 2007
1
´ Uvodem
Jemn´ ym a nen´asiln´ ym u ´vodem do algebraick´ ych tˇeles bych r´ad zapoˇcal s´erii ˇcl´ank˚ u popisuj´ıc´ı naprost´e z´aklady line´arn´ı algebry, kterou spousta lid´ı mus´ı na vysok´e ˇskole pˇrekousnout, pˇrestoˇze je matematika tˇreba v˚ ubec nebav´ı. Dopˇredu nem´am napl´anov´ano, kolik ˇcl´ank˚ u a na jak´a t´emata nap´ıˇsu. Vˇsechno z´aleˇz´ı na tom, jak se v´am moje pr´ace bude l´ıbit a po jak´ ych t´ematech budete touˇzit. Pokud se v´am tedy m˚ uj ˇcl´anek l´ıb´ı (nebo k nˇemu m´ate jakoukoliv pˇripom´ınku ˇci v´ yhradu), dejte mi o tom pros´ım vˇedˇet na m˚ uj e-mail lishaak[zavinac]matfyz.cz. K pochopen´ı n´asleduj´ıc´ıho v´ ykladu nepotˇrebujete ˇz´adn´e speci´aln´ı matematick´e dovednosti ani vˇedomosti. Staˇc´ı rozumˇet naprost´ ym z´aklad˚ um stˇredoˇskolsk´e matematiky a m´ıt chut’ se nˇeco nov´eho dozvˇedˇet ˇci pˇriuˇcit.
2
Bub´ ak jm´ enem algebraick´ e tˇ eleso
Pokud v´am jiˇz samotn´ y n´azev algebraick´e tˇeleso nah´an´ı hr˚ uzu, vˇezte, ˇze opravdu nen´ı ˇceho se b´at. Takov´e tˇeleso je ve skuteˇcnosti velmi jednoduch´a vˇec, pod´ıv´ame-li se na nˇej z toho spr´avn´eho u ´hlu. Algebraick´ e tˇ eleso je jak´akoliv libovoln´ a mnoˇ zina plus dvˇe bin´ arn´ı operace, splˇ nuj´ıc´ı urˇcit´e podm´ınky. Tot’ vˇse. Nic v´ıc ani m´ıˇ n. Jak vid´ıte, rozhodnˇe nic nebezpeˇcn´eho nebo hr˚ uzostraˇsn´eho. A jakmile toto v´ıme, m˚ uˇzeme se uˇz beze strachu j´ıt pod´ıvat troˇsiˇcku bl´ıˇz.
2.1
Mnoˇ zina prvk˚ u tˇ elesa
Naˇsi libovolnou mnoˇz´ınu si oznaˇc´ıme T a jej´ım prvk˚ um budeme ˇr´ıkat prvky tˇ elesa. Vˇeˇrte, pˇr´atel´e, ˇze mnoˇzina prvk˚ u tˇelesa m˚ uˇze b´ yt naprosto libovoln´a. 1
M˚ uˇze to b´ yt mnoˇzina vˇsech sud´ ych ˇc´ısel, mnoˇzina vˇsech ponoˇzek, ke kter´ ym nem´ate druhou do p´aru nebo tˇreba vaˇse sb´ırka plyˇsov´ ych slon˚ u. Snad jedin´a podm´ınka je, ˇze mnoˇzina T nesm´ı b´ yt pr´azdn´a. To bychom si totiˇz mnoho legrace neuˇzili.
2.2
Bin´ arn´ı operace
Pokud v´am nen´ı ihned zˇrejm´e, coˇze to vlastnˇe je ta bin´arn´ı operace, m˚ uˇzete si ji pˇredstavit jako takov´ y mal´ y ml´ ynek. Vloˇz´ıte do nˇej dva (odtud to bin´arn´ı v n´azvu) prvky nˇejak´e mnoˇziny, zatoˇcite lehce klikou a on v´am vypadne nˇejak´ y dalˇs´ı prvek z vaˇs´ı mnoˇziny. Takov´a hezk´a bin´arn´ı operace je napˇr´ıklad dˇelen´ı. Zajim´a v´as, kolik je 10 / 5? Vezmˇete si bin´arn´ı operaci dˇelen´ı (ml´ ynek), kde vaˇse mnoˇzina bude mnoˇzina re´aln´ ych ˇc´ısel. Do ml´ ynku nasypte nejprve des´ıtku a potom pˇetku, zatoˇcte klikou a, svˇete div se, vypadne dvojka. My si naˇse dvˇe operace pojmenujeme sˇ c´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı a budeme je znaˇcit ⊕ a ⊗. Nenechte se zm´ast jejich n´azvem. Se sˇc´ıt´an´ım a n´asoben´ım, kter´e pouˇz´ıv´ame norm´alnˇe, nemus´ı m´ıt tyto operace mnoho spoleˇcn´eho. Je to pr´avˇe kv˚ uli tomu, ˇze prvky tˇelesa m˚ uˇzou b´ yt jak´ekoliv objekty. A pr´avˇe na plyˇsov´e slony nebo ponoˇzky se “naˇse” sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı pouˇz´ıt ned´a.
3
Operace nad tˇ elesem
Operace ⊕ a ⊗ mus´ı splˇ novat urˇcit´e podm´ınky. Nem˚ uˇzeme si je zav´est u ´plnˇe libovolnˇe. Smyslem zav´adˇen´ı tˇechto operac´ı je totiˇz zobecnˇen´ı obyˇcejn´eho sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı, kter´e pouˇz´ıv´ama na ˇc´ısla. Chceme, aby se tyto operace daly zav´est tak, abychom je mohli pouˇz´ıt na prvky tˇelesa, kter´e, jak uˇz v´ıme, mohou b´ yt naprosoto libovoln´e objekty, tedy ne jenom ˇc´ısla. Pˇresto ale chceme, aby si operace ⊕ a ⊗ zachovaly jak´ ysi z´akladn´ı smysl sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı. To zajist´ıme tak, ˇze zavedeme desatero podm´ınek, kter´e mus´ı tyto operace splˇ novat aby naˇse struktura byla tˇelesem. Tˇemto podm´ınk´am budeme ˇr´ıkat axiomy tˇ elesa. Zde jsou: 1. Komutativita sˇ c´ıt´ an´ı. Pro libovoln´e dva prvky a, b z tˇelesa T mus´ı platit a ⊕ b = b ⊕ a. 2. Asociativita sˇ c´ıt´ an´ı. Pro libovoln´e tˇri prvky a, b, c z tˇelesa T mus´ı platit (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
2
3. Existence nulov´ eho prvku. Mus´ı existovat prvek z tˇelesa T , oznaˇc´ıme ho 0 (pozor, nepl´est s ˇc´ıslem 0), kter´ y mus´ı m´ıt tu vlastnost, ˇze pro libovoln´ y prvek a z tˇelesa T plat´ı a ⊕ 0 = a. 4. Existence opaˇ cn´ eho prvku. Mus´ı existovat prvek z tˇelesa T , oznaˇcme ho −a, kter´ y mus´ı m´ıt tu vlastnost, ˇze pro libovoln´ y prvek a z tˇelesa T plat´ı a ⊕ −a = 0. 5. Komutativita n´ asoben´ı. Pro libovoln´e dva prvky a, b z tˇelesa T mus´ı platit a ⊗ b = b ⊗ a. 6. Asociativita n´ asoben´ı. Pro libovoln´e tˇri prvky a, b, c z tˇelesa T mus´ı platit (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c). 7. Existence jednotkov´ eho prvku. Mus´ı existovat prvek z tˇelesa T , oznaˇc´ıme ho 1 (pozor, nepl´est s ˇc´ıslem 1), kter´ y mus´ı m´ıt tu vlastnost, ˇze pro libovoln´ y prvek a z tˇelesa T plat´ı a ⊗ 1 = a. 8. Existence inverzn´ıho prvku. Mus´ı existovat prvek z tˇelesa T , oznaˇcme ho a−1 , kter´ y mus´ı m´ıt tu vlastnost, ˇze pro libovoln´ y prvek a r˚ uzn´ y od 0 z tˇelesa T plat´ı a⊗a−1 = 1. 9. Distributivita. Pro libovoln´e tˇri prvky a, b, c z tˇelesa T mus´ı platit a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c). 10. Netrivialita. Nulov´ y a jednotkov´ y prvek nesm´ı b´ yt jeden a ten sam´ y. Tedy 0 6= 1 Pro toho, kdy by se chtˇel pocviˇcit v matematick´em formalizmu, jsem zde napsal axiomy tˇelesa tak, jak se v matematick´e hant´ yrce zapisuj´ı. 1. ∀a, b ∈ T 2. ∀a, b, c ∈ T
a⊕b=b⊕a (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
3. ∃0 ∈ T ∀a ∈ T
a⊕0=a
4. ∃ − a ∈ T ∀a ∈ T 5. ∀a, b ∈ T
a ⊕ −a = 0
a⊗b=b⊗a 3
6. ∀a, b, c ∈ T
(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
7. ∃1 ∈ T ∀a ∈ T
a⊗1=a
8. ∃a−1 ∈ T ∀a ∈ T, a 6= 0 a ⊗ a−1 = 1 9. ∀a, b, c ∈ T
a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
10. 0 6= 1 Ted’ si moˇzn´a ˇr´ık´ate, ˇze tˇech axiom˚ u je straˇslivˇe moc. Vˇsechny jsou ale snadno pochopiteln´e, kdyˇz si uvˇedom´ıme, co znamenaj´ı. Prvn´ı ˇctyˇri popisuj´ı obvykl´e vlastnosti sˇc´ıt´an´ı a dalˇs´ı ˇctyˇri obvykl´e vlastnosti n´asoben´ı, kter´e jsou nav´ıc tˇem prvn´ım ˇctyˇrem velmi podobn´e. Dev´at´ y axiom ˇr´ık´a, v jak´em vztahu jsou spolu sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı. Jenom des´at´ y je takov´a sp´ıˇse technick´a z´aleˇzitost, ’ kter´a zajiˇst uje, aby to tˇeleso nemohlo m´ıt nˇejak´e podivn´e vlastnosti. Vˇsimnˇete si, jak hezky jsme se vyhnuli zav´adˇen´ı odˇc´ıt´an´ı a dˇelen´ı. Tyto operace jsou zavedeny pomoc´ı pˇriˇc´ıt´an´ı opaˇcn´eho prvku a n´asoben´ı inverzn´ım prvkem. Tedy napˇr´ıkld 4 − 2 je pouze zkratka za 4 + (−2) a 4 / 2 je pouze zkratka za 4 × 2−1 .
4
Pˇ rehl´ıdka tˇ eles
Nyn´ı jiˇz m´ame form´alnˇe zaveden pojem algebraick´e tˇeleso. Pokud bychom chtˇeli nˇejak intuitivnˇe vyj´adˇrit, coˇze to vlatsnˇe to tˇeleso je, m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze je to jak´asi struktura, kter´a n´am umoˇzn ˇuje sˇc´ıtat, odˇc´ıtat, n´asobit a dˇelit libovoln´e objekty, na kter´ ych dok´aˇzeme tyto operace zadefinovat, a to zp˚ usobem, podobn´ ym tomu, jak tyto operace prov´ad´ıme v element´arn´ı aritmetice.
4.1
Naˇ se prvn´ı tˇ eleso
Kdyˇz uˇz jsme si tak hezky vymysleli a popsali tˇelesa, pojd’me si nˇejak´e skuteˇcn´e tˇeleso sestrojit. Nejdˇr´ıve si zvol´ıme mnoˇzinu prvk˚ u tˇelesa. Zat´ım nebudeme pˇr´ıliˇs experimentovat s plyˇsov´ ymy slony nebo ponoˇzkami a jako prvky tˇelesa si zvol´ıme pˇrirozen´a ˇc´ısla. Aby to vˇsechno bylo opravdu jednoduch´e, vezmeme pouze ˇc´ısla 0, 1, 2, 3, 4. Tedy naˇse mnoˇzina T bude vypadat takto: T = {0, 1, 2, 3, 4} Ted’ uˇz zb´ yv´a pouze nˇejak ˇsikovnˇe nadefinovat operace ⊕ a ⊗. Tady si vypom˚ uˇzeme operacemi sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı, kter´e jiˇz zn´ame z aritmetiky. Troˇsku je ale uprav´ıme, aby fungovaly i na naˇsem tˇelese. 4
• Operace ⊕ Souˇcet dvou prvk˚ u a ⊕ b provedeme tak, ˇze vypoˇcteme zbytek po dˇelen´ı pˇeti ze souˇctu a + b. Sˇc´ıt´an´ı v naˇsem tˇelese tedy budou vypadat takto: 1⊕1=2
1⊕3=4
2⊕3=0
4⊕2=1
apod.
• Operace ⊗ Souˇcin dvou prvk˚ u a ⊗ b provedeme tak, ˇze vypoˇcteme zbytek po dˇelen´ı pˇeti ze souˇcinu ab. N´asoben´ı v naˇsem tˇelese tedy budou vypadat takto: 1⊗1=1
2⊗2=4
2⊗3=1
4⊗2=3
apod.
A je to. Nyn´ı uˇz m´ame vyroben´e plnohodnotn´e tˇeleso. Jeˇstˇe by to chtˇelo ovˇeˇrit platnost vˇsech axiom˚ u abychom si byli jisti, ˇze jsme vyrobili skuteˇcnˇe tˇeleso a ne nˇejak´ y paskvil. • Komutativitu a asociativitu sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı jste jistˇe schopni ovˇeˇrit sami, stejnˇe tak distributivitu. • Z toho, jak jsme zadefinovali sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı taky plyne, ˇze existuje nulov´ y prvek (v naˇsem pˇr´ıpadˇe je to n´ahodou zrovna ˇc´ıslo 0) a jednotkov´ y prvek (v naˇsem pˇr´ıpadˇe 1), kter´e jsou navz´ajem r˚ uzn´e. • Ted’ uˇz n´am tedy zb´ yv´a ovˇeˇrit pouze existenci opaˇcn´eho a inverzn´ıho prvku. Urˇcitˇe vˇsichni vid´ıme, ˇze ke kaˇzd´emu ˇc´ıslu z mnoˇziny {0, 1, 2, 3, 4} existuje nˇejak´e ˇc´ıslo z t´e sam´e mnoˇziny tak, ˇze v´ ysledek jejich souˇctu je pˇet (tedy v naˇsem tˇelese 0). Obdobnˇe to plat´ı tak´e pro n´asoben´ı a v´ ysledek 6 (v naˇsem tˇelese 1). Zkuste si to!
4.2
Pˇ r´ıklady dalˇ s´ıch tˇ eles
Pˇred chv´ıl´ı jsme vyrobili tˇeleso, kter´e m´a pˇet prvk˚ u. Ukazuje se, ˇze stejn´ ym zp˚ usobem se daj´ı vyrobit i dalˇs´ı tˇelesa, kde poˇcet jejich prvk˚ u je prvoˇc´ıslo. Takov´ ym tˇeles˚ um se ˇr´ık´a tˇ elesa zbytkov´ ych tˇ r´ıd a oznaˇcuj´ı se Zp , kde p je poˇcet prvk˚ u tˇelesa, a jsou hodnˇe ˇcasto pouˇz´ıvan´a jak v matematice nebo informatice tak samozˇrejmˇe i v r˚ uzn´ ych p´ısemkov´ ych pˇr´ıkladech. Jdou vyrobit i tˇelesa s jin´ ym neˇz s prvoˇc´ıseln´ ym poˇctem prvk˚ u? Ano jdou, ale uˇz to nejde takov´ ym zp˚ usobem, jak jsem to pˇredvedl pˇred chv´ıl´ı. Proˇc? Pˇredstavte si tˇeleso vyroben´e v´ yˇse popsan´ ym postupem, kter´e m´a pouze ˇctyˇri prvky. V takov´em tˇelese plat´ı 2 ⊗ 2 = 0. Tedy souˇcin dvou nenulov´ ych ˇc´ısel 5
je nula. To se v tˇelese nesm´ı st´at. Nen´ı to sice pˇr´ımo zak´az´ano v axiomech tˇelesa, ale d´a se to z nich celkem snadno odvodit. Ukazuje se ovˇsem, ˇze pokud se m´ısto ˇc´ısel jako prvk˚ u tˇelesa pouˇzijou polynomy, daj´ı se vyrobit i tˇelesa, jejichˇz poˇcet prvk˚ u je mocninou prvoˇc´ısla. Tedy ˇctyˇrprvkov´e tˇeleso existuje, nebot’ ˇctyˇrka je mocninou dvojky. Samozˇrejmˇe jsou moˇzn´a i tˇelesa s nekoneˇcn´ ym poˇctem prvk˚ u. Tak napˇr´ıklad mnoˇzina re´aln´ ych ˇc´ısel plus naˇse obvykl´e operace sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı tak´e tvoˇr´ı tˇeleso. To samozˇrejmˇe neplat´ı jen pro ˇc´ısla re´aln´a, ale tak´e pro pˇrirozen´a, cel´a, racion´aln´ı i komplexn´ı. A to nejlepˇs´ı nakonec. Nikdo n´am samozˇrejmˇe nepˇredepisuje, ˇze telesa mus´ı b´ yt tvoˇrena ˇc´ısly, polynomy nebo v˚ ubec nˇejak´ ymi matematick´ ymi objekty. Jak uˇz jsem ˇr´ıkal, m˚ uˇzete si vyrobit tˇeleso ponoˇzek, plyˇsov´ ych slon˚ u atd. Jedin´ y probl´em asi bude, jak zadefinovat sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı na slonech. Tady je zaj´ımav´a ta vˇec, ˇze se v´am nikdy nem˚ uˇze podaˇrit vyrobit tˇeleso, kter´e obsahuje ˇsest ponoˇzek. Protoˇze ˇsestka nen´ı ani prvoˇc´ıslo ani mocnina prvoˇc´ısla. Ale m˚ uˇzete klidnˇe vyrobit tˇeleso, kter´e ˇc´ıt´a sedmn´act ponoˇzek, kaˇzdou z nich si oˇc´ıslovat (b´ıl´a ponoˇzka bude 0, ˇcern´a 1, zelen´a 2 atd.) a sˇc´ıtat je potom stejnˇe, jako jsme my sˇc´ıtali ve tˇelese zbytkov´ ych tˇr´ıd.
5
Akˇ cemu to vˇ sechno je?
Pokud jste doˇcetli aˇz sem, moˇzn´a si ˇr´ık´ate, na co prob˚ uh potˇrebujem takovou ˇs´ılenou strukturu jako je algebraick´e tˇeleso? Inu, tˇelesa jsou velice d˚ uleˇzit´a, jak z teoretick´eho hlediska, nebot’ popisuj´ı a hlavnˇe zobecˇ nuj´ı to, ˇcemu by se dalo ˇr´ıkat poˇc´ıt´an´ı, tedy aritmetiku, tak z praktick´eho hlediska, nebot’ spousta matematick´ ych nebo informatick´ ych probl´em˚ u se snadnˇeji vyˇreˇs´ı, pˇredstav´ıme-li si je jako poˇc´ıt´an´ı v tˇelesech. Koneˇcn´a tˇelesa maj´ı napˇr´ıklad velk´ y v´ yznam pro k´ody na CD nebo DVD disc´ıch. Jinak, co se t´ yˇce samotn´e line´arn´ı algebry, jsou tˇelesa z´akladn´ım kamenem pro dalˇs´ı, sloˇzitˇejˇs´ı a t´ım tak´e daleko uˇziteˇcnˇejˇs´ı a zaj´ımavˇejˇs´ı struktury, jako jsou napˇr´ıklad vektorov´e prostory. Ty totiˇz tvoˇr´ı jak´ ysi z´aklad cel´e line´arn´ı algebry.
6
