§. Trigonometriai fügvények integrálása Egy J =
∫
R ( x ) dx integrál kiszámítása az R ( x ) racionális
függvény típusától függ. .1. A sinx és cosx racionális függvényeinek integrálásáa
J1 =
Helyettesítés (1)
Integrál
∫ R ( sin x,cos x ) dx
A sin x és a cos x racionális függvénye R Általános x helyettesítési t = tg 2 képlet 2dt x = 2 arctgt; dx = A változó és 1+ t2 differenciál 2 2 t 1 − t helyettesítése sin x = , cos x = 2 1+ t 1+ t2 Példa. Számítsa ki a következő integrált dx I1 = . sin x
∫
Matematikai megoldás. 2dt 2 dt x I1 = 1 + t = = ln t + C = ln tg + C 2t 2 t 2 1+ t Megoldás a Maple-ben.
∫
∫
>I1:=Int(1/sin(x),x)=simplify(int(1/sin(x),x));
I1 :=
∫
⎛ −1 + cos ( x ) ⎞ dx = ln ⎜ − ⎟. sin x sin x ( ) ⎝ ⎠
Trigonometriai függvények integrálása
A Maple programban célszerű behívni a “student segédprogramcsomagot”: >restart: with(student): >I1:=value(%); >I1:=simplify(subs(cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2), sin(x)=2*t/(1+t^2),I1)); ⎛ −1 + cos ( x ) ⎞ I1 := ln ⎜ − ⎟ = ln ( t ) sin x ( ) ⎝ ⎠ ⎛ x⎞ Az(1) alapján ez azt jelenti, hogy ln ( t ) = ln ⎜ tg ⎟ . ⎝ 2⎠ >I1:=subs(t=tan(x/2),I1); Példa. Számítsa ki a következő integrált dx . I2 = 5 sin x + 12 cos x + 13
∫
Matematikai megoldás. 2dt 1+ t2 I2 = = 2 2t 1− t + + 13 5 12 2 2 1+ t 1+ t dt =2 = 10t + 12 − 12t 2 + 13 + 13t 2 2 2 dt =2 = − + = − +C. C 2 x 5 t + ( t + 5) tg + 5 2 Megoldás a Maple-ben. >I2:=Int(1/(5*sin(x)+12*cos(x)+13),x)= int(1/(5*sin(x)+12*cos(x)+13),x); dx 2 I 2 := =− 5 sin x + 12 cos x + 13 ⎛1 ⎞ tg ⎜ x ⎟ + 5 ⎝2 ⎠
∫
∫ ∫
∫
Részletes megoldás a Maple-ben. >restart: with(student): 2
Trigonometriai függvények integrálása >I2:=Int(1/(5*sin(x)+12*cos(x)+13),x); >changevar(tan(x/2)=t,I2); >I2:=value(%); >I2:=subs(t=tan(x/2),I2); Példa. Számítsa ki a következő integrált dx I3 = . 9 + 8 cos x + sin x
∫
Matematikai megoldás. 2dt dt 1+ t2 2 = = I3 = 2 2 1− t 2t t + 2t + 17 9+8 + 1+ t2 1+ t2 dt 1 t +1 2 . arctg =2 = +C = 2 4 4 ( t + 1) + 16
∫
∫
∫
x +1 1 2 = arctg +C. 2 4 Megoldás a Maple-ben. > restart: with(student): >I3:=Int(1/(9+8*cos(x)+sin(x)),x); >changevar(tan(x/2)=t,I3); >I3:=value(%); >I3:=subs(t=tan(x/2),I3); ⎛1 1 ⎛⎛ 1 ⎞ 1 ⎞⎞ I 3 := arctan ⎜ tan ⎜ ⎜ x ⎟ + ⎟ ⎟ . 2 ⎝⎝ 2 ⎠ 4 ⎠⎠ ⎝4 tg
Gyakorló feladatok. Számítsa ki a következő integrált: dx 2 , Eredmény: I 4 := − I4 = 7 sin x + 24 cos x + 25 ⎛1 ⎞ tg ⎜ x ⎟ + 7 ⎝2 ⎠
∫
3
Trigonometriai függvények integrálása I5 =
∫
dx , Eredmény: I 5 := − 9 sin x + 40 cos x + 41
I6 =
∫
dx , Eredmény: I 6 := − 1 − sin x
2 ⎛1 ⎞ tg ⎜ x ⎟ + 9 ⎝2 ⎠
2 ⎛1 ⎞ tan ⎜ x ⎟ − 1 ⎝2 ⎠
.2. A cosx vagy sinx-ben páratlan függvények integrálása J2 =
Helyettesítés (2)
Integrál
∫ R ( sin x,cos x ) dx
cos x -ben páratlan: R ( sin x,− cos x ) = − R ( sin x,cos x ) sin x = t 1 dt = cos xdx or dx = dt 2 1− t 2 2 cos x = 1 − sin x
R
Helyettesítés Hasznos még tudni
Példa. Számítsa ki a következő integrált cos 5 xdx . I7 = 4 sin x
∫
Matematikai megoldás. ( − cos x )5 = − ( cos x )5 ⇒ sin x = t a (2) alapján sin 4 x sin 4 x I7 = =
∫
∫
(
5
cos x.coxdx = sin 4 x
1− t2 t4
)
2
dt =
∫
∫
(
)
5
1 − sin 2 x .coxdx sin 4 x
⎛1 2 ⎞ ⎜ 4 − 2 + 1⎟dt = t ⎝t ⎠
4
=
Trigonometriai függvények integrálása 11 2 + +t +C = 3 3t t 1 1 2 =− + + sin x + C . 3 sin3 x sin x
=−
Megoldás a Maple-ben. >restart: with(student): >I7:=Int(cos(x)^5/sin(x)^4,x); >changevar(sin(x)=t,I7); >I7:=value(%); >I7:=subs(t=sin(x),I7); 2 1 I 7 := sin ( x ) + − sin ( x ) 3 sin ( x )3 Példa. Számítsa ki a következő integrált
∫
I8 =
cos 3 x.3 sin xdx .
Matematikai megoldás. I8 = =
∫( 1− t ) 2
∫(
1− t
)
2 3
( (
3
3
tdt =
)
4
t
∫
dt 1− t 1 t 3 dt
2
−
=
∫
∫( 1− t )
7 t 3 dt
2
4
2
3
tdt = 10
3 3 = t3 − t 3 +C = 4 10
3 = 5 − 2t 2 t 3 + C = 20 4 3 2 = 5 − 2 sin x .( sin x ) 3 + C . 20 Megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I8:=Int(cos(x)^3*(sin(x)^(1/3)),x); >changevar(sin(x)=t,I7); >I8:=value(%); >I8:=subs(t=sin(x),I8); 3 2 ( 4 / 3) I 8 := − −5 + 2 sin ( x ) sin ( x ) 20
)
(
)
5
Trigonometriai függvények integrálása Példa. Számítsa ki a következő integrált cos xdx I9 = . 4 4 2 cos x + sin x + 2 sin x + 1
∫
Matematikai megoldás. I9 =
=
∫ 1 + sin x + (1 − sin x ) + 2 sin x ∫ cos xdx
4
1 4 2
∫
2
t+ 2 1 dt − t2 + 2 +1 4 2
2
∫
2
=
1 2
dt = 4 t +1
t− 2 dt = t2 − 2 +1
2 sin 2 x + 2 sin x + 1 = + ln 2 16 sin x − 2 sin x + 1 +
2⎡ arctg 8 ⎣
(
)
2 sin x + 1 + arctg
(
)
2 sin x − 1 ⎤ + C . ⎦
Megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I9:=Int(cos(x)/(cos(x)^4+sin(x)^4+2*sin(x)^ 2+1),x); >changevar(sin(x)=t,I9); >I9:=value(%); >I9:=subs(t=sin(x),I9); Gyakorló feladatok. Számítsa ki a következő integrálokat: cos 5 x I10 = dx , 6 sin x 2 1 1 Válasz: I10 := − − 3 sin ( x ) 5 sin ( x )5 3 sin ( x )
∫
I11 =
∫
cos 9 x. sin xdx ,
6
Trigonometriai függvények integrálása
Megoldások: I11 := +
(
)
2 2 (3 / 2) 7315 − 12540 sin ( x ) + sin ( x ) 21945
(
2 4 6 8 ( 3 / 2) 11970 sin ( x ) − 5852 sin ( x ) + 1155 sin ( x ) sin ( x ) 21945
I12 =
∫
sin 4 x cos 5 xdx ,
∫
sin6 x cos 3 xdx ,
)
1 2 1 9 7 5 Tehát: I12 := sin ( x ) − sin ( x ) + sin ( x ) 9 7 5 I13 =
Helyettesítés (3)
1 1 9 7 Válasz: I13 := sin ( x ) + sin ( x ) . 9 7
J3 =
Integrál
∫ R ( sin x,cos x ) dx
A sin x -ben pártalan függvény R Helyettesítés co s x = t 1 dt = − sin xdx or dx = − dt Hasznos 2 1− t még tudni 2 2 sin x = 1 − cos x
Példa. Számítsa ki a következő integrált sin3 x I14 = dx . 1 + cos 2 x
∫
Matematikai megoldás.
( − sin x )3 = −
sin3 x 1 + cos 2 x 1 + cos 2 x 1 − co s 2 x .( − sin x ) dx 1− t2 I14 = − dt = =− 2 2 1 + cos x 1+ t
∫
(
)
∫
7
Trigonometriai függvények integrálása
∫
∫
t2 +1− 2 2 = dt = − dt = 1 2 2 1+ t 1+ t = t − 2arctgt + C = cos x − 2arctg ( cos x ) + C . Megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I14:=Int(sin(x)^3/(1+cos(x)^2),x); >changevar(cos(x)=t,I14); >I14:=value(%); >I14:=subs(t=cos(x),I14); I14 := cos ( x ) − 2 arctan ( cos ( x ) ) . Példa. Számítsa ki a következő integrált sin5 x I15 = dx . cos 2 x
∫
Matematikai megoldás. I15 = −
∫
∫
sin x ( − sin x ) dx 4
cos 2 x
=−
∫
(
1 − co s 2 x cos 2 x
⎛ 1 2 ⎞ 2 cos x ⎟ d cos x = =− ⎜ − + 2 cos x ⎝ ⎠ 1 1 = + 2 cos x − cos 3 x + C . cos x 3 Megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I15:=Int(sin(x)^5/cos(x)^2,x); >changevar(cos(x)=t,I15); >I15:=value(%); >I15:=subs(t=cos(x),I15); 1 1 3 . = − cos ( x ) + 2 cos ( x ) + 3 cos ( x )
Példa. Számítsa ki a következő integrált 2 sin x cos x I16 = dx . cos 2 x + 12
∫
8
)
2
d cos x =
Trigonometriai függvények integrálása Matematikai megoldás. 2 cos x ( − sin x ) dx tdt = − = 2 I16 = − cos 2 x + 12 t 2 + 12 1 =− 2 d t 2 + 12 = − ln t 2 + 12 + C = t + 12 = − ln cos 2 x + 12 + C
∫
∫
(
∫
)
Megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I16:=Int(2*sin(x)*cos(x)/(cos(x)^2+12),x); >changevar(cos(x)=t,I16); >I16:=value(%); >I16:=subs(t=cos(x),I16);
(
I16 := − ln cos ( x ) + 12 2
)
Gyakorló feladatok. Számítsa ki a következő integrálts: I17 =
I18 =
I19 =
∫
sin x cos 2 xdx ,
∫
1 3 Eredmény: I17 := − co s ( x ) 3 2 sin x cos x dx , 1 + co s 4 x
∫
2 sin x cos x dx , 1 + 4co s 2 x
(
Eredmény: I18 := − arctan co s ( x )
2
(
) )
1 2 Eredmény: I19 := − ln 1 + 4co s ( x ) 4 Megjegyzés. A következő típusok esetén hasznosak a fenti módszerek
∫
(
∫
)
(
)
R sin 2 k +1 x,cos 2l x dx = R sin 2 k x,cos 2l x .sixdx =
9
Trigonometriai függvények integrálása
∫
(
= − R ⎡⎢ 1 − co s 2 x ⎣
)
k
,cos 2l x ⎤⎥ d cos x ; ⎦
és
{
∫
R sin 2 k x,cos 2l +1 x dx =
=
∫
(
)
(
∫
(
)
R sin 2 k x,cos 2l x .cos xdx =
)
l R ⎛⎜ sin 2 k x, 1 − sin 2 x ⎞⎟ d sin x , ⎝ ⎠
}
ahol k,l ∈ + .
Helyettesítés (4)
3. A sinx és a cosx páros függvényeit tartalmazó integrálok
∫ R ( sin x,cos x ) dx
Integrál
J4 =
R Helyettesítés Hasznos még tudni
A sin x és cos x páros függvényei tgx = t dx =
dt
1+ t
2
, sin x = 2
t2
1+ t
2 , cos x= 2
1 1+ t2
Példa. Számítsa ki a következő integrált sin 2 x I 20 = dx . 4 cos x
∫
Első matematikai megoldás. ( − sin x )2 = sin2 x ( − cos x )4 cos 4 x I 20 =
∫
t2 dt 1+ t2 = 2 2 1 t + ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝1+ t2 ⎠ 10
∫
t3 tg 3 x t dt = + C = +C. 3 3 2
Trigonometriai függvények integrálása Második matematikai megoldás. sin 2 x 1 tg 3 x 2 I 20 = . dx = tg xdtgx = +C. 3 cos 2 x cos 2 x
∫
∫
Megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I20:=Int((sin(x)^2/cos(x)^4),x); >changevar(tan(x)=t,I20); >I20:=value(%); >I20:=subs(t=tan(x),I20); 1 3 I 20 := tan ( x ) . 3 Példa. Számítsa ki a következő integrált dx I 21 = . sin 2 x + 6 sin x cos x − 16 cos 2 x
∫
Matematikai megoldás. 1 1 I 21 = . dx = tg 2 x + 6tgx − 16 cos 2 x
∫
( t + 3) − 5 + C = 1 ln 2.5 ( t + 3) + 5
=
∫ (t + 3) − 25
=
1 tgx − 2 ln +C. 10 tgx + 8
dt
2
=
∫
dt = t 2 + 6t − 16
Megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I21:=Int(1/(sin(x)^2+6*sin(x)*cos(x)16*cos(x)^2),x); >changevar(tan(x)=t,I21); >I21:=value(%); >I21:=subs(t=tan(x),I21); 1 1 I 21 := ln ( tan ( x ) − 2 ) − ln ( tan ( x ) + 8 ) . 10 10
11
Trigonometriai függvények integrálása Példa. Számítsa ki a következő integrált sin xdx I 22 = . 2 cos x ( sin x + cos x )
∫
Matematikai megoldás. sin x tgx I 22 = dtgx = dtgx = sin x + cos x tgx + 1 ⎛ 1 ⎞ = ⎜1 − ⎟ dtgx =tgx − ln tgx + C . tgx ⎝ ⎠
∫
∫
∫
Megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I22:=Int(sin(x)/(cos(x)^2*(sin(x)+cos(x))),x);
>changevar(tan(x)=t,I22); >I22:=value(%); >I22:=subs(t=tan(x),I22); I 22 := tan ( x ) − ln ( tan ( x ) + 1) . Gyakorló feladatok. Számítsa ki a következő integrálokat: sin 4 x I 23 = dx , 6 cos x 1 5 Eredmény: I 23 := tan ( x ) 5 2 sin x I 24 = dx , 2 2 1 − sin x
∫
∫(
)
1 3 Eredmény: I 24 := tan ( x ) 3 4. A sinx és/vagy cosx függvények szorzatának integrálása (5)
J5 =
∫
cos mx cos nxdx =
∫
1 ⎡ cos ( m + n ) x + cos ( m − n ) x ⎤⎦ dx , 2⎣
12
Trigonometriai függvények integrálása (6)
J6 =
(7)
J7 =
∫ ∫
sin mx cos nxdx = sin mx sin nxdx =
∫ ∫
1 ⎡ sin ( m + n ) x + sin ( m − n ) x ⎤⎦ dx , 2⎣ 1 ⎡ − cos ( m + n ) x + cos ( m − n ) x ⎤⎦ dx . 2⎣
Példa. Számítsa ki a következő integrálts: I 25 = I 26 = I 27 =
∫ ∫ ∫
cos 3 x cos15 xdx , sin10 x cos 7 x cos 4 xdx , sin 7 x sin 3xdx .
Matematikai megoldáss. 1 I 25 = ( cos18 x + cos12 x ) dx = 2 1⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ sin18 x + sin12 x ⎟ + C , 2 ⎝ 18 12 ⎠ 1 I 26 = ( sin17 x + sin 3x ) cos 4 xdx = 2 1 = ( sin17 x cos 4 x + sin 3x cos 4 x ) dx = 2 1 = ( sin 21x + sin13x ) + ( sin 7 x − sin x ) dx = 4 1⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ − cos 21x − cos13 x − cos 7 x + cos x ⎟ + C , 4⎝ 13 7 ⎠ 1 I 27 = ( −co s10 x + co s 4 x ) dx = 2 1⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ − sin10 x + sin 4 x ⎟ + C . 2 ⎝ 10 4 ⎠
∫
∫ ∫
∫
∫
Megoldások Maple-ben. >I25:=int(cos(3*x)*cos(15*x),x); 13
Trigonometriai függvények integrálása
1 1 sin (12 x ) + sin (18 x ) 24 36 >I26:=int(sin(10*x)*cos(7*x)*cos(4*x),x); Eredmény: 1 1 1 1 I 26 := − cos ( 21x ) − cos (13 x ) − cos ( 7 x ) + cos ( x ) 84 52 28 4 >I27:=int(sin(9*x)*sin(3*x),x); 1 1 Eredmény: I 27 := sin ( 4 x ) − sin (10 x ) 8 20 Eredmény: I 25 :=
Gyakorló feladatok. Számítsa ki a következő integrálokat: I 28 =
I 29 =
∫
sin 5 x sin 2dx ,
∫
sin 2 x cos 5 xdx ,
1 1 Eredmény: I 28 := sin ( 3x ) − sin ( 7 x ) 6 14
Eredmény: I 29 := − I 30 =
∫
1 1 co s ( 7 x ) + co s ( 3 x ) 14 6
cos 3 x cos 6 xdx 1 1 Eredmény: I 30 := sin ( 3x ) + sin ( 9 x ) 6 18
5. A sinx (cosx) páros hatványait tartalmazó integrálok
A következő linearizálási képleteket használhatjuk az integrálok számítása során: 1 + cos 2 x , cos 2 x = 2 1 − cos 2 x sin 2 x = 2
14
Trigonometriai függvények integrálása
∫
(
)
R sin 2 k x,cos 2l x dx, k,l ∈ + .
∫ ∫
∫ ∫
1 + cos 2 x 1⎛ 1 ⎞ dx = ⎜ x + sin 2 x ⎟ + C , 2 2⎝ 2 ⎠ 1 − cos 2 x 1⎛ 1 ⎞ (9) J 9 = sin 2 xdx = dx = ⎜ x − sin 2 x ⎟ + C 2 2⎝ 2 ⎠ Ekkor a cos 2 x -et fogják tartalmazni az integrálok
(8)
J8 =
cos 2 xdx =
Példa. Számítsa ki a következő integrálokat: I 31 =
∫
co s 4 xdx .
Matematikai megoldáss. 2 ⎞ 1⎛ ⎛ 1 + cos 2 x ⎞ 2 1 2 2 2 I 31 = ⎜ dx = + cos x + cos xdx ⎟ ⎜ ⎟= 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1 + cos 4 x ⎞ = + + 1 2 cos 2 x ⎜ ⎟ dx = 4 ⎝ 2 ⎠ 1 ⎛3 1 ⎞ = + 2 cos 2 x + cos 4 x ⎜ ⎟ dx = 4 ⎝2 2 ⎠ 1⎛ 3 1 ⎞ = ⎜ x + sin 2 x + sin 4 x ⎟ + C 4⎝ 2 8 ⎠
∫ ∫ ∫
∫
Megoldások Maple-ben. ??> Eredmény: Gyakorló feladatok. Számítsa ki a következő integrálts: I 32 =
∫
sin 4 xdx .
∫
sin 2 xco s 2 xdx ,
Eredmény: I 33 =
1⎛ 1 ⎞ Eredmény: I 33 = ⎜ x − sin 4 x ⎟ + C 8⎝ 4 ⎠ 15
Trigonometriai függvények integrálása I 34 =
∫
sin 4 xco s 4 xdx ,
Eredmény: I 34 = I 35 =
∫
1 ⎛ 1 ⎞ 4 8 x − sin x + sin x ⎜ ⎟+C 128 ⎝ 16 ⎠
sin6 xdx
Eredmény: I 35 =
∫
13 5 3 1 x + sin 2 x + sin 4 x − sin3 2 x + C 8 16 64 6
⎛x⎞ co s 4 ⎜ ⎟ dx ⎝2⎠ 3 1 1 Eredmény: I 36 = x + sin x + sin 2 x + C 8 2 16 I 36 =
6. Néhány különleges eset
Adott a következő integrál: R1 ( sin x,cos x ) (10) J10 = dx . R2 ( sin x,cos x ) A következő lépések követhetők: 1. lépés. A számlálót a nevező és deriváltjának lineáris kombinációjaként fejezzük ki:
∫
R1 = A.R2 + B.( R2 )' ;
2. lépés. Meghatározzuk az A,B konstansokat; 3. lépés. Kiszámítjuk az eredetivel ekvivalens J10 integrált: ⎛ AR BR ' ⎞ 1 J10 = ⎜ 2 + 2 ⎟dx = A dx + B dR2 R R R 2 ⎠ 2 ⎝ 2 1. lépés. Az új intergrál tehát. 1 A dx + B dR2 = ax + ln R2 + C . R2
∫
∫
∫
∫
16
∫
Trigonometriai függvények integrálása Példa. Számítsa ki a következő integrálts: 7 sin x + 9 cos x I 37 = dx . sin x + 2 cos x
∫
Matematikai megoldáss. A ( sin x + 2 cos x ) + B ( sin x + 2 cos x )' I 37 = dx sin x + 2 cos x 7 sin x + 9 cos x = A ( sin x + 2 cos x ) + B ( sin x + 2 cos x )' ⇒ 7 sin x + 9 cos x = A ( sin x + 2 cos x ) + B ( cos x − 2 sin x ) ⇒ 7 sin x + 9 cos x = ( A − 2 B ) sin x + ( 2 A + B ) cos x ⇒
∫
7 = A − 2B 9 = 2A + B
⇒ A = 5,B = 1 ⇒
⎡ 5 ( sin x + 2 cos x ) ( co s x − 2 sin x ) ⎤ + ⎢ ⎥ dx = sin x + 2 cos x ⎦ ⎣ sin x + 2 cos x 1 = 5 dx + d ( sin x + 2 cos x ) = sin x + 2 cos x = 5 x + ln sin x + 2 cos x + C . I 37 =
∫
∫ ∫
Megoldások Maple-ben. ??> Eredmény: Példa. Számítsa ki a következő integrálokat: sin x − 3 cos x I 38 = dx . 4 sin x + 5 cos x
∫
Matematikai megoldáss. A ( 4 sin x + 5 cos x ) + B ( 4 sin x + 5 cos x )' I 38 = dx 4 sin x + 5 cos x sin x − 3 cos x = A ( 4 sin x + 5 cos x ) + B ( 4 sin x + 5 cos x )' ⇒ sin x − 3 cos x = A ( 4 sin x + 5 cos x ) + B ( 4co s x − 5 sin x ) ⇒ sin x − 3 cos x = ( 4 A − 5B ) sin x + ( 5 A + 4 B ) cos x ⇒
∫
17
Trigonometriai függvények integrálása 1 = 4 A − 5B
−3 = 5 A + 4 B
∫
11 17 ,B = − ⇒ 41 41 dx ( 4 sin x + 5 cos x )
⇒ A=−
∫
11 17 dx − 41 41 4 sin x + 5 cos x 11 17 = − x − ln 4 sin x + 5 cos x + C . 41 41 Megoldások Maple-ben. ??> Eredmény:
I 38 = −
=
Tekintsük a következő integrált: R1 ( sin x,cos x,c1 ) (11) J11 = dx . R2 ( sin x,cos x,c2 ) A megoldás lépései: 1. lépés A számlálót a nevező és deriváltjának valamint egy C konstansnak lineáris kombinációjaként fejezzük ki:
∫
R1 = A.R2 + B.( R2 )' + C ;
2. lépés meghatározzuk az A,B,C konstansokat; 3. lépés átírjuk a J11 integrált: ⎛ AR ⎞ BR ' J11 = ⎜ 2 + 2 + C ⎟dx = R2 ⎝ R2 ⎠ 1 1 = A dx + B dR2 + C dx R2 R2 1. lépés. Az integral kiszámítása.
∫
∫
∫
∫
Példa. Számítsa ki a következő integrálokat: 2 sin x + cos x − 1 I 39 = dx . sin x − cos x + 2
∫
Matematikai megoldáss. 2 sin x + cos x − 1 = A ( sin x − cos x + 2 ) + B ( sin x − cos x + 2 )' + C ⇒ 2 sin x + cos x − 1 = A ( sin x − cos x + 2 ) + B ( co s x + sin x ) + C ⇒
18
Trigonometriai függvények integrálása 2 = A+ B 1= −A + B ⇒ A =
1 3 ,B = ,C = −2 ⇒ 2 2
−1 = 2 A + C 1 3 I 39 = x + ln sin x − cos x + 2 − 2 2 Az (1) alapján hasznos a következő =
1 3 x + ln sin x − cos x + 2 2 2
1 3 x + ln sin x − cos x + 2 2 2 1 3 = x + ln sin x − cos x + 2 2 2
=
=
1 3 x + ln sin x − cos x + 2 2 2
=
1 3 x + ln sin x − cos x + 2 2 2
1 3 x + ln sin x − cos x + 2 2 2 1 3 = x + ln sin x − cos x + 2 2 2 =
=
1 3 x + ln sin x − cos x + 2 2 2
Megoldások Maple-ben. 19
∫
2dx = sin x − cos x + 2
2dt 2 t 1 + −2 = 2t 1− t2 − +2 1+ t2 1+ t2 dt −4 = 2 3t + 2t + 1 4 dt + = 3 ⎛ 1 ⎞2 8 ⎜t + ⎟ + ⎝ 3⎠ 9 ⎛ 1⎞ d ⎜t + ⎟ 4 ⎝ 3⎠ − = 3 ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 2 2 ⎞2 ⎟ ⎜t + ⎟ + ⎜ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎛ 1⎞ ⎜t + ⎟ 4 1 3⎠ arctg ⎝ − = 32 2 2 2 3 3 3t + 1 − 2arctg +c= 2 2 3t + 1 − 2arctg +c= 2 2 x 3tg + 1 2 − 2arctg +c. 2 2
∫
∫ ∫
∫
Trigonometriai függvények integrálása ??> Eredmény:
Tekintsük a következő integrált: R1 sin x,cos x,sin 2 x,cos 2 x (12) J12 = dx . 2 2 R2 sin x,cos x,sin x,cos x
∫
( (
) )
A szükséges lépések: 1.lépés A számlálót a nevező, valamint a sin x,cos x,sin 2 x,cos 2 x és az A,B,C :konstansok segítségével írjuk fel
(
)
R1 = ( Asin x + B cos x ) R2 + C sin 2 x + cos 2 x ; 2.lépés meghatározzuk az A,B,C konstansokat; 3. lépés átírjuk az integrált J12 alakban: J12 =
∫
( Asin x + B cos x ) R2 + C ( sin 2 x + cos 2 x ) R2
dx
1. lépés Kiszámítjuk az integrált. Példa. Számítsa ki a következő integrált: 3 sin x cos x + 2 sin 2 x + 5 cos 2 x I 40 = dx . sin x − 2 cos x
∫
Matematikai megoldáss. 3 sin x cos x + 2 sin 2 x + 5 cos 2 x = = ( Asin x + B cos x )( sin x − 2 cos x ) + C sin 2 x + cos 2 x ⇒
(
)
2 = A+C 9 3 19 3 = B − 2 A ⇒ A = − ,B = − ,C = ⇒ 5 5 5 5 = −2 B + C 9 3 19 1 I 40 = − sin xdx − co s xdx + dx = 5 5 5 sin x − 2 cos x
∫
∫
20
∫
Trigonometriai függvények integrálása 9 3 19 = cos − sin x + 5 5 5
∫
9 3 19 = cos − sin x + 5 5 5
∫
9 3 19 = cos − sin x + 5 5 5
∫
2dt 1+ t2 = 2 2t 1− t − 2 1+ t2 1+ t2 dt = t2 + t −1 ⎛ 1⎞ d ⎜t + ⎟ ⎝ 2⎠ = 2 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎟ ⎜t + ⎟ − ⎜ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠
1 − 9 3 19 2 ln = cos − sin x + 5 5 5 5 1 t+ + 2 t+
5 2 +c= 5 2
x 1 + − 9 3 19 2 2 = cos − sin x + ln 5 5 x 1 5 5 tg + + 2 2 tg
5 2 +c. 5 2
Megoldások Maple-ben. ??> Eredmény: Gyakorló feladatok. Számítsa ki a következő integrálokat: sin x + cos x I 41 = dx , 2 sin x − 3 cos x 3 5 Eredmény: − x + ln 2 sin x − 3 cos x + C 13 13 sin x + cos x + 1 I 41 = dx , 2 sin x + cos x + 2
∫ ∫
21
Trigonometriai függvények integrálása x +1 3 1 1 2 +c Eredmény: x + ln 2 sin x + cos x − 2 − ln 5 5 5 tg x + 3 2 1 + 3 sin 2 x + 2 sin x cos x I 42 = dx sin x − 2 cos x x 2tg + 1 − 5 1 8 21 2 ln Eredmény: cos x + sin x + +c 5 5 5 5 2tg x + 1 + 5 2 tg
∫
Néha nem az általános helyettesítéseket alkalmazzuk. Példa: 1 ⎫ ⎧ u ln x; du dx ⎪ = = ⎪ x ⎬= J13 = cos ( ln x ) dx ⎨ ⎪ x = eu ; dx = eu du ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ p = cos u; dp = − sinudu ⎫ = eu cos udu ⎨ ⎬= u u ⎩t = e ; dt = e du ⎭ ⎧ p = sinu; dp = cos udu ⎫ u u = e cos u + e sinudu ⎨ ⎬= u u t e ; dt e du = = ⎩ ⎭
∫
∫
∫
∫
= eu cos u + eu sinu − eu cos udu .
Tehát, J14 = J14 = J15 = J16 =
∫ ∫ ∫ ∫
eu cos udu = eu ( cos u + sinu ) −
∫
eu cos udu ⇒
eu e cos udu = ( cos u + sinu ) + C 2 u
x 1 x cos ( ln x ) dx = ⎡⎣cos ( ln x ) + sin ( ln x ) ⎤⎦ + C x 2 cos ( ln x ) dx =
x ⎛π ⎞ cos ⎜ − ln x ⎟ + C 2 ⎝4 ⎠
22
Trigonometriai függvények integrálása
7. Gyakorló feladatok
Számítsa ki a következő integrálokat: dx , I 43 = cos x dx , I 44 = 5 + 4 sin x dx , I 45 = 5 − 4 sin x + 3 cos x cos xdx , I 46 = sin x + cos x I 47 I 48
∫ ∫ ∫ ∫ = tgxdx , ∫ = cos xdx , ∫ sin x + sin x ) dx ( = ∫ cos 2x , dx = ∫ sin x + 2 sin x cos x − cos x , ( cos x + co s x ) dx , = ∫ sin x + sin x dx 2 , Eredmény: − +C = x ∫ 7 sin x + 24 cos x + 25 ⎛ ⎞ tg ⎜ ⎟ + 7 5
3
I 49 I 50
2
2
3
I 51 I 52
I 53 = I 54 =
5
2
∫ ∫
4
⎝2⎠
2dx , sin 2 x − sin 2 x cos xdx , 2 − cos x
23
Trigonometriai függvények integrálása
∫ ∫ ∫ = ∫ ∫ 5 8 , ∫ 3 5 , ∫ 6 , ∫ 6 10 , ∫7 8 , 3 . ∫ ∫ 5 , 1 ∫ 2 1 3 3 2 ∫ 2
I 55 =
I 56 =
I 57 =
I58
sin xdx , cos 2 x − 3 cos x + 2 ⎛ x⎞ tg 2 ⎜ ⎟ dx , ⎝2⎠ x x cos x cos cos dx , 2 4 3 sin3 xdx , 3 co s x co s x
I 59 =
sin x cos xdx
I 60 =
sin x sin xdx
I 61 =
sin 2 x. cos 2 xdx
I 62 =
co s x cos
I 63 =
tg 7 xdx
I 64 = I 65 =
I 66 =
I 67 =
xdx
sin 2 x sin xdx
sin x − cos x dx sin x + cos x sin x − cos x + dx , sin x − cos x − + sin 2 x + sin x cos x dx sin x − cos x
8. Önellenőrző feladatok
Számítsa ki a következő integrálokat: 24
Trigonometriai függvények integrálása I 68 = I 69 = I 70 = I 71 = I 72 = I 73 = I 74 = I 75 = I 76 =
∫ ∫ ∫ ∫ 3 ∫ ∫ 9 3 ∫3 5 9 ∫2 3 2 ∫
dx 5 sin x + 3 cos x + 3 3 cos 3 xdx , 4 4 sin x sin 2 x dx , 4 4 sin x + co s x
sin 4 x.cos 5 xdx 4
4
sin x + co s x
dx ,
sin x cos xdx , sin 4 x. cos 2 xdx
sin x dx , sin x + cos x sin x + cos x + 2 dx . sin x − cos x + 1
25
