EUROPEES BACCALAUREAAT 2007
WISKUNDE 5 PERIODEN
DATUM : 11 juni 2007 (’s morgens)
DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten)
TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen. Zakrekenmachine die niet grafisch en niet programmeerbaar is.
BIJZONDERE OPMERKINGEN : Beantwoord de vier verplichte vragen. Kruis op het bijgeleverde formulier de twee gekozen keuzevragen aan (uit het aanbod van drie). Beantwoord elke opgave op een apart vel van het examenpapier.
1/8
EUROPEES BACCALAUREAAT 2007: WISKUNDE 5 PERIODEN VERPLICHTE VRAAG 1
ANALYSE
Blz. 1/1
Punten
Gegeven is de functie f gedefinieerd door f ( x) =
x 2 + 7 x + 10 . x +1
Noem F de grafiek van f ten opzichte van een orthonormaal assenstelsel . 6 punten
a) Bepaal * het domein (definitieverzameling) van f * de vergelijkingen van elk van de asymptoten van F * de coördinaten van de extrema van f . b) i. Schets de grafiek F.
2 punten
ii. Toon aan, voor x > −1 , dat de functie g gedefinieerd door
g ( x) =
2 punten
1 2 x + 6 x + 4 ln ( x + 1) 2
een primitieve van f is . iii. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel dat begrensd wordt door F, de beide coördinaatassen en de lijn met vergelijking x = 4.
2/8
2 punten
EUROPEES BACCALAUREAAT 2007: WISKUNDE 5 PERIODEN VERPLICHTE VRAAG 2
ANALYSE
Blz. 1/1
Punten
Een auto rijdt met een snelheid van 100 km per uur. Op het ogenblik t = 0, begint de auto snelheid te minderen met de bedoeling te stoppen. Deze situatie wordt door een student in een wiskundig model omgezet door de differentiaalvergelijking dv = −K v dt
, K >0
waarbij de tijd t uitgedrukt wordt in uren en de snelheid v van de auto in km per uur. a) Bepaal de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking waarbij de snelheid v wordt gegeven in functie van de tijd t.
6 punten
b) Als de snelheid van de auto na één minuut 16 km/h is i. Toon dan aan dat K = 720 .
3 punten
ii. Op welk ogenblik t zal de auto dan stoppen?
3 punten
3/8
EUROPEES BACCALAUREAAT 2007: WISKUNDE 5 PERIODEN VERPLICHTE VRAAG 3
MEETKUNDE
Blz. 1/1
Punten
In de (Euclidische) ruimte zijn ten opzichte van een orthonormaal assenstelsel Oxyz gegeven: A (1, −1,2), B (4,5,−4) en C (6,3, −5),
de punten
⎛ x ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g : ⎜ y ⎟ = ⎜ − 1 ⎟ + t ⎜ 4 ⎟ met t ∈ ℜ ⎜z ⎟ ⎜2 ⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
de lijn
en het vlak a) i.
E : 2x + y + 2z = – 13 .
Toon aan dat het vlak F, waarin de driehoek ABC ligt, evenwijdig is met het vlak E.
4 punten
ii. Bepaal de coördinaten van het snijpunt van de lijn g met het vlak E.
3 punten
b) Bereken de coördinaten van het, op de lijn g gelegen, middelpunt van de bol die raakt aan de vlakken E en F.
6 punten
4/8
EUROPEES BACCALAUREAAT 2007: WISKUNDE 5 PERIODEN VERPLICHTE VRAAG 4
KANSREKENING
Blz. 1/1
Punten
Een statistisch onderzoek heeft aangetoond dat 15% van de atleten in één sportdiscipline een bepaald dopingproduct gebruiken. a) Een laboratorium beschikt over een test A waarop 99% van de atleten die het dopingproduct gebruiken positief reageren . Ongelukkiglijk echter test 3% van de atleten die het dopingproduct niet gebruiken ook positief op deze test A. Men kiest nu willekeurig één atleet uit deze sportdiscipline. i. Bepaal de kans dat deze atleet positief reageert op test A.
4 punten
ii. Bepaal de kans dat deze atleet doping heeft gebruikt wetende dat hij positief reageerde op test A.
3 punten
b) Om hetzelfde dopingproduct op te sporen heeft een ander laboratorium een test B ontwikkeld, verschillend van test A . Op test B reageert 98% van de atleten, die het dopingproduct gebruiken, positief . 4% echter van de atleten die het dopingproduct niet gebruiken, test ook positief op test B . Er wordt ondersteld dat de resultaten op test A en test B onafhankelijk zijn . i. Bepaal de kans dat een atleet , die het dopingproduct gebruikt, positief reageert zowel op test A als op test B.
3 punten
ii. Bepaal de kans dat een atleet , die het dopingproduct niet gebruikt, positief reageert zowel op test A als op test B.
3 punten
5/8
EUROPEES BACCALAUREAAT 2007: WISKUNDE 5 PERIODEN KEUZEVRAAG I
ANALYSE
Blz. 1/1
Punten
De functies f en g worden gedefinieerd door f ( x) = x 2 e − x
en
g ( x) = e − x .
Noem F en G de respectieve grafieken in het zelfde orthonormaal assenstelsel. a) Bepaal de coördinaten van de extrema van f en de aard van deze extrema.
5 punten
b) Bereken de coördinaten van de buigpunten van F.
3 punten
c) Bepaal de limieten van f (x) voor x → ± ∞.
3 punten
d) Bepaal de coördinaten van de snijpunten van F en G.
2 punten
e) Teken F en G.
4 punten
f)
4 punten
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel S begrepen tussen de krommen F en G.
g) Bereken de lengte van het grootste lijnstuk gelegen in het vlakdeel S dat evenwijdig is aan de y-as.
6/8
4 punten
EUROPEES BACCALAUREAAT 2007: WISKUNDE 5 PERIODEN KEUZEVRAAG II
KANSREKENING
Blz. 1/1
Punten
In een boomgaard met appelbomen wordt de jaarlijkse oogst geanalyseerd. Deze analyse toont aan dat 10% van de appelen een doormeter hebben die groter is dan 70 mm en dat 15% van de appelen een doormeter hebben die kleiner is dan 45 mm. a) Op willekeurige wijze worden vijf appelen uit deze oogst gekozen. Bereken de kans dat drie of meer van deze appelen een doormeter hebben die kleiner is dan 45 mm.
5 punten
b) Als we onderstellen dat de doormeters van de appelen normaal verdeeld zijn, bereken dan het gemiddelde en de standaardafwijking van deze verdeling.
6 punten
De totale oogst wordt in dozen verpakt die elk 200 appelen bevatten. We weten dat 14% van deze appelen besmet is. c) Bereken, met rechtvaardiging van de antwoorden, de kans dat, in een willekeurig gekozen doos, het aantal besmette appelen i.
20 of minder is
4 punten
ii.
40 of meer is.
4 punten
d) Het blijkt nu dat de besmette appelen niet gelijkmatig verdeeld zijn over de boomgaard maar dat in het noordelijk deel van de boomgaard, waar men 60% van de appelen oogst, de kans op besmetting 18% is. Het zuidelijk deel van de boomgaard levert 40% van de appelen. Bereken de kans op besmetting van een appel die willekeurig gekozen is in het zuidelijk deel van de boomgaard.
7/8
6 punten
EUROPEES BACCALAUREAAT 2007: WISKUNDE 5 PERIODEN KEUZEVRAAG III
MEETKUNDE
Blz. 1/1
Punten
In de ruimte, ten opzichte van een orthonormaal assenstelsel Oxyz , zijn gegeven de twee vlakken π 1 en π 2 met respectieve vergelijkingen
π 1 : 8 x − 4 y + z − 81 = 0
en
π 2 : 2x + 2 y − z − 9 = 0 .
Verder zijn gegeven de lijn d en het punt P : ⎛ x ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ d : ⎜ y ⎟ = ⎜ − 5 ⎟ + t⎜ 5 ⎟ , ⎜ z ⎟ ⎜ − 3 ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
t ∈ℜ
en
P (10, –3, –4) .
a) Bereken de hoek tussen de twee vlakken π 1 en π 2 .
4 punten
b) Bepaal een stelsel parametervergelijkingen van de snijlijn van π 1 and π 2 .
5 punten
c) Noem g de lijn loodrecht op d door het punt P. Bepaal de coördinaten van het snijpunt van d en g.
4 punten
d) Geef een cartesische vergelijking van het vlak waarin d ligt en dat op de grootst mogelijke afstand van P gelegen is .
3 punten
Beschouw nu een familie bollen S a met vergelijkingen Sa :
(x − a )2 + ( y − 2a )2 + z 2 − 81 = 0
a ∈ℜ.
e) Bepaal een vergelijking van de lijn m die door alle middelpunten van de bollen S a gaat en bepaal de waarden van a waarvoor de bol S a meer dan één snijpunt heeft met het vlak Oxz .
5 punten
f) Op de bol S0 met vergelijking x 2 + y 2 + z 2 = 81 zijn de punten A ( 8; 4; −1)
4 punten
en B ( 4; 4;7 ) gegeven . Noem C de cirkel met middelpunt O ( 0;0;0 ) die door A en B gaat . Bepaal een vergelijking van de raaklijn aan C in het punt B .
8/8
