Werkbladen vergelijking van een rechte In deze werktekst proberen wij de vergelijkingen op te stellen van rechten die aan bepaalde voorwaarden voldoen. Wij onderscheiden volgende gevallen: 1. Vergelijking van een rechte gaande door de oorsprong (0,0) en punt B = (x2,y2) Voorbeeld 1
Open een nieuw GeoGebra bestand en activeer de assen en het rooster.
Teken een punt A de oorsprong (0,0) en kies een punt B niet gaande door de oorsprong met als coördinaten (2,4).
Teken een rechte a door deze 2 punten A en B.
Ga nu na onder welke voorwaarde een bepaald punt op deze rechte gelegen is?
Typ in het invoerveld de volgende punten C, D, E, F, G en H
Zijn deze punten op deze rechte a gelegen ?
Invoerveld Gelegen op rechte a ?
C=(3,5) D=(1,2)
E=(3,6)
F=(-3,-6)
G=(-4,5)
H=(3/2, 3)
Zoek nu een verband tussen de x-coördinaat en de y-coördinaat van de punten die wel op de rechte gelegen zijn.
Plaats nu een willekeurig punt P op de rechte a. Lees de coördinaten af van dit punt.
Versleep dit punt P en zoek een algemeen verband tussen de x-coördinaat en de y-coördinaat van de punten.
Laat ook de helling m van deze rechte weergeven met de knop
www.mathelo.net
Noteer jouw besluit: Het verband tussen de x-coördinaat en de y-coördinaat van de punten die op de rechte a gaande door de oorsprong en het punt B=(2,4) wordt gegeven door: Y = …….
© Ivan De Winne
www.mathelo.net
1
Werkbladen vergelijking van een rechte Voorbeeld 2
Open een nieuw GeoGebra bestand en activeer de assen en het rooster.
Teken een punt A de oorsprong (0,0) en kies een punt B niet gaande door de oorsprong met als coördinaten (3,4)
Teken een rechte a door deze 2 punten A en B
Typ in het invoerveld de volgende punten C, D, E, F, G en H
Zijn deze punten op deze rechte a gelegen ?
Invoerveld Gelegen op rechte a ?
C=(2,3) D=(3,4)
E=(8,6)
F=(5,6)
G=(-4,-3)
H=(2/3,1/2)
Zoek nu een verband tussen de x-coördinaat en de y-coördinaat van de punten die op de rechte gelegen zijn.
Plaats nu een willekeurig punt P op de rechte a. Versleep dit punt P en zoek een algemeen verband tussen de x-coördinaat en de y-coördinaat van P.
Laat ook de helling m van deze rechte weergeven met de knop
www.mathelo.net
Noteer jouw besluit: Het verband tussen de x-coördinaat en de y-coördinaat van de punten die op de rechte a gaande door de oorsprong en het punt B=(4,3) wordt gegeven door: Y = …….
© Ivan De Winne
www.mathelo.net
2
Werkbladen vergelijking van een rechte Algemeen besluit: De vergelijking van een rechte gaande door de oorsprong A= (0,0) en een punt B =(x2 ,y2) is altijd van de vorm
y = m. x
m stelt de helling (richtingscoëfficiënt) van de rechte voor. Opmerking: de rechte is NIET evenwijdig met de y-as.
Hoe kan men de waarde van de helling m (rico) van de rechte door de oorsprong vinden ? In voorbeeld 1 was m = …………… Vergelijk dit getal met de coördinaten van D, E, F, H en P Is er een verband tussen m en die coördinaten? In voorbeeld 2 was m = ………………… Vind je datzelfde verband terug met de coördinaten van B, E, H en P ?
Besluit: Een rechte die door de oorsprong (0,0) en door een punt B = (x2,y2) gaat heeft als vergelijking
y= …
De helling (richtingscoëfficiënt) wordt gegeven door
.x indien
Oefening: Stel de vergelijkingen op van de volgende rechten door de oorsprong en controleer jouw antwoord met GeoGebra. Rechte door a b c d
oorsprong … (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
© Ivan De Winne
en punt (2,8) (-2,4) (5,2) (-3,6)
Helling (rico)
www.mathelo.net
Vergelijking y = m.x
3
www.mathelo.net
y=
m=
Werkbladen vergelijking van een rechte 2. Richtingscoëfficiënt van evenwijdige rechten
Teken vooreerst een rechte a met als vergelijking y = 3x Typ de vergelijking van deze rechte in het invoerveld
Teken vervolgens een aantal rechten evenwijdig aan a gaande door een aantal andere punt met de knop voor evenwijdige rechte
Lees telkens de vergelijking van deze rechten af in de vorm y = m.x + q (In GeoGebra is de notatie y = ax + b)
Door punt
Vergelijking rechte aflezen
www.mathelo.net
Rechte Met rico m =3 m=3 m=3 m=3 m=3
Besluit: Evenwijdige rechten aan y = mx hebben dezelfde richtingscoëfficiënt m en hebben als vergelijking van de vorm
© Ivan De Winne
www.mathelo.net
y = m.x + q 4
Werkbladen vergelijking van een rechte 3. Opstellen van de vergelijking van een rechte met gegeven richtingscoëfficiënt m en gaande door een punt een punt A=(x1,y1)
Teken met GeoGebra de volgende rechten
rechte a b c d
Evenwijdig met …
en door punt A= (2,5) B= (-3,4) C=(-2,3) D=(7,4)
rico
Vergelijking aflezen
Noteer hieronder de coördinaten van de getekende punten en de vergelijkingen van de rechten.
www.mathelo.net
Het is nu mogelijk om de vergelijking van een rechte waarvan de rico m gekend is en gaande door een punt A=(x1,y1) op te stellen. Wij verduidelijken de werkwijze aan de hand van een paar voorbeelden. Vergelijking rechte a met rico m = 3 gaande door A=(2,5) Stap 1: Richtingscoëfficiënt van de rechte is m = 3 de rechte heeft als vergelijking y = mx + q in dit geval y = 3x + q Stap 2: rechte gaat door punt A=(2,5) dus is 5 = 3.2 + q waaruit q = -1 Stap 3: y = 3x – 1
© Ivan De Winne
www.mathelo.net
5
Werkbladen vergelijking van een rechte Vergelijking rechte b Stap 1: Richtingscoëfficiënt van de rechte is m = de rechte heeft als vergelijking y = mx + q in dit geval y = ….. Stap 2: rechte gaat door punt B=( , ) dus is …. = … + q waaruit q = …. Stap 3: y = 3x – 1 Analoog voor c en d Algemeen besluit: Rechte met richtingscoëfficiënt m en gaande door punt A=(x1,y1) Stap 1: de rechte heeft als algemene vergelijking y = mx + q Stap 2: rechte gaat door punt A=(x1,y1) dus is y1= m x1 + q …. waaruit q = y1 - m x1 Stap 3: y = mx + q wordt y = mx + y1 - m x1 anders geschreven
y - y1= m.(x - x1) Oefening Stel de vergelijking op van de volgende rechten en controleer met GeoGebra door punt … A= (-2,4) B= (-1,7) C=(-3,2) D=(6,-2)
© Ivan De Winne
met rico m -3 2 -1
vergelijking
www.mathelo.net
www.mathelo.net
rechte a b c d
6
Werkbladen vergelijking van een rechte 4. Richtingscoëfficiënt van een rechte door 2 punten A=(x1,y1) en B=(x2,y2) Teken de volgende rechte, telkens bepaald door 2 punten en bepaal de richtingscoëfficiënten van deze rechten. Zoek het verband met de coördinaten van de twee gegeven punten.
A=(x1,y1)
B=(x2,y2)
(2,2) (1,-3) (7,2) (-4,5)
(6,4) (2,2) (2,7) (2,0)
Verschil in hoogten y2- y1
Verschil in abscissen x2- x1
Quotiënt
Rico m
Controleer achteraf de waarde van de richtingscoëfficiënten met GeoGebra met de knop 5. Opstellen van de vergelijking van een willekeurige rechte niet door de oorsprong (en niet evenwijdig met de y-as) gaande door 2 punten Algemeen besluit: Rechte gaande door 2 punten A=(x1,y1) en B=(x2,y2)
www.mathelo.net
Stap 1: de rechte heeft als richtingscoëfficiënt
Stap 2: rechte heeft als vergelijking rico m en gaat door punt A=(x1,y1)
y - y1= m.(x - x1) wordt na vervanging m
y - y1= © Ivan De Winne
.(x - x1) indien www.mathelo.net
7
Werkbladen vergelijking van een rechte Oefening Stel de vergelijking op van de volgende rechten bepaald door 2 punten en controleer jouw antwoord met GeoGebra. rechte a b c d
door punt A… (-2,4) (-1,7) (3,2) (6,-2)
…en B (4,1) (3,9) (4,9) (5,2)
vergelijking
6. Rechte evenwijdig met de x-as
Teken met GeoGebra een aantal rechten evenwijdig met de x-as
Plaats een punt P op zo’n rechte en versleep dit punt. Wat valt er op indien een punt P op zo’n rechte gelegen is?
Noteer jouw besluit in verband met de gevonden vergelijkingen
7. Rechte evenwijdig met de y-as
Teken met GeoGebra een aantal rechten evenwijdig met de y-as
Plaats een punt P op zo’n rechte en versleep dit punt. Wat valt er op indien een punt P op zo’n rechte gelegen is?
Noteer jouw besluit in verband met de gevonden vergelijkingen
www.mathelo.net
Oefening: noteer de vergelijkingen van de getekende rechten
© Ivan De Winne
www.mathelo.net
8
Werkbladen vergelijking van een rechte 8. SAMENVATTING vergelijkingen van rechten
Rechte bepaald door …
Opstellen vergelijking met formule
Rechte door oorsprong en punt B=(x2,y2)
y=
NIET evenwijdig met y-as
indien
Rechte met rico m en door punt A=(x1,y1) Rechte door 2 punten A=(x1,y1) en B=(x2,y2)
NIET evenwijdig met y-as
Rechte evenwijdig met de x-as
y - y1= m.(x - x1) y - y1=
(x - x1)
indien
y= x=
www.mathelo.net
Rechte evenwijdig met de y-as
.x
© Ivan De Winne
www.mathelo.net
9
