Inleiding tot kip en knik van profielen met komplexe dwarsdoorsneden.
WE 80-02
Verslag van de afstudeerwerkzaamheden door M.J.J.M.
Afstudeerhoogleraar : prof.dr.ir. J.D. Janssen Afstudeercoaches
: ir. J.C.M.
Castenmiller
d r a i r e C.M. Menken
Januari 1980 Vakgroep Technische Mechanica Afdeling der Werktuigbouwkunde Techische Hogeschool Eindhoven
Leemans
Voorwoord Eind januari 1979 kreeg ik de opdracht om
, ten
behoeve van Alcoa Neder-
land b.v. te Drunen, de kip- en knikstabiliteit van profielen met komplexe dwarsdoorsneden aan een nader onderzoek te onderwerpen. Dit in verband met de problemen die ondervonden worden bij de berekening van o.a. aluminium tuinbouwkassen. Ket bedrijf verlangde
a
die, zonodig, met een rekenautomaat ver-
werkt kunnen worden. Tijdens het onderzoek kwamen langzamerhand verschillende beperkingen naar voren :
- Er -
is geen goede literatuur over kipstabiliteit voorhanden.
Wet te schrijven verslag moet leesbaar zijn voor een grotere groep werknemers van "Alcoa".
-
De geheugenruimte van de rekenautomaat van het bedrijf is tamelijk beperkt.
Deze randvoorwaarden hebben ons doen besluiten de stabiliteitstheorie van de grond af opnieuw op te bouwen. Bij de afleiding van de verschillende relaties hebben wij ons voortdurend
-
afgevraagd of :
De werkwijze algemeen bruikbaar is. De afleiding te begrijpen i s voor buite
Tevens zijn
en opgesteld voor de bepaling van geometrische groot-
heden. Tijdens mijn eindstudie ben ik begeleid door ir. J.C.M. Castenmiller van Alcoa Nederland en door dr.ir. C.M. Menken. Hen wil ik hier bedanken voor de geboden hulp, het geduld en de plezierige samenwerking. Daarnaast ook prof.dr.ir. J.D. Janssen en ir. W.A.M.
Brekel-
mans voor de adviezen die zij gaven bij voorkomende problemen, en Lieske v.d.
Boezem voor het snelle tikwerk.
Inhoudsopgave 1 . Inleiding
2 . Introduktie 2.1 Normen 2.2 Lineaire en niet-lineaire elasticiteitstheorie 2.3 Niet-lineaire elasticiteitstheorie 2.4 Energiemethode 2.5 Bepaling van de stabiliteitsgrens bij vertakkingsproblemen 2.6 Centrale hoofdassen 2.7 Literatuur
3. Wringing van open profielen 3.1 Verplaatsingen en vervormingen 3.2 Wringing met vrije welving 3.3 Welvingsfunktie 3 . 4 Torsiefunktie 3.5 Verband tussen
5 en
I/J
3.6 Verhinderde welving
3.7 Dwarskrachtenmiddelpunt 3.8 Axiaal bimoment en torsie-integraal 3.9 Literatuur 4 . Een..werkwijze voor het opstellen van de incrementele potentiële
energie funktionaal 4.1
Inleiding
4.2 Euler knikstaaf 4.3 Kip van een éénzijdig ingeklemde balk 4 . 4 TorsieknïÏ
4.5 Gekombineerde axiale en laterale belasting 4.6 Kip van een tweezijdig opgelegde balk 5 . Benaderingsoplossingen 5.1 Randvoorwaarden en verplaatsingsvelden 5.2 Verplaatsingsvelden en kritische belasting bij knikproblemen 5 . 3 Verplaatsingsvelden en kritische belasting bij kipproblemen 5 . 4 Verplaatsingen en kritische belasting bij torsieknik 5 . 5 Een werkwijze voor de bepaling van de kritische kipbelasting
bij gekombineerde axiale en laterale belasting 5 . 6 Literatuur
6. Enkele benaderingsmethoden voor de bepaling van de torsiefunktie Jt en daarvan afgeleide geometrische grootheden
6.1 Benadering van de torsieEunktie
+ van dunwandige
dwarsdoor-
sneden
6.2 Benadering van de torsiefunktie Jt van dikwandige dwarsdoorsneden 6.3 Vergelijking van de benaderingsmethoden 6 . 4 Literatuur
7. Uitgewerkte voorbeelden
1.1 1. Inleiding.
De ontwikkeling van de staalbouw in de laatste decennia wordt gekenmerkt door het streven de
in een konstruktie toe te passen hoeveelheid materi-
aal te minimaliseren. Daarmee is ook het gebruik van lichte, dunwandige en slanke elementen verbonden. Het gedrag van dergelijke konstrukties kan echter in vele gevallen niet meer voldoende nauwkeurig m.b.v. de klassieke statika beschreven worden : Stabiliteitsproblemen treden steeds meer op de voorgrond. lg hiervan is een toegenomen belangstelling voor de stabiliteitstheorie, met als uitvloeisel verschillende normbladen (DIN 4114, NEN 3851). De normen geven berekeningsvoorschriften voor dunwandige stalen profielen, met voor wat betreft de kipstabiliteit de extra beperking tot alleen I-pro-
fielen. De laatste jaren wordt, naast staal, steeds vaker aluminium als bouwmateri-
i
aal toegepast, o.a. vanwege het lage gewicht en de goede extrudeerbaarheid. Deze vervormbaarheid maakt het mogelijk profielen met komplexe dwarsdoor-
1
1 I I
sneden te vervaardigen, waardoor een konstruktie beter geoptimaliseerd kan worden op stijfheid, sterkte en gewicht. De normen die daartoe gebruikt worden (DIN 4114, NEN 3851) zijn echter alleen
I I
ikt voor de berekening van eenvoudige dwarsdoorsneden. Toepassing van d
lI
ze voorschriften heeft dan ook tot grote problemen geleid. Een algorithme voor profielen met komplexe dwarsdoorsnede is dus gewendt.
I
1 ~
Dit verslag geeft daarvoor een grondslag. Daarrce wordt eerst de benodigde achtergrondinformatie gepresenteerd, Vervolgens wordt een werkwijze voor de bepaling van de stabiliteitsgrens behandeld, die het mogelijk maakt.de kipof kniklast van een balk te bepalen. Hierbij is gebruik gemaakt van de volgende verondersteiiingen :
- Alle -
verplaatsingen zijn klein
De balken zijn slank en
- hebben
een onvervormbare dwarsdoorsnede.
Omdat enkele geometrische grootheden nog niet gemeengoed zijn, wordt daarna een methode gepresenteerd die het mogelijk maakt om alle profielgrootheden op eenvoudige wijze te bepalen.
Tot slot worden enkele konkrete situaties besproken.
1
2.1
2. Introduktle In dit hoofdstuk wordt eerst aangegeven op welk deel van de stabiliteitstheorie de Nederlandse en Diiitse normen betrekking hebben. Vervolgens worden begrippen als niet-lineaire elasticiteitstheorie, kritische belasting , potentiële energie en variatierekening geïntroduceerd.
2.1.
Normen.'
Alleen DIS 4114 en NEN 3851 bevatten voorschriften voor stabiliteitsberekeningen van stalen profielen. De Duitse norm handelt uitsluitend over stabiliteit en bestaat uit twee delen: Blatt 1 en 2. Blatt 1 geeft uitgangspunten en voorschriften voor stabiláteitsberekeningen en is onderverdeeld in 3 groepen:
-
Knik van drukstaven. Kip van liggers met I-vormige dwarsdoorsnede. Plooi .van.het lijf van liggers.
Knik wordt uitgebreid behandeld. Aan kip is daarentegen slechts één paragraaf gewijd, welke naast aanwijzingen voor het vergroten van de kipstabiliteit (dwarsverSand, langsverband, grotere torsiestijfheld, grotere weerstand tegen welving, het kleinste opp-ervlaktemoment vergroten) tevens eenvoudige regels geeft om te kontroleren of er mogelijk kans i s op kippen. Blatt 2 is een toelichting op Blatt i. Voor de bepaling van de kipstabiliteit wordt daarin onderscheid gemaakt tussen enkel- en dubbelsymmetrische I-profielen. Vervolgens wordt uitsluitend voor gaffeloplegging een globale berekening aangegeven. n- ?.i-A-.lYGUc:L Iandse n ~ r mb e v a t t e c h n i s c h e grosclslagen voor de berekening van bouwkonstrukties en is onder te verdelen in 2 groepen:
-
Algemene bepalingen, o.a. betreffende belastingfaktoren, opleggingen en overgangen staal-beton.
-
Berekeningen volgens de elasticiteitstheorie over verbindingen, knik, plooi, kip, stabiliteit van daken.
Knik wordt, evenals in de Duitse norm, uitgebreid behandeld. Bij kip daarentegen worden alleen I-profielen behandeld waarbij het dwarskrachtenmiddelpunt overeenkomt met het zwaartepunt. In de beschouwingen wordt bovendien alleen de stijfheid van de flenzen betrokken.
2.2
uit het bovenstaande blijkt dat de stabiliteit van profielen met komplexe dwarsdoorsneden niet zonder meer met de normvoorschriften bepaald mag worden.
Bij de beschouwing van problemen m.b.v. de lineaire elasticiteitstheorie wordt, vaak stilzwijgend,uitgegaan van de volgende twee vereenvoudigingen:
-
De onder invloed van de belastingen optredende verplaatsingen zijn klein in verhouding tot de afmetingen van het lichaam.
-
Het elastische gedrag van een lichaam wordt door de wet van --
Hooke beschreven. (Spanningen en rekken zijn evenredig met de
1
belasting).
1
I
In het voorbeeld van figuur 2.1 verandert de werklijn van de uitwendige belasting Ñ nauwelijks t.g.v. de geringe deformatie. De lineaire theorie mag toegepast worden.
\+
-I
2.1
Tfig 2.2
-
In figuur 2.2 daarentegen verandert de werklijn van N aanzienlijk van plaats. De deformaties moeten nu wel bij de beschouwingen betroken worden (niet-lineaire elasticiteitstheorie). Dit verslag handelt uitsluitend over problemen waarbij de niet-lineaire theorie toegepast moet worden.
I
I I
2.3
2.3. Niet-lineaire elasticiteitstheorie. Door middel van enkele voorbeelden wordt aan - ~het begrip -"niet-lineaire elasticiteitstheorie" meer inhoud gegeven. Tegelijkertijd wordt het verschijnsel knik nader toegelicht.
Voorbeeld. Op een starre staaf werkt een excentrische belasting P. Een veer met veerkonstante k verzorgt een tegenwerkend moment. Voor
0
d
= O is de veer in de
leine verplaatsingen : I + << 1 = Momentenevenwicht om A in de vervormde toestand: -
I
~
eperken ons t o
-+
=
Pel - (E2k
-
-
Li)
ting (e = o ) geldt: P < Rk : 4
-
P
=
-Rk :-0
= O =
onbepaald.
bar invoering van de kritische belasting P = Pkr = Rk kan de
bovenstaande betrekking tussen
+
en
herschreven worden als
--
In bovenstaande figuur is het verband tussen P/Pkr en weergegeven voor verschillende waarden van ela.
'
2.4
De kritische belasting van een elastische staaf die onderworpen is aan een zuivere drukbelasting ? kan eveneens bepaald worden m.b .v.
r
momentenevenwicht in de vervormde toestand. Voorbeeld.
I
Xl
-y
Y(&)
777577-y
Ga uit van de vervormde toestand. uit momentenevenwicht -
-
om A Volgt: M = P(y(R)-y) --c EIy, xx + P y = Py(R). Randvoorwaarden zijn: y(6) = y'X (O) = Y ,( R ) = o. Een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking is:
y
=
+ Bcos(ax)
Asin(ax)
.
Een particulie
oplossing is Y = YU).
De algemene op
sing is dus Y = Asin(=)
Bcos(ax)
+
y(R)'
Verwerking van de kinernatische randvoorwaarden geeft:
y(0) = O
Y,~(O) Uit
-B
= -y(R)
= O -A =
= O
O volgt: a
=
?T
De algemene oplossing van
-
y = y(~)(i
cos
probleem is dus:
---
i 2R )y= ( ~ ) ( i- cos ax>
Substitutie in de a.v. leidt tot: y(R)(EIa2
-
p)cos(ax)
= O
Voor P = a2EI is de waarde y(R) onbepaald: de staaf knikt. Voor P > a2EI kan het gedrag van de konstruktie niet meer door de bovenstaande, eenvoudige relaties beschreven worden. Om in dat geval betrouwbare resultaten te verkrijgen, moet de niet-lineaire theorie konsekwenter toegepast worden.
De in de voorgaande voorbeelden toegepaste werkwijze voor de bepaling van de kritische belasting is nagenoeg ongeschikt voor generalisatie.
In de nu volgende paragraaf wordt een methode gepresenteerd, die zich daar wel toe leent.
2.4. Energiemethode.
+
1,.
Starre lichamen.
Een star lichaam met massa m is in rust op een hol oppervlak (fig. 2.3.a) Tengevolge van een kleine verstoring AE uit de evenwichtsstand neemt de potentiële energie van het systeem foe met mgAh. Als de bol wordt losgelaten, gaat hij om zijn begintoestand bewegen. De initiele evenwichtstoestand is dus stabiel. De potentiële energie die daarbij hoort is minimaal (fig. 2.3.a). evenwicht potentiële energie AU
! I
stabiel
i
lokaal minimum
!
I
I
I labiel
lokaal maximum
I
!
1 ~
i i
indifferent
I / / / / / / //// / I /
lokaal konstant
fig, 2;
Voor het bolle oppervlak geldt dat de potentiële energie bij een kleine verskoring Au afneemt met mgAh. De bol keert niet terug naar de initiële evenwichtstoestand, maar rolt naar een andere. De begintoestand heet labiel. De potentiële energie is ter plaatse maximaal (fig. 2.3.b).
Op een
plat vlak blijft de potentiële energie van de b o l konstant bij een kleine verstoring Au. De bol keert niet terug naar de uitgangstoestand, maar loopt ook niet weg. Dit evenwicht heet indifferent of neutraal (fig. 2.3.c).
2.6 2.4.2.
Elastische lichamen.
Het in de vorige paragraaf geïntroduceerde verband tussen potentiële energie en evenwicht geldt ook voor elastische lichamen. De stabiliteit van het evenwicht van vervormbare lichamen wordt hieronder aan de hand van eenvoudige staafknik besproken. Een slanke staaf wordt zuiver op druk belast (fig. 2 . 4 ) . De uitwendige belasting N wordt langzaam van nul. af opgevoerd. N blijft daarbij horizontaal. Aanvankelijk is er alleen een axiale verplaatsing u.
fig 2.4
Na een kleine verstoring wv gaat de balk trillen om zijn initiële, gedrukte toestand. Het evenwicht is stabiel. Als N een zekere grenswaarde
-
N
bereikt, zijn er meerdere evenwichtsstanden mogelijk (zie hiervoor k ook paragraaf 2 . 2 ) . Na een kleine verstoring w gaat de balk noch naar V de oorspronkelijke, noch naar een andere evenwichtsstand. Het evenwicht is neutraal. gaat de balk na verstoring naar een nieuwe evenwichtsstand,
met karakteristieke verplaatsing w: de staaf knikt. Het evenwicht van de uitgangstoestand was labiel, het nieuwe evenwicht is stabiel.
In fig. 2.5 is het verband tussen de uitwendige belasting 8 en de karakteristieke verplaatsing w weergegeven,
t-
stabiel evenwicht
I
fig 2.5
-W
I
2.7
2 . 4 . 3 . Potentiële energie funktionaal.
Er zijn meerdere manieren bekend, waarop de potentiële energie funktionaal van een elastisch systeem bepaald kan worden. In dit verslag wordt uitgegaan van de virtuele arbeidsvergelijking. Aan de hand van enkele eenvoudige voorbeelden wordt de werkwijze aangegeven. Levens worden enkele nieuwe begrippen geïntroduceerd. Voorbeeld: Een balk wordt in één uiteinde belast door een trekkracht
N,
het andere uiteinde is ingeklemd.
(u,v,w) zijn de verplaatsingen van een willekeurig piant in respektievelijk x,y en z-richting. Veronderstel dat es een zeer kleine axiale vervorming 6 is ten gevolge van een zeer kleine axiale verplaatsing ôu(x) 6u voldoet overal aan de meetkundige beperkingen van de konctruktie:bu(û)
=
O.
Omdat 6u slechts een veronderstelde en geen werkelijke verplaatsing is, wordt hij de virtuele verplaatsing&.genoemd. De arbeid t.g.v.
heet, geheel analoog, de virtuele arbeid.
Uit de wet: "inwendig opgenomen virtuele arbeid = uitwendig
--veLL;LrrLc --_.
* virtìielz arbeid" v c L g t :
,l.+,.
R Dit is de zgn. virtuele arbeídsvergelijking van de trekstaaf. Substitutie van de wet van Hooke: ax = EA
I
EX6EXdx = Ñ6u(R)
-
R
Hierin is EA
i
geeft:
EA j",6Exdx - Ñ6u(2) ~
=
O
R \E
X
6Exdx de verandering van de inwendige ener-
gie van de bafk t.g.v.
6ri en N6u(R) de door
wendige arbeid tSg.v. &u(&).
verrichte uit-
Samen beschrijven zij de veran-
2.8
dering (variatie) van de potentiële energie V: 6V = EA /EX6EXdx - Nôu(R). De kleine variaties 6 V , 6 ~ en~ 6u R mogen, overeenkomstig de differentiaalrekening, de volgende
n-l 6b. Na enig rekenwerk volgt bewerking ondergaan: 6(bn) = nb dan voor de potentiële energie funktionaal:
Voorbeeld: Buiging van een balk onder invloed van een uitwendige belasting
F
(vo, w ) zijn de verplaatsingen van het zwaartepunt in y en
o
z-richting. De verplaatsing van een willekeurig punt van de doorsnede in axiale richting is u. Het probleem wordt belangrijk vereenvoudigd door uit te gaan van de Sernoully-hypothesen:
-li jnspanning -vlakke doorsneden blijven vlak en loodrecht op de balkas. De virtuele arbeidsvergelijking is dan:
Voor de vervorming
E X
geldt: E
X
=
u,x -
-po xx J
2.9 DUS:
-i 1
6 y6v
x
'XX
dAdx = Pöv(R)
R A Hieruit volgt: V
=
f R
De in de voorgaande twee voorbeelden behandelde werkwijze vormt de basis van de in hoofdstuk 4 uitgewerkte methode voor de bepaling van de potentiële energie funktionaal van verschillende stabiliteitsproblemen.
In de nu volgende paragraaf wordt aangegeven hoe, gegeven een potentiële energie funktionaal, de stabiliteitsgrens benaderd kan worden.
2 . 5 . Bepaling van de stabiliteitsgrens bij vertakkingsproblemen.
Tot nu toe is uiteengezet dat de evenwichtstoestand drie verschillende gradaties kent:
-
stabiel evenwicht indifferent evenwicht
e
labiel evenwicht
en dat bij indifferent evenwicht de stabiliteitsgrens bereikt is. In fig. 2.6.a is het verband tussen de kwaliteit van het evenwicht en de potentiële energie grafisch weergegeven.
f
w1
a
a
_ -- -- stabiel indifferent -labiel
w : karakteristieke verplaatsing fig 2.6
2.10
Vaar zawel stabiel als indifferent evenwicht is de potentiële energie V in A minimaal. Als het evenwicht in A labiel is, is V ter plaatse maximal
#
In fig. 2.6.b is de eerste variatie van V weergegeven ( te vergelijken met de eerste afgeleide ). Voor alle drie de soorten evenwicht geldt: 6~ = O: die potentiële energie is stationair.
In fig. 2.6.c is de tweede variatie van V (te vergelijken met de tweede afgeleide) uitgezet. Alleen voor indifferent evenwicht is 62V = 0.t.p v.A. 2 Tevens is 6 V daar minimaal. Samenvattend kan dus gesteld worden dat de stabiliteitsgrens van een be2 3 paalde toestand bereikt is, als 6V = O, 6 V = O én 6 V = O . Op de bovenstaande eigenschappen van indifferent evenwicht berusten vele benaderingsmethoden voor de bepaling van de stabiliteitsgrens. Een drietal wordt in de volgende paragrafen besproken.
2.5.1. Methode Ritz. De kritische belasting wordt bepaald met de relatie 6(6 2V ) een verplaatsingsveld aan, bijv. v
=
Ca.v. 1 1
, dat
=
O. Neem
voldoet aan de kinema-
i tische randvoorwaarden (dit zijn de beperkingen t.g.v. de opleggingen). 2 2Substitueer dit veld in 6 V, waardoor een benadering 6 V verkregen wordt. a 22 2De eis ô(6 V) = O gaat dan over in 6 ( 6 V) = Oa ai (6 V) = O
-
Voorbeeld. Drukstaaf onder eigen gewicht.
V =
4
i
{EIv~
.?A 8, =
zz
-
2 P(a-~)v~~}dz
lengte van de staaf in onbelaste toestand
p
Dan is 6%
=
i
EI(Gv, zz)2
=
gewicht/lengte.
-
R
Neem als verplaatsingsveld: 6v = a 1 v 1 + a2v2 ; v 1 = f(z) ; z ) . Kinematische randvoorwaarden: Bv(0) = ~V,~(O) = 6v zz(R) = O 2 Substitutie in B V leidt tot:
2.11.
2 Het vertakkingspunt wordt bereikt voor ô(6 V ) = O :
a (62-V) aa,
= 0
, met
i
L
Hieruit volgt: -b21 bl 1
b12] b22
= 1,2
[:I [:]
R =
EI Jvi
b22
R
’z z
dz
-p
I
R (kz)viPZdz
R
I
Het vertakkingspunt wordt bereikt voor det b l 1 b21
2.5.2.
b22 j-1 = O
Methode Galerkin.
Het enige verschil met de methode Rit2 is, dat bij deze werkwijze het verpìádtsingsveid tevens vo
et aan de dynamische randvoorwaarden
(dit zijn de extra voorwaarden die volgen uit het stationair stellen van de potentiële energie). 2.5.3.
Beginsel van Rayleigh. 2
De kritische belasting wordt benaderd met 6 V
=
O. Deze methode onder-
scheidt zich door de geringe hoeveelheid rekenwerk die bij een slim gekozen, eenvoudig verplaatsingsveld nodig is om tot een redelijke benadering van de kritische belasting te komen. Voorbeeld. Knikstaaf onder een uitwendige belasting
Y
R : lengte van de staaf in onbelaste toestand
2.12.
Substitutie van ôy = y f(x) geeft een bovengrens voor Pkrit Trx O (bijv. 6y = y sin - ) als voldaan is aan kinematische r.v.w. o
b
2.6. Centrale hoofdassen.
In deze paragraaf wordt aangegeven hoe, uitgaande van een willekeurig assenkruis (7,Z) via een ander stelsel (7,Z) met oorsprong in het zwaartepunt, de centrale hoofdassen ( y , z ) van een willekeurig oppervlak bepaald kunnen worden. In een tweedimensionale ruimte met koördinaatassen y en z bevindt zich op
een willekeurige plaats een lichaam met oppervlak A.
fig. 2.7 Voor de koördinaten van het zwaartepunt Z ( 7 z ,Z z) geldt:
Z
is de oorsprong van een assenkruis ( ~ , S ) ,waarvoor dus geldt dat
(YdA A
=
/ZdA
=
O.
A
(?,E) is evenwijdig verschoven t.o.v. ( 7 , Z ) . Daarom gelden de volgende relaties (de verschuivingsstellingen van Steiner):
2.13
A
A
A
A
Door het stelsel (y,z) over een hoek 4 te roteren ontstaat een nieuw stelsel: (y,z). Ais 4 zodanig gekozen wordt dat'jyzdA = O
, dan
heet (y,z> het centrale
hoofdassen stelsel van de dwarsdoorsnede. Bij de bepaling van 4 zijn drie gevallen te onderscheiden: Als
jy2dA
ji2dA,
A
A
-
2 JvZdA
Dan 4
=
A
iarctan
IT
jy2dA A Als
ji2dA
Als
A =
A
(2k + i ) 4
jy2dA A
jZ2dA A
jZ2dA en ITZdA B O
=
A dan $I
-
+ k-2 ; k = Oy1,2,....
IT
=
J2'd.A A
dan voldoet e
en jyEdA = O A waarde van 4.
Uit symmetriebeschouwingen volgt dat iedere symmetrie-as van een konstruktie tevens centrale hoofdas is. Alleen het zwaartepunt van de doorsnede moet bij enkelsymmetrische profielen dus nog bepaald worden. In dit verslag wordt
stilzwijgend gebruik gemaakt van de bijzondere
eigenschappen van een centraal hoofdassenstelsel:
2.14 2.7 Literatuur. 1. Brekelmans, W.A.M.,
"Toepasbare Sterkteleer", THE-diktaat.
2. Bffrgermeister, G., "Stabilitätstheorie I", Akademie-Verslag Berlin.
3. Chen, W.F.
, "Theory
of Beam-Columns I", McGraw-Hill.
4 . Hartog, J.P. den, "Advanced Strength o f Materials", McGraw-Hill. 5. Kollbrunner, C . F . ,
"Knicken; Theorie und Berechnung von Knickstäben",
Springer.
6. Koiter, W.T., "Stijfheid en Sterkte I, Grondslagen", Scheltema en Holkema. 7. Popov, E.P.,
"Mechanics of Materials", Prentice-Hall.
8. Timoshenko, S.,
"Engineering Mechanics; Staticst', McGraw-Hill.
3.1
3 . Wringing van open profielen.
In dit hoofdstuk worden enkele, voor de profielberekening noodzakelijke, geometrische grootheden gepresenteerd. De resultaten worden in een volgend hoofdstuk toegepast bij verschillende benaderingsmethoden.
3 . 1 . Verplaatsingen en vervormingen.
Voor de vervormingen wordt gebruik gemaakt van de lineaire uitdrukkingen E
X
= u> x Y
YXY = u
'y
+
v'x' etc.
Ten behoeve van deze linearisering is verondersteld dat alle kwadratische termen in de afgeleiden van de verplaatsingen te verwaarlozen zijn. Volgens F. John, [i]
, zijn deze vergelijkingen voldoende
nauwkeurig als
aan de volgende voorwaarden wordt voldaan:
-
starre rotatie van het lichaam is verhinderd, de maximale rek in ieder punt van het lichaam is voldoende klein, het lichaam heeft in de drie hoofdrichtingen afmetingen, die alle van dezelfde orde van grootte zijn.
De laatst2 eis wordt pas van invloed als de belasting op de konctruktie niet meer voldoende klein is. De grenswaarde kan bepaald worden door het probleem eerst met de lineaire relaties op te lossen en vermlgens m.b.v. hogere orde termen te kontroleren of het resultaat voldoende nauwkeurig is. A l s bij zuivere wringing de vervorming geheel beschreven wordt door een
in een wiilekeurig punt P loodrecht op de voerstraal MP staan (fig. 3.1.a). rocatie
01
om een punt M, moet de resuiterende spanning
L
4
M
a
b fig 3.1
T
3.2
Tevens moet
T
bij het manteloppervlak evenwijdig aan de kontour s ver-
lopen, i.v.m. het spanningsloos zijn van de mantel. Zoals uit fig. 3.1.b blijkt, zijn deze voorwaarden bij niet-cirkelvormige doorsneden strijdig. Kennelijk bestaat de vervorming uit meer dan alleen een draaiing van iedere doorsnede in zijn eigen vlak.
3.2. Wringing met vrije welving.
Stel dat de vervorming t.g.v. torsie een kombinatie is van een draaiing van elke dwarsdoorsnede om een punt M over een hoek a(x), met en een verplaatsing in axiale richting u(y,z),
a ' xx
=o
de zgn. welving.
Met andere woorden: Stel zuivere wringing, gekombineerd met vrije welving. Z
X
Voor de verplaatsingen u , v en w van een willekeurig punt P in resp. de x, y en z-richting geldt bij een rotatie
I
I Y
YM fig 3.3
Y
a
om M:
1
3.3 Substitutie van dit stelsel in de vervormingsrelaties:
E
X
= u, x -
yXY
yy;
EY =
9
u'y + v> x
geeft alleen voor y
'*
XY
EZ
=
w) Z
yxz = u ) Z
en y,,
+
WIX
- v)z
; Yyz
+
van nul verschillende resultaten:
3.3 Welvingsfunktie. De evenwichtsvergelijkingen luiden algemeen: o
+ T
X'X
+ o
T
XY'X
T
+ T
XZ'X
+ T
yx'y yay
+
yz*y
zx>z
TZy>Z
+ o
ZIZ
= o
=o = o
De bij de vervormingen (3.1) behorende schuifspanningen z i j n : T
XY
-
=
cl,x(z-z$$
Txz = a u a Z+ a,x(Y-Y,))
(3 2) 0
Aan de laatste twee evenwichtsvergelijkingen is dus identiek voldaan. De eerste eist
T
YX.
Y
+ T
ZX'X
=
o.
(3.3.a)
Bij de mantel kan alleen een kracht langs de kontour optreden, Hieruit
+
volgt (met n de buitennormaal en
(Txz
*
+
n) +
3
(Txy
fig 3.4
''." het
3
*
n) = O
--f
symbool voor inwendig
n + T n = O xz z xy y
T
fig 3.5
ukt) :
(3.3.b) -
3.4
Substitutie van ( 3 . 2 ) in ( 3 . 3 ) leidt tot een zgn. Neumann probleem:
(3.4)
De tweede betrekking kan op elegante wijze ook als volgt verkregen worden : Neem een infinitesimaal spanningsblokje langs de mantel met buiten+ normaal n. Op de mantel is
T~~ =
O
, dus
= O. y nx
fig-3-6 + u =o u*n nax -f de verplaatsing in normale richting (n) is.
Hieruit volgt: waarin
u
(3.4. a )
n De verplaatsingsafgeleide uan is te schrijven als:
(3.4.b)
De verplaatsing in het vlak van de doorsnede van een punt P op de rand is -f
uP ofwel, uitgedrukt in zijn tangentiële en zijn normale komponent: +-f (fig. 3 . 7 ) . = UPn %t
-f
+
I
3.5
+ U
z
--
:
Y
YM fig 3 . 7
+ De grootte van de normale verplaatsing uPn is:
Na enig rekenwerk volgt hieruit: u = - a ( z - z )n + a(y-yM)nZ Pn M Y De tweede-vergelijking van ( 3 . 4 ) kan dus ook genoteerd worden als u
jn
+ u
n>x
=
o
op s.
De axiale verplaatsing u(y,z)
is op een additieve konstante na met
het stelsel ( 3 . 4 ) te bepalen. Blijkbaar kan de welving u(y,z) geschreven worden als u =
waarin 6
3.4.
(3.5)
Ea,X
de welvingsfunktie is.
Torsiefunktie.
Tot nu toe i s de rotatie
a
steeds betrokken op M.
De draaiingsas kan evenwel ook door de oorsprong gekozen worden. Noem de axiale verplaatsing van een punt van de doorsnede t.o.v. het nieuwe draaipunt
U',
met u'
=
u'(y,z).
Voor de schuifspanningcverdeling geldt dan:
3.6
Het Neumann probleem gaat over in:
U'
'yy
+
":Zz
= O
u' n + u:znz 'Y Y
-
inA c ~ , ~ ( z-n ~ynZ)
op S.
De oplossing hiervan heeft dezelfde vorm als in de vorige paragraaf:
$
is de torsiefunktie.
De torsiefunktie is kennelijk niets anders dan de welvingsfunktie, met het draaipunt in de oorsprong.
3.5. Verband tussen 5 en $. t de eis dat de schuifspanningsver-
Het verband tusse
delingen voor beide rotatiepunten identiek moeten zijn:
(3.7. a)
(3.7.b) Uit (3.7.a) en (3.7.b) volgt: 5 = $ + zyM
-
yzM
Evenzo geldt tussen u en u' de relatie: u
=
u'
- C X , ~ Y+ Z ~~ 1
(3 7 )
, ~ z y ~ .
De verschuiving van de draaiingsas is dus te interpreteren als het toe-
M 'x en zMc1 > x om resp. de y- en de z-as.
voegen van de starre rotaties y cx
3.7 3 . 6 Verhinderde welving.
Het punt M is weer het rotatiemiddelpunt. Veronderstel dat de welving slechts plaatselijk verhinderd wordt. Dan is de rotatiehoek u niet meer lineair in direkt gevolg hiervan is dat Om
óX
# O
, oY
X,
# O
d.w.2.:
, oz
E X
= u
'X
# O. Een
# O.
het probleem te vereenvoudigen verwaarlozen we de normaalspanningen
.
en T In dat geval geldt: ox = = Eu,x. Y Z Deze veronderstelling is niet helemaal korrekt. De eerdere benadering T
dat de doorsneden in hun vlak alleen roteren en niet vervormen, houdt = E = O . De aanname o z Y Dus als de verplaatsingen in de
in dat
=
E
O impliceert echter
Y =
E
E
Z =
X
= Eu
=
'X
akseptabel.
Dit is het geval bij slanke staven.
3.7 Dwarskrachtenmiddelpunt. Bij zuivere wringing brengt: de doorsnede geen normaalkracht o f buigend moment over. De welvingsfunktie voldoet dan aan de volgende eisen:
,,J
j
N = oxd A = Ea,XX = o A A M~ = yoxdA = -Ea,XX jycdA
-J
KY =
jzgx-oEu sxx IL m =
A
N
= O
A
A
A
= 0
X
.
ede t.g.v. dwarskontraktie mogen
worden verwaarloosd t.a.v. de verplaatsingen door rotatie van de doorsnede is o
-VE
( 3 8) i
I
3.8
Aan de eerste eis kan voldaan worden vanwege de vrije konstante uit ’net stelsel ( 3 . 4 ) . De beide andere eisen voor zuivere wringing leggen de koördinaten van het draaiingspunt M eenduidig vast. Het willekeurige punt M gaat hierdoor over in een bijzonder punt. De lokatie van M komt overeen met het dwarskrachtenmiddelpunt volgens Trefftz.
Door substitutie van (3.7): 6 = $
9
z?yM- y
M
in (3.8.b-c) wordt voor
de koördinaten van M gevonden:
3 . 8 Axiaal bimoment en torsie-integraal. ~
in verband met de in hoofdstuk 6 te introduceren benaderlngsmethoden voor de bepaling van $ wordt in het resterende gedeelte van dit hoofdstuk een energetische formulering voor torsieproblemen opgesteld. De nog niet afgeleide grootheden, te weten het axiale bimoment en de torsiestijfheid volgen rechtstreeks uit de inwendige energie funktionaal. Voor de elastische energie bij zuiver torsie met verhinderde welving geldt : v. 1
=
ij
jEoX + L G (xy T ~+ 1 2
2
T xz ) I
dV
V
Ofwel. uitgedrukt in de vervormingen: 2 Vi =
TT
+
2 G(yxy
f
Voor de vervormingen geldt:
E
X
= u > X = a ’ xx 5
dV
( 3 . IO)
3.9
Substitutie van deze drie verge1iJhLagen in ( 3 . 3 ) geeft.:
De virtuele arbeid is:
+
(E,,
+ (Y-Y,))
2 1dA6alx] dx
(3.11)
Door invoering van de snedegrootheden B
is
=
Ea,xx
i'
5 dA
(3.1 '. a )
= EIba,xx
i
R Hierin is B het axiale bimoment en It de torsie-integraal. De torsie-integraal kan ook uitgedrukt worden in de torsie-funktie )I
2 y) 1
i{($,
:
+ dA. y A Bij zuivere wringing met vrije welving is de inwendige energie funktio-
It =
naal dus te schrijven als:
3.9. Literatuur.
1.
Koiter, W.T., "Stijfheid en Sterkte I, Grondslagen", Scheltema en Holkema N.V.
2. Brekelmans , W.A.M.
, "Toepasbare
Sterkteleer", THE-diktaat
.
4.1
4 . Een werkwijze voor het opstellen van de incrementele potentiële energie funktionaal.
4.1. Inleiding. Aan de hand van een eenvoudig knikvoorbeeld wordt een werkwijze voor de bepaling van de incrementele potentiële energie funktionaal uitezet
.
-
methode wordt a
eenvolgens toegepast-op kip, torsieknik
gekombineerde belastingen.
4 . 2 . Euler knikstaaf.
Een slanke staaf wordt zuiver op druk belast (fig. 4 . 1 ) . belasting
wordt langzaam van nul af opgevoerd.
De uitwendige
blijft horizontaal.
x ;=
[3 M
fig 4 . 1 Aanvankelijk is er alleen een axiale verplaatsing u. Als
N
een zekere
grenswaarde bereikt, buigt de staaf. Een punt van de doorsnede verplaatst zich daarbij over een afstand w
k loodrecht op de belastingsrichting en over een afstand u in asrichting. k
4.2 4.2'1. Virtuele arbeidsvergelijking. Veronderstel dat de verplaatsingen eindig zijn en de vervormingen klein. De rek in axiale richting
E
X
=
u
>X+
) mag dan benaderd wori(u2'X + w2 ,X
den door: E
X
= u 'X
+ ; w2
'X
Intermezzo. Eenvoudig is plausibel te maken dat bovenstaande benadering -2 reëel is: Stel dat -10 Dan is u2 = Als ,X -3 2 E = 10 , dan geldt $ w , =~ EX - u X - lUSX X
IU,~ I
.
Tevens geldt de betrekking [ uS X 2 Dus = O(W,,).
-
EXI
5
kXl +
IEXI
-
Voor de hoekverdraaiing $ geldt in eerste benadering:
Voor de snedegrootheden N en M kan dan geschreven worden:
E'
[I] [o" =
EI]
De virtuele arbeidsvergelijking van het probleem is dus:
4.2.2. Grondtoestand. Veronderstel dat de uitwendige belasting zo groot is, dat de staaf
-
op het punt van knikken staat (neutraal evenwicht). Noem dit de grondtoestand, behorende bij de belasting O
.
Voor de verplaatsingen en de snedegrootheden geldt dan: ;=u -0
=
lu>xl*
4.3
De virtuele arbeidsvergelijking gaat hiermee over in:
ûfwel,,na partiële integratie:
1 cNo7xMoI I
-
NoSu(R)
dx
a
-
DUS: N
O'X
4.2.3.
=
O
, No(e)
-= -No
-+
N
O
-Ñ06u(~)
=
-
= -No
enM = O O
Eindtoestand.
Neem een nieuwe evenwichtctoestand, infinitesimaal verschillend van de vorige. Voor de nieuwe toestand geldt dat de staaf juist geknikt is. De infinitesimale verplaatsingen zijn u k en "k* Voor de totale verplaatsing kan dan geschreven worden:
De virtuele arbeidcvergelijking ten gevolge van de totale verplaatsing i s dus (met Nk en
%
infinitesimale snedegrootheden):
De virtuele arbeidcvergelijking t.g.v. alleen de verplaatsing u en k << 1): wk is dan, bij benadering, (omdat Iwk
I
'X
Substitutie van de lineaire betrekkingen:
4.4
E] [u" i.l[ir:,] =
leidt vervolgens tot
E1wk ,xx6w > xx)dx
=
O
De axiale verplaatsing uk is niet relevant voor de bepaling van de seabiliteitsgrens. De probleembepalende incrementele potentiële energiefunktionaal is dan: (4.1)
4 . 3 Kip van een éénzijdig ingeklemde balk
Op systematische wijze wordt uiteengezet onder welke voorwaarden een kipprobleem kan ontstaan. laartoe wordt een éénzijdig ingeklemde elastische balk met asymnetrische dwarsdoorsnede, lengte R en centrale hoofdassen x, y en z beschouwd. 3
Op het vrije uiteinde wordt een belasting P aangebracht, die niet in het dwarskrachtenmiddelpunt M aangrijpt (fig 4 . 2 )
fig 4.2 Het hierboven beschreven systeem wordt verondersteld een zuiver kipprobleem te vormen. Bij de opstelling van de incrementele potentiële energie funktionaal V blijken dan extra beperkingen nodig te zijn om het uitgangspunt dat er uitsluitend een kipprobleem is, te kunnen handhaven.
4.5 3
3
3
3
P en Pz, niet aangrijpt in het Gesteld is dat P, met komponenten P x’ Y dwarskrachten middelpunt M. Zuivere kip is dan alleen mogelijk als be-f -f 3 3 3 3 -+ halve Px = O tevens PY = O of PZ = O. Kies PZ = O. Om de notatie konsistent te maken met de rest van het verslag wordt 3
de grootte van P
Y
aangeduid door
P.
4.3.1. Hoekverdraaiingen en verplaatsingen bij kip A l s de uitwendige belasting
p geleidelijk wordt aangebracht, vervormt
de balk op de volgende wijze: Eerst treedt buiging op in het (x,y)-vlak over een hoek $,(x)
(fig. 4.3.a).
Na het bereiken van een zekere grens-
waarde voor p kipt de balk, d.w.z. hij buigt in het (x,z)-vlak over een hoek $ en roteert om het dwarskrachtenmiddelpunt M over een hoek $x Y (fig. 4.3.b).
Z. 1
1I
l
i
I
1
a
fig 4 . 3 Door invoering van een tweetal vereenvoudigingen kan de beschrijving van het probleem vergaand vereenvoudigd worden. Stel daartoe dat:
-
de hoekverdraaiingen $x,
en 4, klein zijn +Y de invloed van de vervormingen $ en $z op $x dusdanig klein Y is dat we voor $ zijn projektie op de x-as mogen nemen, X
De eerste benadering maakt het mogelijk $x,
$Y
en $z voor te stellen
als vektoren. Door invoering van een drietal nieuwe rotaties a , B en y-in respektievelijk de positieve x, y en z-richting van het vaste koördinatenstelcel (fig. 4.4) kunnen uit fig. 4.4 de volgende relaties worden afgelezen:
4.6
*
L*
+
i z*
fig 4.4 De tweede benadering geeft: a
$*. Hierdoor wordt het probleem teruggebracht tot kleine hoekverdraaiingen f3 en y in het ruimtevaste stel-
sel, gekombineerd met zuivere wringing om het dwarskrachtenmiddelpunt M in de ruimtevaste x-richting. Uit fig 4.5 blijkt dat de rotaties (3 en y in de ruimtevaste y- en z-richting ten gevolge van de draaiing a overgaan in de rotaties ((3 + ay) en
(y -
a@) in de lokale hoofdrichtingen y ’ en z ’ .
4.7
P’
,-v
Hierin zijn vM en wM de verplaatsingen v en w van het dwarskrachtenmiddelpunt M en is dus
een voor de gehele doorsnede konstante ver-
De verplaatsingen in y,- en z-richting kunnen afgelezen worden uit fig. 4.6:
v = v
M
w u LI€
L
+
=
wM
-
lcos@ + ICOS(~ + @ ) e vM
-
-
isin@ + lcin(a + @ ) 2 wM
=t (y
(Z
-
zM)a
- yM)a
- {(y - 4.2 -
yW)a2 (4.2.b) zM)a2 (4.2.c)
valt ep .it de verplaatsingen in het vlak van de doorsnede (v,w)
betrokken zijn op het dwarskrachtenmiddelpunt M en dat de axiale verplaatsing u betrokken is op het zwaartepunt O. Dit blijkt in een volgende fase van de afleiding aantrekkelijk te zijn.
4.3.1.1 Snedegrootheden en vervormingen Voor de snedegrootheden geldt (zie ook hoofdstuk 3) :
N
=
1
oxdA
=
EA&X ; My -
A
zoxdA = EI K ; M = Y Y z
A
A
%= lcoxdA =
1
E I b ~ b; M~ =
J
GIta,xdx = G I t ~ t
R
-1
ygxdA = EIZKz ;
A (4 3)
4.8
Voor de normaalspanning in een willekeurig punt van de dwarsdoorsnede geldt : ox
=
Ofwel : e xx
, met
Eexx
=
e xx
U,~(I + ;u
benaderd worden door exx
=
u
) + h(v
'X
u
=
+
'X
+ ;(u
'X
2
2
2
'X
2
+ v , +~ w,,).
2 + w,~). Als
'x
<< 1 mag dit
i ( v2 , ~+ w2'X ) .
Door substitutie van ( 4 . 2 ) in ( 4 . 3 ) zijn de vervormingen uit te druk-
w ) en de rotatiea.
ken in de verplaatsingen (u
vMy M Gebruikmakend van de afkortingen : ú'
i2 M
=
A
i
(z
- zM)2
+ (y
-
2
yM) } dA
A
(4 4)
ontstaan dan de volgende betrekkingen :
4.3.2
Grondtoestand
-
Veronderstel dat de uitwendige belasting P zo groot is, dat de balk het vertakkingspunt juist bereikt heeft
(P = Po)
De bij deze toestand behorende verplaatsingen en rotaties zijn: u = o
uoo
3
"M - vMo
9
"M
= O
,
a =
O. Voor de snedegrootheden geldt
analoog N = N o , MY = MYO , Mz = Mz o Y Mb = Mbo, Mt = Mto Substitutie van de verplaatsingen in ( 4 . 5 ) leert dat :
%o
=
Mm =
M
yo
=
O over de gehele lengte van de balk.
Als de positie van
P
M t.o.v. M beschreven wordt door : yM en zp P
,
4.10
uIS-
=
u
00
+ u ak
v = v + v M Mo Mk "M
= wMk.
a
= a
k
De hierbij behorende snedegrootheden zijn: N = NO + N k
;
Nk
M = M Y Yk
;
MYk
;
Mtk
Mt
-
-
Mtk
= =
-
-
-EIywMkJXX
G1tak,x
De virtuele arbeidsvergelijking t.g.v.
alleen de infinitesimale ver-
plaatsing is dan in eerste benadering:
Verwaarlozing van de voor kip niet relevante verplaatsingen u en v M o leidt, samen met een koncekwente kwadratische benadering, tot de volgende virtuele arbeidcvergeiijking:
De incrementele potentiële energie funktionaal is dus:
,
4.9
(fig. 4 . 7 ) , dan is de virtuele arbeidcvergelijking van de grondtoestand:
= Po(6v
- ZP6ClJR M
fig 4 . 7 Partiële integratie geeft vervolgens: No6u,x
= O
2
M
-
(No"MVMo x Voor deze klasse kipproblemen moet de werklijn van
Uit de laatste drie betrekkingen volgt : M
zo
=
-
F
Po(&
dus door M gaan.
-
x).
4 . 3 . 3 Eindtoestand.
Neem een nieuwe evenwichtstoestand, infinitesimaal verschillend van de vorige, waarvoor geldt dat de balk juist gekipt is. Voor de totale verplaatsing en rotatie kan dan geschreven worden:
1
I
4.11
4.4 Torsieknik.
-
Een balk wordt belast door een centrale, axiale kracht N, die geleidelijk wordt opgebracht (fig. 4 . 8 ) .
fig 4.8 Na het bereiken van een grenswaarde
No
tordeert de balk om M. De bij
deze eindtoestand behorende verplaatsingen zijn, overeenkomstig form(4.2): u
=
o + Sa,x 1 2 -(z - z,>a - s(y - yM’a
u
v =
w = +(y
- yM)a -
2 I (z
-
ZM)a
2
De relevante vervormingen zijn dan: EX =
2 2 uO’X + biMa ’x
Omdat de balk niet buigt, moet gelden : M
Y
=
Mz
=
O.
= r = O (hieraan voldoet een dubbelsymmetrisch profiel). yM zM Als de balk op het punt staat te corderen (grondtoestand), 1s de vir-
Dus r
tuele arbeidsvergelijking (met u
J CN~GU I >X
R
dx
=
=
uO 0 =a= O
-2 O (ôu + gN~a,x>R
,N
=
NO
, P’$
=
Mt
=
O).
4.12
Hierin is
5N de welvingsfunktie in het aangrijpingspunt van
N.
De virtuele arbeidsvergelijking na torsie in een infinitesimaal van de grondtoestand verschillende situatie is: {No(Gu,xdx
2 + iMak,xGa,x)
+ %kGa,xx
+
Mtk6aa,}
dx
=
R =
-ÑoSu(R)
De incrementele potentiële energie funktionaal is dus :
R 4 . 5 Gekombineerde axiale en laterale belasting
Een axiale belasting kan centraal (in het zwaartepunt aangrijpend) of acentraal worden aangebracht. Een acentrale belasting Ñ kan altijd vervangen worden door een kracht en een koppel
2,
aangrijpend in het zwaartepunt
z. In deze paragraaf wordt de acentraal aangrijpende
kracht Ñ beschouwd. De werklijn van de laterale belasting gaat weer De in fig. ( 4 . 9 ) getekende situatie vormt geen stabiliteitsprobleem, er is een initieel moment M # O . Y
I
Y Y
t z
fig 4 . 9 Stel zN
=
O. In dat geval kan % vervangen worden door een axiale
-
kracht Ñ, die in O aangrijpt, een een moment M
-
z
= Ny-.
N
4.13
Veronderstel dat de belasting langzaam wordt opgebracht. Bij de waarden
O
2
,a
en
O
behoren de initiële verplaatsingen u = .u O
,v
=
v
O. De virtuele arbeidsvergelijking die hierbij behoort kan bepaald worden m.b.v. de relaties (4.2), ( 4 . 3 ) en ( 4 . 5 ) :
w
=
=
o y
Veronderstel dat de balk op het punt van kippen staat. De virtuele arbeidcvergelijking voor de situatie juist na kip t.g.v. alleen de infinitesimale verplaatsingen is dan:
Hieruit blijkt dat alleen bij zM = O volledige ontkoppeling tussen enerzijds en (w , a ) anderzijds optreedt. Met andere woorden: M k k Alleen voor z = O bestaat de mogelijkheid tot kip. M De incrementele potentiële energiefunktionaal is in dat geval: v
lac
Een andere mogelijkheid voor le vervorming na de grondtoestand is, dat de balk verder doorbuigt: uk # O , vk # O y wk - ak = O.
- _
4.14 In dat geval geldt voor de verplaatsingen: u
=
.u -yVM,=
v = v M De hierbij horende vervormingen zijn: Ex = K
z
u
oax
+ 'v M2 > x
= v M>XX
n -
-
Ño(6u(R>
YN6V,,(R))
Partiële integratie geeft de volgende betrekkingen: -
No
=
-No
x - MZo$x)R
('oVMo
=
FO6v(R)
(Mzo>& = NoYN -N v o M O ~ X X MZoaxx +
=o
Bij verder doorbuigen is de virtuele arbeidcvergelijking t.g.v.
alleen
de infinitesimale verplaatsingen: + Nk6uJx + Mzk6v>xx} dx = O
R De incrementele potentiële energie funktionaal is in dat geval: (4 9)
R Vergelijking met form (4.1) leert dat door bovenstaande relatie de kniklast van een zuiver op ikuk belaste staaf bepaald hor (Bij de kritische belasting erg buigslap).
Ñkr wordt het bovenbeschreven systeem dus
4.15
4 . 6 Kip van een tweezijdig opgelegde balk.
Tot nu toe is bij de bepaling van de incrementele energie funktionaal van kipproblemen alleen gesproken over éénzijdig ingeklemde balken. Met weinig moeite kan ook een energie-uitdrukking voor de situatie van fig. 4.10 opgesteld worden.
t’
Y
fig 4. De acentrale belasting
N wordt weer
vervangen door een kracht
-
pend in het zwaartepunt en een moment M
i, aangrij-
=
zN Voor de bepaling van de incrementele potentiële energie funktionaal moet struktie verdeeld worden in twee ~~~
I
~
~
I
I
!
I
1I I
11 Voor de incrementele potentiële energie van het linkerdeel geldt, met
MZLo het snedemoment: 2 2 ‘-No(wMksx + iM aksx
2&
+ EI w y Mkaxx
+
-
zyMak>xw=> x)
2 MzLo(2akwMkaxx - r yMakax)
1
2 M 2 + GI a2 t kax + EIb ak*xx dx + i(FLypak)a
+
+
( 4 . IO)
4.16
Voor het rechterdeel geldt een overeenkomstige uitdrukking, doch nu met snedegrootheden en M De totale incrementele potentiële energie R zRo funktionaal is V = V + V L R' In de voorgaande paragrafen zijn de snedemomenten 12 telkens bepaald zo m.b.v. de virtuele arbeidsvergelijking van de grondtoestan. Zij kunnen echter ook op elementaire wijze bepaald worden, uitgaande van momenten
-
en krachtenevenwicht:
-
N
-1"
Dus :
MzLo
-
'
Z N
L
"t
R
fig 4.12
=
Lx
=
R - a )x + M ~ N AF( 7 a X (4.11)
5.1
5 Benaderingsoplossingen.
In hoofdstuk 4 is voor verschillende klassen stabiliteitsproblemen de incrementele potentiële energie funktionaal opgesteld. Het beginsel van Rayleigh geeft, zoals reeds is uiteengezet in hoofdstuk 2, met weinig rekenwerk redelijk nauwkeurige resultaten voor de kritische belasting. Deze methode wordt daarom in dit hoofdstuk uitgewerkt voor verschillende belastingsituaties en konstrukties.
5.1 Randvoorwaarden en verplaatsingsvelden. De werkelijke knik- of kipvorm van een konstruktie is afhankelijk van de opleggingen (fig. 5.1).
fig 5.1 De randvoorwaarden moeten dus, voor een adequate benadering van de werkelijke verplaatsingen, in de beschouwingen berrokken worden. Dit kan door als verplaatsingsveld een reeks te nemen en deze te laten voldoen aan alle randvoorwaarden,
In dit hoofdstuk worden twee soorten verplaatsingcvelden toegepast, te weten: polynomen en Fourierreeksen. De randvoorwaarden waaraan deze funkties bij verschillende opleggingen moeten voldoen, zijn weergegeven in fig. 5.2.
5.2
L X
J
i
W
Z
inklemming gaffel scharnier
fig. 5.2
5.2 Verplaatsingsvelden en kritische belasting bij knikproblemen.
De op te lossen funktionaal is (zie ook form. ( 4 . 1 ) ) :
+
E?k
'
}dx xx
(5.1) ~~
Om
de procedure voor de bepaling van een verplaatsingsveld te verdui-
delijken, wordt hieronder het geval van de tweezijdige inklemming uitgebreid behandeld. Voor andere opleggingen worden alleen de resultaten weergegeven.
5.2.1 Tweezijdige inklemming.
Stel het volgende probleem: Een balk, met lengte R, die aan beide uiteinden ingeklemd is, wordt zuiver op druk belast (fig. 5 . 3 ) . Gevraagd wordt de kniklast
Y
No.
V
t
fig 5.3
5.4
5.2.2 Overige opleggingen.
-
Eénzijdige inklemming:
-___
-
N
O
Randvoorwaarden: v(0) = v 'X (O) = v , ~ ~ ( R ) = O Verplaatsingsvelden:
-
v
=
a(-3ax2 + x
v
=
a(i
-
cos
3
ITX
1
Eénzijdige scharnierende oplegging:
-
___-Randvoorwaarden: v(0)
N
=
O
V,~~(O)= v , ~ ~ ( R )= O
Verplaatsingsvelden: v
=
ax 2TX
ITX
ITX 5 ~ 0 sv = a(4 cos R f 2R -
-
COS
(5.6)
R
Tweezijdige, scharnierende - oplegging: N
Randvoorwaarden: v(0)
=
v l x x ( 0 > = v(&)
=
v xx (i =) 0 3
Verplaatsingsvelden:
v
-
=
1
a sin
ITX R
(5.7)
Gekombineerde oplegging:
+-
-
--=&No
Randvoorwaarden: v(0)
=
",,(O)
= v(R)
=
v,~~(R)=
O
Verplaatsingsvelden: v = a(3e2x2 v
=
-
511x3 + 2x4)
2TX a(-2sin E R + sin
(5.8)
5.5
5.2.3
Kritiische belasting.
De op te lossen betrekking is:
iJ
- 2 2 c - N ~ V +, ~ EIV,~,)
dx = O
R
Hieruit volgt dat de kritische belasting ÑO bepaald wordt door: (5* 9 )
waarin v de bij de konstruktie behorende benaderingsfunktie voor de laterale verplaatsing is. Omdat de uit te voeren bewerkingen eenvoudig zijn, wordt volstaan met het vermelden van de resultaten. Om onderscheid te maken tussen de kritische belasting bepaald m.b.v, een polynoom en de kritische belasting bepaald m.b.v. een goniometrische betrekking wordt in het eerste geval de kritische belasting aangeduid met Ñ en in het tweede geval met
P
Nf'
-
N P
=
2,50
-
EI -
T2
EI
!L2
-- = 2,467 EI
De exakte oplossing is: N- = .rr2
!L2
~ 0 N ~ - 4 2 EI P !L2
-
;
!L2
- = IT 2 EI Nf !L2
-
-
De exakte oplossing is: N = 4K2
EI % = 39,5 R !L2
Het goniometrische verplaatsingsveld dat bij deze konstruktie behoort 27Tx is: v = a(i - cos 7 )
5.6
-
Eénzijdige scharnierende oplegging.
De exakte oplossing is : Ñ
-
=
O (starre beweging).
Tweezijdige scharnierende oplegging.
-
= 9,88
Np
EI EI ,. N f = r2 !L2 .b2 -
De exakte oplossing is : N =
IT
-
2 EI
Z,
9,87
R2
-
EI -
!i2
Gekombineerde oplegging.
-
Np = 21
EI R2
;
N
=
2,5 ,rr
f
-
2 EI g2
-
De exakte oplossing is: N = 2,05
--
2 EI
IT
R2
u
20,2
EI R2
Bij kip kunnen twee karakteristieke "verplaatsingen" onderscheiden worden: De laterale verplaatsing wM in het vlak van de doorsnede en de rotatie
a
om het dwarskrachtenmiddelpunt M (fig. 5.4)
V
M
f i g 5.4
Omdat het beginsel van Rayleigh alleen zinvolle resultaten geeft als er slechts één onbekende parameter in de benadering voor de verplaatsingen aanwezig is, zal nu eerst een eenvoudige betrekking tussen afgeleid.
01
en wM worden
5.8 Vanwege de symmetrie behoeft maar één helft van de konstruktie beschouwd te worden. We zullen alleen het linkerdeel bespreken (fig. 5.4.b). De incrementele potentiële energie funktionaal van dit deel is dan, met
Mzo
=
-
-4P x : O
Voor een hoogkante strip, die quasi-welfvrij is en met de uitwendige belasting
O
aangrijpend in het zwaartepunt, gaat (5.13) over in: (5.14)
Een werkwijze voor de bepaling van een verantwoord verplaatsingsveld is nu als volgt: Eerst wordt, met gebruikmaking van de kennis opgedaan in 5.2 over gonio-
ia het begin-
metrische verplaatsingsvelden, en-met behulp van (5.14 sel van Rayleigh een benaderingsoplossing voor ~
O
bepaald. Voor de
voudige situatie wordt in de literatuur de kritische belasting geg uitgaande van verschillende randvoorwaarden. ie van de berekende kritische belasting met deze literaeen verantwoord verplaatsingsveld voor
5.3.2 Kritische belasting van een hoogkante strip.
- Vrije welving
(gaffeloplegging).
Randvoorwaarden : ~ ( 0 =) aJxX(O) =a,,(iA) Hieraan voldoet het verplaatsingsveld : a
=
O
=
asin
De kritische belasting die hierbij behoort is:
-
De literatuur geeft : P
94
= A
h2
-
Verhinderde welving. Randvoorwaarden: a ( 0 )
= a , (O) = a ($8) = O X 'X
ITX R
01
gekozen worden.
5.9
Hieraan voldoet het verplaatsingsveld
:a =
a(i
-
2lTx )
cos
R
De kritische belasting die hierbij behoort is:
De literatuur geeft geen referentiewaarde.
5.3.3. Kritische belasting van profielen met komplexe dwarsdoorsnede. De kritische belasting wordt bepaald m.b.v. form. (5.13) : 1
a
4
-2 2 2 P0a x
EI Y
+
EI^^2
'XX
+ G I ~ ~+:4~~orYIYPJX 2)ax
+ (5.13)
Ten overvloede wordt nogmaals vermeld dat deze relatie betrekking heeft op de belastingsituatie van fig. 5.4.a.
5.10
De kleinste wortel van (5.15.a) is:
_ .
2 a 2
geschreven worden:
(1
a2 +-- 2
1
.....)
.
._
-
Substitutie van (5.15.b) leidt tot:
1
1 -
1
1,74
De literatuur geeft:
dy:[1 -
p -
= l6 93 A
O
-
M YP 1,74-Q
Q2
Verhinderde welving. Substitutie van het verplaatsingsveld
01
= a(1
-
cos
2TX a )
leidt tot de
vierkantsvergelijking : -26 2 9 ) + -P (T +7 O
M R 3EI (SIT4r + 1 2 82~yp) + O Y YM
4 2 6 2 + 2 5 6 ~E I I + 6 4 G ~E I I R = 0 Y b Y t
(5.16)
Deze vergelijking heeft een positieve en een negatieve wortel en bepaalt de kritische belasting bij tweezijd ige welvingcverhindering.
5.12
In dat geval kan het verband tussen
en
geschreven worden als
=
s,
met a = tan+. De acentrale belasting
Mz
wordt vervangen door de centrale belasting Ñ en
bP. De incrementele energie funktionaal van de gehele balk is (zie ook form. (4.10) het moment
=
yNtan4
=
en (4.11)):
(5.20) Omdat er geen eenvoudige betrekking tussen a en w bestaat', wordt afgezien van het gebruik van het beginsel van Rayleigh. In plaats daarvan wordt de methodë Ritz toegepast (par. 2.5-1) De procedure voor de bepaling van de kiplast i s nu als volgt: Voor zowel het linker- als het rechterdeel worden verplaatsingsvelden voor a en voor
w gekozen: 5 , wL, % en wR. a en w moeten voldoen aan de randvoorwaarden in x L L kondities in x = R.
=
O en aR en wR aan de
Bovendien wordt kontinuïteit gesist in x = BR. Met behulp van de aldus verkregen verplaatsingsvelden kan de kritische belasting bepaald worden op de wijze, zoals beschreven in par. 2.5.1. 5 . 6 Literatuur.
1.
Burgermeister, G., "Stabilitätstheorie I", Akademie-Verslag, Berlin.
2. Chen, W.F., "Theory of Beam-Columns I", McGraw-Hill. 3 . Chen,
W.F. , "Theory of Beam-Columns II", McGraw-Hill.
4 . Japan, C.R.C., "Handbook of Structural Stability", Corona, Publ. Co. Tokyo.
5.11 5.4 Verplaatsingen en kritische belasting bij torsieknik. De kritische- belasting wordt bepaald m,b.v.
de formule:
2
2 2
+GIa2 + E I a }dx b xx t x
X
(5.17)
11
Bij tweezijdige gaffeloplegging (vrije welving) leidt het verplaatsingsveld
TX
a =
N
asin -tot R
= -
O
1
<
de exakte oplossing: K 2EIb
(GI, +
-)
(5. 18)
R2
Bij tweezijdige inklemming (dus de welving is verhinderd) leidt het verplaatsingsveld a = a61 - cos R 2nx ) tot:
-
N
O
= -
1
i
M
-)
2 b'E (GIt + 41~
(5.19)
R2
wat eveneens overeenkomt met de literatuurgegevens. -
In deze paragraaf wordt de kritische belasthg bepaald van een balk die onderworpen is aan een gekombineerde axiale en laterale belasting. Ter vereenvoudiging wordt aangenomen dat de grootte van de axiale belasting
;afhankelijk
is van de grootte van de laterale belasting
de uitwendige belasting op een afstand (fig. 5.5.a).
fl -\I-
ia
van de opleggingen aangrijpt
N
7
/@
I
a
fig 5.5
en dat
5.13
5. Szabo, I., "Hutte, Mathematische Formeln", Ernst
&
Sohn, Berlin.
6. Timoshenko, S . , "Theory o f Elastic Stability", McGraw-Hill.
6.1
6. Enkele benaderingsmethoden voor de bepaling van de torsiefunktie
$ en daarvan afgeleide geometrische grootheden.
In een aantal gevallen is de welving van belang voor de bepaling van het vervormingsgedrag en de belastbaarheid van een konstruktie. In het hoofdstuk over wringing van open profielen is uiteengezet, dat deze vervorming bepaald kan worden m.b.v. een torsiefunktie $. Voor zowel open als gesloten dunwandige profielen zijn eenvoudige oplossingen voor $ bekend. In 6.1. wordt er een gepresenteerd. Generalisatie van deze werkwijze tot gedeeltelijk dikwandige doorsneden blijkt echter niet mogelijk. Met een andere methode is de torsiefunktie van willekeurige doorsneden wel adequaat te benaderen ( 6 . 2 . ) .
6 . 1 . Benadering van de torsiefunktie $ van dunwandige dwarsdoorsneden.
6.1.1.
Schematisering.
Veronderstel dat ieder profiel beschouwd kan worden als zijnde samenn diskreet aantal (NE) gekoppelde, dunwandige, rechte ele-
menten. Per element is de dikte t konstant (fig. 6 . 1 . ) e De dwarsdoorsnede wordt beschreven door de stuksgewijs rechte profiellijn -+ + met raakvektor s en door de normaal r loodrecht daarop. De verbindingspunten k. van de elementen liggen op de profiellijn. 1
I
Y
Y
yP
fig. 6.1.
6.2 6.1.2. Benadering van de torsiefunktie. Stel dat de torsiefunktie JI elementsgewijs beschreven kan worden door JIe(s,r)=f
e
(s).r+g
e
(s),
met f (s) en g (s) differentieerbare funkties e e
van s. In de verbindingspunten (knopen) wordt kontinulteit van $ geëist. Dus g (s) is kontinu. e Substitutie van JI(s,r) in (3.13.) geeft: e NE
v . = ~ G2YRX ~e=l c 1
-
s 2 te
'J
{(r feys+geyc2+f2+z2+y2+r2-~r(r f e ,sfge ,s 1 e P P S I -t e 2
cos4 +y
)(-z
+2(r fe,s+ge,s p e P +2f (z sin4 +y c~s$~)}drds e P e P Waarin S
sin4 )+2r(z cos4 -y sin4 ) e P e P e
en S
de elementgrenzen zijn en R de lengte van de balk is. 2 De funkties f mogen onafhankelijk van elkaar gevarieerd worden. De funke ties g zijn afhankelijk van elkaar en moeten dus gezamelijk gevarieerd e worden.
1
Stationair stellen van V.-geeft dan voor V.=Vi(fe) 1
1
1 3
GfeVi=d-t (f - 1 ) ) 6 e e,s
9s
+2t f +2t (z sin4 +y cos4 )=o e e e p e P e
Omdat alleen over dunwandige elementen gesproken wordt , mag de 2e-orde term verwaarloosd worden. In dat geval geldt: fe=-l(y
2 2 +Z ) P P 'S
Met V.=V.(g ) resulteert het stationair stellen van V. in: 1 l i e C6 v.=o-+ t g +t (-2 cos4 +y sin4 )=hi e ge 1 e e,s e p e P e
Met de randvoorwaarde
6.3
Kontinuïteit op de profiellijn geeft met het bovenstaande: S
ge=) {z y -y z ldS+c P PYS P PYS O Voor de torsiefunktie van dunwandige elementen geldt dus bij benadering: 2
S
2
-y z
e
(6.1 .)
ldS+C
Met behulp van een extra eis, bijv. )$dA=O
is C te bepalen.
A Voorbeeld. Een element in een (y,z)-vlak keurige hoek
@
bevindt zich onder een wille-
met de positieve y'as.
yp=y*+(s-S ) c o s @ z = z +(s-Sl)sin$ 1 P I
Voor de torsiefunktie van dit element geldt: $e=-{y
COS$+Z
1
sint$+(s-S1) lr+zl(s-S1 )cos -y 1
1
(s-S
1
)sin$+C
1
De t ~ r s i e f ~ ~ k van t i e een duriwandig slemprit me+, rechthoekige
dwarsdoorsnede is dus bilineair. 0 . 1 . 3 . Benadering van het dwarskrachtenmiddelpunt.
Het dwarskrachtenmiddelpunt M kan bepaald worden door substitutie van I/J =rf +g in (3.9.): e e e
6.4
sin+=z PYS cos+=y PYS
i
1
Y
y BP fig 6.2 leidt tot
-1
NE '2
,
YM= -2 e=l J {-t1 2 ] z dA s,
A
C
+t g z }ds f y e e p,s e e p
(6.2. a-b)
1
z
I
Y fig. 6.3.
6.1.4. Benadering van de torsie-integraal. De torsie-integraal It kan gevonden worden d o o r substitutie van Se=rfe+g in (3.13.): e
6.5
NE t e=l
A
e
Na enig rekenwerk volgt de bekende betrekking NE '2 It =e=l C 1 T ted s
(6.3.)
'1
6.1.5.
Toetsing van de methode.
Met als referentie een elementen methode programma dat uitgaat van de torsietheorie volgens hoofdstuk 3 its nagegaan of de hier beschreven werkwijze toegepast kan worden bij gedeeltelijk dikwandige profielen, zonder dat de werkelijkheid geweld wordt aangedaan. De daartoe beschouwde dwarsdoorsneden zijn zodanig gekonstrueerd, dat ook
# O) en diskontinue profiellijn bestudeerd e,s konden worden. Hierbij is gebleken dat de dunwandige theorie slechts voor
verlopende elementdikte (t
een kleine klasse gedeeltelijk dikwandige profielen bruikbaar is.
6.2. 6.2.1.
Benadering van de torsiefunktie $ van dikwandige dwarsdoorsneden. Schematisering.
Evenals bij de dunwandige theorie wordt bij deze methode aangenomen dat ieder profiel beschouwd kan worden als zijnde opgebouwd uit een diskreet aantal gekoppelde, rechte elementen. In tegenstelling tot de in de vorige paragraaf gevelgde weikwijze, geeft de hier gepresenteerde methode wel de in te voeren. e Een ander verschil wordt gevormd door de keuze van het koördinatensysteem:
mogelijkheid een niet-lineaire torsiefunktie $
Bij de dunwandige theorie, die uitmondt in een bilineaire torsiefunktie, + wordt de tweedimensionale ruimte opgespannen door de raakvektor s en de -+ normaal r loodrecht daarop. In de hierna beschreven methode fungeert het centrale assenstelsel van het gehele profiel als referentie voor de bepaling van de torsiefunktie $
e
van de afzonderlijke elementen.
6.6
6.2.2. Benadering van de torsiefunktie. Neem voor
)I
e bijvoorbeeld een polynoom:
De torsiefunktie $ van het gehele profiel is dus gemiddeld nul. Voor de bepaling van de onbekende aejk wordt $e elementsgewijs in de betrekking voor de elastische energie V. (3.13) gesubstitueerd. 1
Stationair stellen van V. geeft dan : 1
M
N
mie= c c
6 vie= k=O j=o aejk
o
Het resultaat is een stelsel algebraïsche vergelijkingen met als onbekende alle aejk, uitgezonderd a eOO' In de volgende paragraaf worden de konstanten
a
e00
bepaald. ~~~
Voorbeeld. Een profiel wordt onderverdeeld in een aantal elementen. Stel dat de torsiefunktie elementsgewijs beschreven kan worden door $e
=
a
le + aZey + a3ez + a4eYz Subs titutie
in (3.13) geeft:
v.ie =
J{(a2e H
+
(a4e
-
e Stationair stellen leidt tot:
e
~ ) z2) + (a3e + (a4e + l ) y ) 2 ~ d ~
6.7
Door invoering van de bekende geometrische grootheden 2 2 S = /zdA, Sze = /ydA, Iye z dAen Ize = /y dA gaan Ye Ae A A e e e
=/
deze vergelijkingen over in:
ea2e
+ S
S a ye 2e
a = S ye 4e ye 'zea3e
+
+
=
ea3e
+
'zea4e
ey'
-s
+
'zela4e
= I -I ye ze
ze
Ofwel, in matrixnotatie:
lo
A
I
S
la,
De konstanten a le ontbreken in dit stelsel afgebrahche vergelijkingen, omdat in (3.13) uitsluitend afgeleiden van $ voorkomen.
~
De hierbo-ven beschreven werkwijze voor de bepaling van $e geeft een benadering van de reële $J. Een maat voor de nauwkeurigheid wordt verkregen door de in het voorgaande voorbeeld beschreven procedure te herhalen met een polynoom van hogere orde.
6 . 2 . 2 . 1 . Bepaling van de konstanten a
uit
e00
=
M
N
C
C
k=O J d
aejkYj k
Als een profiel een antimetrielijn heeft kan de $ van enkele elementen e ateik vereenvoudigd worden, Voorwaarde hiervoor is, dat de betrokken elementen bovengenoemde lijn raken of snijden. Laat nl. in dat geval de desbetreffende torsiefunkties voldoen aan de antimetrie eigenschappen van het gehele profiel. Voorbeeld. Van onderstaand profiel is de z-as de antimetrie-as. Overeenkomstig het hierboven gestelde wordt nu geëist dat de elementen 1, 2 en 5 aan de het profiel voldoen.
antimetrie-eigenschappen van
6.8
Z
In het algemeen zijn er twee mogelijkheden voor de antimetrie: y-as is antimetrie-as : +,(y,o) = O z-as is antimetrie-as : Jle(0,z) = O
aej a eOk 10
Een aantal a is dus gelijk aan nul. e Stel dat het aantal nog onbekende konstanten a e op elkeelementgrens in één punt kontinuTt
=o = o 1
II
I
gelijk is aan NO.
I
van j) te eisen, ~
worden bij oper, profielen minimaal (U0 - 1) bruikbare vergelijkingen verkregen. De mogelijk nog ontbrekende betrekking volgt rechtstreeks uit:
,,i C
e= 1
JledA = O.
Voorbeeld. Stel dar d e torsiefunkties
VIL.
de verschillende eleuienten
van onderstaand profiel beschreven kunnen worden door: +e = ale + a2ey + a3ez + a yz + a y2z. 4e 5e
I l
6.9
Z
Antimetrie: Zowel de y- als de z-as is antimetrie-as, Element 1 snijdt beide lijnen: 1)~(y,~0) $,(O,z)
=
O
-
O -a
= a = O. li 31 Element 2 snijdt alleen de z-as: Si2(O,z) = O =
a l l = a21 = O,
Element 3 snijdt alleen de z-as: Ji3(0,z)
=
O
-a
-a
1 2 = a32
=
= a
=
13
33
O. O.
Voor de torsiefunkties resulteert dus:
I I
~~
$1
= "41~ + ~ " 5 12~
~
~~
-1
I
j
2 $2 = a 2 2 ~+ a 4 2 ~ z-ia52Y z
~
i ~
I ~
6.2.3. Benadering van het dwarskrachtenmiddelpunt.
1i
Het dwarskrachtenmiddelpunt M wordt ook nu weer bepaald door substitutie van de benaderingsfunktie 1
= -
YM
A 2 = + M
z2dA 1
A .f y2dA
Ge
in (3.9).
FJZz c k=O j=
e=]
M
N
M
M
A
e
NE
/y 2 1 aejky jzkdA e=l k=O j = o C
A
e
I
6.10
Voorbeeld. Enkelsymmetrisch profiel, z-as is antimetrie-as van de konstruktie.
z
I
1 Y
De y-as is centrale hoofdas (fzdA A
=
O).
Uit symmetrie-overwegingen volgt yM = O . Veronderstel dat voor de verschillende elementen de torsiefunktie qe = aley + aZeyz + a y2z bepaald is. 3e Substitutie hiervan in ( 6 . 4 ) leidt tot: YM---
F
Jz(a ley + a2eyz + a3ey 2z)dA jz2dA e=1 Ae
A
Hierin zijn de deelintegralen jalezydA,/a2eyz 2 dA en A
Ae
e
ja3ey3dA ale gelijk aan nul.
Ae
-_. u i t het voorgaande volgt dat voor
een element "e", waarvan een sym-
metrie-as samenvalt met een antimetrielijn(z) van het totale profiel,
....
(2j-1)zk (voor j = 1 , 2 . N en geldt dat alleen de termen a ejky k = O,], M) uit de torsiefunktie $e een bijdrage leveren aan de positie van het dwarskrachtenmiddelpunt M van dat profiel.
.....
Als de y-as een antimetrie-as is, geldt een overeekomstige uitspraak voor a j '2k-1) (j = 0,1, N en k = 1,2 M). ejkY
....
.....
6.11
6.2.4. Benadering van de torsie-integraal. Substitutie van Ji
=
e
M
N
C
C
''. ,
a k=,Oj=O ejkY
NE
in (6.13) geeft:
+ y)2 dA
e=i e met
Jie
y =
M
N
C
C
aejkjy íj-1 >zk
k=O j=l M N en
$,
=
C
k=l j = O
aejkky
j (k-1)
Voorbeeld. Van het profiel van het voorgaande voorbeeld wordt de torsiefunktie bepaald, waarbij uitgegaan wordt van $e = a ley + 2 + a2eyz -+ a y z . Substitutie in de bovenstaande relatie 3e voor I geeft: t
Ook hier geldt dat enkele deelintegralen gelijk aan nul zijn. In tegenstelling tot de voorgaande paragraaf levert nu wel een bijdrage aan de te bepalen e geometrische grootheid I iedere term van )I
t'
Uit betrekking ( 6 . 5 )
blijkt dat, integenstelling tot de torsie-integraal
van dunwandige profielen, de I van een dikwandig profiel niet beschouwd t
mag worden als zijnde de som van de torsie-integralen van een aantal onafhankelijke elementen. De torsie-integraal wordt immers mede bepaald door de afgeleiden van de torsiefunktie naar y en z :
Jie
y
en +e
Z.
Voorbeeld. Van onderstaand dubbelsymmetrisch profiel is de torsiefunktie op numerieke wijze bepaald.
6.12
D
Het aldus verkregen verloop van $ langs de rand van D is als volgt:
De torsiefunktie van het gekoppelde vierkant kan dus voldoende nauwkeurig door de bilineaire funktie $ = a 1 + a2y benadert worden.
+ a3 z + a4yz
De torsiefunktie van een onafhankelijk vierkant verloopt als volgt:
6.13
*
-
Hieruit blijkt dat splitsing van het profiel in een aantal onafhankelijke elementen principeel onjuist is.
6.3 Vergelzjking van de in de paragr
ringsmethoden. Het gedeeltelijk dikwandige profiel van fig. 6.4 fungeert als kapstok voor een kwantitatieve vergelijking van de in de vorige paragrafen gepresenteerde werkwijzen voor de bepaling van
I/J~
It en M.
1
I fig 6.4
6.14
Vanwege de dubbele symmetrie geldt voor de torsiefunktie S(YYZ> = -$(-y,z)
= -S(yy-z)
= $(-y,-z>.
Hieruit volgt dat één kwadrant het gedrag van de gehele dwarsdoorsnede beschrijft. De torsiefunktie is eerst bepaald met het rekenprogramma "eldiv" [i].
In fig. 6 . 5 is het z o verkregen verloop over de dwarsdoorsnede aangegeven met een getrokken lijn. Met hetzelfde programma is ook de torsie-integraal bepaald van het derde 4 kwadrant : It = 41 mm Omdat het profiel dubbelsymmetrisch is, ligt het dwarskrachtenmiddel-
.
punt M in-de oorsprong.
fig 6 . 5 Bovenstaande profielgegevens vormen de referenties voor de nu volgende beschouwingen.
6.15
6.3.1.
Theorie voor dunwandige dwarsdoorsneden.
Geheel volgens de verwachtingen geeft de theorie voor dunwandige dwarsdoorsneden een goede benadering voor $
1 en
$ J ~ .
In de verdikking (element 2) wordt de invloed van de in paragraaf (6.1) toegepaste benaderingen merkbaar (fig. 6.5, de onderbroken lijn). Omdat het profiel dubbelsymmetrische is, neutraliseren de verdikkingen onderling de invloed, die één vierkant op de koördinaten van M
heeft.
De bijdrage van de elementen 1 en 2 aan de torsie-integraal van het 4 totale profiel is volgens de "dunwandige theorie": It = 87 mm (De
.
invloed van element 3 is verwaarloosbaar).
6 . 3 . 2 Theorie voor dikwandige dwarsdoorsneden.
Alleen van de elementen 1 en 2 is de torsiefunktie bepaald. Voor beide elementen is daartoe verondersteld dat
L/J
voldoende nauwkeurig wordt
beschreven door $ e = ae + b ey + cez +.deyz. Het verschil tussen deze bilineaire torsiefunktie en de referentie is overal kleiner dan 1,5%.
eel volgëns de verwachting k
de positie-van M geheel overeen
met de referentie. De bijdrage van de elementen 1 en 2 aan de torsie-integraal is in to4 taal : It = 44 mm
.
6.4. Literatuur. 1. Brekeimans, W.A.M.,
"Een werkwijze voor het numeriek oplossen van
een bepaald type elliptische d.v.-"s", THE-diktaat. 2. Brekelmans, W.A.M. 3 . FlÜgge,
, "Toepasbare
Sterkteleer
'I,
THE-diktaat.
W., "Handbook of Engineering Mechanics", McGraw-Hill-Book
Company.
7.1 7. Uitgewerkte voorbeelden Voorbeeld 1. Gevraagd wordt de welvingsfunktie
5 van een gedeeltelijk dikwandig pro-
fiel (fig. 7.1.a).
1 -
Omdat het profiel dubbels beschouwd te worden (fig. 7.1.b).
Tevens geldt :
5 f$ De welvingsfunktie wordt achtereenvolgens bepaald met de procedures van paragraaf 6.2 en 6.1. Verdeel het kwadrant in elementen (fig. 7.l.c) en neem voor de torsiefunktie van die elementen : ;
e
=
1,2,3
Substitutie in (3.13) en stationair stellen van die elastische energieuitdrukking leidt tot : O
s S
ye
ze
ye
+
'ze
De oplossing hiervan is :
4e
ye
ze
(7.1)
7.2
+
(Iye -$e)
(
F)
Ize - S2
e S
a
3e
= - -
ze
A
e
e
( 1 + a4e)
C
a2e =?(I-. e Laat de elementen
1
4e) en 2 voldoen aan de antimetrie-eigenschappen van
het gehele profiel :
Si2(Y>O) = 0
Voor element
1
-
a 12 = a22 = O
;
?Ci2
=
a32z + a42yz
is het relevante deel van (7.1) : ~
(Iyi + Izl)a41 = iy1
-
I
~
zl
Voor element 2 geldt :
De geometrische grootheden van de verschillende elementen zijn :
Substitutie van deze gegevens in bovenstaande betrekkingen leidt tot :
7.3
= 0,98yz
@
2
q3
= 10,9y =
-
a31 + 7y
0,98yz
-
72
Neem als punt van aansluiting tussen
Dan is a
31
= 31
- q3
= 3
4-
7y
-
2 en $3 :
(z I
ZY5)
72
De torsiefunktie is tevens bepaald m.b.v. het rekenprogramna "eldiv" (fig. 7.2,
getrokken lijn).
De resultaten van beide methoden komen zeer goed met elkaar overeen.
fig 7.2
7.4
/ /
ing: Het valt op dat er nauwelijks meer
/
/
-------- J
\I1
/ /
_ _ - - .
over een profiellijn gesproken kan
'I
c
fig 7.3
De torsiefunkties van de verschillende elementen volgen niet uit form. ( 6 . 1 ) , doch uit een algemenere betrekking, waarvan (6.1)
een bijzonder geval is.
De torsiefunkties zijn :
+ 9s 5(2 +$)r
= -5r + 5r
$311 =
5r
-
-
60
+
30
Profiellijn I1 voldoet goed (ongeveer gelijk aan de getrokken lijn in fig. 7.2.). lijn I daarentegen geéft ontoelaatbare afwijkingen, zowel in i)
..
als in z i j n âfgeleicleïì (flg. 7.2, onderbroken ILjÏi).
Voorbeeld 2 Gevraagd wordt de kritische kiplast van het profiel en de konstruktie van fig. 7.4.a en b.
7.5
'3f
~
20
*t .I
I
b
a
Y'
t
fig 7.4 De kritische belasting wordt bepaald m.b.v.
form (5.15). Er is een groot
aantal geometrische gegevens nodig. Deze zullen nu eerst bepaald worden. Verdeel daartoe het profiel in twee elementen (fig. 7 . 4 . c ) . Uitgaande van een "willekeurig" assenkruis (y,;), zie fig. 7 . 4 . d, wordt de -ligging van het centrale assenkruis gevonden-met de procedure van -
~
~-
-~~
~~
paragraaf 2.6 :
z
z
=
O en 0, = O volgen
Q
Q
rechtstreeks ~ uit eet, sqmetrlzbecchoüwing.
De afmetingen van het profiel t.o.v. het centrale assenkrü-is ( y , z ) zijn :
1
fig 7.5
7.6
De statische momenten en de kwadratische oppervlakte momenten t.o.v. het centrale stelsel zijn :
Omdat ieder element dunwandig is, wordt de torsiefunktie $e bepaald m.b.v. de bilineaire funktie :
Uit antimetrie volgt : ~ J ~ ( Y , O ) = 0 -all
=
$ 2 ( ~ , 0 ) = 0 -al2
= a22 =
a21 = O
O
De torsiefunkties kunnen met bovens-taande gegevens
worden : -
De koördinaten ( y z ) van het dwarskrachtenmiddelpunt volgen uit ( 3 . 9 ) : My M yM = 9,49 z
M
=
O
, wat
ook rechtstreeks uit symmetrie volgt.
De welvingsfunkties
5 volgen uit
(3.7)
:
L
De torsie-intggraal wordt bepaald m.b.v.
mz I
It2 Itl= 3360 3 6 mm
---c
I
t
= 696
4
üìü~
(3.13)
:
7.7
Substitutie van de voor dunwandige elementen geldende betrekking S 1t = -3 12t3ds , form. (6.3) geeft : ILi = 360 mm4 ; I' = 333 mm.4 t2
.
De grootheid r
YM
r
YM
=
wordt bepaald met form. (4.4) :
-28,35 mm
De welvingsweerdtand I = /52aA is :
b Ib
=
A
89245
Alle noodzakelijke profielgegevens zijn nu bekend. De kritische kipbelasting bij vrije welving volgt rechtstreeks uit (5.15) :
-
P O I = 1274 N
-
po2 = -1088 N
8.1
8. Ter afsluiting In dit verslag is allereerst achtergrondinformatie verstrekt, nodig voor een beter begrip van de stabiliteitstheorie. Vervolgens is een werkwijze gepresenteerd die zich leent voor een systematische benadering van stabiliteitsproblemen. Tevens is een methode uitgewerkt voor de bepaling van de geometrische grootheden van open profielen met komplexe dwarsdoorsneden. Het verdient aanbeveling om een rekenprogramma te schrijven waarmee de geometrische grootheden van een
edwarsdoorsnede bepaald kunnen
worden. Hiertoe kan uitgegaan worden van reeds bestaande programmatuur. Slechts een klein gedeelte van het probleemveld is besproken. Enkele onderwerpen die niet ter sprake zijn gekomen, zijn:
-
Doorlopende liggers
-
Meerdere puntlasten
i
Verdeelde belasting Torsieknik, gekombineerd met buiging
i
Gesloten profielen
l
I
Vervormbare dwarsdoorsneden Interaktie van-kip- en knik Stabilrteitsgedrag van samengestelde konstrukties (raamwerken)
I
i
I
I
~
I
II I
Invloed van verbindingen op het welvingsgedrag Vergelijking van "theoretische" randvoorwaarden en de praktische realisatie daarvan.
I I
I I
1
I
Uit deze onderwerpen moet een keuze gemaakt worden. Om deze te vereenvoudigen i s het aanbevelenswaardig om d e in d i t , verslag opgeste14e kip- en knikformules te konfronteren met experimenten.
