Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten P. Termonia vakgroep wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, UGent
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.1/35
Inhoud 1. conventies: notatie 2. luchtdeeltjes 3. de krachten die erop inwerken 4. samenvatting
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.2/35
Enkele conventies: notatie •
coördinaten: x, y, z en tijd t
•
velden: φ(x, y, z, t)
•
vectoren (vectorvelden) zijn vet gedrukt: A
•
basisvectoren: i, j, k; A = Ax i + Ay j + Az k
•
vectorieel product (cross product) (A × B)x ≡ Ay Bz − Az By (A × B)y ≡ Az Bx − Ax Bz (A × B)z ≡ Ax By − Ay Bx
•
gradiënt:
∇φ ≡
∂φ i ∂x
+
∂φ j ∂y
+
∂φ k ∂z
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.3/35
Enkele conventies: figuren •
vectoren gericht in het vlak:
•
vectoren gericht uit het vlak:
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.4/35
Prognostisch vs. diagnostisch •
prognostische variable A: ∂A = M(andere variabelen) ∂t waarbij M een ruimtelijke differentiaal operator, kan gebruikt worden voor voorspellingen.
•
diagnostische variable B: hangt af van andere variabelen zonder tijdsafgeleiden. Kan niet gebruikt worden voor het maken van voorspellingen. Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.5/35
Fysische eenheden • •
•
SI: m, kg, s, K Afgeleide eenheden in de meteorologie: frequentie
Hertz
Hz (s−1 )
kracht
Newton
N (kg m s−1 )
druk
Pascal
Pa (N m−2 )
energie
Joule
J (N m)
vermogen
Watt
W (J s−1 )
gebruikelijk: 1 hPa = 1 mb = 100 Pa (standaard druk op zeeniveau: 1013.25 mb) Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.6/35
Het atmosferisch continuum •
beweging van de atmosfeer
•
opdelen in luchtdeeltjes: punten = luchtdeeltjes
•
elk luchtdeeltje is zeer klein t.o.v. de schalen van de fenomenen maar aanzienlijk groter dan moleculaire schaal
•
atmosfeer = continu medium ⇒ continue limiet: velden en differentiaalvergelijkingen
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.7/35
Dynamica •
δz
dv F = ma = m dt
(x,y,z) z δy y
δx
is onderhevig aan
•
waarbij v: de wind
•
welke krachten?
x
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.8/35
Krachten •
Fundamentele krachten: 1. drukgradiënt 2. gravitatie 3. viscositeit
•
niet-fundamentele of schijnkrachten 1. centrifugaal kacht 2. Corioliskracht
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.9/35
Drukgradiënt
δz FBx
B
(x,y,z)
A
FAx
z δy y
δx x
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.10/35
Drukgradiënt
∂p δx + · · · ⇒ FAx = − p0 + 12 ∂x δx δyδz ∂p ∂p δx + · · · ⇒ FBx = + p0 − 12 ∂x δx δyδz B : p(x) − 12 ∂x
A : p(x) +
1 ∂p 2 ∂x
Fx = FAx + FBx F m
Fx m
∂p = − ρ1 ∂x
= − ρ1 ∇p
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.11/35
Gravitatie
δz (x,y,z) z δy y
δx
Fg
x
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.12/35
Gravitatie •
mr wet van Newton: Fg = − GM r2 r
•
planeet (aarde): g∗ =
•
coördinaat: r = a + z, met a straal aarde ∗
g = •
g0∗ 1+
z 2
a
met
Fg m
g0∗
r ≡ |r|
r = − GM r2 r
GM r ≡ g (z = 0) = − 2 a r ∗
benadering van de ondiepe atmosfeer z a: g∗ = g0∗
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.13/35
Viscositeit z=l
u(l)=u0
u0
u(z)
z=0
u(0)=0
kracht nodig om de bovenste plaat in beweging te houden: µAu0 F = l Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.14/35
Viscositeit •
kracht F is constant doorheen de vloeistof
•
voor een infinitesimaal stukje δz: F δz = µAδu
•
de kracht per oppervlakte: τzx
δu ∂u = lim µ = µ δz δz ∂z
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.15/35
Viscositeit uB
B δz (x,y,z) z A
y
δx
uA
δy
x
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.16/35
Viscositeit •
kracht per oppervlakte in A en B: ∂τzx B 1 τzx = τzx + 2 δz δyδz ∂z ∂τzx A 1 δyδz τzx = τzx − 2 δz ∂z
•
delen door de massa ρ δxδyδz: 1 ∂ ∂u 1 ∂τzx = µ ρ ∂z ρ ∂z ∂z Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.17/35
Viscositeit •
voor µ = const en ν ≡ µ/ρ, Fv : 2 2 2 ∂ u ∂ u ∂ u Fvx = ν + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂x 2 2 2 ∂ v ∂ v ∂ v + 2+ 2 Fvy = ν 2 ∂x ∂y ∂x 2 2 2 ∂ w ∂ w ∂ w + 2 + Fvz = ν 2 ∂x ∂y ∂x2
•
ν = 1.46 × 10−5 m2 s−1 ⇒ verwaarloosbaar? hangt er van af ... Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.18/35
Centrifugaalkracht y y’ r
ω
x’ x
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.19/35
Centrifugaalkracht •
versnelling r = cos(ωt) i + sin(ωt) j d2 r 2 a ≡ = −ω [cos(ωt) i + sin(ωt) j] 2 dt = −ω 2 r
•
waarnemer in roterende assenstelsel (x0 , y 0 ) ervaart een centrifugale schijnkracht ω 2 r
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.20/35
Centrifugaalkracht
2
ΩR
R g*
g
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.21/35
Aangepaste gravitatie •
een massa wordt lichter door de centrifugaalkracht g = g ∗ + Ω2 R • •
•
Ω: hoeksnelheid aarde R: plaatsvector vanaf de rotatie as tot de positie van de massa
afplatting van de aarde ⇒ g is staat overal loodrecht op het aardoppervlak.
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.22/35
Geopotentiaal •
gravitatiekracht kan uitgedrukt worden in termen van een potentiaal ∇Φ = −g
•
g = −g k ⇒ Φ = Φ(z) en dus heeft de betekenis van arbeid om een deeltje met massa 1 naar hoogte z te brengen: Z z dΦ =g ⇒ Φ= g dz dz 0 Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.23/35
Assenstelsel Ω j r φ
i
λ
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.24/35
Assenstelsel •
basisvector k staat loodrecht op aardoppervlak
•
snelheid: dλ u = a cos φ dt dφ v = a dt dz w = dt Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.25/35
Coriolis: beweging langs breedtegraad Ω
u φ
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.26/35
Coriolis op deeltje met snelheid u •
deeltje dat beweegt langsheen breedtegraad met snelheid u 2 u 2 2ΩuR R u 2 Ω+ R=Ω R+ + 2 R R R u2 R R2
•
|u| ΩR ⇒
•
2ΩuR/R is de Coriolis kracht
verwaarloosbaar
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.27/35
Coriolis op deeltje met snelheid u Ω R φ
2Ωucosφ 2ΩuR / R 2Ωusinφ
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.28/35
Coriolis op deeltje met snelheid u •
dv dt Co
meridionale componente:
dw dt Co
= −2Ωu sin φ
= 2Ωu cos φ
•
verticale componente:
•
loodrechte afbuiging naar rechts
•
verandering van het gewicht: zéér klein
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.29/35
Coriolis op deeltje met snelheid v Ω
φ
v
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.30/35
Coriolis op deeltje met snelheid v •
v ⇒ δφ
•
behoud impulsmoment door toename u ⇒ δu: ΩR2 = Ω +
•
δu 2 (R + δR) R + δR
eerste benadering: δu = −2ΩδR
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.31/35
Coriolis op deeltje met snelheid v Ω δR=− δysinφ φ
− δy
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.32/35
Coriolis op deeltje met snelheid w Ω
δz δR=δz cos φ φ
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.33/35
Coriolis: du/dt •
horizontale verandering in snelheid t.g.v. v: δy ≡ a δφ δu = −2 Ω δR = 2 Ω a δ φ sin φ
•
verticale verandering in snelheid t.g.v. w: δu = −2 Ω δ z cos φ
•
du dt Co
= 2 Ω v sin φ − 2 Ω w cos φ
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.34/35
Samenvatting •
Fundamentele krachten: 1. drukgradiënt: − ρ1 ∇P 2. gravitatie: g∗ 3. viscositeit: Fv verwaarloosbaar, zie later
•
niet-fundamentele of schijnkrachten 1. centrifugaal kacht g = g∗ + Ω2 R 2. Corioliskracht “ ” du dt
= 2 Ω v sin φ − 2 Ω w cos φ
” Co
= −2Ωu sin φ
”
= 2Ωu cos φ
“
dv dt
“
dw dt
Co
Co
Inleiding tot de dynamica van atmosferen – p.35/35
