Inleiding tot de Sterrenkunde

Inleiding tot de Sterrenkunde Robin Vandaele 2de Bachelor Wiskunde Universiteit Gent

Deze cursus is een (licht bewerkte)1 eerste editie en staat bijgevolg waarschijnlijk vol met spellingsfouten, typfouten en mogelijk ook inhoudsfouten. U zou er bij deze best nooit aan beginnen. Indien u de uitdaging toch aandurft kunnen deze fouten steeds gemeld worden aan [email protected].

1

Mede dankzij mijn goede copain Alexandro Fulco.

Voorwoord Deze cursus is gebaseerd op het boek Fundamental Astronomy Fifth Edition van een hele leute schrijvers die ik nu niet allemaal ga opnoemen. De onderwerpen die behandeld worden in deze cursus komen volledig overeen met de mogelijke vragen die men kon verwachten op het theorie-examen 2012-2013 van het vak Inleiding tot de Sterrenkunde dat gegeven wordt in de 2de Bachelor Wiskunde en de 2de Bachelore Fysica en Sterrenkunde aan de Universiteit van Gent. Leren is niet tof. Zij die zeggen dat ze het graag doen, liegen. Zij die niet liegen, beseffen het gewoon nog niet dat ze liegen. Als er dan nog een of andere flauwe plezanten een Engelse boek van 500 pagina’s in je handen stopt is het helemaal om zeep. Ok, je hoeft niet alle hoofdstukken te kennen, maar het is nu eenmaal een feit dat studeren toch wel een stuk gemakkelijker gaat in je eigen moedertaal, dat is dan ook de taal waar je in denkt niet? Al´e ik toch, ik zou weer een uitzondering kunnen zijn natuurlijk, maar wat dit betreft denk ik van niet. Ook al heeft het grootste deel van de huidige jeugdige generatie weinig moeite met Engels, is er nog een groot verschil tussen het verstaan van een Engelse film en het omgaan met Engelse vakterminologie. A solid angle is nu eenmaal een ruimtehoek en geen vaste hoek. Het is misschien een belachelijk simpel voorbeeld, maar het boek Fundamental Astronomy bestaat nu eenmaal niet uit verhaaltjes voor het slapengaan, maar staat vol met vakterminologie uit de fysica en astronomie die niet altijd letterlijk vertaald mag worden. Dit zorgt er dan ook voor dat studeren in een andere taal iets tijdrovender is dan in je eigen taal, omdat je in je hoofd alles moet trachten juist te interpreteren. En dan nog iets. Hoeveel kost dit boek, een euro of 50-60? Dan denk je van oh sterrenkunde, en zo’n dik boek dan nog... Dat staat zeker en vast vol met mooie prentjes! Wel... nope... De prentjes zijn nog zwartwitter dan het resultaat na 4 tot 5 maanden2 van een dronken nachtje overpoort tussen een reuzenpanda en een humboldtpingu¨ın. Dan is de kaft wel in kleur, en zetten ze er nog zo’n lelijke satelliet op ook. Vervolgens zetten ze er een jeep voor om de satelliet zeer imposant en indrukwekkend over te laten komen omdat deze zo reusachtig lijkt ten opzichte van de jeep. Wel beste heren ik moet die satelliet niet hebben. Zet er een afbeelding van een zwart gat op, een supernova, een galaxie, sterretjes, al is het maar de aardbol gezien vanuit de ruimte... Maar toch geen mottige grauwe satteliet? Nu, ik wil jullie zeker niet tegenhouden om met behulp van het boek te studeren. Je kan er alleen maar uit leren. Het is eens iets anders om in een andere taal te leren en het zal je algemene intelligentie zeker niet schaden. Lukt het toch echt niet, dan hoop ik dat deze cursus jullie toch een beetje kan helpen. In tegenstelling tot andere vraag-antwoord cursussen die ik tegengekomen ben, heb ik zoveel mogelijk men best gedaan om meer informatie te geven dan het antwoord alleen. Ook formules die nodig waren om bepaalde vragen te kunnen oplossen heb ik zoveel mogelijk proberen afleiden, ook al behoren ze niet tot het antwoord op de betreffende of een andere vraag. Ook heb ik zoveel mogelijk van de terminologie toch op zen minst ergens in de cursus te proberen defini¨eren. Ik heb 2

Het vrouwtje van de reuzenpanda is vier tot vijf maanden drachtig, wat relatief kort is voor beren van een dergelijke grootte. De exacte draagtijd loopt uiteen van 112 tot 163 dagen.

i

proberen alles zo goed mogelijk te vertalen en niet zuiver en alleen maar een letterlijke vertaling te geven. Dit vereiste natuurlijk af en toe nogal wat opzoekingswerk maar aan bronvermelding doe ik niet mee. Ik ben daar veel te tam voor. Maar alvast een dikke merci aan Wikipedia. Daarentegen heb ik niet steeds een correcte vertaling kunnen vinden zoals die gebruikt wordt in de Nederlandse vakterminologie, en heb ik af en toe toch wel iets letterlijker moeten vertalen. Ook moet er geweten zijn dat niet alle formules in het boek worden afgeleid maar soms ook gewoon gegeven worden, wat ik dan natuurlijk ook moeten doen heb. Het voordeel van de fysica is dat er zeer veel formules reeds experimenteel en/of theoretisch zijn bepaald en wij daar nu in volle glorie gebruik van kunnen maken. Het nadeel dat dit teweeg brengt is dat er sommige mensen zijn die dan ook verwachten dat wij er hier wel een aantal vanbuiten kennen. Zoniet zouden we soms wel een keer gejost kunnen zijn als we een formule moeten afleiden startende van een van deze formules die we uit het hoofd moesten kennen. De manier waarop deze cursus is opgesteld heeft als voordeel dat naast de antwoorden op de vragen puur vanbuiten leren je de antwoorden ook waarschijnlijk beter zal kunnen begrijpen dan bij de gemiddelde vraag-antwoord cursus die ik doornam. Een nadeel is natuurlijk dat het teveel aan informatie een beetje vereist dat je selectief zal moeten zijn met hetgeen dat je vanbuiten zal leren en hetgeen niet, en hetgeen waarvan je denkt dat het bij het antwoord op de vraag hoort en hetgeen niet. Indien ik additionele informatie geef of afleidingen tot formules die je nog nodig zal hebben, maar waarvan ik denk dat dit waarschijnlijk niet bij het antwoord op de vraag hoort, dan heb ik dit steeds aangegeven met een grijs lettertype. Voor de taalpuristen onder jullie, ik heb zoveel mogelijk het gebruik van ’zijn/haar’ proberen vermijden en gebruik in de plaats het lekker oubollige ’diens’. Want ik vind het Nederlands ook een kuttaal op dat vlak en ga me daar nu echt niet mee bezighouden om constant een correct onderscheid te maken in het geslacht van een woord. Ook wat betreft Zon of zon, en Aarde of aarde, het is allemaal met een kleine letter voor mij, ik ga er echt niet te lang bij stilstaan. Ook heb ik Jupiter consequent Jupiler genoemd, maar dit enkel en alleen maar omdat ik kinderachtig ben. Verder wil ik nog even laten weten dat Robin & Co een armzalig eenmansbedrijfje is. Indien u deze cursus ook maar voor het minste gebruikt heeft en hem toch ergens voor handig vond, aanvaarden wij zeker en vast altijd vrijblijvende donaties. Maar zeker geen geld, geld maakt niet gelukkig. Alcohol daarentegen, alcohol maakt gelukkig. Komt u mij tegen in de Overpoort mag u mij bij deze altijd verrassen met het aanbieden van een goed fris pintje, ik zal het niet afstaan. Met vriendelijke groeten, Robin Konijn Vandaele.

ii

Vragen Hoofdstuk 2 Type I Definieer Z, P en de meridiaan. Definieer vervolgens horizon co¨ ordinaten en lokale equatoriale co¨ ordinaten. Maak daartoe een behoorlijke schets, en leid de transformatieformules af. HET PUNT P De positie van een punt P op een eenheidssfeer wordt uniek bepaald door twee gegeven hoeken. De hoek ψ wordt tegen de klok in gemeten, vanaf de positieve x-as volgens het xy-vlak; de andere hoek θ staat voor de hoekafstand vanaf het xy-vlak. De rechthoekige co¨ordinaten van het punt P in functie van deze hoeken zijn: x = cos ψ cos θ , y = sin ψ cos θ , z = sin θ . HET PUNT Z Het punt juist boven de waarnemer aan de hemelsfeer wordt het zenit (Z) genoemd en het punt dat hiermee antipodaal is, dus het punt juist onder de waarnemer, wordt het nadir (N) genoemd. DE MERIDIAAN Grote cirkels3 die doorheen het zenit gaan worden verticalen genoemd. Wanneer men de beweging van een ster op de hemelsfeer in de loop van een nacht observeert, zal de waarnemer ondervinden dat deze een specifieke baan volgt. Sterren komen op in het oosten, culmineren (bereiken hun toppunt) op de verticale Noord-Zenit-Zuid (NZS), en gaan onder in het westen. Zo wordt dus de verticale NZS gedefinieerd, deze wordt de meridiaan genoemd. Noord en Zuid richtingen worden gedefinieerd als de snijpunten van de meridiaan met de horizon. ¨ HORIZON COORDINATEN Het meest natuurlijke co¨ordinatenstelsel door het oog van de waarnemer is het horizontaal co¨ordinatenstelsel. Deze heeft als referentievlak het raakvlak aan de aarde die door de waarnemer gaat. Dit horizontaal vlak snijdt de hemelsfeer volgens de horizon. Alle verticalen snijden loodrecht met de horizon. 3

Grote cirkels zijn cirkels die de snijlijn zijn van een sfeer met een vlak doorheen het middelpunt van de sfeer.

1

De eerste co¨ordinaat van dit co¨ordinatenstelsel is de hoogte, a, deze wordt gemeten vanaf de horizon tot aan het object volgens de verticale doorheen het object. De hoogte ligt binnen het bereik [−90◦ , +90◦ ]; en is positief voor objecten boven de horizon en negatief voor objecten onder de horizon. De zenitafstand, of dus de hoek tussen het object en de zenit, is duidelijk z = 90◦ − a . De tweede co¨ordinaat is het azimut, A; deze is de hoekafstand tot de verticale doorheen het object vanaf het zuiden, met de klok mee naar het noorden toe gemeten. De horizon co¨ordinaten zijn afhankelijk van de tijd en van de positie van de waarnemer, bijgevolg kunnen ze bijvoorbeeld niet gebruikt worden in sterrencatalogi. ¨ EQUATORIALE COORDINATEN De richting van de rotatie-as van de aarde blijft zo goed als constant en dus ook het vlak loodrecht op deze as: het equatoriaal vlak. Zodus is het equatoriaal vlak een geschikt referentievlak voor een co¨ordinatenstelsel dat onafhankelijk is van de tijd en van de positie van de waarnemer. De doorsnede van de hemelsfeer en het equatoriaal vlak is een grote cirkel, deze wordt de evenaar van de hemelsfeer genoemd. De noordpool van de hemelsfeer is ´e´en van de polen die met deze grote cirkel correspondeert. Het is ook het punt in de noordelijke hemel waar de uitbreiding van de rotatie-as van de aarde de hemelsfeer snijdt. De meridiaan (reeds gedefinieerd bij de horizon co¨ordinaten) gaat altijd door de noordpool; en wordt door de pool in een noord- en zuidmeridiaan verdeeld. De hoekafstand van het equatoriaal vlak tot een ster wordt niet be¨ınvloed door de rotatie van de aarde. Deze hoek wordt de declinatie δ genoemd, en is een eerste co¨ordinaten in ons equatoriale co¨ordinatenstelsel. Sterren blijken iedere dag eenmaal de pool te omwentelen. Om de tweede co¨ordinaat goed te defini¨eren moeten we opnieuw instemmen met een vaste richting die niet be¨ınvloed wordt door de rotatie van de aarde. Vanuit een wiskundig standpunt maakt het niet uit welk punt men op het evenaarsvlak hiervoor zou nemen, maar voor latere doeleinden is het beter dat een punt genomen wordt die een aantal waardevolle eigenschappen bezit. Dit punt wordt het lentepunt genoemd (zie verder). Het bevond zich vroeger in het sterrenbeeld Ram en wordt dan ook genoteerd met het symbool van dit sterrenbeeld: . Nu kunnen we de tweede co¨ordinaat defini¨eren als de hoek vanaf het lentepunt gemeten 2

langs de evenaar. Deze hoek is de rechtse stijging α van het object, en wordt tegen de klok in gemeten vanaf .

Aangezien de declinatie en rechtse stijging onafhankelijk zijn van de positie van de waarnemer en de bewegingen van aarde kunnen deze wel gebruikt worden bij sterrenkaarten en -catalogi. Omdat de zuidmeridiaan een goed gedefinieerde lijn aan de hemel is, wordt ze gebruikt om een lokale co¨ordinaat vast te leggen die correspondeert met de rechtse stijging. De uurhoek wordt met de klok mee vanaf de zuidmeridiaan gemeten volgens de evenaar. De uurhoek van een object is geen constante, maar neemt toe met een vaste snelheid, omwille van de rotatie van de aarde. De uurhoek van het lentepunt wordt de sterrentijd Θ genoemd. Voor ieder object geldt dat Θ = h+α, met h de uurhoek van het object en α diens rechtse stijging. Aangezien de uurhoek en de sterrentijd met een constante snelheid vari¨eren in de tijd, is het praktisch om ze uit te drukken met tijd als eenheid. Ook de nauw verwante rechste stijging wordt gewoonlijk uitgedrukt in tijd. Zo staat 24 uur gelijk aan 360 graden, 1 uur = 15 graden, 1 minuut in tijd = 15 boogminuten, en zo verder. Al deze hoeveelheden bevinden zich binnen het bereik [0 h, 24 h[. TRANSFORMATIEFORMULES Zoals in het geval van vlakke driehoeken, kunnen we verbanden afleiden tussen de zijden en de hoeken van sferische driehoeken. De eenvoudigste manier om dit te doen is om bepaalde co¨ordinatentransformaties te onderzoeken. Veronderstel dat we twee rechthoekige co¨ordinatenstelsels Oxyz en Ox0 y 0 z 0 hebben, zodanig dat het x0 y 0 z 0 -stelsel verkregen wordt door het xyz-stelsel te roteren over de x-as volgens een hoek χ. Als co¨ordinaten voor het punt P in de respectievelijke stelsels hebben we: x = cos ψ cos θ , x0 = cos ψ 0 cos θ0 , y = sin ψ cos θ , y 0 = sin ψ 0 cos θ0 , z = sin θ , z 0 = sin θ0 . We weten ook dat de co¨ordinaten met een accent uit de oorspronkelijke kunnen verkregen worden d.m.v. een rotatie in het yz-vlak: x0 = x , y 0 = y cos χ + z sin χ , z 0 = −y sin χ + z cos χ . 3

Substitueren we de uitdrukking voor de rechthoekige co¨ordinaten, dan hebben we cos ψ 0 cos θ0 = cos ψ cos θ , sin ψ 0 cos θ0 = sin ψ cos θ cos χ + sin θ sin χ , sin θ0 = − sin ψ cos θ sin χ + sin θ cos χ . Om deze formules toe te passen op de transformatie tussen de horizon en de equatoriale co¨ordinatenstelsels stellen we ψ = 90◦ − A , θ = a , ψ 0 = 90◦ − h , θ0 = δ χ = 90◦ − φ . Waarbij de hoek φ in deze laatste vergelijking de hoogte is van de hemelpool, of nog, de breedteligging van de waarnemer. Als we deze substitutie invoeren krijgen we sin h cos δ = cos h cos δ = sin δ = Voor de inverse

sin A cos a , cos A cos a sin φ + sin a cos φ , − cos A cos a cos φ + sin a sin φ . transformatie stellen we

ψ = 90◦ − h , θ = δ , ψ 0 = 90◦ − A , θ0 = a χ = −(90◦ − φ) , waaruit sin A cos a = sin h cos δ , cos A cos a = cos h cos δ sin φ − sin δ cos φ , sin a = cos h cos δ cos φ + sin δ sin φ .

Definieer P, K en het ware lentepunt. Definieer vervolgens absolute equatoriale cordinaten en ecliptische co¨ ordinaten. Maak daartoe een behoorlijke schets, en leid de transformatieformules af. HET PUNT P Zie de vorige Type I vraag. HET WARE LENTEPUNT In het voorjaar lijkt het alsof de zon van de zuidelijke hemisfeer naar de noordelijke hemisfeer toe beweegt. Het tijdstip dat deze opmerkelijke gebeurtenis plaatsvindt, alsook de richting naar de zon op dat moment, wordt het lentepunt genoemd. Het ware lentepunt volgt rechtstreeks uit de waarnemingen. Daarnaast is er nog een gemiddeld lentepunt, wat de positie van het lentepunt zou zijn indien er geen nutatie (zie verder) van de aarde zou plaatsvinden. 4

¨ ABSOLUTE EQUATORIALE COORDINATEN We zullen nu kort bestuderen hoe het (δ, α)stelsel door waarnemingen kan vastgelegd worden. Veronderstel dat men een circumpolaire ster observeert op diens boven- en benedenculminatie4 , met amax = 90◦ −φ+δ en amin = δ+φ−90◦ . Wanneer we deze twee vergelijkingen optellen krijgen we 1 δ = (amin + amax ) . 2 We krijgen dus dezelfde waarde voor de declinatie, onafhankelijk van de locatie van de waarnemer. Zodus kunnen we het gebruiken als ´e´en van de absolute co¨ordinaten. Met dezelfde waarnemingen kunnen we ook de richting van de hemelpool alsook de breedteligging van de waarnemer bepalen5 . Hierna kunnen we de declinatie van ieder object bepalen door diens afstand vanaf de pool te meten. De evenaar kan nu gedefinieerd worden als de grote cirkel waarvan alle punten zich op een afstand van 90◦ van de pool bevinden. Het nulpunt van de tweede co¨ordinaat (rechtse stijging) kan dan gedefinieerd worden als het punt waar de zon de evenaar lijkt te kruisen van het zuiden naar het noorden toe. ¨ ECLIPTISCHE COORDINATEN Het baanvlak van de aarde, de ecliptica, is een referentievlak voor nog een ander belangrijk co¨ordinatenstelsel. Het punt K staat voor de pool van de ecliptica. De ecliptica kan ook gedefinieerd worden als de grote cirkel op de hemelsfeer die door de zon wordt beschreven in de loop van ´e´en jaar. Dit stelsel wordt gewoonlijk gebruikt voor planeten en andere hemellichamen van het zonnestelsel. De ori¨entatie van het equatoriaal vlak van de aarde blijft invariant onder de jaarlijkse beweging van de aarde. Op het moment van het lentepunt is zowel de rechtse stijging als de declinatie van de zon gelijk aan nul. Het equatoriaal vlak en de ecliptica snijden in een rechte die rechtstreeks in de richting van het lentepunt wijst. Zo kunnen we deze richting gebruiken als het nulpunt voor zowel het equatoriaal als het ecliptisch co¨ordinatenstelsel. De ecliptische breedtegraad β is de hoekafstand vanaf de ecliptica; het bevindt zich in het bereik [−90◦ , 90◦ ]. De andere co¨ordinaat is de ecliptische lengtegraad λ, tegen de klok in gemeten vanaf het lentepunt volgens de ecliptica. 4

De definitie van een circumpolaire ster en de afleiding van deze formules worden gegeven in de tweede type II vraag van hoofdstuk 2. 5 Wegens de nu gekende δ en de waargenomen amin of amax kan men via een substitutie de breedteligging φ bepalen, of men kan φ bepalen op een analoge manier als waarop δ werd bepaald. Zoals verder nog gezien zal worden correspondeert φ ook met de richting van de hemelpool.

5

TRANSFORMATIEFORMULES De transformatieforumeles tussen het equatoriale en ecliptische co¨ordinatenstelsel kunnen analoog als eerder worden afgeleid: sin λ cos β = sin δ sin  + cos δ cos  sin α , cos λ cos β = cos δ cos α , sin β = sin δ cos  − cos δ sin  sin α , sin α cos δ = − sin β sin  + cos β cos  sin λ , cos α cos δ = cos λ cos β , sin δ = sin β cos  + cos β sin  sin λ . Hier is  gelijk aan de helling van de ecliptica, of de hoek tussen het equatoriale vlak en de ecliptica. Deze hoek heeft een waarde van ongeveer 23◦ 260 .

Type II Definieer geografische/geodetische breedte en geocentrische breedte en leid de relatie tussen beide af. Met de breedte op aarde wordt gewoonlijk verondersteld dat de geografische breedte bedoeld wordt, dit is de hoek tussen de loodlijn en het evenaarsvlak. De breedte is positief op het noordelijk halfrond en negatief op het zuidelijk halfrond. De geografische breedte kan bepaald worden d.m.v. astronomische observaties: de hoogte van de hemelpool6 gemeten vanaf de horizon is gelijk aan de geografische breedte. Omdat de aarde roteert, is ze lichtjes afgeplat. De exacte vorm is redelijk ingewikkeld, maar voor de meeste doeleinden kan het benaderd worden door een aan de polen afgeplatte sfero¨ıde, waarvan de korte as samenvalt met de rotatie-as. In 1979 werd het Geodetisch Referentie Systeem 1980 (GRS-80) aangenomen. De GRS-referentie ellipso¨ıde heeft de volgende dimensies: equatoriale straal polaire straal afplatting

a = 6,378,137 m , b = 6,356,752 m , f = (a - b)/a = 1/298.2572210.

6

De hemelpool is het punt waar de rotatie-as van de aarde en de oneindig verafgelegen hemelsfeer snijden.

6

De vorm bepaald door het oppervlak van de oceanen, de geo¨ıde genoemd, verschilt ten hoogste ongeveer 100 m van deze sfero¨ıde. De hoek tussen de evenaar en de normaal op de ellipso¨ıde die de ware vorm van de aarde benadert wordt de geodetische breedte genoemd. Omdat het oppervlak van een vloeistof (zoals een oceaan) altijd loodrecht staat op de loodlijn, zijn de geodetische en geografische breedtes praktisch gelijk. Wegens de afplatting wijst de loodlijn niet naar het centrum van de aarde, tenzij aan de polen of aan de evenaar. De geocentrische breedte φ’, een hoek die overeenkomt met de gewone sferische co¨ordinaten7 , is daarom iets kleiner dan de geografische breedte φ. We leiden nu de vergelijking tussen de geografische breedte φ en de geocentrische breedte φ’ af, in de veronderstelling dat de aarde een afgeplatte sfero¨ıde is en de geografische en geodetische breedtes gelijk zijn. De vergelijking van de ellips langsheen de meridiaan is x2 y 2 + 2 = 1. a2 b De richting van de raaklijn aan de ellips in een punt (x, y) wordt gegeven door dy/dx. De richting van de normaal aan de ellips in een punt (x, y) wordt dus gegeven door −dx/dy, we hebben 2x dx 2y dy + 2 = 0, a2 b de richting van de normaal aan de ellips in een punt (x, y) wordt dus gegeven door tan φ = −

a2 y dx = 2 . dy b x

De geocentrische breedte wordt verkregen uit tan φ0 = y/x . Waaruit tan φ0 =

b2 tan φ = (1 − e2 ) tan φ , a2

waarbij e=

p 1 − b2 /a2

gelijk is aan de excentriciteit van de ellips. Het verschil ∆φ = φ − φ’ bereikt een maximum van 11,5’ op breedte 45◦ . 7

De geocentrische breedte is de hoek tussen de evenaar en de lijn van het centrum tot een punt op het oppervlak.

7

Definieer bovenculminatie en benedenculminatie en leid de hoogte af die een ster bereikt in deze gevallen. De hoogte van een object is het grootst wanneer het zich op de zuidmeridiaan (de boog van de grote cirkel tussen de hemelpolen dat het zenit bevat) bevindt. Op dat moment (genaamd bovenculminatie) is de uurhoek van het object gelijk aan h = 0 h. Op het moment van benedenculminatie is de uurhoek van het object gelijk aan h = 12 h. Voor h = 0 h, krijgen we (zie eerder) sin a = = = =

cos h cos δ cos φ + sin δ sin φ cos δ cos φ + sin δ sin φ cos(φ − δ) sin(90◦ − φ + δ) .

Zodus wordt de hoogte bij bovenculminatie gegeven door amax = 90◦ − φ + δ , als het object ten zuiden van het zenit culmineert amax = 90◦ + φ − δ , als het object ten noorden van het zenit culmineert . De hoogte is positief voor objecten met δ > φ − 90◦ . Objecten met een declinatie van minder dan φ − 90◦ kunnen nooit gezien worden op breedteligging φ. Als h = 12 h hebben we sin a = cos h cos δ cos φ + sin δ sin φ = − cos δ cos φ + sin δ sin φ = − cos(δ + φ) = sin(δ + φ − 90◦ ) . en de hoogte bij benedenculminatie is amin = δ + φ − 90◦ . Sterren met δ > 90◦ − φ zullen nooit opkomen, dit zijn circumpolaire sterren en zijn het hele jaar door aan de hemel zichtbaar. Definieer aberratie en leid de formule af. Definieer straalbreking en leid de formule af voor R. ABBERATIE Doordat de snelheid van het licht eindig is, zal een waarnemer in beweging een object in de richting van zijn beweging verschoven zien. Deze verandering van de schijnbare richting wordt abberatie genoemd. Stel dat een telescoop gericht staat naar de ware richting van een ster. Het licht heeft een tijd t = l/c nodig om de lengte l van de telescoop af te leggen, waarbij c staat voor de lichtsnelheid. 8

De telescoop beweegt zich voort met een snelheid v, deze heeft een component v sin θ loodrecht op de richting van de lichtstraal, wat men kan zien door de cosinus van de hoek π/2 − θ te nemen. De straal zal met een, ten opzichte van de optische as, verschoven afstand x = tv sin θ = l(v/c) sin θ de bodem van de telescoop raken. De verandering in richting in radialen is dus a ≈ tan a = x/l = (v/c) sin θ. Om de exacte waarde af te leiden hebben we de speciale relativiteitstheorie nodig, maar voor praktische doeleinden volstaat het om deze benaderde waarde te gebruiken a=

v sin θ , c

[a] = rad ,

met v de snelheid van de waarnemer, c de lichtsnelheid en θ de hoek tussen de ware richting van het object en de snelheidsvector van de waarnemer. STRAALBREKING Aangezien licht gebroken wordt door de atmosfeer, wijkt de waargenomen richting van een object af van de ware richting met een maat die afhankelijk is van de atmosferische condities langsheen de gezichtslijn. Deze breking vari¨eert met de atmosferische druk en temperatuur en is dus zeer moeilijk om nauwkeurig te voorspellen. Een benadering dat goed genoeg is voor de meeste praktische doeleinden is echter gemakkelijk af te leiden. Indien het object zich niet te ver van het zenit bevindt, kan de atmosfeer tussen het object en de waarnemer benaderd worden door een stapel parallelle vlakke lagen, elk met een bepaalde brekingsindex ni . Buiten de atmosfeer hebben we dat n = 1. Stel dat de ware zenitafstand z bedraagt en de schijnbare ζ. We maken gebruik van de wet van Snellius. Deze zegt dat wanneer een lichtstraal vanuit een medium met brekingsindex n1 onder een hoek θ1 met de normaal op het scheidingsvlak invalt, en in het andere medium breekt met brekingsindex n2 en een uittreehoek θ2 heeft, het volgende verband geldt: sin θ1 n2 = , sin θ2 n1

of dus

n1 sin θ1 = n2 sin θ2 .

We verkrijgen dus de volgende vergelijking voor de grenzen van de opeenvolgende lagen: 9

sin z = nk sin zk , .. . n2 sin z2 = n1 sin z1 , n1 sin z1 = n0 sin ζ , of dus sin z = n0 sin ζ . Wanneer de brekingshoek R = z − ζ we n0 sin ζ = = = ≈

zeer klein is en uitgedrukt wordt in radialen, hebben sin z sin(R + ζ) sin R cos ζ + cos R sin ζ R cos ζ + sin ζ .

Zodus hebben we R = (n0 − 1) tan ζ ,

[R] = rad .

Type III Zeemijl. ´ en boogminuut langs de meridiaan wordt een zeemijl genoemd. Omdat de krommingsE´ straal van de aarde varieert met de breedtegraad, zou de lengte van een zeemijl afhankelijk zijn van de breedtegraad. Daarom werd ´e´en zijmijl gedefinieerd om gelijk te zijn aan ´e´en boogminuut bij een breedtegraad φ = 45◦ , waaruit 1 zeemijl = 1852 m. Precessie en nutatie. PRECESSIE Aangezien de baan van de meeste leden uit ons zonnestelsel dicht bij de ecliptica ligt, hebben ze de neiging om de planetaire afplatting van de aarde er naartoe te trekken. Deze ’afvlakkende’ krachtenkoppel is vooral afkomstig van de zon en de maan. Maar wegens de rotatie van de aarde kan het koppel de helling van de evenaar ten op zichte van de ecliptica niet doen veranderen. In de plaats daarvan wendt de rotatie-as van de aarde zich volgens een richting dat loodrecht staat op de as van het koppel. Zo beschrijft de rotatie-as van de aarde een kegel ongeveer ´e´en keer in 26.000 jaar. Deze trage omwenteling van de rotatie-as wordt precessie genoemd. Vanwege precessie beweegt het lentepunt volgens de ecliptica met een snelheid van ongeveer 50 boogseconden per jaar, zodus stijgt de ecliptische lengtegraad van alle objecten met eenzelfde tempo. 10

NUTATIE De baan van de maan maakt een helling ten op zichte van de ecliptica, wat een precessie van ´ en omwenteling duurt 18,7 jaar, en veroorzaakt het baanvlak van de maan veroorzaakt. E´ gedurende die periode storingen in de precessiebeweging van de aarde. Dit proces, genaamd nutatie, verandert zowel ecliptische lengtegraden als de helling van de ecliptica. Dit maakt berekeningen ingewikkelder, maar gelukkig zijn deze storingen veroorzaakt door nutatie relatief klein, slechts fracties van een boogminuut. Parallax, dagelijkse parallax en jaarlijkse parallax. Indien we een object vanuit verschillende punten observeren, zullen we het in verschillende richtingen zien. Het verschil in deze waargenomen richtingen wordt de parallax genoemd. De hoeveelheid parallax is afhankelijk van de afstand van de waarnemer tot het object. Hoe dichter een voorwerp zich bij de waarnemer bevindt, hoe meer dit verschijnsel opvalt. Dingen die dichterbij liggen lijken door de verandering van kijkrichting meer mee te schuiven dan voorwerpen die verder weg liggen. Voor het oog lijken bijvoorbeeld vanuit een trein of auto ver verwijderde objecten met de waarnemer mee te bewegen. Wegens deze afhankelijkheid tussen de afstand tot een object en de parallax, kan de parallax gebruikt worden om afstanden te meten. De basislijnen die hiervoor gebruikt worden zijn de straal van de aarde en de straal van diens baan, deze zijn voor astronomische doeleinden gemakkelijk te gebruiken en groot genoeg. Afstanden tot de dichtstbijzijnde sterren kunnen bepaald worden via de jaarlijkse parallax , dit is de hoek ingenomen door de straal van de baan van de aarde (de astronomische eenheid, AU) gezien vanuit de ster. Met dagelijkse parallax wordt de verandering in richting bedoeld die veroorzaakt wordt door de dagelijkse rotatie van de aarde. Bovenop de afstand tot het object is de dagelijkse parallax ook afhankelijk van de breedtegraad van de waarnemer. Wanneer we het hebben over de parallax van een lichaam in ons zonnestelsel, bedoelen we steeds de hoek ingenomen door de equatoriale straal van de aarde (6378 km), gezien vanaf het object. Dit is gelijk aan de schijnbare verschuiving van het object ten opzichte van de achtergrondsterren, wanneer bekeken door een waarnemer op de evenaar, indien hij/zij het object van de horizon naar het zenit toe ziet bewegen. Middelbare en schijnbare plaats van een ster aan de hemel. Wanneer stellaire posities worden weergegeven in stercatalogi, dan zijn dit de middelbare plaatsen van de sterren aan de hemel, hiervan zijn de gevolgen veroorzaakt door parallax, abberatie en nutatie verwijderd. De middelbare plaats van de datum (d.i. op het tijdstip 11

van waarnemen) krijgt men door de middelbare plaats te corrigeren voor de eigenbeweging van de ster8 en de precessiebeweging van de aarde. De schijnbare plaats, de positie in de ruimte waar een object gezien wordt door de waarnemer, verkrijgt men door dit verder te corrigeren voor nutatie, parallax en abberatie. Sterrendag en zonnedag en de relatie tussen beide. Tijdmetingen kunnen worden gebaseerd op de rotatie van de aarde, de baanbeweging rond de zon of op een atomische klok. Hier beschouwen we de sterrentijd en zonnetijd met betrekking tot de rotatie van de aarde. STERRENDAG De sterrentijd werd gedefinieerd als de uurhoek van het lentepunt. Een goede basiseenheid is een sterrendag , wat de tijd is tussen twee opeenvolgende bovenculminaties van het lentepunt. Na ´e´en sterrendag is de hemelsfeer met al diens sterren teruggekeerd naar diens originele positie ten opzichte van de waarnemer. Het verloop van de sterrentijd is even constant als de rotatie van de aarde. Aangezien de rotatiesnelheid continu langzaam afneemt, neemt de duur van een sterrendag toe. Daarbovenop werden er al onregelmatige variaties geobserveerd van de orde van een milliseconde. Jammer genoeg bestaat de sterrentijd in twee varianten: de gemiddelde en de schijnbare. De schijnbare sterrentijd wordt bepaald door het ware lentepunt en volgt dus onmiddellijk uit de waarnemingen. Wegens de precessie van de aarde neemt de ecliptische lengtegraad van het lentepunt toe met ongeveer 50” boogseconden per jaar. Deze beweging is zeer continu. Nutatie veroorzaakt een meer ingewikkelde schommeling. Het gemiddeld lentepunt is de positie waar het lentepunt zich zou bevinden indien er geen nutatie zou plaatsvinden. De gemiddelde sterrentijd is de uurhoek van het gemiddeld lentepunt. ZONNEDAG Na ´e´en sterrendag is de aarde bijna ´e´en graad volgens diens baan verschoven. Daarom moet de aarde bijna ´e´en graad verder roteren opdat de zon opnieuw zou culmineren. Een zonnedag is daarom 3 min 56.56 s (sterrentijd) langer dan een sterrendag. Dit betekent dat het begin van een sterrendag eenmaal de klok rondgaat gedurende het verloop van ´e´en jaar. Na ´e´en jaar zijn sterrentijd en zonnetijd terug in fase. Het aantal sterrendagen is ´e´en meer dan het aantal zonnedagen in een jaar. 8

De eigenbeweging van een ster is de verplaatsing van die ster aan de hemel, ten opzichte van de achtergrondsterren.

12

Wanneer we het hebben over rotatietijden van planeten, hebben we het meestal over de sterrentijd. De duur van een dag, aan de andere hand, betekent de rotatietijd ten opzichte van de zon. Indien de periode van de baan rond de zon P bedraagt, de rotatietijd in sterrentijd τ? en de zonnedag τ , dan weten we nu dat het aantal sterrendagen in een tijd P , namelijk P/τ? , ´e´en hoger is dan het aantal zonnedagen, P/τ : P P − = 1, τ? τ of

1 1 1 = − . τ τ? P Deze formule geldt voor een planeet dat roteert in de richting van zijn baanbeweging (tegen de klok in). Als de rotatiezin omgekeerd is, of retrograad, dan is het aantal sterrendagen in de periode van ´e´en baanbeweging ´e´en minder dan het aantal zonnedagen, en de vergelijking wordt 1 1 1 = + . τ τ? P Voor de aarde hebben we dat P = 365.2564 d, τ = 1 d. De eerste vergelijking geeft ons dan τ? = 0.99727 d = 23 h 56 min 4s, zonnetijd. Tijdsvereffening en de oorzaken ervan. Omdat we in ons dagelijks leven een dag- en nachtritme aanhouden, is het gemakkelijker om ons te baseren op de schijnbare beweging van de zon en niet op de schijnbare beweging van de sterren om tijd bij te houden. Jammer genoeg verloopt zonnetijd niet volgens een constant tempo. Er zijn hiervoor twee redenen, ten eerste beschrijft de baan van de aarde rond de zon niet exact een cirkel, maar een ellips, en dus is de baansnelheid van de aarde niet constant. Ten tweede verplaatst de zon zich volgens de ecliptica en niet volgens de evenaar. Dus diens rechtse stijging neemt niet volgens een constant tempo toe. Als gevolg daarvan neemt de uurhoek van de zon (hetgeen de zonnetijd bepaalt) met een oneven tempo toe. Om een zonnetijd te vinden die met een constante snelheid verloopt defini¨eren we een fictieve gemiddelde zon, die zich met een constante hoeksnelheid volgens de evenaar van de hemelsfeer verplaatst, en een complete omwenteling maakt in ´e´en jaar. Hiermee bedoelen we een tropisch jaar, hetgeen de tijd is dat de zon nodig heeft om van het ene naar het volgende lentepunt te gaan. Omdat wegens precessie van de aarde het lentepunt ook beweegt langs de ecliptica, is een tropisch jaar iets korter dan een siderisch jaar (een jaar in sterrentijd). Gebruik makend van onze artifici¨ele zon kunnen we nu een zonnetijd defini¨eren die met een constante snelheid verloopt, de gemiddelde zonnetijd (of kortweg, de gemiddelde tijd ). TM , wat gelijk is aan de uurhoek hM van het centrum van de gemiddelde zon plus 12 uur (zodat om middernacht de datum verandert, om astronomen te pesten): TM = hM + 12h . 13

Het verschil tussen de ware zonnetijd T en de gemiddelde zonnetijd TM wordt de vergelijking van tijd genoemd: E.T. = T − TM . (Ondanks de identieke afkorting, heeft dit niets te maken met een of andere soort van kleine groene mannetjes.) De hoogste positieve waarde van E.T. is ongeveer 16 minuten, de hoogste negatieve waarde bedraagt ongeveer -14 minuten. Dit is ook het verschil tussen de ware middag (culminatie van de zon) en de gemiddelde middag. Zowel de ware zonnetijd als de gemiddelde zonnetijd zijn lokale tijden, afhankelijk van de uurhoek van de echte of artifici¨ele zon. Indien iemand de ware zonnetijd observeert via rechtstreekse metingen en via de vergelijking van tijd de gemiddelde zonnetijd berekent, zal een digitaal uurwerk het waarschijnlijk met beide tijden oneens zijn. De reden hiervoor is dat we de lokale tijd niet gebruiken in ons alledaags leven, we gebruiken echter de zonale tijd van de dichtstbijzijnde tijdzone. In het verleden had iedere stad een eigen lokale tijd. Toen reizen sneller en meer populair werd, werd de grote variatie in lokale tijden eerder een ongemak. Op het einde van de 19de eeuw werd de aarde ingedeeld in 24 tijdzones, waarbij de tijd van ieder tijdzone ´e´en uur verschilt met de naburige tijdzone. Op het oppervlak van de aarde komt ´e´en uur overeen met 15◦ in lengtegraad; de tijd van iedere zone is bepaald door de lokale tijden op ´e´en van de lengtegraden 0◦ , 15◦ , ..., 345◦ . De tijd van de nulmeridiaan die door Greenwich9 gaat wordt gebruikt als internationale referentie, Universele Tijd. In de meeste Europese landen loopt de tijd hier ´e´en uur mee vooruit. In de zomer schakelen vele landen over naar zomertijd. Tijdens de zomertijd loopt de tijd ´e´en uur vooruit in vergelijking met de gewone tijd. Het nut hiervan is om de tijd dat mensen wakker zijn te laten samenvallen met het daglicht om hiermee elektriciteit uit te sparen, vooral ’s avonds, wanneer mensen een uur vroeger naar bed gaan (en stoute dingen doen). TAI, UT en UTC. Tijd kan gedefinieerd worden volgens verschillende fenomenen: 1. De zonne- en sterrentijd, gebaseerd op de rotatiebewegingen van de aarde. 9

Greenwich is een district van de Britse regio Londen, in het zuidoosten van de metropool, aan de zuidelijke oever van de Theems. Het telt circa 200.000 inwoners (ca. 1980).

14

2. De standaardeenheid van tijd in het huidig SI systeem, deze is gebaseerd op kwantummechanische atomaire fenomenen. 3. Fysische vergelijking, zoals degene die de bewegingen van hemellichamen beschrijven en daar een tijdvariabele bij betrekken die overeenkomt met een ideale tijdseenheid die met een constant tempo verloopt. TAI De ’international atomic time’ TAI, werd in 1972 goedgekeurd als de basis om tijd aan te duiden. Deze tijd wordt bijgehouden door het ’Bureau International des Poids et Mesures’ in Parijs, en is het gemiddelde van een aantal nauwkeurige atomaire klokken. UT De ’universal time’, UT, is gebaseerd op een vergelijking dat betrekking houdt tot de gemiddelde sterrentijd van de meridiaan van Greenwich (GMST) en de juliaanse tijdrekening10 . Sterrentijd en dus ook UT staan in verband met de rotatie van de aarde, en bevatten dus storingen vanwege de onregelmatige variaties, en hoofdzakelijk snelheidsafname, in de rotatie van de aarde. Strikt genomen wordt deze universele tijd aangeduid door UT1. UTC De ’coordinated universal time’, UTC, is zo gedefinieerd dat het volgens hetzelfde tempo verloopt als TAI, maar ervan verschilt met een geheel aantal seconden. Deze schrikkelsecondes worden gebruikt om UTC aan te passen zodanig dat het verschil met UT1 nooit meer is dan 0.9 seconden. Een schrikkelseconde wordt ofwel aan het begin van een jaar ofwel op de nacht van juni naar juli toegevoed. Het verschil ∆AT = TAI − UTC wordt ook wel getabelleerd in de ’Astronomical Almanac’. Volgens de definitie van UTC is het verschil in seconden steeds een geheel getal. Het verschil kan niet ver in de toekomst voorspeld worden.

10

De juliaanse kalender is de van oorsprong Romeinse kalender die vervolgens gebruikt werd in het grootste deel van de christelijke wereld. Hij werd in de loop van de 16e tot de 20e eeuw geleidelijk aan verdrongen door de gregoriaanse kalender, die eigenlijk niet meer dan een correctie is van de juliaanse.

15

Vragen Hoofdstuk 3 Type II Wat is de vergroting van een telescoop bij visuele waarneming? Maak een behoorlijke schets van de stralengang, en leid de formule af. Wat bepaalt de maximum en minimum vergroting? Leid de relevante formules af. De telescoop vervult drie belangrijke rollen bij astronomische observaties: 1. Het verzamelt licht uit een groot gebied, wat het mogelijk maakt om zeer zwakke bronnen te bestuderen. 2. Het vergroot de schijnbare diameterhoek11 van een object en verbetert dus de resolutie. 3. Het wordt gebruikt om posities van objecten te meten. Het oppervlak dat het licht verzamelt in een telescoop is ofwel een lens ofwel een spiegel. Zodus zijn optische telescopen ingedeeld in twee types, lenstelescopen of refractors en spiegeltelescopen of reflectors. Refractors hebben twee lenzen, het objectief dat het inkomende licht verzamelt en een beeld vormt in het brandpunt, en het oculair, hetgeen een klein vergrootglas is waardoor er naar het object gekeken kan worden. De lenzen bevinden zich aan de tegenovergestelde uiteinden van een buis dat naar ieder gewenst punt gericht kan worden. De afstand tussen het oculair en het brandpunt kan worden aangepast om het beeld scherp te krijgen. Dit beeld, gevormd door het objectief, kan ook worden geregistreerd, bv. op een fotografische film, zoals bij een gewone camera. De diameter van het objectief, D, wordt de apertuur (letterlijk opening) van de telescoop genoemd. De verhouding van de apertuur tot de brandpuntsafstand f , F = D/f , wordt het diafragmagetal genoemd. Dit getal wordt gebruikt om de kracht van de telescoop om licht te verzamelen te karakteriseren. Indien het diafragmagetal groot is, nabij oneindig, dan heeft men een krachtige, ’snelle’ telescoop; dit betekent dat er met korte blootstelling al foto’s getrokken kunnen worden, aangezien het beeld helder is. Een klein diafragmagetal betekent een ’trage’ telescoop. 11

De diameterhoek is visuele diameter gemeten als hoek vanuit een gegeven positie.

16

De schaal van het beeld gevormd in het brandpunt van een refractor kan geometrisch bepaald worden. Wanneer een object gezien wordt volgens een hoek u, vormt het een beeld met hoogte s, s = f tan u ≈ f u , Aangezien u een zeer kleine hoek is. De vergroting ω is ω = u0 /u ≈ f /f 0 , waarbij we de vergelijking s = f u hebben gebruikt. Hier is f de brandpuntsafstand van het objectief en f 0 dat van het oculair. De vergroting is geen basiskenmerk van een telescoop, aangezien het kan veranderd worden door simpelweg het oculair te veranderen. Een belangrijker kenmerk van een telescoop dat afhankelijk is van de apertuur, is het scheidend vermogen (de resolutie). Hetgeen de kleinste (boog)hoek tussen twee objecten (zoals een dubbelster) is, die nog gescheiden waargenomen kunnen worden. De theoretische resolutie van een telescoop wordt vaak gegeven in de vorm ge¨ıntroduceerd door Rayleigh sin θ ≈ θ = 1.22λ/D , [θ] = rad . Met θ de resolutie, D de apertuur en λ de golflengte van het licht. Als praktische regel, kunnen we zeggen dat twee objecten als gescheiden objecten kunnen gezien worden als de hoekafstand tussen beide θ & λ/D ,

[θ] = rad .

Deze formule kan zowel toegepast worden bij optische als bij radiotelescopen12 . In de praktijk wordt de resolutie van visuele waarnemingen vastgelegd door het vermogen van het oog om details te onderscheiden. De maximum vergroting ωmax is de grootste vergroting die de moeite waard is om te gebruiken bij telescopische waarnemingen. De waarde ervan verkrijgt men door de verhouding te nemen van het scheidend vermogen van het oog, e ≈ 5.8 × 10−4 rad, tot het scheidend vermogen van de telescoop, θ, ωmax = e/θ ≈ eD/λ =

5.8 x 10−4 D 5.5 x 10−7 m

≈ D/1 mm . Grotere vergrotingen zijn nutteloos voor het oog. 12

Radiotelescopen zijn radioantennes en ontvanginstallaties speciaal voor het waarnemen van kortegolf radiosignalen.

17

De minimum vergroting ωmin is de kleinste vergroting die gebruikt kan worden bij visuele observaties. De waarde ervan wordt verkregen uit de voorwaarde dat de diameter van de uittreepupil L kleiner dan of gelijk aan dat van de pupil van het oog, d, moet zijn. De uittreepupil is het beeld van het objectief gevormd door het oculair, waardoorheen het licht van het objectief gaat en achter het oculair valt. We hebben D f0 L= D= . f ω Dus betekent de voorwaarde L ≤ d dat ω ≥ D/d , we hebben dus dat ωmin = D/d .

Type III Schets de stralengang van een Newton telescoop, een klassieke Cassegrain telescoop en een Cassegrain telescoop met coud´ e focus.

18

Vragen Hoofdstuk 4 Type I A. Vertrekkend van de definitie van intensiteit (intensity): Laten we aannemen dat er enige straling doorheen een oppervlakte-element dA gaat. Een deel van de straling zal dA verlaten onder een ruimtehoek dω; de hoek tussen dω en de normaal van het oppervlak wordt genoteerd met θ. De hoeveelheid energie met een frequentie (ν = c/λ met λ de golflengte in m en c de lichtsnelheid, in m/s van de golf) binnen het bereik [ ν, ν + dν ] die deze ruimtehoek binnenkomt is dEν = Iν cos θ dA dν dω dt . Hier staat de co¨efffici¨ent Iν voor de specifieke intensiteit van de straling bij een frequentie ν in de richting van de ruimtehoek dω. De dimensie ervan is W m−2 Hz−1 sterad−1 . De intensiteit die alle mogelijke frequenties inhoudt wordt de totale intensiteit I genoemd, en wordt verkregen door Iν te integreren over alle mogelijke frequenties: Z ∞ I= Iν dν . 0

1. geef de definities van vermogensdichtheid (flux density) en vermogen (energy flux). VERMOGENSDICHTHEID De vermogensdichtheid geeft het vermogen van de straling weer per oppervlakteeenheid en heeft dus als eenheid W m−2 Hz−1 of W m−2 , afhankelijk of we het hebben over de vermogensdichtheid bij een bepaalde frequentie, Fν , of de totale vermogensdichtheid, F . Wanneer we een stralingsbron waarnemen, meten we in principe de energie die verzameld wordt door een detector gedurende een bepaalde periode, wat gelijk is aan de vermogensdichtheid ge¨ıntegreerd over heel de oppervlakte van het apparaat die de straling verzamelt en het tijdsinterval. De vermogenssdichtheid Fν bij een frequentie ν kan uitgedruikt worden in termen van de intensiteit als Z 1 Fν = dEν dA dν dt S Z = Iν cos θ dω , S

19

waarbij de integratie wordt uitgebreid over alle mogelijke richtingen. Op een analoge manier is de totale vermogensdichtheid Z F = I cos θ dω . S

VERMOGEN Het vermogen betekent de hoeveelheid energie die per tijdseenheid door een bepaald oppervlakte gaat, uitgedrukt in watt (W). Het vermogen dat door een ster onder een ruimtehoek ω wordt uitgezonden is L = ω r2 F , waarbij F de vermogensdichtheid op een afstand r bedraagt. Het totaal vermogen is het vermogen dat doorheen een gesloten oppervlak gaat dat de bron omvat. 2. Welke zijn de hiermee overeenkomende astronomische grootheden? Indien een vermogensdichtheid waargenomen wordt is deze meestal vrij klein, en W m−2 zou een ongemakkelijk grote eenheid zijn. Daarom, en vooral in radioastronomie, worden vermogensdichtheden vaak uitgedrukt in Janskies; ´e´en Jansky (Jy) bedraagt 10−26 W m−2 Hz−1 . Astronomen noemen het totaal vermogen van een ster gewoonlijk de lichtkracht L. We kunnen het ook hebben over de lichtkracht Lν bij een gegeven frequentie ν ([Lν ] = W Hz−1 ). 3. Verklaar de factor cos(θ) in de uitdrukking voor de intensiteit. De projectie van het oppervlakte-element dA gezien volgens de richting θ is dAn = dA cos θ, wat de factor cos θ verklaart. Indien de intensiteit onafhankelijk is van de richting van de straling, dan is de energie dEν rechtstreeks in verhouding met het oppervlakte-element loodrecht op de richting van de straling. 4. Verklaar de betekenis van de adjectieven ”totaal”, ”specifiek” en ”band” die bij elk van deze grootheden kan gevoegd worden. – Totaal gebruikt men wanneer over alle mogelijke frequenties wordt ge¨ıntegreerd. – Specifiek gebruikt men wanneer men naar ´e´en bepaalde frequentie kijkt. – Band gebruikt men wanneer de grootheid bij ´e´en van de banden van het UBVRI-systeem (zie ook verder) hoort, dit is een kleurindex dat getallen bevat die op een logaritmische schaal de helderheid van een ster bij bepaalde gestandaardiseerde golflengtes aangeeft.

20

5. Leid het verband af tussen intensiteit en vermogensdichtheid voor een isotrope straler. Indien de straling isotroop is, is I per definitie onafhankelijk van de richting, we krijgen Z Z F = I cos θ dω = I cos θ dω . S

S

De ruimtehoek ω is gelijk aan een oppervlakte-element van een eenheidssfeer. In sferische co¨ordinaten is dit dω = sin θ dθ dφ . Substitueren we dit in de eerste vergelijking krijgen we Z π Z 2π F =I cos θ sin θ dθ dφ = 0 , θ=0

φ=0

en dus is er geen netto vermogen van de straling. Dit betekent dat er evenveel straling het oppervlak verlaat als dat er het oppervlak binnenkomt. Indien we de hoeveelheid straling willen weten die doorheen het oppervlak gaat, kunnen we bijvoorbeeld de hoeveelheid straling die het oppervlak verlaat vinden. Voor isotrope straling is dit Z

π/2

Z

2π

F =I

cos θ sin θ dθ dφ = πI . θ=0

φ=0

Indien de bron (zoals een gewone ster) isotroop straalt, is diens straling op een afstand r gelijk verdeeld over een sferisch oppervlak met een oppervlakte van 4πr2 . Als de vermogensdichtheid van de straling dat doorheen dit oppervlak gelijk is aan F , dan is het totaal vermogen L = 4πr2 F . 21

6. Leid het verband af tussen intensiteit en energiedichtheid. De energiedichtheid u van straling is de hoeveelheid energie per volume-eenheid (J m−3 ): Z 1 u= I dω . c S Dit kan gezien worden als volgt. Stel dat we straling met intensiteit I hebben afkomstig van een ruimtehoek dω loodrecht op het oppervlak dA. In een tijd dt legt de straling een afstand c dt af en vult het een volume van dV = c dt dA. Dus de hoeveelheid energie in het volume dV bedraagt (nu is cos θ = 1) dE = I dA dω dt =

1 I dω dV . c

Vandaar wordt de energiedichtheid du van de straling dat onder de ruimtehoek dω toekomt gegeven door 1 dE = I dω , du = dV c de totale energiedichtheid verkrijgt men door over alle mogelijke richtingen te integreren. Voor isotrope straling krijgen we u=

4π I. c

7. Toon aan dat de intensiteit onafhankelijk is van de afstand In de vergelijking van de intensiteit is er nergens sprake van een afstand, dus is de intensiteit hiervan onafhankelijk gedefinieerd.

Type II Verklaar de begrippen extinctie en optische dichtheid. Leid een betrekking af die een waargenomen fotometrische grootheid relateert tot haar intrinsieke waarde en de optische dichtheid. Indien de ruimte tussen de stralingsbron en de waarnemer niet volledig leeg is maar ´e´en of ander interstellair medium bevat, dan wordt een deel van de straling geabsorbeerd 22

door het medium (en gewoonlijk terug uitgestraald met een andere golflengte), of van de gezichtslijn weg verstrooid. Dit verlies in straling wordt extinctie genoemd. Laat ons nu onderzoeken hoe de extinctie afhangt van de afstand. Veronderstel dat we een ster hebben die schijnt met een vermogen L0 volgens een ruimtehoek ω in een bepaald golflengtebereik. Aangezien het medium de straling absorbeert en verstrooit, zal het vermogen L afnemen bij toenemende straal r. In een korte afstandsinterval [r, r + dr] is de extinctie dL evenredig met het vermogen L en de afstand afgelegd in het medium: dL = −αL dr . De factor α zegt hoe effectief het medium de straling belemmert, het wordt de opaciteit genoemd en is een maat voor de lichtondoorlatendheid van een medium. Uit voorgaande vergelijking zien we dat de dimensie ervan [α] = m−1 is. De opaciteit is nul voor een perfect vacu¨ um en nadert naar oneindig wanneer de substantie zeer troebel wordt.

We kunnen nu een dimensieloze hoeveelheid defini¨eren, de optische dichtheid τ , door dτ = α dr . Substitueren we dit in de eerdere vergelijking krijgen we dL = −L dτ . Integreren we dit vanaf de bron (waar L = L0 en r = 0) tot de waarnemer: Z

L

L0

dL =− L

Z

τ

dτ , 0

dan geeft dit L = L0 e−τ . Hier staat τ voor de optische dichtheid van het materiaal tussen de bron en de waarnemer, L staat voor het vermogen dat wordt waargenomen. Het vermogen neemt dus exponentieel af bij een toenemende optische dichtheid. Een lege ruimte is perfect doorlatend en heeft dus als opaciteit α = 0; de optische dichtheid neemt dus niet toe in een lege ruimte en het vermogen blijft constant. 23

Zij F0 de vermogensdichtheid van het oppervlak van een ster en F (r) de vermogensdichtheid op een afstand r. We kunnen de vermogens uitdrukken als L = ωr2 F (r) ,

L0 = ωR2 F0 ,

waarbij R de straal is van de ster. Substitutie in de vorige vergelijking geeft F (r) = F0

R2 −τ e . r2

Type III Verklaar het begrip kleurexcess en geef een verband met de extinctie. De magnitude is een dimesieloze grootheid waarmee de helderheid van een ster of ander hemellichaam wordt uitgedrukt. De magnitude wordt als 0 gedefinieerd bij een voorgekozen vermogensdichtheid F0 . Alle andere magnitudes worden dan bekomen uit de vergelijking m = −2.5 log

F . F0

Er kan aangetoond worden dat voor de magnitudes m1 en m2 van twee sterren met overeenkomstige vermogensdichtheden F1 en F2 geldt dat m1 − m2 = −2.5 log

F1 . F2

De magnitude zoals hier gedefinieerd, wordt de schijnbare magnitude genoemd. Lichtmeters die de magnitude meten zijn gewoonlijk gepaard met filters die enkel licht in een bepaalde golflengteband de detector laten binnengaan. Zo werd in 1950 het UBV-systeem ontwikkeld waarbij magnitudes werden gemeten doorheen drie filters, U = ultraviolet, B = blauw en V = visueel. Magnitudes die doorheen deze filters worden geobserveerd worden respectievelijk U , B en V magnitudes genoemd. Het UBV-systeem werd later aangevuld met meer banden. Een vaak gebruikt systeem is het vijfkleuren UBVRI-systeem, wat ook nog R = rood en I = infrarood filters inhoudt. In elk systeem met meerdere kleuren kunnen we kleurindices defini¨eren; een kleurindex is het verschil tussen twee magnitudes. Door de B magnitude van de U magnitude af te trekken krijgen we de kleurindex U − B, en zo verder. Bij het UBV systeem wordt er gewoonlijk alleen de V magnitude gegeven en de kleurindices U − B en B − V . De schijnbare magnitude vertelt ons niets over de ware helderheid van een ster, aangezien de afstand verschilt van ster tot ster. Een grootheid die de intrinsieke helderheid van de ster meet is de absolute magnitude. Het wordt gedefinieerd als de magnitude op een afstand van 10 parsec13 van de ster. 13 ´

E´en parsec is gelijk aan de afstand die men vanaf de zon de ruimte moet ingaan, om de gemiddelde afstand tussen de aarde en de zon onder een hoek van ´e´en boogseconde te zien, deze afstand bedraagt 3.085 677 580 666 31 × 1016 m en is dus niet onmiddelijk naast de deur gelegen.

24

We zullen nu een relatie afleiden tussen de schijnbare magnitude m, de absolute magnitude M en de afstand r. Aangezien het vermogen afkomstig van de straling van een ster onder een ruimtehoek ω op een afstand r verspreid wordt over een oppervlak ωr2 , is de vermogensdichtheid omgekeerd evenredig met de afstand in het kwadraat. daarom wordt de verhouding van de vermogensdichtheid op een afstand r, F (r), tot de vermogensdichtheid op een afstand van 10 parsec, F (10), gegeven door F (r) = F (10)



10 pc r

2 .

Het verschil in magnitudes op een afstand r en 10 pc, of de afstandsmodulus m − M , is  2 10 pc F (r) = −2.5 log m − M = −2.5 log F (10) r of m − M = 5 log

r . 10 pc

Indien er sprake is van extinctie, dan starten we met de absolute magnitude die bepaald wordt met de laatste vergelijking uit de vorige opgave (deze wordt nog steeds ge¨evalueerd zonder extinctie): R2 . F (10) = F0 (10 pc)2 de afstandsmodulus m − M is nu F (r) F (10)   (10 pc)2 −τ = −2.5 log e r2 r = 5 log − 2.5 log e−τ 10 pc r = 5 log + (2.5 log e)τ 10 pc

m − M = −2.5 log

of m − M = 5 log

r + A, 10 pc

waarbij A de extinctie in magnitude, vanwege het medium tussen de ster en de waarnemer, weergeeft.

25

KLEUREXCESS Een ander gevolg van een interstellair medium is het rood worden van licht: blauw licht wordt meer geabsorbeerd en verstrooid dan rood licht. De visuele magnitude van een ster bij extinctie is r V = MV + 5 log + AV , 10 pc waarbij MV de absolute visuele magnitude is en AV de extinctie in de V-band. Analoog hebben we voor de blauwe magnitude B = MB + 5 log

r + AB . 10 pc

De waargenomen kleurindex is nu B − V = MB − MV + AB − AV , of B − V = (B − V )0 + EB−V , waarbij (B − V )0 = MB − MV de intrinsieke kleur is van de ster en EB−V = (B − V ) − (B − V )0 het kleurexcess. Studies naar het interstellair medium hebben aangetoond dat de verhouding van de visuele extinctie AV tot het kleurexcess EB−V bijna constant is voor alle sterren: AV R= ≈ 3.0 . EB−V Dit maakt het mogelijk om de visuele extinctie te vinden wanneer het kleurexcess gekend is: AV ≈ 3.0EB−V . Wanneer AV verkregen wordt, kan de afstand onmiddelijk berekend worden indien V en MV gekend zijn.

26

Vragen Hoofdstuk 5 Type I B.* Meer specifiek voor zwarte straling B =

2hν 3 1 , 2 hν/(kT )−1 c e

leid uitdrukkingen af voor de totale intensiteit, de totale vermogensdichtheid, en het totaal vermogen. Een zwarte straler of een zwart lichaam is een ge¨ıdealiseerd object dat de straling die erop invalt niet reflecteert of verstrooit, maar volledig absorbeert en heruitzendt. Het is een soort van ideale radiator dat echter niet in de echte wereld kan bestaan. Nochtans gedragen vele objecten zich zeer goed alsof het zwarte lichamen zouden zijn. De straling van een zwart lichaam hangt enkel af van diens temperatuur, en is volledig onafhankelijk van diens vorm, materie en inwendige staat. De golflengtedistributie van de straling volgt de wet van Planck, hetgeen een functie is dat enkel afhankelijk is van de temperatuur. De intensiteit bij een gegeven frequentie van een zwart lichaam bij een temperatuur T bedraagt Bν (T ) = B(ν; T ) =

2hν 3 1 , 2 hν/(kT )−1 c e

waarbij h = de constante van Planck = 6.63 × 10−34 J s , c = de lichtsnelheid ≈ 3 × 108 m s−1 , k = de constante van Boltzmann = 1.38 × 10−23 J K−1 . We kunnen de wet van Planck ook schrijven in functie van de golflengte. We eisen dat Bν dν = −Bλ dλ. De golflengte neemt af bij stijgende frequentie, vandaar het minteken. Aangezien ν = c/λ hebben we dat dν c =− 2, dλ λ waaruit Bλ = −Bν

dν c = Bν 2 , dλ λ

of

2hc2 1 , 5 hc/(λkT )−1 λ e De functies Bν en Bλ zijn gedefinieerd op zo’n manier dat de totale intensiteit verkregen kan worden op dezelfde manier door om het even de welke van beide te gebruiken: Z ∞ Z ∞ B(T ) = Bν dν = Bλ dλ . Bλ (T ) =

0

0

* vervolg van opgave A. in hoofdstuk 4.

27

Laat ons nu proberen de totale intensiteit te vinden via integratie van de eerste van deze integralen: Z ∞ Z 2h ∞ ν 3 dν B(T ) = Bν (T ) dν = 2 . c 0 ehν/(kT ) − 1 0 We veranderen nu de integratievariabele naar x = hν/(kT ), waaruit dν = (kT /h)dx: Z 2h k 4 4 ∞ x3 dx B(T ) = 2 4 T . c h ex − 1 0 Deze integraal is gewoon een re¨eel getal, onafhankelijk van de temperatuur. We vinden dus dat B(T ) = AT 4 , waarbij de waarde van A gelijk is aan A=

2k 4 π 4 . c2 h3 15

(Er bestaat geen elementaire manier om de gegeven integraal op te lossen.) De vermogensdichtheid F voor een isotrope straling bij intensiteit B is (zie eerder) F = πB of F = σT 4 . Dit is de wet van Stefan-Boltzmann, en de constante σ (= πA) is de constante van Stefan-Boltzmann, σ = 5.67 × 10−8 W m−2 K−4 . Uit de wet van dien tjoetel krijgen we een relatie tussen de lichtkracht (het vermogen) en de temperatuur van een ster. Indien de straal van de ster gelijk is aan R, dan heeft die een oppervlakte van 4πR2 , en als de vermogensdichtheid aan het oppervlak gelijk is aan F, dan hebben we L = 4πR2 F . Indien de ster wordt verondersteld te stralen als een zwart lichaam, dan hebben we F = σT 4 , waaruit volgt L = 4πσR2 T 4 .

28

Type II Som de verschillende soorten straling geassocieerd met atomen op en verklaar deze fysisch. Hoe wordt de straling van het waterstofatoom geclassificeerd? Welke zijn bijkomende stralingsmechanismen bij moleculen? Elektromagnetsiche straling wordt uitgezonden of geabsorbeerd wanneer een atoom of een molecule zich verplaatst van het ene energieniveau naar het ander. Indien de energie van een atoom afneemt met een hoeveelheid ∆E, dan zendt het atoom een lichtkwantum15 uit, een foton genoemd. De frequentie ν van het foton wordt gegeven door de vergelijking ∆E = hν , waarbij h de constante van Planck is, h = 6.6256 × 10−34 J s. Analoog, wanneer het atoom een foton met een frequentie ν opneemt, zal het energieniveau van het atoom toenemen met ∆E = hν. Het klassieke model beschrijft een atoom als een nucleus omgeven door een elektronenwolk. De nucleus bestaat uit Z protonen, elk met een lading +e en N elektrisch neutrale neutronen; Z is het atoomgetal van het atoom en A = Z + N is het massagetal van het atoom. Een neutraal atoom heeft evenveel elektronen (met lading -e) als protonen. Het energieniveau van een atoom betekent meestal het energieniveau van diens elektronen. De energie E van een elektron kan geen willekeurige waarden aannemen; enkel bepaalde energiewaarden zijn mogelijk. Een atoom kan straling enkel absorberen of uitzenden met bepaalde frequenties νif die overeenkomen met de energieverschillen tussen bepaalde beginen eindstadia i en f : |Ei − Ef | = hνif . Dit geeft aanleiding tot het lijnenspectrum, dat specifiek is voor ieder element. Een heet gas onder lage druk produceert zo’n emissiespectrum. Indien hetzelfde gas terug afgekoeld wordt en geobserveerd wordt onder een bron van wit licht (hetgeen een continu spectrum heeft), dan kunnen dezelfde lijnen worden gezien als donkere absorptielijnen. SPONTANE EMISSIE Bij lage temperaturen bevinden de meeste atomen zich in hun laagste energieniveau, de grondtoestand. Hogere energieniveaus zijn ge¨exciteerde toestanden; een overgang van een lagere naar een hogere staat wordt excitatie genoemd. Gewoonlijk zal het ge¨exciteerde atoom zeer snel naar een lagere staat terugkeren, waarbij een foton wordt uitgezonden, dit heet spontane emissie. Een typische levensduur van van een ge¨exciteerde staat kan zo’n 10−8 seconden zijn. GE¨INDUCEERDE EMISSIE Het doen dalen van het energieniveau kan ook door straling ge¨ınduceerd worden. Stel dat ons atoom een foton heeft geabsorbeerd en ge¨exciteerd geraakt. Een ander foton, met een frequentie ν dat overeenkomt met een mogelijke daling in energiniveau van het ge¨exciteerde 15

Een kwantum is de kleinste, ondeelbare hoeveelheid van een grootheid die bij een interactie betrokken kan zijn.

29

atoom, kan nu het atoom verstoren waardoor deze naar een lager energieniveau springt en een foton uitstraalt met dezelfde frequentie ν. Dit wordt ge¨ınduceerde emissie genoemd. Fotonen die spontaan worden uitgestraald verlaten het atoom in een willekeurige richting en met een willekeurige fase: de straling is isotroop en onafhankelijk. Ge¨ınduceerde straling daarentegen is coherent; de straling plant zich voort in dezelfde richting en met dezelfde fase als de inducerende straling. GEBONDEN-VRIJ OVERGANG EN RECOMBINATIE Het nulniveau van de energiestadia is meestal zo gekozen dat een gebonden elektron een negatieve energie heeft en een vrij elektron een positieve energie. Indien een elektron met energie E < 0 een energie hoger dan |E| ontvangt, dan zal het elektron het atoom verlaten en een ion worden. In astrofysica wordt ionisatie vaak een gebonden-vrij overgang genoemd. Anders dan bij excitatie zijn alle mogelijke energiewaarden (E > 0) nu mogelijk. Het overschot aan geabsorbeerde energie gaat naar de kinetische energie van het bevrijde elektron. Het inverse proces, waarbij een atoom een vrij elektron opvangt, wordt recombinatie genoemd of vrij-gebonden overgang. VRIJ-VRIJ STRALING Wanneer een elektron verstrooid wordt door een nucleus of een ion (na een ’botsing’) zonder opgevangen te worden, kan de elektromagnetische interactie de kinetische energie van het elektron doen veranderen, hetgeen vrij-vrij straling produceert. In een zeer heet gas (T > 106 K) is waterstof volledig ge¨ıoniseerd, en de vrij-vrij straling is de voornaamste emissiebron. Het wordt in deze context dan gewoonlijk thermische remstraling (in het Duits bremsstrahlung) genoemd. CLASSIFICATIE STRALING WATERSTOFATOOM Waterstof is het minst complex (en dus zeker geen vrouwelijk) atoom, bestaande uit ´e´en proton en ´e´en elektron. Volgens het model van Bohr draait het elektron in een circulaire baan rond het proton. De classificatie van de straling van het waterstofatoom is hoofdzakelijk gebaseerd op het hoofdkwantumgetal n, wat de schil beschrijft waar het elektron zich bevindt. De classificatie wordt gedaan in verschillende series. Zo’n serie is een set van lijnen in het spectrum dat geproduceerd wordt bij een overgang En2 −→ En1 tussen twee energieniveaus. Zo is er de Balmer 30

serie bij de overgang En −→ E2 (n1 = 2), deze lijnen bevinden zich in het zichtbaar deel van het spectrum. Wanneer het elektron teruggkeert naar diens grondstadium, En −→ E1 (n1 = 1), krijgen we de Lyman serie, wat in het ultraviolet gedeelte van het spectrum ligt. De andere series met specifieke namen zijn de Paschen serie (n1 = 3), de Bracket serie (n1 = 4) en de Pfund serie (n1 = 5). STRALINGSMECHANISMEN BIJ MOLECULEN Het energieniveau van een atoom wordt bepaald door diens elektronen. In het geval van een molecule zijn er meer mogelijkheden: atomen kunnen vibreren rond hun evenwichtstoestand en de molecule kan roteren om een bepaalde as. De beide vibrationele en rotationele stadia zijn gekwantiseerd. Overgangen tussen opeenvolgende vibrationele stadia betreffen typisch fotonen in de infraroodband, terwijl overgangen tussen rotationele stadia verband houden met fotonen in de microgolfband. Dit gecombineerd met de overgangen van de elektronen produceert een bandenspectrum dat specifiek is voor moleculen.

Verklaar: 1. Effectieve temperatuur Temperaturen bij astronomische objecten kunnen vari¨eren tussen het bijna absolute nulpunt en miljoenen graden. Temperatuur kan gedefinieerd worden op verschillende manieren, en diens numerieke waarde hangt af van de specifieke definitie die gebruikt wordt. Al deze verschillende temperaturen zijn nodig om verschillende fysische gebeurtenissen te beschrijven, en vaak is er geen unieke ’ware’ temperatuur. De meest belangrijke grootheid dat de oppervlaktetemperatuur van een ster beschrijft is de effectieve temperatuur Te . Het wordt gedefinieerd als de temperatuur van een zwart lichaam dat met eenzelfde totale vermogensdichtheid alst de ster straalt. 2. Helderheidstemperatuur, en geef een uitdrukking die hiervoor gebruikt wordt in de radiosterrenkunde Zoals kan gezien worden op de grafiek neemt de golflengte van de maximum intensiteit af wanneer de totale intensiteit (wat gelijk is aan de oppervlakte onder de grafiek) toeneemt. We kunnen de golflengte λmax vinden dat overeenkomt met de maximum intensiteit door de functie Bλ (T ) af te leiden naar λ en het nulpunt te zoeken van de afgeleide. Het resultaat is de verschuivingswet van Wien: λmax T = b = constant , waarbij de constante van Wien b gelijk is aan b = 0.0028978 K m . 31

We kunnen een gelijkaardige procedure gebruiken om het maximum te vinden van Bν . Maar dus wordt de frequentie νmax niet verkregen via νmax = c/λmax . De reden hiervoor is dat de intensiteiten worden weergegeven per eenheid van golflengte of per eenheid van frequentie, en de afhankelijkheid tussen frequentie en golflengte is niet lineair.

Indien de golflengte dicht bij het maximum ligt of veel groter is dan λmax kan de functie van Planck benaderd worden door een eenvoudigere uitdrukking. Indien λ ≈ λmax (of hc/(λkT )  1), hebben we ehc/(λkT )  1 . In dit geval krijgen we de benadering van Wien Bλ (T ) ≈

2hc2 −hc/(λkT ) e . λ5

Wanneer hc/(λkT )  1 (λ  λmax ), hebben we (Taylorbenadering) ehc/(λkT ) ≈ 1 + hc/(λkT ) , wat ons de benadering van Rayleigh-Jeans geeft Bλ (T ) ≈

2hc2 λkT 2ckT = . λ5 hc λ4

Dit is vooral handig in de radiosterrenkunde. Indien we veronderstellen dat bij een gegeven golflengte λ de vermogensdichtheid Fλ verkregen wordt uit de wet van Planck (zie eerder), dan krijgen we de helderheidstemperatuur Tb . In het geval van isotrope straling hebben we dan Fλ = πBλ (Tb ). 32

In de radiosterrenkunde wordt de helderheidstemperatuur gebruikt om de intensiteit (of oppervlaktehelderheid) van de bron uit te drukken. Indien de intensiteit bij een frequentie ν gelijk is aan Iν , kan de helderheidstemperatuur verkregen worden uit Iν = Bν (Tb ) . Tb geeft dus de temperatuur weer van een zwart lichaam dat straalt met dezelfde oppervlaktehelderheid als de waargenomen bron. Aangezien de golflengtes van radiogolven zeer groot zijn, is de voorwaarde hν  kT voor de benadering van Rayleigh-Jeans meestal voldaan, en kunnen we de wet van Planck schrijven als Bν (Tb ) =

2hν 3 1 2 hν/(kT b) − 1 c e

=

1 2hν 3 2 c 1 + hν/(kTb ) + ... − 1

≈

2kν 2 Tb . c2

zo krijgen we de volgende uitdrukking voor de helderheidstemperatuur die gebruikt wordt in de radiosterrenkunde: Tb =

λ2 c2 I = Iν . ν 2kν 2 2k

3. Antennetemperatuur Een maat voor het signaal dat geregistreerd wordt door een radiotelescoop is de antennetemperatuur , TA . Nadat de antennetemperatuur gemeten werd, krijgen we de helderheidstemperatuur uit TA = η Tb , waar η gelijk is aan de bundeleffici¨entie van de antenne (typisch is 0.4 . η . 0.8). Deze vergelijking geldt idien de bron breed genoeg is om de ruimtehoek ΩA waaronder de antenne de straling ontvangt te bedekken. Als de ruimtehoek ΩS die door de bron wordt ingesloten kleiner is dan ΩA , is de waargenomen antennetemperatuur gelijk aan ΩS TA = η Tb , (ΩS < ΩA ) . ΩA 4. Kleurtemperatuur, en geef een uitdrukking voor een zwarte straler in de benadering van Wien De kleurtemperatuur TC kan bepaald worden zelfs indien de hoekdiameter van de bron niet gekend is. We hoeven alleen de relatieve energiedistributie te kennen in een bepaald golflengtebereik [λ1 , λ2 ]; de absolute waarde van het vermogen is niet nodig. 33

De waargenomen vermogensdichtheid in functie van de golflengte wordt vergeleken met de functie van Planck bij verschillende gegeven temperaturen. De temperatuur waarbij de twee functies het best samenvallen is de kleurtemperatuur in het interval [λ1 , λ2 ]. De kleurtemperatuur is gewoonlijk verschillend voor verschillende intervallen, aangezien de vorm van de energieverdeling mogelijk erg kan verschillen van dat van het spectrum van het zwarte lichaam.

Een eenvoudige methode om de kleurtemperatuur te vinden gaat als volgt. We meten de vermogensdichtheid Fλ0 bij twee golflengtes λ1 en λ2 . Indien we veronderstellen dat de intensiteitsdistributie de wet van Planck volgt, moet de verhouding van deze vermogensdichtheden gelijk zijn aan de verhouding gekregen uit de wet van Planck: Fλ0 1 (T ) Bλ1 (T ) λ52 ehc/(λ2 kT ) − 1 = = . Fλ0 2 (T ) Bλ2 (T ) λ51 ehc/(λ1 kT ) − 1 De temperatuur T die uit deze vergelijking opgelost wordt is de kleurtemperatuur. De waargenomen vermogensdichtheid komt overeen met zekere magnitudes mλ1 en mλ2 . De definitie van magnitudes geeft mλ1 − mλ2 = −2.5 log

Fλ0 1 + const , Fλ0 2

waarbij de constante term een gevolg is van de verschillende nulpunten op de magnitudeschalen. Indien de temperatuur niet te hoog is, kunnen we de benadering van Wien (zie eerder) gebruiken in het optisch deel van het spectrum: Bλ1 + const Bλ2  5   λ2 hc 1 1 = −2.5 log + 2.5 − log e + const . λ1 kT λ1 λ2

mλ1 − mλ2 = −2.5 log

Dit kan geschreven worden als mλ1 − mλ2 = a + b/TC , waarbij a en b constanten zijn. Dit toont aan dat er een eenvoudige relatie bestaat tussen het verschil in twee magnitudes en de kleurtemperatuur. 34

5. Kinetische temperatuur De kinetische temperatuur TK houdt verband met de gemiddelde snelheid van gasmoleculen. De kinetische energie van een ideale gasmolecule is een functie van de temperatuur die volgt uit de kinetische gastheorie16 die zegt dat mv 2 TK = , 3k waarbij m gelijk is aan de massa van het molecule, v diens gemiddelde snelheid (of liever de ’root-mean-square’ snelheid, wat betekent dat v 2 gelijk is aan het gemiddelde van de snelheden in het kwadraat), en k de constante van Boltzmann (zie eerder). Voor ideale gassen staat de druk rechtstreeks in verhouding tot de kinetische temperatuur: P = nkTK , waarbij n gelijk is aan het aantal moleculen per volume-eenheid. 6. Ionisatietemperatuur De ionisatietemperatuur Ti wordt gevonden door het aantal atomen in verschillende stadia van ionisatie te bekijken. Aangezien sterren niet exact zwarte lichamen zijn, zullen de waarden van excitatie en ionisatietemperaturen meestal vari¨eren, afhankelijk van het element waarvan de spectraallijnen werd gebruikt voor het bepalen van de temperatuur.

Type III FWHM. Men zou denken dat spectraallijnen steeds fijn en scherp zouden zijn, maar in de realiteit zijn ze enigszins uitgestrekter. De vorm van een spectraallijn wordt een lijnprofiel genoemd. FWHM staat voor full width at half maximum, dit is de breedte van een lijnprofiel bij een diepte waar de intensiteit de helft van het maximum bedraagt. Het is een maat om een lijnsterkte uit te drukken. Equivalente breedte van een absorptielijn. De equivalente breedte is een andere maat om een lijnsterkte uit te drukken. Het is gelijk aan de breedte van een rechthoekige lijn die een hoogte heeft alsof die geen licht zou uitzenden en die dezelfde oppervlakte heeft als de oppervlakte van het lijnprofiel. De 16

Deze formule zal worden afgeleid in hoofdstuk 10.

35

equivalente breedte kan gebruikt worden om de energie te beschrijven die overeenkomt met een lijn onafhankelijk van de vorm van het lijnprofiel. Verboden overgang. Kwantummechanica beschrijft het elektron als een driedimensionale golf, en geeft een zekere waarschijnlijkheid om een elektron op een bepaalde plaats terug te vinden. De kwantummechanische beschrijving neemt vier verschillende kwantumgetallen in betrekking, ´e´en ervan is n, het hoofdkwantumgetal (zie eerder). Het hoofdkwantumgetal beschrijft de gekwantiseerde energieniveaus van het elektron en kan willekeurige natuurlijke getalwaarden groter dan nul aannemen. Het nevenkwantumgetal l, ook wel het impulsmomentkwantumgetal genoemd, bepaalt de vorm van het orbitaal van het atoom. De waarschijnlijkste posities, met gezamenlijk een kans van 90% om het elektron er aan te treffen, vormen het orbitaal. Het is het trefkansgebied van een elektron binnen de grenzen van het atoom. Het kwantumgetal l kan alleen de volgende waarden aannemen: l = 0, 1, ..., n − 1 . De naam impulsmomentkwantumgetal is historisch bepaald en is gebaseerd op de voorstelling dat dit kwantumgetal het impulsmoment17 van het om de atoomkern draaiende elektron beschrijft. Het magnetisch kwantumgetal van het impulsmoment wordt met ml aangeduid en beschrijft de ruimtelijke orintatie van het baanimpulsmoment van het elektron. Het mag in waarde niet groter zijn dan het nevenkwantumgetal l, maar het mag wel negatieve waarden aannemen: ml = 0, ±1, ±2, ..., ±l . Het vierde kwantumgetal is het spinkwantumgetal en beschrijft de ori¨entatie van de spin van het elektron. Het spinkwantumgetal s voor een elektron is gelijk aan 1/2. Bij een spinkwantumgetal hoort een magnetisch spinkwantumgetal ms , voor een elektron is dit dan 1 ms = ± , 2 het teken van ms geeft de projectie van de spin weer in een gegeven richting z. Ook is er nog het kwantumgetal j dat het totale impulsmoment van een elektron parametriseert, door diens nevenkwantumgetal en spin te combineren. Dit kwantumgetal kan twee waarden aannemen: 1 j =l± , 2 (behalve voor l = 0, dan is j = 1/2). De z-component van het totale impulsmoment kan de volgende waarden aannemen: mj = 0, ±1, ±2, ..., ±j . 17

Het impulsmoment is een maat voor de ”hoeveelheid draaibeweging” van een voorwerp.

36

De staat van een elektron kan niet willekeurig veranderen; overgangen zijn beperkt tot selectieregels die uit bepaalde behoudswetten volgen. De selectieregels drukken uit hoe een kwantumgetal moet veranderen bij een overgang. De meest waarschijnlijke zijn de elektrische dipoolovergangen, die doen het elektron zich gedragen als een soort van oscillerende dipool. De behoudswetten eisen dat we bij een overgang hebben dat ∆l = ±1 , ∆ml = 0, ±1 . In termen van het totale impulsmoment zijn de selectieregels ∆l = ±1 , ∆j = 0, ±1 , ∆mj = 0, ±1 . De waarschijnlijkheden voor andere overgangen zijn veel kleiner, deze worden verboden overgangen genoemd, en betreffen bijvoorbeeld de magnetische dipoolovergangen. 21 cm straling van het waterstofatoom. Bij een magnetische dipoolovergang van een waterstofatoom wordt er een straling uitgezonden waarvan de golflengte 21 cm bedraagt, wat in de radioband van het spectrum gelegen is. Extinctie (zie eerder) bij radiogolflengtes is zeer klein. Hiermee kunnen we dus beter verder afgelegen objecten waarnemen dan bij het gebruik van optische golflengtes. De 21 cm straling heeft tot nu toe een zeer belangrijke rol gespeeld bij het onderzoek naar interstellair waterstof. Maser en laser straling. Er bevinden zich meestal meer atomen in het grondstadium dan in een ge¨exciteerde toestand. Er zijn echter manieren om een populatie-inversie te cre¨eren, een ge¨exciteerde staat die minder atomen in het grondstadium bevat. Deze staat is essentieel voor zowel de maser als de laser (Microwave/Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Indien de ge¨exciteerde atomen nu belicht worden met fotonen die een energie dragen dat in waarde gelijk is aan de ge¨exciteerde energie, zal de straling neerwaartse overgangen induceren. Het aantal fotonen dat hierbij uitgezonden wordt is veel hoger dan het aantal geabsorbeerde fotonen, en de straling wordt versterkt. De toestand van excitatie is typisch een metastabiele staat, een staat minder stabiel dan de grondstaat, maar met een zeer lange gemiddelde levensduur, wat betekent dat de bijdrage van spontane emissie verwaarloosbaar is. Daarom is de resulterende stralengang coherent (zie ge¨ınduceerde emissie) en monochromatisch18 .

18

Monochromatisch licht is licht van exact ´e´en golflengte. Monochromatisch licht heeft ´e´en enkele kleur.

37

Synchrotron straling Een vrije lading in een versnelde beweging zal elektromagnetische straling uitzenden. Geladen deeltjes die in een magnetisch veld bewegen volgens een helix langs de veldlijnen. Gezien vanuit de richting van het veld, is de beweging circulair en dus versneld. De bewegende lading zal straling uitzenden in dezelfde richting als diens snelheidsvector. Deze straling wordt synchroton straling genoemd.

38

Vragen Hoofdstuk 6 Type I Het tweelichamenvraagstuk: 1. Leid de bewegingsvergelijkingen af in de relatieve beweging. We zullen ons concentreren op systemen die enkel uit twee lichamen bestaan. Laat ons om simpele redenen de twee lichamen de zon en een planeet noemen, hoewel het ook een planeet en diens maan, of twee componenten van een dubbelster kunnen zijn.

Zij de massa’s van de lichamen gelijk aan m1 en m2 en de straalvectoren in een bepaald vast co¨ordinatenstelsel r¯1 en r¯2 . De positie van een planeet ten opzichte van de zon wordt genoteerd door r¯ = r¯2 − r¯1 . Volgens de gravitatiewet van Newton ondergaat de planeet een gravitationele aantrekkingskracht dat evenredig is met de massa’s m1 en m2 en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand r. Sinds de kracht in de richting van de zon wijst kan het uitgedrukt worden als Gm1 m2 −¯ r r¯ F¯ = = −Gm1 m2 3 , 2 r r r Waarbij G gelijk is aan de gravitatieconstante. De tweede wet van Newton zegt ons dat de versnelling r¨¯2 van de planeet evenredig is met de uitgeoefende kracht: F¯ = m2 r¨¯ . Combineren we deze twee vergelijkingen krijgen we de bewegingsvergelijking van een planeet: r¯ m2 r¯¨2 = −Gm1 m2 3 . r Aangezien de zon dezelfde gravitatiekracht ondergaat, maar in de tegenovergestelde richting, kunnen we onmiddelijk de beweginsvergelijking van de zon schrijven als: m1 r¨¯1 = +Gm1 m2 39

r¯ . r3

We zijn vooral ge¨ınteresseerd in de relatieve beweging van de planeet ten opzichte van de zon. Om de vergelijking van de relatieve baan te vinden, delen we de massa’s die in beide leden voorkomen weg in deze twee laatste vergelijkingen en trekken we de laatste vergelijking af van de eerste, dit geeft r¨¯ = −µ

r¯ , r3

waarbij µ = G(m1 + m2 ) . e = k¯ × r¯˙ +µ¯ r/r constante vectoren 2. Bewijs dat de vectoren k¯ = r¯× r¯˙ en −µ¯ zijn. We starten met aan te tonen dat het impulsmoment constant blijft. Het impulsmoment van de planeet in het heliocentrisch stelsel is ¯ = m2 r¯ × r¯˙ . L Bij hemelbewegingen wordt meestal de voorkeur gegeven aan het impulsmoment gedeeld door de massa van de planeet k¯ = r¯ × r¯˙ . Laat ons deze vergelijking afleiden naar de tijd: k¯˙ = r¯ × r¨¯ + r¯˙ × r¯˙ . Deze laatste term verdwijnt als vectorproduct van twee parallelle vectoren. De eerste term bevat r¨¯, hetgeen gegeven wordt door de bewegingsvergelijking: k¯˙ = r¯ × (−µ¯ r/r3 ) = (−µ/r3 )¯ r × r¯ = 0 . ¯ natuurlijk). Dus is k¯ een constante vector onafhankelijk van de tijd (alsook L Aangezien de impulsmomentsvector altijd loodrecht staat op de beweging, wat volgt uit de definitie van het impulsmoment als vectorproduct, vindt de beweging steeds ¯ plaats in het invariant vlak loodrecht op k.

40

Om een andere constante vector te vinden, berekenen we het vectorproduct k¯ × r¨¯: k¯ × r¨¯ = (¯ r × r¯˙ ) × (−µ¯ r/r3 ) = −

µ [(¯ r · r¯)r¯˙ − (¯ r · r¯˙ )¯ r] , r3

hetgeen volgt uit de formule van Lagrange: a × (b × c) = ha, cib − ha, bic . De afgeleide van de afstand r naar de tijd is gelijk aan de projectie van r¯˙ op de richting van r¯19 . We hebben dus r˙ = r¯˙ · r¯/r, hetgeen geeft dat r¯ · r¯˙ = rr˙ . Zodus, d k¯ × r¨¯ = −µ(r¯˙ /r − r¯r/r ˙ 2 ) = (−µ¯ r/r) . dt Het vectorproduct kan ook uitgedrukt worden als d k¯ × r¨¯ = (k¯ × r¯˙ ) , dt aangezien k¯ een constante vector is. Combineren we dit met de vorige vergelijking dan hebben we d ¯ (k × r¯˙ + µ¯ r/r) = 0 dt en k¯ × r¯˙ + µ¯ r/r = const = −µ¯ e. Aangezien k¯ loodrecht staat op het baanvlak, moet k¯ × r¯˙ in dat vlak liggen. Dus is e¯ een lineaire combinatie van twee vectoren in het baanvlak, en ligt dus zelf ook in het baanvlak.

19 Merk op dat v = |r¯˙ | = 6 r˙ = vr , de radiale snelheid. Indien deze redenering (v = r) ˙ wel zou gemaakt worden zou bijvoorbeeld bij een eenparig cirkelvormige beweging van de planeet rond de zon gelden dat r˙ = v 6= 0. Echter neemt de afstand r niet toe bij een eenparig cirkelvormige beweging en heeft dus als afgeleide naar de tijd r˙ = 0 = vr .

41

3. Leid de energie integraal h af. Een andere constante wordt gevonden door r¯˙ · r¨¯ uit te rekenen: r¯˙ · r¨¯ = −µr¯˙ · r¯/r3 = −µrr/r ˙ 3 = −µr/r ˙ 2=

d (µ/r) . dt

Aangezien er ook, wegens de symmetrie-eigenschap van het inproduct, geldt dat   d 1 r¯˙ · r¨¯ = r¯˙ · r¯˙ , dt 2 krijgen we dat d dt



1 µ r¯˙ · r¯˙ − 2 r

 =0

of

1 2 v − µ/r = const = h . 2 Hier staat v voor de snelheid van de planeet ten opzichte van de zon. De constante h wordt de energie integraal genoemd; de totale energie van de planeet wordt gegeven door m2 h. 4. Bewijs dat µ2 (e2 − 1) = 2hk 2 .

We hebben reeds dat k¯ × r¯˙ + µ¯ r/r = const = −µ¯ e, indien we beide leden kwadrateren dan krijgen we r¯ · r¯ µ¯ r . µ2 e2 = (k¯ × r¯˙ ) · (k¯ × r¯˙ ) + µ2 2 + 2(k¯ × r¯˙ ) · r r ¯ r¯˙ | = kv en Aangezien k¯ loodrecht staat op r¯˙ , is de lengte van k¯ × r¯˙ gelijk aan |k|| 2 2 ¯ ¯ (k × r¯˙ ) · (k × r¯˙ ) = k v . Zodus hebben we µ2 e2 = k 2 v 2 + µ2 +

2µ ¯ (k × r¯˙ · r¯) . r

De laatste term bevat een triple product, deze heeft als eigenschap dat de operator voor het inwendig product en die voor het vectorieel product van plaats kunnen gewisseld worden: k¯ · r¯˙ × r¯. Vervolgens veranderen we de volgorde van de laatste twee termen in dit triple product, wegens de anticommutativiteit van het vectorproduct moeten we daardoor het teken veranderen:   2µ ¯ 2µ 2 1 2 µ 2 2 2 2 2 2 2 µ (e − 1) = k v − (k · r¯ × r¯˙ ) = k v − k = 2k v − = 2k 2 h . r r 2 r 5. Bewijs dat de baan een kegelsnede is, en leid de vergelijking af. Om de geometrische vorm van de baan te vinden, leiden we de vergelijking van de baan af. Aangezien e¯ een constante vector is in het baanvlak, kiezen we het als 42

referentierichting. We noteren de hoek tussen de straalvector r¯ en e¯ door f . De hoek f wordt de ware anomalie (letterlijk afwijking) genoemd. Gebruik makend van de eigenschappen van het scalair product krijgen we r¯ · e¯ = re cos f . Maar dit scalair product kan ook ge¨evalueerd worden gebruik makend van de definitie van e¯: 1 r¯ · e¯ = − (¯ r · k¯ × r¯˙ + µ¯ r · r¯/r) µ 1 = − (k¯ · r¯˙ × r¯ + µr) µ 1 = − (−k 2 + µr) µ =

k2 −r. µ

Stellen we de twee uitdrukkingen gekregen voor r¯ · e¯ aan elkaar gelijk dan krijgen we r=

k 2 /µ . 1 + e cos f

Dit is de algemene vergelijking voor een kegelsnede in poolco¨ordinaten. De grootte van e¯ geeft ons de excentriciteit van de kegelvorm: e=0 0<e<1 e=1 e>1

43

cirkel , ellips , parabool , hyperbool .

De eerste wet van Kepler zegt dat de baan van een planeet rond de zon een ellips is, waarvan de zon in ´e´en van de twee brandpunten ligt. De algemene vergelijking van een kegelsnede in poolco¨ordinaten wordt gegeven door r=

p , 1 + e cos θ

waarbij e de excentriciteit en p de parameter van de kegelsnede is. We zien dat in ons geval de excentriciteit gewoon de grootte van de vector e¯ is. De parameter is p = k 2 /µ. Maar een eigenschap van kegelsnedes zegt dat de parameter steeds gelijk is aan a|1 − e2 |, wat de lengte van de halve lange as geeft indien k en e gekend zijn: k 2 /µ a= . |1 − e2 | Gebruik makend van µ2 (e2 − 1) = 2hk 2 krijgen we een belangrijke relatie tussen de grootte van de baan en de energie integraal h:  −µ/2h , als de baan een ellips is , a= µ/2h , als de baan een hyperbool is .

6. Geef de 6 baanelementen, en maak een behoorlijke tekening. De tijd van het perihelium τ is de tijd wanneer de planeet het perihelium passeert. Het perihelium is het punt op de baan van een planeet of ander object dat in een baan om de zon draait, dat het dichtst bij de zon gelegen is. Objecten met een elliptische baan hebben ook nog een aphelium, waar de baan de grootste afstand tot de zon bereikt. Het perihelium is ook de plaats waar de vector e¯ naartoe wijst. De inclinatie i geeft de helling van het baanvlak weer ten op zichte van een referentievlak. Voor lichamen in het zonnestelsel is dit referentievlak gewoonlijk de ecliptica. Voor objecten die zich tegen de klok in voortbewegen ligt de inclinatie in het interval [0◦ , 90◦ ], voor objecten die zich met de klok mee voort bewegen ligt de inclinatie in het interval ]90◦ , 180◦ ]. De lengte van de klimmende knoop Ω duidt de plaats aan waar het object de eplicta doorkruist van zuid naar noord. Het wordt tegen de klok in gemeten vanaf het lentepunt. Het argument van het perihelium ω geeft de richting weer van het perihelium, en wordt gemeten vanaf de klimmende knoop volgens de bewegingsrichting. De 6 baanelementen zijn: – de helft van de lengte van de lange as a, – de excentriciteit e, – de inclinatie i, 44

– de lengte van de klimmende knoop Ω, – het argument van het perihelium ω, – de tijd van het perihelium τ .

7. Bewijs de 2de en 3de wet van Kepler. De straalvector van een planeet in poolco¨ordinaten is simpelweg r¯ = rˆ er , waarbij eˆr een eenheidsvector is parallel met r¯. Indien de planeet met een hoeksnelheid f˙ beweegt, dan verandert de richting van deze eenheidsvector met eenzelfde snelheid. Via een overgang van pool- naar cartesische co¨ordinaten kan men vaststellen dat eˆ˙ r = f˙eˆf , waarbij eˆf een eenheidsvector is loodrecht op eˆr .

45

De snelheid van de planeet bedraagt r¯˙ = rˆ ˙ er + reˆ˙ r . Het impulsmoment k¯ is nu k¯ = r¯ × r¯˙ = r2 f˙eˆz , waarbij eˆz een eenheidsvector is loodrecht op het baanvlak. De grootte van k¯ bedraagt k = r2 f˙ . De oppervlaktesnelheid van een planeet betekent de oppervlakte doorkruist door de straalvector per eenheid van tijd. Dit is duidelijk de afgeleide naar de tijd van een bepaalde oppervlakte, dus laten we het A˙ noemen. In een infinitesimale tijd dt doorkruist de planeet een driehoek met basis r en hoogte r df , bijgevolg hebben we 1 dA = r2 df , 2 delen we deze vergelijking door dt dan krijgen we 1 A˙ = r2 f˙ . 2 Vergelijken we dit met de lengte van k¯ dan vinden we dat 1 A˙ = k . 2 Aangezien k constant is, is de oppervlaktesnelheid dit ook. Hieruit volgt de tweede wet van Kepler: De straalvector van een planeet doorkruist dezelfde oppervlakte in dezelfde tijd.

46

Aangezien de afstand van de zon tot een planeet vari¨eert, moet de baansnelheid dus ook varie¨eren. Uit de tweede wet van Kepler volgt dat een planeet het snelst beweegt wanneer die zich het dichst bij de zon bevindt (nabij het perihelium). De beweging gaat het traagst wanneer de planeet zich het verst van de zon bevindt bij het aphelium. We kunnen de gevonden vergelijking voor A˙ herschrijven als 1 dA = k dt , 2 en we integreren dit over de hele periode: Z Z P 1 dt , dA = k 2 0 baanellips waarbij P de baanperiode bedraagt. Aangezien de oppervlakte van een ellips gegeven wordt door √ πab = πa2 1 − e2 , waarbij a en b respectievelijk de halve lange as en de halve korte as zijn en e de excentriciteit, krijgen we √ 1 πa2 1 − e2 = kP . 2 Om de grootte van k¯ te vinden substitueren we de energie integraal h als functie van de halve grote as voor een ellips (h = µ/(2a)) in de vergelijking µ2 (e2 − 1) = 2hk 2 , we vinden dat p p k = µa(e2 − 1) = G(m1 + m2 )a(1 − e2 ) . Substitueren we dit in de vorige vergelijking dan vinden we P2 =

4π 2 a3 . G(m1 + m2 )

Dit is de exacte vorm van de derde wet van Kepler zoals afgeleid uit de wetten van Newton. De originele vorm van de wet was: de verhouding van de derde machten van de lengtes van de halve as van de banen van twee planeten is gelijk aan de verhouding van de kwadraten van hun baanperiodes. In deze vorm is de wet echter niet exact geldig, zelfs niet voor planeten van het zonnestelsel, sinds hun eigen massa ook de periode be¨ınvloedt. De fouten die kunnen ontstaan door dit te negeren zijn echter zeer klein.

47

Type II Definieer ware anomalie en excentrische anomalie. Maak een behoorlijke tekening, en leid de vergelijking van Kepler af. We kunnen nog steeds niet de locatie van een planeet op diens baan vinden gegeven een bepaald tijdstip. De variabele in de vergelijking voor de baan is een hoek, de ware anomalie f , gemeten vanaf het perihelium. Uit de tweede wet van Kepler volgt dat f niet met een constante snelheid kan toenemen. Daarom hebben we enige voorbereiding nodig voor we de straalvector gegeven een bepaald tijdstip kunnen vinden. De straalvector kan worden uitgedrukt door r¯ = a(cos E − e)ˆi + b sin E ˆj , waarbij ˆi en ˆj eenheidsvectoren zijn parrallel met respectievelijk de grote en de kleine as. Hier vinden we de factor bij ˆi uit de figuur, de factor bij ˆj vinden we vervolgens uit de vergelijking van een ellips: x2 y 2 + 2 = 1, a2 b hier is x = ae + a(cos E − e) = a cos E en y is de gezochte factor bij ˆj. De hoek E is de excentrische anomalie. Vele formules van elliptische bewegingen worden zeer eenvoudig indien ofwel de tijd ofwel de ware anomalie vervangen wordt door de excentrische anomalie. Als voorbeeld nemen we het kwadraat van de vergelijking voor r¯ om de afstand tot de zon te vinden: r2 = r¯ · r¯ = a2 (cos E − e)2 + b2 sin2 E = a2 [(cos E − e)2 + (1 − e2 )(1 − cos2 E)] = a2 [cos2 E − 2e cos E + e2 + 1 − cos2 E − e2 + e2 cos2 E)] = a2 [1 − 2e cos E + e2 cos2 E] = a2 (1 − e cos E)2 , waaruit r = a(1 − cos E) . Ons volgend probleem is om E te berekenen bij een gegeven tijdstip. Volgens de tweede wet van Kepler is de oppervlaktesnelheid constant. Aangezien de oppervlakte van een ellips gelijk is aan πab is de oppervlakte van het donkere fragment in de figuur dus gelijk aan t−τ A = πab , P 48

waarbij t−τ gelijk is aan de verstreken tijd sinds het perihelium en P de baanperiode. Maar een wiskundige eigenschap zegt dat de oppervlakte van een deel van de ellips verkregen wordt door de oppervlakte van het overeenkomstig deel van de omschreven cirkel te reduceren met een axiale verhouding van b/a. (Zoals de wiskundigen zeggen is een ellips een affiene transformatie van een cirkel, het zal dan althans ik niet zijn die dat heel de dagen loop te verkondigen, ik heb andere dingen te doen met m’n leven.) Zodus is de oppervlakte van SP X A =

b (oppervlakte van SP 0 X) a

b (oppervlakte van de sector CP 0 X − oppervlakte van de driehoek CP 0 S) a   b 1 1 = a · aE − ae · a sin E a 2 2 =

=

1 ab(E − e sin E) . 2

Door deze laatste twee uitdrukking voor A aan elkaar gelijk te stellen, krijgen we de beroemde vergelijking van Kepler , E − e sin E = M , waarbij 2π (t − τ ) P de middelbare anomalie is van een planeet gegeven een tijdstip t. De middelbare anomalie stijgt met een constant tempo in de tijd. Het duidt aan waar de planeet zich zou bevinden indien het zich zou voortbewegen volgens een cirkel met straal a. Voor circulaire banen zijn de drie anomalie¨en f , E en M steeds gelijk. M=

Type III Schets het beperkt drielichamenvraagstuk, en duid de 5 Lagrangepunten aan. Wat is hun betekenis? De 5 Langrangepunten zijn punten in het drielichamenvraagstuk waar het derde object in rust kan blijven ten op zichte van de eerste twee objecten. Drie van deze punten bevinden zich op een rechte lijn die bepaald wordt door de eerste twee objecten. Deze 49

drie punten zijn onstabiel: indien een object in ´e´en van deze punten verstoord wordt dan zal het aan het systeem ontsnappen. De twee andere punten zijn wel stabiel, en vormen samen met de twee eerste lichamen gelijkzijdige driehoeken.

50

Vragen Hoofdstuk 7 Type I Leid de getijdenvergelijking van Laplace af. Gravitationele verschillen die door de maan en de zon op verschillende plaatsen aan het oppervlak van de aarde veroorzaakt worden, leiden tot getijden. Gravitatie is het grootst bij de geografische positie van de aarde waar de maan in het zenit staat en het kleinst aan de tegenovergestelde kant van de aarde. Op deze eerste positie staat het zeeoppervlak het hoogst (hoogtij, vloed ). Ongeveer 6 h na vloed, staat het oppervlak het laagst (laagtij, eb). Het getij dat veroorzaakt wordt door de zon is minder dan de helft dan dat van de maan. Als de maan precies tussen de aarde en de zon staat (nieuwe maan) dan bereikt dit getij een maximum, dit wordt springtij genoemd. Laat het lichaam dat het getij veroorzaakt, met een massa M , zich bevinden op een positie Q op een afstand d van het midden van de aarde. De potentiaal V op een punt A veroorzaakt door het lichaam Q wordt gegeven door V (A) =

GM , s

waarbij s gelijk is aan de afstand van het punt A tot het lichaam Q. Passen we de cosinusregel toe in de driehoek OAQ, dan kan de afstand s uitgedrukt worden ˆ in termen van de andere zijden van de driehoek en de hoek z = AOQ s2 = d2 + r2 − 2dr cos z , Waarbij r gelijk is aan de afstand van het punt A tot het centrum van de aarde. Substitueren we dit in de eerste vergelijking dan krijgen we V (A) = √

GM . d2 + r2 − 2dr cos z

Wanneer de noemer wordt uitgedrukt met een Taylorreeks 1 1 3 (1 + x)− 2 ≈ 1 − x + x2 − ... 2 8

waarbij x=

r r2 − 2 cos z 2 d d

51

en we alle termen met een orde groter dan of gelijk aan 4 bij de term met factor d−1 negeren, dan hebben we  − 12 r2 r 1 + 2 − 2 cos z d d   GM 1 r2 r 3 r2 2 = 1− + cos z + cos z d 2 d2 d 2 d2

GM V (A) = d

=

GM GM GM r2 1 + 2 r cos z + (3 cos2 z − 1) . d d d3 2

Indien men van V (A) de gradi¨ent zou nemen zou men een krachtvector per eenheid van massa krijgen. Hierbij zou de eerste term verdwijnen en de tweede term een constante onafhankelijk van r geven. De derde term is dus de voornaamste term bij de getijdenkracht. Zoals men kan zien is deze term omgekeerd evenredig met d tot de derde macht. De getijdenkrachten nemen dus zeer snel af wanneer de afstand tot een lichaam toeneemt, wat verklaart waarom de getijdenkracht veroorzaakt door de zon minder dan de helft is dan die veroorzaakt door de maan, ondanks de veel grotere massa van de zon. We kunnen de derde term schrijven als 

1 V2 = 2D cos z − 3 2

 ,

waarbij 3 r2 D = GM 3 4 d De getijdeconstante van Doodson wordt genoemd. Diens waarde voor de maan bedraagt 2.628 m2 s−2 en voor de zon 1.208 m2 s−2 . Er kan benaderd worden dat z de zenithoek20 is van het lichaam. Via de transformatieformules uit hoofdstuk 2 (met a = 90◦ − z) kan de zenithoek z uitgedrukt worden in termen van de uurhoek h, de declinatie δ van het lichaam en de breedtegraad φ van de waarnemer cos z = cos h cos δ cos φ + sin δ sin φ . Substitueren we dit in de vergelijking voor V2 dan krijgen we na een lange algebra¨ısche bewerking dat    1 2 2 2 2 V2 = D cos φ cos δ cos 2h + sin 2φ cos 2δ cos h + (3 sin φ − 1) sin δ − 3 = D(S + T + Z) . Deze vergelijking is de traditionele basisvergelijking van het getijdenpotentiaal, de getijdenvergelijking van Laplace. 20

De zenithoek is de hoek tussen het punt onmiddelijk boven de waarnemer en het centrum van het lichaam.

52

Albedo theorie: De planeten en alle andere lichamen in het zonnestelsel reflecteren enkel het zonlicht (we kunnen hier de straling van warmte- en radiogolven verwaarlozen en ons hoofdzakelijk op visuele golflengtes concentreren). De helderheid van een lichaam hangt af van diens afstand tot de zon en de aarde, en de albedo van het oppervlak. De term albedo definieert het vermogen van een lichaam om licht te reflecteren. 1. Bond albedo A Indien de lichtkracht van de zon L bedraagt, wordt de vermogensdichtheid op een afstand r gegeven door L F = . 4πr2 Indien de straal van de planeet R is, dan bedraagt de oppervlakte van diens doorsnede πR2 , en het totale vermogen dat invalt op dit oppervlak bedraagt Lin = πR2

L L R2 = . 4πr2 4r2

Enkel een deel van dit vermogen wordt teruggereflecteerd. Het andere deel wordt geabsorbeerd en geconverteerd in warmtestraling wat vervolgens uitgezonden wordt als warmte-emissie van de planeet. De Bond albedo A (of sferische albedo) wordt gedefinieerd als de verhouding van het uittredend vermogen tot het intredend vermogen (0 ≤ A ≤ 1). Het vermogen gereflecteerd door de planeet is dus Lout = ALin =

53

AL R2 . 4r2

2. Fase functie φ(α) De planeet wordt geobserveerd op een afstand ∆. Indien de straling isotroop wordt gereflecteerd, dan zou de waargenomen vermogensdichtheid gelijk moeten zijn aan F =

Lout . 4π∆2

In werkelijkheid wordt de straling echter anisotroop gereflecteerd, dus wel afhankelijk van de richting. Indien we veronderstellen dat het reflecterend object een homogene sfeer is, dan hangt de distributie van de gereflecteerde straling enkel af van de fasehoek α. Zodus kunnen we de vermogensdichtheid op een afstand ∆ uitdrukken als Lout F = CΦ(α) . 4π∆2 De functie Φ is afhankelijk van de fasehoek en wordt de fasefunctie genoemd. De functie wordt genormaliseerd zodanig dat Φ(α = 0◦ ) = 1. 3. Fase integraal Aangezien alle straling dat gereflecteerd wordt door de planeet ergens op het oppervlak van de sfeer met straal ∆ wordt teruggevonden, moet er gelden dat Z Lout dS = Lout CΦ(α) 4π∆2 S of

Z C Φ(α) dS = 1 , 4π∆2 S waarbij de integratie gedaan wordt over de hele oppervlakte van de sfeer. Een oppervlakte-element in bolco¨ordinaten van zo’n sfeer is dS = ∆2 dα sin α dφ, en we hebben dat Z Z π Z 2π 2 Φ(α) dS = ∆ Φ(α) sin(α) dα dφ S

α=0

Z

2

= ∆ 2π

φ=0 π

Φ(α) sin(α) dα . 0

De normalisatieconstante C is 4π∆2 2 = Rπ . Φ(α) dS Φ(α) sin α dα S 0

C=R De grootheid

π

Z q=2

Φ(α) sin α dα 0

is de fase integraal . In termen van de fase integraal is de normalisatieconstante C= 54

4 . q

4. Geometrisch albedo p Wegens Lout = ALin kunnen we de vergelijking F = CΦ(α)

Lout 4π∆2

schrijven als 1 CA Φ(α) 2 Lin . 4π ∆ De eerste factor is kenmerkend voor ieder object, de tweede geeft de afhankelijkheid van de fasehoek weer, de derde de afhankelijkheid van de afstand en de vierde het intredend vermogen. De eerste factor wordt vaak genoteerd met F =

Γ=

CA . 4π

Indien we dit in termen van de fase integraal oplossen naar A dan krijgen we A=

4πΓ 4 = πΓ = πΓq = pq . C C

Hier wordt p = πΓ de geometrische albedo genoemd, q is de reeds ge¨ıntroduceerde fase integraal. Deze grootheden staan in relatie via A = pq . 5. Het speciaal geval van een Lambertiaanse straler en aansluitend de fysische interpretatie van p. De geometrische albedo komt precies over als een willekeurige factor zonder enige fysische interpretatie. We zullen nu deze grootheid proberen te verklaren gebruik makend van een Lambertoppervlak. Een Lambertoppervlak is gedefinieerd als een absoluut wit, diffuus21 oppervlak dat alle straling reflecteert, met dus een Bond albedo van A = 1. Daarenboven is de oppervlaktehelderheid (intensiteit) van een Lambertoppervlak gelijk voor alle kijkrichtingen, wat betekent dat de fasefunctie22 gelijk is aan  cos(α) , als 0 ≤ α ≤ π/2 , Φ(α) = 0 anders . In de werkelijkheid bestaat zo’n oppervlak echter niet maar er zijn enkele materialen die zich bijna gelijkaardig gedragen als een Lambertoppervlak. Een matte witte muur is bijvoorbeeld een zeer goede benadering; hoewel het niet alle intredende straling reflecteerd is de lichtdistributie van het gereflecteerd licht ongeveer goed, en diens helderheid lijkt hetzelfde in alle richtingen. 21

Bij diffuse reflectie wordt een intredende lichtstraal onder vele hoeken gereflecteerd in tegenstelling tot onder juist ´e´en hoek. 22 Voor meer informatie over de verklaring van deze factor cos(α) zie de website http://graphics. wikia.com/wiki/Lambert’s_cosine_law.

55

Voor een Lambertoppervlak is de constante C C = Rπ 0

= Rπ 0

2 Φ(α) sin α dα 2 cos α sin α dα

= Rπ

2

sin 2α 2 0

=

dα

2 1/2

= 4. Dus de geometrische albedo van een Lambertoppervlak is p = πΓ =

4×1 CA = = 1. 4 4

Bij een fasehoek van nul graden is Φ(α = 0◦ ) = 1 en de gereflecteerde vermogensdichtheid is CA 1 F = Lin . 4π ∆2 Indien we het object veranderen door een Lambertoppervlak van dezelfde grootte, krijgen we 4 1 Lin . FL = 4π ∆2 De verhouding van deze vermogensdichtheden is F CA = = πΓ = p . FL 4 We hebben dus een fysische interpretatie gekregen voor p: de geometrische albedo is de verhouding van de vermogensdichtheden bij een fasehoek α = 0◦ gereflecteerd door een planeet en een Lambertoppervlak met dezelfde doorsnede.

Type II Leid een uitdrukking af voor druk en dichtheid van een atmosfeer als functie van de hoogte. Met uitzondering van Mercurius, hebben alle hoofdplaneten een atmosfeer. De compositie, dikte, dichtheid en structuur van een atmosfeer verschillen van planeet tot planeet, maar er kunnen een aantal algemene kenmerken worden gevonden.

56

Laten we eerst de afhankelijkheid van de druk P en de dichtheid ρ van de hoogte h bepalen. Laat ons een cilinder met een lengte dh beschouwen. De verandering in druk dP van de hoogte h naar h + dh staat in verhouding met de massa van het gas in de cilinder: dP = −gρ dh , waarbij g de valversnelling is. Deze vergelijking is de hydrostatische evenwichtsvergelijking. Voor een eerste benadering kunnen we veronderstellen dat g onafhankelijk is van de hoogte. In het geval van de aarde is de foutmarge ongeveer maar 3% indien g als constant wordt beschouwd van het aardoppervlak tot een hoogte van 100 km. De ideale gaswet beschrijft het gedrag van ideale gassen onder invloed van druk, volume, temperatuur en aantal deeltjes. De wet zegt P V = N kT dit geeft een uitdrukking voor de druk P P =

ρkT , µ

waarbij N het aantal atomen of moleculen is, k de constante van Boltzmann (precies veel nodig, chance dat we die mens hadden), µ de massa van ´e´en atoom of molecule en ρ=

µN . V

Door gebruik te maken van de hydrostatische evenwichtsvergelijking en de vergelijking voor P krijgen we dP µ = −g dh . P kT Integratie geeft P in functie van de hoogte:  Z h  µg P = P0 exp − dh 0 kT  Z h  dh = P0 exp − . H 0 De variabele H, die lengte als dimensie heeft, wordt de schaalhoogte genoemd: H=

kT . µg

H is een functie van de hoogte, maar we kunnen hier veronderstellen dat die constant is. Dus de schaalhoogte definieert de hoogte waar de druk met een factor e is afgenomen. Met deze benadering krijgen we h P − = ln H P0 57

of gebruik makend van de uitdrukking voor P die we vonden via de ideale gaswet, ρT (h) = e−h/H . ρ0 T0 Geef een uitdrukking voor de oppervlaktetemperatuur van een planeet als een functie van de afstand tot de zon. Warmestraling van hemellichamen in ons zonnestelsel hangt af van de albedo en de afstand tot de zon, of dus van de hoeveelheid geabsorbeerde straling. Interne warmte is belangrijk bij Jupiler en Saturnus, maar we kunnen het voorlopig verwaarlozen. Door de wet van Stefan-Boltzmann (zie eerder), kan het vermogen aan het oppervlak van de zon geschreven worden als 2 L = 4πR σT 4 . Met R de straal van de zon en T de temperatuur. Indien de Bond albedo van het lichaam gelijk is aan A, dan geldt Labs = Lin − Lout = Lin − ALin = (1 − A)Lin . Met Labs het geabsorbeerde vermogen. De fractie straling dat door de planeet wordt geabsorbeerd is dus gelijk aan (1 - A). Dit wordt later terug uitgezonden onder de vorm van warmte. Indien het lichaam zich op een afstand r van de zon bevindt, is het geabsorbeerde vermogen gelijk aan Labs =

2 R σT 4 πR2 (1 − A) , r2

met R de straal van het lichaam (zie eerder voor de formule voor Lin ). Er zijn een aantal goede redenen waarom we kunnen aannemen dat het lichaam zich in een thermisch evenwicht bevindt, d.i. dat de uitgestraalde en geabsorbeerde vermogens gelijk zijn. Indien niet, zou het lichaam opwarmen of afkoelen tot een evenwicht is bereikt. Laat ons eerst veronderstellen dat het lichaam langzaam roteert. De donkere zijde heeft tijd gehad om af te koelen, en de warmtestraling wordt hoofdzakelijk door ´e´en hemisfeer uitgestraald. Het uitgestraald vermogen is wegens Boltzy Lem = 2πR2 σT 4 , waarbij T gelijk is aan de temperatuur van het lichaam en 2πR2 de oppervlakte van ´e´en hemsifeer. Bij een thermisch evenwicht is Labs = Lem of dus 2 4 R T (1 − A) = 2T 4 , 2 r

waaruit  T = T

1−A 2

1/4 

58

R r

1/2 .

Een snel roterend lichaam zendt bij benadering een gelijk vermogen uit vanuit alle delen van diens oppervlak. De uitgestraalde flux is dan Lem = 4πR2 σT 4 en de temperatuur  T = T

1−A 4

1/4 

R r

1/2 .

Hoe is ons zonnestelsel ontstaan, en hoe spoort de vigerende23 theorie met de fysische karakteristieken van de planeten? Kosmogonie is een tak van de astronomie die zich bezighoudt met de oorsprong van het zonnestelsel te bestuderen. De eerste stappen van het vormingsproces van planeten zijn sterk verwant aan die van sterren. De oudste stenen die op aarde gevonden zijn, zijn ongeveer 3.9 × 109 jaar oud; enkele maanen meteorietfragmenten zijn iets ouder. Wanneer alle feiten samen gegooid worden, kan er geschat worden dat de aarde en andere planeten zo’n 4.6 × 109 jaar geleden gevormd werden. Aan de andere kant, is de leeftijd van de melkweg tenminste twee keer zo hoog, dus is de algemene conditie niet drastisch veranderd gedurend de levensduur van het zonnestelsel. Hiervoor bestaat tegenwoordig rechtstreeks bewijs. De zon en zo goed als heel het zonnestelsel zijn gelijktijdig gecondenseerd uit een roterende en krimpende wolk van stof en gas, met een dichtheid van een 10,000-tal atomen of moleculen per cm3 en een temperatuur van 10-50 K. Elementen zwaarder dan helium werden in sterren uit de vorige generaties gevormd. Het instorten van de wolk werd mogelijk veroorzaakt door een schokgolf afkomstig van een nabije supernova explosie. De oorspronkelijke massa van de wolk zou duizenden zonmassa’s geweest moeten zijn om de Jeans massa, de kritieke massa om te wolk te doen instorten (niet te verwarren met de massa van je broek), te overschrijden. Wanneer de wolk krimpt daalt de Jeans massa. Verschillende wolkenfragmenten trokken onafhankelijk van elkaar samen, ´e´en van deze fragmenten werd de zon. 23

Vigerende theorie = in deze tijd geldende theorie.

59

Terwijl de fragmenten verder krompen, botsten er deeltjes in de wolk tegen elkaar. De rotatie van de wolk stond toe dat de deeltjes naar hetzelfde vlak zakten, loodrecht op de rotatie-as, maar verhinderde de deeltjes om naarheen de as te bewegen. Dit verklaart waarom de planetaire banen bijna in hetzelfde vlak liggen. De massa van de nog vormende zon, de protozon, was groter dan de massa van de huidige zon. De vlakke schijf in het eclipticavlak bevatte ongeveer 1/10 van de totale massa. Overigens waren de verafgelegen randen van de wolk nog naar het centrum toe aan het bewegen. De zon was diens impulsmoment aan het verliezen aan het omringende gas door middel van een elektromagnetisch veld. Wanneer de nucleaire reacties begonnen, droeg een sterke zonnewind24 nog meer impulsmoment van de zon met zich mee. Het uiteindelijke resultaat was de huidige, langzaam roterende zon. De kleine deeltjes in de schijf klonterden samen tot grotere brokken door middel van continue onderlinge botsingen, wat uiteindelijk resulteerde in lichamen met het formaat van astero¨ıden/planeto¨ıden, planetesimalen. De zwaartekracht van de brokken trok hen samen, om zo steeds groeiende planeetzaadjes te vormen (plant ze niet in uwen hof). Wanneer deze protoplaneten groot genoeg waren, begonnen ze gas en stof uit de omringende wolk op te nemen. Enkele kleinere brokken gingen in een baan rond deze planeten; deze werden manen. De temperatuurverdeling van de oorspronkelijke wolk verlkaart het verschil in chemische samenstelling van de planeten.

Type III Schets de bijzondere standen van 2 planeten ten opzichte van elkaar. Definieer fasehoek, en bespreek het verloop ervan, kwalitatief, voor binnen- en buitenplaneten. Een binnenplaneet is een planeet die om de zon draait in een baan binnen de baan van de aarde. Dit zijn Mercurius en Venus. Buitenplaneten liggen buiten de baan van de aarde. De hoek zon-planeet-aarde wordt de fasehoek genoemd, vaak genoteerd met de Griekse letter α. De fasehoek kan tussen 0◦ en 180◦ liggen voor Mercurius en Venus. Zo kunnen 24

Een zonnewind is een stroom van geladen deeltjes die ontsnappen aan het oppervlak van de zon.

60

we dus een ”volle Venus”, een ”halve Venus”, en zo verder zien, precies zoals bij de fases van de maan. De fasehoek voor buitenplaneten heeft een beperkter bereik. Voor Mars is de maximumfase 41◦ , voor Jupiler 11◦ en voor Neptunus slechts 2◦ .

Welke soorten jaren onderscheidt men. Verklaar. SIDERISCH JAAR Een siderisch jaar of sterrenjaar is de werkelijke baanperiode van de aarde rond de zon. Na ´e´en siderisch jaar wordt de zon terug op dezelfde positie ten opzichte van de sterren gezien. TROPISCH JAAR Wegens precessie beweegt het lentepunt zo’n 50” langsheen de ecliptica per jaar. Dit betekent dat de zon terugkeert in het lentepunt nog voordat het siderisch jaar ten einde is gelopen. Dit tijdsinterval wordt een tropisch jaar genoemd. ANOMALISTISCH JAAR Een derde definitie is gebaseerd op de passage van de aarde langsheen het perihelium. Planetaire verstoringen veroorzaken een een geleidelijke verandering in de richting van het 61

perihelium van de aarde. Het tijdsinterval tussen twee passages van het perihelium door de aarde wordt een anomalistisch jaar genoemd. Deze is iets langer dan een siderisch jaar. Het duurt ongeveer 21,000 jaar voor het perihelum om 360◦ ten opzichte van het lentepunt te draaien. Welke soorten maanden onderscheidt men. Verklaar. SIDERISCHE MAAND ´ en omloop, een siderische maand , De maan draait tegen de klok in rond de aarde. E´ duurt ongeveer 27.322 dagen. SYNODISCHE MAAND In de praktijk is een synodische maand belangrijker, dit is de duur van de maanfases (bv. van volle maan naar volle maan). Tijdens de loop van ´e´en maand heeft de aarde ongeveer 1/12 van diens baan rond de zon afgelegd. De maan moet dan nog ongeveer 1/12 van diens baan afleggen opdat de configuratie aarde-maan-zon terug hetzelfde zou zijn. Dit duurt ongeveer twee dagen, en dus worden de maanfases elke 29 dagen herhaald. Meer nauwkeurig bedraagt de lengte van een synodische maand 29.531 dagen. DRACONISCHE MAAND OF KNOPENMAAND Het baanvlak van de maan is slechts een vijftal graden geheld ten op zichte van de ecliptica. Echter verandert dit baanvlak geleidelijk met de tijd, vooral vanwege verstoringen die veroorzaakt worden door de aarde en de zon. Deze verstoringen zorgen ervoor dat de knooplijn (de doorsnede van de ecliptica en het baanvlak van de maan) een volledige omloop maakt in 18.6 jaar. We zijn dezelfde periode reeds tegengekomen bij nutatie. Een draconische maand of knopenmaand is de tijd die de maan nodig heeft om van ´e´en stijgende knoop naar de volgende te bewegen. Omdat de knooplijn roteert is een knopenmaand 3 uur korter dan een siderische maand en bedraagt dus 27.212 dagen. ANOMALISTISCHE MAAND De baanperiode van perigeum tot perigeum wordt een anomalistische maand genoemd. Het perigeum is het punt in een baan rond de Aarde dat het dichtst bij het zwaartepunt van de Aarde ligt. Een anomalistische maand is 5.5 uur langer dan een siderische maand, of ongeveer 27.555 dagen. Cyclus van Milankovi De Servische geofysicus Milutin Milankovi´c publiceerde in de jaren 1930 en 1940 zijn theorie over ijstijden. Gedurende de voorbije 2-3 miljoen jaar werden lange ijstijden ongeveer elke 100,000 jaar herhaald. Hij stelde voor dat variaties in de baan van de aarde langdurige periodische klimaatveranderingen veroorzaakten, nu gekend onder de cyclus van Milankovi . Milankovi´c beweerde dat cycli in excentriciteit, richting van het perigeum, helling en precessie resulteren in een 100,000-jarige ijstijdcyclus. 62

Saros De zon en de (stijgende of dalende) knoop van de maan liggen eens om de 346.62 dagen in dezelfde richting. Negentien zo’n periodes (= 6585.75 dagen = 18 jaar 11 dagen) ligt zeer dicht bij de periode van 223 synodische maanden. Dit betekent dat de zon-maan configuratie en dus ook de eclips (zons- of maansverduistering) zich herhalen met eenzelfde tempo als deze periode (ongeveer 18 jaar). Deze periode wordt de Saros periode genoemd en was reeds gekend bij de oude Babyloni¨ers.

63

Vragen Hoofdstuk 8 Type II Schets het Hertzsprung-Russell diagram, en duid hierin aan en benoem de plaatsen waar sterren worden gevonden. De spectraalklasse is een indeling van sterren op basis van de kleur en het spectrum van het uitgestraalde licht. De soorten spectra werden begin 20ste eeuw geclassificeerd volgens de letters van het alfabet, maar later bijgesteld tot de reeks W-O-B-A-F-G-K-M-R-N-S (te onthouden door het ezelsbruggetje Wow! Oh, Be A Fine Girl, Kiss Me Right Now, Sweety!), waarbij de O sterren het heetst (en blauw) zijn, en de M sterren het koelst (en rood).

64

Type III Beschrijf de Harvard spectraalclassificatie, en de Yerkes verfijning hiervan. De spectraalclassificate die voor het moment in gebruik is werd ontwikkeld in het Harvard Observatory in de Verenigde Staten in het begin van de 20ste eeuw. Het werk was begonnen door Henry Draper die in 1872 de eerste foto nam van het spectrum van Vega, de helderste ster in het sterrenbeeld Lier. De Harvard spectraalclassificatie is gebaseerd op lijnen die vooral gevoelig zijn voor de stellaire temperatuur in plaats van voor de gravitatie of lichtkracht. Belangrijke lijnen zijn onder andere de Balmer-lijnen (de spectraallijnen van waterstof, met golflengten die grotendeels in het visuele gebied van het elektromagnetisch spectrum liggen), de lijnen van neutraal helium en de lijnen van ijzer. De hoofdtypes in de Harvard classificatie worden genoteerd met een hoofdletter. Eerst werd dit gedaan met letters volgens het alfabet, maar achteraf merkte men dat ze konden geordend worden volgens de temperatuur. Met de temperatuur dalend van links naar rechts is de sequentie

O

-

B

-

A

-

F

-

G

-

K

-

C M S

-

L

-

T.

Bijkomende notaties zijn Q voor novae25 , P voor planetaire nevels26 , en W voor WolfRayetsterren27 . De klasse C bestaat uit de vroegere types R en N. De klasse C en S representeren parallelle klassen aan de klassen G-M, verschillend in de chemische samenstelling van hun oppervlak. De meeste recente toevoeging zijn de spectraalklassen L en T die de sequentie voorbij M voortzetten, zij representeren bruine dwergen 28 . Er is een welbekend ezelsbruggetje voor het onthouden van de spectraalklassen maar wegens diens chauvinistische toon weigert het boek het om het te geven. (Ikzelf heb het reeds gedaan, leve de opstand!) De voornaamste kenmerken (exclusief de vele tralala in het boek) van de verschillende klassen zijn: O Blauwe sterren met een oppervlaktetemperatuur van 20,000 - 35,000 K. B Blauw-witte sterren met een oppervlaktetemperatuur rond de 15,000 K. 25

Een nova is een ster die plotseling veel helderder wordt en daarna geleidelijk, over een periode van maanden tot vele jaren, tot zijn vroegere helderheid terugkeert. 26 Een planetaire nevel is een uitdijende gasschil in de ruimte geproduceerd door bepaalde types sterren aan het eind van hun leven in de reuzentak van het Hertzsprung-Russelldiagram. Het is een emissienevel. 27 Wolf Rayersterren zijn zware sterren met een massa van meer dan 20 zonmassa’s, die hun massa snel verliezen door een krachtige sterrenewind, die sterrenwind kan een snelheid van wel 2000 km/s bedragen. 28 Bruine dwergen zijn objecten met een massa die kleiner is dan een ster, maar groter dan een gasreus, hetgeen een planeet is die voornamelijk uit gassen bestaat zoals Jupiler en Saturnus in ons zonnestelsel.

65

A Witte sterren met een oppervlaktetemperatuur rond de 9000 K. F Geel-witte sterren met een oppervlaktetemperatuur rond de 7000 K. G Gele sterren zoals de zon met een oppervlaktetemperatuur rond de 5500 K. K Oranje-gele sterren met een oppervlaktetemperatuur rond de 4000 K. M Rode sterren met een oppervlaktetemperatuur rond de 3000 K. L Bruine (eigenlijk donkerrode) sterren met een oppervlaktetemperatuur rond de 2000 K. T Bruine dwergen met een oppervlaktetemperatuur rond de 1000 K. C Koolstofsterren, voorheen R en N. Zeer rode sterren met een oppervlaktetemperatuur rond de 3000 K. S Rode sterren met een lage temperatuur van rond de 3000 K (dus zoals M maar met andere tralala). De Harvard classificatie neemt alleen de effectieve temperatuur op het spectrum in rekening. Voor een meer precieze classificatie moet men ook de lichtkracht van een ster in rekening nemen, aangezien twee verschillende sterren met dezelfde effectieve temperatuur zeer verschillende lichtkrachten kunnen hebben. Een twee-dimensionaal systeem van spectrale classificatie werd ge¨ıntroduceerd door William W. Morgan, Philip C. Keenan en Edith Kellman van het Yerkes observatorium. Dit systeem staat gekend als de MKK of Yerkes classificatie. Hierbij worden zes verschillende klassen onderscheiden volgens de lichtkracht: Ia de superreuzen met de grootste lichtkracht, Ib de supperreuzen met een minder grote lichtkracht, II lichtgevende reuzen, III normale reuzen, IV subreuzen (minder grote lichtkracht dan normale reuzen), V hoofdreekssterren (dwergen). De klasse volgens de lichtkracht wordt bepaald door spectrale lijnen die sterk afhangen van de stellaire oppervlaktegravitatie, hetgeen sterk verwant is met de lichtkracht van de ster.

66

Vragen Hoofdstuk 9 Type III Som op, en beschrijf bondig, de verschillende soorten dubbelsterren. Soms lijkt het alsof twee sterren zich zeer dicht bij elkaar bevinden in de lucht, hoewel ze zich werkelijk op een heel grote afstand van elkaar bevinden. Deze paren worden optische dubbelsterren genoemd. Desondanks zijn er veel paren sterren die dicht bij elkaar gelegen zijn en een fysisch systeem vormen waarbij de sterren in een baan rond elkaar gaan. Minder dan de helft van de sterren zijn enkelvoudige sterren zoals de zon. Meer dan 50 % behoort tot een systeem bestaande uit twee of meer leden. In het algemeen hebben de meervoudige systemen een hi¨erarchische structuur: een ster en een binaire ster in een baan rond elkaar in een drievoudig systeem, twee binaire sterren in een baan rond elkaar in een viervoudig systeem. De meeste meervoudige systemen kunnen dus beschreven worden als binaire systemen op verschillende niveaus. Binaire sterren kunnen bijvoorbeeld geclassificeerd worden volgens hun onderlinge scheiding, of volgens de manier waarop ze ontdekt worden. VISUELE DUBBELSTER Visuele dubbelsterren zijn dubbelsterren die kunnen gezien worden als twee aparte componenten, d.i. dat de scheiding tussen de twee sterren meer dan 0.1 boogseconden bedraagt. De relatieve positie van de sterren ten op zichte van elkaar verandert doorheen de jaren terwijl de sterren volgens hun baan bewegen. FOTOMETRISCHE DUBBELSTER De fotometrische dubbelsterren of eclipserende dubbelsterren zijn binaire systemen waarvan de componenten van het paar regelmatig voorheen elkaar passeren wat resulteert in een verandering in de totale schijnbare magnitude.

SPECTROSCOPISCHE DUBBELSTER Spectroscopische dubbelsterren lijken zelf met de meest krachtige telescopen enkelvoudige sterren te zijn. Ze worden ontdekt op basis van hun spectra. Ofwel zijn er twee 67

sets spectraallijnen te zien, ofwel vari¨eren de waargenomen lijnen periodiek vanwege het Doppler-effect29 , wat een tweede niet-zichtbare partner aantoont. ASTROMETRISCHE DUBBELSTER Bij astrometrische dubbelsterren wordt slechts ´e´en component gezien, maar diens variabele eigenbeweging toont aan dat er nog een tweede, niet-zichtbare, component aanwezig moet zijn. VERAFGELEGEN DUBBELSTER Bij verafgelegen dubbelsterren bedraagt de afstand tussen de twee componenten tientallen tot hondertallen astronomische eenheden en hun baanperiodes vari¨eren van tientallen tot duizendtallen jaren. DICHTE DUBBELSTER Bij dichte dubbelsterren gaat de scheiding tussen de twee componenten van iets van 1 AU tot beneden de straal van de sterren. De baanperiode vari¨eert van een paar uur tot een paar jaar. CONTACT DUBBELSTER Ik quoteer het boek: ”The components of contact binaries are so close that they are touching each other.”

29

Het dopplereffect is de waargenomen verandering van frequentie van geluid, licht of andere golfverschijnselen, door een snelheidsverschil tussen de zender en de ontvanger.

68

Vragen Hoofdstuk 10 Type I Sterstructuur: Sterren zijn gigantische gasferen, honderden tot duizenden tot miljoenen keer zwaarder dan de aarde. Een ster zoals de zon kan nog voor miljarden jaren blijven schijnen. Dit werd aangetoond door studies van de voorgeschiedenis van de aarde, die aantonen dat de energie uitgestraald door de zon niet veel veranderd is gedurende de laatste viermiljard jaar. Het evenwicht van een ster moet stabiel blijven gedurende zo’n periodes. Wiskundig gezien kunnen de condities voor het intern evenwicht van een ster uitgedrukt worden door middel van vier differentiaalvergelijkingen met betrekking tot de massadistributie, de gasdruk en de energieproductie en -transport van de ster. Deze vergelijkingen zullen nu afgeleid worden. 1. Leid de vergelijking af die hydrostatisch evenwicht uitdrukt. De zwaartekracht trekt het stellair materiaal naar de kern toe. Het wordt tegengehouden door de drukkracht ten gevolge van thermische bewegingen van de gasmoleculen. De eerste evenwichstvoorwaarde is dat deze krachten in evenwicht zijn.

Beschouw een cilindrisch volume-element op een afstand r van het centrum van de ster. Deze heeft een volume van dV = dA dr, waarbij dA diens basisoppervlak en dr diens hoogte bedraagt; diens massa is dm = ρ dA dr, waarbij ρ = ρ(r) de gasdensiteit is bij de straal r. Indien de massa binnen de straal r gelijk is aan Mr , dan zal de zwaartekracht op het volume-element gelijk zijn aan dFg = −

GMr dm GMr ρ = − dA dr , r2 r2 69

waarbij G de gravitatieconstante is. Het minteken in deze uitdrukking betekent dat de kracht gericht is naar de kern van de ster. Indien de druk aan het benedenoppervlak van het volume-element gelijk is aan P en op het bovenoppervlak P + dP , dan is de netto drukkracht inwerkend op het element gelijk aan dFp = P dA − (P + dP ) dA = − dP dA . aangezien de druk afneemt naar buiten toe zal dP negatief zijn en de kracht dFp positief. De evenwichtsvoorwaarde zegt dat de totale kracht dat inwerkt op het volume-element gelijk moet zijn aan nul, d.i. 0 = dFg + dFp = −

GMr ρ dA dr − dP dA r2

of

GMr ρ dP =− 2 . dr r Dit is de hydrostatische evenwichtsvergelijking . 2. Leid de vergelijking af die de dichtheid en de massafunctie met elkaar verbinden. De tweede vergelijking geeft de ingesloten massa weer bij een gegeven straal. Beschouw een sferische schil met dikte dr op de afstand r van het centrum. Deze heeft een volume van 4πr2 dr en dus een massa van dMr = 4πr2 ρ dr , wat ons de massacontinu¨ıteitsvergelijking geeft dMr = 4πr2 ρ . dr

70

3. Geef de uitdrukking voor het behoud van energie. De derde evenwichtsvoorwaarde drukt het behoud van energie uit door te stellen dat alle energie geproduceerd door de ster naar het oppervlak toe gedragen moet worden om vervolgens te worden uitgezonden. We beschouwen terug een sferische schil met dikte dr en massa dMr bij een straal r. Zij Lr het energievermogen, d.i. de hoeveelheid energie die doorheen het oppervlak met straal r gaat per tijdseenheid. Indien  de energieproductieco¨effici¨ent bedraagt, d.i. de hoeveelheid energie vrijgegeven door de ster per eenheid van tijd en massa, dan geldt dLr = Lr+dr − Lr =  dMr = 4πr2 ρ dr . Dus de vergelijking van behoud van energie is dLr = 4πr2 ρ . dr De mate waarin energie geproduceerd wordt hangt dus af van het afstand tot het centrum. Vrijwel alle energie dat door de ster wordt uitgestraald wordt geproduceerd in diens hete en dichte kern. In de buitenste lagen is de energieproductie verwaarloosbaar en Lr zo goed als constant.

4. Leid de vergelijking van stralingsoverdracht af: dI/dτ = -I + S, en geef de vorm hiervan die past voor een sferische geometrie.30 De voortplanting van straling in een medium, ook wel stralingstranstransport genoemd, is ´e´en van de basisproblemen van de astrofysica. Het onderwerp is te ingewikkeld om hier in enig detail te bespreken. (Yuuy!) De basisvergelijking voor stralingstransport is echter makkelijk af te leiden. 30

Deze opgave wordt teruggevonden in hoofdstuk 5.

71

Onderstel dat we een kleine cilinder hebben met een bodemoppervlakte dA en een lengte dr. Zij Iν de stralingsintensiteit loodrecht op het bodemoppervlak onder een ruimtehoek dω ([Iν ] = W m−2 Hz−1 sterad−1 ). Indien de intensiteit verandert met een hoeveelheid dIν binnen de afstand dr, verandert de energie met dE = dIν dA dν dω dt in de cilinder binnen een tijd dt. Dit is gelijk aan de absorptie afgetrokken van de emissie van de cilinder. De geabsorbeerde energie bedraagt dEabs = αν dE dr = αν Iν dr dA dν dω dt , hetgeen volgt uit dL = -αν L dr, met αν de opaciteit van het medium bij een frequentie ν (zie eerder). Ok´e nu komt er een hele boterham: zij jν de hoeveelheid uitgestraalde energie per hertz bij een frequentie ν onder een eenheidsruimtehoek vanuit een eenheidsvolume per tijdseenheid *zucht* ([jν ] = W m−3 Hz−1 sterad−1 ). Dit wordt de emissieco¨effici¨ent genoemd van het medium. De energie uitgestraald onder een ruimtehoek dω door de cilinder bedraagt dan dEem = jν dr dA dν dω dt . De vergelijking dE = −dEabs + dEem geeft dan dIν = −αIν dr + jν dr of

dIν jν = −Iν + . αν dr αν We zullen de verhouding van de emissieco¨effici¨ent jν tot de absorptieco¨effici¨ent of opaciteit αν noteren door Sν : jν Sν = . αν Sν wordt de bronfunctie genoemd. Wegens αν dr = dτν , waarbij τν gelijk is aan de optische dichtheid bij een frequentie ν (zie eerder), hebben we dat dIν = −Iν + Sν . dτν Deze vergelijking is de de basisvergelijking voor stralingstransport. Een belangrijke toepassing van deze theorie van stralingstransport vindt men bij de studie naar planetaire en stellaire atmosferen. In dit geval is het een goede benadering dat de eigenschappen van het medium slechts in ´e´en richting veranderen, stel langsheen de z-as. De intensiteit zal dan slechts afhangen van z en θ, waarbij θ de hoek is tussen de z-as en de richting van de voortplanting van de straling.

72

Bij toepassing in de sferische geometrie, bv. bij atmosferen, wordt gewoonlijk de optische diepte τν in de verticale richting gedefini¨eerd als τν = −αν dz . Conventioneel stijgt z opwaarts en de optische diepte neerwaarts in de atmosfeer. Het verticale lijnelement dz staat in relatie tot het element volgens de lichtstraal, dr, via dz = dr cos θ , Met deze conventies geeft de basisvergelijking voor stralingstransport cos θ

dIν (z, θ) = Iν − Sν . dτν

Dit is de vorm van de vergelijking voor stralingstransport die gewoonlijk wordt tegengekomen bij de studie naar stellaire en planetaire atmosferen. 5. Gebruik (4) om de vergelijking voor de temperatuurgradi¨ ent op te stellen in geval van stralingsoverdracht. De vierde evenwichtsvergelijking geeft de temperatuursverandering weer als functie van de straal, d.i. de temperatuurgradi¨ent dT /dr, de vorm van de vergelijking hangt af van de manier waarop de energie getransporteerd wordt: door geleiding, convectie 31 of straling. In het inwendige van normale sterren is geleiding zeer ineffici¨ent, aangezien de elektronen die de energie dragen slechts een kleine afstand kunnen afleggen zonder te botsen tegen andere deeltjes. Geleiding wordt enkel belangrijk in compacte sterren, witte dwergen32 en neutronensterren 33 . Hier is het gemiddeld vrije pad van fotonen zeer kort. Bij normale sterren kan energietransport via geleiding verwaarloosd worden. Bij energietransport worden fotonen die uitgestraald worden door hetere delen van de ster geabsorbeerd in koelere regio’s, die de fotonen dus verwarmen. Er wordt gezegd dat de ster zich in een stralingsevenwicht bevindt wanneer dat de energie vrijgegeven door het inwendige van de ster volledig via straling naar buiten getransporteerd wordt. De temperatuurgradi¨ ent in geval van stralingsoverdracht staat in relatie tot het energievermogen Lr via     dT 3 κρ Lr , = − dr 4ac T3 4πr2 31

Een mechanisme voor warmtestroming door verplaatsing van materie. Sterren die aan het einde van hun levenscyclus zijn gekomen. 33 Een neutronenster is het eindstadium van een ster waarvan de kernmassa voor de implosie tussen 1,4 en 3 maal die van de zon bedraagt, een neutronenster bestaat geheel uit neutronen, doordat tijdens het ineenvallen van de sterkern de elektronen met de protonen versmelten, ´e´en theelepel ’neutronenster’ weegt meer dan 1 miljard ton. 32

73

waarbij a = 4σ/c = 7.564 × 10−16 J m−3 K−4 gelijk is aan de stralingsconstante, c de lichtsnelheid en ρ de dichtheid. De massa-absorptieco¨effici¨ent κ geeft de hoeveelheid absorptie per eenheid van massa weer. Diens waarde hangt af van de temperatuur, dichtheid en chemische samenstelling (er geldt κν = αν /ρ). Om deze formule af te leiden, gebruiken we de vergelijking voor stralingstransport: cos θ

dIν (r, θ) = Iν − Sν . dτν

Via de overgang dτν = -αν dr geeft dit cos θ

dIν = −κν ρIν + jν . dr

In deze vergelijking wordt κν vervangen door een gepaste gemiddelde waarde κ, Iν in het linkerlid kan benaderd worden door de functie van Planck Bν , integreren we dit over alle mogelijke frequenties dan geeft dit Z d (cos θBr ) = −κρIr + jν dν , dr ν We weten dat Br (T ) = AT 4 . We vermenigvuldigen beide leden met cos θ dω en integreren dit over alle mogelijke richtingen:   Z Z Z Z d 4 2 AT cos θ dω = −κρ Ir cos θ dω + jν cos θ dν dω , dr S S S ν Uit hoofdstuk 4 weten we dat de eerste integraal in het rechterlid gelijk is aan Fr . Verder gelden de gelijkheden Z cos θ dω = 0 S

en

Z

cos2 θ dω =

S

4π . 3

Deze eerste integraal werd reeds berekend in hoofdstuk 4, wat betreft de tweede integraal gaat men analoog te werk als voor de eerste integraal door een overgang op sferische co¨ordinaten en voert men de substitutie t = cos θ uit. Aangezien jν niet afhangt van θ is de tweede term in de vergelijking gelijk aan nul. We hebben dus
4π d AT 4 = −κρFr , 3 dr wegens σ = πA valt dit te schrijven als 4π d  ac 3 dr 4π

 T 4 = −κρFr .

Gebruik makend van Fr = 74

Lr 4πr2

en

dT d(T 4 ) d(T 4 ) dT = = 4T 3 dr dT dr dr vinden we de gezochte vergelijking. De afgeleide dT /dr is negatief, aangezien de temperatuur stijgt naar binnen toe. 6. Maak gebruik van de toestandsvergelijking bij adiabatie34 om de temperatuurgradi¨ ent te berekenen in geval van convectief evenwicht. Indien de stralingsoverdracht van energie ineffici¨ent wordt, zal de absolute waarde van de temperatuurgradi¨ent enorm groot worden. In dat geval zullen bewegingen van start gaan in het gas, die de energie meer effici¨ent dan straling naar buiten toe dragen. Bij deze convectieve bewegingen, zal heet gas naar omhoog stijgen in de richting van koelere lagen, waar het diens energie zal verliezen en terug zal zakken. Het stijgen en zakken van gaselementen mengt ook de stellaire materie, en de samenstelling van de convectieve delen wordt homogeen. Straling en conductie aan de andere hand, mengen de materie niet, sinds zij alleen energie verplaatsen en geen gas. Om de temperatuurgradi¨ ent in het convectieve geval te bepalen, beschouw een stijgend gasbel. Veronderstel dat het gas dat zich verplaatst met de bel de toestandsvergelijking bij adiabatie volgt 1

T ∝ P 1− γ , waarbij P de druk van het gas is en γ de adiabatische exponent γ = cP /cV , is de verhouding van de specifieke warmtecapaciteiten35 bij een constante druk (cP ) en bij een constant volume (cV ). Deze verhouding van de soortelijke warmtes hangt af van de ionisatie van het gas, en kan berekend worden wanneer de temperatuur, dichtheid en chemische samenstelling geweten zijn. Nemen we de afgeleide van de toestandsvergelijking bij adiabatie dan krijgen we   1− γ1 1     d P d dP 1 P 1− γ dP dT 1− γ1 ∝ P = = 1− dr dr dP dr γ P dr 1

of dus (met wegdeling van de factor waar T en P 1− γ zich toe verhouden)   dT 1 T dP = 1− , dr γ P dr dit is de vergelijking van de temperatuurgradi¨ent in het geval van convectief evenwicht. 34

Een proces is adiabatisch als er geen warmte met de omgeving wordt uitgewisseld. De specifieke warmtecapaciteit c is gelijk aan de warmtecapaciteit C per eenheid van massa en wordt ook wel de specifieke warmte of soortelijke warmte genoemd. De warmtecapaciteit van een voorwerp is in de thermodynamica het vermogen van dat voorwerp om energie in de vorm van warmte op te slaan. 35

75

7. Hoe kiest men tussen (5) en (6)? Bij praktische berekeningen van de stellaire structuur gebruikt men ´e´en van beide vergelijkingen, afhankelijk van welke vergelijking een minder steile temperatuurgradi¨ent geeft. In de buitenste lagen van de ster moet warmteoverdracht met de omgeving in rekening gebracht worden en is de tweede vergelijking geen goede benadering meer. De convectietheorie is een moeilijk en nog steeds een onvolkomen begrepen onderwerp. De convectiebewegingen gaan van start wanneer de temperatuurgradi¨ent bij stralingsoverdracht groter wordt in absolute waarde dan dan de adiabatische temperatuurgradi¨ent, d.i. als ofwel de stralingsgradi¨ent zeer steil wordt ofwel de convectieve gradi¨ent zeer klein wordt. Uit de vergelijking in het geval van stralingsoverdracht kan men afleiden dat een steile gradi¨ent verwacht wordt als ofwel het energievermogen ofwel de massa-absorptieco¨effici¨ent groot wordt. De convectieve gradi¨ent kan klein worden wanneer de adiabatische exponent naar 1 nadert. Energieproductie in sterren: Bij een zeer hoge temperatuur van rond de 10 miljoen kelvin, zoals in de kern van de zon, kunnen er thermische fusiereacties plaatsvinden. Bij fusiereacties worden lichte elementen omgezet tot zwaardere elementen. De uiteindelijke reactieproducten hebben een lagere totale massa dan de initi¨ele kernen (waar de massa van een element zich vooral bevindt). Dit massaverschil wordt vrijgegeven onder de vorm van energie volgens Einstein’s relatie E = mc2 . Thermonucleaire reacties worden vaak benoemd als verbranding, ook al hebben ze niets te maken met chemische verbranding van gewone brandstoffen. De atomische kern bestaat uit protonen en neutronen, samen benoemd onder de term nucleonen. we defini¨eren mp = massa van een proton, mn = massa van een neutron, Z = kernlading = atoomnummer, N = neutronnummer, A = Z + N = atomisch gewicht, m(Z, N ) = massa van de nucleus. De massa van de nucleus is kleiner dan de som van de massa van al diens nucleonen. Het verschil wordt de bindingsenergie genoemd. De bindingsenergie per nucleon bedraagt Q=

1 (Zmp + N mn − m(Z, N ))c2 . A

Het blijkt dat Q toeneemt naar zwaardere elementen toe tot aan ijzer (Z = 26). Vanaf ijzer begint de bindingsenergie terug te dalen. 76

Isotopen zijn atomen van hetzelfde chemische element, en dus met hetzelfde aantal protonen, waarin het aantal neutronen verschilt. Indien we dus in de volgende reacties een element n X tegenkomen kan via het getal n steeds het aantal neutronen in het isotoop bepaald worden aangezien het aantal protonen voor een vast element steeds hetzelfde is voor de isotopen. Het aantal neutronen in het isotoop is dan gelijk aan n min het vast aantal protonen van een isotoop. Zo is bijvoorbeeld het aantal neutronen in 1 H gelijk aan 1 - 1 = 0, 1 H bestaat dus enkel uit een proton. e+ staat voor een positron. Het is het antideeltje van het elektron e− , met dezelfde massa maar een tegengestelde lading. νe staat voor een elektron-neutrino. Een neutrino is een elektrisch ongeladen subatomair, elementair deeltje. Doordat het neutrino zeer weinig wisselwerking vertoont met materie, gaat het bijna ongehinderd door gewone materie heen. Een blok lood zou een lichtjaar (circa 9,5 biljoen km) dik moeten zijn om de helft van de neutrino’s die erdoorheen gaan tegen te houden. γ staat voor gammastraling (γ-straling), onzichtbare elektromagnetische straling. 1. Geef PPI keten De Proton-Proton keten bestaat drie mogelijke takken, hiervan is de eerste36 tak, of de ppI keten: ppI:

(1)

1

H + 1H H + 1 H + e− (2) 2 H + 1 H (3) 3 He + 3 He 1

−→ −→ −→ −→

2

H + e+ + νe , H + νe , 3 H + γ, 4 He + 2 1 H . 2

Voor elke reactie (3) moeten de reacties (1) en (2) tweemaal plaatsvinden. 2. Geef CNO keten CNO:

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

12

C + 1H 13 N 13 C + 1H 14 N + 1H 15 O 15 N + 1H

−→ −→ −→ −→ −→ −→

13

N + γ, C + e+ + νe , 14 N + γ, 15 O + γ, 15 N + γ + νe , 12 C + 4 He . 13

3. Geef triple alpha reactie triple alpha:

(1) (2)

4

He + 4 He ↔ 8 Be + 4 He −→

36

8

Be , C + γ,

12

De twee volgende takken, ppII en ppIII, zijn slechts mogelijke verdere takken. De eerste tak verloopt standaard.

77

4. Geef een 5-tal voorbeelden van de fusie van zwaardere elementen 1. 2. 3. 4. 5.

20

Ne + 4 He 12 C + 12 C 16 O + 16 O 16 O + 16 O 28 Si + 28 Si

−→ −→ −→ −→ −→

24

Mg + γ , O + 2 4 He , 28 Si + 4 He , 24 Mg + 2 4 He , 56 Ni + γ .

16

5. Bespreek in welke omstandigheden deze reacties zich voordoen en hun waarschijnlijkheid. De pp keten vindt vooral plaats bij sterren met een gelijkaardige massa als de zon of kleiner. De verwachte tijd voor twee protonen om bij een botsing deuterium (2 H) te vormen bedraagt 1010 jaar. Het is dankzij deze traagheid dat de zon nog schijnt, anders zou die al lang opgebrand zijn. De tweede reactie, waarbij deuterium en een proton samen een heliumisotoop 3 He vormen verloopt zeer snel vergeleken met de vorige stap. Vandaar is de overvloed aan deuterium in de ster zeer klein. De laatste stap van de keten kan drie verschillende vormen aannemen. Hier is de waarschijnlijkste gegeven. In de zon wordt 91 % van de energie geproduceerd door de ppI keten. Bij een temperatuur onder de 20 miljoen graden is de pp keten de belangrijkste methode voor energieproductie van sterren. Bij hogere temperaturen die overeenkomen met sterren met een massa boven 1.5M , wordt de koolstof keten (CNO) keten dominant, omdat diens reactiensnelheid stijgt met de temperatuur. De vierde reactie in de keten is de traagste en bepaalt dus de snelheid van de CNO keten. Bij een temperatuur van 20 miljoen graden bedraagt de reactiesnelheid van de vierde stap een miljoen jaar. De fractie vrijgekomen energie bij de CNO keten ligt iets lager dan bij de pp keten, aangezien er meer energie wordt weggedragen door neutrino’s. Als gevolg van de vorige reacties stapelt het overschat aan helium in de interne ster op37 . Bij een temperatuur boven de 108 graden kan het helium omgezet worden in koolstof via de triple alpha reactie. Hier is 8 Be zeer onstabiel en vervalt zeer vlug in twee helium kernen (alfadeeltjes) in 2.6 × 10−16 seconden. De productie van koolstof vereist dus zo goed als de gelijktijdige botsing van drie deeltjes. Deze reactie wordt vaak genoteerd als 3 4 He −→

12

C + γ.

Type II Leid de uitdrukkingen af voor (1) druk in het geval van een ideaal gas en (2) druk ten gevolge van straling. Laat ons niet-enteractieve deeltjes beschouwen in een rechthoekige doos. De deeltjes mogen ook fotonen zijn. Zij de zijdes van de doos gelijk aan ∆x, ∆y en ∆z, en het aantal 37

Ook na ppII en ppIII duikt He in het rechterlid op.

78

deeltjes gelijk aan N . De druk wordt veroorzaakt door het botsen van de deeltjes tegen de wand van de doos. Wanneer een deeltje tegen de wand loodrecht op de x-as botst, zal diens impuls (¯ p = m¯ v ) in de x-richting, px , veranderen met ∆p = 2px 38 . Het deeltje zal naar dezelfde wand terugkeren na een tijd ∆t = 2∆x/vx . Dus de druk door deze deeltjes uitgeoefend op de wand (met een oppervlakte van A = ∆y∆z) bedraagt P P F ∆p/∆t px v x N hpx vx i P = = = = , A A ∆x∆y∆z V waarbij V = ∆x∆y∆z het volume is van de doos en de driehoekige haakjes staan voor de gemiddelde waarde: 1 X px vx . hpx vx i = N De impuls is px = mvx (voor fotonen stelt men m = hν/c2 )39 , en dus P =

N mhvx2 i . V

Veronderstel dat de snelheid van de deeltjes isotroop verdeeld is. Dan is hvx2 i = hvy2 i = hvz2 i, en dus hv 2 i = hvx2 i + hvy2 i + hvz2 i = 3hvx2 i en

N mhv 2 i . 3V Indien de deeltjes gasmoleculen zijn, dan bedraagt de energie van een molecule  = 12 mv 2 . De totale energie van het gas is dan E = N hi = 12 N mhv 2 i, en dus kan de druk geschreven worden als 2E P = (gas) . 3V Indien de deeltjes fotonen zijn, verplaatsen ze zich met de lichtsnelheid en hun energie bedraagt  = mc2 . De totale energie van een fotongas is dus E = N hi = N mhc2 i en de druk is 1E P = (straling) . 3V P =

Bekijken we het geval van een zwarte straler, dan weten we uit hoofdstuk 4 dat er voor de energiedichtheid u geldt dat 4π u= I, c en dat F = πI, wegens F = σT 4 (hoofdstuk 5) geldt E 4π 4 4 =u= I = F = σT 4 ≡ aT 4 , V c c c 38

De waarde van de snelheid verandert niet bij het botsen, de vector v¯x verandert echter van zin. Men kent immers de impuls p = hν/c aan fotonen toe, bijgevolg geldt voor fotonen dat mv = mc = (hν/c2 )c = hν/c = p. 39

79

waarbij a = 4σ/c gelijk is aan de stralingsconstante. De stralingsdruk bedraagt dus Prad = aT 4 /3 .

Geef een uitdrukking voor de gedegenereerde elektronendruk. Maak hierbij gebruik van P = (2/3)(E/V), met P de druk, E de energie en V het volume. Beschouw het nietrelativistische geval en het relativistische geval. De algemene gaswet, ook wel ideale gaswet of wet van Boyle en Gay-Lussac genoemd, beschrijft het gedrag van ideale gassen onder invloed van druk, volume, temperatuur en aantal deeltjes. De wet luidt: P V = nRT , met P de druk in Pa (n/m2 ), V het volume in m3 , n de hoeveelheid gas in mol, R de gasconstante (= 8.314472 J K−1 mol1 ) en T de temperatuur in kelvin. Een ideaal gas heeft de volgende eigenschappen: • Het eigen volume van de moleculen is verwaarloosbaar ten opzichte van de ruimte tussen de moleculen. • De onderlinge aantrekkingskrachten tussen de moleculen zijn verwaarloosbaar bij de gewenste meetnauwkeurigheid. De potenti¨ele energie is dus ook verwaarloosbaar. • Moleculen botsen volkomen elastisch, dat wil zeggen zonder netto verlies van kinetische energie. Energie-overdracht van het ene op het andere molecuul is wel mogelijk. • Het blijft steeds in zijn gastoestand, ook al verandert de temperatuur of de druk. Uit de statistische mechanica blijkt echter ook dat geldt dat P V = N kT , waarbij k de constante van Boltzmann is en N het aantal deeltjes in het gas. Dit impliceert dat N k = nR. We hebben reeds afgeleid dat P =

N mhv 2 i , 3V

bijgevolg geldt dat mhv 2 i , 3k of dus de kinetische gaswet zoals eerder gegeven. T =

Wegens de hoge temperatuur van het gas in sterren is het gas bijna volledig ge¨ıoniseerd. De interactie tussen de individuele deeltjes is klein, zodat met een goede benadering het 80

gas de ideale gaswet volgt. Zij mH de moleculaire massa van een waterstofatoom, en µ het gemiddeld moleculair gewicht van een gasdeeltje per eenheid van mH 40 , dan geldt er N=

m , µmH

met m de massa van het gas. Wegen ρ = m/V vinden we dat de algemene gaswet geschreven kan worden als P =

1 m k kT = ρT . V µmH µmH

Het gemiddeld moleculair gewicht kan bij benadering berekend worden indien men een complete ionisatie veronderstelt. Een atoom met een kernlading Z produceert dan Z + 1 vrije deeltjes bij ionisatie (de nucleus en Z elektronen). Waterstof geeft aanleiding tot twee deeltjes per atomische massaeenheid. Helium geeft aanleiding tot drie deeltjes per vier41 atomische massaeenheden. Voor alle elementen zwaarden dan waterstof en helium volstaat het meestal om Z + 142 als de helft van het atomisch gewicht te nemen. (Exacte waarden zouden eenvoudig berekend kunnen worden, maar de overvloed aan zwaardere elementen is zo klein dat dit meestal niet nodig is.) In de astrofysica wordt de relatieve massa van waterstof genoteerd met X, die van helium met Y en die van alle zwaardere elementen met Z, zodat X + Y + Z = 1. (De Z in deze vergelijken mag niet verward worden met de nucleaire lading, wat helaas met dezelfde letter genoteerd wordt. Pak dan A, B en C eh mottigaards.) Dus het gemiddelde moleculaire gewicht zal gelijk zijn aan µ=

1 2X +

3 Y 4

+ 12 Z

.

Bij hoge temperaturen moet de stralingsdruk aan de gasdruk worden toegevoegd om de ideale gaswet te beschrijven. De druk die uitgeoefend wordt door de straling bedraagt 1 Prad = aT 4 , 3 waarbij a gelijk is aan de stralingsconstante. Dus de totale druk bedraagt P =

k 1 ρT + aT 4 . µmH 3

De constante gaswet geldt niet bij zeer hoge dichtheden. Volgens de kwantummechanica kan niet alles tegelijk nauwkeurig gemeten worden. Bijvoorbeeld is er in principe geen manier om de x-co¨ordinaat en de impuls px in de richting 40

D.i. µmH is gelijk aan de gemiddelde massa van een gasdeeltje = m/N . De meest voorkomende isotoop van waterstof, protium (1 H), bevat geen neutronen, en bestaat enkel uit een proton en een elektron. De meest voorkomende isotoop van helium is 4 He, met twee neutronen en twee protonen en bestaat dus uit vier atomische massaeenheden. 42 Dit kan intu¨ıtief gezien worden als een benadering van (Z + 1)/2Z door 1/2. 41

81

van de x-as met een willekeurige precisie tegelijk te bepalen. Deze hoeveelheden hebben kleine onzekerheden ∆x en ∆px , zodat ¯, ∆x∆px ≈ h ¯ = h/2π met h ¯ de constante van Dirac, de gereduceerde constante van Planck. waarbij h Een gelijkaardige relatie geldt ook voor de andere richtingen. Ook tijd en energie staan in verband via een onzekerheidsrelatie, ¯. ∆E∆t ≈ h Dit principe staat gekend als de onzekerheidsrelatie van Heisenberg. Het uitsluitingsprincipe van Pauli stelt dat een atoom met meerdere elektronen geen meerdere elektronen kan hebben waarvoor allevier de kwantumgetallen gelijk zijn. Dit kan ook veralgemeend worden naar een gas bestaande uit elektronen. Een faseruimte kan gebruikt worden om de elektronen te beschrijven. Een faseruimte is een 6-dimensionale ruimte, drie co¨ordinaten geven de positie van het deeltje weer en de andere drie co¨ordinaten bestaan uit de impuls in de x, de y en de z richtingen. Een volume-element van de faseruimte is ∆V = ∆x∆y∆z∆px ∆py ∆pz . Uit de onzekerheidsrelatie volgt dat het kleinste betekenishoudende volume-element van de orde h3 is. Volgens het uitsluitingsprincipe kunnen er slechts twee elektronen met een tegenovergelste spin zich in zo’n volume-element bevinden. Wanneer de druk hoog genoeg wordt zullen ale volume-elementen van de faseruimte opgevuld geraken tot een zekere limietimpuls p0 , gekend als de Fermi impuls. Zo’n materie wordt gedegenereerd genoemd. Elektronengas begint te degenereren wanneer de dichtheid een orde van 107 kg/m3 heeft. In gewone sterren is het gas meestal niet gedegenereerd, maar in witte dwergen en neutronensterren, is deze gedegenereerde toestand enorm belangrijk (zie verder). We zullen nu de druk bepalen van een volledig gedegenereerd gas. Zij het volume van het gas gelijk aan V . We beschouwen elektronen met een impuls in het bereik [p, p + dp]. Hun beschikbare faseruimtevolume bedraagt43 4π p2 dp V . Volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg is het elementaire volume in de faseruimte gelijk aan h3 en volgens het uitsluitingsprincipe van Pauli kan dit volume twee elektronen met een tegengestelde spin bevatten. Het aantal elektronen in het impulsbereik [p, p + dp] bedraagt dus 4π p2 dp V dN = 2 . h3 43

Men kan dit intu¨ıtief inzien doordat de vectoren p¯ een soort van driedimensionale deelruimte van de zesdimensionale faseruimte in beslag nemen. De vectoren met een grootte p binnen het bereik [p, p + dp] zijn de vectoren die zich in de bolschil bevinden die bepaald wordt door de bol met straal p en de bol met straal p + dp.

82

Het totaal aantal elektronen met een impuls kleiner dan p0 bedraagt Z Z 8πV p0 2 8πV 3 N= dN = 3 p dp = p . h 3h3 0 0 De Fermi impuls p0 bedraagt dus  1/3  1/3 h N 3 . p0 = π 2 V NIETRELATIVISTICH GAS De kinetische energie van een elektron bedraagt  = p2 /2me . De totale energie van het gas wordt gegeven door Z Z p0 4πV 4πV 5 4 E =  dN = p dp = p . me h3 0 5me h3 0 Substitueren we de verkregen uitdrukking voor de Fermi impuls in deze vergelijking p0 , dan krijgen we  5/3 2  5/3 π 3 N h E= V . 40 π me V Verder geldt 1 2E = P = 3V 20

 2/3 2  5/3 3 h N . π me V

Hier staat N/V voor de aantaldichtheid in elektronen. De druk van een gedegenereerd elektronengas is dus  P ≈

h2 me



N V

5/3 ,

waarbij me de massa is van een elektron en N/V het aantal elektronen per volume-eenheid. Deze vergelijking kan geschreven worden in termen van de dichtheid ρ = N µe mH /V , met µe het gemiddeld moleculair gewicht per vrij elektron in eenheden van mH . Een uitdrukking voor µe kan analoog worden afgeleid: µe =

1 X+

2 Y 4

+

1 Z 2

=

2 , X +1

waarbij deze laatste gelijkheid volgt uit X + Y + Z = 1. Voor de overvloed aan waterstof wat betreft de zon geeft dit µe = 2/(0.71 + 1) = 1.17 . 83

De laatste uitdrukking voor de druk is  2  5/3 h ρ P ≈ . me µe mH Dit is de toestandsvergelijking voor een gedegenereerd elektronengas. In tegenstelling tot de ideale gaswet hangt de druk niet langer af van de temperatuur, alleen van de dichtheid en van de massa van de deeltjes. Bij normale sterren is de gedegenereerde gasdruk verwaarloosbaar, maar in centrale gedeelten van reuzensterren, waar de dichtheid van een orde van 108 kg/m3 is, wordt de gedegenereerde gasdruk dominant, ondanks de hoge temperatuur. Bij nog hogere dichtheden wordt de elektronenimpuls zodanig groot dat hun snelheden de lichtsnelheid benaderen. In dit geval moeten de formules van de speciale relativiteitstheorie gebruikt worden. In de relativiteitstheorie hangt de massa van een voorwerp af van diens snelheid volgens de vergelijking m0 m= q , 2 1 − vc2 waarbij m0 staat voor de rustmassa van het voorwerp, de massa bij v = 0 m/s. Dus hoe groter de snelheid van een voorwerp, hoe groter diens massa. De relativistische impuls wordt bijgevolg gegeven door m0 v p= q . 2 1 − vc2 Indien de snelheid v veel kleiner is dan c geeft dit de standaard formule voor de impuls. Indien v naar c nadert zien we dat de noemer van de vergelijking voor de impuls naar nul nadert, of dus p nadert wiskundig gezien naar oneindig. Samen met de welbekende formule van Einstein  = mc2 , geeft dit p 2 c2 =

m20 v 2 c2 2 1 − vc2 2

=

=

m20 vc2 c4 1−

v2 c2

m20 c4

h

v2 c2

1−

i −1

v2 c2

+

= −m20 c4 + (mc2 )2 = −m20 c4 + 2 , 84

m0 c4 2 1 − vc2

of dus pc =

p 2 − (m0 c2 )2 .

We zien dus dat in extreem relativistische gevallen, waarbij de energie  veel groter is dan de rustenergie m0 c2 , dat pc −→ . RELATIVISTICH GAS Indien de dichtheid zodanig groot wordt dat de kinetische energie  dat overeenkomt met de Fermi impuls de rustenergie me c2 overschrijdt, moet de relativistische uitdrukking voor de elektronenenergie gebruikt worden. In het extreem relativistisch geval is  = cp, en de totale energie bedraagt Z Z 2πcV 4 8πcV p0 3 p dp = p . E =  dN = 3 h h3 0 0 De uitdrukking voor de Fermi impuls blijft onveranderd, en dus  4/3  4/3 π 3 N E= hcV . 8 π V De druk van een relativistisch elektronengas kan afgeleid worden via de formule van de druk in een fotongas:  1/3  4/3 1 3 N 1E = P = hc . 3V 8 π V We hebben de nietrelativistische en de extreem relativistische benaderingen van de druk verkregen. Bij intermediaire gevallen moet de exacte waarde  = (m2e c4 + p2 c2 )1/2 , worden gebruikt. Bij de nog hogere dichtheden wanneer de elektronen de lichtsnelheid benaderen, wordt de druk van een gedegenereerd gas dus gegeven door  4/3  4/3 N ρ P ≈ hc = hc . V µe mH In het relativistisch geval is de druk proportioneel met de dichtheid volgens de macht 4/3, in tegenstelling tot 5/3 zoals bij het nietrelativistisch geval. De overgang naar het relativistisch geval neemt ongeveer bij een dichtheid van 109 kg/m3 plaats. Gewoonlijk hangt de druk in een ster af van de temperatuur (behalve bij een volledig gedegenereerd gas), de dichtheid en de chemische samenstelling. In de praktijk zal het gas in de sterren nooit compleet ge¨ıoniseerd zijn of volledig gedegenereerd. De druk zal dan gegeven worden door ingewikkeldere uitdrukkingen. Toch kan het in elk geval waarin men ge¨ınteresseerd is berekend worden. Men kan dan schrijven P = P (T, ρ, X, Y, Z) , 85

gegeven de druk als een bekende functie van de temperatuur, dichtheid en chemische samenstelling. De opaciteit van een gas beschrijft hoe moeilijk het is voor de straling om er zich door voort te planten. De verandering dI van de intensiteit binnen een afstand dr kan uitgedrukt worden als dI = −Iα dr , waarbij α de opaciteit is. De opaciteit hangt af van de chemische samenstelling, temperatuur en dichtheid van het gas. Het wordt gewoonlijk geschreven als α = κρ, waarbij ρ de dichtheid is van het gas en κ de massa-absorptieco¨effici¨ent ([κ] = m2 /kg).

86

Vragen Hoofdstuk 11 Type II Leid uitdrukkingen af voor de 3 tijdsschalen die kunnen onderscheiden worden in de evolutie van een ster. NUCLEAIRE TIJDSSCHAAL De tijd waarin een ster alle energie die vrijkomt door nucleaire reacties kan uitstralen (via lichtkracht) wordt de nucleaire tijdsschaal genoemd. Een schatting van deze tijd kan verkregen worden indien men de tijd berekent waarin alle beschikbare waterstof wordt omgezet in helium. Op basis van theoretische overwegingen en evolutionaire berekeningen weet men dat dat slechts iets over de 10 % van de totale massa van waterstof in een ster geconsumeerd kan worden voordat andere, snellere evolutionaire mechanismen in gang gebracht worden. Aangezien 0.7 % van de rustmassa door waterstofverbranding omgezet wordt in energie zal de nucleaire tijdschaal bij benadering gelijk zijn aan tn ≈

0.007 × 0.1M c2 . L

Voor de zon verkreeg men een nucleaire tijdsschaal van 1010 jaar, en dus geldt 1010 jaar ≈ waaruit tn ≈

0.007 × 0.1M c2 , L

M/M × 1010 jaar . L/L

Dit geeft de nucleaire tijdsschaal in functie van de massa M en lichtkracht L bij een gegeven ster. THERMISCHE TIJDSSCHAAL De tijd waarin een ster al diens warmte-energie zou uitstralen indien de nucleaire energieproductie van de ster plots zou stoppen wordt de thermische tijdsschaal genoemd. Dit is ook de tijd die nodig is om straling vanuit de kern naar het oppervlak te transporteren. We zullen een benadering doen van de totale gravitationele bindingsenergie van de ster. De algemene formule voor de gravitationele potenti¨ele energie tussen twee objecten met massa m1 en m2 die zich op een afstand r van elkaar bevinden wordt gegeven door U = −G

m1 m2 . r

We veronderstellen dat de ster een ideale sfeer is opgebouwd uit verschillende concentrische schillen. Om de gravitationele bindingsenergie te vinden kan de gravitationele potenti¨ele energie vervolgens ge¨ıntegreerd worden over alle schillen van de kern tot aan de straal R 87

van de ster. Hierbij stellen we de twee massa’s in de vergelijking van de gravitationele potenti¨ele energie gelijk aan de massa van de dunne schillen met een dikte dr en en de door deze schillen ingesloten massa op een afstand r van het centrum: Z R m(r)4πr2 ρ(r) dr , U = −G r 0 waarbij m(r) voor de ingesloten massa bij een straal r staat. Voor een benadering zullen we een uniforme dichtheid veronderstellen, zodat ρ onafhankelijk is van r, en bijgevolg 4 m(r) = πr3 ρ , 3 hieruit volgt 16 U = −G π 2 ρ2 3

R

Z

r4 dr = −G

0

16 2 2 5 π ρR . 15

Aangezien er bij deze uniforme dichtheid geldt dat ρ = M/V = 3M/(4πR3 ) vinden we dat U =−

3 GM 2 . 5 R

Een benadering van de thermische tijdsschaal krijgen we wanneer we de tijd bepalen die een ster met een massa M , een straal R en een lichtkracht L nodig heeft om een energie van deze grootte uit te stralen: 3GM 2 tt ≈ . 5RL In het boek wordt dit anders gedaan. De formule in het boek gaat als volgt: tt ≈

0.5GM 2 /R , L

en verschilt dus wat betreft de constante factor. Uit bronnen haal ik dat de thermische tijdsschaal van de zon met de formule die hier afgeleid werd zo’n 18 miljoen jaar bedraagt, terwijl deze in het boek 20 miljoen jaar geschat wordt, nochtans is de factor 3/5 groter dan de factor 1/2. Het punt van dit soort problemen is nu eenmaal niet om een precieze waarde te krijgen voor de geschatte grootheden maar een idee van hun omvang, bijvoorbeeld spreken we hier nu over miljarden jaren, miljoenen jaren of misschien wel over uren? Het doel van deze formules is om hierop een antwoord te kunnen geven, niet om de exacte tijd te kunnen voorspellen. In de praktijk zal deze toch niet geverifieerd kunnen worden. Zo zou een relatief korte benadering van deze formule kunnen beginnen met het uitrekenen van de graviationele potenti¨ele energie van de stellaire massa in de potentiaal aan de oppervlakte van de ster (GM/R) bij een uniforme dichtheid. Hierbij zou men geen constante factor uitkomen. Verdergaand met de formule uit het boek vinden we analoog als bij de nucleaire tijdsschaal: tt ≈

(M/M )2 × 2 × 107 jaar . (R/R )(L/L ) 88

DYNAMISCHE TIJDSSCHAAL De dynamische tijddsschaal is de derde en korste tijdsschaal en is de tijd dat een ster zou nodig hebben om in te storten indien de interne druk die de ster ondersteunt tegen de zwaartekracht in plots zou wegvallen. Het kan geschat worden door de tijd dat een deeltje op het oppervlak van de ster zou nodig hebben om vrij te vallen naar de kern toe. De valversnelling44 aan het oppervlak van de ster wordt gegeven door g=G

M , R2

waarbij G de gravitatieconstante is, M de massa en R de straal van de ster. Er geldt 1 ∆x = v0 t + at2 , 2 Stellen we ∆x = R, v0 = 0 m/s, a = g, en lossen we de vergelijking op naar t vinden we de dynamische tijdsschaal: s r 2R 2R3 = . td = g GM De dynamische tijdsschaal van de zon bedraagt ongeveer een half uur45 . De ordening van de tijdsschaal is gewoonlijk zoals bij de zon, d.i. td  tt  tn . Beschrijf de contractie van een gaswolk tot een ster die waterstof omzet in helium, zowel fysisch, als in het HR diagram. Een protoster is een object dat zich in het contractieproces van de vorming van een ster bevindt. Wanneer een gaswolk samentrekt komt er gravitationele potenti¨ele energie vrij onder de vorm van warmte-energie van het gas en onder de vorm van straling. In het begin kan de straling vrij doorheen de materie gaan vanwege diens lage densiteit en kleine opaciteit. Daarom wordt de meeste vrijgekomen energie weggestraald en stijgt de temperatuur niet. De contractie neemt plaats op een dynamische tijdsschaal; het gas valt vrij naar binnen toe. De densiteit en de druk nemen het snelst toe nabij het centrum van de wolk. Terwijl de densiteit stijgt, stijgt de opaciteit mee. Een groter deel van de vrijgekomen energie wordt dan omgezet in warmte, en de temperatuur begint te stijgen. Dit leidt tot een verdere stijging in druk die de vrije val tegengaat. De contractie van het centrale deel van de wolk vertraagt. De buitenste delen zijn echter nog steeds vrij aan het vallen. Tijdens deze fase zou de wolk reeds als protoster beschouwd kunnen worden. Het bestaat vooral uit moleculair waterstof. Wanneer de temperatuur 1800 K bereikt, worden de 44

De formule voor td uit het boek verschilt met een factor 45 Volgens het boek.

89

√

2 van de hier afgeleide formule.

moleculen gescheiden in atomen. Deze scheiding vereist energie, en de temperatuusstijging vertraagt. Ook de druk stijgt dan trager waardoor de snelheid van de contractie verhoogt. Deze sequentie wordt herhaald, eerst wanneer waterstof ge¨ıoniseerd wordt bij 104 K, vervolgens wanneer helium ge¨ıoniseerd wordt. Wanneer de temperatuur ongeveer 105 K heeft bereikt, is het gas zo goed als volledig ge¨ıoniseerd. De contractie van een protoster stopt slechts wanneer een grote fractie gas volledig ge¨ıoniseerd is onder de vorm van plasma. De ster settelt zich dan in een hydrostatisch evenwicht. De verdere evolutie van de ster verloopt veel langzamer. De straal van een protoster is gekrompen van een originele waarde van ongeveer 100 AU tot ongeveer 1/4 AU. Het zal zich vaak in een grotere gaswolk bevinden en materie aanleggen uit diens omgeving. De massa neemt hierdoor toe, en de centrale temperatuur en dichtheid stijgen. De temperatuur van een ster die juist een evenwicht heeft bereikt is nog laag en diens opaciteit overeenkomstig hoog. Dus zal de ster convectief zijn in diens kern. De convectieve energietransport is best effici¨ent en het oppervlak van de protoster zal daardoor relatief helder zijn. We bespreken nu de evolutie in het HRdiagram. Oorspronkelijk zal de protoster vaag en koel zijn, het zal zich onderaan rechts in het HR diagram bevinden (nog buiten de figuur). Tijdens het instorten zal het oppervlak snel opwarmen en helderder worden waardoor de ster zich naar rechtsboven toe zal verplaatsen op het diagram van de figuur. Op het eind van de instorting zal de ster zich vestigen op een punt dat overeenkomt met diens massa op het Hayashi pad. Dat pad geeft de locatie van sterren in het HR-diagram weer die volledig convectief zijn. Sterren rechts van dit pad kunnen nooit in evenwicht zijn en zullen instorten op een dynamische tijdsschaal. De straal en lichtkracht van de ster zullen afnemen en de ster zal zich op een thermische tijdsschaal bijna verticaal naar beneden volgens het Hayashi pad in het HR-diagram verplaatsen. Terwijl de temperatuur in de kern verder toeneemt zal de opaciteit dalen en energie zal beginnen getransporteerd worden via straling. De massa van de radiatieve zone zal gradueel toenemen tot uiteindelijk het grootste deel van de ster radiatief is. Voorheen was alle stellaire energie afkomstig van vrijgekomen potenti¨ele energie, maar nu begint de bijdrage van kernreacties toe te nemen en de lichtkracht neemt toe. De stellaire oppervlaktetemperatuur zal ook toenemen en de ster zal zich langzaam naar linksboven in het HR-diagram verplaatsen. Bij massieve sterren gebeurt deze verplaatsing naar links veel eerder, aangezien hun centrale temperatuur hoger is en de nucleaire reacties eerder van start gaan. 90

De start van de hoofdreeks wordt gekenmerkt door de start van de waterstofverbranding in de pp keten bij een temperatuur van ongeveer 4 miljoen graden. De nieuwe vorm van energieproductie vervangt volledig de door contractie vrijgegeven energie. Wanneer de contractie wordt stopgezet zal de ster nog even oscilleren in het HR-diagram, maar zich vervolgens vlug in een evenwicht settelen waardoor de lange, kalme hoofdreeksfase begint. Beschrijf de structuur van een ster op de hoofdreeks. Een ster in de hoofdreeks is in een evolutionaire fase waarin de energie die vrijkomt door de waterstofverbranding de enige bron van energie is van de ster. Tijdens deze fase is de ster in een stabiel evenwicht, en diens structuur verandert enkel maar omdat de chemische compisitie van de ster langzaamaan verandert vanwege de nucleaire reacties. Dus deze evolutie vindt plaats op een nucleaire tijdsschaal, wat betekent dat de hoofdreeks de langste fase is in de levenstijd van ster. Bijvoorbeeld voor een ster met de massa van een zon duurt de hoofdreeksfase zo’n 10,000 miljoen jaar. Meer massieve sterren evolueren sneller omdat deze meer vermogen uitstralen. Aangezien sterren het meest waarschijnlijkst in het stadium van constante waterstofverbranding gevonden worden is de hoofdreeks in het HR-diagram het drukst bezet, in bijzonder aan het ’lage massa’-uiteinde. Massievere sterren bevinden zich minder talrijk in de hoofdreeks wegens de kortere duur van hun hoofdreekstijd. De sterren op het bovenste gedeelte van de hoofdreeks zijn zo massief dat hun centrale temperatuur zo hoog is dat de CNO cyclus in werking kan gaan. De energieproductie in de CNO cyclus is zeer sterk geconcentreerd binnen de kern. Het uitgaande energievermogen is zodanig groot dat het niet onderhouden kan worden door transport via straling/radiatie. Daarom hebben deze sterren een convectieve kern, d.i. dat energie getransporteerd wordt via de verplaatsing van materie. Dit zorgt ervoor dat de materie goed gemengd blijft waardoor de overvloed aan waterstof uniform afneemt in de convectieregio. Buiten de kern bevindt er zich een stralingsevenwicht, d.i. dat de energie door straling getransporteerd wordt en er hier geen nucleaire reacties plaatsvinden. Tussen de kern en deze enveloppe (hetgeen de kern omgeeft) is er een transitieregio waar de overvloed aan waterstof afneemt naar binnen toe. De massa van de convectieve kern zal langzaamaan afnemen terwijl het waterstof geconsumeerd wordt. Wanneer de voorraad uitgeput geraakt zal de kern zeer snel beginnen krimpen. Vanwege deze contractie van de kern zal de temperatuur in de omringende waterstofschil juist buiten de kern stijgen. Het wordt snel terug hoog genoeg opdat waterstofverbranding terug van start kan gaan. De sterren op het onderste gedeelte van de hoofdreeks hebben een lagere centrale temperatuur dan de massieve sterren, en energie wordt geproduceerd door de pp keten. Aangezien de reactiesnelheid van de pp keten niet zo temperatuursgevoelig is als bij de CNO keten, kan de energieproductie verspreid worden over een grotere regio dan bij de meer massieve sterren. In gevolg wordt hun kern nooit convectief onstabiel, maar blijft radiatief. In de buitenste lagen van deze sterren is de opaciteit zeer hoog vanwege de lage temperatuur. Straling kan de energie niet langer transporteren en convectie zal van start gaan. De 91

structuur van de sterren op het onderste gedeelte van de hoofdreeks is dus omgekeerd aan die van deze op het bovenste gedeelte: de kern is radiatief en de enveloppe convectief. Aangezien de materie in de kern niet gemengd wordt door convectie, wordt waterstof zeer snel geconsumeerd in de kern, en de overvloed aan waterstof stijgt naar buiten toe. De hoeveelheid waterstof in de kern neemt steeds af. Uiteindelijk bestaat de kern bijna alleen nog uit helium. De waterstofverbranding gaat door in de dikke schil rond de kern. Verklaar hoe de helium flash ontstaat. De hoofdreeksfase van de evolutie van een ster eindigt wanneer de waterstofbron in de kern uitgeput geraakt. De ster settelt zich in een staat waarbij waterstof verbrand wordt in een schil dat een heliumkern omgeeft. De massa van de heliumkern stijgt doordat het waterstof in de schil verbrand wordt. Dit leidt tot een uitbreiding van de enveloppe van de ster, die bijna horizontaal naar rechts beweegt op het HR-diagram. Terwijl de convectieve enveloppe steeds verder uitbreidt benadert de ster het Hayashi pad. Aangezien de ster niet verder naar rechts kan en de straal blijft stijgen moet de ster naar boven bewegen volgens het Hayashi pad naar hogere lichtkrachten toe. De ster is een rode reus geworden. Bij sterren met een lagere massa (M ≤ 2.3M ) zal wegens het toenemen van de massa van de kern de dichtheid uiteindelijk zodanig groot worden dat die gedegeneerd46 zal worden. De kerntemperatuur blijft stijgen. De hele heliumkern zal een uniforme temperatuur hebben vanwege de grote conductiviteit van het ontaarde gas. Bij sterren met een massa van meer dan 0.26 M zal de kerntemperatuur uiteindelijk zo’n 100 miljoen graden worden, wat genoeg is om helium om te zetten in koolstof via het triple alpha proces. Heliumverbranding zal gelijktijdig van start gaan in de hele centrale regio die hierdoor plots een stijging in temperatuur zal ondervinden. In tegenstelling tot een gewoon gas, kan de gedegenereerde kern zich niet uitbreiden, hoewel temperatuur stijgt, daardoor resulteert de temperatuursstijging enkel in een hogere frequentie van de kernreacties. Wanneer de temperatuur nog verder toeneemt, verliest het gas diens gedegenereerde toestand, de kern zal hierdoor heftig uitbreiden. Slechts enkele seconden na de ontsteking van het helium is er een explosie, de helium flash. Hoe worden de elementen die zwaarder zijn dan ijzer aangemaakt. Welke nucleaire reacties spelen een rol? Beschrijf het r en s proces (kwalitatief, in grafiek, zonder specifieke getallen). Bijna alle kernen zwaarder dan helium werden geproduceerd bij kernreacties in het inwendige van sterren. Bij de oudste sterren bedraagt de massafractie van de zware elementen slechts iets van 0.2 %, terwijl dit bij de jongste sterren een paar procent is. Hoe dan ook bestaat de meeste stellaire materie uit waterstof en helium. Volgens het standaard 46

Gedegenereerde of ontaarde materie is materie die zodanig door de zwaartekracht wordt samengeperst dat de tegendruk van de materiedeeltjes dominant wordt in de totale druk. Een belangrijke eigenschap van een gedegenereerd gas is dat de temperatuur onafhankelijk is van de druk. Indien men een ballon met een gedegenereerd gas zou opvullen zou deze niet uitzetten bij het verwarmen.

92

kosmologisch model werden deze gevormd in de vroege fases van het heelal, wanneer de temperatuur en dichtheid geschikt waren voor kernreacties. Hoewel helium geproduceerd wordt bij de hoofdreeks van de stellaire evolutie, wordt er zeer weinig van terug in de ruimte gezonden om te worden opgenomen door latere stellaire generaties. Het meeste ervan wordt omgezet in zwaardere elementen door verdere reacties, of anders blijft het opgesloten in de overblijfselen van witte dwergen. Hierdoor stijgt de overvloed aan helium vanwege stellaire processen niet veel. De vorming van elementen zwaarder dan ijzer vereist een input van energie en kan niet op dezelfde manier verklaard worden als de belangrijkste kernreacties die leiden tot de opstapeling van zwaardere kernen tot aan ijzer. De meeste kernen zwaarder dan ijzer worden gevorm door middel van neutronenvangst. Aangezien een neutron geen elektrische lading heeft kan het gemakkelijk doordringen tot in de kern. De waarschijnlijkheid dat neutronenvangst optreedt hangt af van zowel de kinetische energie van het inkomende neutron als van het massagetal van de kern. Bij neutronenvangst wordt een kern met massagetal A omgezet tot een massievere kern: (Z, A) + n −→ (Z, A + 1) + γ . De nieuw gevormde kern zou kunnen gevoelig zijn voor β-verval. In de kernfysica wordt onder β-verval verstaan een soort radioactief verval, waarbij een β-deeltje, namelijk een elektron of een positron wordt uitgestraald (β-straling). In dit geval wordt een neutron omgezet in een proton: (Z, A + 1) −→ (Z + 1, A + 1) + e− + ν¯e . Hierbij staat ν¯e voor een antineutrino, het antideeltje van een neutrino. Antineutrino’s komen vrij bij β-verval van een neutron, voor de rest er niet te veel bij stilstaan om potenti¨ele hoofdpijn te vermijden. Het is nu per wiskundige inductie duidelijk hoe de zwaardere elementen kunnen geproduceerd worden. Er worden twee vormen van neutronvangstprocessen tegengekomen, afhankelijk van de waarde van het neutronenvermogen. In het (slow) s-proces, is het neutronenvermogen zodanig klein dat elk β-verval tijd gehad heeft om te kunnen plaatsvinden voordat een volgende neutronvangstreactie kan plaatsvinden. De meest stabiele kernen tot een massagetal van 210 worden gevormd door middel van het s-proces. Wanneer het neutronenvermogen groot is heeft β-verval geen tijd om plaats te vinden voor de volgende neutronenvangst. Men spreekt dan van het (rapid) r-proces, hetgeen aanleiding geeft tot meer neutronrijke isotopen. Een neutronenvermogen geschikt voor het s-proces wordt verkregen in de loop van een normale stellaire evolutie. Bijvoorbeeld enkele van de koolstof- en zuurstofverbrandingsreacties produceren vrije neutronen. Indien er genoeg convectie is tussen de waterstof en helium verbrandende schillen kunnen er vrije protonen gedragen worden naar koolstofrijke lagen. Dan wordt de volgende neutronproducerende ketenreactie belangrijk: 93

12

C+p −→ 13 N −→ 13 C + 4 He −→

13

N + γ, C + e+ + νe , 16 O + n.

13

De convectie kan de reactieproducten ook dichter naar het oppervlakte toe brengen. Het neutronenvermogen dat nodig is voor het r-proces is te groot om te kunnen geproduceerd worden bij normale evoluties van sterren. In dit geval zou de snelle neutronenvangst leiden tot kernen die geen verdere neutronen meer kunnen opvangen zonder sterk onstabiel te worden. Na ´e´en of meerdere β-vervallen kan het proces verder gezet worden. Het r-proces stopt wanneer het neutronenvermogen afneemt. De geproduceerde kernen vervallen dan gradueel door middel van β-verval tot meer stabiele isotopen. Op de grafiek volgt het s-proces een pad langsheen de β-stabiliteitslijn. De stabiele kernen afkomstig uit het r-proces resulteren uit β-verval van hun neutronrijke voorouders op het lager gelegen donkergrijze pad.

Type III Wat is het verschil tussen een ster en een planeet? Er is een minimum massa vereiste voor sterren op de hoofdreeks. Sterren met een massa van minder dan 0.8 M kunnen nooit warm genoeg worden voor waterstofverbranding in gang te zetten. Ze kunnen nog enig vermogen produceren door de verbranding van deuterium (2 H), maar deze energiebron is snel uitgeput. Deze bruine dwergen hebben een oppervlaktetemperatuur tussen de 1000 en 2000 K. In een ster vinden er kernreacties plaats, in een planeet niet. Bij een zeer lage massa van sterren op de hoofdreeks zijn er geen nucleaire bronnen aanwezig. Zo gedragen de 94

kleinste protosterren (sterren in het begin van hun levenscyclus) zich gelijkaardig aan planeetachtige dwergen. Men zou zich kunnen afvragen of er een verschil is tussen de bruine dwergen met de laagste massa en de meest massieve planeten. Indien het ontstaan van een bruine dwerg hetzelfde verloopt als dat van een andere ster is er geen reden om ze niet als ster mee te rekenen, ook al produceren ze geen energie door middel van kernreacties. Bij planeten onderstelt men echter dat deze veel trager worden gevormd uit de samenklonteringen van vaste materie en de aanleg van gas in een protoplanetaire schijf. De objecten die volgens dit mechanisme worden gevormd starten dus met een zeer verschillende structuur.

95

Vragen Hoofdstuk 13 Type III Welke soorten pulserende sterren zijn er, en plaats ze in een HR diagram. Veranderlijke sterren of variabele sterren zijn sterren waarvan de helderheid (magnitude) aan variaties onderhevig is. Strikt genomen zijn zoals gezien in hoofdstuk 11 alle sterren variabel, aangezien hun structuur en helderheid kan veranderen tijdens hun evolutie. Hoewel deze veranderingen gewoonlijk traag zijn, kunnen sommige evolutionaire fasen extreem snel verlopen. In bepaalde evolutionaire fases zullen er ook periodieke variaties zijn, bijvoorbeeld pulsatie van de buitenste lagen van een ster. De helderheidsvariatie in functie van de tijd wordt de lichtcurve van een ster genoemd, indien de variatie periodiek is kan men uit deze curve de amplitude en de periode van de helderheidsvariatie halen. De golflengten van de spectraallijnen van pulserende sterren veranderen samen met veranderingen in de helderheid van de sterren. Deze veranderingen worden veroorzaakt door het dopplereffect, hetgeen aantoont dat de buitenste lagen van de ster inderdaad pulseren. De waargenomen gassnelheden bevinden zich tussen de 40 en 200 km/s. De periode van de pulsatie komt overeen met een grondtoon. Net zoal een stemvork gerakteriseerd is met een grondtoon wanneer die wordt aangeslaan heeft een ster een fundamentele vibratiefrequentie. Bovenop deze grondtoon zijn andere frequenties, ”boventonen”, mogelijk47 . Rond 1920 toonde de Engelse astrofyiscus Arthur Eddington aan dat de pulsatieperiode P omgekeerd evenredig is met de vierkantswortel van de gemiddelde dichtheid, 1 P ∝√ . ρ De diameter van de ster kan verdubbelen maar gewoonlijk zijn de veranderingen in grootte gering. De voornaamste reden van de lichtvariatie is de periodieke variatie in de oppervlaktetemperatuur. In hoofdstuk 5 zagen we reeds dat de lichtkracht van een ster sterk afhangt van diens effectieve temperatuur, L ∝ Te4 . Dus een kleine verandering in effectieve temperatuur kan tot een grote variatie in helderheid leiden. Gewoonlijk bevindt een ster zich in een stabiel hydrostatisch evenwicht. Indien diens buitenste lagen uitbreiden, zal de dichtheid en temperatuur afnemen. De druk wordt vervolgens kleiner en de zwaartekracht zal het gas terug samendrukken. Echter tenzij energie overgedragen kan worden in de gasbewegingen, zal het oscilleren afnemen. Het stralingsvermogen uit het inwendige van ster zou een energiebron kunnen voorzien voor de stellaire oscillatie, indien het bij voorkeur zou geabsorbeerd worden in regio’s met een hoge gasdensiteit. Gewoonlijk is dit niet geval, maar vindt deze absorptie plaats in 47

Iedere frequentie hoger dan de grondtoon is een boventoon.

96

ionisatiezones, waar waterstof en helium deels ge¨ıoniseerd zijn, de opaciteit stijgt in feite wanneer gas samengedrukt wordt. Indien de ionisatiezones zich op een geschikte diepte in de atsmofeer48 bevinden, kan de geabsorbeerde energie tijdens de samendrukking en deze vrijgegeven tijdens de expansie van een ionisatiezone een oscillatie aandrijven. Sterren met een oppervlaktetemperatuur van 6000-9000 K zijn onderhevig aan deze instabiliteit. De overeenkomstige sectie in het HR-diagram wordt de cephe¨ıde instabiliteitsstrook genoemd. CEPHE¨IDEN Tot de belangrijkste pulserende variabelen behoren de cephe¨ıden, genoemd naar δCephei. Hun periode bedraagt 1-50 dagen en hun amplitudes 0.1-2.5 magnitude. De vorm van de lichtcurve is regelmatig en vertoont een vrij snelle verheldering gevolgd door een tragere verduistering. We hebben reeds vermeld dat de pulsatieperiode afhankelijk is van de gemiddelde dichtheid. Aan de andere hand is de grootte van de ster, en dus ook diens gemiddelde dichtheid, gerelateerd aan de totale lichtkracht. Dus men kan begrijpen dat er enige relatie moet bestaan tussen de periode en de lichtkracht van een pulserende ster. En dat is ook zo, men kan aantonen dat er een lineair verband bestaat tussen de absolute schijnbare magnitude M en de logaritme van de periode P van klassieke cephe¨ıden. W VIRGINIS-STERREN In 1952 merkte Walter Baade op dat er eigenlijk twee groepen cephe¨ıden zijn: de klassieke cephe¨ıden en de W Virgins-sterren. Beide groepen volgen een periode-lichtkracht relatie maar de W Virginis-sterren bij een gegeven periode zijn 1.5 magnitude minder helder dan de overeenkomstige klasse cephe¨ıden. De reden van dit verschil is dat de klassie cephe¨ıden behoren tot een jonge populatie objecten, terwijl de W Virginis-sterren tot een oudere populaties behoren. Voor de rest zijn de twee klassen gelijkaardig. RR LYRAE-STERREN De derde belangrijke klasse van pulserende variabelen zijn de RR Lyrae-sterren. Hun variatie in helderheid is kleiner dan die van de cephe¨ıden, gewoonlijk minder dan ´e´en magnitude. Hun periode is ook korter, minder dan een dag. RR Lyrae-sterren behoren tot dezelfde oude populatie als de W Virginis-sterren. MIRA VARIABELEN De Mira variabelen (genaamd naar Mira Ceti) zijn superreuzen49 van de spectraalklasse M, S of C. Ze verliezen gas door middel van een continue stellaire wind50 . Hun periode bedraagt normaal 100-500 dagen, om deze reden worden ze ook vaak langperiodieke variabelen genoemd. De amplitude van hun lichtvariatie bedraagt gewoonlijk 6 magnitude 48

De atmosfeer van een ster is de buitenste regio van het volume van een ster en ligt buiten de kern, convectie- en radiatiezone, voor de zon kan de atmosfeer bijvoorbeeld gezien worden bij een totale zonsverduistering. 49 Een superreus is de aanduiding voor de helderste soort min of meer stabiele sterren. 50 Analoog aan zonnewind.

97

in de zichtbare zone. De effectieve temperatuur van Mira variabelen is slechts ongeveer 2000 K. 95 % van hun straling bevindt zich in het infraroodgebied. HALFREGELMATIGE EN ONREGELMATIGE VARIABELEN Nog een grote groep van pulserende sterren zijn de halfregelmatige en onregelmatige variabelen. Het zijn superreuzen, vaak erg jonge massieve sterren met een nietcontinue pulsatie in hun uitgebreide buitenste lagen. Indien er enige periodiciteit terug te vinden is in de pulsaties worden deze variabelen halfregelmatig genoemd, zo niet worden ze onregelmatig genoemd. DWERGCEPHE¨IDEN Dwergcephe¨ıden zijn minder helder en vari¨eren sneller dan de klassie cephe¨ıden. Er zijn kleine variaties in de amplitude van deze sterren vanwege de interferentie tussen de gronden overtoon. β-CEPHE¨IDEN De β-cephe¨ıden bevinden zich in een ander gebied op het HR-diagram dan de andere variabelen. Het zijn hete massieve sterren die vooral in ultraviolet stralen. De variaties zijn snel en van een kleine amplitude. Hun pulsatiemechanisme is onbekend. RV TAURI VARIABELEN De RV Tauri-sterren liggen tussen de cephe¨ıden en de Mira-variabelen op het HRdiagram. Hun periode hangt lichtjes af van de lichtkracht. Er zijn een aantal onverklaarde eigenschappen van de lichtcurve van deze sterren.

98

Vragen Hoofdstuk 14 Type II Leid een uitdrukking af voor de straal van een witte dwerg als een functie van de totale massa. Leid daartoe eveneens de vergelijking van het hydrostatisch evenwicht in een sferische ster af. Behandel vervolgens hetzelfde vraagstuk voor een neutronenster. In de astrofysica staan de sterren waarbij de dichtheid van de materie veel groter is dan bij gewone sterren bekend als compacte objecten. Hiertoe behoren witte dwergen, zwarte gaten en neutronensterren. Bovenop een zeer hoge densiteit worden compacte objecten ook gekarakteriseerd met het feit dat dat de kernreacties volledig zijn stopgezet in het inwendige van de objecten. Gevolgens kunnen ze zichzelf niet ondersteunen tegen de zwaartekracht in door middel van thermische gasdruk. Bij witte dwergen en neutronensterren wordt de zwaartekracht tegengegaan door middel van de druk van een gedegenereerd gas. Bij een zwart gat is de zwaartekracht volledig dominant en drukt alle stellaire materiaal samen tot een oneindige dichtheid. De hydrostatische evenwichtsvergelijking werd reeds afgeleid in hoofdstuk 10: dP GMr ρ =− 2 . dr r Hieruit volgt dat dP Mr ρ ∝ 2 . dr r De massa van een witte dwerg of neutronenster bepaalt diens straal wat volgt uit de hydrostatische evenwichtsvergelijking en de relatie tussen druk en dichtheid voor een gedegenereerd gas. Gebruik makend van de hydrostatische evenwichtsvergelijking kunnen we een schatting maken voor de gemiddelde druk P : dP P M × M/R3 M2 ≈ ∝ = . dr R R2 R5 Hier hebben we gebruik gemaakt van ρ ∝ M/R3 , hetgeen volgt uit de formule voor het volume van een bol. Dus de druk voldoet aan P ∝ M 2 /R4 . In het nietrelativistisch geval wordt de druk van een elektronengas gegeven door P ≈ (h2 /me )(µe mH )−5/3 ρ5/3 en dus P ∝

ρ5/3 5/3

me µe 99

waaruit

M 5/3 M2 ρ5/3 ∝ ∝ 5/3 5/3 R4 me µe R5 me µe

of R∝

1

∝ M −1/3 .

5/3

M 1/3 me µe

Dus hoe kleiner de straal van een witte dwerg hoe groter diens massa wordt. Neutronen zijn fermionen, net zoals elektronen. Ze voldoen aan het uitsluitingsprincipe van Pauli, en de gedegenereerde neutronengasdruk wordt verkregen uit een analoge formule: Pn ∝

ρ5/3 5/3

,

mn µn

waarbij mn de massa is van een neutron en µn het moleculair gewicht per vrij neutron. Overeenkomstig, wordt de straal van een neutronenster gegeven door R∝

1 5/3

M 1/3 mn µn

100

.