VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ. ING. JIŘÍ KYTÝR, CSc. ING. PETR FRANTÍK, Ph.D. STATIKA I MODUL BD03-MO1 ROZŠÍŘENÝ PRŮVODCE

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ

ING. JIŘÍ KYTÝR, CSc. ING. PETR FRANTÍK, Ph.D.

STATIKA I MODUL BD03-MO1 ROZŠÍŘENÝ PRŮVODCE

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Statika I

Vážení uživatelé tohoto učebního textu, předložená verze této učební pomůcky plně odpovídá původnímu záměru a uzavřené licenční smlouvě na rozšířeného průvodce v rozsahu 32 stran textu. Obsahuje proto pouze základní partie učební látky. Během vytváření opory se ukázala vhodnost rozšířit učební text nad rámec licenční smlouvy, což si však vyžádalo mnohem delší čas na zpracování. Doplňkové partie se nepodařilo ve vymezeném čase dokončit a zůstaly zčásti rozpracovány, což se jevilo jako nekvalitní zpracování a vrhalo špatné světlo na celé dílo. V této nové verzi byly problematické části úplně vyřazeny a učební pomůcka je tedy bez závad. Podle časových možností se budeme snažit doplňková témata dokončit a připojit je ke stávajícímu textu, abyste měli možnost plně využívat učební pomůcku pro Vaše studium. V Brně dne 16. 6. 2006 Autoři

© Jiří Kytýr, Petr Frantík, Brno 2005 - 2 (50) -

Obsah

OBSAH 1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klíčová slova.........................................................................................5 2 Úvod do statiky stavebních konstrukcí.......................................................7 2.1 Prutové konstrukce................................................................................7 3 Výpočet přetvoření prutových soustav.....................................................11 3.1 Virtuální veličiny a virtuální práce .....................................................12 3.1.1 Virtuální práce vnějších sil ...................................................12 3.1.2 Virtuální práce vnitřních sil ..................................................14 3.2 Lagrangeův princip virtuálních prací ..................................................15 3.3 Věty o vzájemnosti virtuálních prací ..................................................16 3.3.1 Bettiho věta ...........................................................................16 3.3.2 Maxwellovy věty ..................................................................16 3.4 Výpočet deformací metodou jednotkových sil ...................................17 3.4.1 Zjednodušení výpočtu deformací plnostěnných nosníků......18 3.4.2 Vereščaginovo pravidlo ........................................................19 3.4.3 Výpočet deformací příhradových soustav ............................19 3.5 Ilustrující příklad.................................................................................20 4 Silová metoda ..............................................................................................23 4.1 Stupeň statické neurčitosti ..................................................................23 4.2 Řešení rovinného rámu .......................................................................25 4.2.1 Obecně řešený příklad...........................................................26 4.2.2 Kanonické rovnice ................................................................27 4.2.3 Výpočet přetvárných součinitelů ..........................................28 4.2.4 Určení vnitřních sil ...............................................................28 4.3 Ilustrující příklad.................................................................................30 4.4 Deformační zatížení rámu ...................................................................33 4.4.1 Vliv změny teploty................................................................33 4.4.2 Dané popuštění podpor rámu ................................................34 4.5 Řešení spojitého nosníku ....................................................................34 4.5.1 Deformační zatížení ..............................................................37 4.5.2 Obecný tvar třímomentové rovnice ......................................38 4.5.3 Oboustranně vetknutý nosník osově zatížený.......................39 4.5.4 Příklad řešení spojitého nosníku ...........................................40 5 Tabulky........................................................................................................43 6 Studijní prameny ........................................................................................49 6.1 Seznam použité literatury....................................................................49 6.2 Seznam doplňkové studijní literatury .................................................49 6.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny .........................................49

- 3 (50) -

Statika I

- 4 (50) -

Úvod

1

Úvod

1.1

Cíle

Úkolem předmětu Statika I je zvládnout řešení prutových konstrukcí základní metodou, která se nazývá silová metoda. Není sice prakticky vhodná pro řešení rozsáhlejších staticky neurčitých prutových konstrukcí, ale je velmi přehledná a poskytuje řešení základních přetvárně určitých případů (primárního i sekundárního stavu) pro analýzu prutových konstrukcí další metodou, a to deformační metodou, která bude obsahem předmětu Statika II. Naším cílem bude řešení nosných staticky neurčitých prutových stavebních konstrukcí a získání průběhů vnitřních sil i složek reakcí jako prostředek pro jejich dimenzování podle toho, z jakého materiálu jsou vytvořeny.

1.2

Požadované znalosti

Ve Statice I se navazuje zejména na znalosti získané v předmětu Základy stavební mechaniky (řešení průběhů vnitřních sil) a v předmětu Pružnost a pevnost. Studenti by měli být obeznámeni se základními operacemi z integrálního počtu. Z matematického aparátu využijeme zejména goniometrické funkce, vektorový a maticový počet i řešení soustav lineárních algebraických rovnic.

1.3

Doba potřebná ke studiu

Modul představuje rozšířený průvodce a obsahuje základní látku probíranou v průběhu téměř celého semestru. Doba potřebná k nastudování jednotlivých kapitol či odstavců se liší od několika desítek minut až po hodiny. Záleží zejména na dřívější průpravě studenta ve výše citovaných předcházejících předmětech, ale i na obtížnosti daného tématu. Potřebná doba ke studiu činí asi 40 až 50 hodin.

1.4

Klíčová slova

mechanika, statika, síla, reakce, interakce, rovnováha, poddajnost, tuhost, vektor, matice, modul pružnosti, momenty setrvačnosti, transformace, prut, prutová soustava, nosník, rám, příhradová konstrukce

- 5 (50) -

Statika I

- 6 (50) -

Úvod do statiky stavebních konstrukcí

2

Úvod do statiky stavebních konstrukcí

Statika stavebních konstrukcí je nauka o výpočtech stavebních konstrukcí. Každá stavební konstrukce musí bezpečně přenést veškeré zatížení, nesmí se přitom porušit, nesmí doznat nepřípustných tvarových změn a musí být stabilní. Část konstrukce, zajišťující potřebnou odolnost a tuhost stavebního díla, nazýváme nosnou konstrukcí. Nosná konstrukce sestává z řady různých prvků. V předmětu Statika stavebních konstrukcí se omezujeme na analýzu pouze takových konstrukcí, jejichž statický model lze vytvořit výhradně z prutů (obr. 2.1). Nazýváme je prutovými soustavami. V dalších úvahách budeme předpokládat dokonale lineárně pružný materiál. V Základech stavební mechaniky jsme řešili staticky určité prutové konstrukce, k jejichž analýze postačují statické podmínky rovnováhy. Obsahem statiky stavebních konstrukcí jsou především výpočty staticky neurčitých prutových konstrukcí. K jejich řešení už nevystačíme s podmínkami rovnováhy, ale musíme předepsat ještě přetvárné podmínky. K řešení staticky neurčitých konstrukcí se používají dvě základní metody, a to metoda silová (probírá se ve Statice I) a metoda deformační (je obsahem předmětu Statika II). Každá konstrukce se účinkem zatížení přetvoří. Přetvoření (deformace) se projeví posuny a pootočeními jednotlivých částí stavební konstrukce. Přetvoření jsou většinou, vzhledem k rozměrům konstrukce, velmi malá.

Obr. 2.1: Rovinný uzavřený rám

2.1

Prutové konstrukce

Rám je prutová soustava vytvořená spojením jednotlivých prutů. Ve statickém modelu idealizujeme jak nosné prvky, tak i jejich spojení a spolupůsobení. Místo, kde se pruty spojují, nazýváme uzel (styčník). Pruty bývají většinou v uzlu spojeny monoliticky (tuze), anebo mohou být také připojeny kloubem. Tuhé spojení (obr. 2.2a) zaručuje stejné přemístění (posunutí i pootočení) všech konců připojených prutů při deformaci a přenáší ohybové momenty. Kloubové spojení (obr. 2.2b) zaručuje pouze stejné posunutí, pootočení konců připojených prutů jsou nezávislá a ohybové momenty jsou nulové. U rovinného rámu (obr. 2.1) leží v jedné rovině střednice všech prutů, zatížení, reakce a interakce a rovněž jedna z hlavních centrálních os setrvačnosti průřezů všech prutů. Rám je typickým představitelem staticky neurčité prutové konstrukce. Jako speciální případ rámu se vyskytuje spojitý nosník (obr. 2.3) a příhradový nosník (obr. 2.4). - 7 (50) -

Statika I

Obr. 2.2: Uzel (styčník) rovinného rámu Rozlišujeme rámy s pruty přímými (obr. 2.5 a 2.7) nebo zakřivenými (obr. 2.6), rámy pravoúhlé (obr. 2.5 a 2.8) či kosoúhlé (obr. 2.7), jednoduché (obr. 2.7), sdružené (obr. 2.6) nebo patrové (obr. 2.5, 2.8 a 2.9), otevřené (obr. 2.6 a 2.7) či uzavřené (obr. 2.8, 2.9 a 2.10), rámy s neprůběžnými pruty (obr. 2.8 a 2.9) aj.

Obr. 2.3: Spojitý plnostěnný nosník

Obr. 2.4: Spojitý příhradový nosník

Z termínů používaných u prutových konstrukcí uveďme nejzákladnější. Sloup (stojka) je svislý prut, příčel (trám) je vodorovný prut. Prut bývá nejčastěji přímý, může být i lomený či zakřivený (oblouk). Vnější vazby (obr. 2.5) mohou být jednonásobné (kyvný prut, posuvná kloubová podpora), dvojnásobné (neposuvný kloub, posuvné vetknutí), trojnásobné (dokonalé vetknutí).

Obr. 2.5: Patrový rám

Obr. 2.6: Sdružený rám Obr. 2.7: Jednoduchý s obloukovou příčlí kosoúhlý rám

- 8 (50) -

Úvod do statiky stavebních konstrukcí

Obr. 2.8: Patrový rám

Obr. 2.9: Patrový rám

s neprůběžnou příčlí

s neprůběžným sloupem

Obr. 2.10: Vierendeelův

rámový nosník

Otázky 1.

Čím se zabývá statika stavebních konstrukcí?

2.

Charakterizujte rovinnou prutovou soustavu.

3.

Čím se liší rám, spojitý nosník a příhradový nosník?

4.

Co zajišťuje monolitické a kloubové spojení prutů ve styčníku?

5.

Funkce vnitřního kloubu v prutové soustavě.

Shrnutí V této úvodní kapitolce jsme si vymezili obsah předmětu a naznačili rozdělení rámových a ostatních prutových konstrukcí.

- 9 (50) -

Statika I

- 10 (50) -

Výpočet přetvoření prutových soustav

3

Výpočet přetvoření prutových soustav

Při vyšetřování nosných stavebních konstrukcí sledujeme nejen průběhy vnitřních sil a napětí, ale také deformace (přetvoření). Ty je důležité posoudit jak z hlediska funkčnosti konstrukce, tak i z hlediska estetického, aby nedocházelo k viditelným geometrickým změnám. V některých případech postačí určit diskrétní hodnoty složek přemístění (posuny, potočení), jindy potřebujeme znát průběh ohybové čáry celého prutu.

Obr. 3.1: Deformace rovinné plnostěnné konzoly

Pro řešení přetvoření staticky určitých prutových konstrukcí (obr. 3.1) se používají tyto metody: •

aplikace principu virtuálních prací, tzv. metoda jednotkových sil, umožňující určit složky přemístění v diskrétních bodech plnostěnných i příhradových nosníků; metoda je předmětem této kapitoly a její princip je využit při řešení staticky neurčitých prutových soustav silovou metodou (viz kapitola 4),

•

Mohrova metoda pro získání diskrétních hodnot deformací, probraná v předmětu Pružnost a pevnost,

•

metoda integrace diferenciální rovnice ohybové čáry (popř. s Clebschovou úpravou integračního postupu) pro získání funkcí ohybové čáry nebo sklonů tečen k ohybové čáře, probraná rovněž v předmětu Pružnost a pevnost,

•

Castiglianova metoda vycházející z minima přetvárné práce, přičemž při uplatnění pomocné doplňkové síly se tato metoda ztotožní s metodou jednotkových sil.

Obr. 3.2: Virtuální práce síly a momentu

- 11 (50) -

Statika I

3.1

Virtuální veličiny a virtuální práce

Virtuální veličiny (označené symbolem δ nebo později pruhem) představují virtuální přetvoření a virtuální zatížení, resp. virtuální práci. Virtuální přetvoření (δs, δϕ) je velmi malé, fiktivní, myšlené, ale fyzicky možné, vyvolané virtuálním zatížením (obr. 3.2a). Nastává v souladu s vnějšími a vnitřními vazbami. Virtuální zatížení (δF, δM) je fiktivní, myšlené, ale možné zatížení, neomezené velikosti (nejčastěji volené jednotkové), viz obr. 3.2b. Virtuální práce síly (resp. momentu) je práce virtuální síly δF (resp. virtuálního momentu δM) na skutečném posunutí s (resp. pootočení ϕ) daná vztahem

δL = δF ⋅ s = δFs.

(3.1)

Virtuální práce reálné síly F (resp. momentu M) na virtuálním posunutí δs (resp. pootočení δϕ) je

δL = F ⋅ δs = Fδs .

(3.2)

Virtuální práce má kladnou hodnotu, je-li souhlasný smysl síly a deformace. V dalším textu jsou virtuální veličiny z důvodu odlišení obecné deformace (složky přemístění) δ od symbolu virtuálních veličin δ označeny pruhem, tedy

δF = F, δs = s = δ , δL = L = L .

(3.3)

Obr. 3.3: Rovinný nosník

3.1.1

Virtuální práce vnějších sil

Soustava vnějších virtuálních sil, tj. zatížení Fi , M i či reakcí Rrx , Rrz , M r (obr. 3.3), koná virtuální práci na skutečných deformacích (δi, ϕi, ur, wr, ϕr) vyvolaných libovolným skutečným silovým zatížením (F, M, q, n, m) nebo deformačním zatížením (popuštěním) –

od virtuálního zatížení podle vztahu Lez = ∑ Fi δi + ∑ M i φi ,

- 12 (50) -

(3.4)

Výpočet přetvoření prutových soustav

–

od virtuálních složek reakcí (u pružně poddajných podpor nebo u popuštění) ve tvaru Ler = ∑ ( R rx ur + R rx wr + M rϕ r ) = ∑ R rδ r ,

(3.5)

takže celková virtuální práce vnějších (externích) sil je ___

__

Le = Lez + Ler = ∑ Fiδ i + ∑ M iϕi + ∑ Rrδ r .

Obr. 3.4: Přetvoření prvku přímého nosníku

- 13 (50) -

(3.6)

Statika I

3.1.2

Virtuální práce vnitřních sil

Virtuální zatížení ( Fi , M i ) vyvolá v libovolném průřezu x (obr. 3.4a) virtuální vnitřní síly N , V , M . Kladné složky virtuálních vnitřních sil uvažujeme podle konvence (obr. 3.4d), přičemž předpokládáme N = N ′, V = V ′, M = M ′ . Kladné virtuální vnitřní síly N , V , M konají zápornou virtuální práci na kladných deformacích ∆u, ∆w, ∆ϕ (obr. 3.4b) od skutečného zatížení (silového či deformačního), takže l

Li = −∫ ( N ∆u + V ∆w + M ∆ϕ ) .

(3.7)

0

Přetvoření prutového elementu délky dx od vlivu skutečného zatížení (vnitřních sil N, V, M a změny teploty) vyšetřujeme samostatně (obr. 3.4f–h) na

− osové namáhání (vliv normálové síly a rovnoměrné změny teploty), − příčný smyk (vliv posouvající síly), − ohyb (vliv ohybového momentu a nerovnoměrné změny teploty). •

Osové namáhání

Při osovém namáhání (obr. 3.4f, c) je celkové prodloužení od tahové osové síly N a od rovnoměrného oteplení ∆t0 dáno výrazem

∆dx = ∆u = ∆u N + ∆ut =

N dx + α t ∆t0 dx , EA

(3.8)

kde A je průřezová plocha prutu, E modul pružnosti v tahu a tlaku, αt součinitel tepelné roztažnosti, ∆t0 je přírůstek teploty pro rovnoměrnou změnu.

•

Příčný smyk

U příčného smyku platí pro vzájemné příčné posunutí od posouvající síly V (obr. 3.4g) ∆w = γ dx, takže nakonec získáme vztah

∆w = κ

V dx , GA

(3.9)

kde G je modul pružnosti ve smyku, κ koeficient vlivu nerovnoměrného rozdělení smykového napětí po výšce průřezu (např. pro obdélník κ = 1,2 a pro kruh κ = 35/27) a A skutečná průřezová plocha prutu. Přetvoření vlivem posouvající síly se často u běžných prutů zanedbává, nutno ho však respektovat u nosníků vysokých (h >> b) a smykově poddajných.

•

Ohyb

Pro vliv ohybu vyšetříme vzájemné pootočení koncových průřezů od ohybového momentu M = My (obr. 3.4h). Protože platí dx = ρ dϕ, můžeme z poměrného protažení εx = ∆dx/dx = z/ρ při uvažování obecného vlákna ve vzdálenosti z a Hookova zákona vyjádřit příslušnou složku od ohybového momentu. Pootočení koncových průřezů od vlivu lineární nerovnoměrné změny teploty (obr. 3.4c) při konvenci stanovení teplotního rozdílu ∆t1 = ∆td – ∆th poskytne druhou složku pootočení.

- 14 (50) -

Výpočet přetvoření prutových soustav

Celkové vzájemné pootočení od vlivu ohybového momentu a nerovnoměrné změny teploty je pak dϕ = dϕ M + dϕ t =

M dx α t ∆t1 dx + , h EI

(3.10)

kde Iy = I je moment setrvačnosti průřezu k těžištní ose y a h výška průřezu. Virtuální práci Li virtuálních vnitřních sil N , V , M podle (3.7) pak získáme s využitím (3.8), (3.9) a (3.10) pro přímý prut proměnného průřezu délky l ve tvaru l l l l l NN ∆t  MM VV dx + ∫ Nα t ∆t0 dx + ∫ Mα t 1 dx . dx + ∫ dx + ∫ κ Li = −  ∫ h EI GA 0 0 0 0  0 EA 

(3.11) U zakřiveného prutu se zamění délka l za s a dx za ds, takže můžeme napsat s s s s s N N ∆t  MM VV ds + ∫ Nα t ∆t0 ds + ∫ Mα t 1 ds . ds + ∫ ds + ∫ κ Li = −  ∫ h  EI GA 0 0 0 0  0 EA

(3.12) Poznamenejme, že stejnou virtuální práci konají skutečné vnitřní síly N, V, M od skutečného zatížení na virtuálních přetvořeních ∆u , ∆w , ∆ϕ od virtuálního zatížení.

3.2

Lagrangeův princip virtuálních prací

Lagrangeův princip je formulován pro virtuální přemístění (posuny). Je jedním ze základních zákonů mechaniky (vyplývají z něho statické podmínky rovnováhy obecné prostorové soustavy sil). Pro tuhé těleso ho formuloval J. L. Lagrange (1736 – 1813) takto: „Virtuální práce rovnovážné soustavy sil působící na tuhé těleso je při libovolném virtuálním přemístění tělesa rovna nule (L = 0)“. V 19. století byl tento princip rozšířen i na pružná tělesa: „Při libovolném virtuálním přetvoření pružného tělesa, nacházejícího se v rovnovážném stavu, je součet virtuálních prací všech vnějších a vnitřních sil, působících na těleso, roven nule“. Platí tedy L = Le + Li = 0 ,

(3.13)

Le = − Li .

(3.14)

neboli

Po dosazení (3.6) a (3.12) do (3.14) obdržíme po úpravě pro zakřivený prut __

___

∑ Fiδ i + ∑ M iϕi = s

s

s

s

s

__ NN VV MM ∆t =∫ ds + ∫ κ ds + ∫ ds + ∫ Nα t ∆t0 ds + ∫ Mα t 1 ds − ∑ R rδ r , EA GA EI h 0 0 0 0 0 (3.15)

- 15 (50) -

Statika I

3.3

Věty o vzájemnosti virtuálních prací

3.3.1

Bettiho věta

Virtuální práce jedné soustavy vnějších sil F1, …, Fi, …, Fn (obr. 3.5), pracujících na posunutích δ1, …, δi, …, δn, vyvolaných druhou soustavou vnějších sil FI, …, Fk, …, Fm , je rovna virtuální práci druhé soustavy sil, působících na posunutích δI, …, δk, …, δm, vyvolaných první soustavou sil, tedy m

n

∑ Fδ = ∑ F δ . i =1

i i

k =1

k

(3.16)

k

Obr. 3.5: K Bettiho větě

Pro virtuální práci momentů pak analogicky platí n

n

i =1

i =1

∑ M iϕi = ∑ M kϕk .

(3.17)

Podobné vztahy lze rovněž napsat pro spojité zatížení příčné q, osové n či momentové m.

3.3.2

Maxwellovy věty

Maxwellovy věty představují zvláštní případy Bettiho věty. První Maxwellova věta se týká vzájemnosti posunutí. Uvažujme podle obr. 3.5 v rovnici (3.16) jako první soustavu Fi = 1 a druhou soustavu Fk = 1. Pak pro vzájemná posunutí dvou libovolných průřezů i, k platí

δ ik = δ ki .

(3.18)

Druhá Maxwellova věta pojednává o vzájemnosti pootočení. Jako první soustava se uvažuje Mi = 1 a druhá soustava Mk = 1. Pro vzájemná pootočení dvou libovolných průřezů i, k platí ϕik = ϕki , takže při obecném označení deformace symbolem δ získáme vztah (3.18). Třetí Maxwellova věta se týká vzájemnosti posunutí a pootočení. Jako první soustava se uvažuje Fi = 1 a druhá soustava Mk = 1. Pro vzájemný vztah mezi posunutím a pootočením dvou libovolných průřezů i, k podle Bettiho věty platí δik = ϕki , což představuje číselnou rovnost mezi posunutím δik průřezu i od Mk = 1 v průřezu k a pootočením ϕki průřezu k od Fi = 1 v průřezu i. Při obecném označení deformace symbolem δ opět získáme vztah (3.18). Ze vztahu (3.18) vyplývá symetrie soustavy rovnic či matice poddajnosti v silové metodě.

- 16 (50) -

Výpočet přetvoření prutových soustav

Obr. 3.6: Výpočet posunutí a pootočení průřezu rovinného plnostěnného nosníku

3.4

Výpočet deformací metodou jednotkových sil

Touto metodou lze vypočítat diskrétní hodnotu deformace, tj. v rovinné úloze posunutí u, w a pootočení ϕ daného průřezu nosníku (obr. 3.6). Je nutné uvažovat dva zatěžovací stavy, a to stav skutečný (způsobující přetvoření nosníku) se zatížením silovým (F, M, q, n, m) resp. deformačním (popuštění podpor či teplota) podle obr. 3.6a a stav virtuální s jednotkovou silou Fm = 1 (obr. 3.6b) působící ve směru hledaného posunutí δm nebo s jednotkovým momentem M m = 1 (obr. 3.6c) působícím ve směru hledaného pootočení ϕm (obecně rovněž označeného δm). Z rovnice (3.15) pak po rozepsání posledního členu podle výrazu (3.5) získáme obecně pro zakřivený prut Maxwellův–Mohrův vztah s

δm = ∫ 0

s

s

s

s

∆t NN VV MM ds + ∫ κ ds + ∫ ds + ∫ Nα t ∆t0 ds + ∫ Mα t 1 ds − EA GA EI h 0 0 0 0

__

__

___

(3.19)

− ∑ ( R rx ur + R rz wr + M r ϕ r ), r

kde δm je hledané posunutí um, wm (resp. pootočení ϕm), N, V, M jsou vnitřní síly od skutečného zatížení, ur, wr, ϕr jsou dané složky popuštění podporového průřezu r, N , V , M jsou virtuální vnitřní síly od virtuálního zatížení Fm = 1

- 17 (50) -

Statika I

(resp. M m = 1 ) působícího v průřezu m, Rrx , Rrz , M r jsou virtuální složky reakcí podporového průřezu r, vyvolané virtuálním zatížením Fm = 1 (resp. M m = 1 ) působícím v průřezu m, A je průřezová plocha prutu, I je moment setrvačnosti průřezu, h je jeho výška, E představuje modul pružnosti v tahu a tlaku, G je modul pružnosti ve smyku, ∆t0 je rovnoměrné oteplení průřezu, ∆t1 teplotní rozdíl dolních a horních vláken průřezu, αt součinitel tepelné roztažnosti a κ je koeficient vlivu nerovnoměrného rozdělení smykového napětí.

3.4.1

Zjednodušení výpočtu deformací plnostěnných nosníků

Maxwellův–Mohrův vztah (3.19) zahrnuje vliv všech tří složek výslednice vnitřních sil rovinného prutu od silového zatížení i obou typů deformačního zatížení (rovnoměrné a nerovnoměrné změny teploty a nepružného popuštění podpor). Ke zjednodušení lze přihlédnout v případě, je-li rovinná prutová soustava bez vlivu deformačního zatížení namáhaná převážně na ohyb (nosníky, rámy), takže můžeme zanedbat virtuální práci od normálových a posouvajících sil N, V. Pak z rovnice (3.19) zůstane pouze s

δ m = ∫ M M ds .

(3.20)

EI

0

Je-li navíc rovinná prutová soustava složená pouze z přímých prizmatických prutů s různými průřezovými charakteristikami (momentem setrvačnosti Ij), pak vztah (3.20) přejde na tvar p

lj

1 ∫ M M dx j . j =1 E j I j 0

δm = ∑

(3.21)

Výpočet určitého integrálu v (3.21) ze součinu dvou funkcí M(x) od skutečného silového zatížení (F, M, q, n, m) a M (x) od virtuálního zatížení Fm = 1 (resp. M m = 1 ) lze provést těmito způsoby: •

analyticky integrací z definovaných funkcí M(x), M (x) , přičemž obecně lze uvažovat i ohybovou tuhost jako funkci EI(x),

•

numerickou integrací (např. aplikací Simpsonova pravidla) pro pruty rovněž s obecně proměnnou ohybovou tuhostí (EI ≠ konst.),

•

užitím tabulky 5.1 pro pruty konstantního průřezu (EI = konst.),

•

aplikací Vereščaginova pravidla pro EI = konst.

Obr. 3.7: Vereščaginovo pravidlo

- 18 (50) -

Výpočet přetvoření prutových soustav

3.4.2

Vereščaginovo pravidlo

Je-li funkce M(x) libovolná spojitá hladká funkce a M (x) lineární funkce (od F = 1 , M = 1 ) podle obr. 3.7, pak platí s

___

∫ M M ds = AM M t .

(3.22)

0

Slovně to lze vyjádřit: Hodnota integrálu ze součinu dvou uvedených funkcí je rovna součinu plošného obsahu momentového obrazce od libovolné funkce a pořadnice u lineární funkce v místě těžiště obrazce s libovolnou funkcí. Vereščaginovo pravidlo lze aplikovat i pro jiné funkce splňující výše uvedené předpoklady, např. pro funkce normálových či posouvajících sil. Plošné obsahy obrazců najdeme např. v tabulce 3.1 druhého modulu Základů stavební mechaniky (BD01–MO2). Složitější obrazce (obr. 3.8) rozkládáme na jednodušší obrazce a aplikujeme princip superpozice, takže hodnota integrálu je s

s

0

0

___

s

___

s

___

s

___

∫ M M ds = ∫ M1 M 1 ds + ∫ M 1 M 2 ds + ∫ M 2 M1 ds + ∫ M 2 M 2 ds. 0

0

(3.23)

0

Pro každý integrál na pravé straně rovnice (3.23) můžeme aplikovat výpočet pomocí Vereščaginova pravidla (3.22).

Obr. 3.8: Složitější tvary momentových obrazců

3.4.3

Výpočet deformací příhradových soustav

Zvláštností příhradových soustav (obr. 3.9) je, že u nich vyšetřujeme jen složky posunutí u, w styčníků a v prutech vznikají pouze normálové síly N. Potom z Maxwellova–Mohrova vztahu (3.19) zůstane (při uvažování i deformačního zatížení) jen první a čtvrtý integrál a suma. Vzhledem ke konstantním funkcím normálových sil po prutech pro složku posunutí styčníku δm (ve směru x, z) platí s

s

N j N jl j p + ∑ N jα t ∆t j l j − ∑ Rrδ r EAj j =1 j =1 r

δ m = ∫ N N ds + ∫ Nα t ∆t0 ds − ∑ Rrδ r = ∑ 0

EA

0

p

r

(3.24) kde pro j = 1, 2, …, p je Nj osová síla prutu j od skutečného zatížení, δr dané popuštění podpory, N j osová síla prutu j od virtuální síly Fm = 1 , Rr reakce - 19 (50) -

Statika I

vnější vazby od Fm = 1 , lj délka prutu j, Aj průřezová plocha prutu j, ∆tj rovnoměrná změna teploty prutu j a popuštění δr se týká vodorovného a svislého posunu. Výsledné posunutí styčníku (obr. 3.9d) se určí z pravoúhlých složek.

Obr. 3.9: Přetvoření rovinného příhradového nosníku

3.5

Ilustrující příklad

Jako ukázku aplikace principu virtuálních prací pro řešení přetvoření plnostěnných nosníků a soustav si uvedeme případ lomené konzoly.

Příklad 3.1 Zadání

Stanovte výsledné posunutí δc a pootočení ϕc průřezu c lomeného konzolového nosníku (obr. 3.10) s pruty konstantního obdélníkového průřezu 0,2 × 0,3 m o délkách l1 = 3 m, l2 = 2 m. Zatížení má intenzitu q = 10 kNm–1, modul pružnosti má hodnotu E = 32,5 GPa. Řešení

Směr posunutí δc průřezu c nosníku je neznámý, takže neznáme směr uplatnění jednotkové virtuální síly. Proto vyjdeme z výpočtu dvou pravoúhlých složek posunutí δc,v a δc,h . Při řešení zanedbáme vliv normálových a posouvajících sil. Postačí tedy vykreslit průběhy ohybových momentů, a to od zadaného spojitého rovnoměrné- 20 (50) -

Výpočet přetvoření prutových soustav

ho zatížení podle obr. 3.10a s průběhy v obr. 3.10b a dále samostatně tři průběhy od jednotkových sil (svislé a vodorovné) a jednotkového momentu (obr. 3.10c–e). Vzhledem k jednoduchým průběhům sestavíme nejprve výraz pro výpočet deformace pomocí obecně označených veličin a následně ho vyčíslíme (přitom použijeme moment setrvačnosti určený ze zadaných rozměrů průřezu hodnotou I = 4,5 ⋅ 10–4 m4). K řešení použijeme vztahy z tabulky 5.1 a Vereščaginovo pravidlo.

Obr. 3.10: Lomený konzolový nosník

•

Svislé posunutí δc,v průřezu c

Použijeme momentové obrazce M (obr. 3.10b) a M (obr. 3.10c). Pak

•

 1  ql22   ql23  ql22      − ( − l ) l + − ( − l ) l    2 2  2  2 1  = 8EI (l2 + 4l1 ), 4 2      

δ c ,v =

1 EI

δ c,v =

10 ⋅ 23 (2 + 4 ⋅ 3) = 0,00957 m(↓). 8 ⋅ 32,5 ⋅ 106 ⋅ 4,5 ⋅ 10− 4

Vodorovné posunutí δc,h průřezu c

S přihlédnutím k momentovým obrazcům M (obr. 3.10b) a M (obr. 3.10d) dostaneme

δ c ,h = δ c, h •

ql 2l 2 1 1  ql22  (−l1 )l1 = 1 2 , ⋅  − EI 2  2  4 EI

10 ⋅ 32 ⋅ 22 = = 0,00615m(→). 4 ⋅ 32,5 ⋅ 106 ⋅ 4,5 ⋅ 10 − 4

Výsledné posunutí δc průřezu c

Výsledné posunutí získáme vektorovým součtem složek o velikosti δc,v a δc,h (obr. 3.10f). Má velikost

- 21 (50) -

Statika I

δ c = δ c2, h + δ c2, v a směr αc, pro nějž platí vztahy cos α c =

δ c ,h δ , sin α c = c ,v . δc δc

Číselně pak je

δ c = 0,006152 + 0,00957 2 = 0,01138m, α c = 57 o16 ' . •

Pootočení ϕc průřezu c

Využijeme momentové obrazce M (obr. 3.10b) a M (obr. 3.10e), takže  1  ql22   ql22  ql22      − ( − 1) l + − ( − 1) l (l2 + 3l1 ) ,   2 1 =   2  3 2 6 EI      

φc =

1 EI

ϕc =

10 ⋅ 2 2 (2 + 3 ⋅ 3) = 5,014 ⋅ 10 −3 rad, ϕ c = 17 '14'' 6 ⋅ 32,5 ⋅ 106 ⋅ 4,5 ⋅ 10 −4 (ve směru jednotkového momentu).

Otázky 1.

Vysvětlete pojem virtuálního přetvoření, zatížení a virtuální práce.

2.

Jak se určí virtuální práce vnějších a vnitřních sil přímého prutu?

3.

Princip virtuálních prací.

4.

Bettiho věta o vzájemnosti virtuálních prací.

5.

Maxwellovy věty.

6.

Maxwellův–Mohrův vztah pro výpočet přetvoření prutové konstrukce.

7.

Jak se určí posunutí či pootočení průřezu plnostěnného nosníku?

8.

Vereščaginovo pravidlo.

9.

Jak se určí posunutí styčníku rovinného příhradového nosníku?

Shrnutí Naučili jsme se určovat složky přemístění (posunutí a pootočení) v diskrétních bodech plnostěnných i příhradových nosníků metodou jednotkových sil, tj. aplikací principu virtuálních prací. Proto jsme si vysvětlili základní pojmy o virtuální práci a odvodili ji pro přímý rovinný prut. Pomocí Lagrangeova principu virtuálních prací jsme získali Maxwellův–Mohrův vztah pro výpočet deformací metodou jednotkových sil. Uvedli jsme si zjednodušení pro plnostěnné i příhradové nosníky a pomůcku pro vyčíslení integrálu – Vereščaginovo pravidlo. Získané znalosti jsme použili při řešení numerického příkladu.

- 22 (50) -

Silová metoda

4

Silová metoda

Silová metoda je jedna ze dvou základních metod pro řešení staticky neurčitých prutových konstrukcí. U této metody se za neznámé volí silové veličiny (reakce, složky výslednice vnitřních sil), proto se metoda označuje jako přímá. Počet neznámých veličin a současně počet řešených rovnic určuje stupeň statické neurčitosti. Vedle statických podmínek rovnováhy se navíc sestavují přetvárné (deformační) podmínky. Jako základní soustava se volí prutová soustava staticky určitá po odstranění přebytečných vazeb či interakcí. Silová metoda je vhodná pro řešení jednoduchých prutových soustav (s nízkým stupněm statické neurčitosti), není nevhodná k algoritmizaci, ale je nezbytná k řešení prutů základní přetvárně určité soustavy u deformační metody (viz předmět Statika II). Postup výpočtu prutové soustavy silovou metodou je takový, že na základní soustavě sestavíme deformační podmínky, čímž získáme soustavu lineárních algebraických rovnic. Jejich řešením obdržíme staticky neurčité veličiny a uplatněním tří statických podmínek rovnováhy (v rovině) vyřešíme na základní soustavě zbývající složky reakcí. Při všech známých složkách reakcí běžným postupem jako u staticky určité prutové soustavy určíme průběhy vnitřních sil N, V, M. Na počátku řešení staticky neurčité prutové konstrukce musí být předem zvolené (odhadnuté) rozměry průřezů všech prutů. Při dimenzování prutů na konkrétní průběhy vnitřních sil se pak ukáže, zda byly zvoleny vhodně. V opačném případě se musí provést úprava průřezových ploch a provést opravný výpočet.

Obr. 4.1: Staticky určitý, přeurčitý a neurčitý lomený nosník

4.1

Stupeň statické neurčitosti

Rovinná prutová soustava (obr. 4.1) uvolněná z podporových vazeb tvoří společně s daným zatížením a jím vyvolanými složkami reakcí podporových vazeb rovnovážnou rovinnou soustavu sil. V rovině však můžeme sestavit pouze tři statické podmínky rovnováhy. Je-li složek reakcí více, nestačí podmínky rovnováhy k jejich určení. Označíme-li a počet jednoduchých vnějších vazeb (event. převedených na jednoduché), je otevřená rovinná prutová soustava zevně staticky (a kinematicky) určitá, když a = 3, staticky neurčitá (a kinematicky přeurčitá), když a > 3 a staticky přeurčitá (a kinematicky neurčitá, tj. mechanismus), je-li a < 3.

- 23 (50) -

Statika I

Obr. 4.2: Vnitřní kluby

Statickou neurčitost snižují vložené vnitřní klouby (obr. 4.2). Jednoduchý vnitřní kloub spojující dva pruty přidává jednu statickou podmínku Mk = 0. Vnitřní kloub spojující navzájem n prutů pak přidává n – 1 statických podmínek a nahrazuje n – 1 jednoduchých kloubů.

Obr. 4.3: Jednoduchý uzavřený rám

Každá uzavřená část prutové soustavy (obr. 4.3) představuje v rovině tři neznámé složky výslednice vnitřních sil N, V, M. Rozříznutím uzavřené části a nahrazením třemi složkami interakcí v obou řezem rozdělených částech se tedy objeví tři neznámé silové veličiny. Stupeň statické neurčitosti rovinné prutové soustavy je tedy roven počtu nadbytečných staticky neurčitých veličin soustavy (podporové reakce, složky N, V, M v libovolném průřezu). Určíme ho obecně ze vztahu ns = (a – 3) + 3u – pk ,

(4.1)

kde a je počet složek reakcí vnějších vazeb, u počet uzavřených částí, pk počet jednoduchých vnitřních kloubů. Výraz a – 3 představuje zevní statickou neurčitost a výraz 3u – pk vnitřní statickou neurčitost. Odstraněním všech přebytečných veličin se vytvoří základní staticky určitá soustava.

Obr. 4.4: Staticky určitá, přeurčitá a neurčitá kloubová prutová soustava

- 24 (50) -

Silová metoda

Příhradová soustava (kloubová prutová soustava), např. podle obr. 4.4, je jako celek staticky (a kinematicky) určitá, když platí 2b = p + a (viz vztah (3.2) modulu BD01–MO4) a současně nenastane výjimkový případ, takže determinant D ≠ 0. Příhradová soustava je staticky neurčitá (a kinematicky přeurčitá), platí-li 2b < p + a a naopak staticky přeurčitá (a kinematicky neurčitá), je-li 2b > p + a. Stupeň statické neurčitosti příhradové soustavy lze tedy určit ze vztahu

ns = p + a – 2b ,

(4.2)

kde p je počet prutů (vnitřních vazeb), a počet složek reakcí vnějších vazeb, b počet styčníků. Výraz a – 3 představuje zevní statickou neurčitost a p + 3 – 2b vnitřní statickou neurčitost. Posouzení podle vztahu (4.1) je rovněž možné, ale poněkud nepraktické. Ve všech případech rovinných prutových soustav však vždy musí platit a ≥ 3.

4.2

Řešení rovinného rámu

Stupeň statické neurčitosti ns prutové soustavy stanovíme podle vztahu (4.1). Zvolíme základní staticky (a kinematicky) určitou soustavu, tj. odstraníme ns vhodně zvolených jednoduchých vazeb. Přitom nesmí nastat výjimkový případ podepření (musí tedy být D ≠ 0). Každou odebranou jednoduchou vazbu nahradíme odpovídající složkou reakce či interakce Xi (i = 1, 2, …, ns) s neznámou velikostí a libovolně zvoleným smyslem, které představují staticky neurčité veličiny. Základní staticky určitou soustavu lze vytvořit mnoha způsoby. Její tvar závisí na volbě přebytečných jednoduchých vazeb. Volíme ji vždy s ohledem na usnadnění výpočtu. Základní soustava je zatížena daným zatížením (silovým i deformačním) a staticky neurčitými veličinami Xi . Přitom deformace musí být shodná s deformací původní staticky neurčité konstrukce. V místě odebrané jednoduché vazby předepíšeme proto deformační (přetvárné) podmínky v obecném tvaru

δi = di (i = 1, 2, …, ns),

(4.3)

kde di jsou předepsané hodnoty deformací (u nepoddajného podepření di = 0).

Obr. 4.5: Jednoduchý staticky neurčitý rovinný rám

- 25 (50) -

Statika I

Např. u soustavy z obr. 4.5 s ns = 3 lze jako základní soustavu (s různými deformačními podmínkami) volit lomenou konzolu (obr. 4.5b), lomený prostý nosník (obr. 4.5c), trojkloubový lomený nosník (obr. 4.5d), složenou nosníkovou soustavu nebo po rozříznutí dvě lomené konzoly (obr. 4.5e). Veličiny s čárkou (obr. 4.5d, e) představují vzájemné posunutí či pootočení průřezu po rozříznutí. Přitom nesmíme volit základní soustavu tak, aby vzniknul virtuální kloub nebo aby tři klouby ležely v jedné přímce. Každou deformaci δi základní soustavy ve vztahu (4.3) vyjádříme jako funkci daného zatížení a jednotlivých staticky neurčitých veličin Xi (s využitím principu superpozice). Dílčí vyšetřované stavy pak jsou nultý stav s působícím daným zatížením a každý i–tý stav s působící jedinou příslušnou staticky neurčitou veličinou Xi = 1 (s využitím principu úměrnosti) pro i = 1, 2, …, ns.

Obr. 4.6: Metoda jednotkových sil u jednoduchého rovinného rámu

4.2.1

Obecně řešený příklad

Princip řešení rámu silovou metodou si ukážeme obecně na případu jednoduchého otevřeného rámu oboustranně vetknutého (obr. 4.6a). Podle vztahu (4.1) určíme ns = 3. Základní soustavu zvolíme jako prostý lomený nosník (obr. 4.6b) s neznámými X1 = Ma , X2 = Mb , X3 = Rbx . Na základní soustavě vyšetříme celkem ns + 1 = 4 zatěžovací stavy, a to

- 26 (50) -

Silová metoda

− nultý stav od daného zatížení (síly F), viz obr. 4.6c, − jednotkové stavy 1 až 3 pro neznámé jednotkové síly X1 = 1, X2 = 1 a X3 = 1 (obr. 4.6d–f). Pro každý z těchto zatěžovacích stavů vyšetříme průběhy ohybových momentů Mi (i = 0, 1, 2, 3), neboť vliv normálových a posouvajících sil na přetvoření zanedbáme. Přetvárné (deformační) podmínky předepíšeme tak, aby deformace základní soustavy (s působícím zadaným zatížením a neznámými silami Xi) byla stejná jako původní staticky neurčitá soustava, tedy

ϕa = δ1 = 0, ϕb = δ 2 = 0, ub = δ 3 = 0.

(4.4)

Aplikací principu superpozice a principu úměrnosti můžeme přetvárné podmínky rozepsat do soustavy přetvárných rovnic

δ1,1 X 1 + δ1, 2 X 2 + δ1,3 X 3 + δ1,0 = 0, δ 2,1 X 1 + δ 2, 2 X 2 + δ 2,3 X 3 + δ 2, 0 = 0,

(4.5)

δ 3,1 X 1 + δ 3, 2 X 2 + δ 3,3 X 3 + δ 3, 0 = 0.

4.2.2

Kanonické rovnice

Rovnice (4.5) představují kanonické rovnice (kánon je zákon, pravidlo), které nezávisí na tvaru prutové soustavy. Fyzikální význam přetvárných součinitelů δi,k (vzhledem k platnosti třetí Maxwellovy věty) se při numerickém řešení potlačuje. V úsporném tvaru pak můžeme kanonické rovnice obecně zapsat ns

∑δ k =1

i,k

X k + δ i , 0 = 0 (i = 1,2,3 ≡ ns ).

(4.6)

kde δi,k je deformační součinitel vyjadřující pootočení nebo posunutí průřezu i základní soustavy ve směru veličiny Xi od k–tého jednotkového stavu Xk = 1, δi,0 je deformační součinitel vyjadřující pootočení nebo posunutí průřezu i základní soustavy ve směru veličiny Xi od nultého zatěžovacího stavu. Index i představuje číslo deformace (místo sledované deformace) a je totožné s číslem neznámé veličiny Xi . Index k, resp. 0 určuje číslo zatěžovacího stavu, v němž deformace vznikla. Součinitele δi,i se nazývají hlavní deformační součinitele (neboť leží na hlavní diagonále) a součinitele δi,k jsou vedlejší deformační součinitele (leží na vedlejších diagonálách). Podle Maxwellovy věty platí

δi,k = δk,i

(pro i ≠ k) .

(4.7)

V maticové formě můžeme (bez vlivu deformačního zatížení typu popuštění) zapsat kanonické rovnice ve tvaru

δX + δ 0 = 0

(4.8)

nebo s vlivem deformačního zatížení typu popuštění ve tvaru

δX + δ 0 = d,

(4.9)

- 27 (50) -

Statika I

kde je matice deformačních součinitelů δ1,1 , δ1, 2 , ... , δ1, ns    δ 2,1 , δ 2, 2 , ... , δ 2, n s   δ = , ...   δ s ,1 , δ s , 2 , ... , δ s , n s 

(4.10)

vektor staticky neurčitých veličin

{

}

T

X = X 1 , X 2 , ..., X n s ,

(4.11)

vektor zatěžovacích členů

δ 0 = {δ1, 0 , δ 2,0 , ..., δ n

}, T

s

,0

(4.12)

event. vektor daných deformací v místech odebraných vazeb (tj. nehomogenní okrajové podmínky)

{

}

T

d = d1 , d 2 , ..., d n s .

4.2.3

(4.13)

Výpočet přetvárných součinitelů

Pro určení přetvárných součinitelů δi,k a δi,0 využijeme aplikaci principu virtuálních prací podle kapitoly 3. Při uvažování vlivu ohybových momentů, normálových i posouvajících sil získáme z Maxwellova–Mohrova vztahu (3.19) výrazy MiM 0 NN VV ds + ∫ i 0 ds + ∫ κ i 0 ds, EA GA EI L L L

(4.14)

MiM k NN VV ds + ∫ i k ds + ∫ κ i k ds, EI EA GA L L L

(4.15)

δ i ,0 = ∫

δi,k = ∫

kde k výpočtu integrálů můžeme využít tabulku 5.1 nebo Verečšaginovo pravidlo (odst. 3.4.2). Vliv normálových a posouvajících sil se u přímých prutů velmi často zanedbává. Pro určení správného znaménka přetvárného součinitele z ohybových momentů je výhodné obrazce ohybových momentů opatřit znaménky podle zvolených konvenčních vláken (viz obr. 4.6). Kreslíme-li důsledně pořadnice ohybových momentů na stranu skutečně tažených vláken, pak platí, že jsou-li obrazce na stejné (opačné) straně, je přetvárný součinitel kladný (záporný).

4.2.4

Určení vnitřních sil

U každého prutu vyjmutého z rámové soustavy je nutné určit zbývající statické veličiny. Výpočet vnitřních sil v průřezu x provedeme na základní soustavě buď •

podle zásad statiky, přičemž na základní soustavě působí dané silové zatížení a již známé síly Xi , nebo

•

pomocí superpozičních vztahů

- 28 (50) -

Silová metoda

Mx = Mx,0 + Mx,1 X1 + Mx,2 X2 + … + Mx,ns Xns ,

(4.16)

Ra = Ra,0 + Ra,1 X1 + Ra,2 X2 + … + Ra,ns Xns .

(4.17)

Při uvažování vlivu V, N pro výpočet přetvárných součinitelů (méně častý případ) lze analogicky též uvažovat vztahy Vx = Vx,0 + Vx,1 X1 + Vx,2 X2 + … + Vx,ns Xns , Nx = Nx,0 + Nx,1 X1 + Nx,2 X2 + … + Nx,ns Xns .

(4.18)

V případě, že z výpočtu prutové soustavy určíme v koncích jednotlivých prutů koncové momenty, můžeme samostatným řešením každého prutu jako prostého nosníku (obr. 4.7a) určit průběhy vnitřních sil V a M z níže odvozených obecných vztahů. Dané zatížení na prutu (obr. 4.7b) a koncové momenty (obr. 4.7c) můžeme posuzovat samostatně a výsledky superponovat.

Obr. 4.7: Prut ab (jako prostý nosník) vyjmutý z prutové soustavy

Posouvající sílu v libovolném průřezu x prutu ab můžeme s použitím principu superpozice účinků získat ve tvaru

Vx = Vx , 0 + ∆Vx = Vx , 0 +

Mb − Ma , lab

(4.19)

kde Vx,0 je posouvající síla v průřezu x prostého nosníku ab od daného silového zatížení a ∆Vx představuje přírůstek posouvající síly od koncových momentů Ma a Mb , který je konstantní pro celý prut. Nejčastěji se posouvající síly určují v koncových průřezech a nebo b. Mezipodporový moment v libovolném průřezu x získáme ze vztahu

M x = M x , 0 + ∆M x = M x , 0 +

M a x′ + M b x , lab

(4.20)

kde Mx,0 je ohybový moment v průřezu x prostého nosníku od daného silového zatížení, ∆Mx je přírůstek ohybového momentu v průřezu x od vlivu koncových momentů. Normálové síly v prutech se určí z podmínek rovnováhy neznámých normálových sil a známých posouvajících sil (včetně daného silového uzlového zatížení) na uvolněných uzlech.

- 29 (50) -

Statika I

Kontrolu rovnováhy je nutno provést jednak u jednotlivých uvolněných uzlů, nevyužitých pro výpočet normálových sil, jednak pro celou rámovou soustavu (uplatní se v rovině tři globální statické podmínky rovnováhy).

4.3

Ilustrující příklad

Jako ukázku aplikace řešení rovinného rámu silovou metodou si uvedeme případ lomeného nosníku oboustranně vetknutého.

Příklad 4.1 Zadání

Vyřešte daný jednoduchý otevřený rovinný rám z obr. 4.6a s pruty konstantního průřezu o délkách l1 = v1 = 6 m, l2 = v2 = 4 m, l3 = l = 8 m, momentech setrvačnosti I1 = 0,005 m4, I2 = 0,004 m4, I3 = 0,006 m4, modulu pružnosti E = 27 GPa pro zatížení osamělou silou F = 8 kN ve vzdálenosti p = 6 m. Řešení

Ze vztahu (4.1) určíme ns = 3. Základní soustavu zvolíme jako prostý lomený nosník (obr. 4.6b) s neznámými X1 = Ma , X2 = Mb , X3 = Rbx . Deformační podmínky mají tvar (4.4) a z nich plynou přetvárné rovnice (4.5). Zanedbáme-li vliv normálových a posouvajících sil na deformaci základní soustavy, můžeme přetvárné součinitele určit podle (4.15) analogicky ke vztahu (3.21) ve tvaru

δ i ,k

p

lj

1 =∑ ∫ M i M k dx j . j =1 E j I j 0

(4.21)

Momentové obrazce nultého i jednotkových stavů jsou nakresleny na obr. 4.6c–f. Vyčíslení součinitelů δi,k včetně rozměrových jednotek je:

δ1,1 =

1 1 1 2 v l ⋅ v1 ⋅1 ⋅1 + ⋅ ⋅1 ⋅ l ⋅ ⋅1 = 1 + = 6,091 ⋅10 −5 (kNm) −1 , 3 EI1 EI 3 2 EI1 3EI 3

δ1, 2 =

1 1 1 l ⋅ ⋅1 ⋅ l ⋅ ⋅1 = = δ 2,1 = 8,230 ⋅10 −6 (kNm) −1 , 3 6 EI 3 EI 3 2

δ1,3

1  v1  1 1 v2  v12 l  2 = ⋅ ⋅1 ⋅ l  − v1 −  = − (2v1 + v2 ) = −  − ⋅ v1  ⋅ l + EI 3 2 EI1  2  3 2 EI1 6 EI 3  3 = δ 3,1 = −2,650 ⋅10 −4 (kN ) −1 ,

δ 2, 2 = δ 2,3

v2 l + = 5,350 ⋅10 −5 (kNm) −1 , EI 2 3EI 3

v22 1 =− − (v1 + 2v2 ) = δ 3, 2 = −1,893 ⋅10 −4 (kN ) −1 , 2 EI 2 6 EI 3

δ 3, 3 =

v13 v3 l + 2 + (v12 + v1v2 + v22 ) = 1,982 ⋅10 −3 (kN ) −1 m. 3EI1 3EI 2 3EI 3

- 30 (50) -

Silová metoda

Vyčíslení součinitelů δi,0 včetně rozměrových jednotek je:

δ1,0 =

Fpp' Fpp' (l + p' ) = 1,235 ⋅10−4 [1], δ 2, 0 = (l + p) = 1,728 ⋅10 −4 [1], 6 EI 3l 6 EI 3l

δ 3, 0 = −

Fpp' [v1 (l + p' ) + v2 (l + p)] = −1,432 ⋅10−3 m. 6 EI 3l

Pro numerický výpočet byly zavedeny poměrné deformace δ i′,k = 10–3Eδi,k a

δ i′, 0 = 10–3Eδi,0 o velikostech 

6 8 8  6 + = 1,664m −3 , = +  E ⋅ 0,005 3E ⋅ 0,006  5 3 ⋅ 6

δ '1,1 = 10−3 Eδ 1,1 = 10 −3 E 

8 = 0,222m −3 , 6⋅6 62 8 −3 − (2 ⋅ 6 + 4) = −7,156m −2 , δ '1,3 = 10 Eδ 1, 3 = − 2⋅5 6⋅6 −3 δ '2 , 2 = 1,4444m , δ '2 , 3 = −5,111m −2 , δ '3, 3 = 53,111m −1 ,

δ '1, 2 = 10 −3 Eδ 1, 2 =

δ '1, 0 = 3,333kNm −2 , δ '2, 0 = 4,667kNm −2 , δ '3, 0 = −38,667kNm −1. Soustava kanonických rovnic má číselný tvar 1,644 X 1 + 0,222 X 2 − 7,156 X 3 = −3,333, 0,222 X 1 + 1,444 X 2 − 5,111X 3 = −4,667, − 7,156 X 1 − 5,111X 2 + 53,511X 3 = 38,667 a řešení X 1 = M a = 2,945kNm (po směru chodu hodinových ručiček), X 2 = M b = 0,403kNm (proti směru chodu hodinových ručiček), X 3 = Rbx = 1,155kN (←). Výpočet zbývajících statických veličin provedeme na základní soustavě. Složky reakcí ze superpozičních vztahů jsou Rax = 0 + 0 ⋅ 2,945 + 0 ⋅ 0,403 + 1 ⋅ 1,155 = 1,155kN (→), Raz =

8⋅2  1 1 6−4 +  − 2,945 + ⋅ 0,403 + ⋅ 1,155 = 1,971kN (↑), 8 8 8  8

Rbz =

8⋅6 1  1  6−4 + ⋅ 2,945 +  −  ⋅ 0,403 +  −  ⋅ 1,155 = 6,029kN (↑); 8 8 8   8 

můžeme též využít statických podmínek rovnováhy

∑F

ix

= 0,

∑M

ib

= 0,

∑M

ia

= 0.

Přitom platí kontrola

∑F

iz

= 0 : − Raz − Rbz + F = 0.

Ohybové momenty ze superpozičních vztahů vycházejí - 31 (50) -

Statika I

M ac = M a = 2,945kNm, M bd = M b = 0,403kNm, M ca = 0 + 1 ⋅ 2,945 + 0 ⋅ 0,403 + (−6) ⋅1,155 = −3,985kNm = M cd , M dc= 0 + 0 ⋅ 2,945 + 1 ⋅ 0,403 + (−4) ⋅1,155 = −4,217 kNm = M db ,

M e = M max =

8⋅6⋅ 2 1   + 0,25 ⋅ 2,945 + 0,75 ⋅ 0,403 +  − 4 − ⋅ 2 1,155 = 7,841kNm, 8 4  

Obr. 4.8: Průběhy M, V, N na jednoduchém rámu

posouvající síly Vac = Vca = − Rax = −1,155 kN, Vce = Vec = Raz = 1,971 kN, M dc − M cd 8 ⋅ 2 (−4,217) − (−3,985) = + = 1,971 kN, l 8 8 Ved = Vde = 1,971 − 8 = 6,029 kN = − Rbz , Vce = Vce,0 +

- 32 (50) -

Silová metoda

Vbd = Vdb = Rbx = 1,155 kN a normálové síly N ac = N ca = − Raz = −1,971kN (tlak ), N cd = N dc = − Rax = −1,155kN (tlak ), N bd = N db = − Rbz = −6,029kN (tlak ). Průběhy vnitřních sil jsou vyneseny na obr. 4.8.

4.4

Deformační zatížení rámu

4.4.1

Vliv změny teploty

Změna teploty tvoří samostatný zatěžovací stav, přičemž δi,k jsou stejná jako u silového zatížení (obvykle pouze s vlivem M) a δi,0 je nutno určit pro příslušný nultý stav. Teplotní účinek lze rozložit na rovnoměrnou změnu teploty (∆t0), způsobující prodloužení či zkrácení prutu, a na nerovnoměrnou změnu teploty (∆t1) lineárně se měnící po výšce průřezu, způsobující ohyb. Pro obdélníkový průřez platí ∆t0 =

1 (∆td + ∆th) , 2

∆t1 = ∆td – ∆th .

(4.22)

Podle Maxwellova–Mohrova vztahu (3.19) platí obecně p lj

p lj

j =1 0

j =1 0

δ i , 0 = ∑ ∫ N iα t ∆t0 dx j + ∑ ∫ M iα t

∆t1 dx j , (i = 1, 2, ..., ns ) h

(4.23)

a při ∆t0 = konst., ∆t1/h = konst. je

δ i,0

lj lj p  p   ∆t1  = α t ∑ (∆t0 ) j ∫ N i dx j + ∑   ∫ M i dx j  . j =1  h  j 0  j =1  0

(4.24)

Pro i–tý jednotkový stav nutno určit nejen Mi , ale i Ni . Zvláštní případ nastane, jedná-li se o vliv rovnoměrné změny teploty při ∆t0 = konst. a uspořádání vnějších vazeb nebrání tepelné deformaci (obr. 4.9). Pak toto zatížení nevyvolá R a N, V, M.

Obr. 4.9: Rovnoměrné oteplení otevřeného (a) a uzavřeného (b) rovinného rámu

- 33 (50) -

Statika I

4.4.2

Dané popuštění podpor rámu

Dané nepružné popuštění rámu tvoří samostatný zatěžovací stav, přičemž δi,k je stejné jako u silového zatížení a δi,0 nutno určit pro příslušný nultý stav. Podle zvolené základní soustavy se vliv popuštění projeví − u odebraných jednonásobných vazeb, kde se hodnota popuštění di (i–té vazby s neznámou staticky neurčitou veličinou Xi) objeví na pravé straně přetvárné rovnice (znaménka podle smyslů di a Xi); deformace v místě původního podepření není nulová, ale je rovna danému popuštění (tj. nehomogenní okrajová podmínka), − u ponechaných jednonásobných vazeb, kde se vliv popuštění δr (konkrétně ur , wr , ϕr) projeví pomocí nultého zatěžovacího stavu; absolutní přetvárné součinitele δi,0,p pak určíme podle Maxwellova–Mohrova vztahu ve tvaru pv

pv

r =1

r =1

δ i , 0, p = −∑ Rr ,i δ r = −∑ ( Rrx ,i ur + Rrz ,i wr + M r ,i ϕ r ), (i = 1,.., ns ) ,(4.25) kde Rr,i jsou složky reakcí v ponechaných vazbách r základní soustavy v i–tém stavu, δr je hodnota daného popuštění vazby r ve směru reakce Rr,i (znaménko podle smyslu reakce), pv je počet ponechaných vazeb základní soustavy (obvykle 3). Přetvárné rovnice (pro obě varianty zadávání daného popuštění) jsou ns

∑δ k =1

i,k

X k + δ i , 0, p = d i , (i = 1, 2, ..., ns )

(4.26)

a po úpravě ns

∑δ k =1

4.5

pv

i,k

X k = −δ i ,0, p + d i = ∑ Rr ,i δ r + d i , (i = 1, 2, ..., ns ) .

(4.27)

r =1

Řešení spojitého nosníku

Spojitý plnostěnný nosník (obr. 4.10) je přímý nosník uložený na více než dvou podporách. Alespoň jedna podpora je pevná (vetknutí nebo neposuvný kloub), ostatní podpory jsou posuvné. Neuvažují se vložené vnitřní klouby v polích. Nad vnitřními podporami probíhá nosník spojitě (nejsou tam vnitřní klouby). Pole je část spojitého nosníku mezi sousedními podporami, rozpětí je délka pole (obr. 4.10), průřez spojitého nosníku může být konstantní po celé délce, konstantní v jednotlivých polích nebo se jedná o pruty s náběhy u podpor.

Obr. 4.10: Spojitý nosník o třech polích

- 34 (50) -

Silová metoda

Stupeň statické neurčitosti se stanoví zjednodušením vztahu (4.1) ns = a – 3, takže jednoduše platí pro spojitý nosník s pevným kloubem (obr. 4.10a), že ns je rovno počtu vnitřních podpor, pro spojitý nosník s vetknutím (obr. 4.10b) platí, že ns je roven počtu všech jednoduchých posuvných podpor.

Obr. 4.11: Základní staticky určitá soustava spojitého nosníku

K řešení spojitého nosníku se dá výhodně použít metoda třímomentových rovnic. Je to v podstatě metoda silová se zvláštní volbou základní staticky určité soustavy. Základní soustava se vytvoří vložením kloubů do podpor, takže vznikne soustava prostých nosníků podle obr. 4.11c (v počtu všech polí), která je z hlediska aplikace silové metody nejvýhodnější. Za neznámé se volí podporové momenty Mi (i = 1, 2, …, ns) ve vetknutí a nad vnitřními podporami. Za kladné podporové momenty (obr. 4.11c) se považují momenty natahující spodní (konvenční) vlákna nosníku. Deformační podmínka pak zajišťuje, že u vnitřní podpory (např. podpory b nosníku z obr. 4.11b) nesmí nastat zlom, tj. zůstává stejný sklon tečen

- 35 (50) -

Statika I

k ohybové čáře spojitého nosníku zleva i zprava. Přitom je přijata konvence, že kladné pootočení působí směrem dolů (viz obr. 4.11d–g). Pak platí

Φba = –Φbc .

(4.28)

Ve vetknutí nenastane pootočení, takže je

Φab = 0.

(4.29)

Sklony tečen k ohybové čáře u vnitřní podpory b rozepíšeme podle obr. 4.11d–f

Φba = Ma βba + Mb αba + ϕba ,

(4.30)

Φbc = Mb αbc + Mc βbc + ϕbc .

(4.31)

Z podmínky spojitosti (4.28) získáme dosazením výrazů (4.30) a (4.31) po úpravě pro dvě sousední pole třímomentovou rovnici (Clapeyronovu rovnici) pro podporu b s vlivem silového zatížení Ma βba + Mb (αba + αbc) + Mc βbc + ϕba + ϕbc = 0

(4.32)

s neznámými podporovými momenty Ma , Mb , Mc . Pro další podpory vyjádříme třímomentovou rovnici cyklickou záměnou indexů.

Obr. 4.12: Vetknutý konec a spojitého nosníku

Pro vetknutý konec a (obr. 4.12a) lze uvažovat dvě varianty odvození. Buď rozepíšeme přímo podmínku (4.29) Φab = 0 pomocí výrazu (4.31), v němž provedeme cyklickou záměnu indexů b → a, c → b, takže rovnice pro podporu a má jednodušší tvar Ma αab + Mb βab + ϕab = 0 .

(4.33)

V druhém případě přepíšeme třímomentovou rovnici (4.32) s cyklickou záměnu indexů a → o, b → a, c → b na tvar Mo βao + Ma (αao + αab) + Mb βab + ϕao + ϕab = 0

(4.34)

a zjednodušíme ji pomocí tzv. tuhého nulového pole oa (obr. 4.12b), pro které uvažujeme loa → 0 a dosazujeme Mo = 0, αao = βao = ϕao = 0. Vliv svislého zatížení převislého konce se uplatní vyjádřením známého podporového momentu. Např. pro podporu d v obr. 4.16 platí Md = – F sinα · lde při respektování konvence z obr. 4.11c.

- 36 (50) -

Silová metoda

4.5.1

Deformační zatížení

Deformační zatížení spojitého nosníku zahrnuje dané nepružné popuštění podpor a vliv nerovnoměrné změny teploty. Rovnoměrná změna vede na prodloužení nosníku bez vzniku V, M a neuplatní se u spojitých nosníků s jedinou vazbou proti vodorovnému posunu. Při daném popuštění podpor se střednice prostých nosníků ab, bc základní soustavy (obr. 4.11g) pootočí o úhly

ϕba , p ≈ tgϕba , p = ϕbc , p ≈ tgϕbc , p

wa − wb , lab

(4.35)

w − wb = c . lac

Ve vetknutí (obr. 4.12c) poklesne o stejnou hodnotu celé nulové pole oa, takže wo = wa a tím ϕoa,p = 0.

Obr. 4.13: Nerovnoměrná lineární změna teploty nosníku

Při nerovnoměrné změně teploty uvažujeme lineární změnu teploty po výšce průřezu. Přitom se teplota dolních vláken se změní o hodnotu (přírůstek) ∆td a teplota horních vláken se změní o hodnotu ∆th . Podporové průřezy prostých nosníků základní soustavy u podpory b (obr. 4.13) se pootočí podle Maxwellova–Mohrova vztahu (3.19) o úhly

ϕba ,t ϕbc ,t

l

lab

ab ∆t1 ( x) α x ∆t ( x) = ∫ M ( x)α t dx = ∫ α t 1 dx = t h( x ) l h( x ) lab 0 0 ab

lbc

lab

∫x 0

∆t1 ( x) dx, h( x )

lbc

∆t ( x) α ∆t ( x) = ∫ M ( x)α t 1 dx = t ∫ (lbc − x) 1 dx, h( x ) lbc 0 h( x ) 0

(4.36)

kde podle (4.22) platí ∆t1(x) = ∆td – ∆th a h(x) je výška průřezu. U nosníku s konstantním průřezem lze pootočení vyjádřit jednoduššími vztahy

ϕba ,t =

α t ∆tablab 2hab

, ϕbc ,t =

α t ∆tbclbc 2hbc

,

(4.37)

kde teplotní rozdíly jsou pak ∆tab = ∆tab,d – ∆tab,h , ∆tbc = ∆tbc,d – ∆tbc,h . - 37 (50) -

Statika I

4.5.2

Obecný tvar třímomentové rovnice

S přihlédnutím ke vztahům (4.32), (4.36) a (4.35) pak můžeme pro podporu b spojitého nosníku při uvažování silového i deformačního zatížení napsat obecný tvar třímomentové rovnice M a β ba + M b (α ba + α bc ) + M c β bc + ϕba + ϕbc + +

wa − wb wc − wb α t + + lab lac lbc

l ab

∫x 0

l

(4.38) α bc ∆t1 ( x) ∆t ( x) dx + t ∫ (lbc − x) 1 dx = 0. h( x ) lbc 0 h( x )

U prutů s konstantním průřezem v jednotlivých polích jsou deformační úhly dány vztahy

α ab = α ba = α =

l l α , β= = 3EI 2 6 EI

(4.39)

a úhly ϕ určíme pomocí Maxwellova–Mohrova vztahu (3.19) nebo z tabulky 5.2. Integrály vyjadřující pootočení od vlivu nerovnoměrné změny teploty lze vyjádřit jednoduchými vztahy (4.37). Průběhy vnitřních sil u spojitého nosníku určíme následovně. Momentový obrazec lze vynést hned po vyřešení soustavy třímomentových rovnic tak, že z pořadnic podporových momentů získáme v každém poli posunutou základní čáru a od ní pak vynášíme obrazce ohybových momentů podle typu zatížení jako na prostém nosníku. Zbývající statické veličiny spojitého nosníku lze výhodně určit z vypočtených podporových momentů, které představují koncové momenty na jednotlivých prutech. Pro posouvající sílu v libovolném průřezu x platí výraz (4.19) a pro mezipodporový moment rovnice (4.20).

Obr. 4.14: Uvolněný nosníkový element s reakcí Rb

Podporovou reakci posuvného kloubu stanovíme z rovnováhy svislých sil působících na uvolněný nosníkový element nad podporou b (obr. 4.14) a získáme

∑ Fiz = 0 :

– Rb – Vb,l + Vb,p = 0,

(4.40)

takže

Rb = – Vb,l + Vb,p = – Vba + Vbc .

(4.41)

Vodorovná složka reakce spojitého nosníku s jedinou vazbou proti vodorovnému posunu (pevný kloub nebo dokonalé vetknutí) je staticky určitá veličina a určí se z podmínky rovnováhy všech vodorovných sil ∑ Fix = 0 pro celý spojitý nosník. Nosník se dvěma vazbami proti vodorovnému posunutí (obr. 4.15) je pro osové silové zatížení řešen v následujícím odstavci.

- 38 (50) -

Silová metoda

4.5.3

Oboustranně vetknutý nosník osově zatížený

Nosník se dvěma vazbami proti vodorovnému posunutí (obr. 4.15) je jedenkrát staticky neurčitý pro osové silové zatížení a řeší se s uvažováním vlivu normálových sil, tj. pomocí prvního integrálu vztahu (3.19). Při uvolněné pravé podpoře b je neznámá X1 = Rbx . Přetvárnou podmínku ub = 0 lze rozepsat do tvaru

δ1 X1 + δ0 = 0 ,

(4.42)

kde δ1 představuje osovou poddajnost a pro posun konce b od X1 = 1 při N(x) = 1 a N ( x) = 1 u prutu konstantního průřezu platí l

δ1 = ∫ 0

l 1 . dx = EA EA

(4.43)

Zatěžovací síla vyvolá deformaci uvolněného konce b o velikosti δ0 , takže při N(x) = – F v intervalu ‹0, p› a N ( x) = 1 získáme p

1 −F dx = − Fp . EA EA 0

δ0 = ∫

(4.44)

Pak neznámá vodorovná složka reakce vyjde z (4.42) ve tvaru

X 1 = Rbx = −

δ0 =− δ1

−

1 Fp p EA =F l l EA

(4.45)

a z podmínky rovnováhy do vodorovné osy dořešíme Rax (obr. 4.15). Řešení staticky neurčitého nosníku zatíženého osovým zatížením vede na analogii s výpočtem posouvajících sil prostého nosníku příčně zatíženého (obr. 4.15i).

Obr. 4.15: Oboustranně vetknutý nosník s osovým zatížením

- 39 (50) -

Statika I

4.5.4

Příklad řešení spojitého nosníku

Příklad 4.2 Zadání

Vyřešte spojitý nosník konstantního průřezu po celé délce z obr. 4.16a pro zatížení F = 3 kN, α = 30º, q = 1 kNm–1. Řešení

Postup řešení naleznete v učebnici [1] na str. 126 až 128. Výsledné průběhy vnitřních sil jsou na obr. 4.16c–e.

Obr. 4.16: Spojitý nosník o třech polích s převislým koncem

- 40 (50) -

Silová metoda

Otázky 1.

Stupeň statické neurčitosti rovinné prutové soustavy.

2.

Volba staticky neurčitých veličin rámu.

3.

Podstata řešení rovinného rámu silovou metodou.

4.

Výpočet přetvárných součinitelů.

5.

Vysvětlete pojem rovinný spojitý plnostěnný nosník.

6.

Volba staticky neurčitých veličin spojitého nosníku.

7.

Jakou deformační podmínku vyjadřuje třímomentová rovnice?

8.

Vliv převislého konce u spojitého nosníku.

9.

Výpočet podporových reakcí spojitého nosníku.

10.

Vliv změny teploty rovinného rámu.

11.

Vliv daného popuštění rovinného rámu.

Shrnutí V této kapitole jsme si objasnili princip řešení staticky neurčitých prutových soustav silovou metodou. Nejprve jsme si ukázali řešení rovinného rámu a následně řešení spojitého nosníku pomocí speciální volby základní soustavy, vedoucí na odvození třímomentové rovnice. Zabývali jsme se rovněž vlivem deformačního zatížení při řešení rovinných rámů a spojitých nosníků.

- 41 (50) -

Statika I

- 42 (50) -

Tabulky

5

Tabulky

V této kapitole jsou souhrnně uvedeny všechny tabulky univerzálně použitelné v předchozích kapitolách.

Tab. 5.1: Hodnoty integrálů

∫ MMdx u prutů konstantního průřezu

- 43 (50) -

Statika I

Tab. 5.1: Hodnoty integrálů

∫ MMdx u prutů konstantního průřezu (pokračování)

- 44 (50) -

Tabulky

Tab. 5.1: Hodnoty integrálů

∫ MMdx u prutů konstantního průřezu (pokračování)

- 45 (50) -

Statika I

Tab. 5.2: Deformace prostého nosníku konstantního průřezu

- 46 (50) -

Tabulky

Tab. 5.2: Deformace prostého nosníku konstantního průřezu (pokračování)

- 47 (50) -

Statika I

Tab. 5.2: Deformace prostého nosníku konstantního průřezu (pokračování)

- 48 (50) -

Studijní prameny

6

Studijní prameny

6.1

Seznam použité literatury

[1]

Kadlčák, J., Kytýr, J. Statika stavebních konstrukcí II. Staticky neurčité prutové konstrukce. Druhé vydání. VUTIUM, Brno 2004

[2]

Kadlčák, J., Kolář, A., Kytýr, J., Maurer, E. Statika stavebních konstrukcí I. Skriptum. VUT v Brně, Brno 1996

6.2

Seznam doplňkové studijní literatury

[3]

Chobot, K., Benda, J., Hájek, V., Novotná, H. Statika stavebních konstrukcí II. Učebnice. SNTL/ALFA, Praha 1983

[4]

Harvančík, J., Pekarovič, J. Stavebná mechanika I. ALFA, Bratislava 1981

[5]

Harvančík, J., Pekarovič, J., Sobota, J. Stavebná mechanika – príklady. ALFA/SNTL, Bratislava 1986

[6]

Cais, S. Statika stavebních konstrukcí – Dějiny stavební mechaniky. Doplňková skripta. ČVUT, Praha 1991

6.3 [7]

Odkazy na další studijní zdroje a prameny http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians

- 49 (50) -

Statika I

Poznámky

- 50 (50) -