VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ
ING. JI Í KYTÝR, CSc. ING. PETR FRANTÍK, Ph.D.
STATIKA II MODUL BD04-MO1 ROZŠÍ ENÝ PR VODCE
STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Statika II
Vážení uživatelé tohoto u ebního textu, dovolujeme si Vás požádat o malé strpení pro využívání této u ební pom cky pro Vaše studium. P i záv re né kontrole byly navrženy další vylepšující úpravy, které p isp jí ke zlepšení kvality u ebního textu. Rovn ž je pot ebné provést formální úpravy, a to zejména nové p eíslování rovnic, obrázk i tabulek, aby se shodovaly s ozna ením kapitol. Z asových d vod však nebylo možné úpravy dosud realizovat. P edpokládáme, že opravy provedeme za átkem roku 2006. Pose kejte proto prosím se stahováním a používáním, dokud nezmizí tento upozor ující text. D kují auto i
© Ji í Kytýr, Petr Frantík, Brno 2005 - 2 (70) -
Obsah
OBSAH 1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí ová slova.........................................................................................5 2 Deforma ní metoda ......................................................................................7 2.1 Vznik a vývoj deforma ní metody........................................................7 2.2 Výpo tový model rovinného rámu .......................................................7 2.3 Stupe p etvárné neur itosti..................................................................9 2.4 Podstata deforma ní metody ...............................................................11 2.5 Obecná deforma ní metoda ve skalárním tvaru..................................11 2.5.1 Ilustrativní obecn ešený p íklad.........................................12 2.5.2 Vyjád ení koncových sil pomocí parametr deformace .......14 2.5.3 Vyjád ení lokálních koncových sil pomocí globálních parametr deformace ............................................................15 2.5.4 Lokální koncové síly kloubov p ipojeného prutu ...............16 2.5.5 Ilustrativní obecn ešený p íklad – pokra ování .................16 3 Maticová forma obecné deforma ní metody............................................19 3.1 Analýza prutu ......................................................................................19 3.2 Analýza p ímého prutu v lokální sou adnicové soustav ...................20 3.2.1 Prut oboustrann monoliticky p ipojený...............................21 3.2.2 Prut pravostrann kloubov p ipojený ..................................25 3.2.3 Prut oboustrann kloubov p ipojený ...................................26 3.3 Prut konstantního pr ezu ...................................................................26 3.4 Geometrická transformace do globální soustavy ................................27 3.4.1 Transformace pro složky koncových sil ...............................29 3.4.2 Transformace u pravoúhlých rám .......................................30 3.5 Globální vektory prutové soustavy .....................................................30 3.5.1 Globální matice a vektory prutu ...........................................31 3.5.2 Soustava rovnic.....................................................................32 3.6 Lokalizace ...........................................................................................33 3.7 Dokon ení ešení prut .......................................................................34 3.7.1 Výpo et koncových sil a pr b hy vnit ních sil.....................34 3.7.2 Pružná deformace prutu ........................................................34 3.7.3 Výpo et reakcí a kontrola ešení...........................................35 3.8 Numerické p íklady.............................................................................36 3.8.1 Pravoúhlý rám.......................................................................36 3.8.2 Nosník s vnit ním kloubem...................................................40 4 Další možnosti ešení..................................................................................45 4.1 Jiný tvar globální matice a vektoru prutu............................................45 4.2 Spojitý nosník .....................................................................................46 4.3 Pruty prom nného pr ezu..................................................................46 - 3 (70) -
Statika II
4.4
Deforma ní zatížení............................................................................ 47 4.4.1 Vliv zm ny teploty ............................................................... 47 4.4.2 Dané nepružné p emíst ní podpor........................................ 48 4.5 P íhradový nosník............................................................................... 50 4.6 Zjednodušená deforma ní metoda...................................................... 50 4.6.1 Rekapitulace postupu ešení rámu ZDM s pruty konstantního pr ezu ......................................................... 55 5 Tabulky ....................................................................................................... 63 6 Studijní prameny ....................................................................................... 69 6.1 Seznam použité literatury ................................................................... 69 6.2 Seznam dopl kové studijní literatury................................................. 69 6.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny......................................... 69
- 4 (70) -
Úvod
1
Úvod
1.1
Cíle
Úkolem p edm tu Statika II je zvládnout ešení prutových konstrukcí další metodou, a to metodou deforma ní. Její význam pro ešení rozsáhlejších staticky neur itých prutových konstrukcí je nenahraditelný, nebo v tomto ohledu nemá konkurenci v metod silové. Základní p edností deforma ní metody je p ehlednost p i maticovém zápisu a rovn ž možnost její algoritmizace. Naším cílem bude ešení nosných staticky neur itých prutových stavebních konstrukcí a získání pr b h vnit ních sil i složek reakcí jako prost edek pro jejich dimenzování podle jednotlivých materiál .
1.2
Požadované znalosti
Statika II bezprost edn navazuje na p edm t Statika I. Využívá znalosti získané v p edm tu Základy stavební mechaniky (zejména ešení pr b h vnit ních sil), v p edm tu Pružnost a pevnost i v p edm tu Statika I (aplikace silové metody je nezbytná pro odvození primárního i sekundárního stavu). Studenti by m li být obeznámeni se základními pojmy z maticové analýzy. Z matematického aparátu využijeme zejména goniometrické funkce, vektorový a maticový po et i ešení soustav lineárních algebraických rovnic.
1.3
Doba pot ebná ke studiu
Modul p edstavuje rozší ený pr vodce a obsahuje základní látku probíranou v pr b hu tém celého semestru. Doba pot ebná k nastudování jednotlivých kapitol i odstavc se liší od n kolika desítek minut až po hodiny. Záleží zejména na p edchozí pr prav studenta ve výše citovaných p edcházejících p edm tech, ale i na obtížnosti daného tématu. Pot ebná doba ke studiu iní 50 až 60 hodin.
1.4
Klí ová slova
mechanika, statika, síla, reakce, interakce, rovnováha, poddajnost, tuhost, vektor, matice, modul pružnosti, momenty setrva nosti, transformace, prut, prutová soustava, nosník, rám, p íhradová konstrukce
- 5 (70) -
Statika II
- 6 (70) -
Deforma ní metoda
2
Deforma ní metoda
Ve srovnání se silovou metodou probranou ve Statice I je metoda deforma ní nep ímá, nebo se za neznámé veli iny volí deformace (složky p emíst ní) a sestavují se silové podmínky rovnováhy. Jako základní soustava se volí p etvárn ur itá soustava (nehybná), vytvo ená p idáním fiktivních vazeb.
2.1
Vznik a vývoj deforma ní metody
Základy deforma ní metody položil dánský v dec A. Ostenfeld, který v roce 1926 publikoval dílo „Die Deformationsmethode“. Metoda p edstavovala velmi ú inný teoretický nástroj pro ešení složitých rámových soustav (v etn kloub ). Vedlo to však na ešení rozsáhlých soustav lineárních algebraických rovnic, což tehdy byla st ží p ekonatelná p ekážka. Nutnost ešení soustav rovnic vynikajícím zp sobem odstranil americký profesor Hardy Cross, který v roce 1929 v lánku „Continuity as a Factor in Reinforced Concrete Design“ publikoval metodu rozd lování moment pro rámové soustavy. Ke správnému ešení se však dosp lo pouze u rám s neposuvnými sty níky. Jedná se v podstat o itera ní metodu ešení soustavy rovnic, p i níž je jednotlivým krok m iterace p isouzen názorný fyzikální význam. P i ešení se nepo ítají všechna pooto ení uzl sou asn , nýbrž postupn uvol ováním jednotlivých uzl , p i emž ostatní uzly jsou nehybné. Metoda je p ibližná a iterativním postupem se dosahuje požadované p esnosti. Pro rámy s posuvnými sty níky rozší il Crossovu metodu eský akademik Václav Dašek tzv. metodou rozd lování sil a moment , která se stala ve tyicátých a padesátých letech dvacátého století nejrozší en jší metodou ešení rámových soustav. Renesance p vodní deforma ní metody p išla až s rozvojem samo inných po íta (asi od šedesátých let dvacátého století). Zna nou výhodou je p ehledný a jednozna ný postupu ešení (algoritmus). Zpo átku byla více používána zjednodušená deforma ní metoda, vhodná zejména pro pravoúhlé rámy. U této varianty vedla závislost odpovídajících posuv uzl vzájemn spojených pruty p i zanedbání osové deformace prut k podstatnému snížení po tu rovnic. Praktické uplatn ní v posledních desetiletích nachází metoda kone ných prvk jako univerzální metoda ešení úloh mechaniky kontinua.
2.2
Výpo tový model rovinného rámu
Výpo tový model p edstavuje idealizovaný tvar rovinného rámu, tvo ený st ednicemi prut s p isouzenými pr ezovými charakteristikami a fyzikálními vlastnostmi materiálu prut . Idealizované jsou styky prut , vn jší vazby a rovn ž zatížení rámu. Vzájemné spojení prut soustavy v uzlech (sty nících), viz obr. 10.1. Uzel m že být monolitický (rámový, tuhý) nebo kloubový (nerámový).
- 7 (70) -
Statika II
Obr. 10.1: Sty níky rovinné prutové soustavy
Podle zp sobu p ipojení konc prutu k uzl m pak dostáváme prut oboustrann monoliticky p ipojený, jednostrann kloubov p ipojený a nebo oboustrann kloubov p ipojený. Sty ník m že být volný (nepodep ený) nebo podep ený (vázaný). Volný sty ník vykoná p i deformaci v rovin xz (obr.10.2) t i složky p emíst ní u, w, ϕ (neboli parametry deformace), které p edstavují t i stupn volnosti. Kladné složky posunutí jsou ve sm ru kladných sou adnicových os a kladné pooto ení je proti sm ru pohybu hodinových ru i ek.
Obr. 10.2: T i složky p emíst ní monolitického sty níku
Všechny konce prut , jdoucí do jednoho sty níku, mají stejné posuny. U monolitického sty níku (obr. 10.2) jsou i všechna pooto ení konc prut stejná. Prut kloubov p ipojený do sty níku (obr. 10.3) má jiné pooto ení než monoliticky p ipojené pruty. U kloubového sty níku (obr. 10.4) jsou pooto ení konc jednotlivých prut naprosto nezávislá.
Obr. 10.3: P ipojení prutu kloubem k monolitickému sty níku
- 8 (70) -
Obr. 10.4: Dv složky p emíst ní kloubového sty níku
Deforma ní metoda
Obr. 10.5: Vn jší vazby rovinné prutové soustavy
Vn jší vazby mohou být nepoddajné, poddajné i jednostranné. Nepoddajné (obr. 10.5) odebírají uzlu odpovídající stupn volnosti (váží složky p emíst ní). Tab. 10.1: Po et neznámých parametr deformace
2.3
Stupe p etvárné neur itosti
Stupe p etvárné neur itosti p edstavuje celkový po et stup volnosti rovinné prutové soustavy. Udává celkový po et nezávislých složek p emíst ní (parametr deformace) u, w, ϕ sty ník prutové soustavy a sou asn po et rovnic nezbytných pro vy ešení prutové soustavy. Lze ho ur it pomocí vztahu np = 3t + 2k + p – pv ,
(10.6)
kde zna í t po et monolitických (tuhých) sty ník , k po et kloubových sty ník , p po et jednoduchých posuvných podep ení (posuvný kloub, kyvný prut) a pv po et vn jších vazeb umíst ných u sty ník (p epo tených na jednonásobné vazby). Stupe p etvárné neur itosti m žeme rovn ž ur it rozborem jednotli-
- 9 (70) -
Statika II
vých p ípad sty ník a podpor (nap . podle tabulky 10.1). V této tabulce jsou u p ípad 8 a 9 uvedeny dv alternativy podle toho, zda uvažujeme prut oboustrann upnutý (alternativa 1), nebo jednostrann kloubov ukon ený do podpory (alternativa 2).
Obr. 10.6: Výpo tový model rovinné prutové soustavy
Jako p íklad uve me ur ení stupn p etvárné neur itosti rámu z obr. 10.6a. Úložné podmínky v podporách f, g budeme hned respektovat. Do vztahu (10.6) dosadíme t = 4 (uzly a, b, c, e), k = 1 (uzel d), p = 0 a pv = 1 (uzel c), takže np = 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 1 + 0 – 1 = 13. Pro rozbor jednotlivých sty ník a podporových bod rozepíšeme jednotlivé neznámé parametry deformace. Uzel a má volné parametry ua , wa , ϕa , uzel b parametry ub , wb , ϕb , uzel c pouze wc , ϕc (vodorovný posun uc je vázán kyvným prutem), uzel d pouze u , wd (spole né pooto ení ϕd uzlu neexistuje) a uzel e má volné parametry ue , we , ϕe , tedy celkem np = 13. P itom prut 3–7 (jdoucí do podpory g) se uvažoval jako jednostrann kloubov p ipojený s pooto ením ve skute nosti ϕg ≠ 0, ale uvažovaným smluvní hodnotou nulovou ϕg = 0, nebo p i uvažovaném zp sobu p ipojení prutu 3–7 nelze pooto ení ϕg ur it. Tímto postupem jsme získali minimální hodnotu stupn p etvárné neur itosti.
Obr. 10.7: Vliv p evislého konce na sty ník prutové soustavy
Stupe p etvárné neur itosti mohou ovlivnit další faktory, nap . zp sob modelování p evislého konce. P evislý konec m žeme •
nahradit ekvivalentním silovým ú inkem do sty níku (obr. 10.7),
•
uvažovat konzolu jako –
oboustrann monoliticky ukon ený prut a p idat parametry uh , wh , ϕh , - 10 (70) -
Deforma ní metoda
–
2.4
jednostrann kloubov ukon ený prut na volném konci a p idat neznámé parametry uh , wh , p i emž pooto ení ϕh bude mít smluvní nulovou hodnotu.
Podstata deforma ní metody
Stru n m žeme podstatu obecné deforma ní metody vystihnout tak, že pro každý uvoln ný uzel a podporový bod sestavíme p íslušné globální statické podmínky rovnováhy. Ve výsledném tvaru je musíme vyjád it pomocí neznámých veli in – globálních parametr deformace u, w, ϕ jednotlivých uzl . Síly p sobící na sty níky vyšet ujeme jako koncové síly prutu, nejvýhodn ji v lokální sou adnicové soustav prutu pomocí lokálních parametr deformace. Vazbu mezi lokálními a globálními veli inami (silami i deformacemi) zprost edkují transforma ní vztahy. Vysv tlení podstaty deforma ní metody provedeme ve skalárním tvaru. Pro vlastní ešení pak bude výhodn jší a p ehledn jší maticová forma zápisu.
2.5
Obecná deforma ní metoda ve skalárním tvaru
Po p iložení zatížení se prutová soustava pružn zdeformuje (sty níky se posunou a pooto í) a soustava se ustálí v rovnovážném stavu. P itom obvykle zanedbáváme malý vliv posouvajících sil na p etvo ení. Deformaci prutu (obr. 10.8) ovliv uje jednak zatížení prutu (ozna íme jako primární stav) a pružná p emíst ní konc prut prost ednictvím uzl (ozna íme jako sekundární stav).
Obr. 10.8: Deformace prutu a–b pružn upnutého do sty ník a, b V monolitickém uzlu (obr. 10.9) sestavíme t i statické podmínky rovnováhy Fx = 0, a
Fz = 0, a
My = 0,
(10.4)
a
v kloubovém uzlu (obr. 10.10) pak dv statické podmínky rovnováhy Fx = 0, d
Fz = 0 .
(10.5)
d
- 11 (70) -
Statika II
Obr. 11.1: Složky interakcí a uzlové zatížení monolitického uzlu
2.5.1
Ilustrativní obecn
ešený p íklad
Postup ešení rovinného rámu deforma ní metodou ve skalárním tvaru ukážeme na obecn ešeném p íkladu jednoduchého kosoúhlého rámu (obr. 11.2). P etvárn neur ité veli iny (p i uvážení úložných podmínek) jsou u1 , w1 , ϕ1 a u2 , w2 , ϕ2 , takže stupe p etvárné neur itosti np = 6.
Obr. 10.10: Složky interakcí v kloubovém uzlu
Podmínky rovnováhy v uzlech 1 a 2 (obr. 11.2b) vyjád íme pomocí globálních koncových sil Xa,b , Za,b , Ma,b ve tvaru
Fix ,1 = 0 : − X 1, 2 − X 1,3 = 0 Fiz ,1 = 0 : − Z1, 2 − Z1,3 = 0 M i ,1 = 0 : − M 1, 2 − M 1,3 = 0 Fix , 2 = 0 : − X 2,1 − X 2, 4 = 0
(11.1)
Fiz , 2 = 0 : − Z 2,1 − Z 2, 4 + F2 = 0 M i , 2 = 0 : − M 2,1 − M 2, 4 = 0 Koncové síly na prutech ur íme nejsnadn ji v jednotlivých lokálních sou adnicových soustavách x*, z*. Pro sestavení podmínek rovnováhy (11.1) je proto nutné provést geometrickou transformaci (obr. 11.3) a lokální koncové síly p evést do globálních koncových sil pomocí vztah - 12 (70) -
Deforma ní metoda
X = X * cos γ + Z * cos γ + Z = X sin γ + Z sin γ + *
*
π 2
π 2
= X * cos γ − Z * sin γ (11.2)
= X sin γ − Z cos γ *
*
Obr. 11.2: Globální (b) a lokální (c) interakce na prutech a v uzlech
Obr. 11.3: Transformace koncových sil
- 13 (70) -
Statika II
Podmínky rovnováhy (11.1), vyjád ené v lokálních koncových silách pomocí (11.2), pak nabudou tvar
X 1*, 2 cos γ 1, 2 − Z1*, 2 sin γ 1, 2 + X 1*,3 cos γ 1,3 − Z1*,3 sin γ 1,3 = 0 X 1*, 2 sin γ 1, 2 + Z1*, 2 cos γ 1, 2 + X 1*,3 sin γ 1,3 + Z1*,3 cos γ 1,3 = 0 M 1*, 2 + M 1*,3 = 0 X 2*,1 cos γ 1, 2 − Z 2*,1 sin γ 1, 2 + X 2*, 4 cos γ 2, 4 − Z 2*, 4 sin γ 2, 4 = 0
(11.3)
X 2*,1 sin γ 1, 2 + Z 2*,1 cos γ 1, 2 + X 2*, 4 sin γ 2, 4 + Z 2*, 4 cos γ 2, 4 = 0 M 2*,1 + M 2*, 4 = 0 Lokální koncové síly X*, Z*, M* = M v (11.3) je nutné vyjád it pomocí neznámých geometrických veli in, tj. globálních parametr deformace u1 , w1 , ϕ1 , u2 , w2 , ϕ2 .
2.5.2
Vyjád ení koncových sil pomocí parametr deformace
Uvažujme prizmatický prut (konstantního pr ezu) oboustrann pružn upnutý do sty ník , umíst ný v lokální sou adnicové soustav x*, z* (obr. 10.8). Nezávisle na sob m žeme vyšet it dva stavy, a to osové namáhání a p í né namáhání. Každý zp sob namáhání p itom rozložíme na stav •
primární (ozna íme pruhem) od daného silového zatížení p i nehybnosti rámové soustavy, tj. p i neposuvnosti koncových bod prutu,
•
sekundární (ozna íme st íškou) od p íslušných pružných zm n prutu (jako vliv deforma ního zatížení p sobícího v koncích prutu).
Uplatn ním principu superpozice pak získáme výsledný stav.
Obr. 11.4: Globální parametry deformací a lokální koncové síly prutu
Osové namáhání vyvolá koncové osové síly, a to primární koncové síly X ab* , X ba* od osového silového zatížení ( ešíme silovou metodou, b žné p ípady lze najít v tabulkách) a sekundární koncové síly Xˆ * , Xˆ * od osové dilatace ab
ba
prutu. Výsledné lokální koncové osové síly vyjád ené pomocí lokálních parametr deformace jsou *
X ab* = X ab −
EAab * (ub − ua* ) , lab
- 14 (70) -
Deforma ní metoda
*
X ba* = X ba +
EAab * (ub − ua* ) . lab
(11.6)
P í né namáhání vyvolá p í né koncové síly a koncové momenty, a to primární koncové síly M ab* , M ba* , Z ab* , Z ba* ( ešíme silovou metodou, b žné p ípady lze najít v tabulkách) a sekundární koncové síly od koncových posunutí wa* , wb* a koncových pooto ení ϕa ,ϕb . Sekundární momentové složky ešíme silovou metodou pro deforma ní zatížení a sekundární p í né síly získáme uplatn ním podmínek rovnováhy pro sekundární momentové složky. Výsledné lokální koncové síly vyjád ené pomocí lokálních parametr deformace pak jsou dány výrazy *
M ab* = M ab + *
M ba* = M ba +
2 EI ab w* − wb* 2ϕ a + ϕ b − 3 a lab lab 2 EI ab w* − wb* ϕ a + 2ϕ b − 3 a lab lab
6 EI ab wa* − wb* ϕ a + ϕb − 2 Z =Z + 2 lab lab *
Z ba* = Z ba +
2.5.3
(11.9)
* ab
* ab
6 EI ab wa* − wb* ϕ + ϕ − 2 a b lab2 lab
Vyjád ení lokálních koncových sil pomocí globálních parametr deformace
Lokální složky posunutí (obr. 11.5) u*, w* vyjád íme pomocí globálních složek u, w, p íslušných celé ešené soustav , pomocí výraz u * = u cos γ + w sin γ , w* = −u sin γ + w cos γ
Obr. 11.5: Transformace složek posunutí
Vztahy (11.6) a (11.9) pak nabudou tvar *
X ab* = X ab − *
Z ab* = Z ab −
EAab [(ub − ua ) cos γ ab + ( wb − wa ) sin γ ab ] lab
6 EI ab 2 ϕ a + ϕ b − [(ub − ua ) sin γ ab − ( wb − wa ) cos γ ab ] 2 lab lab
- 15 (70) -
(11.10)
Statika II
*
M ab* = M ab + *
X ba* = X ba + *
Z ba* = Z ba + *
EAab [(ub − ua ) cos γ ab + ( wb − wa ) sin γ ab ] lab
6 EI ab 2 ϕ a + ϕ b − [(ub − ua ) sin γ ab − ( wb − wa ) cos γ ab ] 2 lab lab
M ba* = M ba +
2.5.4
2 EI ab 3 2ϕ a + ϕ b − [(ub − ua ) sin γ ab − ( wb − wa ) cos γ ab ] lab lab
2 EI ab 3 ϕ a + 2ϕ b − [(ub − ua ) sin γ ab − ( wb − wa ) cos γ ab ] (11.11) lab lab
Lokální koncové síly kloubov p ipojeného prutu
Uvažujme prizmatický prut (konstantního pr ezu) pravostrann kloubov p ipojený ke sty níku, umíst ný v lokální sou adnicové soustav x*, z* (obr. 10.?). Obdobným postupem jako v odst. 2.4.3 získáme lokální koncové síly *
* X ab = X ab −
*
* Z ab = Z ab −
3EI ab 1 ϕ a − [(ub − ua ) sin γ ab − ( wb − wa ) cos γ ab ] 2 lab lab
*
* = M ab + M ab
*
* = X ba + X ba
*
* = Z ba + Z ba
2.5.5
EAab [(ub − ua ) cos γ ab + ( wb − wa ) sin γ ab ] lab
3EI ab 1 ϕ a − [(ub − ua ) sin γ ab − ( wb − wa ) cos γ ab ] (11.12) lab lab EAab [(ub − ua ) cos γ ab + ( wb − wa ) sin γ ab ] lab
3EI ab 1 ϕ a − [(ub − ua ) sin γ ab − ( wb − wa ) cos γ ab ] 2 lab lab
Ilustrativní obecn
ešený p íklad – pokra ování
Další postup ešení ukážeme na d íve obecn ešeném p íkladu jednoduchého kosoúhlého rámu z obr. 11.2. Do podmínky rovnováhy (11.3) dosadíme konkrétní obecné výrazy pro lokální koncové síly vyjád ené pomocí globálních parametr deformace, a to ze vztah (11.11) ur íme X 1*,3 , Z1*, 3 , M 1*, 3 ,
X 1*, 2 , Z1*, 2 , M 1*, 2 , X 2*,1 , Z 2*,1 , M 2*,1 a z výraz (11.12) pak X 2*, 4 , Z 2*, 4 , M 2*, 4 . Výslednou soustavu rovnic vyjád enou v neznámých globálních parametrech deformace lze v obecném tvaru zapsat p ehledn do tabulky 11.1.
- 16 (70) -
Deforma ní metoda
Tab. 11.1: Obecný tvar soustavy rovnic kosoúhlého rámu z obr. 11.2a
(ci, j = cos γi, j , si, j = sin γi, j)
- 17 (70) -
Statika II
Otázky 1.
Význam globální a lokální sou adnicové soustavy p i ešení prutové konstrukce.
2.
Které veli iny se volí za neznámé a jaké podmínky se k tomu využívají?
3.
Význam koncových sil (interakcí pro ešení konstrukcí deforma ní metodou.
4.
Vyjád ení koncových sil u prutu.
5.
Význam primárních a sekundárních složek koncových sil.
6.
Výhody a nevýhody skalární formy.
Shrnutí Seznámili jsme se s principem obecné deforma ní metody. Ukázali jsme si, jak se vytvo í výpo tový model prutové konstrukce a stanoví po et stup volnosti, tj. po et neznámých složek p emíst ní a sou asn i po et rovnic. Ve skalárním tvaru jsme v jednotlivých krocích sledovali p evedení obecn zapsaných podmínek rovnováhy v uzlu do tvaru rozepsaného v globálních složkách p emíst ní. Skalární tvar je vhodný pouze k objasn ní podstaty metody, pro praktické ešení i algoritmizaci je však málo použitelný. V další kapitole probereme maticovou formu obecné deforma ní metody, použitelnou zejména ve spojení s výpo etní technikou.
- 18 (70) -
Maticová forma obecné deforma ní metody
3
Maticová forma obecné deforma ní metody
Pro každý prut prutové soustavy je k sestavení podmínek rovnováhy ve sty nících pot ebné vyjád it globální koncové síly pomocí globálních parametr deformace prutu (3 složky v každém uzlu). Výhodné bude posléze provést analýzu na prutu v lokální sou adnicové soustav a pak pomocí geometrické transformace p evést do globálních složek.
3.1
Analýza prutu
Uvažujme obecn šikmý prut (obr. 11.6a) oboustrann monoliticky p ipojený do sty ník s obecným tvarem st ednice a s obecným zatížením.
Obr. 11.6: Analýza oboustrann monoliticky p ipojeného prutu
Po uvoln ní prutu ze sty ník p sobí na jeho koncích (obr. 11.6b) celkem šest globálních složek koncových sil (interakcí). Ty m žeme vyjád it samostatn pro dokonale upnutý prut od vlivu daného silového zatížení (obr. 11.6c), tzv. primární stav, v n mž vzniknou primární koncové síly, a od vlivu p sobení neznámých uzlových deformací (obr. 11.6d) p i p emíst ní jednotlivých uzl a tedy i koncových bod prutu, tzv. sekundární stav, v n mž vzniknou sekundární koncové síly. Primární koncové síly závisí na konkrétním daném zatížení, takže je nem žeme blíže specifikovat. Sekundární koncové síly vyjád íme (aplikací principu superpozice a úm rnosti) jako lineární funkce globálních parametr deformace u, w, ϕ . Superpozicí primárního a sekundárního stavu získáme výsledné globální koncové síly
- 19 (70) -
Statika II __
X ab = X ab + k11ua + k12 wa + k13ϕ a + k14ub + k15 wb + k16ϕb __
Z ab = Z ab + k21ua + k22 wa + k23ϕ a + k24ub + k25 wb + k26ϕb __
M ab = M ab + k31ua + k32 wa + k33ϕ a + k34ub + k35 wb + k36ϕb __
(11.19)
X ba = X ba + k41ua + k42 wa + k43ϕ a + k44ub + k45 wb + k46ϕb __
X ba = X ba + k51ua + k52 wa + k53ϕ a + k54ub + k55 wb + k56ϕb __
X ba = X ba + k61ua + k62 wa + k63ϕ a + k64ub + k65 wb + k66ϕb kde kij (i, j = 1, … , 6) jsou tuhostní sou initele (konstanty úm rnosti). Maticov zapíšeme výrazy (11.19) obecn platným vztahem, platným pro prut zcela obecného tvaru R ab = R ab + k ab rab ,
(11.20)
kde zna í sloupcový vektor výsledných globálních koncových sil prutu ab R ab = {X ab , Z ab , M ab , X ba , Z ba , M ba } , T
(11.21)
sloupcový vektor primárních globálních koncových sil prutu ab R ab = {X ab , Z ab , M ab , X ba , Z ba , M ba } , T
(11.22)
tvercovou globální matici tuhosti prutu ab
k ab =
k11 k12
k13
k14
k15
k16
k 21 k 22
k23
k 24
k25
k 26
k31 k32
k33
k34
k35
k36
k 41 k 42
k43
k 44
k45
k 46
k51 k52
k53
k54
k55
k56
k61 k62
k63
k64
k65
k66
(11.23)
a sloupcový vektor globálních parametr deformace prutu ab
rab = {ua , wa ,ϕ a , ub , wb ,ϕb } . T
(11.24)
P ímé ur ení globálního vektoru (11.22) a globální matice (11.23) obecn umíst ného prutu je obtížn jší. Jednodušeji se realizuje v lokální sou adnicové soustav x*z*.
3.2
Analýza p ímého prutu v lokální sou adnicové soustav
Pro obecn šikmý prut umíst ný v globální soustav xz zvolíme po átek a prutu, ímž je definována lokální sou adnicová soustava x*z* (obr. 11.7). Orientovaný úhel γab odm ujeme po sm ru chodu hodinových ru i ek od kladné globální osy x ke kladné lokální ose x*.
- 20 (70) -
Maticová forma obecné deforma ní metody
Obr. 11.7: Orientace prutu
Pro pruty r zn p ipojené se v lokální sou adnicové soustav odvodí –
prvky lokálního primárního vektoru a
–
prvky lokální matice tuhosti.
Získáme je ešením jednoduchého staticky neur itého nosníku silovou metodou. Jako základní soustavu v silové metod volíme prostý nosník. Ur íme základní deforma ní sou initele prutu (míry poddajnosti prutu), a to
•
•
od silového zatížení –
osového, je to koncová osová dilatace δ 0 ,
–
p í ného, což jsou koncová pooto ení ϕab , ϕba ,
od jednotkových koncových ú ink (deforma ní zatížení), které vyjad ují p etvárné vlastnosti prutu (uvažujeme je v absolutní hodnot ) –
koncová osová dilatace δ 1 ,
–
koncová pooto ení αa , αb , β.
Základní deforma ní sou initele ur íme nap . z Maxwellova–Mohrova vztahu. Postupn vyšet íme obecné p ípady neprizmatického prutu –
oboustrann monoliticky p ipojeného
–
jednostrann kloubov p ipojeného
–
oboustrann kloubov p ipojeného
Zjednodušíme pak na p ípady prizmatického prutu r zn p ipojeného.
3.2.1
Prut oboustrann monoliticky p ipojený
Primární stav ur íme pro prut na obou koncích nehybn upnutý, p i emž na prut p sobí dané silové zatížení. Základní p etvárn ur itý p ípad je t ikrát staticky neur itý a eší se silovou metodou (3 p etvárné podmínky a 3 podmínky rovnováhy). Koncové síly (interakce) pak tvo í lokální primární vektor (lišící se podle druhu zatížení) R *ab = {X ab* , Z ab* , M ab* , X ba* , Z ba* , M ba* ,} . T
- 21 (70) -
(11.25)
Statika II
Prvky vektoru (11.25) p edstavují lokální primární koncové osové síly X ab* , X ba* , primární koncové p í né síly Z ab* , Z ba* a primární koncové momenty
M ab* , M ba* . ešení složek koncových sil provedeme silovou metodou. Pro osové zatížení uplatn ním p íslušné p etvárné podmínky vychází *
X ba = −
δ0 δ1
(11.27)
a ze silové podmínky rovnováhy pak získáme *
*
X ab = − X ba − R =
δ0 −R δ1
(11.30)
Pro p í né zatížení sestavíme dv p etvárné podmínky, jejichž obecné ešení je *
ϕ abα ba − ϕba β α baα ab − β 2 ϕ β − ϕbaα ab = ab α baα ab − β 2
M ab = M
* ba
(11.29)
a ze dvou momentových podmínek rovnováhy dostaneme *
*
* * Z ab = Z ab Z ba = Z ba ,0 − ∆ M , ,0 + ∆ M
(11.31)
kde Z ab* , 0 , Z ba* , 0 p edstavují svislé složky reakcí základní soustavy (prostého nosníku) a dále platí pro momentový dopln k * * 1 * (α + β )ϕ ab − (α ab + β )ϕ ba ∆ M = ( M ab + M ba ) = ba l (α baα ab − β 2 )l
(11.32)
Primární vektor oboustrann dokonale upnutého prutu obecn prom nného pr ezu pak má tvar
(11.33)
- 22 (70) -
Maticová forma obecné deforma ní metody
Obr. 11.12: Jednotkové deforma ní stavy oboustrann monoliticky p ipojeného prutu
Sekundární stav vyšet ujeme pro prut nezatížený, jehož konc m se postupn ud lují lokální deformace (ve smyslu lokálních složek parametr deformace) rab* = { u a* , wa* , ϕ a* , ub* , wb* , ϕ b* } . T
(11.34)
To vyvolá sekundární koncové síly. Ud líme-li jednotkové deformace (obr. 11.12), lze koncové síly sestavit do matice
k *ab =
k11*
0
0
k14*
0
0
0 0
k k32*
k k33*
0 0
k k35*
k 26* k36*
k 41*
0
0
k 44*
0
0
0
k52*
k53*
0
k55*
k56*
0
k62*
k 63*
0
k65*
k 66*
* 22
* 23
* 25
,
- 23 (70) -
(11.37)
Statika II
která p edstavuje lokální matici tuhosti oboustrann upnutého prutu. Nulové prvky v matici (11.37) jsou d sledkem nezávislého vlivu osových posun ua* , ub* a p í ných posun wa* , wb* s pooto eními ϕ a* , ϕ b* . Ukažme si odvození prvk lokální matice tuhosti oboustrann upnutého prutu. Uvoln nému prutu postupn ud líme jednotkové velikosti lokálních parametr deformace (obr. 11.12). Silovou metodou postupn vyšet íme šest deforma ních stav , jimiž jsou vyvolané lokální sekundární koncové síly (r zných fyzikálních rozm r ). První deforma ní stav ( ua* = 1) vede na p etvárnou podmínku, z níž plyne
k11* =
1
(11.39)
δ1
Ze silové podmínky rovnováhy pak ur íme * k 41 = −k11* = −
1
(11.40)
δ1
Druhý deforma ní stav ( wa* = 1) vede k prutové výchylce. ných podmínek získáme
ešením p etvár-
(11.43) a z rovnováhy pak (11.44) T etí deforma ní stav ( ϕ a* = 1) vede na p etvárné podmínky, jejichž ešením dostaneme
(11.46) a z rovnováhy
(11.47) tvrtý až šestý deforma ní stav ešíme analogicky. Lokální matice tuhosti oboustrann upnutého prutu obecn prom nného pr ezu má tvar
- 24 (70) -
Maticová forma obecné deforma ní metody
(11.48) kde hodnota determinantu je D = αab αba – β 2.
(11.49)
Matice tuhosti (11.48) je symetrická (d sledek Bettiho v ty) a je tvo ena sedmi r znými prvky, vyjád enými pomocí deforma ních sou initel δ1 , αab , αba , β a délkou l.
3.2.2
Prut pravostrann kloubov p ipojený
Primární stav se eší na levostrann vetknutém a pravostrann kloubov uloženém nosníku a sekundární stav na pravostrann kloubov ukon eném prutu podobn jako v odst. 3.2.1. Primární vektor pravostrann kloubov p ipojeného prutu obecn prom nného pr ezu má tvar
(11.54) Lokální matice tuhosti pravostrann kloubov p ipojeného prutu obecn prom nného pr ezu je
- 25 (70) -
Statika II
(11.62)
3.2.3
Prut oboustrann kloubov p ipojený
Podobn ur íme pro prut oboustrann kloubov p ipojený primární vektor
(11.66) a lokální matice tuhosti
(11.68) U p íhradové konstrukce s pouze sty níkovým zatížením pak je R *ab = 0 .
3.3
Prut konstantního pr ezu
V odst. 3.2 byly odvozeny primární vektory (11.33), (11.54), (11.66) a lokální matice tuhosti (11.48), (11.62), (11.68). Platí pro pruty r zným zp sobem upnuté s obecn prom nným pr ezem. Jsou vyjád eny pomocí základních deforma ních sou initel δ1 , αab , αba , β prostého nosníku (v absolutní hodnot ) a sou initel δ0 , ϕab , ϕba a veli in R, Z ab* , 0 , Z ba* , 0 od daného silového zatížení prostého nosníku. Prizmatický prut (prut konstantního pr ezu, prut stálého pr ezu, prut neprom nného pr ezu) má A = konst. a I = konst. Podle principu virtuálních
- 26 (70) -
Maticová forma obecné deforma ní metody
prací (Maxwellova-Mohrova vztahu) ešíme deforma ní sou initele jako p etvo ení základní soustavy (prostého nosníku). Pro osovou poddajnost platí
δ1 =
l EA
(11.69)
a pro ohybovou poddajnost (základní deforma ní úhly) je
α ab = α ba = α =
α l l . , β= = 3EI 2 6 EI
(11.70)
Pomocí nich m žeme sestavit p ímo použitelné tvary lokálních matic tuhosti prutu konstantního pr ezu, viz tabulka 11.3. Dále pomocí (11.69) a (11.70) vyjád íme úpravou vztah (11.30) a (11.27) osové koncové síly a z výraz (11.29) koncové momenty oboustrann monoliticky p ipojeného prutu; obdobn i pravostrann kloubov p ipojeného prutu. Takto upravené vztahy však obsahují sou initele δ0 , ϕab , ϕba závislé na konkrétním daném silovém zatížení. Nap íklad pro plné spojité rovnom rné zatížení p sobící po st ednici prutu (rozložené na osové n = konst. a p í né q = konst.) získáme
δ0 =
1 nl 2 2 EA
(11.74)
a dále
ϕ ab = ϕ ba =
1 ql 3 , 24 EI
(11.75)
R = nl, Z ab* , 0 = Z ba* , 0 = −
1 ql . 2
(11.76)
Pomocí nich sestavíme p ímo použitelné tvary primárních vektor koncových sil prutu konstantního pr ezu, viz tabulka 11.2. Velmi asto využíváme tabulky primárních moment (event. i reakcí nebo posouvajících sil) oboustrann i jednostrann dokonale vetknutého nosníku konstantního pr ezu (nap . tabulky 14.10 a 14.11 na str. 416 – 420 u ebnice [1]). Obvykle je nutné p izp sobit tabelární výrazy konvenci použité p i ešení obecnou deforma ní metodou.
3.4
Geometrická transformace do globální soustavy
Pruty v prutové soustav jsou uspo ádány zcela libovoln . S výhodou se vyšetují v lokálních sou adnicových soustavách. Parametry deformace (složky p emíst ní u, w, ϕ) jsou globální pro celou ešenou konstrukci (obr. 11.20). Proto je nutné použít geometrickou transformaci. Prutu ab p ísluší vektor globálních parametr deformace rab = {ua , wa ,ϕ a , ub , wb ,ϕb } . T
Vzájemný p evod parametr (11.10) a opa n je
(11.90)
deformace znázor uje obr. 11.5. Platí vztahy
- 27 (70) -
Statika II
u = u * cos γ − w* sin γ , w = u * sin γ + w* cos γ ,
(11.91)
p i emž
ϕ = ϕ *.
(11.92)
Obr. 11.20: Globální a lokální parametry prutu
Podle (11.10) a (11.92) lze transformaci zapsat maticov * rab = Tabrab
(11.93)
Transforma ní matice Tab definuje geometrickou závislost lokálních složek na globálních, takže
cos γ ab
sin γ ab
0
0
0
0
− sin γ ab
cos γ ab
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos γ ab
sin γ ab
0
0
0
0 − sin γ ab
cos γ ab
0
0
0
0
0
1
Tab =
0
(11.94)
Podle vztah (11.91) a (11.92) platí obrácen
rab = Tab−1rab* = TabT rab* .
(11.95)
Rovn ž platí Tab−1 = TabT , Tab Tab−1 = E . Úsporn jší zápis (11.94) m žeme provést pomocí submatic, takže platí
Tab =
tab
0
0 tab
, T = T ab
T tab
T 0 tab
cos γ ab
sin γ ab
0
t ab = − sin γ ab
cos γ ab
0
0
0
0
(11.96)
(11.97)
1
V numerických výpo tech rovn ž využijeme vztahy
s = sin γ ab =
zb − z a x − xa , c = cos γ ab = b l l
l = ( xb − xa ) 2 + ( zb − za ) 2
- 28 (70) -
(11.98) (11.99)
Maticová forma obecné deforma ní metody
ua*
ua c + wa s
* a
w * rab =
ϕ
* a
* b
u
− ua s + wa c = Tabrab =
ϕa − ub s + wb c
wb*
ϕb
ϕb*
3.4.1
(11.100)
ub c + wb s
Transformace pro složky koncových sil
Vektor výsledných lokálních koncových sil, získaný p i analýze prutu, má tvar
{
* * * * * * R *ab = X ab , Z ab , M ab , X ba , Z ba , M ba
}
T
(11.101)
Analogicky ke vztah m (11.93) a (11.95) platí
R *ab = Tab R ab
(11.102)
R ab = Tab−1R *ab = TabT R *ab .
(11.103)
P itom pro momentové složky platí M = M∗. Obdobn i pro sekundární vektory T * * ˆ ab = TabT R ˆ *ab = Tab R k abrab = TabT k *ab Tabrab = k abrab ,
(11.104)
kde kab je globální matice tuhosti prutu
k ab = TabT k *ab Tab .
(11.105)
Globální matice tuhosti prizmatických prut jsou explicitn vyjád eny v tabulce 11.4. V numerických výpo tech m žeme vyjád it globální primární vektor vztahem
R ab =
*
*
*
*
X ab
X abc − Z ab s
Z ab
X ab s + Z abc
M ab X ba Z ba M ba
*
* ab
=T R = T ab
M ab *
*
*
*
X ba c − Z ba s
(11.106)
X ba s + Z ba c *
M ba
Pro vy íslení globální matice tuhosti oboustrann upnutého prutu (tab. 11.4(a)) je vhodné p edem vypo ítat koeficienty
K1 =
EA 2 12 EI 2 EA 12 EI 6 EI c + 3 s , K2 = − 3 cs, K 3 = 2 s, l l l l l
K4 =
K EA 2 12 EI 2 6 EI 4 EI s + 3 c , K 5 = 2 c, K 6 = , K7 = 6 l l l l 2
a pro prut jednostrann kloubov ukon ený (tab. 11.4(b)) koeficienty
- 29 (70) -
(11.145)
Statika II
3.4.2
K1 =
EA 2 3EI 2 EA 3EI 3EI c + 3 s , K2 = − 3 cs, K 3 = 2 s, l l l l l
K4 =
EA 2 3EI 2 3EI 3EI s + 3 c , K 5 = 2 c, K 6 = l l l l
(11.146)
Transformace u pravoúhlých rám
V t chto p ípadech se transformace podstatn zjednoduší. Transforma ní matice Tab (11.94) resp. tab (11.97) obsahuje jen hodnoty 0, 1 a –1. Vodorovný prut ab p i x ≡ x* má γab = 0 (tedy sin γab = 0, cos γab = 1), takže Tab = TabT = E
(11.107)
rab = rab* , R ab = R *ab , R ab = R *ab , k ab = k *ab .
(11.108)
a proto U svislého prutu ab lze osu x∗ lze volit dv ma zp soby. V p ípad , že osa x∗ sm uje dol , platí γab = π / 2 (sin γab = 1, cos γab = 0) a matice (11.97) má tvar
0
1 0
t ab = − 1 0 0 . 0 0 1
(11.109)
V p ípad , že osa x∗ sm uje nahoru, je γab = 3π / 2 (sin γab = –1, cos γab = 0) a matice (11.97) má tvar 0 −1 0
3.5
t ab = 1
0
0 .
0
0
1
(11.110)
Globální vektory prutové soustavy
V analýze prutové soustavy p ísluší globální matice a vektory prutové soustavy celé ešené prutové soustav (konstrukci). Pro ukázkový p ípad ešení rámu (obr. 11.2a) máme p itom dv možnosti volby výpo tového modelu, a to p i np = 6 volíme prut 2–4 jako pravostrann kloubov ukon ený a smluvn platí ϕ4 = 0. P i np = 7 uvažujeme prut 2–4 jako oboustrann monoliticky p ipojený, takže ϕ4 ≠ 0 je další neznámý parametr deformace. Globální vektor parametr deformace r obsahuje všechny volné globální složky p emíst ní uzl celé prutové soustavy, sestavuje se v po adí íslování uzl (v etn podporových bod ) a pro každý i–tý uzel je stejné po adí parametr ui , wi , ϕi . Používají se v podstat dv varianty globálního vektoru parametr deformace, a to: •
První varianta (zkrácená), v níž se vázané (nulové) parametry deformace neuvažují. Vektor r má rozm r (np, 1) a neobsahuje nulové leny. Úložné
- 30 (70) -
Maticová forma obecné deforma ní metody
podmínky jsou již uplatn ny. Tatáž konstrukce p i r zných úložných podmínkách p edstavuje jiné ešení. •
Druhá varianta (nezkrácená), v níž se uvažují všechny parametry deformace všech uzl (v etn podporových bod ). Vektor r má rozm r (3n, 1), kde n je celkový po et uzl a podporových bod a obsahuje všechny složky p emíst ní uzl a podporových bod , tj. i leny s nulovou hodnotou. Úložné podmínky se uplat ují dodate n až po sestavení soustavy rovnic. Tímto zp sobem lze ešit jednu konstrukci p i r zných úložných podmínkách jako jediné zadání ešené prutové soustavy (používá se nap . v systému ANSYS).
V uvedeném p íkladu z obr. 11.2a je p i zkrácené (první) variant p i np = 6 resp. np = 7 je r = {u1, w1, ϕ1, u2, w2, ϕ2}T,
(11.13)
r = {u1, w1, ϕ1, u2, w2, ϕ2, ϕ4}T,
(11.14)
p i nezkrácené (druhé) variant pak r = {u1, w1, ϕ1, u2, w2, ϕ2, u3, w3, ϕ3, u4, w4, ϕ4}T.
(11.16)
Vektor (11.13) souhlasí se záhlavím tabulky 11.1. Vynecháním nulových parametr na 7. až 11. pozici (resp. na 12. pozici) v d sledku vazeb p ejde (11.16) na (11.14), resp. na (11.13). Globální vektor uzlového zatížení S má stejný rozm r a strukturu jako vektor r. Obsahuje osam lé silové a momentové zatížení p sobící v uzlech. Jsou to kladné síly a momenty p sobí na kladných smyslech posunutí a pooto ení. Síly a momenty p sobící v podporách jsou zachyceny vn jšími vazbami a p i ešení se neuplatní. V uvedeném p íkladu z obr. 11.2a je p i zkrácené (první) variant s np = 6 S = {0, 0, 0, 0, F2, 0}T
(11.15)
a p i nezkrácené (druhé) variant S = {0, 0, 0, 0, F2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}T
(11.17)
Vektor (11.15) je sou ástí pravé strany v tabulce 11.1.
3.5.1
Globální matice a vektory prutu
Globální matice a vektory prutu p íslušejí globální sou adnicové soustav , v níž je popsána celá ešená konstrukce. Pro každý prut se výhodn v lokální sou adnicové soustav získá lokální primární vektor R *ab a lokální matice tuhosti k *ab . Pro komplexní vyjád ení spole ného ú inku všech prut je nutné geometrickou transformací vytvo it globální vektor primárních koncových sil Rab a globální matici tuhosti kab .
- 31 (70) -
Statika II
3.5.2
Soustava rovnic
Z globálních vektor R ab a matic kab jednotlivých prut sestavíme lokalizací soustavu lineárních algebraických rovnic
Kr = F
(11.140)
kde K je (globální) matice tuhosti prutové soustavy (np, np), r (globální) vektor parametr deformace prutové soustavy (np, 1), F je zat žovací vektor prutové soustavy (np, 1), tj. pravá strana. Každá rovnice soustavy (11.140) p edstavuje jednu silovou ( i momentovou) podmínku rovnováhy. V nezkrácené (druhé) variant se v rozm rech vektor a matic nahradí parametr np velikostí 3n. Pravou stranu F soustavy rovnic vytvo íme superpozicí r zn definovaných ú ink podle vztahu F =S−R,
(11.141)
kde S je globální vektor uzlového zatížení, který obsahuje osam lé silové a momentové složky zatížení p sobící v uzlech, ve sm rech a kladných smyslech globálních parametr deformace, nap . pro ob uvád né varianty ve tvarech (11.15) a 11.17), R je primární vektor prutové soustavy, jenž zahrnuje vliv silového zatížení prut prost ednictvím globálních primárních koncových sil; záporné znaménko vyjad uje, že globální koncové síly je nutné p evést na uzlové síly.
Obr. 11.25: Lokalizace matice tuhosti rámu
- 32 (70) -
Maticová forma obecné deforma ní metody
3.6
Lokalizace
Lokalizace se používá k ur ení primárního vektoru R a matice tuhosti K celé prutové soustavy. Prvky matic kab se umístí na odpovídající místa matice K (levé strany rovnic) podle pozice jednotlivých neznámých parametr deformace a prvky vektor R ab na odpovídající místa vektoru R pro ur ení ú inku zatížení prut na pravé stran . Postup je takový, že se pro každý prut sestaví vektor globálních parametr deformace rab a postupn se zpracují všechny pruty, p i emž nezáleží na jejich po adí. Názorn si ukažme lokalizaci na p íkladu kosoúhlého rámu (obr. 11.2a) v alternativ s ϕ4 ≠ 0 a np = 7. Globální vektor parametr deformace prutové soustavy je T
r = u1 , w1 , ϕ1 , u2 , w2 , ϕ 2 , ϕ 4 1
2
3
4
5
6
,
(11.142)
7
kde íslice p edstavují lokaliza ní indexy. Uzly 1 – 4 mají o íslovány parametry deformace takto: (1, 2, 3), (4, 5, 6), (0, 0, 0), (0, 0, 7). Kódové íslo prutu p edstavuje šestici ísel, definující po adí globálních parametr deformace obou konc prutu. Pro pruty 3–1, 1–2, 2–4 jsou vektory globálních parametr deformace r3,1 = {0,0,0, u1 , w1 ,ϕ1} , r1, 2 = {u1 , w1 ,ϕ1 , u2 , w2 ,ϕ 2 } T
T
r2, 4 = {u2 , w2 ,ϕ 2 ,0,0,ϕ 4 }
T
(11.143)
a jejich kódová ísla jsou (0, 0, 0, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 4, 5, 6), (4, 5, 6, 0, 0, 7).
(11.144)
Obr. 11.26: Lokalizace primárního vektoru rámu
Dvojice lokaliza ních index (i, j) podle ozna ení ádk a sloupc matice prutu kab (obr. 11.25a) p edstavuje adresu pro p i azení prvku do matice tuhosti kon- 33 (70) -
Statika II
strukce K. Existuje i velmi názorná (ale prakticky nerealizovatelná) p edstava, a to vytvo ení lokalizovaných matic Kab (np, np) stejného rozm ru jako globální matice tuhosti a jejich následná superpozice do výsledné matice K, jak znázor uje obr. 11.25b. Lokalizace zat žovacího vektoru probíhá analogicky (viz obr. 11.26), p iemž lokaliza ní index p edstavuje pouze ozna ení ádku vektoru.
3.7
Dokon ení ešení prut
P i dokon ení ešení prut se vracíme zp t k analýze prutu. ešením soustavy rovnic (11.140) jsme získali vektor globálních parametr deformace prutové soustavy r (np , 1). Pro každý prut vybereme z tohoto vektoru r podle kódového ísla prutu globální vektor parametr deformace prutu rab (6, 1) podle obr. 11.4 ve tvaru (11.90), v n mž parametry deformace ui, wi, ϕi mají již konkrétní íselné hodnoty. Nulový lokaliza ní index p edstavuje nulovou hodnotu složky p emíst ní (vn jší vazba nebo nesledovaný parametr). Lokální vektor složek deformací na prutu (11.90) ur íme podle transforma ního vztahu (11.93), pop . m žeme p i numerickém ešení využít explicitního vyjád ení (11.100).
3.7.1
Výpo et koncových sil a pr b hy vnit ních sil
Vektor lokálních složek koncových sil vy ešíme z lokálního primárního vektoru (viz tabulka 11.2), lokální matice tuhosti (viz tabulka 11.3) a z lokálního vektoru známých složek deformací (11.93) ze vztahu *
R *ab = R ab + k *abrab* .
(11.89)
Jiná varianta ešení spo ívá v tom, že pomocí rab se ze vztahu
ˆ ab = R ab + k abrab R ab = R ab + R
(11.139)
ur í vektor Rab a teprve pak se transformuje podle vztahu (11.102) na lokální vektor R *ab . Na uvoln ném prutu necháme p sobit jak dané silové zatížení, tak koncové síly (interakce). Na základ t chto údaj vykreslíme pr b hy všech složek výslednice vnit ních sil N, V, M. Konvence pro jejich vynášení je na obr. 11.4.
3.7.2
Pružná deformace prutu
Pružnou deformaci libovolného prutu m žeme ur it jako •
relativní deformaci na vyjmutém prutu považovaném za prostý nosník i konzolu se silovým zatížením a koncovými reakcemi v lokální sou adnicové soustav (metodami pro ešení p etvo ení staticky ur itých nosník ),
•
celkovou deformaci ve vybraném pr ezu vzhledem ke globální sou adnicové soustav , a to p idáním deformace prutu jako tuhého celku od p etvoení koncových bod (uzl ) k pružné lokální deformaci (po transformaci);
- 34 (70) -
Maticová forma obecné deforma ní metody
nejjednodušší je p idání nadbyte ného uzlu p ímo do místa hledané deformace (i když na úkor v tšího po tu neznámých).
3.7.3
Výpo et reakcí a kontrola ešení
Pro ur ení globálních složek reakcí a kontrolu ešení celé prutové soustavy pomocí podmínek rovnováhy v uzlech musíme znát u každého prutu vektor globálních složek koncových sil, získaný nap . transformací
R ab = Tab−1R *ab = TabT R *ab
(11.103)
nebo výpo tem z globálního vektoru složek deformací prutu ab (11.139). Výpo et reakcí se liší podle toho, zda podporový bod je •
koncem prutu, pak vektor Rab poskytne interakce, tj. globální složky reakcí (ve vektoru rab a v kódovém ísle jim odpovídají nuly),
•
p edstavuje ukon ení více prut (obr. 11.27); pak se z konc jednotlivých prut se p evezmou globální interakce do uzlu a ve vetknutí se sestaví t i statické podmínky rovnováhy pro t i složky reakcí, v pevném kloubu pak dv podmínky rovnováhy.
Jako kontrolu provedeme •
posouzením vy ešeného deforma ního stavu z globálního vektoru r,
•
rovnováhu globálních koncových sil v uzlech (obr. 11.1),
•
statickou rovnováhu celé prutové soustavy podle zadaného zatížení a vypo tených složek reakcí.
Obr. 11.27: Výpo et složek reakcí ve vetknutí
Nej ast jší chyby, které se p i ešení prutové soustavy obecnou deforma ní metodou vyskytují, jsou •
p i zadávání (korektn se vy eší jiný výpo tový model), tj. zadají se jiné fyzikáln geometrické vlastnosti, jiné úložné podmínky (vazby), event. jinak p sobící zatížení (zm na znaménka),
•
p i ru ním ešení (m že nastat chyba v kterémkoli kroku výpo tu), nej ast ji jsou to chybn ur ená znaménka goniometrických funkcí pro transformaci, nesprávn sestavené matice a vektory prut , chybné ešení soustavy rovnic i chybný výb r hodnot parametr deformace prutu atd.
- 35 (70) -
Statika II
3.8
Numerické p íklady
3.8.1
Pravoúhlý rám
P íklad 3.1 Zadání Vy ešte jednoduchý pravoúhlý rovinný rám (obr. 11.34) s pruty konstantního pr ezu a modulem pružnosti E = 2 ⋅ 107 kPa. Sloupy mají pr ezovou plochu A = 6 ⋅ 10–2 m2 a moment setrva nosti I = 4 ⋅ 10–4 m4, p í el má A = 9 ⋅ 10–2 m2, I = 12 ⋅ 10–4 m4. Rám je zatížen uzlovými silami F1 = 4 kN, F2 = 5 kN, F3 = 10 kN a spojitým rovnom rným zatížením q = 3 kNm–1 na p í li.
Obr. 11.34: Jednoduchý pravoúhlý rám
ešení Uvažujme prut 2–4 jako levostrann kloubov uložený. Protože u3 = w3 = ϕ3 = u4 = w4 = ϕ4 = 0, stupe p etvárné neur itosti np = 6 a vektor uzlových parametr deformace rámové soustavy je r = {u1 , w1 , ϕ1 , u2 , w2 , ϕ2}T. Vektor uzlového zatížení rámu má tvar S = {F1 , F2 , 0 , 0 , F3 , 0}T = {4, 5, 0, 0, 10, 0}T. Prut 3–1: r3,1 = {0, 0, 0, u1 , w1 , ϕ1}T, kódové íslo (0, 0, 0, 1, 2, 3), l3,1 = 4 m, c3,1 = 0, s3,1 = –1, A3,1 = 6 ⋅ 10–2 m2, I3,1 = 4 ⋅ 10–4 m4,
R *3,1 = R 3,1 = {0, 0, 0, 0, 0, 0}T. Rozdílné prvky pro lokální matici tuhosti podle tabulky 11.3(a) jsou EA/l = 300 000, 2EI/l = 4 000, 4EI/l = 8 000, 6EI/l2 = 3 000,
12EI/l3 = 1 500 a podle vztah (11.145) získáme K1 = 1 500, K2 = 0, K3 = –3 000, K4 = 300 000, K5 = 0, K6 = 8 000, K7 = 4 000, - 36 (70) -
Maticová forma obecné deforma ní metody
takže matice tuhosti pouze s prvky pot ebnými k lokalizaci je
Prut 1–2: r1,2 = {u1 , w1 , ϕ1 , u2 , w2 , ϕ2}T, kódové íslo (1, 2, 3, 4, 5, 6), l1,2 = 6 m, c1,2 = 1, s1,2 = 0, A1,2 = 9 ⋅ 10–2 m2, I1,2 = 12 ⋅ 10–4 m4.
Podle tabulky 11.2(a) pro q = 3 kNm–1 a n = 0 ur íme R 1*, 2 = R 1, 2 = {0, –9, 9, 0, –9, –9}T. Pro matici tuhosti podle tabulky 11.3(a) vypo teme EA/l = 300 000, 2EI/l = 8 000, 4EI/l = 16 000, 6EI/l2 = 4 000,
12EI/l3 = 1 333,33 a pak
Prut 4–2: r4,2 = {0, 0, 0, u2 , w2 , ϕ2}T, kódové íslo (0, 0, 0, 4, 5, 6), l4,2 = 3 m, c4,2 = 0, s4,2 = –1, A4,2 = 6 ⋅ 10–2 m2, I4,2 = 4 ⋅ 10–4 m4,
R *4 , 2 = R 4 , 2 = {0, 0, 0, 0, 0, 0}T. Do tabulky 11.3(c) pot ebujeme EA/l = 400 000, 3EI/l = 8 000, 3EI/l2 = 2 666,66; 3EI/l3 = 888,88
a pro tabulku 11.4(c) podle vztah (11.146) vy íslíme K1 = 888,88; K2 = 0, K3 = –2 666,66; K4 = 400 000, K5 = 0, K6 = 8 000,
takže
- 37 (70) -
Statika II
Analýza prutové soustavy vychází
ešením soustavy rovnic (11.140) získáme vektor globálních parametr deformace
Z vektoru r stanovíme výb rem pomocí kódových ísel vektory globálních p emíst ní prut r3,1 , r1,2 = r1*, 2 a r4,2 . Pro svislé pruty 3–1, 4–2 je podle (11.100) p evedeme do lokálních tvar . Z rovnice (11.89) pak získáme vektory lokálních koncových sil jednotlivých prut :
- 38 (70) -
Maticová forma obecné deforma ní metody
V podporových pr ezech 3 a 4 jsou p ímo vypo teny složky reakcí, ale vzhledem k lokálním sou adnicovým soustavám jednotlivých prut (obr. 11.35d). V uzlech 1 a 2 pak snadno m žeme zkontrolovat globální rovnováhu. Pr b hy složek vnit ních sil a velikosti složek reakcí vn jších vazeb rámu jsou uvedeny na obr. 11.35.
Obr. 11.35: Diagramy vnit ních sil a reakce pravoúhlého rámu
- 39 (70) -
Statika II
3.8.2
Nosník s vnit ním kloubem
P íklad 3.2 Zadání Vy ešte oboustrann vetknutý nosník s vnit ním kloubem z obr. 11.38a. Nosník je konstantního pr ezu (A = 0,18 m2, I = 3 ⋅ 10–3 m4) s modulem pružnosti E = 2 ⋅ 107 kPa a se zatížením q = 4 kNm–1, F = 5 kN, M = 8 kNm.
ešení Uvažujme oba pruty oboustrann monoliticky p ipojené (obr.11.38b). Vzhledem k absenci osového zatížení je u2 = 0. Vložený kloub v uzlu 2 zp sobí rozdílná pooto ení obou p ipojených prut , tedy ϕ2,1 ≠ ϕ2,3 . Každé z nich je pak ozna eno jiným íslem parametru deformace. Stupe p etvárné neur itosti je np = 3 a vektor uzlových parametr deformace je r = {w2 , ϕ2,1 , ϕ2,3}T.
Obr. 11.38: P ímý nosník s vnit ním kloubem
- 40 (70) -
Maticová forma obecné deforma ní metody
Prut 1–2: r1,2 = {0, 0, 0, 0, w2 , ϕ2,1}T, kódové íslo (0, 0, 0, 0, 1, 2). Pro l1,2 = 5 m, q = 4 kNm–1 a n = 0 je podle tabulky 11.2(a) R 1*, 2 = R 1, 2 = {0; –10; 8,33; 0, –10; –8,33}T. Pomocí EA/l = 720 000, 2EI/l = 24 000, 4EI/l = 48 000, 6EI/l2 = 14 400 a 12EI/l3 = 5 760 sestavíme podle tabulky 11.3(a)
Prut 2–3: r2,3 = {0, w2 , ϕ2,3 , 0, 0, 0}T, kódové íslo (0, 1, 3, 0, 0, 0). Podle tabulky 11.2(d) pro M = 8 kNm, l = 4 m, a = b = 2 m vyjád íme R *2 , 3 = R 2 , 3 = {0, 3, –2, 0, –3, –2}T. S hodnotami EA/l = 900 000, 2EI/l = 30 000, 4EI/l = 60 000, 6EI/l2 = 22 500, 12EI/l3 = 11 250 ur íme z tabulky 11.3(a)
Pro celou prutovou soustavu získáme lokalizací
a ešení soustavy rovnic je r = {2,410347; –0,549493; 0,937213}T ⋅ 10–3. Lokální vektory koncových sil obou prut podle (11.89) pak vycházejí
R 1*, 2 = {0; –15,971; 29,854; 0; –4,029; 0}T, R *2 ,3 = {0; 9,029; 0; 0; –9,029; –28,116}T
- 41 (70) -
Statika II
a pomocí nich jsou vykresleny diagramy V, M a schéma složek reakcí na obr. 11.38c–e. Pokud bychom ur ovali pouze jedno z pooto ení ϕ2,1 nebo ϕ2,3 , potom druhý prut než je ten, u n hož hledáme pooto ení, se uvažuje jako kloubov p ipojený do uzlu 2. Chceme-li daný nosník ešit s co nejmenším po tem rovnic, volíme jinou variantu ešení s ob ma pruty kloubov p ipojenými (odst. …) ke sty níku 2 (obr. 11.38f) a s nulovými smluvními hodnotami pro pooto ení ϕ2,1 = ϕ2,3 = 0. Pak vysta íme pouze s jedinou rovnicí, nebo v uzlu 2 zbude jen svislý posuv w2 a je tedy np = 1, r = {w2}. Pro oba pruty jednostrann kloubov p ipojené vyjde
Z toho získáme K = {4,2525} ⋅ 103; F = S –R = {5} – {–7,5 +2,25} = 10,25; r = {w2} =
10,25 = 2,410347 ⋅ 10–3 m 4,2525 ⋅ 103
a vektory koncových sil vyjdou stejn jako v p vodní variant .
Otázky 1.
Výhody a nevýhody maticové formy deforma ní metody.
2.
Jednotlivé fáze ešení prutové soustavy deforma ní metodou.
3.
Co p edstavuje analýza prutu a v jaké sou adnicové soustav se realizuje?
4.
Maticový zápis výraz pro složky koncových sil; význam jednotlivých vektor a matic.
5.
P i jakém uložení prutu se vyšet uje primární a sekundární stav?
6.
Význam primárního vektoru.
7.
Význam jednotlivých sloupc matice tuhosti prutu a zp sob ur ení jejich prvk .
- 42 (70) -
Maticová forma obecné deforma ní metody
8.
Pro jsou v lokální matici tuhosti p ímého prutu n které prvky nulové?
9.
Co je p í inou symetrie matice tuhosti prutu?
10.
Pro se pooto ení u kloubového p ipojení jednostrann kloubov uloženého prutu nemusí uvažovat jako neznámý parametr deformace?
11.
Jakou závislost definuje transforma ní matice; jak se ur í globální primární vektor a globální matice tuhosti prutu?
12.
Zjednodušení p i transformaci u pravoúhlého rámu.
13.
Princip sestavení soustavy rovnic pro ur ení neznámých globálních parametr deformace.
14.
Postup lokalizace a význam kódového ísla.
15.
Které parametry deformace se využijí k výpo tu koncových sil?
16.
Možnosti výpo tu globálních složek reakcí.
17.
Kdy je výhodné modelovat pro kloubovou podporu prut jednostrann kloubov ukon ený?
18.
Možnosti modelování vnit ního kloubu v rámu.
19.
Lze ešit základní p etvárn ur itý p ípad prutu jednostrann monoliticky p ipojeného deforma ní metodou?
Shrnutí Odvození pot ebných vztah , matic a vektor v obecné deforma ní metod je pon kud zdlouhavé a na první pohled mén p ehledné. Vlastní algoritmus ešení prutové soustavy obecnou deforma ní metodou je však velmi p ehledný, snadno algoritmizovatelný a m žeme ho shrnout do t chto bod : •
•
Analýza prut –
ur ení lokálních vektor a matic prut R *ab , k *ab ,
–
geometrická transformace do globálních sou adnic (matice Tab),
–
ur ení globálních vektor a matic prut R ab , kab .
Analýza prutové soustavy – –
•
ur ení matice tuhosti celé konstrukce a pravé strany K , F , ešení soustavy rovnic (podmínek rovnováhy) a získání vektoru r.
Analýza prut –
výb r globálních parametr deformace prutu rab ,
–
ur ení lokálních parametr deformace prutu rab* ,
–
ur ení vektoru lokálních koncových sil R *ab ,
–
vykreslení pr b h N, V, M ,
–
ur ení vektoru globálních koncových sil Rab .
- 43 (70) -
Statika II
•
Kontrola ešení prutové soustavy –
globální rovnováha ve sty nících podle rovnic (10.4), resp. (10.5),
–
ur ení globálních složek reakcí,
–
globální rovnováha prutové soustavy (zatížení a reakce).
Na rozdíl od silové metody, která využívá staticky ur itou základní soustavu, se v obecné deforma ní metod eší naprosto stejným algoritmem prutové konstrukce staticky ur ité i staticky neur ité. Platí to zejména p i použití programu. P i ru ním ešení bychom vzhledem k náro nosti obecné deforma ní metody ešili staticky ur itou konstrukci pouze s využitím podmínek rovnováhy. P i ešení prutové konstrukce deforma ní metodou je vždy vhodné zkontrolovat i statickou neur itost, abychom omylem nezadávali do programu i ne ešili rušn mechanismus.
- 44 (70) -
Další možnosti ešení
4
Další možnosti ešení
V této kapitole se stru n zmíníme o n kterých alternativních ešení i variantách, s nimiž se m žeme p i použití obecné deforma ní metody také setkat. Uvedeme rovn ž další možnosti, jako je nap . vliv deforma ního zatížení, pop . specifikujeme možnosti ešení u jiných typ prutových konstrukcí, než byly d íve citované rámové soustavy. Poslední poznámka se bude týkat základních úprav pro zjednodušenou deforma ní metodu s podstatnou redukcí po tu rovnic.
4.1
Jiný tvar globální matice a vektoru prutu
V odst. 3.5 jsme uvedli, že se používají dv varianty vytvo ení globálních vektor , a to varianta zkrácená, u níž se uvažují jen volné globální parametry deformace a po et neznámých je np , a varianta nezkrácená, u níž se uvažují parametry všech uzl v etn podporových bod a po et neznámých je 3n. Nezkrácenou variantu si osv tlíme na obecn ešeném p íkladu rámu z obr. 11.2a. Pro 4 uzly a podporové body se sestavuje vyšší po et rovnic, a to np = 3n = 12. Každý uzel má vždy celou trojici ísel pro parametry deformace, takže v p íkladu je (1, 2, 3), (4,5,6), (7, 8, 9), (10, 11, 12). Podtržená ísla neznámých p edstavují vázané parametry (úložné i okrajové podmínky). Vektory parametr deformace (11.16) a uzlových sil (11.17) mají rozm ry 3n. Lokalizace matice K z matic kab a vektoru R z vektor R ab pak probíhá podle kódových ísel (7, 8, 9, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 4, 5, 6), (4, 5, 6, 10, 11, 12). Soustava rovnic (11.140) v po tu 3n však nemá jednozna né ešení, nebo matice K je singulární a její determinant je roven nule. Je to d sledek dosud neuplatn ných úložných podmínek (konstrukce zatím není nehybná). Pro zajišt ní regulární matice tuhosti se soustava rovnic musí upravit. Obvykle se ponechá p vodní rozm r matice K i vektoru F, ale dodate n se ošet í vliv uložení. Realizuje se tak, že –
každý ádek odpovídající vazb v matici K a ve vektoru F se vynuluje,
–
z d vodu symetrie K se vynulují i odpovídající sloupce,
–
do diagonálního prvku matice K se p i adí „1“,
–
vytvo í se vlastn podmínky rovnováhy formou triviální rovnice ri ⋅ 1 = 0.
Podrobnosti v etn grafického ztvárn ní uvedeného postupu lze nalézt v u ebnici [1] na str. 286 – 287.
- 45 (70) -
Statika II
4.2
Spojitý nosník
Vodorovný spojitý nosník se v zásad eší jako kterákoliv rámová konstrukce. Zvláštností je, že globální osa x je totožná s lokálními osami x∗ všech prut , proto se nemusí provád t geometrická transformace (cos γab = 1, sin γab = 0, Tab = E) a k sestavení soustavy rovnic se využijí p ímo lokální matice a vektory. Uzly jsou pouze dvojnásobné a vkládají se obvykle pouze nad podpory. P i ru ním ešení obecnou deforma ní metodou m žeme (pro úsporu práce) rozlišit tyto alternativy ešení: •
Nosník má více vazeb proti osovému posunu a obecné zatížení. Pak ešení probíhá stejn jako u rovinného rámu.
•
Existuje pouze jediná vazba proti osovému posunu a zatížení je obecné. Pak v p ípad , že nás zajímají osové dilatace, probíhá ešení jako u rovinného rámu. V p ípad , že nesledujeme osové dilatace, ešení se zjednoduší, nebo m žeme uvažovat smluvní hodnoty ui = 0.
•
Má-li nosník pouze jedinou vazbu proti osovému posunu a jen p í né zatížení, bude vždy ui = 0 a jedinými neznámými veli inami z stanou volná pooto ení ϕi , takže dostáváme minimální po et neznámých np. S podobnými výhodami je ešen i d íve uvedený numerický p íklad 3.2.
Obr. 11.18: Pruty s výškovými náb hy
4.3
Pruty prom nného pr ezu
Náb hy mohou být výškové (jsou staticky ú inn jší) nebo ší kové. Realizují se u konc monoliticky p ipojených do uzl . Zp sobují zak ivení st ednice, které se obvykle zanedbává, takže se uvažuje p vodní p ímá osa (obr. 11.18). Pro neprizmatické pruty jsou primární vektory R *ab a lokální matice tuhosti k *ab vyjád eny ve vztazích (11.33), (11.54), (11.66) a (11.48), (11.62), (11.68) pomocí základních deforma ních sou initel δ1, αab, αba, β prostého nosníku a sou initel δ0, ϕab, ϕba s veli inami R, Zab,0 , Zba,0 daného silového zatížení prostého nosníku.
Obr. 11.39: Nosník s p ímkovým náb hem
- 46 (70) -
Další možnosti ešení
Nej ast jším p ípadem je prut s výškovým p ímkovým náb hem oboustranným (symetrickým) nebo jednostranným (viz obr. 11.18). Každý prut s náb hem (obr. 11.39) lze pomocí dalšího um le vloženého uzlu rozd lit na ást s konstantním pr ezem a na ást pouze s náb hem. Základní deforma ní sou initele lze pak ur it •
numerickou integrací (nap . Simpsonovo pravidlo),
•
vyjád ením explicitních výraz (s použitím Maxwellova-Mohrova vztahu), viz nap . obr. 11.19; odvození pro prut s výškovým p ímkovým náb hem je provedeno v u ebnici [1] na str. 264 – 266.
•
pomocí tabulek deforma ních úhl prut s náb hy (nap . tabulky 14.6 a 14.7 v u ebnici [1]).
Obr. 11.19: Prut s lineární zm nou výšky pr ezu
4.4
Deforma ní zatížení
4.4.1
Vliv zm ny teploty
P edpokladem ešení je lineární pr b h teploty po výšce pr ezu a konstantní hodnota teploty po ší ce pr ezu. Vliv zm ny teploty na prut se vyjad uje (obr. 11.22) oteplením st ednice prutu ∆t0 a rozdílem ∆t1 p ír stku teploty dolních (∆td) a horních (∆th) vláken pr ezu. Oba p ípady lze vyšet ovat odd len .
Obr. 11.22: Rozklad lineární zm ny teploty po výšce pr ezu
Teplotní rozdíl ∆t1 = ∆td – ∆th
(11.111)
- 47 (70) -
Statika II
obsahuje ve znaménku konvenci p edpokládaného p etvo ení prutu. Zm na teploty st ednice záleží na tom, zda t žišt leží uprost ed výšky pr ezu (nap . obdélník), pak – obecná poloha t žišt po výšce pr ezu
∆t0 = ∆th +
ht ∆t1 h
(11.113)
Lokální matice tuhosti kab prutu z stává stejná jako u silového zatížení. Rovnom rné oteplení zm ní délku prutu o δ0 p i obecné funkci ∆t0 a p i konstantní funkci ∆t0 kde αt je sou initel tepelné roztažnosti. Zm na délky prutu vyvolá u prizmatického prutu primární koncovou sílu *
*
X ba = − X ab = − EAα t ∆t0
(11.117)
a p i ∆t0 = konst. Lineární zm na teploty po výšce pr ezu vyvolá ohyb prutu. Koncová pooto ení p i obecné funkci ∆t1 a p i konstantní funkci ∆t1 u prizmatického prutu Ohyb prutu vyvolá primární koncové momenty a p i ∆t1 = konst. u prizmatického prutu *
*
M ab = − M ba =
1 EIα t ∆t1 h
P í né primární síly (∆t1 = konst.)
4.4.2
Dané nepružné p emíst ní podpor
- 48 (70) -
(11.120)
Další možnosti ešení
Obr. 11.23: Popušt ní podpory
~ ~ ,ϕ~ ,0,0,0}T rab = {u~a , w a a
(11.124)
~ =k ~ R ab ab rab
(11.125)
Podporové body se mohou – pružn deformovat (zde nevyšet ujeme) – nepružn p emís ovat Vlastnosti:
– hodnoty p emíst ní se zadávají v globální sou adnicové soustav – vliv daného p emíst ní se vyjad uje prost ednictvím prutu – p evádí se na primární ú inky Rab – matice tuhosti prutu kab z stává stejná jako u silového zatížení Podporový bod a se p emístí o zadanou hodnotu – vodorovného posunu ua – svislého posunu wa – pooto ení ϕa Primární stav vytvo íme: – vynulujeme neznámé parametry deformace volných uzl (zajistíme nehybnou soustavu) – podporovým bod m s daným p emíst ním p id líme dané složky p emíst ní – sestavíme globální vektor daných složek p emíst ní prutu ab – ur íme vyvolaný globální primární vektor (jako sekundární ást) - 49 (70) -
Statika II
– pruty nedot ené daným p emíst ním mají Rab = 0 Výpo et koncových sil prut – vektor rab obsahuje neznámé parametry deformace a u vazby hodnoty – transformací p evedeme rab na rab a ešíme jako u silového zatížení
4.5
P íhradový nosník
Obr. 11.41: P íhradový nosník
4.6
Zjednodušená deforma ní metoda
Zjednodušená deforma ní metoda – skalární tvar
P edpoklady – p etvo ení prutu je vyvoláno jen ohybem – zanedbáváme vliv N (prut je nestla itelný) a V – použitelné pouze pro pravoúhlé rámy, v tšinou s pruty stálého pr ezu np,z … pomocí základní deforma n ur ité soustavy (vkládáním nezbytn nutného po tu fiktivních vazeb pro vytvo ení nehybné soustavy)
- 50 (70) -
Další možnosti ešení
Obr. 12.1: T i fiktivní vazby volného sty níku
Neznámé veli iny: – pooto ení sty ník ϕ – posunutí celých skupin sty ník (na spole né pr b žné p í li, pr b žném sloupu)
→
u, w
∆I , ∆II , …
→
ψab
Koncové síly
Ozna ují se jako složky vnit ních sil Nab , Vab , Mab , Nba , Vba , Mba Znaménková konvence: N , V … jako v silové metod (pružnostní konvence): N – tahové V – pootá í prutem ve smyslu chodu hodinových ru i ek M – otá í koncem prutu ve smyslu chodu hodinových ru i ek Koncové momenty – oboustrann upnutý prut
Koncové momenty závisí na: – silovém zatížení … primární stav – deformaci prutu … sekundární stav uvažují se pooto ení (kladná ve sm ru chodu hodinových ru i ek): – koncových pr ez ϕa , ϕb – prutová ψab (prutová výchylka) Výsledné koncové momenty kde jsou prutové konstanty: a – ohybová tuhost konce prutu
koncové momenty
b – p evedená tuhost konce prutu
od jednotkových
c – výchylková tuhost konce prutu
deformací ;
platí
- 51 (70) -
Statika II
nebo podle Maxwellovy v ty je Prutové konstanty lze vyjád it pomocí základních deforma ních úhl prostého nosníku kde Pro prut stálého pr ezu je takže prutové konstanty jsou Zavedeme-li (skute nou) ohybovou tuhost prutu stálého pr ezu získáme základní vztahy zjednodušené deforma ní metody nebo vyjád ené místo ψab pomocí ∆wab (12.1): Jednostrann kloubov p ipojený prut
Koncový moment obecn kde aba,k , cba,k je ohybová a výchylková tuhost konce prutu s kloubem: Pro prut konstantního pr ezu vychází a pro koncový moment platí neboli kde Pomocí ∆wab (12.1) lze vyjád it Prut stálého pr
ezu – pom rné tuhosti
P i ru ním ešení zjednodušenou deforma ní metodou se nepracuje se skute nou ohybovou tuhostí (dále zna ena ∗) ale s pom rnou ohybovou tuhostí kde konstanta c (stejná pro všechny pruty rámu) je volena tak, aby všechny kab byly ádov v jednotkách; nej ast ji c = 103 nebo c = 104. Platí vztah mezi tuhostmi
a mezi pooto eními Zatížení – silové
… lze použít pom rné ohybové tuhosti
– deforma ní … nutno použít skute né ohybové tuhosti
Vnit ní síly p ímého prutu (stálého pr ezu) Na prut p sobí – dané silové zatížení – koncové momenty Mab , Mba (v konvenci zjednodušené def. metody) Mezipodporový moment
kde Mx,0 je ohybový moment na - 52 (70) -
Další možnosti ešení
prostém nosníku od daného zatížení. Posouvající síla
v libovolném pr ezu kde Vx,0 je posouvající síla prostého nosníku od daného zatížení, pro koncové momenty Mab , Mba platí (12.18). V koncových pr ezech: neboli kde Prut levostrann kloubov ukon ený Mab,k = 0, Mba,k (12.25), platí (12.37) s jedním nulovým koncovým momentem, nebo: kde Normálové síly
v koncových pr ezech prut se eší ze sou tových podmínek rovnováhy uvoln ných sty ník : výpo et normálových sil … sestavení sty níkové rovnice (viz dále) Postup ešení N: a dále nap . v pr ezu x : Výskyt staticky neur ité ásti v rámu: Pr b žný prut (nap . a–b–c–d) oboustrann neposuvn uložený v a, d poskytuje pouze 2 silové podmínky do vodorovné osy (v uzlech b, c) pro 3 neznámé osové síly Nab, Nbc, Ncd. Zp sob ešení: – jako osov staticky neur itá ást – obecnou deforma ní metodou Sty níková rovnice
Za rovnovážného stavu (po deformaci rámu) musí být v každém uzlu spln na momentová podmínka rovnováhy kde Mai jsou koncové momenty monoliticky p ipojených prut , Ma je momentové zatížení uzlu. - 53 (70) -
Statika II
Po rozepsání (12.46) kde Sty níková rovnice uzlu a Patrová rovnice
– sestavuje se pro každý nezávislý posun u, w → ∆ → ψ – vyjad uje silovou podmínku rovnováhy uvoln né ásti rámu (odd lenou ezem) se všemi uzly spole ného posunu P íklad sestavení patrových rovnic: T i fiktivní silové vazby brání – vodorovnému posunu ásti a–b–c … ∆I – vodorovnému posunu ásti e–d
… ∆II
– svislému posunu ásti
… ∆III
e–b
Nezávislé posuny ∆ vyjád íme pomocí zvolených nezávislých prutových pooto ení Závislá prutová pooto ení (ur íme z geometrických rovnic): V p íkladu sestavíme – 5 sty níkových rovnic pro ϕa , ϕb , ϕc , ϕd , ϕe – 3 patrové rovnice pro ψI , ψII , ψIII Pro zajišt ní symetrické soustavy rovnic p i použití ψ je nutno dodržet zásady: – ezem m žeme p etnout pouze jeden prut s nezávislým ψ , všechny ostatní pruty mají závislá ψ (nesmíme ezem p etnout prut s jiným nezávislým ψ) – celou rovnici roznásobíme délkou prutu s nezávislým ψ Patrová rovnice pro ψI podle obr. (d) –
ez vedeme hlavami sloup a–f , c–g a uvolníme celou horní ást
– ú inek odstran né spodní ásti nahradíme kladnými posouvajícími silami Vaf , Vcg – silová podmínka: kde takže po úprav získáme obecný tvar
- 54 (70) -
Další možnosti ešení
P i použití ezu podle obr. (g) p etneme prut b–e s jiným nezávislým pooto ením ψII, rovnice by byla použitelná (soustava ešitelná), ale soustava by byla nesymetrická. Patrová rovnice pro ψII podle obr. (e)
– uvolníme horní ást rámu (jediná možnost) – silová podmínka kde a po úprav Patrová (sloupová) rovnice pro ψIII podle obr. (f)
– vyjmeme sloup b–e – silová podmínka do svislé osy kde a podobn sestavíme obecný tvar patrové rovnice. Alternativa sestavení patrových rovnic
P i použití neznámých patrových posun ∆ vedeme ezy tak, aby každá vyjmutá ást rámu obsahovala všechny uzly se spole ným posunem ∆ : Podmínka rovnováhy dává patrovou rovnici Další p íklady vedení patrových ez
Posuvná kloubová podpora Posun vnit ního kloubu 4.6.1
•
Rekapitulace postupu ešení rámu ZDM s pruty konstantního pr ezu
Pom rné ohybové tuhosti – prut oboustrann upnutý (12.31) – prut jednostrann kloubov ukon ený (12.26)
•
Koncové momenty – prut oboustrann upnutý (12.18) – prut jednostrann kloubov ukon ený (12.25) - 55 (70) -
Statika II
•
Koncové posouvající síly (12.37)
•
Sestavení sty níkových a patrových rovnic v neznámých pooto eních ϕ , ψ .
•
ešení soustavy rovnic.
Výpo et – koncových moment – koncových posouvajících sil – normálových sil – mezipodporových moment – reakcí
•
Vykreslení pr b h složek vnit ních sil
•
Kontrola rovnováhy – moment v uzlech – posouvajících sil a vn jšího zatížení v patrových ezech – celé rámové soustavy M ab = M ab + aabϕ a + babϕb − cabψ ab M ba = M ba + abaϕb + bbaϕ a − cbaψ ab M ab = M ab + kab (2ϕ a + ϕb − 3ψ ab ) M ba = M ba + kab (2ϕb + ϕ a − 3ψ ab )
3 M ba , k = M ba , k + k 'ab (2ϕb − 2ψ ab ) = M ba , k + kab (ϕb − ψ ab ) 2
(12.3)
(12.18)
(12.25)
M x = M x ,0 + ∆M x =
= M x ,0 +
M ab x'− M ba x lab
Vx = Vx ,0 + ∆Vx = Vx ,0 −
M ai = M a
M ab + M ba lab
(i = b, c, d , e)
- 56 (70) -
(12.35)
(12.36)
(12.46)
Další možnosti ešení
Obr. 12.2: Základní deforma n ur itá soustava
Obr. 12.5: Složky vnit ních sil N, V, M, v koncových pr ezech prutu
- 57 (70) -
Statika II
Obr. 12.6: Prut oboustrann pružn upnutý
Obr. 12.10: Pružn upnutý prut s p í ným zatížením
- 58 (70) -
Další možnosti ešení
Obr. 12.13: Monolitický sty ník rovinného rámu
Obr. 12.14a: Rovinný patrový rám s nepr b žným sloupem
Obr. 12.14b: Rovinný patrový rám s nepr b žným sloupem
Obr. 12.14c: Rovinný patrový rám s nepr b žným sloupem
- 59 (70) -
Statika II
Obr. 12.14d: Rovinný patrový rám s nepr b žným sloupem
Obr. 12.14e: Rovinný patrový rám s nepr b žným sloupem
Obr. 12.14f: Rovinný patrový rám s nepr b žným sloupem
Obr. 12.14g: Rovinný patrový rám s nepr b žným sloupem
Obr. 12.16: Jednoduchý rovinný rám s vnit ním kloubem
Otázky 1.
Zp sob ešení vlivu nerovnom rné zm ny teploty na pruty rovinného rámu.
2.
Zp sob vyšet ování vlivu daného nepružného p emíst ní podpor rámu.
3.
Kdy je matice tuhosti prutové soustavy singulární a jak singularitu odstraníme?
4.
V jakém p ípad uvažujeme u spojitého nosníku nulové osové posuvy?
- 60 (70) -
Další možnosti ešení
5.
Pro nelze ešit p íhradovou soustavu zjednodušenou deforma ní metodou?
Shrnutí Pro ú ely budoucí statické analýzy prutových konstrukcí byly zaveden a osv tlen pojem kvadratických moment rovinných obrazc . Definovali jsme pojmy momenty setrva nosti a devia ní momenty jednoduchých obrazc . k pooto eným sou adným osám, abychom analyticky i graficky (Mohrova moment setrva nosti.
- 61 (70) -
Statika II
- 62 (70) -
Tabulky
5
Tabulky
V této kapitole jsou pro prizmatický prut (prut konstantního pr ezu) uvedeny obecn použitelné tabulky, vhodné pro ukázkové ru ní ešení jednoduchých rámových konstrukcí. Tab. 11.2: Primární vektory koncových sil R *ab (obr. 11.2) prizmatického prutu
- 63 (70) -
Statika II
Obr. 11.2: Konvence koncových sil k tab. 11.2 a 11.5
Tab. 11.3: Lokální matice tuhosti prutu konstantního pr ezu
- 64 (70) -
Tabulky
Tab. 11.4: Globální matice tuhosti prizmatického prutu
- 65 (70) -
Statika II
Tab. 11.4: Globální matice tuhosti prizmatického prutu (pokra ování)
- 66 (70) -
Tabulky
Tab. 11.5: Primární vektory koncových sil R *ab (obr. 11.2) prizmatického prutu od zm ny teploty
- 67 (70) -
Statika II
- 68 (70) -
Studijní prameny
6
Studijní prameny
6.1
Seznam použité literatury
[1]
Kadl ák, J., Kytýr, J. Statika stavebních konstrukcí II. Staticky neur ité prutové konstrukce. U ebnice, druhé vydání. VUTIUM, Brno 2004
[2]
Benda, J. a kol. Statika stavebních konstrukcí II. Skriptum. CERM, Brno 1996
[3]
Kadl ák, J., Kytýr, J. Statika stavebních konstrukcí III. Skriptum. VUT v Brn , Brno 1991
6.2
Seznam dopl kové studijní literatury
[4]
Chobot, K., Draho ovský, Z., Hájek, V., Novotná, H. Statika stavebních konstrukcí III. U ebnice. SNTL/ALFA, Praha 1985
[5]
Sobota, J. Statika stavebných konštrukcií 2. ALFA, Bratislava 1991
[6]
Harvan ík, J., Pekarovi , J., Sobota, J. Stavebná mechanika – príklady. ALFA/SNTL, Bratislava 1986
[7]
Cais, S. Statika stavebních konstrukcí – D jiny stavební mechaniky. Dopl ková skripta. VUT, Praha 1991
6.3 [8]
Odkazy na další studijní zdroje a prameny http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians
- 69 (70) -
Statika II
Poznámky
- 70 (70) -
