VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Kateřina Slámová

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY

DIPLOMOVÁ PRÁCE

2006

Kateřina Slámová

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Matematické metody v ekonomii

Název diplomové práce

SIMULACE STOCHASTICKÝCH PROCESŮ HROMADNÉ OBSLUHY

Diplomant: Vedoucí diplomové práce:

Kateřina Slámová Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. -2-

Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma “Simulace stochastických procesů hromadné obsluhy” zpracovala samostatně. Veškerou použitou literaturu a další podkladové materiály uvádím v seznamu použité literatury.

Praha 3.1.2007

Kateřina Slámová

-3-

Poděkování: Upřímně děkuji panu Prof. Ing. Josefovi Jablonskému, CSc., vedoucímu práce, za odborné vedení a náměty při zpracovávání této práce. Dále mé poděkování patří Ing. Janu Zouharovi za cenné rady a připomínky.

-4-

Obsah 1

Úvod ..............................................................................................................................6

2

Seznámení s problematikou a definice základních pojmů .......................................8 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

3

Simulace......................................................................................................................21 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

4

O firmě.................................................................................................................28 Řešený problém ...................................................................................................29 Příprava a zpracování dat pro model ...................................................................29

Navrhovaný postup řešení.........................................................................................36 5.1 5.2 5.3 5.4

6

Vymezení základních pojmů ...............................................................................23 Použití simulace...................................................................................................24 Přínosy simulace vs. negativa..............................................................................24 Metoda Monte Carlo ............................................................................................25 Dynamická simulace............................................................................................26 Širší pojetí simulace.............................................................................................26 Perspektivy dalšího vývoje ..................................................................................27

Případová studie ........................................................................................................28 4.1 4.2 4.3

5

Historie teorie hromadné obsluhy..........................................................................8 Oblasti aplikace teorie hromadné obsluhy.............................................................9 Popis a základní charakteristiky MHO ................................................................10 Použití modelů hromadné obsluhy ......................................................................15 Klasifikace modelů hromadné obsluhy................................................................15 Model M/M/S/∞/FIFO.........................................................................................17 Optimalizace systému hromadné obsluhy ...........................................................20

Simul8..................................................................................................................36 Model ...................................................................................................................38 Experimentování s modelem ...............................................................................47 Výsledky experimentu .........................................................................................51

Závěr ...........................................................................................................................52

Literatura ...........................................................................................................................54 Internetové zdroje..............................................................................................................54 Přílohy.................................................................................................................................55

-5-

Simulace stochastických systémů hromadné obsluhy

1 Úvod Každý z nás nejednou v životě zažil únavné čekání na obsluhu. Bohužel se tento fenomén rozšiřuje a stává se záležitostí každodenního života. Ve frontě čekáme při dopravní zácpě, na poště, v supermarketu, na letišti při čekání na odbavení a podobně. My jako zákazníci obvykle toto čekání nevyhledáváme. Manažeři těchto zařízení nás také nevidí rádi čekat, jelikož je to může stát ztrátu zákazníků a tím jejich podnikání. Proč tedy stále čekáme? Odpověď je vcelku jednoduchá. V těchto zařízeních existuje větší poptávka po uspokojení služeb než je toto zařízení schopno uspokojit. Proč je tomu tak? Důvodů může být více. Uveďme například nedostatek obsluhujícího personálu, zapojení dodatečné obsluhující jednotky se z ekonomického hlediska nevyplatí, případně zde může být poskytnuto pouze omezené množství služeb. Obecně mohou být tato omezení redukována s vynaložením určitých nákladů. Abychom tedy věděli v jakém množství jsou služby k dispozici, je třeba si odpovědět na otázky typu: „Jak dlouho musí zákazník čekat?“ a „Kolik zákazníků se seskupí ve frontě?“. Teorie front se pokouší, a v mnoha případech úspěšně, dát odpovědi na tyto otázky skrze detailní matematické analýzy.

Tato práce umožňuje nahlédnout do hlubší problematiky teorie hromadné obsluhy, jak je tato disciplína operačního výzkumu odborně nazývána, poukazuje na některé problémy s ní spojené a navrhuje jejich řešení. Jedním z cílů této práce je shrnout a utřídit teoretické poznatky z této oblasti, tj. jak z oblasti stochastických systémů hromadné obsluhy jako takových, tak z oblasti druhé, jíž je nástroj pro modelování těchto procesů – simulace. Simulace je nejčastěji používanou metodou operačního výzkumu v podnikové praxi. Pomocí tohoto nástroje je možné analyzovat a zlepšovat řízení složitých podnikových procesů. Přitom základní myšlenkou simulace je napodobení chování sledovaného systému. Touto teoretickou částí se zabývají kapitoly 2 a 3. Druhá etapa práce, konkrétně kapitola 4, je zaměřena na aplikaci teoretických poznatků do praxe. Pomocí simulačního softwaru Simul8 je zde modelován zjednodušený případ systému hromadné obsluhy. Simul8 je jedním z nejrozšířenějších softwarových produktů pro dynamickou diskrétní simulaci podnikových procesů. Pomocí programu

-6-


SIMUL8 lze snadno vytvořit přesné a flexibilní simulace podnikových, výrobních nebo logistických procesů či systémů. Pro přípravu dat simulovaného model je v práci využit MS Excel a jeho doplněk Crystal Ball, který pomáhá jednoduchou cestou zpracovat prvotní data pro model, jako je určení pravděpodobnostního rozdělení dat a jeho parametry. Obecně je možné řešit a zkoumat jednodušší systémy analytickou cestou. Pro složitější systémy, kterým náš, i když zjednodušený příklad, bezpochyby je, je třeba volit jiné techniky, abychom byli schopni dokonale prozkoumat daný systém, odhalit jeho úskalí, ale i navrhnout a prozkoumat řešení nedostatků ještě předtím, než investujeme do změny systému. Proto je do simulační části zařazeno i experimentování s původním a pozměněným modelem a porovnání jednotlivých výsledků simulace, ze kterých následně můžeme usuzovat na vhodnost či nevhodnost toho kterého modelu.

-7-


2 Seznámení s problematikou a definice základních pojmů Teorie hromadné obsluhy zkoumá systémy, ve kterých dochází k realizaci obsluhy požadavků přicházejících do systému hromadné obsluhy. Při zkoumání objektů pomocí modelů hromadné obsluhy (MHO) je často cílem měření vzájemných vazeb mezi základními ukazateli charakterizujícími kvalitu a efektivnost systému hromadné obsluhy (SHO) a nalezení optimálního provozního režimu vzhledem ke zvolenému kritériu. Optimalizací provozního režimu systému hromadné obsluhy lze zpravidla podstatně snížit možnost vzniku front, popř. snížit celkové ztráty z důvodu čekání. Je třeba se zabývat i ekonomickou stránkou problému. Snížení pravděpodobnosti vzniku front je obvykle spojeno s rozšířením kapacity obslužného zařízení. Proto je nutno stanovit optimální vztah mezi ztrátami z čekání požadavků na obsluhu a mezi náklady na zvýšení kapacity obsluhy. Vyčíslení ztrát či nákladů vznikajících v závislosti na provozních režimech zkoumaného systému obsluhy není v řadě případů jednoduchou záležitostí.

2.1 Historie teorie hromadné obsluhy Teorie hromadné obsluhy byla vyvinuta za účelem předvídat chování systémů poskytující určité služby, tak aby docházelo k jejich zkvalitňování. Průkopníkem v této oblasti byl dánský matematik Agner Krarup Erlang (1878-1929). Byl prvním, kdo se vědecky zabýval problematikou telefonních sítí. Roku 1909 publikoval své první dílo The Theory of Probabilities and Telephone Conversation (Teorie pravděpodobnosti a telefonní konverzace). Zjistil, že telefonní systém je charakterizován Poissonovým rozdělením příchozích hovorů. V roce 1917 Erlang vydal svou nejvýznamnější práci Solution of some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchange (Řešení některých problémů v teorii pravděpodobnosti významných v automatické telefonní výměně). Dílo obsahuje vzorec pro ztrátové a čekací časy, který je velmi známý v teorii telefonních ústředen. Známý je tzv. Erlangův vzorec pro pravděpodobnost ztráty, který určuje poměr volajících, kteří se snaží dovolat v čase, kdy je síť používána (obsazená).

-8-


Další významnou osobností této oblasti byl David George Kendall, který se zasloužil o značení klasifikace modelů hromadné obsluhy. V roce 1953 zavedl klasifikaci typu A/B/C, vyjadřující základní charakteristiky modelu. Toto značení se používá dodnes. Důležitou událostí pro oblast THO bylo také vyslovení a dokázání Littleovy formule (John Little) v roce 1969. Dalšími mezníky byly rok 1986, kdy bylo publikováno první číslo odborného časopisu The Journal of Queueing System, a rok 1995, ve kterém se konalo první mezinárodní sympozium THO. Z dalších významných jmen vztahujících se k THO je nutné zmínit osobnosti jako Tore Olaus Engset, Conny Palm, Thornton Fry, Edward Charles Molina, Felix Pollaczek, Andrey Kolmogorov, Alexander Khinchin.

2.2 Oblasti aplikace teorie hromadné obsluhy Běžných oblastí aplikace teorie hromadné obsluhy existuje mnoho. Z nejznámějších je nutné zmínit vůbec první oblast, kde se tato teorie začala využívat, a tou je telefonní konverzace. První práce na téma reálné teorie front vznikla v roce 1909 díky A.K.Erlangovi. Erlang pracoval v kodaňské telefonní společnosti. Zabýval se otázkou optimálního počtu telefonních linek tak, aby ústředna zvládla frekvenci příchozích hovorů. V každém modelu front je třeba definovat co se míní příchody, obsluhou, frontou. Pro telefonní hovory to nemusí být na první pohled zřejmé. Při bližším pohledu ale zjistíme, že příchody jsou vlastně příchozí hovory a interval mezi nimi popisuje vstupní proud požadavků. Délka hovoru pak určuje dobu obsluhy. Frekvenci hovorů může být obtížné měřit, jelikož se může ozvat obsazovací tón a zákazník se tak vůbec nespojí s ústřednou. Kromě vyspělé techniky se tento problém řeší procentuálním odhadem „neúspěšných“ zákazníků. Obsluhou jsou zde samotné telefonní linky a frontou soubor nedokončených hovorů. Telefonování představovalo jedinou oblast aplikace až do 50. let 20. století, kdy se začaly objevovat mnohé další. Jen pro ilustraci druhou zajímavou oblastí je letištní provoz, kdy sledujeme využití runwaye pro přistání a vzlétání letadel. Zdá se, že u tohoto problému je zřejmější, co představuje základní součásti a charakteristiky systému pro aplikaci některých technik THO. Například je jasné, že zákazníky jsou zde letadla, obsluhou rozumíme runway a frontou jsou stroje čekající na povolení k přistání či odletu. Schopnost -9-


analytika určit tyto a další základní charakteristiky modelu je základní podmínkou před řešením jakéhokoliv problému teorie front. Oblastí aplikace THO existuje nespočetně mnoho, většina z nich byla dobře zdokumentována v odborné literatuře týkající se pravděpodobnosti, operačního výzkumu, managementu. Dalšími oblastmi využívajícími poznatky teorie front jsou obsluha automatických stavů, platba mýtného, stanoviště taxi, nakládání a vykládání zásob, chod nemocnice, výrobní toky, vojenské aplikace, aplikace na poli počítačů a jiné.

2.3 Popis a základní charakteristiky MHO Systém hromadné obsluhy je základní teoretický model pro popis obslužných procesů. Teorie SHO se zabývá analýzou a návrhem systémů, jejichž náplní je opakovaná činnost uspokojující určité potřeby dané množiny objektů. Mezi základní části modelu SHO patří fronta a obslužný systém. Do fronty se požadavky řadí, je-li systém zaneprázdněn obsluhou jiného, dříve příchozího. Kanál obsluhy poskytuje obsluhu požadavkům přicházejících ve vstupním toku nebo čekajícím ve frontě. Po ukončení obsluhy trvající nějakou dobu se kanál uvolní a realizovaná položka odchází výstupním tokem ze systému hromadné obsluhy. SHO je možné zjednodušeně znázornit následovně:

-10-


čekací prostor obslužný systém fronta vstupní proud požadavků

odchod ze systému zpracování požadavku

systém obsluhy

proces hromadné obsluhy

Obrázek 1: Schéma MHO

Vstupní proud požadavků Vstupní tok je tvořen skupinou lidí nebo jinými nositeli požadavků, kteří vstupují do systému s přáním být obsloužen. Počet požadavků může být konečný (uzavřený systém) nebo nekonečný (otevřený systém). V případě nekonečného zdroje pak na počet potenciálních zákazníků nemá vliv počet zákazníků, kteří jsou obsluhováni nebo čekají. Vstupní tok charakterizuje zejména časový odstup mezi příchody jednotlivých žádostí. Jestliže je tento odstup konstantní hovoříme o deterministickém (regulárním) toku, jestliže je náhodný jde o stochastický tok. Vstupní proud lze obecně považovat za stochastický proces, jelikož požadavky přicházejí do systému obsluhy nejčastěji v náhodných okamžicích, tzn. že délky intervalů mezi jejich příchody jsou hodnoty spojitých náhodných veličin. Nejčastěji se jedná o systémy s Poissonovým vstupním proudem neboli exponenciální systémy. V praxi je ale možné také se setkat s Erlangovým rozdělením, logaritmicko-normálním a dalšími rozděleními. Řešení takovýchto modelů s jiným vstupním proudem požadavků než Poissonovým je však analyticky obtížnější.

Počet

žádostí za jednotku času udává intenzitu vstupu (λ). Příchody požadavků můžeme popsat i

-11-


pomocí intervalu mezi příchody (XN), což je čas mezi dvěma po sobě následujícími příchody. U vstupního toku nás zajímá také jeho stacionarita, ordinárnost a nezávislost. Stacionárním (homogenním) tokem je takový, jehož charakteristiky se s časem nemění. Ordinární je tok, u něhož se nevyskytne v jednom okamžiku více než jedna žádost. Nezávislost přírůstku toku úzce souvisí s počtem zdrojů a dobou trvání obsluhy. Čím je počet zdrojů požadavků menší, nebo doba trvání obsluhy delší, tím je tok více závislý na počtu současně realizovaných požadavků. Pro dostatečně velkou skupinu zdrojů požadavků a krátkou dobu jejich obsluhy lze považovat tok za nezávislý. Komplikace na vstupu mohou být způsobeny chováním zákazníků, kteří se rozhodují, zda vstoupit či nevstoupit do systému na základě délky fronty, rychlosti obsluhy atd.

Doba trvání obsluhy Doba obsluhy je doba potřebná k obsloužení jednoho požadavku (TS). Dobu obsluhy jednotlivých požadavků ovlivňuje řada náhodných faktorů, takže ji lze také pokládat za náhodnou veličinu. Jedná se tedy o střední hodnotu této náhodné veličiny. Rozdělení dob trvání obsluhy se obvykle řídí také exponenciálním zákonem rozdělení. Podobně náhodnou veličinou je intenzita obsluhy (µ), což je počet obsloužených jednotek za jednotku času.

Disciplína čekání ve frontě Chování ve frontě se týká ochoty jednotek čekat ve frontě, případně pravidel pro výběr fronty, přecházení do jiné fronty apod. Systémy hromadné obsluhy se podle trpělivosti dělí na systémy bez čekání a systémy s čekáním. V prvním případě jsou jednotky netrpělivé a pokud není volný obslužný kanál v době jejich příchodu, rezignují a odcházejí neobslouženy. U systému s čekáním jednotka do systému vstoupí a buď trpělivě čeká a odchází ze systému až po dokončení obsluhy, nebo čeká alespoň určitou dobu, a teprve není-li během ní obsloužen, opouští systém. Někdy se jednotkám přiřazuje různě dlouhá míra netrpělivosti. Systémy s čekáním mohou mít jednak neomezenou délku fronty, kdy všechny požadavky přicházející do systému jsou ochotny čekat a jsou obslouženy. Naopak -12-


v systémech s omezenou kapacitou fronty (nebo i systému) není poskytnuta obsluha těm jednotkám, které přijdou do systému v době, kdy je kapacita fronty plně využita. Všem systémům hromadné obsluhy, kdy nejsou z různých důvodů obslouženy všechny přicházející požadavky, se někdy říká systémy se ztrátami. Jde o systémy s čekáním i bez čekání, ale s omezenou kapacitou nebo s netrpělivostí požadavků během čekání ve frontě.

Režim fronty Režim nebo také řád fronty jsou pravidla, podle kterých jsou požadavky přijímány do obsluhy. Jde tedy o způsob fungování obslužných kanálů. Správně zvolený režim fronty je významný faktor ovlivňující efektivnost systému obsluhy. Prvním typem jsou systémy s pevně stanoveným pořadím neboli systémy s uspořádanou frontou. Mezi tyto patří FIFO (first in, first out) neboli podle pořadí vstupu do systému, a LIFO (last in, first out), tj. v obráceném pořadí příchodu do systému. Pokud není stanoveno pevné pořadí, jedná se o obsluhu s přihlédnutím k důležitosti

nebo

naléhavosti požadavku vyjádřením určité priority – PRI (priority), nebo jsou požadavky přiřazovány k obsluze zcela náhodně bez předem daných pravidel – SIRO (selection in random order), kdy mluvíme o systémech s neuspořádanou frontou. Dále rozlišujeme systémy s jednou frontou nebo s více frontami, kdy existuje pro každý obslužný kanál zvláštní fronta. V tomto případě je možno během čekání přecházet z jedné fronty do jiné.

Počet a uspořádání obslužných linek (režim obsluhy) Obsluha může probíhat v jednom obslužném zařízení, kdy jde o systém s jednoduchou obsluhou neboli o jednokanálový systém obsluhy, nebo ve více homogenních či nehomogenních obslužných kanálech, pak hovoříme o systému s vícenásobnou obsluhou neboli o vícekanálovém systému obsluhy. Zvláštním případem je pak adaptabilní systém, ve kterém se počet míst v obsluze může měnit, např. úměrně počtu přicházejících požadavků. Uspořádání kanálů může být buď paralelní, kdy je vedle sebe několik homogenních linek poskytujících stejné služby, nebo sériové („za sebou“), kdy požadavek musí projít postupně několik kanálů obsluhy.

-13-


Omezený

ZDROJ

Neomezený

Vstup

Intenzita vstupu, intervaly mezi vstupy, střední hodnota, typ rozdělení

Individuální

Okamžité odpadávání

Vstup v dávkách

Nedokonalá informace o délce fronty

Výběr nejvýhodnější fronty

Přecházení do jiné fronty

Hádky a konflikty

Fronta/y

Fronta nebo fronty čekajících

Jednotka přidělena konkrétní lince obsluhy

FIFO LIFO

Vstup náhodným výběrem

Priority individuální

Vlastnosti front a čekajících

Specializované fronty

Limitovaná délka fronty

Netrpěliví zákazníci

Obslužné linky, rozdělení okamžiků zahájení obsluhy a dob trvání obsluhy

Obsluha

Individuální obsluha

Obslužné linky se stejnou nebo různou dobou obsluhy

Výstup

Paralelně řazené

Skupinová obsluha

Variabilní počet linek

Sériově řazené

Linky pro specifikované a nespecifikované operace

Kombinace paralelního a sériového uspořádání

Intervaly mezi výstupy, typ rozdělení, vracející se zákazníci Obrázek 1: Struktura SHO

-14-


2.4 Použití modelů hromadné obsluhy Modely hromadné obsluhy se používají pro řešení dvou základních typů problémů:

Stanovení důležitých pracovních charakteristik systému na základě jeho matematického popisu. Pokud ovlivňují činnost systému náhodné vlivy, pak jsou charakteristiky náhodné veličiny. Většinou se spokojíme s odhady středních hodnot, případně rozptylů.

Stanovení optimálních parametrů systému. Existuje-li určitá volnost ve struktuře systému (např. lze-li počet obslužných zařízení vedle sebe změnit) nebo je možné regulovat vstupní toky požadavků či měnit doby obsluh, pak lze uvažovat o optimalizaci

činnosti

systému.

Přitom

je

možné

optimalizaci

provádět

z řady mnohdy protichůdných hledisek. Například pro SHO je typická silná záporná korelace mezi dobami čekání ve frontách a využitím obslužných zařízení, a tak se zkrácení pobytu ve frontě obvykle projeví na snížení využití obslužných kanálů.

2.5 Klasifikace modelů hromadné obsluhy Podle základních charakteristik jsou MHO klasifikovány jednotným způsobem, který rozvinul D. G. Kendall. Zavedl původní trojmístnou klasifikaci, která byla později rozvinuta o tři další parametry. Obecně se používá posloupnost šesti symbolů A/B/C/D/E/F. Následující tabulka znázorňuje význam jednotlivých symbolů a možnosti jejich obsahu.

-15-


Symbol Význam A

Typ

Může obsahovat

stochastického

procesu M-Poissonův

proces

vstupu,

tj.

popisujícího příchod zákazníků k exponenciální rozdělení intervalů mezi obsluze

vstupy Ek-Erlangovo rozdělení intervalů mezi vstupy požadavků D-deterministické

rozdělení,

tj.

pravidelné vstupy požadavků G-obecný případ, jakékoliv rozdělení B

Zákon

rozdělení

dob

trvání M-exponenciální rozdělení doby trvání

obsluhy

obsluhy Ek-Erlangovo

rozdělení

doby

trvání

rozdělení,

tj.

obsluhy D-deterministické

konstantní doba obsluhy G-jakékoliv rozdělení trvání obsluhy C

Počet paralelních zařízení obsluhy 1, 2, …∞ (celé kladné číslo) (kapacita obsluhy)

D

Kapacita SHO, tj. počet míst 1, 2, …∞ (celé kladné číslo) v obsluze a ve frontě

E

Počet zdrojů požadavků

1, 2, …∞ (celé kladné číslo)

F

Režim fronty

FIFO, LIFO, PRI, SIRO Tabulka 1: Význam symbolů klasifikace MHO

Při seznámení s výše uvedenou klasifikací systémů hromadné obsluhy je jasné, že možných kombinací základních charakteristik a tudíž i typů modelů je velmi mnoho. Zde si přiblížíme pouze model, který je pokládán za nejvíce využitelný v praxi.

-16-


2.6 Model M/M/S/∞/FIFO Pro tento model, který se v praxi vyskytuje nejčastěji, je charakteristické exponenciální rozdělení četností náhodných, vzájemně nezávislých veličin – dob obsluhy a dob mezi příchody. Jde o otevřený systém s nejvýše S homogenními paralelně obsluhujícími kanály, z nichž každé má intenzitu obsluhy µ. Pro dvě zařízení obsluhy bude tedy intenzita obsluhy 2µ, pro tři pak 3µ, atd. Maximálně je možné dosáhnout intenzity Sµ. Fronta se začne tvořit až když vstoupí (S+1)-ní požadavek. Dále vycházíme z toho, že požadavky vstupují do systému s konstantní intenzitou λ a při obsazení všech obslužných linek čekají trpělivě na obsluhu. Kapacita fronty i systému je neomezená a obsluha probíhá v pořadí, v jakém požadavky přicházejí do systému. Výhodou tohoto modelu hromadné obsluhy je, že může zpravidla přizpůsobit kapacitu obsluhy intenzitě vstupního proudu požadavků. Model má charakter Markovova procesu, jelikož stav systému v libovolném časovém okamžiku t, který je jednoznačně určen číslem n udávající počet jednotek v systému, nezávisí na žádném z předešlých stavů kromě stavu bezprostředně předcházejícího. Uvažujeme tedy pouze možnost setrvání ve stejném stavu nebo přechod mezi stavy sousedními. Je to důsledek toho, že pravděpodobnosti přechodů mezi nesousedními stavy jsou nekonečně malé, neboť je zde zanedbatelná pravděpodobnost vstupu (příp. obsluhy) více než jedné jednotky v časovém intervalu ∆t. Matice pravděpodobností přechodu, vyjadřující soustavu tzv. pravděpodobností přechodu mezi jednotlivými stavy za dobu ∆t má tvar

M=

1-λ∆t µ∆t 0 ..... 0 0 0

λ∆t 0 ..... 0 0 ..... 1-(λ+µ)∆t λ∆t ..... 0 0 ..... 2µ∆t 1-(λ+2µ)∆t ..... 0 0 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 0 0 ..... 1-[λ+(S-1)µ]∆t λ∆t ..... 0 0 ..... Sµ∆t 1-(λ+Sµ)∆t ..... 0 0 ..... 0 Sµ∆t .....

.

Intenzitu pravděpodobností přechodu udávají tedy veličiny λ a µ. Na úhlopříčce matice jsou výrazy, které odpovídají pravděpodobnostem setrvání ve stavu, vpravo od ní -17-


pak pravděpodobnosti příchodu požadavku a vlevo pravděpodobnosti ukončení obsluhy požadavku. Ostatní prvky jsou nulové, jelikož jiná možnost přechodu mezi nesousedícími stavy prakticky neexistuje.

Platí zde p(t+∆t) = p(t).P

kde

p(t) = [po(t), p1(t), p2(t), ..... , pn(t), .....].

Z důvodů zjednodušení výpočtů se v modelech zkoumá, zda se daný systém hromadné obsluhy po dosti dlouhé době svého fungování ustálí, tj. přestane být závislý na čase t a na výchozích podmínkách. Podmínka stabilizace tohoto systému má tvar

λ ρ = <1 Sµ S tj. intenzita obsluhy všech zařízení musí být větší než intenzita vstupu. Výraz ρ =

λ nazýváme průměrná intenzita provozu. Udává stupeň vytížení µ

systému hromadné obsluhy neboli vytížení kanálu obsluhy. Pro zajištění fungování musí být tedy menší než 1, tzn. obslužné zařízení musí mít vždy nějakou rezervu. Často se vyskytuje otázka, proč nemůže být využití kanálu obsluhy stoprocentní. Pokud by kanál měl být využit na 100%, tzn. nepřetržitě pracovat po celou pracovní dobu, musel by být v systému v každém okamžiku alespoň jeden zákazník. Nepravidelnost v příchodech jednotek vyplývající ze stochastického charakteru systému však způsobuje, že v určitých časových úsecích je systém prázdný a obsluha nepracuje. Tento ztracený čas nelze nijak nahradit a pracovní doba tedy není zcela využita. Pro rostoucí hodnoty intenzity provozu se výrazně zvyšuje doba, po kterou zákazník čeká ve frontě a samozřejmě i délka fronty. Výraz ρ =

λ ≥ 1 říká, že fronta roste nade všechny meze, v tomto případě systém µ

nefunguje.

-18-


Stacionární pravděpodobnost, že se v systému nenachází žádná jednotka, tedy systém je prázdný, je dána vztahem −1

   S −1 ρ n ρ S 1  p 0 = ∑ + . ρ  S!  n=0 n! 1− S  

Pravděpodobnost, že se v systému nachází právě n požadavků bude mít tvar pn = p0

ρn

pn = p0

n!

ρn SS S n S!

pro

1≤ n < S ,

pro

n≥S.

Následující tabulka uvádí některé základní charakteristiky systému.

Průměrný počet jednotek v systému

∞

n s = ∑ n. p n n=0

Průměrný počet požadavků ve frontě

∞

n f = ∑ (n − 1). p n n =1

Průměrná doba strávená v systému

n T = s s λ

Průměrná doba čekání ve frontě

Tf =

Průměrný počet nevyužitých kanálů obsluhy

nf

λ

S = S − (ns − n f )

Tabulka 2: Základní charakteristiky modelu M/M/S/∞/FIFO

-19-


2.7 Optimalizace systému hromadné obsluhy Matematické modely se dělí na dvě skupiny, a to deskriptivní a normativní modely. Deskriptivní modely slouží k popisu určitých reálných situací, často je jejich cílem vysvětlit vztahy mezi prvky systému. Na základě parametrů systému, které zde považujeme za konstanty, získáváme hodnoty základních pracovních charakteristik systému. Nelze-li v systému nic měnit, nemůže vzniknout žádný rozhodovací problém optimalizačního charakteru. V řadě případů ale lze změnit např. doby obsluhy, počet obslužných linek či řád fronty. V tomto případě jde o normativní modely, které dávají přímo návrhy k rozhodování, jednání, neboť slouží k určení „optimálních“ hodnot veličin, které odpovídají rozhodovacím proměnným modelu. Optimalizační modely pak vyžadují kromě vymezení množiny přípustných řešení i stanovení kriteriální funkce. Ve většině úloh jde o stanovení kompromisního řešení mezi často protichůdnými požadavky [7]. Kriteriální funkcí může být nákladová funkce, zisková funkce, případně určitá kritická hodnota některé ze základních charakteristik efektivnosti systému obsluhy, kterou nelze překročit. Je-li cílem optimalizace dosažení minima celkových očekávaných nákladů SHO, pak kriteriální funkce obvykle zahrnuje náklady prostoje obslužného zařízení, náklady čekání na obsluhu, náklady setrvání požadavku v systému, náklady na obsluhu jednoho požadavku za časovou jednotku a náklady vyvolané ztrátou jednoho požadavku v systémech se ztrátami. Některé základní nákladové funkce např. pro exponenciální systém jednoduché obsluhy nebo model vícenásobné paralelní obsluhy uvádí např. [1].

-20-


3 Simulace Některé složitější systémy hromadné obsluhy je obtížné, někdy až nemožné řešit analytickým způsobem. Nabízí se zde jiná možnost zkoumání modelovaného systému. Tou je simulace. Vzniká zde tedy otázka, do jaké míry lze daný problém řešit analyticky, čím se analytický a simulační postup liší a zda jsou postupy v rozporu, nebo se mohou doplňovat. Na základě vztahů závislých na parametrech λ a µ můžeme analyticky stanovit některé důležité charakteristiky, jako střední hodnotu počtu jednotek v systému, pravděpodobnost vytvoření fronty, střední dobu čekání, využití zařízení apod. Tyto vztahy však platí pouze pro stabilizované chování. Pro jiné typy rozdělení a složitější systémy je mnohdy analytické řešení MHO nemožné. U simulačního přístupu jde o to, imitovat nebo simulovat ve správné časové posloupnosti příchody jednotek a jejich obsluhy podle zadaných pravděpodobnostních zákonů, což lze dobře provést pouze pomocí počítače. Registrují se přitom hodnoty, které slouží k výpočtu potřebných charakteristik. Informace poskytnuté simulací jsou numerického charakteru, nemají tedy tvar formulí, do nichž je možné dosadit parametry konkrétních rozdělení, jako je tomu u analytického přístupu. Kromě toho modely poskytují pouze odhady středních hodnot, případně rozptylů, takže zde vyvstává otázka přesnosti výsledků v závislosti na délce chodu programu. Závěrem lze tedy říci, že simulační postup použijeme zejména, jestliže

modely obsahují velký počet proměnných a jejich funkcí, které se po intervalech mohou měnit,

proměnné podléhají různým typům rušivých vlivů náhodného charakteru s různými typy rozdělení a vazeb,

modely jsou tvořeny propojením dílčích modelů různými operacemi,

vedle kombinací předešlých postupů existují určitá omezení pro průběh proměnných v modelech a omezení pro kombinaci modelů.

Pro úplnost uveďme definici simulace, tak jak ji uvádí např. skripta VŠE [6]: Simulace je numerická metoda studia složitých pravděpodobnostních dynamických systémů pomocí experimentování s počítačovým modelem.

-21-


Z této definice plyne, že hlavní problémy, které vznikají v souvislosti s realizací modelů ve formě programů, jsou zachycení struktury modelu, získávání hodnot náhodných veličin a zachycení dynamických vlastností modelů. K tomu přistupují některé další otázky jako experimentování s modelem, nebo zpracování a výstup výsledků ve vhodné formě. Jejich programování však obvykle nečiní žádné potíže. Převedení modelu do programové formy je závislé hlavně na konkrétním modelu. V počítači tedy vytvoříme kopii (model) reálného systému nebo procesu (výrobního procesu, logistického nebo obslužného systému). Na vytvořeném modelu pak sledujeme celkové chování systému, ale i konkrétní výkonnostní parametry systému nebo jeho citlivost na změny vstupních parametrů. V modelu můžeme experimentovat a vyzkoušet si, co by se stalo, kdybychom v reálném systému provedli nějaké změny. Simulace nám může pomoci nalézt optimální variantu řešení, nebo rozhodnout, zda je nutné pořídit nový stroj či rozšířit personál. Simulace vdechne život vývojovým diagramům, animuje továrnu, call-centrum nebo jakýkoli jiný proces, operaci po operaci a událost po události. Výsledky simulace nám umožní vyhodnotit efekty navržených změn ještě dříve, než začneme utrácet peníze za jejich realizaci. Pro simulaci je nezbytný simulační software. Díky výkonu, flexibilitě a snadnému použití se simulační software stává populárním a účinným nástrojem nejen ve výrobě, ale i v oblasti služeb a v dalších odvětvích jako jsou například call-centra, bankovní a pojišťovací instituce, zdravotnictví nebo doprava.

V procesu konstrukce simulačního modelu rozlišujeme několik hlavních etap. Každá z nich má mnoho společných rysů s obecnou problematikou konstrukce modelů kvantitativního charakteru. Při použití simulačních technik se však vyskytnou některé specifické otázky. Články procesu výstavby modelu jsou:

1.

Analýza problému – shrnutí zadaných a hledaných údajů, vymezení problému, stanovení cíle výzkumu pomocí modelových experimentů, sběr a zpracování informací, formulace matematického modelu, odhady parametrů.

2.

Výběr metody řešení.

3.

Realizace modelu na počítači – zobrazení reality v simulačním modelu. -22-


4.

Výběr prostředků pro realizaci modelu – úvahy o efektivnosti simulační metody, porovnání nákladů při různém způsobu řešení.

5.

Programování.

6.

Příprava experimentu – příprava vstupních údajů.

7.

Průběh pokusu – výpočet požadovaných údajů.

8.

Hodnocení – aplikace výsledků na skutečnost, ověření správnosti modelu, navrhování experimentů s modelem, případné zlepšení modelu, celková analýza výsledků.

3.1 Vymezení základních pojmů V simulačním modelování se běžně používají následující pojmy:

Systém – část reálného světa, který je předmětem našeho zkoumání. Může jím být například obsluha klientů v bance.

Model – zjednodušené zobrazení studovaného systému pomocí slovních pravidel, matematických rovnic, obrázků či grafů.

Stavové proměnné – popisujeme jimi stav systému. Může jí být například počet zákazníků ve frontě.

Událost – vyvolání změny stavu systému. Za událost považujeme například vstup další jednotky do systému, tedy pro náš příklad příchod dalšího klienta do banky.

Entita (prvek) – dynamický objekt, který se pohybuje v průběhu času systémem. V našem případě je entitou zákazník, který přichází do systému, řadí se do fronty, obsazuje přepážku banky a opouští systém.

Atribut – vlastnost přiřazovaná entitě a dalším objektům. Atributem zákazníka v bance může být druh požadované služby.

Zdroje – jsou po určitý čas využívány nebo spotřebovávány entitami. Zdrojem je pracovník banky obsluhující klienta.

Aktivita – časově ohraničený stav entity mezi dvěma pro entitu důležitými událostmi. Aktivitou může být čekání klienta ve frontě nebo obsluha u přepážky.

-23-


3.2 Použití simulace Simulace se používá k dosažení vzájemně se překrývajících cílů. Jedním z nich je pochopení reálného systému. Jde většinou o pochopení fungování skryté části systému. Například může jít o vytvoření či ověření hypotéz o vnitřní nedostupné struktuře systému. Dalším cílem mohou být parametrické studie reálného systému. Zkoumá se, jaký vliv mají změny parametrů systému na fungování systému, např. na jeho efektivnost. Specifický případ parametrických studií je optimalizace. Neposledním cílem může být náhrada za experimenty s reálným modelem. Ty v mnohých případech nelze provést, přestože je to mnohdy nutné. Častým důvodem neproveditelnosti je nákladnost experimentu. Systém se také experimentem může poškodit či úplně zničit. Důležitým hlediskem je také čas. Experiment, který v reálných podmínkách musí probíhat týdny než získáme potřebná data, lze za pomocí počítače provést během několika minut. Těchto cílů je možno dosáhnout i pomocí modelů řešených analyticky, a to obvykle levněji a jednodušeji, pokud ovšem analytické řešení lze provést. Takovou strukturu, kdy je možné získat potřebné výsledky analytickou nebo jinou nesimulační cestou, má pouze malá část praktických modelů.

3.3 Přínosy simulace vs. negativa Mezi důvody, proč je simulaci vhodné použít patří:

Simulace umožňuje celkem snadno překonat potíže při řešení složitých úloh. Lze pomocí ní dospět k řešení složitých dynamických a stochastických modelů.

Simulace umožňuje zkoumání chování systémů v reálném čase. Čas může být zrychlený či zpomalený, kdy právě zrychlený čas patří k důležitým hlediskům pro pomalé procesy.

Simulace nahrazuje analytické řešení, které sice existuje, ale přesahuje dané matematické schopnosti.

Simulace může ověřit řešení získané jinou cestou. Příkladem může být ověření analytického řešení založeného na zjednodušených předpokladech.

-24-


Pozorování činnosti simulačního modelu může vést k lepšímu pochopení reálného systému, často stačí i samotné vytváření simulačního modelu.

Simulace obvykle vyžaduje komplexnější pohled na studovaný systém.

Simulace má však i své negativní stránky:

Simulace je poměrně nákladný prostředek na studium systému.

Tvorba simulačního modelu je často zdlouhavá.

Simulace je numerická metoda, takže řešení určitého problému neřeší podobné problémy. Pro jakékoliv změny parametrů je pak nutné nové řešení.

Výsledkem stochastických simulačních modelů jsou hodnoty náhodných veličin, kde další zvyšování přesnosti řešení stojí obvykle rostoucí množství výpočetního

času.

3.4 Metoda Monte Carlo Simulace metodou Monte Carlo probíhá tak, že reálný (byť třeba jen teprve projektovaný)

systém

nahradíme

jeho

simulačním

modelem

se

stejnými

pravděpodobnostními charakteristikami a chování reálného systému mnohonásobně simulujeme na zkonstruovaném modelu. K přesnému odhadu dané pravděpodobnostní charakteristiky potřebujeme obvykle velmi mnoho pokusů.

Pro metodu Monte Carlo platí e =

e… δ… n…

δ n

chyba odhadu směrodatná odchylka počet průchodů

Možnosti využití této metody jsou široké a různorodé. Uveďme například finanční plánování a řízení rizik v podniku, modelování vývoje finančních trhů a oceňování aktiv, analýzu chování oligopolních trhů, či modelování dopadů hospodářské politiky.

-25-


3.5 Dynamická simulace Simulace dynamického chování systému úzce souvisí se zachycením času v modelu, což je pravděpodobně nejdůležitější rozhodnutí při tvorbě simulačního modelu. Pokud simulovaný čas nabývá všech hodnot, pak jde o modely se spojitým časem. V druhém případě nabývá čas simulace hodnot z předem určené diskrétní množiny a mluvíme tak o modelech s diskrétním časem. Jinou rovinou pojetí času v simulaci je, zda se stav modelu mění průběžně nebo jen v určitých okamžicích. O simulaci diskrétních událostí hovoříme tehdy, pokud nesledujeme chování modelu v kontinuálním čase, ale jen v důležitých okamžicích (událostech), které ovlivní další vývoj simulace (např. příchod nové zakázky, dokončení výrobku). Zvolený způsob zachycení času a změna stavů v simulačním modelu určuje rovněž typ použitého matematického aparátu. To uvádí následující tabulka.

stavy / čas

spojité diskrétní

spojitý

diskrétní

diferenciální rovnice

diferenční rovnice

simulace diskrétních událostí

Markovovy řetězce

Tabulka 3: Použitý matematický aparát v závislosti na typu modelu

3.6 Širší pojetí simulace Běžně je simulace definována, jak již bylo uvedeno, jako numerická metoda spočívající v provádění experimentů s určitými typy matematických modelů na počítačích. Na simulaci ale můžeme pohlížet i ze širšího hlediska. Například jde o to, jakým způsobem simulaci provádíme, teda na jakém přístroji. Pokud se budeme držet simulace ekonomických procesů, vystačíme s osobním počítačem. Simulační postupy se ale také zaměřují na oblast mimo ekonomii. Jde například o výcvik lidí v určitých dovednostech a znalostech. Pro výcvik se používá cvičných

-26-


simulátorů, které slouží k nácviku ve skutečnosti nákladných a nebezpečných akcí. Tyto simulátory se využívají zejména při výcviku kosmonautů, pilotů, řidičů apod. Další významnou disciplínou, ve které se hojně využívá simulace, jsou podnikové hry, které se v moderní teorii podniku stávají důležitým prostředkem výuky a výchovy vedoucích kádrů. Pro úroveň odvětví či národního hospodářství se spíše používá pojem ekonomická hra. V rámci zadané ekonomické situace jde o řešení konfliktu a výsledek akcí jednoho hráče obvykle závisí na konání dalších účastníků hry. U nás bylo v konstrukci her dosaženo nemalých úspěchů. Ekonomické hry se stávají jednou z významných částí výuky.

3.7 Perspektivy dalšího vývoje Používání simulačních postupů v ekonomii je i ve světovém měřítku relativně novou, avšak expanzivně se rozrůstající záležitostí. Z celé řady úspěšných studií a ze vzrůstajícího zájmu o tuto problematiku lze však soudit, že simulační postupy se již staly plnohodnotným nástrojem operačního výzkumu a systémové analýzy. Na další rozvoj simulačních technik má bezesporu značný vliv výpočetní technika. Je patrné, že zvyšování rychlosti počítačů a růst kapacity operační paměti umožňuje modelování stále složitějších problémů. Počítače usnadňují dynamickou interakci člověka s modelem ve všech jeho fázích, tj. jak při konstrukci, testování, ale i při vyhodnocování experimentů. Rovněž se rozšiřují možnosti grafického výstupu výsledků. Simulační jazyky jsou tak ve stadiu rychlého vývoje. Simulační postupy tedy otevřely nejen řadu možností v nových oblastech, ale jsou podnětem pro nové přístupy i v klasických disciplínách, jako je například matematická statistika.

-27-


4 Případová studie Jako případová studie byla pro tuto práci vybrána firma z prostředí, ve kterém jsem měla možnost nějaký čas působit. Analyzovat problém se všemi detaily je však nereálné z důvodu nedostupnosti všech potřebných dat a také vzhledem k náročnosti jednotlivých vazeb mezi prvky modelu. Pro účely této práce budou v modelu předpokládána určitá zjednodušení a model bude tvořen na základě menšího vzorku dat. Proto berme závěry práce s ohledem na tato zjednodušení a považujme je pouze jako obecný nástin dané problematiky.

4.1 O firmě Společnost SAZKA, a.s., již padesát let vnáší do života sázejících zábavu a vzrušení ze hry. Během své existence se stala neodmyslitelnou součástí společenského a ekonomického života České republiky. SAZKA, a.s. se svými příjmy převyšujícími částku 8 mld. Kč a rostoucím ziskem zaujímá místo největšího provozovatele číselných loterií, okamžitých loterií a sázkových her v České republice. V nabídce služeb nalezneme kromě sázkové činnosti rovněž prodej vstupenek na sportovní a kulturní akce.

Prioritním posláním společnosti je finanční

podpora českého sportu a tělovýchovy. Dceřinná společnost Sazky a.s., společnost Bestsport, podepsala v roce 2002 smlouvu na poradenskou činnost při výstavbě, financování a provozu multifunkční haly v Praze-SAZKA ARENY. Tato hala, patřící k největším v Evropě, byla postavena ve velmi krátké době za účelem pořádání Mistrovství světa v ledním hokeji 2004. Dnes je hojně využívanou halou pro sportovní, kulturní a společenské akce, výstavy, veletrhy a jiné kulturní události. Arénu charakterizují nejmodernější technologie, univerzálnost využití, sofistikovaný marketing, komfort a všestranné služby pro diváky a návštěvníky. Prodej vstupenek probíhá několika různými způsoby. Prvním z nich jsou on line terminály síť sběren SAZKA, a.s. Nabídka vstupenek tak probíhá na více než 7000 prodejních místech SAZKA, a.s., které jsou umístěny především na přepážkách České pošty, v prodejnách tisku a tabáku, v síti čerpacích stanic a obchodních řetězců. Prodej v terminálové síti akciové společnosti SAZKA umožňuje, aby ke vstupenkám měli rovný -28-


přístup zájemci v celé České republice, ve velkých aglomeracích stejně jako v menších městech a obcích. Před akcí není nutné cestovat a kupovat vstupenku v předprodeji, snahou je i eliminace mnohahodinových front před pokladnami. Pořadatelům a promotérům akcí potom rozsáhlá prodejní síť garantuje, že prodají mnohem více vstupenek než při tradičním způsobu prodeje, tj. prostřednictvím pokladen a omezeného počtu předprodejních míst. Další možností pořízení vstupenek je využití internetu nebo call centra a samozřejmě pokladny SAZKA ARENY. SAZKA ARENA, to je mimo jiné až 1 500 000 návštěvníků ročně, kapacita 18 000 míst, 2 460 Klubových a Komfortních sedadel, 66 Skyboxů, 4 Partyboxy a 2 900 míst v barech, restauracích a kavárnách. Hala má 6 podlaží, zaujímá plochu 35 000 m² a její spádová oblast činí 15 – 18 000 000 lidí.

4.2 Řešený problém Byť se zdá, že proces prodeje vstupenek je zajištěn na vysoké úrovni technologie a šikovným způsobem umožňuje zakoupit vstupenky na pořádané akce v předstihu a bez

čekání, skutečnost je jiná. Stále ještě existuje velká skupina zákazníků, kteří nejsou o možnostech nákupu vstupenek dostatečně informováni. Před akcí se přeci jen tvoří zdlouhavé a únavné fronty, které nikdo nevyhledává. V našem modelu půjde o to, na základě vzorku dat nasimulovat celý proces prodeje. Snahou je tak prozkoumat daný systém, zjistit případné nedostatky a navrhnout jejich řešení.

4.3 Příprava a zpracování dat pro model Před samotnou tvorbou modelu za pomocí simulačního softwarového produktu je třeba si načrtnout strukturu modelu, určit některé základní parametry z dostupných dat a ujasnit si, co se od simulace očekává. Pak je teprve možné přistoupit k samotnému modelování problému.

-29-


Odhad režimu vstupů a výstupů Určení režimu vstupů a režimu obsluhy, případně odhad trpělivosti zákazníků, je pravděpodobně nejdůležitější částí při zkoumání modelu hromadné obsluhy. Důležité je co nejvěrněji zobrazit realitu, aby bylo možné vyvozovat správné závěry a dělat správná rozhodnutí. Tato část tvorby modelu však patří k nejnáročnějším. Vyžaduje statistickou analýzu, včetně odhadů parametrů a testování hypotéz. Je však nutné rozlišit, zda se jedná o již fungující systém hromadné obsluhy, nebo zda bude systém teprve zaveden do provozu. U stávajícího obslužného zařízení je možné zjistit údaje monitorováním. Při analýze systému, který ještě nefunguje, je snahou předpovědět, kolik zákazníků bude přicházet a jak bude obsluha v realitě probíhat. Zde je nutné si pomoci různými expertními odhady. Pro

vytvoření

správného

modelu

je

především

třeba

stanovit

typ

pravděpodobnostního rozdělení.

Typ pravděpodobnostního rozdělení

Pro určení typu pravděpodobnostního rozdělení existuje řada testů popsaných v mnoha statistických publikacích, jelikož nesouvisí pouze s pojmem teorie hromadné obsluhy, ale i s celou řadou oblastí týkající se statistiky, matematiky a operačního výzkumu. Jednou z nejpoužívanějších metod je χ2-test dobré shody (chí-kvadrát test dobré shody). Před provedením jakýchkoliv výpočetních testů je dobré nejdříve prozkoumat histogramy četností a jiné grafické znázornění dat („oční testy“) a pokusit se na jejich základě pravděpodobnostní rozdělení odhadnout. Zároveň je vhodné oprostit data o vychýlené a nepravděpodobné hodnoty.

-30-


Empirické četnosti intervalů mezi příchody 250

200

150 Četnosti 100

50

0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

Intervaly

Obrázek 2: Graf rozdělení četností intervalů mezi příchody

Při pohledu na graf bychom mohli považovat rozdělení intervalů mezi příchody za exponenciální. Zdá se, že ani není nutné oprostit data o jakékoliv nepřijatelné hodnoty. Nezbývá, než se o odhadu přesvědčit aplikací některého ze statistických testů.

χ2-TEST DOBRÉ SHODY

Tento neparametrický test patří k nejstarším svého druhu. Jeho základem je možnost roztřídit výsledky náhodného výběru do určitého počtu (k) navzájem se nepřekrývajících tříd. Nulová hypotéza vyjadřuje teoretické pravděpodobnosti obsazení těchto tříd a porovnává je s empirickými četnostmi. Testujeme tedy nulovou hypotézu, udávající pravděpodobnost obsazení j-té třídy (pj) H0: pj = p0,j

pro j = 1, 2, ..., k,

oproti alternativní H1: non H0. Testové kritérium je veličina k

(e j − o j ) 2

j =1

oj

χ =∑ 2

-31-

,


kde oj = n . p0,j udává očekávané (teoretické) obsazení j-té třídy a ej je empirická četnost v j-té třídě. Statistika χ2 má rozdělení χ2(k-1) a hypotézu H0 zamítáme, pokud χ2 překročí kvantil χ 12−α (k − 1) . Pro provedení tohoto testu lze použít některý ze statistických programů, jako jsou Statgraphics, SPSS, nebo MS Excel. Jednou z nevýhod těchto programů může být ruční výpočet a stanovení některých základních charakteristik potřebných pro správné provedení testu, jako je určení počtu intervalů (tříd) a následné určení empirických četností. Další nevýhodou je, že tento test používáme pro testování jednoho konkrétního rozdělení, a tak se může stát, že budeme testovat jednotlivá rozdělení jedno po druhém dosti dlouhou dobu, než nalezneme optimální rozdělení odpovídající reálným datům. To vyžaduje dostatek času a preciznost. V příloze 1 je uvedeno testování rozdělení dat pro exponenciální rozdělení za pomocí MS Excelu. Výsledek je však bezútěšný. Na 5%-ní hladině významnosti zamítáme nulovou hypotézu o exponenciálním rozdělení souboru dat, vzhledem ke skutečnosti, že vypočtená hodnota testového kritéria překračuje kritickou hodnotu s k-1 stupni volnosti (73,73 >14,6). Pro

účely

této

práce

využijeme

software,

který

nám

umožní

určit

pravděpodobnostní rozdělení mnohem jednodušší cestou. Představme si Crystal Ball firmy Decisioneering.

CRYSTAL BALL Crystal Ball je uživatelsky příjemný software pro vytváření předpovědí a analýz rizika. Umožňuje simulaci metodou Monte Carlo a tím dává odpovědi na otázky potřebné pro rozhodování. Tím pomáhá nejen manažerům v mnoha oblastech podnikání, ale i vědcům ověřujícím své experimenty. Crystal Ball je doplněk Microsoft Excelu. Je velmi jednoduchý na ovládání, zvládne ho i běžný uživatel.

Úkolem uživatele je jen vytvořit model v prostředí

tabulkového kalkulátoru Excel. V této práci využijeme program Crystal Ball k odhadu pravděpodobnostního rozdělení a jeho parametrů na základě historických dat. Program přiřadí datům nejbližší z dvaceti různých pravděpodobnostních rozdělení (obr. 3) na základě tří testů – chí-kvadrátu

-32-


dobré shody, Anderson-Darlingova testu a Kolmogorov-Smirnovova testu. Metodiku posledních dvou uvedených testů je možné najít v odborné statistické literatuře, např. v [8].

Obrázek 3: Výběr pravděpodobnostního rozdělení v Crystal Ballu

Výběrem položky Define Assumption a následným zadáním údajů o intervalech mezi příchody zákazníků získáme výsledek v podobě hodnot testových kritérií jednotlivých testů, grafů rozdělení četností a základních charakteristik řady dat pro jednotlivá rozdělení. Vhodné rozdělení je vyznačeno barevně zároveň s přijatelnou hodnotou testového kritéria. Můžeme měnit řazení pravděpodobnostních rozdělení v závislosti na jednotlivých testech. Dále můžeme měnit i jednotlivá rozdělení a sledovat na grafech odpovídající křivku rozdělení, jak odpovídá či neodpovídá daným datům. Při testování intervalů mezi příchody zákazníků nám Crystal Ball poskytl následující výsledek:

-33-


Obrázek 4: Výsledek testování rozdělení pro intervaly mezi příchody zákazníků

Jak vidíme, při testování intervalů mezi příchody chí-kvadrát testem dobré shody se data nejvíce blíží exponenciálnímu rozdělení. Při použití Anderson-Darlingova testu a Kolmogorov-Smirnovova testu se nabízí také přijetí gama rozdělení. Při řazení podle těchto testů se však řadí exponenciální rozdělení hned na druhé místo, zatímco podle chí- kvadrátu připadá gama rozdělení až třetí místo, proto budeme pro další práci s modelem předpokládat exponenciální rozdělení pro intervaly mezi příchody zákazníků. Toto

je

také

nejběžnější

pro

modely

hromadné

obsluhy.

Různá

řazení

pravděpodobnostních rozdělení dle jednotlivých testů jsou uvedena v přílohách 2 a 3. Důvodem, proč jsme při ručním výpočtu chí-kvadrátu zamítli hypotézu o exponenciálním rozdělení intervalů mezi příchody, může být rozdíl, jakým je test prováděn. Rozdíl může být například v určení počtu intervalů, ve kterých četnosti zjišťujeme. Crystal Ball může hodnotu testového kritéria počítat odlišně. Pro účely této

-34-


práce budeme důvěřovat výstupu programu Crystal Ball a

přijmeme hypotézu o

exponenciálním rozdělení četností. Dále zbývá otestovat stejným způsobem rozdělení dob obsluhy zákazníků. Tentokrát přijmeme nabízené gama rozdělení, které vychází jako optimální podle všech tří uvedených testů, zatímco běžné exponenciální se umístilo až daleko za ostatníma, jak můžeme vidět na následujícím výstupu Crystal Ballu.

Obrázek 5: Výsledek testování rozdělení doby obsluhy zákazníků

Gama rozdělení je také vhodným rozdělením při modelování systémů hromadné obsluhy, jelikož exponenciální rozdělení Exp(0, λ) je jeho zvláštním případem. Nevhodnost použití exponenciálního rozdělení pro doby obsluhy ukazuje obrázek výstupu Crystal Ballu v příloze 4.

-35-


5 Navrhovaný postup řešení Pro práci s modelem využijeme simulační program Simul8, který nám v mnoha oblastech usnadní zkoumání chování modelovaného systému.

5.1 Simul8 Program SIMUL8, produkt americké firmy Simul8 Corporation, je jedním z nejrozšířenějších softwarových produktů pro dynamickou diskrétní simulaci podnikových procesů. Pomocí programu SIMUL8 lze snadno vytvořit přesné a flexibilní simulace podnikových, výrobních nebo logistických procesů či systémů. SIMUL8 lze použít jako nástroj pro:

Kvalifikované posouzení plánovaných změn výrobního nebo logistického systému firmy

Identifikaci a eliminaci úzkých míst

Reengineering

Podporu rozhodování

Redukci prostojů

Snížení čekacích časů

Analýzu výrobkového mixu

Lepší řízení a porozumění zdrojům

Optimalizaci a efektivnější využití zdrojů

Vyvážení kapacity zdrojů

Dosažení vyšší jakosti, účinnosti a rychlejší návratnosti vložených prostředků

Zjištění efektu nového zařízení ve výrobním systému

Zjištění efektu přemístění pracovišť ve výrobním systému

Virtuální návrh nových výrobních linek a systémů

Animovanou vizualizaci reálných procesů

Dynamickou analýzu nákladů -36-


Zvýšení spokojenosti zákazníka

Jasné odpovědi na otázky typu “co-když” (what-if analýza)

Softwarový balík SIMUL8 nabízí uživatelsky přívětivé, integrované prostředí umožňující snadnou a rychlou práci s modely pro dynamickou diskrétní simulaci procesů. SIMUL8 je možné použít pro simulaci

výrobních systémů, například: -modely montážních linek -modely materiálových toků ve výrobě

logistických systémů -modely manipulace materiálu mezi skladem, výrobou a expedicí -modely skladových expedičních systémů -modely dopravní obsluhy distribučních center

administrativního workflow -model zpracování přijatých objednávek

systémů obsluhy zákazníků nebo poskytování služeb -modely obsluhy klientů na bankovních přepážkách -modely obsluhy volajících klientů v call-centrech -modely obsluhy zákazníků u pokladen v supermarketu.

Silnou stránkou simulačního nástroje SIMUL8 je jeho uživatelské rozhraní, díky kterému je simulační projekt realizován rychleji a snadněji, než v kterémkoli jiném simulačním softwaru. Práce se softwarem SIMUL8 nespočívá v programování. Jde spíše o načrtnutí struktury, organizace nebo toků reálného systému pomocí vhodného propojení různých simulačních objektů (jakýchsi stavebních kamenů modelu) a následné nastavení správných parametrů použitých simulačních objektů. Program SIMUL8 je dodáván ve variantách SIMUL8 Standard, SIMUL8 Professional a SIMUL8 Education.

-37-


SIMUL8 je vynikajícím nástrojem pro podporu rozhodování. Výsledky simulace nám dávají do ruky kvalifikované, statisticky ověřené podklady pro realizaci závažných rozhodnutí.

5.2 Model V našem modelu prodeje vstupenek půjde o to, nastínit základní vazby mezi prvky modelu, prozkoumat fungování celého modelu jako celku, nalézt jeho slabá místa a pokusit se navrhnout jejich řešení. Jak již bylo řečeno, prodej vstupenek probíhá v různých formách. Nejrozšířenější je prodej prostřednictvím on line terminálů sítě Sazka, kterých se nachází na území České republiky kolem 7000. Již při prozkoumání údajů z některých terminálů lze tyto z našeho modelu vypustit, jelikož zde nevzniká problém hromadění entit a pro náš model by nemělo zahrnutí terminálů příliš velký význam. Budeme se tedy soustředit hlavně na modelování prodejů, které probíhají na pokladnách SAZKA ARENY. Běžný všední den, kdy se v hale nekoná žádná akce, jsou otevřeny pouze 2 VIP pokladny pro klubové klienty a majitele skyboxů, kteří mají možnost koupit si v předprodeji vstupenky na svá pronajatá sedadla, a to v době od 15 do 18 hodin. Přibližně jednou za 4 dny se v hale koná představení různého druhu. V tyto dny mají i běžní zákazníci možnost zakoupit vstupenky přímo na místě, a to vždy 4 hodiny před začátkem akce. Pro ně je k dispozici 10 pokladen. Pro VIP klienty jsou v tyto dny k dispozici 4 pokladny, avšak 2 z nich mohou využívat i běžní zákazníci v případě, že tyto nejsou zrovna využívány VIP klientem. Dále uvažujeme jednu přepážku pro majitele permanentek FAN klubu, což se týká především konání ledního hokeje. Přesto tento prvek do modelu zahrneme, jelikož je hokej nejčastěji konanou akcí. Posledním obslužným kanálem v našem modelu pokladen bude reklamační oddělení, které je bohužel hojně navštěvovaným střediskem z důvodu výskytu nesrovnalostí a následných stížností zákazníků. Pro ukázku lze zahrnout do modelu 2 nestandardní on line prodejní místa v blízkosti pokladen haly. Těmi jsou terminál v bezprostřední blízkosti pokladen a terminál -38-


na hlavní budově společnosti. V prvním případě je tento hojně využívaný běžnými zákazníky přicházejícími ve všední den na VIP pokladny. Druhý je výjimečný svou schopností prodeje vstupenek, na které se vztahují slevy různého druhu, například dětské, ZTP atd. Touto vlastností se nevyznačuje žádný jiný terminál v celé republice. Proto se podíváme na fungování systému včetně těchto dvou středisek. Sestavení modelu předcházela analýza dostupných dat, ze které jsme získali základní charakteristiky jednotlivých prvků, jako jsou pravděpodobnostní rozdělení příchodu zákazníků na jednotlivá prodejní místa včetně středních dob těchto příchodů, podobně tyto charakteristiky pro doby obsluh, nebo procentuální odhady chování zákazníků apod. Zde jsou shrnuty základní údaje:

Příchody zákazníků Typ přepážky

Akce

doba

Střední

Prstní rozdělení

doba

VIP

Exponenciální

7; 1; 20*

Gama

1,91; 3

Volný

Exponenciální

8; 1; 15*

Průměr

3

FAN

Exponenciální

5

Průměr

1

Reklamace

Exponenciální

15

Průměr

7

VIP

Exponenciální

5; 7*

Gama

1,91; 3

Exponenciální

15

Průměr

2

Českomoravská Exponenciální

2

Průměr

2

Sazka

4

Rovnoměrné

0,5; 3

Běžný Obyčejný den

Střední

Prstní rozdělení

Doby obsluh

Exponenciální

Tabulka 4: Základní charakteristiky modelu

Na následujícím obrázku je znázorněna struktura celého modelu, tak jak systém ve skutečnosti vypadá, jeho jednotlivé objekty, včetně všech vazeb mezi nimi. Každému pracovnímu centru náleží prostor pro hromadění entit a zdroj, který je pracovním centrem využíván pro uspokojení požadavku přicházející jednotky. Díky paletě nástrojů všeho *

Odlišné střední doby příchodů pro různé časti dne (směnný provoz)

-39-


druhu a animovaným ikonám umožňuje Simul8 znázornit strukturu přehledně a pochopitelně.

Obrázek 6: Struktura modelu pokladen

Z praktických důvodů budeme zkoumat model odděleně pro dny běžné a pro dny konání akce, jelikož model funguje v těchto dvou částech poněkud odlišně. Na výsledný efekt nemá toto dělení žádný vliv, pouze máme možnost vyhodnotit zvlášť výsledky fungování modelu v jednotlivých situacích.

-40-


Běžný den Model běžného dne se dvěmi VIP přepážkami, včetně dvou významných on line terminálů v blízkosti pokladen, znázorňuje následující obrázek:

Obrázek 7: Model VIP pokladen - běžný den

Kromě výše uvedených parametrů předpokládáme, že běžný zákazník, přicházející ve všední den na VIP pokladny, odchází z 35% neobsloužen domů, z 50% si odchází vyzvednout právě realizovanou rezervaci na nedaleký terminál na Českomoravské a z 15% požaduje určitý typ slevy a směřuje tak na hlavní budovu firmy. Tato skutečnost není v Simul8 modelována pomocí jednoduchých nástrojů, ale je nutné použít vestavěný simulační jazyk Visual Logic.

-41-


Obrázek 8: Okno simulačního jazyka Visual Logic

VIP klientela má samozřejmě při obsluze přednost, a tak obyčejný zákazník čeká na obsluhu do té doby, až jsou obslouženi všichni přítomní VIP klienti. To je namodelováno pomocí labelu (nálepky) Priority, která je v Simul8 využívána výhradně pro tyto účely. Simulujeme časový úsek 1 roku, přičemž předpokládáme fungování systému ve všední dny od 9:00 do 18:00 hodin (tuto dobu probíhá prodej na terminálech, VIP pokladny fungují od 15:00 do 18:00 hodin). Uvažujeme prodej 3 dny v týdnu, jelikož předpokládáme, že se přibližně dvakrát týdně koná v hale akce. Těchto dvou dní se týká náš druhý model. Díky uživatelské přívětivosti Simul8 a názorné animaci lze v modelu sledovat, jak vše funguje a jestli model pracuje, tak jak požadujeme. Necháme proběhnout několik simulačních běhů a můžeme se soustředit na výsledky. Každý objekt zachycuje výsledky svého fungování samostatně. Dílčí výsledky je možné vložit do souhrnu výsledků (Results Summary), který umožňuje srovnání a zhodnocení hodnot veličin přehledně na jednom místě.

-42-


Obrázek 9: Výstup objektu fronta

Obrázek 10: Ukázka přehledu výsledků simulace VIP pokladen

-43-


Jak je vidět, ve výstupu nalezneme všechny potřebné údaje, které nás pro posouzení modelu zajímají. V uvedeném výstupu fronty na terminálu Sazky se zdá být všechno v naprostém pořádku. Netvoří se dlouhé fronty, průměrná doba čekání zákazníka je vyhovující a ani maximální délka čekání na obsluhu není nijak znepokojující. Vidíme, že 84% zákazníků je obslouženo do 5 minut, což je relativně uspokojivé. To můžeme vyčíst i z následujícího grafu.

Obrázek 11: Graf relativních četností pro doby čekání ve frontě

Simul8 poskytuje grafy i pro další veličiny, což je velice užitečné, jelikož oční testy uživateli umožní získat představu o fungování modelu pro podstatně příjemnější cestou. V následujícím grafu je na horizontální ose znázorněn simulovaný čas, na vertikální ose počet zákazníků čekajících na obsluhu. Hodnota 0,6 na této ose odpovídá průměrnému počtu zákazníků ve frontě, číslo 10 udává nejvyšší počet zákazníků, kteří se nacházeli ve frontě.

Obrázek 12: Vývoj délky fronty během simulace

-44-


Dále je možné získat grafy pro celkovou dobu strávenou v systému, vývoj počtu zákazníků na přepážce pokladny či procentní využití přepážky, nebo spíše směrodatnější hodnotu procentního využití zdroje přiřazenému konkrétnímu pracovnímu centru. Dva z nich jsou znázorněny obr. 13 a 14.

Obrázek 13: Graf celkové doby strávené v systému pokladen

Obrázek 14: Graf procentního využití pokladny

Při detailní analýze výsledků a grafů každého objektu byla zjištěna znepokojující informace u objektu fronta na pokladnách VIP 1 a VIP 2. Přestože průměrný počet zákazníků ve frontě a tedy i v systému vykazují přijatelné hodnoty, hodnota maximální

čekací doby na obsluhu je neúnosná. Doba obsluhy je poměrně dlouhá, a tak v případě současného příchodu více jednotek 2 přepážky na odbavení všech zákazníků nestačí. Ve skutečnosti však zákazníci pravděpodobně při tak dlouhém čekání ztratí trpělivost a systém opustí. Pokud omezíme trpělivost zákazníků čekání ve frontě na určitý počet minut, můžeme vidět, jakou ztrátu jednotek firma realizuje. Jakákoliv ztráta zákazníka je pro každý podnik bolestná. Nejenže podnik přichází o část zisku, který by byl realizován -45-


„ztracenými“ jednotkami, ale navíc zákazníkovo povědomí o podniku může způsobit ztrátu potenciálních zákazníků, kteří sice systém ještě nenavštívili, ale kvůli špatné pověsti podniku tak ani neučiní. V poslední části práce se budeme věnovat možnostem řešení tohoto a dalších nedostatků modelu.

Akce Model, který zachycuje chování systému ve dny, kdy se koná v objektu akce různého druhu, je téměř totožný s modelem celého systému, necháme však stranou našeho zájmu on line terminály. Tentokrát simulujeme 2 dny v každém týdnu po dobu jednoho roku. Pokladny jsou charakterizovány směnným provozem, jelikož intenzita příchodů se liší v závislosti na délce doby před začátkem akce. Je jisté, že velké procento zákazníků přichází přibližně 1 hodinu před začátkem představení. V tuto dobu je tedy směna posílena. Zachycení modelu po doběhnutí simulačního času, včetně výsledných grafů, znázorňuje obr. 15.

Obrázek 15: Okno modelu pokladen při konání akce po doběhnutí simulace

-46-


V tomto případě vykazuje model více nedostatků, než v předchozím modelu. Nejen na VIP pokladnách vzniká problém doby čekání na obsluhu, který zákazník není ochoten akceptovat. Tento nedostatek se týká i provozu reklamačního oddělení. U volného prodeje vstupenek jde o opačný extrém. Využití zdroje se zdá být příliš malé, a tak je možné snížit počet přepážek obsluhující běžné zákazníky, jelikož zde vzniká ušlý zisk způsobený

čekáním pokladní na příchod dalšího zákazníka, tedy nevyužití zdroje. V následujícím oddílu bude tedy cílem pokusit se sestavit model jiným způsobem tak, aby systém po doběhnutí simulace vykazoval příznivější hodnoty u výše zmíněných charakteristik. Zároveň jde podniku o to, aby tyto změny nebyly spojeny s příliš velkými náklady.

5.3 Experimentování s modelem Pokud spustíme opakovaně za sebou nezměněný model, získáme pokaždé ty samé výsledky. To je způsobeno tím, že Simul8 při každém spuštění simulace použije stejnou sadu náhodných čísel. Při hodnocení chování systému však může použití jedné konkrétní sady náhodných čísel vést ke zkresleným závěrům. Z tohoto důvodu je vhodné provést statistické experimenty s modelem. Jejich podstatou je provedení několika simulačních běhů pokaždé s jinou sadou náhodných čísel a následný výpočet průměrných hodnot každé charakteristiky. Důležité je také zjistit, do jaké míry se lze na tyto charakteristiky spolehnout. To nám umožňuje v Simul8 volba nabídky Trials/Conduct Trial, kde zvolíme libovolný počet simulačních běhů. Po proběhnutí všech běhů nám výsledková sestava poskytne průměrné hodnoty dané charakteristiky a dolní a horní meze intervalů spolehlivosti, které mohou být 95 nebo 99%-ní.

-47-


Obrázek 16: Výsledky pro více simulačních běhů modelu VIP pokladen

Z této a předchozí analýzy výsledků vyplynulo několik nedostatků, které model vykazuje. Naší snahou tedy bude navrhnout možná opatření, aplikovat je a porovnat výsledné charakteristiky původního a nového modelu. V případě prvního modelu se zaměříme na potlačení čekací doby zákazníka, která v našem případě překračuje hranici jeho trpělivosti. Jednou z příčin mohou být výkyvy intenzit příchodů v různých časových okamžicích. Jde ovšem o náhodný charakter příchodů, a tak není v našich silách tuto příčinu vyřešit. Druhou možností, která by jistě urychlila odbavení zákazníka a tím zkrátila dobu čekání na obsluhu, je bezpochyby zdokonalení odbavovacího procesu, který závisí jak na schopnostech a zkušenostech obsluhujícího personálu, tak na kvalitě ticketingového systému, který se pro prodej využívá. To ovšem vyžaduje dodatečné náklady. Ani tento případ řešení však není v silách našeho simulačního programu. Na nás tedy je, abychom upravili model tak, aby došlo alespoň k částečné pozitivní změně charakteristik doby čekání ve frontě. Poslední možností tedy je rozšíření obslužných kanálů o jednu, případně více přepážek. Toto rozšíření sebou také však nese dodatečné zapojení nákladů. Pokud bude zachováno původní schéma VIP modelu, s jedinou změnou počtu VIP pokladen (rozšíření o jednu VIP pokladnu se stejnými parametry jako mají původní 2 obslužné linky), výrazně tím zlepšíme průměrnou a maximální hodnotu doby čekání na obsluhu u těchto pokladen. Navíc s touto změnou nejsou vynaloženy velké náklady, jelikož není třeba investovat do výstavby nové přepážky, pouze je třeba zaměstnat další zdroj. -48-


Z hlediska zákazníků by bylo užitečné model v jisté části pozměnit. Jistě by bylo jednodušší, kdyby běžní zákazníci mohli pořídit vstupenky přímo na místě pokladen a nemuseli odcházet na blízký terminál. I pro samotný terminál by tato změna přinesla pozitivní účinek, jelikož u něj můžeme pozorovat relativní přetížení zdroje (77%) a i zde se občas vyskytnou příliš dlouhé fronty. Po experimentu s VIP modelem usuzujeme, že optimální by bylo zapojení 3 přepážek, přičemž 2 by sloužily pro VIP klientelu a 1 by zajišťovala odbavení běžných zákazníků. Podstatně se tím sníží doba čekání ve frontě a tím i celková doba strávená v systému. Využití zdroje na terminálu Českomoravská se jen nepatrně snížilo, je ale možné tuto hodnotu považovat za přijatelnou. Za jedinou slabinu tohoto systému můžeme považovat malé využití zdroje na volném prodeji. Výhody plynoucí z přestavby modelu však tuto nedokonalost zastiňují. Změna systému prodeje by tedy prospěla, i přes vynaložení určitých dodatečných nákladů.

Obrázek 17: Výsledná podoba změněného modelu VIP pokladen

-49-


V případě druhého modelu konání akce bude vhodné redukovat počet pokladen určených k volnému prodeji vstupenek, aby nedocházelo ke zbytečnému nevyužívání zdrojů. Na úkor toho by bylo možné rozšířit VIP pokladny, aby zde nevznikaly tak dlouhé fronty. Také by bylo vhodné nechat VIP pokladny výhradně pro klubové klienty. Co se týká reklamačního oddělení, samozřejmě by bylo více než žádoucí redukovat příčiny k jeho návštěvě. Nejčastěji je důvodem návštěvy příčina dvojího druhu. V prvním případě jde o nezkušenost obsluhujícího personálu na terminálech po celé republice, jelikož na představení přijíždějí zákazníci s návrhem vstupenky místo samotné vstupenky opravňující ke vstupu na akci. Tento návrh je vytištěn před samotným vydáním vstupenky a slouží k tomu, aby zákazník potvrdil nákup vyznačených míst na příslušnou akci. Kamenem úrazu je, že tyto dva doklady vypadají na první pohled skoro k nerozeznání. Rozdíl je v tom, že na návrh vstupenky není zákazník vpuštěn na akci. Pak je tedy nutné uplatnit reklamaci. Druhým důvodem bývají technické chyby různého druhu, ať už jde o vadný

čárový kód na vstupence, nebo mechanické poškození vstupenky. Ve chvíli kdy je snaha redukovat tyto příčiny maximální, přistoupíme ke změně modelu. Vybavíme tedy systém pokladen dvěmi úřednicemi vyřizující stížnosti zákazníků. Po doběhnutí simulace bylo zjištěno u většiny sledovaných hodnot výrazné zlepšení. Zejména se projevil vliv rozšíření reklamačního oddělení, kdy se podstatně snížila délka fronty a tím tedy i čas, který zákazník stráví celkově vyřizováním reklamace. V případě volného prodeje došlo k částečnému, ne však razantnímu zlepšení využití zdroje, a tak je možné pokračovat v další redukci pokladen. Pokladny VIP jsou stále dosti zatěžovány, proto ještě změníme strukturu směnného provozu, a to posílením každé směny, která nedosahuje plného počtu pokladních, o jednu obsluhující přepážku. Výsledná podoba modelu je zachycená na obr. 18. Po experimentu s tímto modelem se zdá být největší problém u VIP pokladen. Přidání dalšího obslužného kanálu vždy o něco zlepší hodnoty sledovaných charakteristik, ale aby model fungoval bez zbytečných

časových prodlev ve frontách, muselo by být do obsluhy zapojeno mnohem více pokladen, než je fyzicky k dispozici. Proto v této otázce firmě nezbývá, než se zaměřit na zdokonalení obslužného procesu a zkrátit tím dobu obsluhy, aby byly uspokojeny všechny příchozí požadavky ze strany klientů.

-50-


Obrázek 18: Výsledná podoba modelu po experimentu

5.4 Výsledky experimentu Účelem experimentu bylo pokusit se změnit model takovým způsobem, abychom docílili příznivějších výsledných hodnot problémových charakteristik. Nejen, že jsme se pokusili určit optimální počet obslužných zařízení pro jednotlivé typy zákazníků, ale snahou bylo také navrhnout efektivnější způsob organizace prodeje. Změna by se měla projevit jak ve větší spokojenosti zákazníka, tak na straně podniku, kterému jde o maximální zisk. Otázkou je, jak je nejvhodnější systém nastavit. Každý posun jedné hodnoty k lepšímu je většinou kompenzován zhoršením hodnoty jiné charakteristiky. Pak už záleží na podniku, jaké zvolí priority a co je ochoten obětovat pro zlepšení fungování systému. Většinou jde o vynaložení dodatečných nákladů. Pro tuto možnost se firma rozhodne až ve chvíli, kdy je na základě analýzy prokázáno, že investice opravdu přinese změnu k lepšímu.

-51-


6 Závěr Stochastické modely založené na aplikaci počtu pravděpodobnosti pracují s veličinami, u nichž předpokládáme změny, ke kterým dochází s určitou pravděpodobností. Pracujeme s náhodnými veličinami. V takových případech není jednoduché použít k prozkoumání těchto modelů analytické prostředky. Namísto těchto omezujících nástrojů je vhodné využít simulační techniky, které umožňují modelování i složitějších dynamických pravděpodobnostních systémů. Používání simulace v ekonomické problematice je i ve světovém měřítku relativně novou záležitostí. Simulační techniky se však postupem času stávají plnohodnotným nástrojem operačního výzkumu a systémové analýzy. V této práci jsou simulační postupy využity pro analýzu v oblasti teorie hromadné obsluhy. Pro případovou studii byla vybrána multifunkční hala pořádající kulturní, společenské a sportovní akce pro veřejnost. V realitě se často potýká s problémem uspokojení požadavků (zákazníků) přicházejících do systému s úmyslem zakoupit vstupenku na příslušné představení. Dochází zde k problému hromadění jednotek nejen v době těsně před konáním akce, ale i v mezidobí, kdy jsou pokladny otevřeny pouze pro předprodej vstupenek VIP klientům. Samotnému modelování reálné situace předcházelo shrnutí teoretických poznatků z oblasti teorie hromadné obsluhy a simulace. Teoretická část práce se věnuje základním pojmům, možným oblastem aplikace a také minulému a budoucímu vývoji těchto disciplín. První část případové studie se věnuje analýze prvotních dat za pomoci nástroje doplňujícího MS Excel – Crystal Ballu. Tento sofistikovaný software umožňuje snadnou cestou odhadnout pravděpodobnostní rozdělení řady dat včetně parametrů těchto rozdělení. Pro intervaly mezi příchody zákazníků jsme tak přijali exponenciální rozdělení, které je pro systémy hromadné obsluhy typické. V případě dob obsluhy jsme se přiklonili ke gama rozdělení, které je exponenciálnímu velmi blízké. V druhé části jsme se zaměřili na modelování samotného systému v programu Simul8, jehož silnou stránkou je uživatelské rozhraní, díky kterému lze simulaci provést snadným a poměrně rychlým způsobem.

-52-


Pro přehlednost byl model simulován zvlášť pro případ, kdy se v objektu koná akce a pro období mimo tyto dny. V těchto dnech se sytém chová poněkud odlišně a nám se nabízí možnost prozkoumat modely detailněji a přehledněji. V obou modelech se po proběhnutí simulace ukázaly jejich nedostatky týkající se zejména doby čekání na obsluhu u VIP pokladen. Tato doba je pro zákazníky v mnoha případech neúnosná a opouštějí systém dříve než dojde k jejich obsluze. Taková ztráta je pro podnik nežádoucí, jelikož souvisí s jistou finanční újmou, ale také se špatným jménem podniku. Na druhé straně může být problémem také nedostatečné využití zdroje, kdy obslužný kanál příliš dlouhou dobu čeká na příchod další jednotky. To se týká provozu pokladen pro běžné zákazníky před konáním akce. Na řadu proto přišly experimenty s modelem, ve kterých je snahou eliminovat nepříznivé hodnoty výše uvedených charakteristik. Do modelu je možné zasáhnout například přidáním či odebráním obslužného centra a sledovat, jak se mění hodnoty po těchto změnách. To lze provádět do té doby, než nalezneme optimální využití pokladen. Druhou možností je provést v modelu změny ve struktuře prodeje. Například by bylo vhodné umožnit běžným zákazníkům zakoupení vstupenky na pokladnách ve všední den, kdy jsou pokladny určeny pouze pro VIP klientelu. Jakákoliv změna reálného systému je však spojena s určitými náklady. V první řadě by tedy mělo být snahou redukovat příčiny vzniku těchto nedostatků. Především jde o informovanost veřejnosti o možnosti nákupu vstupenek. Pokud budou dostatečně využívány prostředky nákupu jako jsou on line terminály a internet, nemusí pak docházet k hromadění jednotek na místě konání akce, alespoň ne v takové míře. Důležité je také věnovat pozornost ticketingovému systému, který je pro prodej vstupenek na pokladnách využíván. Doba obsluhy by se jeho modernizací mohla podstatně zkrátit a obsluha by mohla probíhat efektivněji. V neposlední řadě by měl být kladen důraz na odborné školení obsluhujícího personálu. I tento vliv může při obslužném procesu hrát významnou roli.

-53-


Literatura [1]

Kořenář,V.:Stochastické procesy. VŠE, Praha 2002

[2]

Gross,D., Harris,C.M.: Fundamentals of Queueing Theory. John Wiley, New York 1974

[3]

Dömeová,L., Beránková,M.: Systémy hromadné obsluhy I. ČZU, Praha 2004

[4]

Walter,J., Lauber,J.: Simulační modely ekonomických procesů. SNTL/ALFA, Praha 1975

[5]

Houška,M.: Simulační modely I. ČZU, Praha 2005

[6]

Dlouhý,M., Fábry,J., Kuncová,M.: Simulace pro ekonomy. VŠE, Praha 2005

[7]

Lauber,J., Hušek,R.: Operační výzkum. MŠMT ČR, Praha 1990

[8]

Cyhelský,L., Kahounová,J., Hindls,R.: Elementární statistická analýza. Management Press, Praha 2001

Internetové zdroje http://plus.maths.org/ www.simul8.cz www.sazkaticket.cz www.sazkaarena.cz http://www.decisioneering.com/index.html

-54-


Přílohy Příloha 1 – Chí-kvadrát test dobré shody pro exponenciální rozdělení intervalů mezi příchody zákazníků pomocí MS Excel

-55-


Příloha 2 – Výsledek testování pravděpodobnostního rozdělení intervalů mezi příchody zákazníků (řazení rozdělení dle Anderson-Darlingova testu)

-56-


Příloha 3 – Výsledek testování pravděpodobnostního rozdělení intervalů mezi příchody zákazníků (řazení rozdělení dle Kolmogorov-Smirnovova testu)

-57-


Příloha 4 – Výsledek testování pravděpodobnostního rozdělení doby obsluhy zákazníků (exponenciální rozdělení)

-58-

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Kateřina Slámová

Recommend Documents