UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I
VAK:
WISKUNDE
NIVEAU:
MAVO-D / VMBO-gt
EXAMEN:
2002-I
De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
ThiemeMeulenhoff is een educatieve uitgeverij waarin alle fondsen van de voormalige uitgeverijen Meulenhoff Educatief, SMD Educatieve Uitgevers en uitgeverij Thieme zijn samengevoegd. De uitgaven die ThiemeMeulenhoff ontwikkelt, richten zich op het totale onderwijsveld: basisonderwijs, voortgezet onderwijs, beroepsonderwijs & volwasseneneducatie en hoger onderwijs. www.thiememeulenhoff.nl
© ThiemeMeulenhoff, Utrecht/Zutphen, 2002 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voorzover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 20 juni 1974, Stb. 351, zoals gewijzigd bij het Besluit van 23 augustus 1985, Stb. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden.
UITWERKING
2002-I
Schaatsen voor water (niet voor 2003) 1 Uit het steelbladdiagram is af te lezen dat in totaal 21 derdeklas leerlingen meededen aan de actie. Hiervan schaatsten 7 leerlingen meer dan 50 rondjes. 7 In procenten is dat –– × 100% ≈ 33,3%. 21
2 Bereken eerst het totale aantal geschaatste rondjes. aantal rondjes 25 26 30 33 37 42 45 48 50 53 59 totaal
× × × × × × × × × × ×
frequentie 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 2
= = = = = = = = = = =
totaal aantal rondjes 25 78 60 33 111 84 45 96 50 53 118 753
In totaal betaalde het bedrijf € 941,25. 941,25
Het bedrag dat per rondje betaald werd, is dan –––––– = € 1,25. 753 Kees schaatste 25 rondjes. Het bedrijf betaalde dus voor Kees 25 × € 1,25 = € 31,25. 3 Het laagste getal (= het minste aantal geschaatste rondjes) is 25. Er zijn 19 vierdeklassers. Bepaal eerst het middelste getal. Dit is het tiende getal (9 getallen links en 9 getallen rechts). De 50% grens ligt dan bij dit 10e getal = 37. Bepaal vervolgens per groep van 9 weer het middelste getal. De 25% grens ligt dan bij het 5e getal (4 getallen links) = 30 en de 75% grens ligt dan bij het 15e getal (4 getallen rechts) = 48. Tenslotte is het hoogste getal (= het meeste aantal geschaatste rondjes) = 59. Teken hiermee de boxplot.
20
30
40
50
60
4 Je moet bekijken of de opbrengst van het tweede leerjaar meer kan zijn dan van het eerste leerjaar. Neem daarom in de boxplot de ongunstigste verdeling van het aantal geschaatste rondjes voor de eerstejaars. Dat wil zeggen neem aan dat alle eerstejaars leerlingen in de boxplot steeds het laagste aantal rondjes heeft geschaatst. Neem in de boxplot de gunstigste verdeling van het aantal geschaatste rondjes voor de tweedejaars. Dat wil zeggen, neem aan dat alle tweedejaarsleerlingen in de boxplot steeds het hoogste aantal rondjes heeft geschaatst. Als dan de opbrengst van de tweedejaars toch niet meer is dan van de eerstejaars, moet het antwoord zijn, dat het niet mogelijk is. En anders is het wel mogelijk.
In de beide boxplotten zijn de hoogste en laagste getallen gelijk. Kijk dus alleen naar de boxen. Neem de getallen van de eerstejaars aan de linkerkant van de boxen en de getallen van de tweedejaars aan de rechterkant van de boxen. In de eerste box geldt dan: 25% van de eerstejaars heeft 28 rondjes geschaatst en 25% van de tweedejaars heeft 30 rondjes geschaatst. 2
2002-I
UITWERKING
In de tweede box geldt dan: 25% van de eerstejaars heeft 30 rondjes geschaatst en 25% van de tweedejaars heeft 32 rondjes geschaatst. De tweedejaars kunnen dus best meer rondjes hebben geschaatst dan de eerstejaars. De totale opbrengst van de tweedejaars kan dus hoger zijn dan de totale opbrengst van de eerstejaars. Kolding Byferie 5 De formule voor de oppervlakte van een cirkel is oppervlakte = straal × straal × π
Invullen van straal = 4 (meter) geeft De vloeroppervlakte van ‘De Cirkel’ = 4 × 4 × π ≈ 50,27 m2. De vloeroppervlakte van ’De Driehoek’ is 49 m2 en dit is kleiner dan 50,27 m2. Simone heeft ongelijk. 6 ‘De Ster’ bestaat uit 12 even grote gelijkzijdige driehoeken. 13,86 4
De hoogte van één driehoek is ––––– = 3,465 m. De lengte van elke zijde (dus ook van de basis) = 4 m. De oppervlakte van één driehoek is dan 1– × 3,465 × 4 = 6,93 m2. 2 De vloeroppervlakte van het achtpersoonsappartement = 12 × 6,93 m2 2 2 = 83,16 m = 83 m . De huur per week is dan 8,75 × 83 = € 726,25. 7 De schaal is 1 : 200. Dat wil zeggen dat 1 cm in werkelijkheid 200 cm is. Elke lengte (in cm) moet dus voor de uitslag gedeeld worden door 200. In de uitslag wordt de hoogte 4 cm en de lengte van een zijde 5,3 cm. De uitslag bestaat uit drie rechthoeken en één driehoek (de onderkant in het model is immers open). Dit geeft de volgende uitslag (gebruik een passer om het hoekpunt van de driehoek te vinden):
5,3 cm
5,3 cm
4 cm
4 cm
5,3 cm
5,3 cm
5,3 cm
8 Herleid eerst de gegeven inhouden op dezelfde eenheid. Neem bijvoorbeeld als eenheid dm. 1 m3 = 10 dm × 10 dm × 10 dm = 1000 dm3. Dan is 665 m3 = 665 000 m3. De inhoud wordt gevonden door drie lengtes met elkaar te vermenigvuldigen. Voor de
3
UITWERKING
2002-I
vraag naar de schaal is het niet belangrijk hoe groot die lengtes in werkelijkheid waren, dus neem aan dat ze even groot zijn. De lengte in werkelijkheid is dan 3√665 000 ≈ 87,28. De lengte in het model is dan 3√1,3 ≈ 1,09 dm. 87,28
De lengte in werkelijkheid is ongeveer ––––– ≈ 80 keer groter dan in het model. 1,09 De schaal is dus 1 : 80. Bedrukken van shirts 9 De totale kosten voor de 250 shirts zijn 250 × € (5,50 + 1,15) + € 160 = € 1822,50. 1822,50 250
De kosten per shirt zijn dan –––––– = € 7,29. Andere manier: Verdeel de vaste kosten van € 160 over de 250 shirts. 160 250
De kosten per shirt zijn dan: € 5,50 + € 1,15 + € ––– = € 5,50 + € 1,15 + € 0,64 = € 7,29. 10 De vaste kosten van het stempel worden verdeeld over a shirts. De overige kosten zijn al per shirt gegeven. Je krijgt dan de volgende formule: ––– . Dit is te vereenvoudigen tot p = 6,65 + 160 ––– . p = 5,50 + 1,15 + 160 a a 11 Los eerst op: 7 = 6,65 + 160 ––– . Dan geldt 160 ––– = 0,35 en dus a = a a De shirts moeten in een veelvoud van 25 besteld worden. De minimaal 475 shirts bestellen.
160 –––– = 457,13. 0,35 school moet dus
Centraal bureau voor de statistiek 12 In Zuid-Holland wonen 3 33 900 mensen. In Nederland wonen 15 492 700 mensen. 3 331 900 15 492 700
In procenten wonen in Zuid-Holland dan –––––––– × 100% ≈ 21,5% mensen 13 In Drenthe is 22,3% van de inwoners 0 - 18 jaar, dus in Drenthe is 77,7% van de inwoners ouder dan 18 jaar. In Drenthe wonen 457 200 inwoners. Het aantal inwoners ouder dan 18 jaar is dan 0,777 × 457 200 ≈ 355 244. 14 Zoek naar provincies met weinig inwoners en een laag percentage inwoners van 0 - 18 jaar. Voor bijvoorbeeld de provincie Groningen geldt: het aantal inwoners van 0 – 18 jaar (× 1000) = 0,20 × 558,5 = 112.
Bekijk de provincies Groningen, Drenthe, Flevoland en Zeeland.
aantal inwoners van totaal aantal inwoners aantal inwoners van 0 - 18 jaar in procenten (× 1000) 0 – 18 jaar (× 1000) Groningen 20,0 558,5 112 Drenthe 22,3 457,2 102 Flevoland 29,3 273,1 80 Zeeland 21,2 367,5 78 Het kleinste aantal inwoners van 0 – 18 jaar woont dus in de provincie Zeeland. 15 Er bestaat een verband tussen ‘aantal inwoners per km 2’, ‘totale aantal inwoners’ en totaal aantal inwoners oppervlakte in kilometers
‘oppervlakte in kilometers’. Dit verband is: aantal inwoners per km 2 = –––––––––––––––––––––– .
4
2002-I
UITWERKING
Vul de gegevens van de provincie Utrecht in het verband hierboven in. 1 071 200 oppervlakte provincie Utrecht in kilometers
Dit geeft 788 = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– , dus oppervlakte 1 071 200 788
provincie Utrecht = ––––––– ≈ 1359 km2. 16 Er bestaat een verband tussen ‘aantal auto’s per km 2’, ‘totale aantal auto’s’ en ‘oppervlakte in kilometers’. totaal aantal auto’s aantal auto’s per km 2 = –––––––––––––––––2 . Bereken nu
Dit verband is:
oppervlakte in km
eerst het aantal auto’s en de oppervlakte van de provincie Zeeland. Vul daarna de gegevens in en vergelijk de uitkomst met de bewering van Geeske.
Het aantal auto’s in Zeeland = 380 × aantal inwoners (per 1000) = 380 × 367,5 = 139 650. 367 500 ≈ 1792,68. De oppervlakte van Zeeland = ––––––– 205
Vul nu de gegevens van de provincie Zeeland in het verband hierboven in. Dit geeft 650 ≈ 77,9. aantal auto’s per km2 = 139 –––––– 1792,68
Dit getal is niet meer dan 80, dus Geeske had ongelijk. Toblerone chocoladerepen 17 Trek de hoogtelijn CD. Het aanzicht van de gelijkzijdige driehoek ziet er in zijn ware vorm als volgt uit: C
3,5 cm
A 1,75 cm
3,5 cm
D
1,75 cm B
De formule voor de oppervlakte van een driehoek is 1– × hoogte × basis = 1– × CD × AB. 2 2 Volgens Pythagoras geldt: CD 2 + DB 2 = BC 2. BC = 3,5 cm en DB = 1– × 3,5 cm = 1,75 cm. Invullen geeft CD 2 = (3,5)2 – (1,75)2 = 9,1875, 2 dus CD = √9,1875 ≈ 3,03 cm. De oppervlakte van driehoek ABC = 1– × 3,03 × 3,5 ≈ 5,3 cm2. 2
18 Tel het aantal rechthoeken en driehoeken van de uitslag van beide verpakkingen. Bereken daarna de beide oppervlakten.
• Verpakking A: Aantal rechthoeken is 9. De totale oppervlakte is 9 × 21 × 3,5 Aantal driehoeken is 14. De totale oppervlakte is 14 × 5,3 Totale oppervlakte van de uitslag van verpakking A
≈ 661,5 cm2 ≈ 74,2 cm2 ––––––––– + ≈ 735,7 cm2
5
UITWERKING
2002-I
• Verpakking B: Aantal rechthoeken is 6. De totale oppervlakte is 6 × 21 × 3,5 Aantal driehoeken is 12. De totale oppervlakte is 12 × 5,3 Totale oppervlakte van de uitslag van verpakking B
≈ 441 cm2 ≈ 63,6 cm2 ––––––––– + ≈ 504,6 cm2
Verschil in oppervlakte uitslag verpakking A en uitslag verpakking B = 735,7 cm2 – 504,6 cm2 = 231,1 cm2. 19 De lengte van verpakking A is gelijk aan de diepte van de doos (beide 21 cm.). Bekijk dus alleen de breedte en de hoogte van het stapelen van verpakking A in de doos. De hoogte van verpakking A is 3,03 cm (zie antwoord op vraag 17). 13 ≈ 4,29 verpakkingen A op elkaar in de doos. Er kunnen dus maximaal –––– 3,03
Omdat dit aantal een geheel getal moet zijn, kunnen er 4 verpakkingen op elkaar. Leg in de lengte van de doos een tweede verpakking omgekeerd tegen de eerste aan. De lengte van deze twee verpakkingen is dan 14 + 10,5 + 1,75 = 26,25 cm. Herhaal dat tot de totale lengte net onder of gelijk aan 52 cm is. Het blijkt dat er niet meer dan 4 dozen naast elkaar kunnen worden gelegd. De totale lengte is dan 14 + 10,5 + 14 + 10,5 + 1,75 = 50,75 cm. In tekening:
13 cm
52 cm schaal 1 : 4
Maximaal kunnen er dus 4 × 4 = 16 verpakkingen A in een doos. Het aantal repen is dan 16 × 7 = 112 repen. Hardloopwedstrijden 20 28 minuten en 44 seconden = 28 × 60 + 44 = 1724 seconden. 10 km = 10 000 meter. 10 000 1724
De snelheid in meters per seconde = ––––– ≈ 5,8 m/sec. 21 10 km in 25 minuten = 2 km in 5 minuten en dus 24 km per uur. Dit is een snelheid die waarschijnlijk niemand haalt. Het heeft dus geen nut om grafieken voor tijden beneden 25 minuten te tekenen. 22 Vul steeds de tijd in minuten in. Omdat de tijd wordt vermenigvuldigd met 60 krijg je de snelheid in meters per seconde. 10 000 60 × 30
Bijvoorbeeld bij 30 minuten vind je snelheid = –––––– ≈ 5,555 ≈ 5,56.
6
2002-I
Dit geeft de volgende tabel: tijd (in minuten) snelheid (in meters per sec.)
26 6,41
28 5,95
30 5,56
32 5,21
34 4,90
36 4,63
38 4,39
23 Trek een vloeiende lijn door de punten uit de tabel bij vraag 22.
snelheid in m/s
7
6
5
4 0 0
26
28
30
32
34 36 38 tijd in minuten
40
24 Bereken de gemiddelde snelheid van beide lopers in meters per seconde. 18 290 60 × 60
De gemiddelde snelheid van Abraham Limo = –––––– ≈ 5,08 m/sec. 10 000 60 × 31 + 35
De gemiddelde snelheid van Monique van der Vorst = –––––––––– ≈ 5,28 m/sec. Omdat 5,28 > 5,08 had Monique van der Vorst de grootste gemiddelde snelheid.
7
UITWERKING
