Vlnění příklady Equation Chapter 1 Section 1

Vlnění – příklady  Equation Chapter 1 Section 1

1. Nadsvětelné rychlosti − „prasátko“ Zadání: Světelným zdrojem můžeme otočit o 90° za 0.1 s. Jak daleko musí být projekční plocha, aby se světelná skvrna (prasátko) pohybovala nadsvětelnou rychlostí? Řešení: Úhlová rychlost prasátka je ω = Δφ/Δt. Obvodová rychlost na projekční stěně ve vzdálenosti l bude v = lω. Tato rychlost má být větší než rychlost světla c. Odsud plyne podmínka l > cΔt/Δφ. Výsledek: l > 20 000 km. To je podstatně méně než je oběžná dráha Měsíce (384 000 km!) a srovnatelné s oběžnými výškami některých sond.

2. Jety kvasaru – fiktivní nadsvětelná rychlost Zadání: Vzdálený kvasar je zdrojem dvou výtrysků látky (jetů) z nichž jeden se pohybuje směrem k pozorovateli pod malým úhlem téměř rychlostí světla. Určete, jakou rychlost naměří pozorovatel. Řešení: Poloha objektu je dána vztahy: x(t )  v t sin  ;

y v

y0

y (t )  y 0  v t cos  . Signál přichází k pozorovateli se zpožděním v čase y (t )  t  . c Rychlost, kterou zjistí pozorovatel proto bude d x d x /dt v sin  c sin  c 2c v .      2 v d d /dt 1  cos  v  c 1  cos    1 1  (1   / 2 )  c

a

x

Z výsledku je zřejmé, že pohybuje-li se jet směrem k pozorovateli, tato fiktivní pozorovaná rychlost snadno převýší rychlost světla.

3. Exploze Zadání: Při explozi nálože byla uvolněna energie 105 J. Exploze trvala 1 s. Jaká bude maximální intenzita detonační vlny ve vzdálenosti 10 metrů od exploze a ve vzdálenosti 20 metrů od exploze? Předpoklady: Detonační vlna je kulově symetrická. Řešení: I = ΔE/(ΔS Δt) = ΔE/(4πr2 Δt) Výsledek: I1 = 80 Wm−2, I2 = 20 Wm−2.

4. Hluk Zadání: Jak se sníží hladina hluku, vzdálím-li se od zdroje hluku do dvojnásobné vzdálenosti? Předpoklady: Zdroj hluku je malý vzhledem ke vzdálenostem, ve kterých posloucháme a hluk se šíří sféricky symetricky.

Řešení: Intenzita je úměrná kvadrátu amplitudy a pro kulovou vlnu je I ~ 1/r2. Proto ve dvojnásobné vzdálenosti bude I2 = I1/4. Hladina hluku se sníží o

ΔL = 10 log(I1/I0) − 10 log(I2/I0) = 10 log(I1/I2) = 10 log(4). Výsledek: ΔL = 6 dB.

5. Vlny na hluboké vodě (rozměrová analýza) I bez znalosti teorie a bez znalosti fyzikálních procesů probíhajících v dané situaci je někdy možné odvodit disperzní relaci. Tvar fyzikálních zákonů je mnohdy natolik omezen rozměry veličin, že zbývá jen několik málo variant. V těchto případech postačí „jen“ rozměrová analýza problému. Typickou ukázkou je problematika vln na hluboké vodě. Na mělčině závisí vlastnosti vln samozřejmě na hloubce vody a takové vlny mohou být velmi komplikované. Jsme-li ale na hluboké vodě a vlny dosahují rozměrů od milimetrů po několik desítek metrů, nemůže jejich tvar ovlivnit hloubka oceánu. Takové vlně je jedno, zda je dno 500 m pod hladinou nebo 5 km pod hladinou. Tím se problematika značně zjednodušuje. Úlohu rozdělíme na dvě části – vlny dlouhé a vlny krátké. ■ Dlouhé vlny na hluboké vodě

Pokusíme se určit disperzní relaci z rozměrové analýzy problému. Na čem může záviset frekvence vln? Z úvodu již víme, že frekvence nebude záviset na hloubce oceánu. Vlastnosti dlouhých vln také nebudou záviset na povrchovém napětí. To ovlivňuje prohnutí hladiny malých rozměrů, tedy vlny krátké. Vzpomeňte si na školní experiment s jehlou ležící na hladině vody. Jehlu na hladině drží právě povrchové napětí a průhyb hladiny je patrný na milimetrové vzdálenosti od jehly. Zbývá tak závislost na hustotě kapaliny, na tíhovém zrychlení a samozřejmě na vlnovém vektoru (jde o disperzní relaci, tj. vztah mezi  a k):    (, g, k ) . Předpokládejme nejjednodušší možnou závislost, tj. mocninou    g  k  . Na první pohled se zdá nemožné z jedné rovnice určit tři neznámé exponenty , , . Fyzikální veličiny se ale skládají z hodnoty a rozměru. Právě rozměry jsou zde podstatné. Zapišme rozměr veličin hledaného vztahu: s 1  kg m 3  m  s 2   m   . Disperzní relace musí platit pro širokou škálu parametrů. To je možné jen tehdy, jestliže exponenty rozměrů budou souhlasit u všech základních jednotek SI: m : 0   3     , kg : 0   , s :  1   2 . Tyto tři rovnice mají jediné řešení:   0;

  1/2 ;

  1/2

a hledaná disperzní relace má tvar

  gk .

(1)

Disperzní relaci jsme odvodili z rozměrové analýzy bez znalosti procesů probíhajících ve vlně. Je třeba přiznat, že výsledný vztah je sice jednoznačný, ale až na násobící bezrozměrný koeficient (   const g k ). Ten je nutné určit experimentálně a v tomto případě je roven jedné. Nyní určíme fázovou a grupovou rychlost:

vf 

vg 

 k

 1  k 2



g g  , k 2

g 1 g 1   vf . 2 k 2 2

U dlouhých vln na hluboké vodě dochází k disperzi (závislosti rychlosti vln na vlnové délce). Dlouhé vlny se šíří vyšší rychlostí. Grupová rychlost je rovna polovině fázové rychlosti. Tou se šíří balík dlouhých vln (například za lodí). ■ Krátké vlny na hluboké vodě

Krátké vlny jsou dominantně ovlivněny povrchovým napětím , naopak zanedbatelný je vliv tíhového pole (to ovlivňuje především velké vlny). Obdobnou rozměrovou analýzou můžeme získat vztah



 k3 . 

(2)

Standardním postupem určíme fázovou a grupovou rychlost  k 2 , vf    k   vg 

3  3  k 3 2    vf . 2  2 k 2 

U krátkých vln je situace opačná než u dlouhých. Kratší vlny se šíří rychleji a grupová rychlost je větší než fázová ( vg  1.5 v f ). ■ Obecné vlny na hluboké vodě

Předchozí dva limitní vztahy pro dlouhé a krátké vlny lze spojit do disperzní relace pro vlny libovolné vlnové délky:

 k3  gk . 



(3)

Pro fázovou a grupovou rychlost standardně nalezneme  k g 2 g     , vf   k  k  2 3 k 1 g   2  2k   vg  k k g   k 

vf

k 3/2

6 g   2  4 . 2 g    2

1/2

1/

1/2



k 1/2 k



Poznámka 1: Vztahy jsme odvodili bez znalosti fyzikálních zákonitostí. Sama teorie šíření vln na hluboké vodě není jednoduchá. Vlnění není příčné, jak by se na první pohled mohlo zdát. Částice vody se nepohybují v hřebeni nahoru a dolů (nalevo). Je tomu tak proto, že voda je nestlačitelná a jdeli hřeben dolů, musí se voda roztékat do strany. Výsledkem je pohyb vodních částeček po kružnici. Vlny na vodě nejsou příčné (nejsou ani podélné, jde o směsici příčného a podélného vlnění). NE

ANO

Poznámka 2: Na mělčině závisí disperzní relace na hloubce vody. Tak se i fázová rychlost stává závislou na hloubce. Přibližně platí

vf  g h .

(4)

Vznikne-li na vodní hladině schodovitý útvar, šíří se horní část vyšší rychlostí a vlna známým způsobem přepadává.

v(h1) v(h2)

6. Kruhová vlna na membráně Zadání: Tenkou pružnou homogenní membránu ve tvaru kruhu o poloměru 1,5 m ve středu prudkým úderem paličkou vychýlíme o 1 cm. Hlavice paličky má tvar válce o průměru 1,5 cm. Osa hlavice paličky při úderu byla kolmá na rovinu membrány. Rychlost úderu a tuhost membrány byly takové, že se při úderu protáhla membrána pouze v bezprostředním okolí hlavice paličky. Jaká bude amplituda vlny vzniklé na okraji membrány? Útlum a energii předanou zpět paličce zanedbejte. Řešení: U kruhové vlny pro amplitudu platí

A

1 r

(5)

Proto A2 = A1

r1

(6)

r2

Výsledek: Pro hodnoty r1 = 15 mm, r2 = 1 500 mm a A1 = 10 mm vychází A2 = 1 mm.

7. Elektromagnetická vlna v ionosféře Zadání: Standardní disperzní relace rovinné elektromagnetické vlny ω2 = c2 k2 je při průchodu světla plazmatem modifikována na tvar ω2 = ωp2 + c2 k2. Rychlost šíření světla ve vakuu je označena c. Veličina ωp se nazývá plazmová frekvence (jde o frekvenci oscilací elektronů kolem iontů). Nalezněte závislost ω(k) a diskutujte její průběh. Určete fázovou a grupovou rychlost šíření této vlny. Řešení: Zadaný výraz pro disperzní relaci nejprve upravíme do tvaru



 2p

2 2

 c k  ck 1 

 2p c2k 2

.

(7)

Závislost ω(k) lze nyní snadno vykreslit a je uvedena na obrázku. Z grafu je zřejmé, že vlna se šíří jen pro frekvence ω > ωp. Při nižších frekvencích elektromagnetické vlny se elektrony prostředí totiž “stihnou” rozkmitat a vlna je absorbována, plazma je pro takovou vlnu neprůhledné.  p

k

Fázová rychlost je vf 

 k

 c 1

p2 c2k 2

 c 1

p2 2 4 2c 2

,

(8)

závisí na vlnové délce vlny (disperze!) a je větší než rychlost světla. Grupová rychlost vg 

  k

c 1

(9)

p2 2 2 2

4 c

je menší než rychlost šíření světla (jde o rychlost šíření informace). Součin obou rychlostí splňuje relaci vf vg  c 2 . (10)

8. Směrový diagram Zadání: Nalezněte tvar vlnoploch pro vlnu s disperzní relací w 2 = wp2 + c 2k 2 cos2 a . Řešení: Směrový diagram je závislost velikosti fázové rychlosti na úhlu α v polárním diagramu. Zřejmě je: vf 

 k

2

 c cos  

p2 c2k 2

2

 c cos  

p2 2 4 2c 2

(11)

9. Okno Zadání: Okno, jehož plocha je 2 m2 , je otevřeno na ulici. Pouliční hluk má v rovině okna průměrnou hladinu intenzity 80 dB. Jak velký akustický výkon vstupuje zvukovými vlnami do pokoje? Řešení: Zvukový výkon vstupující do místnosti

PIS. Intenzitu stanovíme ze zadané hladiny intenzity

I L  10 log I0



I  I0

L 10 10

.

kde L/10 je hladina vyjádřená v bellech a I 0 je referenční intenzita, I 0  1012 W m 2 . Akustický výkon je P  S I0

10.

L 1010

 2  104 W .

Hluk stroje

Zadání: V prostředí, jehož hladina intenzity hlukového pozadí je 60 dB, byl změřen hluk stroje. Byla naměřena hodnota 64 dB. Jakou hodnotu hladiny intenzity hluku stroje bychom naměřili, kdybychom měřili v tiché místnosti? Řešení: Sčítat můžeme v tomto případě pouze energie resp. intenzity zvuků. Ke skládání akustických tlaků nebo výchylek nemáme přesné informace o amplitudách a fázích jednotlivých složek zvukového spektra ve sčítacím bodě. Je tedy

I M  I P  IS , kde indexy znamenají: M (měření), P (pozadí), S (stroj). Platí IS  I M  I P . Intenzity vyjádříme pomocí příslušných hladin intenzity I0

LS 10 10

 I0

LM 10 10

 I0

LP 10 10

,

(LS/10 je hladina v bellech atd.). Ve výrazu zkrátíme referenční intenzitu LS 10 10

11.

LM  10 10

LP 10  10

Ladička

Zadání: Zdroj zvuku se pohybuje na vozíku rychlostí v = 25 cm s−1 směrem ke stěně. Na opačné straně slyší pozorovatel rázy na frekvenci fR = 3 Hz. Jaká byla frekvence zdroje zvuku, jestliže je rychlost zvuku cS = 340 m/s? Řešení: Pozorovatel slyší jednak přímou vlnu nižší frekvence (zdroj se vzdaluje) a jednak vlnu odraženou od stěny (vyšší frekvence − zdroj se pohybuje ke stěně). Obě vlny se skládají v rázy na rozdílové frekvenci: æ vö f1 = f0 ççç1 - ÷÷÷, c ÷ø è

æ vö f2 = f0 ççç1 + ÷÷÷, c ÷ø è

fR = f2 - f1 = 2 f0

v cS

(12)

Korekce frekvence na pohyb zdroje jsme napsali do čitatele (v<
12.

Rotující hvězda

Zadání: Nalezněte vztah pro rozšíření spektrální čáry způsobené rotací hvězdy. Vztah přepište pro vlnovou délku čar. Řešení: Rotace hvězdy způsobuje, že jeden okraj hvězdy se k nám přibližuje rychlostí v = R ω a druhý okraj se toutéž rychlostí vzdaluje. R je poloměr hvězdy a ω úhlová rychlost rotace hvězdy. Výsledkem je dopplerovské rozšíření spektrální čáry. Krajní frekvence budou dány vztahy f1,2 = f0 (1 ± Rω/c) a krajní vlnové délky λ1,2 = c/[f0 (1 ± Rω/c)] ~ (c ± Rω)/f0. Opět jsme využili toho, že korekce jsou malé a lze je se změnou znaménka převézt z jmenovatele do čitatele (1/[1 + x] ~ [1 − x]). Rozdíl vlnových délek obou čar tedy bude Δλ = 2Rω/f0.

13.

Fermatův princip

Zadání. Odvoďte zákon lomu z Fermatova principu. Řešení: Podle Fermatova principu, ze všech možných trajektorií bude realizována trajektorie s minimální dobou chodu paprsku z bodu A1 do bodu A2.

A1(x1,y1)

n1 

B (x,0)

0 

n2 A2(x2,y2)

Pro trajektorii na obrázku je celková doba ( x  x1 ) 2  y12 ( x  x2 )2  y22 . t  v1 v2

Tato doba je funkcí x, proto tuto závislost derivujeme podle proměnné x a položíme rovnou nule (nutná podmínka minima). Získáme tak podmínku x  x1 1 1  v1 ( x  x ) 2  y 2 v 2 1 1

x2  x

( x  x2 ) 2  y22

,

ze které plyne sin  sin   v1 v2



sin  v1  sin  v 2



n1 sin   n2 sin 

sin  n2  sin  n1 ( – úhel dopadu,  – úhel lomu, n1 , n2 jsou indexy lomu obou prostředí)

.

(13)

14.

Seismografická stanice

d

Zadání. Vypočítejte úhlovou vzdálenost od hypocentra A do seismografické stanice B, je-li ze záznamu seismografu patrno, že podélné vlny přišly o t = 80 s dříve než vlny příčné. Rychlost šíření podélných vln v zemské kůře předpokládejte cL = 6,5 km/s, rychlost příčných vln v témže prostředí cT = 4,4 km/s. Stanovte interval úhlových vzdáleností, pro něž je metoda použitelná, je-li tloušťka zemské kůry d = 15 až 60 km. Poloměr Země je R = 6 378 km. A s

R  B

Řešení: Přímou vzdálenost s mezi body A a B lze vyjádřit pomocí rychlosti podélných nebo příčných vln a odpovídající doby průchodu vlny úsekem

s  c Lt L  c T t T . Časový interval mezi příchodem obou vln t  t T  t L vyjádříme pomocí s, cL a cT  1 c c 1  t  s     s L T cL cT  cT cL 

(14)

s s 2 sin   2 R 2R

(15)

a vzdálenost s pomocí úhlu 



Spojením (14) a (15) obdržíme pro hledané  t cL cT  9,8 . 2 R  cL  cT  Metoda je použitelná, pokud nedojde k průchodu nebo odrazu vln rozhraním mezi zemskou kůrou a zemským pláštěm (Mohorovičičova diskontinuita). Z obrázku lze psát  Rd Rd , odkud . cos max   max  2 arccos 2 R R

  2 arcsin

Pro d  15 km obdržíme  max15  4,5º , pro d  60 km  max 60  15, 7º .

15.

Rázová vlna za letadlem

Zadání. Letadlo Concorde letí v konstantní výšce h  18 km rychlostí w  2376 km/h. Za jakou dobu uslyší pozorovatel na povrchu země sonický třesk letadla poté, co jej uviděl kolmo

nad hlavou? (Zanedbejte zakřivení a ostatní nerovnosti zemského povrchu a nehomogenitu atmosféry, pro výpočet uvažujte c = 330 m/s. Jaký další předpoklad je v následujícím řešení obsažen?

w c

c

h





P Řešení: Letadlo letí nadzvukovou rychlostí, vytvoří se rázová vlna. Její čelo se pohybuje (normálovou) rychlostí c a dorazí k pozorovateli za čas . Pro poloviční vrcholový úhel rázové vlny platí sin   c/w . Poloha pozorovatele je však určena výškou h, kterou vyjádříme pomocí c, a w h

c c c   cos  1  sin 2  1 c w

 



 

h 1 c w c

2

2

,

 47, 2 s .

Předpokládá se, že rychlost šíření světla (viz slovo „uviděl“) je dostatečně velká oproti rychlosti zvuku, aby ji bylo možno zanedbat.

16.

Zvukové vlny v pohyblivém prostředí

Zadání: Nalezněte disperzní relaci pro zvukové vlny v pohybujícím se plynu Řešení: Za výchozí soustavu rovnic využijme rovnici kontonuity, pohybovou rovnici a stavovou rovnici ve tvaru

  div  u  0 , t



u   u    u    p , t

(16)

p  p(  )  K   . Připusťme nyní nenulovou rychlost ve stacionárním řešení (to odpovídá šíření zvuku v pohybujícím se prostředí) a požadujme řešení ve tvaru

   0   ,

u  u0   u ,

p  p0   p .

(17)

Výpočet probíhá zcela analogicky jako u zvukových vln v nepohyblivém prostředí. Nejprve provedeme linearizaci (v rovnicích ponecháme členy lineární v poruchách):

  div  0 u  u0   0 , t

0

 u  0  u 0     u     p , t p  p   ;   . 

(18)

Po Fourierově transformaci máme (k  u 0   )  0k   u  0 , k p  (k  u0   ) 0 u  ,

 p   ;  

(19)

p . 

Po eliminaci proměnných ( z poslední rovnice určíme δp, z předposlední δu zhískáme disperzní relaci

  k  u0 2   (  0 ) k 2  0 ;



p 

(20)

a z ní pozorovanou úhlovou frekvenci 

  cs k  k  u0  cs k  ku 0 cos   cs k 1 

 cos   .; cs 

u0



cS 

p 

(21)

Ve výrazu jsme  označili úhel mezi vlnovým vektorem k a rychlostí prostředí u0 . značímeli ještě frekvenci zvuku v nepohyblivém prostředí  0  cs k , máme výsledný vztah 

   0 1  

 cos   , cs 

u0

(22)

který není nic jiného než Dopplerův vzorec pro změnu frekvence vlivem pohybu zdroje vlnění. U pohybujících se tekutin se tedy v disperzní relaci objeví místo úhlové frekvence ω kombinace Ω = ω – k·u0.

17.

Disperzní relace vlnové rovnice

Zadání: Nalezněte disperzní relaci vlnové rovnice Řešení: Na klasickou vlnovou rovnici narazíme v mnoha vědních odvětvích. Odpovídá jednoduchým vlnám bez disperze.  1 2     0  2 2  c t   

(23)

Rovnice je lineární a každé její „rozumné“ řešení je možné zapsat pomocí Fourierovy transformace jako superpozici rovinných vln. Po dosazení rovinné vlny do vlnové rovnice získáme disperzní relaci

 2  c2k 2 . Standardním postupem určíme fázovou a grupovou rychlost:

(24)

vf 

 k

 c;

vg 

 c. k

(25)

Fázová i grupová rychlost je stejná a nezávisí na vlnové délce parciální vlny, což je charakteristické pro lineární disperzní relace typu ω = ck.

18.

Disperzní relace Kleinovy-Gordonovy rovnice

Zadání: Nalezněte disperzní relaci Kleinovy-Gordonovy rovnice

Řešení: Kleinova-Gordonova rovnice je správnou relativistickou rovnicí pro volnou částici se spinem rovným nule  1 2 m 2c 2 2 2 0 ;         . (26)   2 2 2 c t     Jde o vlnovou rovnici s konstantním členem, která se využívá pro popis částic s nulovým spinem v kvantové teorii. Rovnice je lineární, její řešení opět budeme chápat jako superpozici rovinných vln. Po provedení Fourierovy transformace Kleinovy-Gordonovy rovnice získáme disperzní relaci  2  c2k 2  c2  2 . (27) Standardním postupem určíme fázovou a grupovou rychlost: vf  vg 

 k

 c 1

  k

2 k2

c 1

2 k2

 c 1 

 2 2 , 4 2

c

 2 2 1 4 2

.

(28)

Na první pohled je zřejmé, že grupová rychlost je vždy podsvětelná. Oproti tomu fázová rychlost je vždy nadsvětelná a nemá význam přenosu informace. Mezi oběma rychlostmi je jednoduchý vztah vfvg = c2. Obě rychlosti závisí na vlnové délce parciální vlny (tzv. disperze).

19.

Skládání vln

Zadání. Dvě rovinné harmonické vlny o stejné frekvenci a amplitudě, polarizované lineárně v navzájem kolmých směrech (os y a z ) se šíří stejnou rychlostí v kladném směru osy x. Popište výslednou vlnu vzniklou jejich složením, má-li fázový rozdíl obou vln hodnotu a)   0 , b)    , c)    / 2 , d)   3 / 2 ,

a rozhodněte, o jakou polarizaci výsledné vlny se v uvedených případech jedná. Řešení: Polarizované vlnění musí být příčné. Kmitání se děje v různých směrech, proto je třeba skládat vlny vektorově. Vzhledem k příznivému zadání lze přímo konstatovat, že výsledný vektor výchylky u je u = j U 0 sin  t  kx   k U 0 sin  t  kx    .

Zvolme nyní místo na ose x, v němž budeme sledovat polohu vektoru u a tedy i roviny kmitů v čase, pro jednoduchost x  0 . Příklad se tak redukuje na skládání navzájem kolmých sinusových kmitů v rovině se vzájemným fázovým posunem y  U 0 sin  t

(29)

a z  U 0 sin t   

(30)

Rovnice (29) a (30) jsou parametrickou formulací trajektorie koncového bodu vektoru u v rovině y, z. Vyloučením parametru obdržíme rovnice trajektorií v názornější formě: 

Pro   0 je y z  1 . Příslušnou trajektorií je přímka y  z , vlna je tedy lineárně polarizována, rovina kmitu je určena osou x a uvedenou přímkou, polarizační rovina je k rovině kmitu kolmá.



Pro    je y z  1 . Situace je podobná, jen rovina kmitu i polarizační rovina jsou vůči předchozímu případu pootočeny o 90º (trajektorií je přímka y   z ).



V případě    2 lze rovnici (30) přepsat do tvaru z  U 0 sin  t   2   U 0 cos  t . Umocněním na druhou a sečtením s kvadrátem (29) obdržíme vztah y 2  z 2  U 02 . Koncový bod vektoru u se tedy pohybuje po kružnici o poloměru U 0 , rovina kmitu i polarizační rovina se v prostoru otáčí; jde proto o polarizaci kruhovou.



20.

Případ   3 /2 se od předchozího liší pouze opačným směrem otáčení (levotočivá a pravotočivá polarizace).

Osvětlení stolu

Zadání: Lampa je umístěna nad kulatým stolem o poloměru R v jeho středu. Určete optimální výšku lampy nad stolem tak, aby osvětlení knihy ležící na okraji stolu bylo maximální. Předpoklady: Zdroj je dostatečně malý, vlnoplochu považujte za kulovou.

Řešení: Osvětlení, stejně tak jako tok světelné energie, ubývá s kvadrátem vzdálenosti r od zdroje a závisí na úhlu dopadu:

I

I 0 cos  . r2

Dosadíme-li cos α = h/r a za vzdálenost r z Pythagorovy věty r = (h2 + R2)1/2, získáme závislost:

(31)

I ( h)  I 0

h

h

2

 R2 

.

3/2

(32)

Při maximálním osvětlení musí být derivace této funkce podle h nulová, což vede na podmínku:

h

2

 R2 

3/2

 3h 2  h 2  R 2 

1/ 2

0

(33)

Po vydělení rovnice členem (h2 + R2)1/2 snadno nalezneme řešení h

R . 2

(34)