Sluneční plachetnice 1. Trocha historieEquation Chapter 1 Section 1 O plachetnici poháněné tlakem slunečního záření, která letí napříč sluneční soustavou, snily desítky spisovatelů a fyziků. Mezi nejznámějšími byli ruský teoretik Konstantin Ciolkovskij (navrhnul plachetnici již v roce 1921) a spisovatel Arthur Clark v povídce „The Lady Who Sailed The Soul“ z roku 1960, která popisovala závod slunečních jachtařů od Země k Měsíci. Jejich sen se splnil až v roce 2010. Japonská miniplachetnice IKAROS (Interplanetary Kitecraft Accelerated by Radiation Of the Sun), kterou připravili ke startu odborníci z japonské kosmické agentury JAXA, startovala na palubě nosné rakety H-IIA dne 21. května 2010. Celý experiment má několik prvenství. Poprvé se podařilo úspěšně rozvinout plachtu o průměru přibližně 20 metrů, poprvé se podařilo tuto plachtu vyfotografovat za pomoci minikamer vystřelených z plachetnice v malých válečcích do prostoru vedle plachetnice a poprvé se úspěšně podařilo zvládnout manévrování s plachetnicí, například natáčení plachty za pomoci LCD odražečů, které odráží sluneční záření jinak, když jsou zapnuté a jinak, když jsou vypnuté. Druhou úspěšnou miniplachetnicí v historii se stala americká Nanosail D-2 s plachtou o průměru něco přes 3 metry a celkovou hmotností 5 kilogramů, která se dostala do provozuschopného stavu v lednu 2012. Po několika selháních systému se plachty nakonec rozvinuly samy od sebe. Nikdo to již nečekal. Zatím jde o první pokusy a ověřování principů. Tlak slunečního záření je velmi malý, u Země činí pouze 4,6 μPa pro absorbující povrch, ale při použití velké plachty a dlouhé době letu se může tento pohon stát důležitým doplňkem chemických a iontových motorů. Cílem této úlohy je pochopit základní principy pohybu tělesa v gravitačním poli a naučit se manévrovat s plachetnicí tak, abyste zvládli pohyb jak ve směru od Slunce, tak ve směru ke Slunci, tedy proti tlaku slunečního záření. Oboje je možné, pokud porozumíte základním fyzikálním principům letu sluneční plachetnice.
Obr. 1. Rozvinutá plachta první plachetnice IKAROS. Minisonda je uprostřed. Snímek je z kamery odmrštěné v malém válečku ze sondy do volného prostoru.
2. Pohyb v gravitačním poli Většina planet se pohybuje po málo výstředných elipsách a pro účely naší úlohy nemusíme pohyb planety detailně počítat z gravitačního zákona. Postačí vypočítat oběžnou rychlost planety z rovnosti velikosti gravitační síly a odstředivé síly:
M M M Pv 2 G P2 S rPS rPS
v
GM S , rPS
(1)
kde rPS je vzdálenost planety od Slunce, MP je hmotnost planety a MS je hmotnost Slunce. Známe-li počáteční polohu a oběžnou rychlost, snadno již určíme pozici na kruhové oběžné dráze v rovině ekliptiky (rovina oběhu Země kolem Slunce). Povšimněte si, že hmotnost planety se na obou stranách rovnosti zkrátila. To je pro gravitační pole typické. Pohyb testovacího tělesa nezávisí na jeho hmotnosti. Toho si všimnul již Galileo Galilei, když údajně házel různé předměty z šikmé věže v Pise a zjistil, že doba jejich pádu je shodná a nezávisí na jejich hmotnosti. Vliv negravitačních sil ale na hmotnosti pohybujícího se tělesa závisí. Ještě jedna zajímavá skutečnost plyne z jednoduchého vztahu (1): Pokud chcete u tělesa kroužícího kolem Slunce přejít na oběžnou dráhu bližší ke Slunci, musí se jeho oběžná rychlost zvýšit! To je dobré mít na paměti při manévrování s plachetnicí. Pokud se těleso s polohou r a hmotností m (naše plachetnice) pohybuje v gravitačním poli tělesa o poloze R a hmotnosti M (planeta nebo Slunce), působí na něho gravitační síla podle Newtonova gravitačního zákona
FG
mM rR
2
e; (2)
rR . e rR Vektor e je jednotkový vektor ve směru působení síly. Na planetu či Slunce působí samozřejmě stejně veliká síla opačného směru. Nicméně v našem případě je působení plachetnice na tato velká tělesa zcela zanedbatelné. Pohybová rovnice plachetnice (rovnice pro její polohový vektor r) v gravitačním poli blízké planety (P) a Slunce (S) bude m rG
mM P r RP
2
eP G
mM S r2
eS ;
(3) eP
r RP ; r RP
eS
r . r
Předpokládáme, že Slunce je v počátku souřadnicové soustavy (RS = 0). Jednotkový vektor eP míří směrem k planetě, jednotkový vektor eS směrem ke Slunci. Jak vidíme, hmotnost plachetnice se na obou stranách zkrátí, takže výsledný pohyb je určen diferenciální rovnicí r G
MP r RP
e G 2 P
MS r2
eS .
Opět si povšimněte, že v gravitačním poli pohyb plachetnice nezávisí na její hmotnosti.
(4)
Obr. 2. Zavedení vektorů.
Pár pouček pro zapamatování: 1. Pohyb planet kolem Slunce je přibližně kruhový s konstantní rychlostí. Nemusíme ho proto počítat z gravitačního zákona. 2. Pokud chcete u tělesa kroužícího kolem Slunce přejít na oběžnou dráhu bližší ke Slunci, musí se jeho výsledná oběžná rychlost zvýšit. 3. Pohyb malého tělesa v gravitačním poli velkých těles nezávisí na jeho hmotnosti. 4. Sluneční plachetnice má pramalý vliv na pohyb Slunce a planet.
3. Tlak záření – přehled užitečných vztahů Elektromagnetické pole šířící se od zdroje je schopné přenášet energii, hybnost i moment hybnosti. Pole jako takové tedy není jen matematickou konstrukcí, ale fyzikální realitou, kterou si můžeme představit jako soustavu fotonů schopných nést výše míněné atributy. Pokud fotony narážejí na nějakou plochu (například plachtu plachetnice), předávají jí svou hybnost, a tím na ní vyvíjejí tlakovou sílu. Je to jako byste házeli hrách na zeď. Výsledná síla samozřejmě záleží na tom, zda jsou fotony plachtou absorbovány nebo se od plachty odrazí (v tomto případě je síla dvojnásobná). Hybnost p a energie E jednoho konkrétního fotonu jsou dány známými vztahy E p ; E . c c
(5)
Tok energie (množství energie proteklé jednotkovou plochou vystavenou kolmo k záření za jednotku času) přenášený polem je dán vektorovým součinem intenzit obou polí – někdy hovoříme o intenzitě záření nebo o tzv. Poyntingově vektoru. Hustota hybnosti přenášené polem je naopak dána vektorovým součinem indukcí obou polních vektorů:
I E H ; D B ;
I J/m 2s .
(6)
N s/m 3 .
(7)
Další důležitou veličinou je hustota energie obsažená v elektromagnetickém poli: 1 1 u ED H B ; 2 2
u J/m 3 .
(8)
Tlak, kterým působí daný systém na okolí je vždy úměrný hustotě energie (vzpomeňte si například na tíhové pole, kde energie je mgh a hydrostatický tlak způsobený tíží je hustotou této veličiny, tj. ρgh). V případě elektromagnetického záření platí pro jednostranný tlak působící na kolmou plochu, který je při úplné absorpci fotonů způsoben hustotou hybnosti (7) jednoduchý vztah pu;
p u Pa = J/m 3 .
(9)
Slunce je vytrvalým zdrojem elektromagnetického záření, které zaplavuje celou sluneční soustavu. Amplituda jednotlivých polních vektorů (E, D, H, B) klesá se vzdáleností od Slunce jako 1/r, ostatní veličiny (I, π, u, p) jako 1/r2, protože jsou úměrné kvadrátům polních veličin a klesají úměrně ploše sféry se středem ve Slunci. Pro pohyb naší plachetnice je samozřejmě nejdůležitější tlak slunečního záření spolu s rozměry a orientací plachty, na kterou tento tlak působí. Je nutno zdůraznit, že sluneční plachetnici nepohání sluneční vítr! Ten tvoří částice,
kterých je na účinný pohon plachetnice příliš málo. I když část zrychlení lze připsat i slunečnímu větru, jeho podíl je tisícinásobně menší než podíl tlaku slunečního světelného záření. veličina
označení
hodnota u Slunce
intenzita el. pole
E
156 kV/m
726 V/m
E = E0r0/r
intenzita mg. pole
H
0,41 kA/m
1,9 A/m
H = H0r0/r
indukce el. pole
D
1,38 μC·m−2
6,43 nC·m−2
D = D0r0/r
indukce mg. pole
B
0,52 mT
2,42 μT
B = B0r0/r
intenzita záření
I
63,3 MW/s
1,37 kW/s
I = I0r02/r2
hustota hybnosti
π
0,74 nN·s/m3
16×10−15 N·s/m3
π = π0r02/r2
hustota energie
u
0,21 J/m3
4,6 μJ/m3
u = u0r02/r2
tlak záření při úplné absorbci
p
0,21 Pa
4,6 μPa
p = p0r02/r2
pSW
0,16 mPa
3,4 nPa
pSW = p0SWr02/r2
průměrný tlak slunečního větru
hodnota u Země
obecná hodnota
Tabulka 1: Některé základní parametry slunečního záření
Protože počáteční dráha plachetnice okolo Země je přibližně kruhová, loď létá po spirále. Podle natočení jejích plachet může buď zrychlovat, nebo naopak i zpomalovat. Proto může být plachetnice použita i pro mise, které se mají vrátit zpátky na Zemi. I když je zrychlení plachetnice velmi malé, působí velmi dlouhou dobu, a tak je možné dosáhnout velmi vysokých rychlostí. První plachetnice Cosmos 1, jejíž start se nevydařil, měla dosahovat zrychlení 0,000 5 m/s². Za jeden den by se tak její rychlost zvýšila o 160 km/h, za sto dní by dosáhla rychlosti 16 000 km/h a za tři roky 170 000 km/h. Při této rychlosti by dorazila k Plutu za pět let. Pro porovnání, mise New Horizons má s využitím chemického motoru a gravitace Jupiteru stejného cíle dosáhnout až za devět let. Tato rychlost je ale stále jen 0,16 ‰ rychlosti světla. Bohužel, jakmile se jednou s plachetnicí dostanete za oběžnou dráhu Jupiteru, sluneční záření je už pro plachtění slabé. Na plachty dále od Slunce můžeme ale zaměřit vysoce výkonné lasery a pohánět tak plachetnici zářením, které se vzdáleností prakticky neslábne. V budoucnosti by nám takovýto laserový pohon mohl umožnit cestu k jiným hvězdám. Někteří vědci si myslí, že toto bude možné už za několik desetiletí.
4. Jak plachtit Sluneční plachetnice, která odstartovala ze Země, přebírá oběžný pohyb Země kolem Slunce. Při manévrování se sluneční plachetnicí se nikdy nesnažíme o přímý let k cíli. Na to je tlak slunečního záření příliš malý. Využíváme toho, že plachetnice vykonává oběžný pohyb kolem Slunce a vhodným natočením plachty se snažíme tento pohyb zbrzdit nebo urychlit, a tím dostat plachetnici na bližší nebo vzdálenější orbitu. Pro první pokusy je výhodné neuvažovat gravitační sílu způsobenou přítomností planet, ale manévrovat jen za pomoci dvou sil: tlakové síly záření, která míří kolmo na plachtu a gravitace Slunce, která míří vždy ke Slunci. Vzhledem k tomu, že plachtění je jedním z negravitačních pohybů, závisí výsledek na hmotnosti plachetnice, která se zpravidla udává jako plošná hustota hmoty plachetnice na jednotkovou hmotnost plachet:
m , S
(10)
kde m je hmotnost plachetnice a S celková plocha její plachty. V následujícím příkladu, který je převzatý z numerické simulace popsané v [3], šlo o plachetnici se σ = 2 g/m2, která startovala ze Země a byla navedena na oběžnou dráhu kolem Slunce v místě, kde obíhá Země. Jako počáteční podmínka tedy byla vzdálenost od Slunce 150×106 km a oběžná rychlost rovná 30 km/s. Plachta měla plnou odrazivost, tj. tlak byl dvojnásobný, než je uvedeno v tabulce 1. V průběhu manévrování, které trvalo 45 dní, vykonala plachetnice dráhu podle obrázku 3.
Obr. 3. Manévrování plachetnice kolem Slunce popsané v textu.
Plachetnice se nejprve vlivem tlaku záření přesouvala směrem od Slunce. Její oběžná rychlost ale klesala až dosáhla minima v bodě P, kde převládlo gravitační přitahování Slunce. V bodě A prolétla plachetnice přísluním a efektem gravitačního praku získala dostatečnou rychlost pro opuštění sluneční soustavy. Tlak slunečního záření není jediným negravitačním pohybem, který způsobuje nekeplerovské orbity kolem Slunce. Již jsme zmínili tlak slunečního větru, který je ale o tři řády menší než tlak slunečního záření. Důležitý je také Jarkovského jev, při kterém se povrch rotujícího tělesa ohřívá na straně bližší ke Slunci a intenzivně tepelně vyzařuje na odvrácené straně od Slunce. Tím vzniká sice malá, ale dlouhodobě působící Jarkovského síla, která byla poprvé detekována u planetky Golevka v roce 2004. Zajímavá je také anomální rychlost měřená u sond Pioneer, které letí sluneční soustavou již od roku 1973. Nakonec se ukázalo, že za anomální rychlost je zodpovědný asymetrický ohřev sondy od radioizotopových generátorů elektřiny. Ohřátá část sondy vyzařovala tepelné záření, které způsobilo zpětný tah na sondy. U dlouhodobých misí je nutné s negravitačními silami počítat.
5. Pohyb v efektivním potenciálu Energie pohybujícího se tělesa je z Lagrangeovy funkce dána formulí
E
1 2 1 2 2 mM . mr mr G 2 2 r
(11)
Energie se skládá z radiální kinetické energie, úhlové složky kinetické energie a potenciální energie. Pokud ale vyjádříme druhý člen za pomoci zákona zachování momentu hybnosti b mr 2 const ,
(12)
1 2 b2 mM . mr G 2 2 r 2mr
(13)
dostaneme pro energii vztah E
Druhý člen je nyní závislý pouze na poloze a můžeme ho proto přiřadit k potenciálu. Interpretace členu jako kinetického nebo potenciálního je tedy relativní a závisí na úhlu našeho pohledu. Zaveďme tzv. efektivní potenciál: E
1 2 mr Veff (r ) ; 2 b2
mM . Veff (r ) G r 2mr 2
(14)
Z první rovnice snadno určíme radiální rychlost tělesa r
2 E Veff (r ) . m
(15)
Je zjevné, že pohyb se může konat jedině v takových oblastech efektivního potenciálu, kde platí E Veff (r ) .
(16)
Průběh efektivního potenciálu je znázorněn na obrázku. Z něho je patrné, že pro E > 0 je pohyb neomezený, r < rmin, ), pohyb se koná po hyperbole. Naopak pro E < 0 je pohyb omezený, r < rmin, rmax > a pohyb se koná po elipse. Limitními případy jsou E = 0 (pohyb po parabole) a E = Emin (pohyb po kružnici r = r0).
Obr. 4: Efektivní potenciál.
6. Algoritmizace pohybu V nejjednodušším přiblížení je možné uvažovat pohyb plachetnice na samostatné oběžné dráze kolem Slunce (například shodné s oběžnou dráhou Země). Na plachetnici působí síla tlaku záření mířící kolmo na rovinu plachty a využívající pouze kolmou část plochy namířené
ke Slunci. Označíme-li S plochu plachty, n jednotkový vektor normály mířící kolmo na odraznou plochu a eS jednotkový vektor směrem ke Slunci, bude síla působící na plachetnici rovna r F1 p 0 S ZS r
2
n eS n ,
(17)
kde p0 je tlak slunečního záření u Země (viz tabulka 1), S je plocha plachty, rZS je vzdálenost Země od Slunce a r je aktuální vzdálenost plachetnice od Slunce. Skalární součin n·es je roven jedné, pokud je plachta orientována kolmo na Slunce a je maximálně využita a je nulový, pokud je plachta orientována bokem a žádné sluneční záření na ni nedopadá. Směr působící síly je –n. Druhou silou působící na plachetnici je gravitační síla Slunce F2 G
mM S r2
eS .
(18)
Již v přítomnosti obou sil F1 a F2 je možné si vyzkoušet základy manévrování s plachetnicí. Úlohu je samozřejmě možné si zkomplikovat gravitačním působením mateřské planety, ze které plachetnice vylétla a cílové planety, ke které má dolétnout F3 G
F4 G
mM P1 r R P1 mM P2 r R P2
2
2
e P1 ;
e P2 ;
e P1
e P2
r R P1 , r R P1 r R P2 . r R P2
(19)
Ve větší vzdálenosti od planety je její vliv samozřejmě zanedbatelný. Výsledná pohybová rovnice plachetnice je m r F1 F 2 F 3 F 4 , (20) což je soustava tří obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu pro polohy x(t), y(t), a z(t) plachetnice. Výhodnější je ale řešení soustavy šesti rovnic prvního řádu ve tvaru r v ; v
1 F1 F 2 F 3 F 4 . m
(21)
Známe-li počáteční polohu a rychlost plachetnice, můžeme použít některou standardní metodu na řešení diferenciálních rovnic, například Rungeovu-Kuttovu metodu 4. řádu, která je implementovaná v každém programovém celku pro numerické výpočty (například Mathematica, MATLAB atd.). Pro jistotu zde uvádíme příslušný diferenční předpis: Označme ξ = (r, v) šestici poloh a rychlostí plachetnice, tedy budeme hledat hodnoty ξ1 až ξ6. První tři hodnoty jsou polohy, další tři jsou rychlosti. Hledané funkce ξk (t ) ; k = 1, ... 6 splňují soustavu rovnic (21), kterou přepíšeme do tvaru f ( , ) . (22) k
k
1
6
Časovou osu rozdělíme na dílky s intervalem Δt. Předpokládejme, že známe polohu a rychlost v počátečním čase t0. Potom určíme
K1, k f k (1, , 6 ) , 1 1 K 2, k f k 1 (t ) K1,1 t , , 6 (t ) K1,6 t , 2 2 1 1 K3, k f k 1 (t ) K 2,1 t , , 6 (t ) K 2,6 t , 2 2
K 4, k f k 1 (t ) K3,1 t , , 6 (t ) K3,6 t
(23)
a přibližné řešení v čase t + Δt dostaneme ze vztahů 1 k (t t ) k (t ) ( K 1, k 2 K 2, k 2 K 3, k K 4, k ) t ; k 1, , 6 . 6
(24)
Tím známe řešení v čase t + Δt a postup můžeme opakovat. Otázky přesnosti výpočtu, konvergence a případně další metody lze nalézt v odborné literatuře.
7. Poznámky pro Tomáše ̶ ̶ ̶
nejprve tam nech jen Slunce a plachetnici kroužící na oběžné dráze shodné se Zemí, vzhledem k placatosti monitoru to řeš jen ve 2D! plachetnici zobrazuj jen úsečkou ve směru plachty, jako je to na obrázku 3. vstupní parametry: 1. Poloha plachetnice. Rychlost se automaticky uzpůsobí, aby byla na kruhové orbitě kolem Slunce podle Keplerových zákonů. Čili bych klepnul myší, odečetl polohu a dopočetl rychlost a nechal tu malou mrchu kroužit kolem Slunce. 2. Plošná hustota σ (hmotnost dělená plochou plachetnice). Pro první testy nech 2 g/m2. Později to bude chtít nějaký způsob nastavení (táhlo?). 3. Počáteční orientace plachty vzhledem ke Slunci. Na začátku nech plachtu tak, aby tlak slunečního záření nepůsobil, tj. n se bude stále dopočítávat a bude kolmé na es, sluneční záření bude dopadat podél plachty, ne na ni. Orbita musí po výpočtu vyjít keplerovská, což je test správnosti implementace (24). 4. Pak přidej nějaké táhlo, aby měl student možnost s plachtou otáčet. Jakmile ji natočí ke Slunci, dráha přestane být keplerovská a začíná „hra“. 5. Až bude vše chodit, je možné zapnout vliv zvolených planet.
8. Cíl úlohy 1. Vyzkoušejte si manévrování s plachetnicí jen v přítomnosti tlaku záření a gravitačního pole Slunce. Pokuste se zopakovat manévr na obrázku 3. 2. Zapněte působení planet a pokuste se manévrovat tak, abyste doletěli na planetu vzdálenější od Slunce (Mars). 3. Zapněte působení planet a pokuste se manévrovat tak, abyste doletěli na planetu bližší ke Slunci (Venuši).
9. Literatura: [1] Jiří Hofman: Sluneční plachtění; Aldebaran Bulletin 35/2005, online: http://www.aldebaran.cz/bulletin/2005_35_pla.php [2] Jiří Hofman: IKAROS – Japonci už plachtí; Aldebaran Bulletin 43/2010, online: http://www.aldebaran.cz/bulletin/2010_43_pla.php
[3] Wikipedia: Solar Sail; online: http://en.wikipedia.org/wiki/Solar_sail [4] Aldebaran: Tabulky. Online: http://www.aldebaran.cz/tabulky/. [5] Petr Kulhánek: Teoretická mechanika; FEL ČVUT 2012, www.aldebaran.cz/studium/mechanika.pdf
