´ ˇ Klasicka´ mechanika – analyticka´ ˇreˇsen´ı pohybu cˇ astic a teles
1. Pohyb v odporuj´ıc´ım prostˇred´ı 1.1 Odporuj´ıc´ı s´ıla je u ´mˇern´a rychlosti pohybuj´ıc´ıho se tˇelesa 1.2 Pohyb hmotn´eho nabit´eho bodu v homogenn´ım elektrick´em poli 1.3 Pohyb hmotn´eho nabit´eho bodu v homogenn´ım magnetick´em poli 1.4 Smykov´e tˇren´ı 1.5 Valiv´e tˇren´ı (= valiv´ y odpor) ´ ı harmonick´y oscilator; ´ ´ ´ 2. Linearn´ vazan e´ oscilatory 2.1 Netlumen´ y 2.2 Tlumen´ y 2.3 Buzen´ y 2.4 V´azan´e oscil´atory ´ dvou teles ˇ 3. Problem ´ ı s´ıly 4. Pohyb v poli centraln´ 4.1 Keplerova u ´loha 4.2 Kosmick´e rychlosti 4.3 Keplerovy z´akony 5. Matematicka´ odvozen´ı ˇ sen´ı Keplerovy u 5.1 Reˇ ´lohy 5.2 Rovnice kuˇzeloseˇcky 5.3 Tˇret´ı Kepler˚ uv z´akon 5.4 Kruhov´a rychlost 5.5 Druh´a kosmick´a rychlost
ˇ c
Kateˇ rina Sebkov´ a, 2009
1
Pˇrehled vzorc˚ u a rovnic
obsah
1. Pohyb v odporuj´ıc´ım prostˇred´ı z´akladn´ı rovnice:
ˇreˇsen´ı:
1.1 Odporuj´ıc´ı s´ıla je u ´mˇern´a rychlosti pohybuj´ıc´ıho se tˇelesa F ∼v :
m dvdtx = −6πrηvx
vx (t) = v0 e−bt
F ∼ v2 :
m dvdtx = − 21 CρSvx2 (pro vx > 0)
vx (t) =
v0 1+˜bv0 t
1.2 Pohyb hmotn´eho nabit´eho bodu v homogenn´ım elektrick´em poli v ~ m d~ = qE dt
~ = konst. pro E pohyb s konstantn´ım zrychlen´ım
1.3 Pohyb hmotn´eho nabit´eho bodu v homogenn´ım magnetick´em poli v ~ m d~ = q~v × B dt
~ = konst. pro B pohyb po kruˇznici nebo po ˇsroubovici
1.4 Smykov´e tˇren´ı
Ft = f FN
1.5 Valiv´e tˇren´ı (= valiv´ y odpor)
Fv = ξ FRN
2
Pˇrehled vzorc˚ u a rovnic
obsah
´ ı harmonick´y oscilator; ´ ´ ´ 2. Linearn´ vazan e´ oscilatory z´akladn´ı rovnice:
ˇreˇsen´ı:
2.1 Netlumen´ y
x¨ + ω02 x = 0
x(t) = A cos (ω0 t + ϕ0 )
2.2 Tlumen´ y
x¨ + 2δ x˙ + ω02 x = 0
1. δ < ω0 : tlumen´y harmonick´y kmit x(t) = Ae−δt cos (ωt + ϕ0 ) ; ω =
p ω02 − δ 2
2. δ = ω0 : mezn´ı aperiodick´y pohyb x(t) = (A + Bt)e−δt 3. δ > ω0 : aperiodick´y pohyb x(t) = C1 eα1 t + C2 eα2 t ; α1,2 < 0 2.3 Buzen´ y
x ¨ + 2δ x˙ + ω02 x = S cos Ωt
x(t) = C1 eα1 t + C2 eα2 t + AeiΩt
(resp. = SeiΩt )
Ωr =
p
ω02 − 2δ 2 . . . rezonanˇcn´ı frekvence
2.4 V´azan´e oscil´ atory m¨ x1 = −kx1 +kv (x2 −x1 )
x = x1 +x2 = x0 cos(ω0 t+ϕ0 ) ; ω02 =
m¨ x2 = −kx2 −kv (x2 −x1 )
ξ = x2 −x1 = ξ0 cos(ωt+ϕ) ; ω 2 =
k+2kv m
´ dvou teles ˇ 3. Problem m1~r¨1 = F~1e + F~12
µ~¨r = F~21 , ~r = ~r2 − ~r1
m2~r¨2 = F~2e + F~21
µ=
(F~ e . . . vnˇejˇs´ı s´ıly ; F~21 = −F~12 )
3
m1 m2 m1 +m2
k m
. . . redukovan´a hmotnost
Pˇrehled vzorc˚ u a rovnic
obsah
´ ı s´ıly 4. Pohyb v poli centraln´ 4.1 Keplerova u ´loha
ˇ sen´ı pohybu hmotn´eho bodu v centr´aln´ım Reˇ gravitaˇcn´ım poli.
4.2 Kosmick´e rychlosti q
κMZ R
Kruhov´a rychlost
vk =
Prvn´ı kosmick´ a rychlost
. vI = 7, 9 km s−1
Druh´a kosmick´ a rychlost
vII =
√
. 2vI = 11, 2 km s−1
4.3 Keplerovy z´ akony 1. Kepler˚ uv z´ akon
Planety ob´ıhaj´ı kolem Slunce po elips´ach, v jejichˇz jednom ohnisku leˇz´ı Slunce.
2. Kepler˚ uv z´ akon
∆S ∆t
=
2
3. Kepler˚ uv z´ akon
T1 T2
1 2
| ~r × ~v |=
=
4
a1 a2
3
L 2m
= konst.
1. Pohyb v odporuj´ıc´ım prostˇred´ı
obsah
1. Pohyb v odporuj´ıc´ım prostˇred´ı ˇ a´ rychlosti pohybuj´ıc´ıho se telesa ˇ 1.1 Odporuj´ıc´ı s´ıla je um ´ ern - pohyb tˇelesa v kapaln´em nebo plynn´em prostˇred´ı lze pˇribliˇznˇe pˇri mal´ ych rychlostech popsat visk´ ozn´ı silou F~v = −k~v ~v . . . rychlost pohybu tˇelesa k . . . konstanta (k > 0) ´ F ∼ v : plat´ı v tekutinach pˇri malych ´ rychlostech Pohybova´ rovnice: - pˇri mal´ ych rychlostech na tˇeleso p˚ usob´ı Stokesova s´ıla F = 6πrηv
(1)
r . . . rozmˇer tˇelesa η . . . viskozita prostˇred´ı v . . . rychlost pohybu tˇelesa - jednorozmˇern´ y pˇr´ıpad (pohyb ve smˇeru osy x ): 2. Newton˚ uv z´ akon + (1) m
dvx = −6πrηvx dt
ˇ sen´ı: Reˇ • rovnici (2) uprav´ıme: 6πrη m
= −( 6πrη m )vx
dvx dt
= −bvx R • upravenou rovnici integrujeme: • oznaˇcen´ı: b =
⇒
dvx dt
dvx vx
R = −b dt (separace promˇenn´ ych)
ln vx = −bt + c (c. . . konstanta) • oznaˇc´ıme: ec = v0 (v´ yznam: v0 = vx (0)) ⇒ vx (t) = v0 e−bt ⇒ x(t) =
R
vx dt
⇒
x(t) = − vb0 e−bt + x0
5
(2)
1. Pohyb v odporuj´ıc´ım prostˇred´ı
obsah
ˇ em ´ rozsahu rychlost´ı F ∼ v 2 : plat´ı pˇribliˇzneˇ v plynech v urcit Pohybova´ rovnice: - na tˇeleso p˚ usob´ı s´ıla, kterou popisuje Newton˚ uv vztah 1 F = CρSv 2 2
(3)
C . . . souˇcinitel odporu ρ . . . hustota prostˇred´ı S . . . obsah pr˚ uˇrezu tˇelesa kolm´eho ke smˇeru rychlosti tˇelesa v . . . rychlost pohybu tˇelesa - jednorozmˇern´ y pˇr´ıpad (pohyb ve smˇeru osy x ; vx > 0): 2. Newton˚ uv z´ akon + (3) m
dvx 1 = − CρSvx2 dt 2
(4)
ˇ sen´ı: Reˇ dvx dt
• rovnici (4) uprav´ıme: • oznaˇcen´ı: ˜b =
CρS 2m
2
x = − CρSv 2m
= −˜bvx2 R • upravenou rovnici integrujeme: ⇒
(vx ≥ 0)
dvx dt
dvx vx2
R = −˜b dt (separace promˇenn´ ych)
− v1x = −˜bt − k
• oznaˇc´ıme:
1 k
⇒ vx (t) = ⇒ x(t) =
R
= v0
vx =
1 ˜bt+k
vx =
1 k ˜ bt +1 k
(k. . . konstanta)
(v´ yznam: v0 = vx (0))
v0 1+˜bv0 t
vx dt
⇒
x(t) =
1 ˜b
ln | 1 + ˜bv0 t | + x0
6
(plat´ı pro t > − ˜bv1 ) 0
1. Pohyb v odporuj´ıc´ım prostˇred´ı
obsah
´ ´ ´ poli 1.2 Pohyb hmotneho nabiteho bodu v homogenn´ım elektrickem Pohybova´ rovnice: ~ = konst.) p˚ - na hmotn´ y bod s n´ abojem q v homogenn´ım elektrick´em poli (E usob´ı s´ıla ~ F~ = q E
(5)
2. Newton˚ uv z´ akon + (5) m
d~v ~ = qE dt
(6)
ˇ sen´ı: Reˇ • rovnici (6) vydˇel´ıme m a integrujeme ⇒ ~v = • integrujeme po druh´e ⇒ ~r = ~ = (E, 0, 0): x(t) = • pro E
~ 2 q Et 2m
qEt2 2m
~ q Et m
+ ~v0
+ ~v0 t + ~r0
+ v0x t + x0
y(t) = v0y t + y0 z(t) = v0z t + z0
Hmotn´ y bod se pohybuje s konstantn´ı zrychlen´ım a jeho trajektorie m´ a tvar paraboly. Pro v0y = 0 , v0z = 0 jde o pohyb rovnomˇ ernˇ e zrychlen´ y.
7
1. Pohyb v odporuj´ıc´ım prostˇred´ı
obsah
´ nabiteho ´ bodu v homogenn´ım magnetickem ´ poli 1.3 Pohyb hmotneho Pohybova´ rovnice: ~ = konst.) p˚ - na hmotn´ y bod s n´ abojem q v homogenn´ım magnetick´em poli (B usob´ı Lorentzova s´ıla ~ F~ = q~v × B
(7)
2. Newton˚ uv z´ akon + (7) m
d~v ~ = q~v × B dt
(8)
ˇ sen´ı: Reˇ • oznaˇc´ıme: ~v = (vx , vy , vz ) ~ = (0, 0, B) ; (osu z vol´ıme ve smˇeru B ~ ) B ~ = (vy B, −vx B, 0) ~v × B • dosazen´ım do (8) a z´ısk´ ame tˇri rovnice: dvx = Bvy q dt
(9)
dvy = −Bvx q dt
(10)
dvz =0 dt
(11)
m
m
m
• integrujeme rovnici (11) ⇒ z(t) = v0 t + z0 Ve smˇ eru osy z se bod pohybuje rovnomˇ eˇ rnˇ e. 2
dv
y • rovnici (9) zderivujeme podle ˇcasu a vydˇel´ıme m ⇒ ddtv2x = ( qB m ) dt 2 dv qB 2 d vx z rovnice (10) sem dosad´ıme dty = − qB m vx ⇒ dt2 + ( m ) vx = 0 ⇒ vx = V cos( qB azov´ ym posunut´ım, pro jednoduchost vol´ıme ϕ = 0) m t) ; (ev. s f´
• z rovnice (9) ⇒ vy = • oznaˇc´ıme: ω =
qB m
m dvx qB dt
2 2 2 = −V sin( qB m t) ; (V = vx + vy )
⇒ x(t) =
V ω
sin(ωt + ϕ0 ) + x0
vy = −V sin(ωt) ⇒ y(t) =
V ω
cos(ωt + ϕ0 ) + y0
⇒ vx = V cos(ωt)
• zˇrejmˇe plat´ı x2 + y 2 = ( Vω )2 = R2 V rovinˇ e xy se bod pohybuje po kruˇznici.
8
1. Pohyb v odporuj´ıc´ım prostˇred´ı
obsah
1.4 Smykove´ tˇren´ı - vznik´a pˇri posouv´ an´ı jednoho tˇelesa po jin´em tˇelese - jejich silov´e p˚ usoben´ı popisuje tˇrec´ı s´ıla F~t • p˚ usob´ı proti pohybu • jej´ı velikost je d´ ana vztahem Ft = f FN f . . . souˇcinitel smykov´eho tˇren´ı (z´avis´ı na druhu sm´ ykaj´ıc´ıch se ploch) FN . . . tlakov´ a s´ıla
Pˇ ri uv´ adˇ en´ı tˇ elesa do pohybu (z klidu) je zapotˇ reb´ı vˇ etˇs´ı taˇzn´ e s´ıly, neˇz pˇ ri pohybu rovnomˇ ern´ em. ⇒ vˇzdy je fs > f fs . . . statick´ y souˇ cinitel smykov´ eho tˇ ren´ı
9
1. Pohyb v odporuj´ıc´ım prostˇred´ı
obsah
1.5 Valive´ tˇren´ı (= valiv´y odpor) - vznik´a pˇri pohybu (rotaˇcnˇe symetrick´eho) tˇelesa po jin´em tˇelese (podloˇzka) = brzd´ıc´ı s´ıla Fv p˚ usob´ıc´ı proti pohybu tˇelesa
Fv = ξ FRN
ξ . . . souˇcinitel valiv´eho tˇren´ı (z´avis´ı na druhu povrchu tˇeles; m´a rozmˇer d´elky) R . . . polomˇer tˇelesa FN . . . tlakov´ a s´ıla
Za stejn´ ych podm´ınek plat´ı: Fv < Ft (vyuˇzit´ı napˇ r. kuliˇ ckov´ a loˇziska - pˇ reveden´ı smykov´ eho pohybu na valiv´ y)
10
2. Line´arn´ı harmonick´ y oscil´ator; v´azan´e oscil´atory
obsah
´ ı harmonick´y oscilator; ´ ´ ´ 2. Linearn´ vazan e´ oscilatory = hmotn´ y bod (tˇeleso), kter´ y kon´ a harmonick´y (sinusov´ y) kmitav´ y pohyb - uvaˇzujeme jen jednorozmˇern´ y pˇr´ıpad (line´ arn´ı oscil´ator)
2.1 Netlumen´y = oscil´ator, na kter´ y nep˚ usob´ı ˇz´ adn´ a tlum´ıc´ı (odporov´a) s´ıla, tj. oscil´ator st´ale kmit´a Pohybova´ rovnice: - elastick´a s´ıla F~e zp˚ usobuje kmit´ an´ı hmotn´eho bodu (napˇr. kuliˇcka na pruˇzince)
s´ıla F~e p˚ usob´ı ve smˇeru osy x . . . Fex = −kx
(12)
k = konst., k > 0 , x . . . v´ ychylka S´ıla Fe je u ´mˇ ern´ a v´ ychylce x, ale m´ıˇ r´ı proti n´ı. k ⇒ m¨ x = −kx ⇒ x ¨+ m x=0 q k = ω02 , tedy ω0 = m ; ω0 . . . vlastn´ı u ´hlov´a frekvence oscil´atoru
2. Newton˚ uv z´ akon + (12) oznaˇcen´ı:
k m
x ¨ + ω02 x = 0 ˇ sen´ı: Reˇ • (13) je line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice, ˇreˇsen´ı hled´ame ve tvaru x(t) = eαt , α = konst. • dosazen´ım x(t) do (13) z´ısk´ ame charakteristickou rovnici: α2 + ω02 = 0 ⇒ α = ±iω0 • 2 line´arnˇe nez´ avisl´ a ˇreˇsen´ı: x1 (t) = eiω0 t , x2 (t) = e−iω0 t • obecn´e ˇreˇsen´ı je jejich line´ arn´ı kombinac´ı: x(t) = A1 x1 (t) + A2 x2 (t) ; A1 , A2 = konst. eiω0 t = cos (ω0 t) + i sin (ω0 t)
11
x(t) = A1 eiω0 t + A2 e−iω0 t
(13)
2. Line´arn´ı harmonick´ y oscil´ator; v´azan´e oscil´atory • ˇreˇsen´ı lze zapsat ve tvaru pomoc´ı funkc´ı sin, cos: x(t) = (A1 + A2 ) cos (ω0 t) + (A1 − A2 )i sin (ω0 t) x(t) = B1 cos (ω0 t) + B2 sin (ω0 t) B1 , B2 = konst. nebo tak´e: x(t) = A cos (ω0 t + ϕ0 ) cos (ω0 t + ϕ0 ) = cos (ω0 t) cos ϕ0 − sin (ω0 t) sin ϕ0
A . . . amplituda (= maxim´ aln´ı v´ ychylka) ϕ0 . . . poˇc´ ateˇcn´ı f´ aze
12
obsah
2. Line´arn´ı harmonick´ y oscil´ator; v´azan´e oscil´atory
obsah
2.2 Tlumen´y = oscil´ator, na kter´ y p˚ usob´ı odporov´ a s´ıla ⇒ celkov´a mechanick´a energie i amplituda v´ ychylky tlumen´ ych kmit˚ u se s ˇcasem sniˇzuje Pohybova´ rovnice: - nejjednoduˇsˇs´ı pˇr´ıpad:
na oscil´ ator p˚ usob´ı s´ıla Fex = −kx (12) a odporov´a s´ıla Fox = −bv = −bx˙
(14)
b = konst., b > 0 S´ıla Fo je u ´mˇ ern´ a velikosti rychlosti v, jej´ı smˇ er je opaˇ cn´ y.
2. Newton˚ uv z´ akon + (12) + (14) oznaˇcen´ı:
k m
= ω02 ;
b m
⇒
m¨ x = −kx − bx˙
⇒
x ¨+
b ˙ mx
+
k mx
=0
= 2δ ; δ . . . souˇcinitel tlumen´ı x ¨ + 2δ x˙ + ω02 x = 0
(15)
ˇ sen´ı: Reˇ • (15) je line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice, ˇreˇsen´ı hled´ame ve tvaru x(t) = eαt , α = konst. • dosazen´ım x(t) do (15) z´ısk´ ame charakterickou rovnici: α2 + 2δα + ω02 = 0 1. δ < ω0 : tlumen´y harmonick´y kmit (mal´e tlumen´ı) p ´hlov´a frekvence (ω < ω0 ) α1,2 = −δ ± iω ; ω = ω02 − δ 2 ; ω. . . u – 2 line´ arnˇe nez´ avisl´ a ˇreˇsen´ı: x1 (t) = e−δt+iωt , x2 (t) = e−δt−iωt – obecn´e ˇreˇsen´ı je jejich line´ arn´ı kombinac´ı: −δt+iωt −δt−iωt x(t) = C1 e + C2 e = e−δt (C1 eiωt + C2 e−iωt ) x(t) = Ae−δt cos (ωt + ϕ0 ) C1 , C2 , A, ϕ0 = konst. (urˇceny poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami) x
0
t
Amplituda v´ ychylky se exponenci´ alnˇ e zmenˇsuje. Oscil´ ator projde nekoneˇ cnˇ ekr´ at rovnov´ aˇznou polohou.
13
2. Line´arn´ı harmonick´ y oscil´ator; v´azan´e oscil´atory 2. δ = ω0 : mezn´ı aperiodick´y pohyb α1,2 = −δ – 2 line´ arnˇe nez´ avisl´ a ˇreˇsen´ı: x1 (t) = e−δt , x2 (t) = te−δt – obecn´e ˇreˇsen´ı je jejich line´ arn´ı kombinac´ı: x(t) = (A + Bt)e−δt A, B = konst. (urˇceny poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami) A . Oscil´ ator projde rovnov´ aˇznou polohou pro t = − B
x
0
t
3. δ > ω0 : aperiodick´y pohyb(velk´e tlumen´ı) p α1,2 = −δ ± δ 2 − ω02 – 2 line´ arnˇe nez´ avisl´ a ˇreˇsen´ı: x1 (t) = eα1 t , x2 (t) = eα2 t – obecn´e ˇreˇsen´ı je jejich line´ arn´ı kombinac´ı: x(t) = C1 eα1 t + C2 eα2 t C1 , C2 = konst. (urˇceny poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami) x
t
0
14
obsah
2. Line´arn´ı harmonick´ y oscil´ator; v´azan´e oscil´atory
obsah
2.3 Buzen´y = oscil´ator na kter´ y vedle s´ıly elastick´e a odporov´e p˚ usob´ı ˇcasovˇe promˇenn´a vnˇejˇs´ı s´ıla tzv.bud´ıc´ı s´ıla Pohybova´ rovnice: - na oscil´ator p˚ usob´ı: Fex = −kx (12) ; Fox = −bv (14) a harmonicky promˇenn´a bud´ıc´ı s´ıla Fbx = F0 cos Ωt
(16)
Ω ...u ´hlov´a frekvence bud´ıc´ı s´ıly 2. Newton˚ uv z´ akon + (12) + (14) + (16) ⇒ oznaˇcen´ı:
k m
= ω02 ;
b m
= 2δ ;
F0 m
m¨ x = −kx − bx˙ + F0 cos Ωt
=S
x ¨ + 2δ x˙ + ω02 x = S cos Ωt
(17)
ˇ sen´ı: Reˇ • rovnici (17) ˇreˇs´ıme komplexn´ı symbolikou ⇒ harmonick´ y kmit S cos Ωt nahrad´ıme SeiΩt ⇒ ˇreˇs´ıme rovnici x ¨ + 2δ x˙ + ω02 x = SeiΩt
(18)
• (18) je line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice, ˇreˇsen´ı hled´ame ve tvaru iΩt x(t) = C1 eα1 t + C2 eα2 t + Ae ; C1 , C2 , α1,2 = konst. | {z } | {z } viz rovnice (13)
xp
xp . . . partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı • xp zderivujeme a dosad´ıme do rovnice (18), uprav´ıme a z´ısk´ame vztah pro amplitudu v´ ychylky A =
S ω02 −Ω2 +2δΩi
• v ust´ alen´em stavu lze zanedbat vliv v´ yrazu C1 eα1 t + C2 eα2 t (s ˇcasem jde k nule) ⇒ ˇreˇsen´ı rovnice (18) je x(t) = xp (t) – velikost amplitudy: | A |=
|S| |ω02 −Ω2 +2δΩi|
=√
|S| (ω02 −Ω2 )2 +4δ 2 Ω2
– z rovnice pro amplitudu v´ ychylky | A |: Ω → ω0 ∧ δ . . . mal´e ⇒| A |. . . velk´e Jev, kdy pˇ ri kmit´ an´ı mal´ a bud´ıc´ı veliˇ cina zp˚ usob´ı velkou odezvu jin´ e veliˇ ciny se naz´ yv´ a rezonance. (zde rezonance v´ ychylky zp˚ usoben´ a bud´ıc´ı s´ılou)
15
2. Line´arn´ı harmonick´ y oscil´ator; v´azan´e oscil´atory – maximum amplitudy:
d|A| dΩ
= 0 ⇒ Ωr =
obsah
p ω02 − 2δ 2
Ωr . . . rezonanˇcn´ı frekvence
Rezonanˇcn´ı kˇrivky pro dvˇe r˚ uzn´ a tlumen´ı: |
A S
| δ1
δ1 < δ2
δ2 0
Ωr
Ω
• A =| A | eiϕ ⇒ xp (t) =| A | ei(Ωt+ϕ) ; Re(xp (t)) =| A | cos (Ωt + ϕ) chceme urˇcit ϕ ( = f´ azov´e posunut´ı v´ ychylky vzhledem k bud´ıc´ı s´ıle): – uprav´ıme: A =
S ω02 −Ω2 +2δΩi
⇒ ω02 − Ω2 + 2δΩi =
S A
=
S |A|eiϕ
=
S −iϕ |A| e
=
S |A| (cos ϕ
− i sin ϕ)
– z pomˇeru re´ aln´e a imagin´ arn´ı sloˇzky z pˇredchoz´ıho ˇr´adku ⇒ tan ϕ = − ω2σΩ 2 −Ω2 0
. Ω → 0 ⇒ ϕ = 0 (kmity ve f´ azi ) . Ω → ∞ ⇒ ϕ = −π (kmity v protif´ azi ) π Ω = ω0 ⇒ ϕ = − 2
16
2. Line´arn´ı harmonick´ y oscil´ator; v´azan´e oscil´atory
obsah
´ ´ 2.4 Vazan e´ oscilatory = oscil´atory, jejichˇz kmity jsou navz´ ajem z´avisl´e, protoˇze mezi nimi p˚ usob´ı pruˇzn´e (elastick´e) vazby tj. s´ıly z´ avisej´ıc´ı na vz´ ajemn´ ych poloh´ach oscil´ator˚ u Pohybove´ rovnice:
- pohybov´e rovnice oscil´ ator˚ u (bez pruˇzn´e vazby): m¨ x1,2 = −kx1,2 (12) - mezi oscil´atory p˚ usob´ı pruˇzn´ a vazba: usob´ı na 1 Fv = ±kv (x2 − x1 ) Fv1 . . . oscil´ator 2 p˚ usob´ı na 2 Fv2 . . . oscil´ator 1 p˚ x1 , x2 . . . v´ ychylky z rovnov´aˇzn´ ych poloh oscil´ator˚ u kv = konst., kv > 0 - v´ ysledn´e pohybov´e rovnice oscil´ ator˚ u: m¨ x1 = −kx1 + kv (x2 − x1 )
(19)
m¨ x2 = −kx2 − kv (x2 − x1 )
(20)
ˇ sen´ı: Reˇ • (19) a (20) tvoˇr´ı soustavu dvou diferenci´aln´ıch rovnic pro nezn´am´e x1 (t), x2 (t) • rovnice seˇcteme a oznaˇc´ıme
x = x1 + x2
⇒ x ¨+
k mx
=0,
k m
= ω02
x = x0 cos(ω0 t + ϕ0 ) • rovnice odeˇcteme a oznaˇc´ıme
ξ = x2 − x1
v ⇒ ξ¨ + ( k+2k m )ξ = 0 ,
k+2kv m
= ω2
ξ = ξ0 cos(ωt + ϕ) • x1 (t) = 12 x − 12 ξ ⇒ x1 (t) = 12 (x0 cos(ω0 t + ϕ0 ) − ξ0 cos(ωt + ϕ)) x2 (t) = 12 x + 12 ξ ⇒ x2 (t) = 12 (x0 cos(ω0 t + ϕ0 ) + ξ0 cos(ωt + ϕ)) Speci´ aln´ı pˇr´ıpad - r´ azy: Je-li vazba slab´ a tj. kv k jsou frekvence ω0 a ω bl´ızk´e ⇒ periodick´e zesilov´an´ı a zeslabov´an´ı v´ ysledk´ ych kmit˚ u viz graf n´ıˇze x
t
0
17
3.Probl´em dvou tˇeles
obsah
´ dvou teles ˇ 3. Problem = urˇcen´ı pohyb˚ u dvou hmotn´ ych bod˚ u, kter´e na sebe vz´ajemnˇe p˚ usob´ı centr´aln´ı silou Pohybove´ rovnice: - hmotn´e body m1 , m2 , kter´e se nach´ azej´ı v poloze ~r1 , ~r2 , na sebe p˚ usob´ı silou (viz obr´azek) F~12 . . . s´ıla, kterou p˚ usob´ı 2. bod na 1. F~21 . . . s´ıla, kterou p˚ usob´ı 1. bod na 2. e e ~ ~ usob´ıc´ı s´ıly F1 , F2 . . . vnˇejˇs´ı p˚
z 2. Newtonova z´ akona z´ısk´ ame pohybov´e rovnice: m1~r¨1 = F~1e + F~12 m2~r¨2 = F~2e + F~21
(21) (22)
ˇ sen´ı: Reˇ • (21) + (22) ⇒ m1~r¨1 + m2~r¨2 = F~1e + F~2e • poloha hmotn´eho stˇredu soustavy hmotn´ ych bod˚ u: ~rs =
m1 ~ r1 +m2 ~ r2 m1 +m2
e e = F~1e + F~2e ) ; (F~celk. • spojen´ım tˇechto rovnic z´ısk´ ame (m1 + m2 )~r¨s = F~celk. Rovnice popisuje pohyb hmotn´ eho stˇ redu soustavy.
• pro izolovanou soustavu: F~1e = 0 ; F~2e = 0, tedy z rovnic (21) a (22) ⇒ ~r¨1 = − m11 F~21 ~r¨2 = 1 F~21 m2
• odeˇcten´ım upraven´ ych rovnic z´ısk´ame ~r¨2 − ~r¨1 =
( m11
+
1 ~ m2 )(F21 )
• oznaˇcen´ı: ~r = r~2 − r~1 ⇒ ~¨r = ( m11 + 1 µ
=
1 m1
+
1 m2
⇒µ=
1 ~ m2 )F21 m1 m2 ; m1 +m2
µ . . . redukovan´ a hmotnost
⇓ µ~¨r = F~21 T´ım jsme probl´em dvou tˇeles pˇrevedli na probl´em jednoho tˇelesa v poli centr´aln´ı s´ıly.
18
4. Pohyb v poli centr´aln´ı s´ıly
obsah
´ ı s´ıly 4. Pohyb v poli centraln´ - pro pohyb hmotn´eho bodu plat´ı, ˇze moment hybnosti bodu vzhledem ke stˇredu centr´ aln´ı ~ = ~r × p~ = konst.) ⇒ plat´ı z´ s´ıly se nemˇen´ı (L akon zachov´ an´ı momentu hybnosti ⇒ pohyb prob´ıh´a v rovinˇe, v n´ıˇz leˇz´ı vektory ~r, p~ - plat´ı z´ akon zachov´ an´ı energie (T + V = Ecelk. )
4.1 Keplerova uloha ´ - jak se pohybuje hmotn´ y bod o hmotnosti m (planeta) v gravitaˇcn´ım silov´em poli hmotn´eho bodu o hmotnosti M (Slunce) - v inerci´aln´ım syst´emu, v nˇemˇz u ´lohu ˇreˇs´ıme, je M v klidu r =| ~r |. . . vzd´alenost od stˇredu centr´aln´ı s´ıly (tj. poˇc´atek souˇradnic) ~ r F~ (~r) = − dV dr r
ˇ sen´ı: Reˇ • potenci´ aln´ı energie: V = − κMr m • kinetick´ a energie: T = 12 mv 2
~v = v~r + v~ϕ vr = r˙ . . . rychlost vzdalov´an´ı od centra vϕ = rϕ˙ . . . rychlost ve smˇeru kolm´em na spojnici k centru
• moment hybnosti: ~ = ~r × p~ = m~r × ~v L
∧
~r × ~v = ~r × v~r + ~r × v~ϕ | {z } | {z } =0
~ |= mr2 ϕ˙ |L
⇒
ϕ˙ =
⇒
| ~r × ~v |= rvϕ = r2 ϕ˙
~ r⊥v~ϕ
L mr2
• dosad´ıme do vztahu T + V = Ecelk. a postupn´ ymi u ´pravami dostaneme: 1 2 2 m(r˙
+ r2 ϕ˙ 2 ) −
κM m r
=E
19
4. Pohyb v poli centr´aln´ı s´ıly
obsah 1 2 κM m L2 − mr˙ + ( )=E 2 2 | 2mr {z r } Vef (r)
ˇ sen´ı Keplerovy u (ˇreˇsen´ı viz 5.1 Reˇ ´lohy) Vef (r) . . . efektivn´ı potenci´ al - z´ avis´ı na L 1 2 2 mr˙
+ Vef (r) = E
1 2 2 mr˙
= E − Vef (r)
;
1 2 2 mr˙
≥0
⇒
E ≥ Vef (r)
Vef
rmin
rmax
0
r
E
Ek
V´ ysledn´a trajektorie: Ek . . . energie kruhov´eho pohybu E = Ek . . . kruˇznice E < 0 . . . elipsa E > 0 . . . hyperbola E = 0 . . . parabola
20
(23)
4. Pohyb v poli centr´aln´ı s´ıly
obsah
4.2 Kosmicke´ rychlosti Kruhova´ rychlost = rychlost tˇelesa, jehoˇz trajektori´ı je kruˇznice se stˇredem v gravitaˇcn´ım stˇredu Zemˇe (touto rychlost´ı se pohybuj´ı umˇel´e druˇzice Zemˇe na kruhov´ ych orbit´ach) - velikost kruhov´e rychlosti (odvozen´ı viz 5.4 Kruhov´ a rychlost): r κMZ vk = R
(24)
. MZ . . . hmotnost Zemˇe (MZ = 5, 97 · 1024 kg) . RZ . . . polomˇer Zemˇe (RZ = 6, 38 · 106 m) . κ . . . gravitaˇcn´ı konstanta (κ = 6, 67 · 10−11 m3 kg−1 s−2 )
Prvn´ı kosmicka´ rychlost: - kruhov´a rychlost pˇri R = RZ . - dosad´ıme MZ , RZ , κ do (24) ⇒ vI = 7, 9 km s−1
Druha´ kosmicka´ rychlost (= parabolicka´ rychlost = unikov ´ a´ rychlost): = rychlost, kterou mus´ı tˇeleso z´ıskat, aby jeho trajektori´ı byla parabola = minim´aln´ı rychlost potˇrebn´ a k tomu, aby uniklo z dosahu gravitaˇcn´ıho pole Zemˇe √ tˇeleso . - velikost druh´e kosmick´e rychlosti: vII = 2vI = 11, 2 km s−1 (odvozen´ı viz 5.5 Druh´ a kosmick´ a rychlost)
21
4. Pohyb v poli centr´aln´ı s´ıly
obsah
´ 4.3 Keplerovy zakony ´ 1. Kepleruv ˚ zakon Planety ob´ıhaj´ı kolem Slunce po elips´ ach, v jejichˇz jednom ohnisku leˇz´ı Slunce.
´ 2. Kepleruv ˚ zakon
Pr˚ uvodiˇc spojuj´ıc´ı Slunce s planetou opisuje stejn´e plochy za stejn´e ˇcasov´e intervaly.
∆S 1 L = | ~r × ~v |= ∆t 2 2m ∆S sn´ a ∆t . . . ploˇ
(25)
rychlost
- nejkratˇs´ı pr˚ uvodiˇc m´ a planeta v periheliu (pˇr´ıslun´ı) - nejdelˇs´ı pr˚ uvodiˇc m´ a planeta v af´eliu (odslun´ı) vP > v > vA ⇒ Pohyb planety je nerovnomˇern´ y. ´ 3. Kepleruv ˚ zakon Pomˇer druh´ ych mocnin obˇeˇzn´ ych dob dvou planet je roven pomˇeru tˇret´ıch mocnin velk´ ych poloos jejich trajektori´ı.
T1 T2
2
=
T1 , T2 . . . obˇeˇzn´e doby planet a1 , a2 . . . hlavn´ı poloosy trajektori´ı planet (odvozen´ı viz 5.3 Tˇret´ı Kepler˚ uv z´akon)
22
a1 a2
3 (26)
5. Matematick´a odvozen´ı
obsah
5. Matematicka´ odvozen´ı ˇ sen´ı Keplerovy ulohy 5.1 Reˇ ´ Pˇri ˇreˇsen´ı nav´aˇzeme na rovnici (23). •
2
L κM m + ( 2mr )=E ⇒ 2 − r q 2 r˙ = dr = ± 2E + 2κM − mL2 r2 dt m r 1 mr˙ 2 2
r˙ 2 =
2E m
+
2κM r
−
L2 m2 r 2
+ . . . vzdalov´an´ı od Slunce − . . . pˇribliˇzov´an´ı ke Slunci Hled´ame: r = r(ϕ)
•
dr dϕ
=
dr dt dt dϕ
=
dr dt dϕ dt
q
=
2E + 2κM m r L mr 2
−
q
L2 m2 r 2
dr dϕ
⇒
=
2E + 2κM m r L mr 2
−
L2 m2 r 2
• separace promˇenn´ ych: L R R dr mr 2 q = dϕ 2E 2κM L2 m
+
r
−
m2 r 2
• zvl´aˇst’ uprav´ıme pravou (PS) a levou (LS) stranu z´ıskan´e rovnice: LS: substituce: ξ(r) = R q
L dr mr 2 2 2E 2κM + r − L2 2 m m r
=−
R
√ 2E m
=−
R
L dξ = − mr 2 dr
⇒ R
√ 2E
dξ
m + 2κM ξ−ξ 2 m L
dξ m 2 m 2 −(ξ− κM ) +( κM ) L L
substituce: τ (ξ) = −
L mr
=−
R q
m ξ− κM L
q
2 ξ− κM m L 2E + κ2 M 2 m2 m L2
R
√ 2E m
dξ m m 2 m 2 −(ξ 2 −2ξ κM +( κM ) )+( κM ) L L L
v dξ u u u 2E κ2 M 2 m 2 u + t1− r 2 m L
⇒
2 2 2 2E + κ M2 m m L
v dξ u u q u 2E κ2 M 2 m 2 u + t1− r m L2
=−
=−
23
dτ = R
dτ dξ dξ
√ dτ 1−τ 2
=
2 ξ− κM m L 2E + κ2 M 2 m2 m L2
dξ q
2 2 2 2E + κ M2 m m L
= arccos τ
=
5. Matematick´a odvozen´ı PS: R dϕ = ϕ + c
,
obsah
c. . . konstanta
• tedy ϕ + c = arccos τ ⇒ cos (ϕ + c) = τ ξ− κM m
c. . . ot´aˇc´ı soustavu souˇradnic, zvol´ıme c = 0 ⇒ cos ϕ = τ = q 2E κ2LM 2 m2 + m L2 q 2E κ2 M 2 m2 κM m + L2 cos ϕ = ξ − L qm 2 2 2 2E L + κ ML2 m cos ϕ = mr − κMLm . . . rovnici vyn´asob´ıme κMLm m q 2 2EL2 + 1 cos ϕ = κMLm2 1r − 1 κ2 M 2 m3 q 2 2 1 + κ22EL + 1 cos ϕ = κMLm2 1r M 2 m3 oznaˇcen´ı: ε = p=
q
2EL2 κ2 M 2 m3 L2 κM m2
+1
• postupn´ ymi u ´pravami jsme z´ıskali rovnici 1 + ε cos ϕ = r=
p r
⇒
p 1 + ε cos ϕ
(27)
Jde o rovnici kuˇzeloseˇcky v pol´arn´ım tvaru. Pˇresvˇedˇc´ıme se o tom v n´asleduj´ıc´ı kapitole.
5.2 Rovnice kuˇzeloseˇcky • rovnici (27) uprav´ıme na tvar r(1 + ε cos ϕ) = p ⇒ r + εr cos ϕ = p • z obr´azku n´ıˇze plyne x = r cos ϕ ⇒ r = p − εx . . . rovnici umocn´ıme a dosad´ıme r 2 = x2 + y 2 ⇒ (1 − ε2 )x2 + 2pεx + y 2 = p2
24
5. Matematick´a odvozen´ı
obsah
1. pro ε = 1 (rovnice paraboly): 2px = p2 − y 2 ⇒x=
p 2
−
1 2 y 2p
2. pro ε < 1 (rovnice elipsy): 2 2
2 2
2
p ε p ε p 2 2 (1 − ε2 )x2 + 2pεx + 1−ε 2 + y = p + 1−ε2 = 1−ε2 √ pε p2 2 2 (rovnici vyn´asob´ıme (x 1 − ε2 + √1−ε 2 ) + y = 1−ε2 pε )2 1−ε2 p2 (1−ε2 )2
(x+
+
y2
1−ε2 ) p2
=1
p2 1−ε2
p oznaˇcen´ı: a = 1−ε 2 p b = √1−ε 2 pε x0 = − 1−ε 2 = −aε
⇒
(x−x0 )2 a2
y2 b2
+
=1
3. pro ε > 1 (rovnice hyperboly): (ε2 − 1)x2 − 2pεx − y 2 = −p2 √ p2 2 2 (x ε2 − 1 − √εpε 2 −1 ) − y = ε2 −1 pε )2 ε2 −1 p2 (ε2 −1)2
(x−
−
y2 p2 ε2 −1
oznaˇcen´ı: a = b= x0 = ⇒
(x−x0 )2 a2
−
y2 b2
(rovnici vyn´asob´ıme
=1
p ε2 −1 √ p ε2 −1 pε = ε2 −1
aε
=1
4. pro ε = 0 (rovnice kruˇznice): x2 + y 2 = p 2 ⇒
x2 p2
+
y2 p2
=1
25
ε2 −1 ) p2
5. Matematick´a odvozen´ı
obsah
´ 5.3 Tˇret´ı Kepleruv ˚ zakon Vyjdeme z 2. Keplerova z´akona: T . . . doba obˇehu (perioda) Se = πab . . . plocha elipsy ∆S ∆t
. . . ploˇsn´a rychlost ( ∆S = konst.) ∆t • Se =
∆S T ∆t
=
L T 2m
⇒
T =
πab L 2m
• do rovnice pro periodu T dosad´ıme a = p=
L2 κM m2
;
b=
√ p 1−ε2
=
√ √ a p ;
(viz odvozen´ı 5.2 Rovnice kuˇzeloseˇcky) 3
⇒T =
p 1−ε2
2πa 2 √ κM
⇒
T2 a3
=
4π 2 κM
= konst.
Pokud hmotnost m1 ob´ıhaj´ıc´ıho tˇ elesa nen´ı zanedbateln´ a v˚ uˇ ci hmotnosti m2 centr´ aln´ıho tˇ elesa, je tˇ reba dosadit za M = m1 + m2 . (viz kapitola 3. Probl´ em dvou tˇ eles)
26
5. Matematick´a odvozen´ı
obsah
5.4 Kruhova´ rychlost • na tˇeleso o hmotnosti m, pohybuj´ıc´ı se kolem Zemˇe MZ ve vzd´alenosti R Z od stˇredu Zemˇe, p˚ usob´ı gravitaˇcn´ı s´ıla Fg = κ mM R2 • gravitaˇcn´ı s´ıla p˚ usob´ıc´ı do stˇredu Zemˇe je dostˇredivou silou Fd = 2 (pro rovnomˇern´ y pohyb po kruˇznici: Fd = mvr )
Z = • Fg = Fd ⇒ κ mM R2
mvk2 R
⇒ vk =
q
mvk2 R
κMZ R
• prvn´ı kosmick´a rychlost: q √ . Z = R = RZ ⇒ vI = κM gRZ = 7, 9 km s−1 RZ
5.5 Druha´ kosmicka´ rychlost • v centr´aln´ım gravitaˇcn´ım poli:
1 mv 2 2
Z − κ mM =E R
• parabolick´a dr´aha nebo hod svisle uru, aby tˇeleso nespadlo zpˇet: E = 0 q vzh˚ mMZ 2κMZ 1 2 ⇒ 2 mv − κ R = 0 ⇒ v = R R = RZ ⇒ vII =
q
2κMZ RZ
=
√ . 2gRZ = 11,2 km s−1
27
