Název a adresa školy: Název operačního programu: Registrační číslo projektu: Název projektu Typ šablony klíčové aktivity: Název sady vzdělávacích materiálů: Popis sady vzdělávacích materiálů: Sada číslo: Pořadové číslo vzdělávacího materiálu: Označení vzdělávacího materiálu: (pro záznam v třídní knize) Název vzdělávacího materiálu: Zhotoveno ve školním roce: Jméno zhotovitele:
Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 746 01 OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory 1.5 CZ.1.07/1.5.00/34.0129 SŠPU Opava – učebna IT III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (20 vzdělávacích materiálů) MEC IIIa Mechanika III – dynamika a hydrostatika, 3. ročník. G–20 13 VY_32_INOVACE_G–20–13
Pohyb hmotného bodu po kružnici 2011/2012 Ing. Karel Procházka
Pohyb hmotného bodu po kružnici ve vodorovné rovině Za předpokladu, že hmotný bod je upevněn na hmotném vlákně a pohybuje se rovnoměrnou rychlostí v = konst, pohybuje se hmotný bod se stálým dostředivým zrychlením.
v2 an = R ⋅ ω = R 2
Síla způsobující dostředivé (normálné) zrychlení se nazývá dostředivou silou. Projevuje se napětím vlákna nebo reakcí podpory. Podle d´Alembertova principu musí být tato síla v rovnováze se silou setrvačnou, kterou nazýváme odstředivou silou Fc .
v2 Fc = m ∙ an = m ∙ R ∙ ω = m ∙ R 2
Odstředivá a dostředivá síla nekonající práci, protože jsou kolmé k dráze.
1/6
Př.: Těleso o hmotnosti m = 8 kg rotuje na pevném, nehmotném vlákně po kružnici o poloměru −1 r = 0,5 m s počtem otáček 0,83 s . Určete: odstředivou sílu Fc a jaké napětí vznikne ve vlákně
o průměru 2 mm? ω= 2.π.n
Fc = m ⋅ an = m ⋅ r ⋅ ω 2 = 8 ⋅ 0,5 ⋅ (2 ⋅ π ⋅ n ) = 8 ⋅ 0,5 ⋅ 2 2 ⋅ π 2 ⋅ 0,83 2 = 108 ,8 N 2
σt =
Fc 108,8 108,8 ⋅ 4 = = = 34627890,9 Pa = 34,6 MPa 2 π ⋅ 0,0022 S π ⋅d 4
Př.: Letadlo letí rychlostí v = 720 km h (200 m/s) do oblouku o r = 400 m. Jaká odstředivá síla působí na pilota o hmotnosti m = 70 kg?
Fc = m ⋅
v2 200 2 = 70 ⋅ = 7000 N r 400
Jakou největší rychlostí může letadlo vletět do tohoto oblouku, jestliže letec snese zrychlení 10 g?
an =
v2 r
v = an ⋅ r = 10 ⋅ g ⋅ 400 = 198 m s
Př.: Cyklista projíždí obloukem o poloměru r = 7 m rychlostí v = 6 m s . Pod jakým úhlem se musí sklonit od svislého směru, nemá–li být odstředivou silou vytažen z dráhy?
v2 m⋅ 2 2 F r = v = 6 tgα = c = = 0,524 → Fg m ⋅ g r ⋅ g 7 ⋅ 9,81
α = 27,65° = 27°39′
2/6
Pohyb hmotného bodu po kružnici ve svislé rovině Pohybuje–li se hmotný bod po kružnici ve svislé rovině, na těleso kromě dostředivé síly a setrvačné síly navíc působí tíhová síla G. Má–li se hmotný bod pohybovat, pak síla, která napíná nehmotné vlákno, musí být ≥ 0.
FC – G ≥ 0
Fc − m ⋅ g ≥ 0 m⋅
v2 −m⋅g ≥ 0 r
v2 −g≥0 r v2 ≥g r v≥
g ⋅r
v min =
g ⋅r
Př.: Určete minimální obvodovou rychlost v hmotného bodu, který se má pohybovat po kružnici o poloměru r = 0,5 m. Dále určete minimální otáčky.
v≥
g ⋅ r = 9,81 ⋅ 0,5 = 2,21 m s
v = π ⋅ D ⋅ n = 2 ⋅π ⋅ r ⋅ n → n =
v 2 ⋅π ⋅ r
=
2,21 = 0,7 ot s 2 ⋅ π ⋅ 0,5
3/6
Odstředivá síla tělesa Odstředivá síla rotující tyče Těžiště odstředivých sil = těžiště trojúhelníku =
2 výšky. 3
Za předpokladu, že tyč rozdělíme na stejně velké hmotné body ∆ m , je velikost odstředivé síly působící na hmotný bod dána vztahem Fci = ∆mi ⋅ ri ⋅ ω 2 . Odstředivá síla působící na celé těleso:
Fc = ∑ Fci = ∑ ∆ mi ⋅ ri ⋅ ω 2 = ω 2 ∑ ∆ mi ⋅ ri =m ⋅ rT ⋅ ω 2
4/6
Př.: Ocelová tyč délky l = 1 m, průměru 20 mm, má 1 koncový bod na ose rotace. Osa souměrnosti svírá s osou rotace úhel α = 20 ° . Určete velikost odstředivé síly, působící na danou tyč.
ρ = 7850kg m3 , n = 10 ot s .
sin α =
rT l → rT = ⋅ sin α = 0,5 ⋅ sin 20° = 0,171 m l 2 2
ω = 2 ⋅ π ⋅ n = 2 ⋅ π ⋅ 10 = 62,83 rad s m =V ⋅ρ =
π ⋅d2 4
⋅l ⋅ ρ =
π ⋅ 0,02 2 4
⋅ 1 ⋅ 7850 = 2,47 kg
Fc = m ⋅ rT ⋅ ω 2 = 2,47 ⋅ 0,171 ⋅ 62,83 2 = 1667 N
Odstředivá síla tělesa s osou rovnoběžnou s osou otáčení ∆Fci = ∆mi ⋅ e ⋅ ω 2 Odstředivé síly, které působí na jednotlivé elementy hmoty, tvoří soustavu rovnoběžných sil. Výslednice této soustavy je výsledná odstředivá síla působící na celé těleso.
Fc = ∑ ∆Fci = ∑ ∆mi ⋅ e ⋅ ω 2 = = e ⋅ ω 2 ⋅ ∑ ∆mi = m ⋅ e ⋅ ω 2 m – celková hmotnost tělesa; e – vzdálenost os; ω – úhlová rychlost.
5/6
Př.: Jaká nevyvážená odstředivá síla vznikne u oběžného kola parní turbíny o hmotnosti m = 60 kg, jeli počet otáček n = 50 ot s . Těžiště oběžného kola je ve vzdálenosti 1 mm od osy otáčení.
Fc = m ⋅ e ⋅ ω 2
ω = 2 ⋅ π ⋅ n = 2 ⋅ π ⋅ 50 = 314 rad s Fc = m ⋅ e ⋅ ω 2 = 60 ⋅ 0,001 ⋅ 314 2 = 5916 N
Seznam použité literatury: •
MRŇÁK L. – DRDLA A.: MECHANIKA – Pružnost a pevnost pro střední průmyslové školy strojnické. Praha: SNTL, 1977.
•
JULINA M., KOVÁŘ J., VENCLÍK V., MECHANIKA II – Kinematika pro střední průmyslové školy strojnické, Praha: SNTL, 1977.
•
JULINA M., KOVÁŘ J., VENCLÍK V., MECHANIKA III – Dynamika pro střední průmyslové školy strojnické, Praha: SNTL, 1977.
•
JULINA M., KOVÁŘ J., VENCLÍK V., MECHANIKA IV – Mechanika tekutin a termomechanika pro střední průmyslové školy strojnické, Praha: SNTL, 1977.
•
TUREK, I., SKALA, O., HALUŠKA J.: MECHANIKA – Sbírka úloh. Praha: SNTL, 1982.
•
LEINVEBER, J. – VÁVRA, P.: Strojnické tabulky. 5. doplněné vydání. Praha: Albra, 2011. ISBN 807361-033-7.
6/6
