1.3.13
Pohyb po kružnici - shrnutí
Předpoklady: 010312 Pomocí dvou vět U kruhového pohybu je výhodnější měřit úhel (který je pro všechny body stejný) než dráhu (která se pro body s různou vzdáleností od osy liší). Ke každé veličině i vzorci pro přímočarý pohyb tak získáme analogickou kruhovou veličinu. Důležité znalosti Kompletní přehled analogie normálních a úhlových veličin u kruhového pohybu normální veličiny pojítko úhlové veličiny s =ϕ r dráha s [ m ] úhel ϕ [ rad ] rychlost v [ m/s ]
∆ϕ ∆t úhlové zrychlení rad/s 2 at = ε r ∆v ∆ω at = ε= ∆t ∆t úhlové veličiny související s opakováním (bez analogií u přímočarého pohybu) 2π perioda T [s ] ⇒ ω = T 1 frekvence f = [ Hz ] T ⇒ ω = 2π f rovnoměrný pohyb rovnoměrný pohyb po kružnici v = konstanta ω = konstanta s = s0 + vt ϕ = ϕ 0 + ωt rovnoměrně zrychlený pohyb rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici a = konstanta ε = konstanta v = v0 + at ω = ω0 + ε t 1 1 s = s0 + v0t + at 2 ϕ = ϕ0 + ω0t + ε t 2 2 2 Při rovnoměrném pohybu po kružnici se mění směr rychlosti ⇒ jde o pohyb s normálovým zrychlením ⇒ na předmět musí působit výsledná síla (zvaná podle v2 směru působení dostředivá) o velikosti Fd = m . r
∆s ∆t zrychlení v m/s 2 v=
•
v =ωr
úhlová rychlost [ rad/s ]
ω=
Zádrhele • Dostředivá síla není nový typ síly, pouze role, kterou hrají různé síly (nebo jejich výslednice).
1
Dobré rady • Při rovnoměrném nebo rovnoměrně zrychleném pohybu po kružnici postupujeme stejně jako u odpovídajících přímočarých pohybů (pouze s úhlovými veličinami). • V situacích, kdy působí dostředivá síla, vycházíme z její velikosti (jako výslednice). Př. 1:
Harddisk počítače se otáčí rychlostí 7200 ot/min. Rozhodni bez dopočítávání hodnoty, které z následujících výrazů správně vyjadřují jeho úhlovou rychlost v rad/s. U každého správného výrazu najdi způsob výpočtu úhlové rychlosti, který k němu vedl. 7200 ⋅ 2π 120 ⋅ 2π 2π a) b) c) d) 2π ⋅ 7200 1 60 1 7200 2π e) f) 2π ⋅120 1 120
a)
7200 ⋅ 2π ∆ϕ - správné použití vzorce ω = pro otáčení v průběhu jedné minuty. 60 ∆t
b)
120 ⋅ 2π ∆ϕ - správné použití vzorce ω = pro otáčení v průběhu jedné sekundy. 1 ∆t
2π ∆ϕ 2π - nesprávné použití vzorce ω = pro jednu otáčku (nebo vzorce ω = se 1 ∆t T 7200 špatně určenou periodou). c)
d) 2π ⋅ 7200 - nesprávné použití vzorce ω = 2π f (špatná hodnota frekvence). e)
2π ∆ϕ 2π - správné použití vzorce ω = pro jednu otáčku (nebo vzorce ω = ). 1 ∆t T 120
f) 2π ⋅120 - správné použití vzorce ω = 2π f .
Př. 2:
Urči periodu, frekvenci, úhlovou rychlost pohybu dětského kolotoče, který se za minutu otočil dvanáctkrát. Jakou rychlostí se pohybuje dítě sedící na koníku, který je od osy otáčení vzdálen 2,5 m.
12 otáček 60 Perioda T = s = 5s . 12 12 Frekvence: f = Hz = 0, 2 Hz . 60 ω = 2π ⋅ 0, 2 = 1, 3rad/s v = ω r = 1,3 ⋅ 2,5 m/s = 3,1m/s 60 s
...
2
Kolotoč se pohybuje s periodou 5 s, frekvencí 0,2 Hz a úhlovou rychlostí 1,3 rad/s. Dítě na koníku se pohybuje rychlostí 3,1 m/s.
Př. 3:
Jaroušek se houpá na houpačce. Urči jakou silou působí sedačka na Jarouška v nejnižším místě její dráhy, pokud se Jaroušek pohybuje v tomto bodě rychlostí 5 m/s a váží 25 kg. Délka závěsu houpačky je 3 m, nejvyšší výška, do které Jaroušek během houpání vystoupá je 1,25 m.
m = 25 kg , r = 3m , v = 5 m/s , Fs = ? • N Jarouška působí v nejnižším místě dráhy dvě síly: gravitační Fg kolmo dolů •
síla sedačky Fs kolmo vzhůru.
Jejich výslednice musí směřovat kolmo vzhůru a hrát roli dostředivé síly Fd = Fs − Fg ⇒
v2 v2 52 = m g + = 25 10 + N = 460 N r r 3 Jaroušek působí na sedačku silou 460 N. Fs = Fg + Fd = mg + m
Př. 4:
Soustruh zpomalil své otáčení z 3000 ot/min na 2500 ot/min během dvou sekund. Urči jeho úhlové zrychlení. Kolikrát se při tom otočil?
ω0 = 3000 ot/min = 3000 ⋅ t = 2s , ε = ? , n = ?
2π rad 2π rad = 314 rad/s 2 , ω = 2500 ot/min = 2500 ⋅ = 262 rad/s 2 m, 60s 60s
ω − ω0
262 − 314 rad/s 2 = −26 rad/s 2 t 2 Ze zadaných veličin můžeme spočítat úhel otočení a z něj počet otáček. 1 1 ϕ = ω0t + ε t 2 = 314 ⋅ 2 + ( −26 ) 22 rad = 576 rad 2 2 ϕ 576 n= = = 92 2π 2π Soustruh zpomaloval otáčení s úhlovým zrychlením −26 rad/s 2 . Během zpomalování se otočil 92 krát.
ω = ω0 + ε t ⇒ ε =
Př. 5:
=
Na obrázku je nakreslena závodní dráha se zatáčkou. Dokresli do obrázku ideální dráhu (stopu), po které je možné zatáčku projet nejvyšší rychlostí.
Při průjezdu zatáčkou musí na auto působit dostředivá síla (auto se pohybuje se zrychlením), roli dostředivé síly hraje tření mezi pneumatikami a silnicí. Velikost tření je určena
3
koeficientem a působící tlakovou silou auta na silnici. Při rostoucí rychlosti a zmenšujícím se poloměru zatáčky se potřebná dostředivá síla zvyšuje ⇒ auto musí zpomalit tak, aby tření bylo dostatečně velké.
Auto musí jet tak, aby co nejvíce zvětšilo poloměr zatáčky (tím se zmenší potřebná dostředivá síla a auto může zatáčku projet rychleji).
Dodatek: Tato ideální stopa je dobře viditelná na konci každých závodů F1 nebo Moto GP. Petr vjíždí na kole do zatáčky o poloměru 20 m rychlostí 25 km/h. O jaký úhel se musí naklonit od svislého směru? Jaký musí být koeficient tření mezi kolem a silnicí, aby nespadl?
Př. 6:
r = 20 m , v = 25 km/h = 6, 9m/s , α = ? Petr se musí naklonit tak, aby výslednice gravitační síly a síly kola mohla hrát roli dostředivé síly.
Fk
Fb Fv
Fv Fg
Fg
Z pravoúhlého trojúhelníku vidíme, že platí:
Fv = tgα . Fg
v2 F v2 6,9 2 tgα = d = r = = = 0, 24 ⇒ α = 13°23′ Fg mg gr 10 ⋅ 20 m
Fs
Fv
Fc Ft Silou, která zabraňuje uklouznutí kola je tření mezi pneumatikou a silnicí ⇒ velikost třecí síly se rovná velikosti síly dostředivé. Ft = Fd
4
Nf = mgf = m
v2 r
6,9 v2 f = = = 0, 24 gr 10 ⋅ 20 Petr se musí naklonit směrem do zatáčky o úhel 13°33′ , koeficient tření musí být větší než 0,24. Př. 7:
Železniční vůz přejíždí kruhovým obloukem trati rovnoměrně zrychleně. V bodě M měl rychlost v1 = 10 m/s , v bodě N v2 = 20 m/s . Dráhu s = MN projel za t = 20s . Poloměr křivosti oblouku je r = 200 m . Stanov úhlové rychlosti ω1 , ω 2 a okamžitá dostředivá zrychlení an1 , an 2 v bodech M, N, dále tečné zrychlení at a úhlové zrychlení ε na dráze s, úhel ϕ opsaný za dobu t vlakem i délku oblouku MN. Stanov dále tažnou sílu Ft motoru vozu na dráze s i síly F1 a F2 , kterými působil vlak na kolejnice v bodech M, N ve vodorovném směru, jestliže hmotnost vozu byla m = 10000 kg .
v1 = 10 m/s v2 = 20 m/s t = 20s r = 200 m m = 10000 kg a) Výpočet úhlových rychlostí v 10 1 v 20 1 = rad/s = rad/s v1 = ω1r ⇒ ω1 = 1 = v2 = ω2 r ⇒ ω2 = 2 = r 200 20 r 200 10 b) výpočet dostředivých zrychlení v2 v2 an1 = 1 = 0,5 m/s 2 an 2 = 2 = 2 m/s 2 r r c) výpočet tečného zrychlení Tečné zrychlení je změna obvodové rychlosti. Řešíme jako rovnoměrně zrychlený pohyb. v − v 20 − 10 v2 = v1 + at t ⇒ at = 2 1 = = 0,5 m/s 2 t 20 d) výpočet úhlového zrychlení ω − ω1 ω 2 = ω1 + ε t ⇒ ε = 2 = 0, 0025 rad/s 2 t e) úhel opsaný za dobu t 1 1 1 ϕ = ω1t + ε t 2 = 20 + 0, 0025 ⋅ 20 2 = 1,5 rad 2 20 2 f) délka oblouku MN 1 s = ϕ ⋅ r = 1,5 ⋅ 200 = 300 m (možné použít i s = v1t + at t 2 ) 2 g) tažná síla Působením lokomotivy se zvětšuje velikost rychlosti vlaku ⇒ důsledkem tahu lokomotivy je nenulové tečné zrychlení vlaku ⇒ použijeme 2.NZ: F at = ⇒ F = mat = 10000 ⋅ 0, 5 = 5000 N . m h) síly F1 a F2 působící na kolejnice (jsou reakcí na dostředivou sílu, nutnou k udržení vlaku v zatáčce) F1 = m ⋅ an1 = 10000 ⋅ 0,5 = 5000 N F2 = m ⋅ an 2 = 10000 ⋅ 2 = 20000 N
5
Př. 8:
Během jízdy z kopce se rychlost otáčení kola zvýšila z 1,9 ot/s na 3 ot/s. S jakým zrychlením a jakou dobu Petr kopec sjížděl, jestliže je dlouhý 65 m. Průměr kola je 70 cm.
Máme určit zrychlení, známe dráhu ⇒ jde o rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb. Z rychlosti otáčení můžeme spočítat rychlosti. d = 70 cm ⇒ r = 35 cm = 0,35m ω0 = 1, 9 ot/s = 1,9 ⋅ 2π rad/s = 12 rad/s ⇒ v0 = ω0 ⋅ r = 12 ⋅ 0,35 m/s = 4, 2 m/s ω = 3 ot/s = 3 ⋅ 2π rad/s = 19 rad/s ⇒ v = ω ⋅ r = 19 ⋅ 0, 35 m/s = 6, 6 m/s 1 Rovnice pro rovnoměrně zrychlený pohyb: v = v0 + at , s = v0t + at 2 2 v − v0 Z rovnice pro rychlost vyjádříme čas: v = v0 + at ⇒ =t. a
v − v0 1 v − v0 1 Dosadíme do rovnice pro dráhu: s = v0t + at 2 = v0 + a 2 2 a a v0 v − v02 1 v 2 − 2vv0 + v02 + a a 2 a2 2v v − 2v02 v 2 − 2vv0 + v02 + 2s = 0 a a 2 2 2 sa = v − v0 s=
v 2 − v02 6, 62 − 4, 22 = m/s 2 = 0, 20 m/s 2 2s 2 ⋅ 65 2 s ( v − v0 ) v − v0 v−v 2s 2 ⋅ 65 t= = 2 02 = = = s = 12 s v − v0 ( v − v0 )( v + v0 ) v + v0 6, 6 + 4, 2 a 2s Petr sjížděl kopec 12 sekund se zrychlením 0, 20 m/s 2 . a=
Shrnutí:
6
2
