1 F heeft VII. QUANTUMTHEORIE 143 VII.1. Inleidend overzicht in de beginselen van quantumtheorie: wijsgerige problemen Een samenvatting van The Quantu...
VII.1. Inleidend overzicht in de beginselen van quantumtheorie: wijsgerige problemen Een samenvatting van The Quantum World van J.C. Polkinghorne J.C. Polkinghorne 1 heeft een tegelijk grondige en toegankelijke inleiding tot de quantumtheorie geschreven en Alisdair Rae2 heeft in een kort boek de grote interpretatievoorstellen voor de quantumtheorie bijeengebracht. In het eerste deel van dit hoofdstuk worden de basiswetten en basismodellen van de quantumtheorie voorgesteld en worden de wijsgerige opties waartussen moet worden gekozen ingevoerd. Op het eerste gezicht kan men hoofdstuk VII vergelijken met hoofdstuk IV: juist zoals de thermodynamica van onomkeerbare processen de interpretatiesleutel voor de natuur die dit boek gebruikt volstrekt schijnt tegen te spreken, juist zo lijkt de EPR-paradox (zie verder) het bestaan van een veelheid van subsystemen van het heelal onmogelijk te maken en lijkt het realistisch basisbeginsel dat door dit boek wordt aanvaard, zowel als de causale ontologie, expliciet te worden weerlegd door de quantumtheorie. Dit hoofdstuk is dus niet ‘zomaar’ een commentaar op een ‘ander deel van de fysica’. Wel integendeel: de quantumtheorie is zo duidelijk van wijsgerig belang dat met het begrijpen en interpreteren ervan het gehele plan van de aanpak staat of valt. De verzoening van quantumtheorie en relativiteit, die één van de grote onopgeloste problemen van de hedendaagse natuurkunde is, zal trouwens blijken de empirisch en mathematisch exacte tegenhanger te zijn van een wijsgerige problematiek (hoe een realiteit te denken die verder van ons afligt dan de ruimte-tijd en die haar causale realiteit - op zichzelf volledig onafhankelijk van de waarneming - actualiseert in een causale interactie met experiment en meting). Hoe tegelijk de werkelijkheid invariant te houden ten opzichte van coördinatenstelsels en experimentele interactievormen, en toch de coördinatenstelsels en interactievormen als beslissend begrijpen voor de aspecten van de werkelijkheid die verschijnen? Dit alles klinkt duister maar wordt duidelijk in wat volgt. F
F
F
1. 1.
F
Elementaire inleiding in de quantumfeiten
A. Wanneer we het hebben over straling (radiation) bedoelen we alle elektromagnetische golven. Straling heeft twee belangrijke aspecten: de frequentie (het aantal trillingen per seconde op een plaats in de ruimte) en golflengte (de afstand tussen twee golftoppen). In de QT zal frequentie veel belangrijker blijken. De meeste lichamen nemen een deel van de straling op die op de lichamen valt. Een perfect reflecterend lichaam neemt geen straling op. Het andere uiterste is een zwart lichaam (D’Abro 19393 ). Een ‘zwart lichaam’ absorbeert alle straling die erop valt, en straalt die dan volledig uit. Een ruimte waarvan de wanden ‘zwart’ zijn, zal alle straling erin aanwezig absorberen en opnieuw naar binnen uitstralen. De verdeling van die energie (een golfbeweging) kan onderzocht worden. Ze blijkt onafhankelijk van vorm en materiaal van de ‘holte’ (het gebied), en hangt alleen af (thermodynamisch) van de temperatuur. De berekening van die verdeling (Rayleig en Jeans) levert de ‘ultraviolette catastrofe’ op: de golving met hoge frequenties zijn zo overweldigend talrijk dat ze een oneindige energie opleveren. F
Max Planck, om deze gevolgtrekking te voorkomen, postuleert dat stralende energie slechts in eindige pakketten of quanta kan worden geabsorbeerd en uitgezonden. Deze veronderstelling volstaat om de ultraviolette catastrofe te vermijden. 4 Men weet (zie hoofdstuk III) dat de beginselen van de klassieke mechanica werden afgeleid (gedeeltelijk) van de verwerping van het perpetuum mobile (een eindeloze beweging die de continue schepping van een eindeloze energie veronderstelt). Het is significant dat het discontinu karakter van energie of van energie-overdracht (een radicaal anti-klassiek inzicht) opnieuw volgt als voorwaarde om een oneindige energieschepping te vermijden. De werkelijkheid toont empirisch die oneindige energie niet. Er is echter meer. De werkelijkheid als werkelijkheid kan die niet tonen omdat op één bepaalde plaats in de ruimte-tijd het aanwezig zijn van die hoeveelheid energie overal het bestaan van geordende systemen en causale transacties zou uitschakelen. Als energie continu evolueert, en als alle mogelijke frequenties in een begrensde ruimte aanwezig zijn, volgt uit de klassieke verzamelingenleer dat een hyperaftelbare hoeveelheid frequenties interageren. Dit moet noodzakelijk tot de ‘catastrofe’ leiden. Slechts de discontinuïteitsvoorwaarde en een limiet op het aantal mogelijke niveaus kan ze vermijden. Eindigheid impliceert discontinuïteit. Bovendien zal later blijken a) dat h, de maat van het elementair energiepakket uniek bepaald moet zijn en b) constant. Nergens worden fracties van hv (v = frequentie per seconde; h = constante) gevonden, steeds hv of gehele veelvouden ervan. Terecht stipt Polkinghorne de analogie aan van de Kronecher finitisatie van de wiskunde (die later door het intuïtionisme en ultra-intuïtionisme zal worden geradicaliseerd) met de grondgedachte van Planck: elektromagnetische straling die n keer per seconde oscilleert bestaat uit een geheel aantal energiepakketten (postulaat I) die ieder de grootte hv hebben (postulaat II). De Planck-voorstellen zijn ad hoc (waarom de energie discontinu zou zijn wordt niet verklaard) en ze beperken zich tot de ‘zwarte lichaamsstraling’ (principieel zou energie zich hier continu en elders discontinu kunnen voordoen, zoals een vloeistof). F
B. Na Planck was Einstein de tweede om het discontinu karakter van de energieoverdracht te bewijzen. Ditmaal voor licht. Als licht op een metaal valt, brengt het de elektronen aan de oppervlakte van het metaal in beweging. Als het licht uit golven zou bestaan, zouden de elektronen zoals boeien op een golvende zee bewegen. Of ze zich van het metaal losmaken of niet zou essentieel afhangen van de intensiteit van de beweging (hier: van de straling). Men zou het loskomen niet zien afhangen van de frequenties van de golven. Nu toonden de feiten juist dat beneden een kritische frequentie bij willekeurig grote intensiteit van de straling, geen elektronen loskwamen.5 Dit ‘foto-elektrisch' effect kon door Einstein verklaard worden door het licht als een zwerm fotonen te interpreteren. De atomen worden getroffen door fotonen. De energie waarmee de fotonen individuele elektronen treffen was afhankelijk van de frequentie van het licht en of een elektron werd uitgestoten hing af van de hoeveelheid energie (ook de korrelige kwaliteit van de stof was na Dalton - voor atomen - en na Thomson - voor elektronen - tijdens de 19de eeuw duidelijk geworden). Terwijl een ontologische deductie van het Planck-resultaat in het verschiet ligt (relatie discontinuïteit - eindigheid voor met zichzelf interagerende energieniveaus), is dat niet het geval voor het foto-elektrisch effect. Een wereld waarin de aantallen losgeslagen elektronen niet zouden afhangen van de frequentie van het licht maar integendeel van de intensiteit lijkt a priori F
even mogelijk als de reëel bestaande. Hoogstens zou men zich kunnen afvragen of men uit het elektromagnetisch karakter van het licht, de Planck-hypothese, de Einstein-hypothese kan afleiden? Dit is zeker de weg die Einstein zelf gegaan is. Daarmee ontstond de paradox van het licht dat zeker een discontinue zwerm fotonen moest zijn (foto-elektrisch effect) en dat zeker golf moest zijn (interferentie-effecten die later zullen besproken worden). Dirac (waarvan de Principles of Quantum Mechanics één van de bases vormt voor het tonen van de centraliteit van symmetriebeginselen in de quantummechanica) heeft getoond hoe de toepassing van de quantummechanica op de Maxwellvergelijkingen een model van licht geeft dat de golf- en partikeleffecten zonder probleem verklaart. 6 F
F
C. De spectraallijnen van het licht uitgezonden door waterstof komen overeen met verschillende trillingsfrequenties van het elektromagnetisch veld: Balmer ontdekt in 1885 de naar hem genoemde formule, die door Rydberg herschreven, de frequenties n als volgt geeft: n
= c R ( 1/22 - 1/n2 )
(waar c de lichtsnelheid is, R een constante en n = 3,4... gehele getallen) 7 De formule roept om verklaring. Zolang men een continu atoom postuleert, (met de elektronen in de grote kern) zocht men de verklaring van n in de oscillatie-eigenschappen van de elektronen. Vanaf 1911 bleek het atoom discontinu. Daarmee verdween tegelijk die verklaringskans en bovendien de stabiliteit van het atoom. De rotatie van de elektronen moet ze energie doen verliezen volgens de klassieke natuurkunde (zo dat ze uiteindelijk op de kern neerstorten). Niels Bohr zag dat als de elektronen alle mogelijke banen rond de kern konden innemen, een instorting onvermijdelijk was. Dus stelde hij voor dat elektronen a) slechts cirkelvormige banen konden beschrijven, b) waarvan de hoekmomenten één van de discrete waarden nh heeft (h = h/2 , waar 2 de angulaire afstand meet beschreven in de volledige cyclus van een vibratie). Het is belangrijk te wijzen hoeveel aspecten van deze formule met invariantie en symmetrie te maken hebben. a) oppervlakkig: de banen (in eerste benadering - dit zal niet waar blijken!) hebben cirkelsymmetrie; b) de hele hypothese is - gegeven enkele wetten van de klassieke natuurkunde voorwaarde voor stabiliteit van microsystemen: de atomen; c) vibratie is een symmetrische beweging. De discontinuïteit, voorwaarde van stabiliteit, moduleert de ‘banen’ (= hoeksymmetrieën). De energieën van de banen blijken te voldoen F
En = -me4 / 2h2 . 1 / n2 (m: massa van elektron; e = lading van elektron) De n herinnert aan de Balmer-formule. Als een elektron van een baan n naar een baan n = 2 overgaat is het energieverlies gelijk aan me4 / 2h2 . ( 1 / 22 - 1 / n2 ) Als 6 7
de angulaire frequentie is, blijkt de frequentie van de foton die overeenkomt met het
De Rydberg-constante kon berekend worden, de Balmer-formule was verklaard, de stabiliteit van het atoom was gewaarborgd, en de discontinuïteit van de energie toonde haar gevolgen. Wijsgerig kan men zich afvragen of er EEN deductie van de energie-discontinuïteit bestaat vanuit het causaliteitsbegrip, of vanuit het systeembegrip of vanuit de synthese van de twee. De Bohr-hypothesen waren vruchtbare ad hoc veronderstellingen die bovendien werden bijgevoegd bij een theorie die ze eigenlijk uitsloot. Dus mocht verder worden gegaan. D. In de klassieke natuurkunde volgt de discontinuïteit (waar ze voorkomt) uit de golftheorie. De noodzaak om een geheel aantal halve golven in een interval in te passen verklaart waarom gehele getallen nodig zijn. Louis De Broglie leidt het golfkarakter van de stof af uit symmetrie-overwegingen betreffende ruimte en tijd.8 Plancks formule maakt door E = hv, energie proportioneel aan frequentie (d.w.z. aantal trillingen per tijdseenheid). Door speciale relativiteit komen energie en momentum (alle twee vier-vectoren) formeel overeen: De Broglie maakt momentum omgekeerd evenredig met golflengte (of proportioneel aan inverse van de golflengte). D.w.z.: aantal trillingen per ruimte-eenheid. Dit geeft p = h/λ (p = momentum, λ = golflengte). Door deze twee vergelijkingen wordt een golf (gekarakteriseerd door frequentie en golflengte) geassocieerd aan een partikel (gekarakteriseerd door energie en momentum). De twee vergelijkingen brengen de partikel- en de golfeigenschappen met elkaar in symmetrisch verband. F
F
Later toont elektrondiffractie dat deze formele veronderstelling ook empirisch waar blijkt. Zuiver kwalitatief blijkt de stabiliteit (1) van de stof afleidbaar uit haar dubbel golf en partikel (2) karakter. Bovendien blijkt dezelfde stabiliteit en discontinuïteit (3) te volgen uit dat dubbel karakter, dat zelf eigenlijk (geheel of gedeeltelijk) volgt uit de ruimte-tijd symmetrie (4) van de relativiteit. Dit begripsnetwerk is buitengewoon belangrijk. Het ligt tegelijk zeer dichtbij de fundamenten van de werkelijkheid en bij de vruchtbaarste theorie: terwijl de quantumtheorie in enkele opzichten breekt met de klassieke inspiratie is ze bij De Broglie en Schrödinger er de voortzetting van. Dit is voor ons doel belangrijk. E. Juist zoals het elektromagnetisme de inspiratie van de relativiteit is, juist zo is de optica de inspiratie van de QT. De stralen van de meetkundige optica zijn goede benaderingen tot golffronten (voor licht met korte golflengte ten opzichte van de afmetingen van de systemen) en lijken op de banen van de klassieke mechanica. De Schrödinger-vergelijking is uit deze analogie met de optica ontstaan.9 Dit toont waarom we een deductie van de klassieke optica hebben ingesloten. Als men aanneemt dat de twee De Broglie-wetten gelden en een bewegende golf zich in de richting x verplaatst dan is haar golffunctie (afhankelijk van plaats x en tijd t) F
ψ(x,t) = e i ( kx 8 9
t)
Polkinghorne 1984, p.84. Polkinghorne 1984, p.13.
F
147
i = -1, e is de basis van de Neperiaanse logaritmen, de hoekfrequentie = 2 v (zie de eerste vergelijking van De Broglie) en het golfgetal k = 2 /λ .10 In de vergelijking is de golffunctie dus recht evenredig met het verschil tussen kx en t. De plaats x wordt verbonden met het golfgetal, de tijd t met de hoekfrequentie. D.w.z.: de heterogene combinaties worden gevormd. Het verschil tussen die twee is a.h.w. een schatting van het verschil tussen partieel karakter en golfkarakter. Nadat dit in detail afgeleid zal zijn moet nog afgeleid worden 1) waarom i moet verschijnen en 2) waarom e een rol speelt. F
Men leidt af (hoe?) dat ih ψ / t = Eψ en -ih ψ / x = pψ De E en p geassocieerd met de golf ψ zijn de eigenwaarden van de differentiële operatoren ih / t en -ih / x. Naar analogie met de De Broglie-aanpak kan men in het algemeen (dit moet worden afgeleid) E = ih / t. en px = -ih / x stellen. Als men drie dimensies tegelijk neemt, wordt p = -ih∇
(waar ∇ de vector gradiënt is, zie hoofdstuk VI).
De klassieke energie E is de som van kinetische en potentiële energie. Voor een partikel met massa m bewegend in een potentiaal V wordt dit E = p2 / 2 m + V Vermits Eψ = ih ... kan men dit in de uitdrukking voor energie invoeren (de differentiële operatoren werken op de golffunctie ψ). Dit geeft de Schrödinger-vergelijking. ih ψ / t = ( -ih2∇2 / 2m + V(x) ) ψ 11 F
F
Het afleiden van de Schrödinger-vergelijking is even centraal voor de wijsbegeerte van de QM als die van de Lorentz-vergelijkingen of de Einstein-veldvergelijkingen in de relativiteit. Met deze redenering volgt ze uit de klassieke uitdrukking voor energie, uit de quantumtheoretische waarden voor E en p, die zelf op basis van de De Broglie-vergelijkingen worden begrepen. F. De verdere ontwikkeling van de QT bestaat in de volledig discontinue matrixuitdrukking ervan door Heisenberg (die slechts inputs en outputs in interacties noteert). Deze aanpak is, als wijsgerige inspiratie, volledig onrealistisch (alhoewel de latere Heisenberg er een structuralistisch-realistische interpretatie aan geeft) en indeterministisch. Daarom staat hij in radicale tegenstrijd met die van Schrödinger. Als dan Dirac toont dat de twee gelijkwaardig zijn (in welke zin moet nog blijken) dan lijkt dit wel een bevestiging van de irrelevantie van de realisme-strijd. Dat dit niet zo was zal later nog blijken. Integendeel zal onze tekst door zijn 10 11
Polkinghorne 1984, p.84. Polkinghorne 1984, p.85.
148
commentaar beproeven te tonen hoe het realisme triomfeert in de meerdere lagen visie van de QT. Dat de golven die De Broglie en Schrödinger vanuit de optica hadden veralgemeend voor de ganse stof elektromagnetisme eenheid waarschijnlijkheidsgolven doen zijn (die dus een speciale interpretatie eisen) is te danken aan Max Born. Na de essentiële stappen (Planck, Einstein, Bohr, De Broglie, Schrödinger, Heisenberg, Born) te hebben bekeken, is het nu tijd om het QT-formalisme en zijn relatie met een ‘verstaanbare werkelijkheid’ na te gaan. 1.2
Vectoren en operatoren
Een ‘toestand’ van een QT-systeem is niet - zoals bij een klassiek systeem - de concrete waarden van alle veranderlijken die nodig zijn om dat systeem volledig te bepalen (waar het begrip ‘bepalen’ geen epistemische maar een ontologische betekenis mag hebben) maar de meest volledige reeks van concrete waarden die de ‘relevante’ veranderlijken kunnen aannemen zonder contradictie (als deze contradictie niet ontologisch bepaald kan worden, kan het ‘toestandsbegrip’ in de QT niet objectief bepaald worden). Dat de ‘toestandsbepaling’ verschilt, volgt uit het superpositiebeginsel. Als een systeem verschillende waarden van een veranderlijke kan aannemen (laten we als voorbeeld nemen twee: + en -) dan heeft het een ‘superpositie’ van waarden als het in een toestand is waar het met waarschijnlijkheid p1 + aanneemt en met waarschijnlijkheid p2, - (p1 en p2 hoeven niet gelijk te zijn aan zero of aan 1). QT-systemen hebben naast zuivere toestanden (1 of 0-waarschijnlijkheid voor alle waarden van alle veranderlijken) ook superpositietoestanden. Essentieel is dat de superpositietoestanden niet toestanden zijn die intermediaire waarden aannemen tussen de twee extremen + en - maar wel toestanden die de extreme waarden met verschillende waarschijnlijkheden vertonen. De reden waarom QT-toestanden soms superposities zijn volgt uit het feit dat alle stof en alle straling tegelijk uit golven en uit partikels bestaat. Als voorbeeld kan licht genomen worden. Licht is een transversale golf die golft in een richting die loodrecht op haar bewegingsrichting staat. Als x de bewegingsrichting is, dan kan licht golven in de z en y richting en in combinaties van de twee. Als het licht op een kristal valt, dat polariseert wordt alleen een proportie van het licht toegelaten dat bestaat uit de golfcomponent die loodrecht staat op de polarisatie-as van het licht (de proportie zal sin2a, als a de hoek is van de polarisatie-as van het licht met die van het kristal). Licht kan ook gezien worden als een groep fotonen. Laat het licht zo verzwakt worden dat maar een foton het kristal bereikt. Fracties van fotonen bestaan niet. Het feit dat het licht zich in een toestand bevindt waarin slechts sin2a van het licht doorgelaten wordt, wordt hier weerspiegeld door het feit dat soms het foton doorgaat en soms tegengehouden wordt (na n (n groot) fotonen zal sin2a n doorgelaten zijn). Bovendien zal de polarisatie toestand van een uniek foton discontinu gewijzigd zijn in functie van de optische as van het kristal. Naast de deductie van de Schrödinger-vergelijking is een hoofdzaak van de wijsbegeerte van de QT de deductie van het superpositiebeginsel. Waarom moeten alle microsystemen in de werkelijkheid door superpositietoestanden, en niet door zuivere toestanden gekenmerkt zijn? Indirect volgt dit uit het feit dat ze tegelijk golven en partikels zijn (a) en dit weer uit het feit dat ze in voortdurende beweging toch stabiel zijn (b) (zie hierboven!) (Superpositie van golven die elkaar kunnen versterken of annuleren is volledig normaal en volgt uit hun bepaling. De vectoren
149
van QT komen met Schrödingers golffuncties overeen).
Kan er echter ook een directe afleiding van het systeem, de causaliteit, de zelfverklaring en het worden bestaan? Op het eerste gezicht is dit contradictorisch met de concreetheid, de systematiciteit en de causaliteit van de werkelijkheid. De paradox dat dit tegelijk een gevolg is van stabiliteit (= een vorm van invariantie en symmetrie) stelt deze tekst voor een zeer moeilijk probleem. Dit blijft hier onopgelost. Het wordt nog eens acuut uitgedrukt door het feit dat dezelfde vector die klassiek geïntroduceerd is om de invariantie onder lineaire transformaties van de natuur uit te drukken, ook de adequate uitdrukking vormen van het superpositiebeginsel. Neem een ruimte S. Laat ze n dimensioneel zijn (n = 1, 2, ...∞). In iedere dimensie kan een eenheidsvector (gerichte grootheid) bepaald worden. Om het even welke vector uit de oorsprong kan uitgedrukt worden als een lineaire combinatie van de eenheidsvectoren. 12 F
Y = x1 + x2 + … Voor een quantumsysteem zijn de dimensies de onafhankelijke mogelijke toestanden waarin het systeem zich kan bevinden. Dit sluit in dat de quantumruimte niet de bewegingsruimte is, maar de ‘ruimte der kwaliteiten’. Een beweging in de quantumruimte is een ‘kwalitatieve verandering’. Een overgaan van een coördinatenstelsel naar een ander is hier een overgaan van een systeem basismogelijkheden naar een ander systeem basismogelijkheden. Er bestaat geen enkele reden om te veronderstellen dat een systeem invariant zou zijn onder zulke transformatie. Als er QT relativiteitsbeginselen bestaan zullen ze dus van een heel andere natuur zijn dan de relativiteitsbeginselen in de bewegingsruimte. Tweedimensionale voorbeelden zijn polarisatie van fotonen en spin van elektronen. Andere voorbeelden eisen een oneindig aantal mogelijkheden. De coëfficiënten die een vector uit de eenheidsvectoren opbouwen zijn in QT in het algemeen complexe getallen. Waarom het complexe getallen zijn volgt uit de rol die complexe getallen spelen in de uitdrukking van golfvergelijkingen (en voor ons belangrijk: van golfinvarianties). Tot nu toe werden de nodige begrippen ingevoerd om een systeem dat voorbereid werd om zich in een bepaalde toestand te bevinden, te beschrijven door een vector in een vectorruimte. Het typisch probleem is: de superpositie van toestanden. Een tweede stap is nodig: het beschrijven van de waarneming van de grootheden of observabelen (plaats, momentum, energie, enz...). Een tweede fundamentele eigenschap van de QT is de voorstelling van waarnemingen door operatoren in een vectorruimte. Een operator is een bewerking die een vector in een andere vector omzet. Dat men daardoor waarnemingen uitdrukt komt overeen met 1. in het algemeen is een waarneming een wijziging van het waargenomene; 2. deze wijziging is echter uitdrukbaar als een proces in de werkelijke wereld en 3. zet het waargenomene om in iets dat soortgelijk is aan wat het is zonder waarneming (b.v. polariseren als meten van de polarisatie van het resultaat). Men gaat ervan uit dat iedere waarneming een meting is en daarom een reëel getal als resultaat geeft. Dit wordt uitgedrukt door: Of = ar 12
Polkinghorne 1984, p.22.
150
(waar f een vector, O een operator, a een eigenwaarde die een reëel getal is en r een eigenvector). Dit is een algemener uitdrukking dan degene die gewoonlijk gebruikt wordt.
Dit is een extra postulaat: waarnemingen zouden operatoren kunnen zijn zonder dat ze noodzakelijk reële eigenwaarden zouden moeten opleveren (net zoals de Cartesiaanse coördinaten van de Hilbert-ruimte en de lineaire operatoren erop een sterke additiviteit en lokaal-kwalitatieve onafhankelijkheid uitdrukken die niet logisch noodzakelijk is). Zoals de toestandsvectoren lineair combineren, zo eist men ook dat een operator: O : V1 → V2, lineair zal zijn zodat Als O, V1 in V'1 en V2 in V'2 omzet, dan zet O ook V1 + V2 in V'1 + V'2 om en lV1 in lV'1. Operatoren hoeven niet lineair te zijn, en de lineariteit van de toestandsvectoren eist niet logisch de lineariteit van de operatoren. Men kan zich wel afvragen of de motieven die de lineariteit van de toestandswetten rechtvaardigen, ook de lineariteit van de vectoren rechtvaardigen. In feite eist een deductie van de QT het bewijs ervoor 1) dat de toestanden door vectoren moeten uitgedrukt worden (samengesteld uit min of meer veralgemeende getallen, en voorzien van min of meer klassieke normen); 2) dat de combinaties [niet lineaire toestandsruimte + niet lineaire operatorenruimte (zelf oneindig divers); niet lineaire toestandsruimte + lineaire operatorenruimte; lineaire toestandsruimte + niet lineaire operatorenruimte] om ontologische redenen niet reëel zijn (men denkt immers op het eerste gezicht dat het slechts eenvoudigheidsoplossingen zijn. In feite moeten de oplossingen volgen uit de golftheorie). Als een operator O een vector V omzet in een veelvoud van zichzelf, dan, als O: V → vV, is V een eigenvector van O met eigenwaarde v. De eigenvectoren komen overeen met toestanden waarin de observeerbare grootheden één volledig bepaalde waarde heeft. Het hele formalisme drukt uit dat de basis van de superpositie gevormd blijft door klassieke toestanden (b.v. als een elektron een specifiek momentum p heeft, en niet een interval van momenta, dan is die toestand een eigentoestand van de momentum operator met eigenwaarde p.). Om zeker te zijn dat de eigenwaarden steeds reële getallen zijn, moeten de operatoren Hermiteaanse operatoren zijn. Om de Hermiteaanse operatoren te bepalen een korte voorbereiding: Vectoren |vi > vormen een lineaire vectorruimte als iedere lineaire combinatie ervan ook in de ruimte ligt: (d.w.z. ∑i ci ⎪vi> behoort ook tot de ruimte). De ci zijn complexe getallen. De duale ruimte van bra-vectoren bestaat uit vectoren ∑i ci ⎪vi> → ∑i ci * bestaat voor 2 bra en ket-vectoren. Het is een complex getal met de eigenschap = *. Daaruit volgt dat een reëel getal is. Want inderdaad: de bepaling van reëel getal is = *. Dit reëel getal zal het kwadraat van de norm van v zijn. De lengten van vectoren hebben geen betekenis: dezelfde fysische toestand wordt uitgedrukt door |v> en c|v>. De rechtvaardiging van dit formalisme komt nog verder aan de orde bij de bespreking
151
van Dirac. Een Hermiteaanse operator wordt als volgt bepaald: a) is een matrix element, een operator A kan door inbedding in een bra-ketscalair product tot een matrix herleid worden. b) de Hermiteaans geconfigureerde A+ van een operator A heeft voor zijn matrixelementen de eigenschap = . D.w.z. de matrix elementen van een Hermiteaans geconjugeerde zijn: de getransposeerde complexe conjugaties van de matrixelementen van A. c) Als A=A+, is A Hermiteaans. De eigenwaarden van Hermiteaanse operatoren zijn reëel. De eis dat de operatoren niet alleen lineair, maar ook Hermiteaans zouden zijn volgt dus uit het feit dat de operatoren in een werkelijkheid gestructureerd door complexe getallen slechts reële getallen kunnen meten. Dit zou het Hermiteaans karakter moeten opleggen. Tegelijk legt dit een niet Kantiaans Kantisme op, de werkelijkheid heeft noodzakelijk een andere structuur dan de meetbare ervaring, (complexe en reële getallen), maar de twee structuren zijn uit elkaar afleidbaar. Uit het feit dat waarneembare grootheden met operatoren overeenkomen, volgt dat niet alle waarneembare grootheden voor één zelfde toestand kunnen worden waargenomen. De operator O1 kan inderdaad de vector waarop hij ingrijpt zo veranderd hebben dat de operator O2 er niet meer op kan worden toegepast. Anders gezegd: de toestand is niet tegelijkertijd een eigentoestand van O1 en O2. Als voor een toestand t de twee operatoren O1 en O2 hetzij tegelijkertijd, hetzij na elkaar kunnen worden toegepast, en ze wijzigen de waarde van de observabele niet, dan is de orde van toepassing willekeurig. Omgekeerd, als de orde van toepassing willekeurig is, dan zullen de operaties het geobserveerde systeem niet hebben gewijzigd. Dit stelt ons, als veralgemening van QT, voor een metafysisch probleem: voor welke werkelijkheid en welke waarneming (beter: meting - te bepalen) geldt dat er noodzakelijke systemen en grootheden zijn waarvoor de operatoren niet commutatief zijn? Meer specifiek: kan men aantonen dat de QT-se niet commutatieve operatoren met noodzakelijkheid tot de klassen der niet commutatoren behoren? Uit de golftheorie kan direct (hoe?) worden afgeleid dat een momentum p dat door de differentiële operator -ihd/dx wordt voorgesteld niet commuteert met de plaats operator x. 1.3.
De Schrödinger-vergelijking en het twee spleten experiment
De statica van de QT is uiteengezet in het voorafgaande. De problemen die door een metafysische deductie van de QT moeten worden opgelost, zijn daarmee gesteld. Nu moet de dynamiek van de QT worden beschreven. Men kan de ontwikkelingswetten beschouwen als wetten voor verandering van toestanden, of als wetten voor verandering van veranderlijken. Zelfs al zouden Schrödinger (die het eerste doet) en Heisenberg (die het tweede doet) gelijkwaardig zijn, dan toch is het eerste perspectief voor de realist het fundamentele. De dynamische Schrödinger-vergelijking is (dit is het derde voornaam punt voor deductie): -ih ∂ψ / ∂t = H ⎥ ⎥ stelt de toestand vector en tegelijk de golffunctie voor; de H is de Hamiltoniaan die de observabele van de energie voorstelt. De vergelijking is geen tweedegraads differentiaalvergelijking, maar een eerstegraads
152
vergelijking. Waarom dit het geval is (het moet verband houden met de onvolledige beschouwing van de toestand die de QT noodzakelijk maakt) eist verklaring.
De continue en deterministische Schrödinger-vergelijking beschrijft echter niet de interactie tussen observatie-instrumenten en quantumsystemen in superpositie; en evenmin de evolutie van macroscopische instrumenten. Zolang deze twee niet uit de QT kunnen worden afgeleid, en moeten worden gepostuleerd, is de QT onvolledig en intern gespleten. Men heeft de EPR niet nodig om dat te weten. Het probleem is het volgende: een elektron is in een superpositie-toestand als er n kansen zijn om het op S1, en n-n kansen om het niet op S1 te vinden (dit sluit in dat over een bepaalde tijd het verschillende malen hier en daar is). Eens men het echter gemeten heeft, zullen volgende metingen het op dezelfde plaats (of op een baan uit die plaats) vinden. De superpositie is opgelost. Van een superpositie van eigentoestanden is het in een eigentoestand gekomen. De ogenblikkelijke transformatie die de meting oplegt wordt niet volgens een complexe Schrödinger-vergelijking uitgevoerd (het is de zgn. ‘instorting van het golfpakket’). Waarom zou de werkelijkheid op een bepaalde grootteorde die eigenschap moeten vertonen? Deze vraag behandelt de QT realistisch. Niet alleen de wijsgerige basispremissen van dit boek doen zo spreken: het is ook de interpretatie die de practici van de QT zelf feitelijk gebruiken (alhoewel ze de consequenties van die praktijk niet zelf doordenken). I). R. Feynman13 heeft een poging gedaan om de overgang van superpositie naar vaste waarden begrijpelijk te maken. Ze wordt in wat volgt uiteengezet: F
F
Feynman ontleedt het twee spleten experiment
Een machinegeweer schiet kogels in de richting van een scherm. Het geweer vuurt de kogels in een tamelijk brede hoek. In het scherm zijn twee spleten. Op een muurtje achter het scherm is een detector aangebracht: bijvoorbeeld een bak met zand. Na een bepaalde tijd kunnen we gaan zien hoeveel kogels in de bak zitten. Stel dat de detector op een plaats x stond, dan zal het aantal kogels in het bakje in x gedeeld door het totaal aantal kogels die de muur raakt de waarschijnlijkheid zijn dat een afgevuurde kogel in x arriveert. 1) Als de bron kogels in alle richtingen uitstuwt, is de distributie op de detector
13
The Feynman Lectures on Physics Volume III, hoofdstukken 1 en 3.
153
wanneer A gesloten is en B open
wanneer B gesloten is en A open. Voor specifiek gekozen afstanden van A en B en grootte van opening wordt dit
wanneer beide spleten open zijn. Vermits de kogels discontinue massa's stof zijn, raken ze de detector discontinu. als de bron golven uitzendt (akoestische of licht) zullen ze interfereren (elkaar versterken en verzwakken) en het beeld zal er als volgt uitzien wanneer beide spleten open zijn:
De detector wordt niet discontinu, maar continu geraakt. Wanneer één van de spleten open is, A of B, krijgen we hetzelfde patroon als wanneer één van de spleten open is met het eerste experiment. 3) Wanneer de bron elektronen uitzendt (quantum systemen) wordt de detector staccato getroffen. Dus zijn het deeltjes. Maar als men de frequentie van impact over een tijd uitzet blijkt interferentie te bestaan, dus zijn het golven. Als er slechts 1 spleet is, is er geen interferentie. Dus geen golfpatroon. Het geobserveerde patroon kan niet veroorzaakt zijn door elektronen die ofwel alleen door spleet A, ofwel alleen door spleet B de detector bereiken. Als men de spleten verlicht om na te gaan langs welke spleet een elektron de detector bereikt, wordt de golf interferentie vermeld en geen golfpatroon gevormd. Men kan dus (volgt deze conclusie wel?) niet zeggen dat elektronen vaste paden beschrijven. Daarom kan men ook niet zeggen van twee gelijkaardige elektronen dat ze numeriek dezelfde zijn of niet. Ik zou eerder beweren dat het niet zinloos is dat te zeggen, maar dat de beweringen niet kunnen worden getest.
154
Een golffunctie kan door het voor elkaar uitwisselen van twee gelijkaardige partikels ofwel onveranderd blijven (bosonen), ofwel negatief worden (fermionen). Elektronen zijn fermionen, fotonen bosonen. Daarom (dit moet worden verklaard) gehoorzamen elektronen aan het uitsluitingsbeginsel van Wolfgang Pauli (geen twee elektronen kunnen exact in dezelfde quantumtoestand zijn). Dit Pauli-beginsel is waar, maar volgt niet uit de rest van QT. Wijsgerig lijkt het op Leibniz' identiteit der ononderscheidbaren. Echter dit is slechts een oppervlakkige analogie omdat dit beginsel, als het waar was, ook voor bosonen zou moeten gelden. Ofwel is Leibniz' beginsel onwaar, ofwel moet getoond worden waarom het waar is onder restrictie. Als men een golffunctie ψ(x1x2) heeft met twee identische partikels op twee plaatsen x1 en x2, dan moeten ψ(x1x2) en ψ(x2x1) dezelfde fysische toestand beschrijven (een gevolg van x1 ≈ x2). Vermits toestanden door stralen worden voorgesteld kan men zeggen dat ψ(x2x1) = c ψ(x1x2) (c een complex getal). Door x2 en x1 nog eens te permuteren bekomt men c2 ψ(x1x2) = ψ(x1x2) Dus is l2 = 1. Daaruit volgt dat l = +1 of -1 (bosonen of fermionen). Een symmetrie. Terugkerend naar het dubbele spleet experiment laat ψ1 de golffunctie zijn van een plaats op de detector waar een elektron valt door spleet A gekomen, en ψ2 analoog voor spleet B. De tweede macht van de amplitude van ψ1 en ψ2 zijn de waarschijnlijkheden. (Opnieuw moeten we uit de QT en de waarschijnlijkheidsrekening afleiden waarom waarschijnlijkheden kwadraten van amplituden zijn. Op het eerste gezicht moeten ze kwadraten zijn om niet negatief te zijn, amplituden (om reëel en niet complex te zijn, en af te hangen van complexe getallen door de modulus ⎪z⎪ = √(x2+y2). Alles blijkt af te hangen van het feit dat complexe getallen nodig zijn. Dit werd nog niet verklaard. Om een partikel door spleet A (resp. B) te zien komen: P1 = ⎪ψ1⎪2 en P2 = ⎪ψ2⎪2 Als de twee spleten open zijn, dan is P12 = ⎪ψ1+ψ2⎪2 Die waarde voor P12 drukt uit dat interferentie bestaat, en dat ieder elektron door beide spleten moet gaan (als gevolg van interferentie van de golffuncties). Deze complexe weg kan (men) door de geometrische vorm van het scherm, door niet klassieke bewegingswetten voor elektronen, door de reactie van de stootimpact, of door velden tussen detector en scherm en door interacties tussen elektronen trachten te verklaren. Geen van de verklaringen slaagt tot nu toe. R. Feynman14 poogt de volgende verklaring te geven: voor iedere plaats op de detector kan men de verzameling van alle mogelijke paden die het elektron van spleet A tot die plaats kan volgen, beschouwen. Die paden zijn klassiek maar verschillen in complexiteit en snelheid. Men kan ze karakteriseren door de actie die het elektron heeft op dat pad. De actie, een klassieke F
14
F
The Feynman Lectures on Physics Volume III. Polkinghorne 1984, pp.41-42.
155
kwantiteit, wordt als A / h gemeten. De amplitude van een pad is, volgens Feynman exp(i A / h). Als men alle amplituden samentelt krijgt men identisch dezelfde waarschijnlijkheidsamplitude als diegene die men bekomt door de Schrödinger-vergelijking op te lossen. Alhoewel deze berekening over ‘alle mogelijke paden’ zeer ingewikkeld is, en de verzameling in kwestie moeilijk natuurlijk bepaald kan worden, heeft de interpretatie twee voordelen: 1) de waarschijnlijkheden interfereren dikwijls negatief. Voor grote systemen (A groot in termen van h) zijn de enige paden die het resultaat werkelijk beïnvloeden, paden waar de actie zo traag mogelijk verandert omdat hier de interferenties verkleinen. Deze paden zijn in die zin stabiel dat kleine afwijkingen ervan kleine actieveranderingen ten gevolge hebben. Maupertuis' wet van minste actie (die hij - finalistisch vanuit God verklaart) zegt dat klassieke banen juist die banen zijn. Dus volgt de geldigheid van de klassieke mechanica volgens deze aanzet uit de QT. 2) Wijsgerig zal een chaotische kosmologie waarin de elementaire partikels aan geen wetten onderworpen zijn of een 'volheidsbeginsel' dat alle mogelijkheden realiseert (twee totaal verschillende hypothesen) meebrengen dat het elektron inderdaad alle banen moet volgen. De onverklaarbare ‘twee spleten experimenten’ krijgen op die dubbele basis dan toch een verklaring. Voor dit boek is echter een chaotische kosmologie een onwaarschijnlijke hypothese (systeemtheorie en causaliteit sluiten ze uit) en een beginsel van volheid, waar de gerealiseerde alternatieven met elkaar interfereren veronderstelt ook een ‘egalitaire’ ontologie, naast de causaliteit van pure mogelijkheden. Alhoewel het twee spleten experiment een duidelijk beeld geeft van de interactie tussen continuïteit en discontinuïteit (waarvan de relatie tussen toestandsvectoren calculus en observabelen operatorencalculus - Schrödinger en Heisenberg - een bijzonder geval is) en een begin van begrijpen ervan voor de interpretatie bijzonder belangrijk zou zijn (de totaliteit der paden moet vergeleken worden met de totaliteit der verborgen veranderlijken van David Bohm); moet het model van de interferentie der mogelijke geschiedenissen (die voor Wheeler in de meta ruimte-tijd ook de structuur van de reële ruimte-tijd verklaart) toch tot nu als zelf ongeïnterpreteerd voorlopig tussen haakjes worden gezet. R. Feynman, die zelfs alle expliciete wijsbegeerte afwijst, doet geen poging om zijn praktisch nuttige idee te legitimeren (die ook zijn diagrammen inspireert, alhoewel zonder absolute noodzaak). Hier werd een eerste poging gedaan, alhoewel ze niet tot een volledig resultaat leidt. 1.4.
Het onzekerheidsbeginsel
Hoger werd vermeld dat plaats en momentum van een partikel niet tegelijkertijd exact met zekerheid konden gemeten worden (de drie voorwaarden: tegelijk, exact en zeker, zijn op verschillende manieren belangrijk - zie Krips 1987). Dit volgde uit de niet commutativiteit (dus uit een niet symmetrie) van de operatoren die met positie en momentum samenhangen (de eigen toestanden van Hermiteaanse operatoren zijn de toestandsvectoren die overeenkomen met de exacte metingen van de observabelen en het is niet steeds waar dat dezelfde eigentoestand de eigentoestand van twee verschillende operatoren is).
156
De analogie in - verschil van de Heisenberg-algebra en de Schrödinger - golfvergelijkingen (de tweede eist Fourier-analyse, de eerste niet commutatieve algebra’s) blijkt uit het verschillend bewijs van de onzekerheidsrelaties. Een unieke golf strekt zich uit over de ganse ruimte. Als een partikel gelokaliseerd is (min of meer: binnen Δx) moet het overeenkomen met een veelheid van golven met zeer verschillende golflengten die elkaar buiten Δx annuleren. Hoe kleiner Δx is, des te meer verschillende golven moeten interfereren. Fourier-analyse bewijst dit. Nu geldt De Broglie’s p=h/l. Dus een bredere band van golflengten komt overeen met een groter aantal verschillende momenta (vele l1...ln corresponderen met vele p1...pn). Het omgekeerde (hoe preciezer het momentum, des te onzekerder de plaats) volgt ook direct. Kwantitatief kan men bewijzen: Δx Δp ≥ h. Wijsgerige interpretatie van deze vergelijking is misschien direct mogelijk (uit de causaliteit): h is de energie-eenheid die als eenheid voor causale kracht kan beschouwd worden. Om een systeem toe te laten in een ander systeem in te werken, moet de plaats of het momentum van de twee systemen gedeeltelijk onzeker zijn. Immers, een volle causale relatie is een werken in en op wat de oorzaak niet is. De oorzaak moet dus tegelijk zichzelf en iets anders zijn. Alles wat bestaat veroorzaakt. Dus alles wat bestaat moet tenminste zo onzeker gesitueerd zijn dat het meer onbepaald is dan de minimale eenheid voor causale interactie. Waarschuwing: deze ‘deductie’ (metafoor) is hoogst onduidelijk. Ze kan zo niet behouden blijven. Toch mogen de natuurwetten niet als brute feiten beschouwd worden en op die manier onbegrepen blijven. Het is beter over het begin van een begrip te beschikken, waarvan men de onzekerheid beseft, dan de feiten volledig onbegrepen te laten. Men kan noteren dat deze deductie in niets afhangt van storingen door observatie-instrumenten. Dit belet niet dat het onzekerheidsbeginsel dat onafhankelijk van interacties tussen objecten en instrumenten is, toch ook gevolgen heeft voor concrete waarnemingen. Om de gevolgen te begrijpen, simplificeert men ze eerst in een zo abstract mogelijk model van de observatie. Om een observatie uit te voeren moet een lichtstraal het geobserveerde object treffen. De observatie moet tegelijk het voorwerp zo weinig mogelijk storen en toch een zo scherp mogelijk beeld op het instrument veroorzaken. De QT heeft als gevolg dat men deze twee doelen niet gelijk optimaal kan bereiken. Om een scherp beeld te hebben moet de golflengte van het licht zo klein mogelijk zijn (de graad van onzekerheid voor het object kan niet kleiner zijn dan de golflengte). Licht is in QT niet alleen een golf maar ook een bundel fotonen. Een foton met frequentie v draagt hv energie. Daarnaast geldt dat lv = c steeds geldig is (c = lichtsnelheid). Als l kleiner wordt, moet v groter worden (wil c constant zijn). Dus wordt ook de energie hv groter, en de interactie met het object meer storend. Storing als zodanig is echter niet fataal als men het effect van de storingen kan berekenen. De reden waarom QT dit niet kan is dat zij de baan van het foton dat terugkaatst van het object in de microscoop niet kan berekenen. Om die onzekerheid te verkleinen, kan men de opening van de microscoop verkleinen. Dit zal de Δp van het foton en het elektron verlagen, maar zal omgekeerd de onzekerheid van Δx verhogen. Men zou eraan kunnen denken het momentum van het elektron af te leiden van de impact op de microscoop. Als men die microscoop echter zelf als een Q-systeem behandelt, kan men p ervan slechts scherp berekenen door x ervan (positie) vager te maken. De gegevens zullen niet volstaan om het gewenste besluit te trekken. De noodzaak om een quantumtheorie van macroscopische systemen op te stellen en de meting in de QT te integreren blijkt wel uit wat hier gebeurt: zonder dat kan de discussie van de observatie niet worden gevoerd.
157
De observationele gevolgen van de onzekerheidsrelatie in deze onuitvoerbare, geïdealiseerde experimenten, leveren opnieuw de onzekerheidsrelaties. Wijsgerig zou het de moeite lonen vast te stellen of de complementariteit ‘onberekenbare storing van object, precisie van meting’ voor bepaalde soorten systemen en meetinstrumenten direct van de meetinteractie kan afgeleid worden. De onzekerheidsrelaties moeten - als de wijsgerige deductie die hen afleidt van hun relatie met de energie door h, gelden voor alle paren van observabelen waarvan de gecombineerde dimensies die van actie zijn. Δt ΔE ≥ h is zo'n paar. Dit betekent dat een energie-overdracht en de tijd waarop ze gebeurt niet beide exact en zeker gemeten kunnen worden. Deze relatie verklaart het tuimeleffect: partikels kunnen een pad volgen dat meer kinetische energie vereist dan ze hebben als de tijd die de transfer vraagt, voldoende klein is (m.a.w. ΔE zeer groot kan voor Δt zeer klein toch mogelijk zijn zonder het behoud van energie in gevaar te brengen. Door hoofdstuk II weten we dat de constantheid van energie een symmetriebeginsel is. QT maakt van een exacte dus een benaderende symmetrie. Kan dit gerechtvaardigd worden? Nog vreemder en interessanter is dat de constante lichtsnelheid in de afleiding van de onzekerheidsrelaties duidelijk een rol speelt. 1.5.
Complementariteit
Een realistische QT kan vermoedelijk (in tegenstelling tot wat ik vroeger meende, zie Apostel 1974b) niet de complementariteit in QT (laat staan de complementariteit elders) als verklaringsbeginsel gebruiken. Toch staan de verschillende metafysica's of wereldbeelden (de op symmetrie en op anti-symmetrie, op orde en op chaos, op zijn en op worden, op actualiteit en op potentialiteit gesteunde) die men in verschillende delen van de wetenschap als verklaringsbeginsel gebruikt ten opzichte van elkaar als complementair. Dit passe-partout begrip moet zorgvuldig worden bepaald in zijn vele, niet direct met elkaar verbonden betekenissen. 15 F
Schrödinger, De Broglie en Einstein konden het onzekerheidsbeginsel niet laten gelden voor de werkelijkheid. Men heeft dit geïnterpreteerd als een vasthouden aan determinisme. Dat is het ook. Nog meer echter is het een vasthouden aan de volledige bepaaldheid van de werkelijkheid. Wat in deze discussie bleek is dat, alhoewel QT en RT strikt genomen incompatibel zijn met elkaar, toch de consistentie van de QT van tenminste een deel van de RT afhangt (juist zoals door de constantheid van c en de De Broglie-relaties de QT zelfs gedeeltelijk volgt uit dezelfde beginselen waaruit de RT volgt). Een voorbeeld van de interpretatie ligt in de Einstein-Bohr discussie rond Δt ΔE ≥ h. Een recipiënt vol straling wordt nu en dan kort geopend: het recipiënt is geopend gedurende Δt. Als er een onzekerheid Δt is voor de tijd moet er tenminste een onzekerheid h/Δt zijn voor de ontsnapte energie E (ΔE ≥ h/Δt volgt). Maar men kan het recipiënt wegen en daardoor ΔE; tot nul herleiden (volgens Einstein). Bohr antwoordt dat wegen een interactie teweeg brengen is met een gravitationeel veld. Einsteins RT impliceert dat klokken vertragen in een gravitationeel veld. In dit geval zouden oncompenseerbare onzekerheden over de mate van vertraging ontstaan bij openen en sluiten van recipiënt. Hoe exacter men wil wegen, des te groter die onzekerheid. Dit antwoord - hoe exact ook - lijkt ad hoc. Een dieper verstaan van de relatie ‘RT - QT’ is nodig om deze situatie wijsgerig te begrijpen. De Broglie’s en later Bohms pilootgolven geven een verklaring van de QT-effecten door 15
Zie daarvoor Apostel 1974b, Livre III.
158
niet-lokale golfinteracties (dit gaat ook voor de twee spleten experimenten) die bewijst dat dit in beginsel mogelijk is (op voorwaarde dat men niet, zoals in het von Neumann onmogelijkheidsbewijs, de observabelen additief laat afhangen van de inobservabele). De verklaring is realistisch en deterministisch. Ze wordt als artificieel ervaren en door niemand ernstig genomen. Wat nodig is, is een ‘hidden variable theory’ (consulteer Belinfante’s boek) die intrinsiek intuïtief aanvaardbaar zou zijn voor wijsgerige redenen en voor natuurkundige redenen. De theorie moet bovendien uit de interactie van KM, TD en RT ontstaan en andere, rijkere resultaten dan de QT opleveren zonder die laatste (die ongewoon vruchtbaar is) te weerleggen. Het is een enorme wijsgerige opgave zulke theorie te schetsen. Maar ze is een must, in deze context. Belangrijk is dat de quantumlogica mij onverenigbaar schijnt (weer in tegenstelling tot wat ik vroeger dacht, zie Apostel 1974b) met een realistische golfpilootheorie (en met de manier waarop volgens De Broglie hier de QT afgeleid is uit golfoptica, golfmechanica en de relativiteit). Misschien zou een regionale quantumlogica die in een globale klassieke logica ingebed zou zijn toch nog realistisch verdedigbaar zijn. Het doel van deze tekst is niet kennistheoretisch. Echter moeten in hoofdstuk I logische overwegingen een rol spelen. Tot besluit van de onzekerheidsrelatie en het twee spleten experiment moeten we toegeven dat de relatie tussen toestandsvariabelen en operatoren (d.w.z. tussen werkelijkheid in se en lokaal of interactioneel) nog open blijft. Het is een algemeen wijsgerig vraagstuk dat hier echter in een wetenschappelijke context geactualiseerd is. 1.6.
Het meetprobleem
Zoals de thermodynamica een interventie van een laag van de werkelijkheid in een andere uitdrukt (de entropie is met zo een relatie verbonden), juist zo (maar in omgekeerde richting) is de QT-meting een inbreuk van de macro- in de microwereld. Een meting moet noodzakelijk met een amplificatie (versterking) gepaard gaan, die gedeeltelijk onbepaalde (volgens de ‘klassieke’ QT) grootheden in volledig bepaalde omzet. Een voorbeeld laat toe de verschillende interpretaties te ontwikkelen. Men wil de spin van een elektron in een gegeven richting bepalen. In een Stern-Gerlach experiment wordt het elektron in een magnetisch veld gebracht dat elektronen doet afwijken naar boven (als de spin opwaarts gaat) of naar beneden (als hij neerwaarts gaat). Men kan een Geiger-teller boven en onder plaatsen en uit zijn kliks afleiden wat de spin-waarden zijn. De amplificator is hier het magnetisch veld, en de amplificatie is de divergerende baan, verbonden met de macroscopisch scherpe kliks. Een observator hoort en noteert. Het probleem is: vastleggen waar de instorting van het golfpakket gebeurt. De paradox van Schrödingers kat en Wigners vriend zijn slechts twee pittoreske vormen van hetzelfde probleem. 1. In een recipiënt bevindt zich een kat in een gifgas samen met een quantumsysteem dat 1 kans op 2 heeft het gif te doen uitspreiden (en zo de kat te doden). Het globaal systeem bevindt zich in een superpositie toestand (1/2 levend + 1/2 dood). Als het recipiënt geopend wordt is de kat levend of dood. Waar is de superpositie gebroken? 2. Wigners vriend luistert naar de kliks. De elektronen zijn niet gepolariseerd. De kansen voor een boven en beneden klik zijn dus gelijk. Voor Wigner is het systeem [Stern-Gerlach + vriend] in een superpositie toestand. Als Wigner vraagt, zegt de vriend ‘boven’ of ‘beneden’. De
golffunctie is ingestort. Waar?
159
Vier antwoorden worden gegeven: 1. Het eerste antwoord (Max Born) zegt dat de golffunctie geen beschrijving is van een fysisch systeem, maar slechts van mijn kennis ervan. Dit elimineert iedere 'instorting': door extra informatie kreeg ik slechts een vollediger beeld. Deze oplossing lijkt simpel. Maar ze herleidt alle kennis van de natuur tot kennis van kennis en is om deze reden onaanvaardbaar. 2. Het tweede antwoord maakt een dualistische scheiding tussen macro- en microwereld (Bohr en Copenhagen). Dit schept echter een totaal onbegrijpelijke kloof. Het is geen oplossing. Wat nodig zou zijn is a) een theorie van de vele intermediaire lagen en b) een QT van de complexe systemen die uit objecten en gebeurtenissen uit vele lagen bestaan. Dit tweede antwoord is geen antwoord. Veel werk zou nodig zijn om er een antwoord van te maken. 3. Eugene Wigner meent dat het bewustzijn de instorting veroorzaakt. Deze oplossing is niet zo radicaal als de eerste, maar laat zoals 2, een irrationele rest. Waar is de macro-Schrödinger vergelijking die uit het product van de golffunctie van bewustzijn of centraal zenuwstelsel met die van een microsysteem de collaps als een gevolg afleidt? Nog veel meer werk dan in 2 zou nodig zijn (theorie van bewustzijn en zenuwstelsel) om dit tot een antwoord te maken. Bovendien zou dan vóór het bewustzijn geen enkel golffunctie zich hebben gereduceerd? Dit kan niet. 4. Everett stelt voor dat op ieder ogenblik alle gesuperposeerde toestanden zich reëel voordoen in één wereld. Dit is opnieuw totaal onverklaarbaar. Het meetprobleem is het metafysisch probleem omdat het - volgens deze tekst anti-reductionistisch het coëxisteren, interageren en uit elkaar ontstaan van de verschillende lagen moet begrijpelijk maken. Het meetprobleem is a.h.w. de inverse van het probleem der verborgen veranderlijken (dat ook een niveauprobleem is). De uitwerking van de tweede oplossing, in samenwerking met de theorie der verborgen veranderlijken is het enige onderzoeksprogramma dat verdedigd kan worden. De vraag is of de metafysische basis (invarianten, symmetrie en relativiteit verbonden met systeem en causaliteit) van deze tekst kan helpen bij het uitwerken (in verband!) van verborgen veranderlijken en meetprobleem. Zowel golven als partikels hebben verschillende invarianten en symmetrieën. Die invarianten en symmetrieën kunnen geanalyseerd worden en van daaruit kan worden gezocht of de symmetrietheorie een gecombineerde golf en partikeltheorie van de werkelijkheid nodig maakt. 1.7.
Niet-lokaliteit: de Einstein-Podolsky-Rosen paradox in de Bohm-versie en de Bellongelijkheden 16 F
Men kan paren van protonen verkrijgen met totale spin zero (dus de ene +, de andere -). Laat ze zich ver van elkaar verwijderen. Men meet de spin van A langs een as (b.v. de z as). Laat SzA ‘up’ (= naar boven) gericht zijn. Dan (door de productiewijze van de protonen) moet SzB naar beneden gericht zijn. Moest men SyA gemeten hebben als ‘up’, dan zou SyB ‘down’ 16
Polkinghorne 1984, pp.70-77, Einstein, Podolsky en Rosen 1935.
160
geweest zijn. Nochtans volgt uit QT dat de spin-toestand van een proton een evenwichtige superpositie van ‘up’ en ‘down’ is. Concreet betekent dit dat als men op A niets meet, de kansen om op B ‘up’ of ‘down’ te krijgen gelijk zijn, terwijl als men op A meet, de kansen op A ofwel 1 zijn voor up ofwel 1 voor down. Dit betekent dat een ogenblikkelijke verandering in B optreedt die volledig afhangt van wat met A gebeurt (en niet van de afstand die A en B scheidt). Klassiek zouden vanaf het ogenblik van hun scheiding de spin-toestanden van A en B volledig bepaald zijn, en zou een meting slechts inlichten over wat van het begin af bestond. In QT echter bestaat die initiale bepaaldheid niet. Het verschil tussen die twee interpretaties kan empirisch worden vastgesteld als B herhaaldelijk kan worden gemeten zonder de meting op A en na de meting op A (of als ettelijke equivalenten van B kunnen worden gemeten: de spreiding van de meetresultaten duidt dan de onbepaaldheid van de spin aan). Dit effect zou verborgen variabelen nodig maken die - in totale tegenstrijd met SRT - een ogenblikkelijke krachttransmissie zou mogelijk maken. De positivistische Copenhagen-school beschouwt de meting van SzA en van SyA als twee onvergelijkbare situaties (vermits de instrumenten verschillen). Met die onvergelijkbaarheid blokkeren ze de EPR conclusie. Dit kan. Maar het positivistisch uitgangspunt is tegelijk vals (voor wetenschapsgeschiedenis) en onvruchtbaar. EPR daarentegen nemen twee vooropstellingen aan: 1. Als men de waarden van een grootheid G voor een systeem S kan voorspellen met zekerheid (of Prob = 1) zonder S te storen, dan komt met die grootheid een element in de werkelijkheid overeen. 2. Als twee systemen voor een tijd t (hoe groot?) dynamisch geïsoleerd zijn, dan kan een meting op één van hen het andere niet wijzigen. Gegeven de twee vooropstellingen kan men de werkelijkheid van SbZ en Sby bewijzen. Immers zonder B te storen (beginsel 2) kan men door meting van SAz, SBz met zekerheid bepalen. Hetzelfde geldt voor SBz. De QT staat niet toe dat SAz en SBz beide bepaald zijn. Nochtans - volgens de grondbeginselen van EPR - zijn ze beide bepaald. Dus ofwel is de QT vals, ofwel is ze onvolledig. EPR kiest voor onvolledigheid. EPR bewijst echter 1 & 2 → besluit QT → negatie van het besluit Dus kan men QT behouden als men ofwel ¬(1), ofwel ¬(2), ofwel ¬(1 & 2) verdedigt. De lokaliteitshypothese kan het gemakkelijkst (hoe moeilijk ook!) verlaten worden. Dus kan men EPR als een weerlegging van de lokaliteit beschouwen. Men heeft dus alle redenen om een directe experimentele test te zoeken van het lokaliteitsbeginsel. Om die op te zetten begint Polkinghorne 1984 met drie principes die alle drie wijsgerig legitiem lijken. 1. Regelmatigheid van processen is een teken van werkelijkheid. Deze veralgemening van EPR's eerste postulaat is eigenlijk ook een veralgemening van het symmetrie- en invariantiebeginsel van deze tekst. 2. Geen causale impact van A op B en omgekeerd kan sneller gaan dan licht. Uit hoofdstuk VI blijkt dat ook dit beginsel met de symmetriebeginselen samenhangt.
161
3. Besluiten over alle systemen van een zekere soort K kunnen afgeleid worden uit consistente waarnemingen op een grote sub-klasse K' van K. Dit inductiebeginsel kan ontologisch worden geformuleerd als een symmetrie over transformaties op sub-klassen. Speciaal belangrijk is ook nog dat (2) een voorwaarde is voor de mogelijkheid van subsystemen (en dus verwant aan de relativiteitsbeginselen die herhaaldelijk worden besproken in hoofdstukken III en VI). Als (2) moet worden opgegeven stelt zich een centraal probleem niet alleen met het oog op de relativiteit, maar ook met het oog op de mogelijkheid van subsystemen. Langs de andere kant is dit holistisch besluit een bewijs van de eenheid van het heelal (verwant met de kosmologische grondbeginselen). Men zou echter uit elkaar de eenheid en de interne multipliciteit, juist zoals de onveranderlijkheid en de veranderlijkheid, in juist deze proporties moeten kunnen afleiden. Daarvan is men veraf. Nu terug naar de stelling van Bell die een veralgemening is van EPR. Laat A en B een paar van protonen zijn. De protonen verwijderen zich van elkaar en de spin ervan wordt door een analysator gemeten langs één van de drie assen a, b en c. De spin is + of -. De metingen op A en B gebeuren tegelijk of toch zo dat geen oorzaak die trager gaat dan lichtsnelheid tussen de metingen kan interageren. Soms wordt dezelfde component voor A en B gemeten, soms een verschillende component. Als Aa = +, dan is Ba - (en omgekeerd). Idem voor b en c. Dus volgt uit beginsel 1 (regelmatigheid = realiteit) dat a+, b+ en c+ werkelijke eigenschappen zijn van A en B. Door 3 volgt dat dit ook zo is als ze niet gemeten worden. De volgende toestanden zijn dus mogelijk voor één proton: 1. 2. 3. 4.
a+b+c+ a+b+ca+b-c+ a+b-c-
5. a-b+c+ 6. a-b+c7. a-b-c+ 8. a-b-c-
Als men Aa meet als +, dan is Ba -; als men Bb meet als + dan is Ab -. Als die twee waarden voorliggen is Aa+ en Ab-, en kan A slechts toestand 3 of 4 hebben. Als N(+++) het aantal partikels is met a+b+c+ en N (a+b+) het aantal partikels met c vrij, en overigens a+b+ dan geldt: N(a+b-) = N(a+b-c+) + N(a+b-c-) N(a+b-) = N(a+b+c-) + N(a+b-c-) N(b-c+) = N(a+b-c+) + N(a-b-c+) Alle N zijn positief. N(a+b-) ≤ N( a+c-) + N(b-c+) 2 mog. 2 mog. 2 mog. 2≤4
(A)
(als alle pos. zijn)
Laat n (a+b+) het aantal keren zijn dat een proton A,a+ heeft en het andere proton b+.
Vermits als a+ in A, dan a- in B volgt
162
n(a+b+) / N(a+b-) + N(a-b+) = n(a+c+) / N(a+c-) + N(a-c+) = n(b+c+) / N(b+c-) + N(b-c+) (Dit moet nog eens goed bekeken worden). Uit A en B volgt de Bell-ongelijkheid n(a+b+) ≤ n(a+c+) + n(b+c+). Deze ongelijkheid moet volgen uit de drie grondbeginselen. Maar ontkenning volgt uit de QT. Dus is de QT onverenigbaar met bijna evidente wijsgerige grondbeginselen. Dit fundamenteel holistisch aspect van de werkelijkheid is een centrale uitdaging vooral als men rekening houdt met het succes van de analytische methode. Dus moet men zich ook grondig afvragen of dat anti-lokaliteitsresultaat alle lokaliteitsresultaten opheft. Als de aanvaardbare kosmologie juist is zijn alle partikels ooit met elkaar in reële interactie geweest en is fysische onafhankelijkheid nergens gewaarborgd. Men zou dan een classificatie van soorten systemen, soorten interacties, en soorten niveaus moeten opbouwen ten opzichte waarvan een gradueel causaliteitsbeginsel waar zou zijn. Men tracht gewoonlijk de impact van EPR te verminderen door te stellen dat SRT slechts een restrictie op maximale snelheid voor informatiedragende signalen eist (die b.v. klokken zouden synchroniseren). Deze uitvlucht sluit echter een subjectivering van de c-postulaten van Einstein in die met de oorspronkelijke c-postulaten niet verenigbaar is. De contradictie blijft naar wij menen volledig. Waarom volgt uit ofwel de De Broglie-visie - ofwel uit de Feynman-interpretatie, ofwel uit de toestandsvector - golffunctie - operator calculus dualiteit, ofwel uit de onzekerheidsbeginselen, ofwel uit de superpositie de niet-lokaliteit? Kunnen die omgekeerd uit een cascade van anti-lokaliteitsbeginselen afgeleid worden? Eerst als op deze vragen antwoord kan gegeven worden zal men aan een wijsgerige interpretatie van de quantummechanica kunnen beginnen. Tot nu toe heeft men slechts op lokaal verrassende aspecten (in determinisme, dualisme, probabilisme, discontinuïteit) met globale afweer of aanvaardingsmechanismen gereageerd. Zoals wij ons hier opstellen: a) trachten in te zien waarom de objectieve werkelijkheid b) een deel van die eigenschappen heeft, terwijl een ander deel gewijzigd moet worden, hebben zeer weinigen (of zelfs niemand) beproefd. VII.2. Een algebraïsche voorstelling van de quantumtheorie: een lectuur van P.A.M. Diracs Principles of Quantum Mechanics 2.1.
Intiem verband tussen quantumtheorie en symmetrietheorie In zijn voorwoord tot de eerste uitgave van zijn Principles of Quantum Mechanics zegt
Dirac: The formulation of these laws (L.Apostel = the fundamental laws of physics) requires the use of the mathematics of transformations. The important things in the world appear as
163
the invariants (or more generally the nearly invariants, or quantities with simple transformation properties) of these transformations.17 F
F
Vermits symmetrieën eigenschappen zijn invariant onder transformaties (zie boven hoofdstuk II) ligt het voor de hand dat een metafysica die de werkelijkheid verklaart vanuit de interactie tussen haar symmetrieën en antisymmetrieën Diracs boek als aanzet tot deductie zal gebruiken. Het ligt ook voor de hand dat Dirac Weyls boek over Gruppentheorie und Quantenmechanik als enig verwant werk in de literatuur aanhaalt (we verwijzen de lezer naar Weyls laat algemeen werk over symmetrie). Wie het centraal belang van de symmetrie voor de relativiteitstheorie heeft gezien zal wel verwonderd zijn dat een theorie als de quanta, die in veel opzichten de tegenpool is van de eerste, juist ook in dezelfde context ontstaat. Gaat het over dezelfde symmetrieën? Kunnen de basiswetten uit symmetrie-eisen worden afgeleid? Hoe komt het dat uit eenzelfde basis twee eigenlijk tegenstrijdige theorieën ontstaan? Komt Diracs partiële synthese van quanta en speciale relativiteit tot stand op basis van de gemeenschappelijke verwijzing naar symmetrieën? Op die vragen zal een antwoord worden gezocht. 2.2.
Feitelijke en metafysische motivatie van de quantumtheorie
Diracs eerste hoofdstuk is een pleidooi voor de noodzaak van een niet klassieke mechanica en dat op het eerste gezicht volledig om empirische redenen. (We vatten zo dadelijk het empirisch feitenmateriaal samen.) Maar opmerkelijk genoeg staan naast dit feitenmateriaal ook ‘general philosophical grounds’. 18 F
F
1. Als men ‘grote’ systemen verklaart vanuit de interacties van hun ‘kleinere’ delen, dan zal dit tot een regressus ad infinitum leiden (de kleinere delen moeten zelf weer op hun beurt zo worden verklaard enz... ad infinitum.) 2. Tenzij men een objectief en intrinsiek verschil kan maken tussen ‘groot’ en ‘klein’; ‘give an absolute meaning to size’.19 F
F
3. Eén van de mogelijke bepalingen van ‘klein’ en ‘groot’ wordt door Dirac als de enig mogelijke voorgesteld: een systeem is groot als de observatie-interactie met dat systeem kan worden verwaarloosd, en is klein al dit niet het geval is. Niettegenstaande Dirac bepleit dat dit goed overeenkomt met de common sense betekenis van groot en klein, is het zeker niet de enige: de vele lagen ‘kleinheid’ tussen 1930 en 1990 ontdekt suggereren dat het niet voldoende is. De quark-hypothese suggereert ‘klein+’ te noemen systemen die ‘Dirac-klein’ zijn en bovendien slechts (of ook) zulke echte delen bevatten die niet buiten die systemen kunnen gebracht worden. Om het verschil ‘klein’-‘groot’ werkelijk absoluut te maken moet gesteld worden dat er een limiet voor de fijnheid van observatie-interacties bestaat (en dus ook een ondergrens voor de maat van door observatie-interactie veroorzaakte wijzigingen). Men kan dit veralgemenen: alle causale interacties veroorzaken minimale wijzigingen in hun termen. Die wijzigingen kunnen niet beneden een zekere drempel worden neergehaald. Indien deze veralgemening wordt aanvaard, kan het verschil tussen grote en kleine systemen zonder verwijzing naar observatie (slechts verwijzend naar causale interacties in het algemeen, of naar interniveau causale interacties) worden vastgelegd. 17
4. Resumerend: het programma van verklaring door microreductie (afleiding van de eigenschappen van gehelen uit die van delen) eist, volgens Dirac ‘een absolute laagste laag (finitisme van lagen) die door eigenschappen van haar causale interacties als zodanig bepaald moet worden. Er moet bovendien - willen wij ons programma trouw blijven - worden geëist dat deze laagste laag zichzelf verklaart, of dat haar aanwezigheid in het werkelijk heelal verklaard wordt. Om deze laatste eis bekommert Dirac zich niet. 5. Zijn wijsgerig besluit is echter in zijn eigen termen minstens paradoxaal te noemen: de laag der ‘kleine objecten’ die juist bepaald wordt door een eigenschap van haar causale interacties sluit de toepasbaarheid van causaal denken uit, volgens Dirac.20 Hij identificeert namelijk de deterministische differentiaalvergelijkingen met causaliteit. Wij, die realiteit met causaliteit verbinden kunnen hem hierin niet volgen, maar vinden in ons eigen postulaat een steun voor de onderscheiding ‘groot’ - ‘klein’ op causale basis. F
F
6. Open blijft of Diracs feitelijke QM het finitisme dat hij predikt realiseert (a) of het causaal finitisme volledig en correct uitgedrukt is (b), of het micro-reductionistisch programma een voldoende grond voor het causaal finitisme vormt (c). In ieder geval is één van de twee basisbegrippen van onze metafysica ‘causaliteit’ hier aanwezig. We zoeken nu naar ‘systeem’ en naar de interactie van ‘systeem’ en ‘oorzaak’. Het ‘systeembegrip’ vinden we op p.1 van Diracs motivatie voor QM: The forces known in classical electrodynamics are inadequate for the explanation of the remarkable stability of atoms and molecules, which is necesarry in order that materials may have any definite physical and chemical properties at all. Stabiliteit en systeem zijn solidair: systeem eist een minimale relatieve stabiliteit. Stabiliteit introduceert altijd een vorm van systeem. Dirac noemt dit geen filosofische eis, maar onze lezers zullen er zich rekenschap van geven dat het voor ons een fundamenteel wijsgerige eis is. Concreet blijkt de discrepantie tussen de stabiliteit van de werkelijkheid en de instabiliteit van de systemen in de klassieke elektrodynamica uit de interactie van gedestabiliseerde atomen met elektromagnetische velden. Volgens Maxwells theorie zullen de schommelingen van het veld alle fundamentele frequenties en hun harmonieken bevatten. In feite (Ritz' spectroscopische wet) blijken veel minder frequenties nodig (op een discontinue manier met elkaar verbonden). Dit belet instabiliteit maar is klassiek onverklaarbaar. Zo ook zou klassiek de specifieke warmte van de schommelingsenergie van een elektromagnetisch veld in de lege ruimte oneindig moeten zijn. Deze totaal destabiliserende gevolgtrekking blijkt gelukkig vals. Het golf- en partikelkarakter van licht en stof kan ook als een stabiliteitsvoorwaarde begrepen worden. Vanuit causaliteit en systeem werpt, volgens Dirac zelf (als men hem doordenkt) QM bezwaren op tegen de klassieke mechanica. In wat volgt tonen we dat de alternatieve QM die hij voorstelt zelf vanuit een symmetriebeginsel volgt (waarvan we de relatie met systeem en causaliteit kennen). 2.3.
Superpositie en Symmetrie
1. Het superpositiebeginsel: een voorbeeld. 21 F
20 21
Dirac 1958, p.4. Dirac 1958, p.4 en Polkinghorne 1984, pp.17-19.
165
Onderstel een assenstelsel met assen x, y en z. Wanneer een transversale golf in de z richting beweegt oscilleert hij in een rechte hoek t.o.v. de bewegingsrichting z. Laat een lichtbundel op een toermalijnkristal vallen dat alleen licht doorlaat dat gepolariseerd is in het vlak rechthoekig op zijn optische as. Klassieke elektrodynamica voorspelt voor iedere polarisatierichting van een invallende bundel of (zo ja, hoe groot een percentage) fotonen van de bundel die het toermalijnkristal doorkruisen. De eenvoudigste gevallen zijn 1) bundels evenwijdig met de optische as; 2) bundels rechthoekig op die optische as. Ingewikkelder worden de zaken als men a) geïsoleerde fotonen b) afstuurt in een polarisatierichting die noch een hoek van 0, noch een hoek van 90% maakt met de optische as. Het blijkt dan dat, als men dit herhaalde malen doet, in sin2α gevallen het foton doorkomt (waar α de hoek is tussen polarisatierichting en optische as) en in het cos2α het foton er niet doorkomt. Voor een geïsoleerd foton weet men niets met zekerheid. Een deel van een foton, of een foton met een energie verschillend van die van het invallend foton, of een foton die niet gepolariseerd is loodrecht op de polarisatie-as op de optische as komt niet voor op het einde van een experiment. Niets kan gezegd worden over het mechanisme binnen het toermalijnkristal dat erover beslist wat uiteindelijk gebeurt. Het superpositiebeginsel van de QM bestaat er eigenlijk in dat men het invallend foton dat een schuine hoek maakt met de optische as van toermalijn, gedeeltelijk in een polarisatietoestand evenwijdig met de optische as, en gedeeltelijk in een polarisatietoestand rechthoekig op de optische as beschouwt: iedere polarisatietoestand kan uitgedrukt worden als een ‘superpositie’ van twee op elkaar rechthoekig staande polarisatietoestanden.22 De observatie duwt de superpositie in een van deze zuivere toestanden. F
F
2. Het superpositiebeginsel: een tweede voorbeeld.23 F
F
In plaats van polarisatie beschouwen we nu de dynamische grootheden positie en impuls. Men neemt een lichtstraal. Men splitst ze in twee verschillende componenten door ze door een apparaat te laten gaan. Net als in het voorgaande experiment is de toestand van het foton een superpositie van twee mogelijke toestanden: de twee componenten waarin het werd gesplitst. Later laat men die twee componenten interfereren. Als de lichtstraal uit één foton bestaat, zal de bewegingstoestand daarvan, na splitsing, een ‘superpositie’ van de twee bewegingstoestanden, eigen aan de twee componenten, zijn. Een meting van de energie zal het foton volledig in één van de twee basistoestanden dwingen. Het is onmogelijk op voorhand met zekerheid te weten in welke van de twee toestanden het foton zal zijn wanneer de meting gebeurt. Dit verklaart waarom interferentie van twee golf analoge componenten kan gebeuren als ze elkaar opnieuw ontmoeten, terwijl ze zich toch als partikels gedragen (wanneer er geen interferentie is) en als een meting van de bewegingsveranderlijken na splitsing en vóór interferentie optreedt. 3. Het superpositiebeginsel: algemene formulering. A state of a system may be defined as an undisturbed motion that is restricted by as many conditions or data as are theoretically possible without mutual interference or contradiction. 24 F
Men kan - in tegenstelling tot een klassiek systeem - niet alle dynamische veranderlijken (plaats en snelheid van alle delen) exact aangeven. Hoe en of men het maximum bereikt heeft (veronderstellend dat er een maximum uniek bepaald is) wordt door de voorbereiding van het systeem beslist: men onderwerpt het systeem aan een aantal selectietests, interacties waarvan men de resultaten kent. Met ‘toestand’ wordt bedoeld ofwel de toestand op één ogenblik na de voorbereiding, of de toestand tijdens de ganse tijd na de voorbereiding. Als n toestanden mogelijk zijn, dan zegt het superpositiebeginsel dat voor iedere toestand van het systeem, deze toestand beschouwd kan worden a) op een oneindig aantal manieren; b) als een partieel in 2, 3,…, n , … ∞ toestanden zijn. Hoe een systeem op hetzelfde ogenblik tegelijk gedeeltelijk (niet in de spatiale zin bedoeld!) in vele (verschillende) toestanden kan zijn, is klassiek niet denkbaar. Laat C een superpositie van A en B zijn: C= c1A + c2 B. Dan bevindt C zich niet in een toestand x die intermediair is tussen A en B. C bevindt zich in ofwel A, ofwel B. Het gewicht dat in de superpositie aan A (resp. B) is gegeven bepaalt hoe dikwijls bij observatie C als A (resp. B) zal verschijnen 25 . F
F
4. Superpositie en symmetrie De formele eigenschappen van de superpositie zullen later duidelijk worden. Nu reeds zouden we er intuïtief willen op wijzen dat de ruimte van alle mogelijke toestanden van een systeem S, de faseruimte van S, die in het klassieke geval atomistisch is (iedere totaaltoestand sluit iedere andere totaaltoestand uit) hier veel sterker geïntegreerd is. Hier is iedere totaaltoestand een combinatie van andere totaaltoestanden. Een toestand is invariant onder de volgende bewerkingen: 1) C als superpositie van A en B, kan ook als superpositie van D en E, G en H (enz.) gezien worden. Zeker zijn (AB)(DE)(GH) niet willekeurig en kunnen niet alle koppels van toestanden worden gebruikt. Maar toch is C invariant onder substitutie van (DE) voor (AB) enz... 2) C, indien het een superpositie is, kan in context K1 als A, in K2 als B verschijnen en toch is C in dezelfde toestand. De verschillende contexten (al dan niet controleerbaar) die C als A of B doen verschijnen zijn compatibel met C, en kunnen voor elkaar worden gesubstitueerd. Zeker blijft C niet C (in die zin dat het gewicht van één van de superpositiecomponenten nul wordt na interactie) maar C blijft wel C in de zin dat x = ay + bz compatibel is met a = o of b = o). Het wijsgerig probleem dat zich stelt is het volgende: is de symmetrie (hier nog slechts grof aangeduid) en de integratie van de faseruimte die gewonnen wordt door het superpositiebeginsel voldoende groot en belangrijk, om het opgeven van strikt determinisme te rechtvaardigen? Als C, A en B volledig op gelijk plan worden gesteld dan kan C = Superpositie(A,B), A = Superpositie(B,C) en B = Superpositie(A,C) tot een cyclus brengen. Als men zulke cyclus wil vermijden, moeten A, B en C op verschillend plan staan (b.v. de enen diepte- de anderen oppervlaktetoestanden, of de enen potentieel de anderen actueel). De deductie van het beginsel van superpositie voor alle microtoestanden vanuit een symmetrie-eis zal een andere zijn naarmate men ene of andere interpretatie aanvaardt. Het is op dit ogenblik nog niet mogelijk tussen de interpretaties te kiezen. Daarom noteren we slechts als probleem: 1.Welke symmetrieën zijn noodzakelijk voor ‘kleine’ causale(a) systemen(b)? 2.Hoe volgt uit deze symmetrieën een bepaalde interpretatie van het superpositiebeginsel? 26 3.Subsidiair: volgt het superpositiebeginsel direct uit de stabiliteit en de causale ‘kleinheid’ van quantumsystemen? F
25 26
Dirac 1958, p.13. Dirac 1958, p.16 geeft direct de eerste interpretatie.
F
5. Mathematische formulering van het superpositiebeginsel: 27
167
F
Het superpositiebeginsel drukt een combinatie van toestanden uit die zelf weer een toestand vormt. De eenvoudigste entiteiten die opgeteld kunnen worden zijn vectoren. Dus ligt het voor de hand toestanden door vectoren voor te stellen als het superpositiebeginsel erop van toepassing is. Als c1 en c2 complexe getallen zijn en als /A> en /B> twee ket-vectoren zijn (de term wordt later verklaard) dan is /R> = C1/A> + C2/B> (1) ook een vector. We kunnen ook een oneindige reeks van vectoren optellen. Gegeven dat x een variabele is voor waarden uit een bepaald interval dan is /Q> = ∫/x>dx eveneens een vector. Iedere toestand van een dynamisch systeem op een bepaald ogenblik komt met een ketvector overeen, zo dat als de toestand de superpositie van andere toestanden is, zijn ket-vector de lineaire som (met complexe gewichten) van de ket-vectoren van die andere toestanden is. Twee belangrijke eigenschappen zijn: 1. superpositie is commutatief; 2. A, B en R spelen een volstrekt symmetrische rol in een superpositie als (1). Uit 1 en 2 volgt dat er geen volstrekt elementaire toestanden bestaan. .... 1 is dus de enig mogelijke. Als de ket-vector die met een toestand overeenkomt, vermenigvuldigd wordt met een willekeurig complex getal (verschillend van nul) zal het resultaat daarvan met dezelfde toestand overeenkomen. Dit is fundamenteel verschillend van de klassieke mechanica. De norm of lengte van de ket-vectoren heeft geen fysische betekenis, een toestand komt overeen met een oneindig aantal verschillende ket-vectoren. Slechts de relaties tussen de ket-vectoren hebben fysische betekenis. Uit dit algemeen beginsel volgt dat een superpositie van een toestand met zichzelf geen nieuwe toestand oplevert (c1 + c2)/A> = /A>). Deze mechanica is een zuiver kwalitatieve en relationele mechanica, en de rusttoestand (met ci = 0) bestaat er niet in: (c1+c2)/A> met (c1+c2)=0 is zinloos. De basissymmetrie die met een toestand een oneindig aantal vectoren doet overeenkomen, heeft gevolgen voor het superpositiebeginsel:28 als /B> de superpositie van /A> en /B> is, dan wordt R bepaald door c1 en c2. Als men de twee coëfficiënten met eenzelfde complex getal vermenigvuldigt, blijft dezelfde toestand behouden (/R> wordt vermenigvuldigd door hetzelfde complex getal). Een gesuperponeerde toestand wordt bepaald door de ratio tussen de complexe coëfficiënten c1 en c2. Dit laatste is een complex getal. De algemene vorm van een complex getal is x+iy waar x en y reëel zijn. Dus wordt de toestand bepaald door twee reële getallen x en y. Met een toestand /R> komt een dubbele oneindigheid verschillende vectoren overeen. Door de superpositie geldt dan: een toestand in superpositie is invariant onder alle transformaties (een tweedimensionale oneindige verzameling) die C1/C2 constant houden. Een deductie van de QM zou bestaan in een afleiding van 1. Het superpositiebeginsel. 2. De lineariteit van vectoren en hun optelling. 3. De zuivere relationaliteit. 4. De noodzaak F
27 28
Dirac 1958, pp.14-18. Dirac 1958, p.18.
F
168
gebruik te maken van complexe getallen. Tot nu toe hebben we slechts enkele aanduidingen in die richting gegeven. 2.4.
De tweede symmetrie: de QM is symmetrisch door een substitutie van ket-vectoren door bra-vectoren 29 F
Bra-vectoren zijn duaal ten opzichte van de zojuist ingevoerde ket-vectoren. Laat met iedere ket-vector /A> een numerieke functie f overeenkomen (een functie die met /A> een getal associeert) en laat f lineair zijn: f(/A> + /A'>) = f/A> + f/A'> (a) f (c/A>) = cf/A> (b) Indien deze voorwaarden vervuld zijn, mag men het getal dat door de functie f wordt geleverd bepalen als het scalair product van de ket-vector /A> met een nieuwe vector omdat uit de f-voorwaarden volgt dat a' : +/A’>) = + b' : ) = c, waar c een getal is De bra-vectoren (waarvan de notatie de relatie met de ket-vectoren uitdrukt - het zijn spiegelbeelden) zijn slechts bepaald in zoverre hun scalaire producten met de ket-vectoren gegeven zijn. Volledige uitdrukkingen hebben getallen als waarden, onvolledige () hebben vectoren als waarden. Intuïtief kan men30 de kets als input en de bra's als output vectoren en hun interactie als de combinatie van een input met een output interpreteren. /B> is de ‘starting condition’ en eindigt in toestand
F
