Samenvatting Beginselen van Productie en Logistiek Management
Pieter-Jan Smets 17 maart 2015
Inhoudsopgave I
Voorraadbeheer
4
1 Inleiding 1.1 Globalisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 4
2 Voorraadbeheer 2.1 Inleidende Beschouwingen . . . . . . . . 2.2 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Belang van voorraadvorming . . . . . . 2.4 Componenten van een Voorraadsysteem 2.5 Het Meten van Voorraad . . . . . . . . . 3 Deterministische Modellen 3.1 Inzichten uit de EOQ . . . . . . . . 3.2 Centraal vs. Decentraal . . . . . . . 3.3 Deterministisch model voor meerdere 3.4 Productiemodel . . . . . . . . . . . . 3.5 Hoeveelheidskorting . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
4 4 4 5 5 6
. . . . . . . . . . . . . . producten . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
6 8 8 8 8 9
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
9 10 11 11 12 12 13 13 13 14
. . . . .
. . . . .
. . . . .
4 Stochastische Modellen 4.1 Eenmalige Cyclus . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Meerdere Cycli met Verloren Verkoop . . . . 4.3 Meerdere Cycli met Recupereerbare Verkoop 4.4 Cycle Service Level en Fill Rate . . . . . . . . 4.5 DDLT Continu verdeeld . . . . . . . . . . . . 4.6 OP en Q simultaan bepalen . . . . . . . . . . 4.7 De (s,S)-bestelregel . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Stochastische Lead Time . . . . . . . . . . . . 4.9 Centralisatie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
. . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Lijst van figuren 1 2 3 4 5 6 7
De totale logistieke keten (fig 1 boek) . . . . . . . . . . . Het zaagtandmodel (fig 11 boek) . . . . . . . . . . . . . . Grafische voorstelling van de kostenfuncties (fig 12 boek) Het productiemodel (fig 21 boek) . . . . . . . . . . . . . . Het model met hoeveelheidskortingen (fig 16 boek) . . . . De voorraadbreukwaarschijnlijkheid (fig 27 boek) . . . . . De DDLT continu verdeeld (slides 2d p5 boek) . . . . . .
3
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
5 7 7 9 9 10 13
Deel I
Voorraadbeheer 1
Inleiding
De focus van dit vak ligt op het inzichten verwerven uit wiskundige berekeningen aangezien het een kwantitatief vak is. De inzichten zijn dus het belangrijkste. PLM gaat over alle transformatieprocessen die inputs omzetten in outputs en bijgevolg toegevoegde waarde cre¨eren. Hierbij zijn drie aspecten van belang: • Tijd: Hoe lang duurt het proces, wat drijft die tijd en kunnen we het versnellen? • Voorraad: hoeveel, waar en hoe lang aanhouden? • Output: Hoeveel kunnen we maken en hoe moeten we investeren om meer te kunnen produceren? Het doel van deze transformatieprocessen is: “matching supply with demand”. Op macro-economisch gaan is het namelijk zo dat: • als S > D ⇒ p ↓ • als D > S ⇒ p ↑ Op bedrijfseconomisch niveau is dit echter niet zo en zal het volgende gebeuren: • S > D ⇒ overschot/voorraad ⇒ geld zit tijdelijk vast in je voorraad en je kan het niet elders gebruiken = voorraad-kost • D > S ⇒ tekorst en klant zou naar concurrentie kunnen gaan = tekort-kost Het punt waar S = D zal in de praktijk bijna nooit voorkomen ⇒ zoeken naar evenwicht waar kost het laagst is.
1.1
Globalisering
Globalisering: “the world is flat”. Er zijn geen grenzen als het op PLM aankomt. Overal in de wereld kan je produceren en er wordt ook niet meer enkel voor de lokale markt geproduceerd. Dit zorgde voor het onstaan van footloose bedrijven: bedrijven die niet meer gevestigd zijn in 1 locatie. Deze Globale supply chain brengt ook veel onzekerheid met zich mee vanwege economische (vb. olieprijs), politieke (loonstijgingen in China) en andere factoren.
2
Voorraadbeheer
2.1
Inleidende Beschouwingen
Bij het beheer van de voorraad wil je er voor zorgen dat er niet te veel en niet te weinig is. Optimalisatie van de voorraad is een zeer belangrijk onderdeel in heel wat bedrijven. Voorraad = goederen/producten die je aanhoudt voor toekomstig gebruik. Ze ziojn dus nuttig, maar ze vertegenwoordigen dus ook een ge¨ınvesteerd kapitaal dat vast staat. Bijgevolg is voorraad vaak van strategisch belang voor bedrijven. Toenemende productvari¨eteit (groter aantal SKU’s) zorgt dat voorraden ook niet zo sterk dalen ondanks de constante druk om de voorraden te doen afnemen.
2.2
Definitie
Een voorraad zijn dus goederen die je aanhoudt voor toekomstig gebruik. In principe zijn er vier verschillende soorten voorraden: • Hulpstoffen • Grondstoffen • Goederen in bewerking (work in progress) • Afgewerkte producten 4
2.3
Belang van voorraadvorming
Voorraden worden aangehouden omdat het fysisch onmogelijk is, of economisch onverantwoord is of te risicovol is om goederen te laten toekomen juist op het moment dat er een vraag naar is (op voorraad produceren). Zonder voorraad moet de klant wachten (op order produceren).
Figuur 1: De totale logistieke keten (fig 1 boek) Als we naar de totale logistieke keten (figuur 1) kijken zien we dat voorraden zich op meerdere plaatsen zullen vormen. Er zijn drie voorname redenen voor dit fenomeen: Tijd- en ritmeverschillen (fysisch) Levertijden en productieduur zorgen dat er voorraad aangehouden moet worden als buffer om deze duurtijden te kunnen overbruggen. De voorraad kan gedrukt worden door productie op vraag af te stemmen en het inkorten van de totale doorlooptijd. Bij dit aspect spelen dus voornamelijk de overgangen tussen de verschillende spelers in de logistieke keten. Onzekerheid en variabiliteit (risico) Leveringstermijnen kunnnen veranderen, vraag is onzeker, machines kunnen uitvallen, . . . Deze onzekerheid geeft aanleiding tot het aanhouden van voorraad. Het wegnemen van deze onzekerheden laat toe de voorraad te verkleinen. Als je aan dit aspect denkt wil je dus voornamelijk vermijden op order te produceren. Economisch motief (economisch) De grootte van de voorraad hangt af van een trade-off analyse, zoals we later zullen zien, om de kosten te minimaliseren. Voorraad ontstaat dus ook dankzij dit motief.
2.4
Componenten van een Voorraadsysteem
De belangrijkste componenten zijn: de vraagstructuur, de aanbodstructuur, beperkingen en kosten en tot slot service. Bij de vraag maken we een eerste onderscheid tussen onafhankelijke/afhankelijke vraag, waarbij onafhankelijk de marktvraag van het eindproduct is (meestal niet gekend), de afhankelijke vraag de vraag naar componenten is. Daarnaast kan de vraag ook constant/variabel en gekend of ongekend zijn (stochastisch vs. deterministisch model). Op vlak van de aanbodstructuur denken we aan de aankoop of productiemodellen van het bedrijf zelf. Bij productiemodellen spelen omsteltijden, productiesnelheid en wachttijden voor machines mee. Beperkingen kunnen van allerlei aard zijn. De kosten die meespelen zijn de volgende: Bestel- of omstelkosten Deze kosten gaan gepaard met het plaatsen van een bestelling of het opstarten van productie waarbij machines omgesteld moeten worden. In het algemeen kunnen deze kosten opgedeeld worden in transportkosten en handling-in- en out-kosten. Aankoopprijs Uiteraard heeft de prijs van een product een impact op de aankoopkosten ervan. Indien men zelf produceert rekent men als aankoopkost de prijs van de grondstoffen plus directe kosten zoals arbeid en een toeslag voor indirecte kosten. Voorraadkosten Een voorraad aanhouden kost geld, en dit vanwege een paar redenen. Eerst is er de kapitaalkost. Geld dat vastzit in de voorraad had men voor andere doeleinden kunnen gebruiken. 5
Daarnaast moet men ook betalen voor de opslagruimte en de behandeling van de voorraad. Tot slot speelt veroudering van de voorraad mee waardoor deze op termijn waarde kan verliezen. Tekortkosten Tekortkosten zijn iets anders dan de voorgaande kosten. Het gaat hier om gederfde winst. Indien het goed in voorraad had geweest, had men dit kunnen verkopen en hier winst op kunnen maken. Nu is dit niet het geval en bestaat de kans dat deze potenti¨ele klant naar de concurrentie gaat. Tot slot is er nog de service. Men zal vaak een zo goed mogelijke service aan de klant nastreven (=het gewenste goed meteen kunnen leveren). Bijgevolg zal men voorraad moeten aanhouden. Een voorraadmodel kunnen we uitdrukken aan de hand van een doelfunctie die we gebruiken om de kosten te minimaliseren, terwijl we voldoen aan een bepaald serviceniveau.
2.5
Het Meten van Voorraad
Een eerste methode om de voorraad te meten zijn de zogenamde statische maatstaven. Het gaat voorraadwaarde hierbij om de klassieke balans-ratio’s, de voorraadwaarde, omzet aan kostprijs en de voorraadrotatie. De dynamische maatstaven gaan de voorraad doorheen de tijd beschrijven/analyseren. We zien twee voorbeelden: Voorraadprofiel : het voorraadprofiel geeft weer wat de waarde van de voorraad in functie van de tijd is (zie fig 2 boek). In het begin is dit alleen de waarde van de grondstoffen, maar hier komen uiteindelijk nog verwerkingskosten etc. bij. Indien we weten wat de waarde van de totale jaarproductie is, kunnen we de oppervlakte onder de curve van het voorraadprofiel berekenen. Wanneer we de totale jaarproductie door dit getal delen kennen we de voorraadrotatie. (Cumulatieve) Input-outputgrafiek Met deze voorstellingsmethode wil men alle schakels in een productiesysteem weergeven (zie fig 3&4 boek). Denk hierbij aan een aantal trechters die in elkaar over gaan. Een andere voorstelling is de cumulatieve I/O grafiek in functie van de tijd (fig 5 boek), waarin een horizontale doorsnede tussen input en output de doorlooptijd weergeeft en verticale de voorraad op een bepaald tijdstip. Vervolgens introduceren we de wet van Little. Deze wet stelt dat: gemiddelde voorraad = gemiddelde doorlooptijd × gemiddelde input
(1)
en toont duidelijk het verband tussen doorlooptijd en voorraad. Als we er van uitgaan dat gemiddelde input gelijk is aan gemiddelde output (wat binnen komt gaat ook terug weg), kunnen we dat verband ook met gemiddelde productie leggen.
3
Deterministische Modellen
Als het op het optimaliseren van de voorraad aankomt zijn er twee kernvragen: 1. Wanneer ga ik een bestelling plaatsen om de vooraad terug aan te vullen? (OP ) 2. Hoeveel ga ik bestellen? (Q) Een deterministisch model zal deze vragen trachten te beantwoorden onder de assumptie dat de vraag (D) constant is. De vraag is dus gekend en daarenboven ook elke dag hetzelfde. Het doel is dus de minimalisatie van de kosten. Zo zijn er vier: • Aankoopkosten (Cp ): aankoopprijs per gekochte eenheid. • Bestel-/omstelkosten (Co ): kosten voor transport, omstellen van machines, etc. Vaak onafhankelijk van Q. • Tekortkosten (Cs ): kost per eenheid tekort • Voorraadkosten (Ch ): “holding cost”, de kosten om voorraad aan te houden, ook de kapitaalkost ervan. Vaak uitgedrukt als percentage van de aankoopprijs: Ch = iCp
6
Figuur 2: Het zaagtandmodel (fig 11 boek) In figuur 2 kan je het typische voorraadverloop zien, waarbij er een Q geleverd wordt, en de voorraad daarna terug afneemt met een snelheid D. Vlak voor we uit voorraad zijn bestellen we terug zodat we nooit zonder voorraad zitten. Wanneer bestellen we dan? Veronderstel de gegevens op slide 2a:3. Werken in twee stappen: 1. Eerst berekenen we het order punt (OP ). We moeten 2 weken levertermijn (L) kunnen overbruggen dus we vinden het volgende: OP = 2 weken ×
10000/jaar = 384 52
Wanneer de voorraad dus 384 bedraagt zullen we onze bestelling plaatsen 2. Vervolgens berekenen we hoeveel we moeten bestellen (Q). Om Q te vinden zoeken we het punt waarmee we de kosten op jaarbasis minimaliseren. Deze kosten worden grafisch voorgesteld in figuur 3.
Figuur 3: Grafische voorstelling van de kostenfuncties (fig 12 boek) We bekomen volgende vergelijking voor de kosten op jaarbasis: T K(Q) = D × Cp + Co ×
D Q + Ch × Q 2
Als we het minimum van deze functie zoeken bekomen we dat: r dT K(Q) 2 × D × Co ⇒Q= = EOQ dQ Ch
(2)
(3)
waarbij EOQ staat voor Economic Order Quantity. We kunnen de getallen voor deze EOQ gewoon invullen en dan bekomen we de optimale Q, ook genoteerd als Q∗ .
7
3.1
Inzichten uit de EOQ
We kunnen formule 3 invullen in formule 2 om zo de jaarlijkse kosten meteen uit te kunnen rekenen. Anderzijds kunnen we de Optimale Cyclische Voorraad berekenen. Dit is de voorraad die je aanhoudt ten gevolge van Q∗ : q r 2×D×Co Ch Q D × Co = = (4) 2 2 2 × Ch Daarnaast kunnen we ook het aantal bestellingen in het optimum (N ∗ ) berekenen: r D × Ch D D ∗ N = =q = 2×D×Co Q 2 × Co
(5)
Ch
Analoog kan je ook nog de optimale tijd tussen twee bestellingen (T ∗ = 1/N ∗ ) berekenen.
3.2
Centraal vs. Decentraal
Er zijn twee manieren om je logistieke keten op te zetten: de centrale- en decentrale manier. Bij een decentraal systeem zit je dicht bij de markt, maar een centraal systeem zal in de vraag van alle regios voorzien. Stel dat je n distributiecentra hebt, dan zou een systeem met een centraal magazijn toelaten √ om je voorraad met een factor n te verminderen. (zie berekening in nota’s) √ Deze opmerking is gelijk aan de volgende: indien de vraag stijgt met n, zal de voorraad slechts met n toenemen.
3.3
Deterministisch model voor meerdere producten
Wat als ons bedrijf meerdere producten verkoopt? ⇒ Co heeft een vaste component plus een variabele component per product. We zouden de bestelcyclus voor elk product apart kunnen optimaliseren, maar dan kan het voorvallen dat we soms bestelling vlak na elkaar ontvangen. Oplossing: alles samen bestellen en dus N optimaliseren in plaats van Q. Dit doen we als volgt: s r D × Ch D × (Cp × i) N= = (6) 2 × Co 2 × Co Merk op dat D × Cp gelijk is aan het aankoopbedrag op jaarbasis (D$ ). Hoeveel bestellen we dan voor elk product i? Di Q∗i = ∗ (7) N
3.4
Productiemodel
Tot nu toe krijgen we de ganse Q in ´e´en keer als een levering, maar voor productieomgevingen kan het zijn dat je elke geproduceerde eenheid meteen als voorraad beschikbaar hebt (= model met eindige opvulsnelheid). Zoals je kan zien in figuur 4 volgt het voorraadverloop niet meer het klassieke zaagtandmodel omdat de voorraad slechts geleidelijk wordt aangevuld (zie nota’s voor extra aantekeningen bij grafiek). Wederom stellen we ons de vraag wanneer we gaan bijproduceren, en hoeveel dat dan juist moet zijn. Dit noemen we nu niet meer de EOQ, maar de EP Q. De totale kosten bij een productiemodel zijn als volgt: D Q P × Co + 1− × Ch (8) T K = D × Cp + Q 2 D Als we aan de hand van deze vergelijking de EP Q zoeken krijgen we het volgende: s 2 × D × Co 1 EP Q = × Ch (1 − D/P )
8
(9)
Figuur 4: Het productiemodel (fig 21 boek)
3.5
Hoeveelheidskorting
Tot nu toe was de aankoopprijs altijd constant, maar wat bij hoeveelheidskortingen? Zoals je kan zien in figuur 5, is de TC-curve niet meer constant doordat de aankoopkost niet meer constant is. Deze heeft nu een trapvormig verloop gekregen. Bijgevolg kunnen we deze niet meer afleiden om zo het optimum te vinden.
Figuur 5: Het model met hoeveelheidskortingen (fig 16 boek) Er is daarom een algoritme dat je kan gebruiken om Q∗ te vinden. Dit werkt op volgende manier: 1. Bereken EOQ voor de laagste aankoopprijs. Indien je deze Q zou kunnen kopen voor die prijs heb je het optimum gevonden. Indien Q te laag is ga je naar de volgende stap. 2. Indien Q te laag is, wil dat zeggen dat de best mogelijke bestelhoeveelheid voor die prijs, het minimum voor die prijs is. Bereken dus de T C voor die Q. 3. Neem de eerst volgende hogere aankoopprijs en bereken de EOQ. Indien deze geldig is voor dat segment vergelijk je de T C onder die EOQ met de eerder gevonden T C van de vorige, lagere prijs. Indien ook deze EOQ ongeldig is, bereken je wederom de T C voor de laagste Q in deze categorie en herhaal je het proces voor de volgende, hogere prijs.
4
Stochastische Modellen
Tot nu toe, bij deterministische modellen gingen we er van uit dat de vraag perfect gekend en constant was, dit gaan we nu “relaxeren”. We zullen de vraag dus niet exact kennen. We kennen wel een gemiddeld aantal klanten en de standaard deviatie (de standaardeviatie was voorheen 0). Stel dat we nu dezelfde bestelpolitiek aanhouden, we gebruiken dus de formule voor EOQ die we reeds gevonden hadden. Dan kan het voorvallen dat er een vraag binnen komt die groter is dan het gemiddelde ⇒ stockbreuk.
9
Anderzijds kan het ook voorvallen dat er nog overschot is op het eind van de periode. We onderscheiden dus twee situaties: • als DDLT > OP ⇒ stockbreuk • als DDLT < OP ⇒ voorraad Als we van een normale verdeling van de vraag uitgaan, zal je dus in de helft van de gevallen een stockbreuk hebben. Hoe kunnen we onze bestelpolitiek aanpassen, gegeven de verdeling van de vraag, om een optimaal resultaat te bereiken? 2 mogelijkheden: • Bestelhoeveelheid (Q) aanpassen • OP aanpassen Indien we OP aanpassen is de vraag hoeveel groter of kleiner deze dan moet worden (zie fig 6). We zullen de extra kosten van een grotere gemiddelde voorraad moeten afwegen tegen de kosten die optreden bij een tekort. Hiervoor introduceren we wat nieuwe notatie: Cun = Cs als kost bij “shortage”, Cov als kost bij “overstocking”.
Figuur 6: De voorraadbreukwaarschijnlijkheid (fig 27 boek)
4.1
Eenmalige Cyclus
Stel dat we slechts ´e´en keer aankopen, onder een onzekere vraag D. We moeten dan geen OP berekenen. Wat is Q∗ ? Er is een P (D < Q) (⇒ Cov ) en een P (D > Q) (⇒ Cs ). We bepalen Q∗ door een marginale analyse. Je gaat namelijk bijbestellen zo lang dat: Cov < Cs (10) of in andere woorden, Cov = M B en Cs = M C. We bereiken Q∗ dan van zodra: MC ≥ MB m Cov × P (D ≤ Q∗ ) ≥ Cs × P (D > Q∗ ) m P (D > Q∗ ) ≤
Cov Cov + Cs
De kans om uit voorraad te lopen moet dus kleiner zijn dan de verhouding van cost van te veel in voorraad ten opzichte van de kost van te weinig in voorraad te hebben. Dit noemt men ook wel de economische voorraadbreukwaarschijnlijkheid. Dit geeft weer hoe vaak je bereid bent om uit voorraad te lopen.
10
4.2
Meerdere Cycli met Verloren Verkoop
We hebben nu gezien hoe we Q∗ kunnen bepalen, maar hoe optimaliseren we ook nog OP zodat onze kosten minimaal zijn, rekening houdend met Cs en Cov ? Bij meerdere aankopen weten we dat: • M B = P (DDLT > OP ) × Cs ×
Q D
• M C = P (DDLT ≤ OP ) × Ch Wederom is OP optimaal waar M C ≥ M B: P (DDLT ≤ OP ) × Ch ≥ P (DDLT > OP ∗ ) × Cs ×
Q D
m P (DDLT > OP ∗ ) ≤
Ch × Q Cs × D + Ch × Q
We hebben dus dezelfde redenering als daarnet: de optimale kans op een tekorst moet ≤ dande afweging van de kost van teveel in voorraad ten op zichte van de kost van te weinig in voorraad. We kunnen nu de totale kostenfunctie bepalen: T K = aankoopkosten + bestelkosten + voorraadkosten + tekortkosten Q D = D × Cp + × Co + × Ch Q 2 ! ! OP M ax X X D + Ch (OP − DDLT ) × P (DDLT ) + Cs × (DDLT − OP ) × P (DDLT ) × Q DDLT =0
DDLT =OP +1
Dan kunnen we ook volgende zaken berekenen: OP X
(OP − DDLT ) × P (DDLT )
DDLT =0
Q+
OP X
(OP − DDLT ) × P (DDLT )
DDLT =0
Q + 2
OP X
(OP − DDLT ) × P (DDLT )
DDLT =0
Deze zijn respectievelijk: gemiddelde voorraad op einde cyclus, gemiddelde voorraad aan begin cyclus en de gemiddelde voorraad. Uit deze laatste vergelijking halen we ook de cyclusvoorraad (de eerste term) en de veiligheidsvoorraad (de tweede term). We bepalen OP ∗ met de voorraadkosten en de tekortkosten; en Q∗ met de aankoop- en bestelkosten. De Q zal dus dezelfde zijn als in een deterministisch model.
4.3
Meerdere Cycli met Recupereerbare Verkoop
Bij recupereerbare verkoop wordt een tekort op het einde van de cyclus meteen van je voorraad na levering afgetrokken. Bijvoorbeeld: bij een tekort van 5 zal na je levering slechts Q − 5 beschikbaar zijn. Nu zal de voorraad op het einde van de cyclus gelijk zijn aan: M ax X
(OP − DDLT ) × P (DDLT ) = OP − DDLT = V V
(11)
DDLT =0
Omdat we nu ook negatieve voorraad meetellen in de gemiddelde voorraad. Het is dan ook redelijk eenvoudig in te zien dat voorraad bij aanvang van de cyclus en de gemiddelde voorraad respectievelijk uitgedrukt worden door: VV +Q Q VV + 2 11
Ook te totale kosten zijn iets anders: D Q × Co + × Ch Q 2 M ax X D × + Ch × V V + Cs × Q
T K(Q, OP ) = D × Cp +
(DDLT − OP ) × P (DDLT )
DDLT =OP +1
Nu willen we wederom OP en Q bepalen zodat de totale kosten geminimaliseerd worden. Dit doen we weer met een marginale analyse: • M C = Ch (verschillend van verloren verkoop) • M B = Cs × P (DDLT > OP ) × D/Q Via dezelfde procedure als vorige keren bekomen we dat het optimum zich bevindt waar: P (DDLT > OP ) ≤
Ch × Q Cs × D
(12)
De optimale kans op een tekort is dus groter bij recupereerbare verkoop, maar dit is ook logisch. Bijgevolg zal het OP bij recupereerbare verkoop ook lager liggen.
4.4
Cycle Service Level en Fill Rate
CSL = het aantal keer dat je op het eind van een cyclus geen tekort hebt gehad. # bestelcycli zonder tekort # bestelcycli = 1 − P (stockbreuk)
CSL =
= 1 − P (DDLT > OP ) = P (DDLT ≤ OP ) De fill rate geeft meer info. Deze zegt namelijk dat als je een tekort hebt, hoeveel je dan uit voorraad kan leveren van die hoeveelheid. # eenheden geleverd uit voorraad per jaar # eenheden gevraagd per jaar # eenheden tekort per jaar =1− D per jaar # eenheden tekort per cyclus =1− Q E(DDLT > OP ) =1− Q
FR =
Veel bedrijven zeggen vaak dat ze een bepaald service level willen en gaan zo hun OP bepalen. Indien de kosten niet gekend zijn is dit een goede manier van werken, maar als ze wel gekend zijn kan je waarschijnlijk beter doen.
4.5
DDLT Continu verdeeld
We hebben tot nu toe gewerkt met een DDLT die discreet verdeeld was. Nu gaan we na hoe we omgaan met een DDLT die normaal verdeeld is. Visueel ziet dit er uit zoals in figuur 7. We vragen ons af hoe de kans op tekort verandert wanneer we OP verschuiven. Er geldt dat: V V = OP − DDLT = z × σDDLT
12
Figuur 7: De DDLT continu verdeeld (slides 2d p5 boek)
4.6
OP en Q simultaan bepalen
Aangezien OP en Q een invloed1 hebben op elkaar, zijn onze berekeningen tot nu toe altijd al foutief geweest. OP en Q moeten eigenlijk simultaan berekend worden via volgend algoritme: 1. Bepaal Q volgens EOQ formule 2. Bepaal OP op basis van P (DDLT > OP ) 3. Bepaal E(DDLT > OP ) q >OP )) 4. Herbereken Q0 = 2×D×(Co +Cs ×E(DDLT Ch 5. Ga terug naar stap 2 en blijf volgende stappen herhalen tot convergentie bereikt is
4.7
De (s,S)-bestelregel
Volgende regel is een heuristiek die gebruikt kan worden in plaats van de (OP,Q)-bestelregel. Deze laatste kijkt constant naar de voorraad en wanneer deze < dan OP , wordt Q eenheden besteld. Maar stel dat je van 21 → 11 stuks gaat, zou je volgens (OP, Q) nog steeds maar Q eenheden bestellen. Deze nieuwe regel zegt dat je Q + de “undershoot”2 moet bestellen om te vermijden dat je meteen opnieuw moet bestellen. Deze manier van bestellen noemt men een (s,S)-politiek, waarbij s het OP is, en S het aanvulniveau. Dit aanvulniveau is dus OP + Q. Indien producten enkel verkocht worden per stuk (geen grotere hoeveelheden toegelaten), dan is de (s,S) regel gelijk aan de (OP, Q) regel. Dit wil ook zeggen dat Q niet vast is in elke periode. Het volgende geldt namelijk: Qt = (S − s) + undershoott = S − voorraadpositiet
4.8
Stochastische Lead Time
Stel nu dat niet alleen D, maar ook L onzeker is. In dat geval moet je een beslissingsboom opstellen (zie slides), want als L langer is dan verwacht, moet je ook rekening houden met de vraag in die langere periode. Als je deze boom opgesteld hebt kan je berekenen wat P (DDLT = X) is. Bij een normaal verdeelde L zal je E(L) en V ar(L) moeten berekenen. L is namelijk onzeker dus je weet niet hoeveel keer je moet sommeren. (zie HB voor voorbeeld) 1 kleine 2 Dit
Q leidt tot meer bestellingen en er zal dus vaker kans op tekort zijn. Deze kans bepaalt ook het OP . is het aantal eenheden dat je onder je OP zit.
13
4.9
Centralisatie
In sectie ?? hadden we reeds gezegd dat het centraliseren van je voorraad de cyclusvoorraad kan doen dalen, maar wat is het effect van zo’n centralisatie op de veiligheidsvoorraad? Elke regio heeft zijn eigen Di en σi . Stel dat de regio’s dezelfde voorraad hebben: X X V Vi = (z × σDDLTi ) i
i
= n × z × σDDLTi Bij een centrale voorraad voor 2 locaties geldt het volgende: XX σDDLTtotaal = cov(σDDLT1 , σDDLT2 ) 1
=
X
2
σ 2 DDLT1 + σ 2 DDLT2 + 2σDDLT1 × 2σDDLT2 × ρ1,2
i
Deze laatste term is de correlatieco¨effici¨ent. Stel dat deze nul is: ρ1,2 = 0 ⇓ 2 σDDLT totaal
= 2 × σDDLT
Dat laatste gaat alleen op als de markten aan elkaar gelijk zijn. Maar de 2 kunnen we veralgemenen naar n voor n markten. Bijgevolg geldt dat: √ V V = z × n × σDDLT Dit√wil zeggen dat als er geen correlatie is tussen de verschillende markten, de V V zal afnemen met factor n bij een centralisatie. Indien ρ 6= 0 zien we het volgende. Stel ρ = 1: 2 2 σDDLT = n2 × σDDLT totaal totaal
Dit wil zeggen dat bij perfecte correlatie tussen de verschillende markten, V V = z × n × σDDLT en er is dus geen effect op de VV. Dit alles is het principe van pooling: aggregeren van de vraag om zo de variabiliteit uit te middelen overheen de regio’s. De V V daalt omdat de onzekerheid gemiddeld gezien daalt. Grote vraag in een bepaalde markt zal waarschijnlijk uitgemiddeld worden door een kleinere vraag ergens anders.
14
