Verstrooiing van Dirac Fermionen in Grafeen aan Elektrostatische en Magnetische

Faculteit Wetenschappen Departement Fysica

Academiejaar 2009–2010

Verstrooiing van Dirac Fermionen in Grafeen aan Elektrostatische en Magnetische Barri` eres

Christophe De Beule

Promotor: Prof. dr. B. Partoens Medebegeleider: M. Barbier

Theoretische scriptie voorgedragen tot het behalen van de graad van Bachelor in de Fysica

Inhoudsopgave 1 Inleiding 1.1 Relativiteit in een potloodstreep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Doelstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Kristalstructuur van grafeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 2

2 Elektronische bandenstructuur van grafeen 5 2.1 Tight Binding model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Pi banden van grafeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Bandenstructuur rond het Dirac punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barri` eres 3.1 Massaloze Dirac fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Algemene oplossing van de tijdsonafhankelijke Dirac vergelijking 3.3 Continu¨ıteitsvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Potentiaalberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Potentiaalbarrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Transfermatrixmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Verstrooiing van Dirac 4.1 Landau levels . . . . 4.2 Magnetische berg . . 4.3 Magnetische barrière Besluit

deeltjes aan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

12 12 13 15 16 21 25

magnetische barri` eres 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 37

Hoofdstuk 1

Inleiding 1.1

Relativiteit in een potloodstreep

Een potloodstreep is opgebouwd uit grafiet, een materiaal dat bestaat uit atomaire laagjes koolstofatomen. In 2004 is een groep van de Universiteit van Manchester onder leiding van André Geim erin geslaagd om individuele lagen grafiet, grafeen, te isoleren door gebruik te maken van scotch tape 1 . Dit was op zich een grote doorbraak omdat gedacht werd dat tweedimensionale kristallen niet konden bestaan bij een temperatuur verschillend van nul omwille van thermische fluctuaties 2–4 . Samen met enkele anderen tweedimensionale materialen (bv. boron nitride) is grafeen één van de eerste tweedimensionale kristallen geobserveerd in de natuur 5 . In Fig. 1.1 wordt (a) de aanpak van de Manchester groep ge¨ıllustreerd en (b) een waarneming van grafeen onder een elektronen microscoop getoond. Dezelfde ploeg toonde in 2005 tegelijk met een andere groep, een samenwerking tussen de Universiteiten van Columbia en Princeton geleid door Philip Kim en Horst Stormer, aan dat ladingsdragers in grafeen relativistisch gedrag vertonen 6,7 . Sindsdien staat de experimentele en theoretische studie van grafeen sterk in de belangstelling van onderzoekers. De theoretische studie van grafeen en haar honingraat kristalrooster bestaat echter al langer aangezien grafeen beschouwd kan worden als de bouwblok van verscheidene grafiet-achtige materialen zoals nanobuizen en andere fullerenen. Naast het fundamenteel onderzoek is er ook interesse voor de mogelijke technologische toepassingen van grafeen. Elektronica gebaseerd op grafeen zou aan de hand van ballistische transistoren de maximale miniaturisatie van computerchips kunnen verbeteren en heeft voordelen tegenover dezelfde aanpak met nanotubes. De eerste commerciële toepassing is mogelijk een LCD waar grafeen gebruikt wordt als elektrode 8 .

1.2

Doelstelling

Omdat de ladingsdragers in grafeen relativistisch gedrag vertonen kan men de effecten van de Kwantumelektrodynamica experimenteel onderzoeken in het gewone labo. Zo is er bijvoorbeeld de Klein paradox -perfecte tunneling van relativistische deeltjes door 1

2

Hoofdstuk 1. Inleiding

(a)

(b)

Figuur 1.1: Zoeken naar een naald in een hooiberg. (a) De verschillende kleuren in deze optische waarneming (300 micron breed), wijzen op de aanwezigheid van grafiet vlokken met verschillende dikte. Deze vlokken zijn afgepeld van bulk grafiet met behulp van plakband en vervolgens aangebracht op een SiO2 substraat, dunnere en individuele lagen grafiet zijn te onderscheiden door hun transparantie. Na een ruwe selectie gebruikt men AFM om de de dikte van de kristallen te meten. (b) Transmissie elektronen microscoop beeld van grafeen hangend op een rekje van gouddraad 9 . hoge potentiaalbarrières- één van de meest exotische voorspellingen van de Kwantumelektrodynamica die moeilijk waargenomen kan worden in de experimentele elementaire deeltjesfysica 10,11 . Het is bijgevolg zeer interessant om deze fenomenen theoretisch te onderzoeken en aan de hand van deze voorspellingen experimenten te sturen. In deze uiteenzetting wordt de elektronische structuur van grafeen berekend aan de hand van het tight binding model en wordt de verstrooiing aan elektrostatische en magnetische barrières van ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen onderzocht. In het bijzonder wordt de Klein paradox in grafeen aangetoond, en de analogie van de beschrijving van ladingsdragers in grafeen met de relativistische Kwantummechanica besproken. In het deel over magnetisme worden eerst de Landau levels in grafeen berekend vooraleer de verstrooiing aan magnetische barrières onderzocht wordt. Om de bandenstructuur te berekenen moet er eerst gekeken worden naar de kristalstructuur van grafeen.

1.3

Kristalstructuur van grafeen

In Fig. 1.2 wordt het rooster en de eenheidscel van grafeen ge¨ıllustreerd. Het honingraat rooster is echter zelf geen Bravais rooster omdat twee naburige koolstofatomen, naaste naburen (nn) hebben in verschillende richtingen. Het rooster kan echter beschouwd worden als twee hexagonale Bravais subroosters, die onderling verschoven zijn over de nn afstand a = 1.42˚ A. Het Bravais rooster van grafeen is dus een hexagonaal rooster

3


˚ a = 1.42A

A

B ~3 R ~a1

y

~a2

~1 R

~2 R

x Figuur 1.2: Het rooster van grafeen bestaat uit twee hexagonale subroosters (zwart en wit) verschoven over de nn afstand a. Het rooster kan beschouwd worden als een hexagonaal rooster met een basis bestaande uit twee koolstofatomen A en B en primitieve roostervectoren ~ai (i = 1, 2). De eenheidscel is het gebied omsloten door de gestipte ruit. met een basis bestaande uit de twee koolstofatomen A en B. In het coördinatenstelsel van Fig. 1.2 worden de primitieve roostervectoren ~a1 en ~a2 uitgedrukt als √ √ a (1.1) −3, 3, 0 , ~a1 = 0, 3a, 0 , ~a2 = 2 √ waar a ˜ = |~a1 | = |~a2 | = 3a de roosterconstante van grafeen is. De oppervlakte √ 2van a /2, de eenheidscel (gestipte ruit op Fig. 1.2) is gelijk aan Ac ≡ ~a1 · ~a2 × ~a3 = 3˜ met ~a3 = (0, 0, 1). De corresponderende reciproke roostervectoren ~b1 en ~b2 met grootte ˜b = 4π/3a worden gegeven door √ ~b1 = 2π 1, 3, 0 , ~b2 = − 4π , 0, 0 . (1.2) 3a 3a De eerste Brillouin zone (BZ) wordt geconstrueerd aan de hand van de korste reciproke roostervectoren. Dit zijn de volgende zes vectoren: ±~b1 , ±~b2 en ±(~b1 + ~b2 ). In Fig. 1.3 wordt de eerste BZ van grafeen getoond. De punten met hoge symmetrie Γ, M en K worden in het co¨ ordinatenstelsel van Fig. 1.3 uitgedrukt als 4π π √ 1, 3 , K = 0, √ . (1.3) Γ = (0, 0) , M = 3a 3 3a

4


~b1 + ~b2

~b1 K M Γ

~b2

ky

−~b2

kx −~b1

−(~b1 + ~b2 )

Figuur 1.3: Het reciproke rooster van het hexagonaal rooster wordt geconstrueerd met de kortste zes reciproke roostervectoren: ±~b1 , ±~b2 en ±(~b1 + ~b2 ). Het grijze gebied plus de vette rand en zwarte punten stellen de eerste BZ voor met centrum Γ en de twee randpunten M en K.

Hoofdstuk 2

Elektronische bandenstructuur van grafeen De koolstofatomen in grafeen zijn sp2 -gebonden, dit betekent dat er drie sp2 orbitalen en één 2p orbitaal gevormd worden. De drie sp2 orbitalen overlappen met de andere sp2 orbitalen van de naaste naburen en vormen een σ binding. De 2p orbitalen vormen een π binding en dit leidt samen tot een resonante structuur. De σ gebonden elektronen van grafeen zijn zo sterk gebonden dat ze bijna nooit meedoen aan elektronisch transport. Het zijn de minder sterk gebonden π elektronen in grafeen (en andere koolstof materialen) die relevant zijn voor transport -en andere elektronische eigenschappen. Een eenvoudige tight binding berekening voor de π elektronen levert meteen veel inzicht in de elektronische structuur van de π banden van grafeen en andere grafiet-achtige materialen.

2.1

Tight Binding model

In dit model wordt de elektronische structuur van een kristal berekend aan de hand van een benaderende set golffuncties gebaseerd op een superpositie van atomaire golffuncties. Als een atoom in een kristal geplaatst wordt, overlapt zijn atomaire golffunctie met naburige atomen, waardoor het geen echte eigenfunctie is van de kristal Hamiltioniaan. Als de elektronen echter sterk gebonden zijn is er minder overlap en is het een goede benadering. Voor deze sectie werd er voornamelijk geput uit Saito et al. 12 . Een tight binding golffunctie Φj (~k, ~r) wordt als volgt geconstrueerd: N 1 X i~k·R~ ~ ~ √ e ϕj (~r − R), Φj (k, ~r) = N ~

(j = 1, . . . , n),

(2.1)

R

~ de positie is van het atoom dat correspondeert met de j-de toestand van het waar R atomaire orbitaal ϕj . Het totaal aantal orbitalen in een eenheidscel wordt gegeven door n en er wordt gesommeerd over alle eenheidscellen N . De functie Φj (~k, ~r) voldoet aan 5

6

Hoofdstuk 2. Elektronische bandenstructuur van grafeen

het Bloch theorema en men heeft in totaal n basis Bloch functies per kristal golfvector ~k. Periodische randvoorwaarden in elke richting ~aα geven Φj (~k, ~r + M~aα ) = Φj (~k, ~r),

(α = 1, 2),

(2.2)

waar M het aantal primitieve roostervectoren is in elke richting. Gebruik makend van vgln. (2.1) en (2.2) volgt er dat exp{ikα M aα } = 1 met aα = |~aα | of kα =

2pπ , M aα

(p = 0, 1, . . . , M − 1),

(2.3)

waar de rij afgekapt wordt vanaf p = M omdat we stellen dat er M 2 ≡ N onafhankelijke golfvectoren bestaan in de eerste Brillouin zone. Aangezien voor een echt kristal N heel groot is, kunnen we de kα beschouwen als continue variabelen. De eigenfuncties van de kristal Hamiltioniaan Ψi (~k, ~r) (i = 1, . . . , n) worden vervolgens benaderd door een lineaire combinatie van de basis Bloch functies Φj (~k, ~r): Ψi (~k, ~r) =

n X

Cij (~k)Φj (~k, ~r),

(2.4)

j=1

waar de complexe functies Cij (~k) te bepalen coëfficiënten zijn en de relatieve bijdragen van de Bloch orbitalen uit vgl. (2.1) tot de golffunctie bepalen. Deze n n-components golffuncties voldoen ook aan het Bloch theorema en beschrijven quasideeltjes. De eigenwaarden Ei (~k) worden gegeven door hΨi |H|Ψi i , Ei (~k) = hΨi |Ψi i

(2.5)

met H de kristal Hamiltoniaan, die a priori onbekend is. Substitueren van vgl. (2.4) in vgl. (2.5) geeft

Ei (~k) =

n X

∗ Cij Cij ′

j,j ′ =1 n X

∗ Cij Cij ′

j,j ′ =1

Φj |H|Φj ′

Φj |Φj ′

≡

n X

j,j ′ =1 n X

j,j ′ =1

∗ Cij Cij ′ Hjj ′ (~k)

,

(2.6)

∗ Cij Cij ′ Sjj ′ (~k)

waar Hjj ′ (~k) ≡ Φj |H|Φj ′ en Sjj ′ (~k) ≡ Φj |Φj ′ (j, j ′ = 1, . . . , n) respectievelijk de transfer -en overlapmatrices genoemd worden. Dit zijn de matrixrepresentaties van de Hamiltoniaan en de eenheidsoperator in de basis van Bloch functies. De coëfficiënten ∗ (~ Cij k) kan men optimaliseren door de energie te minimaliseren voor vaste ~k: n X

Cij ′ Hjj ′ (~k)

n X

∗ Cij Cij ′ Hjj ′ (~k) n X ~ ∂Ei (k) j ′ =1 j,j ′ =1 0= − Cij ′ Sjj ′ (~k). 2 n ∗ = X ∂Cij n ∗ j ′ =1 Cij Cij ′ Sjj ′ (~k)  X ∗ Cij Cij ′ Sjj ′ (~k) j,j ′ =1

j,j ′=1

(2.7)


Door vgl. (2.7) te vermenigvuldigen met

n X

j,j ′=1

7

∗ Cij Cij ′ Sjj ′ (~k) en de uitdrukking voor Ei (~k)

uit vgl. (2.6) hierin te substitueren, vindt men n X

j ′ =1

Cij ′ Hjj ′ (~k) = Ei (~k)

n X

j,j ′ =1

Cij ′ Sjj ′ (~k).

(2.8)

Als we de volgende kolomvector definiëren, Ci = (Ci1 , . . . , Cin )t , kunnen we vgl. (2.8) herschrijven als HCi = Ei (~k)SCi . (2.9) Deze vergelijking heeft een oplossing verschillend van nul als det(H − ES) = 0,

(2.10)

de oplossing Ci = 0 betekent dat de golffunctie niet bestaat. vgl. (2.10) noemt men de seculiere vergelijking, een n-de graadsvegelijking voor zekere ~k waarvan de oplossingen alle n eigenwaarden Ei (~k) bepalen. Er zijn 2N onafhankelijke orbitalen per energieband Ei omwille van elektron spin en de periodische randvoorwaarden uit vgl. (2.3).

2.2

Pi banden van grafeen

~ (j = De twee Bloch functies worden geconstrueerd uit de twee 2p orbitalen ϕj (~r − R) A, B) van de twee koolstofatomen A en B in Fig. 1.2. Deze basisfuncties horen bij het π elektron van het subroosters A of B en worden expliciet gegeven door N 1 X i~k·R~ ~ ~ e ϕj (~r − R), Φj (k, ~r) = √ N ~

(2.11)

R

zoals gedefinieerd in vgl. (2.1). Door de definite van Hjj ′ (j ′ = A, B) uit vgl. (2.6) te gebruiken en vgl. (2.11) hierin substitueren, krijgen we voor het matrix element HAA : HAA =

N D E 1 X i~k·(R~ ′ −R) ~ ~ ~ ′) ϕA (~r − R)|H|ϕ r−R e A (~ N ~ R ~′ R,

N 1 X = E2p N

(2.12)

~ ′ =R ~ R

~′ = R ~ ± ~a1,2 en R ~ ± (~a1 − ~a2 )) + (termen gelijk of verder dan R

≈ E2p .

~′ ~ In vgl. (2.12) komt de grootste D bijdrage in de som van E R = R, en dit geeft de energie ~ ~ . Dit is echter niet de atomaire van het 2p orbitaal, E2p ≡ ϕA (~r − R)|H|ϕ r − R) A (~

8


energiewaarde omdat de Hamiltioniaan een kristal potentiaal bevat. De volgende naaste naburen en verder gelegen termen worden verwaarloosd voor de eenvoud. Gelijkaardig vinden we dat het matrix element HBB = HAA omdat atomen A en B identiek zijn. Voor het matrixelement HAB wordt de grootste bijdrage geleverd wanneer A en B naaste ~ ′ = R+ ~ R ~ l (l = 1, 2, 3). naburen zijn. In Fig. 1.2 wordt ge¨ıllustreerd dat er dan geldt dat R ′ ~ In de sommatie over R beschouwen we enkel deze gevallen en verwaarlozen we bijdragen van verder gelegen atomen: HAB ≈

3 N E 1 X X i~k·R~ l D ~ ~ ~ ϕA (~r − R)|H|ϕ (~ r − R − R ) e A l N ~ l=1 R ~ ~1 ~2 ik·R i~k·R

= t(e

+e

~ ~

+ eik·R3 )

(2.13)

≡ tf (~k), D E ~ ~ −R ~ l ) ∀ l een fenomenologische parameter is met een waar t ≡ ϕA (~r − R)|H|ϕ r−R A (~ ∗ negatieve waarde. Het matrix element HBA = HAB opdat H hermitisch zou zijn. Als we E2p gelijk aan nul stellen dan wordt de expliciete uitdrukking van de matrixrepresentatie H voor de Hamiltioniaan in de Bloch basis gegeven door ! ~k) 0 tf ( H(~k) = . (2.14) tf (~k)∗ 0 ~ l uitgedrukt als In het co¨ ordinatenstelsel van Fig. 1.2 worden de vectoren R √ a a √ ~ ~ ~ 1, − 3, 0 , R3 = 1, 3, 0 . R1 = (−a, 0, 0) , R2 = 2 2

(2.15)

Uit vgl. (2.15) volgt dan voor f (~k):

f (~k) = e−ikx a + 2eikx a/2 cos

√ ! ky 3a . 2

(2.16)

De overlap matrix S, gedefinieerd in vgl. (2.6), wordt op een gelijkaardige wijze berekend. Ten eerste geldt dat SAA = SBB = 1 als we aannemen dat de Bloch golffuncties Φj genormaliseerd zijn. We veronderstellen ook dat D er geen overlap is tussen E naburige ~ A (~r − R ~ −R ~ l ) = 0 voor atomaire golffuncties zodat S = I2 , aangezien ϕA (~r − R)|ϕ alle l. Omdat de functie f (~k) uit vgl. (2.16) in het K punt, gegeven in vgl. (1.3), gelijk aan nul is, is deze benadering exact voor het K punt. De eigenwaarden E(~k) worden bekomen uit het oplossen van de seculiere vergelijking det(H − ES) = 0: E(~k) = −st|f (~k)| v u u = s|t|t1 + 4 cos2

(2.17) √ ! kx 3a ky 3a + 4 cos cos 2 2

√ ! ky 3a , 2

(2.18)

9


3 2.5

| Et |

2 1.5 1 0.5 0 −4

Γ M

−2

−4

K

0

−2 0

2

2 4

ky a

4

kx a

Figuur 2.1: De energie dispersie relatie van grafeen voor heel de eerste BZ. De π en π ∗ banden zijn symmetrisch rond E = 0 voor deze eenvoudige beschrijving. De energie wordt weergegeven in eenheden van t en de golfvectoren in eenheden van 1/a. met s = sign(E). s = −1 in vgl. (2.17) geeft de bindings π energie band (valentieband), en s = 1 de anti-bindings π ∗ energie band (conductieband). In Fig. 2.1 wordt de energie dispersie relatie geplot voor heel de eerste Brillouin zone, getoond in Fig. 1.3. De punten Γ, M en K uit vgl. (1.3) hebben respectievelijk energiewaarden ±3t, ±t en 0. Omdat er twee elektronen per eenheidcel zijn, is de π band helemaal gevuld is en ligt het Fermi niveau (voor T = 0 K) bij E = 0 en snijdt het de top van de valentieband en het minimum van de conductieband in het K punt. Omdat we verondersteld hebben dat de overlapmatrix de eenheidsmatrix is, wat wil zeggen dat er geen overlap is tussen de atomaire golffuncties van koolstofatomen A en B, is de energie dispersie symmetrisch rond nul. Uit een berekening van de toestandsdichtheid volgt dat de toestandsdichtheid bij het Fermi niveau nul is 13 . In deze beschrijving is grafeen dus een halfgeleider met een bandgap gelijk aan nul, wat een gevolg is van het feit dat de A en B atomen dezelfde soort atomen zijn. Als dit niet het geval was (zoals bij boron nitride) dan waren de diagonaalelementen van de Hamiltoniaan verschillend geweest en zou de energie dispersie een energiekloof tussen de banden tonen.

10


2.3

Bandenstructuur rond het Dirac punt

Elektronische excitaties met een lage energie zijn excitaties met een energie veel kleiner dan de bandbreedte 6|t|. Uit sectie 2.2 volgt dat als we deze excitaties willen beschrijven, we moeten kijken naar excitaties rond het Fermi niveau (≪ t). Uit de energie dispersie (Fig. 2.1) volgt dat zulke excitaties zich rond het K punt bevinden. Dit zijn ladingsdra~ + d~k. Om de energie dispersie relatie rond het K gers met een kristal golfvector ~k = K √ punt te vinden, expanderen we de functie f (~k) uit vgl. (2.16) rond K = 0, 4π/3 3a . De meeste fundamentele eigenschappen van grafeen zitten bevat in het model verkregen uit een eerste orde Taylor expansie van f (~k). Hogere ordes worden verwaarloosd aangezien we reeds tijdens het opstellen van de tight binding Hamiltoniaan deze termen hebben laten vallen. Als we de oorsprong verplaatsen naar het K punt dan bekomen we ~k) ~k) ∂f ( ∂f ( ~ + kx + ky , (2.19) f (~k) ≈ f (K) ∂kx ~ ~ ∂ky ~ ~ k=K

met

" ∂f (~k) = ia eikx a/2 cos ∂kx

k=K

# √ ! ky 3a − e−ikx a , 2

(2.20)

en

√ ! √ ik a/2 k ∂f (~k) 3a y = − 3ae x sin . (2.21) ∂ky 2 p ~ = 0, wat Als we gebruik maken van sin(2π/3) = (3)/2, cos(2π/3) = −1/2 en f (K) volgt uit vgl. (2.16), dan bekomen we: 3a f (~k) ≈ −i (kx − iky ). 2

(2.22)

Door vgl. (2.22) te substitueren in vgl. (2.17) vinden we een lineaire energie dispersie relatie rond het K punt: 3a E = s|t| k, (2.23) 2 met s = sign(E) en waar we gebruik gemaakt hebben van k2 = kx2 + ky2 . De Fermi snelheidsvector wordt gegeven door 1 3a cos φ ~vF = ∇~k E = s|t| , (2.24) ~ 2~ sin φ aangezien kx = k cos φ en ky = k sin φ met φ de hoek ingesloten door de golfvector ~k en de x-as. De Fermi snelheid wordt dan vF = |t|

3a . 2~

(2.25)

Substitueren van vgl. (2.25) in vgl. (2.23) geeft E = s~vF k,

(2.26)

11


0.25 0.2 0.15 0.1

E/t

0.05

K

0 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2 −0.25 0.1

0.05

0

ky a

−0.05

−0.1

−0.1

−0.05 0

0.05

0.1

kx a

Figuur 2.2: Het lineaire spectrum rond het Dirac punt. De energie wordt weergegeven in eenheden van t en de golfvectoren in eenheden van 1/a. wat sterk lijkt op de relativistische energie voor een massaloos deeltje met impuls ~k (bv. een foton). Het enige verschil is dat de lichtsnelheid vervangen is met de Fermi snelheid. Dit is een eerste indicatie dat ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen zich gedragen als massaloze relativistische deeltjes. De uitdrukking voor de energie uit vgl. 2.26 wordt geplot in Fig. 2.2. Als we vgl. (2.25) en vgl. (2.22) substitueren in vgl. (2.14) bekomen we de Dirac-achtige Hamiltoniaan: 0 i(kx − iky ) H0 = ~vF . (2.27) −i(kx + iky ) 0 Omwille van deze gelijkenis noemt men het K punt, het Dirac punt. Het lineaire spectrum is experimenteel bevestigd door het meten van de energie-afhankelijke cyclotron massa 6 , de observatie van een relativistisch analogon van het integer kwantum Hall effect 7 en directe metingen van de dispersie met ARPES 14 . Een ruwe afschatting van de Fermi snelheid, gedefinieerd in vgl. (2.25), geeft vF ≈ 106 m s−1 , waar we de parameter t ≈ −3eV gesteld hebben 12 . Dit is ongeveer een factor 300 kleiner dan de lichtsnelheid en ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen bewegen dus niet aan relativistische snelheden, maar gedragen zich relativistisch omwille van de symmetrie van het rooster.

Hoofdstuk 3

Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barri` eres 3.1

Massaloze Dirac fermionen

Uit sectie 2.3 volgde dat de ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen beschreven worden door de Dirac-achtige Hamiltoniaan: H0 = ~vF ~σ · ~k,

(3.1)

met de Fermi snelheid vF ≈ 106 m s−1 en de Pauli matrices ~σ = (σx , σy ). De fasefactoren i en −i uit vgl. 2.27 worden in de componenten van de golffunctie gestoken. De analogie met het Dirac formalisme uit de relativistische Kwantummechanica kan nog verder getrokken worden. Voor positieve energie (conductieband, zie Fig. 2.2) zijn de ladingsdragers elektron-achtig en negatief geladen. Als de energie negatief is en de valentieband niet helemaal opgevuld is, dan gedragen de onopgevulde toestanden zich als positief geladen quasideeltjes; deze holten zijn het analogon van positronen in de Kwantumelektrodynamica. In de klassieke Kwantummechanica zijn elektronen en holten niet met elkaar verbonden: ze worden door twee verschillende niet-gekoppelde Schrödingervergelijkingen beschreven (verschillende effectieve massa), met een parabolisch energiespectrum. De componenten van de twee componentsfunctie Ψ ≡ (ΨA , ΨB ), gedefinieerd in vgl. (2.4), geven weer wat de relatieve bijdrage is tot de golffunctie van het quasideeltje van de twee subroosters A en B (van de Bloch orbitalen). Deze beschrijving is gelijkaardig aan deze van spinor golffuncties, waar de spin vervangen wordt door subrooster of pseudospin σ. Nu kunnen we ook begrijpen waarom de Klein paradox voorkomt in grafeen. De Klein paradox in de Kwantumelektrodynamica kan ge¨ınterpreteerd worden door het feit dat voor een potentiaalbarrière die hoog genoeg is, de energie in de potentiaal voldoende negatief wordt om een positron te creëren. Dat positron tunnelt vervolgens door de barrière en verschijnt terug als een elektron uit de barrière. Dit is moeilijk waar te nemen in de elementaire deeltjesfysica, omdat de vereiste potentiaal van de orde van de rustenergie van het positron moet zijn, wat zeer grote elektrische velden oplevert. Omdat quasideeltjes in grafeen massaloos zijn, wat een gevolg is van 12

Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières

13

het lineaire energiespectrum, is er geen theoretische ondergrens voor de Klein paradox. In de volgende secties wordt de verstrooiing van ladingsdragers, beschreven door H0 , aan één-dimensionale elektrostatische stappotentialen besproken. Ook de Klein paradox wordt theoretisch aangetoond.

3.2

Algemene oplossing van de tijdsonafhankelijke Dirac vergelijking

In de envelop functie benadering worden de ~k waarden in de tight binding Hamiltoniaan ˆ 0 vervangen door operatoren −i∇. Als we werken in de positierepresentatie, geldt er H ˆ ~k = kx , (3.2) kˆy ∂ (3.3) kˆx = −i , ∂x ∂ kˆy = −i , (3.4) ∂y ˆ 0 gegeven wordt door zodat de Hamiltoniaan H 0 kˆx − ikˆy ˆ H0 = ~vF ˆ . kx + ikˆy 0

(3.5)

ˆ 0 ψ = EΨ volgt Uit de tijdsonafhankelijke Dirac vergelijking H ΨB =

~vF ˆ (kx + ikˆy )ΨA , E

en (kˆx2 + kˆy2 )ΨA =

E ~vF

2

ΨA ,

(3.6)

(3.7)

dit is een lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde in x en y. Het oplossen van deze vergelijking en de subsitutie van de oplossing ΨA in vgl. (3.6) geeft ons de envelop ˆ 0 . Voor de studie van verstrooiing wordt er gekeken functies van de eigentoestanden van H naar één-dimensionale barrières in de x-richting. Daarom wordt er verondersteld dat het quasideeltje vrij is in de y-richting. Omdat kˆx en kˆy gekoppeld worden de Hamiltoniaan zal de verstrooiing anisotroop zijn. Dit is een fundamenteel verschil met verstrooiing van ladingsdragers beschreven door de Schrödingervergelijking. Door een scheiding van veranderlijken Ψ(x, y) = ψ(x)eiky y toe te passen op vgl. (3.7) vindt men 1 1 ikx x ψ(x) = a e + b e−ikx x , (3.8) seiφ −se−iφ met (E/~vF )2 = kx2 + ky2 , kx = k cos φ, ky = k sin φ en −π/2 < φ < π/2. We zullen ook altijd veronderstellen dat kx en ky reëel zijn tenzij expliciet vermeld. De complexe


14

coëfficiënten a en b kan men bepalen naargelang de fysische situatie. Omdat we deze componenten fysisch willen interpreteren als een rechts- en linkspropagerende golf, bekijken we de groepssnelheid in de x-richting. Deze werd gegeven door vgl. (2.24): vx = svF cos φ,

(3.9)

waaruit volgt dat een holte (s = −1) in de tegengestelde zin beweegt dan een elektron (s = 1). Om de golffunctie juist te interpreteren moeten we ervoor zorgen dat de juiste coëfficiënt bij de juiste component staat. Omdat voor een holte de componenten van plaats verwisselen, vermenigvuldigen we kx met het teken van de energie s. De invalshoek wordt dan gegeven door ky = sφ. (3.10) arctan skx Dit is ook een oplossing van vgl. (3.7) en hieruit volgt samen met vgl. (3.6): 1 1 ψ(x) = a isφ eiskx x + b e−iskx x . e −e−isφ

(3.11)

De Hamiltoniaan voor een quasideeltjes dat zich voortbeweegt in een potentiaal V wordt ˆ=H ˆ 0 + V of expliciet gegeven door H V kˆx − ikˆy ˆ H = ~vF ˆ . (3.12) kx + ikˆy V ˆ = Eψ is exact oplosbaar voor een constante potenDe statische Dirac vergelijking Hψ tiaal V = V0 . Om de oplossingen te bekomen voor een constante potentiaal in de xrichting, wordt er opgemerkt dat enkel de energieschaal veranderd is tegenover vgl. (3.7), E → E − V0 . De golfvector in de potentiaal wordt gegeven door q = s′

E − V0 , ~vF

(3.13)

waar s′ = sign(E − V0 ). Omdat de potentiaal langs de x-richting ligt geldt er q 2 = qx2 + ky2 , waar qx de nieuwe x-component van de golfvector is. Uit vgl. (3.13) volgt dan s E − V0 2 − ky2 , qx = ~vF

(3.14)

(3.15)

wat imaginair wordt als q 2 − ky2 < 0. De golffunctie in de potentiaal wordt dus gegeven door vgl. (3.11) met kx ↔ qx , φ ↔ θ en s ↔ s′ . Als qx reëel is, kunnen we de brekingshoek −π/2 < s′ θ < π/2 definiëren door ky arctan ′ = s′ θ. (3.16) s qx


15

Aan de hand van de definite van ky in beide gebieden, krijgt men k sin φ = q sin θ

(3.17)

sk sin(sφ) = s′ q sin(s′ θ),

(3.18)

of met sφ en s′ θ respectievelijk de invals -en brekingshoek. Deze vergelijking is een soort wet van Snellius voor breking aan een potentiaal V0 voor massaloze Dirac fermionen. De grootte van de golfvector maal het teken van de energie neemt de rol van brekingsindex over. Grafeen kan dus bijgevolg rond het Fermi niveau, beschouwd worden als een meta materiaal, aangezien de brekingsindex negatief kan worden 15 .

3.3

Continu¨ıteitsvergelijking

Om verstrooiing te onderzoeken, moeten de coëfficiënten van de golffunctie uit vgl. 3.11 bepaald worden in functie van a. Hiervoor moet er een eis gesteld worden voor de golffunctie aan het begin van de barrière. De transmissie wordt dan berekend aan de hand van de stroomdichtheid, die bekomen wordt uit de continu¨ıteitsvergelijking. De waarschijnlijkheidsverdeling ρ = |Ψ|2 wordt gegeven door ΨA † ∗ ∗ Ψ Ψ = (ΨA , ΨB ) ΨB = |ΨA |2 + |ΨB |2 = ρA + ρB ,

(3.19)

de lading wordt gegeven door −seρ met e de elementaire lading. We zoeken nu de uitdrukking voor de stroomdichtheid ~j door de continu¨ıteitsvergelijking ∂ρ + ∇ · ~j = 0, ∂t ∂ ˆ bekomen we uit te werken. Gebruik makend van i~ ∂t Ψ = HΨ, ∂ ∂ ∂ ∂ ∗ + − ΨB + ΨA i i~ ρA = −~vF ΨA i ∂t ∂x ∂y ∂x ∂ ∂ ∂ ∂ ∗ ∗ i~ ρB = −~vF ΨB i + − ΨA + ΨB i ∂t ∂x ∂y ∂x

(3.20)

∂ ∗ ΨB , ∂y ∂ ΨA , ∂y

(3.21) (3.22)

wat geldig is voor al de Hamiltonianen die gebruikt worden in dit proefschrift. Omdat ρ = ρA + ρB , volgt er uit de vorige vergelijkingen ∂ ∂ ∂ρ ∗ ∗ ∗ ∗ = −vF (ΨA ΨB + ΨA ΨB ) + i(ΨA ΨB − ΨA ΨB ) (3.23) ∂t ∂x ∂y ∂ ∂ ∗ ∗ = −2vF Re(ΨA ΨB ) + Im(ΨA ΨB ) . (3.24) ∂x ∂y

Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières Identificatie van vgl. (3.23) met vgl. (3.20) geeft voor de stroomdichtheid ∗Ψ ) B ~j = 2vF Re(ΨA . Im(Ψ∗A ΨB )

16

(3.25)

Om de voorwaarde aan een barrière in de x-richting op x = 0 te vinden, integreren we ˆ = EΨ tussen −ǫ en ǫ voor de limiet van ǫ → 0. Dit geeft voor het rechter -en HΨ linkerlid respectievelijk: Z ǫ lim ΨA dx = 0, ǫ→0 −ǫ Z ǫ Z ǫ ˆ lim kx ΨB dx = −i lim [ΨB (ǫ) − ΨB (−ǫ)], (3.26) ǫ→0 −ǫ

ǫ→0 −ǫ

waaruit volgt lim

Z

−ǫ

ǫ→0 ǫ

[ΨB (ǫ) − ΨB (−ǫ)] = 0.

(3.27)

De voorwaarde gegeven in vgl. (3.27) is verschillend van de voorwaarde bekomen met de Schr¨ odingervergelijking, waar niet enkel de golffunctie, maar ook de afgeleide van de golffunctie continu moet zijn. V (x) V0

0

x

Figuur 3.1: Potentiaalberg met hoogte V0 .

3.4

Potentiaalberg

Beschouw de stappotentiaal (zie Fig. 3.1) 0 x < 0, V (x) = V0 x > 0. De golffunctie voor x < 0 wordt gegeven door vgl. (3.11): 1 1 iskx x ψ1 (x) = a isφ e +b e−iskx x , e −e−isφ

(3.28)

(3.29)


17

Voor de stroomdichtheid langs de x-richting j(x < 0), gedefinieerd in vgl. (3.25), vindt men j(x < 0) = 2vF (|a|2 − |b|2 ) cos φ = j+ − j− .

(3.30)

Voor x > 0 moeten we twee situaties beschouwen afhankelijk van sˆ = sign(q 2 − ky2 ). Als sˆ = −1 dan is qx imaginair, i.e. qx = i|qx |. Omdat de golffunctie eindig moet zijn voor x → ∞ vindt men aan de hand van vgl. (3.6): 1 e−|qx |x . (3.31) ψ2 (x) = c ~vF (|q | + k ) i E−V x y 0 De coëfficiënten b en c worden uitgedrukt in functie van a door te stellen dat de golffunctie continu moet zijn in x = 0 wat volgt uit vgl. (3.27). ψ1 (0) = ψ2 (0) geeft a + b = c, aeisφ − be−isφ = c i

~vF (|qx | + ky ), E − V0

waaruit volgt u a, u∗ 2 cos φ a, c= u∗

b=

met u = eisφ − i

(3.32)

~vF (|qx | + ky ). E − V0

Noemen we nu r ≡ b/a de reflectiecoëficiënt en t ≡ c/a de transmisiecoëficiënt dan vinden we voor de stroomdichteid j(x > 0) = jt = 0. De reflectiewaarschijnlijkheid R ≡ j− /j+ = |r|2 en de transmissiewaarschijnlijkheid T ≡ jt /j+ zijn dan respectievelijk gelijk aan 1 en 0 wat volgt uit vgln. (3.32) en (3.30). Er moet gelden dat R + T = 1 (behoud van stroom) wat triviaal voldaan is. Voor sˆ = 1 krijgen we voor de golffunctie na de stap, als we de golf van links laten invallen: ′ 1 ψ2 (x) = c is′ θ eis qx x . (3.33) e Uit de continu¨ıteitsvoorwaarde volgt a + b = c, isφ

ae

′

− be−isφ = ceis θ ,


18

waaruit volgt eisφ − eisθ a, e−isφ + eisθ 2 cos φ a. c = −isφ e + eisθ b=

(3.34)

Voor de stroomdichtheid jt bekomen we nu jt = 2vF |c|2 cos θ,

(3.35)

R en T worden dan 1 − cos(sφ − s′ θ) , 1 + cos(sφ + s′ θ) cos θ T = |t|2 cos φ 2 cos φ cos θ . = 1 + cos(sφ + s′ θ)

R=

(3.36)

(3.37)

Dit volgt uit vgln. (3.34) en er geldt ook dat R+T = 1. De transmissiewaarschijnlijkheid voor de potentiaalberg wordt getoond in Fig. 3.2, voor (a) massaloze Dirac fermionen als functie van E/~vF en φ, en (b) klassieke Schrödinger deeltjes als functie van E/V0 . Uit (a) volgt dat het probleem, zoals men verwacht, symmetrisch is en dat er een knooppunt is bij de hoogte van de potentiaal. Men merkt ook op dat er altijd tunneling is rond φ = 0 en aangezien het knooppunt opschuift naar rechts voor grotere potentialen, wordt de potentiaalberg transparanter met toenemende hoogte V0 , wat beschouwd kan worden als een voorbeeld van de Klein paradox. Voor E > V0 verandert T heel snel van nul naar één voor een bepaalde hoek, die groter wordt met toenemende energie. De verschillen met de transmissiewaarschijnlijkheid in (b), die men bekomt voor de Schrödingervergelijking, zijn de koppeling tussen kx en ky , en tussen holtes en elektronen. Voor (b) geldt ook dat voor E < V0 , T altijd gelijk aan nul is en de golffunctie exponentieel afneemt achter de potentiaalberg 16 . Soortgelijke conclusies kunnen genomen worden uit de waarschijnlijkheidsverdeling (evenredig met de lading) in functie van de hoek phi en de positie x van de golffuncties uit vgln. (3.29) en (3.31) met coëfficiënten gegeven door vgln. (3.32) en (3.34), die geplot worden in Fig. 3.3 voor s′ = ±1. Deze plots zijn louter kwalitatief (met dezelfde kleurschaling als Fig. 3.2), aangezien de waarschijnlijkheidsverdeling genormaliseerd moet zijn en vlakke golven niet normaliseerbaar zijn (tenzij het systeem opgesloten wordt). Voor s′ = 1 valt er op dat er enkel tunneling is voor quasideeltjes die ongeveer loodrecht invallen op de potentiaalberg, wat ook te zien is in de transmissiewaarschijnlijkheid (a) van Fig. 3.2. Het gebied waar T ≈ 1 wordt plots nul vanaf een bepaalde hoek en breidt zich uit naarmate de energie groter wordt. Als s′ = −1 is er tunneling rond φ = 0, die sterker wordt naarmate de berg hoger wordt (Klein paradox). De resonanties in het gebied voor de potentiaalberg zijn steeds te wijten aan interferentie tussen de inkomende en gereflecteerde golf.


19

1.5 0.9 1

0.8 0.7

0.5

φ (rad)

0.6 0.5

0

0.4 −0.5

0.3 0.2

−1

0.1 −1.5 −2

−1

0

1

2

3

4

0

E/¯hvF (a) Dirac 1 0.9 0.8 0.7

T

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

E/V0

1.2

1.4

1.6

1.8

2

(b) Schr¨ odinger

Figuur 3.2: (a) De transmissiewaarschijnlijkheid T van quasideeltje beschreven met ˆ voor een potentiaalberg van hoogte V0 /~vF = 2 als functie Dirac-achtige Hamiltoniaan H van E/~vF en hoek φ. (b) T voor een Schrödinger deeltje in functie van E/V0 .


20

1.5

1

φ (rad)

0.5

0

−0.5

−1

−1.5 −2

−1.5

−1

−0.5

0

x

0.5

1

1.5

2

1

1.5

2

(a) E/~vF = 3, s′ = 1

1.5

1

φ (rad)

0.5

0

−0.5

−1

−1.5 −2

−1.5

−1

−0.5

0

x

0.5

(b) E/~vF = 1, s′ = −1

Figuur 3.3: Waarschijnlijkheidsverdeling |Ψ|2 voor een potentiaalberg van hoogte V0 /~vF = 2 op x = 0 in functie van de hoek φ en positie x in lengte eenheden [~vF /E].


21

V (x) V0

0

D

x

Figuur 3.4: Potentiaalbarrière met hoogte V0 en breedte D.

3.5

Potentiaalbarri` ere

Beschouw de stappotentiaal (zie Fig. 3.4) V0 0 < x < D, V (x) = 0 elders.

(3.38)

Gebruik makend van dezelfde methodiek als in de vorige sectie over de potentiaalberg, krijgen we voor de golffunctie:  1 1  isk −iskx x xx  a isφ e +b x < 0,  −isφ e  e −e    1 1 ′ −is′ qx x 0 < x < D, ψ(x) = c is′ θ eis qx x + d −is′ θ e −e e      1   f isφ eiskx x x > 0, e

als we golf van links laten invallen met a, b, c, d en f complexe coëfficiënten. Buiten de barrière volgt de golffunctie uit vgl. (3.11), in de barrière 0 < x < D zijn beide componenten toegelaten omdat de golffunctie steeds normaliseerbaar is op een eindig interval. Er moet dus niet meer expliciet gekeken worden naar de verschillende gevallen voor sˆ = ±1. De stroomdichtheid j(x) wordt gegeven door   (|a|2 − |b|2 ) cos φ = j+,1 − j−,1 x < 0, j(x) = 2vF (|c|2 − |d|2 ) cos θ = j+,2 − j−,2 0 < x < D, (3.39)  2 |f | cos φ = jt x > 0.

Door de continu¨ıteitsvoorwaarde op x = 0 en x = D, worden alle coëfficiënten uitgedrukt in functie van a: b = 2eisφ sin(qx D)[ss′ sin φ − sin θ]a/u,

c = ga,

′

eis θ − eisφ ga, d=e e−is′ θ + eisφ f = 2e−iskx D cos φ cos θa/u, i2s′ qx D

(3.40)


22

met ′

′

u = e−is qx D cos(sφ + s′ θ) + eis qx D cos(sφ − s′ θ) − 2is′ sin(qx D), ′

′

g = e−is qx D cos φ(e−is θ + eisφ )/u.

De reflectie -en tranmissiewaarschijnlijkheid worden respectievelijk gegeven door R = j+,1 /j−,1 = |r|2 en T = j+,1 /jt = |t|2 , zoals vroeger gedefinieerd. Een expliciete vorm wordt niet gegeven, omdat ze nogal ingewikkeld is en niet noodzakelijk is voor de interpretatie. De uitdrukking voor r stemt overeen met deze uit Katsnelson et al. 11 . De transmissie voor de potentiaalbarrière wordt getoond in Fig. 3.5, voor (a) massaloze Dirac fermionen en (b) klassieke Schrödinger deeltjes als functie van de energie. In (a) is de Klein paradox zichtbaar rond φ = 0 en treden er resonanties op voor qx D = nπ , met n ∈ N. Uit vgl. (3.40) volgt dat dan r = 0 of T = 1. Voor (b) wordt de barrière transparanter met toenemende energie en is T onafhankelijk van ky . De waarschijnlijkheidsverdeling is geplot in Fig. 3.6 voor s′ = ±1. De verhoogde waarschijnlijkheid (a) in de barrière zelf, maken heeft te maken met interferentie in de barrière en exponentiële bijdragen voor qx imaginair.


23

1.5 0.9 1

0.8 0.7

0.5

φ (rad)

0.6 0.5

0

0.4 −0.5

0.3 0.2

−1

0.1 −1.5 −4

−2

0

2

4

6

ED/¯hvF (a) Dirac V0 D/~vF = 6 1 0.9 0.8 0.7

T

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

10

20

30

40

ED2 2m/¯h2

50

60

70

80

(b) Schr¨ odinger V0 D2 2m/~2 = 25

Figuur 3.5: De transmissiewaarschijnlijkheid voor een potentiaalberg als functie van de energie E en (a) hoek φ in energie eenheden van (a) D −1 ~vF en (b) D 2 2m/~2


24

1.5

1

φ (rad)

0.5

0

−0.5

−1

−1.5 −2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

x/D

1

1.5

2

2.5

3

1.5

2

2.5

3

(a) ED/~vF = 3

1.5

1

φ (rad)

0.5

0

−0.5

−1

−1.5 −2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

x/D

1

(b) ED/~vF = 7

Figuur 3.6: Waarschijnlijkheidsverdeling |ψ|2 voor een potentiaalbarrière van breedte D en hoogte V0 D/~vF = 6 in functie van ψ en x/D.


3.6

25

Transfermatrixmethode

Voor een willekeurge stuksgewijze stappotentiaal, gebruikt men liever een numerieke methode omdat de analytische berekeningen te lang en ingewikkeld worden. Deze methode noemt men de transfermatrixmethode. Beschouw een willekeurige stuksgewijze stappotentiaal   V1 x < x 1 ,    V2 x 1 < x < x 2 , (3.41) V (x) = .. ..  . .    VN x > xN −1 ,

die bestaat uit N verschillende deelgebieden. De golffuncties in deze deelgebieden worden gegeven door  1 1  is k x −is1 kx,1 x 1 x,1  a1 is φ e + b1 x < x1 ,  −is1 φ1 e 1 1  e −e     1 1   a2 eis2 kx,2 x + b2 e−is2 kx,2 x x1 < x < x2 , is φ −is 2 2 e −e 2 φ2 ψ(x) = (3.42)  . .  . .  . .     1 1   aN  eisN kx,N x + bN e−isN kx,N x x > xN −1 , eisN φN −e−isN φN

waar we bN gelijk aan nul stellen als we de golf van links laten invallen. De stroomdichtheid wordt dan  (|a1 |2 − |b1 |2 ) cos φ1 = j+,1 − j−,1 x < x1 ,     (|a2 |2 − |b2 |2 ) cos φ2 = j+,2 − j−,2 x1 < x < x2 , j(x) = 2vF (3.43) .. ..  . .    |aN |2 cos φN = jt x > xN −1 .

Hiernaast geldt ook dat

E − Vj , kj = sj ~v s F E − Vj 2 kx,j = − ky2 , ~vF ky , φj = arctan kx,j

(3.44) (3.45) (3.46)

met (j = 1, . . . , N ), sj = sign(E − Vj ) en s1 φ1 de invalshoek. De coëficiënten a2 en b2 worden uitgedrukt in functie van a1 en b1 , door de continu¨ıteitsvoorwaarde in x = x1 : 1 a2 = × (3.47) b2 2 cos φ2 ix (s k −s k ) −is φ a1 e 1 1 1 2 2 (e 2 2 + eis1 φ1 ) e−ix1 (s1 k1 +s2 k2 ) (e−is2 φ2 − e−is1 φ1 ) . b1 eix1 (s1 k1 +s2 k2 ) (eis2 φ2 − eis1 φ1 ) e−ix1 (s1 k1 −s2 k2 ) (eis2 φ2 + e−is1 φ1 )


26

We noemen de matrix uit vgl. (3.47) T (1) , en samen met uj = (aj , bj )t kunnen we schrijven uN = T (N −1) . . . T (2) T (1) u1 = M u1 , (3.48) waar we M de transfermatrix noemen. We vinden zo een uitdrukking voor de coëficiënten b1 en aN in functie van a1 : aN M11 M12 a1 = , (3.49) 0 M21 M22 b1 waaruit volgt dat M21 a1 , b1 = − M22 M21 aN = M11 − M12 a1 . M22

(3.50) (3.51)

Uit vgl. (3.43) volgt dan voor de reflectie-en transmissiewaarschijnlijkheid M21 2 , R = M22 2 cos φN M 21 T = M11 − M12 . M22 cos φ1

(3.52) (3.53)

De juistheid van deze methode en de numerieke implementatie werd aangetoond door te kijken naar de resultaten voor de potentiaalberg en potentiaalbarriére. De transmissiewaarschijnlijkheiden voor de potentiaal gegeven in Fig. 3.7, samen met een potentieel die bestaat uit dezelfde stappotentiaal gevolgd door de omgekeerde van de eerste, worden getoond in Fig. 3.8. De eenheden zijn hetzelfde als in het deel over de potentiaalberg. In Fig. 3.8 (a,b) zijn er resonanties en de Klein paradox rond φ = 0. (b) Omdat holten en elektronen dezelfde potentiaal zien, maar in omgekeerde volgorde, is T symmetrisch rond nul.

V0 /~vF = 3 0.5 0 0.5

...

2.5

3.5

...

x 6

Figuur 3.7: Potentiaal die gebruikt werd in de transfermatrixmethode.


27

1.5 0.9 1

0.8 0.7

0.5

φ (rad)

0.6 0.5

0

0.4 −0.5

0.3 0.2

−1

0.1 −1.5 −2

−1

0

1

2

E/¯hvF

0

3

(a)

1.5 0.9 1

0.8 0.7

0.5

φ (rad)

0.6 0.5

0

0.4 −0.5

0.3 0.2

−1

0.1 −1.5 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

0

E/¯hvF (b)

Figuur 3.8: Transmissiewaarschijnlijkheid T , numeriek berekend met de beschreven transfermatrixmethode voor (a) de stappotentiaal gegeven in Fig. 3.7 en (b) dezelfde stappotentiaal gevolgd door de omgekeerde van de eerste. De energie wordt gegeven in eenheden van ~vF .

Hoofdstuk 4

Verstrooiing van Dirac deeltjes aan magnetische barri` eres We beschouwen een magnetisch veld langs de z-richting, beschreven door de vectorpo~ met ijk tentiaal A ~ = (0, B0 x, 0) , A (4.1) ~ ~ en dus B = ∇× A = (0, 0, B0 ). De Hamiltoniaan voor een Dirac deeltje in dit magnetisch ˆ 0 waar ~k → ~k − q A/~: ~ veld wordt gegeven door H ˆ = ~vF ~σ · ~k − q A ~ , H (4.2) ~ met q = −se de lading van het quasideeltje. De Landau levels worden nu berekend uit ˆ = EΨ. de statische Dirac vergelijking HΨ

4.1

Landau levels

ˆ voor een magneetveld uit vgl. (4.2) waar we de ijk uit vgl. (4.1) De Hamiltoniaan H gebruiken, wordt expliciet gegeven door ! ˆx − i(ky + γ e|B0 | x ˆ ) 0 k ~ ˆ = ~vF , (4.3) H ˆ) 0 kˆx + i(ky + γ e|B~ 0 | x ˆ kˆy ] = 0 wordt de operator kˆy vervangen door zijn met γ = sign(−qB0 ). Omdat [H, verwachtingswaarde en krijgen we voor de eigentoestand Ψ = ψ(x)eiky y . Om de vergeˆ = Eψ te ontkoppelen, nemen we het kwadraat van H: ˆ lijkingen uit Hψ ! ˆ2 + (ky + γ e|B0 | x)2 + ~e|B0 | k 0 2 2 2 x ~ ˆ = ~ vF , (4.4) H 0 kˆx2 + (ky + e|B~ 0 | x)2 − ~e|B0 | waar er gebruik gemaakt wordt van de commutator [kˆx , x ˆ] = −i. We definiëren nu r 2e|B0 | √ −1 α= (4.5) = 2lB , ~ 28

Hoofdstuk 4. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan magnetische barrières

29

ˆ 2ψ = met lB de magnetische lengte. Substitutie van vgl. (4.5) in vgl. (4.4) geeft voor H 2 E ψ: # " 2 2 2 α α E kˆx2 + (ky + γ x)2 ψA = ψA , (4.6) −γ 2 ~vF 2 # " 2 2 2 α α E kˆx2 + (ky + γ x)2 ψB = ψB , (4.7) +γ 2 ~vF 2 Deze vergelijkingen stellen het analogon voor van de kwantum harmonische oscillator uit de klassieke Kwantummechanica. Het magneetveld zorgt voor een ’Dirac’ harmonische 2 . We voeren nu enkele dimensieloze grootheden in: opsluiting rond −γky lB E , α~vF x′ = αx, ky ky′ = , α

E′ =

zodat kˆx′ = −i

kˆx ∂ = . ∂(αx) α

Als we de accenten weglaten krijgen we voor vgln. (4.6) en (4.7): h γi 1 2 2 ˆ ψA , kx + (x − x0 ) ψA = E 2 − 4 2 h 1 γi kˆx2 + (x − x0 )2 ψB = E 2 + ψB , 4 2 met x0 = −2γky . Stellen we nu x′ = x − x0 en γ λA = − E 2 − , 2 γ λB = − E 2 + , 2

dan krijgen we uiteindelijk (als we de accenten weer laten vallen) 1 2 2 ˆ kx + x ψA = −λA ψA , 4 1 2 2 ˆ kx + x ψB = −λB ψB . 4

(4.8)

(4.9)

(4.10) (4.11)

(4.12) (4.13)

(4.14) (4.15)

of ∂2 1 ψA − ( x2 + λA )ψA = 0, 2 ∂x 4 1 2 ∂2 ψB − ( x + λB )ψB = 0. ∂x2 4

(4.16) (4.17)


30

Deze differentiaalvergelijkingen worden Weber vergelijkingen genoemd. De oplossingen 2 voor x ∈ R, worden gegeven door de Hermite polynomen ×e−x met eigenwaarden λ = − n + 12 waarbij n ∈ N+ 16 . Uit vgln. (4.12) en (4.13) volgt dan dat de Landau levels gegeven worden door n + 1+γ 2 2 , E = (4.18) 1−γ n+ 2 , of E 2 = n, aangezien n ∈ N+ en γ = ±1. Als we terug overgaan naar normale eenheden krijgen we: q E=s

2ne~|B0 |vF2 ,

(4.19)

met s = sign(E). Uit deze uitdrukking volgt dat de grondtoestand gegeven wordt door E = 0 en dat er negatieve Landau levels zijn (holtes). Ay (x)

0

x

Figuur 4.1: Magnetische berg voor een magneetveld B0 . De stippellijn stelt de ycomponent van de vectorpotentiaal voor.

4.2

Magnetische berg

Beschouw de stuksgewijze vectorpotentiaal (zie Fig. 4.1) (0, 0, 0) x < 0, ~ A(x) = (0, B0 x, 0) x > 0.

(4.20)

De golffunctie voor x < 0 wordt gegeven door vgl. (3.11). Voor x ∈ R+ worden de oplossingen van de differentiaalvergelijking uit vgln. (4.16) en (4.17) gegeven door parabolische cilinder functies of Weber functies 17 . Er bestaan twee onafhankelijke oplossingen of Weber functies, die functie zijn van de eigenwaarde λ en x − x0 , waar x gedefinieerd werd in vgln. (4.8). Om verwarring te vermijden zullen we deze coördinaat vanaf nu x ˆ noemen. De andere grootheden blijven ook dimensieloos, zoals gedefinieerd in vgln. (4.8). We noteren deze oplossingen als U (λ, xˆ) en V (λ, xˆ). De oplossingen voor ψA en ψB in het magneetveld kunnen uit vgln. (4.16) en (4.17) bekomen worden. We gebruiken echter alleen vgl. (4.16) voor ψA , omdat er anders onvoldoende informatie is om het verstrooiingsprobleem op te lossen. We zouden dan een stelsel bekomen met meer dan één parameter (de enige parameter is de coëfficiënt a uit het vorig hoofdstuk). ψB wordt

31


ˆ = Eψ, waar H ˆ zoals in het deel over elektrostatische barrières bepaald uit door Hψ gegeven wordt in vgl. (4.3): x ˆ 1 ˆ kxˆ + iγ ψA , (4.21) ψB = E 2 waar we meteen alles dimensieloos geschreven hebben. ψA wordt zelf gegeven door ˆ) + dV (λA , x ˆ), ψA = cU (λA , x

(4.22)

met c en d complexe coëfficiënten. Door gebruik te maken van verschillende recursierelaties voor U en V 17 , krijgen we voor de golffunctie in de barrière: U (λA , x ˆ) V (λA , x ˆ) ψ2 (x) = c +d , (4.23) iξU (λB , x ˆ) iµV (λB , x ˆ) waar ξ en µ gedefinieerd zijn als (γ + 1) , E (γ − 1) 2µ = E(γ + 1) + . E 2ξ = E(γ − 1) +

(4.24) (4.25)

Het asymptotisch gedrag in x ˆ2 van U is exponentieel dalend en van V exponentieel stijgend 17 . Voor de magnetische berg stellen we dus d = 0, zodat de golffunctie niet divergeert voor x → ∞. De golffunctie voor de magnetische berg wordt dus gegeven door  1 1  isk −iskx x x < 0, xx  +b  a isφ e −isφ e e −e ψ(x) = (4.26) U (λA , x ˆ)   x > 0.  c ξU (λB , x ˆ)

Uit de continuiteitsvoorwaarde ψ1 (0) = ψ2 (0) volgt met

u a, u∗ u c = ( ∗ + 1)/U (λA , −x0 ), u

b=

met u = eisφ − iξ

U (λB , −x0 ) , U (λA , −x0 )

(4.27) (4.28)

(4.29)

omdat voor x = 0 geldt dat x ˆ = −x0 = 2γky . De reflectiewaarschijnlijkheid R = |r|2 met r = b/a, de reflectiecoëfficiënt, is dus gelijk aan één. Dit volgt uit vgl. (4.27). Uit het behoud van stroom R + T = 1, vinden we dat de transmissiewaarschijnlijkheid T gelijk is aan nul. Voor de magnetische stap berekenen we ook de gelokaliseerde toestanden voor het geval dat kx imaginair is, zodat de golffunctie voor de stap gegeven wordt door 1 ψ1 (x) = b e|kx |x (4.30) i(−|kx | + ky )

32


1.48 1.46 1.44

¯hvF2 e|B0 |

1

1.42

p E/

1.4

p

0

E/

¯hvF2 e|B0 |

2

−1

1.38 1.36 1.34

−2

1.32 −3 −4

−3

−2

−1

0

ky

p

1

2

3

1.3 −1.8

−1.7

−1.6

¯h/2e|B0 |

ky

p−1.5 ¯h/2e|B0 |

−1.4

−1.3

Figuur 4.2: (a) De numerieke oplossingen van vgl. (4.33). Er zijn enkel oplossingen voor kx imaginair of E 2 < ky2 . De energie staat in eenheden van (e~|B0 |vF2 )1/2 en ky in eenheden van (~/2e|B0 |)1/2 . Uit vgl. (4.19) en de energie eenheden volgt dat de Landau levels zich op de plot bevinden bij (2n)1/2 . (b) een zoom op overgang naar het lineair spectrum. Enkel deze component wordt genomen omdat de golffunctie anders divergeert voor x → −∞. Omdat kx = (E 2 − ky2 )1/2 geldt er voor dit geval steeds E 2 < ky2 . De continu¨ıteitvoorwaarde levert dan het volgende stelsel: ! 1 −U (λA , −x0 ) b 0 = , (4.31) i(−|kx |+ky ) c 0 −iξU (λB , −x0 ) E dat een oplossing verschillend van nul heeft als en slechts als 1 −U (λA , −x0 ) = 0. i(−|kx |+ky ) −iξU (λB , −x0 ) E

(4.32)

Dit levert een vergelijking in E en ky : q U (λA , −x0 ) ξU (λB , −x0 ) + ( |E 2 − ky2 | − ky ) = 0. (4.33) E Dit stelsel werd numeriek opgelost, met behulp van implementaties van de U (en V ) Weber functies door Cojocaru 17 . De resultaten worden getoond in Fig. 4.2; (b) het lineaire spectrum wordt als het ware gemengd met de Landau levels. Des te groter |ky | wordt, des te meer de energie de Landau levels benadert. De norm kwadraat van de golffunctie uit vgl. (4.26) met coëfficiënten gegeven in vgln. (4.27) en (4.28), wordt geplot in Fig. 4.3. Het magneetveld breekt de symmetrie tussen positieve en negatieve hoek φ. De reflectiewaarschijnlijkheid is nul, maar de golffunctie penetreert de barrière. De golffunctie wordt getoond voor E > 0 en γ = sign(−qB0 ) = 1 zodat q = −e en sign(B0 ) = 1. Het magneetveld wijst dus in de positieve z-richting en uit de Lorenztkracht volgt dat een negatief geladen quasideeltje dat langs links invalt met snelheid vF afgebogen wordt naar links. De plaatsen in de magnetische berg met hoge waarschijnlijkheid zijn magnetische vallen, waar een geladen deeltje gevangen wordt in een harmonische opsluiting.

33


1.5

1

φ (rad)

0.5

0

−0.5

−1

−1.5 −6

−4

−2

p 0 x 2e|B0 |/¯h

2

4

6

Figuur 4.3: Waarschijnlijkheidsverdeling |Ψ|2 voor een magnetische berg met γ = 1 voor E = (2e~|B0 |vF2 )1/2 in functie van de hoek φ en positie x in eenheden (~/2e|B0 |)1/2 .

4.3

Magnetische barri` ere

Beschouw de stuksgewijze vectorpotentiaal (zie Fig. 4.4)  x < 0,  (0, 0, 0) ~ (0, B0 x, 0) 0 < x < D, A(x) =  (0, B0 D, 0) x > D.

De golffunctie wordt gegeven door  1 1  isk −iskx x x < 0, xx  a isφ e +b  −isφ e  e −e    U (λA , x ˆ) V (λA , x ˆ) c +d 0 < x < D, ψ(x) = iξU (λ ˆ) iµV (λB , x ˆ)  B, x     1   f isχ eisqx x x > 0, e

(4.34)

(4.35)

als we golf van links laten invallen met a, b, c, d en f complexe coëfficiënten. Dit volgt uit de vorige secties voor x < 0 en 0 < x < D, waar V nu wel toegelaten is omdat de golffunctie steeds normaliseerbaar is op een eindig interval. Voor x > 0 wordt is de yˆ 2Ψ = E 2Ψ component van de vectorpotentiaal een constante B0 D. Uit de vergelijking H ik y in deze regio, vindt men (dimensieloos) voor Ψ = ψ(x)e y : " 2 # D 2 kˆx + ky + γ ψA = E 2 ψA . (4.36) 2


34

Ay (x) B0 D

x

D

Figuur 4.4: Magnetische barrière voor een magneetveld B0 met breedte D. De stippellijn stelt de y-component van de vectorpotentiaal voor. Hieruit volgt de fysische oplossing ψA = f eisqx , met qx =

s

E2

(4.37)

D − ky + γ 2

2

.

(4.38)

We definiëren de uitvalshoek sχ door arctan

ky + γ D2 sqx

!

= sχ.

(4.39)

Uit de continu¨ıteitsvoorwaarden volgt b = [gU (λA , −x0 ) + ugV (λA , −x0 ) − 1]a,

c = ga,

d = uga, f = [gU (λA , z) + ugV (λA , z)]e−isqx D a,

(4.40)

waarbij u=

iξU (λB , z) − eisχ U (λA , z) , −iµV (λB , z) + eisχ V (λA , z)

g = 2 cos φ/[U (λA , −x0 )e−isφ + iξU (λB , −x0 ) + g(V (λA , −x0 )e−isφ + iµV (λB , −x0 ))], z = D − x0 .

waar ξ en µ gedefinieerd zijn in vgln. (4.24) en (4.25). De reflectiewaarschijnlijkheid R = |r|2 en de transmissie wordt bepaald uit het behoud van stroom T = 1−R. De transmissie wordt getoond in Fig. 4.5 voor (a) Dirac deeltjes en (b) Schrödinger deeltjes als functie van de energie en φ. In beide gevallen heeft T relatief weinig structuur en verandert zeer snel van waarde voor bepaalde hoeken en energieën. De waarschijnlijkheidsverdeling van

35


1.5

1.5 0.9

0.9 1

1

0.8

0.8 0.7

0.7 0.5

0.5 0.6

0.5

0

0.4 −0.5

0.3 0.2

−1

φ (rad)

φ (rad)

0.6

0.5

0

0.4 −0.5

0.3 0.2

−1

0.1 −1.5 −3

−2

−1

0

ky

p

¯h/2e|B0 |

(a) Dirac

1

2

0

0.1 −1.5 0

0.5

1

1.5

Em/¯he|B0 |

2

2.5

0

(b) Schr¨ odinger

Figuur 4.5: (a) De transmissiewaarschijnlijkheid T voor een magnetische barrière met breedte D = lB , zie vgl. (4.5), en γ = 1 als functie van φ met energie eenheden (2e~|B0 |vF2 )1/2 en sign(B0 ) = 1. (b) Idem maar voor de Schrödingervergelijking, de energie is in eenheden (~e|B0 |)/m. de golffunctie uit vgl. (4.35) met coëfficiënten gegeven in vgln. (4.40), wordt geplot in Fig. 4.6 (a). Het magneetveld breekt wederom de symmetrie en de golffunctie penetreert de barrière tot één bepaalde hoek, daarna wordt de golffunctie geblokkeerd, zie Fig. 4.5 (a). De uitvalshoek χ wordt ook geplot (b) voor dezelfde energie en barrière. Vanaf een bepaalde hoek φ is er geen penetratie meer van de barrière (zie ook (a)): er is een maximale waarde voor χ.

36


1.5 7 1 6

φ (rad)

0.5

5 4

0

3 −0.5 2 −1 1 −1.5 −3

−2

−1

0p 1 x 2e|B0 |/¯h

2

3

4

0.5

1

1.5

(a)

1.6 1.4 1.2

χ (rad)

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −2

−1.5

−1

−0.5

0

φ (rad)

2

(b)

Figuur 4.6: (a) Waarschijnlijkheidsverdeling |Ψ|2 met γ = 1 voor een magnetische barrière met breedte D = lB en E = (2e~|B0 |vF2 )1/2 in functie van de hoek φ en positie x in eenheden (~/2e|B0 |)1/2 (de barrière ligt tussen x = 0 en x = 1). (b) Plot van de hoek χ in functie van φ voor dezelfde energiewaarde als (a).

Besluit In deze theoretische bachelorproef over grafeen werd eerst een beschrijving afgeleid voor ladingsdragers in grafeen met de tight binding benadering. In het bijzonder werd er gekeken naar de bandenstructuur rond het K punt of Dirac punt op de grens van de eerste Brillouin zone. De energie dispersie rond dit punt bleek lineair te zijn. Het lineair spectrum E = s~vF k, (4.41) rond het K punt, waar het Fermi niveau de banden snijdt, lijkt sterk op de relativistische energie van een massaloos deeltje met impuls ~k, waar de lichtsnelheid vervangen is door de Fermi snelheid vF ≈ 106 ms−1 . Bijgevolg kunnen de ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen beschouwd worden als massaloze Dirac fermionen. Voor positieve energie zijn deze quasideeltjes elektron-achtig en voor negatieve energie holte-achtig; de koppeling van elektron -en holte-achtige quasideeltjes kan vergeleken worden met de ladingsconjugatie tussen deeltje en anti-deeltje in de Kwantumelektrodynamica. De analogie met de relativistische Kwantummechanica wordt nog het meest geaccentueerd door de Dirac-achtige Hamiltoniaan H0 = ~vF ~σ · ~k,

(4.42)

die de ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen beschrijft, met ~σ = (σx , σy ) de Pauli matrices. Bovendien zijn de eigentoestanden van deze Hamiltoniaan, tweecomponentsgolffuncties die sterk lijken op spinor golffuncties uit de Kwantumelektrodynamica. De componenten van deze golffuncties bepalen de relatieve bijdrage van de twee subroosters of Bloch orbitalen A en B tot de opbouw van het quasideeltje. In plaats van spin, kan men dan ook een nieuw kwantumgetal pseudospin definiëren, dat overeenkomt met het subrooster waartoe het quasideeltje behoort. Men kan nog andere concepten, die hier niet vernoemd werden, uit de relativistische Kwantummechanica introduceren, om de analogie nog sterker te benadrukken. Het belangrijkste deel van deze bachelorproef was echter de studie van de verstrooiing aan elektrostatische en magnetische barrières van deze Dirac fermionen aan de hand van de envelop functie benadering. Deze verstrooiing is in principe van toepassing voor ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen, maar is ook heel interessant vanuit puur theoretisch standpunt omdat massaloze fermionen geen doordeweekse deeltjes zijn. Aan de hand van eendimensionale elektrostatische stappotentialen, waarvoor de vergelijkingen exact oplosbaar zijn, werd de Klein paradox 37

Hoofdstuk 4. Besluit

38

aangetoond voor verscheidene problemen. Een algemene tendens bleek de perfecte transmissie van quasideeltjes, die loodrecht op de barrière invallen. Er werd ook telkens een vergelijking gemaakt met de oplossingen uit de Schrödingervergelijking van de klassieke Kwantummechanica. De grote verschillen met de Dirac beschrijving, zijn de koppeling tussen kx en ky in de Dirac Hamiltoniaan, en de link tussen positief -en negatief geladen quasideeltjes, die gelegd wordt door de lineaire energie dispersie. De anisotropie van de verstrooiing was een direct gevolg van deze koppeling tussen kx en ky . Uiteindelijk werden deze eendimensionale problemen veralgemeend tot willekeurige eendimensionale elektrostatische potentialen, met behulp van de transfermatrixmethode. Verder werd de verstrooiing aan magnetische barrières onderzocht, nadat eerst de Landau levels q (4.43) E = s 2ne~|B0 |vF2 ,

voor Dirac fermionen berekend werden. Wat opvalt is dat er geen grondtoestand bestaat, zoals in de Schr¨ odingerbeschrijving en dat de Landau levels negatief kunnen worden (holten). Dit deel was over het algemeen iets technischer en meer summier dan de voorgaande secties omdat er parabolische cilinder functies of Weber functies aan te pas kwamen. De implementaties van deze functies zijn te danken aan Cojocaru 17 . Dankzij deze implementatie konden er eenvoudige verstrooiingsproblemen aan de hand van stuksgewijze vectorpotentialen besproken worden. Massaloze Dirac fermionen zijn exotische deeltjes met zeer intrigerende eigenschappen. Het feit dat deze deeltjes daadwerkelijk bestaan rond het Fermi niveau in grafeen, een materiaal dat zich in elk potlood bevindt, is haast niet te geloven. Grafeen is een ongelooflijk materiaal dat veel technologische toekomstmogelijkheden en nieuwe fysica te bieden heeft. Het vormt een brug tussen de theorie van de gecondenseerde materie en de elementaire deeltjesfysica; dankzij grafeen is het mogelijk om exotische processen, voorspelt door de Kwantumelektrodynamica, zoals de Klein paradox, waar te nemen in het ’gewone’ labo.

Bibliografie [1] K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S.V. Dubonos, I.V. Grigorieva, and A.A. Firsov. Electric field effect in atomically thin carbon films. Science, 306:666–669, 2004. [2] R.E. Peierls. Quelques propriétés typiques des corpes solides. Ann. I.H.Poincare, 5:177–222, 1935. [3] L.D. Landau. Zur Theorie der Phasenumwandlungen II. Phys. Z. Sowjetunion, 11: 26–35, 1937. [4] N.D. Mermin. Crystalline order in two dimensions. Phys. Rev., 176:250–254, 1968. [5] K.S. Novoselov, D. Jiang, F. Schedin, T. Booth, V.V. Khotkevich, S.V. Morozov, and A.K. Geim. Two-dimensional atomic crystals. PNAS, 102:10451–10453, 2005. [6] K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V.Morozov, D.Jiang, M.I.Katsnelson, I.V.Grigorieva, S.V.Dubonos, and A.A.Firsov. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene. Nature, 438:197–200, 2005. [7] Y. Zhang, J.W. Tan, H.L. Stormer, and P. Kim. Experimental observation of the quantum Hall effec and Berry’s phase in graphene. Nature, 438:201–204, 2005. [8] Peter Blake, Paul D. Brimicombe, Rahul R. Nair, Tim J. Booth, Da Jiang, Fred Schedin, Leonid A. Ponomarenko, Sergey V. Morozov, Helen F. Gleeson, Ernie W. Hill, Andre K. Geim, and Kostya S. Novoselov. Graphene-based liquid crystal device. Nano Lett., 8:1704–1708, 2008. [9] Jannik C. Meyer, A. K. Geim, M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov, T. J. Booth, and S. Roth. The structure of suspended graphene sheets. Nature, 446:60–63, 2007. [10] O. Klein. Die reflexion von elektronen an einem potentialsprung nach der relaitvistischen dynamik von dirac. Z. Phys., 53:157–165, 1929. [11] M.I. Katsnelson, K.S. Novoselov, and A.K. Geim. Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene. Nature Physics, 2:620–625, 2006. [12] R. Saito, G. Dresslhaus, and M. Dresselhaus. Physical Properties of Carbon Nanotubes. Imperial College Press, London, 2000. 39

Bibliografie

40

[13] Roeland Juchtmans. Elektronische structuur van periodisch gemoduleerd grafeen. Bachelorproef TGM, 2010. [14] Thomas Seyller K. Horn Aaron Bostwick, Taisuke Ohta and Eli Rotenberg. Experimental determination of the spectral function of Graphene. arXiv, pages cond– mat/0609660, 2006. [15] Vladimir Fal’ko Vadim V. Cheianov and B. L. Altshuler. The focusing of electron flow and a veselago lens in graphene p-n junctions. Science, 315:1152–1255, 2007. [16] B. Partoens and F. Peeters. Inleiding tot de kwantummechanica. UA cursus 2BAFYS. [17] E. Cojocaru. Parabolic cylinder functions. Department of Theoretical Physics, Horia Hulubei National Institute of Physics and Nuclear Engineering, MagureleBucharest P.O.Box MG-6, 077125 Romania.

Verstrooiing van Dirac Fermionen in Grafeen aan Elektrostatische en Magnetische

Recommend Documents