Spintronica: ontwikkeling van domeinmuur gebaseerde magnetische opslagmedia en digitale logica

Spintronica: ontwikkeling van domeinmuur gebaseerde magnetische opslagmedia en digitale logica Jasper Vandermeulen

Promotoren: prof. dr. ir. Luc Dupré, prof. dr. Bartel Van Waeyenberge Begeleider: Ben Van de Wiele Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van Master in de ingenieurswetenschappen: toegepaste natuurkunde

Vakgroep Elektrische energie, Systemen en Automatisering Voorzitter: prof. dr. ir. Jan Melkebeek

Logistieke dienst onderwijs faculteit Wetenschappen,Vakgroep Vaste-Stofwetenschappen Voorzitter: prof. dr. Paul Matthys Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur Academiejaar 2012-2013

Spintronica: ontwikkeling van domeinmuur gebaseerde magnetische opslagmedia en digitale logica Jasper Vandermeulen

Promotoren: prof. dr. ir. Luc Dupré, prof. dr. Bartel Van Waeyenberge Begeleider: Ben Van de Wiele Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van Master in de ingenieurswetenschappen: toegepaste natuurkunde

Vakgroep Elektrische energie, Systemen en Automatisering Voorzitter: prof. dr. ir. Jan Melkebeek

Logistieke dienst onderwijs faculteit Wetenschappen,Vakgroep Vaste-Stofwetenschappen Voorzitter: prof. dr. Paul Matthys Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur Academiejaar 2012-2013

VOORWOORD

iv

Voorwoord Deze masterproef, het sluitstuk van mijn vijfjarige opleiding tot ”Master in de Ingenieurswetenschappen: Toegepaste Natuurkunde”, vond ik het boeiendste, maar ook meest uitdagende van alles wat ik de voorbije 5 jaar heb gedaan op studiegebied. Hoewel ik deze masterproef wel volledig zelf geschreven heb, zou dit werk niet tot stand gekomen zijn zonder de personen waaraan ik een woordje van dank wil richten. In de eerste plaats zou ik mijn promotoren Luc Dupré en Bartel van Waeyenberghe willen bedanken om dit boeiende thesisonderwerp aan te bieden. Verder zou ik vooral Ben van de Wiele willen bedanken voor de uitstekende begeleiding. Ik wil ook nog Bartel van Waeyenberghe, Mathias Helsen en Jonas Declercq bedanken omdat ze veel tijd en energie hebben gestoken in het experimenteel gedeelte van deze masterproef. Ten slotte wil ik ook nog mijn ouders bedanken voor hun onvoorwaardelijke steun en vertrouwen, om mij de kans te geven 5 jaar in Gent te studeren en mij vooral mijn goesting te laten doen.

Jasper Vandermeulen, juni 2013

TOELATING TOT BRUIKLEEN

v

Toelating tot bruikleen

“De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de masterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef.” “The author gives permission to make this master dissertation available for consultation and to copy parts of this master dissertation for personal use. In the case of any other use, the limitations of the copyright have to be respected, in particular with regard to the obligation to state expressly the source when quoting results from this master dissertation.”

Jasper Vandermeulen, juni 2013

Spintronica: ontwikkeling van domeinmuur gebaseerde magnetische opslagmedia en digitale logica door Jasper VANDERMEULEN Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van M ASTER IN DE I NGENIEURSWETENSCHAPPEN : T OEGEPASTE N ATUURKUNDE Academiejaar 2012–2013 Promotoren: Prof. Dr. Ir. Luc D UPR E´ , Prof. Dr. Bartel VAN WAEYENBERGE Begeleider: Dr. Ir. Ben VAN DE W IELE Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur Universiteit Gent Vakgroep Elektrische Energie, Systemen en Automatisering Voorzitter: Prof. Dr. Ir. Jan M ELKEBEEK Faculteit Wetenschappen, Vakgroep Vaste-Stofwetenschappen Voorzitter: Prof. Dr. Paul M ATTHYS

Samenvatting Spintronica is een relatief nieuw en dynamisch onderzoeksgebied waarin specifieke magnetische materiaaleigenschappen op sub-micrometerschaal worden onderzocht teneinde een nieuwe generatie ICT componenten te ontwikkelen zoals voor logische operaties en operaties op het (digitaal) geheugen. In magnetische nanodraden met gereduceerde afmetingen worden de magnetische domeinen gescheiden door domeinwanden met een specifieke polariteit, waaraan de digitale waarde 0 of 1 kan worden toegekend. Op die manier kan de domeinwand beschouwd worden als een digitale bit. Deze magnetische domeinwanden kunnen worden verplaatst, hun polariteit kan worden omgedraaid (0 wordt 1 en 1 wordt 0) en ze kunnen gecombineerd worden door magnetische velden en/of elektrische stromen aan te leggen in specifieke geometrieën. Deze opmerkelijke eigenschappen brengen ons bij het doel van deze thesis, namelijk de ontwikkeling van een nieuwe digitale technologie op basis van de domeinwandpolariteit als digitale bit. Dit werk kan aanleiding geven tot toekomstige logische componenten en geheugencomponenten die in verschillende aspecten de bestaande schema’s, waarin de magnetisatierichting van de domeinen in plaats van de domeinwanden gebruikt wordt om de digitale informatie voor te stellen, overtreffen. Het ontwerp van de digitale componenten gebeurde met behulp van het in de UGent ontwikkeld softwarepakket MuMax, waarin de micromagnetische vergelijkingen numeriek wor-

den opgelost. Deze liggen aan de grondslag van de dynamica van magnetische velden in de nanodraden. De vergelijkingen zijn gebaseerd op de micromagnetische theorie die de macroscopische wetten van Maxwell verzoent met de wetten van de kwantummechanica.

Trefwoorden spintronica, domeinwand, nanodraden

Spintronics: design of domain wall based magnetic storage media and digital logics Jasper Vandermeulen Supervisor(s): Luc Dupré, Bartel Van Waeyenberghe, Ben Van de Wiele Abstract— Spintronics is a relatively new and dynamic research area in which specific sub-micrometer scale properties of magnetic materials are exploited in order to develop future ICT components as logical operators and digital magnetic memories. In magnetic nanowires, magnetic domains are separated by magnetic domain walls with a specific polarity, to which we assign the digital value 0 or 1. In this way, we consider the domain wall as a digital bit. A domain wall can be moved, its polarity can be reversed and it can be combined with other domain walls by locally changing material parameters and by applying magnetic fields and electrical currents in specific geometries. Therefore, this dissertation aims at developing a new digital technology, based on the domain wall polarity as a digital bit with Permalloy as the basic magnetic material. This can give rise to future logic components and memory components that offer several advantages over the existing components. The design of the digital components is done using MuMax, a general-purpose micromagnetic simulation tool running on Graphical Processing Units (GPUs). Keywords—spintronics, domain wall, nanowires

I. I NTRODUCTION PPLICATIONS based on the movement of domain walls in magnetic nanowires already exist. The functioning of a magnetic domain-wall racetrack memory [1], a future nonvolatile memory device, is based on the controlled movement of domain walls in magnetic nanowires by short pulses of spinpolarized current. Here, the data is encoded as a pattern of magnetic domains along a portion of a ferromagnetic nanowire. The technology developed here retains the advantages of racetrack memory but stores the data in a smaller entity: the domain wall, see Fig. I.

A

Fig. 1. Domain wall polarity as a digital bit.

Furthermore, while the magnetic racetrack memory is limited to the development of memory components, this thesis focuses also on the development of logical components that are fully compatible with the memory components. Nowadays, logical operations are carried out within the CMOS-technology. An alternative future magnetic technology is based on the direction of magnetization in magnetic domains in nanowires [2]. The latter has two major differences with the technology developed here. First, not the polarity of the domain walls, but the magnetization direction of the domains itself is used as bit. Second, the domains in the logic circuitry move under the influence of a rotational applied magnetic field, which functions as a clock and as a power supply, while in our case, the domain walls move

under the influence of applied currents. In this thesis, we first focus on the micromagnetic theory and the 1D model, two theories used to understand the movement of a domain wall in a nanowire under the influence of a current or a magnetic field. Then the influence of the material parameters on the domain-wall dynamics under these driving forces is investigated and explained by these theories. This gives us the tools to develop our new technology. Finally, the design of all the memory and logical elements is discussed. II. M ETHODOLOGY There are two major theories that deal with the dynamics of a domain wall in a nanowire of a ferromagnetic material under the influence of a current or magnetic field: the micromagnetic theory and the analytical 1D model. The micromagnetic theory assumes that the magnetization of magnetic dipoles M varies with the position, but that it has a fixed temperature dependent magnitude |M| = Ms (below Curie-temperature). The Gibbs free energy density is minimized in order to determine equilibrium conditions for the magnetic dipoles M = Ms m [3]. This leads to an effective magnetic field Hef f defined in each point of the sample, incorporating the exchange, anisotropy, magnetostatic, magnetoelastic, and Zeeman interactions. The static micromagnetic equilibrium is then expressed as m(r) × Hef f = 0. The dynamics of the magnetic dipoles is described on a nanometer scale and a picosecond time scale by the Landau-Lifshitz-Gilbert-equation (LLG-equation), extended with the spin-transfer torque terms (Zhang-Li extension) [4] |γG | ∂M =− M × Hef f ∂t 1 + α2 α|γG | − M × (M × Hef f ) Ms (1 + α2 ) bj − 2 M × (M × (j · ∇)M) Ms (1 + α2 ) bj − (ξ − α)M × (j · ∇)M, Ms (1 + α2 )

(1)

where |γG | is the gyromagnetic ratio, α is the Gilbert damping parameter, ξ is the degree of non-adiabaticity, j is the current density, and bj = P µB /(eMs (1 + ξ 2 )) with P the polarization, µB the Bohr magneton and e the electron charge. In the 1D model, a domain wall is considered as a point particle with the total mass of the domain wall located at that point, to which a time-dependent position along the nanowire can be assigned [5]. To discuss the 1D model, it is necessary to introduce the parameters unambiguously, see Fig. II. The x-direction (unit

vector ex ) corresponds to the long direction of the nanowire (length L), the y-direction (unit vector ey ) to the direction of its width (width B) and the z-direction (unit vector ez ) to the direction of the nanowire thickness (thickness D), see Fig. II.

Fig. 2. Definition of axes, nanowire dimensions and magnetization angles. S denotes the cross sectional area, from [5].

TABLE I P ROPERTIES OF A MOVING DOMAIN WALL UNDER EXTERNAL FIELDS Bx .

magnetic field polarity movement

below breakdown Bx ≤ BW fixed translation

above breakdown Bx > BW oscillating oscillating

breakdown field BW with a corresponding breakdown speed vW . This is the field BW at which the maximum average domain wall speed vW is obtained. This breakdown field plays a crucial role in the movement of domain walls under the influence of an applied field, see Table I.

A first assumption in the 1D model is that the local magnetization m depends only on the axial coordinate x. The position of the domain wall in the x-direction is described by the parameter q. In addition, the parameter ∆ is introduced, which is a measure for the domain wall width. We also introduce the domain wall demagnetizing field HK , which is a consequence of the effective anisotropy due to the magnetostatic energy and the exchange energy (the last contribution is because of the nonuniformity of the magnetization in the nanowire cross section). Furthermore, if we define ψ as the azimuthal/lift angle, the equations of the 1D model, the extended Slonczewski equations, are given as [6] ξ−α u |γG |HK |γG |Ha α + − sin(2ψ) , ψ˙ = 1 + α2 α α ∆ 2 ξu |γG |Ha ∆0 ∆ψ˙ (2) q˙ = + − α α α |γG |∆0 1 + ξα HK sin(2ψ) = + αHa + u , 2 1+α 2 |γG |∆0 where u is the spin drift velocity, related to the value of the curµB J. rent density J by u ≡ PeM s III. U NDERSTANDING THE DOMAIN - WALL DYNAMICS In the simulations, equation (1) is numerically solved using the software package MuMax [7] for a head-to-head transverse domain wall in a nanowire with reference material parameters α = 0.02, Aexch = 1.3 e − 11Jm−1 , Ms = 860 e3Am−1 , ξ = 0.04, K = 0, and reference cross sectional dimensions 100 × 10 nm2 . In order to get some insight in the movement of domain walls under the influence of a magnetic field Bx and/or a current density Jx we first vary the material parameters of the nanowires. The curves that show the speed of the movement as a function of the applied field/the applied current are then interpreted within the micromagnetic theory and within the 1D model. These curves provide us with a tool for developing our digital technology. To show that the variation of the material parameters under the influence of a magnetic field Bx can be understood within the 1D model and the micromagnetic theory, we will apply these theories to explain the differences between the curves in Fig. 3. First, it is important to notice that there is a so-called Walker

Fig. 3. Top: average domain wall speed vs applied field Bx for different exchange parameters Aexch . Bottom: average value of the normalized magnetization in the z-direction < mz > (averaged over time) vs applied field Bx for different exchange parameters Aexch .

A. 1D model for applied fields On the basis of the 1D model, the behavior of the domain wall under the influence of an applied field can be understood by interpreting equation (2) with u = 0. When a magnetic field Ha ≤ α2 HK is applied, the domain wall will be lifted until a

2Ha fixed lift angle ψ = 12 arcsin αH is achieved resulting in K ψ˙ = 0. This gives rise to a constant speed q˙ of the domain wall which increases for increasing fields Ha . On the other hand,

when a magnetic field Ha > α2 HK is applied, the lift angle will continuously vary in time (ψ˙ 6= 0). This gives rise to a sinusoidal contribution to the DW velocity q. ˙ We can now express the Walker breakdown field BW and its corresponding breakdown velocity vW as

magnetizing field acts on the domain wall by means of a torque ∂M ex ∼ C te My ey × Hd ∂t d,x ∼ C te My ey × (−Nz Mz )ez

(4)

te

HW vW

α αHK = Ms |Ny − Nz | = 2 2 |γG |∆0 |γG |∆0 = HK = Ms |Ny − Nz | , 2 2

(3)

where ∆0 is the domain wall width parameter ∆ when no external field is applied and Ny and Nz are demagnetizing factors. From the reasoning above it is evident that the highest speed shown in each curve in Fig. 3, corresponds to the breakdown velocity vW reached at the Walker breakdown field BW . Also it is evident that < Mz >max = Ms < mz >max then corresponds to the breakdown point at which the maximum static tilting is obtained: < Mz >max ∼ ψ. If we now apply equation (3) on Fig. 3, we can understand the increasing breakdown field BW and the increasing corresponding breakdown velocity vW for higher values of the exchange parameter Aexch as follows. A larger exchange parameter means that the contribution of the exchange energy to the effective anisotropy is higher, corresponding with an increasing HK . Another result from the 1D model is that the domain wall width ∆0 increases when Aexch increases. Hence, a higher HK in combination with a higher ∆0 implies a higher BW and a higher vW .

∼ −C Nz My Mz ex ∼ Nz My Mz ex .

Hence, the demagnetizing torque introduced by the out-of-plane tilting of the magnetization by the applied field forces the spins to turn in the direction of the applied field, driving the domain wall forward. The movement is just a translation when the outof-plane component of the magnetization Mz does not change in time, which is the case for a field Ha ≤ HW .

B. Micromagnetic theory for applied fields The behavior of a domain wall under the influence of an applied field can also be understood within the micromagnetic theory. When only a magnetic field is applied, only the first and second term in equation (1) will be different from zero. The most important term in this equation is the first term. We will explain the impact of this term on the movement of the domain wall with Fig. 4. We use the same coordinate system as defined for the 1D model. Fig. 5. Illustration physical mechanisms that underlie the behavior of a domain wall under the influence of an applied field Ha > HW .

Fig. 4. Schematic presentation of a transverse domain wall and the torques that cause its movement, from [8].

In the case of a transverse domain wall, the magnetization vector M will rotate over an angle of 180◦ , as illustrated in Fig. 4.a. According to the first term in equation (1), an applied field Ha along ex will exert a torque ∂M e ∼ C te M × Ha = z ∂t a,z te te C My ey × Ha ex with C < 0 which will tilt the domain wall out of the plane. This tilting is counteracted by the additional demagnetizing field Hd ez = −Nz · Mz ez , see Fig. 4.b. The de-

On the other hand, when a magnetic field Ha > HW is applied, the out-of-plane component is not stable anymore causing the formation of an antivortex, see Fig. 5. When the initial domainwall polarity is positive, the applied field exerts a torque ∂M te ∂t a,z ez ∼ C My ey × Ha ex that tilts the domain wall out of the plane with a Mz -component in the positive z-direction, see Fig. 5(a). The demagnetizing field forces the DW to move forward: ∂M ∂t d,x ex ∼ Nz My Mz ex . However, also the applied field acts on the z-component of the magnetization: ∂M ey ∼ C te M × Ha = C te Mz ez × Ha ex ∂t a,y (5) te = C Mz Ha ey . Hence, the out-of-plane part of the domain wall experiences a force in the positive y-direction. When Mz (∼ Ha ) is big

TABLE II P ROPERTIES OF A MOVING DOMAIN WALL UNDER INFLUENCE OF AN APPLIED CURRENT Jx IN A NANOWIRE WITH ξ 6= α AND ξ 6= 0.

current density polarity movement

below breakdown Jx ≤ JW fixed translation

above breakdown Jx > JW oscillating oscillating

∂M ∂t

d,x

ex ∼ C te [−f (t)My + (1 − f (t))My ] ey × Hd ez = C te Nz (2f (t) − 1)My Mz ex .

(6)

When the core of the antivortex reaches the other side of the nanowire, an analog process takes place. The magnetization is then tilted in the negative z-direction, see Fig. 5(c), generating a demagnetizing field Hd ez = Nz Mz ez also driving the domain wall forward. We now explain how to understand the differences between the curves of Fig. 3 within the micromagnetic theory. To understand the higher breakdown field BW for higher values of the exchange parameter Aexch within the micromagnetic theory, we have to consider how the stability of the transverse domain wall or antivortex is affected by the higher exchange parameter Aexch . For higher Aexch , the exchange length increases. Consequently it is energetically less favorable to create an antivortex, pushing BW to higher values. The larger slope of the curves for a higher exchange parameter Aexch can be understood by considering the demagnetizing torque (4) for a fixed field Bx < BW . If the exchange length is larger, a larger area of the domain wall will be tilted out of plane. In the same way a(n) (anti)vortex core broadens for increasing exchange stiffness. Therefore, a larger Aexch means an increasing Mz component. From equation (4) it is clear that this gives rise to a higher speed. C. 1D model for applied currents When ξ 6= α en ξ 6= 0, the behavior of the domain wall under the influence of an applied current is summarized in Table II. Notice the similarities between Table II and Table I. The movement of the domain wall under the influence of an applied current, can be understood within the 1D model by interpreting equation (2) with Ha = 0. The discussion is analog as the discussion for an applied field. We just give the formulas for the breakdown current density JW and the corresponding

eµ0 Ms2 |Ny − Nz | ∆ α eµ0 Ms HK ∆ α = ~P |ξ − α| ~P |ξ − α| |γG |HK ∆ξ |γG |Ms |Ny − Nz | ∆ξ = = . 2 |ξ − α| 2 |ξ − α| (7)

JW = vW

enough, this gives rise to the formation of the antivortex, see Fig. 5(b). The core of this vortex is then pushed to the other side of the nanowire. In this process an increasing fraction f of the domain wall has a negative polarity which causes the oscillation of the velocity of the domain wall. Indeed, f (t) oscillates in time resulting in oscillating demagnetizing torques

breakdown velocity vW

Analogous to the field-driven case these equations allow to understand the effect of changing material parameters on the movement of the domain wall. D. Micromagnetic theory for applied currents The effect of a variation of the material parameters on the movement of the domain wall under the influence of an applied current can also be understood from the micromagnetic theory. In the case that ξ > α, the discussion is analogous to the discussion given in Section III-B. Only two adaptations should be bj made. We have to replace Ha with M 2 |γ (M × (j · ∇)M), G| s which physically corresponds to the action of the electric current on the change of the magnetization. Moreover, α in the numerator has to be replaced by ξ − α. This immediately follows from observation of equation (1). We repeat that both the movement of the domain wall as the optional transformations of the domain wall structure can be explained by interpreting to which extent the applied current is able to tilt the magnetization locally out of plane. IV. D EVELOPING MEMORY AND LOGICAL ELEMENTS With the help of the simulation package MuMax [7] we have developed several memory and logical elements. We have established design rules for a NOT-gate, a writing element, a splitter, an AND- and OR-gate and for transporting domain walls with preservation of their bit value through bent nanowires. We will shortly discuss the design rules for constructing an AND- and OR-gate with the help of Fig. 6 and Fig. 7.

Fig. 6. Illustration final geometry for design AND-gate, starting with two nanowires and ending with one nanowire (width 100 nm, thickness 10 nm, α = 0.02, Aexch = 1.3 e − 11Jm−1 , Ms = 860 e3Am−1 , α = 0.02, ξ = 0.04). The two nanowires are separated from each other over a distance Lb = 400 nm. The middle part has a total length Lm = Lm,1 + Lm,2 = 5000 nm with Lm,1 = 4000 nm and Lm,2 = 1000 nm. Two electrodes with length Lm,el = 1000 nm are attached on this second part. An electric current I2 = I1 /2 is flowing through these electrodes if a current I1 is applied. The black circles encircle the pinning sites with length 62.5 nm and width 6.25 nm, while the yellow circles denote pinning sites, a distance 125 nm separated from the joining point, with length 62.5 nm and width 9.375 nm. The extra delay element (piece of nanowire with α = 0.03 instead of α = 0.02) is denoted by a dark green frame.

The geometry of the AND-gate is defined in Fig. 6. We start with two input domain walls located at the left hand side of the

structure. These walls will move under the influence of applied currents J1 < JW and I2 = I1 /2, they combine and result in a domain wall with a specific polarity at the right hand side of the structure. The electrodes attached on the sides in the middle part of the AND-gate ensure that the total current density is approximately constant over the entire geometry (by fixing I2 = I1 /2) . To control the initial positions of the domain walls in the upper and lower input nanowire, pinning sites are introduced (black circles). If then a certain current J1 (and J2 ) is applied, larger than the treshold current for the pinning sites, the domain walls depin. To ensure that the upper domain wall arrives first at the merging of the two nanowires, a delay element (dark green frame) is introduced in the lower nanowire. After arrival, the upper domain wall pins on the pinning site denoted with the upper yellow circle. The wall depins due to the arrival of the lower domain wall (J1 needs to be large enough to achieve depinning: 12 e12Am−2 ≤ J1 ≤ 13 e12Am−2 ). The domain walls combine and give rise to a single domain wall with a predefined polarity as expected for an AND gate.

This is clear from Fig. 5. The other components were also developed by varying the material parameters, adapting the geometry and applying currents on different parts of the nanowire geometry. V. C ONCLUSION Both the 1D model and the micromagnetic theory can be used to explain the domain wall mobility in function of the different parameters. In addition, we found that the influence of the parameters on the movement of domain walls is a direct consequence of the influence these parameters have on the maximal stable out-of-plane tilting of the magnetization in the domain wall. Furthermore, based on the simulations, design rules are defined for different components (AND-gate, OR-gate, writing element, NOT-gate, splitter, bent structures) of a new digital technology, based on the domain wall mobility as a digital bit and using only electrical currents to drive the domain walls. An important result is that all these components can be combined together offering prospects of a complete digital technology. Further research has to determine whether the designs of these components are technologically feasible. In addition, a reading element still needs to be designed. R EFERENCES [1] S. S. P. Parkin, M. Hayashi, and L. Thomas, Magnetic domain-wall racetrack memory. Science, 320:190194, April 2008. [2] D. A. Allwood, G. Xiong, C. C. Faulkner, D. Atkinson, D. Petit, and R. P. Cowburn, Magnetic domain-wall logic. Science, 309:16881692, September 2005. [3] H. Kronmüller and M. Fänhle, Micromagnetism and the Microstructure of Ferromagnetic Solids. Cambridge, U.K.: Cambridge Univ. Press, 1994, Max-Planck-Institut für Metallfoschung, Stuttgart, Germany. [4] S. Zhang and Z. Li, Phys. Rev. Lett., 93, 127204 (2004) [5] A. Thiaville and Y. Nakatani, Domain-Wall Dynamics in Nanowires and Nanostrips. App. Phys., 101:161205, 2006. [6] A. Thiaville, Y. Nakatani, J. Miltat and Y. Suzuki, Micromagnetic understanding of current-driven domain wall motion in patterned nanowires. Europhys. Lett., 69(6):990996, 2005. [7] A. Vansteenkiste and B. Van de Wiele, MuMax: a new high-performance micromagnetic simulation tool. J. of Magn. and Magn. Mater., 323:25852591, 2011. [8] G.S.D. Beach, M. Tsoi and J.L. Erskine, Current-induced domain wall motion. J. of Magn. and Magn. Mater., 320:12721281, 2008.

Fig. 7. Behavior of the domain walls as a function of their initial domain wall polarities and the order of arrival (“1st ” denotes the first arriving DW). If the domain wall in the upper (bottom) nanowire arrives first, one has an ANDgate (OR-gate). The order of arrival is controlled by the introduction of a delay-element in one of the nanowires as shown in Fig. 6.

We clearly see from Fig. 7 that it is crucial for the functioning of an AND-gate to ensure that the upper domain wall arrives first at the merging of the nanowires. We also notice that if we can ensure that the lower domain wall first arrives (by a delay element in the upper nanowire), we obtain an OR-gate. We shortly discuss the situation when the upper domain wall has a positive polarity and the lower domain wall has a negative polarity. The core of the first arriving domain wall determines the direction of the antivortex core: it’s in the positive (negative) z-direction when the polarity of the first arriving domain wall is positive (negative). This is important, because the direction of the antivortex core determines the polarity of the final domain wall.

INHOUDSOPGAVE

xiii

Inhoudsopgave Voorwoord

iv

Toelating tot bruikleen

v

Overzicht

vi

Extended abstract

viii

Inhoudsopgave

xiii

Lijst van afkortingen, notaties en symbolen xvi 0.1 Afkortingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi 0.2 Materiaalconstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi 0.3 Symbolen in micromagnetisme en elektromagnetisme . . . . . . . . . . . . . . xvi 1

Algemene inleiding 1.1 Overzicht verschillende componenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vergelijking nieuwe technologie met bestaande technologieën . . . . . . . . . 1.3 Overzicht van de scriptie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

De micromagnetische theorie 2.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Oorsprong van het magnetisch moment in ijzer . . . . . . . . . . . . . 2.3 Oorsprong micromagnetische theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 De micromagnetische energietermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 De uitwisselingsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 De anisotropie-energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 De magneto-elastische energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 De Zeemanenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 De magnetostatische energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Minimalisatie van de Gibbs vrije energie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Variationele beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 De effectieve veldtermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Vorm domeinwanden in een nanodraad . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Dynamica in micromagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 De Landau-Lifshitz-Gilbert vergelijking zonder stroomtermen 2.7.2 De Landau-Lifshitz-Gilbert vergelijking met stroomtermen .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 3 8 10 10 10 12 13 14 16 19 19 20 26 27 28 29 33 34 36

INHOUDSOPGAVE

xiv

3

4

5

Het 1D model 3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Invloed aangelegd veld in de lengterichting . . . . . . . . . . 3.2.1 De Slonczewski vergelijkingen zonder stroomtermen 3.2.2 DW mobiliteit in de referentienanodraad . . . . . . . 3.2.3 Interpretatie binnen het 1D model . . . . . . . . . . . 3.2.4 Interpretatie binnen de micromagnetische theorie . . 3.3 Invloed aangelegde stroom in de lengterichting . . . . . . . . 3.3.1 De Slonczewski vergelijkingen met stroomtermen . . 3.3.2 DW mobiliteit in de referentienanodraad . . . . . . . 3.3.3 Interpretatie binnen het 1D model . . . . . . . . . . . 3.3.4 Interpretatie binnen de micromagnetische theorie . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

40 40 41 41 45 51 53 56 56 57 62 64

Invloed parameters op beweging domeinwanden 4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Variatie van de dikte D van de nanodraad . . . 4.2.1 Aangelegd magnetisch veld Bx . . . . . . 4.2.2 Aangelegde stroom J x . . . . . . . . . . . 4.3 Variatie van de breedte B van de nanodraad . . 4.3.1 Aangelegd magnetisch veld Bx . . . . . . 4.3.2 Aangelegde stroom J x . . . . . . . . . . . 4.4 Variatie van de uitwisselingsparameter Aexch . . 4.4.1 Aangelegd magnetisch veld Bx . . . . . . 4.4.2 Aangelegde stroom J x . . . . . . . . . . . 4.5 Variatie van de saturatiemagnetisatie M s . . . . . 4.5.1 Aangelegd magnetisch veld Bx . . . . . . 4.5.2 Aangelegde stroom J x . . . . . . . . . . . 4.6 Variatie van de dempingsparameter α . . . . . . 4.6.1 Aangelegd magnetisch veld Bx . . . . . . 4.6.2 Aangelegde stroom J x . . . . . . . . . . . 4.7 Invloed van een transversaal magnetisch veld By 4.7.1 Aangelegd magnetisch veld Bx . . . . . . 4.7.2 Aangelegde stroom J x . . . . . . . . . . . 4.8 Invloed van een loodrecht magnetisch veld Bz . 4.8.1 Aangelegd magnetisch veld Bx . . . . . . 4.8.2 Aangelegde stroom J x . . . . . . . . . . . 4.9 Invloed van een transversale stroom Jy . . . . . 4.9.1 Aangelegde stroom J x . . . . . . . . . . . 4.10 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 65 67 67 69 70 70 72 73 73 74 76 76 77 79 79 80 81 81 83 85 85 86 86 86 86

Geheugenelementen en logische schakelingen 5.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 De NOT-poort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 NOT-poort met aangelegd magnetisch veld Bx 5.2.3 NOT-poort met aangelegde stroom J x . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

88 88 88 88 89 92

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INHOUDSOPGAVE

5.3

5.4

5.5

5.6

5.2.4 Conclusies . . . . . . . . . . . . . . . . . Het schrijfelement . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Bespreking van de simulaties . . . . . . 5.3.3 Conclusies . . . . . . . . . . . . . . . . . De splitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Ontwikkeling splitter . . . . . . . . . . 5.4.3 Conclusies . . . . . . . . . . . . . . . . . De AND-poort en OR-poort . . . . . . . . . . . 5.5.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Ontwikkeling AND-poort en OR-poort 5.5.3 Conclusies . . . . . . . . . . . . . . . . . Gebogen nanodraden . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Bespreking van de simulaties . . . . . . 5.6.3 Conclusies . . . . . . . . . . . . . . . . .

xv . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

93 94 94 95 98 98 98 99 104 105 105 105 115 116 116 116 118

6

Experimentele observatie van een domeinwand met MFM 120 6.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.2 Aanmaak sample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.3 Visualisatie domeinwand met MFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7

Algemene conclusies en suggesties voor verder onderzoek 125 7.1 Algemene conclusies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.2 Suggesties voor verder onderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Bibliografie

128

0.3 Symbolen in micromagnetisme en elektromagnetisme

Lijst van afkortingen, notaties en symbolen 0.1

Afkortingen 1D

e´ e´ ndimensionaal

2D

tweedimensionaal

3D

driedimensionaal

LLG

Landau-Lifshitz-Gilbert

0.2

0.3

Materiaalconstanten a

kubische roosterconstante

Aexch

uitwisselingsconstante

K1

eerste orde kubische anisotropieconstante

K2

tweede orde kubische anisotropieconstante

Ku

uniaxiale anisotropieconstante

lexch

uitwisselingslengte

Ms

magnetisatiesaturatie

α

dempingsconstante

γG

gyromagnetische verhouding

ξ

graad van niet-adiabaticiteit

Symbolen in micromagnetisme en elektromagnetisme φG

Gibbs vrije energiedensiteit

φani

anisotropie energiedensiteit

xvi

0.3 Symbolen in micromagnetisme en elektromagnetisme φexch

uitwisselingsenergiedensiteit

φme

magneto-elastische energiedensiteit

φms

magnetostatische energiedensiteit

φZ

Zeemanenergiedensiteit

Ha

aangelegd veld

Hani

anisotropieveld

Hexch

uitwisselingsveld

Hme

magneto-elastisch veld

Hms

magnetostatisch veld

He f f

effectief veld

Hd

demagnetiserend veld

ρms

magnetostatische ladingsdensiteit

πms

magnetostatische oppervlakteladingsdensiteit

Bms

magnetostatische inductie

Ems

magnetostatische energie

Etot

totale energie

l

angulair moment

M

magnetisatieveld

m

genormaliseerd magnetisatieveld

µ0

permeabiliteit van het vacuum

µB

het Bohrmagneton

N

demagnetiserende tensor

AV

antivortex

DW

domeinwand

TDW

transversale domeinwand

VDW

vortexdomeinwand

P

polarisatie

q

positie domeinwand

∆

breedte domeinwand

ψ

magnetisatiehoek domeinwand

τS T

het spinoverdrachtkoppel

BW , HW

het Walker breakdownveld

J

stroomdensiteit

xvii

0.3 Symbolen in micromagnetisme en elektromagnetisme JS

spinstroomdensiteit

JW

stroomdensiteit bij Walker breakdown

vW

de Walker breakdownsnelheid

T

temperatuur

xviii

ALGEMENE INLEIDING

1

Hoofdstuk 1

Algemene inleiding Spintronica is een relatief nieuw en dynamisch onderzoeksgebied waarin specifieke magnetische materiaaleigenschappen op sub-micrometerschaal worden onderzocht teneinde componenten te ontwikkelen voor logische operaties en operaties op het (digitaal) geheugen. Het is een beloftevol onderzoeksgebied, in die zin dat het een alternatief zou kunnen bieden voor de traditionele halfgeleidertechnologieën. In magnetische nanodraden worden de magnetische domeinen gescheiden door domeinwanden met een specifieke polariteit, waaraan de digitale waarde 0 of 1 kan worden toegekend zodat de domeinwand kan beschouwd worden als een digitale bit. Deze magnetische domeinwanden kunnen verplaatst worden door magnetische velden/stromen aan te leggen, hun polariteit kan worden omgedraaid (0 wordt 1 en 1 wordt 0) en ze kunnen zowel gecombineerd als gedupliceerd worden. Deze eigenschappen bieden de mogelijkheid een nieuwe digitale technologie te ontwikkelen, gebaseerd op de domeindwandpolariteit als digitale bit, wat het doel is van deze scriptie. Hiertoe worden specifieke geometrieën ontworpen, materiaalparameters gevarieerd en verschillende stroomprofielen (en veldprofielen) getest. We kiezen hierbij Permalloy als magnetisch basismateriaal. Dit werk kan aanleiding geven tot toekomstige logische componenten en geheugencomponenten die in verschillende aspecten de bestaande technologie overtreffen.

Het ontwerp van de componenten in deze digitale technologie gebeurt met behulp van het aan de UGent ontwikkelde softwarepakket MuMax [1], waarin de micromagnetische vergelijkingen numeriek worden opgelost. Deze liggen aan de grondslag van de dynamica van magnetische velden in de nanodraden. De vergelijkingen zijn gebaseerd op de micromag-

1.1 Overzicht verschillende componenten

2

netische theorie die de macroscopische wetten van Maxwell verzoent met de wetten van de kwantummechanica. Om de stroomprofielen in de verschillende designs te berekenen hebben we gebruik gemaakt van het softwarepakket COMSOL Multiphysics.

In deze inleiding zullen we eerst in het kort samenvatten waaruit een digitale technologie moet bestaan. Deze eerste discussie is sterk gebaseerd op [2]. Daarna zullen we de voor- en nadelen van de in deze scriptie ontwikkelde technologie ten opzichte van andere technologieën bespreken.

1.1

Overzicht verschillende componenten

Een complete digitale technologie moet zowel logische bewerkingen kunnen uitvoeren als een geheugenwerking hebben. Eerst en vooral is het noodzakelijk de bits e´ e´ nduidig te definiëren. Als digitale bit kiezen we de richting van de polariteit van een transversale domeinwand, zie Figuur 1.1. Voor de geheugenwerking is het van belang de bits te kunnen in- en uitschrijven. We hebben dus zowel nood aan een schrijfelement als aan een leeselement. In deze scriptie worden enkel designregels opgesteld voor een schrijfelement. Om logische bewerkingen te kunnen uitvoeren hebben we in principe genoeg aan een AND-poort en een NOT-poort, omdat op basis van deze twee poorten alle andere logische bewerkingen kunnen gerealiseerd worden. Verder is er nood aan een splitter om de informatie te kunnen dupliceren en moet er onderzocht worden hoe je de data kan leiden door gebogen nanodraden. Dit om complexe combinaties van digitale componenten mogelijk te maken. We lichten de werking van een AND-poort, een NOT-poort en een splitter kort toe.

Figuur 1.1: Domeinwandpolariteit als digitale bit.

Een NOT-poort is de meest eenvoudige logische component met maar e´ e´ n ingang en e´ e´ n

¨ 1.2 Vergelijking nieuwe technologie met bestaande technologieen

3

uitgang. Het moet een digitale bit met bitwaarde 0 omzetten in een digitale bit met bitwaarde 1 en vice versa, zie Tabel 1.1. Met I en U worden respectievelijk de ingangswaarde en uitgangswaarde bedoeld. Een AND-poort daarentegen heeft twee ingangen en e´ e´ n uitgang, zie Tabel 1.2. Een splitter genereert aan de output-zijde 2 identieke kopies van het inputsignaal en heeft twee uitgangen en e´ e´ n ingang. Andere logische poorten kunnen gerealiseerd worden door een combinatie van AND- en NOT-poorten, zoals ge¨ıllustreerd in het geval van een OR-poort, zie Tabel 1.3. Logische operaties worden tegenwoordig uitgevoerd binnen de CMOS-technologie. Een andere mogelijke technologie is gebaseerd op de magnetisatierichting van de magnetische domeinen in nanodraden, zie [2]. Deze laatste technologie leunt het sterkst aan bij de technologie die in deze scriptie ontwikkeld wordt en kan eveneens gesitueerd worden binnen de spintronica. Toch zijn er een aantal belangrijke verschillen met de technologie die in deze scriptie wordt ontwikkeld. Enerzijds wordt hier niet de polariteit van de domeinwanden, maar de magnetisatierichting van de domeinen zelf als bits gebruikt. Bovendien zullen de domeinen in de logische schakelingen bewegen onder invloed van een roterend extern aangelegd veld, die zowel als klok als als vermogentoevoer fungeert, terwijl in ons geval de domeinwanden bewegen onder invloed van aangelegde stromen. Designs voor deze domein-gebaseerde technologie worden ge¨ıllustreerd in Figuur 1.2. Het doel van deze thesis is een domeinmuur-gebaseerd alternatief te ontwikkelen.

1.2

Vergelijking nieuwe technologie met bestaande technologieën

Om de in deze scriptie ontwikkelde technologie te kunnen vergelijken met de bestaande technologieën, zullen we deze Sectie inleiden met het bespreken van het zogenaamde magnetische racetrackgeheugen, zie [3]. Dit racetrackgeheugen ligt aan de basis van de in deze scriptie ontwikkelde technologie.

Tabel 1.1: In-en uitgangswaarden NOT-poort.

I

U =!I

0

1

1

0


4

Figuur 1.2: Symbolen voor elektronische logica, gecombineerd met het bijpassende CMOS circuit element en een schematische tekening van een op magnetische domeinen gebaseerde logica (de getoonde dimensies refereren naar de designregels die hier gebruikt worden). De fan-out/splitter, cross-over en logische AND-juncties bevatten allen getaperde gebieden om te verbinden met de 200 nm brede draden. Vdd is de voedingsspanning, uit [2].


5

Tabel 1.2: In-en uitgangswaarden AND-poort.

I1

I2

U = I1 &&I2

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Tabel 1.3: In-en uitgangswaarden OR-poort.

I1

I2

!I1

!I2

!I1 &&!I2

!(!I1 &&!I2 )

U = I1 ||I2

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

Het magnetische racetrackgeheugen is een niet-volatiel geheugen waarvan de werking gebaseerd is op de gecontroleerde beweging van domeinwanden en dus ook de domeinen in magnetische nanodraden door korte pulsen van een spingepolariseerde stroom. Het combineert de voordelen van twee soorten bestaande geheugens, namelijk die van een conventioneel vastestofgeheugen (RAM) met die van een magnetische harde schijf (HDD), zie Tabel 1.4. Het RAM-geheugen is vluchtig (volatiel), terwijl een harde schijf dat niet is: indien de stroomtoevoer wordt uitgeschakeld, verliest een RAM-geheugen de opgeslagen data, wat niet het geval is bij een harde schijf. Immers, om de bitwaarde van een elektrische geheugencel te bewaren, moet deze geheugencel blijvend voorzien worden van stroom, terwijl de bitwaarde van een magnetische geheugencel bewaard blijft zonder stroom. Hieruit volgt dan ook onmiddellijk dat de kost van bitopslag in het RAM-geheugen relatief hoog is in vergelijking met de kost van bitopslag in een harde schijf. Daartegenover staat de lage performantie van een magnetische harde schijf, die te wijten is aan de typische lage toegangssnelheden van enkele milliseconden, terwijl de geheugencellen in het RAM-geheugen typisch veel vlugger toegankelijk zijn. Bovendien heeft een HDD een beperkte betrouwbaarheid, wat vooral te wijten is aan de accumulatie van deeltjes in deze schijf, zie [4]. Er zijn twee bronnen van deeltjes: een interne en externe bron. De interne bron wordt gevormd door losse deeltjes die gevangen worden tijdens het fabricatieproces, terwijl de externe bron wordt gevormd door deeltjes uit de nabije omgeving, zoals stofdeeltjes die niet gefilterd


6

worden in de luchtfilter. We leggen kort de werking van het magnetisch racetrackgeheugen uit met behulp van Figuur 1.3. De racetrack is een ferromagnetische nanodraad, met data geëncodeerd als een patroon van magnetische domeinen langs een gedeelte van deze draad. Pulsen van sterk spingepolariseerde stromen bewegen het hele patroon van domeinwanden coherent langs de lengte van de draad langs lees- en schrijfelementen. De nanodraad is bij benadering twee keer zo groot als het opgeslagen domeinpatroon, zodat de totale hoeveelheid data langsheen het lees- en/of schrijfelement kan passeren. Er zijn twee mogelijke configuraties: een verticale configuratie en een horizontale configuratie. Een verticale configuratie is moeilijker te verwezenlijken maar zou aanleiding kunnen geven tot een zeer hoge bitdensiteit omdat de data in 3 dimensies i.p.v. in 2 dimensies is opgeslagen. Een belangrijk nadeel van dit magnetisch racetrackgeheugen is de enorm hoge stroomdensiteit die nodig is om de domeinwanden te verplaatsen. Deze stroomdensiteit brengt immers ernstige opwarming met zich mee te wijten aan het Joule-effect, wat dan weer de aanleiding kan zijn voor ongewenste effecten. Voor de ontwikkeling van onze nieuwe digitale technologie zijn we vertrokken van de concepten van het magnetisch racetrackgeheugen. De technologie die hier in deze scriptie wordt ontwikkeld, behoudt de voordelen van het racetrackgeheugen maar slaat de data op in een kleinere entiteit: de domeinmuur. Bovendien is het schrijfelement energie-efficiënter. Het kost immers minder energie om de polariteit van een domeinwand te (her)definiëren dan de magnetisatierichting van een domein. Het is moeilijker om in te schatten wat de invloed op het leeselement is, aangezien in deze scriptie daarvoor geen concept werd uitgewerkt. Het is wel onmiddellijk duidelijk dat het leeselement gevoeliger moet zijn dan dat in het magnetisch racetrackgeheugen, zie Figuur 1.3(C).

Tabel 1.4: Vergelijking bestaande geheugens.

RAM

HDD

racetrack memory

vluchtigheid

volatiel

niet-volatiel

niet-volatiel

kost bitopslag

hoog

laag

laag

performantie

hoog

laag

hoog

betrouwbaarheid

hoog

beperkt

hoog


7

Figuur 1.3: Illustratie magnetisch racetrackgeheugen. De data worden aangeduid met de rode en de blauwe stukken in de nanodraden. (A) Een verticale configuratieracetrack biedt de hoogste opslagdensiteit aan door het patroon op te slagen in een U-vormige nanodraad loodrecht op het vlak van het substraat. De twee tekeningen tonen de magnetische patronen in de racetrack voor en nadat de domeinwanden hebben bewogen langs e´ e´ n tak van de U-vorm, langs de lees- en schrijfelementen en dan op de andere tak. (B) Een horizontale configuratie gebruikt een nanodraad parallel met het vlak van het substraat.(C) Het uitlezen van data van het opgeslagen patroon wordt gedaan door het opmeten van de tunnelmagnetoresistantie van een magnetisch tunneljunctie-element geconnecteerd met de racetrack. (D) Het schrijven van data wordt bijvoorbeeld tot stand gebracht door strooivelden van een domeinwand bewogen in een tweede ferromagnetische nanodraad loodrecht georiënteerd op de opslagnanodraad. (E) Rijen van racetracks worden gebouwd op een chip om opslag bij een hoge densiteit mogelijk te maken. Zie [3].

1.3 Overzicht van de scriptie

8

Terwijl het magnetisch racetrackgeheugen zich beperkt tot geheugencomponenten, is de in deze scriptie ontwikkelde technologie veel ambitieuzer, in die zin dat hier ook logische componenten ontwikkeld worden, die volledig compatibel zijn met de geheugencomponenten. Dit brengt een aantal belangrijke voordelen met zich mee. In de huidige computers gebeurt data-opslag magnetisch (harde schijf) of elektrisch (RAM) en de verwerking elektrisch. Er is dus steeds nood aan een omzettingsmechanisme die magnetische bits omzet naar elektrische signalen en omgekeerd. Deze omzetting kost tijd en energie. Bovendien bevat een harde schijf bewegende onderdelen, die onderhevig zijn aan slijtage. Indien echter zowel data-opslag als dataverwerking magnetisch gebeurt, wat het beoogde doel is van deze scriptie, is zo’n data-omzetting niet nodig. Bovendien is zowel de data-opslag als de dataverwerking niet-volatiel. Dit brengt nog een aantal andere belangrijke voordelen met zich mee. Enerzijds blijft na het uitschakelen van de stroomvoorziening alle data bewaard zoals in de toestand net voor het afsluiten. Anderzijds gebeurt het (her)opstarten dan vrijwel onmiddellijk.

1.3

Overzicht van de scriptie

Deze scriptie kan onderverdeeld worden in 3 delen. Het eerste deel omvat Hoofdstukken 2, 3 en 4, die de micromagnetische theorie en het 1D model behandelen waarbij de nadruk wordt gelegd op het begrijpen van de vorm en de beweging van domeinwanden in nanodraden. Deze hoofdstukken vormen een essentieel hulpmiddel bij het ontwerp van de componenten. Het tweede deel (Hoofdstuk 5) focust dan op het ontwerp van de verschillende componenten. In het derde deel (Hoofdstuk 6) wordt een bijkomend experiment behandeld. In Hoofdstuk 2, geven we een kort overzicht van de micromagnetische theorie. Uit de minimalisatie van de Gibbs vrije energie worden de micromagnetische evenwichtsvoorwaarden afgeleid. Vervolgens wordt de link gelegd met de vorm van de domeinwanden in de magnetische nanodraden, die de ruggengraat vormen van de in deze scriptie ontwikkelde technologie. Om de dynamica van de domeinwanden te kunnen beschrijven onder invloed van een aangelegd veld en/of stroom wordt de uitgebreide Landau-Lifshitz-Gilbert-vergelijking (Zhang-Li uitbreiding) ge¨ıntroduceerd. In Hoofdstuk 3 wordt het 1D model behandeld en rechtstreeks toegepast op de beweging van de domeinwanden onder invloed van een aangelegd veld/ een aangelegde stroom in

1.3 Overzicht van de scriptie

9

een nanodraad met welgedefinieerde parameters, die we als referentie kiezen. Dit hoofdstuk bestaat uit twee delen, het ene deel behandelt die de invloed van het aangelegd veld en een ander deel behandelt de aangelegde stroom. Elk deel is als volgt opgebouwd: eerst worden de vergelijkingen uit het 1D model afgeleid, daarna worden de resultaten uit de simulaties besproken, waarna ze ge¨ınterpreteerd worden in het kader van het 1D model en de micromagnetische theorie. In Hoofdstuk 4 gaan we na hoe de materiaalparameters de beweging van transversale domeinwanden onder invloed van een aangelegd veld en onder invloed van een aangelegde stroom be¨ınvloeden. De observaties worden verklaard binnen het 1D model en de micromagnetische theorie. In Hoofdstuk 5 worden de domeinmuur-gebaseerde geheugenelementen en logische schakelingen ontworpen op basis van de simulaties uitgevoerd met het simulatiepakket MuMax. We bespreken het ontwerp van de NOT-poort, het schrijfelement, de splitter, de AND-poort, de OR-poort en gebogen nanodraden. In elk onderdeel wordt eerst een concept uitgewerkt, waarna de designregels worden opgesteld. In Hoofdstuk 6 wordt een bijkomend experiment besproken, waarbij we getracht hebben een domeinwand experimenteel te visualiseren met behulp van MFM (magnetic force microscopy). Eerst wordt de aanmaak van het sample besproken, waarna het experiment met de MFM zelf wordt besproken. Tot slot, in Hoofdstuk 7, bespreken we de algemene conclusies en doen we enkele suggesties voor verder onderzoek.

DE MICROMAGNETISCHE THEORIE

10

Hoofdstuk 2

De micromagnetische theorie 2.1

Inleiding

De fysica achter de dynamica van de magnetische domeinwanden in nanodraden van een ferromagnetisch materiaal wordt beschreven met behulp van de micromagnetische theorie. We zullen in dit hoofdstuk de micromagnetische theorie kort behandelen en de link leggen met de magnetische nanodraden. Dit hoofdstuk is grotendeels gebaseerd op [5] en [6]. We beginnen dit hoofdstuk met kort de kwantummechanische oorsprong van atomaire magnetische momenten te beschrijven, die aan de basis liggen van het magnetisme in op ijzer gebaseerde materialen zoals Permalloy (Py), een legering van nikkel (ook een ferromagnetisch materiaal) en ijzer.

2.2

Oorsprong van het magnetisch moment in ijzer

De macroscopische magnetische eigenschappen van ferromagnetische materialen vinden hun oorsprong in de magnetische momenten van elk atoom in het kristalrooster. Om dit te begrijpen, moeten we ons baseren op de kwantummechanica. Voor de bespreking beperken we ons tot ijzer (de bespreking voor andere ferromagnetische materialen is analoog). Voor temperaturen onder 770 °C zijn ijzeratomen geordend in een zogenaamd bcc-rooster (bcc = body centered cubic of kubisch ruimtelijk gecentreerd). Zoals getoond in Figuur 2.1 bestaat een eenheidscel uit 2 atomen: 1 atoom in het midden en 8 atomen in de hoeken die elk voor

1 8

behoren tot de eenheidscel, die wordt gekarakteriseerd door de roosterconstante a.

In het geval van ijzer is a = 0.286 nm. Een atoom bevat een kern en elektronen die rond

2.2 Oorsprong van het magnetisch moment in ijzer

11

deze kern bewegen. Zowel de kern als de elektronen hebben een intrinsiek magnetisch spin moment, respectievelijk aangeduid als mn en me . Bovendien draagt de beweging van elk elektron bij tot het totale orbitale spin magnetisch moment mL . Uit de kwantummechanica kunnen we afleiden dat de bijdrage van het magnetisch moment van de kern mn en het orbitaal magnetisch moment mL veel kleiner zijn dan de bijdrage van het magnetisch moment van de elektronen me tot het totale magnetische moment in ijzer. De elektronen hebben ook een grote waarschijnlijkheid om in verschillende gebieden rond de kern te bewegen. Deze gebieden, die orbitalen genoemd worden, bevatten maximaal een voorgeschreven aantal elektronen en met elke orbitaal kan een bepaalde energie worden geassocieerd. Onder normale omstandigheden zullen vooral de orbitalen geassocieerd met de laagste energie gevuld zijn met elektronen. Deze toestand wordt de grondtoestand van het atoom genoemd, terwijl alle andere toestanden aangeslagen toestanden worden genoemd. De relativistische kwantummechanische Dirac-vergelijking zegt dat de magnetische spin van een elektron 2 mogelijke toestanden kan hebben, namelijk spin omhoog (↑) en spin omlaag (↓) die respectievelijk worden aangeduid door de spinkwantumgetallen m s =

1 2

en m s = − 12 . In compleet

gevulde orbitalen verschijnen deze elektronen in koppels met spin omhoog en spin omlaag, zodat compleet gevulde orbitalen niet bijdragen tot het totale magnetisch moment. In ijzer is het orbitaal geassocieerd aan de hoogste energietoestand die nog elektronen bevat het 3d-orbitaal. Deze kan 10 elektronen bevatten, maar heeft er slechts 8 in het geval van ijzer. Kwantummechanische analyse leert ons dat de laagste energietoestand correspondeert met een toestand waarin 5 elektronen hun spin omhoog hebben en 3 elektronen hun spin omlaag. Hieruit kunnen we concluderen dat slechts 5 − 3 = 2 elektronen bijdragen tot het totale magnetische moment van het atoom. Een kwantummechanische maat voor het spin magnetisch moment van een elektron is het Bohr magneton µB =

e~ 2me

= 9.274 e − 24 Am2 . Als we

bovenstaande redenering toepassen vinden we dat de amplitude van het totale magnetische moment van e´ e´ n enkel ijzeratoom gelijk is aan |µFe |= 2µB = 1.8548 e − 23 Am2 . De amplitude van het atomaire magnetische moment kan ook worden uitgedrukt als |µFe |= M s Vatoom waarbij M s = 1.745 e6 Am−1 de zogenaamde saturatiemagnetisatie is en Vatoom het volume is dat e´ e´ n atoom bezet in het bcc-rooster, namelijk Vatoom =

a3 2

= 1.70 e − 29 m3 . Vertrekkend van

deze laatste formule vinden we dat |µFe |= 2.041 e − 23 Am2 = 2.2µB wat in goeie overeenstemming is met de voorgaande redenering. Vanuit een andere, klassieke invalshoek bekeken komt het magnetisch moment voort uit de circulaire beweging van de elektronen rond de atomaire kern. Op die manier kan een

2.3 Oorsprong micromagnetische theorie

12

Figuur 2.1: Schematische voorstelling van een bcc-rooster, uit [7].

atoom worden geassocieerd met een elementaire dipool waarin een negatieve lading −e cirkelt rond een positieve lading +Ze zoals voorgesteld in Figuur 2.2. De bewegende lading kan nu gezien worden als een stroom waarin een magnetisch veld wordt gegenereerd die overeenstemt met het magnetisch veld gegenereerd door het magnetisch moment van het atoom.

Figuur 2.2: Het Bohr-atoom. Het elektron beweegt in een circulaire baan met zijn angulair moment l en magnetisch moment m tegengesteld gericht aan elkaar, uit [6].

2.3

Oorsprong micromagnetische theorie

Het is sinds lange tijd geweten dat een ferromagnetisch materiaal meestal niet homogeen gemagnetiseerd is, maar dat verschillende magnetisatiepatronen aanwezig kunnen zijn. Bitter was de eerste die deze magnetische domeinen kon observeren terwijl Weiss de eerste was die een verklaring kon geven voor deze magnetische domeinen dankzij zijn moleculaire veldtheorie, ontwikkeld in het begin van de twintigste eeuw. Deze magnetische domeinen

2.4 De micromagnetische energietermen

13

worden naar hem vernoemd (de Weiss domeinen). Omdat het niet mogelijk was, noch met de kwantummechanica, noch met de macroscopische theorie van het elektromagnetisme ontwikkeld door Maxwell, de domeinstructuren in ferromagnetische materialen te verklaren, was er nood aan een nieuwe theorie die het gat kon overbruggen tussen de kwantummechanische beschrijving van discrete, microscopische spins enerzijds en de continue, macroscopische Maxwell beschrijving anderzijds. Het doel was dan een theorie te ontwikkelen die de magnetisatieprocessen kon beschrijven in termen van continue, microscopische grootheden op een intermediaire schaal. De basis voor deze nieuwe theorie, de micromagnetische theorie, werd gelegd door Landau en Lifshitz in 1935. Zij introduceerden een continuum uitdrukking voor de kwantummechanische uitwisselingsenergie Eexch en gaven een eerste interpretatie van magnetische domeinpatronen als zijnde de magnetisatieconfiguratie die de magnetostatische energie minimaliseert. Voor een vergelijking tussen de verschillende theorieën die magnetisme beschrijven, zie Tabel 2.1.

2.4

De micromagnetische energietermen

In de micromagnetische theorie worden de magnetische momenten µi van de atomen gehomogeniseerd tot een continuum vectorveld M(r) =

n X µi . dV i=1

(2.1)

Hierbij is dV een volume dat groot genoeg is om een groot aantal elementaire magnetische momenten µi te bevatten, maar klein genoeg om te kunnen verzekeren dat het vectorveld traag varieert in de ruimte. Een goede maat wordt gegeven door de zogenaamde uitwisselingslengte lexch die we in volgende sectie zullen afleiden. Aangezien M(r) traag varieert in de ruimte, wordt de magnetisatie in het volume dV constant beschouwd met een amplitude die correspondeert met de amplitude van de ingesloten magnetische momenten. Dit leidt

Tabel 2.1: Vergelijking magnetische theorieën.

Kwantummechanica

Maxwell

Micromagnetische theorie

discreet

continu

continu

microscopisch

macroscopisch

microscopisch

Ruimteschaal

atomen

macroscopisch

intermediair (nanometerschaal)

Tijdschaal

femtoseconden

≥ nanoseconden

picoseconden

Grootheden


14

tot de onderstelling dat het continuum veld een vaste, materiaalafhankelijke amplitude M s (voor onze Permalloy nanodraden zijn we uitgegaan van M s = 860 kAm−1 ) bevat, maar een oriëntatie die varieert in de tijd en in de ruimte, M(r, t) = M s m(r, t).

(2.2)

Dit is in overeenstemming met de onderliggende kwantummechanische theorie waar elk atomair magnetisch moment ook een constante amplitude heeft maar een variërende oriëntatie. Het vectorveld M(r, t) wordt onderworpen aan verschillende interacties aanwezig in het ferromagnetisch materiaal. Met elke interactie kunnen we een energiebijdrage associëren. De micromagnetische theorie is gebaseerd op de minimalisatie van de totale Gibbs vrije energie φG = φexch + φani + φme + φZ + φms .

(2.3)

Hier is φexch de uitwisselingsenergie, φani de anisotropie-energie, φme de magneto-elastische energie, φZ de Zeemanenergie en φms de magnetostatische energie. We bekijken elk van deze termen afzonderlijk waarbij we in het achterhoofd houden dat Permalloy (Py) het ferromagnetisch materiaal is waaruit onze nanodraden opgebouwd zijn.

2.4.1

De uitwisselingsenergie

Deze energiebijdrage vindt zijn oorsprong in de wederzijdse interactie tussen de spins S die behoren bij aangrenzende ionen, gekend als de uitwisselingskoppeling beschreven door Heisenberg. De Heisenberg uitwisselingshamiltoniaan wordt gegeven door de uitdrukking X Hˆ exch = −2 Ji j (ri j )Sˆ i (ri ) · Sˆ j (r j ). (2.4) i, j

Hierbij is Ji j (ri j ) de uitwisselingsintegraal tussen de ionen met spins S i en S j op posities ri en r j . In principe bestaat de hamiltoniaan (2.4) uit de interactie tussen alle ionen, maar omdat de variaties tussen naburige ionen klein zijn, is het voldoende om enkel de interacties J0 tussen de 6 dichtstbijzijnde naburen van het atoom te beschouwen. In het geval van ferromagnetische materialen zoals Ni, Fe en dus ook Py is deze waarde positief, wat betekent dat de uitwisselingsenergie geminimaliseerd wordt indien naburige spins in dezelfde richting wijzen. Dit ferromagnetisch gedrag is typisch voor metalen met een bijna gevulde 3dband. We kunnen dit als volgt begrijpen: het hoofdaandeel van de uitwisselingsenergie is te wijten aan de overlap tussen gedeeltelijk gelokaliseerde atomaire orbitalen van aangrenzende atomen. Typisch zullen de gedeeltelijk gevulde 3d-orbitalen het sterkst overlappen.


15

In bijna gevulde 3d-banden kunnen elektronen dan gemakkelijker springen naar halfvolle orbitalen waarbij ze hun spin behouden zoals ge¨ıllustreerd in Figuur 2.3d. Wanneer de 3dband halfvol is, zoals bij chromium, is dit niet het geval en zullen de spins van naburige atomen eerder antiparallel zijn. Dit wordt duidelijk gemaakt met Figuur 2.3a en 2.3b. Dit helpt ons te verklaren waarom chromium een antiferromagnetisch materiaal is en waarom ijzer, kobalt en nikkel ferromagnetische materialen zijn.

Figuur 2.3: Elektrondelokalisatie in d-banden die halfvol (a,b), bijna leeg (c) of bijna vol (d) zijn, uit [6].

Door homogenisatie van de kwantummechanische uitdrukking (2.4) kan dan de continuum uitdrukking φexch (r) worden afgeleid. Wanneer we de kwantummechanische elementen vertalen naar klassieke eenheden impliceert dit dat we de spins S vervangen door de magnetisatie, zie uitdrukkingen (2.1) en (2.2), M = Msm =

gµB S, Vatoom

(2.5)

waarbij g de zogenaamde Landé factor is (voor ijzer is g ≈ 2 zoals eerder afgeleid). De uitdrukking voor de uitwisselingsenergiedensiteit rond e´ e´ n atoom is dan nn

φexch (ri ) =

2 M s2 X −2 Vatoom J0 mi · m j . Vatoom g2 µ2B j,i

(2.6)

De sommatie gaat enkel over de z dichtste naburen (nn) van het atoom (de zelfinteractie i = j wordt hier uitgesloten). Als nu enkel kleine hoeken φi j tussen aangrenzende magnetische momenten worden beschouwd zoals voorgesteld in Figuur 2.4, kunnen we elke component q = x, y, z van m j (r j ) expanderen in een Taylorreeks rond de corresponderende component van mi (ri ):

1 mq, j (r j ) = mq,i (ri ) + ri j · ∇mq, j (r j ) + (ri j · ∇)2 mq, j (r j ). 2

(2.7)


16

¨ Figuur 2.4: Twee aangrenzende spins en hun coordinaten, uit [5].

Als we gebruik maken van het feit dat het kristalrooster kubisch is (Permalloy heeft een fcc-kristalstructuur, face centered cubic of kubisch vlakgecentreerd) en van het feit dat de potentiële energie van een systeem bepaald is op een constante na, vinden we na verdere uitwerking, zie [5], als uitdrukking voor de uitwisselingsenergiedensiteit 3 X Vatoom M s2 2 φexch (ri ) = 2 2 2 J0 a (∇mi,q )2 . g µBohr q=1

(2.8)

We kunnen nu de uitwisselingsparameter Aexch introduceren die alle materiaalconstanten incorporeert, waardoor de volgende continuum uitdrukking voor de kwantummechanische uitwisselingshamiltoniaan wordt afgeleid als φexch (r) = Aexch

3 X

(∇mq (r))2 .

(2.9)

q=1

Standaard hebben we in de micromagnetische simulaties Aexch = 1.3 e − 11 Jm−1 gesteld voor het Permalloy in de nanodraden. Aangezien Aexch een positieve waarde heeft (omdat J0 een positieve waarde heeft) impliceert dit dat de uitwisselingsenergie in een ferromagnetisch materiaal minimaal is wanneer de magnetisatie parallel is, zoals we hierboven al konden afleiden. Indien een ferromagnetisch materiaal enkel onderhevig zou zijn aan uitwisselingsinteracties zou dit materiaal uniform gemagnetiseerd zijn. Voor een uniforme magnetisatie geldt immers dat ∇mq = 0 voor alle q = 1..3 en is de uitwisselingsenergiedensiteit (2.9) gelijk aan nul.

2.4.2

De anisotropie-energie

De anisotropie-energie resulteert uit de interacties tussen de magnetische momenten en het kristalrooster van het materiaal. De kwantummechanische oorsprong van de magnetokris-


17

tallijne anisotropie is gebaseerd op de koppeling tussen de spin momenten en de elektronische orbitaalmomenten (de zogenaamde LS-koppeling/spin-baan koppeling) aan de ene kant en de koppeling tussen het spin moment en het anisotropische kristalveld aan de andere kant. Door de anisotropie-energie heeft de magnetisatie in een materiaal de neiging om zich te aligneren in welbepaalde richtingen van het materiaalrooster. Deze richtingen worden de gemakkelijke magnetisatierichtingen genoemd. We beperken ons in deze korte discussie tot een fenomenologische beschrijving. Voor een eerste klasse van materialen zoals koper, vindt men dat ze uniaxiale anisotropie vertonen, waarbij er e´ e´ n richting is waarmee de magnetisatie zich probeert te aligneren. Wanneer de magnetisatie georiënteerd is langs deze sterke magnetokristallijne anisotropieas, in positieve of negatieve zin, wordt de anisotropie-energie in het materiaal geminimaliseerd. We vinden als uitdrukking voor de uniaxiale anisotropie-energiedensiteit φani = Ku,0 + Ku,1 sin2 (θ) + Ku,2 sin4 (θ),

(2.10)

waarbij θ de hoek is tussen de magnetisatie en de anisotropie-as u. De derde term is normaal gezien verwaarloosbaar in vergelijking met de tweede term en de eerste term is een constante die dus kan worden weggelaten. Indien we deze uitdrukking vertalen in termen van het continuum magnetisatieveld m, kunnen we φani schrijven als (Ku,1 = Ku ) φani = Ku (1 − [m(r) · u]2 ).

(2.11)

De energie-oppervlakte van deze energieterm wordt getoond in Figuur 2.5(a).

Figuur 2.5: (a) Energie-oppervlakte in het geval van uniaxiale anisotropie met de gemakkelijke magnetisatie-as langs de z-as. (b) Energie-oppervlakte in het geval van kubische anisotropie met de gemakkelijke magnetisatie-assen langs de x-,y-en z-richting, uit [5].

In een tweede klasse van materialen (materialen zoals Fe en Ni), worden kubische anisotropie-effecten waargenomen. In het geval van Fe verkiest het materiaal te satureren langs


18

de < 100 > roosterrichtingen. Deze liggen orthogonaal op elkaar zodat we ze kunnen as¨ sociëren met een coordinaatsysteem (u1 u2 u3 ). De anisotropie-energie is minimaal als de hoek tussen de magnetisatie en e´ e´ n van deze richtingen nul is. We kunnen φani dus beschrijven in termen van de richtingscosinussen αi (r) = m(r) · ui

(i = 1..3).

(2.12)

Aangezien de kubische anisotrope energie onafhankelijk is van het teken van αi , geldt er dat φani ∝ α2i en omwille van symmetrieredenen is deze tevens onafhankelijk van de index i, zodat we uiteindelijk voor de kubische anisotropie-energiedensiteit de uitdrukking (we hebben de eerste term met voorfactor K0 weggelaten omdat deze aanleiding geeft tot een constante en energie bepaald is op een constante na) φani (r) = K1 [α21 (r)α22 (r) + α22 (r)α23 (r) + α23 (r)α21 (r)] + K2 [α21 (r)α22 (r)α23 (r)]

(2.13)

vinden. De energie-oppervlakte van deze energieterm wordt getoond in Figuur 2.5(b). Polykristallijne ferromagnetische materialen bevatten vele korrels, waarbij in elke korrel een ¨ lokaal (u1 u2 u3 ) coordinaatsysteem kan worden gedefinieerd, die samenvalt met de gemakkelijke magnetisatierichtingen. In polykristallijne materialen van de tweede klasse is de anisotropie-energie minimaal wanneer in elke korrel de magnetisatie gericht is volgens e´ e´ n van de < 100 >-richtingen. In het geval dat enkel anisotropie-energie in rekening wordt gebracht is het materiaal enkel uniform gemagnetiseerd in de korrels en zijn er veranderingen van magnetisatie aan de randen van de korrels. Voor polykristallijne materialen van de eerste klasse kan een gelijkaardig besluit worden geformuleerd. Van belang is op te merken dat Permalloy (Ni80 Fe20 ) de eigenschap heeft dat zijn anisotropieenergie bijna nul is, ondanks het feit dat Py een legering is van Ni en Fe, die beiden kubische anisotropie-effecten vertonen. Dit kunnen we verklaren door op te merken dat de anisotropie-effecten elkaar tegenwerken en elkaar bijna opheffen voor de relatieve samenstelling van Fe en Ni in Py, zoals blijkt uit Figuur 2.6. Inderdaad, volgens uitdrukking (2.13) gaat een kleine anisotropieconstante K1 gepaard met een lage anisotropie-energiedensiteit φani .


19

Figuur 2.6: Magnetostrictie en anisotropie van Ni x Fe1−x legeringen, uit [6].

2.4.3

De magneto-elastische energie

Magneto-elastische effecten vinden hun oorsprong in de verplaatsing van atomen in het materiaalrooster wat zich uit in vervormingen van de elektronwolken die de atomen omringen. Macroscopisch kan men observeren dat de dimensies van een ferromagnetisch sample veranderen wanneer men een in de tijd variërend extern magnetisch veld aanlegt. Bovendien kan men ook waarnemen dat de magnetisatieconfiguraties veranderen wanneer een in de tijd variërende externe mechanische spanning wordt aangelegd. De magnetische processen in het materiaal zijn dus gekoppeld met elastische processen, wat aanleiding geeft tot een magneto-elastische energiecontributie φme . In Permalloy is de magnetostrictie verwaarloosbaar, zie Figuur 2.6, zodat de magneto-elastische energie geen rol speelt in onze simulaties.

2.4.4

De Zeemanenergie

De Zeemanenergiedensiteit φZ is een gevolg van de interactie tussen het magnetische materiaal en het externe aangelegde veld Ha . Zowel vanuit de kwantummechanica als uit de macroscopische theorie, weten we dat magnetische momenten zich parallel met het extern aangelegde veld trachten te aligneren zoals voorgesteld in Figuur 2.7. Een magnetisch moment in een extern veld heeft een Zeemanenergie gegeven door de uitdrukking m = −m · B.

(2.14)

Hieruit halen we de continuum uitdrukking voor de Zeemanenergiedensiteit φZ (r) = −µ0 M s m(r) · Ha .

(2.15)


20

Uit deze energieterm blijkt duidelijk dat een hypothetisch ferromagnetisch materiaal dat enkel onderhevig is aan de Zeemaninteractie zich uniform zal aligneren met het aangelegde veld Ha .

Figuur 2.7: Een magneet in een veld. Het koppel is mBsin(θ) en de energie is −mBcos(θ), uit [6].

2.4.5

De magnetostatische energie

De oorsprong van de magnetostatische energiedensiteit bevindt zich in het magnetostatische veld Hms gegenereerd door het ferromagnetische lichaam zelf. Vanuit de kwantummechanische theorie is het geweten dat elk magnetisch moment een magnetisch veld genereert. Als we de velden opsommen, gegenereerd door al de magnetische momenten in het ferromagnetische sample, resulteert dit in het magnetostatische veld. Een macroscopische beschrijving van Hms en de resulterende energiedensiteit φms start met de statische Maxwellvergelijkingen. De magnetostatische energiedensiteit wordt gegeven door 1 φms (r) = − µ0 M s m(r) · Hms (r). 2

(2.16)

Deze uitdrukking is analoog aan vergelijking (2.15) als we de factor

1 2

buiten beschouwing

laten. We kunnen dit begrijpen als volgt. We beschouwen twee magnetische dipolen mi j

en m j , die respectievelijk de magnetostatische velden Hims (r) en Hms (r) genereren. De energie gerelateerd aan dipool mi geplaatst in het magnetostatische veld gegenereerd door de magnetische dipool m j is j

φims (r) = −µ0 M s mi · Hms (ri ).

(2.17)

Analoog vinden we voor de energie te wijten aan dipool m j geplaatst in het magnetostatische veld gegenereerd door de magnetische dipool mi vergelijking j

φms (r) = −µ0 M s m j · Hims (r j ).

(2.18)


21

Beide uitdrukkingen beschrijven dus dezelfde interactie, waardoor ze een gelijke waarde hebben. We mogen de energie wel maar e´ e´ n keer tellen, vandaar de factor 12 . De magnetostatische interacties hebben een zeer grote invloed op de magnetisatieprocessen in ferromagnetische materialen zoals Permalloy, vooral wat betreft de vorm van de domeinwanden, zie Sectie 2.6. Voor een beter begrip van de invloed van deze interacties, behandelen we een aantal eigenschappen van algemene magnetostatische velden Hms . Een uitgebreidere behandeling wordt gegeven in [5]. Magnetostatische velden ontstaan uit de vergelijkingen van Maxwell in de afwezigheid van stromen ∇ · Bms (r) = 0

(2.19)

∇ × Hms (r) = 0. We kunnen deze vergelijkingen schrijven in twee equivalente vormen. Eén ervan is gebaseerd op de magnetostatische inductie Bms (r) = µ0 (Hms (r) + M(r)) ∇ · Bms (r) = 0

(2.20)

1 ∇ × Bms (r) = jms (r). µ0 Hier werd de magnetisatiestroom jms (r) = ∇ × M(r) ge¨ıntroduceerd (analoog aan een statische stroom j(r)). Een andere manier om (2.19) te herschrijven is gebaseerd op het scalaire magnetische veld Hms ∇ · Hms (r) = ρms (r)

(2.21)

∇ × Hms (r) = 0, waar de magnetische ladingsdensiteit ρms (r) = −∇ · M(r) werd ge¨ıntroduceerd (analoog aan de elektrische ladingsdensiteit in de elektrostatische tegenhanger van (2.19)). Uit (2.20) of uit (2.21) vindt men

1 Hms (r) = − 4π

Z ∇∇ V

1 · M(r0 )dr0 |r − r0 |

(2.22)

als algemene uitdrukking voor het magnetostatische veld. Vergelijking (2.22) kan ook worden afgeleid vanuit een microscopische benadering. Om de magnetische oppervlaktestroom en de magnetische oppervlakteladingsdensiteit te introduceren (twee belangrijke concepten om de vorm van de domeinwanden te begrijpen)


22

beschouwen we een uniform gemagnetiseerd eindig lichaam met volume V. In dit geval zullen de uitdrukkingen (2.20) en (2.21) zich herleiden tot uitdrukkingen die toepasbaar zijn op de oppervlakte van dit lichaam. In het materiaal zelf geldt immers dat ∇ × M(r0 ) = 0 en ∇·M(r0 ) = 0, terwijl er aan het oppervlak een plotse verandering in de magnetisatie is omdat M = 0 buiten het materiaal. Het stelsel (2.20) herleidt zich dan tot de vorm n · Bms (r) = 0

(2.23)

1 n × Bms (r) = n × M(r), µ0 terwijl het stelsel (2.21) zich herleidt tot n · Hms (r) = −n · M(r)

(2.24)

n × Hms (r) = 0. We kunnen nu de grootheid n × M interpreteren als een magnetische oppervlaktestroom kms (r) = n × M(r),

(2.25)

terwijl de grootheid −n · M kan ge¨ınterpreteerd worden als een magnetische oppervlakteladingsdensiteit πms πms (r) = −n · M(r).

(2.26)

We beschouwen nu een eindige cilinder die uniform gemagnetiseerd is langs zijn as zoals in Figuur 2.8(a) wordt voorgesteld. De magnetische oppervlaktestroom (2.25) is nul op de twee basissen en constant over de schil van de cilinder. De magnetische ladingen daarentegen zijn nul op de schil en constant (met tegengesteld teken) op de twee basissen van de cilinder. In een meer algemeen geval kunnen we een stuksgewijs homogeen gemagnetiseerd sample representeren door verschillende magnetische stromen of magnetische ladingsdensiteiten op de oppervlakten van de discontinue sprongen in de magnetisatie. De ladingsdensiteit die het discontinu¨ıteitsoppervlak tussen een gebied met magnetisatie M1 en M2 representeert, is dan gelijk aan πms = −n1 · M1 − n2 · M2

(2.27)

met n1 en n2 de eenheidsvectoren loodrecht op het discontinu¨ıteitsoppervlak wijzend naar het gebied met magnetisatie M1 en M2 respectievelijk.


23

Figuur 2.8: Uniform gemagnetiseerde cilinder(a), voorgesteld door een equivalente magnetische oppervlaktestroomdensiteit kms = n × M (b) en door equivalente magnetische ladingsdensiteiten πms = −n · M (c), uit [5].

Figuur 2.9: (a) Magnetostatisch veld ge¨ınduceerd door de uniform gemagnetiseerde ijzeren cilinder van Figuur 2.8 in een axiaal vlak. De veldsterkte wordt gegeven op een logaritmische schaal [Am−1 ], terwijl de richting van het veld gegeven wordt door de pijltjes. (b) Magnetostatisch veld in de lucht grenzend aan een uniform gemagnetiseerd sample, uit [5].


24

De magnetostatische energie in de totale ruimte wordt gegeven door, zie (2.16), Z

Ems = φms (r)dr Ω Z µ0 =− Hms (r) · M(r)dr. 2 Ω

(2.28)

Uitdrukking (2.28) kan ook worden geschreven als Ems

µ0 = 2

Z Ω

H2ms (r)dr.

(2.29)

Dit toont aan dat de minimale mogelijke magnetostatische energietoestand van een magnetische configuratie overeenkomt met een toestand waar Ems = 0 wat op zijn beurt overeenkomt met een magnetostatisch veld gelijk aan nul in elk punt van het materiaal en dus de afwezigheid van magnetische ladingen of magnetisatiestromen. Bovendien merken we op dat als we vergelijkingen (2.28) en (2.29) met elkaar vergelijken, een van nul verschillend magnetostatisch veld Hms steeds een grote component moet hebben die tegengesteld gericht is R aan de magnetisatie M. Immers, de integraal Hms (r) · M(r)dr moet negatief zijn, aangezien integraal (2.29) steeds positief is. Een systeem dat homogeen gemagnetiseerd is, zoals de cilinder in Figuur 2.9(a), genereert grote magnetostatische velden, zie Figuur 2.9(b). Deze strooivelden buiten het materiaal zijn een indicatie voor de magnetische ladingsdensiteit op beide basissen van de uniform gemagnetiseerde cilinder. Opdat een systeem geen magnetische ladingen zou bevatten, moet, in overeenstemming met voorgaande redenering, voldaan zijn aan de voorwaarde dat πms = −n1 · M1 − n2 · M2 = 0

(2.30)

aan het oppervlak tussen twee uniform gemagnetiseerde gebieden (magnetisaties M1 en M2 ) waarbij ni de normale eenheidsvector is op het oppervlak wijzend naar gebied i (i = 1, 2). Aan deze voorwaarde kan op twee verschillende manieren voldaan zijn. Enerzijds kan elk van beide termen nul zijn, wat het geval is wanneer Mi loodrecht staat op ni , wat aanleiding geeft tot domeinwanden van 180 graden zoals voorgesteld in Figuur 2.10(a). Anderzijds kunnen beide termen dezelfde amplitude hebben, maar een tegengesteld teken √ √ 2 2 πms = M− M=0 2 2

(2.31)

wat het geval is voor domeinwanden van 90 graden zoals voorgesteld in Figuur 2.10(b).


25

Figuur 2.10: (a) 180 graden domeinwand (b) 90 graden domeinwand, uit [5].

We moeten wel twee kanttekeningen maken wanneer we naar Figuur 2.10 kijken. Ten eerste hebben we discontinue magnetisatiesprongen verondersteld, corresponderend met domeinwanden met dikte 0. Wanneer andere energietermen in rekening worden gebracht, blijkt het dat de magnetisatie continu verandert tussen magnetische domeinen (bij discontinue magnetisatiesprongen zou de uitwisselingsenergie immers oneindig groot worden), waardoor de domeinwanden een eindige breedte hebben. Aangezien in deze domeinwanden ∇·M , 0, zullen er magnetische ladingen aanwezig zijn in de domeinwand, die zullen bijdragen tot de magnetostatische energie. De totale magnetostatische energie zal wel klein blijven, zodat magnetische domeinconfiguraties gescheiden door domeinwanden van 180 graden en 90 graden met eindige dikte energetisch het meest gunstig blijven. Ten tweede moeten we opmerken dat de gegenereerde magnetostatische velden enkel afhangen van de geometrie van het magnetische lichaam en niet van zijn eigenlijke dimensies. Figuur 2.9(b) toont geen lengteschaal. Een magnetisch sample dat dubbel zo groot is, zal identieke configuraties van magnetostatische velden genereren. Voor een uniform gemagnetiseerd sample kan men nu proberen om een relatie te beschrijven tussen de magnetisatie en het gegenereerde magnetostatische veld, enkel afhangend van dimensieloze parameters die de verhouding tussen karakteristieke geometrielengtes uitdrukken. Op basis van uitdrukking (2.22) is het duidelijk dat het magnetostatisch veld normaal niet constant is, zelfs niet als het gebied uniform gemagnetiseerd is, behalve indien het een uniform gemagnetiseerd ellipsvormig lichaam betreft. In dat geval kan het magne-

2.5 Minimalisatie van de Gibbs vrije energie

26

tostatisch veld geschreven worden als Hms = −N · M,

(2.32)

waarbij N de zogenaamde demagnetiserende tensor wordt genoemd. Wanneer de xyz assen worden gekozen langs de hoofdassen van de ellipso¨ıde, reduceert N zich tot een diagonale tensor      Hms,x  N x 0 0   M x                 Hms,y  = −  0 Ny 0   My  .             Hms,z 0 0 Nz Mz

(2.33)

De exacte waarden van de zogeheten demagnetiserende factoren N x , Ny en Nz hangen af van de verhoudingen van de lengtes van de hoofdassen. De demagnetiserende factoren zijn positief en gehoorzamen aan uitdrukking N x + Ny + Nz = 1.

(2.34)

Voor andere uniform gemagnetiseerde samplegeometrieën kunnen we uitdrukking (2.32) niet gebruiken aangezien Hms van punt tot punt verschilt in het sample. Desondanks kan een magnetometrische demagnetisatietensor N gedefinieerd worden, die enkel afhangt van de vorm van het sample, door te vertrekken van de magnetostatische energie per eenheidsvolume Z 1 1 µ0 M(r) · Hms (r)dr φms (r) = − V V2 1 = µ0 M · N · M. 2

(2.35)

Op die manier drukt de magnetometrische demagnetisatietensor N een soort uitgemiddeld magnetostatisch veld uit. In het geval van een magnetische nanodraad, zal N reduceren tot een diagonale tensor.

2.5

Minimalisatie van de Gibbs vrije energie

Nu we de verschillende micromagnetische energietermen die bijdragen tot de Gibbs vrije energiedensiteit φG hebben afgeleid, zie uitdrukking (2.3), kunnen we door minimalisatie van φG een micromagnetische evenwichtsconditie afleiden.


2.5.1

27

Variationele beschrijving

Aangezien de amplitude van het beschouwde vectorveld m(r, t) constant is, kan enkel de oriëntatie in elk ruimtepunt variëren waarbij gepoogd wordt de Gibbs vrije energiedensiteit φG te minimaliseren op een gegeven tijdstip t. In dit minimalisatieproces moet dus gelden dat

3 X

m2i (r, t) = 1

∀r, t.

(2.36)

i=1

Als we nu de ruimte- en tijdsafhankelijkheid voor de duidelijkheid weglaten in het vervolg, kunnen we dit herleiden tot het volgende variationeel probleem δφG = δ

Z V

3 X [φexch + φani + φme + φZ + φms + λ( m2i − 1)]dr = 0,

(2.37)

i=1

of als we dit verder uitwerken Z 3 X δφG = [δφexch + δφani + δφme + δφZ + δφms + 2λ mi δmi ]dr = 0. V

(2.38)

i=1

Hier is λ de Lagrange parameter en V is het volume van het magnetische materiaal. Uitdrukking (2.38) leidt tot een stel gekoppelde differentiaalvergelijkingen. Na uitwerking, zie [5], vindt men dat in elk volumepunt van het ferromagnetische materiaal moet voldaan zijn aan volgende drie condities − 2Aexch ∇2 mi +

∂φani ∂φme + − µ0 M s Ha,i − µ0 M s Hms,i + 2λmi = 0 ∂mi ∂mi

(i = 1, 2, 3),

(2.39)

terwijl voor elk oppervlaktepunt moet voldaan zijn aan de volgende drie evenwichtscondities n · ∇mi = 0

(i = 1, 2, 3).

(2.40)

De uitdrukking (2.40) is een Neumann randvoorwaarde voor elke component van het magnetisatieveld. De afgeleide van de magnetisatie in de richting van de oppervlaknormaal n verdwijnt aan de rand zodat de magnetisatie op de rand enkel een tangentiële component heeft. Om de onbekende Lagrange parameter λ uit de evenwichtsvoorwaarden voor het volume te elimineren, vermenigvuldigen we uitdrukking (2.39) voor mi met m j en vice versa, waarna we beide resultaten van elkaar aftrekken. Dit leidt tot de uitdrukking He f f,i M s m j − He f f, j M s mi = 0, waarbij He f f,i =

1 ∂φani 1 ∂φme 2Aexch 2 ∇ mi − − + Ha,i + Hms,i . µ0 M s µ0 M s ∂mi µ0 M s ∂mi

(2.41)

(2.42)


28

Voor Permalloy vereenvoudigt deze laatste uitdrukking zich tot He f f,i =

2Aexch 2 ∇ mi + Ha,i + Hms,i . µ0 M s

(2.43)

We kunnen nu de drie evenwichtsvoorwaarden voor het volume die overeenkomen met uitdrukking (2.41) compact schrijven M × He f f = 0.

(2.44)

Deze drie minimale energiecondities zijn de vergelijkingen van Brown. De toestanden waarin de Gibbs vrije energie minimaal is, komen dus overeen met de magnetische configuraties waarvoor in elk punt van het materiaal voldaan is aan de micromagnetische voorwaarde van een verdwijnend effectief magnetisch koppel Γ = µ0 M × He f f . He f f (r, t) wordt gedefinieerd als een continuum vectorveld dat varieert op dezelfde tijd- en lengteschaal als m(r, t) en alle micromagnetische interacties in het materiaal in rekening brengt. De magnetische evenwichtsconfiguraties kunnen worden bepaald door (2.40) en (2.44) samen op te lossen, respectievelijk voor elk oppervlaktepunt en voor elk volumepunt. Wegens de complexiteit van het magnetisch systeem bestaan er in het algemeen een groot aantal lokale minima die voldoen aan deze twee voorwaarden.

2.5.2

De effectieve veldtermen

Het effectief veld He f f (r, t) kunnen we schrijven als de som van de bijdragen van de verschillende micromagnetische interacties die het gedrag van het magnetisatieveld m(r, t) bepalen, zie vergelijking (2.42), zodat He f f (r, t) = Hexch (r, t) + Ha (r, t) + Hms (r, t) + Hani (r, t) + Hme (r, t).

(2.45)

Het externe aangelegde veld Ha (r, t) is de enige term die niet afhangt van het magnetisatieveld m(r, t). We zullen nu de (r, t)-afhankelijkheid voor het gemak weglaten in de verdere discussie. We merken nog op dat het effectief veld He f f kan geschreven worden als He f f = −

1 ∂φG 1 ∂φG =− . µ0 M s ∂m µ0 ∂M

(2.46)

Het uitwisselingsveld kan nu worden gedefinieerd als, zie (2.42), Hexch =

2Aexch 2 ∇ mi ei . µ0 M s

(2.47)

2.6 Vorm domeinwanden in een nanodraad

29

Hier werd gebruik gemaakt van Einstein’s sommatieconventie: als de indices twee keer verschijnen, wordt de som gemaakt. Gebaseerd hierop kan men de uitwisselingslengte lexch definiëren, die een maat vormt voor de lengteschaal waarover het magnetische continuumveld m(r, t) varieert (groot genoeg om veel atomen te bevatten maar klein genoeg om te verzekeren dat het vectorveld geleidelijk varieert), als s 2Aexch lexch = µ0 M s2

(2.48)

Een grotere uitwisselingsparameter Aexch en een kleinere saturatiemagnetisatie M s zullen leiden tot een grotere uitwisselingslengte. Voor de Permalloy nanowires in de simulaties hebben we M s = 860 e3 Am−1 en A = 1.3 e − 11 Jm−1 gebruikt als materiaalparameters waaruit (met µ0 = 4π 1e − 7 T mA−1 ) volgt dat lexch = 5.3 nm voor Permalloy.

2.6

Vorm domeinwanden in een nanodraad

In de beschouwde nanodraad vormt de domeinwand de grens tussen 2 tegengesteld gemagnetiseerde domeinen, zie Figuur 2.11. In Sectie 2.4.5 hebben we gezien dat deze domeinwanden een eindige dikte hebben. We kunnen nu de vorm van de domeinwanden verklaren uit een minimalisatie van de som van de magnetostatische energie en de uitwisselingsenergie. Als de uitwisselingsenergie domineert, heeft de domeinmuur de neiging om zeer breed te zijn, zodat er een zo klein mogelijke hoek is tussen naburige spins wat resulteert in een kleine uitwisselingsenergiedensiteit. Wanneer de magnetostatische energie domineert, hebben de spins de neiging om zo parallel mogelijk tegen de rand aan te liggen, omdat er dan geen oppervlakteladingen ontstaan (en dus ook geen strooivelden). In Permalloy nanodraden kunnen hoofdzakelijk twee soorten domeinspinstructuren optreden: vortexdomeinwanden (VDW’en) en transversale domeinwanden (TDW’en). Deze worden voorgesteld in Figuur 2.12. We zullen beide structuren kort bespreken. In het geval van een VDW zullen de spins krullen rond een vortexkern die omhoog of omlaag uit het vlak wijst, zie Figuur 2.12(b). De vortexdomeinwand (VDW) is een viervoudig energetisch gedegenereerde toestand waar de magnetisatie in het vlak in wijzerzin of in tegenwijzerzin is en de vortexkern uit het vlak naar boven of naar onder wijst. De transversale domeinwand (TDW) vertoont een heel andere spinstructuur. Hier zullen de


30

Figuur 2.11: Deel van een Py nanodraad met een domeinwand in en bijhorende kleurencode, uit [8].

Figuur 2.12: (a) Schematische voorstelling magnetische draad met twee domeinen die in tegengestelde richting wijzen en een domeinwand die beide domeinen scheidt. (b) Bovenaanzicht spinstructuur van een vortex domeinwand (VDW) (c) Bovenaanzicht spinstructuur van een transversale domeinwand (TDW), uit [9].


31

spins roteren in het vlak van de structuur, zie Figuur 2.12(c). De energieën van de twee domeinwanden variëren en hangen af van de geometrie en het materiaal. In een VDW is de bijdrage van de uitwisselingsenergie typisch belangrijker dan die van de magnetostatische energie, terwijl dit bij een TDW net andersom is. In een VDW is de magnetische fluxdensiteit in het materiaal gesloten, wat onmiddellijk duidelijk is indien we naar de structuur van de VDW kijken. Hierdoor zijn er geen strooivelden en liggen er dus geen magnetische ladingen op de rand. Bovendien zal een vortexdomeinwand de magnetostatische energie Ems in het materiaal zelf ook minimaliseren. Indien we de VDW zien als een structuur die uit 4 domeinen bestaat, gescheiden door zeer smalle domeinwanden van 90 graden (groene lijnen in Figuur 2.12(b)), is dit onmiddellijk duidelijk: in Sectie 2.4.5 hebben we immers bewezen dat er bij zeer dunne domeinwanden van 90 graden geen magnetische oppervlakteladingen aanwezig zullen zijn. Wat energetisch minder gunstig is, is dat de uitwisselingsenergie zeer sterk toeneemt naarmate we dichter naar de vortexkern (rode punt in Figuur 2.12(b)) toe bewegen door de steeds grotere variatie van de magnetisatierichting dichtbij die vortexkern. In brede nanodraden zal die vortexkern maar een klein deel uitmaken van de domeinwand, zodat in bredere nanodraden de VDW de meest stabiele domeinwandstructuur is. In smallere nanodraden zou een vortexkern een te groot deel van de domeinwand vormen, waardoor een TDW energetisch gunstiger is bij smallere nanodraden. In een TDW is de uitwisselingsenergie immers minimaal. Daartegenover staat dat in een TDW de magnetische fluxdensiteit er niet in slaagt om een gesloten lus te vormen in de nanodraad. Dit heeft als gevolg dat in een TDW strooivelden worden gecreëerd die gepaard gaan met magnetische ladingen op de rand, wat de magnetostatische energie doet toenemen. We merken daarbij wel op dat, als we de transversale domeinwand beschouwen als een domein met domeinwanden, dit domein door twee zeer smalle domeinwanden van 90 graden (groene lijnen Figuur 2.12(c)) gescheiden is van de twee domeinen gescheiden door de TDW, waardoor de magnetostatische energie in de TDW toch beperkt blijft. We hebben nu kwalitatief beide spinstructuren besproken, maar kunnen we nu ook kwantitatief bepalen welk van de twee structuren zal optreden, uitgaande van de dimensies van de nanowires? In [9] worden er twee formules bekomen, die op analytische wijze konden worden bekomen en die de energieën van de twee domeinmuren als een functie van de geometrie bepalen. Deze analytisch bekomen formules komen niet volledig overeen met de micromagnetische simulaties, maar geven toch een goed kwalitatief beeld van de in-


32

vloed van de ruimtelijke dimensies op de nanowires. Om het verschil in magnetostatische energie tussen beide domeinstructuren te bekomen, wordt er verondersteld dat het verschil in magnetostatische energie tussen beide domeinmuurtypes effectief het strooiveld is van de transversale component in de TDW. Dit magnetostatisch energieverschil kan analytisch worden berekend als

1 ∆Ems = EV D − ET D ≈ − µ0 M s2 t2 w, 8

(2.49)

met M s de magnetisatiesaturatie, t de dikte en w de breedte van de structuur. Voor het verschil in uitwisselingsenergieën wordt verondersteld dat deze wordt gegeven door de vortex in de VDW, wat leidt tot formule ∆Eexch = EV D − ET D ≈ 2πtAexch ln

rmax , rmin

(2.50)

met Aexch de uitwisselingsconstante, t de dikte, rmax de buitenste straal van de vortex die verondersteld wordt de helft van de stripbreedte te bedragen en rmin de binnenstraal van de vortex, die wordt gegeven door de vortexkernstraal δ. Uit deze twee formules kunnen we nu een fasediagram afleiden die het energetisch meest gunstige domeinwandtype toont in functie van de geometrie (breedte en dikte). Om de fasegrens te bepalen wordt de som van uitdrukkingen (2.49) en (2.50) aan nul gelijk gesteld. Hier hebben beide domeinwandtypes dezelfde energie. Als we de zwakke logaritmische afhankelijkheid verwaarlozen, vinden we dat wt ≈ C te , met de constante C te afhankelijk van het materiaal. Ter illustratie tonen we het experimentele fasediagram voor domeinwanden in Permalloy ringen bij kamertemperatuur, zie Figuur 2.13. Dat de theoretische fasegrens veel lager ligt, kan als volgt begrepen worden: de berekeningen vergelijken de totale energieën en bepalen dus het domeinwandtype met de absolute minimumenergie als meest gunstig. In het experiment werd het domeintype onderzocht na saturatie van de ring in een magnetisch veld waarna het veld tot nul werd gerelaxeerd. Voor de vorming van een VDW moet eerst een energiebarrière overwonnen worden om een vortexkern te laten ontstaan, wat leidt tot hysterese bij de domeinwandvorming. De geobserveerde spinstructuur heeft niet noodzakelijk het absolute energieminimum, want TDW’en kunnen geobserveerd worden in ringen met bepaalde combinaties van diktes en breedtes waar ze lokale energieminima bezetten, zelfs als de VDW een lagere energie voor die welbepaalde geometrie heeft. De gesimuleerde fasegrens ondergaat dan weer een shift naar hogere diktes en grotere breedtes vergeleken met de experimentele fasegrens. Dit is te wijten aan het feit dat thermische excitaties helpen om de energiebarrière tussen TDW’en en VDW’en te overwinnen in het geval van een experiment bij kamertemperatuur,

2.7 Dynamica in micromagnetisme

33

terwijl deze niet in rekening worden gebracht in de micromagnetische simulaties die geen temperatuurseffecten beschouwen (T = 0K).

Figuur 2.13: Experimenteel fasediagram voor domeinwanden in (a) Permalloy ringen bij kamertemperatuur. Zwarte vierkanten zijn een indicatie voor VDW’en en rode cirkels voor TDW’en. De fasegrenzen worden getoond als doorlopende lijnen. (b) Vergelijking van de bovenste experimentele fasegrens met de resultaten uit berekeningen (stippellijn) en micromagnetische simulaties (streepjeslijn), uit [9].

2.7

Dynamica in micromagnetisme

Wanneer we een constant extern aangelegd veld Ha beschouwen en de geometrie en materiaalparameters van een gegeven sample kennen, voorzien Brown’s vergelijkingen (2.40) en (2.44) ons van een compleet set van lokale energieminima. Wanneer het sample in evenwicht is, zal het ferromagnetische systeem zich in een toestand bevinden die correspondeert met e´ e´ n van deze minima. Als we nu het aangelegd magnetisch veld Ha naar een andere waarde switchen, zal het energielandschap veranderen: sommige minima zullen verdwijnen, terwijl andere worden gecreëerd. De nieuwe evenwichtstoestand zal afhangen van de magnetisatiegeschiedenis, m.a.w. het vorige bezette energieminimum. De Landau-Lifshitz-Gilbert vergelijking vertelt ons niet alleen naar welk energieminimum het systeem zal switchen, maar ook welke weg het systeem volgt tussen twee evenwichtstoestanden. Ook als we een stroom aanleggen, zal het energielandschap veranderen. De inwerking van de stroom wordt beschreven door twee extra termen aan de Landau-Lifshitz-Gilbertvergelijking toe te voegen. We beginnen onze bespreking van de dynamica met afleiding van de LLG-vergelijking


34

en zullen nadien de stroomtermen aan de LLG-vergelijking toevoegen.

2.7.1

De Landau-Lifshitz-Gilbert vergelijking zonder stroomtermen

Afleiding LLG-vergelijking De beschrijving van de tijdsafhankelijkheid van m(r, t) vertrekt vanuit de kwantummechanica. We beschouwen eerst een elementair magnetisch moment µi waarmee een angulair moment Ji correspondeert. Vanuit de kwantummechanica is het geweten dat de twee direct proportioneel zijn aan elkaar, met µi = γJi . In Permalloy vindt Ji zijn oorsprong in de elektronenspins zodat γ gelijk is aan e/me , de verhouding van de lading van het elektron tot de massa van het elektron. In een klassieke beschrijving starten we van de snelheid van verandering van het angulair moment dat gegeven wordt door het koppel Γ uitgeoefend op het magnetisch moment, zie Figuur 2.7,

wat zich herleidt tot

∂Ji = µ0 mi × H, ∂t

(2.51)

∂mi = γG mi × H ∂t

(2.52)

met γG = µ0 γ = −2.21 e5mA−1 s−1 . Vertaald naar de continuum micromagnetische beschrijving (en bij het verwaarlozen van de (r, t)-afhankelijkheid) resulteert dit in ∂M = γΓ = γG M × He f f . ∂t

(2.53)

Deze uitdrukking is in overeenstemming met de vergelijkingen van Brown, zie (2.44): wanneer het systeem in evenwicht is, zal de magnetisatie niet in de tijd variëren. Daarentegen, wanneer er geen evenwicht is, zal uitdrukking (2.53) in elk punt van de ruimte (als het ruimtepunt zich bevindt binnen de bulk van het magnetische materiaal) een precessiebeweging van het magnetisatieveld m beschrijven rond het lokale effectief veld He f f en hierbij nooit een toestand van evenwicht bereiken. We moeten een tweede term toevoegen aan uitdrukking (2.53) om een evolutie van m naar He f f mogelijk te maken. Gilbert stelde uitdrukking

∂M α ∂M = −|γG |M × He f f + M× ∂t Ms ∂t

(2.54)

voor met α de zogenaamde dempingsconstante van Gilbert. Uit Figuur 2.14 is het duidelijk dat de extra term (indien groter dan 0) resulteert in een gedempte precessiebeweging van het magnetisatieveld M = M s m rond He f f , waarbij geldt dat hoe groter α is, hoe groter de


35

demping van de precessiebeweging is. Wij zijn in onze simulaties uitgegaan van een dempingsconstante α = 0.02 voor de Permalloy nanodraden. Voor de simulaties is het handig dat de verandering van de magnetisatie in de tijd

∂M ∂t

enkel in het linkerlid voortkomt. Deze aan

uitdrukking (2.54) verwante uitdrukking wordt gegeven door uitdrukking ∂M α|γG | |γG | M × He f f − =− M × (M × He f f ). 2 ∂t 1+α M s (1 + α2 )

(2.55)

Dat beide uitdrukkingen equivalent zijn kan bewezen worden als volgt: vooreerst nemen we het vectorproduct van M met (2.55). Dit geeft ons uitdrukking M×

|γG | α|γG |M s ∂M =− M × (M × He f f ) + (M × He f f ). 2 ∂t 1+α (1 + α2 )

(2.56)

Uitdrukking (2.55) moet vervolgens geschreven worden als functie van M × (M × He f f ). De bekomen uitdrukking substitueren we dan in (2.56) en dit kunnen we uitwerken tot uitdrukking (2.54). We merken nog op dat, indien we verandering van de magnetisatie in de tijd

∂M ∂t

nul stellen,

uit (2.55) volgt dat M × He f f = 0. Deze uitdrukking is dus eveneens in overeenstemming met de vergelijkingen van Brown, zie (2.44): wanneer het systeem in evenwicht is, zal de magnetisatie niet in de tijd variëren.

Figuur 2.14: Gedempte precessiebeweging van het magnetisatieveld m(r, t) rond He f f (r, t), uit [5]

We kunnen de tijdschaal voor typische veranderingen op micromagnetische schaal schatten op basis van de Landau-Lifshitz-Gilbert vergelijking (2.55). Als we uitgaan van een amplitude van He f f van de orde van M s (voor Permalloy nanodraden: M s = 860 e3Am−1 ) is de


36

rechterzijde van vergelijking (2.55) van de ordegrootte O(|γG |M s ) ∼ O(1012 s−1 ). Hieruit kunnen we concluderen dat het continuum magnetisatieveld varieert op een sub-picosecondetijdschaal. Ook belangrijk om op te merken is dat een verandering van het aangelegd veld Ha het effectief veld He f f wijzigt en dat dit effectief veld He f f op de hele magnetisatie van het gemagnetiseerde object inwerkt. In het geval van magnetische nanodraden komt dit erop neer dat zowel de domeinen als de domeinwanden door een verandering van het aangelegd veld zullen be¨ınvloed worden. Deze vaststelling is van groot belang bij het ontwerp van onze logische schakelingen.

2.7.2

De Landau-Lifshitz-Gilbert vergelijking met stroomtermen

Naast manipulatie door velden, blijkt dat de spinoverdracht van conductie-elektronen bewegend langs de spinstructuur van een domeinwand gebruikt kan worden om domeinwanden te manipuleren. Wanneer een spingepolariseerde stroom langs de domeinwand passeert, zal de uitwisselingsenergie de richting van de elektron-spinpolarisatie aligneren met de richting van de lokale magnetisatie, wat equivalent is aan een koppel dat inwerkt op de magnetisatie resulterend in een domeinwandverplaatsing in de richting van de elektronenstroom. De richting van deze elektronenstroom is tegengesteld aan de conventionele stroomzin. De interactie tussen een spingepolariseerde stroom en een magnetische domeinwand kan opgesplitst worden in twee soorten interacties die overeenstemmen met twee verschillende stroomtermen. Dit resulteert in de uitgebreide LLG-vergelijking. We maken gebruik van de Zhang-Li uitbreiding. De uitgebreide LLG-vergelijking met de stroomtermen wordt gegeven door vergelijking, zie [8],

∂M |γG | α|γG | =− M × He f f − M × (M × He f f ) 2 ∂t 1+α M s (1 + α2 ) −

bj M s2 (1

+

α2 )

M × (M × (j · ∇)M) −

bj (ξ − α)M × (j · ∇)M. M s (1 + α2 )

(2.57)

Hierbij is ξ de graad van niet-adiabaticiteit, j is de stroomdensiteit en b j = PµB /(eM s (1 + ξ2 )) met P de polarisatie, µB het Bohrmagneton en e de lading van het elektron. Voor onze Permalloy nanodraad zijn we uitgegaan van ξ = 0.04. Gecombineerd met de waarde α = 0.02 zien we dat de laatste term van de uitgebreide LLG-vergelijking (2.57) niet nul wordt, tenzij de stroom nul is. De twee verschillende interacties tussen een spingepolari-


37

seerde stroom en een magnetische domeinwand, zijn de adiabatische interactie en de nietadiabatische interactie, die corresponderen met respectievelijk de derde en de vierde term van vergelijking (2.57). We zullen nu de bijdrage van de adiabatische stroomterm, de derde term in vergelijking (2.57), iets meer plausibel maken (redenering gehaald uit [9]). Voor een veel uitgebreidere en correctere behandeling van deze stroomterm, alsook de niet-adiabatische, verwijs ik naar de literatuur, zie [10]. We beschouwen een ferromagnetische nanodraad met bijhorend assenstelsel zoals getoond in Figuur 2.12(a). In de afwezigheid van spinrelaxatie, kan het spinoverdrachtkoppel τS T worden uitgedrukt als een functie van de spinstroomdensiteit J s . Voor een 1D-systeem met de spinstroom lopend langs de x-richting bekomen we uitdrukking τS T = −

∂J s . ∂x

(2.58)

Vergelijking (2.58) is een continu¨ıteitsvergelijking voor de spinstroom die het behoud van de totale spin van het geleidingselektron en van de lokale magnetisatie uitdrukt. We merken op dat de vector J s de spinrichting aanduidt en dat de stroomdistributie verondersteld wordt homogeen te zijn en loodrecht op de y-richting. De adiabatische limiet veronderstelt dat de spinpolarisatie gealigneerd is langs de richting van de lokale magnetisatie wegens de uitwisselingsinteractie, zodat J s = −J s m met m de eenheidsvector voor de magnetisatie en J s = |J s |. J s kan nu geschreven worden als een functie van de spinpolarisatie P en de stroomdensiteit J als J s = JP~/2e met e de lading van het elektron. Dit leidt tot τS T =

JP~ ∂m . 2e ∂x

(2.59)

Alhoewel de spinpolarisatie van de stroom gealigneerd is langs de lokale magnetisatie, is de lokale uit-evenwicht spindensiteit s, ook spinaccumulatie genoemd, daarentegen licht gebogen en heeft deze een component dwars op de magnetisatie, met s loodrecht op

∂m ∂x .

Het koppel τS T kan ook worden omgezet in een tijdsafgeleide van de eenheidsmagnetisatie m door vergelijking (2.59) te vermenigvuldigen met −|γ|/M s = −gµB /(~M s ), zodat (

∂m ∂m ) = −u . ∂t S T ∂x

(2.60)

Hierbij is u = JPgµB /2eM s en µB het Bohrmagneton. u wordt algemeen de spindriftsnelheid genoemd en is in feite de maximale snelheid die de domeinwand kan bereiken in de adiabatische limiet wanneer de spinmomenten van de geleidingselektronen volledig geconverteerd worden in domeinwandverplaatsing. Inderdaad, in deze limiet, zal elk elektron


38

passerend door een domeinwand een verandering van spin angulair moment met grootte ~ ondergaan (m s = ~/2 ⇔ m s = −~/2), wat overeenkomt met de overdracht van een magnetisch moment van 2µB aan de domeinwand. De verandering van magnetisch moment in de draad wegens een elektrische stroom gedurende een tijd ∆t is dan δmcurrent = 2µB

J s A∆t 2PµB JA∆t = , ~/2 e

(2.61)

met A de grootte van de doorsnede van de nanodraad. Als het angulair moment volledig omgezet wordt in een domeinwandverplaatsing ∆l, leidt dit tot een verandering van het magnetisch moment van δm = 2M s ∆lA met M s de saturatiemagnetisatie. Door deze twee contributies samen te brengen, kan de snelheid v van de domeinwand worden verkregen v=

∆l PµB J ≡ u. = ∆t eM s

(2.62)

We zien duidelijk dat we vergelijking (2.60) kwalitatief op dezelfde manier kunnen interpreteren als de derde term van de uitgebreide LLG-vergelijking (2.57) waardoor we kunnen concluderen dat voorgaande bespreking kwalitatief de fysische realiteit vrij dicht benadert. Aangezien theorieën ontwikkeld om het koppel tengevolge van de spinoverdracht te berekenen niet volledig in overeenstemming bleken te zijn met experimentele resultaten, werd er een niet-adiabatische term toegevoegd aan de uitgebreide LLG-vergelijking (vierde term van (2.57)), die in feite een correctie is op de adiabatische term en er loodrecht op staat. Alhoewel de voorfactor redelijk klein is (in ons geval is de absolute waarde ξ − α = 0.04 − 0.02 = 0.02 kleiner dan de absolute waarde van de derde term), zal deze de dynamica van de domeinwanden significant veranderen. We zien direct het analoog met de invoering van de dempingsterm in de LLG-vergelijking (2.57): deze is ook een correctie op de eerste term, heeft in ons geval een absolute waarde die ook α = 0.02 kleiner is dan de eerste term en staat er eveneens loodrecht op. De fysische verantwoording voor dit niet-adiabatisch koppel kunnen we wijten aan twee verschillende contributies (volgens [10]). De eerste is de spinrelaxatie in de domeinwand, die kan veroorzaakt zijn door spin-flip verstrooiingsmechanismen met onzuiverheden, fononen, enz. waarbij de spin niet behouden is wegens de LS-koppeling. De tweede is een puur niet-adiabatische contributie, die voorkomt wanneer de verandering van de magnetisatie te groot is voor de spinpolarisatie van de stroom om de lokale magnetisatie te kunnen volgen. In het vooruitzicht van het ontwerp van onze logische componenten is het belangrijk om op te merken dat de stroom j enkel op de verandering van de magnetisatie (∇M) inwerkt.


39

Concreet, in het geval van magnetische nanodraden, zullen enkel de domeinwanden door de stroom worden be¨ınvloed, wat in contrast staat met externe magnetische velden die ook inwerken op de magnetische domeinen in de nanodraad.

HET 1D MODEL

40

Hoofdstuk 3

Beweging van de transversale domeinwanden binnen het 1D model 3.1

Inleiding

In het 1D model wordt een domeinwand gezien als een puntdeeltje, waaraan een tijdsafhankelijke positie langs de draad kan worden toegekend en waarbij de totale massa van die domeinwand zich in dat punt bevindt. Alhoewel deze aanname een sterke vereenvoudiging is van de realiteit, blijkt dit model toch geschikt te zijn om de beweging van de domeinwanden in onze nanodraden te verklaren. We zullen onze bespreking van de beweging van de transversale domeinwanden binnen het 1D model in twee delen opsplitsen. In het eerste deel beschouwen we enkel domeinwanden onder invloed van externe magnetische velden, terwijl we in het tweede deel ook de invloed van een aangelegde stroom in rekening brengen. Elk van die delen is als volgt opgebouwd. We leiden eerst de vergelijkingen uit het 1D model af. Vervolgens bespreken we de simulaties met een referentienanodraad. Nadien doen we de interpretatie binnen het 1D model en we eindigen met de interpretatie binnen de micromagnetische theorie. Deze laatste interpretatie wordt gegeven om een nog beter begrip te krijgen van de beweging van transversale domeinwanden en om te compenseren voor de tekortkomingen van het relatief eenvoudige 1D model. Om het eerste deel te kunnen schrijven, wordt vooral gebruik gemaakt van [11], terwijl het tweede deel vooral gebaseerd is op [12] en [13].

3.2 Invloed aangelegd veld in de lengterichting

3.2

41

De beweging van transversale domeinwanden onder invloed van een aangelegd veld in de lengterichting

3.2.1

De Slonczewski vergelijkingen zonder stroomtermen

Om het 1D model te kunnen bespreken is het noodzakelijk om de parameters e´ e´ nduidig te definiëren, zie Figuur 3.1. De x-richting (eenheidsvector e x ) correspondeert met de lengterichting (lengte L), de y-richting (eenheidsvector ey ) met de breedterichting (breedte B) en de z-richting (eenheidsvector ez ) met de hoogterichting (dikte D) van de nanodraad. Een eerste benadering in het 1D model is de veronderstelling dat de lokale magnetisatie m enkel ¨ afhankelijk is van de axiale coordinaat x. De positie van de domeinwand in de x-richting wordt hierbij beschreven door de parameter q. Daarnaast wordt de parameter ∆ ingevoerd, die een maat is voor de breedte van de domeinwand. Bovendien incorporeert het 1D model twee effectieve anisotropietermen. Deze anisotropietermen vinden hun oorsprong in zowel de magnetokristallijne (verwaarloosbaar in Py), de magnetostatische als de uitwisselingsenergie. De laatste contributie is te wijten aan de niet-uniformiteit van de magnetisatie in de doorsnede. Als we met θ de polaire magnetisatiehoek aanduiden (de polaire as is de x-as), terwijl we met ψ de azimutale hoek aanduiden, die de oriëntatie van de magnetisatieprojectie op het doorsnedevlak beschrijft, wordt de algemene uitdrukking voor die effectieve anisotropiedensiteit gegeven door Eani,e f f = K0 sin2 (θ) +

∞ X

Kn sin2n (θ)sin2 (nψ + ψn ).

(3.1)

n=1

In eerste benadering is deze som gelimiteerd tot n = 1 en wordt K1 simpelweg aangeduid door K, met ψ1 = 0. K wordt dan ook wel de DW demagnetiserende energiedensiteit genoemd en wordt gegeven, zie [9] en [6], door uitdrukking µ0 M s2 Ny − Nz K= . 2

(3.2)

De uitwisselingsenergie voor magnetisatieveranderingen langs x alleen (1D model) wordt gegeven door Eexch = Aexch

dm dx

!2

 ! !2   dθ 2  dψ 2  . = Aexch  + sin θ dx dx 

(3.3)

Als we nu energietermen (3.1) en (3.3) bij mekaar optellen, zien we dat er geen drijvende kracht is voor een variatie van ψ in functie van x indien de anisotropiefunctie tot e´ e´ n term gelimiteerd is. We kunnen in dat geval ψ onafhankelijk van x beschouwen: ψ(x) = ψ.


42

Figuur 3.1: Definitie van assen, nanodraad dimensies en magnetisatiehoeken. S geeft de dwarsdoorsnede van het gebied, uit [11].

Nu we de parameters hebben gedefinieerd, gaan we de vergelijkingen voor het 1D model afleiden uit de Gilbertformulering van de LLG-vergelijking (2.54). Hierbij was de gyromagnetische verhouding γG gedefinieerd als γG = µ0 γ = −2.21e5mA−1 s−1 . We merken op dat, zie uitdrukking (2.46), het effectief veld He f f en de Gibbs vrije energiedensiteit φG uitgedrukt kan worden als He f f = −

1 ∂φG . µ0 M s ∂m

(3.4)

In termen van de hoeken θ en ψ, gedefinieerd in Figuur 3.1, wordt de LLG-vergelijking gegeven door θ˙ + αsin(θ)ψ˙ = |γG |Hψ , αθ˙ − sin(θ)ψ˙ = |γG |Hθ ,

(3.5)

waarbij we de overdot gebruiken om een tijdsafgeleide aan te duiden. De twee componenten van het effectief veld die verschijnen in (3.5) zijn Hθ = −

1 ∂φG en µ0 M s ∂θ

Hψ = −

1 ∂φG . µ0 M s sin(θ) ∂ψ

(3.6)

We beschouwen nu de functie L, de zogenaamde Lagrangiaanse densiteit, gegeven door L = φG +

µ0 M s ˙ ψcos(θ) |γG |

(3.7)

en de dissipatieve functie F gegeven door F=

αµ0 M s 2 αµ0 M s ˙ 2 ˙ = m θ + sin2 (θ)ψ˙ 2 . 2|γG | 2|γG |

Het is gemakkelijk om na te gaan dat de LLG-vergelijking (3.5) identiek is aan δL d δL δF − + = 0, δX dt δX˙ δX˙

(3.8)

(3.9)


43

waar X = θ of ψ en de functionele afgeleide gelijk is aan δ/δX = ∂/∂X−∇(∂/∂∇X). Het betekent dat, in de afwezigheid van demping, de actie L=

Z

L(m, t)d3 rdt

(3.10)

stationair is met betrekking tot elke variatie van de magnetisatiestructuur. Wanneer de demping niet nul is, is de actie niet langer stationair en zijn verandering wordt berekend op basis van de dissipatieve functie, gelijkaardig gedefinieerd als (3.10). Het geconstrueerde kader is heel handig voor de constructie van de LLG-vergelijking voor een gegeven klasse van magnetische structuren. De domeinwandstructuur kan nu worden benaderd door een 1D profiel met slechts een klein aantal parameters X. Als we de configuratieruimte van de magnetische structuren beperken tot die klasse van parameters, zullen de toegestane veranderingen van de magnetisatie enkel die veranderingen zijn, die resulteren uit een variatie van de klasseparameters. Met andere woorden, de LLG-vergelijkingen binnen die klasse worden direct verkregen door X gelijk te stellen aan elk van die parameters, waarbij de ge¨ıntegreerde actie L en de dissipatiefunctie F getransformeerd zijn tot functies van deze parameters. Specifiek wordt hier het 1D profiel beschreven door de drie parameters q, ∆ en ψ. Het magnetisatieprofiel wordt overal benaderd als ! x − q(t) , θ(x, t) = 2tan exp ∆(t)

(3.11)

ψ(x, t) = ψ(t).

(3.12)

−1

We merken op dat uitdrukking (3.11) head-to-head muren beschrijft, zoals in Figuur 2.11 (π moet bij θ opgeteld worden om tail-to-tail wanden te beschrijven), en dat het de nuttige eigenschap heeft dat ∂θ/∂x = sin(θ)/∆.

(3.13)

De over de ruimte ge¨ıntegreerde Lagrangiaan L heeft de volgende contributies (we integreren enkel langs x, omwille van de 1D benadering; alle integralen zijn bovendien relatief eenvoudig te berekenen gebruik makend van (3.13))


uitwisseling (zie uitdrukking (2.9)): !2 Z ∂θ 2Aexch ; Aexch dx = ∂x ∆

44

(3.14)

effectieve anisotropie (zie uitdrukking (3.1)): Z sin2 (θ)(K0 + Ksin2 (ψ))dx = 2∆(K0 + Ksin2 (ψ));

(3.15)

aangelegd veld (zie uitdrukking (2.15)): Z − µ0 M s Ha cos(θ)dx = −2µ0 M s Ha q;

(3.16)

dynamische term (zie uitdrukking (3.7)): Z µ0 M s 2µ0 M s ˙ ˙ − ψcos(θ)dx = ψq. |γG | |γG |

(3.17)

Het zal handig blijken de ratio van de anisotropieën te definiëren als κ = K/K0 .

(3.18)

Op dezelfde wijze kunnen we berekenen dat de over de ruimte ge¨ıntegreerde dissipatiefunctie F bestaat uit volgende termen ! Z αµ0 M s q˙ 2 ∆˙ 2 2 ˙ Fdx = ∆ψ + , +a |γG | ∆ ∆ waarbij het getal a gelijk is aan Z Z ∞ 2 1 x2 π2 2 x−q dx = a= sin θ . dx = 2 2∆ ∆ 12 0 cosh x

(3.19)

(3.20)

De dynamische vergelijkingen voor de 3 parameters q, ∆ en ψ, verkregen door uitdrukking (3.9) toe te passen op (3.14)-(3.17) en (3.19), vormen de zogenaamde Slonczewski vergelijkingen voor de 1D DW beweging, veralgemeend door de invoeging van de variabele parameter ∆. Als we achtereenvolgens X gelijkstellen aan q, ψ en ∆, bekomen we respectievelijk α

q˙ + ψ˙ = |γG |Ha , ∆

sin(2ψ) q˙ − αψ˙ = |γG |HK , ∆ 2 |γG | Aexch ∆˙ = − (K0 + Ksin2 (ψ))∆ . αµ0 M s a ∆ Hierbij is HK =

2K = M s Ny − Nz µ0 M s

(3.21)

(3.22)


45

het domeinwand demagnetiserende veld. De tweede gelijkheid in (3.22) volgt uit (3.2). De eerste twee vergelijkingen in (3.21) zijn gelijkaardig aan de LLG-vergelijking (3.5). De derde vergelijking toont aan dat de muurdikte ∆ (zonder precessie-effect, ∆˙ = 0) relaxeert naar zijn evenwichtswaarde

s ∆ (ψ) = ∗

∆0 = q . K0 + Ksin (ψ) 2 1 + κsin (ψ) Aexch

2

(3.23)

De karakteristieke tijd τ van die relaxatie is, door linearisatie dichtbij het evenwicht, gegeven door τ=

αa . |γG |HK

(3.24)

Deze tijdspanne is zeer kort (voor Permalloy met α = 0.02, M s = 860 e3 Am−1 en HK = M s /10 is τ = 0.9 ps), zodat kan gesteld worden dat ∆ direct de variatie van ψ volgt. Door eliminatie van respectievelijk q˙ en ψ˙ in de eerste twee vergelijkingen van (3.21), vinden we volgende verbanden |γG | α H − H sin(2ψ) , a K 2 1 + α2 ! HK sin(2ψ) |γG |∆ αHa + . q˙ = 2 2 1+α

ψ˙ =

(3.25)

We kunnen deze vergelijkingen als volgt interpreteren. Indien een magnetisch veld Ha ≤ 2H 1 α a 2 HK wordt aangelegd, zal de domeinwand gelift worden tot een vaste lifthoek ψ = 2 arcsin αHK (ψ˙ = 0) bereikt is. Dit geeft aanleiding tot een vaste snelheid q˙ van de domeinwand. Wanneer daarentegen een magnetisch veld Ha >

α 2 HK

wordt aangelegd, zal de lifthoek steeds

variëren in de tijd (ψ˙ , 0). Dit geeft aanleiding tot een sinuso¨ıdale bijdrage tot de DW snelheid q. ˙

3.2.2

DW mobiliteit in de referentienanodraad

Als referentienanodraad beschouwen we een Permalloy strip met materiaalparameters en geometrische parameters uit Tabel 3.1. In evenwicht wordt dan een transversale domeinwand (TDW) bekomen, zie Figuur 3.2. Aangezien we voor onze digitale logica de domeinwandpolariteit als bit beschouwen, kunnen we enkel TDW’en gebruiken om onze bits voor te stellen, zie Figuur 1.1. Als we nu de beweging van deze domeinwanden in magnetische nanodraden willen behandelen onder invloed van stromen/velden, lossen we de in tijd en ruimte gediscretiseerde LLG-vergelijking op met behulp van het simulatiepakket MuMax [1] voor een gegeven magnetische nanodraad. Hiertoe gaan we als volgt te werk: we laten


46

eerst een evenwichtstoestand berekenen (zonder velden/stromen aan te leggen), waarbij we de domeinwand op een vaste positie initiëren. Vervolgens leggen we een stroom en/of veld aan en simuleren we de beweging van de domeinwand tot deze een bepaalde positie overschreden heeft. In deze paragraaf bespreken we de simulaties met de referentienanodraad onder invloed van een aangelegd veld in de lengterichting.

Figuur 3.2: Fasediagram die de energetisch meest gunstige domeinwandvorm geeft voor een zachte nanostrip met breedte w = B, dikte d = D en uitwisselingslengte Λ = lexch . Het punt dat wordt aangeduid door de rode pijl toont de meest gunstige domeinwandvorm in een Permalloy nanodraad met een breedte B = 100 nm, een dikte D = 10 nm en een uitwisselingslengte lexch = 5.3 nm op dit fasediagram. Uit [11].

Tabel 3.1: Materiaalparameters en geometrische parameters referentienanodraad.

grootheid

afkorting

waarde

eenheid


Aexch

1.3 e − 11

[Jm−1 ]

saturatiemagnetisatie

Ms

860 e3

[Am−1 ]

dempingsparameter

α

0.02

[-]

graad van niet-adiabiciteit

ξ

0.04

[-]

dikte

D

10

[nm]

breedte

B

100

[nm]

lengte

L

≥ 3200

[nm]


47

Wanneer we een magnetisch veld Bx aanleggen en we plotten de gemiddelde snelheid van de domeinwand in functie van dit aangelegde veld, verkrijgen we Figuur 3.3(a). Wanneer we daarnaast de in tijd en ruimte uitgemiddelde magnetisatiecomponent in de z-richting plotten in functie van het aangelegd veld, verkrijgen we Figuur 3.3(b). Zoals duidelijk op de figuur te zien is, kunnen we twee verschillende regimes onderscheiden. Het eerste regime wordt bereikt bij magnetische velden Bx ≤ BW . BW is in dit geval gelijk aan 2.9 mT . Dit regime wordt gekarakteriseerd door een bij benadering lineair verband tussen de gemiddelde snelheid v en de grootte van het veld Bx . Bovendien heeft de domeinwand gemiddeld een netto magnetisatiecomponent in de z-richting < Mz >= M s < mz > die ook lineair schaalt met de grootte van dit veld. Het tweede regime treedt in werking wanneer een veld Bx > BW worden aangelegd. Dit regime wordt gekarakteriseerd door een veel lagere gemiddelde snelheid v van de domeinwand en een gemiddelde magnetisatiecomponent < Mz >≈ 0.

Figuur 3.3: (a) Gemiddelde snelheid domeinwand (na stabilisering) en (b) de gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (na stabilisering) (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) in functie van het aangelegde veld Bx in een nanodraad met parameters uit Tabel 3.1.

Om deze curves beter te verstaan bekijken we nu de tijdsvariatie van de gemiddelde magnetisatie van de nanodraad in enkele specifieke gevallen. Wanneer Bx ≤ BW zal de beweging van de domeinwand aanleiding geven tot de curves ge¨ıllustreerd in Figuur 3.4. Het gedrag van de domeinwand doorheen de tijd kan in twee regimes onderverdeeld worden. In Regime I stabiliseert de beweging van de TDW zich onder de invloed van het aangelegde veld Bx . In Regime II is de beweging van de TDW stabiel. Een aangelegd veld zorgt ervoor dat de domeinwand uit het vlak getild wordt. Hoe groter het veld Bx , hoe meer de TDW uit


48

het vlak getild wordt. Dit zien we in doordat < Mz > (op oscillerende wijze) relaxeert tot een grotere constante waarde terwijl < My > relaxeert tot een lagere constante waarde. Uit het feit dat < My > positief blijft, volgt dat de domeinwandpolariteit niet verandert. We merken ook nog op dat v groter wordt naarmate de TDW meer uit het vlak getild wordt. Deze observaties zijn in overeenstemming met Figuur 3.3. Bovendien zien we dat de domeinwand enkel beweegt in de positieve zin. Dit is in de richting van het aangelegde veld Bx : < M x > neemt steeds toe en v is steeds positief wanneer t > 0.

Figuur 3.4: Variatie van de gemiddelde genormaliseerde magnetisatiecomponenten van de nanodraad en de ogenblikkelijke snelheid van de domeinwand in een nanodraad met parameters uit Tabel 3.1 in functie van de tijd t wanneer een veld Bx ≤ BW wordt aangelegd op tijdstip t = 0 ns. We beschouwen de velden Bx = 1 mT en Bx = 2.5 mT .

Aan de hand van de snapshots genomen tijdens de simulaties kunnen we de beweging van de domeinwanden observeren op verschillende tijdstippen. Enkele snapshots bij een veld Bx = 2.5 mT worden getoond in Figuur 3.5. Deze snapshots zijn in overeenstemming met voorgaande observaties. We merken nog op de magnetisatie in de richting van het aangelegde veld steeds groter wordt, zodat uiteindelijk de draad volledig gemagnetiseerd zal zijn in de richting van het aangelegde veld. Dit kan verklaard worden uit de minimalisatie van de Zeemanenergie, zie bespreking Sectie 2.4.4. Wanneer nu echter Bx > BW zal de domeinwand zich gedragen zoals ge¨ıllustreerd in Figuur 3.6. Het gedrag van de domeinwand doorheen de tijd kan in twee regimes onderverdeeld


49

Figuur 3.5: Translatie domeinwanden bij Bx = 2.5 mT < BW = 2.9mT in een nanodraad met parameters uit Tabel 3.1.

worden. In Regime I stabiliseert de beweging van de TDW zich onder de invloed van het aangelegde veld Bx . In Regime II beweegt de TDW periodiek voort. Het aangelegd veld zorgt ervoor dat het tilten van de domeinwand uit het vlak een periodiek proces is. Hoe groter het veld Bx , hoe vlugger dit periodiek proces plaatsvindt. Dit zien we in doordat de periode waarover < Mz > en < My > oscilleren, afneemt bij grotere aangelegde velden. Uit het feit dat < My > afwisselend positief en negatief wordt, volgt dat de domeinwandpolariteit ook periodiek varieert. We merken ook nog op dat de domeinwand afwisselend naar links en naar rechts beweegt. De netto beweging is wel in de richting van het aangelegde veld Bx : we zien een stijgende trend in de grafiek die < m x > (∼< M x > ) uitzet in functie van de tijd t en de snelheid |vmax | > |vmin |. Deze observaties zijn in overeenstemming met Figuur 3.3. Aangezien de TDW niet continu vooruit beweegt heeft hij netto een kleinere snelheid dan bij Bx ≤ BW . Door snapshots te bekijken voor een veld Bx > BW kunnen we het oscillerend gedrag van de TDW boven de Walker breakdown beter begrijpen. Figuur 3.7 toont enkele snapshots genomen gedurende e´ e´ n periode van de periodieke beweging. Er vindt een overgang plaats van de ene transversale domeinwandpolarisatie naar de andere door de creatie en verplaatsing van een antivortex (AV) in de breedterichting van de draad waarbij de kern van die AV langs e´ e´ n van de twee z-richtingen gepolariseerd is. Bij de overgang van +y naar −y DW magnetisatie is de antivortex in de positieve z-richting gepolariseerd (positieve polarisatie) en vice versa. In Figuur 3.8 worden de 2 mogelijke antivortextoestanden getoond, namelijk die met negatieve en die met positieve polarisatie. Merk op dat een antivortex geen vortex is! Dit wordt duidelijk als we Figuur 3.8 vergelijken met Figuur 3.9, die de 4 mogelijke vortextoestanden weergeeft. We vatten nu de voornaamste eigenschappen van de beweging van een domeinwand in


50

Figuur 3.6: Variatie van de gemiddelde genormaliseerde magnetisatiecomponenten van de nanodraad en de ogenblikkelijke snelheid van de domeinwand in een nanodraad met parameters uit Tabel 3.1 in functie van de tijd t wanneer een veld Bx > BW wordt aangelegd op tijdstip t = 0 ns. We beschouwen de velden Bx = 3.5 mT en Bx = 5 mT .

Figuur 3.7: Oscillerende beweging domeinwanden bij Bx = 5mT > BW = 2.9mT in een nanodraad met parameters uit Tabel 3.1.

Figuur 3.8: A. De antivortex - 2 soorten antivortices: B. Polarisatie omlaag/C. Polarisatie omhoog.


51

Figuur 3.9: A. De vortex - 4 soorten vortices: Chiraliteit wijzerzin: B. Polarisatie omlaag/C. Polarisatie omhoog // Chiraliteit tegenwijzerzin: D. Polarisatie omlaag/E. Polarisatie omhoog. Uit [9].

functie van de grootte van het aangelegde veld Bx samen in Tabel 3.2.

3.2.3

Interpretatie binnen het 1D model

Om de verschillende observaties te verklaren binnen het 1D model, kan men als vertrekpunt de oplossingen van (3.21) beschouwen. Als we nu eerst de situatie beschouwen zonder transversale anisotropie (HK = 0), verkrijgt men dat ψ varieert op een uniform tempo bij een constant aangelegd veld ψ=

|γG |Ha t . 1 + α2

(3.26)

De resulterende domeinwandsnelheid wordt dan gegeven door, zie (3.25), ˙ 0 = |γG |∆0 Ha q˙ = αψ∆

α . 1 + α2

(3.27)

De snelheid van de domeinwand neemt dan lineair met het veld toe. De dynamica is radicaal anders indien er een transversale anisotropieterm aanwezig is. In

Tabel 3.2: Eigenschappen beweging domeinwand vs Bx .

beneden Walker breakdown

boven Walker breakdown

grootte veld

Bx ≤ BW

Bx > BW

domeinwandpolariteit

vast

oscillerend

beweging

translatie

oscillerend


52

onze Py nanodraden is die transversale anisotropieterm vooral te wijten aan de vormanisotropie (de magnetostatische energie) en de uitwisselingsenergie. De oplossing van (3.25) hangt nu af van de waarde van het aangelegd veld Ha . Indien |Ha |< αHK /2, bestaat er een evenwichtswaarde ψ∗ , gegeven door sin(2ψ∗ ) =

2Ha . αHK

(3.28)

In dit regime hebben we een vaste DW beweging, waarbij zowel de domeinwandmagnetisatiehoek ψ∗ (ψ˙ = 0) als de domeinwandsnelheid constant is. Uit (3.25) halen we q˙ = |γG |∆∗ (ψ∗ )Ha /α.

(3.29)

Dit stemt overeen met het regime onder de Walker breakdown. Inderdaad, daar wordt de beweging van de TDW gekenmerkt door een vaste tilting van de magnetisatie uit het vlak en een constante snelheid. Aangezien de smalle dempingsconstante α zich in de noemer bevindt i.p.v. in de teller, is de domeinwandsnelheid veel groter dan in het geval van niettransversale anisotropie, zie vergelijking (3.27). Het snelheid-veldverband is niet perfect lineair omwille van de variatie van de domeinwandbreedte. Inderdaad, beneden de Walker breakdown is er in Figuur 3.3 geen perfect lineair verband tussen Bx en de DW snelheid. De kwalitatieve geldigheid van de zonet bekomen formules is ook in overeenstemming met de curves in Figuur 3.4. De maximale evenwichtswaarde die de hoek ψ kan bereiken is π4 . Dan geldt sin(2ψ) = 1 =

2HW . αHK

(3.30)

Dit definieert het Walker breakdownveld HW =

αHK 2

(3.31)

en is de maximum veldwaarde waarvoor de DW met constante snelheid voortbeweegt door de nanodraad, met behoud van zijn structuur (ψ = ψ∗ ). De maximum bereikte snelheid, de Walker breakdownsnelheid vW , is, gebruik makend van (3.31) en (3.29), vW =

|γG |∆0 |γG |∆0 HW = HK . α 2

(3.32)

Boven het Walker breakdownveld HW , is een evenwicht voor ψ niet langer mogelijk. De magnetisatiehoek ψ zal nu blijvend in de tijd variëren (ψ˙ , 0), maar niet lineair wegens de


53

transversale anisotropieterm. Dit zorgt voor een oscillerende bijdrage tot q, ˙ zie (3.25). De analytische oplossing van de eerste vergelijking in (3.25) wordt dan gegeven door

1 tan−1 √ 2 h −1

dψ = h − sin(2ψ) ! htan(ψ) − 1 = √ h2 − 1

|γG |HW dt, 1 + α2 |γG |HW t + C st , 1 + α2

(3.33)

waarbij h het genormaliseerde aangelegde veld Ha /HW is en de constante bepaald wordt door de initiële waarde van ψ. Door vergelijking (3.33) te herschrijven als  √   h2 − 1|γG |HW htan(ψ) − 1 st t + C  = tan bt + C st , = tan  √ 2 1+α h2 − 1

(3.34)

vindt men gemakkelijk de periode p = 2π/b van de precessie p=

2π(1 + α2 ) . √ |γG |HW h2 − 1

(3.35)

Dus hoe groter het aangelegde veld, hoe kleiner de periode. Dit is in overeenstemming met onze simulaties. Om de domeinwandsnelheid te berekenen is een numerieke berekening noodzakelijk. Echter, als we nu het gemiddelde nemen over e´ e´ n periode van de eerste vergelijking van (3.21), bekomt men een relatie die nog steeds de variatie van de domeinwandbreedte parameter ∆ bevat

q˙ ∆

=

˙ |γG |Ha − hψi . α

(3.36)

Een sterke snelheidsvermindering vindt plaats indien we een veld aanleggen boven de Walker breakdown BW : dan is < ψ˙ > niet nul. Dit wordt bevestigd in Figuur 3.3.

3.2.4

Interpretatie binnen de micromagnetische theorie

Om een beter inzicht te krijgen in de fysische mechanismen achter de beweging van de transversale domeinwanden, geven we hier een fenomenologische verklaring vanuit de micromagnetische theorie. We gebruiken hierbij hetzelfde assenstelsel als bij het 1D model. In het geval van een TDW zal de magnetisatievector M over een hoek van 180◦ draaien over een karakteristieke lengte ∆, de domeinwandbreedte, zoals ge¨ıllustreerd in Figuur 3.10(a). Con form vergelijking (2.53) zal een aangelegd veld Ha langs e x een koppel ∂M ez ∼ C te M×Ha = ∂t a,z

C te My ey × Ha e x

met C te

< 0 uitoefenen dat de domeinmuur uit het vlak zal tilten. Deze tilting


54

wordt tegengewerkt door het bijkomend demagnetiserend veld Hd ez = −Nz · Mz ez , zie (2.32) en Figuur 3.10(b). Het demagnetiserend veld werkt in op de DW d.m.v. een koppel ! ∂M e x ∼ C te My ey × Hd ∂t d,x ∼ C te My ey × (−Nz Mz )ez

(3.37)

te

∼ −C Nz My Mz e x ∼ Nz My Mz e x . Het demagnetiserend koppel doet de spins kantelen in de richting van het aangelegde veld, waardoor de domeinwand vooruit wordt gedreven. De beweging van deze domeinwand is gewoon een translatie wanneer de kanteling uit het vlak niet verandert. Dit is het geval voor velden Ha kleiner dan het Walker breakdownveld HW .

Figuur 3.10: Schematische voorstelling van een TDW en de koppels die zijn beweging veroorzaken, uit [14].

Indien echter een veld Ha wordt aangelegd die groter is dan het Walker breakdownveld HW , wordt de magnetisatiecomponent Mz zo groot dat een antivortex gevormd wordt, zie Figuur 3.7. De vorming van zo’n AV geeft aanleiding tot andere demagnetiserende velden. We illustreren het gedrag van de domeinwand onder invloed van zo’n veld met Figuur 3.11. Indien de beginsituatie een transversale domeinwand is met positieve polariteit, dan oefent het aangelegd veld een koppel ∂M ez ∼ C te My ey × Ha e x uit waardoor de domeinwand uit ∂t a,z

het vlak wordt gekanteld met een Mz -componente die in positieve zin gericht is, zie Figuur 3.11 (a). Het demagnetiserend veld −Nz Mz ez drijft de DW vooruit: ∂M e x ∼ −C te Nz My Mz e x . ∂t d,x

Ook het aangelegde veld werkt in op de Mz -componente van de magnetisatie: ! ∂M ey ∼ C te M × Ha = C te Mz ez × Ha e x = C te Mz Ha ey . ∂t a,y

(3.38)


55

Het uit het vlak getilte deel van de DW wordt dus naar boven gestuwd. Wanneer Mz (of dus Ha ) groot genoeg is, geeft dit aanleiding tot de vorming van een antivortex. De kern van deze AV wordt verder naar boven geduwd, zie Figuur 3.11(b), totdat deze de andere kant van de nanodraad bereikt. We merken op dat tijdens dit proces een toenemende fractie f van de antivortex een negatieve polariteit heeft waardoor de snelheid van de domeinwand oscilleert. Inderdaad, f (t) oscilleert in de tijd resulterend in oscillerende demagnetiserende koppels ! h i ∂M e x ∼ C te − f (t)My + (1 − f (t))My ey × Hd ez = C te Nz (2 f (t) − 1)My Mz e x . ∂t d,x

(3.39)

Wanneer de kern van de AV de andere kant van de nanodraad bereikt heeft, vindt een analoog proces plaats. De magnetisatie wordt nu in negatieve richting uit het vlak getilt, zie Figuur 3.11(c) ∂M ∂t

! a,z

ez ∼ C te M × Ha = C te (−My ey ) × Ha e x = C te My Ha ez .

(3.40)

Dit genereert een demagnetiserend veld Hd ez = Nz Mz ez dat de muur vooruit drijft: ! ∂M e x ∼ C te (−My )ey × Hd ez = −C te Nz My Mz e x . ∂t d,x

(3.41)

Het aangelegde veld werkt eveneens in op het uit het vlak getilte deel van de muur en duwt deze naar het centrum van de draad hetgeen weerom aanleiding geeft tot de vorming van een AV, maar nu met tegengestelde polarisatie, zie Figuur 3.11(d). Bij de verplaatsing van de kern naar de andere kant heeft een toenemende oscillerende fractie f van de AV nu een positieve polariteit resulterend in oscillerende demagnetiserende koppels ! h i ∂M e x ∼ C te −(1 − f (t))My + f (t)My ey × Hd ez = C te Nz (2 f (t) − 1)My Mz e x . ∂t d,x

(3.42)

Die zorgen op hun beurt weer voor een oscillerende beweging van de domeinwand. Nadat de kern van de antivortex de andere kant van de nanodraad bereikt heeft wordt de magnetisatie nu in positieve richting uit het vlak getilt, waardoor we terug belanden in de situatie afgebeeld in Figuur 3.11(a). Dat er een netto beweging is van de domeinwand in positieve x-richting kan verklaard worden door twee verschillende contributies. Enerzijds wordt de domeinwand het grootste deel van de tijd voortgestuwd in de positieve x-richting onder invloed van ∂M . Anderzijds ∂t d,x

kunnen we de term

α Ms M

˙ = ×M

α Ms M

×

∂M ∂t

uit (2.54) nog in beschouwing nemen: indien we

deze term toepassen op Figuur 3.11(a,b,c,d), zien we dat deze term als effect heeft dat de

3.3 Invloed aangelegde stroom in de lengterichting

56

magnetisatievectoren in de richting van het aangelegde veld worden gealigneerd. Voorgaande redenering wordt bekrachtigd in Figuur 3.6: de curves die de DW snelheid v uitzetten in functie van de tijd t bij een vast veld Bx > BW zijn langer boven de tijdsas dan onder de tijdsas en |vmax | > |vmin |. Bovendien volgt nog uit de micromagnetische theorie dat een netto verplaatsing in de positieve x-richting energetisch gunstig is, omdat dit bijdraagt tot de minimalisatie van de Zeemanenergie, zie bespreking Sectie 2.4.4.

Figuur 3.11: Illustratie fysische mechanismen die aan de basis liggen van het gedrag van een domeinwand onder invloed van een aangelegd veld Ha > HW .

We kunnen nu besluiten dat zowel de beweging van de domeinmuur als de transformaties van de DW structuur bepaald worden door de mate waarin het aangelegde veld de magnetisatie lokaal uit het vlak kan tilten.

3.3

De beweging van transversale domeinwanden onder invloed van een stroom in de lengterichting

3.3.1

De Slonczewski vergelijkingen met stroomtermen

Om nu de vergelijkingen van het 1D-model af te leiden die ook de invloed van stromen in rekening brengen, de uitgebreide Slonczewski vergelijkingen, vertrekken we van de Gilbertformulering van de uitgebreide LLG-vergelijking (2.57) ∂M α ∂M ξ = −|γG |M × He f f + M× − (u · ∇) M + M × [(u · ∇) M] . ∂t Ms ∂t Ms

(3.43)

De snelheid u is een vector die wijst naar de richting waarin de elektronen bewegen, met een amplitude gegeven door uitdrukking (2.62). Op een analoge manier als bij de afleiding van de gewone Slonczewski vergelijkingen, kunnen de uitgebreide Slonczewski vergelijkingen worden afgeleid uit vergelijking (3.43). Het


57

resultaat van deze uitwerking wordt gegeven door q˙ ξu + ψ˙ = |γG |Ha + , ∆ ∆ (3.44) q˙ sin2ψ u ˙ − αψ = |γG |HK + . ∆ 2 ∆ met ∆ = ∆(ψ) de domeinwandbreedte parameter, die de DW energie minimaliseert bij een α

bepaalde magnetisatiehoek ψ. In het simpelste 1D model vindt men dan ook dat er voldaan is aan uitdrukkingen (3.23) en (3.22). Door eliminatie van respectievelijk q˙ en ψ˙ in (3.44), vinden we volgende verbanden " # α |γG |Ha ξ − α u |γG |HK ˙ ψ= + − sin(2ψ) , α α ∆ 2 1 + α2 ! |γG |∆0 ξu |γG |Ha ∆0 ∆ψ˙ HK sin(2ψ) 1 + ξα u . + − = + q˙ = αH + a α α α 2 |γG |∆0 1 + α2

(3.45)

Men ziet gemakkelijk in dat de stroomterm inwerkt op de dynamica van de DW alsof het een extra aangelegd veld Hequiv = uξ/ (|γG |∆) betreft. Dit verklaart waarom de DW beweging in een perfecte nanodraad bij een aangelegde stroom sterke parallellen vertoont met de DW beweging onder invloed van een aangelegd veld. We kunnen nu verder (3.45) interpreteren als volgt. We beschouwen enkel de effecten zonder een aangelegd veld Ha . Wanneer |u| <

(|γG |HK /2)∆αsin(2π/4) en ξ , α |ξ − α|

(3.46)

zal de domeinwand gelift worden over een vaste lifthoek ψ (ψ˙ = 0). Indien ξ , 0 zal de domeinwand dan met een vaste snelheid q˙ = ξu/α bewegen doorheen de nanodraad. Anderzijds, indien ξ = 0, zal de domeinwand niet bewegen zolang |u| <

(|γG |HK /2)∆αsin(2π/4) . |0 − α|

(3.47)

Wanneer daarentegen

(|γG |HK /2)∆αsin(2π/4) en ξ , α, (3.48) |ξ − α| zal de lifthoek variëren in de tijd (ψ˙ , 0). De lifthoek ψ werkt dan in op de positie q van de |u| >

domeinwand. Doordat ψ˙ varieert in de tijd, zal ook de snelheid q˙ van de domeinwand in de tijd variëren. Indien ξ = α wordt de domeinwand bij geen enkele stroomdichtheid J x uit het vlak gelift en zal de domeinwand doorheen de nanodraad bewegen met constante snelheid q˙ = ξu/α = u.

3.3.2

DW mobiliteit in de referentienanodraad

In deze paragraaf bespreken we de simulaties met de referentienanodraad onder invloed van een stroom, aangelegd in de lengterichting. Wanneer we de gemiddelde snelheid van de


58

domeinwand plotten in functie van deze aangelegde stroom, verkrijgen we Figuur 3.12(a). Wanneer we daarnaast de gemiddelde magnetisatiecomponent in de z-richting plotten in functie van de aangelegde stroom, verkrijgen we Figuur 3.12(b). Het verloop van de grafiek blijkt sterk afhankelijk van de waarde van de parameter ξ. Indien ξ = 0.04 kunnen we twee verschillende regimes onderscheiden. Het eerste regime wordt bereikt voor stroomdichtheden J x ≤ JW . JW is in dit geval gelijk aan 14 e12 Am−2 . Dit regime wordt gekarakteriseerd door een lineair verband tussen de gemiddelde snelheid v en de grootte van de stroomdichtheid J x . Bovendien heeft de domeinwand gemiddeld een netto magnetisatiecomponent in de z-richting < Mz > die ook lineair schaalt met de grootte van deze stroomdichtheid. Het tweede regime treedt in werking wanneer stromen met stroomdichtheden J x > JW worden aangelegd. Dit regime wordt gekarakteriseerd door een niet-linear verband tussen v en J x , terwijl de in tijd en ruimte uitgemiddelde magnetisatiecomponent < Mz >≈ 0. Indien ξ = 0, kunnen we eveneens twee verschillende regimes onderscheiden. Het eerste regime wordt bereikt voor stroomdichtheden J x ≤ 13 e12 Am−2 en wordt gekarakteriseerd door een lineair verband tussen de netto magnetisatiecomponent in de z-richting < Mz >= M s < mz > en de grootte van J x , terwijl de gemiddelde snelheid v = 0 (de domeinwand staat in dit geval stil). Het tweede regime treedt in werking wanneer een stroom met stroomdichtheid J x > 13 e12 Am−2 wordt aangelegd. Dit regime wordt gekarakteriseerd door een niet-linear verband tussen v en J x , terwijl de gemiddelde magnetisatiecomponent < Mz >≈ 0. Indien ξ = 0.02 kunnen we maar e´ e´ n regime onderscheiden, gekarakteriseerd door een lineair verband tussen de gemiddelde snelheid v en de grootte van J x , terwijl de gemiddelde magnetisatiecomponent < Mz >≈ 0. In de verdere bespreking van de observaties beperken we ons tot de situatie waarbij ξ = 0.04. Om deze curves beter te verstaan bekijken we de tijdsvariatie van de gemiddelde magnetisatie van de nanodraad in enkele specifieke gevallen. Wanneer J x ≤ JW zal de gemiddelde magnetisatie ten gevolge van de domeinwandbeweging zich gedragen zoals ge¨ıllustreerd in Figuur 3.13. De bespreking van het verloop van de curves is analoog aan het verloop van de curves voor een aangelegd veld Bx ≤ BW , zie Sectie 3.2.2. We herhalen enkele belangrijke observaties. Bij het aanleggen van de stroom verandert de vorm van de TDW. Na een overgangsverschijnsel gekenmerkt door een gedempte oscillerende beweging stabiliseert de TDW zich. Een aangelegde stroom zorgt ervoor dat de domeinwand uit het vlak getilt wordt. Hoe groter de stroomdichtheid J x , hoe meer de TDW uit het vlak getilt wordt. Uit


59

Figuur 3.12: (a) Gemiddelde snelheid domeinwand (na stabilisering) en (b) de gemiddelde genormaliseerde waarde van de magnetisatie in de z-richting < Mz > (na stabilisering) (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) in functie van het aangelegde veld Bx in een nanodraad met parameters uit Tabel 3.1.

het feit dat < My > positief blijft, leiden we af dat de domeinwandpolariteit niet verandert. We merken ook nog op dat v groter wordt naarmate de TDW meer uit het vlak getilt wordt. Deze observaties zijn in overeenstemming met Figuur 3.12 (ξ = 0.04). Bovendien zien we in dat de domeinwand enkel beweegt in de zin van de aangelegde stroom J x : < M x > neemt steeds toe en v is steeds positief.

Figuur 3.13: Variatie van de gemiddelde genormaliseerde magnetisatie van de nanodraad en de ogenblikkelijke snelheid van de domeinwand in een nanodraad met parameters uit Tabel 3.1 in functie van de tijd t wanneer een stroom J x ≤ JW wordt aangelegd op tijdstip t = 0 ns. We beschouwen de stromen J x = 5 e12Am−2 en J x = 10 e12Am−2 .


60

Aan de hand van de snapshots genomen tijdens de simulaties kunnen we de beweging van de domeinwanden observeren op verschillende tijdstippen. Enkele snapshots bij een stroom J x = 5 e12Am−2 worden getoond in Figuur 3.14. Deze snapshots zijn in overeenstemming met voorgaande observaties. We merken nog op de magnetisatie in de richting van het aangelegde veld steeds groter wordt, zodat uiteindelijk de draad volledig gemagnetiseerd zal zijn in de richting van het aangelegde veld.

Figuur 3.14: Translatie domeinwanden bij J x = 5 e12Am−2 < JW = 14 e12Am−2 in een nanodraad met parameters uit Tabel 3.1.

Wanneer nu echter J x > JW zal de gemiddelde magnetisatie ten gevolge van de DW beweging zich gedragen zoals ge¨ıllustreerd in Figuur 3.15. Weerom is er na het aanleggen van de stroom een overgangsverschijnsel (gedempte oscillatie) waarna de beweging van de TDW zich stabiliseert. De beweging is nu periodiek. Hoe groter de stroomdichtheid J x , hoe vlugger dit periodiek proces plaatsvindt. Dit zien we in doordat de periode waarover < Mz > en < My > oscilleren, afneemt bij toenemende stroom. Uit het feit dat < My > afwisselend positief en negatief wordt, volgt dat de domeinwandpolariteit varieert in de tijd. We merken ook nog op dat de snelheid van de domeinwand niet constant is, maar dat de domeinwand steeds in dezelfde richting beweegt: we zien steeds een stijgende trend in de grafiek die < m x > (∼< M x >) uitzet in functie van de tijd t en de snelheid v > 0 op alle tijdstippen. Deze observaties zijn in overeenstemming met Figuur 3.12 (ξ = 0.04). Door snapshots te bekijken voor een stroomdichtheid J x > JW kunnen we het oscillerend gedrag van de TDW boven de Walker breakdown verifiëren. Figuur 3.16 toont enkele snapshots genomen gedurende een halve periode van de periodieke beweging. Uit de snapshots en de voorgaande observaties volgt duidelijk dat de precessie van de DW magnetisatie ruimtelijk niet uniform is. De overgang van de ene transversale domeinwandpolariteit naar de andere vindt plaats door de verplaatsing van een antivortex in de breedterichting van de draad waarbij de kern van die antivortex langs e´ e´ n van de twee z-richtingen gepo-


61

Figuur 3.15: Variatie van de gemiddelde genormaliseerde magnetisatie van de nanodraad en de ogenblikkelijke snelheid van de domeinwand in een nanodraad met materiaalparameters uit Tabel 3.1 in functie van de tijd t wanneer een stroom J x > JW wordt aangelegd op tijdstip t = 0 ns. We beschouwen de stromen J x = 16 e12Am−2 en J x = 20 e12Am−2 .

lariseerd is. Bij de overgang van +y naar −y DW magnetisatie is de antivortex in de positieve z-richting gepolariseerd (positieve polarisatie) en vice versa.

Figuur 3.16: Oscillerende beweging domeinwanden bij J x = 15e12Am−2 > JW = 14e12Am−2 in een nanodraad met parameters uit Tabel 3.1.

We vatten nu de voornaamste eigenschappen van de beweging van een domeinwand in functie van de grootte van de aangelegde stroom J x samen in Tabel 3.3.


62

Tabel 3.3: Eigenschappen beweging domeinwand vs J x in een nanodraad met ξ , α en ξ , 0.

beneden Walker breakdown

boven Walker breakdown

grootte stroomdichtheid

J x ≤ JW

J x > JW

domeinwandpolariteit

vast

oscillerend

beweging

translatie

oscillerend

3.3.3

Interpretatie binnen het 1D model

Om de verschillende observaties te verklaren binnen het 1D model, kan men als vertrekpunt de oplossingen van (3.44) met Ha = 0 beschouwen. Deze oplossingen hangen af van de waarde van de aangelegde stroom met stroomdichtheid J x en de waarde van ξ. We beschouwen drie gevallen: ξ = 0, ξ = α = 0.02 en ξ = 0.04. Wanneer |u| <

(|γG |HK /2)∆α |ξ − α|

(3.49)

bestaat er een evenwichtswaarde ψ∗ (ψ˙ = 0), zie (3.45), gegeven door sin(2ψ∗ ) =

2 ξ−α u . |γG |HK α ∆

(3.50)

In het geval dat ξ = α is ψ∗ = 0 voor alle mogelijke stroomdichtheden J x ∼ u. In het geval dat ξ = 0 zal de evenwichtswaarde ψ∗ steeds negatief zijn, terwijl in het geval ξ = 0.04 ψ∗ steeds positief is. Afhankelijk van de waarde van ξ wordt de DW dus in positieve of negatieve richting uit het vlak getild. Bij ξ = α blijft de muur geheel in het vlak. Beneden de Walker breakdown hebben we een vaste DW beweging, waarbij zowel de domeinwandmagnetisatiehoek ψ∗ (ψ˙ = 0) als de domeinwandsnelheid constant is: uit (3.45) halen we q˙ = ξu/α.

(3.51)

Wanneer ξ > 0 wordt een perfect lineair verband tussen de snelheid en de stroomdensiteit bekomen, zie (2.62). Hierbij is het belangrijk op te merken dat de DW snelheid onafhankelijk is van de DW breedte ∆, in contrast tot de situatie bij het aanleggen van een magnetisch veld, zie (3.29). De afhankelijkheid in de laatste situatie verklaart immers de afwijking in het lineaire verband tussen Bx en de domeinwandsnelheid q. ˙ Wanneer echter ξ = 0, is er een thresholdstroom, waaronder er geen standvastige domeinwandbeweging optreedt (q˙ = 0). In dit regime zal het totale angulaire moment, overgedragen van de conductie-elektronen naar de domeinwand, compleet geabsorbeerd worden


63

door de hoek ψ. De kwalitatieve geldigheid van de zonet bekomen formules is volledig in overeenstemming met de curves in Figuur 3.12 en Figuur 3.13. De maximale evenwichtswaarde die de hoek ψ kan bereiken is π4 . Dan geldt sin(2ψ) = 1 =

2 ξ−α u . |γG |HK α ∆

(3.52)

Dit definieert de Walker spindriftsnelheid uW =

|γG |HK ∆α . 2 |ξ − α|

(3.53)

waarmee een Walker stroomdensiteit JW correspondeert, zie (2.62), gegeven door eM s |γG |HK ∆α PµB 2 |ξ − α| eM s 2me µ0 e HK ∆α = Pe~ me 2 |ξ − α| eµ0 M s HK ∆ α = ~P |ξ − α| 2 eµ0 M s Ny − Nz ∆ α = ~P |ξ − α|

JW =

(3.54)

In het geval dat ξ = 0 is JW de tresholdstroomdensiteit waaronder er geen beweging van de DW plaatsvindt. Deze waarde stelt de maximale stroomdensiteit voor waarvoor de DW met constante snelheid voortbeweegt door de nanodraad, met behoud van zijn structuur (ψ = ψ∗ ). We merken hierbij op dat in het limietgeval dat ξ → α JW oneindig groot wordt, wat eenvoudigweg betekent dat voor alle stroomdichtheden J x de snelheid van de domeinwand beschreven wordt door (3.51). Indien ξ , α is de snelheid corresponderend met de breakdown stroomdensiteit JW , de Walkerbreakdownsnelheid vW , gegeven door, zie (3.53) en (3.51), vW =

|γG |HK ∆ξ . 2 |ξ − α|

(3.55)

Indien J > JW (equivalent met u > uW ), is een evenwicht voor ψ niet langer mogelijk. De magnetisatiehoek ψ zal nu in de tijd variëren (ψ˙ , 0), maar niet lineair wegens de transversale anisotropieterm. Dit zorgt voor een oscillerende bijdrage tot q. ˙ Indien u > uW (J > JW ) en ξ > α is de gemiddelde domeinwandsnelheid lager net na de Walker breakdown. Voor ξ < α krijgen we het tegenovergestelde effect. Indien ξ > α, zal ψ˙ > 0, zie (3.45). Hieruit volgt dan dat q˙ <

ξu α,

waaruit het gestelde volgt. De bespreking voor ξ < α is analoog. We

merken in het bijzonder op dat in het geval ξ = 0 steeds voldaan is aan ξ < α, zodat de netto domeinwandbeweging in alle gevallen steeds in de richting van de elektronenstroom is.


64

Net zoals de situatie beschreven in Sectie 3.2.3, zal de periode p van de precessie afnemen ˙ Imwanneer J in grootte toeneemt. Dit volgt onmiddellijk uit (3.45), aangezien J x ∼ u ∼ ψ. ˙ hoe vlugger de magnetisatiehoek ψ varieert of hoe kleiner de periode p. mers, hoe groter ψ, Voorgaande observaties zijn volledig in overeenstemming met de resultaten uit de simulaties, zie Figuur 3.12 en Figuur 3.15.

3.3.4

Interpretatie binnen de micromagnetische theorie

Om een beter inzicht te krijgen in de fysische mechanismen achter de beweging van de transversale domeinwanden, geven we hier een fenomenologische verklaring vanuit de micromagnetische theorie. We beschouwen enkel het geval waarbij ξ = 0.04. De bespreking is dan analoog als die gegeven in Sectie 3.2.4, met het grote verschil dat in de bespreking het aangelegd veld Ha moet vervangen worden door

bj (M M s2 |γG |

× (j · ∇)M), die fysisch overeen-

stemt met de inwerking van de stroom op de verandering van de magnetisatie. Bovendien wordt α in de teller vervangen door ξ − α. Deze twee aanpassingen volgen onmiddellijk na observatie van de uitgebreide LLG-vergelijking (2.57). De fenomenologische verklaring voor de vorm van deze stroomtermen wordt behandeld in Sectie 2.7.2. In de literatuur wordt de niet-adiabatische term ’de term gelijkaardig aan een veld’ (field-like term) genoemd. Dit omdat hij dezelfde invloed uitoefent op een DW. Onze simulaties lijken hier eveneens de theorie te bevestigen. We accentueren nog dat de toepassing van de micromagnetische theorie op de beweging van de domeinwanden onder invloed van een aangelegde stroom J x > JW helpt het mechanisme achter de periodieke overgang van de ene transversale domeinwandpolariteit in de andere transversale domeinwandpolariteit met de antivortex als overgangstoestand te begrijpen. Een gelijkaardige conclusie geldt hier: zowel de DW beweging als de eventuele transformaties van de DW structuur worden bepaald door de mate waarin de aangelegde stroom de magnetisatie lokaal uit het vlak kan tilten.

INVLOED PARAMETERS OP BEWEGING DOMEINWANDEN

65

Hoofdstuk 4

Invloed van parameters op de beweging van transversale domeinwanden 4.1

Inleiding

Uitgaande van de bespreking van de referentienanodraad in Hoofdstuk 3, kunnen we de invloed van de parameters M s , α, Aexch , D en B en de invloed van transversale velden/stromen By , Bz en Jy op de beweging van de domeinwanden nagaan. We bespreken de invloed bij een aangelegd magnetisch veld Bx in de lengterichting en/of een aangelegde stroom J x in de lengterichting. Indien de parameters niet expliciet gewijzigd worden, gaan we uit van de materiaalparameters en geometrische parameters van de referentienanodraad, zie Tabel 4.1. We trachten de invloed van deze parameters op het Walker breakdownveld/ de Walker breakdownstroom en de bijbehorende snelheid te begrijpen. We herhalen in dit verband enkele relevante formules, afgeleid uit het 1D model. Indien een magnetisch veld wordt aangelegd, kan het Walker breakdownveld HW en de bijbehorende snelheid vW uitgedrukt worden als, zie (3.31), (3.22) en (3.32), αHK α = M s Ny − Nz 2 2 |γG |∆0 |γG |∆0 HK = M s Ny − Nz . vW = 2 2

HW =

(4.1)

Indien daarentegen een stroom wordt aangelegd, wordt de Walker breakdownstroom JW en

4.1 Inleiding

66

Tabel 4.1: Materiaalparameters en geometrische parameters referentienanodraad.

grootheid

afkorting

waarde

eenheid


Aexch

1.3 e − 11

[Jm−1 ]

saturatiemagnetisatie

Ms

860 e3

[Am−1 ]

dempingsparameter

α

0.02

[-]

graad van niet-adiabiciteit

ξ

0.04

[-]

dikte

D

10

[nm]

breedte

B

100

[nm]

lengte

L

≥ 3200

[nm]

de bijbehorende snelheid vW uitgedrukt als, zie (3.54), (3.55) en (3.22), eµ0 M s2 Ny − Nz ∆ α eµ0 M s HK ∆ α JW = = ~P ~P |ξ − α| |ξ − α| |γ |M N − N |γG |HK ∆ξ ∆ξ G s y z vW = = . 2 |ξ − α| 2 |ξ − α|

(4.2)

We herhalen ook nog enkele resultaten uit de micromagnetische theorie. Zowel de DW beweging als de eventuele transformaties van de DW structuur worden bepaald door de mate waarin het aangelegde veld/de aangelegde stroom de magnetisatie lokaal uit het vlak kan tilten. Verder blijkt dat BW /JW afhankelijk is van hoe (on)voordelig het is om een antivortex te vormen. Figuur 4.1 kan ons in dit verband extra inzicht verschaffen. We merken ook nog op dat, in het geval van een aangelegd veld Bx ≤ BW , het demagnetiserend veld inwerkt op de DW d.m.v. een koppel ! ∂M e x ∼ Nz My Mz e x , ∂t d,x

(4.3)

zie (3.37). Het demagnetiserend koppel doet de spins kantelen in de richting van het aangelegde veld, waardoor de domeinwand vooruit wordt gedreven. Hoe groter (4.3), hoe groter de snelheid v van de domeinwand bij een vast veld Bx ≤ BW of hoe groter de helling van de snelheidscurves in functie van het aangelegd veld Bx .

4.2 Variatie van de dikte D van de nanodraad

67

Figuur 4.1: Fasediagram die de energetisch meest gunstige domeinwandvorm geeft voor een zachte nanostrip met breedte w = B, dikte d = D en uitwisselingslengte Λ = lexch . Het punt dat wordt aangeduid door de rode pijl toont de meest gunstige domeinwandvorm in een Permalloy nanodraad met een breedte B = 100 nm, een dikte D = 10 nm en een uitwisselingslengte lexch = 5.3 nm op dit fasediagram. Uit [11].

4.2 4.2.1

Variatie van de dikte D van de nanodraad Aangelegd magnetisch veld Bx

Wanneer we de beweging van de domeinwand simuleren voor verschillende groottes van het magnetisch veld, aangelegd in de lengterichting, en voor verschillende diktes van de magnetische nanodraad, verkrijgen we Figuur 4.2. Uitgaande van de redenering gevolgd in Sectie 3.2, kunnen we een verklaring geven voor de sterke correlatie tussen het Walker breakdownveld (en de bijbehorende breakdownsnelheid) en de dikte van de magnetische nanodraad, zowel op basis van het 1D model als de micromagnetische theorie. Uit het linkerdeel van de figuur kunnen we volgend verband afleiden: hoe kleiner de dikte D van de magnetische nanodraad, hoe groter de waarde van het Walker breakdownveld BW en hoe groter de bijbehorende snelheid vW . Zoals besproken in Sectie 2.4.5, hangt de grootte van de demagnetiserende factoren af van de verhoudingen van de ruimtelijke dimensies van de nanodraden, waarbij de grootste demagnetiserende factor correspondeert met de kleinste lengte in een welbepaalde dimensie.


68

Figuur 4.2: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde veld Bx en in functie van de dikte D. Rechterdeel: gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (eventueel uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde veld Bx en in functie van de dikte D.

Aangezien lengte L en breedte B van de nanodraad constant blijven in onze simulaties, kunnen we daaruit afleiden dat de demagnetiserende factor Nz kleiner wordt indien de dikte D groter wordt. Bovendien worden dan de demagnetiserende factoren Ny en N x groter, in overeenstemming met (2.34). Uit (4.1) en het gegeven dat steeds voldaan is aan betrekking Nz > Ny verstaan we dat zowel HW als vW afneemt met de dikte. De kleinere helling van de curves in het linkerdeel van Figuur 4.2 betekent dat q˙ kleiner is bij een grotere D en een vast veld Bx ≤ BW . Om dit te verklaren merken we op dat een grotere D gepaard gaat met een kleinere HK en uit (3.25) volgt dan het gestelde. Uit het rechterdeel van Figuur 4.2 zien we dat < Mz >max = M s < mz >max toeneemt met afnemende dikte. Deze toename kan worden begrepen door de toenemende stabiliteit van de TDW, zie Figuur 4.1: hoe kleiner D, hoe stabieler de transversale domeinwand, dus hoe meer energie er nodig is om een antivortex te vormen. Dit impliceert een groter breakdownveld BW . Verder merken we op dat het demagnetiserende veld Hd sterker wordt in de z-richting indien D kleiner wordt bij een vast aangelegd veld Bx ≤ BW . Dat het demagnetiserende veld sterker is in de z-richting bij een kleinere D leidt tot de sterkere onderdrukking van de magnetisatiecomponent < Mz >, wat resulteert in een kleinere helling van de curves beneden de Walker breakdown in het rechterdeel van Figuur 4.2. M.a.w., indien Bx ≤ BW vast: D &⇒ Nz %⇒< Mz >&. Het effect op de afname van < Mz > is minder sterk dan het effect


69

op de toename van Nz indien D afneemt. Hierdoor zal (4.3) toenemen indien D afneemt, wat zich vertaalt in een grotere helling van de curves onder de Walker breakdown in het linkerdeel van Figuur 4.2. Deze observatie gecombineerd met het grotere breakdownveld BW impliceert een grotere breakdownsnelheid vW .

4.2.2

Aangelegde stroom J x

Wanneer we de beweging van de domeinwand simuleren voor verschillende aangelegde stromen J x , eveneens aangelegd in de lengterichting, en voor verschillende diktes D van de magnetische nanodraad, verkrijgen we Figuur 4.3. Uit het linkerdeel van de figuur halen we onmiddellijk volgend verband: hoe kleiner de dikte D van de magnetische nanodraad, hoe groter de waarde van de stroomdensiteit JW bij breakdown. De snelheid q˙ van de DW verandert niet bij een vaste stroomdensiteit J x en een afnemende dikte D beneden de Walker breakdown.

Figuur 4.3: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde stroom J x en in functie van de dikte D. Rechterdeel: gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (eventueel uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde stroom J x en in functie van de dikte D.

Vanuit formule (4.2) uit het 1D model kunnen we verklaren dat JW en vW toenemen bij een afnemende dikte D. Inderdaad, Nz neemt toe en Ny neemt af en er blijft steeds voldaan aan betrekking Nz > Ny . De invloed van ∆ bij een afnemende dikte D wordt verwaarloosd. Dit blijkt min of meer gerechtvaardigd na observatie van enkele snapshots bij verschillende diktes D. Dat de DW snelheid q˙ niet verandert beneden de Walker breakdown volgt onmiddellijk uit het feit dat de snelheid van de DW voldoet aan de relatie (3.51), die inderdaad

4.3 Variatie van de breedte B van de nanodraad

70

ongewijzigd blijft bij een variabele dikte D. De verklaring vanuit de micromagnetische theorie is gelijkaardig aan de verklaring gegeven in het veldgedreven geval. Er zijn twee grote verschillen. Enerzijds ligt hier het totale angulaire moment, overgedragen van de conductie-elektronen van de aangelegde stroom naar de domeinwand, aan de basis van de optredende fysische mechanismen, in plaats van een aangelegd veld Ha . Anderzijds is de helling van de curves beneden de Walker breakdown in de linkerfiguur van Figuur 4.3 even groot voor alle diktes D.

4.3 4.3.1

Variatie van de breedte B van de nanodraad Aangelegd magnetisch veld Bx

Wanneer we de beweging van de domeinwand simuleren voor verschillende groottes Bx van het magnetisch veld en voor verschillende breedtes B van de magnetische nanodraad, verkrijgen we Figuur 4.4. Uit het linkerdeel van de figuur kunnen we volgend verband afleiden: hoe kleiner de breedte B van de magnetische nanodraad, hoe groter de waarde van het Walker breakdownveld BW en hoe lager de breakdownsnelheid vW van de domeinwand.

Figuur 4.4: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde veld Bx en in functie van de breedte B. Rechterdeel: gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde veld Bx en in functie van de breedte B, waarbij de curves zijn herschaald naar de discretisatie voor een breedte B = 100 nm.

Wanneer de breedte B kleiner wordt, zal Ny stijgen en Nz verkleinen. Rekening houdend met


71

het feit dat Ny < Nz zal Ny − Nz steeds kleiner worden, waardoor we volgens het 1D model verwachten dat zowel het Walker breakdownveld HW als de bijbehorende breakdownsnelheid vW kleiner worden bij een kleinere breedte B, zie (4.1). Dit is niet in overeenstemming met Figuur 4.4, waaruit we concluderen dat het 1D model ontoereikend is om bovenstaande observatie te verklaren. Indien we ervan uitgaan dat (4.1) toch geldig blijft voor de berekening van vW , ondanks het tekortschieten van het 1D model voor de verklaring van het grotere breakdownveld BW bij een kleinere B, kunnen we de afname van de breakdownsnelheid nog verklaren door op te merken dat naast de afname van N − N ook de domeinwandbreedte ∆ afneemt indien de y

z

0

breedte B kleiner wordt. We illustreren dit met Figuur 4.5. We zien duidelijk dat de domeinwand bij 50 nm minder breed is dan bij 100 nm: ∆∗50nm < ∆∗100nm . Daar geldig is dat q˙ ∼ ∆∗ , zie (3.29), volgt daaruit ook onmiddellijk de lagere helling van de curves bij een kleinere breedte B.

Figuur 4.5: Domeinwanden bij verschillende breedtes van de nanowire: A. 100nm en B. 50 nm

Vanuit de micromagnetische theorie kan het gedrag van de curves volledig verklaard worden. Hoe kleiner de breedte van de nanowire, hoe groter de energie nodig om een antivortex te vormen, zie Figuur 4.1: hoe kleiner B bij een vaste D, hoe stabieler de TDW. We kunnen dit als volgt begrijpen. Doordat de spins gedwongen zijn op een kleinere ruimteschaal te variëren indien B kleiner is, is de uitwisselingsterm (2.9) bij een AV groter in smallere geometrieën. Om de toename van de uitwisselingsenergie gepaard met de vorming van een AV te overwinnen, is dus een hoger aangelegd veld nodig en dus een hoger breakdownveld BW . Verder merken we op dat bij een vast veld Bx ≤ BW zowel Nz als < Mz > toenemen indien B toeneemt, wat resulteert in een grotere snelheid v van de domeinwand, zie (4.3). Aangezien


72

de snelheid van de domeinwand sneller toeneemt met de breedte B dan dat het breakdownveld BW afneemt, volgt daaruit dat vW toeneemt met de breedte. Het feit dat < Mz > groter is bij een grotere breedte B en een vast veld Bx ≤ BW is op het eerste zicht contra-intu¨ıtief, aangezien Nz toeneemt met toenemende breedte, waardoor we een lagere < Mz > zouden verwachten. Indien we er nu echter van uitgaan dat het midden van de domeinwand over een vaste hoek ψ uit het vlak gericht is bij een vast veld Bx ≤ BW , volgt uit de goniometrie onmiddellijk dat een grotere breedte B (de aanliggende rechthoekszijde) een grotere < Mz >-component impliceert (de overstaande rechthoekszijde), recht evenredig met de toename van de breedte B. Als we nu opmerken dat Nz maar zwak toeneemt, kunnen we het verloop van de curves in het rechterdeel van Figuur 4.4 volledig begrijpen.

4.3.2


Wanneer we de beweging van de domeinwand simuleren voor verschillende aangelegde stromen, eveneens aangelegd in de lengterichting, en voor verschillende breedtes van de magnetische nanodraad, verkrijgen we Figuur 4.6. In tegenstelling tot het veldgedreven geval, komt een grotere breedte B overeen met een grotere breakdownstroomdensiteit JW . De snelheid q˙ van de DW verandert niet bij een vaste stroomdensiteit J x ≤ JW en een toenemende breedte B.

Figuur 4.6: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde stroom J x en in functie van de breedte B. Rechterdeel: gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde stroom J x en in functie van de breedte B, waarbij de curves zijn herschaald naar de discretisatie voor een breedte B = 100 nm.

4.4 Variatie van de uitwisselingsparameter Aexch

73

Vanuit formule (4.2) uit het 1D model kunnen we verklaren dat zowel JW als vW zal toene men bij een toenemende breedte B, aangezien JW , vW ∼ Ny − Nz en JW , vW ∼ ∆, die beide groter worden bij een toenemende breedte B. Dat de domeinwandsnelheid q˙ bij een vaste stroomdensiteit J x ≤ JW niet verandert volgt onmiddellijk uit het feit dat de snelheid van de DW voldoet aan de relatie (3.51), die inderdaad ongewijzigd blijft bij een variabele breedte B. Vanuit de micromagnetische theorie kan de hogere breakdownstroomdensiteit JW bij grotere breedtes B begrepen worden uit het verloop van de curves in het rechterdeel van Figuur 4.6. Een vaste J x geeft aanleiding tot een grotere < Mz >-component indien de breedte B toeneemt. De grotere breakdownstroomdensiteit JW bij een grotere B kunnen we nu als volgt verklaren: de stijging van Nz en < Mz > bij een grotere breedte B zorgt voor een groter demagnetiserend veld Hd , wat de creatie van een AV verhindert. Dit effect is sterker dan de verminderde stabiliteit van de TDW bij een grotere B, zie Figuur 4.1. Bij velden daarentegen is het effect omwille van de verminderde stabiliteit van de TDW sterker.

4.4 4.4.1

Variatie van de uitwisselingsparameter Aexch Aangelegd magnetisch veld Bx

Wanneer we de beweging van de domeinwand simuleren voor verschillende groottes Bx van het magnetisch veld en voor verschillende waarden Aexch van de uitwisselingsparameter, verkrijgen we Figuur 4.7. Uit het linkerdeel van de figuur kunnen we volgend verband afleiden: hoe groter de uitwisselingsparameter Aexch , hoe groter de waarde van het Walker breakdownveld BW en hoe groter de breakdownsnelheid vW van de domeinwand. Vanuit het 1D model leiden we af dat een grotere uitwisselingsparameter Aexch aanleiding geeft tot een groter Walker breakdownveld BW en een grotere bijbehorende domeinwandsnelheid vW . We merken op dat Eani,e f f toeneemt indien Aexch groter wordt, aangezien een grotere uitwisselingsenergie bijdraagt tot een groter effectief anisotropisch veld. Uit (3.1) volgt dan onmiddellijk dat hierdoor K in grootte toeneemt, wat dus een groter veld HK tot gevolg heeft, zie (3.22). Merk verder op dat een grotere Aexch leidt tot een bredere muur ∆0 , zie (3.23). We kunnen dus besluiten dat zowel HW als vW toenemen bij toenemende Aexch , zie (4.1).


74

Figuur 4.7: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde veld Bx en in functie van uitwisselingsparameter Aexch . Rechterdeel: gemiddelde waarde van de magnetisatie in de z-richting < Mz > (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde veld Bx en in functie van uitwisselingsparameter Aexch .

Vanuit de micromagnetische theorie kunnen de hogere Walker breakdownvelden BW bij een grotere uitwisselingsparameter Aexch als volgt begrepen worden. Hoe groter de uitwisselingsparameter, hoe groter de uitwisselingslengte lexch , zie (2.48). Dit heeft als gevolg dat de domeinwand stabieler wordt aangezien d/Λ en w/Λ dan kleiner worden, zie Figuur 4.1. Een stabielere domeinwand betekent dan dat er meer energie nodig is om een antivortex te creëren, waaruit dan het gestelde volgt. De grotere < Mz >-component bij een vast veld Bx ≤ BW en een grotere Aexch kunnen we nu verklaren doordat een groter gebied uit het vlak getilt wordt. Inderdaad, ook een vortex heeft een bredere kern voor stijgende Aexch . Uit formule (4.3) volgt nu de grotere snelheid v van de domeinwand bij een vast veld Bx ≤ BW en een grotere Aexch . Deze vaststelling gecombineerd met de hogere Walker breakdownvelden BW bij een grotere uitwisselingsparameter Aexch verklaart de grotere breakdownsnelheden vW .

4.4.2


Wanneer we de beweging van de domeinwand simuleren voor verschillende aangelegde stromen J x en voor verschillende waarden Aexch van de uitwisselingsparameter, verkrijgen we Figuur 4.8. Een grotere waarde van de uitwisselingsparameter Aexch correspondeert met een grotere breakdownstroomdensiteit JW en een grotere domeinwandsnelheid vW . De snelheid q˙ van de DW verandert niet bij een vaste stroomdensiteit J x en een variabele Aexch .


75

Figuur 4.8: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde stroom J x en in functie van uitwisselingsparameter Aexch . Rechterdeel: gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde stroom J x en in functie van uitwisselingsparameter Aexch .

Vanuit formule (4.2) uit het 1D model kunnen we verklaren dat JW en dus ook vW zal toenemen bij een grotere uitwisselingsparameter Aexch , aangezien JW ∼ HK en JW ∼ ∆, die beide groter worden bij een toenemende Aexch . Dat q˙ niet verandert volgt onmiddellijk uit het feit dat de snelheid van de DW voldoet aan de relatie (3.51), die inderdaad ongewijzigd blijft bij een variabele uitwisselingsparameter Aexch . Vanuit de micromagnetische theorie kunnen de hogere Walker breakdownstroomdensiteiten JW bij een grotere uitwisselingsparameter Aexch als volgt begrepen worden: hoe groter de uitwisselingsparameter, hoe groter de uitwisselingsenergie die moet overwonnen worden om een antivortex te kunnen vormen. Bij een vaste J x ≤ JW blijft de < Mz >-component gelijk bij een stijgende uitwisselingsparameter Aexch . Op basis van deze vaststelling kunnen we verklaren waarom de snelheid v hetzelfde blijft bij een vaste J x . Omwille van de hogere Walker breakdownstroomdensiteit JW bij een grotere Aexch volgt daaruit dan de stijgende breakdownsnelheid vW . We moeten er wel nog eerlijkheidshalve aan toevoegen dat uit Sectie 4.2 en uit Sectie 4.3 volgt dat de < Mz >-component niet gelijk blijft bij een respectievelijk variërende dikte en variërende breedte en een vaste J x ≤ JW , maar dat niettemin q˙ gelijk blijft, zodat we voorgaande redenering niet zomaar kunnen veralgemenen.

4.5 Variatie van de saturatiemagnetisatie M s

4.5 4.5.1

76

Variatie van de saturatiemagnetisatie M s Aangelegd magnetisch veld Bx

Wanneer we de beweging van de domeinwand simuleren voor verschillende groottes Bx van het magnetisch veld en voor verschillende waarden M s van de saturatiemagnetisatie, verkrijgen we Figuur 4.9. Uit het linkerdeel van de figuur kunnen we volgend verband afleiden: hoe groter de saturatiemagnetisatie M s , hoe groter de waarde van het Walker breakdownveld BW en hoe kleiner de breakdownsnelheid vW van de domeinwand. We merken nog op dat het verloop van de curves veel gelijkenissen vertoont met het verloop van de curves bij de variërende uitwisselingsparameter Aexch .

Figuur 4.9: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde veld Bx en in functie van de saturatiemagnetisatie M s . Rechterdeel: gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde veld Bx en in functie van de saturatiemagnetisatie M s .

Een hogere saturatiemagnetisatie M s impliceert een groter demagnetiserend veld HK , zie (3.22). Uit betrekking (4.1) volgt dan onmiddellijk dat een grotere saturatiemagnetisatie een groter Walker breakdownveld BW tot gevolg heeft. De domeinwandbreedte ∆∗ zal afnemen bij een hogere saturatiemagnetisatie, zie (3.23), waaruit volgt dat de DW snelheid q˙ kleiner is bij een vast aangelegd veld Ha , zie (3.29). Dit verklaart de kleinere helling van de curves bij een grotere M s in het linkerdeel van Figuur 4.9. Aangezien de afname van ∆ groter is dan de toename van HK bij een grotere saturatiemagnetisatie M s volgt uit (4.1) de lagere breakdownsnelheid vW .


77

Vanuit de micromagnetische theorie kunnen de hogere Walker breakdownvelden BW bij een hogere magnetisatiesaturatie M s als volgt begrepen worden. De magnetostatische energiedensiteit φms varieert evenredig met M s , zie formule (2.16), en dit effect bemoeilijkt de vorming van een AV. De vorming van een AV zorgt immers voor meer magnetostatische lading op de wanden van de nanodraad. Anderzijds zal een hogere saturatiemagnetisatie een kleinere uitwisselingslengte lexch impliceren, zie (2.48). Dit heeft als gevolg dat de domeinwand onstabieler wordt aangezien d/Λ en w/Λ dan groter worden, zie Figuur 4.1. Het effect van de toename van de magnetostatische lading, zie (2.26), door de vorming van een antivortex, zodat ook de AV onstabieler wordt, is sterker dan het onstabieler worden van de TDW. Dit verklaart dan uiteindelijk waarom het Walker breakdownveld BW iets groter wordt bij een hogere saturatiemagnetisatie M s . De grotere < Mz >-component bij een vast veld Bx ≤ BW en een kleinere M s (M s daalt minder dan < mz > stijgt ⇒ < Mz >= M s < mz > stijgt) kunnen we nu verklaren doordat een groter gebied uit het vlak getilt wordt. Inderdaad, ook een vortex heeft een bredere kern voor dalende M s . Uit formule (4.3) volgt nu de grotere snelheid v van de domeinwand bij een vast veld Bx ≤ BW en een kleinere M s . Omdat dit effect sterker is dan de dalende BW bij een lagere magnetisatiesaturatie M s is de breakdownsnelheid vW groter bij een lagere M s .

4.5.2


Wanneer we de beweging van de domeinwand simuleren voor verschillende aangelegde stromen J x en voor verschillende waarden M s van de saturatiemagnetisatie, verkrijgen we Figuur 4.10. Net zoals in het veldgedreven geval, kunnen we volgend algemeen verband afleiden: hoe groter de saturatiemagnetisatie M s , hoe groter de waarde van de breakdownstroomdensiteit JW en hoe kleiner de breakdownsnelheid vW van de domeinwand. We zien ook dat snelheid q˙ van de DW kleiner is bij een vaste stroomdensiteit J x ≤ JW en een grotere magnetisatiesaturatie M s . Om dit te verklaren op basis van het 1D model gaan we uit van vergelijking (4.2). We zien dan dat JW evenredig is met M s2 en met ∆. Zoals besproken in het veldgedreven geval, zal ∆ dalen wanneer M s toeneemt, maar deze daling is minder sterk dan de stijging van M s2 , zodat we kunnen concluderen dat de breakdownstroomdensiteit JW toeneemt bij een grotere saturatiemagnetisatie M s . Uit (2.62) volgt dat de spindriftsnelheid u kleiner is bij een grotere M s , waaruit volgt dat de snelheid q˙ van de DW kleiner is bij een vaste stroomdensiteit J x


78

Figuur 4.10: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde stroom J x en in functie van de saturatiemagnetisatie M s . Rechterdeel: gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde stroom J x en in functie van de saturatiemagnetisatie M s .

en een grotere magnetisatiesaturatie M s , zie (3.51). Dit verklaart de kleinere helling van de curves bij een grotere saturatiemagnetisatie in het linkerdeel van Figuur 4.10. Analoog als in de situatie van een aangelegd veld, is de afname van ∆ groter dan de toename van HK bij een grotere saturatiemagnetisatie M s , waaruit de lagere breakdownsnelheid vW volgt, zie (4.2). Vanuit de micromagnetische theorie is de verklaring voor de hogere Walker breakdownstroomdensiteiten JW bij hogere saturatiemagnetisaties M s analoog aan de verklaring gegeven in het veldgedreven geval. Bij een vaste J x ≤ JW stijgt de < Mz >-component bij een dalende saturatiemagnetisatie M s (M s daalt minder dan < mz > stijgt ⇒ < Mz >= M s < mz > stijgt). Op basis van deze vaststelling kunnen we verklaren waarom de snelheid q˙ dan toeneemt bij een vaste J x en afnemende M s . Omdat dit effect sterker is dan de afname van de Walker breakdownstroomdensiteit JW bij een lagere M s volgt daaruit de stijgende breakdownsnelheid vW . Deze redenering gaat niet altijd op, zoals besproken in Sectie 4.4.

4.6 Variatie van de dempingsparameter α

4.6 4.6.1

79

Variatie van de dempingsparameter α Aangelegd magnetisch veld Bx

Wanneer we de beweging van de domeinwand simuleren voor verschillende groottes Bx van het magnetisch veld en voor verschillende waarden α van de dempingsparameter, verkrijgen we Figuur 4.11. Algemeen kunnen we volgend verband afleiden: hoe groter de dempingsparameter α, hoe groter de waarde van het Walker breakdownveld BW . De breakdownsnelheid vW van de domeinwand blijft nagenoeg constant.

Figuur 4.11: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde veld Bx en in functie van de dempingsparameter α. Rechterdeel: gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde veld Bx en in functie van de dempingsparameter α.

Uit betrekking (4.1) uit het 1D model volgt onmiddellijk dat een grotere waarde α van de dempingsparameter een groter Walker breakdownveld BW impliceert. De breakdownsnelheid vW is onafhankelijk van α. Vanuit de micromagnetische theorie is het duidelijk dat een grotere demping betekent dat er meer energiedissipatie per tijdseenheid is. Voor een vaste Bx ≤ BW heeft dat een kleinere snelheid van de DW als gevolg. Voor een vaste snelheid is de < Mz >-component vast (dit is onafhankelijk van α), want de energie-inhoud (potentiële energie) van de TDW of antivortex wordt niet be¨ınvloed door α. Hieruit volgt dan ook onmiddellijk dat < Mz >max onafhankelijk is van α, zodat ook vmax onafhankelijk is van de dempingsparameter, zie (4.3), wat impliceert dat de breakdownsnelheid vW constant blijft. Als we deze vaststelling com-

4.6 Variatie van de dempingsparameter α

80

bineren met het gegeven dat een grotere α een kleinere domeinwandsnelheid tot gevolg heeft, volgt daaruit onmiddellijk de toename van BW bij grotere α.

4.6.2


Wanneer we de beweging van de domeinwand simuleren voor verschillende aangelegde stromen J x en voor verschillende waarden α van de dempingsparameter, verkrijgen we Figuren 4.12 en 4.13, waarin we ons beperken tot α ≤ ξ. Uit de linkerfiguren kunnen we dan volgend verband afleiden: hoe groter de dempingsparameter α, hoe groter de waarde van de Walker breakdownstroomdensiteit JW en hoe groter de breakdownsnelheid vW van de domeinwand. In het speciale geval dat α = ξ zal JW → ∞.

Figuur 4.12: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde stroom J x en in functie van de dempingsparameter α (≤ ξ). Rechterdeel: gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde stroom J x en in functie van de dempingsparameter α (≤ ξ).

Uitgaande van vergelijking (4.2) uit het 1D model zien we dat JW ∼

α |ξ−α| .

De term in de

noemer wordt kleiner en de term in de teller wordt groter indien α toeneemt, waaruit volgt dat JW groter wordt naarmate α (≤ ξ) groter wordt. JW wordt zelfs oneindig wanneer α = ξ. Uit deze vergelijking volgt ook dat vW ∼

1 |ξ−α| ,

wat bewijst dat een grotere α een grotere

breakdownsnelheid vW impliceert. We merken op dat ook vW oneindig wordt wanneer α = ξ. Uit betrekking (3.51) volgt nog dat de snelheid q˙ van de DW kleiner is bij een vaste stroomdensiteit J x ≤ JW en een grotere α, wat zich vertaalt in een kleinere helling van de curves onder de Walker breakdown in de linkerdelen van Figuren 4.12 en 4.13.

4.7 Invloed van een transversaal magnetisch veld By

81

Figuur 4.13: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde stroom J x en in functie van de dempingsparameter α (< ξ). Rechterdeel: gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde stroom J x en in functie van de dempingsparameter α (< ξ).

De verklaring voor het gedrag van de domeinwand vanuit de micromagnetische theorie is identiek aan die gegeven in het veldgedreven geval. Volgens dezelfde redenering als in het veldgedreven geval is < Mz >max onafhankelijk van α (< ξ) en is dus JW groter voor grotere α. Voor een vaste J x ≤ JW zien we nu: α (< ξ) %⇒ Mz &⇒ v &. Dit is in overeenstemming met de kleinere helling in de curves bij stijgende α (< ξ). Als we nu uitgaan van de uitgebreide LLG-vergelijking (2.57), zien we dat de niet-adiabatische stroomterm, de ”field-like”term, kleiner wordt indien α groter wordt. Indien de stroomterm nul is, verwachten we dat < Mz >= 0. Dit is inderdaad het geval voor α = ξ. Hierdoor zal de stroom dus nooit in staat zijn om een antivortex te creëren.

4.7 4.7.1

Invloed van een transversaal magnetisch veld By Aangelegd magnetisch veld Bx

Wanneer we de beweging van de domeinwand simuleren voor verschillende groottes Bx van het magnetisch veld, aangelegd in de lengterichting, en voor verschillende transversale magnetische velden By , aangelegd in de breedterichting (de y-richting), verkrijgen we Figuur 4.14. De begintoestand van de domeinwand is een TDW met positieve polariteit, zoals ge¨ıllustreerd in Figuur 3.5 en Figuur 3.7. Uit het linkerdeel van de figuur kunnen


82

we volgend algemeen verband afleiden: hoe groter de y-component By van het aangelegde veld, hoe groter de waarde van de breakdownsnelheid vW . Het Walker breakdownveld BW blijft ogenschijnlijk constant.

Figuur 4.14: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde velden Bx en By (initiële domeinwand heeft een positieve polariteit). Rechterdeel: gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde velden Bx en By .

Vanuit het 1D model zien we gemakkelijk in dat een veld By > 0 (By < 0) leidt tot een grotere (kleinere) effectieve transversale anisotropie. Hierdoor zal het domeinwand demagnetiserend veld HK toenemen (afnemen). Uit (4.1) volgt dan de toename (afname) van het Walker breakdownveld HW en de breakdownsnelheid vW . Uit de simulaties blijkt nu dat dit slechts een tweede-orde invloed heeft en het Walker breakdownveld zo goed als niet be¨ınvloedt. We merken op dat de energie nodig om een antivortex te creëren vergroot als een positief Ha,y -veld aangelegd wordt, omdat dit de TDW met positieve polariteit stabieler maakt, terwijl de benodigde energie verkleint onder invloed van een negatief Ha,y -veld daar dit de TDW lichtjes destabiliseert. Daarom verwachten we een groter (kleiner) breakdownveld BW indien Ha,y positief (negatief) is. Deze vaststelling is in overeenkomst met de redenering gevolgd voor de verklaring vanuit het 1D model. Om de hogere (lagere) domeinwand snelheid v te verklaren indien By > 0 (By < 0) bij een vaste Bx ≤ BW , merken we op dat My door dit extra transversale veld zal toenemen (afnemen). Uit (4.3) volgt dan dat de domeinwand meer (minder) vooruit wordt gedreven en dus een hogere (lagere) snelheid v heeft. Doordat BW ook toeneemt (afneemt), volgt onmiddel-


83

lijk dat de breakdownsnelheid vW toeneemt (afneemt). Om meer inzicht te krijgen in het fysisch mechanisme dat de hogere domeinwand snelheid v bij een vast veld Bx ≤ BW en een extra veld By > 0 verklaart, nemen we Figuur 4.15 in beschouwing en volgen we een soortgelijke redenering als in Sectie 3.2.4. Indien Ha een ex tra y-component heeft, worden er extra koppels ± ∂M ez ∼ C te (±M x e x )× Ha,y ey (met C te < 0) ∂t a,z

gegenereerd. Indien Ha,y positief is (a), zal de magnetisatievector rechts van het midden van de domeinwand (de richting waarin de domeinwand beweegt) lichtjes uit het vlak getild worden in dezelfde richting als de domeinwand, terwijl dat de magnetisatievector links van het midden van de domeinwand uit het vlak getild wordt in de tegenovergestelde richting. Hierdoor zal de domeinwand sneller bewegen in de positieve x-richting bij een vast veld Ha,x . Indien Ha,y negatief is (b), zal het tegenovergestelde plaatsvinden: de domeinwand zal trager bewegen in de x-richting bij een vast veld Ha,x . Het feit dat BW constant blijft gecombineerd met het feit dat de snelheid v van de domeinwand groter is onder invloed van een positief Ha,y -veld bij een constante Ha,x verklaart de grotere breakdownsnelheid vW .

Figuur 4.15: Illustratie fysische mechanisme dat aan de basis ligt van (a) de hogere domeinwandsnelheid v en (b) de lagere domeinwandsnelheid v van een transversale domeinwand met positieve polariteit omwille van een extra aangelegd veld (a) Ha,y > 0 of (b) Ha,y < 0 indien een vast veld Ha,x ≤ HW is aangelegd.

4.7.2


Wanneer we de beweging van de domeinwand simuleren voor verschillende aangelegde stromen J x en voor verschillende aangelegde magnetische velden By , verkrijgen we figuur 4.16. We zien dat een negatief aangelegd veld By aanleiding geeft tot een kleinere waarde van de breakdownsnelheid vW en de bijbehorende breakdownstroomdensiteit JW . De helling


84

van de curves in het linkerdeel van Figuur 4.16 verandert niet onder invloed van een extra aangelegde veld in de y-richting.

Figuur 4.16: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde stroom J x en magnetisch veld By . Rechterdeel: gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde stroom J x en magnetisch veld By .

Zoals besproken in het veldgedreven geval, geeft een veld By > 0 (By < 0) aanleiding tot een grotere (kleinere) effectieve transversale anisotropie. Hierdoor zal het domeinwand demagnetiserend veld HK toenemen (afnemen). Uit (4.2) volgt dan de toename (afname) van het Walker breakdownveld HW en de breakdownsnelheid vW . Uit de simulaties blijkt nu eveneens dat dit effect slechts een tweede-orde invloed heeft waardoor beiden weinig worden be¨ınvloed. Dat de snelheid q˙ van de domeinwand niet verandert bij een variabel veld Ha,y en een vast veld Ha,x volgt uit (3.51). Zoals besproken in het veldgedreven geval, merken we opnieuw op dat de energie nodig om een antivortex te creëren vergroot als een positief Ha,y -veld aangelegd wordt, omdat dit de TDW met positieve polariteit stabieler maakt, terwijl de benodigde energie verkleint onder invloed van een negatief Ha,y -veld omdat dit de TDW lichtjes destabiliseert. Dit verklaart de kleine verschillen in Walker breakdownstroom JW . Zowel voor het veldgedreven als het stroomgedreven geval kunnen we besluiten dat de (de)stabiliserende invloed van een transversaal veld zeer klein is.

4.8 Invloed van een loodrecht magnetisch veld Bz

4.8 4.8.1

85

Invloed van een loodrecht magnetisch veld Bz Aangelegd magnetisch veld Bx

Wanneer we de beweging van de domeinwand simuleren voor verschillende groottes Bx van het magnetisch veld en voor verschillende loodrechte magnetische velden Bz aangelegd in de z-richting, verkrijgen we Figuur 4.17. Algemeen zien we dat de invloed van deze velden op de beweging minimaal is.

Figuur 4.17: Linkerdeel: gemiddelde snelheid domeinwand vs aangelegde velden Bx en Bz . Rechterdeel: gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de z-richting < mz > (ev. uitgemiddeld over een geheel aantal periodes) vs aangelegde velden Bx en Bz .

We kunnen de beperkte invloed van het Bz -veld op de beweging verklaren door op te merken dat de demagnetizerende velden in de z-richting grootteorden groter zijn dan de hier extra aangelegde velden. Dit lijkt op het eerste zicht in te gaan tegen de relatief grote sprong in < Mz >= M s < mz > onder invloed van een Bz -veld. Dit kunnen we verklaren omwille van het feit dat de gemiddelde magnetisatie < Mz > uitgemiddeld is over de hele nanodraad en niet enkel over de domeinwand: elke magnetisatievector in de nanodraad zal zeer lichtjes uit het vlak getild worden door een Bz -veld, hetgeen < Mz > significant be¨ınvloedt, maar aangezien de domeinwand maar een klein stukje van de nanodraad is, wordt deze dus nauwelijks be¨ınvloed door het Bz -veld.

4.9 Invloed van een transversale stroom Jy

4.8.2

86


Aangezien we uit Figuur 4.17 afleiden dat de invloed van Ha,z op de beweging van de domeinmuur zeer beperkt is, zal dat niet anders zijn in het stroomgedreven geval. Daarom lijkt het ons overbodig om simulaties uit te voeren in het stroomgedreven geval.

4.9 4.9.1

Invloed van een transversale stroom Jy Aangelegde stroom J x

Het aanleggen van een stroom Jy in de y-richting kan de polarisatie van de TDW op 2 manieren be¨ınvloeden. Enerzijds kan het de domeinwand stabiliseren, zodat de Walker breakdown i.e. switching van de polarisatie, uitgesteld wordt. Anderzijds kan het de domeinwand destabiliseren, zodat onder bepaalde omstandigheden de domeinwand van polarisatie kan switchen. Deze switching is afhankelijk van de grootte en zin van de aangelegde stroom J x en de lengte waarover de stroom wordt aangelegd in de y-richting. Fysisch kunnen we zulk een stroom Jy realiseren door elektrodes aan te brengen op de rand van de nanodraad. Omdat de Jy -stroom niet over de gehele nanodraad stroomt, maar over een beperkt deel, heeft het weinig nut om daarvoor een bewegingscurve op te stellen. Het gegeven dat de invloed van de stroom sterk afhangt van de polariteit van de TDW (selectief), heeft ons ertoe aangezet dit concept te gebruiken bij de ontwikkeling van de logische componenten, in het bijzonder bij de ontwikkeling van het schrijfelement, zie verder.

4.10

Besluit

Uit de bespreking van de variatie van de parameters op de beweging van de domeinwanden, kunnen we een aantal besluiten formuleren. • De invloed van de parameters kan goed verklaard worden binnen het 1D model en de micromagnetische theorie. • Vanuit de bespreking binnen de micromagnetische theorie volgen twee belangrijke resultaten. Ten eerste merken we op dat de stabiliteit van de TDW en de AV de shift van BW /JW kunnen verklaren. Ten tweede wordt het verschil in helling van de curves

4.10 Besluit

87

die de snelheid uitzetten in functie van het aangelegde veld/de aangelegde stroom veelal verklaard door de < Mz >-component. • We kunnen bovendien besluiten dat extra velden een verwaarloosbare invloed hebben op de stabiliteit van de TDW (data). Dat is vooral belangrijk met het oog op de compactheid van de hier ontwikkelde digitale technologie. Naburige transversale domeinwanden hebben immers strooivelden die andere domeinwanden kunnen be¨ınvloeden, zodat de invloed van die strooivelden bepaalt hoe dicht naburige nanodraden bij elkaar kunnen liggen.

GEHEUGENELEMENTEN EN LOGISCHE SCHAKELINGEN

88

Hoofdstuk 5

Domeinmuur-gebaseerde geheugenelementen en logische schakelingen 5.1

Inleiding

In dit hoofdstuk worden de designregels opgesteld voor de in Hoofdstuk 1 besproken domeinmuurgebaseerde geheugenelementen en logische schakelingen. We behandelen achtereenvolgens de NOT-poort, het schrijfelement, de splitter en de AND-poort. Vervolgens stellen we nog een aantal designregels op voor gebogen nanodraden. Om de werking van de componenten fysisch te kunnen verantwoorden, wordt extensief gebruik gemaakt van Hoofdstukken 2, 3 en 4.

5.2 5.2.1

De NOT-poort Inleiding

De NOT-poort is een logische component met e´ e´ n ingang en e´ e´ n uitgang, die als functie heeft de bitwaarde van een bit te veranderen, zie Tabel 1.1. Het design van deze logische component kan vrijwel onmiddellijk begrepen worden vanuit de theorie besproken in vorige hoofdstukken. We ontwerpen twee soorten logische componenten: e´ e´ n die werkt onder invloed van een extern magnetisch veld Bx , en e´ e´ n die werkt onder invloed van een

5.2 De NOT-poort

89

aangelegde stroom J x . Bij de ontwikkeling van de eerste component wordt de breedte B van de nanodraad gevarieerd, terwijl bij de ontwikkeling van de tweede component de dempingsparameter α wordt gevarieerd. De keuze van deze parameters is arbitrair: een NOT-poort kan ook gerealiseerd worden door andere parameters te variëren.

5.2.2

NOT-poort met aangelegd magnetisch veld Bx

In essentie komt de werking van een NOT-poort onder invloed van een aangelegd magnetisch veld op het volgende neer. We vertrekken van de referentienanodraad met materiaalparameters en geometrische parameters uit Tabel 3.1. In een stuk van deze nanodraad wordt e´ e´ n van deze parameters of de externe excitatie gevarieerd zodat het Walker breakdownveld BW lokaal naar een kleinere waarde gebracht wordt. Het gedeelte van de nanodraad dat onveranderd blijft, duiden we aan met het Romeinse cijfer I, terwijl we het veranderde gedeelte aanduiden met het Romeinse cijfer II, zie Figuur 5.1. Wanneer we nu een magnetisch veld Bx aanleggen met BW,II < Bx ≤ BW,I zal de DW in het aangepaste deel van de draad polariteitswitches ondergaan. Wanneer we er nu voor zorgen dat een oneven aantal switches plaatsvinden (door bijvoorbeeld de lengte van II te optimaliseren), hebben we een NOT-poort gerealiseerd. Dit idee wordt ge¨ıllustreerd in Figuur 5.1.

Figuur 5.1: Illustratie concept NOT-poort voor een aangelegd veld Bx . De pijlen duiden de magnetisatierichting aan, terwijl de Romeinse cijfers I en II de verschillende gebieden in de nanodraad aanduiden. (a) Begintoestand domeinwand voor NOT-werking. Na het aanleggen van een magnetisch veld Bx dat voldoet aan de betrekking BW,II < Bx ≤ BW,I komen we in de volgende toestand. (b) Eindtoestand domeinwand na NOT-werking.

De NOT-poort die werkt op basis van een aangelegd magnetisch veld Bx wordt tot stand gebracht door de breedte B van de nanodraad lokaal te wijzigen. Bij het ontwerp baseren we ons op Figuur 4.4. De referentienanodraad heeft een breedte B = 100 nm, zodat het

5.2 De NOT-poort

90

onmiddellijk duidelijk is dat we de breedte moeten vergroten om een NOT-poort te kunnen maken. We hebben geopteerd voor een breedte B = 150 nm. Het magnetisch veldbereik waarvoor deze NOT-poort kan werken, kunnen we dan onmiddellijk afschatten op basis van de relatie BW,II = 2.6 mT < Bx ≤ BW,I = 2.9 mT : 2.7 mT ≤ Bx ≤ 2.9 mT . Vervolgens maken we op basis van de figuur en andere gegevens uit de simulaties een afschatting van de lengte van dit 150 nm brede stuk nanodraad. We illustreren dit voor een veld met grootte Bx = 2.8 mT . Bij Bx = 2.8 mT vinden we een gemiddelde snelheid v ≈ 166 m/s zoals we ook bij benadering kunnen aflezen op Figuur 4.4. Vervolgens bepalen we de tijd ∆t die het kost om 1 keer van DW polariteit te veranderen door de tijd te bepalen tussen een minimum en een maximum op Figuur 5.2: ∆t ≈ 9.3 ns. Deze gegevens geven ons dan een richtlijn voor de lengte van gedeelte II: ∆x = v∆t ≈ 1.5 e − 6m = 1500 nm.

Figuur 5.2: De gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de y-richting < my > in functie van de tijd bij een vast aangelegd veld Bx = 2.8 mT in een nanodraad met breedte B = 150 nm en andere parameters uit Tabel 3.1.

Het blijkt nu echter niet mogelijk te zijn om bij een veld Bx dat voldoet aan betrekking 2.7 mT ≤ Bx ≤ 2.9 mT de domeinwand doorheen de nanodraad te sturen indien de breedte abruusk verandert van 100 nm en 150 nm. Daarom laten we de breedte van de nanodraad geleidelijk aan toenemen over een lengte Ll = 1600 nm en afnemen over een lengte Lr = 1600 nm. Voorgaande berekening voor de lengte van gedeelte II wordt dan vrij inaccuraat, aangezien de domeinwand in principe ook in de verbreding en versmalling van de nanodraad van polariteit kan veranderen. We nemen onze toevlucht tot simulaties waarin we

5.2 De NOT-poort

91

de lengte Lm van het middenstuk laten variëren tussen 0 nm en 1600 nm bij een aangelegd veld 2.7 mT ≤ Bx ≤ 2.9 mT . In Figuur 5.3 wordt de geometrie van zo’n NOT-gate getoond, terwijl in Figuur 5.4 de resultaten van de simulatie worden weergegeven. Uit die laatste figuur blijkt nu dat de werking van de NOT-gate zeer gevoelig is aan de grootte van het aangelegde veld Bx . Indien we uitgaan van een magnetisch veld Bx = 2.8 mT , zien we dat de NOT-werking veel minder sterk afhankelijk is van de lengte Lm van het middenstuk. Op basis van deze simulaties zouden we een magnetisch veld 2.8 mT ≤ Bx ≤ 2.9 mT en een lengte 200 nm ≤ Lm ≤ 600 nm als designregels vooropstellen. We maken hierbij de kanttekening dat het aantal keer dat de domeinwand van polariteit verandert telkens gelijk is aan 3. Idealiter zou men de domeinwandpolariteit maar 1 keer willen laten switchen, aangezien de verplaatsing van de TDW bij een verandering van de domeinwandpolariteit relatief klein is en we trachten onze componenten zo snel mogelijk te maken.

Figuur 5.3: Illustratie NOT-poort beginnend en eindigend met een nanodraad met parameters uit Tabel 3.1 (breedte 100nm). Het verbredingsstuk heeft lengte Ll = 1600 nm, het versmallingsstuk heeft lengte Lr = 1600 nm en het middenstuk heeft een variabele lengte Lm en een vaste breedte 150 nm.

Figuur 5.4: Illustratie NOT-werking voor een NOT-poort met geometrie getoond in Figuur 5.3 en in functie van het aangelegde veld Bx en de lengte van het middengedeelte Lm .

5.2 De NOT-poort

5.2.3

92

NOT-poort met aangelegde stroom J x

Het is beter een NOT-poort te ontwikkelen die werkt onder invloed van een aangelegde stroom J x i.p.v. een NOT-poort die werkt onder invloed van een aangelegd magnetisch veld Bx . Eén reden is dat stromen zeer lokaal kunnen aangelegd worden hetgeen niet het geval is voor velden. Een tweede reden is dat er veel snellere pulstijden kunnen gerealiseerd worden met stromen. Om deze twee redenen beperken we ons bij het ontwerp van alle andere componenten tot componenten waarin de beweging van domeinwanden gebeurt onder invloed van stromen. We merken nog op dat de werking van het magnetisch racetrackgeheugen, besproken in Sectie 1.2, ook gebaseerd is op de beweging van domeinwanden onder invloed van stromen. De werking van een NOT-poort onder invloed van een aangelegde stroom is analoog als de werking m.b.v. velden: lokaal wordt de Walker breakdownstroom JW verlaagd door het veranderen van een materiaalparameter over een lengte L. Door het aanpassen van de lengte L zorgen we ervoor dat de DW een oneven aantal keer van polariteit verandert. De NOT-poort die werkt op basis van een aangelegde stroom J x wordt tot stand gebracht door lokaal de dempingsparameter α van de nanodraad te veranderen. Bij het ontwerp baseren we ons op Figuur 4.12. De referentienanodraad heeft een dempingsparameter α = 0.02, zodat het onmiddellijk duidelijk is dat we de dempingsparameter lokaal moeten verlagen om een NOT-poort te kunnen maken. We hebben geopteerd voor een dempingsparameter α = 0.01. Het stroombereik waarbij deze NOT-poort zou kunnen werken, kunnen we dan onmiddellijk afleiden uit de relatie JW,II = 4.5 e12Am−2 < J x ≤ JW,I = 14 e12Am−2 . Op basis van de simulaties maken we een inschatting van de lengte L waarin we α aanpassen. We illustreren dit voor een stroom met grootte J x = 10 e12Am−2 . Bij J x = 10 e12Am−2 vinden we een snelheid v ≈ 388m/s zoals we ook bij benadering kunnen aflezen op Figuur 4.12. Vervolgens bepalen we de tijd ∆t die het kost om 1 keer van DW polarisatie te veranderen door de tijd te bepalen tussen een minimum en een maximum op Figuur 5.5: ∆t ≈ 5 ns. Deze gegevens geven ons dan een richtlijn voor de lengte van gedeelte II: ∆x = v∆t ≈ 1.9 e − 6m = 1900nm. Deze richtlijnen zijn echter maar een leidraad bij het ontwerp van de NOT-poort. Om de designregels te kunnen opstellen nemen we onze toevlucht tot simulaties waarin we de lengte van het middenstuk laten variëren tussen 300 nm en 2000 nm bij een stroomdichtheid 6 e12Am−2 ≤ J x ≤ 14 e12Am−2 . In Figuur 5.6 worden de resultaten van de simulatie weer-

5.2 De NOT-poort

93

Figuur 5.5: De gemiddelde waarde van de genormaliseerde magnetisatie in de y-richting < my > in functie van de tijd bij een vaste stroomdensiteit J x = 10e12Am−2 in een nanodraad met dempingsparameter α = 0.01 en andere parameters uit Tabel 3.1.

gegeven. Uit die laatste figuur volgt nu dat de NOT-poort slechts blijkt te werken bij een stroomdichtheid 7 e12Am−2 ≤ J x indien de lengte van het middenstuk kleiner is dan 2000 nm. Bovendien merken we op dat de lengte Lm van het middenstuk veel kleiner kan zijn dan de geschatte lengte ∆x = 1900nm, vooral bij hogere stroomdichtheden. Over een grote range van parametercombinaties heeft dit NOT-poort design een stabiele werking. Bovendien verandert de domeinwandpolariteit maar 1 keer van toestand, wat beter is dan de andere NOT-gate waarin de TDW 3 keer van polariteit verandert.

5.2.4

Conclusies

Het blijkt vrij eenvoudig te zijn om een NOT-poort te realiseren met behulp van het concept ge¨ıllustreerd in Figuur 5.1 en het gelijkaardig concept dat gebruikt maakt van een aangelegde stroom J x (JW,II < J x ≤ JW,I ) i.p.v. een magnetisch veld Bx . Voor het ontwerp van de eerste NOT-poort, die werkt bij een aangelegd veld Bx , is de breedte B als variabele parameter gekozen, terwijl voor het ontwerp van de tweede NOT-poort, die werkt bij een stroom J x , de dempingsparameter α als variabele parameter is gekozen. De bekomen designregels worden samengevat in Tabel 5.1.

5.3 Het schrijfelement

94

Figuur 5.6: Illustratie NOT-werking voor een NOT-poort met geometrie getoond in Figuur 5.1, waarin het magnetisch veld Bx vervangen wordt door een stroom J x (JW,II < J x ≤ JW,I ) aangelegd in de tegenovergestelde richting als dit magnetisch veld, met αII = 0.01 en andere parameters uit Tabel 3.1, in functie van de aangelegde stroom J x in e12Am−2 en de lengte van het middengedeelte Lm = LII in nm. Tabel 5.1: Designregels NOT-poort met parameters uit Tabel 3.1.

NOT-poort

Bx (mT )

J x (e12Am−2 )

BII (nm)

αII

Lm (nm)

Figuur 5.1

2.8 ≤ Bx ≤ 2.9

0

Figuur 5.3

0.02

200 ≤ Lm ≤ 600

Figuur 5.1 met J x i.p.v. Bx

0

7 ≤ J x ≤ 14

100

0.01

Figuur 5.6

5.3 5.3.1

Het schrijfelement Inleiding

Om het schrijfelement te kunnen ontwerpen, maken we gebruik van een fysisch mechanisme dat selectief is t.o.v. de polariteit van de domeinwand. Indien een vaste TDW polariteit als eindresultaat verkregen wordt, ongeacht de initiële domeinwandpolariteit, is ons doel bereikt. Zoals besproken in Sectie 4.9, kan een transversale stroom met stroomdensiteit Jy de stabiliteit van een domeinwand be¨ınvloeden. Een TDW met polariteit in de tegengestelde richting als de stroom Jy wordt gestabiliseerd, terwijl een TDW met een zelfde polariteit wordt gedestabiliseerd. Wanneer de stroom Jy in het laatste geval groot genoeg is om een omklappen van de polariteit mogelijk te maken is het eindresultaat een TDW met


95

vaste polariteit in de richting tegengesteld aan de stroom Jy . Wegens de symmetrie van het probleem, zal een tegengestelde zin van de stroom resulteren in een TDW met tegenovergestelde domeinwandpolariteit. Dit concept wordt ge¨ıllustreerd in Figuur 5.7. Hierbij dienen we op te merken dat het aanleggen van een transversale stroom Jy fysisch kan gerealiseerd worden door het aanbrengen van elektrodes met een zekere lengte L langsheen de rand van de nanodraad.

Figuur 5.7: Concept lokaal schrijfmechanisme. De zwarte lijnen aan de boven- en onderzijde van de nanodraad duiden op elektrodes die een transversale stroomdichtheid Jy genereren doorheen de nanodraad. Indien de stroom Jy in negatieve y-richting loopt, zal zowel een TDW met positieve domeinwandpolariteit (a) als een TDW met negatieve domeinwandpolariteit (b) resulteren in een TDW met positieve domeinwandpolariteit (c). Indien de stroomzin van Jy wordt omgekeerd, zal zowel een TDW met positieve domeinwandpolariteit (d) als een TDW met negatieve domeinwandpolariteit (e) resulteren in een TDW met negatieve domeinwandpolariteit (f). De kleurcode (g) toont de richting van de magnetisatie in de nanodraad.

5.3.2

Bespreking van de simulaties

Om de designregels te kunnen opstellen, doen we simulaties, waarbij we drie variabelen variëren: de aangelegde stroomdichtheid in de lengterichting J x , de transversale stroomdichtheid Jy en de lengte L van de elektrodes verbonden met de wanden van de nanodraad. Om de optimale transversale stroomdichtheid Jy te vinden, simuleren we zowel de situatie in Figuur 5.7(d) als de situatie in Figuur 5.7(a) bij een variabele Jy en een variabele J x , uitgaande van elektroden die zich over de hele nanodraad uitstrekken (Jy werkt in op de hele nanodraad). Dit om na te gaan bij welke stroomdichtheden J x en Jy ons schrijfme-


96

Figuur 5.8: De invloed van een transversale stroomdensiteit Jy gecombineerd met een stroomdensiteit J x op een domeinwand met positieve polariteit in een nanodraad met parameters uit Tabel 3.1. De groene bollen tonen dat de domeinwand niet van polariteit verandert. De blauwe bollen tonen dat de domeinwand exact e´ e´ n keer van polariteit verandert. De rode bollen tonen aan dat de domeinwand beweegt boven de breakdownstroomdensiteit JW . De gebieden Jy > 0 en Jy < 0 begrensd door zwarte lijnen duiden de werkingsgebieden aan nuttig voor de ontwikkeling van het schrijfmechanisme.

chanisme effectief werkt zoals het hoort en bij welke stroomdichtheden de domeinwanden voor beide polariteiten boven de Walker breakdown bewegen. Het resultaat van deze simulaties wordt getoond in Figuur 5.8. In het geval dat Jy = 0 bevinden we ons in de situatie van de referentienanodraad. Er is geen selectief mechanisme aanwezig. Indien Jy < 0 bevinden we ons in de situatie van Figuur 5.7(a) en zal de domeinwand stabiliseren, wat duidelijk wordt door het opschuiven van de breakdown stroomdensiteit JW naar hogere waarden. Indien Jy > 0 bevinden we ons in de situatie van Figuur 5.7(d). De domeinmuur wordt gedestabiliseerd. Door eenmaal te switchen van polariteit komen we in de gestabiliseerde situatie (blauwe bollen in Figuur 5.8). Bij deze punten hebben we de beoogde werking van het schrijfmechanisme bereikt. Voor de groene bollen (bij Jy > 0) is de TDW onvoldoende gedestabiliseerd, terwijl voor de rode bollen de TDW voor beide polariteiten boven de Walker breakdown beweegt, de stroom J x is te groot. Het is duidelijk uit de figuur dat bij een transversale stroomdichtheid Jy = 1 e12Am−2 relatief grote stroomdichtheden J x nodig zijn om een schrijfmechanisme tot stand te brengen in vergelijking met de situatie


97

bij Jy = 2 e12Am−2 . Uitgaande van die observatie lijkt het ons het best om als transversale stroomdichtheid de waarde J = 2 e12Am−2 als designregel voorop te stellen. In de praktijk y

zullen de stromen J x kleiner moeten zijn dan de Walker breakdownstroom wanneer Jy = 0. Dit is voor J x < 15 e12Am−2 , dus stromen links van de grijze lijn in Figuur 5.7.

Figuur 5.9: Illustratie voor de werking van het schrijfmechanisme met beginsituatie getoond in Figuur 5.7(d) en parameters uit Tabel 3.1, in functie van de aangelegde stroom J x in e12Am−2 en de lengte van de elektrodes L waardoor een transversale stroom Jy = 2 e12Am−2 loopt. De blauwe bollen duiden op een werkend schrijfmechanisme, terwijl de rode bollen duiden op een niet-werkend schrijfmechanisme.

Na deze transversale stroomdichtheid Jy gekozen te hebben, zoeken we bij welke lengte L van de elektrodes en bij welke stroomdichtheden J x een switching van de polariteit kan verwezenlijkt worden indien we vertrekken van de beginsituatie ge¨ıllustreerd in Figuur 5.7(d). Daartoe voeren we een aantal simulaties uit. Het resultaat van deze simulaties wordt gegeven in Figuur 5.9. Uit deze Figuur is onmiddellijk volgend verband duidelijk: hoe groter de lengte L van de elektrodes, hoe kleiner de stroomdensiteit J x nodig om de domeinwand van polariteit te doen veranderen. Het feit dat het schrijfelement stabieler werkt bij grotere stroomdichtheden J x ≤ JW is enigszins contra-intu¨ıtief: we zouden eerder verwachten dat het schrijfmechanisme beter werkt bij lagere stroomdichtheden J x , aangezien de domeinwand dan meer tijd doorbrengt tussen de elektrodes. We merken nu echter op dat, net zoals boven de Walker breakdown, de domeinwandpolariteit niet onmiddellijk van

5.4 De splitter

98

richting verandert, maar slechts door middel van een overgangstoestand, de antivortex. Zoals we hebben besproken in Hoofdstuk 3, impliceert een grotere stroomdichtheid J x ≤ JW een grotere Mz -component en hoe groter deze component, hoe eenvoudiger het is voor een transversale stroom om een antivortex te creëren, wat de toegenomen stabiliteit van het schrijfelement bij grotere stroomdichtheden verklaart. Het is wel onmiddellijk duidelijk dat, indien we J x en Jy vast nemen, bij langere elektrodes de stabiliteit van het schrijfelement toeneemt: de transversale stroom zal dan meer tijd krijgen om de TDW van polariteit te doen veranderen. Op basis van Figuur 5.9 zouden we volgende designregels willen vooropstellen: 5 e12Am−2 ≤ J x ≤ 14 e12Am−2 en 1200nm ≤ Lel ≤ 1500nm.

5.3.3

Conclusies

Het blijkt vrij eenvoudig om een werkend schrijfelement te ontwerpen op basis van het concept ge¨ıllustreerd in Figuur 5.7. Transversale stromen blijken immers een veel grotere invloed te hebben op de domeinwandstabiliteit dan transversale velden. De designregels vatten we samen in Tabel 5.2. Tabel 5.2: Designregels schrijfmechanisme met parameters uit Tabel 3.1.

5.4 5.4.1

Design

Jy (e12Am−2 )

J x (e12Am−2 )

Lel (nm)

Figuur 5.7

2

5 ≤ J x ≤ 14

1200 ≤ Lel ≤ 1500

De splitter Inleiding

De splitter is een logische component met e´ e´ n ingang en twee uitgangen, die als functie heeft de bitwaarde van een bit te kopiëren. We leggen nu kort uit hoe dit wordt gerealiseerd. We vertrekken van een TDW met vaste polariteit. Om de domeinwand te doen bewegen leggen we een stroom aan. Vanaf een bepaald punt verbreden we de nanodraad. Wanneer deze verdubbeld is in breedte, zal deze zich splitsen in twee nanodraden. Daar zal ook de TDW zich opsplitsen in twee delen. Beide delen zijn ook TDW’en met dezelfde polariteit, die verder bewegen doorheen de twee nanodraden onder invloed van de aangelegde stroom. We eindigen dan met twee TDW’en in twee verschillende nanodraden, voldoende ver van

5.4 De splitter

99

elkaar verwijderd zodat de polariteit van beide TDW’en niet meer kan wijzigen. In de volgende paragrafen wordt de ontwikkeling van deze logische component besproken, waarbij ook de aandacht wordt gevestigd op de fysica achter de beweging van de domeinwanden in deze component. Na deze bespreking leggen we onze designregels vast.

5.4.2

Ontwikkeling splitter

Geometrie 1 Bij de ontwikkeling van de splitter vertrekken we van geometrie 1, getoond in Figuur 5.10. Om te verzekeren dat de stroomdensiteit ongeveer even groot is over de hele geometrie, worden twee elektroden aangebracht op de randen van het tweede gebied van het middenstuk over een lengte Lm,2 , de afstand waarover de nanodraad verbreedt zonder te splitsen in twee nanodraden, waarlangs we een stroom I2 = I1 /2 onttrekken. Verdere geometrische parameters in de simulaties zijn de initiële afstand tussen beide draden Lb en de afstand waarover de nanodraden naar elkaar toekomen Lm,1 . Voor deze eerste geometrie worden als waarden voor deze variabelen Lb = 200 nm, Lm,1 = 2000 nm en Lm,2 = 1000 nm vast gekozen. We merken op dat Lm,2 en Lm,1 steeds met elkaar gerelateerd zijn door de betrekking Lm,2 = Lm,1 /2 wanneer Lb = 200 nm.

Figuur 5.10: Illustratie eerste geometrie bij ontwerp splitter beginnend met een input-nanodraad en eindigend met twee output-nanodraden met parameters uit Tabel 3.1 (breedte 100 nm). Deze twee nanodraden zijn een afstand Lb = 200 nm van elkaar verwijderd. Het middenstuk heeft een totale lengte Lm = Lm,1 + Lm,2 = 3000 nm, waarbij Lm,1 = 2000 nm de lengte is van het gedeelte waar de twee nanodraden uit elkaar gaan (gebied 1), terwijl Lm,2 = 1000 nm de lengte is van het gedeelte waar de nanodraad zich verbreedt zonder te splitsen in twee nanodraden (gebied 2). Op de randen van de nanodraad in dit tweede gebied zijn elektroden aangebracht waardoor een stroom I2 = I1 /2 loopt bij het aanleggen van een stroom I1 aan beide nanodraden.

Het stroomprofiel voor de splitter wordt berekend met behulp van het softwarepakket COM-

5.4 De splitter

100

SOL Multiphysics. Uit Figuur 5.11 volgt dan dat de plaatsing van de elektroden getoond in Figuur 5.10 gecombineerd met I2 = I1 /2, ons ervan verzekert dat de stroomdensiteit vrij constant is over de hele splitter met een maximale afwijking van ongeveer 8%. De gebieden waar de afwijking het grootst is, zijn enerzijds de overgang van het middenstuk naar de twee nanodraden en anderzijds de overgang van gebied 1 naar gebied 2 in het middenstuk. Aangezien die laatste een cruciale overgang is, hebben we dit gebied uitvergroot, zie Figuur 5.12.

Figuur 5.11: Stroomprofiel voor geometrie 1 bij het ontwerp van de splitter, gedefinieerd in Figuur 5.10.

Figuur 5.12: Overgang tussen gebied 1 en 2 in het stroomprofiel voor geometrie 1 bij het ontwerp van de splitter, gedefinieerd in Figuur 5.10.

We testen nu deze geometrie voor verschillende stroomdensiteiten J1 ≤ 14 e12Am−2 . Ook

5.4 De splitter

101

voor een bredere draad bevinden we ons dan beneden de Walker breakdown, zie Figuur 4.6: JW ≥ 14 e12Am−2 indien B ≥ 100 nm. Uit de simulaties blijkt nu dat de TDW voor beide polariteiten en alle stroomdichtheden pint in het deel waar de draad verbreedt. Dit pinnen gebeurt aan een hoekig punt van de wand t.g.v. de trapsgewijze discretisatie. Dit wordt ge¨ıllustreerd voor twee stroomdichtheden, zie Figuur 5.13. Merk op dat we de TDW van rechts naar links laten bewegen. Algemeen merken we volgend verband op tussen de stroomdichtheid en de plaats van de pinning: hoe groter J1 , hoe verder de TDW zich in gebied 2 van het middenstuk beweegt alvorens te pinnen. We kunnen dit begrijpen als volgt: hoe groter de stroomdichtheid, hoe meer energie de TDW heeft om te blijven bewegen. Hoe groter de TDW echter wordt, hoe meer energie (in de vorm van magnetostatische energie) de TDW nodig heeft om nog groter te worden zodat de TDW uiteindelijk gepind geraakt, zelfs bij een stroomdichtheid van J1 = 14 e12Am−2 . De pinning gebeurt aan de kant waar de TDW zich herleidt tot een punt en dit deel van de TDW pint zich aan een hoekig punt van de wand. Dit hoekig punt heeft een hoogte van 3.125 nm. Deze hoogte is een gevolg van het feit dat de simulatie plaatsvindt bij een ruimtelijke discretisatie van 3.125 nm × 3.125 nm × 10 nm (de magnetisatie langs de z-richting wordt constant verondersteld bij een vaste positie (x,y)). We hebben deze discretisatie gekozen omdat de magnetisatie weinig of niet verandert over een lengte kleiner dan de uitwisselingslengte lexch = 5.3 nm. Alhoewel deze pinning een artefact is van de simulatie toont het wel hoe sensitief geometrie 1 is t.o.v. niet-idealiteiten in de geometrie.

Figuur 5.13: Pinning van de TDW met positieve polariteit bij (a) J1 = 10 e12Am−2 en (b) J1 = 14 e12Am−2 in geometrie 1, gedefinieerd in Figuur 5.10.

Geometrie 2 en Geometrie 3

Op basis van voorgaande observaties voeren we twee aanpassingen uit: • verlenging van het middenstuk: Lm,1 = 2000 nm ⇒ Lm,1 = 4000 nm en Lm,2 = 1000 nm ⇒ Lm,2 = Lm,1 /2 = 2000 nm (de elektrodes schalen ook mee)

5.4 De splitter

102

• verfijning van de discretisatie: 3.125 nm × 3.125 nm × 10 nm ⇒ 1.5625 nm × 1.5625 nm × 10 nm De eerste aanpassing is cruciaal. Indien we enkel de eerste aanpassing doorvoeren, verkrijgen we geometrie 2. Indien we beide aanpassingen doorvoeren, verkrijgen we geometrie 3. Deze aanpassingen worden in Tabel 5.3 samengevat. We zullen nu beide aanpassingen rechtvaardigen. Enerzijds zal een verlenging van het middenstuk ervoor zorgen dat de TDW meer zal kunnen relaxeren alvorens opnieuw energie op te nemen, waardoor de TDW meer energie zal hebben om te blijven bewegen. Anderzijds zal een fijnere discretisatie aanleiding geven tot minder hoge hoekige punten: een hoogte van 1.5625 nm i.p.v. een hoogte van 3.125nm. Dit bemoeilijkt het pinnen van de DW. Voor geometrie 2 en geometrie 3 berekenen we eveneens het stroomprofiel. Bij beide geometrieën is de stroomdensiteit ongeveer constant over de hele splitter, maar nu bedraagt de maximale afwijking maar 3.5%. De overgang van gebied 1 naar gebied 2 bij geometrie 2 in het middenstuk is uitvergroot afgebeeld in Figuur 5.14. We testen nu eveneens beide geometrieën voor verschillende stroomdensiteiten J1 ≤ 14 e12Am−2 . Uit de simulaties blijkt dat geometrie 2 enkel splitterwerking vertoont bij een stroomdensiteit J1 = 14 e12Am−2 , terwijl geometrie 3 splitterwerking vertoont bij stroomdensiteiten 12 e12Am−2 ≤ J1 ≤ 14 e12Am−2 . Hieruit blijkt dus dat de ruwheid van de draad een niet verwaarloosbaar effect heeft op de werking van de splitter. We gaan nu verder in op de werking van de splitter. We leggen de werking uit aan de hand van Figuur 5.15. We bespreken enkel het geval van een TDW met positieve polariteit. Omwille van de symmetrie is de bespreking voor een TDW met negatieve polariteit

Tabel 5.3: Eigenschappen geometrie 1, geometrie 2 en geometrie 3, concept uit Figuur 5.10.

discretisatie eenheidscel

parameters geometrie

geometrie 1

geometrie 2

geometrie 3

∆x

3.125 nm

3.125 nm

1.5625 nm

∆y

3.125 nm

3.125 nm

1.5625 nm

∆z

10 nm

10 nm

10 nm

Lb

200 nm

200 nm

200 nm

Lm,1

2000 nm

4000 nm

4000 nm

Lm,2

1000 nm

2000 nm

2000 nm

5.4 De splitter

103

Figuur 5.14: Overgang tussen gebied 1 en 2 in het stroomprofiel voor geometrie 2 bij het ontwerp van de splitter, gedefinieerd in Figuur 5.10 en Tabel 5.3.

Figuur 5.15: Snapshots van de beweging van een TDW met positieve polariteit in geometrie 3 bij J1 = 13 e12Am−2 . Snapshots genomen op (a) t = 1.1 ns, (b) t = 3.6 ns, (c) t = 4.6 ns, (d) t = 4.8 ns, (e) t = 5.0 ns, (f) t = 5.1 ns, (g) t = 5.6 ns, (h) t = 7.0 ns. (i) Kleurcode.

5.4 De splitter

104

analoog. We vertrekken van een TDW, zie Figuur 5.15(a). Na enige tijd verandert deze symmetrische TDW in een asymmetrische TDW, zie Figuur 5.15(b). De vorm van deze asymmetrische TDW kunnen we verklaren door de lagere magnetostatische energie t.o.v. de symmetrische TDW: de oppervlaktelading is immers kleiner doordat het bovenste stuk van de TDW kleiner is dan bij een symmetrische TDW. Deze asymmetrische TDW heeft bij een stroomdichtheid van J1 = 13 e12Am−2 genoeg energie om de overgang te maken van gebied 2 van het middenstuk naar gebied 1 van het middenstuk, zie Figuur 5.15(c). Initieel blijft de vorm van deze asymmetrische TDW behouden. We hebben nu een situatie waarin de TDW zich nog als e´ e´ n domeinwand gedraagt, terwijl hij al voor een deel gesplitst is. Nu zal het onderste punt van de domeinwand pinnen aan e´ e´ n van de ruwheden, terwijl het bovenste deel van de domeinwand zich zal losmaken van het geheel, zie Figuur 5.15(d-f). We eindigen met twee domeinwanden: e´ e´ n die zich voortbeweegt doorheen de bovenste nanodraad en een andere domeinwand die vastgepind blijft aan een hoekige punt van de onderste nanodraad. Dat deze structuur vrij stabiel is, kunnen we verklaren doordat we deze laatste kunnen zien als deel van een groter geheel dat vrij stabiel is: een domeinwand die zich uitstrekt over de twee nanodraden. We herkennen een bijna-vortexstructuur met de chiraliteit in tegenwijzerzin in Figuur 5.15(f). Wanneer echter de bovenste TDW ver genoeg verwijderd is wordt er een AV gevormd in de onderste DW, zie Figuur 5.15(g). Deze AV is niet stabiel (we bevinden ons immers in het sub-breakdownregime) en de antivortexkern zal na een korte verplaatsing van de domeinwand terug verdwijnen zonder de polariteit van de oorspronkelijke TDW te veranderen, zie Figuur 5.15(h). Vervolgens zal de onderste domeinwand zich op de normale manier doorheen de nanodraad bewegen. De bovenste domeinwand is ondertussen al een heel stuk verder.

5.4.3

Conclusies

We zijn erin geslaagd om een werkende splitter te ontwerpen op basis van het concept ge¨ıllustreerd in Figuur 5.10 voor geometrie 2 en geometrie 3, zie Tabel 5.3. Indien we deze splitter in werkelijkheid zouden willen realiseren, zijn er vier belangrijke factoren waarmee rekening moet worden gehouden: • De stroomdichtheid moet groot genoeg zijn zodat de DW niet pint vooraleer de overgang van gebied 2 (1 nanodraad) naar gebied 1 (2 nanodraden) van het middenstuk te bereiken.

5.5 De AND-poort en OR-poort

105

• De stroomdichtheid moet groot genoeg zijn om een antivortex te kunnen vormen bij het splitsen, maar niet boven de breakdown stroomdensiteit, want we willen geen verandering van de polariteit. • De overgang van e´ e´ n nanodraad naar twee nanodraden mag niet te vlug gebeuren. • De ruwheid van de nanodraden moet beperkt worden.

5.5 5.5.1

De AND-poort en OR-poort Inleiding

De AND-poort en OR-poort zijn logische componenten met twee ingangen en e´ e´ n uitgang, zie Tabel 1.2 en Tabel 1.3. We leggen kort uit hoe dit wordt gerealiseerd. We gaan uit van een geometrie met twee nanodraden die we laten samenkomen tot e´ e´ n nanodraad. Uit elk van deze twee nanodraden laten we een domeinwand vertrekken door een stroom J ≤ JW aan te leggen. We laten e´ e´ n van die twee domeinwanden eerst toekomen op de splitsing, waar hij zal pinnen aan het splitsingspunt en een andere pinningsite. De komst van de andere domeinwand zorgt voor de depinning. Uit de combinatie van deze domeinwanden ontstaat dan een TDW met de polariteit in de gewenste richting. In dit deel zullen we elke stap bij de ontwikkeling van de AND- en OR-poort bespreken, waarbij we ook de aandacht vestigen op de fysica achter de werking van de AND- en OR-poort. Vervolgens leggen we de designregels vast.

5.5.2

Ontwikkeling AND-poort en OR-poort

Optimalisatie stroomprofiel

De eerste stap in de ontwikkeling van de AND- en OR-poort is erop gericht de beide domeinwanden samen te brengen onder invloed van een aangelegde stroom. We baseren ons hierbij op het ontwerp van de splitter. We merken twee grote verschillen op tussen Figuur 5.10 en Figuur 5.16: • Omdat de domeinwanden nu gecombineerd (2 TDW’en ⇒ 1 TDW) moeten worden i.p.v. gedupliceerd (1 TDW ⇒ 2 TDW’en) loopt de stroom in tegengestelde zin als bij


106

de splitter: de domeinwanden worden van links naar rechts verplaatst i.p.v. van rechts naar links. • De lengte Lm,el van de elektrodes is in eerste instantie nog niet vast gekozen.

Figuur 5.16: Illustratie eerste geometrie bij ontwerp AND-poort beginnend met twee nanodraden en eindigend met een nanodraad met parameters uit Tabel 3.1 (breedte 100 nm). Deze twee nanodraden zijn een afstand Lb = 200 nm van elkaar verwijderd. Het middenstuk heeft een totale lengte Lm = Lm,1 + Lm,2 = 3000 nm, waarbij Lm,1 = 2000 nm de lengte is van het gedeelte waar de twee nanodraden uit elkaar gaan (gebied 1), terwijl Lm,2 = 1000 nm de lengte is van het gedeelte waar de nanodraad zich verbreedt zonder te splitsen in twee nanodraden (gebied 2). Op dit tweede gedeelte zijn elektroden aangebracht met lengte Lm,el ≤ 1000 nm waardoor we een stroom I2 = I1 /2 laten lopen bij het aanleggen van een stroom I1 .

Met behulp van het simulatiepakket COMSOL Multiphysics berekenen we stroomprofielen voor verschillende afstanden Lm,el (100 nm ≤ Lm,el ≤ 1000 nm) van de elektrodes. In Figuur 5.17 worden zo twee stroomprofielen getoond. Uit de simulaties blijkt dat bij een vaste stroomdichtheid J1 = 12 e12Am−2 en een lengte Lm,el = 1000 nm de domeinwanden samenkomen voor alle combinaties van initiële domeinwandpolariteiten. Dit blijkt niet het geval te zijn bij een lengte Lm,el = 100 nm. Dit kan verklaard worden door de lage stroomdichtheden in gebied 2 van het middenstuk. We kiezen nu Lm,el = 1000 nm vast, zodat we verzekerd zijn van depinning bij zo laag mogelijke stroomdichtheden. Invloed van de volgorde van de transversale domeinwanden

Tot hiertoe hebben we enkel simulaties gedaan waarbij we de TDW’en initialiseren op de startposities getoond in Figuur 5.18(a). We willen nu verzekeren dat 1 van de 2 domeinwan-


107

Figuur 5.17: Stroomprofielen voor overgang van gebied 1 van het middenstuk naar gebied 2 van het middenstuk in geometrie 1, gedefinieerd in Figuur 5.16 met (a) Lm,el = 100 nm en (b) Lm,el = 1000 nm. Bijhorende snapshots tonen het gedrag van de domeinwanden aan de splitsing bij J1 = 12 e12Am−2 . In (a) blijven de domeinwanden gepind op deze manier, terwijl in (b) depinning optreedt.

den eerst toekomt aan de splitsing (overgang van gebied 1 naar gebied 2 van het middenstuk) door de domeinwanden (in eerste instantie) te initialiseren op de startposities getoond in Figuur 5.18(b) en in Figuur 5.18(c). Dit heeft drie redenen: • Wanneer de domeinwanden exact op hetzelfde moment toekomen, is het gedrag van deze domeinwanden onvoorspelbaar. • Afhankelijk van de volgorde van de domeinwanden is de dynamica van de domeinwanden anders. • In de praktijk zullen de domeinwanden hoogstwaarschijnlijk ook niet perfect op het-


108

zelfde moment toekomen. We kunnen dus besluiten dat we hierdoor meer controle krijgen op de dynamica van de domeinwanden.

Figuur 5.18: Startposities TDW’en in geometrie 1 met Lm,el = 1000 nm, gedefinieerd in Figuur 5.16. We nummeren nu de nanodraden als volgt: de onderste input-nanodraad wordt nanodraad 1 en de bovenste input-nanodraad wordt nanodraad 2. In (a) is het afhankelijk van de polariteiten van de initiële TDW’en welke van de twee TDW’en eerst zal toekomen aan de splitsing. In (b) zal de onderste TDW (TDW 1) eerst toekomen op de splitsing, terwijl in (c) de bovenste TDW (TDW 2) eerst zal toekomen op de splitsing.

Uit de simulaties blijkt nu dat het niet voldoende is om te verzekeren dat e´ e´ n domeinwand toekomt voor de andere om volledige controle te krijgen op de dynamica van de domeinwanden: de dynamica van de domeinwanden is ook afhankelijk van het tijdsverschil in aankomst van de twee TDW’en. We illustreren dit met de snapshot in Figuur 5.17(b): indien de onderste domeinwand eerder zou toekomen, zou de bovenste domeinwand geen vortexstructuur kunnen vormen. We willen nu de eerst toekomende domeinwand zwak laten pinnen aan een extra pinningsite, zodat de komst van de tweede domeinwand voldoende energie heeft om de eerste te depinnen. Dit mechanisme is onafhankelijk van het tijdsverschil in aankomst van de twee TDW’en. Optimalisatie extra pinningsites We kiezen de geometrie van de pinningsites zoals voorgesteld in Figuur 5.19. We beschouwen 3 parameters: L sp , L p en B p . De parameter L sp kiezen we in eerste instantie vast (L sp = 125 nm), terwijl we L p en B p variëren in functie van de stroomdichtheid J1 , de domeinwandpolariteiten van de initiële domeinwanden en de startposities van de domeinwanden gedefinieerd in Figuur 5.18(b) en in Figuur 5.18(c).We merken nog op dat we met de keuze


109

van die startposities niet alleen verzekerd zijn van de volgorde van de domeinwanden, maar dat we tegelijkertijd kunnen nagaan of de pinningsites werken zoals ze moeten werken: indien e´ e´ n domeinwand veel eerder toekomt dan de andere, heeft deze ruim de tijd om te pinnen en te stabiliseren, zodat in geval van depinning na aankomst van de tweede domeinwand dit enkel te wijten is aan deze tweede domeinwand.

Figuur 5.19: In deze Figuur worden de parameters gedefinieerd van de extra ge¨ıntroduceerde pinningsites die bijdragen tot de volledige pinning van de domeinwand die het eerst toekomt aan de overgang van 2 nanodraden naar 1 nanodraad. L sp is de parameter die de afstand van het splitsingspunt tot de extra pinningsites uitdrukt, met L p wordt de lengte van de pinningsites aangeduid en met B p wordt de breedte van de pinningsites uitgedrukt. De geometrie is die uit Figuur 5.16 met Lm,el = 1000 nm.

In de simulaties met de pinningsites laten we L p de waarden 31.25 nm, 46.875 nm en 62.5 nm aannemen, terwijl we B p de waarden 6.25 nm, 9.375 nm en 12.5 nm laten aannemen. We gaan na welke pinningsites het gewenste gedrag vertonen voor de 4 mogelijke combinaties van domeinwandpolariteiten, uitgaande van de startposities afgebeeld in Figuur 5.18(b) en in Figuur 5.18(c), over een zo breed mogelijk bereik van stroomdichtheden. In Tabel 5.4 wordt aangegeven welke combinaties van waarden van L p en B p aanleiding geven tot goeie pinningsites. Het blijkt nu dat we AND-poortwerking hebben bij 12 e12Am−2 ≤ J1 ≤ 13 e12Am−2 indien de bovenste domeinwand eerder toekomt dan de onderste domeinwand, terwijl we ORpoortwerking hebben indien de onderste domeinwand eerder toekomt dan de bovenste. We kiezen nu in de rest van de bespreking L p = 62.5 nm en B p = 9.375 nm vast. We vatten dan het gedrag van de domeinwanden samen in Figuur 5.20. In alle gevallen zien we dat de eerst toegekomen domeinwand zal pinnen aan het splitsingspunt bij de overgang van 2 nanodraden naar 1 nanodraad en aan de pinningsite ter hoogte van de nanodraad waar hij uitkomt. Het gedrag van de domeinwanden na de aankomst van de tweede is sterk


110

Tabel 5.4: Tabel die aangeeft welke pinningsites, gedefinieerd in Figuur 5.19 met L sp = 125 nm, het gewenste gedrag vertonen in functie van de parameters J1 , L p en B p

12 e12Am−2 ≤ J1 ≤ 13 e12Am−2

L p = 31.25 nm

L p = 46.875 nm

L p = 62.5 nm

B p = 6.25 nm

OK

OK

OK

B p = 9.375 nm

OK

OK

OK

B p = 12.5 nm

/

/

OK

J1 ≤ 11 e12Am−2

L p = 31.25 nm

L p = 46.875 nm

L p = 62.5 nm

B p = 6.25 nm

/

/

/

B p = 9.375 nm

/

/

/

B p = 12.5 nm

/

/

/

afhankelijk van de domeinwandpolariteiten. We lichten dit gedrag kort toe op basis van de fysica besproken in vorige hoofdstukken. Indien de domeinwandpolariteiten van beide initiële domeinwanden hetzelfde zijn, is het gedrag van de domeinwanden onafhankelijk van welke domeinwand het eerste toekomt. De tweede domeinwand zal de eerste domeinwand depinnen waarna de twee domeinwanden zich samenvoegen tot e´ e´ n domeinwand met dezelfde polariteit. Deze grotere domeinwand is energetisch stabieler dan elke domeinwand afzonderlijk, aangezien op die manier zowel de magnetostatische energie als de uitwisselingsenergie geminimaliseerd wordt. Indien de onderste TDW een positieve domeinwandpolariteit heeft en de bovenste TDW een negatieve domeinwandpolariteit, herkennen we voor de depinning bij aankomst van de tweede domeinwand een stabiele structuur. Indien we de domeinwanden als 1 geheel zien en de scheiding tussen beide nanodraden wegdenken (aangezien de fluxlijnen ook door niet-magnetisch materiaal gaan is deze onderstelling verantwoord), herkennen we een vortexstructuur met chiraliteit in tegenwijzerzin indien de onderste TDW als eerste toekomt, in het andere geval herkennen we een vortexstructuur met chiraliteit in wijzerzin. Dat deze structuren stabiel zijn, wordt bevestigd in de simulaties gedaan voor stromen J1 ≤ 11 e12Am−2 : door de stabiliteit van deze structuur kan de stroom bij deze stroomdichtheden niet genoeg energie leveren om depinning te veroorzaken. De stabiliteit van de vortexstructuur is tevens de enige reden waarom we geen AND- en OR-poortwerking hebben bij een stroomdichtheid J1 = 11 e12Am−2 . Wanneer nu echter 12 e12Am−2 ≤ J1 ≤ 13 e12Am−2 heeft de laatst toegekomen domeinwand genoeg energie om een antivortex te vormen,


111

Figuur 5.20: Gedrag van de domeinwanden in functie van hun initiële domeinwandpolariteiten en met startposities gedefinieerd in Figuur 5.18(b) en Figuur 5.18(c). De vorm van de totale structuur wordt gedefinieerd in Figuur 5.16 met Lm,el = 1000 nm en 12 e12Am−2 ≤ J1 ≤ 13 e12Am−2 . Bovendien zijn er extra pinningsites aan deze structuur toegevoegd met parameters L sp = 125 nm, L p = 62.5 nm en B p = 9.375 nm gedefinieerd in Figuur 5.19.

waarna vortex-antivortexannihilatie plaatsvindt. Dit gaat gepaard met depinning en resulteert in een transversale domeinwand met de polariteit van de eerst toegekomen domeinwand. Indien de onderste TDW een positieve domeinwandpolariteit heeft en de bovenste TDW een negatieve domeinwandpolariteit, herkennen we voor de depinning bij aankomst van de tweede domeinwand een antivortexstructuur. Deze structuur is veel minder stabiel en depint onmiddellijk. De polarisatie van de antivortexkern wordt bepaald door de pola-


112

risatie van de eerst toekomende domeinwand. Een domeinwand met positieve polariteit heeft een positieve polarisatie (Mz -component in de positieve y-richting, wit gebied), terwijl een domeinwand met negatieve polariteit een negatieve polarisatie (Mz -component in de negatieve y-richting, zwart gebied) heeft. Zoals gezien in Hoofdstuk 3 bepaalt de polarisatie van deze antivortexkern uiteindelijk de domeinwandpolariteit van de transversale domeinwand, zie ook Figuur 3.11. Controle van de relatieve positie van de domeinwanden

Nu we verzekerd zijn van AND-poortwerking (OR-poortwerking) wanneer de bovenste (onderste) domeinwand eerst toekomt aan de overgang, merken we nog op dat het een onvoldoende is om uit te gaan van de startposities getoond in Figuur 5.18(c)(5.18(b)) indien we een AND-poort (OR-poort) praktisch willen realiseren. Om de dynamica van de domeinwanden volledig te kunnen beheersen hebben we nog nood aan: (a) Een gecontroleerd startpunt voor de domeinwanden (b) Een gecontroleerde verschillende snelheid van de domeinwanden De positie van een stilstaande TDW kan gecontroleerd worden door pinningsites aan te brengen zoals in een racetrackgeheugen [3]. Hier wordt de beweging en de lengte van de domeinen gecontroleerd door pinningsites op regelmatige afstand van elkaar te introduceren, waaraan de domeinwanden zich pinnen. Door korte spingepolariseerde stromen door de nanodraden te sturen, bewegen de domeinwanden van pinningsite naar pinningsite. Op die manier is de positie van de domeinen (en dus ook de domeinwanden) vast bepaald. Deze manier van positiebepaling is een sterk concept, omdat het ook een (gedeeltelijke) oplossing biedt voor thermische fluctuaties en andere onregelmatigheden die de beweging van domeinwanden kunnen be¨ınvloeden. De effecten op de beweging omwille van thermische fluctuaties en andere onregelmatigheden worden niet in rekening gebracht in de simulaties, maar met de vooruitzichten op een praktisch realiseerbare technologie is het toch belangrijk om de invloed van deze fysische verschijnselen in het achterhoofd te houden. We ontwerpen nu een pinningsite door twee rechthoekige inkepingen te maken aan boven-en onderzijde van een stuk nanodraad zodat de werking identiek is voor zowel een TDW met positieve polariteit als een TDW met negatieve polariteit omwille van de symmetrie. We kiezen de lengte L p en breedte B p als variabele parameters, zie Figuur 5.21(a). De volgende stap is dan


113

het uitvoeren van simulaties om na te gaan bij welke stroomdichtheden de domeinwand zal depinnen. De uitkomst van de simulaties in het geval dat de breedte B p = 6.25 nm vast gekozen wordt, wordt getoond in Figuur 5.21(b). Op basis van deze (en andere) simulaties kiezen we nu de lengte L p = 62.5 nm en de breedte B p = 6.25 nm vast. Op die manier zullen de domeinwanden enkel depinnen indien een stroom met stroomdichtheid J1 ≥ 7 e12Am−2 wordt aangelegd. We merken op dat de waarde van deze stroomdichtheid compatibel is met de werking van andere geheugenelementen en logische schakelingen ontworpen in dit hoofdstuk.

Figuur 5.21: (a) Een eenvoudig concept van een mogelijke pinningsite om de positie van domeinwanden vast te leggen. De parameters van de nanodraad (zonder de pinningsite) zijn die uit Tabel 3.1. De variabele parameters zijn de lengte L p en de breedte B p . (b) toont de uitkomst van de simulaties op basis van de geometrie gedefinieerd in (a) bij een breedte B p = 6.25 nm. De rode bollen duiden aan bij welke combinatie van de lengte L p en stroomdichtheid J x de domeinwanden gepind blijven, terwijl de blauwe bollen aanduiden bij welke lengtes L p en stroomdichtheden J x de domeinwand depint.

We passen nu de AND-/OR-poort geometrie aan door een pinningsite aan het begin van elke input-nanodraad te definiëren, zoals ge¨ıllustreerd in Figuur 5.22. Om er nu voor te zorgen dat de bovenste TDW in alle omstandigheden eerst toekomt, volstaat het om een vertragingselement te introduceren in de onderste input-nanodraad over een voldoende grote lengte Lv . We doen dit door over deze lengte de dempingsparameter α aan te passen. Uit Figuur 4.12 blijkt nu dat voor een dempingsparameter α = 0.03 de domeinwand trager gaat, terwijl er tegelijkertijd verzekerd is dat de domeinwand zich voortbeweegt beneden de Walker breakdown indien 12 e12Am−2 ≤ J1 ≤ 13 e12Am−2 , zodat de domeinwand niet van polariteit verandert.


114

Figuur 5.22: AND-poort (OR-poort) geometrie met pinningsites die de initiële positie van de TDW’en controleren met lengte L p = 62.5 nm en breedte B p = 6.25 nm gedefinieerd in Figuur 5.21. Bovendien wordt een extra vertragingselement ge¨ıntroduceerd over een deel van de onderste (bovenste) nanodraad. Over een lengte Lv wordt de dempingsconstante verhoogd tot α = 0.03.

Finale aanpassing geometrie

Figuur 5.23: Illustratie finale geometrie bij ontwerp AND-poort (OR-poort) beginnend met twee input-nanodraden en eindigend met een output-nanodraad met parameters uit Tabel 3.1. De twee input-nanodraden zijn een afstand Lb van elkaar verwijderd. Het middenstuk heeft een totale lengte Lm = Lm,1 + Lm,2 . Op dit tweede gedeelte zijn elektroden aangebracht met lengte Lm,el waardoor we een stroom I2 = I1 /2 laten lopen bij het aanleggen van een stroom I1 . De zwarte cirkels omcirkelen de pinningsites gedefinieerd in Figuur 5.21, terwijl de gele cirkels de pinningsites gedefinieerd in Figuur 5.19 omcirkelen. Het extra vertragingselement (een stuk nanodraad waarin α = 0.03 i.p.v. α = 0.02) in de onderste (bovenste) input-nanodraad is aangeduid door een donkergroen kader. Voor de getalwaarden van alle relevante geometrische parameters, zie Tabel 5.5.

Uit simulaties blijkt nu nog dat de domeinwanden elkaar teveel be¨ınvloeden vooraleer ze dichter bij elkaar worden gebracht, waarbij in bepaalde omstandigheden e´ e´ n van de twee domeinwanden van polariteit verandert met de antivortex als overgangstoestand. Daarom vergroten we de ruimte tussen de twee input-nanodraden tot 400 nm in de AND/OR-poort


115

Tabel 5.5: Tabel met geometrische parameters van de finale geometrie bij ontwerp AND(/OR)-poort, zie Figuur 5.23.

wat

parameter

waarde

breedte input/output-draad

B

100 nm

dikte geometrie

D

10 nm

zie Figuur 5.16

Lb

400 nm

zie Figuur 5.16

Lm,1

4000 nm

zie Figuur 5.16

Lm,2

1000 nm

zie Figuur 5.16

Lm,el

1000 nm

zie Figuur 5.21

Lp

62.5 nm

zie Figuur 5.21

Bp

6.25 nm

zie Figuur 5.19

L sp

125 nm

zie Figuur 5.19

Lp

62.5 nm

zie Figuur 5.19

Bp

9.375 nm

zie Figuur 5.22

Lv

1000 nm ≤ Lv ≤ 2000 nm

geometrie. We zorgen hierbij dat de hoek tussen de twee nanodraden bij het samenkomen identiek blijft. De finale geometrie wordt getoond in Figuur 5.23 waarin alle belangrijke elementen nog eens geaccentueerd worden. De verschillende geometrische parameters worden opgelijst in Tabel 5.5.

5.5.3

Conclusies

We zijn erin geslaagd om een werkende AND- en OR-poort te ontwerpen op basis van het concept ge¨ıllustreerd in Figuur 5.23. Indien we deze poorten in werkelijkheid willen realiseren, zijn er een aantal belangrijke designregels waarmee rekening moet worden gehouden: • Er zijn pinningsites nodig om de posities van de initiële domeinwanden op elkaar af te stemmen. • Voor AND-poortwerking dient de bovenste domeinwand steeds als eerste toe te komen aan de overgang van twee nanodraden naar 1 nanodraad. Dit wordt verwezenlijkt door een vertragingselement in de onderste input-nanodraad te introduceren. • Voor OR-poortwerking dient de onderste domeinwand steeds als eerste toe te komen

5.6 Gebogen nanodraden

116

aan de overgang van twee nanodraden naar e´ e´ n nanodraad. Dit wordt verwezenlijkt door een vertragingselement in de bovenste input-nanodraad te introduceren. • Er zijn eveneens pinningsites nodig om de eerst toekomende domeinwand te pinnen. Bovendien moeten ze zodanig ontworpen worden dat de tweede domeinwand de eerste bij aankomst kan depinnen. • Opdat de laatst toekomende domeinwand de eerste gepinde domeinwand in alle omstandigheden kan depinnen, moet de stroomdichtheid voldoende groot zijn. In onze simulaties is dit voor stroomdichtheden tussen 12 e12Am−2 en 13 e12Am−2 .

5.6 5.6.1

Gebogen nanodraden Inleiding

Gebogen nanodraden zijn essentieel indien we complexe combinaties van digitale componenten willen maken. Opdat deze gebogen nanodraden een optimale werking vertonen bij een zekere stroomdichtheid J ≤ JW , is het noodzakelijk dat de transversale domeinwanden niet gepind geraken en dat hun domeinwandpolariteit steeds behouden blijft. Bovendien is het gewenst om de ruimte die de gebogen nanodraden innemen zoveel mogelijk te beperken zodat de tweedimensionale oppervlakte zo efficiënt mogelijk benut wordt.

5.6.2

Bespreking van de simulaties

Om de invloed van gebogen nanodraden op de beweging van de domeinwanden na te gaan, bestuderen we een cirkelboog met een middelpuntshoek van 90◦ en met parameters gedefinieerd in Figuur 5.24. We voeren nu simulaties uit waarbij we de straal R en de stroomdichtheid J variëren en waarbij zowel naar het gedrag van domeinwanden met een positieve polariteit als naar het gedrag van domeinwanden met een negatieve polariteit wordt gekeken. Indien nu de combinatie van parameters R en J zowel de domeinwand met positieve polariteit als de domeinwand met negatieve polariteit door de bochtstructuur doet bewegen met behoud van hun polariteit, is onze bochtstructuur een goeie geometrie voor die grootte van de stroomdichtheid. In Tabel 5.6 worden de resultaten van deze simulaties samengevat. Uit de simulaties volgt nu volgend verband: hoe groter R, hoe groter het bereik van stroomdichtheden [Jmin , Jmax ]


117

Figuur 5.24: Definitie parameters in bochtstructuur. We gaan uit van een bochtstructuur met materiaalparameters en geometrische parameters uit Tabel 3.1. De onderste wand van deze bochtstructuur kan worden beschreven als een cirkelboog van 90◦ met straal R. Door deze bochtstructuur wordt een stroom met stroomdichtheid J gestuurd om domeinwanden van de ene kant naar de andere kant te transporteren.

waarvoor de domeinwanden het gewenste gedrag vertonen indien ze door de bocht bewegen. De domeinwand komt echter vast te zitten in de bochtstructuur indien de stroomdichtheid J < Jmin bij een vaste R. De domeinwand pint dan aan e´ e´ n van de artificiële pinningsites, gecreëerd door de stapsgewijze discretisatie van de nanodraad. Alhoewel deze stapsgewijze discretisatie niet overeenstemt met de realiteit, toont dit wel aan dat de DW beweging in een gebogen nanodraad afhankelijk is van de ruwheid van de nanodraad. Daarnaast doen we de observatie dat de domeinwandpolariteit voor geen enkele combinatie van R (700 nm ≤ R ≤ 1300 nm) en J (J ≤ 14 e12Am−2 ) verandert, toch niet in de veronderstelling van een perfecte nanodraad bij T = 0 K. We illustreren nog de beweging van een domeinwand doorheen een gebogen nanodraad met een aantal snapshots voor een domeinwand met positieve en negatieve polariteit bij een vaste J en R, zie Figuur 5.25.


118

Tabel 5.6: Tabel die aangeeft welke combinatie van parameters R en J, gedefinieerd in Figuur 5.24, de transversale domeinwanden door de bochtstructuur doet bewegen met behoud van domeinwandpolariteit.

R = 700 nm

R = 900 nm

R = 1100 nm

R = 1300 nm

J = 5 e12Am−2

/

/

/

OK

J = 6 e12Am−2

/

OK

OK

OK

7 e12Am−2 ≤ J ≤ 14 e12Am−2

OK

OK

OK

OK

Figuur 5.25: Snapshots van de beweging van een domeinwand door een gebogen nanodraad met R = 900 nm bij een stroomdichtheid J = 7 e12Am−2 , waarbij de parameters gedefinieerd zijn in Figuur 5.24. In (a) heeft de domeinwand een positieve polariteit, terwijl de domeinwand in (b) een negatieve polariteit heeft.

5.6.3

Conclusies

Indien we gebogen nanodraden in onze technologie willen introduceren op basis van de geometrie gedefinieerd in Figuur 5.24, zijn er een aantal belangrijke designregels waarmee rekening moet worden gehouden: • De ruwheid van de nanodraad moet zoveel mogelijk beperkt worden indien we domeinwanden doorheen de gebogen nanodraden willen transporteren bij zo laag mogelijke stroomdichtheden J.


119

• Hoe groter de straal R, hoe lager de minimale stroomdichtheid Jmin waarbij de domeinwand doorheen de gebogen nanodraad kan bewegen. Dit gaat echter ten koste van de compactheid (grotere bochten betekent meer ingenomen ruimte) en de snelheid (langere afstand die domeinwanden afleggen) van onze technologie.

EXPERIMENTELE OBSERVATIE VAN EEN DOMEINWAND MET MFM

120

Hoofdstuk 6

Experimentele observatie van een domeinwand met MFM 6.1

Inleiding

Om enige voeling te krijgen met experimenteel werk, wordt hier een experiment beschreven waarbij de vorm van een domeinwand in een nanodraad gevisualiseerd wordt door gebruik van MFM (Magnetic Force Microscopy). We bespreken eerst de procedure toegepast om het sample te maken en daarna wordt het experiment met de MFM kort besproken.

6.2

Aanmaak sample

Als substraat kiezen we voor een wafer gemaakt uit een e´ e´ nkristal van silicium. Op zo een wafer heeft zich een laagje siliciumdioxide gevormd door oxidatie. Met een diamantpen wordt deze wafer dan in kleinere stukken gesneden. Elk van die stukken is nu een sample. Door elk van die samples gelijkaardig te behandelen verkleinen we de kans dat we de volledige procedure moet herhalen indien we een fout maken. Vervolgens wordt van elk sample het laagje siliciumdioxide verwijderd door eerst het sample te bevochtigen, daarna in HF (waterstoffluoride) onder te dompelen en ten slotte de overgebleven HF en resten siliciumdioxide eraf te spoelen. Om al het overgebleven vocht van het sample te verwijderen wordt dan het wafer nog even opgewarmd bij een temperatuur T = 180◦C. Om gebruik te kunnen maken van e-beamlithografie om de geometrische patronen te de-

6.2 Aanmaak sample

121

finiëren, moeten we het oppervlak van het substraat van elk sample eerst bedekken met een dunne laag stralingsgevoelig materiaal, ook wel resist genoemd. Deze resist bestaat uit twee lagen. Eerst wordt een laag coMMA (co-methyl methacrylaat) op het substraat gespind, waarna we het sample bakken bij een temperatuur T = 180◦C gedurende een tweetal minuten om de resist hard te maken, zie Figuur 6.1(b). Nadien wordt een laag PMMA (poly-methylmethacrylaat) op de eerste resistlaag gespind, waarna het sample wordt gebakken bij een temperatuur T = 150◦C gedurende een 5-tal minuten, zie Figuur 6.1(b).

Figuur 6.1: Verschillende processtappen bij de aanmaak van het sample.

Om onze geometrische patronen over te brengen, maken we gebruik van e-beamlithografie zoals voorgesteld in Figuur 6.1 (c). Deze techniek, afgeleid van SEM (Scanning Elektron Microscopie), maakt gebruik van een gefocusseerde elektronenstraal voor extreem precieze patroondefinitie. Het schrijven van deze geometrische patronen gaat als volgt. Eerst definiëren we de geometrie in een computerprogramma, waarna het programma dit vertaalt in speci¨ fieke x- en y-coordinaten. Een digitaal signaal wordt gegenereerd en dit signaal wordt via een DAC (Digitaal-Analoog-Converter) omgezet in een analoog signaal zodat de spoelen (deflector) de elektronenbundel kunnen afbuigen om de gewenste delen te bestralen, zie ook Figuur 6.2. Na behandeling met de elektronenbundel, worden de samples ontwikkeld met als resultaat de situatie afgebeeld in Figuur 6.1(d). De extra laag PMMA zorgt ervoor dat er bijna geen onderetsing is, zodat de afmetingen van de geometrie behouden blijven na ontwikkeling. De volgende stap is de opdamping van Permalloy op het sample met behulp van e-beame-

6.3 Visualisatie domeinwand met MFM

122

Figuur 6.2: E-beam lithografie systeem. De lenzen zorgen voor de focussering, de blanking cell kan de bundel doorlaten of blokkeren en de deflector zorgt voor afbuiging, zie [15].

¨ getrokken wordt, vaporatie. Hiervoor leggen we het sample eerst in een kamer die vacuum dit om het opdampen te vergemakkelijken en om ervoor te zorgen dat enkel Permalloy op het materiaal wordt afgezet. Nadien genereert een verwarmingselement een elektronenbundel die moleculen losmaakt van een plaatje Permalloy. Deze moleculen worden afgezet op het sample. Dit heeft als gevolg dat het hele sample na een tijdje bedekt is met een laagje Permalloy, zie Figuur 6.1(e). Ten slotte is er de lift-off, waarbij aceton gebruikt wordt om het coMMA (en alles wat erop ligt) van het silicium substraat los te maken. Als elke stap goed verlopen is, hebben we nu een afgewerkt sample, zie Figuur 6.1(f).

6.3

Visualisatie domeinwand met MFM

Na de bereiding van het sample, willen we het het sample statisch karakteriseren met behulp van MFM. Een deel van de structuur die op het sample werd afgezet, wordt getoond in Figuur 6.3(a). De structuur gedefinieerd op het sample bestaat uit twee nanodraden, die onder een scherpe hoek met elkaar verbonden zijn, omdat domeinwanden typisch gecreëerd worden in hoeken. Deze domeinwanden zijn verbonden met twee veel grotere driehoekige stukken Permalloy. Oorspronkelijk was het de bedoeling dat deze stukken als elektrodes


123

zouden fungeren, zodat we door korte stroompulsen door deze elektrodes te sturen in staat zouden zijn om de beweging van een domeinwand in e´ e´ n van de nanodraden te observeren. Omwille van problemen bij de aanmaak van het sample, die niet volledig konden opgelost worden wegens tijdsgebrek, zijn we er niet toe gekomen om dit te doen. Toch hebben deze driehoekige stukken ook bij een statische karakterisatie hun nut, aangezien ze ons door hun specifieke vorm in staat stellen de relatief kleine nanodraden gemakkelijk terug te vinden onder de microscoop.

Figuur 6.3: Resultaten experiment met MFM. In (a) wordt de Permalloy structuur getoond die op het sample werd afgezet. In (b) wordt de topografie van een deel van e´ e´ n van de nanodraden gevisualiseerd. De hoge gebieden zijn ophopingen van Permalloy, wat ongewenst is. In (c) wordt een domeinwand (omgeven door een rode kader) gevisualiseerd. Deze domeinwand is gegenereerd in de hoek die beide nanodraden verbindt.

We leggen nu kort uit hoe een MFM werkt. De MFM is een variatie op de AFM (Atomic Force Microscope), waarbij een scherp gemagnetiseerde tip het sample scant. De tip-sample magnetische interacties worden gedetecteerd en gebruikt om de magnetische structuur van het sample-oppervlak te reconstrueren. In MFM berekeningen wordt de magnetische kracht tussen het sample en de tip uitgedrukt als F = µ0 (m · ∇)H

(6.1)


124

waarbij m het magnetische moment van de tip is (benaderd als een dipool), terwijl H het magnetische strooiveld van het sample-oppervlak voorstelt. Omdat het strooiveld van het sample de magnetische toestand van de tip kan be¨ınvloeden, en omgekeerd, ligt een interpretatie van de MFM-meting niet voor de hand. Om iets te weten te komen over de magnetisatie van een welbepaald oppervlak, scant de tip twee keer hetzelfde oppervlak. De eerste scanning is in tapping mode, waarbij de topografie van dit oppervlak bepaald wordt. De tweede keer dat de tip het oppervlak scant is in lift mode. Uit de faseverschuiving gemeten t.o.v. de eerste scanning kunnen we dan de magnetisatie van dit oppervlak bepalen. Uit Figuur 6.3(b) blijkt dat de afzetting van Permalloy op het substraat niet zo goed gelukt is. Op de randen van de nanodraad zijn ophopingen van Permalloy, wat ongewenst is. Toch zijn we erin geslaagd om de magnetisatie van een domeinwand te visualiseren, zoals getoond in Figuur 6.3(c). Op basis van deze figuur is het onduidelijk of we nu te maken hebben met een vortexstructuur of met een transversale domeinwand. Deze onduidelijkheid is te wijten aan de ongewenste ophopingen van Permalloy in de hoek die de twee nanodraden verbindt.

ALGEMENE CONCLUSIES EN SUGGESTIES VOOR VERDER ONDERZOEK

125

Hoofdstuk 7

Algemene conclusies en suggesties voor verder onderzoek Spintronica is een relatief nieuw en dynamisch onderzoeksgebied waarin specifieke magnetische materiaaleigenschappen op sub-micrometerschaal worden onderzocht teneinde een nieuwe generatie ICT componenten te ontwikkelen zoals voor logische operaties en operaties op het (digitaal) geheugen. In magnetische nanodraden met gereduceerde afmetingen worden de magnetische domeinen gescheiden door domeinwanden met een specifieke polariteit, waaraan de digitale waarde 0 of 1 kan worden toegekend. Op die manier kan de domeinwand beschouwd worden als een digitale bit. Deze magnetische domeinwanden kunnen worden verplaatst, hun polariteit kan worden omgedraaid (0 wordt 1 en 1 wordt 0) en ze kunnen gecombineerd worden door magnetische velden en/of elektrische stromen aan te leggen in specifieke geometrieën. Deze opmerkelijke eigenschappen brengen ons bij het doel van deze thesis, namelijk de ontwikkeling van een nieuwe digitale technologie op basis van de domeinwandpolariteit als digitale bit. Dit werk kan aanleiding geven tot toekomstige logische componenten en geheugencomponenten die in verschillende aspecten de bestaande schema’s, waarin de magnetisatierichting van de domeinen in plaats van de domeinwanden gebruikt wordt om de digitale informatie voor te stellen, overtreffen. Het ontwerp van de digitale componenten gebeurde met behulp van het in de UGent ontwikkeld softwarepakket MuMax, waarin de micromagnetische vergelijkingen numeriek worden opgelost. Deze liggen aan de grondslag van de dynamica van magnetische velden in de nanodraden. De vergelijkingen zijn gebaseerd op de micromagnetische theorie die de

7.1 Algemene conclusies

126

macroscopische wetten van Maxwell verzoent met de wetten van de kwantummechanica.

7.1

Algemene conclusies

Om onze componenten te ontwikkelen werd eerst de invloed van de materiaalparameters onderzocht op de beweging van domeinwanden. Hieruit blijkt dat zowel het 1D model (bijna in alle gevallen) als de micromagnetische theorie kunnen gebruikt worden om de domeinwandmobiliteit te verklaren in functie van de verschillende parameters. Een opmerkelijk resultaat is dat onder de Walker breakdown de invloed van de parameters op de beweging van de domeinwanden volledig kan begrepen worden op basis van de invloed die de parameters hebben op de maximale uit het vlak gerichte magnetisatiecomponent van deze domeinwanden. We zijn erin geslaagd om alle componenten te ontwerpen op basis van elektrische stromen alleen. Een opmerkelijk resultaat is dat op basis van de simulaties alle hier ontwikkelde componenten compatibel zijn indien de stroomdichtheden J, die de beweging van de transverh i sale domeinwanden in de nanodraden veroorzaken, in het interval 12 e12Am−2 , 13 e12Am−2 gelegen zijn. Alhoewel deze stroomdichtheden zeer groot zijn, biedt dit toch vooruitzichten op een technologie die volledig werkt op basis van de domeinwandpolariteit als digitale bit. We merken hierbij nog op dat het onderzoek naar het magnetische racetrackgeheugen zich ook richt op het vinden van materialen waarin lagere stroomdichtheden reeds aanleiding geven tot domeinwandverplaatsingen, waardoor doorbraken binnen dit onderzoeksterrein ook meteen een doorbraak zijn voor de concepten ontwikkeld in deze thesis. Uit de designregels wordt duidelijk dat de besproken ontwerpen van het schrijfelement, de NOT-poort en gebogen nanodraden waardevolle ontwerpen zijn, niet alleen omdat ze eenvoudig en robuust zijn, maar omdat ze bovendien de ruimte bieden om op verschillende manieren gerealiseerd te worden. De designregels opgesteld voor de splitter en de ANDpoort bieden vooruitzichten, maar het enthousiasme wordt hier sterk getemperd omdat de componenten voorlopig enkel werken (op basis van de simulaties) bij stroomdichtheden J groter dan of gelijk aan 12 e12Am−2 en er vermoedelijk nog onderzoek dient te worden verricht naar tal van domeinen met betrekking tot mogelijke realisaties.

7.2 Suggesties voor verder onderzoek

7.2

127

Suggesties voor verder onderzoek

Er is nog veel ruimte voor verder onderzoek op basis van de resultaten van deze scriptie. De bevindingen in deze scriptie zouden onderzoek op theoretisch vlak, op het vlak van simulaties alsook op experimenteel vlak kunnen bevorderen. Om de hier ontwikkelde technologie als een volledige technologie te kunnen beschouwen, moet er nog een concept worden uitgedacht voor de realisatie van een leeselement. Bovendien is er nog ruimte voor verbetering van de concepten ontwikkeld voor de AND/ORpoort en de splitter. De verbetering zou dan vooral moeten gericht zijn op het verlagen van de minimale stroomdichtheden waarbij deze componenten kunnen werken. Nog een belangrijk iets dat we moeten vermelden is dat de invloed van het stroomprofiel op de pinningsites in de AND-poort verwaarloosd is. De invloed hierop hangt wel sterk af van de technologische uitvoering van die pinningsites en verder onderzoek kan dan misschien best gecombineerd worden met experimenteel onderzoek. Verder zouden er nu meer realistische simulaties kunnen gedaan worden die een eindige temperatuur, het Joule-effect, defecten in de nanodraden, onregelmatigheden in de structuur ... in rekening brengen. Op basis van deze simulaties kunnen dan misschien nieuwe designregels opgesteld worden, die kunnen helpen bij de realisatie van de hier ontwikkelde concepten. Ook kan experimenteel werk verricht worden waarin kan worden onderzocht of de hier ontwikkelde concepten technologisch haalbaar zijn. Parallel met dit onderzoek kunnen concepten ontwikkeld worden om dezelfde componenten te realiseren met andere materialen dan Permalloy. Misschien kunnen dan efficiëntere ontwerpen worden voorgesteld.

BIBLIOGRAFIE

128

Bibliografie [1] A Vansteenkiste and B Van de Wiele. Mumax: a new high-performance micromagnetic simulation tool. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 323:2585–2591, 2011. [2] D A Allwood, G Xiong, C C Faulkner, D Atkinson, D Petit, and R P Cowburn. Magnetic domain-wall logic. Science, 309:1688–1692, September 2005. [3] S S P Parkin, M Hayashi, and L Thomas. Magnetic domain-wall racetrack memory. Science, 320:190–194, April 2008. [4] Zhi-Sheng Ye, Min Xie, and Loon-Ching Tang. Reliability evaluation of hard disk drive failures based on counting processes. Reliability Engineering & System Safety, 109:110– 118, January 2013. [5] B Van de Wiele. Numerical Study of Magnetic Processes: Extending the Landau-LifshitzGilbert Approach from Nanoscale to Microscale. PhD thesis, Ghent University, 2010. [6] J M D Coey. Magnetism and Magnetic Materials. Cambridge, 2. [7] P Clauws and H Vrielinck. Vastestoffysica en Halfgeleiders I, chapter 1. Ghent University, 2010. [8] B Van de Wiele, L Laurson, and G Durin. The effect of disorder on transverse domain wall dynamics in magnetic nanostrips. Phys. Rev. B, 86(144415):1–5, 2012. [9] 0 Boulle, G Malinowski, and M Kläui.

Current-induced domain wall motion in

nanoscale ferromagnetic elements. Materials Science and Engineering R, 72:159–187, June 2011. [10] G Tatara, H Kohno, and J Shibata. Microscopic approach to current-driven domain wall dynamics. Physics Reports, 468:213–301, November 2008.

BIBLIOGRAFIE

129

[11] A Thiaville and Y Nakatani. Domain-wall dynamics in nanowires and nanostrips. Applied Physics, 101:161–205, 2006. [12] A Thiaville, Y Nakatani, J Miltat, and Y Suzuki. Micromagnetic understanding of current-driven domain wall motion in patterned nanowires. Europhys. Lett., 69(6):990– 996, 2005. [13] A Mougin, M Cormier, J P Adam, P J Metaxas, and J Ferré. Domain wall mobility, stability and walker breakdown in magnetic nanowires. Europhys. Lett., 78(57007):1–6, June 2007. [14] G S D Beach, M Tsoi, and J L Erskine. Current-induced domain wall motion. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 320:1272–1281, 2008. [15] J Vanfleteren. Lithografie. Ghent University, 2012.

Spintronica: ontwikkeling van domeinmuur gebaseerde magnetische opslagmedia en digitale logica

Recommend Documents