= Elektrische en magnetische velden

(2 .36)

e=--

Het gaat hierbij om een lus, die niet in een plat vlak behoeft te liggen. De flux, die door het oppervlak van de lus gaat, is

voorbeeld 2.2 Zie figuur 2.22. Om een oneindig lange spoel, waardoor een veranderlijke stroom i vloeit, is een cirkelvormige, gesloten draad aangebracht.

i

Fig. 2.22.

De in die draad ontstane inductiespanning is d
nJ.1A di I dt

e=---=--- -

De inductie spanning ontstaat hier door verandering van de sterkte van het magnetische veld.

voorbeeld 2.3 In een homogeen magnetisch veld bevinden zich twee evenwijdige koperen draden, zie figuur 2.23. Loodrecht op die draden schuift men een tweede geleider g naar rechts. De flux door de lus acdb wordt groter, zodat er in die lus een inductie spanning wordt opgewekt. Heeft de geleider g de snelheid v, dan zal in de tijd dt een afstand ds worden afgelegd volgens

~

-

-

-

--~--

-

~

- - - -

-

-

-

~-

57

Fig. 2.23.

ds dt

v=-

de toename van de flux is d = Blds, zodat d

lel

=

l-dTl ,

lel

= Blv

dus (2.37)

De inductiespanning ontstaat hier door verandering van de oppervlakte. De polariteit vindt men door te bedenken, dat de optredende inductiestroom bij gesloten geleidende lus, de toename van de flux tegenwerkt. In de lus acdb zou, als ab gesloten was door een geleider, de stroom vloeien van d naar c. Hieruit concluderen we, dat bij open einde ab de inductiespanning Dab positief is. Een andere redenering is de volgende. In de draad cd bevinden zich vrije ladingen, waarvan we aannemen, dat ze positief zijn. Eén zo'n lading met snelheid v loodrecht op B ondervindt een kracht F volgens (2.22) en is dus van d naar c gericht. De positieve ladingen worden naar a 'gestuwd', waardoor a positief wordt t.O.V. b.

2.12. De spanningswet van Kirchhoff Formule (2.36) geeft de inductiespanning in een (gesloten) lus. De gefuduceerde elektrische veldsterkte is E, zodat ontstaat: - d pE-ds = -dt- .

(2.38)

Merk op , dat voor d/dt = 0 formule (1.20) ontstaat. We beschouwen het netwerk van figuur 2.24. De verbindingsdraden tussen de verschillende netwerkelementen beschouwen we weerstandsloos. We nemen aan, dat de spanningsbronsterkte een functie van de tijd is. In de bron, de weerstand en de condensator is een elektrische veldsterkte, gericht van plus naar min. De draden, verbonden aan punt e gaan naar een niet nader gepreciseerd netwerk~ ,

58 R

D.

c

fil

b

+

u

u

+

R

2

W

+

ge

a

Fig. 2.24.

deel, zodat in het algemeen i1 Voor de bron geldt

*' i

2

.

b __

f

Fi

E-ds = - u ;

W

a

b:

voor de weerstand geldt

(I dl D
voor de condensator geldt

SI

Ir

T

In de spoelen wordt een inductiespanning opgewekt. Toepassen van (2.38) op de lus abcdea levert op: - u

v;

d

Er volgt (2.39)

mits Ll en L 2 constant zijn. Algemeen

a

I

~ urn = rn = l

0,

(2.40)

waarin I het aantal takken in een lus is.

F

I

V Fig. 2.25.

~--

-

~

-

-

-

---

59 Dit is de spanningswet· van Kirchho[[, die vaak met indices wordt genoteerd, zie figuur 2.25.

2.13. De spoel als netwerkelement We beschouwen de spoel nader. In figuur 2.26 is in perspectief een cirkelvormig gebogen geleidende draad getekend, aangesloten op een spanningsbron. i

Fig. 2.26.

We nemen aan, dat de weerstand van de draad nul is. Verder is een spanningsbron e getekend, die de in de draad opgewekte inductiespanning erepresenteert. (Deze inductie-spanning is in werkelijkheid niet geconcentreerd in e, maar verdeeld langs de gehele draad). De draad kan worden opgevat als een spoel met zelfinductie L, waarvoor geldt q> '= Li. De spanning u en de stroom i 'horen bij elkaar', d.w.z. de stroom gaat door de spoel van plus naar min. De magnetische veldsterkte is rechtscyclisch gekoppeld met de stroomrichting. Tenslotte horen ook e en i bij elkaar, d.w.z. i vloeit door de spoel van de plus Van e naar de min. We vinden nu met de spanningswet van Kirchhoff: u+e=O Met

d
e= - dt

en


vinden we

di u=Ldt

(2.41)

als L constant is. Het symbool van de spoel is in figuur 2.27 getekend .

Fig. 2.27 .

Bestaat de spoel uit meer dan één winding, dan wordt de omvatte flux groter. We krijgen dan te maken met de gekoppelde flux. De inductiespanning is dan

60 eveneens d e= - dt waarin nu de gekoppelde flux is. Formule (2.41) is daarmee geldig voor elke spoel; in de netwerktheorie wordt hij als definitie voor een spoel gehanteerd.

2.14. De permanente magneet Magnetische veldlijnen zijn in zichzelf gesloten (zie paragraaf 2.9). Ook bij een permanente staafmagneet (zie figuur 2.28) hebben we gesloten veldlijnen. Het magnetische veld ontstaat binnen in de materie door circulerende elektronen in geordende configuratie. Het gebied, waar de veldlijnen de magneet verlaten, noemen we de noordpool (N), waar de veldlijnen de magneet binnentreden, heet zuidpool (Z). Binnen de magneet lopen de veldlijnen van Z naar N, buiten de magneet lopen de veldlijnen van N naar Z. De beide polen vormen een paar, dat niet te scheiden is. Breekt men een staafmagneet doormidden, dan ontstaan twee staafmagneten, die elk: weer een noorden een zuidpool bezitten.

Fi

H

w M

w

k,

F

D

h: k:

st al

0: Fig. 2.29.

Fig. 2.28.

De elektromagneet van figuur 2.29 veroorzaakt een magnetisch veld, dat overeenkomst vertoont met het veld van een staafmagneet. Om een staaf ijzer is een wikkeling aangebracht. Vloeit er een stroom I door deze wikkeling, dan ontstaat een veldlijnenbeeld, dat analoog is aan dat van een permanente staafmagneet.

2.15. De magnetische dipool We plaatsen nu een rechthoekig gebogen geleider, waarin een stroom I vloeit, in een homogeen magnetisch veld met sterkte H, zie figuur 2.30.

F

Dan is

C f

FH = IBI,

met B

= pH,

terwijl I de lengte van de geleider loodrecht op het tekenvlak is.

~

r

~

- -- -

-

--

61

H

Fig. 2.30.

Het koppel is T = FHbsina = I1HIlbsina T = I1IAHsina ,

(2.42)

waarin A = bi de oppervlakte van de winding is. Men noemt m het magnetische moment van de winding. Er geldt

m=

I1IAÏÏ,

(2.43)

waarin n de normaalvector op het oppervlak van de winding is, rechtscyclisch gekoppeld met I. Dus

T = m x H.

(2.44 )

Formule (2.43) staat bekend als de regel van Weber. Deze formule blijkt ook geldig voor andere vormen van de lus dan de hier behandelde rechthoek. Dit is wel aannemelijk, omdat elke lus van willekeurige vorm kan worden opgedeeld in een groot aantal rechthoekjes, zie figuur 2.31. De 'maasstromen' I in de zijden van de binnenste rechthoekjes heffen elkaar op, zodat er alleen een stroom I in de rand is. De maastromen veroorzaken een dipoolbelegging op het oppervlak van de winding.

~

r--....

./ (

\

11"J

\

)

\

"

"-

Fig. 2.31.

V ~

V

--Fig. 2.32.

Ook een staafmagneet kan worden opgevat als een dipool met sterkte m. Zie figuur 2.32. Men kan zich voorstellen, dat het koppel ontstaat door de krachten FN en F z op respectievelijk de noordpool en de zuidpool. Dan geldt

62

D

T = FNlsina.

ae

Ï11

Met T = mHsina volgt

0

st A Ze

mH

FN = -1-' Men kan de poolsterkte invoeren met

m= I,

z(

(2.45 )

H H

zodat volgt FN = H en algemeen

F=

(2.46)

ÏÏ.

Merk de overeenkomst op met formules uit de elektrostatica. De overeenkomst kan nog worden uitgebreid door beschouwing van figuur 2.10. Plaatsen we een magnetische noordpool in het punt, waar we dH hebben bepaald, dan is er volgens (2.46) een kracht dF = dH op die noordpool. Omgekeerd zal er een kracht -dH door die noordpool op het lijnstukje dl worden uitgeoefend (naar voren dus). Die kracht is op te vatten als een kracht, uitgeoefend op de geleider dl met stroom I in een magnetisch veld "8, waarbij "8 afkomstig is van de noordpool . We hebben dus - dH = Idl x B en dus met toepassing van Biot Savart: I - - -3 dl x R = I dl x B 4nR

"k

I r

Is R de vector gaande van de pool naar het beschouwde punt, dan is R

(2.47)

B=--. 4nR 3

We merken hier nogmaals op, dat magnetische polen uitsluitend in paren voorkomen.

2.16. Diamagnetisme De elektronen, die om de kernen van de atomen circuleren, kunnen we populair voorstellen door een elektrische stroom I in een weerstandsloze draad, zie figuur 2.33. I

Fig. 2.33.

IJ

v r,

R

B= - - - . 4nR 3

-

2

IJ 1

zodat -

o R t o

63 De richting van I is niet belangrijk . Leggen we nu een uitwendig magnetisch veld aan (dat dus van nul af toeneemt tot een bepaalde eindwaarde), dan wordt er in de lus een elektrische veldsterkte geÜlduceerd, waarvan de richting in de lus overeenkomt met de links-cyclische beweging. Het gevolg daarvan is een inductiestroom i, die het veld verzwakt. A nders gezegd: het aanleggen van een magnetisch veld in een materiaal veroorzaakt een verandering in de snelheid van de elektronen in hun banen en wel Zodanig, dat het uitwendig veld wordt verzwakt. Het veld is dus zwakker dan wanneer in plaats van materie vacuum was genomen. Het resultaat is (2.48)

,t

Dit verschijnsel heet diamagnetisme en treedt op in alle materie. Vaak echter overheerst het paramagnetische of het ferromagnetische effect. Relatief sterk diamagnetisch zijn : bismuth, koper, goud. De relatieve permeabiliteit van deze materialen ligt een bedrag van de grootteorde 10- 5 onder de waarde 1.

2.17. Paramagnetisme In sommige stoffen circuleren de elektronen om denkbeeldige assen, die evenwijdig of nagenoeg evenwijdig zijn. Zo ontstaan er van nature in de materie kleine staafmagneetjes. In figuur 2.34 is zo'n inwendig magneetje getekend en wel in twee toestanden. Links is de toestand zonder uitwendig veld, rechts de situatie met uitwendig veld. Bij het aanleggen van een magnetisch veld draait het magneetje in de richting van het veld, waarbij het aangelegde veld in de materie wordt versterkt. Het veld van de miljoenen staafmagneetjes sluit zich buiten het materiaal. Het resultaat is Jlr

> 1.

(2.49)

ïi

H

z zonder uitwendig veld

met uitwendig veld

Fig. 2.34.

2.18. Ferromagnetisme Voor de techniek van grote betekenis zijn materialen, waarbij de inwendige magneetjes zeer sterk zijn gericht. Dit treedt op in - onder andere - ijzer, cobalt en nikkel. We beschouwen figuur 2.35. De getekende kern met cirkelvor-

64

Fig. 2.35.

mige doorsnede is van ijzer. We nemen aan d Voor de gestippelde lus geldt: §HodZ

=

~

R.

nl,

waarin n het aantal windingen is, dus nl H = 27TR. De elektrische veldsterkte is dus recht evenredig met de stroom door de wikkeling. Het verband tussen de magnetische fluxdichtheid en de magnetische veldsterkte wordt gegeven door

waarin I1r niet constant is, zie figuur 2.36. Men noemt deze functie de hysteresisZus. I1r hangt zelfs af van de voorgeschiedenis! Men noemt dit verschijnsel hysterese. We beginnen met ongemagnetiseerd ijzer en een stroom I = O. Daarmee is H = O. Neemt I toe, dan neemt H toe. Daarmee wordt B groter. Door de richtende werking van de inwendige magneetjes Uuister: magneculen of gebiedjes van Weiss, die vele gerichte magneetjes omvatten), neemt B meer dan lineair toe. Wordt H nog groter, dan wordt de toename van B kleiner; op den duur is er verzadiging (alle magneetjes gericht). B neemt dan toe alsof we met vacuum te maken hadden. Gaat men nu H weer kleiner maken, dan neemt B niet af tot de vroegere waarde: sommige magneetjes behouden hun verkregen richting (hysterese).

~

H

Fig. 2.36.

-

s-

I.

Ig

en · e:

~

-

65 Als H = 0 is de magnetische fluxdichtheid Br' Men noemt dat remanent magnetisme. We hebben een permanente magneet gekregen. Maken we H toenemend negatief (door de stroomrichting om te keren en de stroomsterkte te vergroten) dan wordt B kleiner, vervolgens ontstaat een negatieve B en tenslotte weer verzadiging. Laten we H weer afnemen en na de nuldoorgang weer toenemen, dan ontstaat de gesloten kromme. Voor H = He (coërcitiviteit) is B = O. Merk op, dat de zogenaamde aanloopkromme niet meer doorlopen wordt.

Men kan een materiaal geheel ontmagnetiseren met wisselstroom door een wikkeling er omheen, waarbij men de amplitude geleidelijk verkleint. De hysteresislussen worden dan steeds kleiner en hebben de oorsprong als limiet. Het product Y2BH is de energie per m 3 (zie de volgende paragraaf), dus het oppervlak van de hysteresislus is een maat voor de zogenaamde hysteresisverliezen bij wisselstroom. Deze ontstaan door het heen en weer magnetiseren, waardoor warmte ontstaat. Samen met de wervelstroom verliezen (die in het ijzer ontstaan door inductiestromen) vormen ze de ijzerverliezen. De wervelstroomverliezen kan men reduceren door in plaats van massief ijzer elektrisch van elkaar geïsoleerde plaatjes ijzer op te stapelen (lamellen). Houden we een stukje ijzer in de buurt van een magneet, dan wordt het gemagnetiseerd. In plaats van B = pH schrijft men wel

B = po(R + hl);

hl

(2.50)

heet magnetische vector. IMI = M heet magnetisatie.

2.19. De energie van het magnetische veld We beschouwen de toroïde van figuur 2.35 en nemen aan, dat R groot is en de straal van de cirkelvormige windingen klein. Met twee tegengesteld gewikkelde lagen koperdraad met kleine spoed om de kern van de toroïde is dit een praktische benadering van een oneindig lange spoel (par. 2.10). We sluiten op de wikkeling een stroombron aan, waarvan de sterkte in tI seconde van 0 tot I aangroeit. De spanning over de spoel is dan u = Ldi/dt en de geleverde arbeid tI

W=

J o

uidt

W = !LI 2 2

tI

·

1

0

dt

0

= J L~idt = L Jidi = !. LI 2 . 2

(2.51)

Deze arbeid is opgehoopt in het magnetische veld, dat buiten de spoel nul is en binnen de spoel homogeen. De eenheid van BH (het product van magnetische flux dichtheid en magnetische veldsterkte) is joule/m 3 , zodat moet gelden W = kBH vol, waarin we k zullen bepalen. Is de doorsnede van de spoel A, de lengte I (= 27TR), het aantal windingen n,

66 dan is vol = Al, zodat met H = nI/i, B = IlH en L = Iln 2 A/i volgt W = kllH2 Al = klln 2 A/I = kLe, zodat op grond van (2.51) volgt k = 'h..

e

De energie -dichthe id is derhalve

(2 .52) Omdat elke winding gelijkwaardig is, geldt deze formule ook voor één enkele winding . Verder blijkt deze formule ook geldig te zijn voor andere vormen van de winding dan de cirkelvo rm. Tenslot te kan men stellen, dat de formule geldig is voor elk magnet isch veld , omdat zo'n veld in feite afkoms tig is van kringstr omen.

2.20. De formule van Hopkinson We beschou wen figuur 2.37. H

~

I

-

d l---A.-,-.....

Fig. 2.37.

Dit is een elektrom agneet met een los anker. We veronde rstellen , dat de doorsne de in het gehele circuit A is, A is constan t. Verder nemen we aan dat de lek nul is (lek is het deel van de flux, dat niet door alle winding en wordt omvat). Voor de stippell ijn vinden we

pH·dl

= nI.

Hieruit volgt H·2d + Hyly = nI, hierin is d de hoogte van de luchtsp leet, ly de totale ijzerlen gte, H de veldster kte in de luchtsp leet en Hy de veldster kte in het ijzer. Het totale aantal winding en is n. Er volgt, omdat de magneti sche fluxdich theid in het ijzer en de luchtsp leet gelijk is (Bn is doorlop end):

B( 2d + l ) = nI. Ilollo llr

De magneti sche flux in het circuit is = BA, dus (2.53)

67 Noemen we de magnetische weerstand van het circuit

=~ +_l_y_

R

JloA

m

JloJlrA'

(2.54 )

dan volgt met (AW) = nl, het aantal ampère-windingen: if..

= (AW)

'i'

R

(2.55)

.

m

Deze formule noemt men wel de wet van Ohm voor magnetisme of de fomule van Hopkinson. Merk de overeenkomst op tussen (2.54) en (2.10). We bepalen nu de draagkracht van een dergelijke elektromagneet. Als Jlr ~ 1, is de magnetische veldsterkte in het ijzer klein ten opzichte van de veldsterkte in de luchtspleet. De energie van het systeem is dan geconcentreerd in de luchtspleet. Trekken we het anker met een kracht F over een zeer kleine afstand Lh naar beneden, ' dan is de vermindering van de magnetische energie

dus flW = JloJlr H2 flxA. Anderzijds is flW

=

Fflx, dus 2

F = JloJlr H A.

(2.56)

Hierin is H de veldsterkte in de b.lchtspleet en Jlr de relatieve permeabiliteit van het ijzer bij de gebruikte stroom I.

2.21. Het skin-effect

e

Bij gelijkstroom zal de stroom nagenoeg homogeen verdeeld zijn over de doorsnede van de geleider. De magnetische veldsterkte is daardoor binnen de geleider lineair als functie van de afstand tot de middellijn (bij een cirkelvormige doorsnede), zie figuur 2.38.

k

Fig. 2.38.

68 De veldsterkte E, die in de geleider de stroom I veroorzaakt, is naar boven gericht. De veldsterkte H ter plaatse van het getekende cirkeltje is naar achteren gericht en heeft de gemiddelde waarde Hl over de oppervlakte van dat cirkeltje. Neemt E toe, dan is er een toename van I. Daardoor wordt Hl' en daarmee de magnetische flux, door het cirkeltje groter. In het cirkeltje wordt een elektrisch veld geihduceerd Ü ind ), waarvan de richting linksom is. De oorspronkelijke elektrische veldsterkte wordt dus aan de binnenkant tegen-, aan de buitenkant meegewerkt. Het resultaat is, dat de stroom bij de hartlijn kleiner en aan de rand van de geleider groter is. Dit effect zal sterker zijn als de toenamesnelheid van E groter is, met andere woorden: deze zogenoemde stroomverdringing is sterker naarmate de frequentie hoger is. Bij zeer hoge frequenties zal alleen de huid (skin) van een geleider stroom voeren. De weerstandstoename van een koperdraad met een straal van 1 mm is bij 10kHz reeds 10 %. Bij 1 MHz is de weerstand reeds 8 x zo groot als bij gelijkstroom! Is de draad omgeven door ijzer, zoals in elektrische machines vaak het geval is, dan is de weerstandstoename al meetbaar bij 50 Hz. Spoelen voor hoge frequenties maakt men van zogenaamd litze-draad. dat zijn in elkaar gedraaide, onderling geïSoleerde koperdraadjes. De werkzame oppervlakte wordt zodoende groter, de weerstand wordt lager dan bij massieve draad en de kwaliteit Q is groter. De moderne elektronica vermindert de noodzaak tot het gebruik van dit type draad.

2.22. De wetten van Maxwell We beschouwen de continuïteitsstelling (2.6):

Blijkbaar is aD/at op te vatten als een 'soort' stroomdichtheidsvector . Maxwell kwam zo op het idee deze zogenoemde verplaatsingsstroom naast de gewone stroom in te voeren. Zo ontstond de beroemde eerste wet van Maxwell:

- -

1H-dl = i

a - -

+ atffD-ndA.

(2 .57)

Uit de inductiewet e = - d/dt en uit e = 1E-d] en = fJB-ndA volgt de tweede wet van Maxwell:

1E-d] =

- g/fïhldA.

(2.58)

Merk de dualiteit in beide wetten op . Het ontbreken van een term in de tweede wet is een gevolg van het feit, dat er geen vrije magnetische polen zijn.

69

3. De differentiaalvorm van de wetten e. b.

r

te

3.1. Inleiding In de voorgaande theorie komen verscheidene wetten voor in de integraalvorm, zoals het theorema van Gauss, de regel van Ampère en de beide wetten van Maxwell. Het blijkt mogelijk om met behulp van de zogenaamde vectoranalyse (een belangrijk hoofdstuk uit de wiskunde) deze integraalvorm om te zetten in de differentiaalvorm. We geven hieronder een beknopte afleiding.

3.2. Nabla, divergentie en gradiënt Het theorema van Gauss in integraalvorm luidt:

iz

IrhïdA = Q. We passen deze wet toe op een balkje met ribben dx, dy en dz, zie figuur 3.1. y

,

kte D

x

dx

x

Fig. 3.1.

z

Stel: de omvatte lading binnen dit balkje is dQ en de totale oppervlakte is dA. Dan geldt îhidA = dQ.

(3 . 1)

ï)·iidA

(3.2)

Dus = pdxdydz,

waarin p de ruimteladingsdichtheid is. Stel: ter plaatse van het linkerzij vlak is de elektrische fluxdichtheid ï) en de X-component hiervan is Dx . Ter plaatse van het rechterzijvlak is deze component veranderd in, neem aan, De bijdrage

dQl = -Dxdydz + Dx'dydz. Nu is

D;.

dQl tot het linkerlid van (3.2) voor de beide gearceerde vlakken iS:

70 zodat aD dQ} = axx dxdydz . Evenzo aD dQ2 = a: dxdydz en dQ3 =

a~z dxdydz.

Hiermee vinden we -DondA aD X + __ aD y + __ aD z )dxdydz. * = ( __ ax ay az Zo ontstaat aD

aD

aDz

y X --+--+--=p ax ay az .

Definiëren we de 'nabla-operator' met -a - a - a V=i-+j-+kax ay az'

(3.3)

dan is blijkbaar VoD = p.

(3.4.a)

Men noemt dit de divergentie. Men schrijft daarom ook wel divD = p .

(3.4.b)

Merk op , dat Veen vector is. Formule (3.4) is het theorema van Gauss in differentiaalvorm. Met JJfPdvol = Q volgt verder JffVoOdvol = *ï5 ondA.

(3.5)

Formulé (3.5) is een hoofdstelling uit de vectoranalyse en wordt de stelling van Gauss genoemd. De betreffende vector (hier D) behoeft dan geen elektrische grootheid te zijn. Toepassingen van de vectoranalyse vindt men daarom ook in de aero- en hydrodynamica. Verder vinden we uit *f3oodA = 0: VoB = O.

( 3.6)

Ook hadden we (voor het elektrostatische veld) :

* Ter

wille van de eenvoud zijn hogere orde differentialen opgeschreven als eerste orde differentialen.

71

waarin E x = - 3V 3x + cyc 1·lSC h .

dV = - Ë'ds Met

volgt

Dus (3.7 .a)

E = -VVo Men noemt dit de gradiënt. Men schrijft daarom ook wel

(3.7.b)

Ë = -gradV

Merk op, dat div een bewerking is op een vector en grad op een scalar. Tenslotte volgt uit V'E= p/E de formule V'VV = -p/E. We schrijven dit als (3.8)

Dit is de formule van Poisson. Is er geen lading, dan is P = 0, dat wil zeggen: (3 .9)

Dit staat bekend onder de naam : formule van Laplace.

Opmerking. Omdat Veen vector is, zou men boven het symbool een streepje moeten plaatsen. Dit wordt echter nooit gedaan.

3.3. Rotatie We beschouwen nu

pH·di

=

i

en passen dit toe op een rechthoekje met zijden dx en dy in het x-y-vlak, zie figuur 3.2. H'

y

dy

x

l~ y

- --I

x

dx

z

Fig. 3.2.

t·,

y

I

x

72

Stel: de omtrek is dl en de stroom door het rechthoekje is di. We krijgen dan

IhIT = di.

( 3. 10)

Dus

ofwel:

Nu is H' _ H y

= aH y dx y

ax

en Hx '

H = aH Xd x ay y .

-

Dus -

-

aH ax

aH ay

aH ax

aH ay

H'dl = .:::.:Idxdy - =dxdy = (.:::.:I - =)dxdy.*

Nu is

waarin J z de z-component is van de stroomdichtheidsvector aH y ax

_

aH x = J ay Z'

J. Er volgt dus (3. 1 1. a)

Door cyclische verwisseling vinden we (dat zijn rechthoekjes in de andere vlakken): (3. 11.b)

(3. 11. c) De drie vlakjes kunnen we opvatten als projekties van een vlakje in een willekeurige stand in de ruimte. De drie vergelijkingen (3.11) geven tezamen het verband tussen de vector van de magnetische veldsterkte ter plaatse van het vlakje in de ruimte en de daar aanwezige stroomdichtheidsvector. Het verband is nogal ingewikkeld, omdat de partiële afgeleiden van de ontbondenen van de veldsterkte een rol spelen. De drie vergelijkingen (3.11) kunnen op een elegante wijze in één differentiaalvergelijking worden samengevat. Dit gebeurt met het uitwendig product van de vector V en de vector H. Allereerst merken we op, dat geldt:

* Zie

voetnoot op pag. 67 .

~ ~---------

-

73

en

H

= Hx1

+ Hyl + Hzk.

Per definitie geldt:

VxH

=

i

j

k

a ax Hx

a ay Hy

a az Hz

(3.12)

We schrijven het rechterlid van (3.12) uit: I( aHz _ aH y ) + I( aHx _ aHz ) + k( aH y _ aHx). ay az az ax ax ay We vinden zodoende

VxH

=

1.

(3 . l3 .a)

Men noemt dit de rotatie. Men schrijft daarom ook wel

rotH = 1.

(3.13 .b)

Voegen we de diëlektrische verplaatsingsstroom aD/at toe, dan ontstaat de eerste wet van Maxwell in differentiaalvorm: aD Vx H = J +at- .

(3 . 14)

De tweede wet van Maxwell in differentaalvorm wordt dus

-

a'S

Vx E = - -at .

(3 . 15)

Uit het bovenstaande volgt nog ff(V x H)·ï1dA = pH·dl.

(3.16)

Formule (3.16) is weer een hoofdstelling uit de vectoranalyse . Deze staat bekend als de stelling van Stokes. De vector hoeft dan niet noodzakelijkerwijs een magnetische veldvector te zijn.

74

4. Elektromagnetische golven 4.1. Inleiding Een niet-lineair, als functie van de tijd toenemend elektrisch veld heeft volgens de eerste wet van Maxwell een toenemend magnetisch veld tot gevolg, dat de elektrische veldlijnen omvat. Volgens de tweede wet van Maxwell wordt dit toenemende magnetische veld weer omgeven door elektrische veldlijnen, enz. Onder bepaalde condities breiden deze verschijnselen zich uit en zo ontstaan de zogenaamde elektromagnetische golven. Voorbeelden van dergelijke golven zijn licht, (stralings-)warmte, röntgenstralen, radar, radio. Het blijkt, dat deze golven zich voortplanten met een snelheid die nauw samenhangt met de permittiviteit € en de permeabiliteit /l van de omringende materie.

4.2. Rekenvoorbeeld We kiezen als illustratie elektromagnetische golven in een homogene omgeving (bijvoorbeeld: vacuum). Verder nemen we aan dat de ruimte ladingvrij is, dus 1=0

(4.1)

p = O.

(4.2)

'V'O = 0

(4.3)

'V.ï3 = 0

(4.4)

en Verder gelden

aD

'VxB =

(4.5)

at

-

as

'VxE = - -

(4.6)

at

(4.7)

en

B

=

/lB.

(4.8)

Hieruit volgt -

a at

-

a at

-

a at

aE' at'

'Vx('VxE) = - -('VxB) = - -J1( 'VxH) = - -€/l-

ofwel (4.9) Ook volgt _

a at

_

a at

,,-

a at

aH at'

'Vx('VxH) =-('V xD) =-€(vxE) = - - € / l -

met andere woorden:

_

a2H

'Vx('Vx H) = - €/laf'

Merk op, dat (4.9) en (4. 10) dezelfde vorm hebben.

(4.10)

75

We nemen nu aan, dat de elektrische veldsterkte alleen een component in de yrichting heeft: (4.11 )

E = EyJ en dat deze alleen afuangt van x en van t:

( 4.12)

We krijgen zodoende: ijk

vxE =

a ax

a ay

a az

o

Ey

0

'

dus E VXE=kaa ; .

( 4.13)

Nu is algemeen ( 4.14)

H = Hxl + HyJ + Hzk; dus met (4.6) en (4.8) volgt k aEy _

aH

ax - -Pat'

waaruit volgt aE y _ ax -

aHz

( 4.15)

-PTt

aH x 0= p __

( 4.16)

at 0

-

aHy

( 4.17)

-PTt .

We vinden, dat Hx en Hy geen functies zijn van de tijd. Verder geldt

Vx(VxË) =

i

j

k

a ax

a ay

a az

0

0

Tx

-; a 2 Ey = -Ja;(2

aE y

Daarmee wordt (4.9) :

a2 E a2 E €P--y = - - y at 2 ax 2

. '

( 4. 18)

76 De oplossing hiervan is: ( 4.19)

want dan is aEy ax = -,...Em cos( wt R

~x)

en

a2 Ey

-

ax2

= -~E

.

m

~sm(wt

~x) = -~

-

2

Ey

en aE a/ = wEmcos(wt - ~x) en 2

a Ey · - = -w 2 E m sm(wt at2

RX)

,...

= -w 2 EY'

Ingevuld in (4.18): -€f.1w 2E y = _~2E y

dus (4.20) Uit (4.15) en (4.19) volgt nu

-~Em cos(wt

-

~x)

= -f.1

aa~z ;

dus Hz = Hierin is Kl Er ontstaat

~Emsin(wt f.1w

= constant. H = z

Als Hz

-

~x)

+ Kl '

= 0 voor t = 0

L E sin(wt - ~x). f.1W m

en x

= 0,

is Kl

= O. (4.21)

Ey en Hz zijn beide golffuncties: de fase is dezelfde als t en x zodanig toegenomen zijn, dat wt -

~x =

0;

dus

ofwel I

v =

..j€ii.'

(4.22)

Hiermee hebben we de voortplantingssnelheid uitgedrukt in de eigenschappen van het medium.

~

~ ----------

77

Voor vacuum is

&

I

E

= Eo = -3-61(-'I-O~9

Vm

en

11 = Ilo = 41(' 10-

Vs Am .

7

Hieruit volgt

waarin c de lichtsnelheid is.

Opmerking: Men heeft Ilo = 41('10- 7 exact gedefinieerd. Uit de lichtsnelheid in vacuum (iets kleiner dan 3'10 8 mis) wordt dan EO bepaald. In figuur 4.1 is een schets gegeven van Ey = EyCx,t). Getekend zijn twee tijdstippen: t = 0 en t = ti' y

=

t

0

t

=

x

Fig. 4.1.

z

Op t = 0 is volgens C4 . l9):

Op t = ti is Ey

=

Em sinCwt l

-

(3x).

In figuur 4.1 is ti zo, dat wt l = 1(12; dus

Merk op:

4.3. De vector van Poynting In figuur 4.2 is een balkje getekend in een elektromagnetisch veld, dat zich voortplant met snelheid v. Als de zij-oppervlakte dA en de horizontale ribbe dx is, bevindt zich een energie dW = wdxdA

y

Fig. 4.2.

in het balkje. (De voortplantingsrichting komt overeen met de x-richting in de vorige paragraaf.) Hierin is w de energie in J/m 3 . Deze energie schuift voort in de richting van v. Is in de tijd dt de gehele energie-inhoud uit het balkje geschoven, dan passeert door dA een energie dW = vwdAdt. Nu is w = h(BH + ED).

(4.23)

In ons voorbeeld

Nu is (4.24)

Men noemt dit de golfweerstand. Daarmee wordt w = hE(E y2 + Ey2) = EE y' 2 dus vw

= vEE y2 = _l-EE v'eïi. y2 = v'If /i Ey2 = EyHz.

Op deze wijze blijkt het zinvol de vector

s= ExR

( 4.25)

in te voeren. Deze vector heet de vector van Poynting. Hij wijst in de richting van voortplanting van de elektromagnetische golf en heeft een absolute waarde gelijk aan het vermogen per 'loodrechte' vierkante meter.

79

s.

Vraagstukken

Waar niet anders vermeld, is de omgeving vacuüm en wordt de zwaartekracht buiten beschouwing gelaten. - 1. Gegeven de vectoren a =2i + 4j - 2k en b =3i - 3j - 3k. a. Bepaal a en b. b . Bepaal de hoek cp tussen a en b. c. Bepaal de normaal op het vlak van en b. d. Bepaal a·n en b·n.

n

a

a

2. Gegeven de vectoren = ii + 3j + 6k en b = 14i + 5J + 2k. a. Bepaal a en b. b. Bepaal de hoek cp tussen en b met behulp van het inwendige produkt. c. Bepaal ook die hoek cp met het uitwendige produkt.

a

3. Gegeven de vectoren a = 2i + 5j en b = 2j + 3k. a. Bepaal de vector c = a - b. b. Bepaal de hoek Cl tussen en b, ~ tussen ben en y tussen en c. Kies het vlak waarin a en b liggen als tekenvlak, teken de vectoren a, b en c enigszins op schaal en geef de hoeken Cl, ~ en y aan. Wat is het verband tussen die hoeken?

a

c a.

c

4. Een vector amaakt een hoek van 60 met de positieve x-as en eveneens een hoek van 60 0 met de positieve y-as. Bepaal de hoek die amaakt met de positieve z-as. 0

5. Gegeven de vector ä = axI + ayJ + lizk. a. Bepaal de hoeken die maakt met respectievelijk de x-as, de y-as en de z-as. Noem die hoeken respectievelijk Cl, ~ en y. b . Wat is het verband tussen die hoeken?

a

6. In een bol met straal R is de ladingsdichtheid p tot het middelpunt is. Bepaal de totale lading.

'=

2r 2 , waarin r de afstand

7. Op een vlakke ronde schijf met straal R bevindt zich aan één zijde lading met oppervlakte-ladingsdichtheid a = 7r, waarin r de afstand tot het middelpunt is. Bepaal áe totale lading. 8. Gegeven twee puntladingen: 3JlC en -7JlC. De onderlinge afstand is 2m. Bereken de elektrische veldsterkte midden tussen de ladingen. 9. Drie puntladingen van resp . 20, -10 en - IOJlC zijn op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 20 cm geplaatst. Bereken de elektrische veldsterkte in het zwaartepunt. 10. Een puntlading van 0,5C bevindt zich in de oorsprong van een rechthoekig assenkruis . Op de x-as bevindt zich op twee meter van de oorsprong een puntlading van - 2C. Bepaal de plaatsen op de x-as, waar de veldsterkte nul is.

80 11. Een dunne draad is cirkelvormig gebogen met straal R en is homogeen geladen. De lineieke ladingsdichtheid is À. Bepaal de veldsterkte op een afstand x van het middelpunt loodrecht op het vlak van de draadwinding. 12. Een positieve puntlading Q is in de oorsprong van een rechthoekig assenkruis geplaatst. Bepaal de elektrische fluxdichtheid als functie van de afstand R tot het middelpunt. Schrijf de vector ï5 als functie van de vector R. 13. Gegeven een rechthoekig assenkruis. In (-a,O) is een puntlading -Q. In (a,O) is een puntlading Q. Bepaal E in het punt P(O,b). Bepaal V in dit punt. 14. Gegeven een homogeen veld van 200 Vlm en twee punten A en B op één veldlijn op een onderlinge afstand van 4 cm. De veldsterkte is gericht van A naar B. Bepaal DAB en D BA . 15. Een bol met straal r is homogeen gevuld met lading. De totale lading bedraagt Q. Bereken

a. p b. D = f(R) als R de afstand tot het middelpunt is. Onderscheid R R < r en R = r. Geef een schets. c. V = f(R).

> r,

16. Maak vraagstuk 11 m.b.v. een potentiaal berekening. 17. Bereken van voorbeeld 1.4 (zie par. l.7) de veldsterkte Ex rechtstreeks (dus zonder een potentiaalberekening). 18. Men verbindt een geladen geleider van 100 pF met een ongeladen elektroscoop van 60 pF. Men meet 50 V. Hoe groot was de potentiaal van de geleider? Hoeveel lading is er overgestroomd? 19.

lpC

A

B

-2pC

o~-rlm------~---lrm----+---'l-m--~o

Bereken DAB. 20. Druk

EO

uit o.a. in farad.

21. Bereken de capaciteit van de aarde. 22. Bereken de capaciteit van een vlakke platencondensator met twee verschillende diëlektrica. Het scheidingsvlak is evenwijdig met de platen. De relatieve permittiviteiten zijn E) en E2. De dikten van de diëlektrica zijn d) en d 2. De afstand tussen beide geleidende platen is d) + d2. Randeffecten verwaarlozen.

23. Bereken de capaciteit van een concentrische bolcondensator.

81 24.

bolletje

Men laat het bolletje los. Bereken de snelheid, als het bolletje 1 m gedaald is.

30 gram 6 pC homogeen veld E = 2 103 Vlm g = 10 m/s2 0

25. Een veldlijn treft een isolator loodrecht. Hoe wordt de veldlijn gebroken? 26. Een veldlijn in vacuum treft een isolator met zeer grote Hoe wordt de veldlijn gebroken?

€r

onder 45°.

27. Bepaal de eenheid van QV en van DE. 28. Bereken de kracht op een elektron in een koperdraad van I m lengte en 1 mm 2 doorsnede, als de stroomsterkte 1 A is. 29. Bereken de onderlinge kracht tussen de vrije elektronen in koper. De onderlinge afstand wordt gesteld op 10-8 m. 30. De potentiaal rondom een geladen bol is V=-Q47T € R

met

Bepaal de veld componenten Ex' Ey en Ez. Bepaal E. 31. Tussen twee vlakke evenwijdige platen in vacuum is een spanning U. Een elektron (lading e, massa m) verlaat de negatieve plaat met snelheid nul. Bereken de snelheid, waarmee het elektron de positieve plaat treft. 32. Gegeven een rechthoekig assenkruis met een x- en een y-as. In de oorsprong bevindt zich een lading van +4 C, in het punt (3,0) is een lading van -5 C. Bepaal de puntenverzameling in het x-y-vlak, waarvoor de potentiaal nul is. Teken deze functie. 33. Een waterstofkern en een elektron vormen samen een dipool. De afstand is 10- 11 m. Bepaal het dipoolmomênt. Bepaal de potentiaal op l/lm afstand en loodrecht op de dipool. 34. Een elektrische dipool met een dipoolrnoment van 5 pCm is geplaatst in een elektrisch veld met een veldsterkte van 3 10 6 Vlm. Wat is het maximale moment op deze dipool? 0

35. Een dipool is zo geplaatst in een inhomogeen elektrisch veld, dat de vector langs een veldlijn valt. De richting van iJ is dezelfde als de richting van E. Hoe gaat de dipool bewegen?

p

36. Tussen de vierkante platen met zijde a van een vlakke platencondensator zijn twee verschillende diëlektrica aangebracht. Van de bovenste is de relatieve permittiviteit € l' van de onderste €2· De condensator is aangesloten op een gelijkspanningsbron U. Afstand tussen de platen is d.

82

d

L -_ _---/

+

_~-----.

U

a. Bepaal de veldsterkte en de fluxdichtheid in beide diëlektrica. b. Bepaal hieruit de capaciteit. c. Is de oppervlakte-Iadingsdichtheid op de binnenkant van de platen als functie van de plaats constant? Bepaal de waarde. Rand-effecten verwaarlozen. 37.

Een vlakke, dunne, ringvormige schijf is aan één zijde belegd met positieve lading. De oppervlakte-Iadingsdichtheid is a. De straal van de opening is Rl' de straal van de buitenste rand is R 2 . Bepaal de potentiaal in het middelpunt en onderzoek de dimensie van uw formule. 38.

Een geleidende bol met straal Rl bevindt zich concentrisch binnen een geleidende bolschil met straal ~. Deze condensator is geladen: binnenste lading - Q, buitenste lading + Q. Men schiet een lading q (~ Q) met snelheid v van de binnenste bol loodrecht op het oppervlak naar de bolschil. Hoe groot moet men v tenminste kiezen, opdat q de buitenste bolschil raakt?

83 39. Een dunne draad met lengte I is homogeen geladen. De ladingsdichtheid is À.

x

In het verlengde van de draad is een punt P op afstand x. a. Bepaal de potentiaal in P. b. Bepaal de veldsterkte in P. 40. Geen berekeningen! Tussen de platen van een vlakke platencondensator met lading Q bevinden zich twee dunne koperen plaatjes tegen elkaar. Zie situatie A.

-Q

+Q

-Q

A

+Q

B

Men brengt nu de plaatjes uit elkaar. Zie toestand B. Beschrijf in het kort, wat er gebeurt . Beschouw daarbij ook de veldsterkten, de condensatorspanning en de capaciteit. 41. Geen berekeningen!

a.

b. +Q

-Q

Aan een geïsoleerde draad hangt een glazen bolletje tussen de platen van een vlakke platencondensator. Men laadt nu de condensator. a. Wat gebeurt er? Aan een geïsoleerde draad hangt een glazen bolletje in de buurt van een grote metalen bol. Men laadt nu de grote bol met een positieve lading. b. Wat gebeurt er? c. Beantwoord de vorige vragen, als het bolletje niet van glas, maar van koper is. Uw antwoorden wel toelichten. 42 . Een vlakke platencondensator (oppervlak van één plaat is A, afstand tussen de platen is d) is op een spanningsbron met sterkte U aangesloten. De ruimte tussen de platen is vacuum. d is veel kleiner dan de afmetingen van de platen. Gevraagd: a. Bereken de energie opgeslagen in het veld tussen de platen. Men schuift nu een glazen plaat met relatieve permittiviteit Er' dikte d en oppervlak A tussen de platen, zodat deze plaat nergens buiten de condensator uitsteekt.

84 Gevraagd: b. Bereken opnieuw de energie opgeslagen in het veld tussen de platen. 43. Gegeven twee ladingen elk +Q op de y-as. De plaatsen zijn (0,1) en (0,-1). Y

i

+Q

1 meter

_ 1

x

meter

+Q

Bereken de potentiaal en de veldsterkte op de x-as als functie van de afstand x tot de oorsprong. Wat is het verband tussen beide uitkomsten?

44. a

~\.

Een bolletje met te verwaarlozen afmetingen heeft een lading Ql . Op een afstand a bevindt zich een staafje met lengte l en waarop een gelijkmatig verdeelde lading Q2 is aangebracht. De dikte van het staafje is verwaarloosbaar. Het staafje valt samen met een rechte lijn door het middelpunt van het bolletje . Het geheel is in vacuüm. Bepaal de optredende krachten. 45. Een koperen bol met straal r is geladen. De lading is Q. Om de bol is een bolschil van isolatiemateriaal, waarvan de relatieve permittiviteit Er is. De dikte van die schil is d. Het geheel is in vacuüm. Bereken de elektrische veldsterkte als functie van de afstand R tot het middelpunt van de bol en geef ook een schets van die functie. 46. Een koperen bol met straal r heeft een lading van Q coulomb. Deze bol is omgeven door een bolwand van isolerend materiaal met permittiviteit Er' binnenstraai ren buitenstraal R, R > r. Bepaal de potentiaal van de koperen bol.

85 47. Een vlakke platencondensator in vacuüm met platen van 1 x 1 m, afstand tussen de platen 2 cm, is geladen tot 500 V. a. Bepaal de veldsterkte tussen de platen. b. Bepaal de lading op de platen. Men brengt nu een isolator met dikte 1 cm, oppervlakte 1 x 1 m en met een relatieve permittiviteit van 5 tussen de platen. c. Verklaar fysisch waarom de veldsterkte binnen de isolator kleiner is dan onder uw antwoord op vraag a. d. Bepaal de grootte van de afname van de veldsterkte in de isolator. 48. Een bolschil is homogeen geladen. De ladingsdichtheid is p. Bepaal de potentiaal in het middelpunt M. Onderzoek de dimensie van uw formule.

49. De potentiaal van een koperen bolschil met straal 30 cm en wanddikte 5 mm is 100.000 volt. Op 6 meter bevindt zich een puntlading Q. De kracht op de puntlading van 1 pC (op 5 m) blijkt nul te zijn. Bepaal Q.

vacuüm

Sm

I pC

Q

lm

50. Gegeven een puntlading Q in vacuüm. Men beschouwt een concentrische bolschil om die lading met binnenstraaI R en dikte d. Bepaal de energie in die bolschil.

86 51.

__ x

b

Door de getekende rechthoek gaat een stroom naar achteren loodrecht op het tekenvlak. De stroomdichtheid J is alleen afuankelijk van x en wel volgens: J = 3x

Bepaal de totale stroom door het oppervlak van de rechthoek. 52.

b

_x

Door deze rechthoek gaat een stroom naar achteren loodrecht op het tekenvlak, met als stroomdichtheid:

Bepaal de totale stroom door het oppervlak van de rechthoek. 53. Door het binnenoppervlak van een cirkel met straal R gaat een stroom gericht loodrecht op het vlak van de cirkel. De stroomdichtheid hangt af van de afstand r tot het middelpunt volgens J

= 7r

o ,ç r ,ç R.

Bepaal de totale stroom door het oppervlak van de cirkel. 54. Gegeven een rechthoekig assenkruis. Een geleider valt samen met de z-as. In die geleider is een stroom I in de richting van de positieve z-as. Er is een magnetisch veld H in de richting van de positieve y-as. Bepaal de kracht (als vectorgrootheid) op de geleider per meter. 55. Gegeven een ronde koperdraad met een doorsnede van 1 mm 2 en waardoor een stroom van I A gaat. a. Bereken de magnetische fluxdichtheid op het buitenoppervlak van de draad. b. Bereken de kracht op een elektron, dat langs dit oppervlak gaat met een driftsnelheid van 6 . 10-5 mis. c. Hoeveel keer zo klein is de onder b) berekende kracht dan de stuwende kracht op de elektronen?

87

56. Geef de eenheid van J, B, H, /10 en '}'. 57. Bereken de magnetische veldsterkte in het midden M van een rechthoekig gebogen geleider met zijden a en b, waarin een stroom I vloeit. b

eM

58. Bereken de magnetische veldsterkte in het middelpunt van een cirkelvormige draad met straal r, waarin een stroom 1 vloeit. 59. Door een cirkelvormig gebogen dunne geleider vloeit een stroom I.

Bereken de magnetische veldsterkte in P. 60. Door een zeer lange staaf S (ronde doorsnede, straal Ro) vloeit een stroom 1 naar achteren. Deze stroom vloeit terug naar voren door een concentrisch opgestelde buis B met wanddikte R 2 - Rl. Deze stromen zijn homogeen.

Bereken de magnetische veldsterkte in de wand als functie van de afstand R tot het middelpunt van S.

61.

~2 kA

/ 2 cn(

/

/

\ \

\

2 cm

,

-.I 2 cm h Q9------(ól 1 kA

1 kA

Drie oneindig lange evenwijdige geleiders liggen op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek in vacuum. Zijde 2 cm. De stromen zijn in de figuur

88 aangegeven. /Jo = 47T • 10- 7

Bereken de kracht per km op de bovenste geleider. Bepaal ook de richting . y

62 . 8,

, m p

82

x

x

, m

8

3

Gegeven drie oneindig lange evenwijdige staven Sp S2 en ~ loodrecht op het x-y-vlak in vacuum. Ze liggen op onderlinge afstand van 1 meter. Door SI en door S3 gaat een stroom 1 naar achteren. a. Hoe groot moet de stroom I' in S2 zijn, zodat de magnetische veldsterkte in het punt P op de x-as (op afstand x van de oorsprong) nul is? b. Bepaallim ·1' en verklaar dit antwoord .

x*""

63.

Door een ronde massieve geleider met straal R gaat een elektrische stroom naar achteren. De stroomdichtheid is niet homogeen, maar is een functie van de afstand r tot het middelpunt volgens

Bepaal de magnetische veldsterkte binnen de staaf als functie van r. Geef ook de richting aan .

64.

Gegeven een dunne, oneindig lange rechte draad, waarin een gelijkstroom I vloeit. In één plat vlak met de draad is een gelijkzijdige driehoek met zijden a en op een afstand f van de draad. Eén zijde is evenwijdig met de draad. a. Bepaal de magnetische flux, die door de driehoek wordt omvat. b. Geef een benaderende formule voor de magnetische flux, als f ~ a. 65. Gegeven een torus, die gelijkmatig bewikkeld is met n windingen.

De stroom door de wikkeling is l. De binnenstraai is Rl' de buitenstraal R2 . Het materiaal is rechthoekig met breedte b. a. Bepaal voor Rl ~ R ~ R 2 de veldsterkte H als functie van R. b. Bepaal de flux door de doorsnede. c. Bepaal de zelfinductie. 66. Gegeven twee evenwijdige geleiders. Op het linkereinde is een gelijkspanningsbron met inwendige weerstand aangesloten. 0,5 ohm

5V

® Bhomogeen

v 40 cm

B

= 2 Vs/m2

a. Bereken de kracht F;; op de schuivende draad bij stilstand. Geef ook de richting. b. Hoe groot is de stroomsterkte als v = 5 mis? c. Hoe groot is dan de optredende kracht F? Wat is zijn richting? d. Geef de vermogensbalans. 67. --r---------~------------------------4a

80 cm

I-----~ .... v =

100 mIs

8

B homogeen

B

= 2 Vs/m 2

--~-------+----------------------~b

a. b. c. d.

Bepaal de spanning Dab' Bepaal de stroom, als op a-b een weerstand van 2 ohm wordt aangesloten. Bepaal de kracht op de schuivende draad. Geef de richting aan. Geef de vermogensbalans.

68. Onderzoek het gedrag van B en H aan het grensvlak van twee magnetische materialen met relatieve permeabiliteit 111 en 112'

90 69. Een koperen staaf, lengte R, draait om één van zijn uiteinden (A) linksom met hoeksnelheid w. Loodrecht op het vlak van draaien is een homogeen magnetisch veld naar achteren gericht. w

A OO---R----

Bepaal de spanning tussen de uiteinden van de staaf. 70. Ga na of er in één of meer van de volgende gevallen één of meer krachten worden uitgeoefend. Berekeningen zijn niet nodig. Een geladen glazen bolletje bevindt zich (stilstaand) in een magnetisch veld, dat a. homogeen en constant is b. niet homogeen en constant is c. homogeen is en toeneemt als functie van de tijd. 71. Een vlakke ronde koperen schij f met straal R draait met hoeksnelheid w in een homogeen magnetisch veld . De magnetische veldsterkte is loodrecht op het vlak van de schijf. De schijf draait om een as door het middelpunt. Deze as is evenwijdig aan de veldlijnen. De draairichting en de veldsterkte passen bij elkaar volgens de rechtse schroef.

a. Wat gebeurt er met de vrije ladingen in de schijf? Zal de rand positief of negatief worden t.o.v. de as? b. Bereken de elektrische veldsterkte in de schijf als functie van de afstand tot het middelpunt. c. Bereken de spanning tussen de as en de rand. 72. Door een cirkelvormige geleider met straal R gaat een stroom i 1 (t) . a. Bepaal de magnetische veldsterkte Hm in het middelpunt. (Biot Savart:

dH::

Idl sin lP 47TR2

Om het middelpunt bevindt zich concentrisch een cirkelvormige open geleider met straal r ~ R. Neem aan, dat binnen die kleine geleider het veld homogeen is met sterkte Hm' b . Bepaal de inductiespanning u ab . 73. Een cirkelvormige schijf van glas met straal R, aan één zijde homogeen belegd met lading Q, bevindt zich in een magnetisch veld met fluxdichtheid B = kt, waarin k een constante en t de tijd is.

G

®'B

Het veld staat loodrecht op het vlak van de schijf. Bepaal het koppel, dat op de schijf wordt uitgeoefend.

74.

Op een bolvormige isolator met straal R is een oppervlakte-lading Q homogeen aangebracht. Deze bol bevindt zich in een magnetisch veld met fluxdichtheid B :: kt, waarin k een constante en t de tijd is. Bepaal het koppel dat op de bol wordt uitgeoefend . 75. a

Een schijf met straal R is aan één zijde met oppervlakte-lading belegd; dichtheid a. De schijf roteert met hoeksnelheid w. Bepaal de magnetische veldsterkte in het middelpunt van de schijf. 76. Een cirkelvormig gebogen draad met een straal van 5 cm, waarin een stroom van 6 A vloeit, is geplaatst in een homogeen magnetisch veld met sterkte 100 A/m. De normaal maakt een hoek van 30° met de veldrichting.

92

Bepaal het koppel en geef de draaizin van het koppel. 77. Twee staafmagneten (dikte verwaarloosbaar) met magnetische momenten m i en m 2 en lengten respectievelijk 11 en 12 zijn tegenover elkaar geplaatst op een afstand a. De lengte-assen liggen op één rechte lijn. a

N

l

z

N

Bepaal de krachten op de magneten . 78. Een cirkelvormig gebogen draad (materiaaldikte ~ straal) van isolerend materiaal is homogeen geladen met een elektrische lading Q. Loodrecht op het vlak van de draad is een homogeen magnetisch veld, waarvan de sterkte lineair met de tijd toeneemt. B

®

B =at

Leid een formule af voor het koppel, dat op de draad wordt uitgeoefend . 79.

dx

x

zij-aanzicht I

Door de wand van een rechte cirkelcilinder met zeer dunne wand circuleert een over de lengte 1 homogeen verdeelde totaalstroom 1. a. Hoe groot is de stroom dl in de gearceerde strook met breedte dx? b. Bereken H in het punt P.

-~

-

-------

- ----- -

-

-----

93 80. Loodrecht op het tekenvlak zijn drie dunne oneindig lange geleiders, waarin de aangegeven gelijkstromen vloeien. De stroom van 4 A is naar voren gericht, de beide andere naar achteren. Bepaal de plaatsen op de positieve x-as waar de magnetische veldsterkte nul is.

4A

2A

IA

-x

201

81. Een puntlading Q beweegt zich in een cirkelvormige baan met straal R. De snelheid is v. Bepaal de magnetische veldsterkte in het middelpunt.

82. In een homogeen magnetisch veld His een stroomvoerende cirkelvormige dunne geleider. De straal is R, de stroom is I. Het vlak van de winding is evenwijdig met de veldlijnen. Bepaal het koppel op de geleider.

H

83. In een homogeen magnetisch veld is een ijzeren bolletje opgehangen aan een draad. Zie situatie A. In situatie B is het bolletje vóór de noordpool van een staafmagneet opgehangen. Beschrijf wat er gebeurt in beide situaties en waarom dat gebeurt. Welke formules zijn hier in het geding? situatie B

situatie A

N

r=

z

liii§;!

I

Iz

94 84. Een dunne geleider is cirkelvonnig gebogen. De straal is r, de stroom is I. In P is een noordpool met sterkte cp. De lijn MP staat loodrecht op het vlak van de winding. Bepaal de kracht, die de pool op de geleider uitoefent.

1-:-:--t-- - - - - ---11'

./

85. Door een oneindig lange dunne geleider vloeit een stroom I. In één plat vlak met deze geleider is een rechthoekige driehoek met zijden b en I op een afstand a. a. Bepaal de magnetische flux door de driehoek. b. Geef een benadering voor grote a.

a

86. Gegeven een dunne geleider, die gebogen is volgens de tekening. De kromme lijnen zijn cirkelbogen met als stralen Rl en R2. Punt A is het middelpunt van de bogen. De hoek

95 87. Een oneindig lange, dunne rechte geleider, waarin een gelijkstroom 11 vloeit en een geleidend rechthoekig draadraam van dun draad, waardoor een gelijkstroom 12 gaat, liggen in één plat vlak. Bepaal het koppel en de kracht op het draadraam. Het draadraam wordt als één lichaam beschouwd, dat niet vervormbaar is.

11

12

I

a

x

b

88. Om een toroïde van massief ijzer (de doorsnede is een cirkel) is een gelijkmatige wikkeling aangebracht van n windingen. Er geldt d « R. De weerstand is nul. Op de wikkeling is een stroombron met sterkte i aangesloten. a. Bepaal de magnetische lluxdichtheid in het materiaal van de toroïde. Men stelt nu i ::: 111sin rot. b. Bepaal de spanning over de stroombron. 89. Door een ondeindig lange ronde geleider met straal Rl in vacuüm gaat een homogeen verdeelde gelijkstroom I. Bepaal de magnetische energie, die is opgehoopt in de cilinder buiten de geleider (in vacuüm dus) met binnenstraal Rl en met buitenstraal R2 en met lengte l. Onderzoek de dimensie van het resultaat.

\

-

I ./

90. Door de wand van een oneindig lange koperen pijp gaat een homogeen verdeelde gelijkstroom van 1 A naar achteren. De binnenstraal is 1 m, de buitenstraal is 5 m. a. Bereken de magnetische veldsterkte als functie van de afstand R tot de hartlijn. b. Bereken de magnetische veldsterkte voor R::: 1,2,3,4 en 5 m en schets de functie H ::: fCR) voor R ~ o.

--7

R (m)

96 91. Gegeven een oneindig lange, dunne rechte geleider waarin een gelijkstroom 11 vloeit. Op afstand a bevindt zich een dunne rechte geleider met lengte 1 waarin een gelijkstroom 12 vloeit. Beide geleiders staan loodrecht op elkaar. De toevoerdraden worden buiten beschouwing gelaten. a. Bepaal het mechanische moment, dat op de geleider met lengte 1 wordt uitgeoefend, gemeten t.O.v. punt A. b. Maak in het kort aannemelijk, waarom a niet voorkomt in het antwoord. Hier geen berekeningen.

A

12

- - - - ----:;)--

92. Door een cirkelvormig gebogen dunne geleider vloeit een stroom I. Zie tekening. a. Bepaal de magnetische veldsterkte in het middelpunt en geef de kracht op een in het middelpunt geplaatste noordpool met sterkte q,. b. Ga nu uit van die noordpool, bepaal de veldsterkte ter plaatse van de geleider en geef de kracht op die geleider. 93. Gegeven een cirkelvormige winding van dun koperdraad waarin een stroom I vloeit. Op de lijn loodrecht op het vlak van de winding en gaande door het middelpunt is een staafmagneet geplaatst. Deze kan naar links en naar rechts bewegen. a. Hoe gaat de magneet bewegen en in welke stand zal de beweging stoppen? b. Dezelfde vragen als de stroom I andersom gericht is.

N

f--+-- -

Z

-EI===3-1

94 . Door een dunne geleider met lengte 1vloeit een stroom I. Op een afstand R van het midden is een noordpool N met sterkte q, geplaatst. Bepaal de kracht die de pool op de geleider uitoefent.

97

~I R

-

--N

95. Een oneindig lange massieve geleider met straal r is omgeven door een cilinder met relatieve permeabiliteit Ilr met binnenstraal r en met dikte d. Deze cilinder is niet geleidend. Het geheel is in vacuüm. Door de geleider vloeit een homogene stroom J naar achteren. Bepaal H en B beide als functie van de afstand R tot de middellijn.

96. In twee oneindig lange dunne geleiders vloeit een stroom I. Beide geleiders zijn loodrecht op het tekenvlak. In de linkse geleider is de stroom naar achteren, in de rechtse naar voren. Bepaal de x-component van H op de stippel- a lijn als functie van x, substitueer x =b(2 en verklaar het resultaat. b

--x

97. Door de zijden van een gelijkzijdige driehoek met zijden a vloeit een stroom J. Bepaal de magnetische veldsterkte H in het zwaartepunt Z.

a

98 98. Door een oneindig lange, dunne geleider, die rechthoekig gebogen, is vloeit een stroom 1. Het punt P ligt op een afstand a van beide helften. Bepaal de magnetische veldsterkte in P.

-+p

99. Door een oneindig lange, dunne geleider, die rechthoekig gebogen is met een bocht met straal R, vloeit een stroom 1. Het punt M is het middelpunt van de buiging. Bepaal de magnetische veldsterkte in M.

R

M

100. Verklaar de formules uit het formule-overzicht, geef een schets en noem de eenheden.

99

6. Antwoorden 1. a. a = 2{b

c. TI

=t-n

2. a. a=7

3.

a.

b = 3-{3

b. cp = 90

0

d. Beidenul

(-1" -k) b= 15

C= 2i + 3J- 3k

c. a+y= 13 4.45 0

5. a. a = arccos aax

•

13 = arccos ~. a y= arccos ~ a

b. cos2a + cos213 + cos2ty= 1

6.

~ 1TRs

C

3

7 141TR C . 3

8. 9· 104 Vlm 9. 20,25· 10 6 Vlm 10. x = - 2 11

x = ± 00

en

hR

. 2€ (x 2 + R 2 )3/2

12. D =

QR

41TR 3

Vlm

C/m 2

Vlm; V

= 0

14. UAB = 8 V, U BA = -8 V 15. a.

p=~

C/m 3

11Tr3

3

2 b . R > r'. D =.-JL. QR3 C/m 2 ,. R = r'. D = ~ 41TR 2 C/m ,. R < r'. D = 41Tr 41Tr2 C(m

2

2

Q Q R Q c. R>r: V=--V;R
18. 80V, 3000pC 20. Firn.

19. 13 ,5 mV

21. 707p.F.

24. 4,55

mis.

100 25. Wordt niet gebroken

28. 2,8-10- 21 N 30. Ex =

J/ m 3

27. J

26. Gericht langs oppervlak

29. 2,3-10-12 N

4~~3 Vlm

ffeU

31. v = ...; -;:;:;--- m/ s

en cyclisch;

m

33. p = 1,6-10- 30 Cm; 0 V

34. 15 _10- 6 Nrn

35. In de richting van toenemende veldsterkte U

36. a. E = "dV/m ;

37 V = a(R 2 .

-

2E

EOEI U C/ 2. DI = dm,

_j

Rl) V

38. v -

À x+l 39. a. V = - - l n - - V 41TEO x

D = EOE2 U C/m2

qQ -2-

1TEm

R 2 - Rl / R R m s I

hl

b. Ex =

d

2

41TE X(X O

2

+ I) Vlm

40. In situatie A is door influentie het rechter plaatje negatief en het linker plaatje positief geladen. In situatie B behouden de plaatjes hun lading. Deze lading is Q. De veldsterkte tussen de plaatjes is nul. De veldsterkte elders blijft ongewijzigd. De spanning neemt dus af en de capaciteit neemt toe.

41. a. Het glazen bolletje wordt gepolariseerd. De tegengestelde polarisatieladingen bevinden zich in gelijke veldsterkten. Resultaat: geen kracht op het bolletje. b. Eveneens polarisatie. Nu zijn de veldsterkten ongelijk. Resultaat: wel kracht op het bolletje, gericht naar de grote bol. c. Nu influentie. Zelfde antwoorden als a en b. 2

42

. a.

W = Eo U A J 1 2d

U2A

b W = EoEr . 2 2d

J

2Q

43. V = 4 ·

~l V;

1TE oY!

+x

Ekoper = 0 EvacuUm

=41rG~2

v.

-

"".018tor -

4

Q 7têoEr

E1=-Q41rGQErr r+d

R2

E2=

EF

Q 41tEoErCr + d)2

Q

4'1tE(ir + d)2

1

--- -

-

-

-

- -

-

--

101 .JL1

1

1

46. 4TCEo (R + EI - E~ ) V 47. a. 25000 Vlm c. 20kV/m

b. 0,221-10-6 C d.20kV/m

p 48. -(Ri-Rl2) V

2E

49. i·1O-7 C 3

50

Q2 _d_ J . 81tEo R(R+d) 2 3 52 5b Z A

2

51 3Zb A . 2

.

3

53. l4;R A.

6

b.3,4 01O-27 N

55. a. 3,6 o lO-4 Vs/m 2 56. A/m2 Vs/m 2

A/m

54. -JlIHl N c. ongeveer 106 x

Vs/Am

A/Vm

58. H = 1/2 r A/m

59 H = I sin . 2r

3

p

A/m

b. 21; De drie geleiders gedragen zich op grote afstand als één geleider 63. H

=

~r3 A/m

JlI { 2 f + Yza.J3 } 64. a. = 2rr Ca + .J3f)ln f - a Vs nl 65. a. 2rrR A/m 66. a. 8 N

b

bJlnl .

b. 2 A

67. a. -160 V

2rr

l

R2

n Rl

c. 1,6 N c. 128 N

b.80A

69.

68. Bn en H t zijn doorlopend

B~2W

V

70. Stel straal van het bolletje is R. Als R = 0, dan a, b en c geen krachten. Als R> 0, dan alleen c koppel wR 2 B 71. a. rand wordt positief b. w Bx V /m c. - 2 - V

7 2.

a.

73. T

l\n =

il

2R A/m

= k~R2

Nm

a~R

A/m

75.H =

b. u ab 74. T

_ -

2

rrr Jl dil

-"2R dt

= tkQR2

Nm

76.1 0l0-{; Nm

V

102 77.F =

mi m 2

1

1

1

2

1

(-- - - - - - + 41f I10Z1Z2 a 2 (a + Z/ (a + Z2)2 (a + ZIZ2)2

Idx

) N

78 QR a

.

2

Nm

I

79. a. dl = -Z- b. H = -~==== 2.)Z2 -1- R 2 80. x= 4,37 m

81. 4:î2 Nm 82. !lInR2H Nm 83. Situatie A: bolletje blijft in rust

Situatie B: bolletje beweegt naar links.

I~ N 84. 2(a2 + M/2

(1-!. In a+b) V 85 . a. ~ 2n bas

b

flIbI V . 4na s

86. I
trA Vs/m

2

89. P!J:tl In ~ J

1 RLl 90. a. R < 1 H = 0, 1 < R < 5 H = 487t . Nm

-r

b.O 9,9 17,7 24,9 31,8 mNm

91.

~:l

Nm ~I

I 92. a. H= 2R Nm

b. F=2R N

93. a. Naar links. De magneet gaat door het vlak van de winding en stopt als zijn stand symmetrisch is t.o.v. die winding. b. Naar rechts. De beweging stopt in het oneindige.

94. F=

~Il

2nR~

95. In de geleider:

In de cilinder: Buiten de cilinder:

N

IR

H = ~ Nm

I H = 2nR Nm I H = ~ Nm

B=~J Vs/m 2 B=~ Vs/m 2 B=~ Vs/m 2

I x ' x-b I . 96. Hx = 21t <x2+ a2 - x 2+ a2 +b2 -2xb Alm voor x = zb IS Hx = 0

9I

97. H = ïmi Nm

I

98. H =4ia (2 +...[2) Alm 100. Bravo.

103

7. Literatuur A.F. Kip , Fundamentals of electricity and magnetism, McGraw-Hill Tokyo, 1962 . . R. Kronig, Leerboek der Natuurkunde, Scheltema & Holkema Amsterdam, 1954. U.N. Oedayrajsingh Varma en W. Buijze, Elektriciteit, Collegehandleiding THDelft, afdeling Natuurkunde, 1977.

104

Index a aanloopkromme 65 absolute permeabiliteit 47 absolute permittiviteit 15, 17 accu 42 afscherming, elektrostatische 29 Ampère, regel van 48,49 atoom 14

elektronenwolk 14 elektroscoop 29 elektrostatisch veld 15 elektrostatische afscherming 29 elementaire wet van Ohm 42 energie 35 energiedichtheid 36 equipotentiaalvlak 25

b

f

batterij 42 behoud van lading, wet van 41 Biot Savart, formule van 46 breking 35 Buijze, W. 5, 103 C

capaciteit 31 coaxiale kabel 33 coërcitiviteit 65 condensator 32 condensatorformule 42 conserverend veld 24 continuïteitsstelling 41 Coulomb, wet van 14 coulomb-kracht 14 cyclische verwisseling 72

d determinant 12 diamagnetisme 62, 63 diëlektricum 17 diëlektrische verplaatsingsstroom 73 dipool 20,37,39 - , elektrische 39 -, magnetische 60 dipoolbelegging 61 dipoolmoment 38, 39 dissipatie 43 divergentie 69,70 draad-element 45 draagkracht 67 driftsnelheid 43, 45 dynamo 42

e eenheidslading 16 eenheidsvector 12 eerste wet van Maxwell 68 elektreet 21 elektrisch veld 15 elektrische dipool 39 elektrische fluxdichtheid 17 elektrische stroom 40 elektromagneet 60 elektron 14

Faraday 56 -,kooi van 29 faraday-kastje 30 ferromagnetisme 63 flux, gekoppelde 55 -, magnetische 52 - , werkelijke 55 fluxdichtheid, magnetische 46, 53 formule van Biot Savart 46 formule van Hopkinson 66, 67 formule van Laplace 71 formule van Poisson 71

9

Gauss, stelling van 70 -, theorema van 18,33, 70 gebiedjes van Weiss 64 gekoppelde flux 55 geleiding, soortelijke 42 generator 42 gesloten lijnintegraal 50 giorgi-stelsel 14,45 golffunctie 76 golfweerstand 78 golven 74 gradiënt 69,70 gyrator 48

h halfgeleider 14 hall-effect 48 hall-plaatje 48 homogene ladingsverdeling 16 Hopkinson, formule van 66, 67 hysterese 64 hysteresislus 64, 65 hysteresisverliezen 65 ijzerverliezen 65 inductie 56 inductiespanningen 58 inductiewet 56 influentie 22 inwendig produkt 12 ion 14 isolator 14

105

p

J

joule 22

k kabel, coaxiale 33 kern, positieve 14 Kip, A .F. 103 Kirchhoff, spanningswet van 57, 59 kooi van Faraday 29 koppel 39 kracht 45, 51 kringintegraal 24, 50 Kronig, R. 103 lading, oppervlakte- 20 -, poisson- 20 - , polarisatie- 20,21 -, wet van behoud van 41 ladingsdichtheid 27 - , lineieke 17 - , oppervlakte- 17 ladingsverdeling, homogene 16 lamellen 65 Laplace, formule van 71 lichtsnelheid 77 lijnintegraal, gesloten 50 lineïeke ladingsdichtheid 17 litze-draad 68

m magnecuul64 magneet, elektro- 60 -, permanente 60 magnetisatie 65 magnetisch moment 61 magnetisch veld 46 magnetische dipool 60 magnetische flux 52 magnetische fluxdichtheid 46, 53 magnetische vector 65 magnetische veldsterkte 46 Maxwell, eerste wet van 68 -,tweedewetvan 73, 74 molecuul 14

n nabla 69 noordpool 62 normaal 12,18 normaalvector 18, 61 nulpotentiaal 24

o Oedayrajsingh Varma, I.J.N. 103 Ohm, elementaire wet van 42 -,wet van 43 oppervlakte-integraal 18 oppervlakte-lading 20 oppervlakte-ladingsdich theid 17

paramagnetisme 63 permanente magneet 60 permeabiliteit, absolute 47 - , relatieve 47, 63 permittiviteit, absolute 15, 17 - , relatieve 17 Poisson, formule van 71 poisson-lading 20 polarisatie-lading 20, 21 polarisatievector 18 poolsterkte 62 positieve kern 14 potentiaal 24, 26, 27, 31 Poynting, vector van 77,78 produkt, inwendig 12 - , scalar- 12 -, uitwendig 12 puntlading 16

r randeffecten 32, 33 rechtscyclisch 12 regel van Ampère 48,49 regel van Weber 61 relatieve permeabiliteit 47, 63 relatieve permittiviteit 17 remanent magnetisme 65 rotatie 71, 73 ruirnte-ladingsdichtheid 16 S

scalar 11, 26 scalar-produkt 12 skin-effect 67 soortelijke geleiding 42 spanning 22 spanningswet 57 spanningswet van Kirchhoff 57, 59 spoel 53,59 stelling van Gauss 70 stelling van Stokes 73 Stokes, stelling van 73 stromingsveld 40, 43 stroom, elektrische 40 stroombuis 43 stroomverdringing 67 superpositie 26,51

t theorema van Gauss 18,70 tweede wet van Maxwell 73, 74 tweepoort 48 U

uitwendig produkt 12 V

vector 11 -, magnetische 65

106 vector van Poynting 77, 78 veld 11 -, conserverend 24 - , elektrisch 15 - , elektrostatisch 15 -, magnetisch 46 veldlijn 16 veldsterkte 15, 53 - , magnetische 46 verliezen, hysteresis- 65 -, ijzer- 65 -, wervelstroom- 65 verplaatsingsstroom, diëlektrische 73 verwisseling, cyclische 72 verzadiging 64 vrije elektronen 14 W

weber 52 Weber, regel van 61 weerstand 43 Weiss, gebiedjes van 64 werkelijke flux 55 wervelstroomverliezen 65 wet van behoud van lading 41 wet van Coulomb 14 wet van Ohm 43 wrijvingselektriciteit 14 Z

zelfind uctie 55

Uitgaven van de Delftse Uitgevers Maatschappij op het terrein van de ------------------------~---------------------------------

elektrotechniek en computerkunde

DIGITALE TECHNIEK van probleem specificatie tot realisatie door ir. A.P. Thijssen, ir. H.A. Vink en prof,ir, C.H. Eversdijk In twee delen wordt een overzicht gegeven van de digitale (schakel-)techniek. De boeken worden gebruikt bij de colleges Digitale Techniek I, 11 en 11/ voor studenten Elektrotechniek en Informatica. Deel 1 behandelt de basiskennis van de componenten, waaronder: schakelalgebra, Karnaughdiagrammen, SSI/MSI en LSI combinatorische schakelingen, flip-flops, schuifregisters en tellers. Veel aandacht wordt besteed aan het niet-ideale gedrag van de bouwstenen, waaronder de timing van de signalen. Deel 2 behandelt het ontwerpen van grotere schakelingen, gebaseerd op het datapad-besturing ontwerpmodel. De specificatie en realisatie van besturingen neemt een groot stuk van dit deel in beslag. Daarnaast komen ook onderwerpen als microprogrammering, de afweging van hard/software oplossingen, testbaarheid, betrouwbaarheid en synchronisatie ruimschoots aan bod. Vele opgaven en literatuurverwijzingen zijn toegevoegd . Uitwerkingen van opgaven zijn in beide delen opgenomen. De systematische behandeling maakt de boeken ook uitstekend geschikt voor zelfstudie en voor gebruik op HTS en HIO. De stof is zo geordend dat een eerste, meer globale, oriêntatie op het vakgebied eruit gedoceerd kan worden, waarna desgewenst één of meer onderwerpen kunnen worden uitgewerkt (dit laatste vooral voor de richting Elektrotechniek). Deel 1, 368 pag., ISBN 90-6562-068-0 Deel 2,256 pag., ISBN 90-6562-069-9 Overhead sheets

Voor docenten zijn lay-outs van overhead sheets (ca. 300 stuks) verkrijgbaar. Voor nadere inlichtingen wende men zich tot de uitgever.

DlGITEST Opgaven behorend bij Digitale Techniek De in deze bundel opgenomen vraagstukken hebben in de jaren 1982 en 1983 deel uitgemaakt van de examens Digitale Techniek aan de TU-Delft. De vraagstukken zijn geordend naar onderwerp, overeenkomstig de hoofdstukindeling van het theorieboek. De vragen zijn gesteld in multiple choice vorm . De antwoorden zijn op de laatste bladzijde weergegeven. 112 pag., ISBN 90-6562-046-x

MICROPROCESSORS door ir. C.J. van Spronsen en ir. F. Bruggeman In dit boek wordt de microprocessor geïntroduceerd uitgaande van een algemeen model , aan de hand waarvan de interne opbouwen de instructie-afhandeling worden toegelicht. De diverse methoden van adressering, zoals microprocessors die kennen , worden behandeld. Uitgebreide aandacht krijgt de inen uitvoer, alsmede de speciaal daarvoor ontwikkelde circuits . Standaards voor zowel aansluiting met de 'buitenwereld' als voor de koppeling van modules tot een (multi-) processorsysteem komen aan de orde. Ook de programmatuur wordt niet vergeten, zoals blijkt uit de hoofdstukken over de ontwikkeling van software en de daarvoor bestaande ondersteuning ,n apparatuur en programmatuur. Bij de behandeling van de stof in dit boek wordt aangenomen dat de lezer een (beperkte) kennis heeft van digitale technieken. "Presentatie en inhoud van dit specialistische boek zijn zodanig dat op HTSfTH niveau het boek goed geschikt is voor zelfstudie", schreef het NBLC over het boek. 160 pag., ISBN 90-6562-034-6

COMPUTERARCHITECTUUR door prof.dr.ir. A.J. van de Goor en ir. H.A, Spanjersberg Dit boekwerk behandelt computerarchitectuur aiS raakvlak tussen de hardware en de software. Het poogt een achtergrond en verklarin9 te geven voor instructie-sets, adresseringsvormen , datatypen , interruptsystemen, etc. van traditionele computers. Daarnaast worden kwaliteitscriteria als orthogonaliteit, voorspelbaarheid, etc. waaraan een goede architeCtuur moet voldoen, behandeld; deze worden bij de behandelde voorbeelden als toets gebruikt. De gevolgde methodiek is toepasbaar op vele gebieden buiten dat van de computerarchitectuur. . De behandelde stof is voorzien van voorbeelden Uit diverse bestaande architecturen om bepaalde concepten te illustreren. Als voorkennis wordt enig inzicht in de PDP-11 of vergelijkbare architectuur en enige achtergrond in programmeertalen verondersteld. De geboden stof is ontstaan uit het college computerarchitectuur aan de TU te Delft en is geschikt voor TU-studenten in hun latere studiejaren en voor HTS-studenten in hun laatste jaar. 256 pag. , ISBN 90-6562-025-7

s:

E

d ir

b

Vi

kl

H

Cl

z

Zl

E E

d D

a a.

D

VI

VI

H d

n o

ZI

9

sj

a

D 9 tE

2

E

d

D h

o Z

rr

o

b tr

INFORMATIETHEORIE door prof.dr.ir. D.E. Boekee en dr.ir. J.C.A. van der Lubbe

:eerd nand e-afoden Inen, Ie inlelde 3t de

IS

tot

Ie. zoals I van ng in

" ordt 3nnis houd It op zelf-

n

r aiS . Het voor (pen, Jters. lliteit, hite CJij de :. De ieden

en uit

co nig inIr en nde r,IIeg8 s geen en

De informatie- en communicatietheorie vormt de grondslag voor de moderne technische ontwikkelingen in de informatica en de telecommunicatie. In dit boek worden de theoretische grondslagen behandeld die de basis vormen zowel voor het meten van informatie, als ook voor het comprimeren, transporteren, opslaan en beveiligen ervan . Het betreft hierbij zowel digitale als analoge informatie die via symbolen dan wel signalen wordt vastgelegd. Er wordt tevens ruim aandacht besteed aan een drietal aktuele technische toepassingen van de informatietheorie, namelijk datacompressie, foutverbeterende codes en cryptografie. De behandeling van deze drie toepassingen heeft een introducerend karakter. Het boek kan worden gebruikt als ondersteuning bij Colleges aan de Technische Universiteit, maar is ook zeer geschikt voor gebruik op de HTS en voor zelfstudie. ca. 250 pag ., ISBN 90-6562-082-6

ELEKTRONISCHE VERSTERKERS EN PHASELOCK LOOP door prof.dr.ir. J. Davidse Deze handleiding omvat een aantal onderwerpen die aan de orde komen in de colleges in de elektronica aan de TU-Delft. De behandelde stof heeft betrekking op de moderne Versterkertechniek en op de inrichting en toepassing Van de zogenaamde phaselock loop. Hoewel de moderne elektronica gebruik maakt van digitale technieken voor de bewerking van elektronische signalen, blijft analoge signaalverwerking onmisbaar bij de bron van de signalen. In het bijZonder op deze plaats in de signaal keten is ruis de grootste vijand van de correcte overdracht van het signaal. Om deze reden is aan dit aspect relatief veel aandacht besteed. De phaselock loop is een schakeling die vooral van groot belang is in de moderne communicatietechniek. 232 pag. , ISBN 90-6562-021-4

ELEKTROTECHNISCH METEN door dr. ir. K.B. Klaassen De elektrotechniek en met name de elektronica, heeft ons vele hulpmiddelen voor het meten Opgeleverd. Daarnaast vormt de elektrotechniek ook Zelf een uitgebreid toepassingsgebied voor het meten. Dit boek over elektrotechnisch meten stelt daarom beide categorieên aan de orde, dus zowel de elektrotechnische meetmiddelen als elektrotechnische

metingen. Het doel van het boek is een zodanige behandeling van de grondslagen van het meten, dat, naast het verstrekken van de benodigde basiskennis, het inzicht in het meten wordt bevorderd. Het einddoel daarbij is het zelfstandig kunnen oplossen van allerlei meetproblemen. In dit boek is de aanpak van de vanouds sterk mechanisch en energie-technisch georiënteerde elektrotechnische meettechniek verlaten ten gunste van een meer systeemtechnisch georiênteerde aanpak. Na een korte samenvatting van de fundamenten van het vak (meettheorie) blijkt het voor kwantitatief meten nodig te zijn eenheden af te spreken (eenheden-stelsels). Om dit optimaal te kunnen meten (dit is: met de geringst mogelijke inspanning het gestelde doel bereiken) wordt een aantal alternatieve meetmethoden besproken. Een meting verschaft slechts een eindige zekerheid; er worden altijd fouten gemaakt. De fouten theorie bespreekt daarom de soorten fouten, foutenvoortplanting en foutenoorzaken . Een meetsysteem heeft een bepaalde structuur waarin verschillende functies voorkomen (transductie, signaalbewerking, indicatie en registratie) . Deze meetfuncties worden in het hoofdstuk elektronische meetmiddelen besproken. Daarna komen de volledig elektronische meetsystemen aan de orde. Hierbij is een belangrijke plaats ingeruimd voor het automatisch meten met de computer, waarbij belangrijke zaken als bemonstering, multiplexing en 'aliasing' aan de orde komen. 320 pag., ISBN 90-6562-033-6

INSTRUMENTELE ELEKTRONICA door dr.ir. P.P.L. Regtien Dit leerboek bestrijkt het zeer brede terrein van de elektronica voor instrumentele doeleinden. Van de lezer wordt slechts enige wiskundige voorkennis verwacht. Ieder hoofdstuk is verdeeld in tweeên, waarbij het eerste deel als basis geldt, terwijl het tweede deel , dat eventueel overgeslagen kan worden, wat dieper op de stof ingaat. Elk hoofdstuk wordt besloten met een samenvatting en opgaven, waarvan de antwoorden achterin het boek zijn opgenomen. Enige onderwerpen die aan de orde komen zijn: systeem- en signaalbeschrijvingen, netwerken, filters, elektronische bewerkingssignalen en vensters, oscillatoren, modulatie en analoog-digitaal- en digitaal-analoog-omzetters. Voorts wordt een inleiding gegeven in de digitale techniek en in microprocessoren. Het boek wordt besloten met een hoofdstuk over (computer-)meetsystemen en fouttheorie, uitgewerkte antwoorden op de opgaven. 446 pag., ISBN 90-6562-093-1

ELEKTRISCHE NETWERKEN door ir. A. Henderson Dit boek is in eerste instantie opgezet als dictaat van het college Elektrische Netwerken voor de eerstejaarsstudenten aan de afdeling Elektrotechniek van de TU-Delft. De aanpak bleek echter al ras ook docenten aan de HTS-en aan te spreken. Na een bondige uiteenzetting van de basisbegrippen worden behandeld de netwerkstellingen, bestuurde bronnen, wisselstromen en wisselspanningen, complexe grootheden en enkele eigenschappen van netwerken. Daarna komen aan de orde gekoppelde spoelen en (ideale) transformatoren, driefasensystemen, complexe frequentie, Fourier-analyse en schakelverschijnselen. Het boek wordt afgesloten met een hoofdstuk over computergerichte analyse. 340 pag., ISBN 90-6562-004-4

VRAAGSTUKKEN ELEKTRISCHE NETWERKEN door ir. A. Henderson De stof in deze bundel is verdeeld in hoofdstukken, die parallel lopen met het boek Elektrische Netwerken. De bundel is voorzien van antwoorden. 168 pag., ISBN 90-6562-005-2

ELEKTRISCHE SCHAKEL VERSCHIJNSELEN door ir. A. Henderson Het hoofdstuk schakelverschijnselen uit de theorie van de elektrische netwerken is een dankbaar onderdeel. Enerzijds heeft het de charme van een streng mathematisch betoog, anderzijds komt men voortdurend in aanraking met de fysische werkelijkheid. Soms blijken mathematische begrippen onverwacht een fysische betekenis te hebben. Vele uitgewerkte voorbeelden en vraagstukken zijn opgenomen. 128 pag., ISBN 90-6562-061-3

DISCRETE SIGNALEN door ir. A. Henderson Digitale signaalbewerking komt steeds meer in de belangstelling. Niet alleen de digitale filters zijn in opmars, ook bij computergerichte netwerkanalyse komt men in aanraking met discrete signalen . Bij de bestudering van deze stof wordt men getroffen door de analogie met de theorie van de continue signalen , zoals schakelverschijnselen, stationaire toestand, toestandsvergelijkingen, wiskundige transformaties, beginvoorwaarden, polen en nulpunten, enz. Kennis van de theorie van continue signalen is echter niet noodzakelijk voor de bestudering van deze stof. Wel wordt bekendheid verondersteld met gelijk- en wisselstroomtheorie, complexe groothe-

den. reeksen en (eenvoudige) matrixrekening . 72 pag., ISBN 90-6562-044-3

ELEKTRISCHE EN MAGNETISCHE VELDEN door ir. A. Henderson In dit beknopte boek wordt de theorie van de elektrische en magnetische velden voor technici behandeld; daarbij wordt naast de noodzakelijke formules ook aandacht gegeven aan de ontwikkeling van het fysisch inzicht. In een inleidend hoofdstuk wordt een beknopt overzicht gegeven van de vectoralgebra. Daarna volgen de elektrostatica, de elektrische stromen en magnetische velden , en vervolgens de wetten van Maxwell in integraalvorm. Daarbij komen ook de voor de netwerktheorie noodzakelijke wetten van Kirchhoff naar voren . Tenslotte volgen de wetten in differentiaalvorm, waarbij tevens wordt ingegaan op de beginselen van de vectoranalyse . Het boek wordt afgerond met een zeventigtal vraagstukken , voorzien van antwoorden. 106 pag., ISBN 90-6562-027-3 bedrijfszekerheids tee hn/ek

BEDRIJFSZEKERHEID theorie en praktijk door dr.ir. K.B. Klaassen, ir. J.C.L. van Peppen en ir. A. Bossche Bedrijfszekerheid speelt, bij een toenemende complexiteit van systemen, een steeds belangrijkere rol. Voorbeelden van gebieden in de techniek waar de bedrijfszekerheid een zeer belangrijke grootheid is, zijn de vliegtuigindustrie en elektronische geïntegreerde schakelingen (zoals microprocessors) die uit een enorm groot aantal componenten bestaan . Dit boek behandelt elementaire theorie waarmee men zich een basis kan eigen maken. Behalve deterministische bedrijfszekerheidstechniek (het bepalen van een faaloorzaak) en statistische bedrijfszekerheidstechniek (het statistisch bepalen van parameters als : de gemiddelde levensduur, de onderhoudbaarheid, de onderhoudstrategie en het al dan niet nuttig zijn van enige vorm van onderhoud) worden evaluatiemethoden (voornamelijk faal bomen) behandeld. Het boek besluit met een uitgebreide literatuurlijst. ca. 160 pag ., ISBN 90-6562-073-7 (verschijnt april 1987)

wiskunde: snslyse, linesire slgebrs, stochsstiek en statistiek ANALYSE door dr. J.H.J. Almering e.a. geheel herzien door dr.H. Bavinck en dr.ir. R.W. Goldbach ek-

an-

lies het

od-

lar-

de gen In.

Jmrol. de I is, ,tetuit

nen 'erIlen <ermejerdan ,ud) len) ,ide

'Analyse' behandelt de analyse op modeme wijze. De hoofdstukken behandelen de grondbegrippen, complexe getallen, limieten en continuTteit, differentiaalrekening, integraalrekening, afbeeldingen, dilferentiaalvergelijkingen, meervoudige integralen, lijnintegralen, oppervlakteintegralen en reeksen. Aan het eind van de meeste paragralen is een aantal oefeningen opgenomen om de lezer vertrouwd te maken met de voorafgaande leerstof. Aan het eind van elk hoofdstuk is een paragraaf met vraagstukken . toegevoegd, gerangschikt overeenkomstig de behandeling van de .Ieerstof in het betreffende hoofdstuk. Het boek doet o.a. dienst bij het analyseonderwijs bij nagenoeg alle afdelingen van de TU-Delft. 592 pag., ISBN 90-6562-078-8 (gebonden)

ANALYSE 209 tentamenopgaven met uitwerkingen, door dr. H. Bavinck

de 'discrete' analyse naar voren. In tegenstelling tot de continue analyse wordt in de discrete analyse het . begrip 'limiet' niet ol nauwelijks gebruikt. Vanuit andere wetenschappen dan wiskunde en de techniek dienen zich vele discrete problemen aan; zo is voor het zoeken van oplossingen met behulp van een computer vaak discretisering nodig. Bij de opzet van dit vak kan dankbaar gebruik worden gemaakt van de continue analyse. De behandelde onderwerpen en hun (tussen haakjes geplaatste) analogon uit de continue analyse zijn: differentierekening (differentiaalrekening) ; somrekening (integraalrekening); reeksen (reeksen); differentievergelijkingen (differentiaalvergelijkingen); Z-transformatie (Laplace-transformatie). 52 pag.

DICTAAT LINEAIRE ALGEBRA door dr, G.W. Decnop, ir. H. van Iperen en dr. R. Martini

Aansluitend aan Analyse door dr. J.H.J. Almering e.a. redigeerde dr. H. Bavinck een boek met opgaven en uitwerkingen. Het aan studenten ter beschikking stellen van vraagstukken met uitwerkingen, betekent didactisch gezien een risico; van de gebruikers moet dan ook, wil men het boekje met vrucht hanteren, een zekere zelfdiscipline worden verwacht.

In een systematische opbouw behandelen de auteurs de lineaire algebra, zoals die wordt gegeven aan de TU-Delft. Daarbij zijn vele voorbeelden en vraagstukken opgenomen. n Vectorruimten, matrices en rekentechnieken in R , lineaire afbeeldingen en bilineaire vormen, inwendige productruimten, stelsels lineaire vergelijkingen, determinanten, lineaire operatoren van inwendige productruimten en kwadratische vormen zijn de onderwerpen van de hoofdstukken .

96 pag., ISBN 90-6562-060-5

236 pag . (formaat 19x26), ISBN 90-6562-036-2

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 220 voorbeelden en opgaven met oplossingen en beknopte theorie, door dr. A. Schuitman

MATRIXREKENING door ir. C.A. den Braber, ir. H. van Iperen, dr. A. Schuitman en dr.ir. M.A. Viergever

Aan de hand van voorbeelden en vele opgaven wordt in dit boek een overzicht gegeven van de verschillende typen differentiaalvergelijkingen en op toepassingen op partiêle differentiaalvergelijkingen. Tenslotte worden Laplacetransformaties en randwaardeprobiemen behandeld. Het boek is vooral bedoeld als vraagstukkenverzameling naast een college of leerboek.

Dit boek onderscheidt zich van 'Dictaat Lineaire Algebra' door een directere aansluiting bij de programma-eisen van enkele studierichtingen aan de TU-Delft. De lineaire algebra en matrixrekening zijn in dit boek vooral toepassingsgericht behandeld, bijvoorbeeld met het oog op vakken als technische mechanica, stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen en statistiek. De volgende hoofdstukken zijn in het boek opgenomen: Het oplossen van eenvoudige stelsels lineaire vergelijkingen Matrixen, bewerkingen met matrixen Analytische meetkunde in de ruimte en het platte vfak

174 pag. , ISBN 90-6562-026-5

DISCRETE ANALYSE door Peter Nooy, Jan Vons en Rob Eveleens, syllabus bij het College van prof.dr. H.J.A. Duparc Naast de conventionele analyse, die wel wordt aangeduid als 'continue' analyse, komt steeds meer

n IR & en, rang van een matrix, methode der kleinste kwadraten Determinanten Eigenwaarden en eigenvectoren. Het is een leerboek met veel oefenstof, waarbij de docent zonodig de weg kan wijzen. 328 pag. (formaat 19 x 26), ISBN 90-6562-077-x

ANALYSE door prof.dr. B. Meulenbeld en prof.dr. A.W. Grootendorst In drie kloeke delen (die voorheen bij Educaboek verschenen) presenteren de auteurs een volledige cursus analyse, die nu - erg laag geprijsd - opnieuw op de markt wordt gebracht. Het werk is in de periode 1971-1980 ingrijpend gemoderniseerd. Deel 1 beperkt zich in hoofdzaak tot functies van één veranderlijke. Beginselen van differentiaal- en integraalrekening, complexe getallen, extreme waarden en het schetsen van krommen, systematische berekening van de primitieven van enige klassen van functies, oneigenlijke integralen, rijen, reeksen, vergelijkingen, numerieke integratie en differentiatie. en hyperbolische functies. Tenslotte wordt kort aandacht besteed aan functies van twee veranderlijken. Deel 2 behandelt functies met twee of meer variabelen. De hoofdstukken gaan over impliciete functies, extreme waarden, vectoranalyse, vlakke krommen, ruimtekrommen, lijnintegralen, meervoudige integralen, integraalstellingen, massa, zwaartepunt en traagheidsmoment, en de gamma- en bêtafunctie. De differentiaalvergelijkingen zijn het onderwerp van deel 3. Gewone differentiaalvergelijkingen, het oplossen van differentiaalvergelijkingen met behulp van machtreeksen, simultane differentiaalvergelijkingen, de Laplace-transformatie, numerieke methoden voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen en partiêle differentiaalvergelijkingen. Over deel 1 schreef O. Bottema in het Nieuw njdschrift voor Wiskunde van februari 1982: "Dit werk is voorwaar een leerboek. Bij het schrijven moet de toekomstige lezer voortdurend in de geest aanwezig zijn geweest. De hoge didactische kwaliteit berust op een streven naar evenwicht; de behandeling is exact maar een acribie die het wezenlijke kan versluieren is vermeden. Evenwicht is er ook tussen de zakelijke tekst en een groot aantal goed gekozen voorbeelden. Ook de typografie werkt mee aan de uitnemende presentatie." Deel 1,433 pag., ISBN 90-6562-064-8 Deel 2,344 pag., ISBN 90-6562-065-6 Deel 3,256 pag., ISBN 90-6562-066-4

ELEMENTAIRE STATISTIEK door ir. J. van Soest Het bekende boekje van ir. Van Soest richt zich vooral op de toepassingen van de statistiek. Achtereenvolgens worden behandeld de beschrijvende statistiek, de kansrekening, stochastische variabelen, populatie en steekproef, de binomiale verdeling, de Poissonverdeling, de normale verdeling, functies van continue stochastische variabelen, de centrale limietstelling, statistische toetsen voor ligging, toetsen voor verschil in ligging en toetsten voor varianties, regressie- en correlatierekening. Tal van vraagstukken zijn opgenomen. 176 pag., ISBN 90-6562-003-6

aanvulling ELEMENTAIRE STATISTIEK door ir. J. van Soest, ir. A.J. Meelen en ir. J.M.G. Vermeulen Ten behoeve van een meer mathematische benadering van de statistiek is een aanvulling beschikbaar, die een verdieping inhoudt van hetgeen in de hoofdstukken 3, 7, 8 en 13 van Elementaire Statistiek is weergegeven . 62 pag., ISBN 90-6562-006-0

Andere publicaties op het terrein van de wiskunde: Vraagstukken over Analytische Meetkunde en Lineaire Algebra, door drs. B.W. Steggerda; 192 pag . Vectoranalyse, door prof.dr. R. nmman en dr. JW. Reijn; 164 pag. Vraagstukken over Waarschijnlijkheidsrekening, door dr. P.J.A. Kanters; 178 pag.