2
Vergelijkingen Dit kun je al 1 2 3 4 5
eenvoudige vraagstukken oplossen met een vergelijking afspraken in verband met rekenen met letters nakomen de distributieve eigenschap toepassen haakjes wegwerken het kleinste gemeenschappelijke veelvoud berekenen van twee getallen
Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek.
A
B
C
Verder oefenen?
1 De som van een getal en –8 is gelijk aan het verschil van 27 en 18. Schrijf in wiskundetaal.
8 – x = 27 – 18
x – 8 = 27 – 18
8 – x = 18 – 27
ad
2 Noteer de lettervorm volgens de afspraken: x·3·y·4+x·2
3·x·4·y+2·x
12xy + 2x
3 · 4xy + 2 · x
ad
3 Reken uit. 2 · ( –3b + 5c )
–6b + 10c
4bc
–4bc
ad
4 Schrijf –( –3 + 4 ) zonder haakjes.
3+4
–3 + 4
3–4
oef. 54
60
30
5 Thibault heeft minder dan 100 knikkers. Hij kan ze in hoopjes van 4, van 10 of van 15 verdelen. 90 Hoeveel knikkers heeft hij?
Dit heb je nodig
Inhoud
• leerwerkboek p. 21 - 40 • oefenboek nr 107 - 194 • rekenmachine
G5 G6 G7 G8 G9
Gelijkheden Vergelijkingen van de vorm x + a = b, ax = b en ax + b = c oplossen Vergelijkingen van de vorm ax + b = cx + d oplossen Vergelijkingen met breuken oplossen Formules omvormen is vergelijkingen oplossen
ad
p. 22 p. 26 p. 30 p. 34 p. 38
21
G5
Gelijkheden Op verkenning a
Gelijkheden Aan de kassa kun je vijf euro op verschillende manieren betalen met muntstukken. Je kunt twee muntstukken van twee euro en een muntstuk van één euro geven. •
Geef nog een andere mogelijkheid.
•
Bijvoorbeeld vijf muntstukken van 1 euro . . . . . . . . . . . . ............................................................ ........................................................... Plaats deze twee mogelijkheden naast elkaar. 2 · 2 + 1 · 1 = .5 . . . . ·. . .1 .................... Je bekomt een gelijkheid.
Wiskundetaal – begrip gelijkheid Een gelijkheid bestaat uit twee gelijkwaardige uitdrukkingen.
b
12 · 5 = 50 + 10 linkerlid rechterlid gelijkheidsteken
Eigenschappen van gelijkheden Een nieuwe speelgoedwinkel "Tof Toys" organiseert een wedstrijd. In de etalage staat een balans in evenwicht met daarop een tractor van het merk Siku en drie gewichten. Het kind dat de juiste massa van de tractor kan raden krijgt deze tractor cadeau. •
Noteer de gelijkheid (*) als de balans in evenwicht is. Stel hierbij het gewicht van de tractor voor door de letter t.
•
Hoeveel gram moet de tractor wegen 100 . . . . . . . . . .gram ............ zodat de gelijkheid klopt? Vervang t door je antwoord.
t + 400 = 500 of t + 200 + 200 = 500
. . . . . . . . . . . . ............................................................ ................
•
100 400 = 500 (*) . . . . . . . . . . .+ . ............................................................ ................ 1
Tel bij beide leden van de gelijkheid (*) 200 g op. – Reken beide leden uit. – Bekom je een gelijkheid?
25 – 17 = 2 · 4 (•) 1
? 100 400 + 200 = 500 + 200 . . . . . . . . . . .+ . ............................................................ ................ ! 700 = 700 . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................ •
Tel bij beide leden van de gelijkheid (•) twintig op. – Reken beide leden uit. – Bekom je een gelijkheid?
? 25 – 17 + 20 = 2 · 4 + 20 ! 28 = 28 ................................................................................... ..... ................................................................................... . . . . .
dan bekom je een nieuwe . . . . . . Vul aan: Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt, ........................................................................... gelijkheid.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
2
Trek van beide leden van de gelijkheid (*) 300 g af. – Reken beide leden uit. – Bekom je een gelijkheid?
? 100 400 – 300 = 500 – 300................ . . . . . . . . . . .+ . ............................................................ ! 200 = 200 . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................ •
2
Trek van beide leden van de gelijkheid (•) twintig af. – Reken beide leden uit. – Bekom je een gelijkheid?
? 25 – 17 – 20 = 2 · 4 – 20 ! –12 = –12 ................................................................................... ..... ................................................................................... . . . . .
bekom je een nieuwe. . . . . . . Vul aan: als je van beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal aftrekt, dan ....................................................................... gelijkheid.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . .
22
vergelijkingen
3
Vermenigvuldig beide leden van deze gelijkheid (*) met 2. – Reken beide leden uit. – Bekom je een gelijkheid?
3
? (100 + 400) · 2 = 500 · 2 ! 1000 = 1000 ................ . . . . . . . . . . . . ............................................................
? (25 – 17) · 3 = (2 · 4) · 3 ! 24 = 24 ................................................................................... .....
. . . . . . . . . . . . ............................................................ ................
•
Vermenigvuldig beide leden van de gelijkheid (•) met 3. – Reken beide leden uit. – Bekom je een gelijkheid?
................................................................................... . . . . .
dan bekom je een. . . . . . . Vul aan: als je beide leden van een gelijkheid met eenzelfde getal vermenigvuldigt, ................................................... nieuwe . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . gelijkheid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . .
4
Deel beide leden van de gelijkheid (*) door 5. – Reken beide leden uit. – Bekom je een gelijkheid?
? (100 + 400) : 5 = 500 : 5 ! 100 = 100 . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................ . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................
•
4
Deel beide leden van de gelijkheid (•) door 4. – Reken beide leden uit. – Bekom je een gelijkheid?
? (25 – 17) : 4 = (2 · 4) : 4 ! 2 = 2 ................................................................................... ..... ................................................................................... . . . . .
bekom je een nieuwe Vul aan: als je beide leden van een gelijkheid door eenzelfde getal deelt, dan ............................................................................... gelijkheid. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . Door welk getal kun je niet delen? ............0 ................
c
Eigenschappen noteren in symbolen Een eigenschap is een uitspraak die altijd waar is. • •
Hoe kun je ware uitspraken korter noteren? – Als een natuurlijk getal a deelbaar is door 6 dan is dat natuurlijk getal ook deelbaar door 3. – Je noteert: a is deelbaar door 6 a is deelbaar door 3 Is de omgekeerde bewering ook waar? Indien ja, noteer met een pijl, indien neen, geef een tegenvoorbeeld.
Neen, bv. 9 is deelbaar door 3,........................................................................................................................ maar niet deelbaar door 6. . . . . . . . . . . . . ............................................................ ...... Een eigenschap kan in twee richtingen waar zijn. – •
Als een getal b deelbaar is door 2 en 3, dan is dat getal b ook deelbaar door 6.
Is deze uitspraak waar? Indien ja, noteer met een pijl, indien neen, geef een tegenvoorbeeld.
b. . . . .is. . . . .deelbaar door 2 en 3 b ........................................................................................................................ is deelbaar door 6 . . ............................................................ ...... •
Is de omgekeerde bewering ook waar? Indien ja, noteer met een pijl, indien neen, geef een tegenvoorbeeld.
b. . . . .is. . . . .deelbaar door 6 b is deelbaar door 2 en 3 . . ............................................................ ........................................................................................................................ ...... b. . . . .is. . . . .deelbaar door 2 en 3 b ........................................................................................................................ is deelbaar door 6 . . ............................................................ ...... •
Als een uitspraak in beide richtingen waar is, dan vervang je de twee enkele pijlen door een dubbele pijl. Je noteert: Een getal is deelbaar door twee en door drie
het getal deelbaar is door zes
Wiskundetaal – symbolen a b Het regent. Ik word nat. Betekent: als uitspraak a waar is, dan is uitspraak b ook waar. Lees je als: Als het regent dan word ik nat. a b Ik ga zwemmen. Het is mooi weer. Betekent: als uitspraak b waar is, dan is uitspraak a ook waar. Lees je als: Als het mooi weer is, dan ga ik zwemmen. a b Betekent: uitspraak a is waar als en slechts als uitspraak b ook waar is.
Ik ga zwemmen. Het is mooi weer. Lees je als: Ik ga zwemmen als en slechts als het mooi weer is.
23
G5
Gelijkheden (vervolg)
Eigenschappen – eigenschappen van gelijkheden noteren in symbolen Voor elke gelijkheid in q bekom je een nieuwe gelijkheid als en slechts als je • bij beide leden van de gelijkheid eenzelfde getal optelt.
∀ a, b, c ∈ q: a=b a+c=b+c
5 · 8 = 40
( 5 · 8 ) + 3 = 40 + 3
• van beide leden van de gelijkheid eenzelfde getal aftrekt.
∀ a, b, c ∈ q: a=b a–c=b–c
2 · 6 = 12
( 2 · 6 ) – 5 = 12 – 5
• beide leden van de gelijkheid met eenzelfde getal (≠ 0) vermenigvuldigt.
∀ a, b, c ∈ q en c ≠ 0: a=b a·c=b·c
5 + 19 = 24
• beide leden van de gelijkheid door eenzelfde getal (≠ 0) deelt.
∀ a, b, c ∈ q en c ≠ 0: a=b a:c=b:c
7–5=2
Oefeningen WEER? 107 - 109
1
MEER? 110
Vul aan tot je een gelijkheid bekomt. a
. . . . . . . . . . . . . . = –9 27 : . . . . (–3)
b
48 – . . . . . .23 . . . . . . . . . . . . = 25
c d e f g h WEER? 111 112
2
MEER? 113
WEER? 114 MEER? 115 - 117
24
3
333 · 3 = 999 . . . . . .60 . . . . . . . . . . . . + ( –15 ) = 45 3 5 = 2 . . . . . .– ............ + 8 8 8 (–6) 1,5 · . . . . . . . . . . . . . . . . . . = –9 72 + . (–102) . . . . . . . . . . . . . . . . . = –30 . . . . . 8,4 . . . . . . . . . . . . . : 4 = 2,1 ..................
Vul in met = of ≠. a
v + 13 = s
. . . . . . . . . s – 13 v + 13 + ( –13 ) . . . . . .=
b
–a = b
–a – 6 . . . . . .≠ ......... b + 6
c
–k = g
d
a+2=b–3
1 –k · 1 . . . . . .≠ ......... – g · 2 2 = (a + 2) · 6 ............... (b – 3) · 6
e
d = –204
d – 1 . . . . . .≠ . . . . . . . . . – 203
Vul aan. a
w + s = –5
. . . . .4 ........... w + s + 4 = –5 . . . . . . . .+
w + s + 4 = . . . . . .–1 ............
b
b · 3 = 21 . . . . . . . . . . . . .·. . .3 .............. 3 –x · ( –1 ) = –23 . . . . . .·. . (–1) ...............
b = . . . . . . . . . . . . . 63 ...................
c
b = 21 3 –x = –23
x = . . . . . . . . . . . . . 23 ...................
d
–2t = 16
–2t : 2 = 16 . . . . . . . . . . . .:. . .2. . . . . . . . . . . . . .
–t = . . . . . . . . . . . . . .8 ................
e
d + 5 = 29
d + 5 + 12 = 29 . . . . . .+ . . . . .12 ...........
d + 17 = . . . . . . . . .41 ..............
vergelijkingen
( 5 + 19 ) · 3 = 24 · 3 (7 – 5) : 2 = 2 : 2
4
• •
Vul in met de meest nauwkeurige notatie: , Verklaar.
a
a is deelbaar door 9
WEER? 118 119
of .
..................
a is deelbaar door 3.
Het omgekeerde is niet altijd waar. Bv. 6 is wel deelbaar door 3, maar niet door 9.
. . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . .
b
a is een veelvoud van 25 en van 4
..................
a is een honderdvoud.
De uitspraak is in twee richtingen waar.
. . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . .
c
b < 10
..................
b<5
Stel b = 8, 8 < 10, maar 8 is niet kleiner dan 5.
. . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . .
d
c≤6
..................
c<8
Het omgekeerde is niet altijd waar. Bv. 7 < 8 maar 7 is niet kleiner dan of gelijk aan 6.
. . . . . . . . . . . . ............................................................ ........................................................................................................................ . . . . . .
e
2+x=y
..................
x=y–2
De uitspraak is in twee richtingen waar.
. . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . .
f
d is een veelvoud van 2
..................
d is een veelvoud van 4.
Stel d = 6, 6 is een veelvoud van 2, maar niet van 4.
. . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . .
g
m is deelbaar door 2 en door 5
..................
m is deelbaar door 10.
De uitspraak is in twee richtingen waar.
. . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . .
h
De noemers van twee breuken zijn gelijk
..................
de breuk met de grootste teller is de grootste breuk.
Het omgekeerde is niet altijd waar. Bv. 82 > 78 en de noemers zijn niet gelijk.
. . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . .
Wat moet je kunnen? eigenschappen in verband met gelijkheden onderzoeken en in woorden formuleren eigenschappen in verband met gelijkheden in symbolen noteren eigenschappen in verband met gelijkheden toepassen in oefeningen
25
G6
Vergelijkingen van de vorm x + a = b, ax = b en ax + b = c oplossen Op verkenning In het eerste jaar leerde je een vraagstuk te vertalen in wiskundetaal (een vergelijking op te stellen).
ad
ad
a
b
Noteren in wiskundetaal • Noteer in wiskundetaal. • De onbekende vervang je door x. –
Het vijfvoud van een getal.
–
Het verschil van een getal en 9.
–
De helft van een getal.
–
Het tegengestelde van een getal vermeerderen met 15.
5·x x – 9 ....... ....................... 1 · x of 0,5x 2....................... . . . . . . . –x + 15. . . . . . . ....................... ....................... . . . . . . .
Vergelijkingen van de vorm x + a = b en ax = b x+a=b
Lees aandachtig het vraagstuk en onderstreep de bekende gegevens. Onderstreep de onbekende twee keer. Anneleen wil een nieuwe kleerkast kopen. Als ze vijf extra leggers wil, kost dit 49 euro meer. Anneleen betaalt voor de kleerkast met vijf extra leggers 329 euro. Wat is de prijs van de kleerkast zonder extra leggers?
• •
Noteer het vraagstuk in wiskundetaal. De onbekende stel je voor door de letter x. Los de vergelijking op.
$
329
.............
x = 329 . . . . . . .– . . . .49 .. x =
–. . . .49 ....
280
x = 320 . . . . . . . .:. .16 ... x =
:. . .16 .....
20
.............
................................................................................................
Een gelijkheid blijft behouden als je van
........................................................................................... . . . .
beide leden eenzelfde getal aftrekt.
........................................................................................... . . . .
Een gelijkheid blijft behouden als beide leden gedeeld worden door eenzelfde getal (≠ 0)
Controleer je oplossing.
280
+ 49 = 329
16 · . . . . . .20 . . . . . . . . . . . . = 320
Formuleer een antwoordzin. ................................................................................................
De kleerkast zonder extra leggers kost
........................................................................................... . . . .
280 euro.
........................................................................................... . . . .
................................................................................................
26
320
.............
Welke eigenschap heb je toegepast?
..................
•
16 · x =
.............
................................................................................................
•
: . 16 .......
$
. . . . 49 ......= x.+
$
–. . .49 .....
•
De school koopt voor de derde kleuterklas 16 steps en betaalt 320 euro. Wat is de prijs van één step?
$
•
ax = b
vergelijkingen
Eén step kost 20 euro.
Los deze vergelijkingen op met het pijlenschema.
$
x =–111 . . . . . . .+ . . . . .17 . x =
+. . . . 17 ....
–. . .64 .....
64 – x =
–94
.............
150
–. . . .64 ....
$
x – 17 = –111
$
+. . . . .17 ...
$
CONTROLE 5
–x =150 . . . . . .– . . . .64 ...
86
–x =
.............
x =
.............
–86
x en –x zijn tegengestelde termen
= –75 . . . . . . . . . :. . .5 .
x =
ad
c
:5
........
·3
x : 3 =
$
$
x
–75
........
–15
.............
35
·3
$
5 · x =
$
:5
........
x =
35 . . . . . . . .·. . 3 ...
x =
.............
........
105
Vergelijkingen van de vorm ax + b = c Pieter en Thomas spelen een spelletje. Pieter moet het getal raden dat Thomas in gedachten heeft. Thomas geeft als tip: ‘Als je het drievoud van het getal vermeerdert met twintig, dan bekom je 71.’ Welk getal moet Pieter raden? Lees het vraagstuk aandachtig en onderstreep de bekende gegevens. Onderstreep de onbekende twee keer. Noteer het vraagstuk in wiskundetaal. De onbekende stel je voor door de letter x.
• • •
–
Het drievoud van het getal?
–
Met welk getal vermeerder je dit product?
–
Aan welk getal is deze som gelijk?
–
Stel de vergelijking op.
3...................................................... ·x ....... 20 ...................................................... . . . . . . . 71 ...................................................... . . . . . . . 3...................................................... · x + 20 = 71 .......
Herhaling – rekenschema ·3 x
+ 20 3x
:3
volgorde van bewerkingen 71
– 20
terugrekenen, omgekeerde volgorde
27
G6
Vergelijkingen van de vorm x + a = b, ax = b en ax + b = c oplossen (vervolg) •
Los de vergelijking op. –
Werk de term zonder x weg uit het linkerlid.
–
Reken het rechterlid uit.
–
De vergelijking is herleid naar de vorm ax = b.
–
Los de vergelijking verder op. Deel beide leden door 3.
•
Controleer de oplossing.
•
Formuleer een antwoordzin.
3...................................................................................... · x = 71 – 20 ...... 3...................................................................................... · x = 51 ...... x...................................................................................... = 51 : 3 ...... x...................................................................................... = 17 ...... 3..................................................................................... · 17 + 20 = 51 + 20 = 71 . . . . . . . Het getal dat Pieter moet ..................................................................................... ....... raden is 17. ..................................................................................... .......
Stappenplan – oplossen van een vraagstuk met een vergelijking Lees het vraagstuk aandachtig en onderstreep de bekende gegevens. Onderstreep de onbekende twee keer. Noteer het vraagstuk in wiskundetaal. De onbekende stel je voor door de letter x. Los de vergelijking op. Controleer de oplossing. Formuleer een antwoordzin.
Oefeningen WEER? 120 - 125 MEER? 126 127
5
• •
Los de volgende vergelijkingen op. Controleer steeds de oplossing.
a
–3 · x = 18
35 = –28 + x
x = 18 : (–3) x = –6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ .................... linkerlid: –3 · (–6) = 18 .Controle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ .................... rechterlid: 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ....................
–28 + x = 35 x = 35 + 28 = 63 . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................... Controle: linkerlid: 35 ....................................................................................... ............. rechterlid: –28 + 63 = 35 ....................................................................................... .............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ....................
....................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
b
d
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ....................
7,5 + x – 20 = 2,5
....................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
x : 15 = –4
x – 12,5 = 2,5 x = 2,5 + 12,5 .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ x = 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ .................... linkerlid: 7,5 + 15 – 20.................... = 2,5 .Controle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ rechterlid: 2,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ....................
x = –4 · 15 x = –60 ....................................................................................... ............. Controle: linkerlid: –60 : 15 = –4 . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................... rechterlid: –4 ....................................................................................... .............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ....................
....................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ....................
28
c
vergelijkingen
....................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
....................................................................................... . . . . . . . . . . . . .
e
2x – 25 = –18
2x = –18 +25 2x = 7 ................................................................................ ................ x = 3,5 ................................................................................ ................ Controle: linkerlid: 2 · 3,5 – 25 = 7 – 25. . . .=. . . . .–18 ................................................................................ ....... ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
rechterlid: –18 ................................................................................ ................ 6
f
3 –x=–5 2 2
–x = – 52 – 32 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .–x . . . . . . . . .= . . . . . . . . .– ........................................ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . . . . .4 ........................................... 3 3 8 –5 = . . . . .Controle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .linkerlid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .– . . . . .4 . . . . . .= . . . . . . . . . . . . .– 2 2 . . . . .2. . . . . . . . . 2 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .rechterlid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .– ...................................... 2 ................................................................................................
Voor vier identieke wagens betaalt de autohandelaar 61 824 euro. a Hoeveel betaalt hij per wagen? b Los dit vraagstuk op met het stappenplan.
2 x is de kostprijs van een wagen. ................................................................................ ........................................................ 3 4 · x = 61 824 ................................................................................ ........................................................ 4 x = 61 824 : 4 ................................................................................ ........................................................ x = 15 456 ................................................................................ ........................................................ 5 Controle: linkerlid: 4 · 15 456 ................................................................................ . . . . . . . . .= . . . . . . .61 . . . . . . .824 ................................. rechterlid: 61 824. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................ 6 Een wagen kost 15 456 euro.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................ 7
Michiel is verzot op zijn pc-spel Desert Rally. Vandaag scoort hij 56 punten meer dan gisteren en behaalt nu een totaal van 329 punten. a Wat was gisteren zijn totaalscore? b Los dit vraagstuk op met het stappenplan.
WEER? 128 - 132 MEER? 133
WEER? 134 - 136
2 x is de totaalscore van gisteren ................................................................................ ....................................................... 3 x + 56 = 329 ................................................................................ ....................................................... 4 x = 329 – 56 ................................................................................ ....................................................... x = 273 ................................................................................ ....................................................... 5 Controle: linkerlid: 273 + 56. . . . . .=. . . . . . .329 ................................................................................ .......................................... rechterlid: 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................ 6 Michiel behaalde gisteren 273 ................................................................................ . . . . . . .punten. ................................................ 8
Als je het drievoud van een bedrag aftrekt van 280 euro dan bekom je 91 euro. a Wat is het bedrag? b Los dit vraagstuk op met het stappenplan.
2 x is het bedrag ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 . . . . . . . . . Controle: ........................................................................................... 3 280 – 3x = 91 ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .linkerlid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .280 . . . . . . . . . .– . . . . .3 . . . .·. . .63 . . . . . . . . .= . . . . . . .91 ....................... 4 –3x = 91 – 280 ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .rechterlid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 .......................................................... –3x = –189 ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 . . . . . . . . . Het . . . . . . . . . . .bedrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . . .63 . . . . . . . euro. ................................................. x = –189 : (–3) ................................................................................ .............................................................................................................................. x = 63 ................................................................................ ..............................................................................................................................
WEER? 137 - 139 MEER? 140 - 143
Wat moet je kunnen? vergelijkingen van de vorm a + x = b oplossen vergelijkingen van de vorm ax = b oplossen vergelijkingen van de vorm ax + b = c oplossen problemen oplossen met behulp van een vergelijking van de vorm a + x = b, ax = b en ax + b = c
29
G7
Vergelijkingen van de vorm ax + b = cx + d oplossen Op verkenning a
Vergelijkingen van de vorm ax + b = cx + d Bekijk de balans met knikkers en gewichten. Wat is het gewicht van één knikker? • Lees het vraagstuk aandachtig en onderstreep de bekende gegevens. • Onderstreep de onbekende twee keer. • Noteer het vraagstuk in wiskundetaal.
•
–
De massa van alle knikkers in de linkerschaal.
–
De totale massa in de linkerschaal.
–
De massa van alle knikkers in de rechterschaal.
–
De totale massa in de rechterschaal.
–
De vergelijking.
6·x 6 · x + 100 ..................................................................................... ....... 4·x ..................................................................................... ....... 4 · x + 150 of 4x + 100 + 50 . . . . . . . ..................................................................................... 6x + 100 = 4x + 150 ..................................................................................... ....... ..................................................................................... . . . . . . .
Los de vergelijking op.
In beide leden Ja ..................................................................................... ....... De termen met x in één lid ..................................................................................... ....... samen zetten. ..................................................................................... .......
–
In welk lid staat de onbekende?
–
Gaat het over dezelfde onbekende?
–
Hoe kun je tot één onbekende komen?
–
Schrijf in één lid de termen met x en in het andere lid de termen zonder x door in beide leden dezelfde bewerking uit te voeren. Onderstreep eerst de termen die je moet verplaatsen.
..................................................................................... . . . . . . .
6x – 4x = 150 – 100 2x = 50 ..................................................................................... ....... x = 50 : 2 ..................................................................................... ....... x = 25 ..................................................................................... ....... 6 · 25 + 100 = 150 + 100 = 250 ..................................................................................... ....... 4 · 25 + 150 = 100 + 150 = 250 ..................................................................................... ....... 1 knikker weegt 25 g. ..................................................................................... ....... ..................................................................................... . . . . . . .
–
Reken beide leden uit.
–
Je hebt de vergelijking herleid naar de vorm ax = b.
•
Los de vergelijking verder op.
•
Controleer de oplossing.
linkerlid: rechterlid:
•
Formuleer een antwoordzin.
Stappenplan – vergelijkingen van de vorm ax + b = cx + d oplossen
CONTROLE 6
• •
2x – 9x = –7 –7x = –7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................. x =1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................
Controle: linkerlid: 2 · 1 + 7 = 2 + 7 = 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................
rechterlid: 9 · 1 = 9
vergelijkingen
beide leden – 3x – 6
7x – 3x = –8 – 6
termen optellen
4x = –12
x = –12 : 4 = –3
beide leden delen door 4
Los de vergelijking op. Controleer telkens de oplossing.
2x + 7 = 9x
30
7x + 6 = 3x – 8
$ $$
Onderstreep de termen die van plaats moeten veranderen. Noteer in één lid de termen met factor x en in het andere lid de termen zonder factor x door in beide leden dezelfde bewerking uit te voeren. Tel in beide leden de termen op. Los de vergelijking van de vorm ax = b op.
5x – 4 = 3x + 28 + 8x
5x – 3x – 8x = 28 + 4 –6x = 32 ................................................................................ . –32 x = 6 ................................................................................ . –16 x = 3 ................................................................................ . ................................................................................ .
b
Vergelijkingen met haakjes Reken uit. 2 + 3 · (5 – 2) =
2 + 3 · 3 = 2 + 9 = 11 De berekening tussen de haakjes. ............................................................................ ....... ............................................................................. . . . . . .
Wat heb je eerst uitgerekend? •
Werk de haakjes weg. 2 · (a + 4) = 7 – (x + 3) = a + ( 3a – 7 ) =
•
2a . . . . . . . . .+ . . . . .8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. 7. . . . .–. . . . .x. . . . –. . . . .3. . . . . . . .=. . . . . . . .4. . . . –. . ................. x a. . . . .+ –7 . . . . . .3a . . . . . . . .– . . . . .7 . . . . . . . .= . . . . . . . .4a . .................
( x + 3 ) – ( 4x – 8 ) =
–2x + 10 ................................................. ....... x + 3.................................................. – 4x + 8 = –3x +. . . . .11 .
–( 3x + 6 ) + ( 5x – 3 ) =
–3x –.................................................. 6 + 5x – 3 = 2x – 9. . . . . .
( x – 5 ) · ( –2 ) =
–
In welke oefeningen pas je de distributieve eigenschap toe?
De eerste en de vierde oefening. ............................................................................ .......
–
Welke regel gebruik je in de andere oefeningen?
De haakjesregel / de associativiteit ............................................................................ .......
Volg het stappenplan om de vraagstukken op te lossen. –
Lees het vraagstuk aandachtig en onderstreep de bekende gegevens. Onderstreep de onbekende twee keer. Lotte koopt juwelen in de wereldwinkel. Op elk juweel is er 2 euro korting. Ze koopt vier juwelen van dezelfde prijs en betaalt 52 euro. Hoeveel kost een juweel zonder korting?
–
Toon en Tessa spelen een denkspelletje. Toon moet het getal raden dat Tessa in gedachten heeft. Tessa geeft als tip: ‘Als je het dubbel van het getal vermindert met 56 en dit verschil aftrekt van 120, dan krijg je als uitkomst 30.’
Noteer het vraagstuk in wiskundetaal.
x Het getal dat je zoekt. . . . . . . . . . .x ............. Eén juweel met korting . . . . . .x . . . .– . . . . .2 . . . . . . . . Het dubbel van dat getal verminderen met 56. 2x – 56 Hoeveel juwelen koopt Lotte? . . . . . . . . . . .4 . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... . . . . . Trek dit verschil af van 120. Gebruik haakjes. Schrijf dit als product. .4 . . . . ·. . .(x . . . . . .– . . . . 2) ..... 120 – (2x – 56) ........................................................................................... ..... Aan welk bedrag is dit product gelijk? . . 52 . . . . . . . .euro . . . . . . . . . . . . . Welke uitkomst krijg je in de tip? Stel de vergelijking op. = 52 ........................................................................................... 120 – (2x – 56) = 30 Stel de vergelijking op. . . . . . .4 . . . . .·. . .(x . . . . . .– . . . . .2) ............................ ..... Een juweel zonder korting
–
.......................
Breng de vergelijking in de vorm ax + b = c.
Pas in het linkerlid de distributieve eigenschap toe.
Werk in het linkerlid de haakjes weg.
120 – (2x – 56) = 30 4........................................................................ · (x – 2) = 52 ........................ ........................................................................................... ..... 120 – 2x + 56 = 30 4x – 8 = 52 ........................................................................ ........................ ........................................................................................... ..... –2x + 176 = 30 – Los de vergelijking op. = 30 – 176 4x 52 + 8 .. . . . . . . . .= . . . ................................................................................... .–2x .......................................................................................... ..... = –146 4x 60 .. . . . . . . . .= . . . ................................................................................... .–2x .......................................................................................... ..... = –146 : (–2) x.. . . . . .=. . . . . . ................................................................................... 60 : 4 .x .......................................................................................... ..... = 73 x.. . . . . .=. . . . . . ................................................................................... 15 .x .......................................................................................... ..... –
4............................................................................... · (15 – 2) = 4 · 13 = 52 52 rechterlid: .................................................... ........................ linkerlid:
–
120 – (2 · 73 – 56) = 120 – (146 – 56)
Controleer de oplossing.
Formuleer een antwoordzin.
De kostprijs van één juweel zonder korting is 15 euro.
.. . . . . . . . . . . . ...................................................................................
linkerlid:
= 120 – 90 = 30
.......................................................................... . . . . .
rechterlid:
30
....................................................................... . . . . .
Het getal dat Tessa in gedachten heeft, is 73.
. .......................................................................................... . . . . .
31
G7
Vergelijkingen van de vorm ax + b = cx + d oplossen (vervolg)
Stappenplan – vergelijkingen met haakjes oplossen Noteer in één lid de termen met x en in het andere lid de termen zonder x door in beide leden dezelfde bewerking uit te voeren. Onderstreep de termen die van plaats veranderen. Tel in beide leden de termen op.
4 · (2 – x) = 16
$$$$
Werk eerst de haakjes weg.
“·” is distributief t.o.v.“+” in q
8 – 4x = 16
beide leden – 8
–4x = 16 – 8
termen optellen
–4x = 8
beide leden : – 4
Los de vergelijking van de vorm ax = b op.
x = 8 : (–4) x = –2
$$$$
5 – (4 – 3x) = 13
haakjesregel
5 – 4 + 3x = 13
beide leden – 5 + 4
3x = 13 – 5 + 4
termen optellen
3x = 12
beide leden : 3
x = 12 : 3 x=4
Oefeningen WEER? 144 145
9
• •
Los de vergelijking op. Controleer telkens de oplossing.
a
25 + 4x = 5
4x = 5 – 25 4x = –20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................ x = –20 : 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................ x = –5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................ linkerlid: 25 + 4 · (–5) ................ = 5 .Controle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ rechterlid: 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................
b
4 – 2x + 8 = 12 + 4x
–2x – 4x = 12 – 4 – 8 –6x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................ x = 0 : (–6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................ x =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................ linkerlid: 4 – 2 · 0 + 8 = 12 .Controle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................ rechterlid: 12 + 4 · 0 =................ 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ................
32
vergelijkingen
c
3x + 5x + 6 = 7x + 8
3x + 5x – 7x = 8 – 6 x =2 ........................................................................................... ..... ........................................................................................... . . . . .
........................................................................................... . . . . . ........................................................................................... . . . . .
Controle: linkerlid: 3 · 2 + 5 · 2 + 6 = 22 rechterlid: 7 · 2 + 8 = 22 . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... . . . . .
d
–2,8x + 3x = 7x – 13,94
–2,8x + 3x – 7x = –13,94 –6,8x = –13,94 ........................................................................................... ..... x = –13,94 : (–6,8) . . . . . ........................................................................................... x = 2,05 ........................................................................................... ..... Controle: linkerlid: –2,8 · 2,05 + 3 · 2,05 ........................................................................................... . . . . . = 0,41 rechterlid: 7 · 2,05 – 13,94 .= ........................................................................................... . . . . 0,41 ........................................................................................... . . . . .
10 Het dubbel van een getal vermeerderd met 20 geeft hetzelfde resultaat als het drievoud van dat getal verminderd met 4. • Zoek dit getal. • Gebruik het stappenplan.
WEER? 146 - 151 MEER? 152 - 155
2................................................................................ x is het getal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 . . . . . . . . . .Controle: ........................................................................................... 3................................................................................ 2x + 20 = 3x – 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .linkerlid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 . . . .·. . .24 . . . . . . .+ . . . . .20 . . . . . . . . .= . . . . . . . .68 ................................ 4................................................................................ 2x – 3x = –4 – 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .rechterlid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 . . . . .·. .24 .......– . . . . .4 . . . . . .= . . . . . . . 68 ................................. –x = –24 ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 . . . . . . . . . .Het . . . . . . . . . .getal . . . . . . . . . . . . . . is . . . . .24. .............................................................. x = 24 ................................................................................ .............................................................................................................................. ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 • • a
WEER? 156 - 161
Los de vergelijkingen op. Controleer telkens de oplossing. 6 · ( 2 + x ) = 18
12 + 6x = 18
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
c
13,8 – ( x – 5 ) = 6,7
13,8 – x + 5 = 6,7
................................................................................................
6x = 18 – 12
................................................................................................
6x = 6
................................................................................................
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
x =1
................................................................................................
Controle: linkerlid: 6 · (2 + 1) = 18
Controle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . linkerlid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13,8 . . . . . . . . . .– . . . (12,1 . . . . . . . . . . .– . . . .5) . . . . . . .= . . . . . .6,7 ..........
rechterlid: 18
................................................................................................
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
b
5 · ( x + 2 ) – 3x = 4x – 5
–x = 6,7 – 5 – 13,8 –x = –12,1 x = 12,1
rechterlid: 6,7
d
– ( x + 8 ) = 1 · ( 4 – 6x ) 2
5x + 10 – 3x = 4x – 5
................................................................................................
5x – 3x – 4x = –5 – 10
................................................................................................
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
–2x = –15
–x – 8 = 2 – 3x
–x + 3x = 2 + 8 2x = 10
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
................................................................................................
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
x = 7,5
................................................................................................
Controle: linkerlid: 5 · (7,5 + 2) – 3 · 7,5 = 25
Controle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . linkerlid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .–(5 . . . . . . .+ . . . .8) ......= . . . . . . –13 ............................
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
rechterlid: 4 · 7,5 – 5 = 25
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
MEER? 162
x =5
rechterlid: 12 · (4 – 6 · 5) = –13
................................................................................................
12 Nadia is 34 jaar en haar dochter Marjon is 8. Binnen hoeveel jaar zal Nadia driemaal zo oud zijn als Marjon?
2................................................................................ x is het aantal jaar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 . . . . . . . . . .Controle: ........................................................................................... 3................................................................................ 34 + x = 3(8 +x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .linkerlid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 . . . . . . .+ . . . . .5 . . . . . . .= . . . . . . .39 .......................................... 4................................................................................ 34 + x = 24 + 3x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .rechterlid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 . . . . .·. .(8 . . . . . .+ . . . . . 5) . . . . . . . .= . . . . . . . .3 . . . .·. . 13 . . . . . . . . . .= . . . . . . .39 ........ x – 3x = 24 – 34 is Nadia drie maal zo ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 . . . . . . . . . .Binnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 . . . . jaar ... –2x = –10 ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .oud . . . . . . . . . . . als . . . . . . . . .Marjon. ...... x = 5 ................................................................................ .............................................................
WEER? 163 - 165 MEER? 166 - 171
Wat moet je kunnen? vergelijkingen van de vorm ax + b = cx + d herleiden naar de vorm ax + b = c vergelijkingen met haakjes herleiden naar de vorm ax + b = c
33
G8
Vergelijkingen met breuken oplossen Op verkenning
ad
a
Gelijkheden met breuken eenvoudiger schrijven • Wat doe je als je breuken wilt optellen? 3 2 + = 4 3
Je maakt de breuken gelijknamig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................
•
Welk getal neem je als nieuwe noemer?
•
Vermenigvuldig elke term van beide leden van de gelijkheid met het kgv van de noemers. Wat stel je vast? 2 + 1 = 4 + 5 2 10 10 5
Het kgv van de noemers.
. . . . . . . . . . . . ............................................................ ...........................................
4 + 10 · 5 10 · 25 + 10 · 12 = 10 · 10 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 . . . .+ . . . . . .5 . . . . . . .= . . . . . . . . .4 . . . . .+ . . . . . .5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............
De noemers zijn weg. De gelijkheid blijft behouden.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............
•
Welke eigenschap van de gelijkheden heb je toegepast?
Een blijft behouden........................................................................................................................ als je beide leden van de gelijkheid met eenzelf. . . . . . . . . . .gelijkheid . ............................................................ ...... de (verschillend van 0) vermenigvuldigt. . . . . . . . .getal . . . . ............................................................ ........................................................................................................................ . . . . . .
(
b
) (
$$
Rekenregel – noemers wegwerken in een gelijkheid 2 +1+ 1 =2– 1 Je kunt in een gelijkheid met breuken de 3 6 6 noemers wegwerken door beide leden van 1 2 de gelijkheid te vermenigvuldigen met het =6 2– 1 6 +1+ 3 6 6 kgv van de noemers. 4 + 6 + 1 = 12 – 1
)
beide leden vermenigvuldigen met 6 “·” is distr. t.o.v. “+” in q.
Vergelijkingen met breuken oplossen Wouter maakt met zijn ouders een daguitstap naar de dierentuin. Vader haalt geld af aan de bankautomaat. Aan de inkom moet de helft van dit bedrag worden betaald. ’s Middags wordt er geluncht voor een vijfde van het bedrag. Moe maar tevreden keert het gezin terug naar huis en heeft het nog 30 euro over. Welk bedrag heeft vader afgehaald? • • •
•
34
Lees het vraagstuk aandachtig en onderstreep de bekende gegevens. Onderstreep de onbekende twee keer. Schrijf het vraagstuk in wiskundetaal. Stel de onbekende voor door de letter x. –
Wat is de onbekende?
–
Welk deel van het bedrag betaalt het gezin aan de inkom?
–
Welk deel van dit bedrag besteedt het gezin aan de lunch?
–
Welk bedrag houdt het gezin over?
–
Noteer het vraagstuk in wiskundetaal.
Het............................................................................ bedrag dat vader heeft afgehaald. ....... 1 2 x............................................................................ . . . . . . . 1 5 x............................................................................ . . . . . . .
30............................................................................ euro ....... 1 1 x – 5 x = 30 x –............................................................................ ....... 2
Los de vergelijking op. –
Welke noemers staan er in de vergelijking van het vraagstuk?
2 en 5 ............................................................................ .......
–
Wat is het kgv van deze getallen?
10 ............................................................................ . . . . . . .
vergelijkingen
10 · (x – 12 x – 15 x) = 30 · 10 . . . . . . . ............................................................................ 10x – 5x – 2x = 300 ............................................................................ ....... 10x – 5x – 2x = 300 ............................................................................ ....... 3x = 300 ............................................................................ ....... x = 300 : 3 ............................................................................ ....... x = 100 ............................................................................ ....... 1 1 · 100 = 100 – 50 – 20 = . . . .30 100 – 2 · 100 – ............................................................................ ... 5 Vader heeft 100 euro afgehaald. ............................................................................ .......
–
Vermenigvuldig beide leden met het kgv van de noemers.
–
Los de vergelijking verder op.
•
Controleer de oplossing.
•
Formuleer een antwoordzin.
Stappenplan – vergelijkingen met breuken oplossen
)
Los de vergelijking van de vorm ax = b op.
x = 24 : 4 x=6
$$$$$
(
1 · 4x–5 = 3 2 3 2 Werk de noemers weg door elke term in het linker- en 2x– 5 = 3 3 2 2 het rechterlid te vermenigvuldigen met het kgv van de noemers. 4x – 15 = 9 Noteer in één lid de termen met factor x en in het andere lid de termen zonder factor x door in beide 4x = 9 + 15 leden dezelfde bewerking uit te voeren. 4x = 24 Tel in beide leden de termen op. Werk de haakjes weg.
"·" is distributief t.o.v. "+" beide leden · 6 beide leden + 15 termen optellen beide leden : 4
Oefeningen 13 • • a
Los de vergelijkingen op. Controleer telkens de oplossing. –5x=–2 5 4
( )
· – 54 x = – 25 · 20 . . . . . . . . . . . . . . .20 . . . . . ............................................................................ –25x = –8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................
x = –8 : (–25)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................
8 x = 25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................
b
(
x+ 7 = 3 10 5
)
7 = 3 · 10 10 · x + 10 ........................................................................................... ..... 5
WEER? 172 173 MEER? 174 - 177
10x + 7 = 6
........................................................................................... . . . . .
10x = 6 – 7
........................................................................................... . . . . .
1 x = – 10
........................................................................................... . . . . .
·2·4 1 + 7 = 6 = 3 ·8 Controle: linkerlid: 4–5· 25 = –5 = – 25 Controle: linkerlid: – 10 ........................................................................................... 4·5·5 10 10 . . . . . 5 rechterlid: –2 rechterlid: 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................ ........................................................................................... ..... 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................
35
G8
Vergelijkingen met breuken oplossen (vervolg) 3 + 2x = x – 5 2 4
c
(
) ( )
4 · 34 + 2x = x – 52 · 4
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . .
8x – 4x = –10 – 3
..............................................................................................
4x = –13
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . .
x = – 13 4
28x – 4 = 3x
28x – 3x = 4 25x = 4
..............................................................................................
4 x = 25
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . .
..............................................................................................
Controle: linkerlid: 34 + 2 · –13 = ................................................................................ 4 ..............
7 4 1 = 28 – 1 = Controle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . linkerlid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .·. . . . . . . . . .– ............ 3 25 . . . .3. . . . . . . . . . . . . . .75 3
3 26 – = –23 4 4 4 –13 5 rechterlid: – 2 = –13 – 10 = –23 ................................................................................ 4 4 4 . . . . . . . . . . .4. . . ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . .
MEER? 180
)
..............................................................................................
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . .
14
(
12 · 73 x – 13 = 14 x · 12
..............................................................................................
3 + 8x = 4x – 10
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . .
WEER? 178 179
7x– 1 = 1x 3 3 4
d
28 25 3 1 – = 75 = 25 75 75 1 4 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rechterlid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .·. . . . . . . . . . . .= ............... 4 25 . . . . . . .25 ..............................................................................................
7 van een getal is 7 . 15 3 • Welk getal is dat? • Gebruik het stappenplan.
2................................................................................ x is het gezochte getal. .............................................................................................................................. 7x = 7 3................................................................................ .............................................................................................................................. 15 3
( )
7 x = 7 · 15 4................................................................................ 15 · 15 .............................................................................................................................. 3
7x = 35
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x = 35 : 7
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x = 5
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5................................................................................ Controle: ........................................................ 7 ·5 = 7·5 = 7·5 = 7 linkerlid: 15 15 3·5 3
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rechterlid: 73
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6................................................................................ Het gezochte getal is 5. ........................................................ ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
vergelijkingen
15 Het gemiddelde van een getal en 123 is 87. • Welk getal is dit? • Gebruik het stappenplan.
WEER? 181 182
2. . . . . . . . . .x. . . .is gezochte getal. . . . . .het . ............................................................ ........................................................................................................................ . . . . . . 3. . . . . . . . . .x. . . .+. . .2.123 = 87 . . ............................................................ ........................................................................................................................ . . . . . . 4. . . . . . . . . .2x. . . . .+. . . . .123 = 87 ............................................................ ........................................................................................................................ . . . . . . 2
(
)
2 · 2x + 123 = 87 · 2 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ........................................................................................................................ . . . . . .
x + 123 = 174
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ........................................................................................................................ . . . . . .
x = 174 – 123
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ........................................................................................................................ . . . . . .
x = 51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ........................................................................................................................ . . . . . .
5. . . . . . . . . .Controle: linkerlid: 51 +2 123 ........................................................................................................................ = 174 = 87 . . . . . . . . . . ............................................................ ...... 2 rechterlid: 87
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................ ........................................................................................................................ . . . . . .
6. . . . . . . . . .Het getal is 51. . . . . . . . . . .gezochte ............................................................ ........................................................................................................................ . . . . . . 16 Een erfenis van € 65 000 wordt verdeeld onder drie personen. De derde krijgt een kwart van het deel van de eerste en de eerste krijgt 50 % van het deel van de tweede. • Hoeveel krijgt elke persoon? • Gebruik het stappenplan.
2. . . . . . . . . . .Persoon 2 krijgt x euro. . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................
WEER? 183 184 MEER? 185 186
Persoon 1 krijgt 1 x euro.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................. 2
( )
Persoon 3 krijgt 1 · 1 x = 1 x euro
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................. 4 2 8
x + 18 x = 65 000 3. . . . . . . . . . .x. . . .+. . . . .12. . .............................................................................................................................
( ) 8x + 4x + x = 520 000
+ 12 x + 18 x = 65 000 · 8 4. . . . . . . . . . .8. . . .·. . . . .x. . ............................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................
13x = 520 000
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................
x = 520 000 : 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
x = 40 000
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
5. . . . . . . . . . .Controle: linkerlid: 40 000 + 12 · 40 000 + 18 · 40 000 = . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... ...... 40 000 + 20 000 + 5 000 = 65 000
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
rechterlid: 65 000
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
6. . . . . . . . . . .Persoon 1 krijgt 20 000 euro, persoon 2 krijgt 40 000 euro en persoon 3 . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... ...... krijgt 5000 euro.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
Wat moet je kunnen? vergelijkingen met haakjes en breuken oplossen
37
Formules omvormen is vergelijkingen oplossen Weetje
G9
Op verkenning
In een vergelijking is x de onbekende. In een formu le kan elke letter de onbekende zijn.
Een voetbalveld is 105 m lang en heeft een oppervlakte van 6300 m². Wat is de breedte van het veld? •
Een rechthoek Welke vorm heeft een voetbalveld? .............................................................
•
·b Noteer de oppervlakteformule van deze figuur. S = l.............................
Methode 1 (Letters vervangen door de gekende maatgetallen) Vervang de lengte en de oppervlakte door de maatgetallen.
•
Welke letter is hier de onbekende?
•
Los de vergelijking op.
2=l·b 6300 . . . . . . . . .m ...................
$
: 105 ........
b = .6300 . . . . . . . . . . .m . . . . . . .:. .105 . . . . . . . .m .. 2
Controleer de oplossing.
:l
........
b = . . . . . .A . . . . . . . . : . . . . . . .l. . . . . . .
:. .105 ......
b = . . . . . . . . . 60 . . . . . . . .m .............. •
$
:l
........
$
2 . . . . .6300 . . . . . . . . . . . . . .m . . . . . . . . . . . . = . . . . .105 . . . . . . . . . . .m ......... · b 2 . . . . . .105 . . . . . . . . . .m . . . . . . . . . . · b = . . . . . 6300 . . . . . . . . . . . . . .m ............
A = . . . . . . . . . . . .l. . . . . . . . . . . . . · b . . . . . . . . . . . . l. . . . . . . . . . . . . . · b = . . . . . . . . . . . . . .A ................. b = . . . . . . . . . . . . . .A ................. ...............................
b . . . . . . . . . ...................
$
•
Methode 2 (De vergelijking oplossen zonder de letters te vervangen door de maatgetallen) • Zonder b af door beide leden te delen door l.
•
Vervang de lengte (l) en de oppervlakte (S) door de gegeven maatgetallen.
b = 6300 m2 : 105 m = 60 m
...................................................................................................... . . . . . .
105 m · 60 m = 6300 m2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................
•
Formuleer een antwoordzin.
Het voetbalveld is 60 meter breed.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................
Zonder de onbekende uit de formule af in één lid door in beide leden dezelfde bewerking uit te voeren.
·2
:b
S= b·h 2 b·h =S 2 b·h=S·2
$$
Bepaal welke letter uit de formule de onbekende is. Wissel het linkerlid en het rechterlid.
$$
Stappenplan – formules omvormen
h= 2·S b
·2 :b
Oefeningen WEER? 187 188
17 a
Bereken de hoogte van een parallellogram met een oppervlakte van 15 cm2 en een basis van 5 cm.
MEER? 189
h b = 5 cm
38
A = h b cm2 = 3 cm h = A = 15 ............................................................................................................ ...... 5 cm b ............................................................................................................ . . . . . .
vergelijkingen
............................................................................................................ . . . . . .
b
Bereken de basis van een driehoek met een hoogte van 6 cm en een oppervlakte van 12 cm2.
b·h A . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . 2
2A ·h . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . .b . . .......................................................................................................................................................................................................... ...... b 2A . . . . . ·. . . h . . . . . . . .= . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... ...... 2 · 12 cm2
2A = = 4 cm h . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... ...... 6 cm b
18 a
WEER? 190
Stel dat je uit de volumeformule van een balk de lengte (l) moet zoeken. • Noteer de formule voor de volumeberekening van een balk. • Neem de lengte (l) als onbekende en los de vergelijking op naar l.
MEER? 191 - 194
V = l·b·h
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
V = l · (b · h)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
: (b · h)
: (b · h)
V = l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... ...... (b · h) l = V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................... ...... b·h b
Van een gelijkbenige driehoek ken je de basis (b) en de omtrek (O). Hoe kun je met behulp van de omtrekformule de lengte van de opstaande zijden (z) berekenen?
O = b+z+z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................
O – b = 2z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................
O–b = z 2 O–b .z . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................
c
Van een cilinder ken je het volume (V) en de straal (x). Hoe kun je met behulp van de volumeformule V = ∏ · r2 · h de hoogte (h) zoeken?
V = ∏ · r2 · h
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................
V = ( ∏ · r2 ) · h
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................
V ∏ ( ·r
)
= h
. . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . ............................................................................................
h =
V ∏·r
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................ 2
Wat moet je kunnen? bekende grootheden in de formule invullen en daarna de vergelijking oplossen formules omvormen door gebruik te maken van vergelijkingen
39
Problemsolving 19 In een kruik gaat even veel wijn als in een fles en een glas samen. In een fles gaat even veel wijn als in een glas en een kan samen. In drie kannen gaat evenveel als in twee kruiken samen. Hoeveel glazen gaan er in een kan?
1 kruik = 1 fles + 1 glas
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 fles = 1 glas + 1 kan
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 kannen = 2 kruiken = 2 (1 fles + 1 glas) = 2 flessen + 2 glazen
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 kannen = (2 glazen + 2 kannen) + 2 glazen
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 kannen – 2 kannen = 2 glazen + 2 glazen
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 kan = 4 glazen
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 Als je weet dat a ◊ b = ab + a + b (bijvoorbeeld: 5 ◊ 8 = 5 · 8 + 5 + 8 = 53). Door welk getal kun je x dan in 3 ◊ 5 = 2 ◊ x vervangen zodat de gelijkheid klopt?
3 ◊ 5 = 3 · 5 + 3 + 5 = 23 2 ◊ x = 2x + x + 2 = 3x + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................ 3x + 2 = 23 ................................................................................ .............................................................................................................................. 3x = 23 – 2 ................................................................................ .............................................................................................................................. 3x = 21 ................................................................................ .............................................................................................................................. x = 7 ................................................................................ .............................................................................................................................. Je kunt x vervangen door 7. ................................................................................ .............................................................................................................................. ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 Drie soorten marsmannetjes vliegen per raket naar de maan. Groene marsmannetjes hebben twee tentakels, oranje mannetjes hebben er drie en blauwe mannetjes hebben vijf tentakels. In de raket zijn evenveel groene als oranje marsmannetjes en er zijn 10 blauwe mannetjes meer dan groene. Samen hebben de marsmannetjes 250 tentakels. Hoeveel blauwe marsmannetjes vliegen er mee in de raket?
2
Aantal groene marsmannetjes: x
5 Controle
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aantal oranje marsmannetjes: x
2 · 20 + 3 · 20 + 5 (20 + 10)
aantal blauwe marsmannetjes: x + 10
= 40 + 60 + 150
3
2x + 3x + 5(x + 10) = 250
= 250
4
2x + 3x + 5x + 50 = 250
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Antwoord: Er vliegen 20
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10x = 250 – 50 = 200
blauwe marsmannetjes
x = 20
mee.
................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22 Drie jaar geleden was mijn mama 5 keer zo oud als ik. Binnen 5 jaar is zij drie keer zo oud als ik. Hoe oud ben ik?
2 x is mijn leeftijd. 5 Controle linkerlid: 5(11 – 3) + 8 = 48 ................................................................................................................................................................................. ...... 3 5(x – 3) + 8 = 3(x + 5) rechterlid: 3(11 + 5) = 48...... ................................................................................................................................................................................. 4 5x – 15 + 8 = 3x + 15 6 Ik ben 11 jaar en mama is 43 jaar. ...... ................................................................................................................................................................................. 5x – 3x = 15 + 15 – 8 ................................................................................................................................................................................. ...... 2x = 22 ................................................................................................................................................................................. ...... x = 11 ................................................................................................................................................................................. ...... ................................................................................................................................................................................. ......
40
problemsolving
3
Evenredigheden en gelijkvormige figuren Dit kun je al 1 2 3 4 5 6
een breuk herkennen als verhouding rekenen met (gelijke) breuken vraagstukken oplossen met behulp van een vergelijking een grafiek aflezen rekenen met procenten een middelpuntshoek herkennen
Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek of naar je vademecum. A
B
C
Verder oefenen?
1 Er zit 0,5 gram vet in 10 gram Engelse drop. Welke breuk hoort bij deze verhouding?
5 100
5 10
100 50
ad
2 Welke breuk is gelijk aan 4 ? 5
8 9
16 20
16 25
ad
x + 2 – 6 = 33
2x – 6 = 33
3 Mijn zus is zes jaar jonger dan het dubbele van mijn leeftijd. Samen zijn we 33 jaar. Zoek een x + 2x – 6 = 33 vergelijking om mijn leeftijd te bepalen.
oef. 139
4 Naschoolse opvang wordt aangerekend per halfuur. Vanaf de eerste minuut betaal je het aangevangen halfuur. Welke grafiek hoort bij deze situatie?
ad
5 Een jeans van 80 euro wordt tijdens de koopjes 24 euro verkocht met een korting van 30 %. Hoeveel kost de broek dan? 6 Welke hoek in deze figuur is een middelpuntshoek?
A
50 euro
56 euro
B
C
ad
A
ad
C B
Dit heb je nodig
Inhoud
• • • • •
G10 G11 G12 G13 G14 G15 G16 G17
leerwerkboek p. 41 - 68 oefenboek nr. 195 - 286 passer geodriehoek rekenmachine
Begrip evenredigheid Hoofdeigenschap van evenredigheden Bewijs: de hoofdeigenschap van evenredigheden Recht en omgekeerd evenredige grootheden Vraagstukken met recht en omgekeerd evenredige grootheden Strook- en schijfdiagrammen Gelijkvormige figuren Gelijkvormige figuren, lengte, omtrek en oppervlakte
p. 42 p. 44 p. 46 p. 50 p. 54 p. 56 p. 62 p. 66
41
Begrip evenredigheid
G10
Op verkenning Lies mengt zelf de brandstof voor haar scooter. De tweetaktmix maakt ze door tweetaktolie toe te voegen aan loodvrije benzine.
2 100
In een jerrycan zit 10 l benzine. Lies voegt hier 2 dl olie aan toe. Noteer de verhouding volume olie / volume benzine.
.............................................................. . . . . . .
•
Deze week koopt ze 5 l benzine. Hoeveel olie moet ze nu bijvoegen?
1.............................................................. dl ......
•
Noteer opnieuw de verhouding volume olie / volume benzine.
.............................................................. . . . . . .
•
Vergelijk de verhoudingen. Wat stel je vast?
•
Een gelijkheid van verhoudingen noem je een evenredigheid. •
1 50
2 = 1 ...... 100.............................................................. 50 De verhoudingen zijn gelijk. 2 3
Vul aan tot je opnieuw een evenredigheid bekomt.
Algemeen noteer je een evenredigheid als
a=c b d
........................................................................
•
Welke soort getallen mag je gebruiken om een evenredigheid op te stellen?
•
Mag je de teller vervangen door om het even welk rationaal getal?
•
Mag je de noemer vervangen door om het even welk rationaal getal?
=
4
6
........
(vervang de getallen door letters).
Rationale getallen . . . . . . .............................................................. Ja .............................................................. . . . . . . Neen, niet door 0. .............................................................. ......
Wiskundetaal – begrippen
DEFINITIE
Een evenredigheid is een gelijkheid a en c zijn rationale getallen, b en d van verhoudingen. zijn rationale getallen verschillend van 0. 3 = 9 is een evenredigheid. 5 15
a = c is een evenredigheid. b d Je leest: a staat tot b zoals c staat tot d
Je leest: 3 staat tot 5 zoals 9 staat tot 15
a is de eerste term b is de tweede term c is de derde term d is de vierde term
3 is de eerste term 5 is de tweede term 9 de derde term 15 de vierde term
a en d noem je de uiterste termen 3 en 15 noem je de uiterste termen b en c noem je de middelste termen 5 en 9 noem je de middelste termen 1
3
middelste termen
1
3
middelste termen
2
4
uiterste termen
2
4
uiterste termen
a = c b d
3 = 9 5 15
CONTROLE 7 •
Vul de verhoudingstabel aan. volume olie (in dl) volume benzine (in dl)
•
2
3
4
5
50
100
150
200
250
Geef drie evenredigheden uit de tabel. Noteer de uiterste termen in het blauw, de middelste termen in het groen.
1 . . 50 ......... ...........
42
1
=
5 .250 .......... ...........
evenredigheden en gelijkvormige figuren
2 .100 .......... ...........
=
3 . 150 .......... ...........
4 .200 .......... ...........
=
5 . 250 .......... ...........
Oefeningen 1
Vul volgende evenredigheden aan.
·. .2. . .
a
·. . .4. .
b
·. .2. . . 2
3
5
22 .....
·. . .2. .
a
De middelste termen zijn 3 en 4, de uiterste termen zijn 6 en 2.
b
De eerste term is 5, de tweede term is 12, de vierde term is 72.
Zoek drie evenredigheden met de gegeven breuken.
·. . .4. .
5 7
20 35
8 14
4 5
7 14
16 20
. . . .6 ....... . . . .3 ....... . . . .5 ....... . . .12 ........
4 = 8 7 14
4 = 16 5 20
Vorm met de volgende vier getallen een evenredigheid. Er zijn meerdere mogelijkheden. Vergelijk jouw evenredigheid met die van je klasgenoten.
a
3
6
b
1
24
•
Hoeveel verschillende resultaten kun je telkens vinden?
• • •
Noteer het vraagstuk telkens als een evenredigheid. Noem de onbekende x. Reken uit.
a
De afmetingen van een televisiescherm verhouden zich als 16 tot 9. Hoe hoog is het scherm van een breedbeeldtelevisie waarvan de breedte 80 cm is? Noteer de maten bij het televisietoestel.
11
=
=
. . . .4 ....... . . . .2 ....... . . .30 ........ . . .72 ........
20 = 8 14 35
• •
4
WEER? 195 - 197
·. . .4. . ..... 12 = 48 13 52
= 11 51
102
·. . .4. .
d
Noteer de evenredigheden. Er zijn meerdere mogelijkheden.
4 7 4
c
..... 4 = 16 15 60
9 = 18 2 .4 ....
·. . .2. .
WEER? 198
WEER? 199 - 201
WEER? 202
3 = 4 6 8
8
264
1 = 11 24 264 4
.......................................................................................... . . . . . . .
WEER? 205 - 207
x is de hoogte van het scherm. ·5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................. 16 80 . . . . . . . . . . . .= 9 . . . . . . . . . . .x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................. . . . . . . . . . . .·. . .5 ........................x . . . . .= . . . . . .45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................. .De . . . . . . . . .hoogte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . . . 45 . . . . . . . . .cm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................
b
Een kaart is getekend op schaal 1 : 200 000. Frits en Jesse gaan kamperen en plannen een verkennende fietstocht in de buurt. Op de kaart is de afstand tussen twee kerktorens 6 cm. Wat is (in km) de werkelijke afstand tussen de torens?
x is de werkelijke afstand tussen de torens. ·6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................. 6 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................. x 200 000 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·. . .6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x . . . .= . . . . . .1 . . . . 200 . . . . .............................................................................. 000 cm of 12 km. .De . . . . . . . . .werkelijke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .afstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . . .1 . . . . .200 . . . . . . . .............................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................
Wat moet je kunnen? de begrippen eerste, tweede, derde, vierde term herkennen en toepassen de begrippen uiterste en middelste termen herkennen en toepassen
een vraagstuk oplossen m.b.v. evenredigheden het begrip evenredigheid definiëren
43
