BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke
VASBETON LEMEZEK
Oktatási segédlet v1.0 Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György
Budapest, 2001. május hó
VASBETON LEMEZEK
v1.0
VASBETON LEMEZEK
TARTALOM 1. A rugalmas lemezelmélet alapjai 2. Lemez és gerenda viselkedésének összehasonlítása 3. Speciális kérdések 3.1 Derékszögű négyszög alakú lemez reakciói 3.2 Egyirányban teherviselő lemezek 3.3 Koncentrált terhek esete 3.4. Koncentrált erővel terhelt konzolos lemezek 3.5.A lemez vasalásának meghatározása a rugalmas igénybevételek alapján 4. Derékszögű négyszög alakú lemezek igénybevételei, vasalása 4.1 Az igénybevételek meghatározása grafikonok segítségével 4.2 A maximális igénybevételek közelítő számítása 4.21 Tartókereszt eljárás 4.22 Marcus módszere 5. Lemezrendszerek közelítő vizsgálata 6. Gombafödémek, síklemez födémek 6.1 Általánosságok 6.2 Hajlítási méretezés 6.3 Átszúródási vizsgálat
VASBETON LEMEZEK BEVEZETÉS A lemez olyan sík tartóelem, melynek vastagsága a másik kétirányú kiterjedéshez képest kicsi és amelynek terhei a középfelület síkjára merőlegesen működnek. A vasbeton lemez mind a magas, mind a mély, mind pedig a hídépítésben rendkívül gyakran előforduló szerkezeti elem. Alakja a legtöbb esetben szabályos (derékszögű négyszög, rombusz, romboid, kör vagy körgyűrű), de néha szabálytalan is lehet (sokszög, vagy tetszőleges íves vonalakkal határolt, esetenként nyílásokkal áttört). Egy lemezszerkezet alátámasztása lehet pontszerű, vonal vagy felület mentén történő fix vagy rugalmas megtámasztás, illetve ezek kombinációja. Ebben a fejezetben csak a gyakorlatban legtöbbször előforduló, derékszögű négyszög alakú, szabályos elrendezésben kialakított vonalak vagy pontok mentén fixen megtámasztott, vékony vasbeton lemezek rugalmas igénybevételeinek meghatározásával és vasalásának kialakításával foglalkozunk.
VASBETON LEMEZEK
v1.0
1. A RUGALMAS LEMEZELMÉLET ALAPJAI
A lemezre működő terhelés hatására annak eredetileg sík középfelülete, általában a derékszögű koordináta rendszer mindkét irányában görbült felületté alakul át. Ha a lemez felületét képzeletben az x és y tengelyekkel párhuzamos lemezsávokra bontjuk, akkor látható, hogy az alakváltozás hatására, az oldalaik mentén csatlakozó, egymást keresztező, önálló gerendáknak tekinthető lemezsávok nem csak hajlítási alakváltozást szenvednek, hanem el is csavarodnak. A terhelés hatására bekövetkező alakváltozások figyelembe vételével, és elemi rugalmasságtani ismereteink alapján, egy t vastagságú lemez felületéből kivágott dx, valamint dy oldalhosszúságú lemezre működő igénybevételek az x és y irányú mx illetve my fajlagos hajlítónyomatékok, a vx és vy fajlagos nyíróerők, valamint a felcserélhetőségi tétel miatt azonos mxy = myx fajlagos csavarónyomaték A rugalmas lemez igénybevételeit a klasszikus, Kirchoff féle hajlításelmélet felhasználásával határozhatjuk meg. Ennek alapfeltevései a következők: - a lemez vastagsága állandó és egyéb méreteihez képest kicsi, azaz lmin/t>5, ahol lmin a legkisebb támaszköz, - a lemez középsíkjában fekvő pontok csak a középsíkra merőlegesen tolódnak el és a maximális eltolódás a lemez vastagságához képest kicsi, azaz t/wmax>5, - a lemez anyaga homogén, izotrop és lineárisan rugalmas, - a középsík normálisán fekvő pontok az alakváltozások után is a középfelület azonos normálisán maradnak, vagyis érvényes a Bernoulli-Navier feltétel - a középfelületre merőleges feszültségek elhanyagolhatók, - a lemez síkjában az elmozdulások szabadon létrejöhetnek.
Megjegyzés Az előző feltételek vasbeton lemezeknél csak közelítően teljesülnek, minthogy például két, egymásra merőleges irányban vasalt vasbeton lemez esetében, a kétirányú vasalás eltérő volta következtében, az egységnyi szélességű lemezsávok ideális inercianyomatékai a vasalási irányokban általában némileg különbözőek. Valamely irányban berepedt lemez esetén a különböző irányok szerint számítható inercianyomatékok eltérése jelentős is lehet. Gyakorlati tapasztalatok szerint, ennek ellenére, a rugalmas elmélet alapján számítható igénybevételek, elsősorban használati határállapotok szerinti vizsgálatoknál, elegendően pontosak. A lemez tényleges törési állapotához közeledve a repedések egyre jobban megnyílnak, az igénybevételek átrendeződnek és ekkor a képlékeny lemezelmélet alkalmazásával lehet a szerkezet teherbírását megbecsülni. A gyakorlati esetek döntő többségében a használati állapotban rugalmas elmélet szerint méretezett lemezek a teherbírási határállapotra is megfelelnek.
VASBETON LEMEZEK
v1.0
Az előzőekben megfogalmazott alapfeltevések teljesülése esetén a q(x,y) teherrel terhelt lemez egy dx,dy eleme egyensúlyának vizsgálata alapján a szerkezet egyensúlyát leíró összefüggés az x,y derékszögű koordinátarendszerben az alábbi alakban írható:
∂ 2m x ∂ 2 m xy ∂ 2m y + 2⋅ + = -q ∂x2 ∂x∂y ∂y2 Ez az egyensúlyi egyenlet a
σx=
(
)
(
)
E E E ⋅γ 2 ⋅ ε x + µ c ⋅ε y ;σ y = 2 ⋅ ε y + µ c ⋅ ε x ; τ xy = 1- µ c 1- µ c 2 ⋅ (1 + µ c )
xy
fizikai, valamint az
ε x = −z
∂ 2w ∂ 2w ; ε = − z ;γ ∂x2 y ∂y2
xy
= −2 ⋅ z
∂ 2w ∂y ∂x
összeférhetőségi egyenletek felhasználásával a
∂ 4w ∂ 4w ∂ 4w q + 2⋅ + = ∂x4 ∂x2 ∂y2 ∂y4 k alakú Lagrange féle negyedrendű, parciális, inhomogén differenciálegyenletté alakítható, mely a rugalmas lemezelmélet alapegyenlete derékszögű koordinátarendszerben. A fenti összefüggésekben: - E a lemez anyagának, vasbeton lemez esetén a beton rugalmassági modulusa, - µ c a harántnyúlási tényező (a Poisson szám reciproka), melynek értéke vasbeton lemeznél µ c = 0,15 ~ 0,20 -
E ⋅t 3 K= 12 ⋅ (1- µ
2 c
)
a lemez hajlítómerevsége.
A lemez középfelületére merőleges q(x,y) teherfüggvény akkor pozitív, ha a pozitív w(x,y) eltolódásfüggvénnyel azonos irányban működik. A Lagrange féle lemezegyenlet elegendő számú peremfeltétel esetén egyértelműen leírja a terhelés hatására kialakuló lehajlásfüggvényt. A kétváltozós negyedrendű differenciálegyenlet megoldásának matematikai határozottságához minden perempontban két peremfeltételt kell előírni. Ezek a lemez megtámasztási viszonyai alapján határozhatók meg. A mérnöki feladatoknál leggyakrabban előforduló megtámasztások esetén felírható peremfeltételek, ha n index jelöli a megtámasztás vonalára merőleges, t pedig az azzal párhuzamos irányt, az alátámasztás vonalában az alábbiak:
VASBETON LEMEZEK
v1.0
- csuklós megtámasztás (pl. falra feltámaszkodó lemez): lehajlás w=0 a támasz vonalára merőleges hajlítónyomaték mn = 0 - tökéletes befogás (pl. nagy merevségű gerendába befogott perem): lehajlás w=0 ∂w normális irányú szögelfordulás =0 ∂n - rugalmas befogás (pl. koszorúgerendába befogott perem): lehajlás w=0 a normális irányú szögelfordulás arányos a ∂w 1 = ⋅m nyomatékkal ∂n c n c → rugóállandó - szabad peremű lemez: normális irányú nyomaték mn = 0 perem reakcióerő r = 0 Téglalap alakú lemezeknél a peremfeltételeket is kielégítő analitikus megoldás például az ismeretlen w(x,y) lehajlásfüggvény és az ismert q(x,y) teherfüggvény Fourier sorba fejtése után és az egyenes Fourier tagok egyeztetése révén meghatározott Fourier együtthatók felhasználásával a következő alakban írható ∞
∞
w( x , y ) = a m =1 n=1
mn
⋅ sin
m⋅π ⋅ x n ⋅π ⋅ y ⋅ sin a b
Mivel a Fourier sor alakjában keresett megoldás meglehetősen gyorsan konvergál, az igénybevételeknek a gyakorlat számára pontos meghatározásához elegendő a sor első 2-3 tagját figyelembe venni. A lemez vasalásának meghatározására szolgáló igénybevételeket a lehajlás- függvény ismeretében a klasszikus rugalmasságtan elvei szerint lehet meghatározni, az egymásra merőleges irányoknak a harántnyúlási tényező miatt kialakuló egymásrahatását is figyelembe véve. A legtöbb gyakorlati esetre az analitikus megoldások alapján táblázatokat, grafikonokat dolgoztak ki a lemez kritikus keresztmetszeteinek maximális igénybevételei meghatározására, melyek segítségével a méretezés alapjául szolgáló fő igénybevételek egyszerűen megbecsülhetők. Bonyolultabb esetekben a lemezszerkezet igénybevételeinek meghatározásához a differencia módszeren, vagy a véges elemek módszerén alapuló számítógépi programokat lehet használni.
VASBETON LEMEZEK
v1.0
2. A LEMEZ ÉS GERENDA VISELKEDÉSÉNEK ÖSSZEHASONLITÁSA A lemez és a gerenda viselkedése közötti alapvető különbség, hogy míg egy gerendában csak annak tengelye irányában, addig egy lemezben a lemez síkjának minden irányában keletkeznek igénybevételek. Vasbeton lemez esetén ezért az igénybevételekből keletkező húzóerők felvétele egyirányú vasalással általában nem oldható meg. A lemezekben a hajlítónyomatékon kívül, csavarónyomaték is ébred a külső teher 2∂ 4 w tag hatására. A csavarás hatását a Lagrange féle lemezegyenletben a középső, ∂ x2 ∂ y2 veszi figyelembe, valamely irányban két egymás mögött elhelyezkedő keresztmetszet relatív elfordulásának függvényében. tg φ 1 =
∂ w1 =φ 1 ∂ x
∂ φ1 ∂ 2w 1 tg φ 2 = φ 1 + ⋅d y = φ 1 + ⋅d ∂ y ∂x ∂y
y
Ha két, egymást merőlegesen keresztező gerendarendszer kereszteződési pontjaiban csuklós kapcsolatot tételezzük fel, akkor a külső terhelés hatására a rúdelemekben nem keletkezik csavarónyomaték, mivel az egyik irányú rúdelem alakváltozása nem kényszeríti a másik irányú rudat elcsavarodásra. Ekkor a Lagrange féle differenciálegyenlet az alábbi alakúra egyszerűsödik
∂ 4w ∂ 4w q + = ∂x4 ∂y4 k A µ c harántnyúlási tényező a gerendák igénybevételét nem befolyásolja, de a lemezek igénybevételeit jelentősen módosítja. Egy a peremei mentén csuklósan megtámasztott négyzet alakú lemez maximális hajlítónyomatékai a lemezmező középpontjában µ c különböző értékei esetén egyenletesen megoszló teher hatására az alábbiak
µ c = 0Æm
max
=
q ⋅l 2 ; µ c = 0,15 Æ m 27,2
A maximális nyomaték ekkor 1+ µ a változás mértéke is eltérő.
c
max
=
q ⋅l 2 ; µ c = 0,3 Æ m 23,6
-vel arányosan
max
=
q ⋅l 2 20,9
változik. Más oldalarányú lemeznél
VASBETON LEMEZEK
v1.0
Az alábbi táblázatban a lemezek illetve a gerendák viselkedését leíró analóg összefüggéseket hasonlítottuk össze. Jellemző mennyiség
állandó t vastagságú lemez
teher
felületen működő q(x,y)
vonal mentén működő q(x)
alapegyenlet
∂ 4w ∂ 4w ∂ 4w q + 2⋅ 2 2 + = ∂ x4 ∂x ∂y ∂ y4 k
∂ 4w q = ∂ x 4 K`
hajlítási merevség
E⋅I t3 K= ; I= 1 − µ c2 12
b⋅h 3 K `= E ⋅ I ; I = 12
∂ 2w ∂ 2w m x = − K µ + ⋅ c ∂y2 ∂x2
d 2w M x = − K `⋅ dx 2 My≡ 0
gerenda
lehajlás
hajlító nyomaték
∂ 2w ∂ 2w m y = − K +µ c⋅ ∂x2 ∂y2
csavaró nyomaték
nyíróerő
m xy = m yx = − K ⋅ (1 − µ
c
) ∂∂x
2
w ∂y
∂ ∂ 2w ∂ 2w v x = −K + ∂x∂x2 ∂y2 ∂ ∂ 2w ∂ 2w v y = −K + ∂y∂x2 ∂y2
∂ m x ∂ m xy + ∂x ∂y ∂ m y ∂ m xy + vy = ∂y ∂x nyíróerő - teher ∂ wx ∂ wy + +q = 0 összefüggés ∂x ∂y hajlítónyomaték - ∂ 2 m ∂ 2 m xy ∂ 2 m y x + 2⋅ + +q =0 teher összefüggés ∂x2 ∂x ∂y ∂y2 megoszló teher kN/m2 dim. nyomaték dim. kNm/m nyíróerő dim. kN/m nyíróerő hajlítónyomaték összefüggés
vx =
M xy = 0 ha a teher a szim. tengelyben hat V x = − K`
d 3w d x3
Vy ≡ 0
dM x dx Vy = 0 Vx =
dVx +q = 0 dx
d 2M +q = 0 dx 2 kN/m kNm kN
VASBETON LEMEZEK
v1.0
3. SPECIÁLIS KÉRDÉSEK 3.1 Derékszögű négyszög alakú lemez reakciói A peremei mentén szabadon fekvő lemez reakcióerő megoszlása a támaszok vonalában nem azonos a támasz feletti tényleges vx vagy vy nyomóerővel, mivel az y tengellyel ∂ m xy fajlagos nyíróerővel párhozamos alátámasztás vonalában, a csavarásból származó ∂y módosítani kell. Az y tengellyel párhuzamos perem mentén ezzel a redukált nyíróerő, illetve támaszreakció megoszlása az előző táblázatban feltüntetett mennyiségek figyelembe- vételével ∂ m xy ª ∂ 3w ∂ 3w º v x red = r y = v x − 2 = −K« + − µ ( ) 3 c ∂y ∂ x ∂ y 2 »¼ ¬∂ x mely értéket Kirchoff féle peremerőnek nevezzük. Az ábrán a lemez egyik sarkát tüntettük fel úgy, hogy a perem elemi szakaszára működő mxy csavarónyomatékokat mxydy/dy = mxy értékű ellentett erőkből álló erőpárokkal helyettesítettük. Az ábrákból látható, hogy a lemez sarokpontjában, a csatlakozó peremekre működő csavarónyomatékok előjele következtében, felfelé mutató koncentrált reakcióerő ébred, melynek értéke merőlegesen csatlakozó peremek esetén: Ro = 2 mxy
A b, ábra a sarkaiban leterheletlen négyzet alakú lemez alakváltozását, a c, ábra pedig a nyíróerő és a reakció eloszlását mutatja µ c = 0 esetben. Látható, hogy amennyiben a lemez pereme nincs leterhelve vagy lekötve, úgy a lemezsarok felemelkedik. Ha a lemez a peremei mentén befogott, akkor pl. az y tengellyel párhuzamos perem ∂ 2w ∂ w derivált ugyancsak zérus értékű, = 0 peremfeltétel miatt a mentén érvényes ∂x ∂y ∂x tehát a befogott peremen az mxy csavarónyomaték zérus. Ebből következik, hogy befogott peremhez csatlakozó sarokpontban nem lép fel koncentrált reakcióerő, és a befogott perem mentén a reakcióerő és a nyíróerő eloszlása azonos.
VASBETON LEMEZEK
v1.0
3.2 Egyirányban teherviselő lemezek Vizsgáljuk egy olyan, az y irányban végtelen kiterjedésűnek tekintett lemezt, melynek terhelése az y változótól független és az y tengellyel párhuzamos peremei mentén van megtámasztva Ekkor a lemez hengeres alakváltozást szenved, vagyis a w lehajlásfüggvény csak x-től függő lesz, és az azt leíró Lagrange féle differenciálegyenlet a ∂ 4 w q( x ) = egyszerű alakot ölti. Ennek megoldása analóg egy hajlított gerenda ∂ x4 K rugalmas vonalának megoldásával. A lehajlásfüggvény alapján számítható nyomatékok
§ ∂ 2w · § ∂ 2w · m x = − K¨ 0 és m K 0 µ + µ ⋅ = − + ⋅ ¸ ¨ ¸ = µ c ⋅m x c y c ∂ x2 ¹ © ∂ x2 ¹ © alakban kaphatók, vagyis az x tengely, másképpen a teherbírás irányában számítható nyomatékok az x tengely irányú lemezsávokon mint egységnyi széles gerendákon keletkező nyomatékokkal azonosak, míg az erre merőleges irányban keletkező nyomaték ennek µ c - szerese Ez indokolja, hogy bármely lemezben a fő teherbírás irányára merőlegesen legalább a főirányban szükséges vasalás 20 %-át célszerű alkalmazni. Megjegyezzük, hogy gyakorlatilag egyirányban teherviselőnek tekinthető az a derékszögű négyszög alakú lemez, melynek hosszabbik oldala nagyobb a rövidebbik oldala kétszeresénél és terhelése a felületén egyenletesen megoszló teher. Az ilyen lemezeknél ugyanis a ″pontos″ lemezelmélet alapján számítható kétirányú nyomatékok aránya már 5-nél nagyobbra adódik, így minthogy a mellék irányban a főirány vasalásának 20 %-át mindenképpen alkalmazni kell, felesleges az igénybevételeket a pontosabb, kétirányban teherviselő lemezelmélet alapján meghatározni. 3.3 Koncentrált terhek esete Koncentrált erővel terhelt lemezek esetén a Fourier sorba fejtett megoldás nagyon lassan konvergál és csak több száz tag figyelembe vételével vezet elegendően pontos eredményre. A koncentrált terhek hatására keletkező igénybevételek gyakorlati meghatározására csak II. világháború után, Pucher osztrák professzor által kidolgozott hatásfelületek elterjedésével nyílt lehetőség. A hatásfelületek meghatározása a Maxwell féle felcserélhetőségi tételen alapul, mely szerint a lemezfelület egy adott pontjában működő egységnyi koncentrált erő hatására a lemez egy tetszőleges másik pontjának lehajlása megegyezik az utóbbi pontra állított egységből az eredeti pontban számítható lehajlással. A lemez valamely kritikus keresztmetszete hatásfelületének előállításához tehát elegendő az adott keresztmetszetre állított egységerőből meghatározni a lehajlásfüggvényt, és az így előállított hatásfelület alapján ismert összefüggésekből számíthatók az igénybevételek. Egy a peremei mentén szabadon felfekvő lemez középső keresztmetszete görbületi, illetve az azzal arányos hajlítónyomtéki hatásfelületét, valamint annak szintvonalas ábrázolását mutatja az alábbi bra. Látható, hogy a keresztmetszet felett álló koncentrált erőből a keresztmetszetben keletkező nyomaték értéke elvileg végtelen. A gyakorlatban azonban tényleges koncentrált erő nem létezik, csak kis felületen megoszló teher. Ennek
VASBETON LEMEZEK
v1.0
alapján a vizsgált hatás az A terhelt felület fölötti hatásfelületrész V térfogatának meghatározása után kapható. V = ∫ η dA A
Ha a koncentrált erő hatására keletkező igénybevételeket véges elemes számítógépi programmal határozzuk meg , akkor a kis felületen megoszló teher környezetében a véges elemes hálózat felosztását megfelelően sűríteni kell. 3.4. Koncentrált erővel terhelt konzolos lemezek Egy a szabad szélén P koncentrált erővel terhelt, y irányban elegendően hosszú és az x=0 peremén befogott, állandó vastagságú konzollemez maximális fajlagos befogási nyomatéka a rugalmas lemezelmélet szerint meghatározva mx max= - 0,465 P [kNm/m] Hasonlítsuk össze ezt az eredményt egy olyan közelítő eljárással számított befogási nyomatékkal, melynél azt a feltételezést tettük, hogy a koncentrált erőből származó hatás szétterjedése 45o. Ezzel a befogási keresztmetszetben számítható fajlagos nyomaték értéke mmax= - ( P l ) / ( 2 l )= - 0.5 P [kNm/m] Látható, hogy ezzel az egyszerű közelítéssel a ″pontos″ eredménytől mindössze 7,5 %kal a biztonság javára eltérő nyomatékot kaptunk. Meg kell jegyezni, hogy amennyiben a lemez szabad pereme gerendával erősített, úgy az igénybevétel 45o-nál nagyobb szög alatt terjed szét, ezáltal a befogási nyomaték az előzőnél kisebb lesz. Ha a lemez vastagsága a befogási keresztmetszet felé növekszik, akkor az igénybevételek szétterjedésének szöge kisebb, tehát a befogási nyomaték nagyobb lesz. 3.5 A lemez vasalásának meghatározása a rugalmas igénybevételek alapján A rugalmas lemezelmélet alapján a lemez bármely pontjában meghatározhatók az mx és my fajlagos hajlító és az mxy fajlagos csavarónyomatékok. Ezek felhasználásával a lemezben keletkező főnyomatékok az alábbi összefüggéssel számíthatók:
m 1,2 =
mx + my 2
±
(m
x
− my 2
)
2 2 + m xy
A főnyomatékok iránya a lemez felületén pontról pontra változik és az un. trajektória vonalakkal jellemezhető. A főnyomatéki irányokhoz tartozó metszetekben a csavarónyomaték zérus. A nyomatékokból származó húzóerők felvétele szempontjából a trajektória irányú vasalás alkalmazása lenne a leghatékonyabb, ennek gyakorlati kivitelezése azonban általában lehetetlen. Ezért a legtöbb esetben a lemez vasalását egymást merőlegesen keresztező vasbetétekkel alakítják ki. Ha az x és y tengelyekkel párhuzamos irányú vasaláshoz tartozó fajlagos határnyomatékok értékei mxH és myH, akkor az y tengellyel ∝ szöget bezáró irányban a határnyomaték Johansen szerint az m α H = m xH cos2 α + m yH sin 2 α összefüggéssel számítható .
VASBETON LEMEZEK
v1.0
Ennek felhasználásával levezethető, hogy az x illetve y irányban szükséges vasalást a biztonság javára szolgáló közelítéssel, a lemez minden pontjában az mx+mxy illetve my+mxy fajlagos nyomatékok alapján kell meghatározni. A vasbeton lemezek méreteire és vasalására vonatkozóan az alábbi legfontosabb szerkesztési szabályokat kell betartani: - a lemez vastagsága minimálisan 60 mm, konzolos lemez befogási keresztmetszetében legalább 100 mm legyen, - a lemezben elhelyezett acélbetétek minimális átmérője 5 mm, hegesztett hálós vasalás esetén 4,2 mm lehet, és a vasátmérő ne legyen nagyobb a lemezvastagság egynyolcadánál, - az acélbetétek egymástól való maximális távolsága az egyik irányban 400 mm, a másik irányban 200 mm, illetve a lemezvastagság kétszerese (a két érték közül a nagyobb) lehet, A - a fő teherviselési irányban a minimális acélmennyiség az A s min = 0,16 ⋅ f ct, eff ⋅ c δs összefüggéssel számítható , ahol δ s az acélbetétben megengedett feszültség, de As,min ne legyen 0,0015 Ac-nél kisebb, - a mellékirányban legalább a főirányban a méretezés, vagy a szerkesztési szabályok által meghatározott vasmennyiség 20 %-át kell betervezni, - az egyes lemezmezőkben a legnagyobb mezőnyomaték felvételéhez szükséges húzott vasalásnak legalább a felét végig kell vezetni a teljes lemezmezőn úgy, hogy a támasz középvonala mögött legyen lehorgonyozva. Ha a támasztónyomatékok felvételére alkalmazott vasalás keresztmetszete legalább a végig vezetett vasak keresztmetszetének egyharmada, úgy elegendő a maximális mezőnyomaték felvételéhez szükséges vasalás egyharmadát végig vezetni, - a lemez szabad szélén, azzal párhuzamosan, szegély acélbetéteket kell elhelyezni. Ezek a perem sarkaiban vezetett legalább 5 mm átmérőjű vasak legyenek, melyeket a lemezszélre merőlegesen kifutó acélbetétek visszahajtásával, vagy külön hajtűvasakkal kell összefogni. Ezek távolsága 400 mm vagy a lemezvastagság kétszerese lehet. 4. DERÉKSZÖGŰ NÉGYSZÖG ALAKÚ LEMEZEK IGÉNYBEVÉTELEI, VASALÁSA
4.1 Az igénybevételek meghatározása grafikonok segítségével Egyenletesen megoszló q teherrel terhelt, a peremei mentén feltámaszkodó, illetve befogott lemezek maximális hajlító-igénybevételeinek és lehajlásának meghatározására grafikusan feldolgozott eredményeket, görbesereget alkalmazunk. A görbesereg görbéi R. Bares analitikus megoldáson alapuló táblázatainak eredményét foglalják össze. A maximális mezőnyomatékok a lemez szimmetriatengelyeiben alakulnak ki. Itt a csavarónyomatékok zérus értékűek, tehát a vasalás itt közvetlenül a hajlítónyomatékokból számítható. A feltámaszkodó peremű lemez sarkain fellépő csavarónyomatékok miatt, a sarok környezetében keletkező negatív főnyomatékra a lemez felső síkját is meg kell vasalni. Derékszögű négyszög alakú lemezek vasalásának elvi kialakítását mutatják a következő. ábrák hagyományos, egyenes vasakból kialakított, illetve hálós vasalás esetén.
VASBETON LEMEZEK
v1.0
VASBETON LEMEZEK
v1.0
VASBETON LEMEZEK
v1.0
4.2. A maximális igénybevételek közelítő számítása Az igénybevételek egyszerű megfontolásokon alapuló, közelítő meghatározására egyrészt a pontosabb, esetleg gépi számítási eredmények ellenőrzésekor, másrészt a szerkezetek előméretezésekor lehet szükség. A továbbiakban két egyszerű módszert ismertetünk derékszögű négyszög alakú lemezek maximális hajlítónyomatékainak közelítő számítására. 4.21 Tartókereszt eljárás Az eljárást sávmódszernek is nevezik, és alapötlete az, hogy a lemezből a maximális lehajlás helyén x és y irányában egy-egy egymást keresztező, egységnyi szélességű lemezsávot vágunk ki, melyeket a saját irányukban önállóan működő gerendáknak tekintünk. Ezzel, a csavarási ellenállást figyelembe vevő tag elhanyagolása miatt, a rugalmas lemezek Lagrange féle differenciálegyenlete:
∂ 4w ∂ 4w q + = ∂x4 ∂y4 k alakúra egyszerűsödik, ahol a baloldal első tagja egységnyi szélességű x irányú, a második pedig szintén egységnyi szélességű, de y irányú gerenda alakváltozás-teher összefüggéseként értelmezhető. Ha az x-es irányú tartók által viselt megoszló teherrész qx és qy, és a lemez felületére q egyenletesen megoszló teher működik, akkor az egyensúly alapján qx + qy = q = const. Minthogy a két sáv kereszteződési pontjában a lehajlás azonos értékű, ezért a kompatibilitási feltétel wx
=
wy
A lemezsávok rugalmas vonalának differenciálegyenlete alapján q y ⋅ l y4 q x ⋅ lx4 wx = a x ⋅ és wy = a y ⋅ E ⋅ Ix E ⋅ Iy ahol az ax és ay értékek a lemez megtámasztási viszonyaitól függő tényezők, az ábra szerint.
VASBETON LEMEZEK
v1.0
Állandó vastagságú lemeznél I x ≈ I y felhasználásával, és az ε = l y / l x valamint m = ax/ay paraméterek bevezetésével a kompatibilitási egyenlet m ε 4 qx = ⋅ q y , illetve q y = 4 ⋅ q x alakra hozható, mely értékeket az egyensúlyi m ε ε 4 egyenletbe beírva a kétirányú lemezsávra jutó teherrészekre a qx = ⋅q és m+ε 4 m qy = ⋅ q összefüggéseket kapjuk. m +ε 4
A lemezsávok maximális nyomatékai ezután az adott irányú sávra működő teherrészből a megtámasztási viszonyok függvényében számíthatók. A kétirányú teherviselést mindkét irányban azonos megtámasztású lemezsávok esetén csak 0,5 < ε < 2 esetben érdemes figyelembe venni, mivel ha ε = 2 és m = 1 akkor 16 q x = ⋅ q a teljes teher 94 %-a és 17 1 q y = ⋅ q a teljes tehernek csak 6 %-a 17 A sávmódszer elhanyagolja a keresztező lemezsávok egymásra gyakorolt hatásából fellépő csavarónyomatékokat, ezért a hajlítónyomatékokat a biztonság javára szolgáló közelítéssel állapítja meg. 4.22 Marcus módszere Az eljárást Marcus dolgozta ki a sávmódszer alapján, de az ott elhanyagolt csavarónyomaték hatásának figyelembevételével. A megoldás alapesete a négy peremén feltámaszkodó, egyenletesen megoszló teherrel terhelt négyszöglemez. A lemezre működő terheket Marcus az egymást keresztező lemezsávokra értelmezett módon q`x +q`y +q``x + q``y = q = const. alakban bontotta fel, ahol a q``x +q``y = q xy tag a csavarási ellenállásnak megfelelő teherrészt veszi figyelembe. A csavarási teherhányad meghatározására a 2
5§l · m q``x = ¨¨ x ¸¸ ⋅ x ⋅ q x ; q``y = 6 © l y ¹ m 0x
2
m 5§lx· ¨¨ ¸¸ ⋅ y ⋅ q y 6 © l y ¹ m 0y
összefüggéseket vezette le, ahol - mx és my a sávmódszerrel meghatározható mezőközépi fajlagos hajlítónyomatékok, - mox és moy a kéttámaszúnak tekintett x és y irányú lemezsávok maximális nyomatékai a teljes q teherből, - qx és qy a sávmódszerrel meghatározható teherrészek. Fentiek alapján a q`x és
q`y hajlítási teherhányadok a q`x = q x − q``x
és q`y = q y − q``y kifejezések segítségével számíthatók, melyekből hajlítónyomatékai a megtámasztási viszonyoktól függően határozhatók meg.
a
lemez
VASBETON LEMEZEK
v1.0
A csavarási taggal módosított hajlítási teherhányad, illetve az abból számítható nyomatékok meghatározására Marcus az alábbi ábrán feltüntetett alapesetekre dolgozott ki táblázatokat.
5LEMEZRENDSZEREK KÖZELÍTŐ VIZSGÁLATA A mérnöki gyakorlatban sokszor előforduló feladat az egy vagy mindkét irányban többtámaszú lemezrendszerek méretezése mezőnként egyenletesen megoszló teherre. A lemezrendszer terhelése a q önsúly és a lemezmezőnként függetlenül működtethető p hasznos teher. A többtámaszú, kétirányban teherviselő lemezrendszer egy mezőjének maximális nyomatékai közelítően egy, a vizsgált mezővel azonos méretű, különálló lemezen határozhatók meg, ha az alábbi feltételek teljesülnek: -
a lemezvastagság minden mezőben azonos, a lemezmezők peremei megtámasztásának módja nem befolyásolja a lemez igénybevételeit, a lemezmezők hajlításra mereven kapcsolódnak egymáshoz, de a megtámasztási vonalak mentén szabadon elfordulhatnak, a szomszédos lemezmezők fesztávolságainak aránya mindkét irányban 0,8 és 1,25 között van.
A maximális és minimális mezőnyomatékok számításához az önsúly teherrel a teljes lemezrendszert, míg a hasznos teherrel sakktábla szerűen, minden második lemezmezőt kell leterhelni. Ennek figyelembe vételével a mezőnyomatékok az összes mezőben mindkét irányban úgy határozhatók meg, hogy a különálló lemezek egymáshoz csatlakozó peremein a q′ = g + p/2 terhelésre merev befogást, míg a mezőnként változó q″ = ± p/2 terhelésre szabadon elforduló megtámasztást tételezünk fel az ábra szerint. A legnagyobb mezőnyomatékok ekkor a két tehercsoporthoz tartozó (q′ + q″ = g + p) nyomatékok összegéből, míg a legkisebb mezőnyomatékok a két tehercsoporthoz tartozó (q′ − q″ = g) nyomatékok különbségéből kaphatók. Lemezrendszer mértékadó leterhelése mezőnyomatékra
q, = g +
p 2 q, = g +
p 2
q, , = ±
p 2 q, , = +
p 2
VASBETON LEMEZEK
v1.0
A legnagyobb támasztónyomaték meghatározásához az önsúllyal a teljes lemezrendszert, a hasznos teherrel pedig a vizsgált támasz melletti lemezmezőket kell leterhelni. A támasztónyomaték számításához az előzőekben definiált q′ teherből a támaszok vonalában tökéletes befogást feltételezve, míg a q″ teherből a vizsgált támaszon az alábbi ábra szerint befogást, a többi peremen pedig szabadon elforduló megtámasztást figyelembe véve határozzuk meg az igénybevételeket. A csatlakozó lemezekre vonatkozó támasznyomaték a kétféle leterhelésből meghatározható nyomatékok összege.
Lemezrendszer mértékadó leterhelése támasznyomatékra
q, = g +
p 2
q, , = g ± q, = g +
p 2
p 2 q, , = +
p 2
A támasz feletti vasalás szempontjából a csatlakozó lemezelemek alapján számítható, és a legtöbb esetben egymástól eltérő támasznyomatékok átlaga tekinthető mértékadónak.
VASBETON LEMEZEK
v1.0
6. GOMBAFÖDÉMEK, SIKLEMEZ FÖDÉMEK 6.1. Általánosságok A magas és mélyépítésben is igen gyakran alkalmazott szerkezettípus a gomba vagy síklemez födém, melynél a vasbeton lemez közvetlenül, tartógerendák közbeiktatása nélkül támaszkodik az oszlopokra. A klasszikus, régebbi szerkezeteknél az oszlopok kiszélesedő oszlopfővel, gombafejjel csatlakoznak a lemezhez. Újabban széles körben elterjedt a fejnélküli gombafödémek, vagy síklemez födémek alkalmazása. Hasonlóan, de a födémekhez képest ellentett terhelési és igénybevételi viszonyokkal működnek az oszlopok közvetlen alátámasztását szolgáló lemezalapok is.
4 l 1' = l 1 − ⋅ c 3
4 l 2' = l 2 − ⋅ c 3 2 l 3' = l 3 − ⋅ c 3
m’ Æ elméleti oszlopmagasság l’ Æ elméleti támaszköz
A gomba és síklemez födémek alkalmazásának előnyei: - egyszerű, gyors zsaluzás, állványozás, vasszerelés, - jobb térkihasználás a gerendák elmaradása miatt, - kisebb kötöttségek az alaprajzi elrendezésben, - jobb természetes levilágítás. és hátrányai: - bonyolultabb erőjáték, az igénybevételek ″pontos″ számítása nehézkesebb, - a közelítő módszerek túlméretezéshez vezethetnek, - nagyobb alakváltozások, - a lemez és oszlop kapcsolatának modellezése bizonytalan.
VASBETON LEMEZEK
v1.0
A felsorolt hátrányok kevésbé jelentkeznek nagy alapterületű, szabályos derékszögű hálózatban alátámasztott és kiegyenlített terhelésű födémeknél. Az alakváltozások korlátozása érdekében a lemez vastagságát az l/t ≤ 25 feltétel alapján célszerű megválasztani. A gomba és síklemez födémek vizsgálatánál általában két alapvető feladatot, a hajlítási méretezést és az átszúródásvizsgálatot kell elvégezni. 6.2 Hajlítási méretezés Itt csak a födémet közvetlenül terhelő, függőleges, egyenletesen megoszló terhekből származó hajlítónyomatékok közelítő meghatározásával foglalkozunk, feltételezve, hogy az épületre működő vízszintes terheket a külön erre a célra kialakított merevítőrendszer veszi fel. Amennyiben ilyen merevítőrendszert nem alakítottak ki, úgy a vízszintes terhelésből a lemez többlet igénybevételeit például egy olyan helyettesítő keretszerkezeten lehet meghatározni, melynek a gerendája egy, az oszlopokkal együttdolgozónak tekintett, fiktív szélességű és t vastagságú lemezsáv. Az egyenletesen megoszló teherrel terhelt, gomba vagy síklemez födémek igénybevételei, általánosan a rugalmas lemezelmélet alapján felírható differenciálegyenlet analitikus vagy numerikus megoldásával állíthatók elő. A megoldás során általában feltételezik, hogy az oszlopreakció a gombafej felületén egyenletesen oszlik meg. A ″pontos″ rugalmas elmélet alapján számított eredmények felhasználásával, táblázatokat dolgoztak ki, a gyakorlatban legtöbbször előforduló, szabályos alaprajzi elrendezésben megtámasztott födémlemezek fajlagos hajlítónyomatékainak meghatározására a kritikus keresztmetszetekben. Egy ilyen táblázatra mutatunk be példát az alábbiakban:
q Æ egyenletesen megoszló teher E⋅I E ⋅t 3 B= = 1 − µ c2 12 ⋅ (1 − µ c2 )
oszlopméret: 0,05lx · 0,05ly
A c tényezők értékeit az ( µ c = 0 Poisson tényező feltételezésével) az a maximális lehajlás, az mx és my nyomatékok, valamint az R reakcióerő meghatározásához a következő táblázatból vehetjük:
VASBETON LEMEZEK
v1.0
lx = 0.5 ly 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
A 0,000 2,089 0,000 0,694 0,000 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 13,80 -26,45 6,63 -17,28 16,54
B 0,211 2,067 0,320 0,736 0,258 7,16 1,13 8,65 1,20 6,51 ,00 13,14 -13,41 5,87 -8,49
C 0,000 2,016 0,000 0,678 0,000 -15,68 -,09 -24,98 -,22 -15,28 ,00 14,10 -29,17 6,86 -19,09 44,31
lx = 10 . ly D 0,091 1,990 0,129 0,647 0,103 4,41 -,49 5,49 -,64 3,91 ,00 14,05 -15,26 6,75 -9,94
A 0,000 0,617 0,000 0,270 0,000 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 8,56 -20,11 5,00 -14,75 16,68
B 0,639 1,018 0,700 0,704 0,630 8,70 5,33 9,51 5,76 8,13 ,00 5,08 -3,31 1,32 -2,26
lx = 2.0 ly
C 0,000 0,662 0,000 0,289 0,000 -19,15 -3,19 --25,38 -3,70 -17,93 ,00 9,19 -25,60 5,36 -17,18 44,60
D A 0,177 0,000 0,611 0,210 0,212 0,000 0,236 0,112 0,147 0,000 4,16 ,00 ,28 ,00 4,80 ,00 ,52 ,00 3,46 ,00 ,00 ,00 5,94 7,22 -4,31 -16,25 1,84 4,76 -2,72 -12,58 16,85
B 2,233 2,201 2,153 2,118 2,112 14,41 13,72 14,53 14,18 14,27 ,00 1,16 ,09 -,24 -,69
C 0,000 0,303 0,000 0,150 0,000 -24,95 -12,38 -27,57 -13,37 -23,60 ,00 8,33 -24,42 5,53 -18,44 45,32
47,07
123,96
46,48
123,12
45,65
120,81
36,06
99,64
37,11
101,09
38,25
104,41
D 0,280 0,346 0,295 0,253 0,237 4,62 3,77 4,75 4,25 4,39 ,00 1,38 -,01 -,29 -,75
a
mx
my
R
Derékszögű négyszög hálózatban megtámasztott gomba, vagy síklemez födémeknél, ha az alátámasztások távolságainak aránya mindkét irányban 0,8 és 1,25 között van, a maximális igénybevételek meghatározására alkalmazható az alábbi közelítő eljárás. A gombafödém lemezének nyomatékait egy olyan, x, illetve y irányú helyettesítő gerendán határozzuk meg, melynek szélessége a képzelt gerenda tengelyére merőleges két szomszédos oszlop l tengelytávolságával egyezik meg és a gerenda tengelyével párhuzamos irányban egymástól az ábrán jelölt l′ elméleti távolságra lévő pontokban van megtámasztva. Az egymást keresztező lemezsávokra külön-külön, az adott iránynak megfelelő, teljes l lemezszélességnek megfelelő terhelést kell figyelembe venni. Az így kialakított helyettesítő gerendákon meghatározott nyomatékokat az ábra szerint kell egy 0,5 l szélességű lemezsáv és egy ugyancsak 0,5 l szélességű oszlopsáv között szét-osztani. Az ábra szerint valamely irányban a gerendán számítható mezőnyomaték 45 %-át a lemezsáv, míg 55 %-át az oszlopsáv veszi fel. Ugyanakkor a támasztónyomatéknak 25 %-a lemezsávra, 75 %-a pedig az oszlopsávra jut, és a lemez hajlítási vasalását ennek megfelelően kell kialakítani:
VASBETON LEMEZEK
v1.0
Fejnélküli, síklemez födém maximális nyomatékait is hasonló közelítéssel lehet meghatározni. Ekkor azonban a kis feltámaszkodási felület következtében az igénybevételek még inkább az oszlopok környezetére koncentrálódnak, ezért ekkor az oszlopsáv szélességét 0,4 l-re, a lemezsávét pedig 0,6 l-re kell felvenni, és a helyettesítő gerenda mező, illetve támasztónyomatékait az alábbi ábrán bemutatott módon kell a lemezsáv és az oszlopsáv között felosztani.
Egy síklemez födém belső mezőjének általános vasalását az előbbiek szerint meghatározott nyomatékokalapján a következő ábrán mutatjuk be:
VASBETON LEMEZEK
v1.0
VASBETON LEMEZEK
v1.0
7.3. Átszúródási vizsgálat A kis felületen átadódó reakcióerő következtében különösen a síklemez födémek átszúródási teherbírása kritikus. Kísérleti tapasztalatok szerint az átszúródás központos oszlopreakció esetén egy csonka gúla, vagy csonka kúp alakú idomnak a lemezből az oszlop környékén való kiszakadása formájában következik be. A kiszakadó gúla vagy kúp β hajlásszöge az ábra szerint vasalatlan lemez esetén o ~ 45 , míg hajlításra megvasalt lemeznél kb. 30o.
Egy lemez átszúródásra való ellenőrzésekor igazolni kell, hogy a bw kritikus átszúródási vonal mentén fellépő fajlagos mértékadó Vsd nyíróerő nem haladja meg a lemez d hasznos vastagságától, a beton húzószilárdságától és az átszúródási ellenállás szempontjából figyelembe vehető vasalástól függő VRd határnyíróerőt. Központos oszlopreakció esetén a mértékadó fajlagos nyíróerő a következő összefüggéssel számítható: V v sd = sd u
ahol Vsd a mértékadó oszlopreakció, u pedig az átszúródási vonal kerülete. A mértékadó oszlopreakció meghatározásánál a lemezre ható terheknek a u kerületen belülre eső részét nem kell figyelembe venni. Különböző oszlopkeresztmetszetek esetén, valamint az oszlopnak a lemez szabad széléhez viszonyított helyzetétől függően az átszúródási vonalat a következő módon szabad felvenni: Alapelv, hogy az átszúródási vonal az oszlop kerületétől mindenütt 1,5 d távolságra van, ahol d a vasalt lemez hasznos magassága, a vonal konvex és a sarkai lekerekítettek. Nyújtott oszlopkeresztmetszet (pengepillér) esetén ha a keresztmetszet hosszabbik oldala nagyobb a rövidebbik oldal négyszeresénél, akkor az átszúródási vonal szakaszos (mivel a hosszabbik oldal közepe táján a nyíróerő jelentősen lecsökken, sőt előjelet is válthat). Szabad peremek, illetve lemezsarkok közelében az átszúródási vonal kifuthat a lemez szélére. Külpontos oszlopreakció esetén az átszúródási vonal mentén fellépő fajlagos mértékadó nyíróerő eloszlása nem egyenletes. Maximális értéke ekkor az alábbi közelítő összefüggéssel határozható meg, vSd =
VSd M Sd ± ⋅x u Iu
VASBETON LEMEZEK
v1.0
ahol MSd a VSd mértékadó reakcióerővel egyidejűleg működő maximális hajlítónyomaték az oszlopvégen, Iu az átszúródási vonal tehetetlenségi nyomatéka a hajlítás tengelyére, és x az átszúródási vonal vizsgált pontjának távolsága a hajlítási tengelytől. Az Iu tehetetlenségi nyomaték értékei: - téglalap alakú átszúródási vonal esetén
b3 a ⋅ b2 Iu = 2 ⋅ + 4 12
;
vagy
a3 b ⋅ a 2 Iu = 2 ⋅ + 4 12
ahol a és b a téglalap oldalainak hosszúsága - a oldalú négyzet alakú átszúródási vonal esetén Iu =
2 3 ⋅a 3
- r sugarú kör alakú beszúródási vonal esetén Iu = 2 ⋅ r 3 ⋅ Π Külpontos oszlopreakció esetén az EC-2 szerint az átszúródási vonal mentén keletkező fajlagos nyíróerő közelítően a vSd =
β ⋅ VSd u
összefüggéssel becsülhető, ahol ß = 1,15 belső oszlop ß = 1,40 szélső oszlop, és ß = 1,50 sarokoszlop esetén. Az átszúródási ellenállás számítása és a nyírási vasalás kialakítása
Az átszúródással szembeni ellenállás pontosabb, háromdimenziós számítási modell alkalmazásának hiányában, az EC-2 alapján a vasbeton gerendák nyírási teherbírásának számításához hasonló elven határozható meg. A kritikus átszúródási kerület mentén számításba vehető fajlagos nyírási ellenállás nyírási vasalás nélkül v Rd 1 = τ Rd ⋅ k (1,2 + 40ρl ) ⋅ d ahol: τRd a beton nyírási határfeszültsége
VASBETON LEMEZEK
v1.0
k = 1,6 - d ≥ 1, (d méterben behelyettesítve)
ρ l = ρ lx ⋅ ρ ly ≤ 0,015
ρl és ρly az x és y irányú lemezvasalás betonkeresztmetszetre vonatkoztatott fajlagos értéke d = 0,5(dx + dy), dx és dy az x ill. az y irányú lemezvasalás alapján számítható hatékony lemezvastagság Tapasztalatok alapján a fajlagos nyírási ellenállás felső korlátja az alábbi: vRd 2 = 1,6 ⋅ vRd 1 vRd1 < vSd ≤ vRd2 esetén az átszúródási ellenállás biztosítására nyírási vasalást kell alkalmazni. A fajlagos átszúródási ellenállás ekkor a
v Rd 3 = v Rd 1 +
∑ AsW ⋅ f yd ⋅ sin α u
összefüggéssel számítható, ahol a ΣAsw⋅fyd⋅sinα mennyiség az a kritikus kerületet átmetsző összes nyírási acélbetét nyírási ellenállása. α a nyírási vasak tengelyének a lemez középfelületével bezárt szöge. A beton és az acélbetétek teherbírásának egymásráhalmozása miatt, a kompatibilitási feltételek teljesülése érdekében ajánlott az acélbetétek feszültségét σ = 0,5⋅ fyd értékére korlátozni. Az ismertetett módszer feltételezi, hogy a lemez síkjában mindkét irányban futó hajlítási vasalás van az oszlop fölött. A vasalás mértéke legyen legalább a hatékony betonkeresztmetszet 0,5%-a .
vSd > vRd1 esetén az átszúródási teherbírást biztosító nyírási vasalás minimális keresztmetszeti területe ΣAsw⋅sinα = 0,6⋅ρwmin(Acrit - Aterh), ill. ρwmin az EC-2 szerinti minimális fajlagos vasalás, Acrit az u kerület által körülírt kritikus lemezfelület, Aterh pedig a közvetlenül terhelt lemezterület.
Az alakváltozási pont környezetében a lemez átszúródási vasalása az ábra szerint nyírókosárral (a. ábra), tangenciális irányban elhelyezett függőleges kengyelekkel (b. ábra), rúdszerű nyírási vasalással (c. ábra), idomacélokból hegesztett merev vázzal (d. ábra), vagy acéllemezre hegesztett nyírócsapokkal (e. ábra) alakítható ki.
VASBETON LEMEZEK
v1.0
Külpontos erővel terhelt oszlop - lemez kapcsolat esetén az átszúródással szembeni ellenállás biztosítása érdekében a lemezt a külpontosságból adódó hajlítónyomatékra is meg kell vasalni. Az x illetve y irányú szükséges vasalást az mSd,x (vagy mSd,y) = η⋅VSd fajlagos hajlítónyomatékokból lehet meghatározni, ahol VSd az átszúródást okozó teljes nyíróerő és az η tényező az alábbi táblázatból határozható meg az alátámasztás helyzetétől függően. A nyomatékokból számítható húzott vasalást az ábrában definiált bx illetve by hatékony lemezsávokban kell egyenletesen kiosztani.
VASBETON LEMEZEK
Az oszlop helyzete
Belső oszlop Az x tengellyel párhuzamos szélen lévő oszlop Az y tengellyel párhuzamos szélen lévő oszlop Sarok oszlop
v1.0
az mSd,x nyomatéki tényezők η felső alsó by vasalat vasalás -0,125 0 0,30 ly
az mSd,y nyomatéki tényezők η felső alsó bx vasalat vasalás -0,125 0 0,30 lx
-0,250
0
0,15 ly
-0,125
0
*
-0,125
+0,250
*
-0,250
*
0,15 lx
-0,500
+0,500
*
-0,500
+0,500
*
* a vasalást a keresztező sávszélességben kell egyenletesen kiosztani
