VAN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN NAAR FUNCTIES

VAN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN NAAR FUNCTIES Wandelen door leerplan C voor de derde graad KSO/TSO via thema’s

Dirk Taecke

1

HET LEERPLAN Het leerplan C is opgemaakt voor de studierichtingen met twee wekelijkse lestijden wiskunde. In sommige richtingen kunnen één of twee extra lestijden worden ingericht. Het basispakket voor alle richtingen bevat vier onderwerpen. • • • •

reële functies en algebra statistiek financiële algebra mathematiseren en oplossen van problemen.

In deze syllabus worden uitgewerkte opdrachten aangereikt die als rode draad kunnen dienen bij het eerste en vierde onderwerp. Hier en daar maken we hierbij gebruik van methodes uit de statistiek.

Inhoud van het leerplanonderdeel “Reële functies en algebra” 1) Grafieken en tabellen aflezen en interpreteren. Uit de combinatie grafiek/tabel karakteristieken aflezen + interpretatie in de juiste context.

2) Grafieken tekenen en interpreteren. LEERPLAN •

Manueel tekenen van eenvoudige functies

a (y = ax, y = , y = ax + b, y = ax2) x •

Met ICT: grafiek van tweedegraadsfuncties en van de exp. functie y = b.ax

•

Enkel voor nijverheidstechnische: goniometrische functies y = a.sinb.(x+c)

•

Elementaire karakteristieken van een tweedegraadsfunctie + grafieken construeren.

•

Manueel tekenen: lineaire groei, tweedegraadsfuncties, exp. groei.

•

Problemen oplossen en de oplossing interpreteren (vraagstukken die aanleiding geven tot gelijkheden of ongelijkheden).

Van verbanden tussen grootheden naar functies

MOGELIJKE OPLOSSING A) VERBANDEN Recht evenredig verband, lineair verband (+ lineaire modellen en lineaire interpolatie), omgekeerd evenredig verband, kwadratisch verband, exponentieel verband, machtsfuncties. B) TWEEDEGRAADSFUNCTIES C) EXPONENTIELE FUNCTIES (modellen) D) GONIOMETRISCHE FUNCTIES E) FUNCTIES MET MEERVOUDIG VOORSCHRIFT. Deze laatste twee hoofdstukken zijn in principe uitbreiding, maar basis voor sommige richtingen.

D.Taecke

2 •

UITBREIDING: o

Goniometrische functies

o

Functies met meervoudig voorschrift

o

Exp. functies y = b.ax

3) Functies concretiseren uit een probleemomschrijving. Lineaire en exponentiële verbanden. Zie voorgestelde oplossing bij nummer 2.

4) Veranderingen en hellingen. •

Gemiddelde verandering + grafische betekenis.

•

Verandering in een punt met een tabel van differentiequotiënten (ICT).

•

Problemen oplossen.

•

UITBREIDING: afgeleiden + problemen oplossen.

Inhoud van het leerplanonderdeel “Mathematiseren en oplossen van problemen” 1) Problemen herkennen, analyseren en de probleemstelling verhelderen met behulp van wiskundekennis. 2) Heuristische methodes gebruiken om een probleem aan te pakken. Vertaling: het volgen van een niet-formele methode om volgens een bepaald criterium een niet precies bekend doel te bereiken op een onderzoekende en voortdurend evaluerende wijze. 3) Resultaten interpreteren binnen de context van het gestelde probleem. 4) Een reflecterende houding verwerven door gecontroleerd terugkijken op de oplossingsweg en de uitgevoerde berekeningen. 5) Vertrouwen verwerven door de wiskundekennis zinvol in te schakelen.

Nadenken over werkvormen en evalueren Individueel Groepswerk Driloefeningen BZL en groepsopdrachten Gewicht van attitudes (klassieke toetsen en proeven) (assessment/peer-assessment) ICT-vaardigheid van de leerlingen en ondersteuning door de school


D.Taecke

3

THEMA 1: verkeersongevallen Het volgende diagram toont de evolutie van het aantal verkeersongevallen in het Vlaams Gewest.

VERKEERSONGEVALLEN IN VLAANDEREN 34000 33022 33000

32487 31935 31457

32000

31578

31341

31000

30024

30000

29115

29000 28000 27000 1995 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

2000

2005

2006

2007

2008

2009

2010

Wat valt er op bij het assenstelsel in vergelijking met een “normaal wiskundig assenstelsel”? In welk jaar waren er meest verkeersongevallen? In welke perioden was er een daling? Wanneer was de daling het sterkst? Toon aan dat de daling eigenlijk sterker was in 2008 dan in de periode 2000 – 2005. Schat met lineaire interpolatie het aantal ongevallen in 1998. Voorspel door lineaire extrapolatie het aantal ongevallen in 2013. Stel de gegevens van 2007 t.e.m. 2010 voor met een puntenwolk en teken de regressierechte. Geef de betekenis van het intercept en van de richtingscoëfficiënt. Schat m.b.v. de regressielijn en door lineaire extrapolatie van de laatste gegevens, het aantal verkeersongevallen in 2011. Zoek de cijfers voor 2011 op via het internet en controleer je berekende waarden.


D.Taecke

4 Bij het bekijken van het aantal ongevallen in Vlaanderen is het aantal verreden kilometer op Vlaamse wegen een waardevolle parameter. Belangrijker is echter het mogelijke verband met de grootte van het wagenpark in Vlaanderen. 11) Waarom? De grootte van het Vlaamse wagenpark is niet exact te achterhalen omdat de inschrijving van voertuigen een federale bevoegdheid is. Je ziet in onderstaande tabel de evolutie van het aantal ingeschreven voertuigen in België. jaartal

2007

2008

2009

2010

aantal ingeschreven 6362161 6482033 6574789 6689065 voertuigen

Je kunt het voertuigenpark in Vlaanderen schatten door de bevolkingsverdeling in België te bekijken. 12) Zoek op het internet hoeveel procent van de Belgische bevolking in Vlaanderen woont en geef op die manier een schatting voor het voertuigenpark in Vlaanderen. 13) Er is dus een stijging van het aantal ingeschreven voertuigen in Vlaanderen, terwijl het aantal verkeersongevallen daalt. Toon aan dat het verband niet omgekeerd evenredig is. 14) Voer een lineaire regressie uit om een verband te bepalen tussen het aantal verkeersongevallen (afhankelijke veranderlijke) en het aantal ingeschreven voertuigen (onafhankelijke veranderlijke). 15) In 2011 waren er in België 6 861 777 voertuigen ingeschreven. Schat hieruit het aantal verkeersongevallen en vergelijk met de schattingen van vraag 10. 16) Toon aan dat beide regressiemodellen op de lange duur geen enkele steek meer zullen houden. 17) Welk regressiemodel is, volgens jou, het meest betrouwbaar. Waarom? 18) De overheid wil de “kans op een ongeval” met een Vlaams voertuig terugdringen tot 0,75 %. In welk jaar zullen ze deze doelstelling bereiken? 19) Waarom is het antwoord op vraag 18 niet erg betrouwbaar?


D.Taecke

5 Je bekijkt nu of geslacht en leeftijd een invloed hebben op het ongevallenrisico.

3 januari 2008

2004/01

Vrouwen zijn slechtste chauffeurs

Vrouwen zijn beste chauffeurs

Uit onderzoek door psychologen van de Queen Mary University of London, is gebleken dat vrouwen slechter presteren in taken waarbij navigatie en ruimtelijk inzicht is vereist. De computergebaseerde tests werden uitgevoerd op 140 vrijwilligers (70 mannen en 70 vrouwen). In deze test moest men virtueel zwemmen door een onderwater doolhof naar een verborgen platform. Vrouwen deden er veel langer over om de bestemming te bereiken.

Het is nu officieel: vrouwen zijn de beste chauffeurs. Een studie van de Weense verkeers-veiligheid heeft vastgesteld dat slechts 35% van de ongelukken op de weg door vrouwen worden veroorzaakt.

20) Geef voor beide onderzoeken twee redenen waarom de conclusie voorbarig is. Op het volgende lijndiagram zie je de relatie tussen het risico op een ongeval en de leeftijd.

risico per 100 000 inwoners

3,00 2,50

2,50 2,00

1,55

1,50

0,95

1,00

0,75

0,80 0,60

0,50 0,00 20

30

40

50

60

70

leeftijd De leeftijden zijn in klassen ondergebracht. Een klasse is dan een halfopen interval. De getallen 20, 30, … zijn de klassenmiddens die de klassen vertegenwoordigen.


D.Taecke

6 21) Vul de tabel aan. leeftijd midden

risico per 100 000

20 30 40 50 60 70

22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29)

Wat is het risico van een 40-jarige op een verkeersongeval? Welke leeftijdsgroep kan je beschouwen als de veiligste en welke als de onveiligste? Geef een mogelijke verklaring voor het verloop van het risico op een verkeersongeval. Zet de gegevens uit in een puntenwolk en teken de pest passende regressielijn. Geef een schatting voor het risico op een verkeersongeval voor de leeftijdsklasse [75,85[. Acht je deze schatting realistisch? Waarom (niet)? Op welke leeftijd heb je, volgens het regressiemodel, minst risico op een verkeersongeval? Bereken de gemiddelde afname per jaar van het risico op een verkeersongeval tussen de leeftijd van 30 en die van 50 jaar.


D.Taecke

7 Het risico op een verkeersongeval is, volgens een studie van het Instituut voor Mobiliteit van de universiteit Hasselt even groot voor mannen als voor vrouwen. De kans op een ongeval met doden of gekwetsten is wel afhankelijk van het geslacht. De volgende tabel toont de kans, per leeftijd en geslacht, op een ziekenhuisopname bij een ongeval. leeftijd

midden

risico in % mannen vrouwen

[15,25[

20

1,90

1,30

[25,35[

30

1,10

0,70

[35,45[

40

0,82

0,49

[45,55[

50

0,68

0,49

[55,65[

60

0,52

0,55

[65,75[

70

0,51

0,64

30) 31) 32) 33)

Stel de gegevens voor met een meervoudig lijndiagram. Op welke leeftijd is de kans op ziekenhuisopname voor vrouwen het kleinst? Vanaf welke leeftijd is de kans op ziekenhuisopname groter voor vrouwen dan voor mannen? Bepaal het omgekeerd evenredig verband dat zo goed mogelijk de relatie weergeeft tussen de kans op een ziekenhuisopname bij een ongeval en de leeftijd (tussen 30 en 70 jaar).

Tenslotte bekijk je de invloed van ervaring op de kans om in een ongeval betrokken te zijn. De tabel toont het aantal ongevallen per miljoen gereden kilometer voor 20-jarigen. aantal km/jaar

midden

ongevallen per miljoen km

[0,4000[

2000

53

[4000,8000[

6000

41

[8000,12000[

10000

32

[12000,16000[

14000

25

34) Toon aan dat de daling van het aantal ongevallen per miljoen kilometer exponentieel is. 35) Met hoeveel procent neemt het aantal ongevallen per miljoen km af per 1000 km extra gereden km/jaar? 36) Schat het aantal ongevallen per miljoen km voor een 20-jarige die 25 000 km per jaar aflegt.


D.Taecke

8

THEMA 2: de mens DE GEBOORTE Het volgende staafdiagram toont de evolutie van het aantal geboortes in België sinds 1850.

128256

123554

124794

155520

141119

114883

120000

142970

164257

175768

193230

176199

110323

140000

150271

160000

144668

180000

131416

200000

162938

220000

170717

HET AANTAL GEBOORTES IN BELGIE

100000 80000 60000 40000 20000 0 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Geef het verloop schematisch weer. Teken een toenamediagram met stapgrootte 10 jaar. In welke periode was er de grootste toename? In welke periode was er de grootste afname? Wat betekent het woord “babyboom”? Hoe zie je aan het toenamediagram dat er een overgang is van stijgen naar dalen? In welke periode is het aantal geboortes per jaar nagenoeg constant gebleven? Voorspel door lineaire extrapolatie het aantal geboortes in 2016.

Om voorspellingen te doen voor de toekomst moet je niet alleen rekening houden met het absolute aantal geboortes per jaar, ook de evolutie van de totale bevolking is belangrijk. Het vruchtbaarheidscijfer per leeftijd is de verhouding van het aantal levendgeborenen bij vrouwen van een bepaalde leeftijd tot de gemiddelde getalsterkte van de vrouwen van die leeftijd. Het totale vruchtbaarheidscijfer (TVC) is de som van de vruchtbaarheidscijfers per leeftijd. Het TVC is dus gelijk aan het aantal kinderen dat een vrouw in het reproductieve leeftijdsinterval zou krijgen indien ze het zelfde vruchtbaarheidscijfer zou blijven vertonen op elke leeftijd. De volgende tabel toont de evolutie van het TVC in België in de periode [1960,2010[. jaartal

1960

1965

1970

1975

1980

1985

1990

1995

2000

2005

2010

TVC

2,64

2,62

2,25

1,74

1,69

1,51

1,62

1,56

1,67

1,76

1,84


D.Taecke

9 9) 10) 11) 12) 13)

Teken een spreidingsdiagram en bepaal een regressiemodel van de tweede graad. In welk jaar was, volgens dit model, het vruchtbaarheidscijfer het laagst? Voorspel het vruchtbaarheidscijfer in 2020. Ga na of dit cijfer klopt met de voorspellingen van bevolkingsexperts. In België gaat men er in de officiële statistieken van uit dat een meisje van 14 jaar nog geen kinderen krijgt. Stel een kwadratisch model op als je weet dat de leeftijd met het grootste vruchtbaarheidscijfer 29 is, met een aantal geboortes van 0,1485 t.o.v. het totaal aantal vrouwen in die leeftijd. 14) Op welke leeftijd van de vrouw zijn er, volgens dit model, geen geboortes meer mogelijk? 15) Bereken de gemiddelde daling, per jaar, van het vruchtbaarheidscijfer tussen de leeftijd van 30 en 35 jaar. 16) Hoe snel stijgt het vruchtbaarheidscijfer op de leeftijd van 25 jaar? Bekijk de volgende tabel. Je ziet telkens de toestand op 1 januari van het gegeven jaar. totale bevolking

aantal vrouwen

aantal vrouwen in [15,50[

2000

10239085

5233071

2538274

2010

10839905

5527684

2585847

2011

10951266

5581032

n.g.

2012

11071483

n.g.

n.g.

17) 18) 19) 20) 21) 22) 23)

Bereken, op 0,01 %, de procentuele toename van de bevolking per jaar tussen 2000 en 2010. Bereken de procentuele toename per jaar voor de voorbije twee jaren. Wat blijkt? Zoek op het internet de verdeling van de groei per gewest. Hoeveel procent van de Belgische bevolking bestaat uit vrouwen? Hoeveel procent van de vrouwen behoort tot het reproductieve leeftijdsinterval? Schat het percentage vrouwen dat in 2020 tot het leeftijdsinterval [15,50[ zal behoren. Vul de tabel aan. Ga voor de groei van de bevolking uit van een jaarlijkse toename met 1 %. totale bevolking

aantal vrouwen

aantal vrouwen in [15,50[

2000

10239085

5233071

2538274

2010

10839905

5527684

2585847

2020 24) Als de jaarlijkse groei 1 % blijft, in welk jaar zal België dan de kaap van 13 miljoen inwoners overschrijden? 25) Geef een schatting voor het aantal geboortes in België in 2020.


D.Taecke

10

EVOLUTIE Het volgende toenamediagram toont de groei van de gemiddelde Belgische man en vrouw, volgens een studie van het onderzoeksproject “DINBelg 2005”. De gegevens zijn afgerond op 0,5 cm. 40 38 36

37 37

lengtetoename in cm

34 32 30 28 26 24 22 20

jongens

18 16 14

meisjes 15,5 15

12 10 8

13,5 14

13 13

13 10,5 11

14 12

11,5 9

6 4 2

4

1,5 0,5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

leeftijd in jaren

26) Leg uit: “meisjes krijgen vroeger groeischeuten dan jongens”. 27) De gemiddelde geboortelengte, op 0,5 cm nauwkeurig, voor jongens is 51,0 cm. Voor meisjes is dat 50,0 cm. Vul de volgende tabel aan voor de gemiddelde Belgische jongere. leeftijd

lengte jongen, in cm

lengte meisje, in cm

0 2 4 4 6 8 10 12 14 16 18 28) Wat was in 2005 de gemiddelde lengte van een 18-jarige? 29) Met hoeveel centimeter groeit een meisje gemiddeld per jaar tussen haar 12de en haar 18de? 30) Schat de gemiddelde lengte van een jongen van 15 jaar.


D.Taecke

11 Op 4 januari 2007 publiceerde De Morgen het volgende artikel. De Belgische bevolking is sinds 2002 een halve centimeter gegroeid en 800 gram dikker geworden. Dat blijkt uit cijfers van de Europese Commissie. In 2005, bij de laatste bevraging in het kader van de Eurobarometer, was de gemiddelde Belg 170,3 centimeter groot, tegenover 169,8 centimeter in 2002. Het gemiddelde gewicht bedroeg 72,7 kilogram, tegenover 71,9 kilogram drie jaar eerder.

In het volgende onderdeel van dit thema ga je na in welke mate de gemiddelde man groter wordt. De volgende grafiek toont de evolutie van de gemiddelde lengte van een volwassen man in België. 185 180,6

gemiddelde lengte in cm

180 175,3 175 171,7 169,8 170 165,5

168,2 165,8

166

1902

1909

167

165

160 1881

1926

1938

1947

1963

1979

2004

jaartal

Noot: hier kan eventueel een statistisch onderzoek aan gekoppeld worden. De bedoeling is om te kijken in welke mate de toename van de gemiddelde lengte van een volwassene ook zichtbaar is bij de mensen die nu leven. Er wordt aan 100 mannen/vrouwen van de leeftijdsklasse [20,30[, 100 mannen/vrouwen van de leeftijdsklasse [30,50[ en 100 mannen/vrouwen van de leeftijdsklasse [50,70[ naar hun lichaamslengte in cm gevraagd. De verkregen gegroepeerde gegevens kunnen dan verwerkt worden via diagrammen, gemiddelde, standaardafwijking, regressie van de gemiddelden, … 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37)

Waarom heeft een toenamediagram geen zin? Bereken de gemiddelde toename per jaar voor de periodes 1881 – 1902 en 1979 - 2004. Bereken het jaarlijkse groeipercentage voor de periode 1979 – 2004. Voorspel de gemiddelde lengte van de Belgische man in 2050. In welk jaar zou de gemiddelde Belgische man 2 m worden? Acht je het waarschijnlijk dat dit exponentieel bruikbaar zal blijven in een verre toekomst? Zoek op het internet uitleg over logistische modellen en vat samen in een voor iedereen verstaanbare taal.


D.Taecke

12 We worden niet alleen steeds groter, maar we leven ook langer. De levensverwachting is de gemiddelde resterende levensduur van een persoon die in een bepaald jaar geboren is. De volgende tabel toont de evolutie van de levensverwachting bij vrouwen in België. jaar l.v. in jaren

1885

1930

1948

1970

1981

1989

1997

2005

2006

2007

2008

2009

2010

46,63 59,79 67,26 73,71 76,23 78,68 80,57 81,86 82,15 82,21 82,32 82,43 82,64

38) Stel de tabel grafisch voor d.m.v. een lijndiagram. 39) Schat met behulp van de grafiek • de levensverwachting in 1958; • in welk jaar de levensverwachting boven de 75 jaar steeg. 40) Gebruik lineaire interpolatie om dezelfde schattingen te doen. 41) Waarom is het lijndiagram niet bruikbaar om te bepalen in welke periode de levensverwachting het sterkst is gestegen? 42) Bedenk een methode om de stijgingsgraad in elke periode wel te kunnen vergelijken. 43) In welke periode steeg de levensverwachting het sterkst? 44) Geef de grafische betekenis van je berekeningen voor het lijndiagram. 45) Met hoeveel procent is de levensverwachting gestegen tussen 1930 en 2010?

Om voorspellingen te doen naar de toekomst toe, gebruik je enkel de waarden van de laatste vijf jaar en je neemt er ook de mannen bij. jaar

2005

2006

2007

2008

2009

2010

l.v. vrouwen

81,86

82,15

82,21

82,32

82,43

82,64

l.v. mannen

76,14

76,51

76,74

76,77

77,15

77,36

46) 47) 48) 49) 50)

Maak een lineair regressiemodel voor beide gegevensrijen. Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van beide regressierechten. Voorspel de levensverwachting in 2030. In welk jaar mag een pasgeboren meisje verwachten dat ze 90 jaar oud zal worden? De levensverwachting stijgt vlugger bij de mannen dan bij de vrouwen. In welk jaar zal de levensverwachting van de mannen dezelfde zijn als die bij de vrouwen?


D.Taecke

13

THEMA 3: sport WORDEN VROUWEN OOIT SNELLER DAN MANNEN? Deze titel was te vinden in De Morgen van 11 augustus 2012. Je bekijkt de vraag bij twee sporten: de 100 meter sprint in de atletiek en de 100 meter vrije slag in het zwemmen. De volgende tabellen tonen de evolutie van het wereldrecord op de 100 m sprint sinds 1968. In dat jaar werd de tijd voor het eerst elektronisch gestopt op de Olympische Spelen van Mexico. 1968

1983

1991

1994

1996

1999

2005

2007

2008

2009

9,95

9,92

9,86

9,85

9,84

9,79

9,77

9,74

9,69

9,58

1968

1972

1976

1977

1980

1983

1984

1988

11,08

11,07

11,01

10,88

10,87

10,79

10,76

10,49

mannen

vrouwen

1) Waarom heeft het weinig zin om voorspellingen voor de toekomst te doen met behulp van lineaire extrapolatie van de laatste tijden? 2) Bepaal voor beide tabellen de best passende regressielijn. Neem het aantal jaren na 1968 als onafhankelijke veranderlijke. 3) Toon aan dat dit model voor de mannen zowel in het begin als op het einde weinig accuraat is. 4) Het model van vraag 2 voor de vrouwen wordt vooral bepaald door het wereldrecord van 1988. Zoek op het internet een goede reden om dit gegeven als uitschieter te verwijderen. 5) Verwijder het wereldrecord van 1988 uit de tabel van de vrouwen en vervang deze door de respectievelijke tijden 10,65 s in 1998 en 10,64 s in 2009. Bekijk de invloed op de regressiemodellen. 6) Waarom is bij de mannen een lineair model te verkiezen boven een kwadratisch model? Ga voor beide records nu verder uit van het lineaire model. Voor de vrouwen kies je voor het model van vraag 5. 7) Hoe kan je zien dat, volgens de gehanteerde modellen, er ooit een tijd zal komen dat de vrouwen even snel lopen als de mannen? 8) In welk jaar worden de vrouwen dan sneller dan de mannen?


D.Taecke

14 We volgen de evolutie van het wereldrecord op de 100 m vrije slag vanaf 1975. 1975

1976

1981

1985

1986

1988

1994

2000

2008

2009

mannen 50,59 49,44 49,36 48,95 48,74 48,42 48,21 47,84 47,05 46,91

1975

1976

1978

1980

1986

1992

1994

2000

2004

2006

2008

2009

vrouwen 56,22 55,65 55,41 54,79 54,73 54,48 54,01 53,77 53,52 53,30 52,88 52,07

9) In welke periode is de verbetering van het wereldrecord relatief het snelst gegaan? 10) Bepaal voor beide tabellen de best passende regressielijn. Neem het aantal jaren na 1975 als onafhankelijke veranderlijke. 11) Toon aan dat, volgens het regressiemodel voor de mannen, er een jaar zal komen waarna het record niet meer zal kunnen gebroken worden. Wat zou dat ultieme record dan zijn? 12) Schat het wereldrecord bij de vrouwen in 2020 m.b.v. het regressiemodel van vraag 10. 13) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt en het intercept bij het regressiemodel voor de vrouwen. 14) In welk jaar zal, volgens het regressiemodel voor de mannen, het wereldrecord voor het eerst onder 46,50 seconden duiken? 15) In welk jaar zullen, volgens de regressiemodellen van vraag 10, de vrouwen sneller zwemmen dan de mannen? 16) Hoe kan je het probleem van vraag 15 ontwijken? 17) Herhaal de opdracht van vraag 15, maar met het gewijzigde regressiemodel voor de mannen.


D.Taecke

15

HOE SNEL LOOPT EEN SPURTER? Tijdens de 100 meter in de atletiek komt het erop aan zo snel mogelijk je topsnelheid te bereiken en die dan zo lang mogelijk vast te houden. Dankzij het gebruik van supersnelle camera’s heeft men van de Jamaicaan Asafa Powell om de 10 m zijn tussentijden bepaald tijdens een wedstrijd in zijn eigen land. Je ziet de resultaten in de volgende tabel (x is de afgelegde weg in meter). x

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

t(s)

0

1,93

2,95

3,89

4,76

5,62

6,47

7,33

8,19

9,03

9,89

18) 19) 20) 21) 22)

Bereken zijn gemiddelde snelheid, in km/h, over het ganse traject. Bereken zijn gemiddelde snelheid tijdens de eerste 50 meter en tijdens de tweede 50 meter. Bereken zijn gemiddelde snelheid voor iedere 10 meter. Liep Asafa Powell na 10 m tegen exact de berekende snelheid? Waarom kan je na 90 m wel precies zijn ogenblikkelijke snelheid bepalen?

Om de ogenblikkelijke snelheid van Asafa Powell te bepalen zul je een regressie uitvoeren op de gegevens van de eerste 70 meter. Neem de tijd als onafhankelijke veranderlijke en voer een derdegraadsregressie uit. 23) Vul de volgende tabel in voor zijn ogenblikkelijke snelheid. t(s)

0

1,93

2,95

3,89

4,76

5,59

6,43

7,28

afstand(m)

0

10

20

30

40

50

60

70

v (m/s) v(km/h)

Je bepaalt nu wanneer hij zijn topsnelheid bereikte. Voer hiervoor een regressie uit op de gegevens tussen 10 en 70 meter. 24) Na hoeveel meter bereikte Asafa Powell zijn topsnelheid. Hoeveel bedroeg zijn snelheid dan?


D.Taecke

16

SPEERWERPEN Het wereldrecord speerwerpen bij de vrouwen staat op naam van de Tjechische Barbora Spotakova. Op 13 september 2008 gooide ze, op een meeting in Stuttgart, de speer 72,28 m ver. De speerpunt had een maximale hoogte van 14,86 m en dit op een afstand van 35,39 meter van de afwerplijn. 25) Stel het kwadratisch verband op tussen de hoogte h van de speerpunt en de horizontale afstand x tot de afwerplijn. 26) Bereken de hoogte van de speerpunt op het ogenblik dat hij de afwerplijn overschrijdt. 27) Vanaf welk punt bereikte de speerpunt een hoogte van minstens 10 m? De volgende tabel toont de horizontale afstand tot de afwerplijn in functie van de tijd, gedurende de eerste 3 seconden van de vlucht. tijd (s)

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

2,25

2,5

2,75

3

afstand (m) 0,00 5,54 11,08 16,62 22,16 27,71 33,30 38,71 44,28 49,82 55,36 60,90 66,44


n i s

Welk soort verband is er tussen de afstand en de tijd? Waarom? Geef de formule voor het verband tussen de afstand en de tijd. Hoelang duurt het vooraleer de speer de grond bereikt? Bepaal het verband tussen de hoogte van de speerpunt en de tijd. Wat is het verband tussen de coëfficiënt van t² en de valversnelling? Wat betekent de “valversnelling”? Wat is de betekenis van de constante term in de formule van vraag 31? In de fysica ziet men dat de coëfficiënt van t gelijk is aan ⋅ . Hierbij is v0 de beginsnelheid en α de hoek waaronder een projectiel wordt weggeworpen. Als je weet dat Spotakova de speer onder een hoek van 33° heeft gegooid, bereken dan de beginsnelheid. 36) Na hoeveel seconden heeft de speerpunt zijn maximale hoogte bereikt? 37) Bereken, met de formule van vraag 31, hoe lang het duurt vooraleer de speer de grond bereikt 38) Hoelang blijft de speerpunt boven 12 m? Los grafisch op. v0

28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35)

D.Taecke

17

HOE WORDEN DE PUNTEN GEGEVEN OP DE TIENKAMP? Op de jongste Olympische Spelen in Londen behaalde onze landgenoot Hans Van Alphen een schitterende vierde plaats in de tienkamp. Zijn puntentotaal bedroeg 8 447 punten. Hoe worden de prestaties in de verschillende onderdelen naar waarde geschat? Met andere woorden op welke manier worden de punten toegekend? Men moet rekening houden met de aard van de nummers. • • • •

In het lopen moeten de tijden zo laag mogelijk liggen, in het springen en werpen moet de afstand zo hoog mogelijk liggen. 230 cm ver springen is niets, 230 cm hoog springen is een heel goede prestatie. Er moet een nulpunt voorzien worden: een score waaronder je geen punten haalt. Hoe beter je scoort, hoe moeilijker het is om die prestatie nog te verbeteren (het is bijvoorbeeld veel moeilijker om je tijd op de 100 m te verbeteren van 11 seconden naar 10 seconden, dan van 15 seconden naar 14 seconden).

Na vele jaren en nog meer debatten tussen sportwetenschappers en statistici, is men tot de volgende formules gekomen. loopnummers

−

)

c

⋅(

b

S is de gesprongen afstand in cm

) =

W a

(

W p

)

c

⋅( −

Werpnummers

b

T is de gelopen tijd in seconden

( ) =

S a

)

S p

⋅( −

c

T b

a

T p

( ) =

springnummers

W is de werpafstand in m

werpnummers

springnummers

loopnummers

De parameters a, b en c zijn afhankelijke van het onderdeel. onderdeel

a

b

c

100 m

25,4347

18

1,81

110 m horden

5,74352

28,5

1,92

400 m

1,53775

82

1,81

1500 m

0,03768

480

1,85

verspringen

0,14354

220

1,4

hoogspringen

0,8465

75

1,42

polstokspringen

0,2797

100

1,35

kogelstoten

51,39

1,5

1,05

discuswerpen

12,91

4

1,1

speerwerpen

10,14

7

1,08


D.Taecke

18 39) Geef de betekenis van de parameter b in de formules. 40) Verklaar de vorm van het gedeelte tussen haakjes (grondtal van de machtsverheffing). 41) Zet de volgende prestaties van Hans Van Alphen om naar punten. Deze worden altijd naar onder afgerond op een geheel. onderdeel

prestatie

100 m

11,05 s

1500 m

4 min 22,20 s

hoogspringen

2,05 m

speerwerpen

61,37 m

punten

42) Zet de volgende punten van Hans van Alphen om naar prestaties. onderdeel

punten

110 m horden

863

verspringen

970

kogelstoten

819

prestatie

43) Teken de grafiek voor de punten bij de 100 meter. a) Waarom daalt de grafiek? b) Geef de betekenis van de parameter b. c) Hoe zie je aan de grafiek dat hoe beter je scoort, hoe moeilijker het is om die prestatie nog te verbeteren? d) Schat via de grafiek hoeveel extra punten je krijgt bij een verbetering met een seconde • van 12 naar 11 seconden: • van 14 naar 13 seconden: 44) Teken de grafiek voor de punten bij het hoogspringen. a) Schat via de grafiek hoe hoog je moet springen om 1000 punten te krijgen. b) Beschrijf in welke mate de parameter a de grafiek beïnvloedt. c) Waarom is c > 1?


D.Taecke

19

THEMA 4: de maatschappij DE VERGEETCURVE VAN EBBINGHAUS Wie het wil maken in de maatschappij moet eerst heel wat kennis opdoen. Het probleem daarbij is dat een mens niet alles onthoudt … De vergeetcurve van Ebbinghaus, een Duits psycholoog (1850 – 1909) toont hoe snel iemand opgedane informatie vergeet, als deze informatie niet herhaald wordt.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Bespreek wat je kunt aflezen op de curve. Wat valt er op bij de horizontale as? Waarom zou men dat gedaan hebben? Zoek op hoe Ebbinghaus zijn onderzoek heeft gehouden. Schat door lineaire interpolatie hoeveel je nog onthouden hebt na twee weken. Schat met lineaire interpolatie na hoeveel tijd je al de helft vergeten bent. Hoeveel procent van de opgedane kennis verlies je • tijdens het eerste uur? • tijdens de daaropvolgende acht uren? • tussen de eerste dag en het einde van de maand? 8) Hoeveel procent van de opgedane kennis verlies je per dag tussen dag 6 en dag 31? 9) Schat met het percentage van vraag 8 hoeveel procent van de kennis er nog overschiet na 1 jaar.


D.Taecke

20 Om leerstof goed te beheersen, moet je dus regelmatig herhalen!

10) Hoeveel keer moet je de leerstof herhalen om na één week nog minstens 90 % van de leerstof te kennen? 11) Hoeveel leerstof heb je dan onthouden? 12) Wat is de betekenis van de helling van elke grafiek? 13) Toon aan dat herhaling loont. 14) Hoeveel leerstof zou je per dag vergeten na de zesde herhaling?


D.Taecke

21

GEZINNEN EN INTERNETAANSLUITINGEN jaar

aantal aansluitingen aantal gezinnen totale bevolking

2004

1651505

4408695

10396421

2005

1771016

4445978

10445852

2006

2004716

4488141

10511382

2007

2175578

4529799

10584534

2008

2302888

4575959

10666866

2009

2565855

4606544

10753080

2010

2731764

4643739

10839905

15) Teken een samengesteld lijndiagram en bespreek de evolutie. 16) Stel de relatieve evolutie van het aantal gezinnen met een internetaansluiting grafisch voor met een toenamediagram en bespreek. 17) Bekijk de evolutie van het aantal leden per gezin in België. 18) Gebruik regressie om het percentage van de Belgische gezinnen met internetaansluiting te voorspellen in 2020. 19) Gebruik de schatting van de Belgische bevolking uit thema twee om het aantal internetaansluitingen in 2020 te voorspellen.


D.Taecke

22 De volgende grafische voorstelling toont de evolutie van de vijf meest populaire browsers in België.

20) 21) 22) 23) 24)

Wanneer haalde Mozilla Firefox zijn grootste marktaandeel? Hoelang is Google Chrome al populairder dan Firefox? Hoeveel marktaandeel is Internet Explorer verloren in 2011? Voorspel wanneer Google Chrome populairder zal worden dan Internet Explorer. Zal Safari ooit populairder worden dan Internet Explorer?


D.Taecke

23

HET KLIMAAT We bekijken de opwarming van de aarde vanuit gegevens voor Ukkel.

25) Beschrijf wat je kan aflezen op bovenstaande grafieken. 26) Wat valt er uit de kromming van de grafiek af te lezen. 27) Toon aan dat de stijging van de gemiddelde wintertemperatuur lineair is. Geef de grafische en fysische betekenis van je berekeningen. 28) Schat de gemiddelde wintertemperatuur in 2050. 29) Bereken voor elke periode de gemiddelde temperatuursverandering per jaar tijdens de zomer. Rond de berekende waarden af op 0,001 °C. 30) Schat, via lineaire extrapolatie, de gemiddelde zomertemperatuur in 2050. 31) Bepaal een kwadratische regressielijn die het verband weergeeft tussen de gemiddelde zomertemperatuur en het aantal jaren na 1830. 32) In welke jaar was, volgens deze regressielijn, de zomer het koelst? 33) Wat was de gemiddelde zomertemperatuur in dat jaar? 34) Vanaf welk jaar steeg, volgens de kwadratische regressielijn, de gemiddelde zomertemperatuur voor het eerst boven 17°C? 35) Bereken de ogenblikkelijke verandering van de gemiddelde zomertemperatuur in 2020 en geef de fysische betekenis.


D.Taecke

24 Niet alleen de temperatuur neemt toe. Ook de hoeveelheid neerslag stijgt. De volgende grafiek toont de evolutie in Ukkel.

36) 37) 38) 39)

Welk jaar was het droogste jaar sinds het begin van de metingen? Hoeveel jaar werd er meer dan 1000 mm per jaar gemeten? Hoeveel jaar werd er minder dan 600 mm per jaar gemeten? Bepaal zo eenvoudig mogelijk de vergelijking van de trendlijn uit onderstaande tabel. jaar

1840

1860

1880

1900

1920

1940

1960

1980

2000

2010

meting

713

826

864

747

738

798

963

916

852

914

trend

750

761

771

781

792

802

812

823

833

838

40) Vanaf welk jaar zou er, volgens het lineaire model, meer dan 850 mm neerslag per jaar vallen? 41) Stel dat het in de winter gemiddeld 1°C warmer zou worden. Hoeveel meer neerslag mag men dan in één jaar verwachten?


D.Taecke

25 Tenslotte bekijken we de hoogte van het zeewater in Oostende. Het zeeniveau wordt uitgedrukt in mm RLR (Revised Local Reference). Daarbij zijn de data van een lokale referentie (voor de Belgische Kust is die de TAW of Tweede Algemene Waterpassing) omgezet t.a.v. het internationaal referentieniveau.

42) 43) 44) 45)

Wat is de Tweede Algemene Waterpassing? Met hoeveel procent is het zeeniveau per jaar gestegen in 60 jaar? Toon aan dat een exponentieel model niet geldig is. Bepaal een kwadratisch regressiemodel dat het verband geeft tussen het zeeniveau in mm en het aantal jaren na 1950. 46) Als de zeespiegel 14 m zou bedragen, zou België er als volgt uitzien. Schat in welk jaar dit de kaart van België zou zijn.


D.Taecke

26

TIP VOOR EXTRA ONDERWERP Evolutie van het gezinsbudget in België (huishoudbudget-onderzoek FOD Economie). jaar

1978

1987

1995

1999

2001

2004

2008

2010

totale consumptie 12491 in euro

18015

24781

27308

28653

30607

32986

34801

Je kunt nog kijken naar het aandeel van voeding, kledij, huisvesting, …

BRONNEN FOD Economie – Statistics Belgium (vroeger Nationaal Instituut voor de Statistiek) Geslacht en leeftijd in relatie tot verkeersongevallen – Instituut voor Mobiliteit Universiteit Hasselt. Nationaal Kompas Volksgezondheid – Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu (NL) DinBelg2005 De Morgen Wikipedia Science.uva.nl Humo (Lieven Scheire – Geek my nerd) Stuff4educators.com ml.sun.ac.za/wordpress zoekmachine-marketing-blog.com MIRA (VMM) op basis van gegevens KMI Lowtechmagazine


D.Taecke

VAN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN NAAR FUNCTIES

Recommend Documents