Matematika I, část II
Elementární funkce
1.5. Elementární funkce
Cíle
Uvedeme nyní několik funkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední školy. Nazveme je základní elementární funkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování těchto funkcí lze vytvořit tzv. elementární funkce, jejichž studiem se budeme zabývat ve velké části předmětu matematika.
Předpokládané znalosti
Je třeba zopakovat středoškolské znalosti o funkcích a jejich grafech. Zejména se jedná o funkce lineární, kvadratické, exponenciální, logaritmické a goniometrické.
Výklad
1.5.1. Exponenciální funkce f ( x) = e x , x ∈ R
V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že základem mocniny je iracionální číslo e
2, 718281828459045K, které se nazývá Eulerovo
číslo. Poznamenejme, že tuto funkci lze vyjádřit ve tvaru nekonečné funkční řady: ∞
xn x 2 x3 = 1+ x + + + ... . e =∑ 2! 3! n! n =0 x
Graf exponenciální funkce je na obr. 12.
216
Matematika I, část II
Elementární funkce
y
y
y=ln x
y= e x 0
1
x
1 0
x
Obr.12
Obr. 13
Výklad 1.5.2. Logaritmickou funkcí f ( x) = ln x, x ∈ (0, ∞),
nazýváme funkci inverzní k funkci exponenciální e x (obr. 13).
Poznámka Lze definovat funkci f ( x) = a x = e x ln a , D f = R, a ∈ (0, ∞ ) \ {1} , kterou nazveme exponenciální funkcí o základu a. Inverzní funkci k funkci a x značíme log a x, D f = (0, ∞ ) a nazýváme ji logaritmická funkce o základu a.
Výklad 1.5.3. Konstantní funkce je definována předpisem f ( x) = C , c ∈ R.
V případě, že C = 0, hovoříme o nulové funkci. Na obr. 14 je graf funkce f ( x) = 3.
217
Matematika I, část II
Elementární funkce
y
y
y=x
y=3
0
0
Obr. 14
Obr. 15
Výklad
1.5.4. Mocninná funkce je funkce definovaná předpisem
f ( x) = x r = er ln x , x ∈ (0, ∞), r ∈ R.
1 Bude-li r ∈ N , resp. − r ∈ N , resp. r = , kde n ∈ N , pak můžeme mocninnou funkci n r
definovat předpisy f ( x) = x = x.x. K .x , resp. f ( x) = x 1 424 3
−r
r − krát
=
1 xr
1 , resp. f ( x) = x n = n x .
Definiční obor těchto funkcí pak můžeme rozšířit na D f = R, resp. D f = R \ {0} , resp. pro n liché D f = R, pro n sudé D f =< 0, ∞ ). Uvedeme příklady pro některá r ∈ R :
1.
r = 1, f ( x ) = x, D f = R, grafem je přímka, obr. 15,
2.
r = 2, f ( x ) = x 2 , D f = R, grafem je parabola, obr. 16,
3.
r = 3, f ( x ) = x3 , D f = R, grafem je kubická křivka, obr. 17,
4. 5. 6. 7.
1 r = −1, f ( x) = , D f = R \ {0} , grafem je rovnoosá hyperbola, obr. 18, x 1 , D f = R \ {0} , obr. 19, r = −2, f ( x) = x2 1 r = , f ( x) = x , D f =< 0, ∞), grafem je část paraboly, obr. 20, 2 1 r = , f ( x) = 3 x , D f = R, grafem je funkce inverzní k funkci x3 , obr. 21, 3
218
Matematika I, část II
Elementární funkce
y
y y = x3
y = x2
0 0
Obr. 16
Obr. 17
y
y
y=
1 x
y=
1 x2
0
0 Obr. 18
Obr. 19 y
y
y=3 x
y= x
0
0
Obr. 20 8.
Obr. 21
r = 3, f ( x) = x 3 , D f = (0, ∞ ), obr. 22, 219
Matematika I, část II
Elementární funkce 1
9.
1 r= , f ( x) = x 3 , D f = (0, ∞), obr. 23. 3 y
y
1
y=x
y=x
3
3
0
0
Obr. 22
Obr. 23
Výklad
1.5.5. Goniometrické funkce:
1.
f ( x ) = sin x, D f = R, funkce se nazývá sinus, obr. 24,
2.
f ( x ) = cos x, D f = R, funkce se nazývá kosinus, obr. 25, y
y
1
1
−π 2 0
π 2
−π 2
π 2 0
-1 -1
y=sin x
Obr. 24
3.
Obr. 25
π ⎧ ⎫ f ( x) = tg x, D f = R \ ⎨(2k + 1) : k ∈ Z ⎬ , funkce se nazývá tangens, obr. 26, 2 ⎩ ⎭ 220
y=cos x
Matematika I, část II
4.
Elementární funkce
f ( x) = cotg x, D f = R \ {kπ : k ∈ Z } , funkce se nazývá kotangens, obr. 27. y
y
y=cotg x
y=tg x π 2
−π 2
−π 2
0
0
π 2
Obr. 26
Obr. 27
Výklad 1.5.6. Cyklometrické funkce:
1.
f ( x ) = arcsin x, D f =< −1,1 >, je inverzní funkcí k funkci sin x, x ∈< −
π π
, >, nazývá se 2 2
arkussinus, obr. 28, 2. f ( x ) = arccos x, D f =< −1,1 >, je inverzní k funkci cos x, x ∈< 0, π >, nazývá se arkuskosinus, obr. 29, y
y
π 2
y=arcsin x
-1 0
π 2
1
−π 2
-1
Obr. 28
y=arccos x
0
Obr. 29
221
1
Matematika I, část II
3. 4.
Elementární funkce
π π
f ( x ) = arctg x, D f = R, je inverzní funkcí k funkci tg x, x ∈ (−
, ), nazývá se 2 2
arkustangens, obr. 30, f ( x) = arccotg x, D f = R, je inverzní funkcí k funkci cotg x, x ∈ (0, π ), nazývá se arkuskotangens, obr. 31.
y
y π 2 y=arctg x
π 2
0
y=arccotg x 0
−π 2
Obr. 30
Obr. 31
Poznámky 1. Mezi základní elementární funkce se řadí také funkce hyperbolické
(hyperbolický sinus, f ( x) = sinh x =
f ( x) = cosh x =
e x − e− x , D f = R, hyperbolický kosinus, 2
sinh x e x + e− x , D f = R, hyperbolický tangens, f ( x) = tgh x = , D f = R, 2 cosh x
hyperbolický kotangens, f ( x) = cotgh x =
cosh x , D f = R \ {0}) a funkce sinh x
hyperbolometrické, které jsou inverzní k funkcím hyperbolickým. V základních kurzech matematiky je však nebudeme užívat. 2. Definovali jsme základní elementární funkce. Funkce, které získáme sčítáním, odčítáním, násobením, dělením a skládáním základních elementárních funkcí se nazývají elementární. Součtem, rozdílem, násobením, dělením a skládáním dvou elementárních funkcí dostaneme opět funkci elementární. 222
Matematika I, část II
Elementární funkce
Kontrolní otázky
1. Existuje k funkci y = x 2 na celém definičním oboru funkce inverzní? a) ano,
b) ne.
2. Je logaritmická funkce o základu a > 1 rostoucí na celém svém definičním oboru? a) ano,
b) ne.
3. Která z exponenciálních funkcí o základu a je na celém svém definičním oboru klesající? a) 0 < a < 1,
b) a > 1.
4. Je-li funkce tangens periodická, jakou má její perioda hodnotu? b) 2π ,
a) π ,
c) není periodická.
5. Funkce sinus je periodická. Existuje k ní funkce inverzní? Jestliže ano, na kterém intervalu? a) ano, < −
π π
, >, 2 2
b) ano, < −π , π >,
c) neexistuje.
6. Který z grafů funkcí je totožný s grafem funkce y = a) y = arcsin x,
b) y = arcsin x +
π 2
π 2
− arccos x ?
, c) y = arc tgx.
Odpovědi na kontrolní otázky
1. b); 2. a); 3. a); 4. a); 5. a); 6. a).
Úlohy k samostatnému řešení
1. Určete definiční obor funkcí:
x , 1− x
a)
y = 1 − log( x + 2),
b)
y = ln( x 2 − x − 6),
c)
y = ln
d)
y=
1 , ln( x − 3)
e)
y = log(−5 x 2 + 4 x − 3),
f)
y = ln(1 − ln x) .
b) e)
y = 2− x , y = log 2 (− x),
c) f)
y = 22x , y = log 2 (2 x) .
2. Nakreslete grafy funkcí:
a) d)
y = 2x , y = log 2 x,
223
Matematika I, část II
Elementární funkce
3. Nalezněte periodu funkcí:
a)
y = sin 3x,
b)
y = 2sin
d)
y = 5cos 2 x,
e)
4. Nakreslete grafy funkcí: a) y = − sin x,
b)
d)
y = sin 2 x,
e)
g)
y = cos
x −π , 2
h)
x , 2
c)
y = 2sin(3x + 5),
y = 4 cos(π x),
f)
y = cos
y = 1 − sin x, x y = sin , 2
c)
y = 1 − cos x,
f)
π⎞ ⎛ y = 2 cos ⎜ x − ⎟ , 3⎠ ⎝
y = tg 2 x,
i)
y = cotg x .
c)
y = arctg
f)
y = arctg ( tg x ) ,
i)
y = arccotg 1 − x 2 .
2t + 3 . 6π
5. Určete definiční obor funkcí:
a)
y = arcsin( x − 2),
b)
y = arcsin 2 x ,
d)
y = arcsin(2 x − 3) ,
e)
y = arccos
g)
y = arcsin(cos x) ,
h)
6. Určete hodnotu funkce: a) arcsin(−1) ,
2− x , 2 1 y = arccos , x
x −1 , x +1
b)
arcsin(2) ,
c)
arctg(−1) ,
d) arccos(1) ,
e)
arctg( 3 ) ,
f)
arctg(π) ,
⎛ 2⎞ ⎟, g) arcsin⎜⎜ − ⎟ 2 ⎝ ⎠
h)
⎛π⎞ arccos⎜ ⎟ , ⎝2⎠
i)
arccotg(1) .
7. Nakreslete grafy funkcí f ( x), g ( x) a porovnejte je: π a) f ( x) = arcsin x , g ( x) = − arccos x , 2 π b) f ( x) = arccotg x , g ( x) = − arctg x . 2 Výsledky úloh k samostatnému řešení
1. a) x + 2 > 0 ⇒ D f = (−2, ∞ ) ;
c) ( x > 0 ∧ 1 − x > 0) ∨ ( x < 0 ∧ 1 − x < 0) D f = (3, 4) ∪ (4, ∞ ) ;
e) pro každé
f) x > 0 ∧ 1 − ln x > 0 ⇒
D f = (0, e) .
b) ( x − 3)( x + 2) > 0 ⇒ ⇒ D f = (0,1) ;
x∈R
je
D f = ( −∞, −2) ∪ (3, ∞) ;
d) x − 3 > 0 ∧ x − 3 ≠ 1 ⇒
2 ⎡⎛ 2⎞ 11 ⎤ (−5) ⎢⎜ x − ⎟ + ⎥ < 0 ⇒ D f = ∅ ; 5⎠ 25 ⎥⎦ ⎢⎣⎝
2. Grafy viz příklad 1.3.4; funkce y = log 2 x je
inverzní k funkci y = 2 x (grafy jsou souměrné podle přímky y = x ). 224
3. a) p =
2 π; 3
Matematika I, část II
b) p = 4π ; c) p =
Elementární funkce
2 π ; d) p = π ; e) p = 2 ; f) p = 6π 2 . 4. Grafy viz příklad 1.3.4. 3
5. a) − 1 ≤ x − 2 ≤ 1 ⇒ D f =< 1, 3 > ; b) −1 ≤ 2 x ≤ 1 ⇒ D f = ( −∞, 0 > ; c) x + 1 ≠ 0 ⇒
d) − 1 ≤ 2 x − 3 ≤ 1
D f = R − { - 1} ; D f =< 0, 4 > ;
⇒
D f =< 1, 2 > ;
π f) D f = R − {(2k + 1) , k ∈ Z } ; 2
e) − 1 ≤
g) D f = R ;
D f = ( −∞, −1 > ∪ < 1, ∞ ) ; i) 1 − x 2 ≥ 0 ⇒ D f =< −1,1 > . 6. a) −
c) −
2− x ≤1 2
h) − 1 ≤
⇒
1 ≤1 ⇒ x
π ; b) Nedefinovaná; 2
π π π π ; d) 0; e) ; f) Přibližně 72°21’; g) − ; h) Nedefinovaná; i) . 7. a) Grafy jsou 4 3 4 4
totožné; b) Grafy jsou totožné.
Kontrolní test
1. Určete definiční obor funkce y = ln(ln x). a) (0,1),
b) (1, ∞),
c) (0, ∞).
2. Určete definiční obor funkce y = a) < −1,1 >,
b) (1, ∞),
arcsin x . log5 x
c) (0,1).
3. Najděte všechna x ∈ R, pro něž platí log x 4 > log x 8. a) x ∈ (0,1),
b) x ∈ (1, ∞), c) x ∈ (0, ∞).
4. Určete, zda je funkce y = ln a) sudá,
1+ x pro x ∈ (−1,1) sudá nebo lichá. 1− x
b) lichá.
π
5. Určete periodu funkce y = 2 sin(3x − ). 4
2 a) p = π , 3
b) p = 2,
c) p =
π 4
.
1 1 6. Určete hodnotu výrazu V = arcsin(− ) + arccos(− ). 2 2
225
Matematika I, část II
a) V =
π 2
,
Elementární funkce
b) V =
π 3
,
c) V = 1.
7. Určete inverzní funkci k dané funkci a její definiční obor: y = 2arccos(1 − x).
cos x ; D −1 = R, a) f −1(x) = 1 − f 2 cos(1 − x) ; D −1 = R, b) f −1(x) = f 2 c) neexistuje. 8. Určete inverzní funkci k dané funkci a její definiční obor: y = log5 x. a) f −1 ( x) = 5x ,
b) f −1 ( x) = x 5 ,
c) neexistuje.
Výsledky testu
1. b); 2. c); 3. a); 4. b); 5. a); 6. a); 7. a); 8. a).
Průvodce studiem
Pokud jste správně odpověděli nejméně v 5 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu 1.5. znovu.
226
