UJI CHI KUADRAT (χ²) 1.
Pendahuluan
Uji Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi observasi/yg benar-benar terjadi/aktual dengan frekuensi harapan/ekspektasi 1.1
Pengertian Frekuensi Observasi dan Frekuensi Harapan
frekuensi observasi frekuensi harapan
→ →
nilainya didapat dari hasil percobaan (oi) nilainya dapat dihitung secara teoritis (ei)
Contoh : 1.
Sebuah dadu setimbang dilempar sekali 120 kali, data disajikan dalam tabel di bawah ini. Frekuensi ekspektasi (ei) dituliskan dalam kotak kecil dalam setiap sel. kategori :
sisi-1
frekuensi observasi (oi) 20
sisi-2
20
sisi-3
20 22
sisi-4
20 17
sisi-5
20 18
sisi-6
20 19
20 24
Frekuensi ekspektasi (ei) setiap kategori bernilai sama yaitu : 1 6 × 120 = 20 1 = peluang setiap sisi muncul pada pelemparan dadu 1 kali 6 2.
Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1 Terdapat 500 kg adonan dengan komposisi 275 kg Coklat, 95 kg Gula, 70 kg Susu dan 60 kg Krim. Frekuensi ekspektasi Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg Frekuensi ekspektasi Gula = 2/10 x 500 = 100 kg Frekuensi ekspektasi Susu = 2/10 x 500 = 100 kg Frekuensi ekspektasi Krim = 1/10 x 500 = 50 kg
1.2.
Bentuk Distribusi Chi Kuadrat (χ²)
Nilai χ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai χ² selalu positif. Bentuk distribusi χ² tergantung dari derajat bebas(db)/degree of freedom. Perhatikan Tabel hal 178 dan 179 (Buku Statistika-2, Gunadarma). Contoh : Berapa nilai χ² untuk db = 5 dengan α = 0.010? (15.0863) Berapa nilai χ² untuk db = 17 dengan α = 0.005? (35.7185)
1
Pengertian α pada Uji χ² sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu luas daerah penolakan H0 atau taraf nyata pengujian Perhatikan gambar berikut :
α = taraf nyata uji = Luas daerah penolakan H0
α : luas daerah
""" 0
χ² tabel (db; α)
" daerah yang diarsir →
+∞
daerah penolakan hipotesis H0
Daerah penolakan H0 → χ² > χ² tabel (db; α) 1.3.
Penggunaan Uji χ²
Uji χ² dapat digunakan untuk : a. b. c.
Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit Test Uji Kebebasan Uji beberapa proporsi
Rumus pada (b) dan (c) sama saja, perbedaan (b) dan (c) pada penetapan H0 dan H1 . 2.
Uji Kecocokan
2.1
Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif
H0 : frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan. H1 : Ada frekuensi suatu kategori yang tidak memenuhi nilai/perbandingan tersebut. Contoh 1 : Pelemparan dadu 120 kali, kita akan menguji kesetimbangan dadu . Dadu setimbang jika setiap sisi dadu akan muncul 20 kali. : setiap sisi akan muncul = 20 kali. H0 : ada sisi yang muncul ≠20 kali. H1
2
Contoh 2: Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1 H0 H1
: :
perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1 perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1
2.2
Rumus χ²
χ = 2
k
∑
i =1
k : oi : ei :
( o i − ei ) 2 ei
banyaknya kategori/sel, 1,2 ... k frekuensi observasi untuk kategori ke-i frekuensi ekspektasi untuk kategori ke-i Hitung frekuensi ekspektasi dengan nilai/perbandingan dalam H0 Derajat Bebas (db) = k - 1
2.3
Perhitungan χ²
Contoh 3 : Pelemparan dadu sebanyak 120 kali menghasilkan data sebagai berikut : kategori :
sisi-1
frekuensi observasi
20
sisi-2
20
sisi-3
20 22
sisi-4 20
17
sisi-5
20 18
sisi-6
20 19
20 24
*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi Apakah dadu itu dapat dikatakan setimbang? Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 5 %
3
Solusi : 1. H0 H1
Dadu setimbang → semua sisi akan muncul = 20 kali. Dadu tidak setimbang → ada sisi yang muncul ≠20 kali.
: :
2.
Statistik Uji χ²
3.
Nilai α = 5 % = 0.05 k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5
4.
Nilai Tabel χ² k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5 db = 5;α = 0.05 → χ² tabel = 11.0705
5.
Daerah Penolakan H0 jika χ² > χ² tabel (db; α) χ² > 11.0705
6.
Perhitungan χ²
χ = 2
k
∑ i =1
(oi − ei ) 2 ei
(catatan : Gunakan tabel seperti ini agar pengerjaan lebih sistematik) kategori : sisi-1 sisi-2 sisi-3 sisi-4 sisi-5 sisi-6 Σ
oi 20 22 17 18 19 24 120
ei 20 20 20 20 20 20 120
(oi -ei ) 0 2 -3 -2 -1 4 ---------
(oi -ei )² 0 4 9 4 1 16 --------------
(oi -ei )²/ei 0 0.20 0.45 0.20 0.05 0.80 1.70
χ²hitung = 1.70 7.
Kesimpulan : χ²hitung = 1.70 < χ² tabel Nilai χ²hitung ada di daerah penerimaan H0 H0 diterima; pernyataan dadu setimbang dapat diterima.
4
Contoh 4 : Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1. Jika 500 kg adonan yang dihasilkan, diketahui mengandung 275 kg Coklat, 95 kg Gula, 70 kg Susu dan 60 kg Krim, apakah mesin itu bekerja sesuai dengan perbandingan yang telah ditentukan? Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 1 %. Solusi : 1. H0 : H1 : 2. 3. 4.
perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1 perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1
Statistik Uji χ² Nilai α = 1 % = 0.01 Nilai Tabel χ² k = 4; db =k -1 = 4-1= 3
db = 3; α = 0.01 → χ² tabel = 11.3449
5.
Wilayah Kritis= Penolakan H0 jika χ² hitung > χ² tabel (db; α) χ² hitung > 11.3449
6.
Perhitungan χ²
χ = 2
k
∑ i =1
(oi − ei ) 2 ei
kategori : oi Coklat 275 Gula 95 Susu 70 Krim 60 500 Σ Nilai ekspektasi Nilai ekspektasi Nilai ekspektasi Nilai ekspektasi 7.
ei 250*) 100 100 50 500
(oi -ei ) 25 -5 -30 10 -----------
(oi -ei )² 625 25 900 100 --------
Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg Gula = 2/10 x 500 = 100 kg Susu = 2/10 x 500 = 100 kg Krim = 1/10 x 500 = 50 kg
(oi -ei )²/ei 2.50 0.25 9.00 2.00 13.75
χ²hitung = 13.75
Kesimpulan : χ²hitung = 13.75 > χ² tabel = 11.3449 χ²hitung ada di daerah penolakan H0 → H0 ditolak, H1 diterima. Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 :1
5
3.
Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi
Uji kebebasan antara 2 variabel memiliki prinsip pengerjaan yang sama dengan pengujian beberapa proporsi. (Berbeda hanya pada penetapan Hipotesis awal dan hipotesis alternatif) 3.1
Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif
A.
Uji Kebebasan :
H0 H1
: :
B
Uji Beberapa Proporsi :
H0 H1
: :
3.2
Rumus Uji χ 2
variabel-variabel saling bebas (Tidak ada hubungan antar variabel) variabel-variabel tidak saling bebas (Ada hubungan antar variabel)
setiap proporsi bernilai sama ada proporsi yang bernilai tidak sama
Data dalam pengujian ketergantungan (hubungan) variabel dan beberapa proporsi disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi (Cross Tab) Bentuk umum Tabel Kontingensi → berukuran r baris x k kolom
frekuensi harapan sel ke ij =
( total baris ke i ) × (total kolom ke j ) total observasi
χ = 2
r, k
( o ij − eij ) 2
i,j = 1
eij
∑
derajat bebas = (r-1)(k-1) r : banyak baris k : banyak kolom oi,j : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j ei,j : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j
6
3.3
Perhitungan χ²
Contoh 5 : Kita akan menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja di suatu pabrik. Tabel kontingensi dapat dibuat sebagai berikut : pria 2.33 Kurang dari 25 2 jam/minggu 6.07 25 sampai 50 jam/minggu 7 5.60 lebih dari 50 jam/minggu 5 Total Kolom
*)
wanita
Total Baris
2.67
3
5 6.93
6
13 6.40
7
12 Total Observasi=
14 16 30 Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi!
Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja? Lakukan pengujian kebebasan variabel dengan taraf uji 5 % Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 × 2 ( 3 baris dan 2 kolom) db = (3-1)(2-1) = 2 × 1 = 2 Solusi : 1. H0 H1
: :
Gender dan Jam kerja saling bebas Gender dan Jam kerja tidak saling bebas
2.
Statistik Uji = χ²
3.
Nilai α = 5 % = 0.05
4. 5.
Nilai Tabel χ² db = 2; α = 0.05 → χ² tabel = 5.99147 Daerah Penolakan H0 → χ²hitung > χ² tabel χ²hitung > 5.99147
6.
Perhitungan χ²
frekuensi harapan sel ke ij =
( total baris ke i ) × (total kolom ke j ) total observasi
7
frekuensi harapan untuk : pria, < 25 jam =
5 × 14 = 2.33 30
pria, > 50 jam =
12 × 14 = 5.60 30
wanita, < 25 jam =
5 × 16 = 2.67 30
wanita, > 50 jam =
12 × 16 = 6.40 30
pria, 25-50 jam =
13 × 14 = 6.07 30
wanita, 25-50 jam =
13 × 16 = 6.93 30
Selesaikan Tabel perhitungan χ² di bawah ini. kategori : P, < 25 P, 25 - 50 P, > 50 W, < 25 W, 25-50 W, >50 Σ 7.
oi 2 7 5 3 6 7 30
ei (oi -ei ) 2.33 -0.33 6.07 0.93 5.60 -0.60 2.67 0.33 6.93 -0.93 6.40 0.60 30 --------
(oi -ei )² 0.1089 0.8649 0.36 0.1089 0.8649 0.36 ---------
(oi -ei )²/ei 0.1089/2.33 = 0.0467 0.1425 0.0643 0.0408 0.1249 0.0563 χ²hitung = 0.4755
Kesimpulan χ²hitung = 0.4755 < χ² tabel = 5.99147) χ²hitung ada di daerah penerimaan H0 H0 diterima, gender dan jam kerja saling bebas
Catatan :
Kesimpulan hanya menyangkut kebebasan antar variabel dan bukan hubungan sebab-akibat (hubungan kausal)
Contoh 6 : Berikut adalah data banyaknya penyiaran 3 jenis film di 3 stasiun TV. Apakah proporsi pemutaran Film India, Taiwan dan Latin di ketiga stasiun TV tersebut sama? Lakukan Pengujian proporsi dengan Taraf Nyata = 2.5 %
8
ATV Film India
BTV
4.17 4
Film Taiwan
2.92 4
3.75 3
Film Latin
2.92
2.63
2.08
Total Baris
2
2
3
CTV
10 2.63
4 1.46
1
9 1.46
1
5 Total Observasi = 10 7 7 24 Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi!
Total Kolom *)
Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 × 3( 3 baris dan 3 kolom) db = (3-1)(3-1) = 2 × 2 = 4 Solusi : 1.
H0 : H1 :
Proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Latin di ketiga stasiun TV adalah sama. Ada proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Latin di ketiga stasiun TV yang tidak sama.
2.
Statistik Uji = χ²
3.
Nilai α = 2.5 % = 0.025
4.
Nilai Tabel χ² db = 4; α = 0.025 → χ² tabel = 11.1433
5.
Daerah Penolakan H0
6.
Perhitungan χ²
frekuensi harapan untuk 10 × 10 India, ATV = = 4.17 24
→
χ²hitung > χ² tabel χ²hitung > 11.1433
Taiwan, ATV = 9 × 10 = 3.75 24
Latin, ATV = 5 × 10 = 2.08 24
9
India, BTV = 10 × 7 = 2.92 24 Latin,BTV =
5 × 7 = 1.46 24
India,CTV=
10 × 7 = 2.92 24
Taiwan, BTV = 9 × 7 = 2.63 24
Taiwan,CTV = 9 × 7 = 2.63 24
Latin, CTV = 5 × 7 = 1.46 24 Tabel perhitungan χ² berikut kategori : Ind,ATV Tw,ATV Lat,ATV Ind,BTV Tw,BTV Lat,BTC Ind,CTV Tw,CTV Lat,CTV Σ
7.
oi 4 3 3 4 2 1 2 4 1 24
ei 4.17 3.75 2.08 2.92 2.63 1.46 2.92 2.63 1.46 24
(oi -ei ) -0.17 -0.75 0.92 1.08 -0.63 -0.46 -0.92 1.38 -0.46
(oi -ei )² 0.0278 0.5625 0.8403 1.1736 0.3906 0.2101 0.8403 1.8906 0.2101
(oi -ei )²/ei 0.0278/4.17 = 0.0067 0.1500 0.4033 0.4024 0.1488 0.1440 0.2881 0.7202 0.1440 χ²hitung = 2.4076
Kesimpulan : χ²hitung = 2.4076 < χ² tabel = 11.1433 χ²hitung terletak di daerah penerimaan H0 . H0 diterima, proporsi pemutaran ketiga jenis film di ketiga statiun TV adalah sama. D selesai D
10
