Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 2

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 2 van Rekenen en wiskunde uitgelegd

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 2 2.4.1 Basis Verhoudingen 1 13 cm : 390 km, dat is 13 cm : 390.000 m. Dat komt overeen met 13 cm : 39.000.000 cm en dat is te vereenvoudigen tot 1 : 3.000.000. 2 De schaal is 1 : 500. Het model is dus 500 keer zo klein als het echte schip. 268 m in het echt wordt dus in het model 268 m : 500 = 0,536 m = 53,6 cm. 3 50 cm : 75 km, dat is 50 cm : 7.500.000 cm. Dit is te vereenvoudigen tot 1 : 150.000. 4 Op de kaart is de Coentunnel 6,4 cm lang. Volgens de schaal is hij in het echt dan 15.000 × 6,4 cm lang. Dat is 96.000 cm = 960 m = 0,96 km lang.

Evenredigheid 5 Bij een dergelijke situatie is het altijd handig om eerst een tabel te maken met de kosten op een aantal momenten. Vervolgens is het gemakkelijk om de grafiek te tekenen. Hieronder volgt een voorbeeld van de kosten voor bellen buiten je bundel. Het kan natuurlijk zijn dat jij andere punten hebt gekozen (andere momenten), toch zal in dit geval jouw grafiek op dezelfde manier verlopen, met een hellingsgetal van 0,23. Deze grafiek is namelijk lineair, zelfs recht evenredig (gaat ook door de oorsprong). 0

1

10

20

30

40

€

0

0,23

2,3

4,6

6,9

9,2

Kosten in 

Minuten

6 5 4

3 2 1

0

10

20

30

40

1 van 9

Tijd in minuten


6 Zoals je aan de grafiek (in dit geval een histogram) en de tabel kunt zien is ook deze grafiek lineair en zelfs recht evenredig. Aantal personen

0

1

2

3

4

5

Kosten in €

0

17,95

35,90

53,85

71,80

89,75

6

7

8

9

107,70 125,65 143,60 161,55

10 179,5

Aantal personen

Kosten catering A

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

17,95

35,90 53,85 71,80 89,75 107,70 125,65 143,60 161,55 179,50

Kosten in 

Let op: vraag je je af waarom hier geen lijngrafiek is getekend, maar gekozen is voor een histogram? Lees dan in hoofdstuk 5 over de nodige voorwaarden voor het tekenen van een lijngrafiek.

2 van 9


7 Aantal personen

0

5

9

10

15

20

21

25

30

Kosten in €

0

99,75

179,55

179,50

269,25

359,00

334,95

398,75

478,50

Aantal personen

Kosten catering B

30

25

20

15

10

5

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

Kosten in 

In de grafiek kun je mooi de twee punten zien waar de prijs wordt aangepast op het aantal personen. Tot 10 personen is de grafiek lineair met een hellingsgetal van 19,95. Tussen 11 en 20 is de grafiek lineair met een hellingsgetal van 17,95. Vanaf 21 is de grafiek lineair met een hellingsgetal van 15,95. Je kunt in de grafiek goed zien dat het goedkoper is om met 11 mensen te eten dan met 10. Ook is het goedkoper om met 22 mensen te eten dan met 20. Deze grafiek is niet continu. Omdat het altijd om hele aantallen mensen gaat, hebben alleen de coördinaten met een hele x-component een betekenis. Daarom is er ook geen grafiek getekend voor punten met een x-coördinaat tussen 10 en 11 en tussen 20 en 21. Voor andere niet-hele waarden van x hebben we de lijn wel doorgetrokken, omdat zo inzicht ontstaat in de verhouding van de kosten met het aantal mensen.

3 van 9


Procenten 8 a Voorbeeld van: van getal naar percentage. De vraag is hier namelijk hoeveel procent 90 90 van 4500 is. Het antwoord is 2%, omdat 1% van 4500 = 45 en 45 × 2 = 90 en dus 4500 2 = 100 = 2%. b Voorbeeld van: van getal naar percentage. 7 : 0,32 = 21 rest 0,28. 0,28 : 0,32 = 7 : 8. Het gezochte percentage is dus 21 78 %. c Voorbeeld van: van getal naar percentage. 30,6 : 0,68 = 45. Het gezochte percentage is dus 45%. d Voorbeeld van: van getal naar percentage. 4,25 : 0,85 = 5. Het gezochte percentage is dus 5%. e Voorbeeld van: van getal naar percentage. 9 : 0,65 = 13 rest 0,55. 0,55 : 0,65 = 11 : 13. 11 Het gezochte percentage is dus 13 13 %. 9 Voorbeeld van: getal en percentage zijn bekend. € 7,15 = 65%. 7,15 : 0,65 = 11. Het gezochte antwoord is dus € 11. Het kan natuurlijk ook door eerst 5% te berekenen; dat is 7,15 : 13 = 0,55. Dus dan is 100% € 11. 10 a Voorbeeld van: van getal naar percentage. 47 : 54 = 0,8703…, wat overeenkomt met ongeveer 87%. De vraag is echter niet hoeveel procent € 47,– van € 54,– is, maar wat de prijsdaling is. Die kun je berekenen door 47 te delen door 54 en vervolgens dit van de 100% af te halen (€ 54,- is immers 100%). De daling is dus ongeveer 13% (namelijk 100% – 87%). Je kunt dit ook op een directere manier berekenen. Namelijk door eerst te kijken naar de daling in geld en vervolgens te berekenen hoeveel procent dat is van het oorspronkelijke bedrag. 54 – 47 = 7. 7 : 54 = 0,12962…, wat overeenkomt met een daling van on– nieuw geveer 13%. Dit kun je ook met behulp van de volgende formule oplossen: oud oud × 100. Deze formule kent in de economie veel toepassingen. Met de formule bereken je eerst het verschil tussen de twee bedragen en vervolgens hoeveel procent dat verschil (daling of stijging, negatief of positief) is van het oorspronkelijke bedrag, door te delen door de oude prijs. Om te komen tot percentages moet dit getal nog verme− 54 nigvuldigd worden met 100. Voor deze som krijg je dan: 4754 × 100 = −7 × 100 = 54 −12,96%. Het minteken laat zien dat het hier om een daling gaat. b Voorbeeld van: van getal naar percentage. De stijging is 10 cent, wat overeenkomt met een stijging van 1/7 deel. Dat is 14 72 %. c Voorbeeld van: van getal naar percentage. De vraag is hier hoeveel procent 95 (het verschil tussen de twee bedragen) van 795 is. 95/795 = 0,119496…, wat overeenkomt − 795 met een percentage van ongeveer 12%. In formule: 700795 × 100 = −95 × 100 = 795 −11,9497... Een daling van ongeveer 12 procent dus. d Voorbeeld van: van getal naar percentage. De stijging bedraagt € 3. Nu is 3 : 19,5 = 0,153846…, wat overeenkomt met een stijging van ongeveer 15,5%.

4 van 9


Breuken 11 Maak een schema, zoals hieronder. Wanneer je onder dit schema een getallenlijn tekent en je trekt de uiteinden van het gearceerde gedeelte naar de getallenlijn, dan vind je op de getallenlijn de breuken in de goede volgorde.

0

1 1 12 10

1 7

1 2

3 5

3 4

7 8

1

28 12 (noemer is vergroot met factor 8, dus teller ook) 91 21 13 (teller is vergroot met factor 3, dus noemer ook) 69 7 14 ( 3 = 6 ; 4 = 8 ; 7 ligt daar tussenin) 14 7 14 7 14 14

15 Je weet hoe 1/3 er als kommagetal uitziet. Je weet dat dit een repeterende breuk is, met een 0, dan de komma en na de komma oneindig veel drieën. Dat is meer dan 0,33(000…) en 0,3(000…) Het kleinste getal van deze rij getallen is 0,3. Het grootste is 1/3.

Bewerkingen met breuken 4 7 4 16 6 31 + 1 21 = 6 21 + 1 21 = 7 11 21

17 8 32 +

1 30

18 1 37 −

5 7

20 = 8 30 +

=

10 7

19 2 37 − 1 76 = 7 20 4 11 × 2 10 = 17

−

17 7 51 11

5 7

− ×

1 30

21 7 = 8 30 = 8 10

=

5 7

13 7 44 7

= =

4 7 51× 44 11× 17

=

51 17

×

44 11

= 3 × 4 = 12

5 van 9


21 Allereerst is het goed om je te bedenken wat hier gevraagd wordt. Eigenlijk wordt hier gevraagd hoe vaak 5,5 in 4,666… past. Het antwoord kan dus niet groter dan 1 zijn! Vervolgens kun je gaan rekenen op twee manieren. Eerste manier: 4 32 : 5 21 = 14 : 11 = 28 : 33 3 2 6 6 28 = 286 :: 33 = . Of: je werkt de breuken, met behulp van groter of kleiner maken (GOK). 6 33 28 Wanneer je beide getallen vermenigvuldigt met 6 krijg je 28 : 33 = 33 .

2.4.2 Repertoire Procenten en procentpunten 22 De rente is bij maandelijkse betaling lager, vanwege de samengestelde interest (rente-op-rente). Als je het bedrag bijvoorbeeld één jaar laat staan, en je laat per maand uitkeren, krijg je elke maand (1,25 : 12)% van je bedrag aan het begin van de vorige maand. Dat levert na twaalf maanden (1,001041666)12 = 1,01257 keer het beginbedrag. Dat is dus een percentage van 1,257%. Als de bank bij maandelijkse uitkering zou vasthouden aan de 1,5%, zou het percentage over het hele jaar 1,51% zijn. Daarom verlagen ze het rentetarief (fors) bij maandelijkse uitkering. 23 a Het aandeel is 0,75% gestegen ten opzichte van gisteren; dat is gegeven. b Het aandeel is de afgelopen twee dagen gestegen met eerst 0,8% en vervolgens met nog eens 0,75%. Dat komt neer op een percentage van 1,008 × 1,0075 = 1,01556 en dus 101,556%. 100% staat hier echter voor de oorspronkelijke prijs. De stijging bedraagt dus 1,556%. c Het aandeel is dus gestegen van 0,8% op de eerste dag naar 1,556% na twee dagen. Dat is een stijging van 1,556 – 0,8 = 0,7556 procentpunt. d 1,008 × 1,0075 × 1,007 × 1,0065 × 1,006 = 1,03549, wat een stijging geeft van 3,55%.

Samengestelde interest 24 Dit is een voorbeeld van samengestelde interest. Ze heeft het eerste jaar namelijk 2,5% rente ontvangen en het tweede jaar ook. Na twee jaar is haar tegoed dus vermeerderd met een factor 1,025 × 1,025 = 1,050625, wat overeenkomt met een totale rente van 5,06% over die twee jaar. 25 Ook in deze situatie herkennen we samengestelde interest, maar daarnaast wordt er ook gebruikgemaakt van: van percentage naar getal. We hebben startbedrag × 1,02510 = 1920,13, dus 1920,13: 1,02510 = startbedrag. Het startbedrag is dus € 1500,-. 26 Je ontvangt eigenlijk 20% korting over de 80% van het oorspronkelijke bedrag. Dus betaal je uiteindelijk 0,8 × 0,8 = 0,64 keer het oorspronkelijke bedrag, dus 64% ervan. Een korting van dus 36%. Ga maar na. Stel de bladblazer naar keuze kost € 100. Dan krijg je 20% korting vanwege de bladblazer-actie en is de bladblazer dus nog maar € 80. Vervolgens krijg je daar 20% korting over vanwege de kortingscoupon die je krijgt bij aanmelding op de nieuwsbrief. 10% van € 80 is € 8 dus 20% van € 80 is € 16. In totaal heb je dus € 20 + € 16 = € 36 korting ontvangen op een bladblazer van € 100, dus een korting van 36%.

6 van 9


Van repetent naar breuk 27 a 0,111… = 1/9 b 0,767676… = 76/99 c 0,445445… = 445/999 d 0,456456456…= 456/999 = 152/333 Wat er bij a t/m d gebeurt, is dat er naar het repetendum gekeken wordt. Bij a is dit ééncijferig. Bij vermenigvuldiging met 10 ontstaat het getal 1,111… Wanneer je dat vermenigvuldigt met 9 (of met 10 en er dan 1 keer er vanaf haalt) ontstaat het hele getal 1 en heb je geen last meer van een repeterend deel. Kennelijk is 1 dus negen keer 0,111… Het getal 0,111… is dan 1/9. Analoog volgt bij b (een tweecijferig repetendum) dat 99 keer 0,676767… gelijk is aan 76, en dus is het getal 0,767676… = 76/99. 28 Het lukt niet om 0,99999… om te zetten naar een breuk. Wanneer je hetzelfde doet als bij opgave 27 kom je tot het getal 1, dat is een heel getal en geen echte breuk. Kennelijk is 0,999… gelijk aan 1.

Promille 29 0,8% =

0,8 100

=

8 1000

=8‰

3 × 10

30

30 a Haar BAG = 75 × 0,5 – (2,5 – 0,5) × (75 × 0,002) = 37,5 – 2 × 0,15 = 0,8 – 0,3 = 0,5. Zij is dus zeker ‘onder invloed’ en kan dus beter niet meer deelnemen aan het verkeer. b Om echt te kunnen spreken van dronkenschap moet het BAG uitkomen op 2 promille. Vervolgens moet je naar beneden afronden om te weten wat het maximale aantal glazen is dat je vriendin zou kunnen drinken zonder echt dronken te worden. Dus 2 = a × 10 a × 10 a × 10 75 × 0,5 – (2,5 – 0,5) × (75 × 0,002) = 37,5 – 0,3. Daaruit volgt: 2,3 = 37,5 , dus a × 10 = 2,3 × 37,5 = 86,25, dus a = 8,625. In dit geval zou het negende glas de dronkenschapsgrens overschrijden, terwijl acht glazen binnen 2,5 uur nog net niet zou leiden tot dronkenschap. c Omdat de man evenveel weegt komt de formule voor een groot deel overeen: 2 = a × 10 a × 10 a × 10 75 × 0,7 – (2,5 – 0,5) × (75 × 0,002) = 52,5 – 0,3. Daaruit volgt: 2,3 = 52,5 , dus a × 10 = 2,3 × 52,5 = 120,75, dus a = 12,075. In dit geval zou het dertiende glas de dronkenschapsgrens overschrijden, terwijl twaalf glazen binnen 2,5 uur nog net niet zou leiden tot dronkenschap. a × 10 30 d Haar BAG zal moeten dalen tot 0. Dus 0 = 75 × 0,5 – (u – 0,5) × (75 × 0,002) = 37,5 – (u – 0,5) × 0,15. Hieruit volgt 0,15 × (u – 0,5) = 0,8, of u – 0,5 = 0,8/0,15, wat neerkomt op u = 5,8333… Ze zal dus 5 + 8/10 + 3/100 uren moeten wachten. Als je dat verder uitrekent, kom je op ongeveer 5 uur en 50 minuten. Ze kan dus het beste gedurende zes uur niet rijden.

7 van 9


Kansberekening 31 Om dit te kunnen berekenen, moeten we eerst het een en ander opzoeken op internet. Hoeveel verschillende loten zijn er waarop de hoofdprijs kan vallen? Hoeveel loten worden er verkocht? Valt de hoofdprijs überhaupt, of is er nog een kans dat deze niet valt? Er blijken 180 series van 100.000 verschillende loten per serie mogelijk te zijn. Dit geeft dus 180 × 100.000 = 18.000.000 verschillende loten die kans maken op de hoofdprijs. Ervan uitgaande dat alle loten bij de loterij meedoen en de hoofdprijs dus ook op een onverkocht lot kan vallen, is de kans op de hoofdprijs dus 1/18.000.000 en daarmee behoorlijk klein. Worden de prijzen echter alleen getrokken onder de daadwerkelijk verkochte loten dan is er ook informatie nodig over het aantal verkochte loten (dat we n noemen) tijdens de Koningsdagloterij en is de kans op de hoofdprijs 1/n. In totaal worden er ongeveer 3.200.000 loten verkocht bij de Koningsdagloterij. De kans op de hoofdprijs (waar er maar 1 van is), is dus 1 op 3.200.000, en dat is nog steeds een kleine kans. Uit de gegevens van de Koningsloterij blijkt dat er per trekking 1.277.986 prijzen worden uitgereikt. Dat is over het totaal van alle loten. De kans om sowieso iets te winnen in de staatsloterij is dus 1.277.986/18.000.000, en dat is ongeveer 7%. 32 1,650 × 0,650 × € 5000,- = € 649,43. Er blijft naar verwachting dus niet veel van de erfenis over. 33 a Maximale score: 6 – 1 = 5. Minimale score: 1 – 6 = –5. b De kans op 25 na vijf worpen betekent dat je elke worp het maximale hebt gegooid. De kans op 5 is 1/36. De kans om dat vijf keer te doen is 1/36 × 1/36 × 1/36 × 1/36 × 1/36 = 1/365 = 1/60.466.176 = 1,65 × 10−8. Dit is een heel kleine kans.

2.4.3 Landelijke kennisbasis 34 Deze moet je kennen. 0,125 = 1/8, dus de noemer is 8 (gebaseerd op paragraaf 2.2.4) 35 c (gebaseerd op paragraaf 2.2.4) 36 56 liter (gebaseerd op paragraaf 2.2.1) 37 d (gebaseerd op paragraaf 2.2.3) 38 d (gebaseerd op paragraaf 2.2.3) 39 a (gebaseerd op paragraaf 2.2.2)

40 € 1.20 (gebaseerd op paragrafen 2.2.4 en 1.3.11) 41 c (gebaseerd op paragraaf 2.2.30)

8 van 9


42 b (gebaseerd op paragrafen 2.3.7 en 2.2.1) 43 a (gebaseerd op paragraaf 2.2.3)

9 van 9

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 2

Recommend Documents