Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 1

Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 1 __________________________________________________________________________ Eerst even een overzicht van de hieraan verbonden leerstof : - Getallenverzamelingen en bewerkingen, opbouw, volgorde, - Machtsverheffen, worteltrekken, rekenregels, gebruik Grafische Rekenmachine (GR), - Machten en logaritmen, betekenis en enkele rekenregels, - Rekenen met letters, distributieve eigenschap, algebraïsch manipuleren van formules, - Eerstegraads vergelijkingen, oplossingsverzameling, eerstegraads ongelijkheden, intervallen, bijzondere gevallen: vals en identiek, - Tweede- en hogere graads vergelijkingen, het principe, de rol van het getal 0, - Verzamelingen, schrijfwijze, doorsnede, vereniging, verschilverzameling, Venndiagram, aantallen elementen van verzamelingen, niet dubbel tellen, complement, - Sigma-teken en matrices, notatie met enkel en dubbel sigma-teken, - Coördinaten in een rechthoekig assenstelsel, oppervlaktes van figuren, begrensd door rechte lijnen, de stelling van Pythagoras, - het berekenen van (hellings)hoeken m.b.v de tangens, - Relaties en functies, origineel, beeld, domein en bereik, gebruik GR, - De richtingscoëfficiënt en de vergelijking (vgl) van een rechte lijn, gebruik GR, oefenen met het computerprogramma VU-grafiek in het opstellen van de vgl van een rechte lijn, - Stelsels van eerstegraads vergelijkingen, oplossingen en grafische betekenis, - Functies i.h.a., gemiddelde verandering in een periode, het definiëren van de verandering cq helling van de grafiek van een functie in een punt, - de begrippen top en extreme waarde (minimum of maximum), stijgen en dalen, - grafieken van exponentiële functies, asymptotisch gedrag, - het verschil tussen lineaire groei en exponentiële groei, de groeifactor, het groeipercentage, - Een inleiding in de theorie van de differentiaalrekening, regels voor het differentiëren, het berekenen van de helling en de vergelijking van de raaklijn met en zonder GR, - De afgeleide functie en de relatie met stijgen of dalen en extreme waarden, - Een inleiding in de theorie van de integraalrekening, eenvoudige regels voor het integreren, het berekenen van oppervlaktes, begrensd door willekeurige grafieken, met en zonder GR, - Combinatoriek, permutaties, variaties en combinaties, faculteiten en binomiaalcoëfficiënten, het begrip even waarschijnlijke mogelijkheden, rooster- en andere diagrammen, - Begrippen frequentie, relatieve frequentie en cumulatieve frequentie, - Kansexperiment, uitkomstenverzameling, gebeurtenis, - Theoretische kansdefinitie van Laplace, somregel en complementregel, voorwaardelijke kans en stochastische (on)afhankelijkheid, - Samengesteld experiment, vermenigvuldigingsregel, kansexperimenten met en zonder terugleggen, verschillende wijzen van aanpak: productregel, vaasmodel, - Definitie van het begrip stochast, de schrijfwijze en het gebruik ervan, - De gewone en de cumulatieve kansverdeling van een stochast, - Het binomiaal kansexperiment als bijzonder geval van de productregel, de parameters gedefinieerd, de binomiaalcoëfficiënt opnieuw belicht, de kansverdeling, gebruik GR, - Een inleiding in het toetsen van hypothesen.

Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 2 __________________________________________________________________________

1.

1 1 1 ( x − 1) − ( 3 − x ) = ( x − 4 ) − x 3 2 6 vermenigvuldigen met 6: 2 ( x − 1) − 3(3 − x) = ( x − 4) − 6 x haakjes weg : 2 x − 2 − 9 + 3 x = x − 4 − 6 x gelijksoortige termen samen nemen : 5 x − 11 = − 5 x − 4

I : (8 x − 17 ) 2 = ( 7 x − 13) 2 uit a 2 = b 2 vo lg t a = b of a = − b :

2.

8 x − 17 = 7 x −13 of 8 x − 17 = − ( 7 x − 13) = − 7 x + 13 8 x − 7 x = 17 −13 x=4

8 x + 7 x = 17 + 13 15 x = 30 x=2=a

II : ( 2 x − 5) ( 4 − 3 x ) = ( 2 x − 5) ( 5 x + 12 ) Uit a b = a c vo lg t : a = 0 of b = c : 2 x − 5 = 0 of 4 − 3 x = 5 x + 12 2x = 5 4 − 12 = 5 x + 3 x x = 2,5 −8 = 8 x x = −1 = b

3.

x2 − 2x = a ⇒ x2 − 2 x − a = 0 geen oplos sin gen als D < 0 :

a x 2 + b x + c heeft geen opl. als D < 0, 1 opl. als D = 0, 2 opl. als D > 0

D = b 2 − 4 a c = ( hier ) 4 + 4 a : 4 + 4 a < 0 ⇒ 4 a < − 4 ⇒ a < −1

4.

1 ( 3 2 ) 5 − 3 6 ⋅ 3 3 − 2 9 ⋅ (1 ) 9 = ( 3 ) x 2 1 1 9 10 9 3 − 3 − (2 ⋅ 1 ) = (3 2 ) x 2 3

10

−3 −3 =3 9

9

1

geeft 3 9 = 3 2

x

1 x 2

⇒

gebruikte regels : a p⋅ aq= a (ap ) q = a

ofwel 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 3 = 3 9

9

1 x = 9 zodat x = 18 2

1 x 2

p+q

pq

a p ⋅ b p = (ab) p 3x − 2x = x als x a = x b dan a = b


5.

6.

7.

Wortels op deze manier optellen mag niet, vermenigvuldigen wel : antwoord C Het zo vermenigvuldigen van wortels wordt gebruikt om wortels te vereenvoudigen. Zo is 12 = 4 ⋅ 3 = 2 3 en 18 = 9 ⋅ 2 = 3 2

yC − y A 4−0 4 1 1 = = = 1 ; vergelijking wordt : y = 1 x + b xC − x A 0 − −3 3 3 3 1 1 a is dus gelijk aan 1 ; dan C invullen : 4 = 1 ⋅ 0 + b ⇒ b = 4 3 3 ( Wellicht ken je nog het begrip startwaarde, dan zie je zo dat b = 4 ) rico AC =

loodrecht erop betekent product van rico’s = − 1 (op z’n kop en − ervoor) 3 3 dus rico gevraagde lijn = a = − zodat vergelijking : y = − x + b 4 4 Nu het punt B invullen : 1 = −

8.

3 1 1 ⋅2 + b ⇒ 1 = −1 + b ⇒ b = 2 4 2 2

Teken de gegeven punten A, B en C in een assenstelsel en teken er een rechthoek omheen met zijden die evenwijdig zijn aan de assen :


8.

Oppervlakte van grote rechthoek eromheen = 5 ⋅ 4 = 20 cm2 Opp. van drie rechthoekige driehoeken is samen gelijk aan 11,5 cm2 omdat onder : 0,5 ⋅ 5 ⋅ 1 = 2,5 ; rechts : 0,5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 3 ; links : 0,5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 6 zodat de oppervlakte van driehoek ABC gelijk is aan : 20 − 11,5 = 8,5 cm2

9.

lengte van zijde AC = (Pythagoras) 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5 Opp ∆ ABC = (ook) 0,5 ⋅ hoogtelijn uit B ⋅ zijde AC (zie tekening)

8,5 = 0,5 ⋅ afstand van B tot AC ⋅ 5 ⇒ afstand van B tot AC =

10.

11.

12.

17 = 3, 4 cm 5

Bij het punt B zie je in de figuur van opgave 6 een drietal hoeken die samen 180° zijn. Twee van die hoeken kunnen met de tangens worden berekend, omdat ze in een rechthoekige driehoek liggen (onder en boven) : 2 ∠ B in ∆ ABC = 180° − 2nd tan ( 5 ) − 2nd tan ( ) = 67,6° ≈ 68° 3 1 1 log = x ⇒ ( 2)x = 2 2 1 x = −1 ⇒ x = − 2 ⇒ 2 2

⇒

1 2

(2 ) = 2 x

−1

⇒

2

1 x 2

= 2 −1

Uit (5 x − 2)3 = 5 x − 2 volgt dat : 5 x − 2 = 0 of ( 5 x − 2 ) 2 = 1 Uit a b = a volgt immers : a = 0 of b = 1 en uit (5 x − 2) 2 = 1 volgt weer dat : 5 x − 2 = 1 of 5 x − 2 = −1

Zo krijg je drie eenvoudige sommetjes i.p.v. één moeilijke som : 5 x − 2 = 0 geeft 5 x = 2 dus x = 0,4 5 x − 2 = 1 geeft 5 x = 3 dus x = 0,6 5 x − 2 = − 1 geeft 5 x = 1 dus x = 0,2  1  Gegeven is de matrix aij =  − x  4 

−4

−2x

x2

2 3x

3 −1

−1 2

−3   x + 1 zodat : 9  i =3

13.

De som van de tweede kolom = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 =

∑a i =1

i2 j =5

14.

De som van de tweede rij = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + a 2 4 + a 2 5 =

∑a j =1

2j


15.

De som van de eerste en de tweede kolom =

a 11 + a 12 + a 21 + a 22 + a 31 + a 32 =

16.

i =3

j =4

i=2

j =2

∑ ∑

aij

= =

i =3

17.

∑ i=2

a i2 −

j =3

∑ j =1

i =3

j =2

i =1

j =1

∑ ∑

aij

a 22 + a 23 + a 24 + a 32 + a 33 + a 34 2

+

3

+ −1 + 3x + −1 + 2 = 3x + 5

a3 j = ( a 2 2 + a 3 2 ) − ( a 3 1 + a 3 2 + a 3 3 ) = a 22 + a 32 − a 31 − a 32 − a 33 = a 22 − a 31 − a 33 = 2 − 4 − −1 = −1

i =3

j =5

i=2

j =4

∑ ∑

a i j = a 2 4 + a 2 5 + a 3 4 + a 3 5 = − 1 + x + 1 + 2 + 9 = x + 11

waaruit volgt dat : x = − 12 geeft dus het sommetje : x + 11 = − 1 ______________________________________________________________ 18.

Uit 2 x + 3 y = 87 volgt : 3 y = − 2 x + 87 2 nu delen door 3 geeft : y = − x + 29 3

19.

Uit x − 2 y = 12 volgt : 2 y = x − 12 1 nu delen door 2 geeft : y = x − 6 2

20.

Grafieken : zie volgende blz. formule (1) gaat door ( 0 , 29 ) en ( 43,5 ; 0 ), is dus dalend formule (2) gaat door ( 0 , − 6 ) en ( 12 , 0 ), is dus stijgend

21.

Het snijpunt kunnen we berekenen of met de optie intersect bepalen uit het CALC-menu, nadat we de functies van 18 en 19 hebben ingevoerd. Hier volgt een berekening : 2 x + 3 y = 87 maal 1 2 x + 3 y = 87 x − 2 y = 12 maal 2 2 x − 4 y = 24 -------------------aftrekken 7 y = 63 x = 12 + 2 y y = 9 x = 12 + 18 x = 30


21.

Het snijpunt is dus S = ( 30 , 9 ) zodat gevraagde rico =

9−0 9 = 0,3 = 30 − 0 30

Eerst maar even de grafieken van formule (1) en (2) :

22.

Ze liggen allebei (tegelijkertijd) boven de x-as tussen hun snijpunten met de x-as. Formule (1) : 2 x + 3 y = 87 Als y = 0 dan 2 x = 87 dus x = 43,5 Formule (2) : x − 2 y = 12 Als y = 0 dan x = 12 Antwoord is dus het open interval 〈 12 ; 43,5 〉

23.

Als x P = 15, dan 30 + 3 y P = 87, dus 3 y P = 57, dus y P = 19 = y Q Als y Q = 19, dan x Q − 38 = 12, dus x Q = 50

24.

Stel A ∩ B heeft x elementen, A \ B heeft 4 elementen minder dan A ∩ B, dus dan A \ B heeft x − 4 elementen en A heeft er x + x − 4 = 2 x − 4 A ∪ B heeft 76 elementen, dus B heeft er 76 − ( x − 4 ) = 80 − x N ( A) 2x − 4 2 2 = = betekent hier dus 80 − x 5 N (B) 5 kruislings vermenigvuldigen geeft : 5 ( 2 x − 4 ) = 2 ( 80 − x ) haakjes weg en “verhuizen” geeft : 12 x = 180 zodat x = 15 Hoeveel elementen heeft B dan ? 80 − 15 = 65


klasse

A

B

C

de kans op zo'n bord

0,5

0,3

0,2

€ 20,-

€ 10,-

verkoopsprijs per bord

€ 5,- (Euro’s)

25.

De kans dat drie willekeurig gekozen borden behoren tot drie verschillende kwaliteitsklassen is gelijk aan P ( A B C ). Dat berekenen we met de productregel, waarbij we dus alert moeten zijn op het aantal rijtjes : P = 0,5 ⋅ 0,3 ⋅ 0,2 ⋅ 3 ! = 0,5 ⋅ 0,3 ⋅ 0,2 ⋅ 6 = 0,18

26.

De kans dat drie willekeurig gekozen borden behoren tot dezelfde kwaliteitsklasse is gelijk aan P ( A A A of B B B of C C C ) Dat berekenen we met de productregel en de somregel : P = 0,5 3 + 0,3 3 + 0,2 3 = 0,16

27.

De kans dat drie willekeurig gekozen borden samen meer kosten dan € 20,berekenen we met de complementregel : P ( samen meer dan 20 ) = 1 − P ( samen 20 of minder ) = 1 − P ( C C C of B C C ) zodat : 3 2 P ( samen meer dan 20 ) = 1 − ( 0,2 + 0,3 ⋅ 0,2 ⋅ 3 ) = 0,956

28.

Een willekeurig gekozen partij bestaat uit 80 borden. De kans dat deze partij meer dan 20 borden bevat van kwaliteitsklasse B, is binomiaal met n = 80 en p = 0,3 ; we gebruiken tevens de complementregel, die hier zegt : P ( meer dan 20 ) = P ( alles behalve 20 of minder ) daarom P = 1 − binomcdf ( 80, 0.3, 20 ) ≈ 0,8022

29.

Een andere willekeurig gekozen partij bestaat uit 120 borden. De kans dat deze partij tussen de 20 en 30 borden bevat van kwaliteitsklasse C, is ook binomiaal, nu met n = 120 en p = 0,2 ; we doen vervolgens t/m 29 minus t/m 20 zodat P = binomcdf ( 120, 0.2, 29 ) − binomcdf ( 120, 0.2, 20 ) ≈ 0,6787

30.

Een andere willekeurig gekozen partij bestaat uit x borden. De kans dat deze partij minstens 25 borden bevat van kwaliteitsklasse A, is groter dan 0,94. Opnieuw binomiaal, nu met n = x en p = 0,5 Voer in Y 1 = 1 − binomcdf ( X, 0.5, 24 ) ; neem in TBLSET TblStart = 50 en ∆ Tbl = 1 en kijk in TABLE X = 61 geeft 0,9381 en X = 62 geeft 0,9510 Het antwoord luidt dus : x is minstens 62


31.

Weer een andere willekeurig gekozen partij bestaat uit 10 borden. Als deze partij precies 5 borden bevat van kwaliteitsklasse A en precies 3 borden van kwaliteitsklasse B, dan bevat deze partij dus ook precies 2 borden van kwaliteitsklasse C. Omdat ze met z’n drieën zijn, kunnen we de functie binom niet gebruiken. We rekenen deze kans dus uit met de productregel ( binom is immers een bijzonder geval van de productregel ) waarbij we weer alert moeten zijn op het aantal rijtjes : P ( A A A A A B B B C C ) = 0,5 5 ⋅ 0,3 3 ⋅ 0,2 2 ⋅ aantal rijtjes ≈ 0,0851 10! Het aantal rijtjes berekenen we “op z’n banaan” : 5! ⋅ 3! ⋅ 2! ( 10 posities, waarvan 5 keer dezelfde en 3 keer dezelfde en 2 keer dezelfde )

32.

Een werknemer van de verpakkingsafdeling laat een doos uit zijn handen vallen. In deze doos zitten 5 borden uit klasse A, 3 borden uit B en 2 borden uit C. Helaas sneuvelen er 4 van deze 10 borden bij deze valpartij. De kans dat er van iedere kwaliteitsklasse minstens één bord kapot is, berekenen we met het vaasmodel, omdat het gaat om trekken zonder terugleggen : Minstens één bord van iedere kwaliteitsklasse betekent A A B C of A B B C of A B C C :  5   3  2  5  3  2  5  3  2      +     +     2 1 1 1  2 1  1   1   2  = 0,5 ( precies ) P =     10    4 _______________________________________________________

Gegeven zijn de parabolen 33.

34.

y1 = 2 ( x − 28) ( 44 − x ) en y2 = 28 +

1 ( x − 31) 2 2

Hoe berekenen we de top van y1 = 2 ( x − 28) ( 44 − x ) ? Door de schrijfwijze van y1 kunnen we zien wanneer er nul uitkomt : y1 = 0 als x − 28 = 0 of 44 − x = 0 dus als x = 28 of x = 44 de grafiek van y1 snijdt de x-as dus in de punten ( 28, 0 ) en ( 44, 0 ) 28 + 44 vanwege de symmetrie zit de top in het midden : x top = = 36 2 y top vinden we door x top in te vullen bij y1 : y top = 2 ⋅ 8 ⋅ 8 = 128 De grafiek van y1 heeft als top het punt ( p, q ), dus p = 36 en q = 128

1 ( x − 31) 2 kunnen we achterhalen 2 door ons te realiseren dat het om een dalparabool gaat en de top te berekenen : Er wordt telkens iets bij 28 opgeteld, de kleinste uitkomst = 28 als x = 31, anders gezegd : de top van de grafiek van y2 = ( 31, 28 ) Het bereik is de verzameling uitkomsten, dus het bereik = [ 28, → 〉 Het bereik van de functie y2 = 28 +


De grafieken van y1 ( berg ) = 2 ( x − 28) ( 44 − x ) en y2 ( dal ) = 28 +

1 ( x − 31) 2 : 2

35.

als y1 ≥ 0 , dan zit de bergparabool y1 tussen zijn nulpunten, dus 28 ≤ x ≤ 44 ; wat doet y2 dan ? kleinste uitkomst van y2 is bij x = x top = 31, dus kleinste uitkomst = y top = 28 ; grootste uitkomst van y2 is bij de x die het verst van x top verwijderd is, 1 dus grootste uitkomst is bij x = 44, grootste uitkomst = 28 + ⋅ 132 = 112,5 2 zodat de waarden die y2 aanneemt gelijk is aan het interval [ 28 ; 112,5 ]

36.

Als y1 ≥ y2 dan x linker snijpunt ≤ x ≤ x rechter snijpunt De x–coördinaten van de snijpunten bepalen we met de optie intersect uit het CALC-menu. Wat blijkt ? De snijpunten zijn ( 29, 30 ) en ( 41, 78 ) Dus het antwoord luidt : 29 ≤ x ≤ 41 ofwel x ∈ [ 29, 41 ]

37.

De lijn y = p is een horizontale rechte lijn. Er wordt dus gevraagd voor welke waarde van p zo’n horizontale rechte lijn de grafieken in precies drie punten tegenkomt. y = 20 komt de grafieken twee keer tegen ; y = 28 drie keer ; y = 60 vier keer ; y = 78 weer drie keer. Voor welke p precies drie keer ? p ∈ { 28, 30, 78, 128 } ( als die horizontale lijn door een top of door een snijpunt gaat )

Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 10 ___________________________________________________________________________

38.

Voor de hoek die de grafiek van y1 maakt met de x-as kunnen we de optie dy / dx gebruiken uit het CALC-menu, dat is de rico van de raaklijn, dus tevens de tangens van de richtingshoek van die raaklijn. Schakel Y2 even uit zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y1 Ga naar optie 6 in het CALC-menu, voer in X = 28 en je vindt dy / dx = 32 Nu de hoek nog : gevraagde hoek = 2nd tan ( 32 ) ≈ 88°

39.

Nu de hoek die de grafieken van y1 en y2 met elkaar maken in het linker snijpunt van de grafieken van y1 en y2 , dus in het punt ( 29, 30 ) : Schakel Y2 even uit zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y1 Ga naar optie 6 in het CALC-menu, voer in X = 29 en je vindt dy / dx = 28 Hoek van raaklijn aan y1 in ( 29, 30 ) met de x-as = 2nd tan ( 28 ) = 87,95° Schakel Y1 even uit zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y2 Ga naar optie 6 in het CALC-menu, voer in X = 29 en je vindt dy / dx = − 2 Hoek van raaklijn aan y1 in ( 29, 30 ) met de x-as = 2nd tan ( 2 ) = 63,43° Dus hoek tussen raaklijnen aan y1 en y2 in ( 29, 30 ) = 180° − 87,95° − 63,43° ≈ 29°

40.

De raaklijn aan de grafiek van y2 in het linker snijpunt van de grafieken van y1 en y2 heeft als vgl y = − 2 x + 88 Deze vergelijking vind je via optie 5 uit het DRAW-menu met X = 29 De raaklijn aan de grafiek van y2 in het rechter snijpunt van de grafieken van y1 en y2 heeft als vgl y = − 20 x + 898 Deze vergelijking vind je ook via optie 5 uit het DRAW-menu met X = 41 Voor het snijpunt van die twee raaklijnen geldt : − 2 x + 88 = − 20 x + 898 te herleiden tot : 18 x = 810 waaruit volgt : x = 45 De y-coördinaat van het snijpunt = − 2 ⋅ 45 + 88 = − 2 zodat het gevraagde snijpunt S gelijk is aan S = ( 45, − 2 )

41.

Lijn m is de raaklijn aan de grafiek van y1 in het punt op de grafiek van y1 met x-coördinaat = 34. Schakel Y2 even uit zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y1 Ga naar optie 6 in het CALC-menu, voer in X = 34 en je vindt dy / dx = 8 Lijn n is de raaklijn aan de grafiek van y2 die evenwijdig is met lijn m. De afgeleide van y2 moet gelijk zijn aan 8, eerst de haakjes wegwerken : 1 1 1 2 y2 = 28 + ( x − 31) 2 = 28 + ( x 2 − 62 x + 961) = x − 31 x + 508,5 2 2 2 Startklaar, differentiëren maar ; ervóór en eentje minder, dus de afgeleide van y2 is gelijk aan 8 betekent hier : x − 31 = 8 ⇒ x = 39 Welke x is dat ? De x van het raakpunt op de grafiek van y2 Nu nog de vergelijking van die raaklijn, doen we met optie 5 uit het DRAW-menu Schakel Y1 even uit zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y2 Voer X = 39 in, je vindt : y = 8 x − 252


42.

De oppervlakte van het gesloten gebied, dat wordt begrensd door de grafiek van y1 en de x-as, is gelijk aan Voer in Y1 = 2 ( x − 28) ( 44 − x ) ; zorg ervoor dat andere grafieken zijn uitgeschakeld, zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y1 Je ziet een bergparabool die de x-as snijdt in ( 28, 0 ) en ( 44, 0 ) ; Kies nu optie 7 in het CALC-menu, neem lower limit = 28 en upper limit = 44 : 1 De GR kleurt het gevraagde gebied en meldt dat de oppervlakte = 1365 cm2 3

43.

De oppervlakte van het gesloten gebied, dat wordt begrensd door de grafiek van y1 en de grafiek van y2 , is gelijk aan 720 cm2 1 Voer in Y1 = 2 ( x − 28) ( 44 − x ) ; Y2 = 28 + ( x − 31) 2 en Y3 = Y1 − Y2 2 Schakel Y1 en Y2 even uit zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y3 Je ziet een bergparabool die de x-as snijdt in ( 29, 0 ) en ( 41, 0 ) ; 29 en 41 zijn immers de x-coördinaten van de snijpunten van Y1 en Y2 ; Kies nu optie 7 in het CALC-menu, neem lower limit = 29 en upper limit = 41 : De GR kleurt het gevraagde gebied en meldt dat de oppervlakte = 720 cm2

44.

De oppervlakte van het gesloten gebied, dat wordt begrensd door de x-as, de grafiek van y1 (twee keer) en de grafiek van y2 , is gelijk aan de oppervlakte van het gesloten gebied dat wordt begrensd door de grafiek van y1 en de x-as verminderd met het antwoord van opgave 42. 1 1 Dus de gevraagde oppervlakte = 1365 − 720 = 645 cm2 3 3

45.

Door de snijpunten van de grafieken van y1 en y2 gaat de lijn k, lijn k gaat dus door ( 29, 30 ) en ( 41, 78 ) yB − y A 78 − 30 48 lijn k heeft als richtingscoëfficiënt = = = 4 41 − 29 12 xB − x A dus vgl : y = 4 x + b ; invullen : 30 = 4 ⋅ 29 + b ⇒ b = − 86 1 Voer in Y2 = 28 + ( x − 31) 2 ; Y4 = 4 x − 86 en Y5 = Y4 − Y2 2 Zorg dat je alleen de grafiek van Y5 in het venster krijgt, kies weer optie 7 in het CALC-menu, neem lower limit = 29 en upper limit = 41 De GR berekent dat de gevraagde oppervlakte gelijk is aan 144 cm2

46.

Stel A ∩ B heeft x elementen, A \ B heeft 9 elementen meer dan A ∩ B, dus dan A \ B heeft x + 9 elementen en A heeft er x + x + 9 = 2 x + 9 B heeft 56 elementen, dus B \ A heeft er 56 − x N ( A) 2x + 9 3 3 = = betekent nu N ( B \ A) 56 − x 4 4 kruislings vermenigvuldigen geeft : 4 ( 2 x + 9 ) = 3 ( 56 − x ) haakjes weg en “verhuizen” geeft : 11 x = 132 zodat x = 12 Hoeveel elementen heeft A ∪ B dan ? 12 + 21 + 44 = 77


aantal uren per week

onderbouw

bovenbouw

47.

1

2

3

4

5

>5

klas 1

27

2

1

-

-

-

-

klas 2

23

3

2

1

1

-

-

klas 3

17

2

2

4

2

2

1

klas 4

10

-

-

5

8

4

3

klas 5

8

-

-

3

6

8

5

Het gaat hier om voorwaardelijke kansen : bij A kijken we alleen naar de leerlingen in de onderbouw, dat zijn er 90. Bij B kijken we alleen naar de leerlingen die hoogstens 3 uur per week, dus 3 uur of minder, aan een bijbaantje besteden (110) : P(A) =

48.

0

27 + 23 + 17 67 = 90 90

en P ( B ) =

18 + 8 26 = 110 110

De gebeurtenissen A en B zijn stochastisch onafhankelijk, als P ( A \ B ) = P ( A ) m.a.w. als de voorwaarde er niet toe doet. hier : P (zit in klas 3 \ heeft geen bijbaantje ) = terwijl P ( zit in klas 3 ) =

17 85

30 150

deze twee breuken zijn allebei te vereenvoudigen tot

49.

1 5

⇒

antw. B

Opnieuw twee voorwaardelijke kansen. Bij C alleen naar de leerlingen kijken die minstens 1 uur per week aan een bijbaantje besteden, dat zijn er 65. Hoeveel van die 65 leerlingen zitten er in de bovenbouw ? 42 Dat zijn er 42, dus P ( C ) = 65 Bij D alleen naar de leerlingen in de onderbouw kijken, dat zijn er 90. Hoeveel van die 90 leerlingen besteden minstens 1 uur per week aan een 23 bijbaantje ? Dat zijn er 23, dus P ( D ) = 90


50.

En daar is weer het vaasmodel, 90 knikkers waarvan 67 wit ( geen bijbaantje ) en 23 rood ( wel bijbaantje ). We moeten de kans berekenen op 2 of 3 rode, als we er 10 trekken zonder terugleggen. Bedenk dat je 8 witte trekt, als je 2 rode trekt en dat je 7 witte trekt als je 3 rode trekt :

 23   67   23   67   ⋅  +  ⋅  2 8 3 7 P =      90     10  51.

≈ 0,5577

Nog een keer het vaasmodel, nu met 60 knikkers, waarvan 18 wit (geen bijbaantje) en 42 rood (wel bijbaantje). Nu moeten we de kans berekenen op minstens 2 witte. Dat doen we met de complementregel : alles behalve 1 witte of 0 witte :

18   42  18   42   ⋅  +    1 9  0   10  P = 1 −      60     10  52.

≈ 0,8740

De eerste leerling kan kiezen uit 40 en de tweede uit 39 en de derde uit 38 enz Er is dus sprake van een variatie, een rijtje van een deel van de club : 40 × 39 × 38 × . . . . . × 11 =

53.

40 × 39 × 38 × ..... ×11×10 × 9 × ..... × 2 ×1 40! = 10 × 9 × ..... × 2 ×1 10!

Elke klas vertegenwoordigd betekent 1 uit klas 4 en 2 uit klas 5 of 2 uit klas 4 en 1 uit klas 5, met de en / of regel :

 30   30   30   30   30   30   30   30    ⋅   +   ⋅   = 2 ⋅   ⋅   = 2 ⋅ 30 ⋅   = 60 ⋅   1 2 2 1 1 2 2 2

54.

9 leerlingen op een rij, 1 uit klas 3, 3 uit klas 4 en 5 uit klas 5 Op hoeveel manieren kan dat, als zij klasgewijs naast elkaar staan ? Het gaat om drie groepjes, maar je moet bedenken dat binnen zo’n groepje weer permutaties mogelijk zijn, daarom :

Antwoord = 3 ! ⋅ 1 ! ⋅ 3 ! ⋅ 5 ! = 3 ! ⋅ 3 ! ⋅ 5 ! __________________________________________________


aij

Gegeven is de matrix

4x − 2 x + 1  1   −x − 3 x −1 2   = zodat  2 x −1 −3 x − 4  5   3 2 + x −1 − x   i=4

55.

De som van de derde kolom = a 1 3 + a 2 3 + a 3 3 + a 4 3 =

∑ i =1

a i3

j=4

56.

De som van de derde rij = a 3 1 + a 3 2 + a 3 3 + a 3 4 =

∑ j =1

57.

De som van de eerste en de tweede rij =

a 11 + a 12 + a 13 + a 14 + a 21 + a 22 + a 23 + a 24 =

58.

1 2

i=2

j =4

∑ ∑ i =1

j =3

aij = =

j =4

59.

a 3j

∑ j =2

a 3j −

i =3

∑ i =1

i =3

j =1

∑ ∑

i =1

j =1

∑ ∑

1 1 ⋅ 2x = x (−2 + x + 1 + x − 1 + 2) = 2 2

ai 4 = ( a 3 2 + a 3 3 + a 3 4 ) − ( a 1 4 + a 2 4 + a 3 4 ) a 32 + a 33 − a 14 − a 24

= 5 + −3x − (x + 1) − 2 = 5 − 3x − x − 1 − 2 = −4x + 2 j =2

j =4

1 ( a 13 + a 14 + a 23 + a 24) 2

=

i=4

i=2

a ij = a 31 + a 32 + a 41 + a 42 = 2x −1 + 5 + 3 + 2 + x = 3x + 9

geeft dus het sommetje : 3 x + 9 = − 4 x + 2 dus x = −1 7x = −7 ___________________________________________________

aij


60.

X ≥ g : verwerp H0

H0 : p = 0,3 ( Monique ) n =120 , toets : H1 : p = 0,4 ( Lylian )

X < g : accepteer H0

Je kunt op twee manieren een verkeerde beslissing nemen : H0 verwerpen terwijl H0 waar is of H0 accepteren terwijl H0 niet waar is. Waar gaan we zoeken ? Tussen 0,3 ⋅ 120 en 0,4 ⋅ 120, dus tussen 36 en 48. Om de meest geschikte waarde van het criterium g te vinden, maken wij de volgende tabel

X=g 40 41 42 43 44

Y1 = P(X ≥ g | n = 120, p = 0,3) Y2 = P(X < g | n = 120, p =0,4) = 1 − binomcdf (120, 0.3, X − 1) = binomcdf ( 120, 0.4, X − 1 ) 0,2408 0,0553 0,1843 0,0801 0,1371 0,1123 0,0990 0,1526 0,0695 0,2014

de som = Y1 + Y2 0,2961 0,2644 0,2493 0,2517 0,2709

Wat blijkt ? Wij moeten g = 42 nemen, opdat de kans op een verkeerde beslissing zo klein mogelijk is. Hoe ziet de toets er dan uit ?

X ≥ 42 : verwerp H0

H0 : p = 0,3 n =120 , toets : H1 : p =0,4

X < 42 : accepteer H0

61.

De kans dat Monique ten onrechte gelijk krijgt is P ( X ≥ g | n = 120 en p = 0,4 ) die vinden wij dus bij Y1 . We zien dat die tabel naar beneden afneemt, wanneer is die kans kleiner dan 1 % , dus kleiner dan 0,01 ? Kijk in die tabel : X = 48 geeft 0,0124 en X = 49 geeft 0,0075 Dus 49 of meer van deze 120 Leidse inwoners moeten aangeven dat zij hoog zijn opgeleid om Amalia tevreden te stellen.

62.

De kans dat Lylian ten onrechte gelijk krijgt is P ( X < g | n = 120 en p = 0,3 ) die vinden wij dus bij Y2 . We zien dat die tabel naar boven afneemt, wanneer is die kans kleiner dan 2 % , dus kleiner dan 0,02 ? Kijk in die tabel : X = 38 geeft 0,0239 en X = 37 geeft 0,0149 Dus 37 of minder van deze 120 Leidse inwoners moeten aangeven dat zij hoog zijn opgeleid om Alexia tevreden te stellen. ________________________________

63.

rico AB =

yB − y A 5 − −1 6 3 = = = = 0, 75 = rico gevraagde lijn = a 4 − −4 8 4 xB − x A

daarom vgl : y = 0,75 x + b ; Nu het punt C invullen : 3 = 0,75 ⋅ − 1 + b ⇒ 3 = − 0,75 + b ; hieruit volgt dat b = 3,75


64.

Je kunt hoek C bijvoorbeeld in drie stukken verdelen : ∠ C in ∆ ABC = 90° + 2nd tan (0,4) + 2nd tan (0,75) ≈ 149° Teken de gegeven punten A, B en C in een assenstelsel en teken er een rechthoek omheen met zijden die evenwijdig zijn aan de assen :

65.

Oppervlakte van grote rechthoek eromheen = 6 ⋅ 8 = 48 cm2 Oppervlakte van drie rechthoekige driehoeken en rechthoekje is samen gelijk aan 41 cm2 omdat onder : 0,5 ⋅ 8 ⋅ 6 = 24 ; rechts boven : 0,5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 5 ; links onder : 0,5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 6 en links boven : 3 ⋅ 2 = 6 zodat de oppervlakte van driehoek ABC gelijk is aan : 48 − 41 = 7 cm2

66.

Lengte van zijde AC = (Pythagoras)

42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5

Opp ∆ ABC = (ook) 0,5 ⋅ hoogtelijn uit B ⋅ zijde AC (zie figuur) 7 = 0,5 ⋅ afstand van B tot AC ⋅ 5 ⇒ afstand van B tot AC =

14 = 2,8 cm 5

N.B. : Hier ligt de hoogtelijn uit ∠ B niet binnen, maar buiten ∆ ABC. Een hoogtelijn gaat vanuit een hoekpunt loodrecht naar de overstaande zijde.


67.

Neem Y1 = ( x + 3) 2 ( x 2 − 6 x + 10 ) Eerst maar even de grafiek van f ( x) = ( x + 3) 2 ( x 2 − 6 x + 10) Kies een geschikt venster, bijvoorbeeld [ − 5, 5 ] × [ − 10, 140 ] :

We moeten nagaan, voor welke gehele waarden van p de vergelijking f ( x ) = p precies vier oplossingen heeft. Dat betekent dat een horizontale lijn de grafiek van Y1 precies vier keer moet tegenkomen. Kijk naar de grafiek op de volgende blz. y = − 5 komt de grafiek helemaal niet tegen : 0 oplossingen voor f ( x ) = − 5 y = 20 komt de grafiek twee keer tegen : 2 oplossingen voor f ( x ) = 20 y = 60 komt de grafiek vier keer tegen : 4 oplossingen voor f ( x ) = 60 y = 120 komt de grafiek weer twee keer tegen : 2 oplossingen voor f ( x ) = 120 Wanneer vier keer ? Als p tussen de hoogtes van de twee rechter toppen zit. Middelste top : optie 4 in CALC-menu, van − 1 tot 1 : maximum ≈ 90,53 Rechter top : optie 3 in CALC-menu, van 2 tot 4 : minimum ≈ 34,97 Welke gehele waarden voor p ? vanaf p = 35 t/m p = 90

68.

Voor de hoek die de grafiek van f ( x ) maakt met de y-as hebben we de helling nodig voor x = 0 . We gaan dus vanuit het grafieken venster naar optie 6 van het CALC-menu en voeren in x = 0 : we vinden dat de helling = dy / dx = 6 Nu nog de hoek met de y-as : Hoek met x-as = 2nd tan ( 6 ) = 80, 54°, Afgerond op gehelen = 81° , dus hoek met y-as = 90° − 81° = 9°


69.

Neem Y1 = ( x + 3) 2 ( x 2 − 6 x + 10 ) en Y2 = 50 Gebruik optie 5 (intersect) uit het CALC-menu vier keer en je vindt voor de x-coördinaten van de snijpunten achtereenvolgens − 4 ; − 1,45 ; 2 en 3,45 Wanneer ligt de grafiek onder de lijn y = 50 ? als x ∈ [− 4 ; − 1,45 ] ∪ [ 2 ; 3,45 ]

70.

Eerst de vergelijkingen nodig van de raaklijn als x = 3 en als x = − 3 Daarvoor gebruiken we optie 5 (tangent) van het DRAW-menu : y = 0 en y = 12 x Waar snijden deze lijnen elkaar ? in ( 0, 0 )

71.

Bereken de oppervlakte van het gesloten vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van f ( x) = ( x + 3) 2 ( x 2 − 6 x + 10) en de coördinaatassen Ga naar het CALC-menu, kies optie 7, neem lower limit = − 3 en upper limit = 0 De GR kleurt het gevraagde gebied en geeft aan dat de oppervlakte = 138,6 cm2

72.

Neem Y1 = ( x + 3) 2 ( x 2 − 6 x + 10 ) Neem Y2 = nDeriv ( Y1 , X , X ) en Y3 = nDeriv ( Y2 , X , X ) Als x = − 1,7 dan is Y2 > 0 en Y3 < 0 Uit Y2 > 0 volgt dat Y1 stijgend is Uit Y3 < 0 volgt dat het afnemend stijgend is

73.

Neem Y1 = ( x + 3) 2 ( x 2 − 6 x + 10 ) Neem Y2 = nDeriv ( Y1 , X , X ) en Y3 = nDeriv ( Y2 , X , X ) Als x = 1,7 dan is Y2 < 0 en Y3 > 0 Uit Y2 < 0 volgt dat Y1 dalend is Uit Y3 > 0 volgt dat het afnemend dalend is _____________________________________

74.

1 Gegeven is de vergelijking ( x − 4 ) ( 3 x + 9 ) = 0 2 Door de schrijfwijze kunnen we zien wanneer er nul uitkomt : een product is gelijk aan nul, als een van de factoren gelijk is aan nul. 1 x − 4 = 0 of 2 1 x = 4 zodat : 2 dus p = − 3 en q = 8

hier :

3x + 9 = 0

3 x = −9 ⇒

⇒

x = 8

p < 0 en q > 0

of

x = −3


75.

Gegeven is de vergelijking x 2 − 5 x + 6 = 0 Door te ontbinden in factoren krijgen we dezelfde schrijfwijze als in opg. 74 : x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3) Dat noemen we de som-product-methode, hier met som = − 5 en product = 6 Nu is het weer eenvoudig : x − 2 = 0 of x − 3 = 0 zodat x = 2 of x = 3 ⇒ p > 0 en q > 0 dus p = 2 en q = 3

76.

Gegeven is de vergelijking 2 x 2 + 5 x + 3 = 0 Nu is het lastig om te ontbinden in factoren, daarom gebruiken we de a, b, c – formule D = b2 − 4 a c = 5 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 25 − 24 = 1 −b ± D −5 ± 1 −6 −4 zodat x = = −1,5 of x = = −1 x= = 2a 4 4 4 dus p = − 1,5 en q = − 1 ⇒ p < 0 en q < 0

77.

Gegeven is de vergelijking 2 x 2 + 5 x − 3 = 0 , ook met de a, b, c – formule D = b2 − 4 a c = 5 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ − 3 = 25 + 24 = 49 −b ± D −5 ± 7 2 −12 = x= zodat x = = 0,5 of x = = −3 4 4 2a 4 ⇒ p < 0 en q > 0 dus p = − 3 en q = 0,5

78.

Gegeven is de vergelijking ( x + 1) ( 2 x − 1) ( 4 − x ) = ( x + 1) ( 2 x − 1) Wat opvalt, is dat links en rechts twee dezelfde factoren staan. Die kunnen we “wegstrepen”, als we ons maar realiseren dat ze ook nul kunnen zijn : x + 1 = 0 of 2 x − 1 = 0 of 4 − x = 1 Bedenk dat “wegstrepen” betekent dat je door die factoren deelt ! Daarom 1 en niet 0. ⇒ x = − 1 of x = 0,5 of x = 3 ⇒ grootste oplossing = 3 ____________________________________________________________

79.

Als je met 1 vermenigvuldigt, blijft de hoeveelheid hetzelfde, als je met meer dan 1 vermenigvuldigt, neemt de hoeveelheid toe, als je met minder dan 1 vermenigvuldigt ( maar meer dan 0 ), neemt de hoeveelheid af. 10 % erbij betekent maal 1,1 en 10 % eraf betekent maal 0,9 ⇒ antw. C

80.

Na een week is hoeveelheid C toegenomen met 84 % betekent dat hoeveelheid C iedere week vermenigvuldigd wordt met 1,84. Hoe zit dat dan per dag ? Als iedere dag maal g, dan moet g ⋅ g ⋅ g ⋅ g ⋅ g ⋅ g ⋅ g = g 7 gelijk zijn aan 1,84 1

Dus g = 1,84 7 ≈ 1091 ⇒ ieder dag komt er 9,1 % bij ( hoe reken je die laatste stap uit ? eerst − 1, dan keer 100 )


81.

Iedere week 6,5 % erbij betekent iedere week maal 1,065 Hoeveel weken duurt het tot er is vermenigvuldigd met 2 ? log 2 Dan geldt : 1,065 t = 2 ; wat is t dan ? t = ≈ 11 weken log 1, 065

82.

Wekelijkse afname van 70,5 % betekent iedere week maal 1 − 0,705 = 0,295 1

dan als iedere dag maal g : g 7 = 0,295 ; wat is g dan ? g = 0, 295 7 ≈ 0,840 en dat betekent een dagelijkse afname van 100 − 84 = 16 %

83.

In acht dagen maal 0,5 : dan als iedere dag maal g : g 8 = 0,5 ; wat is g dan ? 1 8

g = 0,5 ≈ 0,917 en dat betekent een dagelijkse afname van 100 − 91,7 = 8,3 %

84.

Jaarlijkse afname van 3,4 % betekent ieder jaar maal 1 − 0,034 = 0,966 Hoeveel jaar duurt het tot er vermenigvuldigd is met 0,5 ? log 0,5 Dan geldt : 0,966 t = 0,5 ; wat is t dan ? t = ≈ 20 jaar log 0,966 ___________________________________________________________

85.

Het aantal manieren waarop de letters van het woord “beneden” kunnen worden gerangschikt, zodat er een verschillende lettervolgorde ontstaat, berekenen we 7! 5040 op z’n banaan : = = 420 3! ⋅ 2! 6⋅2 ( 7 posities waarvan 3 dezelfde (letter e) en 2 dezelfde (letter n))

86.

De eerste student kan kiezen uit 50 en de tweede uit 49 en de derde uit 48 enz Er is dus sprake van een variatie, een rijtje van een deel van de club : 50 × 49 × 48 × . . . . . × 21 =

87.

50 × 49 × 48 × ..... × 21× 20 ×19 × ..... × 2 ×1 50! = 20 ×19 × ..... × 2 ×1 20!

We maken een tabel en vullen de gegevens in : < 4 M V

4 t/m 6 10

6

> 6 5

10 20 30

de gebeurtenissen "mannelijk student" en "cijfer lager dan een 4" zijn stochastisch onafhankelijk, hoe vertalen we dat ? Stel het aantal mannelijke studenten met < 4 is gelijk aan x, zie volgende blz :


M V

< 4 x

4 t/m 6

> 6 5

10 6

87.

dan geldt dus :

10 20 30

x 6 x 10 ( ofwel ) = = 10 30 6 30

hieruit volgt dat x = 2 , waarna we de rest van de tabel kunnen invullen :

M V

< 4 2 4 6

4 t/m 6 3 10 13

> 6 5 6 11

10 20 30

het totale aantal cijfers hoger dan een 6 is dus gelijk aan 11

88.

Je kunt natuurlijk gaan proberen met bijvoorbeeld de letters A t/m F, maar dan ben je best een tijdje zoet. In deze cursus leer je hoe je zoiets kunt uitrekenen. 6 2 kiezen uit 6 kan op   = 15 manieren en  2  4 2 kiezen uit de overgebleven 4 kan op   = 6 manieren en  2 de laatste 2 blijven vanzelf over.  6  4 De vermenigvuldigingsregel zegt :   ⋅   = 90 manieren,  2  2 Maar wij moeten bedenken dat de drie groepjes op 3 ! = 6 manieren verwisseld kunnen worden, dus vanwege het dubbel tellen moet dit antwoord nog gedeeld worden door 3 ! Antwoord is dus 15 manieren

89.

Bij Simone doet de volgorde er wel toe en bij Karen niet, daarom is er bij Simone sprake van een variatie en bij Karen van een combinatie :

a = 7 × 6 × 5 × 4 = 7 nPr 4 = 840 ( optie 2 uit MATH-PRB-menu ) 7 b =   = 7 nCr = 35 ( optie 3 uit MATH-PRB-menu )  4


90.

91.

2 groepjes op een rij kan op 2 ! manieren en 3 wiskundeboeken onderling verwisselen kan op 3 ! manieren en 4 psychologieboeken onderling verwisselen kan op 4 ! manieren : antwoord = 2 ! × 3 ! × 4 ! manieren ________________________________ 2 Ellen denkt 2 van de 3 keer op kruis : p = 3 1 Floor denkt 1 van de 2 keer op kruis : p = 2

H0 : p =

2 3

X ≤ g : verwerp H0 n = 60 , toets :

H1 : p =

1 2

X > g : accepteer H0

Je kunt op twee manieren een verkeerde beslissing nemen :

H0 verwerpen terwijl H0 waar is of H0 accepteren terwijl H0 niet waar is. 1 2 ⋅ 60 en ⋅ 60, dus tussen 30 en 40. 2 3 Om de meest geschikte waarde van het criterium g te vinden, maken wij de volgende tabel Waar gaan we zoeken ? Tussen

X=g

Y1 = P(X ≤ g | n = 60, p = = binomcdf ( 60,

33 34 35 36 37

2 ,X ) 3

0,0397 0,0680 0,1101 0,1685 0,2444

2 ) 3

Y2 = P(X > g | n = 60, p = = 1 − binomcdf ( 60,

1 ) 2

1 ,X ) 2

0,1831 0,1225 0,0775 0,0462 0,0259

de som Y3 = Y1 + Y2 0,2228 0,1905 0,1876 0,2148 0,2703

Wat blijkt ? Wij moeten g = 35 nemen, opdat de kans op een verkeerde beslissing zo klein mogelijk is. Hoe ziet de toets er dan uit ?

H0 : p =

2 3

X ≤ 35 : verwerp H0 n =60 , toets :

H1 : p =

1 2

X > 35 : accepteer H0


De oorspronkelijke toets kan ook worden gelezen als :

X ≤ g : geef Floor gelijk

H0 : p = wat Ellen zegt n =60 , toets : H1 : p = wat Floor zegt

X > g : geef Ellen gelijk

92.

De kans dat Floor ten onrechte gelijk krijgt is de kans dat Floor gelijk krijgt, 2 terwijl zij het niet heeft = P ( X ≤ g | n = 60 en p = ) 3 die vinden wij dus bij Y1 . We zien dat die tabel naar boven afneemt, wanneer is die kans kleiner dan 1 % , dus kleiner dan 0,01 ? Kijk in die tabel : X = 31 geeft 0,0114 en X = 30 geeft 0,0056 Er moet dus 30 of minder keer kruis worden gegooid om Leontien tevreden te stellen.

93.

De kans dat Ellen ten onrechte gelijk krijgt is de kans dat Ellen gelijk krijgt, 1 terwijl zij het niet heeft = P ( X > g | n = 60 en p = ) 2 die vinden wij dus bij Y2 . We zien dat die tabel naar beneden afneemt, wanneer is die kans kleiner dan 1 % , dus kleiner dan 0,01 ? Kijk in die tabel : X = 38 geeft 0,0137 en X = 39 geeft 0,0067 Er moet dus 39 of meer keer kruis worden gegooid om Marjolein tevreden te stellen. ___________________________________________________________________

94.

Soms moeten we gewoon het aantal mogelijkheden systematisch uitschrijven :

Doos I Doos II Doos III

3 0 0

2 0 1

2 1 0

1 0 2

1 1 1

1 2 0

0 0 3

0 1 2

Wat blijkt ? Er zijn 10 even waarschijnlijke mogelijkheden, met in 4 van de 10 gevallen precies 0 ballen in doos I ⇒

2

95.

∫ 3x 0

96.

2

dx =

x   

lijn m heeft rico =

de kans = 0,4

2

3

= 23 − 03 = 8 − 0 = 8 0

yB − y A 1− 4 −3 3 = = =− 5−0 5 5 xB − x A

startwaarde = 4, dus vergelijking van lijn m : y = −

0 2 1

3 x + 4 5

0 3 0


96.

lijn n heeft rico =

yB − y A −4 − 1 −5 5 = = = − 8−0 8 8 xB − x A

startwaarde = 1, dus vergelijking van lijn n : y = −

5 x + 1 8

3 5 x + 4 = − x + 1 5 8 5 3 x − x = −3 maal 40 : 25 x − 24 x = − 120 “verhuizen” geeft : 8 5 5 zodat x S = − 120 ; en y S ? invullen : y S = − ⋅ − 120 + 1 = 75 + 1 = 76 8 conclusie : a = − 120 en b = 76 ⇒ antwoord A Voor het snijpunt geldt : −

97.

Uit log y = x + 2 volgt : y = 10 x + 2 = 10 x ⋅ 10 2 = 10 x ⋅ 100 = 100 ⋅10 x vergelijken met y = b ⋅ g x geeft : b = 100 en g = 10

98.

Zo’n route heeft de vorm R B R R B. Om in ( 3, 2 ) te komen moet je namelijk 3 keer naar rechts ( R ) en 2 keer naar boven ( B ) Het maakt echter niet uit in welke volgorde die letters staan, 5! 120 120 daarom op z’n “banaan” : aantal routes = = = = 10 3! ⋅ 2! 6⋅2 12

99.

Marije kan 1 register open trekken of 2 of 3 of 4 of 5 of 6 of 7. 7 7 Zij kan 1 register open trekken op   manieren, 2 op   manieren,  2 1 7 7 7 3 op   manieren, . . . . . . . . , 6 op   manieren en 7 op   manieren. 7 6  3 7 7 7 7 Totaal aantal manieren =   +   +   + . . . . . . . . . . . . +   7  3  2 1 = ( 7 nCr 1 ) + ( 7 nCr 2 ) + ( 7 nCr 3 ) + . . . . . . . . + ( 7 nCr 7 ) =

7

+

21

+

35

+ .......+

1

=

127

7 Merk op dat je ook kunt zeggen : 2 7 −   ( 7e rij van driehoek van Pascal) 0 _______________________

e

i

n

d

e

____________________

Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 1

Recommend Documents