Uitwerkingen Wiskunde A HAVO Nederlands Mathematisch Instituut December 28, 2012
Supersize me Opgave 1. De formule voor de dagelijkse energiebehoefte is Eb = 33,6 · G. Als we dit invullen dan krijgen we 5000 = 33,6 · G, dus G=
5000 ≈ 148,8 kg. 33,6
Hij zou dus 148,8 − 85 = 63, 8 kg meer wegen. Opgave 2. Bij 85 kg is de energiebehoefte Eb = 33,6 · 85 = 2856 kcal. Hij neemt dus 5000 − 2856 = 2144 kcal te veel. Dit veroorzaakt na ´e´en dag een gewichtstoename van 2144 ≈ 275 gram. 7800 Opgave 3. Er geldt T = 0,000128 · (5000 − Eb ) = 0,64 − 0,000128 · Eb . Als we Eb = 33, 6 · G invullen, dan krijgen we T = 0,64 − 0,000128 · (33,6 · G). Buiten haakjes halen levert: T = −0,0043 · G + 0,64, en dus concluderen we dat a = −0,0043 en b = 0,64. Opgave 4. Na 8 maanden moet hij nog 16 · 0,888 ≈ 5,8 kg afvallen. Dus zijn gewicht na 8 maanden is 75 + 5,8 = 80,8 kg.
1
Opgave 5. In totaal dient de man 16 kg af te vallen, dus als hij 12 kg is afgevallen betekent dit dat de man nog 16 - 12 = 4 kg extra moet afvallen. Invullen in het rekenmodel levert de vergelijking: 4 = 16 · 0,88t . Met behulp van de GR-instructie intersect kan bovenstaande vergelijking voor t worden opgelost. Dit geeft: t ≈ 10,8 maanden.
Tai Sai Opgave 6. Aangezien we met drie verschillende dobbelstenen gooien zijn er de volgende mogelijkheden waarbij de som van de ogen gelijk aan 6 is: • 2-2-2, kan op 1 manier • 1-2-3, kan op 6 manieren • 4-1-1, kan op 3 manieren. Het totale aantal verschillende mogelijkheden is dus gelijk aan 10. Opgave 7. We bepalen eerst de kans dat je geen Tai en geen Sai hebt: P (Geen Tai en geen Sai) = P (1-1-1) + P (6-6-6). De kans dat je 1-1-1 gooit is het aantal manieren waarop je 1-1-1 kunt gooien gedeeld door het totale aantal mogelijkheden. Het totale aantal mogelijkheden is 6 · 6 · 6 = 216. Het totale aantal manieren waarop je 1-1-1 kunt gooien is maar ´e´en, dus P (1-1-1) = 1/216. Precies op dezelfde manier krijgen we P (6-6-6) = 1/216. Dus: 1 2 1 + = . 216 216 216 Met behulp van de complementregel en het feit dat Tai en Sai elkaar uitsluiten krijgen we dat P (Tai of Sai) = 1 − 2/216 = 214/216 = P (Tai) + P (Sai). P (Geen Tai en geen Sai) =
Omdat gegeven is dat P (Tai) = P (Sai) geldt dus: 2 · P (Tai) = dus P (Tai) = 107/216. 2
214 , 216
Opgave 8. Noteer met X de toevalsvariable die het aantal keer Tai aangeeft. Merk op 107 dat X binomiaal is verdeeld met n = 30 en p = 216 . De kans dat er precies 15 van de 30 keer Tai wordt gegooid kan dan genoteerd worden als P (X = 15). Deze kans kan met behulp van de GR-instructie binompdf(30,p,15) uitgerekend worden en is ongeveer gelijk aan 0,14. Opgave 9. Ten eerste merken we op dat ‘meer dan 250 Euro aan uitbetaling ontvangen’ hetzelfde is als dat de speler tenminste 13 keer heeft gewonnen! Dus nu hoeven we nog alleen maar uit te rekenen wat de kans is dat de speler tenminste 13 keer wint. Deze kans is gelijk aan de 1 min de kans dat de speler MINDER dan 13 keer wint. Met X zoals in opgave 8 dienen we P (X ≤ 12) uit te rekenen. We gooien 25 keer, dus met behulp van de GR-instructie binomcdf(25,p,12) kunnen we deze kans uitrekenen. We krijgen P (X ≤ 12) ≈ 0,52. De gevraagde kans is P (X ≥ 13), en deze is gelijk aan: P (X ≥ 13) = 1 − P (X ≤ 12) ≈ 0,48. Opgave 10. • Er zijn drie dobbelstenen die de waarde ‘5’ kunnen aannemen. We willen dat alleen ´e´en van de dobbelstenen de waarde ‘5’ aanneemt. Dit kan op 3 · 5 · 5 manieren. De 75 . kans op ´e´en ‘5’ is dan gelijk aan 216 • Van de drie dobbelstenen willen we dat er exact ´e´en dobbelsteen alle waarden mag aannemen, terwijl de overige twee dobbelstenen allebei de waarde ‘5’ hebben. Dit 15 kan op 5 · 3 manieren. De kans op twee vijven is dan gelijk aan 216 . • Drie vijven kunnen alleen op ´e´en manier worden gegooid, dus de kans op drie vijven 1 is gelijk aan 216 . • De verwachtingswaarde van de uitbetaling bij Wu is 0·
125 75 15 1 + 20 · + 30 · + 130 · ≈ 9,63 Euro. 216 216 216 216
• De kans op geen Tai is gelijk aan 1 − P (Tai) =
109 . 216
• De verwachtingswaarde van de uitbetaling bij Tai is 0·
109 107 + 20 · ≈ 9,91 Euro. 216 216
We concluderen dat Tai de hoogste verwachtingswaarde heeft.
3
Bloeiperiode Opgave 11. De bloeiperiode is gestegen van 30 naar 83 dagen in 25 jaar. De groeifactor per 25 jaar is gelijk aan 83/30. Per jaar is de groeifactor dus gelijk aan:
83 30
251 ≈ 1,0415,
dus het jaarlijks groeipercentage is gelijk aan (1,0415 − 1) ∗ 100% ≈ 4,15%. Opgave 12. De lengte van de bloeiperiode in 1980 is gelijk aan 30 dagen. Om te bepalen in hoeveel jaar de bloeiperiode verdubbelt dienen we de volgende vergelijking op te lossen: 60 = 30 · 1, 042t . Met behulp van de GR-instructie intersect krijgen we dat t ≈ 16,85 jaren. Opgave 13. Aangezien de bloeiperiode constant is (en dus niet verandert) tussen 1950 en 1980, betekent dat diagram A afvalt. Omdat de groei vanaf 1980 exponentieel is gestegen geldt dat diagram B juist is.
Reactiesnelheid Opgave 14. Het gemiddelde wordt uitgerekend door de vijf vangafstanden bij elkaar op te tellen en te delen door vijf. De gemiddelde vangafstand van Henry is dus gelijk aan 16,6 cm. We zien in de tabel dat 16,6 tussen de waarden 16 en 18 ligt. De bijbehorende reactiesnelheden zijn 181 en 192 ms . Per cm neemt de reactiesnelheid toe met 192 − 181 ≈ 5,5 ms, 2 dus Henry komt uit op een reactiesnelheid van 181 + 0,6 · 5,5 = 184,3 ms, wat inderdaad afgerond 184 ms is. Opgave 15. Laat de toevalsvariable X normaal verdeeld zijn met gemiddelde m = 178 en s = 14. We moeten dus uitrekenen: P (X < 184). Dit kan gedaan worden met de GR-instructie normalcdf(-e99,184,178,14), dus P (X < 184) ≈ 0,67. Opgave 16. Eerst rekenen we uit wat de gemiddelde reactiesnelheid van een man moet zijn om tot de 5% snelste mannen te behoren. Dit kan met de GR-instructie invnorm(0,05,178,14) worden uitgerekend en is ongeveer gelijk aan 155 ms. We kunnen de bijbehorende vangafstand A nu uitrekenen door R = 155 in de formule in te vullen. We krijgen dan de volgende vergelijking
4
s 155 = 100 ·
A . 4, 9
De GR-instructie intersect geeft de oplossing met A ≈ 11,7 cm. Opgave 17. Aangezien we twee vrouwen hebben dienen we uit te rekenen: P (X < 178) · P (X < 178). Dus het antwoord is (P (X < 178))2 , waarbij X nu normaal is verdeeld met m = 195 en s = 18. Met behulp van de GR-instructie normalcdf(-e99,178,195,18) krijgen we dat P (X < 178) ≈ 0,1736. Het antwoord is dus 0,17362 ≈ 0, 03. De kans is dus ongeveer 3% dat beide vrouwen een reactietijd hebben die sneller is dan de gemiddelde reactietijd van mannen. Opgave 18. We berekenen m+s door eerst m en s volledig uit te schrijven (buiten haakjes halen). Eerst doen we dit voor m: m = 178 + 1,2 · (t − 30) = 178 + 1, 2 · t + 1, 2 · (−30) = 178 + 1, 2 · t − 36 = 142 + 1, 2 · t. Nu doen we dit voor s: s = 14 + 0,3 · (t − 30) = 14 + 0, 3 · t − 0, 3 · 30 = 14 + 0, 3 · t − 9 = 5 + 0, 3 · t. Nu berekenen we m + s: m + s = 142 + 5 + 1, 2 · t + 0, 3 · t = 147 + 1, 5 · t. Opgave 19. Uit de figuur zien we in dat we de ongelijkheid 147 + 1, 5 · t > 250 dienen op te lossen voor t. Dus: 147 + 1, 5 · t > 250. Met behulp van de GR-instructie intersect krijgen we dat t groter dan 68,6 jaren dient te zijn.
5
Vogeltrek Opgave 20. Het jaar 2020 is 40 jaar later dan 1980. Elke 10 jaar is de terugkeerdatum 3 dagen vroeger, dus na 40 jaar is de terugkeerdatum (40/10) · 3 = 12 dagen vroeger dan 2 mei. De terugkeerdatum in 2020 dus gelijk aan 20 april. Opgave 21. De formule luidt: A = −0, 3 · t + 122. Uitleg: Merk op dat als we t = 0 (komt overeen met 1980) invullen dat er dan 122 = 2 mei moet uitkomen. Verder is elke 10 jaar de terugkeerdatum 3 dagen vroeger, dus bij bijvoorbeeld t = 10 krijgen we -3, vandaar de factor -0,3. Opgave 22. De formule voor de vertrekdatum D is: D = −0, 06 · t + 222. Uitleg: Merk op dat als we t = 0 (komt overeen met 1980) invullen dat D dan gelijk is aan 222. Dit is precies 122 + 100 dagen (de honderd dagen zijn gegeven). Verder is de factor -0,06 net als in opgave 21 te vinden. De formule voor de verblijfsduur V kunnen we vinden door het verschil te nemen van D en A: V = D − A = 100 + 0, 24 · t. Nu is de vraag wanneer V gelijk is aan 115, we moeten dus de lineaire vergelijking 100 + 0, 24 · t = 115 oplossen. Dit geeft t ≈ 62, 5 jaren. De gierzwaluw verblijft dus voor het eerst meer dan 115 dagen in Engeland in het jaar 2043.
6
