VOORBEELDOPGAVEN PISA 2012
HOOFDONDERWERP: WISKUNDE
© 1
HITPARADE In januari hebben de bands 4U2Rock en Goeroe-Kangoeroes allebei een nieuwe cd uitgebracht. In februari brachten ook de bands Helemaal Alleen en De Cowboys elk een cd uit. Onderstaand diagram laat de verkoop van de cd’s van de bands zien van januari tot en met juni.
Aantal verkochte cd’s per maand
Cd-verkoop per maand 2.250
4U2Rock
2.000
Goeroe-Kangoeroes
1.750 Helemaal Alleen 1.500 De Cowboys 1.250 1.000 750 500 250 0 Jan
Feb
Maart
April
Mei
Vraag 1: HITPARADE
Juni Maand
PM918Q01
Hoeveel cd’s heeft de band De Cowboys verkocht in april? 250 500 1 000 1 270 HITPARADE: BEOORDELING 1 DOEL VAN DE VRAAG: Beschrijving: Een staafdiagram aflezen Wiskunde-onderdeel: Onzekerheid en data Context: Maatschappelijk Proces: Interpreteren
2
Maximale score Code 1:
B
500
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
Vraag 2: HITPARADE
PM918Q02
In welke maand heeft de band Helemaal Alleen voor het eerst meer cd’s verkocht dan de band Goeroe-Kangoeroes? A In geen enkele maand In maart In april In mei HITPARADE: BEOORDELING 2 DOEL VAN DE VRAAG: Beschrijving: Een staafdiagram aflezen en de hoogte van twee staven vergelijken Wiskunde-onderdeel: Onzekerheid en data Context: Maatschappelijk Proces: Interpreteren Maximale score Code 1:
C
In april
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
3
Vraag 5: HITPARADE
PM918Q05
De manager van Goeroe-Kangoeroes maakt zich zorgen omdat het aantal verkochte cd’s in de periode van februari tot en met juni is afgenomen. Hoeveel cd’s zullen ze ongeveer verkopen in juli, als deze negatieve trend voortduurt? A B C D
70 cd’s 370 cd’s 670 cd’s 1 340 cd’s
HITPARADE: BEOORDELING 5 DOEL VAN DE VRAAG: Beschrijving: Een staafdiagram interpreteren en een schatting maken van het aantal cd’s dat in de toekomst verkocht zal worden, ervan uitgaande dat de lineaire trend voortduurt Wiskunde-onderdeel: Onzekerheid en data Context: Maatschappelijk Proces: Interpreteren Maximale score Code 1:
B
370 cd’s
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
4
VLIEGERSCHEPEN Vijfennegentig procent van de wereldhandel wordt over zee vervoerd, door zo’n 50 000 tankschepen, bulkschepen en containerschepen. De meeste van deze vrachtschepen varen op diesel.
© by skysails
Ingenieurs zijn van plan een systeem te ontwikkelen waarbij de windkracht wordt gebruikt om de vrachtschepen te ondersteunen. Ze willen schepen voorzien van vliegers, zodat ze gebruik kunnen maken van de windkracht, om zo het verbruik van diesel en de invloed daarvan op het milieu terug te dringen.
Vraag 1: VLIEGERSCHEPEN
PM923Q01
De vliegers hebben het voordeel dat ze zich op een hoogte van 150 m bevinden. Daar is de windsnelheid ongeveer 25% hoger dan op het dek van het schip. Met welke snelheid ongeveer blaast de wind in de vlieger als op het dek van het schip een windsnelheid van 24 km/u wordt gemeten? 6 km/u 18 km/u 25 km/u 30 km/u 49 km/u
VLIEGERSCHEPEN: BEOORDELING 1 DOEL VAN DE VRAAG: Beschrijving: Een percentage berekenen in een situatie uit het echte leven Wiskunde-onderdeel: Hoeveelheid Context: Wetenschappelijk Proces: Toepassen Maximale score Code 1:
D
30 km/u
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
5
PM923Q03
Vraag 3: VLIEGERSCHEPEN Wat moet ongeveer de lengte van het touw van de vlieger zijn om het vrachtschip onder een hoek van 45° te kunnen trekken bij een verticale hoogte van 150 m, zoals in de tekening hiernaast is aangegeven? A B C D
173 m 212 m 285 m 300 m
Touw 150 m 45º
90º
Opmerking: de tekening is niet op schaal. © by skysails
VLIEGERSCHEPEN: BEOORDELING 3 DOEL VAN DE VRAAG: Beschrijving: De stelling van Pythagoras gebruiken in een authentieke meetkundige context Wiskunde-onderdeel: Ruimte en vormen Context: Wetenschappelijk Proces: Toepassen Maximale score Code 1:
B
212 m
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
6
Vraag 4: VLIEGERSCHEPEN
PM923Q04 – 0 1 9
Vanwege de hoge dieselprijs (0,42 zed per liter) overwegen de eigenaren van het vrachtschip NieuweGolf hun schip te voorzien van een vlieger. Geschat wordt dat een dergelijke vlieger het dieselverbruik in totaal met ongeveer 20% kan doen afnemen.
Naam: NieuweGolf Soort: vrachtschip Lengte: 117 meter Breedte: 18 meter Laadvermogen: 12 000 ton Maximumsnelheid: 19 knopen Dieselverbruik per jaar zonder vlieger: ongeveer 3 500 000 liter Het kost 2 500 000 zed om de NieuweGolf te voorzien van een vlieger. Na hoeveel jaar ongeveer zullen de besparingen op diesel de kosten van de vlieger dekken? Laat met een berekening zien hoe je tot je antwoord bent gekomen. ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... Aantal jaren: ........................................... VLIEGERSCHEPEN: BEOORDELING 4 DOEL VAN DE VRAAG: Beschrijving: Meerdere stappen in een model gebruiken om een complexe situatie uit het echte leven op te lossen Wiskunde-onderdeel: Variaties en verhoudingen Context: Wetenschappelijk
7
Proces: Formuleren Maximale score Code 1:
Antwoorden van 8 tot 9 met de juiste (wiskundige) berekeningen. Dieselverbruik per jaar zonder vlieger: 3,5 miljoen liter, voor een prijs van 0,42 zed/liter, dieselkosten zonder vlieger: 1 470 000 zed. Als de vlieger voor een energiebesparing van 20% zorgt, komt dit neer op een besparing van 1 470 000 zed x 0,2 = 294 000 zed per jaar. Dus 2 500 000 ÷ 294 000 8,5: de vlieger wordt dus (financieel) rendabel na ongeveer 8 of 9 jaar.
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
8
DRUPPELSNELHEID VAN EEN INFUUS Een infuus wordt gebruikt om vloeistoffen en medicijnen aan patiënten toe te dienen.
Verpleegkundigen moeten de druppelsnelheid D van een infuus berekenen in druppels per minuut. Ze gebruiken de formule D
d v waarbij 60a
d de druppelfactor in druppels per milliliter (ml) is v het volume (in ml) van het infuus is a het aantal uur is dat het infuus moet worden toegediend.
Vraag 1: DRUPPELSNELHEID VAN EEN INFUUS
PM903Q01 – 0 1 2 9
Een verpleegkundige wil een infuus twee keer zo lang toedienen. Beschrijf nauwkeurig de manier waarop D verandert als a wordt verdubbeld, maar d en v niet veranderen. ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... DRUPPELSNELHEID VAN EEN INFUUS: BEOORDELING 1 DOEL VAN DE VRAAG: Beschrijving: Uitleggen wat het effect is op de uitkomst van een formule
9
wanneer de waarde van één variabele in de formule wordt verdubbeld, terwijl alle andere variabelen constant blijven Wiskunde-onderdeel: Variaties en verhoudingen Context: Beroepsmatig Proces: Toepassen
Maximale score Code 2:
In de uitleg wordt zowel de richting van het effect beschreven als de grootte daarvan. Die wordt door twee gedeeld. Het is de helft. D wordt 50% kleiner. D wordt twee keer zo klein.
Gedeeltelijk goed Code 1:
Alleen de richting of de grootte. D wordt kleiner. Er is een verandering van 50%.
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
Vraag 3: DRUPPELSNELHEID VAN EEN INFUUS
PM903Q03 – 0 1 9
Verpleegkundigen moeten ook het volume v van het infuus berekenen op basis van de druppelsnelheid D. Een infuus met een druppelsnelheid van 50 druppels per minuut moet 3 uur lang aan een patiënt worden toegediend. Voor dit infuus is de druppelfactor 25 druppels per milliliter. Wat is het volume in ml van dit infuus?
Volume van het infuus:............................ ml DRUPPELSNELHEID VAN EEN INFUUS: BEOORDELING 3 DOEL VAN DE VRAAG: Beschrijving: Een vergelijking omzetten en twee variabelen vervangen door
10
gegeven waarden Wiskunde-onderdeel: Variaties en verhoudingen Context: Beroepsmatig Proces: Toepassen Maximale score Code 1:
360
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
11
DRAAIDEUR Een draaideur bestaat uit drie ‘deuren’, deurbladen genoemd, die in een cirkelvormige ruimte draaien. De binnendiameter van deze ruimte is 2 meter (200 centimeter). De drie deurbladen verdelen de ruimte in drie gelijke delen. Op de onderstaande tekeningen zie je van bovenaf de deurbladen van de draaideur in drie verschillende standen. Ingang
Deurbladen
200 cm
Uitgang
Vraag 1: DRAAIDEUR
PM995Q01 – 0 1 9
Wat is de grootte van de hoek (in graden) die door twee deurbladen van de draaideur wordt gevormd? Grootte van de hoek: .............................. º A DRAAIDEUR: BEOORDELING 1 DOEL VAN DE VRAAG: Beschrijving: De middelpuntshoek van een cirkelsegment berekenen Wiskunde-onderdeel: Ruimte en vormen Context: Wetenschappelijk Proces: Toepassen Maximale score Code 1:
120
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
12
Vraag 2: DRAAIDEUR De twee deuropeningen (de gestippelde cirkelbogen in de tekening) zijn even groot. Als deze openingen te groot zijn, sluiten de deurbladen de ruimte niet af en kan er lucht tussen de ingang en de uitgang stromen, waardoor er ongewenst warmte verloren gaat of binnenkomt. Dit is weergegeven in de tekening hiernaast.
PM995Q02 – 0 1 9
Mogelijke luchtstroom in deze stand
Wat is de maximale lengte in centimeters (cm) die de cirkelboog van elke deuropening kan hebben, zodat er geen lucht tussen de ingang en de uitgang kan stromen?
Maximale lengte van de cirkelboog: ……………….. cm B DRAAIDEUR: BEOORDELING 2 DOEL VAN DE VRAAG: Beschrijving: Een praktisch meetkundig vraagstuk modelleren en vervolgens oplossen Wiskunde-onderdeel: Ruimte en vormen Context: Wetenschappelijk Proces: Formuleren Maximale score Code 1:
Antwoord in het interval van 104 tot 105. [Accepteer de antwoorden die zijn berekend als 1/6e van de omtrek; bijvoorbeeld: .]
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
13
Vraag 3: DRAAIDEUR
PM995Q03
De draaideur draait vier keer per minuut helemaal rond. In elk van de drie delen van de deur is er ruimte voor maximaal twee personen. Wat is het maximumaantal personen dat in 30 minuten door deze deur het gebouw binnen kan gaan? 60 180 240 720 C DRAAIDEUR: BEOORDELING 3 DOEL VAN DE VRAAG: Beschrijving: Informatie herkennen en een (impliciet) kwantitatief model opstellen om een vraagstuk op te lossen Wiskunde-onderdeel: Hoeveelheid Context: Wetenschappelijk Proces: Formuleren Maximale score Code 1:
D
720
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
14
APPARTEMENT KOPEN Dit is de plattegrond van het appartement dat de ouders van Gerard via een makelaar willen kopen.
Schaal: 1 cm is 1 m
Keuken
Badkamer
Woonkamer
Terras
Slaapkamer
Vraag 1: APPARTEMENT KOPEN
PM00FQ01 – 0 1 9
Om het totale vloeroppervlak van het appartement (inclusief terras en muren) te schatten, kun je de grootte van elke kamer meten, de oppervlakte daarvan berekenen en vervolgens al deze oppervlaktes bij elkaar optellen. Met een efficiëntere methode kun je echter het totale vloeroppervlak schatten door slechts vier lengtes te meten. Geef in bovenstaande plattegrond de vier lengtes aan die nodig zijn om het totale vloeroppervlak van het appartement te kunnen schatten.
APPARTEMENT KOPEN: BEOORDELING 1 DOEL VAN DE VRAAG: Beschrijving: Een situatie wiskundig formuleren op basis van afmetingen en oppervlaktes in een plattegrond Wiskunde-onderdeel: Ruimte en vormen Context: Persoonlijk Proces: Formuleren 15
Maximale score Code 1:
Heeft op de plattegrond de vier afmetingen aangegeven die nodig zijn om de oppervlakte van het appartement te kunnen schatten. Oplossing 1: Oplossing 2:
Oplossing 3:
Oplossing 4:
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
16
45 cm
Schaal: 1 cm is in werkelijkheid 1 m 22,5Slaapcm
kamer
17
SAUS PM924Q02 – 0 1 9
Vraag 2: SAUS Je maakt je eigen dressing voor een salade. Hier volgt een recept voor een dressing van 100 milliliter (ml): Slaolie
60 ml
Azijn
30 ml
Sojasaus
10 ml
Hoeveel milliliter (ml) slaolie heb je nodig als je 150 ml van deze dressing wilt maken? Antwoord: ............................................... ml SAUS: BEOORDELING 2 DOEL VAN DE VRAAG: Beschrijving: Het idee van evenredigheid toepassen in een situatie uit het dagelijks leven Wiskunde-onderdeel: Hoeveelheid Context: Persoonlijk Proces: Formuleren Maximale score Code 1:
90
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
18
AUTORIT Kelly is een stukje gaan rijden met de auto. Onderweg rent er een kat de weg op. Kelly gaat op de rem staan en kan de kat nog net ontwijken. Nog natrillend besluit Kelly om maar weer naar huis te gaan. In de onderstaande grafiek is de snelheid van de auto tijdens de rit vereenvoudigd weergegeven. Kelly’s autorit 72 60 Snelheid (km/u)
48 36 24 12 0 09.00
09.04
09.08
09.12
Tijd
Vraag 1: AUTORIT
M302Q01
Wat was de maximumsnelheid van de auto tijdens de rit? Maximumsnelheid: ................................. km/u.
Vraag 2: AUTORIT
M302Q02 - 0 1 9
Hoe laat was het toen Kelly op de rem trapte om de kat te ontwijken? Antwoord: ............................................... AUTORIT BEOORDELING 2 Maximale score Code 1:
09.06
OF Zes minuten over negen.
19
Geen punten Code 0: Code 9:
Andere antwoorden. Antwoord ontbreekt.
Vraag 3: AUTORIT
M302Q03 - 0 1 9
Was Kelly's terugweg naar huis korter dan de afstand die ze had afgelegd van haar huis naar de plaats waar het voorval met de kat plaatsvond? Verklaar je antwoord en gebruik daarbij informatie uit de grafiek. ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... AUTORIT BEOORDELING 3 Maximale score Code 1: Antwoord dat de weg naar huis korter was, met een duidelijke verklaring. De uitleg verwijst ZOWEL naar de lagere gemiddelde snelheid ALS naar de (ongeveer) even lange tijd die de rit naar huis duurde, of een soortgelijk argument. Een argument dat is gebaseerd op de kleinere oppervlakte onder de grafiek voor de terugreis, verdient ook de maximale score. Het eerste deel was langer dan de terugweg naar huis. De terugweg naar huis duurde even lang, maar in het eerste deel reed ze veel sneller dan in het tweede. De weg die Kelly naar huis nam was korter, want de benodigde tijd was korter, hoewel ze langzamer reed. Geen punten Code 0: Correct antwoord zonder goede uitleg. De terugweg was korter want toen ze op de rem trapte, was ze net over de helft van de tijd. De terugweg was korter. De terugweg bestreek 8 vierkantjes terwijl de heenweg 9 vierkantjes bestreek. OF Andere antwoorden. Nee, het was hetzelfde want het kostte haar zes minuten om terug te keren, maar ze reed langzamer. Als je naar de grafiek kijkt en de tijd meetelt die Kelly nodig had om te remmen voor de kat, was het misschien een paar seconden sneller, maar afgerond was het hetzelfde. Je kunt aan de grafiek zien dat de afstand tot het punt waar ze moest remmen hetzelfde was als de afstand naar huis. Code 9: Antwoord ontbreekt.
20
LENGTE Er zitten 25 meisjes in een klas. De gemiddelde lengte van de meisjes is 130 cm.
M421Q01 - 0 1 9
Vraag 1: LENGTE Leg uit hoe de gemiddelde lengte wordt berekend.
A LENGTE BEOORDELING 1 B Maximale score Code 1:
Een uitleg die het volgende bevat: de afzonderlijke lengtes optellen en de som delen door 25. De lengte van alle meisjes optellen en delen door het aantal meisjes. De lengte van alle meisjes optellen en delen door het aantal meisjes, in dit geval 25. Het totaal van alle lengtes in dezelfde groep, gedeeld door het aantal meisjes.
C Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
M421Q02
Vraag 2: LENGTE Omcirkel “Goed” of “Fout” voor elk van de volgende beweringen: Bewering
Goed of Fout
Als er in de klas een meisje zit dat 132 cm lang is, moet er een ander meisje zijn dat 128 cm lang is.
Goed / Fout
De meeste meisjes moeten 130 cm lang zijn.
Goed / Fout
Als alle meisjes van klein naar groot worden opgesteld, zal het middelste meisje precies 130 cm lang zijn.
Goed / Fout
De helft van de meisjes in deze klas moet kleiner zijn dan 130 cm en de andere helft moet langer zijn dan 130 cm.
Goed / Fout
21
Vraag 3: LENGTE
M421Q03
Er is een vergissing gemaakt bij de lengte van één van de leerlingen. De lengte moet 120 cm zijn in plaats van 145 cm. Wat is de gemiddelde lengte van de meisjes in de klas, rekening houdend met deze correctie? D E F G H
126 cm 127 cm 128 cm 129 cm 144 cm
22
EEN BOEKJE MAKEN M598Q01 - 0 1 9
Vraag 1: EEN BOEKJE MAKEN Figuur 1
Figuur 1 laat zien hoe je een klein boekje maakt. De instructies worden hieronder gegeven:
Neem een stuk papier en vouw het tweemaal dubbel.
Breng een nietje aan door rand a.
Knip de twee randen bij b langs de vouw open.
Je krijgt dan een boekje van acht pagina's. Figuur 2
Figuur 2 laat één zijde van een stuk papier zien dat wordt gebruikt om zo'n boekje te maken. De paginanummers zijn van tevoren op het papier gezet. De dikke lijn geeft aan waar het papier wordt geknipt na het vouwen.
23
Schrijf de nummers 1, 4, 5 en 8 in de juiste vakken van de volgende figuur om te laten zien welk paginanummer zich precies aan de achterzijde bevindt van de paginanummers 2, 3, 6 en 7.
EEN BOEKJE MAKEN BEOORDELING 1 Maximale score Code 1:
Paginanummers die op de volgende posities zijn geplaatst (hoe de nummers staan qua oriëntatie is niet van belang):
1
8
4
5
Geen punten Code 0:
Andere antwoorden.
Code 9:
Antwoord ontbreekt.
24
FIETSEN Jan, Sanne en Peter hebben fietsen van verschillende groottes. De onderstaande tabel laat de afstand zien die hun fietsen afleggen per volledige omwenteling van een wiel. Afstand afgelegd in cm 1 omwenteling
2 omwentelingen
3 omwentelingen
4 omwentelingen
5 omwentelingen
6 omwentelingen
Peter
96
192
288
384
480
…
Sanne
160
320
480
640
800
…
Jan
190
380
570
760
950
…
M810Q01
Vraag 1: FIETSEN Peter duwt zijn fiets totdat zijn wiel drie volledige omwentelingen heeft gemaakt. Stel dat Jan hetzelfde doet met zijn fiets, hoeveel verder komt Jans fiets dan in vergelijking met die van Peter? Geef je antwoord in centimeters. Antwoord: ............................................... cm.
M810Q02
Vraag 2: FIETSEN Hoeveel omwentelingen zijn er nodig om met Sannes fiets 1280 cm af te leggen? Antwoord: ............................................... omwentelingen.
M810Q03 - 00 11 12 21 99
Vraag 3: FIETSEN
Peters fiets heeft een wielomtrek van 96 cm (of 0,96 m). Het is een fiets met drie versnellingen: een kleine, een middelste en een grote versnelling. De versnellingsverhoudingen van Peters fiets zijn: Klein
3:1
Middelste 6:5
Groot 1:2
Hoeveel pedaalslagen moet Peter maken om 960 m af te leggen in de middelste versnelling? Laat zien hoe je tot je antwoord bent gekomen. OPMERKING: een versnellingsverhouding van 3:1 betekent dat 3 volledige pedaalslagen overeenkomen met 1 volledige wielomwenteling.
25
FIETSEN BEOORDELING 3 Maximale score Code 21: 1200 pedaalslagen, met een volledig juiste methode. Let op dat het juiste antwoord, ook al is niet aangegeven hoe men ertoe gekomen is, impliceert dat een volledig juiste methode is toegepast en dat de maximale score gegeven moet worden. 960 m vereist 1000 wielomwentelingen, wat correspondeert met 1000
6 =1200 pedaalslagen 5
Gedeeltelijk goed Code 11: 12 pedaalslagen, berekend met een juiste methode maar zonder de juiste conversie van eenheden. 960 m vereist 10 wielomwentelingen (leerling vergat dat afstanden in de tabel in cm zijn gegeven), wat correspondeert met 10
6 =12 pedaalslagen. 5
Code 12: De juiste methode maar met een andere kleine rekenfout of een onvolledige berekening. 3 pedaalslagen levert 2,5 wielomwentelingen op, en 1 wielomwenteling = 0,96 meter, dus 3 pedaalslagen = 2,4 meter. Daarom zijn er voor 960 m 400 pedaalslagen nodig. Er zijn 1000 wielomwentelingen nodig (960/0,96) om 960 meter af te leggen, dus zijn er 833 pedaalslagen nodig in de middelste versnelling (5/6 van 1000). [De methode is correct, maar de breuk werd omgekeerd.] 5 0,96 4,8 en 960/4,8 = 200, dus 200 pedaalslagen. Vervolgens 200/5 = 40 en 40 6 240. Dus, er zijn 240 pedaalslagen nodig. [Eén foutje, de overbodige eerste vermenigvuldiging met 5, maar een voor het overige juiste methode.] Geen punten Code 00: Andere antwoorden. 96000/5 = 19200, en 19200 6 115200 pedaalslagen. [Met de wielomtrek is geen rekening gehouden.] Code 99: Antwoord ontbreekt.
26
