TRANSFORMASI FOURIER SISTEM KOMUNIKASI (DTG2F3) PRODI D3 TT YUYUN SITI ROHMAH,ST.,MT

TRANSFORMASI FOURIER SISTEM KOMUNIKASI (DTG2F3) PRODI D3 TT

YUYUN SITI ROHMAH,ST.,MT

FUNGSI DAN DEFINISI  

 



Spektral sinyal periodik s(t) selalu dapat dianalisis dengan bantuan Deret Fourier. Pada kenyataannya banyak sinyal-sinyal dalam sistem komunikasi yang bersifat random non periodik, misalnya sinyal informasi. Untuk kasus sinyal non periodik kita gunakan formula yang disebut Transformasi Fourier. Fungsi Transformasi Fourier yaitu utk menganalisis bentuk spektral S(f) dari suatu sinyal kawasan waktu s(t) Fungsi Inverse Transformasi Fourier yaitu utk menganalisis bentuk suatu sinyal kawasan waktu s(t) jika spektral sinyal S(f) diketahui

Formula Transformasi Fourier 

S ( f )   s(t ).e

 j 2ft

dt





S(f) dinamakan Transformasi Fourier dari s(t)



Jika Transformasi Fourier S(f) suatu sinyal diketahui maka kita dapat menghitung persamaan sinyal dalam domain waktu s(t) dengan formula Inverse Transformasi  Fourier

s(t )   S ( f ).e 

j 2ft

df

Beberapa Transformasi penting 

S ( f )    (t ).e  j 2ft dt  1 



Transformasi Fourier impulse (sinyal delta dirac): (t) 1

0

t

S(f) 1

0

f

Beberapa Transformasi penting 

Transformasi Fourier dari fungsi pulsa: S(f)

s(t)

AT

A

- T/2

0

+ T/2

t

- 1/T

|S(f)|

0

harga modulus

AT

- 1/T 0

+1/T

F(f)|

f harga fasa

 - 1/T 0

+1/T

f

+1/T

f

Sifat-sifat Transformasi Fourier (yang sering dipakai di siskom) a. Time Scaling

S(f)

s(t)

0

t

0

f

Sifat-sifat Transformasi Fourier b. Time shifting

Bila s(t)  S(f) maka s(t-to)  S(f).e-j2fto |S(f)|

harga modulus

AT s(t) A - 1/T 0

F(f)| - T/2

0

+ T/2

t

f

+1/T harga fasa

 - 1/T 0

|G(f)|=|S(f)|

f

+1/T harga modulus tetap

AT g(t)=s(t-t0) T

A

- 1/T 0

F(f)| 0

to

t

f

+1/T harga fasa ada pergeseran



to 0

2to

f

Sifat-sifat Transformasi Fourier c. Frequency shifting Bila s(t)  S(f) maka S(f-fo)  s(t).ej2fot



Contoh : s(t) = A Cos 2fct =



maka



A j 2f ct  j 2f c t e e 2



A A S  f     f  fc     f  fc  2 2 S(f) A/2

- fc

0

fc

f

Sifat-sifat Transformasi Fourier d. Transformasi Fourier Sinyal Periodik

Bila x(t)  X(f) Maka untuk

(untuk sinyal tidak periodik)

x p t  



 xt  nT 

n  

0

( x(t) periodik dengan periode To ) Transformasi fourier dari xp(t)

1 X p f  T0

m  m X  .  f    T0  m    To   

Sifat-sifat Transformasi Fourier e. Integrasi pada kawasan waktu: Bila s(t)  S(f), kemudian menghasilkan S(f)=0, maka :

t

1 s(t ).dt  j 2f .S( f )

f. Diferensiasi pada kawasan waktu:

Bila s(t)  S(f), jika pada kawasan waktu dilakukan diferensiasi sekali, maka :

d s( t )  j 2f . S ( f ) dt

Sifat-sifat Transformasi Fourier g. Konvolusi pada kawasan waktu: Bila s1(t)  S1(f) dan s2(t)  S2(f), maka :



 s ( ).s (t  )d  S ( f ).S ( f ) 1

2

1

2



h. Perkalian pada kawasan waktu: Bila s1(t)  S1(f) dan s2(t)  S2(f),

maka :



s1 (t ).s2 (t ) 

 S ( ).S ( f   )d 1



2

Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier Respon Time : Time Domain

Perhitungan Konvolusi : Representasi Grafis ; contoh

y (t)

x (t) h (t)

h (t)  respon impuls

X (t)

h (t)



y (t) = h () x (t-) d

0

t

=  x () h (t-) d

t

h(t-)

h(-)



0



= x (t) h (t) = h (t) x (t)

0



0 t



Transmisi Sinyal melalui Sistem y (t) Linier(CONT’) -t/T

V (1-e )

x()

V

0 0

 t

x() h(t-)

 0

Area = x () h (t-) d 0

t



t

Contoh Perhitungan Konvolusi dgn representasi Grafis : y (t)

x (t) h (t) X(t)

h(t)

N>M A B

0

M

0

t

t

N

h() X(t-λ) A

B 0 M

t



0

N



Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier (CONT’) x (t-) h() O≤t≤M

AB

Area = A B t

0



t

Perhitungan Karena N > M : # untuk 0 ≤ t ≤ M : y(t) = ABt

x (t-) h() N>M A

Area= AB M

# untuk M ≤ t ≤ N : 0 M

t

N



Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier (CONT;) # untuk t ≥ N : x (t-) h() AB

Area= AB(N+M-t)

0 - M+ t



N

Sehingga:

y(t)=x (t) h(t) ABM

0

M

N

M+N

t

Kasus Khusus : Konvolusi dengan fungsi  ( t - to ) 

● x (t)   (t - to) = x (t - )  ( - to) d = x (t – to) 

● x (t)  A  (t - to) = A x (t - to) X(t)

(t-t0) A

0

t

0

x(t-t0) A

0

t0

t

t0

t

Transmisi Sinyal Melalui Sistem Linier Input

Output Linear system



Deterministic signals:



Random signals:



Y(f) = Sinyal output dalam domain frekuensi X(f) = Sinyal input dalam domain frekuensi H(f) = Respons frekuensi sistem linier GY(f) = PSD (Power Spectral Density) sinyal output GX(f) = PSD (Power Spectral Density) sinyal input

   

Sistem Lowpass vs Bandpass Input

Output Linear system

Jika h (t) riil  H (f) kompleks  | H (f) | merupakan fungsi genap

  (f)

merupakan fungsi ganjil

Sistem “lowpass”

Sistem “bandpass” H(f) ,  (f)

H(f),  (f)

0

f

- fc

0

fc

●Kondisi “distortionless transmission”

x (t)

X (f) , H (f) ,  (f)

y (t)

K

y(t) = K.X(t – to) H (f) = K e -j2fto

2to

●Untuk sistem “bandpass” H(f)

- fc

0

fc

f

f

● Distorsi Linier dan Prinsip Ekualisasi Kanal

kanal X(t)

Equalizer

K.x(t-to)

Heq (f)

Hc (f)

Hc(f) Heq(f) = K e

-j2fto

Heq(f) = K e-j2fto Hc(f)

Latihan Soal 1. Perhatian gambar sinyal x(t) diawah ini : X(t) A

0

T

t

a. Tentukan X(f) yang merupakan transformasi fourier dari sinyal tersebut ! b. Jika sinyal z(t)= x(t).y(t) dimana y(t) = Cos ( 4 t/T ), tentukan Z(f) ! c. Gambarkan z(t) dan Z(f)

Latihan Soal 2.

Suatu sinyal memasuki sistem yang diwakili oleh LPF berikut ini :

10-5 s 10 volt

|H(f)| 2 SB(t) SA(t)

A

B -10

Tentukan SA(f) , SB(f), SB(t) !

0

10 f(kHz)

Latihan Soal 3.

Diketahui sinyal dalam domain frekuensi sebagai berikut:

X(f)

Y(f)

1

-fm

0

A/2 fm

f

-fc

0

a.

Untuk fc > fm, Gambarkan Z(f) = X(f)Y(f) !

b.

Tentukan persamaan z(t), gambar diagram proses yang terjadi !

fc

f

THANK U