Tinjauan Ulang 23 Juni 2013

Tinjauan Ulang

23 Juni 2013

Daftar Isi 1 Logika Matematika, Himpunan, Relasi, 1.1 Logika Matematika . . . . . . . . . . . 1.2 Formalisme Himpunan . . . . . . . . . 1.3 Himpunan Bilangan . . . . . . . . . . . 1.3.1 Himpunan Bilangan Dasar . . . 1.3.2 Himpunan Bilangan Turunan . 1.4 Relasi dan Pemetaan . . . . . . . . . . 1.4.1 Relasi . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Pemetaan . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Relasi Kardinalitas . . . . . . . 1.5 Ruang Topologis . . . . . . . . . . . .

dan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pemetaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

3 3 4 5 5 6 7 7 7 8 8

. . . . . . . .

10 10 10 10 11 12 13 13 15

3 Lapangan Nyata 3.1 Limit Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19

4 Lapangan Kompleks 4.1 Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Fungsi Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Kalkulus pada Lapangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 20 21 24

5 Formalisme dalam Mekanika Kuantum 5.1 Hasil Kali Skalar dan Norma . . . . . . . . . 5.2 Operator dalam Ruang Hilbert . . . . . . . 5.3 Komutasi dan Anti-Komutasi . . . . . . . . 5.4 Swanilai dan Swafungsi dari Suatu Operator 5.5 Wakilan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Prinsip Ketidakpastian . . . . . . . . . . . .

25 25 26 28 28 29 31

2 Sistem Aljabar, Aljabar Asosiatif, Modul, dan Matriks 2.1 Sistem Operasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sistem Aljabar Murni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Semigrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Gelanggang (Ring) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Aljabar Asosiatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Formalisme Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

2

6 Mekanika Kuantum di Ruang Tiga Dimensi 6.1 Laju dari Rata-Rata Suatu Observabel Fisis . . 6.2 Persamaan Schrödinger dalam Sistem Koordinat 6.2.1 Pemisahan Peubah . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Persamaan Sudut . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Persamaan Radial . . . . . . . . . . . . . 6.3 Momentum Sudut . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Swanilai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Spin 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DAFTAR ISI

. . . Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

33 33 34 34 35 36 38 38 41 41 41

Bab 1

Logika Matematika, Himpunan, Relasi, dan Pemetaan 1.1

Logika Matematika

Dalam logika matematika, suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan sebuah huruf kecil, misalnya p. Apabila suatu pernyataan memuat suatu frase x1 , x2 , x3 , . . . , maka biasanya pernyataan tersebut ditulis, misalnya, sebagai p(x1 , x2 , x3 , . . . ). Secara klasik, suatu pernyataan hanya dapat bernilai benar atau salah, di mana nilai kebenaran suatu pernyataan p dapat ditulis sebagai |p|. Apabila diketahui p = q, maka pastilah |p| = |q|, tetapi apabila diketahui |p| = |q|, maka belum tentu p = q. Negasi dari pernyataan p biasa ditulis sebagai ∼ p yang bernilai benar apabila p bernilai salah, serta bernilai salah apabila p bernilai benar. Ternyata, ∼ (∼ p) = p. Disjungsi antara pernyataan p dan pernyataan q biasanya ditulis sebagai p ∨ q yang bernilai benar apabila salah satu dari p, q bernilai benar, serta bernilai salah apabila p, q keduanya salah. Operasi ∨ ini bersifat komutatif, sehingga (q ∨ p) = (p ∨ q). Pernyataan p ∨ q dibaca sebagai “p atau q”, alias dapat pula dibaca “p maupun q”. Ternyata, pernyataan p∨ ∼ p selalu bernilai benar. 1 Konjungsi antara pernyataan p dan pernyataan q biasanya ditulis sebagai p ∧ q yang bernilai benar apabila p, q keduanya benar, serta bernilai salah apabila salah satu dari p, q bernilai salah. Operasi ∧ ini bersifat komutatif, sehingga (q ∧ p) = (p ∧ q). Pernyataan p ∧ q dibaca sebagai “p dan q”, alias dapat pula dibaca “p tetapi q”. Ternyata, pernyataan p∧ ∼ p selalu bernilai salah. Dalam hal ini, (p ∨ p) = (p ∧ p) = p. Dapat ditunjukkan bahwa, ∼ (p ∨ q) = (∼ p∧ ∼ q) serta ∼ (p∧q) = (∼ p∨ ∼ q). Terdapat pula hukum distributif, yaitu (p∨(q∧r)) = ((p∨q)∧(p∨r)) serta (p ∧ (q ∨ r)) = ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)). Implikasi pernyataan p terhadap pernyataan q biasa ditulis sebagai p ⇒ q yang bernilai salah hanya jika p bernilai benar tetapi q bernilai salah, serta bernilai benar apabila p bernilai salah, atau p, q keduanya bernilai benar. Operasi ⇒ ini bersifat tak komutatif. Pernyataan p ⇒ q dibaca sebagai “jika p maka q”, alias dapat pula dibaca “q jika p”. Ternyata, (p ⇒ q) = (∼ p ∨ q) = ((∼ p)∨ ∼ (∼ q)) = (∼ q ⇒∼ p), serta ∼ (p ⇒ q) =∼ (∼ p ∨ q) = (p∧ ∼ q). Biimplikasi antara pernyataan p dan pernyataan q biasa ditulis sebagai p ⇔ q yang setara dengan pernyataan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), sehingga pernyataan p ⇔ q bernilai benar apabila p, q keduanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah, serta bernilai salah apabila p bernilai benar tetapi q bernilai salah, atau p bernilai salah tetapi p bernilai benar. Pernyataan p ⇔ q dibaca sebagai “p jika dan hanya jika q”. Operasi ⇔ bersifat komutatif, sehingga (p ⇔ q) = (q ⇔ p). Ternyata, (p ⇔ q) = ((p ∧ q)∨ ∼ (p ∨ q)) = (∼ (∼ p∨ ∼ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)) = (∼ p ⇔∼ q), serta ∼ (p ⇔ q) = ((∼ p∨ ∼ q)∧(p∨q)) = ((∼ p∧q)∨(p∧ ∼ q)). Dalam logika matematika klasik, terdapat dua jenis kuantor, yaitu kuantor universal ∀ dan kuantor eksistensial ∃. Pernyataan 1

Kata “atau” di sini bermakna memilih, yang tentu saja berbeda dengan kata “alias”.

3

4

BAB 1. LOGIKA MATEMATIKA, HIMPUNAN, RELASI, DAN PEMETAAN

∀p, q dibaca “untuk semua p berlaku q”. Pernyataan ∃p, q dibaca “terdapat p sedemikian rupa sehingga q”. Terdapat hubungan antara ∀ dan ∃, yaitu ∼ (∀p, q) = (∃p, ∼ q) serta ∼ (∃p, q) = (∀p, ∼ q). Kontrapositif serta konversi dari pernyataan p ⇒ q berturut-turut adalah ∼ q ⇒∼ p serta q ⇒ p. Ternyata, pernyataan p ⇒ q memiliki nilai kebenaran yang sama dengan nilai kebenaran pernyataan kontrapositifnya.

1.2

Formalisme Himpunan

Definisi himpunan dalam teori himpunan merupakan kumpulan beberapa hal yang memenuhi satu atau beberapa syarat tertentu yang didefinisikan dengan jelas. 2 Suatu himpunan S dapat dinyatakan sebagai S := {a, b, c, d, e, . . . } di mana a, b, c, d, e, . . . merupakan anggota dari himpunan S. Mengingat a di sini merupakan anggota dari S, maka dapat dituliskan a ∈ S. Mengingat b juga merupakan anggota dari S, maka dapat dituliskan a, b ∈ S, yang merupakan bentuk ringkas dari a ∈ S dan b ∈ S. Apabila x bukan merupakan anggota dari S, maka dapat dituliskan x ∈ / S. Apabila a, b, c, d, e, . . . ini memiliki pola tertentu, misalnya a = x1 , b = x2 , c = x3 , dan seterusnya, maka S dapat ditulis sebagai S := {x1 , x2 , x3 , . . . }. Contoh 1.2.1. Himpunan bilangan asli biasa dinyatakan sebagai N := {n1 , n2 , n3 , . . . } di mana n1 = 1 dan nj+1 = nj + 1. Himpunan bilangan cacah biasa dinyatakan sebagai N0 := {n0 , n1 , n2 , n3 , . . . } di mana n0 = 0 dan nj+1 = nj + 1. Kardinalitas suatu himpunan S merupakan cacah (banyaknya) anggota himpunan S, yang biasa dilambangkan dengan n(S) atau |S| atau notasi lain. Cacah dari himpunan S dapat terhingga maupun tak terhingga, bahkan dapat pula nol. Himpunan yang cacah anggotanya tak terhingga dapat merupakan himpunan tercacah maupun himpunan tak tercacah. Himpunan yang memiliki cacah terhingga (tak terhingga) disebut sebagai himpunan terbatas (tak terbatas). Himpunan kosong, yang biasa dinyatakan sebagai ∅ maupun { }, merupakan himpunan di mana |∅| = 0. Tentu saja pernyataan x ∈ ∅ selalu salah. 3 Apabila cacah suatu himpunan S tidak terhingga, baik tercacah maupun tidak tercacah, maka biasanya himpunan S dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan, yaitu S := {x | p(x)}, dengan p(x) adalah pernyataan terbuka yang menyatakan x. Notasi pembentuk himpunan ini biasanya juga digunakan untuk menyatakan himpunan terbatas S, dengan nilai |S| relatif besar, di mana cenderung merepotkan untuk menuliskan semua anggotanya. Selain itu, notasi pembentuk himpunan ini biasanya juga digunakan untuk menyatakan himpunan yang anggota-anggotanya belum jelas. Hasil kali Cartesis himpunan A dengan himpunan B biasa dinyatakan sebagai A × B := {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}. 4 Tentu saja, |A × B| = |A| |B|. Hasil kali Cartesis n buah himpunan, misalnya, A1 , . . . , An , biasa dinyatakan sebagai A1 × · · · × An := {(x1 , . . . , xn ) | xj ∈ Aj untuk setiap j}. Tentu saja, |A1 × · · · × An | = |A1 | . . . |An |. Hasil kali Cartesis suatu himpunan A dengan dirinya sendiri sebanyak n faktor kali Cartesis adalah (A)n := A1 × · · · × An dengan A1 = · · · = An = A, sehingga |(A)n | = |A|n . Gabungan antara himpunan A dan himpunan B biasa dinyatakan sebagai A ∪ B := {x | x ∈ A atau x ∈ B}. Irisan antara himpunan A dan himpunan B biasa dinyatakan 2 Kumpulan bunga indah, kumpulan makanan lezat, dan kumpulan bilangan besar, merupakan tiga contoh kumpulan yang bukan merupakan himpunan, sebab ”indah”, ”lezat”, dan ”besar” di sini bersifat relatif. Lain halnya, apabila ”indah”, ”lezat”, dan ”besar” tersebut didefinisikan dengan syarat tertentu yang jelas, maka tiga buah kumpulan tersebut merupakan tiga buah himpunan. 3 Karena ∅ tidak memiliki anggota, maka terkadang ∅ tidak dianggap sebagai himpunan. 4 Pada umumnya, A × B tidak sama dengan B × A. Selain itu, demi kepraktisan, kadang-kadang, notasi perkalian × ini tidak dituliskan, sehingga A × B ditulis sebagai AB saja dengan tidak mengubah urutan perkalian Cartesis-nya.

1.3. HIMPUNAN BILANGAN

5

sebagai A ∩ B := {x | x ∈ A dan x ∈ B}. Himpunan A dan himpunan B dikatakan saling lepas apabila A ∩ B = ∅. Ternyata untuk setiap himpunan A, berlaku A ∪ ∅ = A dan A ∩ ∅ = ∅. Demikian pula, 5 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) dan A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Dapat ditunjukkan bahwa |A ∪ B| + |A ∩ B| = |A| + |B|. Komplemen dari himpunan S dapat dinyatakan sebagai Ac := {x | x ∈ / A}. Tentu saja ∅c merupakan himpunan segalanya, c sehingga pernyataan x ∈ ∅ selalu benar. Dapat ditunjukkan bahwa (Ac )c = A, A ∩ Ac = ∅, A∪Ac = ∅c , (A∪B)c = Ac ∩B c , dan (A∩B)c = Ac ∪B c . Selisih himpunan B dari himpunan A biasa dinyatakan sebagai A − B := A ∩ B c . Tentu saja, (A − B) ∩ (B − A) = ∅. Ternyata, |A − B| = |A ∩ B c | = |A| + |B c | − |A ∪ B c |. Mengingat A ∪ B c = (Ac ∩ B)c = (B − A)c , maka |A−B|+|(B −A)c | = |A|+|B c |. Dapat pula didefinisikan operasi + antara himpunan A dan himpunan B di mana A+B := (A∪B)−(A∩B) = (A∪B)∩(A∩B)c = (A∪B)∩(Ac ∪B c ) = (A ∩ B c ) ∪ (B ∩ Ac ) = (A − B) ∪ (B − A). Ternyata, |A + B| = |(A − B) ∪ (B − A)| = |A − B| + |B − A|. Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, yang biasa dinyatakan sebagai A = B, apabila untuk setiap x berlaku x ∈ A jika dan hanya jika x ∈ B. Himpunan A dikatakan tidak sama dengan himpunan B, yang biasa dinyatakan sebagai A 6= B, apabila terdapat x sedemikian rupa sehingga x ∈ A tetapi x ∈ / B, atau, x ∈ B tetapi x ∈ / A. Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, yang biasa dinyatakan sebagai A ⊂ B, apabila A 6= B, serta untuk setiap x berlaku x ∈ B jika x ∈ A. Apabila A ⊂ B atau A = B, maka dapat dikatakan bahwa A ⊆ B. 6 Himpunan 2S didefinisikan 7 sebagai 2S := {A | A ⊆ S}, sehingga |2S | = 2|S| . Tentu saja, ∅ ∈ 2S dan S ∈ 2S . Himpunan AB didefinisikan sebagai himpunan semua pemetaan menyeluruh 8 dari himpunan B ke himpunan A. Tentu saja, |AB | = |A||B| . Terdapat beberapa identitas, misalnya • |2A×B | = 2|A×B| = 2|A||B| = (2|A| )|B| = (2|B| )|A| = |2B ||A| = |2A ||B| , • |2A∪B | = 2|A∪B| = 2|A|+|B|−|A∩B| = 2|A| 2|B| /2|A∩B| = |2A ||2B |/|2A∩B |, • |2A∩B | = 2|A∩B| = 2|A|+|B|−|A∪B| = 2|A| 2|B| /2|A∪B| = |2A ||2B |/|2A∪B |, • |2A∪B ||2A∩B | = |2A ||2B |, • |2A × 2B | = |2A ||2B | = 2|A| 2|B| = 2|A|+|B| , • |2A+B | = 2|A+B| = 2|A−B|+|B−A| = 2|A−B| 2|B−A| = |2A−B ||2B−A |, • |AB × C D | = |AB ||C D | = |A||B| |C||D| , • dan sebagainya.

1.3 1.3.1

Himpunan Bilangan Himpunan Bilangan Dasar

• Himpunan bilangan asli (himpunan bilangan bulat positif) adalah himpunan N := {1, 2, 3, . . . } yang tak terbatas, di mana anggota terkecil adalah bilangan 1, serta anggota ke-(j + 1) bernilai satu lebihnya dari anggota ke-j. 5

Ini merupakan hukum distributif dalam teori himpunan. Terkadang, notasi ⊂ ini maksudnya adalah ⊆, sehingga dalam hal ini, notasi ( maksudnya adalah ⊂. 7 Kadang-kadang, himpunan 2S di sini ditulis sebagai P S , yang dikenal sebagai himpunan pangkat. 8 Pengertian pemetaan menyeluruh terdapat pada Sesi 1.4.2. 6

6


• Bilangan nyata adalah bilangan yang dapat mewakili posisi suatu titik sepanjang suatu garis kontinyu yang tak berujung pangkal. Himpunan bilangan nyata merupakan himpunan R yang berisi semua bilangan nyata. • Himpunan bilangan kardinal adalah {0, 1, 2, 3, . . . , ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , ℵ3 , . . . } di mana |N| = ℵ0 dan |R| = ℵ1 , serta ℵ1 = 2ℵ0 . Masalah 1.3.1. Benarkah ℵα+1 = 2ℵα untuk semua α ∈ N? 1.3.2

Himpunan Bilangan Turunan

• Himpunan bilangan prima adalah himpunan P ⊂ N yang berisi semua bilangan asli yang memiliki tepat dua buah faktor perkalian bilangan asli. • Himpunan bilangan cacah adalah N0 := N ∪ {0}. • Himpunan bilangan bulat negatif adalah himpunan Z− := {−1, −2, −3, . . . } yang berisi semua negatif dari anggota N. • Himpunan bilangan bulat adalah himpunan Z := N0 ∪ Z− . • Himpunan bilangan nyata positif merupakan himpunan R+ := {x ∈ R | x > 0}. • Himpunan bilangan nyata negatif merupakan himpunan R− := {x ∈ R | x < 0}. • Bilangan rasional merupakan bilangan nyata yang dapat dinyatakan sebagai m/n dengan m, n ∈ Z dan n 6= 0. Himpunan bilangan rasional merupakan himpunan Q yang berisi semua bilangan rasional. • Himpunan bilangan rasional positif merupakan himpunan Q+ := {x ∈ Q | x > 0}. • Himpunan bilangan rasional negatif merupakan himpunan Q− := {x ∈ Q | x < 0}. • Bilangan irasional merupakan bilangan nyata yang tidak dapat dinyatakan sebagai m/n dengan m, n ∈ Z dan n 6= 0. Himpunan bilangan irasional merupakan himpunan I := R − Q yang berisi semua bilangan irasional. • Himpunan bilangan irasional positif merupakan himpunan I+ := {x ∈ I | x > 0}. • Himpunan bilangan irasional negatif merupakan himpunan I− := {x ∈ I | x < 0}. • (a, b) ≡ (a, b)R := {x ∈ R | a < x < b} dan [a, b] ≡ [a, b]R := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}. • (a, b] ≡ (a, b]R := {x ∈ R | a < x ≤ b} dan [a, b) ≡ [a, b)R := {x ∈ R | a ≤ x < b}. • (a, b)Q := {x ∈ Q | a < x < b} dan [a, b]Q := {x ∈ Q | a ≤ x ≤ b}. • (a, b]Q := {x ∈ Q | a < x ≤ b} dan [a, b)Q := {x ∈ Q | a ≤ x < b}. • (a, b)I := {x ∈ I | a < x < b} dan [a, b]I := {x ∈ I | a ≤ x ≤ b}. • (a, b]I := {x ∈ I | a < x ≤ b} dan [a, b)I := {x ∈ I | a ≤ x < b}.

1.4. RELASI DAN PEMETAAN

1.4 1.4.1

7

Relasi dan Pemetaan Relasi

Apabila A dan B merupakan dua buah himpunan, serta P merupakan himpunan yang berisi semua pernyataan, maka suatu relasi R : A × B → P mengkaitkan a ∈ A dengan b ∈ B menjadi sebuah pernyataan R(a, b) yang bernilai benar atau salah secara klasik. Biasanya, R(a, b) ditulis sebagai a R b. Secara khusus, apabila B = A, maka R tersebut merupakan relasi pada himpunan A. Apabila R merupakan relasi pada himpunan A, serta R = ∼ sedemikian rupa sehingga 1. a ∼ a untuk setiap a ∈ A,

9

2. jika a ∼ b, maka b ∼ a, untuk setiap a, b ∈ A,

10

serta

3. jika a ∼ b dan b ∼ c, maka a ∼ c, untuk setiap a, b, c ∈ A,

11

maka relasi ∼ ini disebut sebagai relasi setara pada himpunan A. Suatu relasi setara ∼ pada himpunan A membentuk himpunan-himpunan bagian dari A yang saling lepas, di mana himpunan bagian yang memuat a ∈ A disebut sebagai kelas setara a yang dinyatakan A ∼ ∼ sebagai [a]∼ A := {b ∈ A | b ∼ a} ⊂ A ∈ 2 . Apabila a ∼ b, maka [a]A = [b]A . Himpunan yang berisi semua kelas setara dari relasi setara ∼ pada himpunan A merupakan ruang kuosien dari A relatif terhadap ∼, yang dinyatakan sebagai (A/ ∼) ⊂ 2A . 1.4.2

Pemetaan

Apabila A dan B merupakan dua buah himpunan, maka pemetaan f : A → B merupakan aturan yang menentukan bayangan dari a ∈ A pada B, yaitu f (a) ∈ B. 12 Apabila diketahui f (x) = y ∈ B, maka invers dari pemetaan f : A → B tersebut adalah f −1 sedemikian rupa sehingga f −1 (y) = x ∈ A merupakan salah satu kemungkinan. Apabila B merupakan suatu lapangan, 13 maka pemetaan f tersebut disebut sebagai fungsi. Domain atau daerah asal dari pemetaan f : A → B, adalah himpunan dom f := {x | f (x) ∈ B} ⊆ A yang semua anggotanya memiliki bayangan di B, sedangkan daerah hasil atau bayangan dari f tersebut, merupakan himpunan im f := {f (x) | x ∈ dom f } ⊆ B yang semua anggotanya merupakan bayangan dari f terhadap semua anggota dari dom f . Untuk semua pemetaan f : A → B dan untuk semua A0 ⊆ dom f , dapat pula didefinisikan himpunan f (A0 ) := {f (x) | x ∈ A0 }. Selanjutnya, • f dikatakan injektif alias satu-satu apabila untuk setiap a, b ∈ dom f , maka a 6= b harus berakibat f (a) 6= f (b), • f dikatakan surjektif apabila untuk setiap a0 ∈ B, terdapat a ∈ A sedemikian rupa sehingga f (a) = a0 , • f dikatakan menyeluruh apabila dom f = A, • f dikatakan bijektif apabila f bersifat injektif, surjektif, dan menyeluruh. 9

14

Ini merupakan syarat refleksif. Ini merupakan syarat setangkup. 11 Ini merupakan syarat transitif. 12 Seandainya pemetaan f : A1 × · · · × An → B merupakan pemetaan yang memetakan (a1 , . . . , an ) ∈ A1 × · · · × An menjadi f ((a1 , . . . , an )) ∈ B, maka demi kepraktisan, pemetaan f ini dapat dianggap memetakan a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An menjadi f (a1 , . . . , an ) ∈ B. 13 Pengertian lapangan terdapat pada Batasan 2.2.8 dalam Sesi 2.2.3. 14 Pemetaan bijektif disebut juga sebagai korespondensi satu-satu. 10

8


Batasan 1.4.1. Pemetaan f : A → B dikatakan setara dengan pemetaan g : A → B apabila dom f = dom g serta f (x) = g(x) untuk semua x ∈ dom f . Contoh 1.4.1. Pemetaan f : Z → Z : n 7→ (−1)n setara dengan pemetaan g : Z → Z : n 7→ cos nπ. Untuk setiap A0 ⊂ dom f , maka pembatasan dari pemetaan f : A → B pada A0 merupakan pemetaan (f A0 ) : A0 → B sedemikian rupa sehingga (f A0 )(b) = f (b) untuk setiap b ∈ A0 ⊂ dom f . Pemetaan inklusi iA0 : A0 ,→ A dari A0 ⊆ A merupakan pemetaan sedemikian rupa sehingga iA0 (a) = a untuk setiap a ∈ A0 , sehingga iA0 = idA A0 , di mana pemetaan idA : A → A, dengan idA (a) = a untuk setiap a ∈ A, merupakan pemetaan identitas pada A. Apabila A, B, C merupakan tiga buah himpunan, serta g : A → B dan f : B → C merupakan pemetaan, maka pemetaan komposisi f ◦ g merupakan g dilanjutkan dengan f , di mana (f ◦ g)(x) := f (g(x)) ∈ C. Apabila diketahui x ∈ dom f dan y ∈ im g serta (f ◦g)(x) ≡ f (g(x)) = y, maka g(x) = f −1 (y), lalu x = g −1 (f −1 (y)) ≡ (g −1 ◦ f −1 )(y) sebagai salah satu kemungkinan, padahal x = (f ◦ g)−1 (y) merupakan salah satu kemungkinan pula, sehingga dapat dikatakan (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 . 1.4.3

Relasi Kardinalitas

• Apabila terdapat sebuah pemetaan bijektif dari himpunan A ke himpunan B, maka dapat dikatakan bahwa |A| = |B|. • Apabila terdapat sebuah pemetaan injektif dari himpunan A ke himpunan B, maka dapat dikatakan bahwa |A| ≤ |B|. • Apabila terdapat sebuah pemetaan injektif yang tidak bijektif dari himpunan A ke himpunan B, maka dapat dikatakan bahwa |A| < |B|. Masalah 1.4.1. Bagaimana relasi kardinalitas antara Q dan I?

1.5

Ruang Topologis

Seandainya X merupakan sebuah himpunan dan I merupakan himpunan semua indeks, serta T := {Ui ⊂ X | i ∈ I} ⊆ 2X merupakan kumpulan tertentu himpunan bagian dari X, maka (X, T ) merupakan ruang topologis 15 apabila • ∅, X ∈ T , S • j∈J Uj ∈ T untuk semua J ⊂ I, dan T • k∈K Uk ∈ T untuk semua K ⊂ I dengan |K| terhingga, di mana Ui disebut sebagai himpunan terbuka, serta T merupakan topologi untuk X. Masalah 1.5.1. Sebutkan contoh himpunan X 6= ∅ sedemikan rupa sehingga (X, T ) bukan merupakan ruang topologis untuk semua T ⊆ 2X . Seandainya (X, T ) merupakan ruang topologis, maka himpunan A ⊆ X disebut sebagai himpunan tertutup dalam (X, T ) apabila X − A merupakan himpunan terbuka dalam (X, T ), sehingga otomatis ∅, X keduanya merupakan himpunan terbuka dan tertutup dalam (X, T ). Seandainya (X, TX ) dan (Y, TY ) masing-masing merupakan ruang topologis, maka pemetaan f : X → Y dikatakan kontinyu apabila untuk setiap himpunan terbuka Y 0 ⊆ Y dalam (Y, TY ) menghendaki f −1 (Y 0 ) merupakan himpunan terbuka dalam (X, TX ). 15

Himpunan X itu sendiri sering dianggap sebagai ruang topologis.

1.5. RUANG TOPOLOGIS

9

Batasan 1.5.1. Fungsi d : (A)2 → R disebut sebagai metrik pada himpunan A apabila untuk semua x, y, x ∈ A berlaku • d(y, x) = d(x, y), • d(x, y) ≥ 0, di mana d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y, dan • d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z).

Bab 2

Sistem Aljabar, Aljabar Asosiatif, Modul, dan Matriks 2.1

Sistem Operasi

Apabila A merupakan himpunan tak kosong, maka pemetaan f : (A)n → A, yang memetakan a1 , . . . , an ∈ A menjadi f (a1 , . . . , an ) ∈ A, disebut sebagai operator bervalensi-n pada A. Himpunan A 6= ∅ yang disertai beberapa operator, misalnya f1 , f2 , f3 , . . . , berturut-turut bervalensi n1 , n2 , n3 , . . . , yang terdefinisi pada A, disebut sebagai sistem operasi, yang dikemas sebagai (A, f1 , f2 , f3 , . . . ), di mana himpunan A merupakan basis bagi (A, f1 , f2 , f3 , . . . ). Batasan 2.1.1. Seandainya A adalah suatu himpunan, dan (A, f1 , f2 , f3 , . . . ) merupakan sistem operasi, serta A0 merupakan himpunan bagian dari A, maka (A0 , f1 , f2 , f3 , . . . ) disebut sebagai sub-sistem-operasi dari (A, f1 , f2 , f3 , . . . ) apabila (A0 , f1 , f2 , f3 , . . . ) merupakan sistem operasi.

2.2

Sistem Aljabar Murni

Apabila A merupakan himpunan tak kosong, maka pemetaan f : (A)2 → A, yang memetakan a, b ∈ A menjadi f (a, b) := a ∗ b, disebut sebagai operasi biner pada A. Dalam hal ini, ∗ dapat dipandang sebagai f itu sendiri. Himpunan A 6= ∅ yang disertai beberapa operasi biner, misalnya ∗1 , ∗2 , ∗3 , . . . , yang terdefinisi pada A, disebut sebagai sistem (struktur) aljabar murni 1 , yang dikemas sebagai (A, ∗1 , ∗2 , ∗3 , . . . ), di mana himpunan A merupakan basis bagi (A, ∗1 , ∗2 , ∗3 , . . . ). Batasan 2.2.1. Seandainya A adalah suatu himpunan, dan (A, ∗1 , ∗2 , ∗3 , . . . ) merupakan sistem aljabar murni, serta A0 merupakan himpunan bagian dari A, maka (A0 , ∗1 , ∗2 , ∗3 , . . . ) disebut sebagai sub-sistem-aljabar-murni bagi (A, ∗1 , ∗2 , ∗3 , . . . ) apabila (A0 , ∗1 , ∗2 , ∗3 , . . . ) merupakan sistem aljabar murni. 2.2.1

Semigrup

Suatu sistem aljabar murni (S, ∗) disebut semigrup apabila operasi biner ∗ bersifat asosoatif, yaitu bahwa (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) untuk setiap a, b, c ∈ S. 2 Suatu el ∈ S disebut identitas kiri dari semigrup (S, ∗) apabila el ∗a = a untuk setiap a ∈ S. Suatu er ∈ S disebut identitas kanan dari semigrup (S, ∗) apabila a ∗ er = a untuk setiap a ∈ S. Suatu semigrup boleh saja 1

Terkadang, sistem aljabar murni disebut secara lebih ringkas sebagai sistem aljabar. Karena operasi ∗ pada semigrup (S, ∗) selalu asosiatif, maka tanda kurung pada ungkapan (a ∗ b) ∗ c maupun a ∗ (b ∗ c) boleh dihilangkan. 2

10

2.2. SISTEM ALJABAR MURNI

11

memiliki beberapa identitas kiri atau beberapa identitas kanan. Apabila semigrup (S, ∗) memiliki identitas kiri el ∈ S dan identitas kanan er ∈ S, maka el = el ∗ er = er , yang berarti bahwa el maupun er tersebut harus tunggal, sehingga apabila e ∈ S memenuhi persamaan e ∗ a = a ∗ e = a untuk setiap a ∈ S, maka e ini disebut sebagai identitas dari (S, ∗). Seandainya e ∈ S merupakan identitas dari semigrup (S, ∗), maka a−1 ∈ S disebut invers l −1 −1 kiri dari a ∈ S dalam semigrup (S, ∗) apabila al ∗ a = e, sedangkan ar ∈ S disebut invers kanan dari a ∈ S dalam semigrup (S, ∗) apabila a ∗ a−1 = e, sehingga apabila a−1 ∈ S r memenuhi persamaan a−1 ∗ a = a ∗ a−1 = e, maka a−1 ∈ S disebut sebagai invers (kebalikan) dari a ∈ S dalam semigrup (S, ∗). Apabila e ∈ S merupakan identitas dari semigrup (S, ∗), maka a ∈ S dikatakan inversibel (dapat dibalik) apabila terdapat invers bagi a tersebut. Semigrup (S, ∗) dikatakan komutatif alias abelian apabila a ∗ b = b ∗ a untuk setiap a, b ∈ S. Batasan 2.2.2. Seandainya S adalah suatu himpunan, dan (S, ∗) merupakan semigrup, serta S 0 merupakan himpunan bagian dari S, maka (S 0 , ∗) disebut sebagai subsemigrup bagi (S, ∗) apabila (S 0 , ∗) merupakan semigrup. 2.2.2

Grup

Batasan 2.2.3. Suatu semigrup (G, ∗) disebut sebagai grup (G, ∗) apabila • terdapat e ∈ G sedemikian rupa sehingga e ∗ a = a untuk semua a ∈ G, serta • terdapat a−1 ∈ G sedemikian rupa sehingga a−1 ∗ a = e untuk semua a ∈ G, di mana e ∈ G memenuhi persamaan e ∗ a = a untuk semua a ∈ G. Teorema 2.2.1. Grup (G, ∗) merupakan semigrup (G, ∗) yang memiliki identitas sedemikian rupa semua a ∈ G memiliki invers menurut operasi biner ∗. Bukti. Grup (G, ∗) merupakan semigrup (G, ∗) yang memenuhi semua syarat pada Batasan 2.2.3. Seandainya (G, ∗) merupakan semigrup, serta e merupakan identitas kiri dari (G, ∗), serta a0 ∈ G merupakan invers kiri dari a ∈ G, sedangkan a00 ∈ G merupakan invers kiri dari a0 tersebut, maka a ∗ a0 = e ∗ a ∗ a0 = a00 ∗ a0 ∗ a ∗ a0 = a00 ∗ e ∗ a0 = a00 ∗ a0 = e, sehingga dalam hal ini a0 tersebut juga merupakan invers kanan dari a tersebut. Jadi, setiap a ∈ G memiliki invers dalam semigrup (G, ∗). Apabila e merupakan identitas kiri dari semigrup (G, ∗), serta a−1 ∈ G merupakan invers dari a ∈ G dalam semigrup (G, ∗), maka karena a ∗ e = a ∗ a−1 ∗ a = e ∗ a = a, tentu saja e tersebut juga merupakan identitas kanan dari semigrup (G, ∗). Sebaliknya, apabila semigrup (G, ∗) memiliki identitas sedemikian rupa sehingga semua a ∈ G memiliki invers menurut operasi biner ∗, maka tentu saja semigrup (G, ∗) memenuhi semua syarat pada Batasan 2.2.3. Apabila G merupakan sebuah himpunan, di mana (G, ∗) merupakan sebuah grup, maka invers dari g ∈ G dapat dinyatakan sebagai g −1∗ ∈ G, sedangkan identitas dari (G, ∗) dapat dinyatakan sebagai e∗ . 3 Teorema 2.2.2. Seandainya G merupakan sebuah himpunan, di mana (G, ∗) merupakan sebuah grup, maka untuk setiap a, b ∈ G, berlaku kaitan (a ∗ b)−1∗ = b−1∗ ∗ a−1∗ . Bukti. Karena a ∗ b = a ∗ b, maka a−1∗ ∗ a ∗ b = e∗ ∗ b = b, lalu b−1∗ a−1∗ ∗ a ∗ b = b−1∗ ∗ b = e∗ , padahal (a ∗ b)−1∗ ∗ a ∗ b = e∗ juga, sehingga (a ∗ b)−1∗ = b−1∗ a−1∗ . Demikian pula, karena a ∗ b = a ∗ b, maka a ∗ b ∗ b−1∗ = a ∗ e∗ = a, lalu a ∗ b ∗ b−1∗ ∗ a−1∗ = a ∗ a−1∗ = e∗ , padahal a ∗ b ∗ (a ∗ b)−1∗ = e∗ juga, sehingga (a ∗ b)−1∗ = b−1∗ ∗ a−1∗ . 3

Sebenarnya notasi semacam ini tidak lazim.

12

BAB 2. SISTEM ALJABAR, ALJABAR ASOSIATIF, MODUL, DAN MATRIKS

Batasan 2.2.4. Seandainya G adalah suatu himpunan, dan (G, ∗) merupakan grup, serta G0 merupakan himpunan bagian dari G, maka (G0 , ∗) disebut sebagai subgrup bagi (G, ∗) apabila (G0 , ∗) merupakan grup. 2.2.3

Gelanggang (Ring)

Sistem aljabar murni (R, +, ·) disebut sebagai gelanggang (ring) apabila • (R, +) merupakan grup komutatif, • (R, ·) merupakan semigrup, serta • operasi biner · bersifat distributif kiri-kanan terhadap operasi biner +, yaitu bahwa a · (b + c) = (a · b) + (a · c) dan (a + b) · c = (a · c) + (b · c) untuk setiap a, b, c ∈ R. Di sini, + dan · berturut-turut merupakan operasi penjumlahan dan perkalian pada gelanggang (R, +, ·). Dalam hal ini, identitas dari grup komutatif (R, +) biasanya ditulis sebagai 0, yang disebut sebagai unsur nol dari gelanggang (R, +, ·). Invers dari a ∈ R dalam grup komutatif (R, +) biasanya ditulis sebagai −a, di mana a + (−a) = 0. Tentu saja, −0 = 0. Selain itu, dapat juga didefinisikan operasi pengurangan, yaitu −, pada gelanggang (R, +, ·), sedemikian rupa sehingga a − b := a + (−b). Oleh karena itu, 0 = a − a untuk setiap a ∈ R. Teorema 2.2.3. Apabila R merupakan sebuah himpunan, serta (R, +, ·) merupakan sebuah gelanggang, maka untuk semua a, b, c ∈ R, berlaku 1. a · 0 = 0 = 0 · a, 2. a · (−b) = −(a · b) = (−a) · b, 3. a · (b − c) = (a · b) − (a · c), dan 4. (a − b) · c = (a · c) − (a · b). Bukti. Karena a · b = a · (b + 0) = (a · b) + (a · 0), maka a · 0 = 0. Karena a · b = (a + 0) · b = (a · b) + (0 · b), maka 0 · b = 0. Jadi, a · 0 = 0 = 0 · a. Karena a · 0 = 0, maka a · (b + (−b)) = (a · b) + (a · (−b)) = 0, sehingga a · (−b) = −(a · b). Karena 0 · b = 0, maka (a+(−a))·b = (a·b)+((−a)·b), sehingga (−a)·b = −(a·b). Jadi, a·(−b) = −(a·b) = (−a)·b. Oleh karena itu, a·(b−c) = a·(b+(−c)) = (a·b)+(a·(−b)) = (a·b)+(−(a·b)) = (a·b)−(a·b), serta (a − b) · c = (a + (−b)) · c = (a · c) + ((−b) · c) = (a · c) + (−(b · c)) = (a · c) − (b · c). Apabila semigrup (R, ·) ternyata memiliki identitas 1 ∈ R, maka gelanggang (R, +, ·) dikatakan memiliki unsur 1 ∈ R di mana 1 · a = a · 1 = a untuk setiap a ∈ R. Batasan 2.2.5. Gelanggang (R, +, ·) dikatakan komutatif apabila semigrup (R, ·) merupakan grup komutatif. Batasan 2.2.6. Gelanggang (R, +, ·) dikatakan beridentitas apabila semigrup (R, ·) memiliki identitas. Batasan 2.2.7. Apabila R merupakan sebuah himpunan di mana (R, +, ·) merupakan gelanggang komutatif, maka setiap r ∈ R disebut sebagai skalar. Batasan 2.2.8. Gelanggang (R, +, ·) disebut sebagai gelanggang divisi apabila semigrup (R − {0}, ·) merupakan grup. Gelanggang divisi (R, +, ·) disebut sebagai lapangan apabila grup (R − {0}, ·) komutatif.

2.3. ALJABAR ASOSIATIF

13

Apabila (F, +, ·) merupakan sebuah lapangan dengan unsur nolnya dan unsur satunya berturut-turut adalah 0 ∈ F dan 1 ∈ F , maka invers dari a ∈ F , maka invers dari a ∈ F −{0} dapat dinyatakan sebagai a−1 ∈ F −{0} di mana a−1 ·a = a·a−1 = 1 untuk setiap a ∈ F −{0}. Oleh karena itu, dapat didefinisikan ungkapan pembagian pada lapangan (F, +, ·) sedemikian rupa sehingga a/b := b−1 · a ≡ a · b−1 untuk setiap a ∈ F dan b ∈ F − {0}. Masalah 2.2.1. Apakah gelanggang (Q, +, ·), di mana + dan · berturut-turut merupakan operasi penjumlahan dan perkalian biasa, merupakan lapangan? Batasan 2.2.9. Seandainya R1 dan R2 merupakan dua buah himpunan, di mana (R1 , ⊕1 , 1 ) dan (R2 , ⊕2 , 2 ) merupakan dua buah gelanggang, maka pemetaan f : R1 → R2 disebut sebagai homomorfisme gelanggang apabila f (r⊕1 s) = f (r)⊕2 f (s) dan f (r 1 s) = f (r) 2 f (s) untuk setiap r, s ∈ R1 .

2.3

Aljabar Asosiatif

Seandainya (A, ⊕, ) merupakan sebuah gelanggang, dan (R, +, ·) merupakan gelanggang komutatif dengan identitas 1R , maka ((A, ⊕, ), (R, +, ·), ◦) disebut sebagai aljabar asosiatif 4 di atas gelanggang komutatif (R, +, ·), alias aljabar-R, 5 apabila terdapat pemetaan f : R × A → A : (α, x) 7→ α ◦ x sedemikian rupa sehingga • (α + β) ◦ x = (α ◦ x) ⊕ (β ◦ x) untuk semua α, β ∈ R dan x ∈ A, • α ◦ (x ⊕ y) = (α ◦ x) ⊕ (α ◦ y) untuk semua α ∈ R dan x, y ∈ A, • (α · β) ◦ x = α ◦ (β ◦ x) untuk semua α, β ∈ R dan x ∈ A, • 1R ◦ x = x untuk semua x ∈ A, serta • α ◦ (x y) = (α ◦ x) y = x (α ◦ y) untuk semua α ∈ R dan x, y ∈ A. Pemetaan f : R×A → A : (α, x) 7→ α◦x yang memenuhi kelima syarat tersebut disebut sebagai perkalian dengan skalar. Apabila gelanggang (A, ⊕, ) tadi beridentitas, maka aljabar ((A, ⊕, ), (R, +, ·), ◦) tadi dikatakan unital. Apabila gelanggang (A, ⊕, ) tadi komutatif, maka aljabar ((A, ⊕, ), (R, +, ·), ◦) tadi dikatakan komutatif. Batasan 2.3.1. Apabila ((A, ⊕, ), (F, +, ·), ◦) adalah aljabar di atas gelanggang (F, +, ·), di mana gelanggang (F, +, ·) merupakan lapangan, maka ((A, ⊕, ), (F, +, ·), ◦) disebut sebagai aljabar asosiatif di atas lapangan (F, +, ·).

2.4

Modul

Seandainya (R, +, ·) merupakan sebuah gelanggang, serta (M, ⊕) merupakan sebuah grup komutatif, maka ((M, ⊕), (R, +, ·), ◦) disebut sebagai modul-R kiri alias modul kiri di atas gelanggang (R, +, ·) apabila terdapat pemetaan f : R × M → M (α, m) 7→ α ◦ m sedemikian rupa sehingga • r ◦ (m ⊕ n) = (r ◦ m) ⊕ (r ◦ n) untuk setiap r ∈ R dan m, n ∈ M , • (r + s) ◦ m = (r ◦ m) ⊕ (s ◦ m) untuk setiap r, s ∈ R dan m ∈ M , serta 4

Barangkali, aljabar asosiatif itu dapat dikatakan secara lebih ringkas sebagai aljabar. Dalam hal ini, biasanya, (A, ⊕, ) itu sendiri disebut sebagai aljabar asosiatif di atas (R, +, ·). Bahkan, apabila himpunan A dan R serta operasi biner ⊕, , +, ·, dan ◦ tersebut telah biasa dipakai, maka sering kali himpunan A itu sendiri dikatakan sebagai R-aljabar. 5

14


• (r · s) ◦ m = r ◦ (s ◦ m) untuk setiap r, s ∈ R dan m ∈ M . Apabila ternyata (R, +, ·) memiliki identitas 1 ∈ R, maka agar supaya ((M, ⊕), (R, +, ·), ◦) dapat disebut sebagai R-modul kiri, haruslah dipenuhi syarat bahwa • 1 ◦ m = m untuk setiap m ∈ M . Pemetaan f : R × M → M : (r, m) 7→ r ◦ m yang memenuhi ketiga syarat pertama disertai syarat khusus tambahan tersebut, disebut sebagai perkalian dengan skalar. Batasan 2.4.1. Apabila ((V, ⊕), (F, +, ·), ◦) adalah modul kiri di atas gelanggang (F, +, ·), di mana gelanggang (F, +, ·) merupakan lapangan, maka ((V, ⊕), (F, +, ·), ◦) disebut sebagai ruang vektor di atas lapangan (F, +, ·). Batasan 2.4.2. Apabila V dan F merupakan himpunan di mana ((V, ⊕), (F, +, ·), ◦) merupakan ruang vektor di atas lapangan (F, +, ·), maka semua v ∈ V disebut sebagai vektor. Batasan 2.4.3. Seandainya V 0 merupakan himpunan bagian dari himpunan V , sedemikian rupa sehingga ((V, ⊕), (F, +, ·), ◦) merupakan ruang vektor di atas lapangan (F, +, ·), maka ((V 0 , ⊕), (F, +, ·), ◦) disebut sebagai sub-ruang-vektor dari ruang vektor ((V, ⊕), (F, +, ·), ◦) apabila ((V 0 , ⊕), (F, +, ·), ◦) merupakan ruang vektor. Batasan 2.4.4. Seandainya V1 , V2 , dan F merupakan himpunan sedemikian rupa sehingga ((V1 , ⊕1 ), (F, +, ·), ◦1 ) dan ((V2 , ⊕2 ), (F, +, ·), ◦2 ) merupakan dua buah ruang vektor di atas lapangan (F, +, ·), maka pemetaan f : V1 → V2 disebut sebagai pemetaan linier apabila (( dom f, ⊕1 ), (F, +, ·), ◦1 ) merupakan sub-ruang-vektor dari ((V1 , ⊕1 ), (F, +, ·), ◦1 ), serta f ((α ◦1 v) ⊕1 (β ◦1 w)) = (α ◦2 f (v)) ⊕2 (β ◦2 f (w)) untuk setiap v, w ∈ dom f ⊆ V1 dan α, β ∈ F . Batasan 2.4.5. Seandainya V dan F merupakan himpunan sedemikian rupa sehingga ((V, ⊕), (F, +, ·), ◦) merupakan ruang vektor di atas lapangan (F, +, ·), maka pemetaan f : V → F disebut sebagai fungsi linier apabila (( dom f, ⊕), (F, +, ·), ◦) merupakan subruang-vektor dari ((V, ⊕), (F, +, ·), ◦), serta f ((α ◦ v) ⊕ (β ◦ w)) = (α · f (v)) + (β · f (w)) untuk setiap v, w ∈ dom f ⊆ V dan α, β ∈ F . Ruang vektor ((V ∗ , ⊕∗ ), (F, +, ·), ◦∗ ), dengan V ∗ := {f | f : V → F pemetaan linier}, disebut ruang vektor jodoh bagi ((V, ⊕), (F, +, ·), ◦), di mana operasi ⊕∗ dan ◦∗ didefinisikan sedemikian rupa sehingga (f1 ⊕∗ f2 )(v) = f1 (v) ⊕ f2 (v) dan (α ◦∗ f )(v) = α ◦ f (v) untuk setiap f1 , f2 , f ∈ V ∗ , v ∈ V , dan α ∈ F . Batasan 2.4.6. Seandainya V dan V 0 merupakan himpunan di mana ((V, ), (F, +, ·), ◦) dan ((V 0 , 0 ), (F, +, ·), ◦0 ) merupakan ruang vektor di atas lapangan (F, +, ·), maka pemetaan f : (V )n → V 0 disebut sebagai pemetaan linier berderajat n apabila f (v1 , . . . , vj wj , . . . , vn ) = f (v1 , . . . , vn ) 0 f (v1 , . . . , wj , . . . , vn ) dan f (α ◦ v1 , . . . , α ◦ vn ) = α ◦0 f (v1 , . . . , vn ) untuk setiap (v1 , . . . , vn ), (v1 , . . . , wj , . . . , vn ) ∈ dom f untuk setiap j ∈ {1, . . . , n}, serta untuk setiap α ∈ F . Batasan 2.4.7. Seandainya V dan F merupakan himpunan di mana ((V, ), (F, +, ·), ◦) merupakan ruang vektor di atas lapangan (F, +, ·), maka pemetaan f : (V )n → F disebut sebagai forma-n apabila f (v1 , . . . , vj wj , . . . , vn ) = f (v1 , . . . , vn ) + f (v1 , . . . , wj , . . . , vn ) dan f (α ◦ v1 , . . . , α ◦ vn ) = α · f (v1 , . . . , vn ) untuk setiap (v1 , . . . , vn ), (v1 , . . . , wj , . . . , vn ) ∈ dom f untuk setiap j ∈ {1, . . . , n}, serta untuk setiap α ∈ F .

2.5. FORMALISME MATRIKS

2.5

15

Formalisme Matriks

Apabila (R, +, ·) merupakan sebuah gelanggang, serta ab := a · b ∈ R untuk setiap a, b ∈ R, maka dapat didefinisikan suatu matriks A berlarik m × n dengan m, n ∈ N, yaitu   a11 . . . a1n ..  , .. A =  ... . . am1 . . . amn di mana unsur (elemen) baris ke-j kolom ke-k dari matriks A tersebut adalah (A)jk = ajk ∈ R. Himpunan semua matriks m × n, yang unsur-unsurnya merupakan anggota dari himpunan R, dinyatakan sebagai Ml(m × n, R), di mana Ml(n, R) := Ml(n × n, R). Dua buah matriks A, B ∈ Ml(m × n, R) dikatakan sama, yaitu A = B, apabila (A)jk = (B)jk untuk setiap j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , n}, serta dikatakan tidak sama, yaitu A 6= B, apabila terdapat j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , n} sedemikian rupa sehingga (A)jk 6= (B)jk . Transpos dari matriks A ∈ Ml(m × n, R) adalah matriks AT ∈ Ml(n × m, R) sedemikian rupa sehingga (AT )jk = (A)kj untuk setiap j ∈ {1, . . . , n} dan k ∈ {1, . . . , m}. Karena untuk semua j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , n} serta A ∈ Ml(m × n, R), berlaku ((AT )T )jk = (AT )kj = (A)jk , maka (AT )T = A. Konjugat dan konjugat Hermite dari matriks A ∈ Ml(m × n, C) berturutturut adalah A∗ ∈ Ml(m × n, C) dan A† ∈ Ml(n × m, C) sedemikian rupa sehingga (A∗ )jk = (A)∗jk dan (A† )kj = (A)∗jk untuk setiap j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , n}. Untuk semua j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , n} serta A ∈ Ml(m × n, C), berlaku ((A∗ )∗ )jk = (A∗ )∗jk = ((A)∗jk )∗ = (A)jk serta ((A† )† )jk = (A† )∗kj = ((A)∗jk )∗ = (A)jk , sehingga (A∗ )∗ = A serta (A† )† = A. Untuk semua j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , n} serta A ∈ Ml(m × n, C), berlaku ((AT )∗ )jk = (AT )∗jk = (A)∗kj = (A† )jk = (A∗ )kj P = ((A∗ )T )jk , maka (AT )∗ = A† = (A∗ )T . Lacak dari matriks A ∈ Ml(n, R) adalah Tr A := nj=1 (A)jj ∈ R. Apabila (R, +, ·) merupakan gelanggang komutatif, maka determinan dari matriks A ∈ Ml(n, R) biasa ditulis sebagai (A)11 . . . (A)1n .. ∈ R, .. det A ≡ ... . . (A) . . . (A) n1 nn yang nilainya didefinisikan sebagai det A :=

n X

j1 ...jn (A)1j1 . . . (A)njn =

j1 ,...,jn =1

=

1 n! j

n X

j1 ...jn (A)j1 1 . . . (A)jn n

j1 ,...,jn =1 n X

j1 ...jn k1 ...kn (A)j1 k1 . . . (A)jn kn ∈ R.

1 ,...,jn ,k1 ,...,kn =1

Apabila (R, +, ·) merupakan gelanggang, maka perkalian matriks A ∈ Ml(m × n, R) dengan α ∈ R dari kiri [dari kanan] menghasilkan matriks αA ∈ Ml(m × n, R) [Aα ∈ Ml(m × n, R)] di mana (αA)jk = α(A)jk [(Aα)jk = (A)jk α] untuk setiap j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , n}. Apabila (R, +, ·) merupakan gelanggang, maka untuk semua j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , n} serta A ∈ Ml(m × n, R) dan α ∈ R, berlaku ((αA)T )jk = (αA)kj = α(A)kj = α(AT )jk = (αAT )jk sehingga (αA)T = αAT . Mengingat (C, +, ·) merupakan gelanggang, maka untuk semua j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , n} serta A ∈ Ml(m × n, C) dan α ∈ R, berlaku ((αA)∗ )jk = (αA)∗jk = (α(A)jk )∗ = α∗ (A)∗jk = α∗ (A∗ )jk = (α∗ A∗ )jk serta ((αA)† )kj = (αA)∗jk = (α(A)jk )∗ = α∗ (A)∗jk = α∗ (A† )kj = (α∗ A† )kj sehingga (αA)∗ = α∗ A∗ serta (αA)† = α∗ A† . Apabila (R, +, ·) merupakan gelanggang, maka tentu saja (R, +) merupakan grup

16


komutatif, sehingga dapat didefinisikan penjumlahan dua buah matriks A, B ∈ Ml(m×n, R), yaitu A+B ∈ Ml(m×n, R) sedemikian rupa sehingga (A+B)jk = (A)jk +(B)jk . Penjumlahan dua buah matriks bersifat komutatif. Untuk setiap A, B ∈ Ml(m × n, R) serta j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , n}, berlaku ((A + B)T )jk = (A + B)kj = (A)kj + (B)kj = (AT )jk + (BT )jk = (AT + BT )jk sehingga (A + B)T = AT + BT . Untuk setiap A, B ∈ Ml(m × n, C) serta j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , n}, berlaku ((A + B)∗ )jk = (A + B)∗jk = ((A)jk + (B)jk )∗ = (A)∗jk + (B)∗jk = (A∗ )jk + (B∗ )jk = (A∗ + B∗ )jk sehingga (A + B)∗ = A∗ + B∗ , serta (A + B)† = ((A + B)T )∗ = (AT + BT )∗ = (AT )∗ + (BT )∗ = A† + B† . Matriks nol 0 ∈ Ml(m × n, R) didefinisikan sedemikian rupa sehingga (0)jk = 0 untuk semua j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , n}, di mana A + 0 = A untuk semua A ∈ Ml(m × n, R). Lawan dari matriks A ∈ Ml(m × n, R) adalah matriks −A ∈ Ml(m × n, R) sedemikian rupa sehingga (−A)jk = −(A)jk untuk semua j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , n}. Matriks A ∈ Ml(m × n, R) dikatakan setangkup apabila AT = A, serta dikatakan anti-setangkup apabila AT = −A. Matriks A ∈ Ml(m×n, C) disebut sebagai matriks nyata apabila A∗ = A, serta disebut sebagai matriks khayal apabila A∗ = −A. Matriks A ∈ Ml(m × n, C) dikatakan hermitean apabila A† = A, serta dikatakan anti-hermitean apabila A† = −A. Apabila (R, +, ·) merupakan gelanggang, maka tentu saja (R, ·) merupakan semigrup, sehingga dapat didefinisikan perkalian matriks A ∈ Ml(m × n, R) dengan matriks B ∈ Ml(n Pn × p, R), yaitu AB ∈ Ml(m × p, R), didefinisikan sedemikian rupa sehingga (AB)jk = l=1 (A)jl (B)lk untuk semua j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , p}. Perkalian suatu matriks A ∈ Ml(n, R) dengan dirinya sendiri sebanyak n faktor, biasa ditulis sebagai An ∈ Ml(n, R). Apabila (R, +, ·) merupakan gelanggang komutatif, maka untuk setiap A ∈ Ml(m × n, R) dan B ∈ Ml(n ((AB)T )jk = (AB)kj = Pnj ∈ T{1, . . .T, m} danT kT∈ {1, . . . , p}, berlaku Pn × p, R), serta T T T l=1 (B )jl (A )lk = (B A )jk , sehingga (AB) = B A . Karena (C, +, ·) l=1 (A)kl (B)lj = merupakan gelanggang komutatif, maka untuk setiap A ∈ Ml(m×n, C) dan PB ∈ Ml(n×p, C), serta j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , p}, berlaku ((AB)∗ )jk = (AB)∗jk = ( nl=1 (A)jl (B)lk )∗ = Pn Pn ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ † ∗ ∗ l=1 (A )jl (B )lk = (A B )jk sehingga (AB) = A B , serta (AB) = l=1 (A)jl (B)lk = ((AB)T )∗ = (BT AT )∗ = (BT )∗ (AT )∗ = B† A† . Apabila gelanggang (R, +, ·) memiliki unsur satu 1 ∈ R, maka matriks identitas 1 ∈ Ml(n, R) didefinisikan sedemikian rupa sehingga (1)jk = δjk untuk setiap j, k ∈ {1, . . . , n}, di mana 1A = A ∈ Ml(n × p, R) untuk setiap A ∈ Ml(n × p, R), serta B1 = B ∈ Ml(m × n, R) untuk setiap B ∈ Ml(m × n, R). Apabila (R, +, ·) merupakan gelanggang komutatif beridentitas, maka swanilai dari matriks A ∈ Ml(n, R) adalah semua µA ∈ R sedemikian rupa sehingga det(A − µA 1) = 0, sedangkan swavektor dari swanilai µA tersebut adalah semua matriks B ∈ Ml(n × p, R) sedemikian rupa sehingga AB = µA B, atau semua matriks C ∈ Ml(m × n, R) sedemikian rupa sehingga CA = µA C. Invers dari matriks A ∈ Ml(m × n, R) adalah matriks A−1 ∈ Ml(n × m, R) sedemikian rupa sehingga A−1 A = 1n ∈ Ml(n, R) serta AA−1 = 1m ∈ Ml(m, R), sehingga tentu saja (A−1 )−1 = A. Karena untuk setiap A ∈ Ml(m × n, R), B ∈ Ml(n, R), dan C ∈ Ml(n × p, R), serta untuk setiap j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , p}, berlaku ((AB)C)jk =

n X l=1

(AB)jl (C)lk =

n X

(A)jq (B)ql (C)lk =

l,q=1

n X

(A)jq (BC)qk = (A(BC))jk ,

q=1

maka dapat dikatakan (AB)C = A(BC), sehingga tanda kurung pada ungkapan terakhir ini boleh dihilangkan mengingat perkalian matriks ternyata bersifat asosiatif. Karena AB = AB untuk setiap A ∈ Ml(m × n, R) dan B ∈ Ml(n × p, R), maka A−1 AB = 1n B = B, lalu B−1 A−1 AB = B−1 B = 1p , padahal (AB)−1 AB = 1p , sehingga (AB)−1 = B−1 A−1 . Karena AB = AB untuk setiap A ∈ Ml(m × n, R) dan B ∈ Ml(n × p, R), maka ABB−1 = A1n = A, lalu ABB−1 A−1 = AA−1 = 1m , padahal AB(AB)−1 = 1m , sehingga (AB)−1 = B−1 A−1 . Karena

2.5. FORMALISME MATRIKS

17

untuk setiap A ∈ Ml(m × n, R) dan B, C ∈ P Ml(n × p, R), serta untuk Pn setiap j ∈ {1, . . . , m} n dan (A(B + C))jk = l=1 (A)jl (B + C)lk = l=1 (A)jl ((B)lk + (C)lk ) = Pn k ∈ {1, . . . , p}, Pberlaku n (A) (B) + (A) (C) jl lk jl lk = (AB)jk + (AC)jk = (AB + AC)jk , maka dapat dikatakan l=1 l=1 A(B + C) = AB + AC. Karena untuk setiap A, B ∈ Ml(m × n, R) dan C ∈ × p, R), serta PMl(n n untuk setiap j ∈ {1, . . . , m} dan k ∈ {1, . . . , p}, berlaku ((A+B)C) = (A+B) jk jl (C)lk = l=1 P Pn Pn l=1 ((A)jl +(B)jl )(C)lk = l=1 (A)jl (C)lk + l=1 (B)jl (C)lk = (AC)jk +(BC)jk = (AC+BC)jk , maka dapat dikatakan (A + B)C = AC + BC. Apabila (R, +, ·) merupakan gelanggang, maka Pn Pn T T untuk setiap A, B ∈ Ml(n, R) dan α ∈ R, berlaku Tr (A ) = j=1 (A )jj = j=1 (A)jj = P P P P Tr A dan Tr (A + B) = nj=1 (A + B)jj = nj=1 ((A)jj + (B)jj ) = nj=1 (A)jj + nj=1 (B)jj = P P Tr A + Tr B, serta Tr (αA) = nj=1 (αA)jj = α nj=1 (A)jj = α Tr A, dan n X

T

det(A ) =

T

n X

T

j1 ...jn (A )j1 1 . . . (A )jn n =

j1 ,...,jn =1

j1 ...jn (A)1j1 . . . (A)njn = det A.

j1 ,...,jn =1

Apabila (R, +, ·) merupakan gelanggang komutatif, maka untuk setiap A, B ∈ Ml(n, R) dan α ∈ R, berlaku Tr (AB) =

n X

(AB)jj =

j=1

(A)jk (B)kj =

j,k=1

n X

det(αA) =

n X

n X

(B)kj (A)jk =

k,j=1

(BA)kk = Tr (BA),

k=1

n X

j1 ...jn (αA)j1 1 . . . (αA)jn n =

j1 ,...,jn =1 n X n

n X

j1 ...jn α(A)j1 1 . . . α(A)jn n

j1 ,...,jn =1

j1 ...jn (A)j1 1 . . . (A)jn n = αn det A,

= α

j1 ,...,jn =1

n X

det(AB) = = =

j1 ...jn (AB)j1 1 . . . (AB)jn n

j1 ,...,jn =1 n X

j1 ...jn (A)j1 k1 (B)k1 1 . . . (A)jn kn (B)kn n

j1 ,...,jn ,k1 ,...,kn =1 n X

j1 ...jn (A)j1 k1 . . . (A)jn kn (B)k1 1 . . . (B)kn n

j1 ,...,jn ,k1 ,...,kn =1 n X

= (det A)

k1 ...kn (B)k1 1 . . . (B)kn n = (det A)(det B).

k1 ,...,kn =1

Karena (C, +, ·) merupakan gelanggang, maka untuk setiap A ∈ Ml(n, C), berlaku Tr (A∗ ) = P P P n n n ∗ † T ∗ T ∗ ∗ ∗ ∗ j=1 (A )jj = j=1 (A)jj = ( j=1 (A)jj ) = ( Tr A) dan Tr (A ) = Tr ((A ) ) = ( Tr (A )) = ( Tr A)∗ = Tr (A∗ ), serta ∗

det(A ) =

n X

∗

∗

j1 ...jn (A )j1 1 . . . (A )jn n =

j1 ,...,jn =1

=

n X j1 ,...,jn =1

n X

j1 ...jn (A)∗j1 1 . . . (A)∗jn n

j1 ,...,jn =1

!∗ j1 ...jn (A)j1 1 . . . (A)jn n

= (det A)∗ ,

18


dan det(A† ) = det((AT )∗ ) = (det(AT ))∗ = (det A)∗ = det(A∗ ). Apabila (R, +, ·) merupakan gelanggang komutatif, maka minor dari unsur (A)jk milik suatu matriks A ∈ Ml(n, R) dinyatakan sebagai min(A)jk ∈ R yang merupakan determinan suatu matriks A0jk ∈ Ml(n − 1, R) yang diperoleh dari matriks A ∈ P Ml(n, R) yang unsur-unsur padaPbaris ke-j kolom ke-k -nya n n j+k j+k dihilangkan, sehingga det A = (A)jk min(A)jk = (A)kj min(A)kj j=1 (−1) j=1 (−1) untuk salah satu k ∈ {1, . . . , n}. Apabila (F, +, ·) merupakan lapangan, maka kofaktor dari matriks A ∈ Ml(n, F ) adalah cof A ∈ Ml(n, F ) sedemikian rupa sehingga ( cof A)jk = (−1)j+k min(A)jk untuk setiap j, k ∈ {1, . . . , n}, sedangkan adjoin dari matriks A tersebut adalah adj A := ( cof A)T , di mana ternyata A−1 = adj A/ det A, sehingga karena A−1 A = AA−1 = 1, maka ( adj A)A = A( adj A) = (det A)1. Apabila (F, +, ·) merupakan lapangan, maka biasanya didefinisikan beberapa himpunan matriks yang memiliki sifat tertentu, yaitu • Gl(n, F ) := {A ∈ Ml(n, F ) | det A 6= 0} yang merupakan himpunan matriks umum, • Sl(n, F ) := {A ∈ Gl(n, F ) | det A = 1} yang merupakan himpunan matriks khusus, • O(n) := {A ∈ Gl(n, R) | AT = A−1 } yang merupakan himpunan matriks ortogonal, • U(n) := {A ∈ Gl(n, C) | A† = A−1 } yang merupakan himpunan matriks uniter, • SO(n) := Sl(n, R) ∩ O(n) yang merupakan himpunan matriks ortogonal khusus, • SU(n) := Sl(n, C) ∩ U(n) yang merupakan himpunan matriks uniter khusus, • dan sebagainya.

Bab 3

Lapangan Nyata Gelanggang (R, +, ·), dengan + dan · berturut-turut merupakan operasi penjumlahan dan perkalian biasa pada R, ternyata merupakan lapangan, di mana ab := a · b untuk setiap a, b ∈ R. Unsur nol dan unsur satu dari gelanggang tersebut berturut-turut adalah 0 ∈ R dan 1 ∈ R, sehingga dapat didefinisikan operasi pengurangan − maupun operasi pembagian / sedemikian rupa sehingga a − b := a + (−b) untuk semua a, b ∈ R, serta a/b := b−1 a untuk semua a ∈ R dan b ∈ R − {0}, di mana b−1 ∈ R merupakan invers perkalian dari b ∈ R − {0} dalam lapangan (R, +, ·).

3.1

Limit Fungsi

Untuk f, g : R → R dan h : R2 → R, serta a ∈ R, berlaku • lim+ f (x) = f (a + ) untuk > 0 sekecil-kecilnya, x→a

• lim− f (x) = f (a − ) untuk > 0 sekecil-kecilnya, x→a

• lim f (x) ∈ R ada apabila lim+ f (x) = lim− f (x), x→a

x→a

x→a

• lim f (x) = f (a) apabila f (a) ∈ R ada, x→a

• lim f (g(x)) = f lim g(x) apabila lim g(x) ∈ R ada, serta x→a

x→a

x→a

• lim h(f (x), g(x)) = h lim f (x), lim g(x) apabila lim f (x) ∈ R dan lim g(x) ∈ R ada. x→a

x→a

x→a

x→a

19

x→a

Bab 4

Lapangan Kompleks 4.1

Bilangan Kompleks

Himpunan bilangan kompleks C merupakan hasil kali Cartesis antara himpunan bilangan nyata R dengan dirinya sendiri, sehingga dapat dikatakan bahwa C := R2 . Bilangan kompleks z := (x, y) ∈ C merupakan pasangan berurutan dari dua buah bilangan nyata x, y ∈ R, di mana biasanya x dan y berturut-turut merupakan bagian nyata dan bagian khayal p dari z. + Apabila x = r cos θ dan y = r sin θ, dengan r ∈ R ∪ {0R } dan θ ∈ R, maka r := x2 + y 2 dan θ := arctan2 (x, y) + 2nπ, dengan n ∈ Z, berturut-turut merupakan modulus dan argumen (sudut) dari z. Oleh karena itu, terdapat empat buah pemetaan proyeksi, yaitu Re : C → R, Im : C → R, mod : C → R+ ∪{0R }, dan arg : C → R, sedemikian rupa sehingga Re z, Im z, mod z ≡ |z|, dan arg z berturut-turut merupakan bagian nyata, bagian khayal, modulus, dan argumen p dari z, sehingga terdapat hubungan Re z = |z| cos arg z dan Im z = |z| sin arg z, serta |z| = ( Re z)2 + ( Im z)2 dan arg z := arctan2 ( Re z, Im z) + 2nπ, dengan n ∈ Z. 1 Konjugat kompleks dari z ∈ C adalah z ∗ ∈ C sedemikian rupa sehingga Re (z ∗ ) = Re (z) dan Im (z ∗ ) = − Im (z), atau dengan kata lain, |z ∗ | = |z| dan arg(z ∗ ) = − arg z. Penjumlahan dua buah bilangan kompleks a, b ∈ C, yaitu a+b ∈ C, didefinisikan sedemikian rupa sehingga Re (a+b) = Re a+ Re b dan Im (a+b) = Im a+ Im b, sedangkan perkaliannya, yaitu ab ∈ C, didefinisikan sedemikian rupa sehingga Re (ab) = Re a Re b − Im a Im b dan Im (ab) = Re a Im b + Im a Re b. 2 Terdapat pula hubungan (a + b)∗ = a∗ + b∗ ,

(ab)∗ = a∗ b∗ ,

serta |z|2 = z ∗ z.

Perkalian suatu bilangan kompleks z ∈ C dengan suatu bilangan nyata α ∈ R, yaitu αz ∈ C, didefinisikan sedemikian rupa sehingga Re (αz) = α Re z dan Im (αz) = α Im z. Himpunan {1, i} ⊂ C, dengan 1 := (1, 0) ∈ C dan i := (0, 1) ∈ C, merupakan basis alamiah pada C, sehingga untuk setiap x, y ∈ R, berlaku (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (1, 0)(x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy. Tampak pula bahwa 12 = (1, 0) = 1 dan i2 = (−1, 0) = −(1, 0) = −1. Unsur identitas dan unsur nol pada C berturut-turut adalah 1 := (1, 0) ∈ C dan 0 := (0, 0) ∈ C, sehingga untuk setiap bilangan kompleks z ∈ C, berlaku 1z = z dan z + 0 = z. Lawan dari z ∈ C adalah −z ∈ C sedemikian rupa sehingga z + (−z) = 0, sedangkan kebalikannya adalah z −1 ∈ C sedemikian rupa sehingga z −1 z = 1. Dengan demikian 0 ∈ C tidak memiliki kebalikan. 1

Nilai dari arg z tidaklah tunggal untuk setiap z ∈ C. Dapat ditunjukkan bahwa penjumlahan dan perkalian antara dua buah kompleks semacam ini bersifat komutatif maupun asosiatif, dan ternyata juga bersifat distributif kiri maupun kanan. 2

20

4.2. FUNGSI KOMPLEKS

21

Pengurangan dan pembagian pada C berturut-turut didefinisikan sedemikan rupa sehingga a−b := a+(−b) dan a/b := b−1 a untuk setiap a, b ∈ C, sehingga a−a = 0 untuk setiap a ∈ C, dan a/a = 1 untuk setiap a ∈ C − {0}. Karena C disertai konsep penjumlahan semacam tadi membentuk suatu grup penjumlahan, serta C − {0} disertai konsep perkalian semacam tadi membentuk suatu grup perkalian yang komutatif, maka C disertai konsep penjumlahan dan perkalian semacam tadi membentuk suatu lapangan, yaitu lapangan kompleks. Karena untuk setiap z ∈ C, berlaku ∞ X 1 jπ cos arg z = (arg z)j cos j! 2 j=0

dan

∞ X 1 jπ sin arg z = (arg z)j sin , j! 2 j=0

maka tentu saja ∞ X jπ 1 (i arg z)j cos2 cos arg z = j! 2 j=0

∞ X jπ 1 dan i sin arg z = (i arg z)j sin2 , j! 2 j=0

sehingga X ∞ ∞ X 1 1 j 2 jπ 2 jπ cos arg z + i sin arg z = (i arg z) cos + sin (i arg z)j = ei arg z . = j! 2 2 j! j=0 j=0

4.2

Fungsi Kompleks

Apabila S merupakan suatu himpunan tak kosong, maka semua pemetaan f : S → C merupakan fungsi kompleks. Apabila S = C, maka f tersebut merupakan fungsi pada C. 3 Fungsi fR : R → R berpadanan dengan fungsi fC : C → C, di mana ∞ X 1 (j) fC (z) := lim fR (x) z j x→0 j! j=0

(j)

dengan fR (x) :=

dj fR (x), dxj

sehingga sifat-sifat dari fC serupa dengan sifat-sifat dari fR , hanya saja, beberapa dari fC tidak bernilai tunggal, mengingat e2niπ = 1 untuk setiap n ∈ Z. Fungsi fC yang tidak bernilai tunggal ini disebut sebagai fungsi bernilai banyak, misalnya fungsi logaritma, fungsi pangkat pecahan, fungsi kebalikan trigonometri, dan sebagainya. Mengingat semua z ∈ C dapat diproyeksikan ke R, maka semua fungsi kompleks f : Cn → C dapat diproyeksikan menjadi f 0 : Cn → R. Teorema 4.2.1. Untuk semua a, θ ∈ R dan n ∈ Z, berlaku Re a = a, Im a = 0, |a| = a sgn a, a∗ = a, serta   jika a > 0 2nπ arg a = θ jika a = 0 .  (2n + 1)π jika a < 0 Teorema 4.2.2. Untuk semua a, b ∈ C dan n ∈ Z, berlaku • Re a + i Im a = |a| ei arg a = a, 3

Misalkan fungsi Ψ : Rn → C memetakan sebagian r ∈ Rn menjadi Ψ(r) ∈ C. Sering kali, demi kepraktisan, nilai Ψ(r) ini ditulis sebagai Ψ saja. Padahal Ψ(r) di sini merupakan bayangan dari r ∈ Rn di C, sedangkan Ψ itu sendiri merupakan pemetaannya, atau secara lebih khusus, merupakan fungsinya. Oleh karena itu, sering kali Ψ dan Ψ(r) disetarakan demi kepraktisan, dengan menyatakan bahwa Ψ = Ψ(r), sehingga Ψ(r0 ), yang nilainya tidak sama dengan Ψ(r), tidaklah bernilai Ψ.

22

BAB 4. LAPANGAN KOMPLEKS

• |a| =

p ( Re a)2 + ( Im a)2 dan arg a = arctan2 ( Re a, Im b) + 2nπ,

4

• Re (a∗ ) = Re a, Im (a∗ ) = − Im a, |a∗ | = |a|, arg(a∗ ) = − arg a, dan (a∗ )∗ = a, • Re (a + b) = Re a + Re b dan Im (a + b) = Im a + Im b, • Re (ab) = Re a Re b − Im a Im b dan Im (ab) = Re a Im b + Im a Re b, • |ab| = |a||b| dan arg(ab) = arg a + arg b, • a + a∗ = 2 Re a dan a − a∗ = 2i Im a, • (a + b)∗ = a∗ + b∗ , (ab)∗ = a∗ b∗ , dan |a|2 = a∗ a, • |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2( Re a Re b + Im a Im b), a a Re a Re b + Im a Im b Im a Re b − Re a Im b • Re = = dan Im , 2 2 b ( Re a) + ( Im a) b ( Re a)2 + ( Im a)2 • |a/b| = |a|/|b| dan arg(a/b) = arg a − arg b, • |ea | = |e Re a | dan arg(ea ) = Im a + arg(e Re a ), • Re ln a = Ln |a| dan Im ln a = arg a,

5

6

• |ab | = ||a| Re b e− arg a Im b | dan arg(ab ) = arg a Re b + Ln |a| Im b + arg(|a| Re b e− arg a Im b ), • Re (a log b) =

Ln |a| arg b − arg a Ln |b| Ln |a| Ln |b| + arg a arg b dan Im (a log b) = , 2 2 ( Ln |a|) + (arg a) ( Ln |a|)2 + (arg a)2

• Re sin a = sin Re a cosh Im a dan Im sin a = cos Re a sinh Im a, • Re cos a = cos Re a cosh Im a dan Im cos a = − sin Re a sinh Im a, • Re tan a =

tan Re a sech 2 Im a sec2 Re a tanh Im a dan Im tan a = , 1 + tan2 Re a tanh2 Im a 1 + tan2 Re a tanh2 Im a

• Re cot a =

cot Re a csch 2 Im a csc2 Re a coth Im a dan Im cot a = − , cot2 Re a + coth2 Im a cot2 Re a + coth2 Im a

• Re sec a =

sec Re a sech Im a sec Re a tan Re a sech Im a tanh Im a dan Im sec a = , 2 2 1 + tan Re a tanh Im a 1 + tan2 Re a tanh2 Im a

• Re csc a =

csc Re a csch Im a coth Im a csc Re a cot Re a csch Im a dan Im csc a = − , 2 2 cot Re a + coth Im a cot2 Re a + coth2 Im a

• Re sinh a = sinh Re a cos Im a dan Im sinh a = cosh Re a sin Im a, • Re cosh a = cosh Re a cos Im a dan Im cosh a = sinh Re a sin Im a, tanh Re a sec2 Im a sech 2 Re a tan Im a • Re tanh a = dan Im tanh a = , 1 + tanh Re a tan2 Im a 1 + tanh Re a tan2 Im a • Re coth a =

coth Re a csc2 Im a csch 2 Re a cot Im a dan Im coth a = − , coth2 Re a + cot2 Im a coth2 Re a + cot2 Im a

p Di sini, ( Re a)2 + ( Im a)2 selalu merupakan bilangan nyata tak negatif. 5 Dalam hal ini, arg e = 0 dianggap sebagai satu-satunya kemungkinan. 6 Fungsi Ln : R+ → R bekerja pada |a| dengan menganggap arg |a| = 0 dianggap sebagai satu-satunya kemungkinan. 4

4.2. FUNGSI KOMPLEKS

• Re sech a =

23

sech Re a sec Im a sech Re a tanh Re a sec Im a tan Im a dan Im sech a = , 2 2 1 + tanh Re a tan Im a 1 + tanh2 Re a tan2 Im a

csch Re a coth Re a csc Im a csch Re a csc Im a cot Im a dan Im csch a = − , 2 coth Re a + cot2 Im a coth2 Re a + cot2 Im a √ √ • Re arcsin a = arg(ia ± 1 − a2 ) dan Im arcsin a = − Ln |ia ± 1 − a2 |, √ √ • Re arccos a = arg(a ± a2 − 1) dan Im arccos a = − Ln |a ± a2 − 1|, r r 1 + ia 1 + ia • Re arctan a = arg dan Im arctan a = − Ln , 1 − ia 1 − ia • Re csch a =

r • Re arccot a = arg

• Re • Re • Re • Re

r a + i , a − i

√ 1 ± 1 − a2 1 − a2 , arcsec a = arg dan Im arcsec a = − Ln z z √ √ i ± a2 − 1 i ± a2 − 1 , dan Im arccsc a = − Ln arccsc a = arg a a √ √ arcsinh a = Ln |a ± a2 + 1| dan Im arcsinh a = arg(a ± a2 + 1), √ √ arccosh a = Ln |a ± a2 − 1| dan Im arccosh a = arg(a ± a2 − 1), r ! r 1 + a 1+a , arctanh a = Ln dan Im arctanh a = arg ± 1 − a 1−a

• Re

a+i dan Im arccot a = − Ln a−i

1±

√

r ! r a + 1 a+1 • Re arccoth a = Ln , dan Im arccoth a = arg ± a − 1 a−1 √ √ 1 ± 1 − a2 1 ± 1 − a2 • Re arcsech a = Ln , dan Im arcsech a = arg z z 1 ± √a2 + 1 • Re arccsch a = Ln dan Im arccsch a = arg a

1±

√

! a2 + 1 , a

• dan sebagainya. Teorema 4.2.3. Setiap ungkapan z, Re z, Im z, z ∗ , |z|, maupun arg z dapat dinyatakan secara tunggal dalam dua ungkapan selain dirinya dari ungkapan-ungkapan tersebut. Bukti. Untuk semua z ∈ C dan n ∈ Z, berlaku p Re z + i Im z = 2 Re z − z ∗ = Re z ± i |z|2 − ( Re z)2 = (1 + i tan arg z) Re z p |z|2 = 2i Im z + z ∗ = ± |z|2 − ( Im z)2 + i Im z = (cot arg z + i) Im z = ∗ z ∗ 2i arg z i arg z = z e = |z| e ,

z =

24

BAB 4. LAPANGAN KOMPLEKS

1 1 |z|2 z ∗ Re z = z − i Im z = (z + z ) = z+ = 2 2 z 1 + i tan arg z p 1 |z|2 ∗ ∗ 2 2 = z + i Im z = ± |z| − ( Im z) = Im z cot arg z = +z 2 z∗ z∗ = |z| cos arg z, = 1 − i tan arg z 1 |z|2 z 1 ∗ z− = Im z = i( Re z − z) = (z − z ) = 2i 2i z cot arg z + i 2 p 1 |z| ∗ ∗ = i(z − Re z) = ± |z|2 − ( Re z)2 = Re z tan arg z = −z 2i z ∗ z∗ = |z| sin arg z, = cot arg z − i |z|2 z ∗ = 2 Re z − z = z − 2i Im z = = z e−2i arg z = Re z − i Im z z p p = Re z ∓ i |z|2 − ( Re z)2 = (1 − i tan arg z) Re z = ± |z|2 − ( Im z)2 − i Im z = (cot arg z − i) Im z = |z| e−i arg z , p p p √ z(2 Re z − z) = z(z − 2i Im z) = zz ∗ = z e−i arg z = ( Re z)2 + ( Im z)2 p p = z ∗ (2 Re z − z ∗ ) = Re z sec arg z = z ∗ (z ∗ + 2i Im z) = Im z csc arg z = z ∗ ei arg z ,

|z| =

arg z = arctan2 ( Re z, i( Re z − z)) + 2nπ = arctan2 (z − i Im z, Im z) + 2nπ =

1 z ln ∗ 2i z

z 1 ln = arctan2 ( Re z, Im z) + 2nπ = arctan2 ( Re z, i(z ∗ − Re z)) + 2nπ i |z| Re z = ± arccos + 2nπ = arctan2 (z ∗ + i Im z, Im z) + 2nπ |z| π Im z π z∗ ± − arcsin = + 2nπ = i ln . 2 2 |z| |z|

=

Masalah 4.2.1. Seandainya untuk setiap z ∈ C didefinisikan suatu himpunan A := {z, Re z, Im z, z ∗ , |z|, arg z}, maka tentukan (∂a/∂b)c untuk semua a, b, c ∈ A.

4.3

Kalkulus pada Lapangan Kompleks

Apabila f : C → C, maka turunan ke-n dari f adalah f(n) sedemikian rupa sehingga f(n) (z) :=

7

dn d d ∆f (z) f (z) ≡ f(n−1) (z) dengan f(1) (z) := f (z) := lim , n ∆z→0 dz dz dz ∆z

di mana ∆f (z) := f (z + ∆z) − f (z). 7

Karena tampilan geometris dari C adalah berupa sebuah bidang, maka titik z ∈ C dapat didekati dari segala arah. Sedangkan ∆z = ∆ Re z + i ∆ Im z = [∆|z| + |z|(ei∆ arg z − 1)]ei arg z .

Bab 5

Formalisme dalam Mekanika Kuantum 5.1

Hasil Kali Skalar dan Norma

Andaikan H adalah suatu ruang vektor kompleks 1 , maka hasil kali skalar dua buah vektor 2 Ψ, Ψ0 ∈ H merupakan suatu skalar hΨ, Ψ0 i ∈ C, sedemikian rupa sehingga • hΨ, Ψ0 i∗ = hΨ0 , Ψi, dengan

∗

menyatakan konjugat kompleks,

• hΨ, Ψi ≥ 0, di mana hΨ, Ψi = 0 jika dan hanya jika Ψ = 0, • untuk setiap α ∈ C, berlaku hΨ, αΨ0 i = αhΨ, Ψ0 i, serta • untuk setiap Ψ00 ∈ H, berlaku hΨ, Ψ0 + Ψ00 i = hΨ, Ψ0 i + hΨ, Ψ00 i. Dapat pula didefinisikan suatu pemetaan linier Ψ† : H → C yang memetakan Ψ0 ∈ H menjadi sebuah skalar Ψ† (Ψ0 ) ≡ Ψ† Ψ0 := hΨ, Ψ0 i ∈ C. Demikian pula dapat didefinisikan suatu norma kΨk ≥ 0 sedemikian rupa sehingga kΨk2 := Ψ† Ψ ≡ hΨ, Ψi. Jarak antara Ψ dan Ψ0 adalah kΨ − Ψ0 k ≥ 0. hαΨ, Ψ0 i = hΨ0 , αΨi∗ = (αhΨ0 , Ψi)∗ = α∗ hΨ0 , Ψi∗ = α∗ hΨ, Ψ0 i. hΨ + Ψ0 , Ψ00 i = hΨ00 , Ψ + Ψ0 i∗ = (hΨ00 , Ψi + hΨ00 , Ψ0 i)∗ = hΨ, Ψ00 i + hΨ0 , Ψ00 i. kΨ + Ψ0 k2 = hΨ + Ψ0 , Ψ + Ψ0 i = hΨ, Ψi + hΨ, Ψ0 i + hΨ0 , Ψi + hΨ0 , Ψ0 i = kΨk2 + kΨ0 k2 + 2 Re hΨ, Ψ0 i. kΨ + Ψ0 k2 ≥ kΨk2 + kΨ0 k2 . kΨk

2

3

0 2 0

hΨ , Ψi 0 hΨ , Ψi 0

=

kΨ0 k2 Ψ + Ψ − kΨ0 k2 Ψ

2 |hΨ0 , Ψi|2 hΨ0 , Ψi 0 2 hΨ0 , Ψi 0 0 0

= + Ψ − Ψ + Re hΨ, Ψ i Ψ , Ψ − Ψ kΨ0 k2 kΨ0 k2 kΨk2 kΨ0 k2

2 0

|hΨ0 , Ψi|2 hΨ , Ψi 0

Ψ −

. = + Ψ

kΨ0 k2 kΨ0 k2

1

Ruang vektor kompleks merupakan ruang vektor di atas lapangan C. Di sini, suatu fungsi dianggap sebagai vektor yang merupakan anggota ruang vektor, yang dalam hal ini merupakan ruang fungsi yang memenuhi syarat sebagai ruang vektor. 3 Ini merupakan ketaksamaan segitiga. 2

25

26

BAB 5. FORMALISME DALAM MEKANIKA KUANTUM

kΨk2 ≥

|hΨ0 , Ψi|2 kΨ0 k2

alias kΨk2 kΨ0 k2 ≥ |hΨ, Ψ0 i|2 .

4

Dua buah fungsi Ψj , Ψk ∈ H dikatakan ortogonal apabila hΨj , Ψk i = 0. 5 Fungsi Ψ ∈ H dikatakan normal apabila kΨk = 1. 6 Himpunan {Ψ1 , . . . , Ψn } disebut himpunan ortogonal apabila hΨj , Ψk i = δjk kΨj k2 . Himpunan ortonormal adalah himpunan ortogonal yang semua anggotanya normal. Barisan Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , . . . , dengan Ψn ∈ H untuk semua n ∈ N, merupakan barisan Cauchy apabila kΨn+2 − Ψn+1 k < kΨn+1 −PΨn k. Apabila semua barisan Cauchy Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , . . . yang terdapat dalam H memiliki sifat ∞ j=1 Ψj ∈ H, maka H merupakan ruang vektor lengkap. • Ruang vektor H merupakan ruang Hilbert apabila H merupakan ruang vektor lengkap yang disertai konsep hasil kali skalar. • Ruang vektor H merupakan ruang Banach apabila H merupakan ruang vektor lengkap yang disertai konsep norma.

5.2

Operator dalam Ruang Hilbert

ˆ : H → H meruApabila H merupakan ruang Hilbert kompleks, maka pemetaan linier Ω 7 ˆ memetakan setiap Ψ ∈ H menjadi pakan operator yang bekerja pada H. Operator Ω 0 ˆ ˆ ˆ + ΩΨ ˆ 0 dan ΩΨ ∈ H. Untuk setiap Ψ, Ψ ∈ H dan α ∈ C, maka Ω(Ψ + Ψ0 ) = ΩΨ P n ˆ ˆ ˆ = Ω(αΨ) = α ΩΨ. Secara kongkret, ΩΨ j=1 Ωj Ψj , di mana Ωj ∈ C untuk setiap ˆ dan αΩ ˆ j ∈ {1, 2, 3, . . . , n} ⊂ N, dan {Ψ1 , . . . , Ψn } ⊂ H bebas linier. Operator Aˆ + B ˆ dengan α ∈ C, didefinisikan sedemikian rupa sehingga (Aˆ + B)Ψ ˆ = AΨ ˆ + BΨ ˆ dan serta AˆB ˆ ˆ ˆ = A( ˆ BΨ) ˆ (αΩ)Ψ = α(ΩΨ) serta (AˆB)Ψ untuk semua Ψ ∈ H. Karena ˆ C)Ψ ˆ = (AˆB)( ˆ CΨ) ˆ = A( ˆ B( ˆ CΨ)) ˆ ˆ B ˆ C)Ψ) ˆ ˆB ˆ C))Ψ ˆ ((AˆB) = A(( = (A( ˆ Cˆ = A( ˆB ˆ C). ˆ untuk semua Ψ ∈ H, maka (AˆB)

8

Karena

ˆB ˆ + C)Ψ ˆ = A( ˆ BΨ ˆ + CΨ) ˆ = AˆBΨ ˆ + AˆCΨ ˆ = (AˆB ˆ + AˆC)Ψ ˆ A( ˆB ˆ + C) ˆ = AˆB ˆ + AˆC. ˆ untuk semua Ψ ∈ H, maka A(

9

Karena

ˆ CΨ ˆ = AˆCΨ ˆ +B ˆ CΨ ˆ = (AˆCˆ + B ˆ C)Ψ ˆ (Aˆ + B) ˆ Cˆ = AˆCˆ + B ˆ C. ˆ 10 Konjugat Hermite dari operator untuk semua Ψ ∈ H, maka (Aˆ + B) ˆ adalah Ω ˆ † sedemikian rupa sehingga hΨ, ΩΨ ˆ 0 i = hΩ ˆ † Ψ, Ψ0 i alias hΩΨ, ˆ Ψ0 i = hΨ, Ω ˆ † Ψ0 i Ω ˆ † = Ω, ˆ maka Ω ˆ merupakan operator hermitean. Karena untuk setiap Ψ, Ψ0 ∈ H. Apabila Ω † † 0 † 0 † † ˆ ) Ψ, Ψ i = hΨ, Ω ˆ Ψ i, maka (Ω ˆ ) = Ω. ˆ Andaikan α ∈ C dan Ψ, Ψ0 ∈ H, maka h(Ω ˆ † Ψ, Ψ0 i = hΨ, αΩΨ ˆ 0 i = hα∗ Ψ, ΩΨ ˆ 0 i = hΩ ˆ † (α∗ Ψ), Ψ0 i = hα∗ Ω ˆ † Ψ, Ψ0 i, h(αΩ) 4

Ini merupakan ketaksamaan Schwartz. Dari definisi ke-ortogonal-an ini, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa fungsi nol ortogonal dengan sebarang fungsi, termasuk dengan dirinya sendiri, sebab hΨ, 0i = hΨ, Ψ0 − Ψ0 i = hΨ, Ψ0 i − hΨ, Ψ0 i = 0. 6 Dengan demikian ke-ortogonal-an dua buah fungsi maupun ke-normal-an sebuah fungsi bergantung pada definisi (pemilihan) jenis hasil kali skalar maupun jenis norma. 7 Barangkali, operator di sini lebih tepat disebut sebagai operator linier bervalensi-1. 8 ˆ C ˆ Ini merupakan sifat asosiatif dari perkalian operator. Karena perkalian operator bersifat asosiatif, maka (AˆB) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ maupun A(B C) dapat ditulis menjadi AB C saja. 9 Ini merupakan sifat distributif kiri dari perkalian operator. 10 Ini merupakan sifat distributif kanan dari perkalian operator. 5

5.2. OPERATOR DALAM RUANG HILBERT

27

ˆ † = α∗ Ω ˆ † . Karena untuk semua Ψ, Ψ0 ∈ H, sehingga (αΩ) ˆ † Ψ, Ψ0 i = hΨ, (Aˆ + B)Ψ ˆ 0 i = hΨ, AΨ ˆ 0 + BΨ ˆ 0 i = hΨ, AΨ ˆ 0 i + hΨ, BΨ ˆ 0i h(Aˆ + B) ˆ † Ψ, Ψ0 i = hAˆ† Ψ + B ˆ † Ψ, Ψ0 i = h(Aˆ† + B ˆ † )Ψ, Ψ0 i, = hAˆ† Ψ, Ψ0 i + hB ˆ † = Aˆ† + B ˆ †. maka (Aˆ + B) ˆ † Ψ0 i = hAˆBΨ, ˆ Ψ0 i = hBΨ, ˆ Aˆ† Ψ0 i = hΨ, B ˆ † Aˆ† Ψ0 i sehingga (AˆB) ˆ †=B ˆ † Aˆ† . hΨ, (AˆB) Operator ˆ0 merupakan operator nol apabila ˆ0Ψ = 0 untuk setiap Ψ ∈ H. Operator Iˆ ˆ = Ψ untuk setiap Ψ ∈ H. Karena IˆΩΨ ˆ = ΩΨ ˆ merupakan operator identitas apabila IΨ ˆ IΨ ˆ = ΩΨ ˆ untuk setiap Ψ ∈ H, maka IˆΩ ˆ =Ω ˆ Iˆ = Ω. ˆ Kebalikan dari Ω ˆ adalah Ω ˆ −1 dan Ω ˆΩ ˆ −1 = Ω ˆ −1 Ω ˆ = I. ˆ Apabila Ω ˆ = I, ˆ maka haruslah IÎˆ−1 = sedemikian rupa sehingga Ω −1 −1 ˆ sehingga Iˆ = I. ˆ Operator Ω ˆ merupakan operator uniter apabila Ω ˆ† = Ω ˆ −1 alias Iˆ Iˆ = I, ˆ †Ω ˆ = I, ˆ atau dengan kata lain apabila hΨ, Ω ˆ † ΩΨ ˆ 0 i = hΨ, IΨ ˆ 0 i alias hΩΨ, ˆ ΩΨ ˆ 0 i = hΨ, Ψ0 i Ω 0 0 0 0 † ˆ Ψ i = hΨ, Ψ i = hΨ, IΨ ˆ i = hIˆ Ψ, Ψ0 i untuk setiap untuk setiap Ψ, Ψ ∈ H. Mengingat hIΨ, ˆ Apabila Aˆ := B ˆ C, ˆ maka untuk setiap Ψ ∈ H berlaku AΨ ˆ =B ˆ CΨ ˆ Ψ, Ψ0 ∈ H, maka Iˆ† = I. −1 ˆ −1 ˆ ˆ −1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ sehingga B AΨ = B B CΨ ≡ I CΨ ≡ CΨ, yang berarti C = B A. Apabila untuk ˆ 0 , maka Ψ0 = (αΩ) ˆ −1 Ψ = α−1 Ω ˆ −1 Ψ, sehingga α ∈ C dan Ψ, Ψ0 ∈ H, berlaku Ψ = α ΩΨ ˆ −1 = α−1 Ω ˆ −1 . Andaikan AˆBΨ ˆ = Ψ0 maka Ψ = (AˆB) ˆ −1 Ψ0 . Padahal BΨ ˆ = Aˆ−1 Ψ0 , lalu (αΩ) ˆ −1 = B ˆ −1 Aˆ−1 . ˆ −1 Aˆ−1 Ψ0 . Oleh karena itu, (AˆB) Ψ=B ˆ merupakan operator pada H, Andaikan f : C → C merupakan fungsi pada C dan Ω ˆ boleh didefinisikan sebagai maka operator f (Ω) ∞ X 1 ˆj fj (x) Ω x→0 j! j=0

ˆ := lim f (Ω)

dengan fj (x) :=

dj f (x) , dxj

meskipun sebenarnya fungsi f tersebut memetakan bilangan kompleks. Contoh 5.2.1. Andaikan Ψ, Ψ0 ∈ H bergantung pada x, di mana H berisi semua f (x) sedemikian rupa sehingga f (x± ) = 0, dan dipilih jenis hasil kali skalar sebagai Z x+ 0 hΨ, Ψ i = K Ψ∗ Ψ0 dx, x−

dengan K adalah tetapan, maka * + Z x+ † d d 0 dΨ0 0 Ψ, Ψ = Ψ, Ψ = K Ψ∗ dx dx dx dx x− Z x+ Z x+ d dΨ∗ 0 ∗ 0 = K (Ψ Ψ ) dx − K Ψ dx dx x− dx x− ∗ Z x+ d dΨ 0 0 = K Ψ dx = − Ψ, Ψ , − dx dx x− sehingga (d/dx)† = −d/dx relatif terhadap jenis hasil kali skalar ini. Contoh 5.2.2. Andaikan Ψ, Ψ0 ∈ H bergantung pada q 1 , . . . , q n , di mana H berisi semua µ f (q 1 , . . . , q n ) sedemikian rupa sehingga f (q 1 , . . . , q± , . . . , q n ) = 0 untuk semua µ ∈ {1, . . . , n}, dan dipilih jenis hasil kali skalar sebagai Z q+1 Z q+n 0 hΨ, Ψ i = K ... Ψ∗ Ψ0 dq 1 . . . dq n , (5.1) n q−

1 q−

dengan K adalah tetapan, maka dengan cara serupa seperti pada Contoh 5.2.1, ternyata (∂/∂q µ )† = −∂/∂q µ relatif terhadap jenis hasil kali skalar ini.

28


Contoh 5.2.3. Andaikan pˆµ := −i~ ∂/∂q µ merupakan operator momentum umum, dan q µ merupakan koordinat umum, maka pˆ†µ = (−i~ ∂/∂q µ )† = (−i~)∗ (∂/∂q µ )† = i~ (−∂/∂q µ ) = −i~ ∂/∂q µ = pˆµ relatif terhadap jenis hasil kali skalar pada persamaan (5.1). ˆ −1 )† dan (Ω ˆ † )−1 ? Masalah 5.2.1. Apa hubungan antara (Ω Masalah 5.2.2. Apakah operator d/dx memiliki kebalikan?

5.3

Komutasi dan Anti-Komutasi

ˆ adalah [A, ˆ B] ˆ := AˆB ˆ −B ˆ A, ˆ sedangkan antiKomutasi operator Aˆ dengan operator B ˆ adalah {A, ˆ B} ˆ := AˆB ˆ +B ˆ A. ˆ Tentu saja, [B, ˆ A] ˆ = komutasi operator Aˆ dengan operator B ˆ B] ˆ dan {B, ˆ A} ˆ = {A, ˆ B}. ˆ ˆ B] ˆ = ˆ0, maka Aˆ dan B ˆ dikatakan komutatif. −[A, Apabila [A, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ maka A dan B dikatakan anti-komutatif. Apabila {A, B} = 0, ˆ B ˆ + C] ˆ = A( ˆB ˆ + C) ˆ − (B ˆ + C) ˆ Aˆ = [A, ˆ B] ˆ + [A, ˆ C]. ˆ [A, ˆ C] ˆ = (Aˆ + B) ˆ Cˆ − C( ˆ Aˆ + B) ˆ = [A, ˆ C] ˆ + [B, ˆ C]. ˆ [Aˆ + B, ˆ B ˆ C] ˆ = AˆB ˆ Cˆ − B ˆ Cˆ Aˆ = [A, ˆ B] ˆ Cˆ + B[ ˆ A, ˆ C]. ˆ [A, ˆ C] ˆ = AˆB ˆ Cˆ − Cˆ AˆB ˆ = A[ ˆ B, ˆ C] ˆ + [A, ˆ C] ˆ B. ˆ [AˆB, ˆ B ˆ + C} ˆ = A( ˆB ˆ + C) ˆ + (B ˆ + C) ˆ Aˆ = {A, ˆ B} ˆ + {A, ˆ C}. ˆ {A, ˆ C} ˆ = (Aˆ + B) ˆ Cˆ + C( ˆ Aˆ + B) ˆ = {A, ˆ C} ˆ + {B, ˆ C}. ˆ {Aˆ + B, ˆ B ˆ C} ˆ = AˆB ˆ Cˆ + B ˆ Cˆ Aˆ = {A, ˆ B} ˆ Cˆ − B[ ˆ A, ˆ C] ˆ = B{ ˆ A, ˆ C} ˆ + [A, ˆ B] ˆ C. ˆ {A, ˆ C} ˆ = AˆB ˆ Cˆ + Cˆ AˆB ˆ = A{ ˆ B, ˆ C} ˆ − [A, ˆ C] ˆB ˆ = {A, ˆ C} ˆ B ˆ + A[ ˆ B, ˆ C]. ˆ {AˆB, ˆ B] ˆ † = (AˆB ˆ −B ˆ A) ˆ †=B ˆ † Aˆ† − Aˆ† B ˆ † = [B ˆ † , Aˆ† ]. [A, ˆ B} ˆ † = (AˆB ˆ +B ˆ A) ˆ †=B ˆ † Aˆ† + Aˆ† B ˆ † = {Aˆ† , B ˆ † }. {A, ˆ [B, ˆ C]] ˆ + [B, ˆ [C, ˆ A]] ˆ + [C, ˆ [A, ˆ B]] ˆ = ˆ0. [A,

5.4

Swanilai dan Swafungsi dari Suatu Operator

ˆ Ψ) ∈ C, apabila ΩΨ ˆ = µ(Ω, ˆ Ψ)Ψ, maka µ(Ω, ˆ Ψ) merupakan swaniUntuk Ψ ∈ H dan µ(Ω, ˆ terhadap Ψ. 11 Apabila fungsi-fungsi Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , . . . , Ψn ∈ H, dengan n ∈ N, lai dari Ω ˆ j = µ(Ω, ˆ Ψj )Ψj , dengan j ∈ {1, 2, 3, . . . , n} ⊂ N, maka Ψj merumemenuhi kaitan ΩΨ ˆ Ψj ) terhadap operator Ω. ˆ Mengingat suatu fungsi dapat pakan swafungsi dari swanilai µ(Ω, dianggap sebagai vektor anggota suatu ruang vektor yang berupa ruang fungsi 12 , maka swaˆ j = µ(Ω, ˆ Ψ)Ψj untuk setiap fungsi dapat dianggap sebagai swavektor. Apabila ternyata ΩΨ ˆ Ψ) dikatakan merosot sejauh g derajat. Karena j ∈ {1, 2, 3, . . . , g} ⊂ N, maka swanilai µ(Ω, ˆ † , Ψ)Ψi = hΨ, Ω ˆ † Ψi = hΩΨ, ˆ Ψi = hµ(Ω, ˆ Ψ)Ψ, Ψi = hΨ, µ(Ω, ˆ Ψ)∗ Ψi, hΨ, µ(Ω ˆ Ψ) ∈ C tidak harus ada (terakomodasi) untuk sebarang pasangan Ω ˆ dan Ψ. Nilai µ(Ω, Ruang fungsi merupakan himpunan yang berisi fungsi-fungsi. Apabila F merupakan suatu lapangan dan f (k) (x) := (d/dx)k f (x), dengan f : F → F, maka himpunan C k (F) := {f | f : F → F, serta f (k) kontinyu} merupakan contoh ruang fungsi. 11

12

5.5. WAKILAN MATRIKS

29

ˆ † , Ψ) = µ(Ω, ˆ Ψ)∗ . Seandainya Ω ˆ hermitean, alias Ω ˆ † = Ω, ˆ maka µ(Ω ˆ † , Ψ) = maka µ(Ω ˆ Ψ) = µ(Ω, ˆ Ψ)∗ alias µ(Ω, ˆ Ψ) ∈ R. Apabila ΩΨ ˆ = µ(Ω, ˆ Ψ)Ψ, maka untuk setiap α ∈ C, µ(Ω, ˆ Ψ) = µ(Ω, ˆ α Ψ)(α Ψ) = α ΩΨ ˆ = α µ(Ω, ˆ Ψ)Ψ, sehingga µ(Ω, ˆ α Ψ) = µ(Ω, ˆ Ψ). berlaku Ω(α ˆ 0 = Ψ, maka Ψ0 = Ω ˆ −1 Ψ = µ(Ω ˆ −1 , Ψ)Ψ, sehingga Ψ = µ(Ω, ˆ Ψ0 )Ψ0 alias Ψ0 = Apabila ΩΨ ˆ Ψ0 )]−1 Ψ = [µ(Ω, ˆ Ω ˆ −1 Ψ)]−1 Ψ, sehingga [µ(Ω, ˆ −1 , Ψ) = [µ(Ω, ˆ Ω ˆ −1 Ψ)]−1 = [µ(Ω, ˆ µ(Ω ˆ −1 , Ψ)Ψ)]−1 = [µ(Ω, ˆ Ψ)]−1 . µ(Ω ˆ = µ(AˆB, ˆ Ψ)Ψ = µ(A, ˆ BΨ) ˆ BΨ ˆ = µ(A, ˆ BΨ) ˆ µ(B, ˆ Ψ)Ψ, maka Mengingat AˆBΨ ˆ Ψ) = µ(A, ˆ BΨ) ˆ µ(B, ˆ Ψ) = µ(A, ˆ µ(B, ˆ Ψ)Ψ) µ(B, ˆ Ψ) = µ(A, ˆ Ψ) µ(B, ˆ Ψ). µ(AˆB, Demikian pula berlaku ˆ −1 )† , Ψ) = µ(Ω ˆ −1 , Ψ)∗ = [µ(Ω, ˆ Ψ)−1 ]∗ = [µ(Ω, ˆ Ψ)∗ ]−1 = [µ(Ω ˆ † , Ψ)]−1 = µ((Ω ˆ † )−1 , Ψ). µ((Ω ˆ Ψ) ∈ C merupakan sebuah tetapan, maka mengingat ΩΨ ˆ = µ(Ω, ˆ Ψ)Ψ, diperApabila µ(Ω, 0 ˆ 0 ˆ Ψ)hΨ , Ψi alias oleh hΨ , ΩΨi = µ(Ω, ˆ Ψ) = µ(Ω,

ˆ hΨ0 , ΩΨi , hΨ0 , Ψi

yang nilainya tidak boleh bergantung pada pemilihan Ψ0 dan jenis hasil kali skalar. 13 ˆ j = µ(Ω, ˆ Ψj )Ψj untuk semua j ∈ {1, 2, 3, . . . , n} ⊂ N, Andaikan diketahui bahwa ΩΨ maka untuk semua k ∈ {1, 2, 3, . . . , n} ⊂ N, berlaku 14 ˆ j i = hΩ ˆ † Ψk , Ψj i = µ(Ω, ˆ Ψk )hΨk , Ψj i = µ(Ω, ˆ Ψj )hΨk , Ψj i, hΨk , ΩΨ ˆ Ψk ) − µ(Ω, ˆ Ψj ))hΨk , Ψj i = 0. Apabila µ(Ω, ˆ Ψk ) 6= µ(Ω, ˆ Ψj ), maka haruslah sehingga (µ(Ω, ˆ Ψj ) 6= µ(Ω, ˆ Ψk ) untuk j 6= k, maka hΨj , Ψk i = δjk kΨj k2 . Apabila hΨk , Ψj i = 0. Apabila µ(Ω, ˆ Ψj ) = µ(Ω, ˆ Ψk ) untuk setiap j, k, maka nilai hΨj , Ψk i tidak harus nol. µ(Ω, 2 ˆ = d/dx, maka ΩΨ ˆ = (d/dx)ex2 = 2x ex2 = 2x Ψ. Masalah 5.4.1. Andaikan Ψ = ex dan Ω ˆ Ψ)? Apakah 2x di sini dapat dianggap sebagai µ(Ω,

5.5

Wakilan Matriks

Andaikan H merupakan ruang Hilbert kompleks berdimensi-n, maka setiap Ψ ∈ H dapat dinyatakan sebagaiPkombinasi linier dari anggota-anggota basis B := {Ψ1 , . . . , Ψn } ⊂ H, yaitu bahwa Ψ = nj=1 αj Ψj , dengan αj ∈ C untuk semua j ∈ Nn := {1, 2, 3, . . . n} ⊂ N, P ˆ ˆ j i, yang memiliki bentuk matriks sehingga hΨk , ΩΨi = nj=1 αj hΨk , ΩΨ     ˆ ˆ 1 i . . . hΨ1 , ΩΨ ˆ n i  α1  hΨ1 , ΩΨi hΨ1 , ΩΨ      ..  .. .. .. ..  =  . . . . . . ˆ ˆ 1 i . . . hΨn , ΩΨ ˆ ni αn hΨn , ΩΨi hΨn , ΩΨ Apabila basis B ortogonal, maka tentulah hΨj , Ψk i = δjk kΨj k2 , sehingga hΨk , Ψi =

n X j=1

13 14

αj hΨk , Ψj i = αk kΨk k2

alias αj =

hΨj , Ψi . kΨj k2

ˆ Ψ) ∈ C tidak harus terakomodasi untuk sebarang Ω ˆ dan Ψ. Sayangnya, nilai µ(Ω, † ∗ ˆ ˆ Ingat bahwa µ(Ω , Ψk ) = µ(Ω, Ψk ) .

30


Apabila terdapat basis lain, misalnya B 0 := {Ψ01 , . . . , Ψ0n } ⊂ H, sedemikian rupa sehingga hΨ0j , Ψk i = δjk untuk semua j, k ∈ Nn , maka basis B 0 ini merupakan jodoh dari basis B. Dalam hal ini, hΨ0k , Ψi

=

n X

αj hΨ0k , Ψj i

j=1

=

n X

αj δkj = αk

alias αj = hΨ0j , Ψi,

j=1

P ˆ ˆ j i. = nj=1 hΨ0j , ΨihΨ0k , ΩΨ maka Ψ = j=1 hΨ0j , ΨiΨj , sehingga hΨ0k , ΩΨi P n ˆ j = Sekarang apabila misalnya diketahui bahwa ΩΨ Ωjk ∈ C, maka l=1 Ωjl Ψl , denganP P P n n 0 ˆ 0 0 ˆ hΨk , ΩΨj i = l=1 Ωjl hΨk , Ψl i = l=1 Ωjl δkl = Ωjk , sehingga hΨk , ΩΨi = nj=1 Ωjk hΨ0j , Ψi yang memiliki bentuk matriks      0 ˆ Ω11 . . . Ωn1 hΨ1 , Ψi hΨ01 , ΩΨi   ..  ..   ..  . .. .. =  . . . . . 0 0 ˆ hΨ Ω . . . Ω hΨn , ΩΨi 1n nn n , Ψi Pn

Apabila didefinisikan matriks-matriks     ˆ hΨ01 , ΩΨi Ω11 . . . Ωn1  .. ..  , .. ˆ :=  ... ˆ :=  [ΩΨ]  , [Ω]  . . . 0 ˆ Ω . . . Ω hΨn , ΩΨi 1n nn

 hΨ01 , Ψi dan [Ψ] :=  ...  , hΨ0n , Ψi 

(5.2)

ˆ ˆ dan [Ψ] berturut-turut merupakan wakilan matriks dari ΩΨ, ˆ ˆ dan Ψ, maka [ΩΨ], [Ω], Ω, 0 relatif terhadap basis B dan B yang saling berjodoh. ˆ = ΩΨ, dengan Ω := µ(Ω, ˆ Ψ) ∈ C, maka 15 Apabila dipaksakan ΩΨ ˆ hΨ0k , ΩΨi

≡

ΩhΨ0k , Ψi

≡Ω

n X

δjk hΨ0j , Ψi

=

j=1

alias

Pn

j=1 (Ωjk

n X

Ωjk hΨ0j , Ψi

j=1

− δjk Ω)hΨ0j , Ψi = 0, dengan bentuk matriks   0    Ω11 − Ω . . . Ωn1 hΨ1 , Ψi 0 .. .. ..  =  ..  , ..    . . . . . Ω1n

...

Ωnn − Ω

hΨ0n , Ψi

0

yang dapat terpenuhi meskipun terdapat j ∈ Nn sedemikian hΨ0j , Ψi = 6 0, asalkan Ω11 − Ω . . . Ωn1 .. .. .. = 0. . . . Ω . . . Ω − Ω 1n nn Terdapat n buah Ω yang memenuhi persamaan terakhir, yaitu Ω1 , . . . , Ωn ∈ C, yang meruˆ Swa-vektor-swavektor milik [Ω] ˆ yang berpadanan pakan swanilai-swanilai 16 dari matriks [Ω]. Pn dengan swanilai Ωl , dengan l ∈ Nn , adalah fungsi-fungsi Ψ(l) = j=1 αj Ψj sedemikian rupa sehingga αj ∈ C untuk semua j ∈ Nn memenuhi sistem persamaan n X

(Ωjk − δjk Ωl )αj = 0 untuk semua k ∈ Nn .

j=1 15 Meskipun secara umum, bilangan Ω di sini tidak harus ada, tetapi Ω ini dianggap ada karena akan dianggap ˆ sebagai swanilai dari matriks [Ω]. 16 Tampaknya, pengertian swanilai operator dan swanilai matriks perlu dibedakan.

5.6. PRINSIP KETIDAKPASTIAN

31

ˆ = d/dθ, serta didefinisikan suatu Contoh 5.5.1. Andaikan Ψ = cos θ, Ψ± := e±iθ , dan Ω hasil kali skalar Z π 1 0 hΨ, Ψ i := Ψ∗ Ψ0 dθ. 2π −π ˆ ± = ±iΨ± , serta hΨj , Ψk i = δjk untuk j, k ∈ {+, −} Oleh karena itu, Ψ = 12 (Ψ+ +Ψ− ) dan ΩΨ 17 ˆ ± i = ±i δ+± dan hΨ− , ΩΨ ˆ ± i = ±i δ−± . Tentu saja, wakilan matriks , sehingga hΨ+ , ΩΨ 18 ˆ relatif terhadap {Ψ+ , Ψ− } adalah dari Ω i 0 ˆ = [Ω] , 0 −i ˆ adalah Ω sedemikian rupa sehingga det([Ω] ˆ − Ω[I]) ˆ = 0 alias dengan swanilai dari [Ω]

19

(i − Ω)(−i − Ω) = 0 alias Ω = Ω+ atau Ω = Ω− , dengan Ω± := ±i. ˆ yang berpadanan dengan swanilai Ω± ∈ C adalah fungsiSwavektor-swavektor milik [Ω] fungsi Ψ(±) = α± Ψ± untuk semua α± ∈ C. ˆ pada persamaan (5.2) untuk n = 2 adalah Ω sedemikian Contoh 5.5.2. Swanilai dari [Ω] ˆ − Ω[I]) ˆ = 0 alias Ω = Ω+ atau Ω = Ω− , di mana rupa sehingga det([Ω] q 1 2 ˆ ˆ ˆ Ω± = Tr [Ω] ± ( Tr [Ω]) − 4 det[Ω] . 2 ˆ tersebut yang berpadanan dengan swanilai Ω± ∈ C adalah Swavektor-swavektor milik [Ω] Ψ = α1 Ψ1 + α2 Ψ2 sedemikian rupa sehingga α1 , α2 ∈ C memenuhi sistem persamaan Ω11 Ω21 α1 α1 = Ω± , Ω12 Ω22 α2 α2 alias

20

α2 =

5.6

Ω± − Ω11 Ω12 α1 = α1 Ω21 Ω± − Ω22

untuk semua α1 ∈ C.

Prinsip Ketidakpastian

Apabila A merupakan observabel fisis yang diwakili oleh operator hermitean Aˆ yang bekerja pada suatu fungsi Ψ, maka nilai harap (rata-rata) dari A didefinisikan sebagai hAi :=

ˆ ˆ hΨ, AΨi Ψ† AΨ ≡ ∈ R. kΨk2 kΨk2

Sedangkan ralat dari A adalah ∆A ≥ 0 sedemikian rupa sehingga (∆A)2 = 17

ˆ 2 ˆ k(Aˆ − hAi)Ψk2 kAΨk Ψ† AΨ 2 = + hAi − 2hAi Re , kΨk2 kΨk2 kΨk2

Dengan demikian, {Ψ+ , Ψ− } ortonormal relatif terhadap jenis hasil kali skalar ini. Dalam hal ini, jodoh dari {Ψ+ , Ψ− } adalah dirinya sendiri. 19 ˆ merupakan wakilan matriks dari operator identitas Iˆ relatif terhadap {Ψ+ , Ψ− }. Matriks [I] 20 Dapat ditunjukkan bahwa ternyata (Ω± − Ω11 )(Ω± − Ω22 ) = Ω12 Ω21 . 18

(5.3)

32


ˆ 2 = Ψ† Aˆ2 Ψ. Dari persamaan (5.3), diperoleh kaitan di mana tentu saja kAΨk (∆A)2 =

ˆ 2 Ψ† Aˆ2 Ψ kAΨk 2 − hAi = − hAi2 . kΨk2 kΨk2

ˆ − hBi)Ψ, maka Andaikan didefinisikan ΨA := (Aˆ − hAi)Ψ dan ΨB := (B (∆A)2 (∆B)2 =

kΨA k2 kΨB k2 |ΨA † ΨB |2 ≥ , kΨk4 kΨk4

di mana |ΨA † ΨB |2 = ( Re (ΨA † ΨB ))2 + ( Im (ΨA † ΨB ))2 ≥ ( Im (ΨA † ΨB ))2 , sehingga 2

2

(∆A) (∆B) ≥

Im (ΨA † ΨB ) kΨk2

2 .

(5.4)

Selanjutnya, Im ΨA † ΨB =

1 (ΨA † ΨB − ΨB † ΨA ), 2i

di mana ˆ † BΨ ˆ − hBi(AΨ) ˆ † Ψ − hAiΨ† BΨ ˆ + hAihBikΨk2 ΨA † ΨB = (AΨ) ˆ − hBiΨ† AΨ ˆ − hAiΨ† BΨ ˆ + hAihBikΨk2 = Ψ† AˆBΨ ˆ − hAihBikΨk2 . = Ψ† AˆBΨ Demikian pula ˆ AΨ ˆ − hBihAikΨk2 . ΨB † ΨA = Ψ† B ˆ B]Ψ, ˆ Oleh karena itu, ΨA † ΨB − ΨB † ΨA = Ψ† [A, sehingga diperoleh ketaksamaan !2 Ψ† [A, † ˆ ˆ ˆ B]Ψ ˆ Ψ [ A, B]Ψ (∆A)2 (∆B)2 ≥ alias (∆A)(∆B) ≥ , 2 kΨk2 2i kΨk2 yang dikenal sebagai prinsip ketidakpastian dalam mekanika kuantum. Masalah 5.6.1. Bolehkah pertidaksamaan (5.4) diganti dengan pertidaksamaan 2

2

(∆A) (∆B) ≥

Re (ΨA † ΨB ) kΨk2

2 ?

Apabila boleh, apakah nanti akan diperoleh juga pertidaksamaan (5.5)?

21

Nilai ∆A dan ∆B selalu tak negatif sebagaimana telah didefinisikan sebelumnya.

21

(5.5)

Bab 6

Mekanika Kuantum di Ruang Tiga Dimensi Suatu partikel bebas dapat memiliki fungsi gelombang tanpa superposisi berbentuk Ψ = |Ψ| exp[i(k · r − ωt + φ0 )] yang bergantung pada posisi r dan waktu t, di mana k, ω, dan φ0 , berturut-turut adalah vektor gelombang, frekuensi sudut gelombang, dan tetapan fase gelombang. Di sini, amplitudo |Ψ| tidak bergantung pada r dan t. Apabila k, ω, dan φ0 tidak bergantung pada r dan t, maka diperoleh fungsi gelombang datar, sehingga ∇Ψ = ikΨ dan ∂Ψ/∂t = −iωΨ, lalu ∇2 Ψ ≡ ∇ · (∇Ψ) = ik · ∇Ψ = −|k|2 Ψ. Apabila ~ := h/(2π) dengan h merupakan tetapan Planck, maka p = ~k dan E = ~ω berturut-turut merupakan momentum linier dan tenaga total gelombang, sehingga pΨ = −i~∇Ψ dan EΨ = i~ ∂Ψ/∂t serta |p|2 Ψ = −~2 ∇2 Ψ. Oleh karena itu, operator momentum linier dan operator tenaga total dapat didefinisikan, ˆ := −i~∇ dan Eˆ := i~ ∂/∂t. Tenaga gerak partikel non-relativistik berturut-turut, sebagai p bermassa m tetap adalah T = |p|2 /(2m) sehingga T Ψ = −~2 ∇2 Ψ/(2m), sehingga operator tenaga kinetik non-relativistik dapat didefinisikan sebagai Tˆ := −~2 ∇2 /(2m), di mana TˆΨ = T Ψ. Apabila partikel tersebut terpengaruh tenaga potensial V yang secara umum bergantung pada r dan t, maka berdasarkan hukum kelestarian tenaga, diperoleh kaitan T + V = E. Apabila operator tenaga potensial Vˆ didefinisikan sedemikian rupa sehingga ˆ := Tˆ + Vˆ , serta mengingat Vˆ Ψ = V Ψ dan operator Hamiltonian didefinisikan sebagai H T Ψ + V Ψ = EΨ, maka diperoleh persamaan gerak kuantum Schrödinger yang berbentuk 1 ˆ ˆ = EΨ ˆ ≡ i~ ∂Ψ . TˆΨ + Vˆ Ψ = EΨ alias HΨ ∂t

6.1

(6.1)

Laju dari Rata-Rata Suatu Observabel Fisis

Apabila terdapat suatu observabel fisis A, yang diwakili oleh operator hermitean Aˆ yang ˆ = AΨ, di mana A, A, ˆ maupun Ψ bekerja pada fungsi Ψ, sedemikian rupa sehingga AΨ masing-masing bergantung pada posisi r, momentum p dan waktu t, serta pemetaan linier didefinisikan sedemikian rupa sehingga Z † 0 ΨΨ =K Ψ∗ Ψ0 d3 r d3 p, R6 1 Mula-mula, persamaan (6.1) diperoleh dari fungsi gelombang datar partikel bebas tanpa superposisi. Tetapi persamaan ini diperumum untuk partikel yang terpengaruh oleh tenaga potensial, bahkan yang berbentuk operator tenaga potensial.

33

34

BAB 6. MEKANIKA KUANTUM DI RUANG TIGA DIMENSI

dengan K adalah suatu tetapan, maka berdasarkan persamaan (5.3), laju dari nilai harap dari A adalah ! ˆ ˆ d d d Ψ† AΨ 1 d †ˆ Ψ† AΨ hAi = = (Ψ AΨ) − (kΨk2 ). (6.2) dt dt kΨk2 kΨk2 dt kΨk4 dt Mula-mula, d †ˆ d (Ψ AΨ) = K dt dt

Z

∗

3

3

Z

Ψ AΨ d r d p = K R6

R6

∂A ∂Ψ ∂Ψ∗ AΨ + Ψ∗ Ψ + Ψ∗ A ∂t ∂t ∂t

d3 r d3 p.

Dari persamaan (6.1), diperoleh Z d †ˆ i ˆ ∗ˆ ∗ ∂A ∗ i ˆ (Ψ AΨ) = K (HΨ) AΨ + Ψ Ψ − Ψ A HΨ d3 r d3 p dt ~ ∂t ~ 6 R ∂A i ˆ †ˆ † † ˆ HΨ) ˆ ((HΨ) AΨ − (AΨ) +Ψ Ψ = ~ ∂t ˆ dan Aˆ hermitean, maka Karena operator H d †ˆ i †ˆ ˆ ˆ (Ψ AΨ) = (Ψ H AΨ − Ψ† AˆHΨ) + kΨk2 dt ~ i † ˆ ˆ ∂A 2 = Ψ [H, A]Ψ + kΨk . ~ ∂t

∂A ∂t

Akhirnya, dari persamaan (6.2), diperoleh ∂A 1 d d i † ˆ ˆ 2 hAi = + Ψ [H, A]Ψ − hAi (kΨk ) . dt ∂t kΨk2 ~ dt

6.2

Persamaan Schr¨ odinger dalam Sistem Koordinat Bola

Apabila fungsi gelombang partikel berbentuk Ψ = ψ e−iEt/~ , di mana E tetap dan ψ hanya ˆ = Eψ alias bergantung pada r, maka persamaan (6.1) menjadi Hψ −

~2 2 ∇ ψ = (E − V )ψ. 2m

Di sini, V hanya bergantung pada r. 6.2.1

Pemisahan Peubah

Dalam sistem koordinat bola, ψ bergantung pada (r, θ, φ), serta 1 ∂ ∂ 1 ∂2 1 ∂ 2 2 ∂ r + 2 sin θ + 2 2 . ∇ = 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2 Apabila dianggap ψ = RY , di mana R hanya bergantung pada r, dan Y hanya bergantung pada (θ, φ), maka persamaan Schrödinger tadi menjadi ~2 Y d R ∂ ∂Y R ∂ 2Y 2 dR − r + 2 sin θ + 2 2 = (E − V )RY. 2m r2 dr dr r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2

¨ 6.2. PERSAMAAN SCHRODINGER DALAM SISTEM KOORDINAT BOLA

35

Di sini, secara khusus, V hanya bergantung pada r. Apabila kedua ruas persamaan terakhir dikalikan dengan −2mr2 /(~2 RY ), maka diperoleh 1 1 ∂ ∂Y 1 ∂ 2Y 2mr2 1 d 2 dR r + sin θ + = − (E − V ), R dr dr Y sin θ ∂θ ∂θ ~2 sin2 θ ∂φ2 alias 1 d R dr

2mr2 1 ∂ ∂Y 1 ∂ 2Y 1 2 dR r + 2 (E − V ) = − sin θ + . dr ~ Y sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂φ2

Mengingat ruas kiri persamaan terakhir hanya bergantung pada r, serta ruas kanan persamaan terakhir hanya bergantung pada (θ, φ), sedangkan r, θ, φ itu saling bebas, maka kedua ruas persamaan tersebut pasti merupakan tetapan, misalnya l(l + 1), di mana alasan pemilihan tetapan tersebut akan terlihat kemudian. Oleh karena itu, persamaan terakhir dapat dipecah menjadi dua buah persamaan, yaitu 1 d 2mr2 2 dR r + 2 (E − V ) = l(l + 1) (6.3) R dr dr ~ dan

6.2.2

1 Y

1 ∂ sin θ ∂θ

∂Y 1 ∂ 2Y sin θ + = −l(l + 1). ∂θ sin2 θ ∂φ2

Persamaan Sudut

Hasil pecahan persamaan Schrödinger yang hanya bergantung pada (θ, φ) merupakan persamaan sudut, yang apabila kedua ruasnya dikalikan dengan Y sin2 θ, maka persamaan tersebut menjadi ∂ ∂Y ∂ 2Y sin θ = −l(l + 1)Y sin2 θ. sin θ + ∂θ ∂θ ∂φ2 Apabila dimisalkan lagi Y = ΘΦ, dengan Θ hanya bergantung pada θ, dan Φ hanya bergantung pada φ, maka persamaan terakhir menjadi d dΘ d2 Φ Φ sin θ sin θ + Θ 2 = −l(l + 1)ΘΦ sin2 θ dθ dθ dφ alias

1 d sin θ Θ dθ

dΘ 1 d2 Φ 2 sin θ + l(l + 1) sin θ = − . dθ Φ dφ2

Karena ruas kiri persamaan terakhir hanya bergantung pada θ, dan ruas kanan persamaan terakhir hanya bergantung pada φ, maka kedua ruas tersebut pasti merupakan tetapan, misalnya ml 2 , sehingga persamaan terakhir dapat dipecah menjadi dua buah persamaan, yaitu 1 d dΘ sin θ sin θ + l(l + 1) sin2 θ = ml 2 Θ dθ dθ dan

1 d2 Φ = −ml 2 Φ dφ2

alias

d2 Φ = −ml 2 Φ. dφ2

Secara formal, penyelesaian persamaan φ adalah Φ = Φ(φ) = Φ+ eiml φ + Φ− e−iml φ , dengan Φ± merupakan tetapan integrasi. Karena Φ harus periodik terhadap φ dengan periode 2π, maka haruslah Φ(φ + 2π) = Φ(φ), sehingga ml harus merupakan bilangan bulat.

36


Persamaan θ dapat ditulis kembali menjadi dΘ d sin θ + [l(l + 1) sin2 θ − ml 2 ]Θ = 0, sin θ dθ dθ yang merupakan persamaan Legendre terasosiasi. Penyelesaiannya adalah Θ = A Plml (cos θ), di mana A merupakan tetapan, dan |ml | d ml 2 |ml |/2 Pl (χ) := (1 − χ ) Pl (χ) dχ merupakan fungsi Legendre terasosiasi, dengan l d 1 (χ2 − 1)l Pl (χ) := l 2 l! dχ merupakan polinom Legendre ke-l, yang dikenal sebagai rumus Rodrigues. Ternyata, l harus merupakan bilangan bulat tak negatif, sebab berdasarkan rumus Rodrigues, apabila l merupakan bilangan bulat negatif, maka 1/l! = 0 yang menyebabkan Pl (χ) = 0. Di samping itu, apabila |ml | > l, maka Plml (χ) = 0, sehingga agar Plml (χ) 6= 0, haruslah |ml | ≤ l. Oleh karena itu, untuk setiap nilai l ∈ {0, 1, 2, 3, . . . }, terdapat (2l + 1) buah nilai ml , yaitu 0, ±1, ±2, . . . , ±(l − 1), ±l. Elemen volume dalam sistem koordinat bola adalah d3 r = r2 sin θ dr dθ dφ, sehingga ψ := RY tadi dapat dinormalkan meliputi seluruh ruang, yaitu bahwa haruslah Z Z ∞ Z 2π Z π 2 3 2 2 |ψ| d r ≡ |R| r dr |Y |2 sin θ dθ dφ = 1. R3

0

0

0

Salah satu kemungkinan yang paling mudah adalah Z ∞ Z 2π Z π 2 2 |R| r dr = 1 dan |Y |2 sin θ dθ dφ = 1. 0

0

0

Fungsi gelombang sudut Y yang telah ternormalisasi ini ternyata merupakan fungsi selaras sferis, yaitu s (2l + 1) (l − |ml |)! iml φ ml Y = Ylml (θ, φ) := ml e Pl (cos θ), 4π (l + |m|)! dengan ml Lebih lanjut lagi, ternyata Z 2π Z π 0

6.2.3

( (−1)ml := 1

jika ml ≥ 0 . jika ml ≤ 0

m

[Ylml (θ, φ)]∗ Yl0 l0 (θ, φ) sin θ dθ dφ = δll0 δml ml0 .

0

Persamaan Radial

Persamaan (6.3) dapat ditulis kembali menjadi d 2mr2 2 dR r + 2 (E − V )R = l(l + 1)R. dr dr ~

¨ 6.2. PERSAMAAN SCHRODINGER DALAM SISTEM KOORDINAT BOLA

Apabila dimisalkan u := rR, maka persamaan terakhir menjadi ~ 2 d2 u l(l + 1)~2 − + V + u = Eu, 2m dr2 2mr2

37

(6.4)

yang dikenal sebagai persamaan radial, yang identik dengan persamaan Schrödinger satu dimensi, di mana bagian tenaga potensialnya diganti dengan tenaga potensial efektif, yaitu Vef := V +

l(l + 1)~2 . 2mr2

Suku l(l + 1)~2 /(2mr2 ) ini dikenal sebagai suku sentrifugal. Contoh 6.2.1. Apabila tenaga potensial pada persamaan (6.4) berbentuk V = lim V 0 H(r − a), 0 V →∞

dengan a > 0 dan H(x) merupakan fungsi undak satuan Heaviside, maka persamaan (6.4) dapat ditulis kembali menjadi √ d2 u 2mE 2m l(l + 1) = lim V 0 H(r − a) + − k 2 u di mana k := . 2 2 2 0 dr ~ V →∞ r ~ Tentu saja fungsi u yang memenuhi persamaan terakhir adalah u = u0 H(a − r), di mana u0 bergantung pada r, sehingga untuk r < a, l(l + 1) d2 u 0 2 = − k u0 . dr2 r2 Penyelesaian umum dari persamaan terakhir adalah u0l = Al r Jl (kl r) + Bl r Nl (kl r), di mana Al dan Bl adalah tetapan, serta Jl (x) dan Nl (x) berturut-turut merupakan fungsi Bessel sferis berorde l dan fungsi Neumann sferis berorde l, yang didefinisikan sebagai l l 1 d sin x 1 d cos x l l Jl (x) := (−x) dan Nl (x) := −(−x) . x dx x x dx x Tentu saja, ul = u0l H(a − r) = [Al r Jl (kl r) + Bl r Nl (kl r)] H(a − r), sehingga Rl = ul /r = [Al Jl (kl r) + Bl Nl (kl r)] H(a − r). Karena Rl harus memenuhi syarat lim Rl = lim− Rl = 0,

r→a+

r→a

maka terpaksa Bl = 0 dan Jl (kl a) = 0 alias [Jl−1 (0)]n kl = knl = = a

√

2mEnl ~

~2 [Jl−1 (0)]n alias Enl = 2ma2

2

dengan n ∈ N0 .

Masalah 6.2.1. Bolehkah pada persamaan (6.4) diisikan V = −GM m/r, yang merupakan tenaga potensial gravitasi Newton yang dialami oleh suatu partikel bermassa m yang disebabkan oleh suatu partikel lain bermassa M yang terletak di r = 0? 2 2

Besaran G di sini merupakan tetapan gravitasi umum.

38

6.3


Momentum Sudut

Momentum sudut suatu partikel klasik bermomentum linier p yang terletak pada posisi r adalah L := r × p. Sedangkan dalam mekanika kuantum, operator momentum sudut ˆ := r × p ˆ , di mana p ˆ := −i~∇. Dalam sistem koordinat Cartesius didefinisikan sebagai L tiga dimensi, r=

3 X

ˆj xj x

dan ∇ϕ =

j=1

3 X

ˆ j ∂j ϕ, x

j=1

ˆ2, x ˆ 3 } merupakan basis ortonormal alamiah. Mengingat dengan ∂j ϕ := ∂ϕ/∂xj dan {ˆ x1 , x P ˆj × x ˆ k = 3l=1 jkl x ˆ l , maka x ˆ = −i~r × ∇ = −i~ L

3 X

ˆ j xk ∂ l = jkl x

3 X

ˆj , ˆj L x

j=1

j,k,l=1

ˆ adalah sehingga komponen dari L 3 X

ˆ j := −i~ L

jkl xk ∂l .

k,l=1

6.3.1

Swanilai

ˆ j dengan L ˆ k adalah Komutasi L ˆj , L ˆ k ] := L ˆj L ˆk − L ˆkL ˆj [L 3 X 2 = −~ jlm kab [xl ∂m (xa ∂b ) − xa ∂b (xl ∂m )] l,m,a,b=1 2

= −~

3 X

jlm kab [xl (δma ∂b + xa ∂m ∂b ) − xa (δlb ∂m + xl ∂m ∂b )]

l,m,a,b=1 2

= −~

3 X

jlm kab (xl δma ∂b − xa δlb ∂m )

l,m,a,b=1 2

= −~

3 X

jlm (kma xl ∂a − kal xa ∂m )

l,m,a=1 2

= −~

3 X

[(δja δkl − δjk δla )xl ∂a − (δlk δja − δla δjk )xa ∂l ]

l,a=1 2

2

= ~ (xj ∂k − xk ∂j ) = ~

3 X

(δja δkb − δka δjb )xa ∂b

a,b=1 2

= ~

3 X l,a,b=1

ljk lab xa ∂b = i~

3 X l=1

ljk

−i~

3 X a,b=1

! lab xa ∂b

= i~

3 X l=1

ˆl. jkl L

6.3. MOMENTUM SUDUT

39

ˆ dengan dirinya sendiri adalah Perkalian silang operator vektor L 3 X

ˆ ×L ˆ = L

3

ˆkL ˆl ˆj L jkl x

j,k,l=1 3 X

=

ˆk, L ˆl] + L ˆlL ˆk) ˆ j ([L jkl x

j,k,l=1

= i~

3 X

ˆ ×L ˆ â − L ˆ j kla L jkl x

j,k,l,a=1 3 X 1 â ˆ j (δja δkk − δjk δka )L i~ x = 2 j,k,a=1

= i~

3 X

ˆ ˆ j = i~L. ˆj L x

j=1

ˆ 2 := P3 L ˆ2 Selanjutnya, apabila didefinisikan |L| k=1 k , maka ˆ 2, L ˆj ] = [|L|

3 X

ˆ 2k , L ˆj ] [L

k=1

=

3 X

ˆ k [L ˆk, L ˆ j ] + [L ˆk, L ˆ j ]L ˆk) (L

k=1

= i~

3 X

ˆkL ˆl + L ˆlL ˆ k ) = ˆ0. kjl (L

k,l=1

ˆ 2 Ψ = λΨ dan L ˆ z Ψ = µΨ, serta didefinisikan L ˆ ± := L ˆ x ± iL ˆ y , sehingga Misalkan |L| † 2 ˆ ,L ˆ± = L ˆ ∓ serta [L ˆz, L ˆ ± ] = ±~L ˆ ± dan [|L| ˆ ± ] = ˆ0. Kemudian, L ˆ 2 (L ˆ 2 Ψ) = λ(L ˆ ± Ψ) = L ˆ ± (|L| ˆ ± Ψ) |L| serta ˆ z (L ˆ ± Ψ) = L ˆ ± (L ˆ z Ψ) + [L ˆz, L ˆ ± ]Ψ = (µ ± ~)(L ˆ ± Ψ). L ˆ z terhadap L ˆ ± Ψ berbeda ±~ dengan swanilai operator Tampak bahwa swanilai operator L ˆ z terhadap Ψ. Selanjutnya, L ˆ z (L ˆ 2 Ψ) = (L ˆ ±L ˆ z + [L ˆz, L ˆ ± ])(L ˆ ± Ψ) = (µ ± 2~)(L ˆ 2 Ψ). L ± ± ˆ z (L ˆ l± Ψ) = (µ ± l~)(L ˆ l± Ψ). Demikian pula, Dapat pula ditunjukkan bahwa L ˆ 2−L ˆ2 + L ˆ 2 )Ψ = (|L| ˆ 2 )Ψ = (λ − µ2 )Ψ, (L x y z sehingga ˆ 2x + L ˆ 2y )Ψ = Ψ† L ˆ 2x Ψ + Ψ† L ˆ 2x Ψ = (λ − µ2 )kΨk2 . Ψ† (L 3 Sejauh ini, perkalian silang suatu vektor biasa dengan dirinya sendiri selalu menghasilkan pseudo-vektor nol, mengingat komponen-komponen dari vektor tersebut saling komutatif. Tetapi hal ini tidak harus berlaku untuk operator vektor, mengingat komponen-komponen dari suatu operator vektor tidak harus saling komutatif.

40


ˆ x dan L ˆ y hermitean, maka Mengingat L ˆ 2 Ψ = kL ˆ x Ψk2 Ψ† L x

ˆ 2 Ψ = kL ˆ y Ψk2 , dan Ψ† L y

sehingga diperoleh ˆ x Ψk2 + kL ˆ y Ψk2 = (λ − µ2 )kΨk2 . kL 2 2 Karena ruas √ kiri persamaan terakhir dan kΨk selalu tak negatif, maka haruslah λ ≥ µ alias |µ| ≤ λ. Didapat pula, ˆ 2−L ˆ ±L ˆ∓ = L ˆ2 + L ˆ 2 ∓ i[L ˆ x, L ˆ y ] = |L| ˆ 2 ± ~L ˆz L x y z

alias ˆ 2=L ˆ ±L ˆ∓ + L ˆ 2 ∓ ~L ˆz. |L| z ˆ 2 maupun L ˆ z hendak ditulis sebagai Ψλ,µ0 , agar Untuk selanjutnya, swafungsi dari |L| 2 0 ˆ Ψλ,µ0 = λΨλ,µ0 dan L ˆ z Ψλ,µ0 = µ Ψλ,µ0 , sehingga bisa dikatakan bahwa L ˆ l± Ψλ,µ = supaya |L| Ψλ,µ±l~ . Akibatnya, ˆ z Ψλ,µ±l~ = (µ ± l~)Ψλ,µ±l~ . L (6.5) √ ˆ ± Ψ √ = 0, sehingga Karena |µ| ≤ λ, maka diharapkan agar L λ,± λ

ˆ 2−L ˆ ±L ˆ ∓ Ψ √ = (|L| ˆ 2 ± ~L ˆ z )Ψ √ = 0. L z λ,∓ λ λ,∓ λ √ ˆ ±L ˆ ∓ Ψλ,µ∓ = (λ − µ∓ 2 ± ~µ∓ )Ψλ,µ∓ =0, Apabila didefinisikan µ± := ± λ, maka diperoleh L 2 2 sehingga λ − µ− + ~µ− = λ − µ+ − ~µ+ = 0 alias (µ+ + µ− )(µ+ − µ− + ~) = 0. Karena µ+ − µ− + ~ > 0, maka µ+ + µ− = 0 alias µ∓ = −µ± . Mengingat µ+ − µ− > −~, maka dengan menganggap µ± = ±l~ dengan l merupakan bilangan bulat, diperoleh l > −1, yaitu bahwa l ∈ {0, 1, 2, 3, . . . }. Dari persamaan (6.5), diperoleh bahwa µ = ml ~, dengan ml ∈ {0, ±1, ±2, ±3, . . . , ±l}. Oleh karena itu, ada kalanya Ψλ,µ0 ditulis λ − µ∓ 2 ± ~µ∓ = 0, diperoleh λ − l2 ~2 − l~2 = 0 alias λ = l(l + 1)~2 . sebagai Ψl,ml , sehingga ˆ 2 Ψl,m = l(l + 1)~2 Ψl,m |L| l l

ˆ z Ψl,m = ml ~Ψl,m . dan L l l

ˆ 2 Ψl,m = |L|2 Ψl,m dan L ˆ z Ψl,m = Lz Ψl,m , maka 4 Mengingat |L| l l l l p |L| = l(l + 1)~ dan Lz = ml ~. Sudut yang dibentuk oleh vektor L dengan sumbu-z positif adalah ](L, zˆ) = arccos

L · zˆ Lz ml = arccos = arccos p . |L| |L| l(l + 1)

ˆ ± berfungsi untuk mengubah ml pada Ψl,m sejauh ±1, sehingga Operator L l ˆ ± Ψl,m = c± Ψl,m ±1 , L l l dengan c± ∈ C merupakan koefisien yang dapat ditentukan secara eksplisit. Pengambilan kuadrat norma pada kedua ruas persamaan terakhir menghasilkan kc± Ψl,ml ±1 k2 = ˆ ± Ψl,m k2 alias kL l ˆ ± Ψl,m )† L ˆ ± Ψl,m ≡ (Ψl,m )† L ˆ ∓L ˆ ± Ψl,m |c± |2 kΨl,ml ±1 k2 = (L l l l l ˆ 2−L ˆ 2 ∓ ~L ˆ z )Ψl,m = (Ψl,m )† (|L| z

l

2

†

l

2

= ~ (Ψl,ml ) [l(l + 1) − ml ∓ ml ]Ψl,ml = ~2 (l ∓ ml )(l ± ml + 1)kΨl,ml k2 , 4

ˆ 2 = µ(|L| ˆ 2 , Ψl,m ) dan Lz = µ(L ˆ z , Ψl,m ). Dalam hal ini, |L| l l

6.4. SPIN

41

alias c± = ~ eiα

p kΨl,ml k (l ∓ ml )(l ± ml + 1) , kΨl,ml ±1 k

dengan α ∈ R, sehingga ˆ ± Ψl,m = ~ eiα L l

6.4

p kΨl,ml k Ψl,ml ±1 . (l ∓ ml )(l ± ml + 1) kΨl,ml ±1 k

Spin

ˆ=P x ˆ ˆ Operator spin S j=1 ˆ j Sj memiliki sifat serupa dengan L, seperti [Sˆj , Sˆk ] = i~

3 X

ˆ ×S ˆ = i~S, ˆ alias S

Sˆl

l=1

ˆ 2 Ψs,ms = ~2 s(s + 1)Ψs,ms |S|

dan Sˆz Ψs,ms = ms ~Ψs,ms ,

serta Sˆ± Ψs,ms = ~ eiα

p

(s ∓ ms )(s ± ms + 1)

(6.6)

kΨs,ms k Ψs,ms ±1 , kΨs,ms ±1 k

dengan α ∈ R dan Sˆ± := Sˆx ± iSˆy . 6.4.1

Spin 0

Partikel ber-spin s = 0 hanya memiliki satu swakeadaan, yaitu Ψ0 := Ψ00 . Apabila dideˆ 2 Ψ0 = 0 dan ˆ = αΨ0 † ΩΨ ˆ 0 . Tentu saja |S| finisikan Ψ = αΨ0 dengan α ∈ C, maka Ψ0 † ΩΨ ˆ x Ψ0 = L ˆ y Ψ0 = 0. Apabila operator Ω ˆ tadi diganti Sˆz Ψ0 = Sˆ± Ψ0 = 0, sehingga otomatis L † 2 ˆ , Sˆz , Sˆ± , Sˆx , maupun Sˆy , maka diperoleh Ψ0 ΩΨ ˆ 0 = 0. dengan |S| 6.4.2

Spin 1/2

Partikel ber-spin s = 1/2 hanya memiliki dua swakeadaan, yaitu Ψ+ dan Ψ− , di mana Ψ± := Ψ1/2,±1/2 . Wakilan matriks swakeadaan Ψ+ dan Ψ− , berturut-turut, biasa dinyatakan sebagai matriks 1 0 χ+ := dan χ− := 0 1 yang disebut sebagai spinor. Kombinasi linier dari dua spinor tersebut adalah χ = α+ χ+ + α− χ−

dengan α± ∈ C.

Apabila didefinisikan Ψ := α+ Ψ+ + α− Ψ− , maka α± =

(Ψ± )† Ψ , kΨ± k2

mengingat basis {Ψ+ , Ψ− } ortogonal. Wakilan matriks dari Ψ relatif terhadap basis tersebut adalah α+ 1 0 χ= = α+ + α− = α+ χ+ + α− χ− . α− 0 1

42


Dari persamaan (6.6), diperoleh ˆ 2 Ψ± = 3 ~2 Ψ± , |S| 4

~ Sˆz Ψ± = ± Ψ± , 2

Sˆ± Ψ∓ = ~Ψ± ,

dan Sˆ± Ψ± = 0.

Karena Sˆ± := Sˆx ± iSˆy , maka 1 1 Sˆx = (Sˆ+ + Sˆ− ) dan Sˆy = (Sˆ+ − Sˆ− ), 2 2i sehingga ~ ~ Sˆx Ψ± = Ψ∓ dan Sˆy Ψ± = ∓ Ψ∓ . 2 2i ˆ berlaku ΩΨ ˆ = α+ ΩΨ ˆ + + α− ΩΨ ˆ − , sehingga Untuk sebarang operator Ω, ˆ = α+ (Ψ± )† ΩΨ ˆ + + α− (Ψ± )† ΩΨ ˆ −, (Ψ± )† ΩΨ yang dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks ˆ ˆ + (Ψ+ )† ΩΨ ˆ − (Ψ+ )† ΩΨ (Ψ+ )† ΩΨ α+ = . †ˆ †ˆ †ˆ α− (Ψ− ) ΩΨ (Ψ− ) ΩΨ+ (Ψ− ) ΩΨ− ˆ relatif terhadap basis {Ψ+ , Ψ− } adalah Oleh karena itu, wakilan matriks bagi Ω †ˆ †ˆ (Ψ ) ΩΨ (Ψ ) ΩΨ + + + − ˆ := [Ω] ˆ − , ˆ + (Ψ− )† ΩΨ (Ψ− )† ΩΨ sehingga, andaikan {Ψ+ , Ψ− } ortonormal, diperoleh 3 2 1 0 0 δ±+ 2 ˆ ˆ dan [S± ] = ~ , [|S| ] = ~ 0 1 δ±− 0 4 sementara, ~ [Sˆx ] = 2

0 1 , 1 0

Matriks-matriks

σj :=

~ [Sˆy ] = 2

0 −i , i 0

δjz δjx − iδjy δjx + iδjy −δjz

~ dan [Sˆz ] = 2

1 0 . 0 −1

untuk j = x, y, z

merupakan matriks-matriks spin Pauli, sehingga [Sˆj ] = ~ σj /2 untuk j = x, y, z.

Daftar Pustaka [1] Arfken & Weber , 2005 . Mathematical Methods for Physicist . New York : Elsevier Academic Press Publications. [2] Boas, Mary L. , 1983 . Mathematical Methods for The Physical Sciences . New York : John Wiley & Sons. [3] Goldstein, Herbert , 2005 . Classical Mechanics . Manila : Addision-Wesley Publishing Company. [4] Muslim , 1997 . Seri Fisika Dasar Bagian I : Mekanika . Yogyakarta : Laboratorium Fisika Atom dan Inti Jurusan Fisika FMIPA UGM. [5] Nakahara, Mikio , 1997 . Geometry, Topology, and Physics . London : Institute of Physics Publishing. [6] Rosyid, M.F. , 2005 . Mekanika Kuantum . Yogyakarta : I-Es-Ye dan WGMPCDG Jurusan Fisika FMIPA UGM. [7] Rosyid, M.F. , 2005 . Aljabar Abstrak dalam Fisika . Yogyakarta : I-Es-Ye dan WGMPCDG Jurusan Fisika FMIPA UGM. [8] Wangsness, Roald , 1997 . Electromagnetics Fields . New York : John Wiley & Sons.

43

Tinjauan Ulang 23 Juni 2013

Recommend Documents