6e JAARGANG No. 11.
NOVEMBER 1925.
TIJDSCHRIFT VOOR
BUITENGEWOON ONDERWIJS Verschijnt maandelijks.
Abonnementsprijs f 4.— per jaar.
Redactie : P. H. SCHREUDER, G. J. VOS, Dr. D. HERDERSCHÊE. Redactie-Adres : P. H. SCHREUDER, Anemoonstraat 167, -- Den Haag.
Administratie-Adres : N.V. UITGEVERS-MIJ. „RAGA", DEN HAAG Giro No. 32990.
INHOUD: Verscheidenheid van groepeering of niet. -- Spraak zonder strottenhoofd. -- Hoofdbestuur. -- Boek en Tijdschrift. --- Bericht. -- Onze Kolonie.
HOOFDBESTUUR. P. H. Schreuder, Anemoonstraat 167, Den Haag, Voorzitter. Dr. D. Herderschêe, Keizersgracht 104, Amsterdam, 2e Voorzitter. W. P. Blokpoel, Valkenboschkade 409, Den Haag, le Secretaris. J. J. Edens, Bilderdijkpark 15, Amsterdam, 2e Secretaris. C. Leeflang, Schiekade 160, Rotterdam, Penningmeester. Postrekening Hoofdbestuur No. 67181, R'dam.
VERSCHEIDENHEID VAN GROEPEERING OF NIET. Opmerkenswaardig is het feit, dat zelfs zeer zwakken geen moeite hebben met 2 + 2, 3 -{- 3, 4 + 4, 5 -I- 5. Dit is m. i. het groepee ringsinstinct, dat zich hier uit. We kunnen daarom gerust deze „dubbelkernen" toepassen in getalfiguren. Welk bezwaar is er tegen, dit oerinstinct te volgen en de hoeveelheden te verluchten in groepen? Zoodat 9 niet in de eerste plaats is 8 + 1, maar 3 X 3, 12 niet 11 + 1, maar allereerst 6 X 2 en 4 X 3 en 3 X 4 en 2 X 5 X- 2. Willen de 1.1. goed leeren rekenen, dan moeten ze zich wennen aan een veelzijdig beeld der getallen en waarom zouden we ze dit onthouden? Hetzelfde getal 24 is nu eens 20 ± 4, dan weer 8 X 3, of 4 X 6 of 2 X 12 of 4 5+ 4. Een wilde, die geen notie heeft van eenig cijfer, rekent toch op zijn manier. Hij overziet zijn collectie kostbare schelpen, door ze te groepeeren (zou dit tenminste kunnen doen) in een gemakkelijk overzienbare regelmatige figuur. Hij heeft dus zeer zeker begrip van getal, al kan hij niet tellen. Het getal is er eerst, daarna de naam, dan het cijfer. Het getal is universeel, het andere is toe-
178
VERSCHEIDENHEID VAN GROEPEERING OF NIET.
voegsel. In den grond der zaak is rekenen eigenlijk zien van combinaties. Het overzien van het geheel door een juisten kijk op de groepen. Het bookmakersbedrijf, de kansrekening bij loterijen, de premieaffaires op de beurs, het maken van balansen, speculaties in den goederenhandel, het zien van constellaties aan den sterrenhemel, de posities bij het dam- of schaakspel enz. enz. zijn er de levendigste bewijzen van. Het tellen is een bijkomstige namenkwestie, een klankenreeks, die, hoewel op zichzelf onontbeerlijk als uitdrukkingsmiddel, niet de zaak zelf, niet de basis is van het universeele rekenen. Een prachtig spel om a.h.w. intuitief de grondeigenschap van het universeele rekenen te ervaren, herinner ik me uit mijn jeugd. Het bestond uit een zevental terra-cotta steentjes van verschillende gedaante, die op een bijzondere manier tegen elkaar gelegd moesten worden, om een gegeven figuur te vormen. Hoe ze tegen elkaar gelegd moesten worden, was natuurlijk het probleem. Maar voor alle figuren, die gegeven waren en 't waren er vele, kon men met de gegeven steentjes volstaan, terwijl ze voortdurend alle zeven gebruikt moesten worden. Ze waren dus noodig en voldoende. Evenals de zeven steentjes van bovengenoemd spel telkens door andere combinatie een wijziging van de vorm of de figuur te weeg brengen, zoo kan ook de vorm of de figuur van een getal zich. wijzigen. Als een typeerende bijzonderheid vermeld ik hier hoe een leerlinge het getal 103 uitsprak. Ze zei: drie honderd. De bedoeling was goed, alleen begon ze van achteren af. De grondeigenschap is een andere zegswijze voor de wet van het behoud der stof. De vorm verandert, het aspect wijzigt zich, de massa niet. In 't licht der grondeigenschap gezien, kunnen wij de vier hoofdbewerkingen, als volgt omschrijven: Bij de optelling wordt gevraagd het getal, terwijl de hoegrootheid der groepen gegeven is. Bij de aftrekking is het getal gegeven, benevens een groep. Gevraagd wordt de ontbrekende groep. Bij de vermenigvuldiging is het aantal en de hoegrootheid der groepen gegeven. Gevraagd wordt het getal. Bij de deeling is het getal gegeven, benevens een groep. Gevraagd het aantal (verhoudingsdeeling) of er is gegeven het getal benevens het aantal der groepen. Gevraagd de groep of portie (verdeelingsdeeling). Door deze beschouwing wordt de idee „groep" zeer verruimd en a. h. w. indentiek met „getal", omdat elk getal op zijn beurt als groep kan optreden. Wie een vaste figuur er op nahoudt, wat voordeel streeft hij hiermee na? Uitsluitend dit: om de bijvoeging of de afneming van eenheden metterdaad te laten uitvoeren en tevens in versneld tem--
VERSCHEIDENHEID VAN GROEPEERING OF NIET.
179
po, wijl dit bij gebruik van alleen cijfers te veel van het voorstellingsvermogen vergt. Tevens wordt de telvergissing uitgeschakeld, maar met terzijdestelling van het zien dei hoeveelheid in haar elementen. 4 en is de vaste groepeering ...■■ ..• Heeft men b.v. 8 dan is het toch beter de hoeveelheid 8 te laten zien als :: :• 6 en als vaste groepeering Heeft men 12 dan is het toch doelmatiger, dat de hoeveelheid 12 ook als de volgende figuur gezien wordt: • • • • • ■ en omgekeerd. We moeten de 1.1. zoover zien te brengen, dat ze de groepeering kiezen, die door de gegeven cijfers a. h. w. geinspireerd wordt, dan is tevens niet alleen de telvergissing uitgeschakeld, maar ook de uitkomst in een vlugger tempo gevonden. Een streng vasthouden aan één enkele groepeering maakt de zaak eer moeilijker dan gemakkelijker, is zelfs remmend. Om een voorstelling te krijgen van twaalf min vier, van zes plus zes, van twaalf gedeeld door drie (verdeelingsdeeling) of vier (verhoudingsdeeling), van drie keer vier, is de groepeering van Dr. Lay (echter slechts in één en dezelfde kleur) . . . . . . . . . . • . vrij geschikt. Dit is rekenen volgens de definitie hierboven gegeven en staat los van het 10-tallig-talstelsel, 't welk een zekere manier van groepeeren, opschrijven en benoemen, een noteering is, dus eigenlijk een ondergeschikte rol vervult, vergeleken bij het wezenlijke rekenen. Het rekenen volgens het 10--tallig talstelsel is het bijzondere, het rekenen an sich, di. het overzien van de situatie, is het algemeene. Om de techniek van het tientallig talstelsel bij te brengen, zijn aparte leermiddelen, groepeeringen zoo men wil, dienstig. Deze vormen evenwel slechts een onderdeel van de vele mogelijke groepeeringen die het universeele rekenen ter ontwikkeling ten dienste staan. De zucht tot groepeeren spreekt ook uit het feit, dat bij het streepjes zetten (bij het kaartspel b. v. of het tellen van voorraden) vijftallen geformeerd worden door 4 streepjes met een schuin streepje er door, uit de Romeinsche cijfers V, L en D, uit het woord: quatre vingts, uit dialcctische collectieven als: koppel, trio, quartet, half dozijn, toom, dozijn, duo, gros, snees, Maar laten we niet verder zoeken: het l0-tallig talstelsel is het uniform geworden stelsel van groepeeren, dat evenwel bij het rekenen leeren geen monopolie moet hebben De beweging die er a. h. w. in de getallen komt door het rekenen, zou een belemmering ondervinden, als we de groepeeren-
VERSCHEIDENHEID VAN GROEPEERING OF NIET.
180
gen aanpasten uitsluitend aan het enge keurslijf van het l0-tallig talstelsel, met zijn voor onze kinderen groote groep van 10. De intuitie bracht vele, lang niet alle onderwijzers er toe, leermiddelen te bedenken om het groepentellen aan te leeren, dat het ééntellen op den achtergrond moest dringen. De gebondenheid aan één talstelsel, in casu het tientallig, speelt ons wel eens parten bij het voorstaan van slechts één enkele groepeering. . Door enkelen wordt de volgende vaste groepeering aanbevolen: %% F-71 /, d.i. twee en nog eens twee, daarna één in het midden, waarbij de overweging nog geldt, dat met de linkerhand de eerste twee gepakt worden, met de rechterhand de andere twee, beide handen nu tegen elkaar geschoven worden en het vijfde blokje door den druk wordt meegenomen. Hier werkt de tastzin mee en volgens de ervaring van die collega's met succes. Men ziet: de groepenvorming heeft ook hier weer een onweerstaanbare aantrekkingskracht. Een groepeering leent zich evenwel niet voor alle 3 combinaties. In de zooevengenoemde is het geval 4 + 3 en 7 een beetje lastig, omdat de eenheden der hoeveelheid 3 verspreid. liggen. Resumeerende kunnen we de volgende stroomingen consta Leerel. le groep: die zeggen: laat maar tellen, steeds tellen. De kinderen blijven hier lang in de z.g. telperiode, komen er moeilijk uit en maken onophoudelijk telvergissingen. Het nadeel behoeft zich niet in een slecht eindresultaat te openbaren, als er in de klas n.l. geen ééntellers van nature zich bevinden. 2e groep: die de rijvorm voorstaan. De gebondenheid aan het 10tallig talstelsel is de oorzaak. De getallen worden hier niet in hurl elementen zichtbaar. 3e groep: alle figuren vereenigd in één doelmatige figuur, zoodat de elementen van de verschillende hoeveelheden alle uit één liguur worden afgeleid (kwadraatfiguur van Dr. Lay) . Hier wil men in één klap misschien te veel vliegen vangen, doch bij volhardend werken kan hier zeer wel resultaat verkregen worden. 4e groep: die alle figuren gebruiken, zooals ze zich het doelmatigst leenen voor ieder getal afzonderlijk, dus voor 9 de groepen;
nn
• • • • • • • •
• • • • •• •• ••
••••• •••• •• • • • • • • • ••• ••• ••• • • •
• • •
• • • of vertikaal.
VERSCHEIDENHEID VAN GROEPEERING OF NIET.
•• •• •• • ••
• • • • • • • •
• • • • •
181
• • • •
•• • • • • • • •
of vertikaal.
Dit vereischt bij het zelf formeeren door de leerling meer initiatief van zijn kant, maar geeft den gewenschten alzijdigen kijk op de hoeveelheid. Feitelijk wordt hier a.h.w. ook een brug gevormd naar het 10-tallig talstelsel. De sprong naar dit laatste in eens te doen zonder aanloop is te kolossaal voor onze 1.1. en die aanloop nu gaat over het 2-tallig, 3-, 4-, 5-tallig stelsel heen, zonder natuurlijk speciale klank- of cijfer-symbolen. De voorname rol, die de veelzijdige groepeering inderdaad speelt, mogen we niet onderschatten. 5e groep.: die op het geheugen laten werken. (Systeem Jager c.s.) . Dit geeft niet de wiskundige verzekerdheid. Het cijfer, dat slechts symbool is, stelt hooge eischen aan zijn gebruiker. De belasting van het geheugen is niet gering, als we nagaan de opstelling van alle te onthouden gelijkheden, die de heeren achter in hun rekenboekjes geven. 14 voel ik voor mezelf nog eenigsztns bewust de Bij 8 + 6 4. Het is niet een louter onthouden. We splitsplitsing van 6 in 2 sing van het grondtal 10 in 8 -[ - 2, welke splitsing voorafgaan moet aan die van 6 in 2 + 4, sterker: die de splitsing van 6 in 2 - 4 regelrecht beinvloedt, voelen we niet meer bewust. Bij 7 X 7 49 voelen we heelemaal niet meer bewuste berekening, maar een louter herinneren van de uitkomst. Deze herinnering is echter niet anders dan een onbewuste verzekerdheid tengevolge van het vele malen bewust uitrekenen. (Niet naslaan, zooals hetzelfde vreemae woord in een dictionaire vele malen moet worden nageslagen. Dit is niet analoog.) Die onbewuste verzekerdheid nu wordt bij 't systeem Jager c.s. uitgeschakeld. Het kind wordt hier, dunkt me, met het badwater weggeworpen. We zouden ook kunnen zeggen: hier worden steenen voor brood gegeven of wel hier wordt een surrogaat voor het echte geboden. 6e groep: de groepenvorming in de rij, een verzoening van het eenzijdige standpunt van groep 2 met het alzijdige van groep 4. Hier speelt ook, volgens de aanhangers, de tastzin een belangrijke rol. Zoo op 't oog heeft men hier mi. toch nog éénzijdige groepenvorming. 't Is en blijft voor de ééntellers een lastige zaak. Die 't kunnen
182
VERSCHEIDENHEID VAN GROEPEERING OF NIET.
leeren, leeren 't zoowel op de eene als op de andere manier, zij 't in verschillend tempo. Die 't niet kunnen, n.l. met groepen rekenen, leeren 't ook nooit, zouden we haast zeggen. Die zouden dus steeds ééntellers moeten blijven. Toch kunnen we, door de 1.1. zelf combinaties te laten vormen, veel combinaties te laten zien, te leeren overzien, van die ééntellers, niet-rekenaars, zooveel als maar mogelijk is, bij de groepentellers, rekenaars, trachten in te lijven. Daartoe moeten we natuurlijk van een enkelzijdige vaste groepeering afzien en van meet aan alle gelegenheden te baat nemen, om groepen te maken of te zien, b.v:. a. De kinderen stellen zichzelf op of worden door één der 1.1. opgesteld in rijen of groepjes van twee, drie of vier. b. De hoeveelheden worden met behulp van pionnetjes van 't Halmaspel of iets dergelijks door de 1.1. zelf opgesteld in groepen van 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10. (4, 6, 8, 10 zijn de z.g. dubbelkernen). c. Een hoeveelheid centen, spaarcenten van de klas b.v. waarvoor nogal belangstelling bestaat, wordt door een 1.1., dus niet door den onderwijzer, gelegd in groepjes van 5 centen. d. Het kegelspel, dobbelsteenen, dominosteenen, kaarten van het kaartspel worden dienstbaar gemaakt aan het leeren zien van groepeeringen. e. Rondjes van gekleurd papier worden in verschillende getallencombinaties opgeplakt in een z.g. getallenschrift. De zelfwerkzaamheid is hier een voornaam element: de handeling verlangzaamt en verheldert daardoor het proces. f. In aansluiting bij b worden tafels van vermenigvuldiging al vrij vroeg op allerlei manieren aanschouwelijk gemaakt. Wie weet verstout zich iemand nog eens, in plaats van met de optelling en aftrekking met de vermenigvuldiging te beginnen! Is 3 X 3 niet gemakkelijker dan 3 ± 5 of 6 --- 5? Ik denk hier verder aan het zelf rijgen van kettingen, aan het uitzoeken van de tweeën en drieën, enz. bij dobbelsteentjes, dominosteentjes van papier (en dan gehalveerd), aan ten slotte het groepeeren van gelijke cijfers, waar elke hoeveelheid of groep of getal, hoe men 't ook noemt, a.h.w. is in gecondenseerd of gesymboliseerd. Het memoriseeren, inheien, inpompen, inhameren geeft niets of een schijnsucces: 't vervliegt alras en geeft aanleiding tot onvoldaanheid bij den onderwijzer, die zich uit in een klachtenregen of zich ook wel eens niet uit. Het vermogen ontwikkelen, zelf de uitkomst te berekenen, is veel meer waard en staat den 1.1. ten allen tijde ten dienste. g. Blokjes of schijfjes hout in figuren op kartons geplakt, zoowel klassikaal als individueel te gebruiken. Voor kinderen met zwak gezicht of voor blinde kinderen aan te bevelen.
VERSCHEIDENHEID VAN GROEPEERING OF NIET.
183
h. De grillendooder, het spel met de zeven steentjes, dat ik reeds noemde, worde den 1.1. in handen gegeven. i. Papieren munten van verschillende waarde, worden in allerhanden combinaties in een z.g. muntenboekje geplakt. In de prattijk heb ik zekere graagte bij de kinderen opgemerkt, zoowel voor het onder e genoemd getallenboekje als voor dit muntenboekje. Ge slaan, om zoo te zeggen in, deze boekjes. De 1.1. doen de velerlei combinaties de revue passeeren door achtereenvolgens op de lei of op een blaadje het overzicht van de situaties op elke pagina uit te drukken in een totaalcijfer. Het zijn geen dorre muntensommen, waar de 1.1. anders zoo het land aan kunnen hebben, maar veraanschouwelijkte muntensommen. Deze boekjes zijn daarom zoo doeltreffend, omdat ze direkt de z.g. ééntellers signaleeren. Vooral het muntenboekje met zijn collectieve eenheden geeft soms vermakelijke, doch tevens leerzame vergissingen te zien. Een kwartje en drie dubbeltjes wordt b.v. 28 centen. Vergissingen van zuiver gelijken aard kan men telkens bij de zwakkeren constateeren. (Men kan ook nog postzegels van verschillende waarde voor deze oefening aanwenden.) k. Bij het hoofdrekenen ten slotte, waar een groepeering in tw- ts;de instantie gemaakt wordt. De eerste instantie wordt vertegenwoordigd door de cijfers zelf en nu krijgen we door eenheden van groote betrekkelijke waarde eerst te groepeeren a.h.w. een schatting van de uitkomst,welke als een goede genius ons reeds bij benadering de zuivere uitkomst waarborgt. Een schijnsucces door het te vroeg cijferen wreekt zich in de hoogere leerjaren en de vervolgklassen. Soms wordt onze taak, gelukkig, .verlicht doordat een zekere rijpwording voor een gedeelte van het leerprogramma ons bij de kinderen verrast, terwijl van onzen kant geen aanwijsbare invloed ot inmenging valt na te speuren; integendeel dat we voorzichtigheidshalve zelfs passief zijn gebleven uit vrees voor een funeste storing. Het is toch zoo waar, wat- Dr. Ferrières laatst getuigde op een vergadering van de Montessorivereeniging: „Wie naar een voorafbelijnd program een kind wil opkweeken, toont het kind weten schappelijk niet te kennen". Ondanks den rijkdom van leermiddelenmateriaal, ondanks alle het zij ten mooi opgestelde en afgewerkte programma's moet men overvloede opgemerkt -- vooral in een klas van zwakzinnigen dan ook geen homogeniteit in de vorderingen der 1.1. verwachten, maar het toejuichen, dat door de individueele behandeling onze kinderen zij 't niet op hetzelfde, gelijke, dan toch op een hooger niveau worden gebracht. A. SOEK.
